1.1 Structura algebrica si topologica a numerelor complexeLa început sa recapitulam cunostiintele despre numerele complexe. Vom nota multimeanumerelor complexe cu C, iar numerele complexe cu literele z, u, v, w (daca nu sespecifica altfel). Sub forma algebrica1 numerele complexe sunt date de:
În formula (1.1.1) x se numeste partea reala a numarului complex z, iar y coeficientulpartii imaginare (iy se numeste partea imaginara a numarului complex z, iar i senumeste unitatea imaginara), si vom utiliza notatiile:
x = Rez, y = Imz.(1.1.2)
O
M de afixz=x+iy
x
iy
arg(z)
||
Z
x=Re z
y=
Imz
1 aceasta forma apare în mod natural la rezolvarea ecuatiei ax2 + bx+ c = 0, cu a, b, c ∈ R, si ∆ = b2 − 4ac < 0.- 2-
unde z se numeste conjugatul nr. complex z.1.1.1 Forma trigonometrica
z = x + iy
z = r (cos t + i sin t)
r = |z| =px2 + y2
t = arg z :
½cos t = x
rsin t = y
r
t ∈ [0, 2π)Argz = {arg z + 2kπ, k ∈ Z}
x = r cos t, y = r sin t- 3-
Exceptie: z = 0 + i0, |z| = 0, arg z nedterminat.
z1 = r1 (cos t1 + i sin t1)
z2 = r2 (cos t2 + i sin t2)
z1 = z2⇐⇒ r1 = r2, t1 = t2 + 2kπ, k ∈ Zz1 · z2 = r1r2 (cos (t1 + t2) + i sin (t1 + t2))
z1z2=
r1r2(cos (t1 − t2) + i sin (t1 − t2))
Formula lui Moivre:(cos t + i sin t)n = cos (nt) + i sin (nt)
Aplicatie: cos (3t) = Re (cos t + i sin t)3 = cos3 t− 3 cos t sin2 t
in =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1, n = 4k
i, n = 4k + 1−1, n = 4k + 2−i, n = 4k + 3
i = cosπ
2+ i sin
π
2
in = cosnπ
2+ i sin
nπ
2
- 4-
Ox
iy
1
i
p/5
z
z
z
zz
2/5
p
0
1
2
3
4
1Ec
uatie
bino
ma:
zn=
a=R(cosθ+isinθ)
z k=
n√ Rµ co
sθ+2kπ
n+isinθ+2kπ
n
¶ ,k=0,n−1
Exem
plu:
z5=−1
=1(cosπ+isinπ),z
k=
5√ 1¡ cos
π+2kπ
5+isin
π+2kπ
5
¢ ,k=
0,4.
Dis
tant
adi
ntre
2nr
.com
plex
e:|z 1−z 2|.
Lim
ita:(z n=xn+iy
n) n∈N:
lim n→∞z n=
adef ⇔lim n→∞|z n−a|=
0
a=
u+iv
lim n→∞xn=
u,lim n→∞y n=v
-5-
21.1.2 Punctul de la infinit
Ideea lui Gauss a fost de a adauga la planul complex un singur punct la "infinit", punândîn corespodenta bijectiva punctele din planul complex si punctele unei sfere de raza 1tangenta la plan în origine (asa numita proiectie stereografica):
la orice punct z din planul complex îi corespunde un unic punctM pe sfera obtinutprin intersectia dreptei Nz cu sfera (unde N este punctul de pe sfera diametral opuspunctului O ). La punctul N de pe sfera nu îi corespunde nici un punct. Pentru acorespunde la fiecare punct de pe sfera un punct în plan se adauga la C un singurpunct, punctul de la infinit, notat cu ∞, caruia îi va corespunde la punctul N. Vomnota în cele ce urmeaza cu C = C ∪ {∞} .
- 6-
Definitia 1.1.1 sirul (zn)n∈N are limita∞ daca si numai daca limn→∞ |zn| = +∞.
Definitia 1.1.2 functia f : D → C este continua în punctul a ∈ D daca si numaidaca limn→∞ zn = a⇒ limn→∞ f (zn) = f (a) .
Definitia 1.1.3 D ⊆ C se numeste domeniu daca este o multime deschisa si conexa .
Definitia 1.1.4 D ⊆ C este deschisa daca odata cu un punct contine si un disc cucentrul în punctul respectiv.
Definitia 1.1.5 D ⊆ C este conexa daca odata cu 2 puncte contine si o linie poligo-nala care uneste cele 2 puncte.
1.2 Functii elementare
1.2.1 Functia polinomiala
p : C→ C definita de: - 7-
p (z) =nX
k=0
akzk(1.2.1)
unde ak ∈ C ,k = 0, n. Putem prelungi p pe C punând p (∞) =∞.
1.2.2 Functia rationala
Fie p1, p2 doua functii polinomiale; functia q : C\{z ∈ C|p2 (z) = 0} → C definitaprin:
q (z) =p1 (z)
p2 (z)se numeste functie rationala. Putem prelungi q pe C :
eq (z) =⎧⎨⎩ q (z) , p2(z) 6= 0
∞, p2 (z) = 0limς→∞ q (ς) , z =∞
functia eq fiind continua pe C.1.2.3 Functia exponentiala
f : C→ Cf (z) = ez
def= lim
n→∞
³1 +
z
n
´n
- 8-
Teorema 1.2.1 Daca z = x + iy atunciez = ex (cos y + i sin y) .(1.2.2)
Demonstratie:ez = ex (cos y + i sin y)⇔|ez| = ex, arg (ez) = y
limn→∞
¯1 +
z
n
¯n= lim
n→∞
Ãr³1 +
x
n
´2+³yn
´2!n
=
= limn→∞
µ1 +
µ2x
n+x2
n2+y2
n2
¶¶n/2
=
= limn→∞
õ1 +
µ2x
n+x2
n2+y2
n2
¶¶ 1µ2xn +
x2
n2+y2
n2
¶!n2
³2xn +
x2
n2+ y2
n2
´=
= elimn→∞ n
2
³2xn +
x2
n2+ y2
n2
´= ex
Corolarul 1.2.1eiπ = −1
- 9-
Teorema 1.2.2 Functia exponentiala este periodica de perioada 2πi.
Demonstratie:ez+2πi = ex+iy+2πi =
= ex (cos (y + 2π) + i sin (y + 2π)) =
= ex (cos y + i sin y) = ez
Corolarul 1.2.2 Nu exista limz→∞ ez.
Remarca 1.2.1 Toate formulele de la exponentiala reala ramân valabile: ez1ez2 =ez1+z2, ....
- 10-
1.2.4 Functiile trigonometrice
sin zdef=
eiz − e−iz
2i
cos zdef=
eiz + e−iz
2
tan zdef=sin z
cos z
cot zdef=cos z
sin z
sec zdef=
1
cos z
csc zdef=
1
sin zsec=secanta, csc=cosecanta.
Remarca 1.2.2 Toate formulele de trigonometrie ramân valabile, de ex.:sin2 z + cos2 z = 1,∀z ∈ C
(dar de aici nu rezulta ca |sin z| ≤ 1 )
- 11-
1.2.5 Functiile hiperbolice
sinh zdef=
ez − e−z
2
cosh zdef=
ez + e−z
2
tanh zdef=sinh z
cosh z
coth zdef=cosh z
sinh z
Remarca 1.2.3 Formula de baza pentru functiile hiperbolice:cosh2 z − sinh2 z = 1
Remarca 1.2.4 Se mai folosesc notatiile sh, ch, th, cth în loc de sinh, cosh, tanh,coth .
1.2.6 Functia logaritmica
Definitia 1.2.1 Pentru z 6= 0,∞ :
Ln z = w⇔ ew = z- 12-
Teorema 1.2.3Ln z = ln |z| + i (arg z + 2kπ) , k ∈ Z.
Demonstratie:ew = z, w = u+ iv, z = r (cos t + i sin t)
eu (cos v + i sin v) = r (cos t + i sin t)⇒eu = r, v = t + 2kπ
u = ln r = ln |z| , v = arg z + 2kπ
Remarca 1.2.5 Ln z se numeste functie multiforma. pt. un k fixatLnk z = ln |z| + i (arg z + 2kπ)
se numeste o ramura a functiei logaritm natural. pt. k = 0 avem "determinareaprincipala" a functiei logaritmice, notata ln .
1.2.7 Functia putere
Definitia 1.2.2 Pentru z 6= 0,∞, α /∈ Z :zα = w⇔ eαLn z = w
zαdef= eαLn z
- 13-
Remarca 1.2.6 α = mn atunci zα = z
mn are n valori:
eαLn z = emn Ln z = e
mn (ln|z|+i(arg z+2kπ)) =
= emn ln|z|e
mn i arg ze
mn 2kπi, k = 0, n− 1.
In cazul particular α = 12 avem:z12 =√z = e
12(ln|z|+i arg z)ekπi, k = 0, 1.
Se observa ca cele doua determinari ale√z difera între ele prin factorul eπi = −1, de
aceea la formula de rezolvare a ecuatiei de gradul doi în C nu se mai pune ± în fataradicalului.
Exemplul 1.2.1√2 = e
12(ln|2|+i arg 2)ekπi =
½e12 ln|2| =
√2, k = 0
e12 ln|2|eπi = −√2, k = 1.
unde la ultimele egalitati√2 ≈ 1.414 este numarul real si pozitiv care ridicat la patrat
da 2.
- 14-
1.2.8 Functiile trigonometrice inverse
Arcsin z = w⇔ sinw = z
Arccos z = w⇔ cosw = z
Arctan z = w⇔ tanw = z
Arccot z = w⇔ cotw = z
Sa calculam acum expresia lui Arcsin z :
sinw = z ⇔ eiw − e−iw
2i= z
notameiw = t
t− 1t= 2iz
t2 − 2izt− 1 = 0
t = iz +
q(iz)2 + 1 = iz +
p1− z2
- 15-
deci:eiw = iz +
p1− z2
iw = Ln³iz +
p1− z2
´w = Arcsin z = −iLn
³iz +
p1− z2
´analog:
Arccos z = −iLn³z +
pz2 − 1
´Arctan z = w
eiw − e−iw
eiw + e−iw= iz
t2 − 1t2 + 1
=iz
12t2
2=
iz + 1
1− iz
t2 =z − i
−i− z=i− z
i + z
e2iw =i− z
i + z
w = Arctan z =1
2iLn
µi− z
i + z
¶- 16-
Analog se arata ca:
Arccot z =1
2iLn
µz + i
z − i
¶
Remarca 1.2.7 Domeniul de definitie al functiilor trigonometrice inverse este formatdinC mai putin punctele în care se anuleaza sau devine infinita expresia de sub radicalsau de sub logaritm (de exemplul la Arcsin domeniul de definitie este C \{−1, 1} , laArctan este C \{−i, i} ).
1.2.9 Functiile hiperbolice inverse
Arcsinh z = w⇔ z = sinhw
Arccosh z = w⇔ z = coshw
Arctanh z = w⇔ z = tanhw
Arccoth z = w⇔ z = cothw
sinhw = z ⇔ ew − e−w
2= z
notamew = t- 17-
t− 1t= 2z
t2 − 2zt− 1 = 0
t = z +√z2 + 1 = z +
√1 + z2
deci:ew = z +
√1 + z2
w = Ln³z +√1 + z2
´w = Arcsinh z = Ln
³z +√1 + z2
´Analog:
Arccosh z = Ln³z +
p−1 + z2
´Arctanh z = Ln
µ1 + z
1− z
¶Arccoth z = Ln
µz + 1
z − 1¶
Remarca 1.2.8 Se mai folosesc si notatiile Argsh, Argch, Argth, Argcth în loc deArcsinh,Arccosh,Arctanh, respectivArccoth si în acest caz se citesc "argument sinushiperbolic",....
- 18-
Remarca 1.2.9 Domeniul de definitie al functiilor hiperbolice inverse este format dinC mai putin punctele în care se anuleaza sau devine infinita expresia de sub radicalsau de sub logaritm (de exemplul la Arcsinh domeniul de definitie este C \{−i, i} , laArctanh este C \{−1, 1} ).
1.3 Continuitatea si derivabilitatea functiilor complexe de ovariabila complexaIn cele ce urmeaza vom considera functii f : D → C , unde D este un domeniu dinC. Putem interpreta geometric o functie de acest fel ca o corespundenta între punctelea doua plane. Mai exact, daca notam z = x + iy si f (z) = u + iv = w atunci fstabileste o corespodenta între punctele planelor (xOiy) si (uOiv) :
z=x+iyw=u+iv
f
O x
iy
O u
iv
D
Remarca 1.3.1 A defini o functie complexa de o variabila complexa f : D → C este- 19-
echivalent cu a defini doua functii reale de doua variabile reale, u, v : D→ R2, legatede f prin:
f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y)(1.3.1)
1.3.1 Continuitate
Definitia 1.3.1 Functia f este continua în punctul a ∈ D daca si numai daca pentruorice sir (zn)n∈N care are limita a sirul valorilor functiei (f (zn))n∈N are limita f (a) .
"Grafic" functia f este continua în punctul z ∈ D daca si numai daca pentru oricedisc cu centrul în w = u + iv = f (z) exista un disc cu centrul în z astfel incât oricepunct din discul cu centrul în z este "dus" de functia f într-un punct din discul cucentrul în w :
z=x+iyw=u+iv
f
O x
iy
O u
iv
D
Se poate demonstra ca toate functiile elementare sunt continue pe domeniul lor- 20-
de definitie. De asemenea sunt valabile teoremele referitoare la operatii cu functiicontinue si compuneri de functii continue cunoscute de la studiul functiilor reale.
Legatura dintre continuitatea functiei f si functiile u, v definite de (1.3.1) este datade:
Teorema 1.3.1 Functia f este continua în punctul a = α + iβ daca si numai dacafunctiile u, v sunt continue în (α, β) .
1.3.2 Derivabilitate
Fie f : D→ C , z ∈ D. Definitia derivatei functiei f în z este ca pentru functii reale:
Definitia 1.3.2 f este derivabila (monogena) în z daca exista limita finita:
lim∆z→0
f (z +∆z)− f (z)
∆z= f 0 (z) .(1.3.2)
Definitia 1.3.3 Functia f : D → C este olomorfa pe multimea D daca este deriv-abila în fiecare punct din D.
Interpretarea geometrica a derivatei: Fie o curba γ din domeniul D, care treceprin punctul z, punctul z + ∆z punct pe γ care tinde catre z, iar Γ curba care seobtine din γ prin f în planul (uOiv) , w = f (z) punctul corespunzator lui z pe Γ, iarf 0 (z) 6= 0. Notând cu ds elementul de arc pe curba γ calculat în z, cu dS elementul de
- 21-
arc la Γ în w, cu α unghiul facut de tangenta la γ în z cu axa Ox, cu β unghiul facut detangenta la Γ în w cu Ou avem (formule care rezulta din scrierea câtului din membrulstâng sub forma trigonometrica si trecerea la limita, calcul care nu mai îl reproducemaici):
dSds = |f 0 (z)|
β − α = arg (f 0 (z))(1.3.3)
z=x+iyw=u+iv
f
O x
iy
O u
iv
D
g
G
��
Formulele (1.3.3) transpuse în cuvinte arata ca |f 0 (z)| reprezinta coeficientul de "alun-gire" a curbei γ iar arg (f 0 (z)) reprezinta unghiul cu care se roteste γ prin transfor-marea definita de functia f.(totul local, în z, si nedepinzând de curba γ )
Legatura dintre derivata functiei f si derivatele partiale ale functiilor u, v este datade:
Teorema 1.3.2 f este momogena în punctul z = x + iy daca si numai daca functiileu, v sunt diferentiabile în (x, y) si derivatele lor partiale verifica conditiile Cauchy-
- 22-
Rieman: ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∂u
∂x(x, y) =
∂v
∂y(x, y)
∂v
∂x(x, y) = −∂u
∂y(x, y)
. (C-R)
Demonstratie: Demonstram doar o parte din teorema, si anume ca daca f estemonogena în punctul z = x + iy atunci u, v au derivate partiale si sunt verificateconditiile (C-R). Pentru aceasta consideram ca ∆z = ∆x + i0 si din (1.3.2) rezulta:
f 0 (z) = lim∆x→0
f (x + iy +∆x)− f (x + iy)
∆x=
= lim∆x→0
u (x +∆x, y)− u (x, y)
∆x+ i lim
∆x→0v (x +∆x, y)− v (x, y)
∆x=
=∂u
∂x(x, y) + i
∂v
∂x(x, y)
analog, daca ∆z = 0 + i∆y :
f 0 (z) = lim∆y→0
f (x + iy + i∆y)− f (x + iy)
i∆y=
= lim∆y→0
u (x, y +∆y)− u (x, y)
i∆y+ lim
∆x→0v (x, y +∆y)− v (x, y)
∆y=
= −i∂u∂y(x, y) +
∂v
∂y(x, y)
- 23-
Egalând partile reale si imaginare din ultimele doua expresii ale lui f 0 (z) rezultaconditiile Cauchy-Riemann.
Remarca 1.3.2 Din demonstratia de mai sus rezulta si formule de calcul pentru derivataunei functii complexe folosind derivatele partiale ale functiilor u, v :
f 0 (z) =∂u
∂x(x, y) + i
∂v
∂x(x, y) =
∂v
∂y(x, y)− i
∂u
∂y(x, y) .
De exemplu pentru f (z) = ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y) avem u (x, y) = ex cos y,v (x, y) = ex sin y, conditiile Cauchy-Riemann sunt verificate:
∂u
∂x(x, y) =
∂v
∂y= ex cos y
∂v
∂x(x, y) = −∂u
∂y(x, y) = ex sin y
si decif 0 (z) = ex cos y + iex sin y = ez.
Remarca 1.3.3 Se demonstreaza ca toate formulele de derivare valabile pentru functiireale de variabila reala sunt adevarate si pentru functii complexe de o variabila com-plexa.
Corolarul 1.3.1 Daca functia f : D → C este olomorfa pe D si functiile u, v au- 24-
derivate partiale de ordin 2 continue pe D atunci functiile u, v verifica ecuatia luiLaplace:
∂2u
∂x2+∂2u
∂y2= 0
∂2v
∂x2+∂2v
∂y2= 0.
Corolarul 1.3.2 Daca f : D → C este olomorfa pe domeniul D simplu conex atuncidaca se cunoaste functia u (v ) functia v (u )este unic determinata abstractie facândde o constanta reala.
Demonstratie: Din conditiile Cauchy-Riemann rezulta:
dv =∂v
∂xdx +
∂v
∂ydy =
= −∂u∂y
dx +∂u
∂xdy
si deci:
v (x, y)− v (x0, y0) =
Z x
x0
−∂u∂y(t, y) dt +
Z y
y0
∂u
∂x(x0, t) dt.
Exemplul 1.3.1 Sa se det. functia olomorfa f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y)stiind ca u (x, y) = x
x2+y2. - 25-
∂u
∂x=x2 + y2 − 2x2(x2 + y2)2
,∂u
∂y= − 2y
(x2 + y2)2
atunci:
v (x, y)− v (x0, y0) =
Z x
x0
2t
(x2 + t2)2dt +
Z y
y0
t2 − x20
(x20 + t2)2dt =
= ... = − y
x2 + y2+
y0x20 + y20
adica v(x, y) = − yx2+y2 + c deci f (z) = f (x + iy) = x
x2+y2 − i yx2+y2 + ci = z
zz + ci =1z + ci.
Remarca 1.3.4 în formulele obtinute mai sus se tine cont de :
x =z + z
2, y =
z − z
2i
1.4 Integrarea functiilor complexa de o variabila complexaFie f : D→ C , γ o curba neteda, orientata, inclusa în D.
�
- 26-
Definitia 1.4.1 Se numeste integrala functiei f de curba γ numarul complex notat cuRγ f (z) dz definit de :Z
γ
f (z) dzdef=
Zγ
u (x, y) dx− v (x, y) dy + i
Zγ
v (x, y) dx + u (x, y) dy(1.4.1)
unde integralele din partea dreapta a egalitatii sunt integrale curbilinii reale de spetaa doua.
Exemplul 1.4.1I
C(a,R)
dzz−a = 2πi.
Teorema 1.4.1 (Cauchy) Daca f este o functie olomorfa pe domeniul D ⊂ C , siγ ⊂ D este o curba închisa atunci are loc egalitatea:I
γ
f (z) dz = 0.
Demonstratie: Se bazeaza pe conditiile Cauchy-Rieman (C-R) si formula luiGreen.1.4.1 Formulele lui Cauchy
Teorema 1.4.2 Daca f este o functie olomorfa pe domeniul D ⊂ C , a ∈ D si- 27-
C (a, r) ⊂ D are loc egalitatea:
f (a) =1
2πi
IC(a,r)
f (z)
z − adz.(1.4.2)
Remarca 1.4.1 Formula 1.4.2 este cunoscuta sub numele de formula lui Cauchy pen-tru functii olomorfe.
Demonstratie. Fie figura urmatoare ??:
a
r
z
D
Figura urmatoareAre loc urmatoare egalitate (pentru orice r astfel încât C (a, r) ⊂ D ):I
C(a,r)
f (z)
z − adz. =
IC(a,r)
f (z)− f (a)
z − adz +
IC(a,r)
f (a)
z − adz..(1.4.3)
- 28-
Dar: IC(a,r)
f (a)
z − adz = f (a)
IC(a,r)
1
z − adz = 2πif (a)(1.4.4)
iar f fiind olomorfa în punctul a pentru orice ε > 0 exista un R astfel încât daca r < R¯f (z)− f (a)
z − a− f 0 (a)
¯< ε
de unde rezulta ca pentru r < R¯f (z)− f (a)
z − a
¯< |f 0 (a)| + ε(1.4.5)
si deci: ¯¯ IC(a,r)
f (z)− f (a)
z − adz
¯¯ < (|f 0 (a)| + ε) 2πr(1.4.6)
Facând în 1.4.6 pe r→ 0 obtinem ca:
limr→0
IC(a,r)
f (z)− f (a)
z − adz = 0(1.4.7)
Dar, din proprietatile integralelor functiilor olomorfe integrala din partea stânga a egal-
- 29-
itatii 1.4.7 nu depinde de r deci:IC(a,r)
f (z)− f (a)
z − adz = 0(1.4.8)
Înlocuind 1.4.8 si 1.4.4 în 1.4.3 rezulta formula lui Cauchy 1.4.2.
Teorema 1.4.3 Daca f este o functie olomorfa pe domeniul D ⊂ C , a ∈ D siC (a, r) ⊂ D atunci f are derivate de orice ordin în a si au loc egalitatile:
f (n) (a) =n!
2πi
IC(a,r)
f (z)
(z − a)n+1dz.(1.4.9)
Remarca 1.4.2 Formulele 1.4.9 sunt formulele lui Cauchy pentru derivatele unei functiiolomorfe si se obtin derivând formal integrala din membrul drept al egalitatii 1.4.2 înraport cu parametrul a . Demonstratia teoremei de mai sus consta în a arata ca aceastaoperatie de derivare sub semnul integrala este permisa, folosind inductia în raport cun. ∗ ∗ ∗ ∗
1.4.2 Serii Taylor
În cele ce urmeaza vom stabili legatura dintre functiile olomorfe si seriile de puteri.Amintim (vezi cursul de analiza) ca o serie de puteri se defineste astfel:
- 30-
Definitia 1.4.2 Se numeste serie de puteri în jurul punctului a seria:
S (z) =∞Xn=0
an (z − a)n .(1.4.10)
unde an se numesc coeficientii seriei ( an ∈ C ).
În legatura cu seriile de puteri amintim teorema lui Abel:
Teorema 1.4.4 Exista un numar R (numit raza de convergenta a seriei 1.4.10 ) ast-fel încât seria 1.4.10 este convergenta pentru orice z ∈ C care verifica inegali-tatea |z − a| < R si este divergenta pentru orice z ∈ C care verifica inegalitatea|z − a| > R.
Remarca 1.4.3 Numarul R se poate calcula folosind formula Cauchy-Hadamard:
R =1
lim supn→∞
np|an|.(1.4.11)
Remarca 1.4.4 Daca exista limita limn→∞
|an||an+1| = l, atunci R = l.- 31-
Operatiile cu serii de puteri (suma, produsul) sunt ca la analiza reala, adica daca:
S1(z) =∞Xn=0
bn (z − a)n ,
atunci:
S(z) + S1(z) =∞Xn=0
(an + bn) (z − a)n ,
S (z) · S1 (z) =∞Xn=0
cn (z − a)n , unde cn =nX
k=0
akbn−k.
De asemenea (admitem fara demonstratie) este adevarata urmatoarea teorema:
Teorema 1.4.5 Suma seriei de puteri S (z) din 1.4.10 este o functie olomorfa în in-teriorul cerclui C (a,R) si derivata ei se obtine derivând seria din dreapta termen cutermen, adica:
S0 (z) =∞Xn=1
nan (z − a)n−1 =∞Xn=0
(n+ 1) an+1 (z − a) ,n(1.4.12)
si în plus S (z) se poate integra termen cu termen, adica:Z z
z0
S (u) du =∞Xn=0
ann+ 1
¡(z − a)n+1 − (z0 − a)n+1
¢.(1.4.13)
(integrala fiind considerata pe o curba arbitrara cu originea z0 si extremitatea z, in-- 32-
clusa in interiorul cercului C (a,R) . )
Legatura dintre functiile olomorfe si seriile de puteri de tip 1.4.10 este data de:
Teorema 4.1 Daca f : D → C este o functie olomorfa pe domeniul conex D atuncipentru orice punct a ∈ D exista un R > 0 astfel încât pentru orice z cu proprietatea|z − a| < R este adevarata egalitatea:
f (z) =∞Xn=0
(z − a)nf (n) (a)
n!.(1.4.14)
Demonstratie. Ideea demonstratiei este folosirea formulei lui Cauchy si a dez-voltarii în serie a progresiei geometrice.
D
a
z
u
r
r
Figura de mai sus- 33-
Fie a ∈ D, discul D (a, r) ⊂ D si un punct z ∈ D (a, r) (vezi figura de mai sus).Conform formulei lui Cauchy:
f (z) =1
2πj
IC(a,r)
f (u)
u− zdu.(1.4.15)
Dar:1
u− z=
1
(u− a)− (z − a)=
1
u− a· 1
1− z−au−a
=(1.4.16)
=1
u− a·Ã
NXn=0
µz − a
u− a
¶n
+
¡z−au−a¢N+1
1− z−au−a
!.
Ultima egalitate din egalitatile 1.4.16 rezulta din identitatea: 11−q =
PNn=0 q
n + qN+1
1−qpentru q = z−a
u−a. Înlocuind 1.4.16 în 1.4.15 rezulta:
f (z) = 12πj
IC(a,r)
f (u)
(u− a)·∞Xn=0
µz − a
u− a
¶n
du =
=NXn=0
⎛⎜⎝ 1
2πj
IC(a,r)
f (u) du
(u− a)n+1
⎞⎟⎠ (z − a)n +RN(z),
(1.4.17)
- 34-
unde:
RN(z) =1
2πj
IC(a,r)
1
u− a.
¡z−au−a¢N+1
1− z−au−a
f (u) du(1.4.18)
Conform formulelor lui Cauchy pentru derivate, 12πj
HC(a,r)
f(u) du
(u−a)n+1 =f (n)(a)n! , ceea ce
înlocuit în 1.4.17 ne conduce la:
f (z) =NXn=0
f (n) (a)
n!(z − a)n +RN(z)
Daca în formula de mai sus facem ca N sa tinda la infinit si aratam ca:limn→∞RN(z) = 0(1.4.19)
va rezulta egalitatea 1.4.14. Pentru a demonstra 1.4.19 vom majora integrala din 1.4.18.
- 35-
Notând M = maxu∈C(a,r) |f (u)| tinând cont ca¯H
γ g (u) du¯≤ Hγ |g (u)| ds avem:
|RN (z)| ≤ 1
2π
IC(a,r)
¯¯ 1
u− a.
¡z−au−a¢N+1
1− z−au−a
f (u)
¯¯ ds ≤
≤ 1
2π
IC(a,r)
¯¯¡z−au−a¢N+1
u− z
¯¯M ds ≤ 1
2π
IC(a,r)
¡ρr
¢N+1r − ρ
M ds =
=1
2π
¡ρr
¢N+1r − ρ
M (2πr) =Mr
r − ρ
³ρr
´N+1(pentru inegalitatea |u− z| > r − ρ vezi figura de mai sus) Deoarece ρ
r < 1 rezultalimN→∞
¡ρr
¢N+1= 0 si deci 1.4.19 este adevarata. Sa remarcam ca dezvoltarea 1.4.14
este valabila în cercul de centru a si raza R egala cu distanta de la punctul a la frontieradomeniului D
Remarca 1.4.5 Pentru determinarea razei de convergenta a seriei de puteri a uneifunctii olomorfe nu e necesar sa aplicam formula lui Hadamard 1.4.11, ci putem saaplicam regula: raza de convergenta este egala cu distanta de la punctul a lacel mai apropiat punct în care functia olomorfa nu este definita.
- 36-
Exemplul 1.4.2 Dezvoltarea în serie Taylor în jurul originii a functiei exponentiale:
ez =∞Xn=0
zn
n!, |z| <∞. (exp)
Exemplul 1.4.3 Dezvoltarea în serie Taylor în jurul originii a functiei putere (1 + z)α
(seria binomiala):
(1 + z)α = 1 +∞Xn=1
α (α− 1) · · · (α− n + 1)
n!zn, |z| < 1. (binomiala)
Remarca 1.4.6 Exemplele precedente sunt cele mai utile, deoarece majoritatea dez-voltarilor în serie în jurul originii se reduc la acestea, folosind si teorema 1.4.5.
Remarca 1.4.7 Egalitatea 1.4.14 poarta numele de dezvoltarea functiei f în serie Tay-lor în jurul punctului a. Pentru cazul a = 0 aceasta egalitate se numeste dezvoltareaîn serie MacLaurin.
Din consecintele dezvoltarii serie Taylor a unei functii olomorfe amintim (farademonstratie) urmatoarele doua rezultate:
Corolarul 1.4.1 (Teorema lui Liouville) Daca f : C → C este o functie olomorfa si- 37-
exista un numar k ∈ N astfel încât limz→∞f(z)zk+1 = 0 atunci f este este un polinom de
grad cel mult k .
Corolarul 1.4.2 (Teorema fundamentala a algebrei D’Alembert-Gauss) Orice poli-nom de grad mai mare sau egal cu unu are cel putin o radacina complexa.
1.4.3 Serii Laurent
Fie acum f : D → C o functie olomorfa pe domeniul D multiplu conex, astfel încâtcoroana circulara
{z ∈ C |r < |z − a| < R}(1.4.20)este inclusa D (vezi figura de mai jos).
D
a
z
u
R
rr
Figura de mai josAtunci este adevarata urmatoarea teorema:
- 38-
Teorema 1.4.6 Pentru orice punct z ∈ {z ∈ C |r < |z − a| < R} avem egalitatea:
f (z) =n=∞Xn=−∞
cn (z − a)n .(1.4.21)
Demonstratie. Demonstratia formulei de mai sus nu o facem, ideea ei fiind apli-carea formulei lui Cauchy pentru domeniu multiplu conex care în acest caz devine:
f (z) =1
2πj
IC(a,R)
f (u)
u− zdu− 1
2πj
IC(a,r)
f (u)
u− zdu
si la fiecare din cele doua integrale (luate sens trigonometric) se aplica un rationamentanalog celui din demonstratia teoremei 4.1, obtinându-se coeficientii cn astfel: pentrun ≥ 0, cn =
12πi
HC(a,R)
f(u)
(u−a)n+1du iar pentru n < 0 cn =12πi
HC(a,r)
f(u)
(u−a)n+1du. Sa
remarcam ca coeficienti cn pentru n ≥ 0 nu sunt egali cu f (n)(a)n! deoarece s-ar putea ca
functia f sa nu fie definita punctul a.
Remarca 1.4.8 Formula 1.4.21 poarta numele de dezvoltarea functiei f în serie Lau-rent în coroana circulara 1.4.20, seria Laurent fiind membrul drept al egalitatii 1.4.21..
Remarca 1.4.9 Daca r = 0 (adica functia f este olomorfa în interiorul cerculuiC (a,R) , mai putin în punctul a atunci formula 1.4.21 poarta numele de dezvoltareafunctiei f în serie Laurent în jurul punctului a.
- 39-
Exemplul 1.4.4 f (z) = 1z−1 este serie Laurent în jurul punctului a = 1.
Remarca 1.4.10 Într-o serie Laurent partea din suma care corespunde la indici poz-itivi se numeste partea Tayloriana, iar cea care corespunde la indici strict negativi senumeste partea principala a seriei Laurent (adica partea principala este
P−1n=−∞ cn (z − a)n =P∞
k=1c−k
(z−a)k )
Pentru bibliografie recomandam [1],[2].
Bibliografie[1] Borislav Crstici and All. Matematici Speciale. Editura Didactica si Pedagogica,
Bucuresti, 1981.[2] Caius (Acad.) Iacob, Dorel Homencovschi, Nicolae Marcov, and Alexandru Nico-
lau. Matematici Clasice Si Moderne, volume II. Editura Tehnica Bucuresti, 1983.
