2007-1

Ministerul Educa�iei �i Cercet�rii – Serviciul Na

�ional de Evaluare �i Examinare

PROBA D. M1: Filiera Teoretic�: sp.: matematic�-informatic�, Filiera Voca�ional�, profil Militar, specializarea matematic�-informatic� Varianta 050

1

EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2007 Proba scris� la MATEMATIC

PROBA D Varianta ….050 Profilul: Filiera Teoretic �: sp.: matematic�-informatic�, Filiera Voca�ional�, profil Militar, Specializarea: specializarea matematic�-informatic� ♦ Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord� 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.

La toate subiectele se cer rezolvri cu solu ii complete

SUBIECTUL I ( 20p )

(4p) a) S se calculeze modulul numrului complex i34 −− .

(4p) b) S se calculeze lungimea segmentului cu capetele în punctele ( )23 −,A i ( )34 −,C .

(4p) c) S se calculeze suma de numere complexe 753 iiiiS +++= .

(4p) d) S se determine R∈ba, , astfel încât punctele ( )23 −,A i ( )34 −,C s fie pe dreapta

de ecuaie 0=++ bayx .

(2p) e) S se calculeze aria triunghiului cu vârfurile în punctele ( )23 −,A , ( )2,2B i ( )34 −,C .

(2p) f) S se determine distana de la punctul ( )0,0O la dreapta 01=−+ yx .

SUBIECTUL II ( 30p ) 1.

(3p) a) S se calculeze elementul 102̂ în ( )⋅,Z8 .

(3p) b) S se calculeze expresia 58

38 CCE −= .

(3p) c) S se rezolve în mulimea numerelor reale strict pozitive ecuaia 15 =xlog .

(3p) d) S se rezolve în mulimea numerelor reale ecuaia 03216 =−x .

(3p) e) S se calculeze probabilitatea ca un element { }5,4,3,2,1∈n s verifice relaia 193 >n .

2. Se consider func ia RR →:f , ( ) 1215 −+= xxxf .

(3p) a) S se calculeze ( )xf ′ , R∈x .

(3p) b) S se calculeze ( )∫1

0

dxxf .

(3p) c) S se calculeze ( ) ( )

x

fxfx

0lim

0

−→

.

(3p) d) S se arate c func ia f este strict cresctoare pe R .

(3p) e) S se calculeze 25

32lim

−+

∞→ n

nn

.



PROBA D. M1: Filiera Teoretic�: sp.: matematic�-informatic�, Filiera Voca�ional�, profil Militar, specializarea matematic�-informatic� Varianta 050

2

SUBIECTUL III (20p)

Se consider matricele

=

1 0

0 12I ,

=

1- 0

0 1C i ( ){ }22 IAAMAG T =⋅∈= R , unde

prin TA am notat transpusa matricei A .

(4p) a) S se arate c GI ∈2 i C G∈ .

(4p) b) S se arate c dac GA∈ i GB∈ , atunci GBA ∈⋅ .

(4p) c) S se arate c dac GA∈ , atunci matricea A este inversabil i GA ∈−1 .

(2p) d) S se arate c ( )⋅,G este grup în raport cu înmulirea matricelor .

(2p) e) S se arate c funcia { } ( ) ( )AAfGf det,1,1-: =→ este surjectiv dar nu este injectiv.

(2p) f) S se arate c mul imea

∈

−= Ra

aa

aaH

cossin

sincos este un subgrup al lui G .

(2p) g) S se dea exemplu de subgrup al lui G care are 2007 elemente.

SUBIECTUL IV (20p)

Se consider func iile [ ] R→10,:f , [ ] R→10,:g , [ ] R→1,0:h , [ ] R→10,:G , definite prin

x

xxg

)1ln()(

+= , ( ]1,0∈∀x , 1)0( =g , xxxf −+= )1ln()( , ( ) ( )2

2xxfxh += , [ ]1,0∈∀x ,

∫=x

dttgxG0

)()( , ]1,0[∈∀x i irul 1)( ≥nna , definit prin ∫ +=1

0

)1ln( dxxa nn , *∈∀n .

(4p) a) S se calculeze )(xf ′ i )(xh′ , ]1,0[∈x .

(4p) b) S se arate c 0)( ≤′ xf i 0)( ≥′ xh , ]1,0[∈∀x .

(4p) c) S se arate c xxx

x ≤+≤− )1ln(2

2

, ]1,0[∈∀x .

(2p) d) S se arate c func ia g este continu pe intervalul ]1,0[ .

(2p) e) S se arate c 1

10

+≤≤

nan , ∗∈∀ Nn i c 0lim =

∞→ nn

a .

(2p) f) Utilizând metoda integrrii prin p r i, s se arate c ∫−=⋅1

0

)()1( dxxGGan nn , 1≥∀n .

(2p) g) S se arate c ( )1lim Gan nn

=⋅∞→

.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, M1 (2007) Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaţională: profil militar, specializarea matematică-informatică.

1

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 – Sesiunea iunie-iulie Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D-M1 (2007) - Varianta 50

BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaţională: profil militar, specializarea matematică-informatică.

♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele

punctajului indicat în barem. SUBIECTUL I (20 puncte)

a) 2 24 3 4 3i− − = + ,

deci rezultatul este 5.

2p 2p

b) ( ) ( )2 24 3 2 ( 3)AC = − + − − − =

2= .

2p 2p

c) 3 5 7, ,i i i i i i= − = = − , deci 0S = .

3p 1p

d) 3 2 0a b− + = 4 3 0a b− + =

1a = şi 1b = − .

1p 1p 2p

e) 3 2 1

2 2 1 3

4 3 1

−= −

−

1 3

2 2ABCS = ∆ =

1p

1p

f)

2 2

| 0 0 1|

1 1d

+ −=+

2

2= 2p

SUBIECTUL II (30 puncte) 1.a) 3ˆ ˆ2 0=

10ˆ ˆ2 0=

2p

1p

b) 5 38 8

8!

3!5!C C= =

0E =

2p 1p

c) 15 5x = = 3p

d) 4 52 2x = 5

4x =

2p

1p

e) 1 şi 2 nu verifică relaţia 3, 4 şi 5 verifică relaţia

3

5P =

1p 1p

1p

2.a) ( ) 1415 2f x x′ = + 3p

b) ( )

116 2 1

00

1

16f x dx x x x= + − =∫

1

16

2p 1p

c) Limita este egală cu ( )0f ′ = 2p 1p

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, M1 (2007) Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaţională: profil militar, specializarea matematică-informatică.

2

2= d) ( ) 1415 2 0,f x x x′ = + > ∀ ∈ ,

deci f este strict crescătoare.

2p

1p

e) Limita

2

5= 3p

SUBIECTUL III (20 puncte) a)

2 2 2 2 2TI I I I I⋅ = ⋅ = ;

2TC C C C I⋅ = ⋅ =

2p 2p

b) ( )T T TAB AB ABB A= =

2 2T TAI A AA I= = = , în cazul în care ,A B G∈ .

2p

2p

c) Dacă A G∈ , atunci 2det det det 1TA A I⋅ = = , deci A este inversabilă. Apoi, 1 1 1

2T T TAA I A AA A A A− − −= ⇒ = ⇒ = şi 1

2( )T T T TA A A A A A I−= = =

2p

2p d) Conform b) şi c), G este subgrup al grupului multiplicativ 2 ( )GL .

Astfel, ( , )G ⋅ este grup.

1p

1p

e) 2( ) 1, ( ) 1f I f C= = − şi 2 ,I C G∈ , deci f este surjectivă.

2 2( ) ( )f I f I= − şi 2 2,I I G− ∈ , deci f nu este injectivă. 1p

1p

f) Dacă ( )cos sin

sin cosaa aM a a

−= , atunci aM G∈ , a b a bM M M H+= ∈

şi 1a aM M H−

−= ∈ .

1p 1p

g) Exemplul este dat de mulţimea

2 4 4012| {0, , ,..., }

2007 2007 2007{ }aM a

π π π∈ . 2p

SUBIECTUL IV (20 puncte) a)

( )1

xf x

x

−′ =+

2

( ) ( )1

xh x f x x

x′ ′= + =

+

2p 2p

b) Ambele afirmaţii rezultă din faptul că [0,1]x ∈ . 2p + 2p c) Din b), f este descrescătoare pe [0,1] , deci ( ) (0) 0, [0,1]f x f x≤ = ∀ ∈ ,

iar h este crescătoare pe [0,1] , deci ( ) (0) 0, [0,1]h x h x≥ = ∀ ∈ . 2p 2p

d) Pe (0,1] , g este cât de funcţii continue,

iar în 0, 0 0

ln(1 )lim ( ) lim 1 (0)x x

xg x g

x→ →

+= = =

1p 1p

e) Folosind c),

1

0

1

1n

na x dxn

≤ =+∫ .

Din 1

01na

n≤ ≤

+ şi 1

lim 01n n→∞

=+

reiese lim 0nn

a→∞

= .

1p 1p

f) 1 10 1

0 01( ) ( ) ( )n n n nG x dx xG x x nx G x dx− ′= − ⋅∫ ∫ =

1 1

0 0(1) ( ) (1) ln(1 ) (1)n n n

nG n x g x dx G n x dx G na= − = − + = −∫ ∫

1p 1p

g) Din c), 0 ( ) 1g x≤ ≤ , deci 0

0 ( ) 1x

G x dx x≤ ≤ =∫ .

Astfel, 1 1

0 0

10 ( )

1n nG x dx x dx

n≤ ≤ =

+∫ ∫ , de unde 1

0lim ( ) 0n

nG x dx

→∞=∫ .

1p 1p

♦ Total 100 de puncte din care 10 sunt din oficiu. ♦ Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.



Proba D.Programa M1.Filiera teoretic�, specializarea �tiin�e ale naturii; Filier� tehnologic�, profil Tehnic, toate specializ�rile

Varianta 050 1


PROBA D Varianta ….050 Proba D.Programa M1.Filiera teoretic�, specializarea �tiin

�e ale naturii; Filier� tehnologic�, profil Tehnic, toate specializ�rile

♦ Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord� 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri cu solu ii complete SUBIECTUL I ( 20p ) În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider punctele ( )1,nAn , N∈∀n

i ( )00,O .

(4p) a) S se determine panta dreptei 1OA .

(4p) b) S se arate c punctele 0A i 1A aparin dreptei de ecuaie 1=y .

(4p) c) S se calculeze aria triunghiului 10 AOA .

(4p) d) S se calculeze lungimea segmentului [ ]nOA , N∈n .

(2p) e) S se determine numrul dreptelor determinate de punctele mulimii { }1010 A,...,A,A,O .

(2p) f) S se determine numrul triunghiurilor care au vârfurile în câte 3 puncte din mul imea { }1010 A,...,A,A,O .


(3p) a) S se calculeze determinantul

73

51.

(3p) b) S se calculeze numrul de mulimi X care verific relaia { } { }6,5,4,3,2,12,1 =∪X .

(3p) c) S se calculeze matricea 2007

11

11

−−

.

(3p) d) S se rezolve în mulimea numerelor raionale ecuaia 06116 23 =−+− xxx .

(3p) e) S se calculeze probabilitatea ca un element n din mul imea { }5,4,3,2,1 , s verifice

relaia 022 ≥− nn .

2. Se consider func ia RR →:f , ( ) 12 += xxf .


(3p) b) S se calculeze ( )dxxf∫

1

02

1.


x

fxfx

0lim

0

−→

.

(3p) d) S se determine ecuaia asimptotei spre ∞+ la graficul funciei f .

(3p) e) S se calculeze ( )x

xfx −∞→lim .




Varianta 050 2

SUBIECTUL III ( 20p )

Se consider mul imea ( ){ }∗∈−+=→= RRR aaaxxffG ,1: i func ia

RRR →:1 , ( ) xx =R1 , R∈∀ x .

(4p) a) S se arate c dac Ggf ∈, , atunci Ggf ∈� .

(4p) b) S se arate c G∈R1 .

(4p) c) S se arate c fff == �� RR 11 , Gf ∈∀ .

(2p) d) S se arate c dac Gf ∈ , ( ) aaxxf −+= 1 i RR →:g , ( )

a

axxg

+−= 1, atunci

Gg ∈ i R1== fggf �� .

(2p) e) S se calculeze ( ) ( ) ( )1001...2111 RRR +++ .

(2p) f) S se calculeze hhh �� , unde Gh∈ , ( ) 12 −= xxh .

(2p) g) S se arate c mul imea G, împreun cu operaia de compunere a funciilor, formeaz

o structur de grup comutativ.

SUBIECTUL IV ( 20p )

Se consider func ia ( ) R→∞,: 0f , ( )3

1

xxf = i se definete irul ( ) *N∈nna ,

( ) ( ) ( )nfffan +++= ...21 , *N∈∀n .

(4p) a) S se calculeze ( )∫ dxxf , ( )∞∈ ,0x .

(4p) b) S se calculeze ( )xf ' , ( )∞∈ ,0x .

(4p) c) S se arate c func ia f este strict descresctoare pe intervalul ( )∞,0 .

(2p) d) S se arate c irul ( ) *N∈nna este strict cresctor.

(2p) e) S se arate c ( ) ( )

012

1

2

1

1

1223

>∀+

−<+

kkkk

, .

(2p) f) S se arate c na≤15,1 , *N∈∀ n , 4≥n .

(2p) g) S se arate c 21,1≤na , *N∈∀n .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ Proba D_M1 (2007) Filiera teoretică: specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profil tehnic, toate specializările.

1


EXAMENUL DE BACALAUREAT –– sesiunea iunie-iulie 2008 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D – M1 (2007) Varianta 50

BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE

Filiera teoretică: specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profil tehnic, toate specializările. ♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele


a) 1A are coordonatele (1,1)

panta este 1

2p 2p

b) Ambele puncte au ordonata egală cu 1, deci aparţin dreptei 1y =

2p 2p

c) Triunghiul este dreptunghic isoscel având catetele de lungime 1

Aria este egală cu 1

2

2p 2p

d) 2 1nOA n= + 4p

e) Punctele 0 1 10, , ...,A A A aparţin dreptei d de ecuaţie 1y = .

Punctul O nu aparţine dreptei d, deci dreptele cerute sunt 0 0 10, ,...,OA OA OA şi d în

total 12 drepte

1p 1p

f) Toate triunghiurile au un vârf în O şi două vârfuri pe dreapta 1y =

deci sunt 211 55C = de drepte

1p 1p

SUBIECTUL II (30 puncte) 1.a) Determinantul este egal cu 7 15 8− = − 3p b) { }3, 4,5,6 X⊂

{ }3, 4,5, 6X Y= ∪ cu { }1, 2Y ⊂

Sunt 4 mulţimi Y , deci 4 mulţimi X

1p 1p 1p

c) Dacă A este matricea din enunţ, avem 22A O=

20072A O=

2p 1p

d) 1 2 31, 2, 3x x x= = = 3p

e) Din cele 5 cazuri posibile, cazurile favorabile sunt 2,3, 4,5n = .

Probabilitatea este 4

5

1p 1p 1p

2.a) 2

'( )1

xf x

x=

+

3p

b) 1 1

2 00

1

1dx arctg x

x= =

+∫

4

π=

2p 1p

c) Limita este egală cu '(0)f =

0=

2p 1p


2

d) lim ( )x

f x→∞

= +∞

( )lim 1x

f xm

x→∞= = şi lim( ( ) ) 0

xn f x x

→∞= − =

Ecuaţia asimptotei este y x=

1p 1p 1p

e) ( )lim 1x

f x

x→−∞= − 3p

SUBIECTUL III (20 puncte) a) ( ) 1 , ( ) 1 ,f x ax a g x bx b= + − = + − cu ,a b ∗∈ , ( )( ) ( ( ))f g x f g x= =

( ) 1 1ag x a abx ab= + − = + −

ab ∗∈ , deci f g G∈

1p 2p 1p

b) 1 ( ) 1 1 1x x= ⋅ + −

1 ∗∈ , deci 1 G∈

2p 2p

c) (1 )( ) ( ),f x f x x= ∀ ∈

( 1 )( ) ( ),f x f x x= ∀ ∈

2p

2p d) ( )( ) ( ) 1 1 1 ,f g x ag x a x a a x x= + − = − + + − = ∀ ∈

1 1 1 1( )( ) ( ) 1 1 1 ,g f x f x x x x

a a a a= + − = + − + − = ∀ ∈

1p 1p

e) Suma cerută este egală cu 1 2 ... 100+ + + = 100 101

50502

⋅= =

1p 1p

f) ( )( ) ( (2 1))h h h x h h x= − =

(4 3) 8 7,h x x x= − = − ∀ ∈

1p

1p g) Compunerea funcţiilor este lege de compoziţie pe G din a); compunerea funcţiilor

este asociativă. 1 ,G∈ orice f din G este inversabilă şi 1f G− ∈ , , ,f g g f f g G= ∀ ∈

1p 1p

SUBIECTUL IV (20 puncte) a) ( )3 2

1 1, 0,

2dx C x

x x= − + ∈ +∞∫ 4p

b) ( ) ( )4

3, 0,f x x

x′ = − ∈ +∞

4p

c) Cum ( )'( ) 0, 0,f x x< ∀ ∈ +∞

Rezultă că f este strict descrescătoare pe ( )0, +∞

2p 2p

d) 1 3

10,

( 1)n na a nn

∗+ − = > ∀ ∈

+

Deci şirul este strict crescător

1p 1p

e) 3 2 2

1 2 1

( 1) 2 ( 1)

k

k k k

+< ⇔+ +

2 22 2 3 1,k k k⇔ < + + adevărat 0k∀ >

1p 1p

f) 3

1 11 1,15

8 27a = + + ≥

Pentru 4n ≥ , rezultă 3 1,15na a≥ ≥

1p 1p


3

g) 1

3 2 34

1 1 1 1 9 1 1 1 1 9 1 11 1 1 1,21

8 27 64 ( 1) 64 27 2 4 64 27 32

n

nk

ak n

−

=

= + + + + < + + + − < + + + < + ∑ ,

5n ≥ ; pentru { }1,2,3,4n ∈ rezultă 5 1,21na a< <

2p




Proba D. Programa M2. Filiera tehnologic�: profil: Servicii, toate specializ�rile, profil Resurse naturale �i protec�ia mediului,

toate specializ�rile Proba F. Programa M2.Filiera teoretic�:profil Uman, specializarea �tiin �

e sociale;Filiera voca�ional�:profil Militar,

specializarea �tiin �e sociale

Varianta 050

1


PROBA D/F Varianta ….050 Proba D. Programa M2. Filiera tehnologic�: profil: Servicii, toate specializ�rile, profil Resurse naturale �i protec

�ia mediului,




NOT�.Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord� 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri cu solu ii complete

SUBIECTUL I ( 20p )

(4p) a) S se calculeze distana de la punctul )1,1( −A la punctul ( )3,2−B .

(4p) b) S se afle aria triunghiului determinat de punctele )7,2(),3,2(),1,1( −−−− CBA .

(4p) c) S se arate c expresia 2cos3sin3 22 −+= xxE nu depinde de x .

(4p) d) S se arate c un triunghi având lungimile laturilor de 5, 12 i 13 este dreptunghic.

(2p) e) S se calculeze numrul complex 53 ii + .

(2p) f) S se afle perimetrul unui ptrat care are diagonalele de lungime 2 .


(3p) a) S se calculeze 16log2 .

(3p) b) S se calculeze probabilitatea ca un element x din mul imea { }3,2,1,0 s verifice relaia

52 <x .

(3p) c) S se calculeze 25A .

(3p) d) S se rezolve ecuaia 1,22 1 ≥=− xx .

(3p) e) Dac 12)(,: −=→ xxff RR i 2: +=→ xg(x)g R,R , s se calculeze ))(( xgf � .

2. Se conside func ia xexff x −=→ )(,: RR .

(3p) a) S se calculeze ( ) ∈x,x'f R .

(3p) b) S se calculeze 3

)3()(lim

3 −−

→ x

fxfx

.

(3p) c) S se calculeze coordonatele punctului de extrem local al func iei f .

(3p) d) S se calculeze ( )xfx −∞→lim .

(3p) e) S se calculeze ∫1

0

)( dxxf .



Proba D. Programa M2. Filiera tehnologic�: profil: Servicii, toate specializ�rile, profil Resurse naturale �i protec�ia mediului,




Varianta 050

2


În mul imea )(2 RM se consider matricea

=

33

22A .

(4p) a) S se calculeze determinantul matricei A .

(4p) b) S se arate c AA 52 = .

(4p) c) S se determine o matrice )(2 RMB∈ , astfel încât ABBA ⋅≠⋅ .

(2p) d) S se determine o matrice )(2 RMC ∈ , AC ≠ , astfel încât ACCA ⋅=⋅ .

(2p) e) Utilizând metoda induciei matematice, s se arate c *1 ,5 N∈∀⋅= − nAA nn .

(2p) f) S se calculeze suma .... 10032 AAAA ++++

(2p) g) S se arate c toate elementele matricei 10110032 ... AAAAA −++++ sunt strict negative.


Se consider func ia

)1(1

)(:),0(:+

=+∞xx

xf,f R i irul 1)( ≥nna definit prin

*,)(...)2()1( N∈∀+++= nnfffan .

(4p) a) S se verifice c ),0(,1

11)( +∞∈∀

+−= x

xxxf .

(4p) b) S se calculeze ( ) ( )∞∈ ,0,' xxf .

(4p) c) S se arate c func ia f este descresctoare pe intervalul ),0( +∞ .

(2p) d) S se determine ecuaia asimptotei spre ∞+ la graficul funciei f .

(2p) e) S se calculeze ∫2

1

)( dxxf .

(2p) f) S se arate c 1+

=n

nan , *N∈∀n .

(2p) g) S se calculeze nn

na 2)(lim

∞→.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ – Proba D/F_M2_2007 D_Filiera tehnologică; profil servicii-toate specializările; profil resurse naturale şi protecţia mediului-toate specializările. F_Filiera teoretică; profil uman, specializarea ştiinţe sociale; F_Filiera vocaţională; profil militar, specializarea ştiinţe sociale.

1


EXAMENUL DE BACALAUREAT – Sesiunea iunie-iulie 2008 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D/F-M2_2007

BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE Varianta 50 D_Filiera tehnologică; profil servicii-toate specializările; profil resurse naturale şi protecţia mediului-toate specializările. F_Filiera teoretică; profil uman, specializarea ştiinţe sociale; F_Filiera vocaţională; profil militar, specializarea ştiinţe sociale. ♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele


a) ( ) ( )2 21 2 3 1AB = + + + =.

5=

2p 2p

b) 1 1 11

2 3 12

2 7 1ABCA

−= − =

− −

15

2p

2p

c) ( )2 23 1 cos 3cos 2E x x= − + − =

1=

2p

2p

d) 2 2 25 12 13+ = ⇒ triunghiul este dreptunghic 4p e) 3i i= −

5i i= , deci 3 5 0i i+ =

1p

1p f) Latura = 1

Perimetrul = 4 1p 1p

SUBIECTUL II (30 puncte) 1.a) 4

2 2log 16 log 2= =

4=

2p 1p

b) Verifică { }0,1,2x ∈

Probabilitatea3

4=

2p

1p

c) 25 5 4 20A = ⋅ = 3p

d) 1 1x − = 2x =

1p 2p

e) ( )( ) ( )2 1f g x g x= − =

( )2 1 1 2 3x x= − − = +

1p

2p

2.a) ( ) 1xf x e′ = − 3p

b) ( ) ( ) ( )3

3lim 3

3x

f x ff

x→

−′= =

−

3 1e= −

2p 1p

c) ( ) 0f x′ =

0x = este punct de extrem local

2p 1p


2

d) lim 0, limx

x xe x

→−∞ →−∞= = −∞

( )limx

f x→−∞

= −∞

2p

1p

e) ( )

1 12

002

x xf x e

= − =

∫

3

2e= −

2p 1p

SUBIECTUL III (20 puncte)

a) det 6 6 0A = − = 4p

b)

2 10 1015 15

A =

210 105

15 15A A = =

2p

2p

c) 0 10 0

B =

0 2 3 30 3 0 0

AB BA = ≠ =

2p 2p

d) 2C A A= ≠ ( ) ( )2 2A A A A⋅ = ⋅

1p 1p

e) 1 1 15A A A−= = , ( )1 1 1 25 5 5n n n n nA A A A A A A+ − −= ⋅ = = = ⋅ 2p

f) suma 995 ... 5A A A= + + + = 1005 1

4A

−=

1p 1p

g) matricea

1003 5 10

4A

− ⋅ −= < 2p

SUBIECTUL IV (20 puncte) a)

( ) ( )1 1 1

1 1

x xf x

x x x x

+ −− = =+ +

4p

b) ( )( )2 2

1 1

1f x

x x′ = − + =

+

( )22

2 1

1

x

x x

+= −+

2p

2p

c) ( ) 0, 0f x x′ < ∀ <

deci f este descrescătoare

2p

2p d) ( )lim 0

xf x

→∞= ,

deci 0y = este asimptotă orizontală la +∞

1p

1p e)

( ) ( )2

2 21 1

1

ln ln 1f x dx x x= − + =∫

4ln

3=

1p

1p


3

f) 1 1 1 1 1 1...

1 2 2 3 1nan n

= − + − + + − = +

11

1 1

n

n n= − =

+ +

1p

1p

g) 2 2

1 1lim

11

n n e

n

→∞=

+

2p




M3:Proba d. Filiera Voca� ional�: profil Pedagogic, specializ�rile înv��tor-educatoare Varianta 050

1


PROBA D Varianta ….050 M3:Proba d. Filiera Voca� ional�: profil Pedagogic, specializ�rile înv��tor-educatoare NOT�.Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord� 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore

La toate subiectele se cer rezolvri complete

SUBIECTUL I ( 20p )

(4p) a) S se calculeze media aritmetic a numerelor 1 i 2007 .

(4p) b) S se calculeze x , dac

5

6

3

1

2

1=

−

x

(4p) c) S se calculeze ( ) ( ) ( )2222 321 +++−+− kkkk , unde N∈k .

(4p) d) S se calculeze .1024

(2p) e) S se afle cifra x tiind c num rul xx5 se divide cu 5 i nu se divide cu 10 .

(2p) f) S se calculeze determinantul 32

11

−−

.

SUBIECTUL II ( 30p )

1.

(3p) a) S se determine numrul valorilor lui N∈n care verific relaia 200!20 << n .

(3p) b) Se consider mul imea { }5,4,3,2,1=A . S se calculeze probabilitatea ca un element

n arbitrar din A s verifice relaia 200!20 << n .

(3p) c) S se calculeze câte numere de trei cifre, cu cifre distincte din mulimea { }3,2,1,9

exist .

(3p) d) S se rezolve în mulimea numerelor reale strict pozitive ecuaia 3log2 =x .

(3p) e) S se rezolve în mulimea numerelor întregi inecuaia 0452 ≤+− xx .

2. Se consider dreptunghiul ABCD cu 4=AB i 3=AD , iar E piciorul

perpendicularei din A pe BD .

(3p) a) S se calculeze lungimea diagonalei dreptunghiului.

(3p) b) S se calculeze perimetrul dreptunghiului .

(3p) c) S se calculeze aria dreptunghiului .

(3p) d) S se calculeze lungimea segmentului [ ]AE .

(3p) e) S se calculeze lungimea segmentului [ ]DE .



M3:Proba d. Filiera Voca� ional�: profil Pedagogic, specializ�rile înv��tor-educatoare Varianta 050

2


Se consider triunghiul ABC, triunghiurile echilaterale ABC ′ , BAC ′ i CAB ′

construite în exterior. Mai considerm punctele { } BACCM ∩′= , { } ACBBN ∩′= i

{ } CCBBT ′∩′= .

(4p) a) S se arate c ( ) ( )CACmBABm ′=′ ˆˆ .

(4p) b) S se arate c triunghiurile BBA ′ i ACC′ sunt congruente.

(4p) c) S se arate c triunghiurile CAM ′ i TMB sunt asemenea i MB

MT

CM

AM =′

.

(2p) d) S se arate c triunghiurile CBM ′ i TMA sunt asemenea .

(2p) e) S se arate c ( ) ( )BCMmTAMm ˆˆ ′= .

(2p) f) S se arate c triunghiurile BCC′ i AAB ′ sunt congruente i ( ) ( )AABmCCBm ′=′ ˆˆ .

(2p) g) S se arate c AA ′ , BB ′ i CC ′ sunt concurente.


Se consider mul imea ( )

∈

== Za

aa

aa

aAM

0

000

0

.

(4p) a) S se arate c MO ∈

=000

000

000

3 .

(4p) b) S se arate c dac ( ) MxA ∈ i ( ) MyA ∈ , atunci ( ) ( ) MyAxA ∈+ .

(4p) c) S se calculeze ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21012 AAAAA +++−+− .

(2p) d) S se arate c dac ( ) MxA ∈ i ( ) MyA ∈ , atunci ( ) ( ) MyAxA ∈⋅ .

(2p) e) S se calculeze ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21012 AAAAA ⋅⋅⋅−⋅− .

(2p) f) Dac ( ) MaA ∈ , s se calculeze ( )aA2 i ( )aA3 .

(2p) g) S se calculeze ( )12007A .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ Proba D_M3_2007_Filiera vocaţională: profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare

1


EXAMENUL DE BACALAUREAT - Sesiunea iunie-iulie 2008 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D-M3_2007

BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE Varianta 50 Filiera vocaţională: profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare ♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele


a) Scrierea formulei (explicit sau implicit) Finalizare: 1004

2p 2p

b) 6 1 1

5 2 3x

= −

6 3 2

5 6x

− =

1

5x =

1p 1p

2p

c) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 4 4 6 9k k k k k k k− + + − + + + + + =

= 4

2p

2p

d) 1024 32= 4p e) 5x = 2p f) 3 2 1− = 2p

SUBIECTUL II (30 puncte) 1.a) { }4,5n ∈

2 valori

2p 1p

b) Scrierea formulei (explicit sau implicit) 2

5

1p

2p

c) 34A =

24=

1p

2p

d) 32x = 8x =

2p 1p

e) [ ]1,4x ∈

Finalizare: { }1,2,3,4x ∈

2p

1p

2.a) 2 2 2BD AB AD= + (explicit sau implicit) 5BD =

1p 2p

b) Perimetrul = 14 3p c) Aria = 12 3p

d) 12

5AE = 3p

e) 9

5DE = 3p

SUBIECTUL III (20 puncte)

a) ( ) ( ) 60m BAB m BAC′ = +

Finalizare

2p

2p

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ Proba D_M3_2007_Filiera vocaţională: profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare

2

b) , ,AB AC AC AB CAC BAB′ ′ ′ ′= = ≡ Finalizare

3p 1p

c) AC C AB B′ ′≡ AMC BMT′ ≡

Finalizare

1p 1p 2p

d) AM MT

MC MB=

′

BMC AMT′ ≡ , deci triunghiurile sunt asemenea

1p

1p e) ( ) ( )BMC TMA m MAT m MC B′ ′⇒ =∼ 2p

f) , ,A B BC BC AB CBC ABA′ ′ ′ ′= = ≡ Finalizare

1p 1p

g) MAT MC B BAA′ ′≡ ≡ 2p SUBIECTUL IV (20 puncte)

a) 0a = ∈ 4p b) 0 0

0 0 0 0 0 00 0

x x y y

x x y y

+ =

00 0 0

0

x y x yM

x y x y

+ + ∈ + +

2p

2p

c) ( )2 1 0 1 2A − − + + + =

( ) 30A O=

2p 2p

d) 0 00 0 0 0 0 0

0 0

x x y y

x x y y

=

2 0 20 0 0

2 0 2

xy xyM

xy xy

∈

1p

1p

e) ( )( )2 1 0 1 2A − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =

( ) 30A O=

1p

1p

f) ( )2 2

2

2 2

02 0 0 0

0

a aA a

a a

=

( )3 3

3

3 3

04 0 0 0

0

a aA a

a a

=

1p

1p

g) ( ) ( )2007 20061 2 1A A= 2p ♦ Total 100 de puncte din care 10 sunt din oficiu. ♦ Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.




Varianta 075 1


PROBA D Varianta ….075 Proba D.Programa M1.Filiera teoretic�, specializarea �tiin

�e ale naturii; Filier� tehnologic�, profil Tehnic, toate specializ�rile

♦ Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord� 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri cu solu ii complete SUBIECTUL I ( 20p )

(4p) a) S se calculeze modulul numrului complex 32 i+ .

(4p) b) S se determine R∈a astfel încât partea real a numrului complex ( )( )iaz −−+= 311 s

fie 4.

(4p) c) S se calculeze

6cos

6sin

ππ ⋅ .

(4p) d) S se determine R∈ba, , astfel încât punctele ( )0,3A i ( )3,0 −C s aparin dreptei de

ecuaie 0=++ bayx .

(2p) e) S se scrie ecuaia cercului cu centrul în punctul ( )1,1P i cu raza 2.

(2p) f) S se scrie ecuaia unei drepte paralele cu dreapta 0532: =+− yxd .


(3p) a) S se rezolve în 8Z ecuaia 7̂ˆ3̂ =⋅ x .

(3p) b) S se calculeze !3!4 − .

(3p) c) S se calculeze 92...21 +++ .

(3p) d) S se rezolve în mulimea numerelor reale ecuaia 0123 =−+− xxx .

(3p) e) S se calculeze probabilitatea ca un element { }5,4,3,2,1∈n s verifice relaia 30!<n .

2. Se consider func ia RR →:f , ( ) xxxxf ++= sin3 .

(3p) a) S se calculeze ( )xf ' , R∈x .

(3p) b) S se calculeze ( )∫1

0

dxxf .


x

fxfx

0lim

0

−→

.

(3p) d) S se arate c func ia f este strict cresctoare pe R .

(3p) e) S se calculeze ( )nnn

−+∞→

1lim .




Varianta 075 2


În mul imea ( )RM 2 se consider matricea

=

10

012I i submulimea

( )

∈∞∈

= Rbca

cb

aG ,,0,

0.

(4p) a) S se verifice c GI ∈2 .

(4p) b) S se calculeze determinantul matricei Gcb

aM ∈

=

0.

(4p) c) S se arate c, dac GBA ∈, , atunci GBA ∈⋅ .

(2p) d) S se verifice c, dac Gcb

aC ∈

=

0, atunci matricea G

cac

baD ∈

−=

1

01

i

2ICDDC =⋅=⋅ . (2p) e) S se gseasc dou matrice GVU ∈, pentru care UVVU ⋅≠⋅ .

(2p) f) Utilizând metoda induciei matematice, s se arate c ∗∈∀ Nn , 2≥n , ( )∞∈∀ ,0,ca

i R∈∀b are loc ( )

++++=

−−−− nnnnn

nn

ccaccaab

a

cb

a1221 ...

00.

(2p) g) S se arate c ∗∈∀ Nn , GA∈∀ , exist GX ∈ astfel încât AX n = .


Se consider func ia RR →:f , ( ) xxxf 23 += .


(4p) b) S se calculeze ( )xfx −∞→lim .

(4p) c) S se arate c func ia f este strict cresctoare pe R .

(2p) d) S se arate c func ia f este convex pe R .

(2p) e) S se arate c orice primitiv a funciei f este strict cresctoare pe R .

(2p) f) S se calculeze aria suprafeei plane cuprinse între graficul funciei f , axa Ox

i dreptele de ecuaii 0=x i 1=x .

(2p) g) S se rezolve ecuaia ( ) ( ) ( ) 632 =++ xfxfxf .


1


EXAMENUL DE BACALAUREAT – sesiunea iunie-iulie 2008_rezervă Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D – M1 (2007) Varianta 75

BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE

Filiera teoretică: specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profil tehnic, toate specializările. ♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele


a) 2 3 2 3i+ = + =

5=

3p

1p b) 1 3 3z a ai i= + − − − =

( )3 2 1a a i= − + −

Re 3 2 4 2z a a= − = ⇒ =

1p 1p 2p

c) 1sin

6 2

π = şi 3cos

6 2

π =

Finalizare: 3

4

2p 2p

d) 3 0b+ = şi 3 0a b− + = ⇒ 3b = − şi 1a = −

2p 2p

e) ( ) ( )2 21 1 4x y− + − = 2p

f) De exemplu: 2 3 0x y− = 2p

SUBIECTUL II (30 puncte) 1.a) 1ˆ ˆ3 3,− = deci

ˆ ˆ ˆˆ 3 7 5x = ⋅ =

1p

2p b) 24 6 18− = 3p c) 10

102 12 1

2 1

− = −−

3p

d) ( )( )21 1 0x x− + =

1x =

2p

1p e) Din cele 5 cazuri posibile,

cazurile favorabile sunt 1, 2,3, 4n =

Probabilitatea este 4

5

1p 1p 1p

2.a) 2'( ) 3 cos 1f x x x= + + 3p

b) ( )

1 4 2 1

00

cos4 2

x xf x dx x

= − + =

∫

7cos1

4= −

2p 1p

c) Limita este egală cu '(0)f =

2=

2p 1p

d) ( ) 0,f x x′ > ∀ ∈

deci f este strict crescătoare 2p 1p


2

e) 1lim 0

1n n n→∞=

+ + 3p

SUBIECTUL III (20 puncte) a) 1 0a c= = > şi

0b = ∈ 2p 2p

b) det M ac= 4p c) 0 0 0a x ax

b c y z bx cy cz

⋅ = +

, cu , , , 0; ,a c x z b y> ∈

Din , 0,ax cz bx cy> + ∈ rezultă cerinţa

3p

1p

d)

2

2

0

0

a

aCD Ib bc c

a ac c

a

aDC Ib ba c

c ac c

= = −

= = −

1p 1p

e) De exemplu

1 0 2 0,

3 2 1 1U V

= =

Verificare: UV VU≠

1p 1p

f) Pentru 1n = evident. Presupunem că pentru n afirmaţia este adevărată. Atunci

( )11

1 1

00 0 0...

nn n

n n n n

aa a ab c b c b c b a a c c c

++

− +

= ⋅ = + + + 2p

g) Fie n ∗∈ şi 0a

Ab c =

.

Căutăm 0x

Xy z

=

cu ( )1 2 1...

n

n n n n

n

x a

X A y x x z z b

z c

− − −

== ⇒ + + + =

=

Avem 1 2 1

, ,...

n n

n n nn n n

bx a z c y

a a c c− − −= = =

+ + +

1p 1p

SUBIECTUL IV (20 puncte) a) ( ) 3 ln 3 2 ln 2x xf x′ = + 4p

b) ( )lim 3 2 0x x

x→−∞+ = 4p

c) Cum '( ) 0,f x x> ∀ ∈

Rezultă că f este strict crescătoare pe

2p 2p

d) ( ) 2 23 ln 3 2 ln 2 0,x xf x x′′ = + > ∀ ∈

Rezultă că f este convexă pe

1p 1p

e) Dacă F este o primitivă a lui f, atunci 0F f′ = > ,

deci F este strict crescătoare pe

1p 1p


3

f) ( )

1

0

10

3 2 2 1

ln 3 ln 2 ln 3 ln 2

x x

f x dx =

= + = +

∫

1p 1p

g) Cum ( ) ( ) ( ) ( )2 3g x f x f x f x= + + este strict crescătoare pe şi

( )0 6g = , ecuaţia are soluţia unică 0x =

1p 1p


Date post:	27-Jan-2016
Category:	Documents
Upload:	xantogenat
View:	7 times
Download:	1 times

2007-1

Documents