10._Spatii_euclidiene

Spaţii euclidiene

4) Fie un spaţiu euclidian; să se arate că vectorii şi sunt liniar dependenţi dacă şi numai dacă este satisfăcută relaţia .

Solutie. a) Daca x si y sunt liniar dependenti atunci a.i. y=ax si deci

5) Fie un spaţiu euclidian; să se arate că :

a) singurul vector pe vector din este vectorul nul;

b) dacă atunci .

Solutia. a) Fie vectorul a pe X; in particular a este pe a, deci =0 si deci a este vectorul nul.

b) Din relatia =0; deci vectorul a-b este pe X si conform punctului a) ca a-b=0, adica a=b.

6) Să se arate că dacă vectorii sunt perpendiculari doi câte doi atunci şi vectorii , au aceeaşi proprietate.

Solutie. Are loc relatia deci daca atunci si .

7) Să se ortogonalizeze vectorii .

Solutie. Vectorii sunt liniari independenti. Construim vectorii astfel:

Din conditia rezulta ca:

si deci . Din conditiile rezulta ca:

si deci .

8)Să se verifice că , unde şi şi să se completeze , până la o bază ortogonală în .

Solutie. Avem

Fie ; din conditiile rezulta sistemul:

care are solutiile R; luand c=d=l obtinem .

Fie ;din conditiile de ortogonalitate rezulta sistemul:

inlocuind in a treia ecuatie solutia sistemului format din primele doua ecuatii obtinem:

Page 1 of 6806SpEuclid.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/06SpEuclid/06SpEuclid.htm

si deci solutiile sistemului vor fi: (2c,0,c,-c); luand c=1 obtinem

Baza obtinuta este deci:(1,-2,-1,3), (2,1,-3,1), (0,2,1,1), (2,0,1,-1).

9)Să se determine o bază ortonormată în spaţiul generat de vectorii , , , în .

Solutie. Vectorii sunt liniari dependenti dar, de exemplu sunt liniar independenti si vor forma o baza a spatiului considerat.Construim vectorii astfel:


si deci Din conditiile rezulta ca:

si deci

Vectorii formeaza o baza ortogonala a spatiului considerat iar vectorii:

formeaza o baza ortonormata a aceluiasi spatiu.

10) Sa se arate ca intr-o baza ortonormata , coordonatele unui vector x se pot calcula dupa formula

Solutie. Fie coordonatele lui x in baza , deci . Calculam produsul :

deoarece baza este ortogonala singurul termen nenul este si deci:

ultima relatie rezultand din faptul ca vectorii bazei au norma egala cu unu.

11) Să se determine o bază a complementului ortogonal al lui în , unde este spaţiu generat de vectorii , , .

Solutie. Vectorii formeaza o baza in .

Vectorul este perpendicular pe daca si numai daca ;obtinem sistemul:



a+3b+2d=0

2a+4b-c=0

care are solutiile R.

Luand si respectiv , obtinem o baza in .

12) În spaţiul cu produsul scalar: , unde , , să se determine complementul ortogonal al subspaţiului .

Solutie. Vectorii formeaza o baza in X. Vectorul P este perpendicular pe X daca si numai daca . Daca , obtinem sistemul:

care are solutiile R si deci .

13) Fie un spaţiu euclidian de dimensiune şi un subspaţiu al său; să se arate că unde este complementul ortogonal al lui .

Solutie. Fie o baza ortonormata in ; completam aceasta baza pana la o baza ortonormata in X: facand parte dintr-o baza sunt , evident , liniar independenti.

Vectorii ; constitue un sistem de generatori pentru : fie x din si coordonatele lui x in baza ; conform problemei 10 avem deoarece x este perpendicular pe ,pentru avem si deci . Din cele aratate mai sus rezulta

ca si aceasta este o suma directa deoarece:

.

14) Fie o bază ortonormată a spaţiului euclidian ; să se determine expresia produsului scalar a doi vectori arbitrari şi în funcţie de coordonatele lor în baza:

a) , , ;

b)

Solutie. Fie coordonatele lui x respectiv y in baza ; deoarece aceasta baza e ortonormata avem:

Metoda 1. a) Coordonatele lui x respectiv y in noua baza sunt:

si deci:

.

b)Coordonatele vectorilor x si y in noua baza sunt:

si analog:

prin urmare avem:

.



Metoda 2. Matricea functionalei biliniare in baza este matricea unitate ; schimband baza matricea ei devine unde C este matricea de trecere.

a) Matricea C este:

si deci:

iar .

b) Matricea de trecere fiind :

avem:

si deci :

.

15). Fie o bază a spaţiului vectorial .Să se arate că se poate defini un produs scalar pe astfel încât vectorii să formeze o bază ortonormată a spaţiului euclidian obţinut.

Solutie. Definim functia astfel unde sunt coordonatele lui x, respectiv y, in baza . Functia este evident un produs scalar pe X si este o baza ortonormata a lui X.

16). Fie spaţiul generat de vectorii în . Să se determine proiecţia vectorului pe şi distanţa de la la .

Solutie. Vectorii formeaza o baza in si in plus .Proiectia lui x pe este un vector din cu proprietatea ca e perpendicular pe . fiind din numerele reale si astfel incat . Vectorul este perpendicular pe daca si numai daca

adica:

si deci:



Prin urmare vom avea: si deoarece pentru este nenul operatorul U-iE este inversabil. Matricea operatorului va fi diagonala si elementele diagonalei sunt:

.

Matricea operatorului va fi diagonala cu elementele:

Calculam modulul lui :

Conform problemei 3 operatorul considerat este ortogonal.

2) Să se arate că funcţia , , unde continuă , este un produs scalar.

Soluţie. Funcţia este evident o funcţională biliniară simetrică, deoarece: pentru ; rezultă că

este un produs scalar.

3) Să se arate că funcţia , , , unde , ce satisface condiţiile:

a) , ,

b) ,

defineşte un produs scalar pe .

Soluţie. Functia este o functionala biliniara ; conditia a) implica simetria acestei functionale. consideram:

daca utilizand b) obtinem : ( )

( ) ;

folosind relatia , adevarata pentru a,b din , obtinem :

2 ( ) ;

prin urmare daca atunci 0 iar pentru x=0 =0 .

1. Utilizand metoda transformarilor ortogonale sa se aduca la forma canonica urmatoarele functionale patratice,precizandu-se si baza in care este scisa forma canonica.

a)

b)

Rezolvare:

a)Scriem matricea functionalei patratice

A=

şi rezolvam ecuatia caracteristica



det

Valorile proprii sunt

Daca din sistemul

determinam vectorul propriu normat

Pentru din sistemul

obtinem vectorul propriu normat

Pentru ,din sistemul


Cu transformarea ortogonala

functionala patraticaV este adusa la forma canonica

unde si .

b)Matricea asociata functionalei patratice este

Ecuatia caracteristica este

Radacinile sale sunt .

Daca ,din sistemul




Pentru se obtine sistemul

Solutia generala a acestui sistem este de forma unde si .

Deoarece vectorii si sunt ortogonali,vom proceda astfel

si cautam un vector propriu normat si ortogonal pe .

Deoarece este de forma si

din conditia de ortogonalitate se obtine si deci .

Astfel,vectorii formeaza o baza ortogonala si aplicand transformarea ortogonala

functionala patratica are forma canonica

unde si .

2.Sa se aduca la forma ccnonica functionala patratica

Rezolvare:

Matricea asociata fnctionalei patratice este

.

Vom aplica metoda transformarilor ortogonale.Mai intai rezolvam ecuatia caracteristica



Valorile propri sunt si deci forma canonica a lui V este

.

3.Pe se considera aplicatia definita prin: .

Sa se demonstreze ca aceasta aplicatie este un produs scalar real pe

Rezolvare:

Fie Atunci

deci

.

Fie , , , .

Atunci,

.

Fie , , .Atunci,

.

In concluzie,aplicatia data este un produs scalar pe

4.Pentru ce valori ale lui functionalele biliniare de mai jos definite pe ,definesc un produs scalar?

a)

b)

c)

Rezolvare:

unde



Pentru ca functionala patratica sa fie pozitiv definita trebuie ca toti coeficientii patratelor noilor coordonate,sa fie strict pozitivi.Asadar impunem conditia ca

b) nu este produs scalar pentru nici o valoare a lui .Se observa cu usurinta ca nu este verificata axioma privind simetria.

c)Coeficientul lui din este negativ,deci nu este pozitiv definita pentru nici o valoare a lui .

5.Se considera spatiul vectorial .Sa se arate ca aplicatia

definita prin

este un produs scalar.

Rezolvare:

Fie , .Atunci,

si

de unde rezulta ca .

Fie .Atunci

.

Fie si .Atunci,

Fie , .Atunci,

Deci functionala este biliniara,simetrica,pozitiv definita si in consecinta ,este un produs scalar pe .

6.Se considera spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult 2 cu coeficienti numere reale.Sa se arate ca aplicatia definita prin unde

si ,este un produs scalar.

Rezolvare:

Fie .Atunci

deci

Fie ,



Atunci,

Atunci,

Fie , , .Atunci

Asadar, functionala data este biliniara,simetrica,pozitiv definita si deci defineste un produs scalar pe .

7.Sa se arate ca spatiul vectorial real este un spatiu euclidian in raport cu aplicatia definita prin

Rezolvare:

Problema revine la a arata ca aplicatia data este un produs scalar. Observam-continuitatea functiilor asigura existenta integralei.

Fie , .Atunci

Fie .Atunci

Fie si .Atunci,

Fie continua si nenula.Atunci exista astfel incat sau .

Din continuitatea functiei rezulta ca exista un interval deschis asfel incat si ,

Fie , si

Rezulta ca

A xiomele produsului scalar fiind verificate,deducem ca este un spaţiu euclidian in raport cu acest produs scalar.

8. Fie spatiul vectorial al polinoamelor cu coeficienti numere reale.Sa se arate ca apilcatia

definita prin unde si sunt functiile polinomiale asociate lui ,respectiv este un produs scalar.

Rezolvare:

Se verifica simetria si biliniaritatea.Fie .Atunci



Fie .Atunci

Fie si .Atunci

Pe de alta parte,daca ,atunci

Presupunem ca ;deoarece si ,obtinem ca .Asadar, este un polinom avand o infinitate de radacini si in

consecinta,in mad necesar, .Deci este un produs scalar.

9.Se considera spatiul vectorial .Sa sa arate ca aplicatia definita prin

(Tr(M) este suma elementelor de pe diagonala principala a matricei M) este un produs scalar.

Rezolvare:

Fie .Atunci si

deci .Deci aplicatia data este simetrica.Din acest motiv,pentru a arata biliniaritatea,este sficient sa aratamliniaritatea aplicatiei in primul argument.

Fie .Atunci,

Fie si .Atunci,

Fie .Atunci

Aplicatia data este biliniar,simetrica,pozitiv definita si deci defineste un produs scalar pe

10.Fie un spatiu vectorial real si o baza a sa.In ce conditii aplicatia

unde si ( si constante reale)defineste un produs scalar pe ?

Rezolvare:

Aplicatia trebuie sa fie simetrica,adica

Fie .Atunci si

Pentru a avea egalitate,trebuie ca

Pe de alta parte,daca , arbitrar,atunci

va fi strict pozitiv daca si numai daca .In concluzie,trebuie sa alegem si

11.Fie si doua spatii euclidiene reale inzestrate,respectiv,cu produsele scalare si .Aratati ca

defineste un produs scalar pe

Rezolvare:

Aratam mai intai simetria:

Fie si .Atunci

deci deci simetria este verificata.

Fie si si



Deci este o funcionala biliniara simetrica pe In plus,

si totul este verificat.

12.a)Sa sa arate ca

unde , defineste un produs scalar pe Determinati in raport cu acest produs scalar:

b) unde

c) unde si

Rezolvare:

a)Fie , si .Atunci,

si

indica simetria aplicatiei

Fie , , si si .Atunci

si

Fie , , .Atunci

Deci defineste un produs scalar pe

b)Daca ,atunci si deci

c)Se stie ca,prin definitie, .Daca si ,atunci

Deci

13.Sa se determine unghiul dintre vectorii si ai bazei canonice din , fiind inzestrat cu produsul scalar de la problema 5.

Rezolvare:

Se stie ca .Produsul scalar ,era definit prin:



Pentru si ,obtinem: , si

Deci

14.Se considera spatiul vectorial real pe care se defineste produsul scalar

.Sa se calculeze unghiul dintre si

Rezolvare:

Se stie ca Aplicand formula de integrare prin parti,obtinem:

si

Rezulta ca

15.Fie spatiu euclidian real.Sa se arate ca o norma asociata unui produs scalar pe satisface relatia

Rezolvare:

Fie .Atunci

ceea ce trebuia demonstrat.

2) Sa se arate ca functia , unde , este un produs scalar.

Solutie.

Functia este evident o functionara biliara simetrica , deoarece : pentru rezulta ca este un produs scalar.

3) Sa se arate ca functia , unde x = ( ) , y = ( ) ce satisface conditiile :

defineste un produs scalar pe

Solutie.

Functia este o functionala biliniara ; conditia a) implica simetria acestei functionale . consideram:

daca utilizand b) obtinem : ( ) ; folosind relatia ,

adevarata pentru a,b din , obtinem : prin urmare daca atunci

0 iar pentru x=0 =0 .

4) Fie (X,R) un spatiu euclidian; sa se arate ca vectorii x si y sunt liniar dependenti daca si numai daca este satisfacut relatia .

Solutie. a) Daca x si y sunt liniar dependenti atunci a.i. y=ax si deci

5) Fie (X,R) un spatiu euclidian; sa se arate ca : a) singurul vector pe vector din X este vectorul nul ; b) daca pentru x din X atunci a=b.

Solutia. a) Fie vectorul a pe X; in particular a este pe a, deci =0 si deci a este vectorul nul. b) Din relatia =0; deci vectorul a-b este pe X si conform punctului a) ca a-b=0, adica a=b.

6) Sa se arate ca daca vectorii sunt perpendiculari doi cate doi atunci si vectorii pentru din R. i=1,...,n au aceeasi proprietate.

Solutie. Are loc relatia deci daca atunci si .



7) Sa se ortagonalizeze vectorii .

Solutie. Vectorii sunt liniari independenti. Construim vectorii astfel: Din conditia rezulta ca:

si deci . Din conditiile rezulta ca: si deci

.

8)Sa se verifice ca , unde si si sa se completeze pana la o baza ortogonala in .

Solutie. Avem Fie ; din conditiile rezulta sistemul:care are solutiile R; luand c=d=l obtinem .Fie ;din conditiile de

ortogonalitate rezulta sistemul: inlocuind in a treia ecuatie solutia sistemului format din primele doua ecuatii obtinem: si deci solutiile sistemului vor fi: (2c,0,c,-c); luand c=1 obtinem Baza obtinuta este deci:(1,-2,-1,3), (2,1,-3,1), (0,2,1,1), (2,0,1,-1).

9)Sa se determine o baza ortonormata in spatiul generat de vectorii in .

Solutie. Vectorii sunt liniari dependenti dar, de exemplu sunt liniar independenti si vor forma o baza a spatiului considerat.Construim vectorii astfel: Din conditia rezulta ca: si deci

Din conditiile rezulta ca: si deci Vectorii formeaza

o baza ortogonala a spatiului considerat iar vectorii: formeaza o baza ortonormata a aceluiasi spatiu.

10) Sa se arate ca intr-o baza ortonormata , coordonatele unui vector x se pot calcula dupa formula

Solutie. Fie coordonatele lui x in baza , deci . Calculam produsul : deoarece baza este ortogonala singurul termen nenul este si deci:

ultima relatie rezultand din faptul ca vectorii bazei au norma egala cu unu.

11) Sa se determine o baza a complementului ortogonal al lui in , unde este spatiu generat de vectorii .

Solutie. Vectorii formeaza o baza in .Vectorul este perpendicular pe daca si numai daca ;obtinem sistemul:a+3b+2d=0 2a+4b-c=0care are solutiile R.Luand si respectiv , obtinem o baza in

.

12) In spatiul cu produsul scalar: , sa se determine complementul ortogonal al subspatiului .

Solutie. Vectorii formeaza o baza in X. Vectorul P este perpendicular pe X daca si numai daca . Daca , obtinem sistemul: care are solutiile

R si deci .

13) Fie un spatiu euclidian de dimensiune n si un subspatiu al sau; sa se arate ca unde este complementul ortogonal al lui .

Solutie. Fie o baza ortonormata in ; completam aceasta baza pana la o baza ortonormata in X: facand parte dintr-o baza sunt , evident , liniar independenti.Vectorii ; constitue un sistem de generatori pentru : fie x din si coordonatele lui x in baza

; conform problemei 10 avem deoarece x este perpendicular pe ,pentru avem si deci . Din cele aratate mai sus rezulta ca si aceasta este o suma directa deoarece:

.

14) Fie o baza ortonormata a spatiului euclidian (X,R); sa se determine expresia produsului scalar a doi vectori arbitrari x si y in functie de coordonatele lor in baza:a) ;b)

Solutie. Fie coordonatele lui x respectiv y in baza ; deoarece aceasta baza e ortonormata avem: Metoda 1. a) Coordonatele lui x respectiv y in noua baza sunt: si deci: .b)Coordonatele vectorilor x si y in noua baza sunt: si analog:

prin urmare avem: . Metoda 2. Matricea functionalei biliniare in baza este matricea unitate ; schimband baza matricea ei devine unde C este matricea de

trecere.a) Matricea C este: si deci: iar



. b) Matricea de trecere fiind : avem: si deci :

.

15). Fie e o baza a spatiului vectorial (X,R).Sa se arate ca se poate defini un produs scalar pe X astfel incat vectorii sa formeze o baza ortonormata a spatiului euclidian obtinut.

Solutie. Definim functia astfel unde sunt coordonatele lui x, respectiv y, in baza . Functia este evident un produs scalar pe X si este o baza ortonormata a lui X.

16). Fie spatiu generat de vectorii . Sa se determine proiectia vectorului x=(14,-3,-6,-7) pe si distanta de la x la .

Solutie. Vectorii formeaza o baza in si in plus .Proiectia lui x pe este un vector din cu proprietatea ca e perpendicular pe . fiind din numerele reale si astfel incat . Vectorul este perpendicular pe daca si numai daca

adica: si deci: Prin urmare vom avea: si deoarece pentru este nenul operatorul U-iE este

inversabil. Matricea operatorului va fi diagonala si elementele diagonalei sunt: .Matricea operatorului va fi

diagonala cu elementele: Calculam modulul lui : Conform problemei 3 operatorul considerat este ortogonal.

9. Sa se gaseasca cosinusul unghiului pe care il fac vectorii: x= (-1,0,1,1), y= (2,0,0,-1).

SOLUTIE: unde prin am notat produsul scalar al vectorilor x si y, iar prin am notat norma lui x.

10. Se dau vectorii . Sa se construiasca o baza ortonormala in

SOLUTIE: Luam , Calculam deci Obtinem

. Sa calculam pe

Atunci formeaza o baza ortonormala in

11. Sa se demonstreze inegalitatea lui Cauchy: .

SOLUTIE: ; unde este o baza ortonormala in . Atunci (x,y)= este un produs

scalar pe . Din inegalitatea lui Cauchy pentru produsele scalare obtinem afirmatia.

12. Sa se demonstreze inegalitatea lui Schwarz: unde f si g sunt functii continue pe .

SOLUTIE: Folosind produsul scalar

si inegalitatea Cauchy, obtinem automat afirmatia.

13. Daca este o baza oarecare in X si este baza obtinuta prin procedeul de ortogonalizare, atunci: oricare ar fi .

SOLUTIE: In adevar stim ca : deci . Notand cu avem . Din teorema lui Pitagora

deci

14. Fie: = determinantul Gram al unei baze oarecare din X. Atunci .

SOLUTIE: In adevar, daca produsul scalar a doi vectori din X este independent de baza aleasa, este o functie de vectori . Notam cu :



matricea determinantului . Folosind o schimbare de baze avem: = unde

Atunci = A = deci:

Cum in X exista baze ortonormate rezulta: si cum In particular , daca se va lua baza ortogonala si anume baza determinata prin formulele : atunci det A = 1, deoarece A este o matrice triunghiulara care are pe diagonala principala toate elementele

egale cu 1 si deci : .

15. Sa se demonstreze teorema generala a ortogonalizarii. Fie un sir de vectori ai unui spatiu euclidian (finit sau infinit). Notam prin = acoperirea liniara a primilor vectori ai acestui sistem. Atunci exista un sir de vectori avand urmatoarele proprietati:

1. Pentru orice k natural acoperirea liniara a vectorilor coincide cu .

2. Pentru orice k natural vectorul este ortogonal lui .

SOLUTIE: Punem . Evident . Demonstram teorema prin inductie. Presupunem ca vectorii sunt deja construiti si satisfac conditiile cerute si vom construi pe astfel incat el sa satisfaca de asemenea proprietatile cerute. Spatiul fiind finit dimensional, are loc descompunerea:

(1) unde iar este perpendicular pe . Iar . Verificam ca este vectorul cautat. Subspatiul cautat contine conform ipotezei de inductie si contine acesti vectori .

Din (1) obtinem ca contine deci contine deci intreaga acoperire liniara Dar si invers contine iar din (1) contine si , deci contine . Asadar si prima parte a teoremei de ortogonalitate este indeplinita. Indeplinirea celei de-a doua este evidenta conform consructiei lui Inductia este realizata si teorema este demonstrata.

Enunt:

Fie V un spatiu vectorial real si {e ,e ,e } o baza a sa. Aratati ca aplicatia unde defineste pe V o norma

asociata unui produs scalar.

Rezolvare:

Functionala patratica este pozitiv definita. Produsul scalar asociat este

unde . Astfel defineste o norma asociata unui produs scalar pe V.

Problema nr.15-pagina 294

Enunt:

Se considera spatiul vectorial M , ( ) al matricelor patratice cu n linii, n coloane si elemente numere reale.

a) Verificati ca aplicatia

A=(a ) defineste o norma pe M , ( ).

b) Aratati ca

c) Demonstrati ca aceasta norma nu poate fi asociata unui produs scalar.

Rezolvare:



a) Verificam ca . satisface proprietatile normei:

1) Fie A M , ( )

2) Fie si A M , ( ). Atunci A = ( a )= ( a )= ( a )= A

3) A,B M , ( ). Atunci

A B = ( a b ) ( a b )) ( a ) ( b )= A B

Din 1), 2) si 3) A defineste o norma pe M , ( )

b) AB A B

AB = ( c )= ( a b ) ( a b )= a ( b )) a B )= B a )= B A AB

A B

c) Observatie! O norma asociata unui produs scalar pe V satisface relatia: x y x y =2 [ x y ] ( )x,y V

Daca norma data ar fi asociata unui produs scalar atunci am avea:

ceea ce este fals.

Problema nr. 16-pagina 295

Enunt:

Fie V un spatiu euclidian real. Sa se arate ca vectorii x,y V sunt liniar dependenti daca si numai daca are loc relatia: <x,y> = x y .

Rezolvare:

" " x,y liniar dependenti .

"<=" Presupunem

Fie functia f: ,

(produs scalar real)

(cf. ipotezei)

x,y liniar dependenti

Problema nr.17-pagina 295

Enunt:

Fie V un spatiu euclidian real si . Aratati ca U este un operator liniar.

Rezolvare:

Cf. ipotezei avem: . Luand y= obtinem

Dar

(1) Acum fie x,y V si , . Avem



adica

In concluzie U este un operator liniar.

Problema nr. 18- pagina 296

Enunt:

Fie E un spatiu euclidian de dimensiune n si v ,v ,...,v vectori din E. Fie G matricea patratica cu ordinul n avand termenul general:

Sa se arate ca :

a) det G=0 sunt liniari independenti

b) det G>0 sunt liniari dependenti

Rezolvare:

Consideram functionala patratica asociata lui G

Fie o valoare proprie corespunzatoare lui G. Luam un vector propriu corespunzator valorii proprii .

Deci valorile proprii , i= ale lui G sunt pozitive sau nule (A).

a) v ,v ,...,v sunt liniari independenti .

b) v ,v ,...,v sunt liniari dependenti


Enunt:

Se considera spatiul vectorial ( , ). Sa se arate ca aplicatia definita prin:

si

este un produs scalar pe

Rezolvare:

Verificam axiomele produsului scalar:

1) Fie x,y,z . Atunci

2) Fie x,y si . Atunci

3) Fie x,y . Atunci

4) Fie x . Atunci



Din 1), 2), 3) si 4) Aplicatia este un produs scalar pe .

Problema nr. 20-pagina298

Enunt:

Sa se arate ca spatiul vectorial complex V= este un spatiu euclidian in raport cu aplicatia definita prin :

Rezolvare:

Problema revine la a arata ca <.,.> este un produs scalar complex. Observam ca continuitatea functiilor asigura existenta integralei.

Verficam axiomele produsului scalar:

1) Fie f,g,h V. Atunci:

2) Fie f,g V si . Atunci:

3) Fie f,g V. Atunci:

4) Fie f V, f . Atunci:

Deoarece f , ( ) t (a,b) a.i. f(t ) 0. Din continuitatea functiei f rezulta ca exista un interval deschis I a.i. t I [a,b] si

Fie [c,d] I , si . Atunci

Din 1), 2), 3) si 4) V este un spatiu euclidian in raport cu produsul scalar <f,g>.


Enunt:

Sa se arate ca intr-un spatiu euclidian are loc relatia:

Adunand membru cu membru egalitatile obtinute obtinem relatia ceruta.


Enunt:

Folosind inegalitatea lui Cauchy-Buniakowsky sa se demonstreze urmatoarele inegalitati:

a)



b)

Rezolvare:

Inegalitatea lui Cauchy-Buniakowsky este:

( ) x,y apartinand unui spatiu euclidian (1)

a) Daca produsul scalar al vectorilor

a= b= din este definit ca <a,b>=a b +a b +...+a b atunci inegalitatea (1) conduce la:

b)Daca produsul scalar al vectorilor

a= b= din este definit ca atunci inegalitatea (1) conduce la:


Enunt:

In spatiul vectorial ( , ) se considera vectorii

u = , u = , u = si produsul scalar definit astfel: unde P= .

a) Sa se calculeze normele euclidiene ale vectorior u ,u si u .

b) Sunt vectorii u si u ortogonali in raport cu produsul scalar definit? Dar u si u ?

Rezolvare:

a) u =

u = =

u = = .

b) u ,u ortogonali <



nu sunt ortogonali.

u ,u ortogonali

sunt ortogonali.


Enunt:

In spatiul euclidian sa se gaseasca un vector unitar ortogonal pe vectorii

v = , v = si v = .

Rezolvare:

Fie x , x= a.i.

Adunand primele 2 relatii obtinem:

Adunand ultimele 2 relatii obtinem:

x= Fie x =1 x=

vector unitar ortogonal pe şi


Enunt:

Fie V un spatiu euclidian si x,y V ortogonali. Sa se arate ca .

Rezolvare:

unde Re<x,y> este partea reala a nr complex <x,y>.



(cf. ipotezei) .

Observatie: Reciproca afirmatiei este adevarata numai in cazul unui spatiu euclidian real. Intr-adevar, daca relatia de mai sus are loc atunci obtinem ca Re<x,y>=0, relatie care implica ortogonalitatea vectorilor x si y daca si numai daca <x,y> este real.


Enunt:

Sa se arate ca intr-un spatiu euclidian complex, vectorii x si y sunt ortogonali daca si numai daca:

.

Rezolvare:

" "

(1)

(cf. ipotezei)

"<=" Fie a=b=1. Avem:

Dar din ipoteza stim ca

unde este partea imaginara a nr complex <x,y>

Fie a=1 si b=

Dar

Im<x,y>=0 x si y sunt ortogonali.


Enunt:

Fie V un spatiu euclidian real. Sa se arate ca:

a) Singurul vector ortogonal pe orice vector din V este vectorul nul.

b) Daca atunci .

Rezolvare:

a) Fie a.i. (din definitia produsului scalar)

b)


Enunt:

Se considera V un spatiu euclidian real si vectorii ortogonali doi cate doi. Sa se arate ca si vectorii , pentru orice , au aceeasi proprietate.

Rezolvare:

Fie i,j arbitrar alesi, . Avem

(din ipoteza)

Relatia este adevarata pentru ca i si j au fost arbitrar alesi.

1/26. Sa se arate ca , definita prin: , unde: , , este produs scalar.

Rezolvare:

1. si ;



2. ;

3. si ;

si

4. .

Din 1. 2. 3. si 4. rezulta , definita prin: , unde: , , este produs scalar.

2/26. Sa se arate ca , definita prin : , unde -continua , este produs scalar.

Rezolvare:

Se verifica axiomele produsului vectorial la fel ca la problema anterioara.

3/27. Fie , un spatiu eucliduan. Sa se arate ca si sunt liniar dependenti daca si numai daca: implica: astfel incat .

Rezolvare;

Fie functia ,

Rezulta ca exista unic astfel incat , adica , unde .

4/27. Sa se ortogonalizeze vectorii: , , , folosind produsul scalar standard.

Rezolvare:

Se constata ca vectorii sunt luniar dependenti, deoarece rang

Construind vectorii:

Cum produsul scalar standard este , cand si , din conditia . Deci

Din conditiile si . Deci .

5/27. Fie un spatiu liinar normat si fie operator liniar injectiv. Sa se arate ca , definita prin este norma pe .

6/27. Fie un spatiu vectorial de dimensiune si o baza in si fie coordonaltele unui vector in baza . Sa se arate ca se pot defini urmatoarele norme pe :

a) - norma norma octaedrica

b) - norma cubica

c) - norma sferica pentru

Problema 7/pagina 304 Sa se verifice ca urmatorii vectori din sunt ortogonali si sa se completeze acesti vectori pana la o baza ortogonala.



Rezolvare:

a) Vectorii si sunt ortogonali deoarece

Fie

si

din astfel incat sa fie o baza ortogonala.

Din conditiile de ortogonalitate

obtinem sistemul

care are solutiile , cu

Daca luam obtinem

Din conditiile de ortogonalitate

rezulta sistemul

cu solutia generala

cu . Daca luam , obtinem



Vectorii si sunt ortogonali doi cate doi, liniari independenti in , deci formeaza o baza ortogonala.

b) Vectorii si pot fi completati pana la o baza ortogonala prin adaugarea vectorilor

, .

Problema 8/pagina305

Sa se gaseasca o baza ortogonala in spatiul generat de vectorii

si .

Rezolvare:

Fie E spatiul generat de vectorii si formeaza un sistem de generatori in E. In plus ei sunt liniar independenti, intrucat:

Deci este o baza in E si .

Produsul scalar canonic in este

.

Cautam de forma:

.

Relatia este echivalenta cu

.

Rezulta ca

Pe de alta parte,



Din relatiile

obtinem

de unde deducem ca si .

Apoi

Vectorii formeaza o baza ortogonala in E.

Problema 9/pagina 308

Sa se determine o baza ortogonala in spatiul generat de vectorii din :

.

Rezolvare:

Fie F spatiul vectorial generat de vectorii si . Deci vectorii si formeaza un sistem de generatori in F si in plus, ei sunt liniar independenti, deoarece,

Deci constituie o baza in F. Construim acum vectorii si astfel incat

Impunand conditia

obtinem,

si deci



Din conditiile

obtinem

Inlocuind

sistemul devine

iar solutia sa este

Atunci,

Din conditiile

obtinem

Inlocuind



sistemul devine

si solutia sa este

Deci

Baza ortogonala gasita este deci cu


In spatiul vectorial se considera baza unde Sa se inlocuiasca aceasta baza cu o baza ortogonala. Rezolvare\mathstrut

Folosim procedeul de ortogonalizare Gramm-Schmidt.

Produsul scalar canonic pe este

Cautam de forma

Atunci

Relatia

este echivalenta cu si deci Rezulta ca



Pe de alta parte

Din relatiile

gasim

adica

In final,

si este o baza ortogonala. Evident,

este o baza ortogonala.

Problema 11/ pagina 312

In spatiul vectorial real al tuturor functiilor polinomiale reale definite pe se considera baza Sa se inlocuiasca cu o baza ortogonala.

Rezolvare

Vom folosi produsul scalar canonic

si formulele de ortogonalizare din procedeul Gramm-Schmidt.

Mai intai notam Fie

Deoarece

gasim

In mod analog relatiile

implica faptul ca



Prin inductie se poate demonstra ca

Polinoamele se numesc polinoame Legendre.


Fie un spatiu euclidian si vectori ortonormati. sa se arate ca sunt liniar independenti.

Rezolvare

Presupunem ca exista scalari nu toti nuli astfel incat

Insa

deci egalitatea de mai sus conduce la

Deci si prin urmare vectorii sunt liniar independenti.


Fie un spatiu vectorial real si o baza a sa. Sa se defineasca un produs scalar pe astfel incat vectorii sa formeze o baza ortonomata in spatiul euclidian obtinut.

Definim functia prin

unde iar si sunt coordonatele lui respectiv in baza

Se verifica cu usurinta ca functia este un produs scalar pe V si ca este o baza ortonormata a lui


Sa se determine o baza ortonormata in spatiul generat de vectorii

din

Rezolvare

Vectorii si sunt liniar dependenti deoarece

dar vectorii sunt liniar independenti deoarece



Atunci vectorii formeaza o baza in spatiul considerat. Aplicam in continuare procedeul de ortogonalizare Gramm-Schmidt. Construim vectorii astfel


si deci,

Din conditiile

rezulta ca

si deci

Vectorii formeaza o baza ortogonala a spatiului considerat, iar vectorii

formeaza o baza ortonomata a aceluiasi spatiu.


In spatiul vectorial real al polinoamelor de grad cel mult cu coeficienti numere reale, sa se defineasca un produs scalar, astfel incat baza

sa fie ortonormata.

Rezolvare

Pentru orice

definim

Axiomele produsului scalar se verifica cu usurinta. Notam vectorii bazei din ipoteza, astfel:



Atunci

daca

iar

pentru orice sunt doi cate doi ortogonali in raport cu produsul scalar definit si

Deducem ca, in raport cu produsul scalar definit, baza

este ortonormata.


Fie un vector oarecare al unui spatiu euclidian si o multime de vectori ortonormati astfel incat Aratati ca si ca

vectorul este ortogonal pe toti vectorii

Rezolvare

Intr-adevar, Pe de alta parte,

Deducem ca

si deci

Fie Atunci

In concluzie este ortogonal pe toti vectorii


Fie un spatiu vectorial real avand o baza formata cu vectorii Se considera aplicatia:

unde

si

Verificati ca defineste un produs scalar pe . Determinati o baza ortonormata in si apoi exprimati produsul scalar in aceasta baza.

Rezolvare

Aratam ca este o functionala biliniara, simetrica si pozitiv definita.

Fie si . Atunci

si

Deci , ceea ce inseamna ca este simetrica. Din acest motiv, pentru ca sa fie o functionala biliniara este suficient sa aratam ca



Fie Atunci

Fie Atunci

Observam ca si deci este pozitiv definita.

Fie Avem

si deci matricea de trecere de la baza la baza in care are forma canonica

este inversa matricei

adica

Deci baza in care e forma canonica de mai sus este formata cu vectorii

Aceasta baza este ortonormata, intrucat matricea asociata functionalei in aceasta baza este matricea unitate, si deci daca si

In aceasta baza, produsul scalar se exprima astfel:




Se considera spatiul vectorial real si o baza a sa. Pe se defineste produsul scalar

Sa se determine o baza ortonormata in si apoi sa se exprime produsul scalar in aceasta baza.

Rezolvare

Fie Atunci

Fie

Atunci

si deci matricea de trecere de la baza la baza in care are forma canonica

este inversa matricei

adica

Asadar, baza spatiului euclidian in care se scrie

este formata cu vectorii

Aceasta baza este ortonormata, deoarece matricea asociata lui in aceasta baza este matricea unitate si deci pentru si



In baza produsul scalar se scrie:


Se considera

si

doi vectori din si produsul scalar definit prin matricea

sa se determine o baza si dimensiunea subspatiului vectorial ortogonal pe si .

Rezolvare

Fie un vector din .

este ortogonal pe si pe daca si numai daca:

1. si sunt ortogonali.

2. si sunt ortogonali.

1. vectorii si sunt ortogonali daca si numai daca

Dar

Deducem ca si sunt ortogonali daca si numai daca

2. Vectorii si sunt ortogonali daca si numai daca

Deducem ca si sunt ortogonali daca si numai daca



In concluzie este ortogonal pe si daca si numai daca:

Subspatiul vectorial se defineste atunci ca:

Determinam acum o baza si dimensiunea lui .

Subspatiul vectorial se mai poate scrie astfel:

Daca atunci

unde este baza canonica in Rezulta ca

adica

Fie

si

este generat de vectorii si care formeaza deci un sistem de generatori in . In plus, ei sunt liniar independenti deoarece

Deci si formeaza o baza in si

Problema 2/pagina 325 Pe spatiul vectorial se considera functionala biliniara , definita in baza canonica prin:

a) Sa se arate ca este un produs scalar.

b) Sa se scrie matricea lui in baza canonica din

c) Fie subspatiul vectorial al lui , definit astfel:



sa se determine

Rezolvare

a) Biliniaritatea si simetria se verifica cu usurinta. In plus, este pozitiv definita, intrucat

b) Matricea asociata lui in baza canonica a lui este cu

,

adica

c) Prin definitie,

sau, sub alta forma,

Fie

Atunci,

si deci este de forma

sau

unde



Relatia este echivalenta cu:

adica

Deducem ca


Sa se determine o baza a complementului ortogonal al lui in , unde este spatiul generat de vectorii:

Rezolvare

Vectorii sunt liniar dependenti, deoarece

dar de exemplu sunt liniar independenti, deoarece

Deci vectorii formeaza o baza in .

Vectorul este ortogonal pe daca si numai daca:

Obtinem sistemul:

Atunci



si deci

Deducem ca

iar o baza in este data de vectorul

Sa se determine urmatoarele inegalitati:

a) unde iar si ;

b) unde , iar si (inegalitatea lui Holder);

c) , unde , iar (inegalitatea lui Minkowski);

Solutie

a) Consideram functia , .

Derivata functiei se anuleaza numai pentru si , deci este punct de minim si prin urmare:

, .

Daca luam pentru x valoarea: , daca a si b sunt nenuli, obtinem:

;

inmultind aceasta relatie cu ab>0 obtinem:

;

dar si si deci:

.

Daca unul din numerele a si b este nul inegalitatea din enunt este evidenta.

b) Daca toate numerele , sau , sunt nule inegalitatea se verivica in mod evident. Putem deci presupune ca nu toti sunt nuli si nu toti sunt nuli; pentru din luam:

si si aplicand inegalitatea de la a) obtinem:



.

Adunand relatiile anterioare obtinem:

si deci:

c.c.t.d.

c) Daca relatia este evidenta. Pentru luind si aplicand inegalitatea lui Holder obtinem:

;

sau:

c.c.t.d

Fie un spatiu vectorial de dimensiune si o baza in ; sa se arate ca se poate defini o norma pe prin relatia:

a) (norma octaedrica);

b) (norma cubica);

c) , ( , norma sferica); unde sunt coordonatele vectorului in baza

Solutie

a) 1) este evidenta

2)

3)

b) 1) este evidenta

2)

3)

c) 1) este evidenta



2)

3) Aplicam inegalitatea lui Minkowski:

.

2.16 Fie un spaţiu unitar, fie şi două baze ortonormate în şi fie matricea de trecere de la baza la baza . Arătaţi că .

Conform propozitiei 2.55 , prin urmare . Bazele şi sunt ortonormate, deci şi , astfel că şi , , deci .

2.20 Fie o bază în cu exprimaţi în baza canonică din .Atunci este o bază ortonormată dacă şi numai

dacă matricea este unitara dacă şi numai dacă .

În cazul spaţiului , o bază este o bază ortonormată dacă şi numai dacă matricea este ortogonală, dacă şi numai dacă . Reţinem deci că matricile unitare (respectiv ortogonale) din ( respectiv din ) corespund unor schimbări de bază în spaţiul vectorial (respectiv în spaţiul vectorial ) .

Conform exerciţiului 2.18 avem deci este bază ortonormată dacă şi numai dacă matricea asociată satisface

deci unitara şi .

2.21 Fie spaţiu unitar, fie operator de reflexie ortogonală. Arătaţi că este operator de reflexie.

Conform propozitiei 2.66 , dacă este operator de reflexie ortogonală, atunci cu proiecţie. Atunci deci .

2.22 Calculaţi urma operatorilor

i)

ii) definit pentru orice prin

iii) definit pentru orice prin .

Conform corolarului 2.63, urma operatorilor este independentă de alegerea unei baze , deci vom calcula urma pentru matricea operatorului în baza canonică a spaţiului

2.23 Fie şi fie matricea având în baza canonică a spaţiului este operator de reflexie ortogonală.

Verificăm condiţiile prop. 2.67

Dar , deci . Deasemenea . În mod evident .

2.24 Fie matricea şi fie operatorul definit prin . Arătaţi că este operator de reflexie ortogonală.

Se verifică condiţiile prop. 2.67 . şi .

3.1 Fie un spaţiu vectorial complex. Arătaţi că dacă , atunci este un spaţiu invariat pentru operatorul şi dimensiunea sa este cel mult .

Fie atunci deci este subspaţiu invariat. Dacă , atunci există , , deci . Conform teoriei dimensiunii, deoarece .



3.2 Fie un spaţiu unitar, fie un operator normal şi fie matricea superior triangulară obţinută în teorema lui Schur ( te 3.22) . Demonstraţi că diagonala principală a matricei conţine toate valorile proprii ale operatorului .

Fie baza ortonormată în care matricea operatorului este superior triangulară (conform te. 3.22) . Conform cor. 2.57 deci, pentru şi . Pentru

,

deci . Se obţine astfel vectori vectori proprii pentru valorile proprii . Deci şi acestea sunt toate valorile proprii, deoarece polinomul are gradul .

3.3 Determinaţi valorile proprii, subspaţiile proprii, dimensiunile acestor subspaţii, raza spectrală şi baza Schur pentru operatorii: i) definit, pentru orice prin ii) definit, pentru orice prin

iii) definit, pentru orice prin iv) definit pentru orice prin .

şi subspaţiile proprii corespunzătoare sunt: , din , din , din Pentru a determina baza Schur, se normalizează

vectorul şi se completează până la o bază ortonormată a spaţiului . Matricea asociată acestei baze va fi :

şi se obţine matricea , cu matricea asociată

Pentru matricea se consideră vectorul propriu se normalizează şi se completează până la o bază a spaţiului , care se scufundă în .

Rezultă astfel matricea asociată unei baze ortonormată

şi

Astfel şi

ii) Polinomul caracteristic şi subspaţiul propriu corespunzător este , din . Pentru a obţine baza Schur, procedăm ca la exerciţiul anterior



şi

Astfel , cu

iii) Polinomul caracteristic şi subspaţiile proprii corespunzătoare sunt , din , , din , iar matricile pentru baza Schur vor fi

Astfel , cu

iv) Polinomul caracteristic este şi subspaţiile proprii sunt , din , din operatorul este cu matricea diagonalizabilă şi

şi

3.4 Stabiliţi că operatorii următori sunt operatori normali şi determinaţi pentru fiecare baza ortonormată formată din vectori proprii i) definit, pentru orice prin ii) definit, pentru orice

prin

iii) definit, pentru orice prin

Matricea asociată operatorului în baza canonică a spaţiului este având polinomul caracteristic

şi iar matricea corespunzătoare bazei ortonormate formată din vectorii proprii este



ii) Operatorul admite în baza canonică a spaţiului o matrice simetrică, deci este ortogonal, prin urmare normal (conform prop.3.25) şi , iar matricea corespunzătoare bazei ortonormate formată din vectorii proprii este

şi

iii) Operatorul admite în baza canonică din matricea simetrică deci este ortogonal, prin urmare normal (conform prop. 3.25) şi , deci . Matricea corespunzătoare bazei ortonormate formată din vectorii proprii este

şi

3.5 Determinaţi descompunerea după valori singulare a operatorilor următori: i) definit, pentru orice prin ii) definit, pentru orice prin iii) definit, pentru orice prin

i)Conform prop. 3.28 , şi dacă notăm cu matricea asociată operatorului în bazs canonică, atunci

deci şi

Valorile singulare sunt . Bazele singulare sunt şi cu şi

şi descompunerea după valorile singulare este



ii) Procedând ca la punctul precedent, se obţine deci Valorile singulare sunt ,

baza este aceiaşi ca la punctul precedent, dar baza este

Descompunerea după valorile singulare este

iii) În baza canonică a spaţiului matricea operatorului este şi deci .

Valorile singulare sunt . Bazele singulare sunt: cu

şi .

Descompunerea după valorile singulare este .

3.6 Determinaţi descompunerea polară a următorilor operatori: i) definit, pentru orice prin ii) definit, pentru orice prin

iii) definit, pentru orice prin

i) se procedează ca la exerciţiul anterior, determinând bazele singulare deci .

Valorile singulare sunt . Bazele singulare sunt : cu .

Conform teoremei 3.31 definim deci în baza canonică a spaţiului va avea matricea

iar cu

ii) Utilizând exerciţiul 3.5 , iii) va rezulta deci are în baza canonică a spaţiului matricea

şi .

iii) Matricea asociată operatorului în baza canonică a spaţiului este

. Prin urmare . Valorile singulare sunt . Bazele singulare sunt



3.7 Determinaţi rezolventa corespunzātoare urmātorilor operatori

i) definit pentru orice prin

ii) definit pentru orice prin

iii) definit pentru orice prin

i)Deoarece va rezulta

ii)Deoarece va rezulta

iii)Deoarece va rezulta

3.8 Fie un spaţiu unitar ,fie .Arātaţi cā baza Schur nu este unicā şi cā putem alege vectorii astfel încât matricea superior triunghiularā sā aibā pe diagonala principalā elementele identice grupate unele dupā altele.

Este suficient ca în demonstraţia teoremei 3.22 sā considerām valorile proprii în ordinea datā de multiplicitatea lor.

3.9 Fie definit pentru orice prin

Determinaţi şi pentru fiecare stabiliţi rezolventa

.

În baza canonicā a spaţiului matricea asociatā operatorului este

deci şi

Dacā

3.10 Fie un spaţiu unitar ,fie un polinom şi fie .Atunci pentru orice ,

Rezultā prin verificare directā

3.11 Fie un spaţiu vectorial complex,fie . Dacā , sunt subspaţii invariante pentru operatorul şi

atunci este diagonizabil dacā şi numai dacā este diagonizabil pentru orice .

Fie proiecţiile ortogonale pe subspaţiile

Atunci



şi

Într-adevār , dacā cu atunci

deci

Astfel este diagonizabil dacā şi numai dacā

este diagonizabil ,oricare ar fi ,deci dacā şi numai dacā este diagonizabil oricare ar fi .

4.1 Fie unitarā, fie pentru

,

Arātaţi cā

ii) Demonstraţi aceeaşi proprietate pentru ortogonalā.

i)Din condiţia rezultā

ii) Analog pentru

4.2 Fie şi fie .Arātaţi cā între polinoamele caracteristice ale matricilor şi B existā urmātoarea relaţie .

Conform ex. 1.16

4.3 Fie ,fie şi fie operatorul definit prin .Demonstraţi cā este operator de reflexie ortogonalā şi regāsiţi rezultatele propoziţiei 4.36 utilizând propoziţia 2.67,în ipoteza .

Verificām condiţiile prop.2.67

Conform ipotezei deci .Deasemenea .

4.4 i)Fie .Arātaţi

ii)Dacā ,atunci matricile AB şi BA polinom caracteristic.

i) Putem scrie matricea urmātoare ca produs de douā matrici în douā moduri:

şi respectiv



Conform prop. 1.13 şi cor. 1.14

Aplicând acum ex. 4.2,va rezulta

ii) Dacā m=n atunci,conform punctului anterior

4.5 Sā se aducā la forma canonicā Jordan,cu determinarea unei baze corespunzātoare,urmātoarele matrici:

cu



4.6 Fie cu rang .Atunci existā o permutare astfel încât

cu , , şi inversabilā, superior triunghiularā.

Fie matricea de permutare în primele linii şi coloane minorul nenul de ordinul .Deci

AP

Deoarece este matrice pozitiv semidefinitā existā,conform te.1.21,o matrice triunghiularā superior ,de rang ,astfel încît .Dar

deoarece rang .Deci va fi triunghiularā superior de rang ,cu elemente nemule pe diagonala principalā,deci inversabilā.

4.7 Fie cu rang . Dacā cu şi

matricea triunghiularā superior ,atunci rang .

A se vedea .

4.8 Fie matrice stocasticā,deci şi . Arātaţi cā şi deyerminaţi un vector propriu asociat .Ce puteţi spune despre

subspaţiul propriu ?

Fie .Atunci ,deci şi este vector propriu,iar .

4.9 Arātaţi cā urmātoarele matrici sunt matrici stocastice ireductibile şi stabiliţi,pentru fiecare caz în parte ,distribuţia staţionarā corespunzātoare:

Se verificā direct cā suma elementelor de pe fiecare este egalā cu 1.

Conform exemplului 4.65, distribuţia staţionarā pentru matricea va fi

deci

Conform exemplului 4.66 ,distribuţia staţionarā pentru matricea va fi



cu

deci

4.10 i) Fie cu proprietatea .Atunci este inversabilā.

ii) Fie cu proprietatea Atunci este inversabilā.

i) Fie .Vom arāta cā vectorii sunt liniari independenţi.Fie o combinaţie liniarā

Dacā existā scalari ,fie ,deci

oricare ar fi

Va rezulta astfel

şi pentru fiecare componentā a vectorului .Astfel, pentru j=i,

şi ţinând cont de ipotezā,

contradicţie. Deci ,oricare ar fi .

Dacā vectori sunt liniari independenţi, atunci sistemul

admite numai soluţia banalā, prin urmare matricea asociatā are determinantul nenul.

ii) Se aplicā matricei punctul i).

Orice sistem de vectori indeplinind conditiile teoremei percedente coincide pana la factori multiplicativi cu sistemul construit anterior.

Rezolvare:

Teorema generala a ortogonalizarii:

Fie un sir de vectori ai unui spatiu euclidian (finit sau infinit). Notam prin acoperirea liniara a primilor vectori ai acestui sistem. Atunci exista un sir de vectori avand urmatoarele proprietati:

1. Pentru orice k natural acoperirea liniara a vectorilor coincide cu .

2. Pentru orice k natural vectorul este ortogonal lui .

In-tradevar trebuie sa apartina lui si sa fie perpendicular pe . Prima din aceste conditii conduce la existenta unei descoperiri:

unde .



Atunci deci de unde si afirmatia e demunstrata.

Sa se gaseasca distanta punctului la puanul definit de vectorii

Rezolvare:

Determinam o baza ortonormala:

deci si formeaza o baza ortonormala.

Punand:

Obtinem:

Avem si distanta d este:

Sa se gaseasca proiectia ortogonala a lui pe subspatiul generat de .

Rezolvare:

unde si

unde deci

Sa se determine in subspatiul ortogonal pe subspatiul dat de ecuatiile:

Sa se arate ca

Sa se scrie matricea operatorului liniar care face sa corespunda lui vectorul , unde iar , deci .

Rezolvare:

Avem si deci:

. O baza in ar putea fi formata din vectorii:

Fie acum perpendicular pe

Atunci:

Deci si si deci



Fie acum . Atunci unde

cu

si intrucat sistemul:

are solutie nula

ca

Avem deci

iar matricea atasata lui A este:

Fie un spatiu euclidian. Sa se arate ca:

a) singurul vector perpendicular pe orice vector din este vectorul nul

b)daca , atunci

Rezolvare:

a)Din deci

b) deci conform cu a) sau

1)Fie doi vectori oarecare din Sa se arate ca functia definita prin este produs scalar pe

2)Fie spatiul vectorial real continua Sa se arate ca V este spatiu euclidian in raport cu aplicatia definita prin

Solutie:

1)Verificam axiomrle produsului scalar

egalitatea avand loc numai pentru adica

2)Problema revine la a arata ca este un produs scalar.Intr-adevar, continuitatea asigura existenta integralei si daca sunt functii continue cu valori reale iar este un numar real, atunci:



Fie (continua), adica astfel incat sau

Prin continuitate exista un interval deschis astfel incat si Fie si

Rezulta

7.Fie spatiul vectorial real al sirurilor reale pentru care seria este convergenta. Fie doua elemente din

1)Sa se arate ca seria este absolut convergenta.

2)Sa se verifice ca functia definita prin este un produs scalar pe

3)Sa se arate ca sirul cu termenul general x apartine exteriorului sferei cu centrul in origine, de raza si bilei deschise cu centrul in origine, de raza

Solutie:

1)Tinand seama ca pentru orice doua numere reale si avem rezulta 2 . In baza criteriului comparatiei de la serii cu termeni pozitivi, seria este convergenta si deci seria este absolut convergenta.

2)Sa verificam numai faptul ca forma patratica atasata este pozitiv definita.

Deoarece este suficient sa aratam ca Intr-adevar, relatiile (s-a tinut seama si de faptul ca limita unui sir crescator convergent este supremumul

multimii valorilor sirului) .

3)Deoarece

8.Pe spatiul vectorial real continua definim produsul scalar

1)Sa se calculeze unghiul dintre si

2)Sa se arate ca functiile cu proprietatea f apartin bilei cu centrul in origine de raza 1.

Solutie:

1) (prin parti)=

prin parti)=

Rezulta

2)Se constata ca

9.Se dau bazele 1) in

2) in spatiul vectorial real al tuturor functiilor polinomiale reale definite pe Sa se inlocuiasca cu baze ortogonale.

Solutie:

Folosim procedeul de ortogonalizare Gram-Schmindt.

1)Produsul scalar canonic pe este Punem Apoi



si este o baza ortogonala

.Evident este o baza ortonormata.

2)Folosim produsul scalar canonic si formule de ortogonalizare.

Mai intai notam Fie Deoarece

Analog, relatiile

Prin inductie se poate dovedi ca :

Polinoamele se numesc polinoame Legendre.

e.2.14.Fie doi vectori oarecare din Aratati ca aplicatiile definite prin:

1) nenegative si nesimultan nule;

2)

sunt produse scalare in

Se observa cu usurinta ca sunt respectate legile produsului scalar.

(caz 1);

(caz 1);

caz 2:

Exemplu: consideram vectorii: caz 1:

caz 2:

?e.2.15 Fie spatiul vectorial al functiilor reale continue pe intervalul , inzestrat cu produsul scalar Calculati:

1.Norma vectorului

2.Distanta dintre vectorii si

15. Fie aplicatia . Se cere:

a) sa se arate ca aplicatia este un produs scalar;

b) sa se ortonormmalizeze baza canonica a lui in raport cu acest produs scalar.

a) Verificam prima axioma:

Verificam a doua axioma:

, ceea ce este adevarat.



Verificam cea de-a treia axioma:

. Relatia este echivalenta cu:

, ceea ce este adevarat.

b) Fie baza canonica a lui . Gasim baza ortogonala astfel: . Determinam astfel incat vectorii sa fie ortogonali:

.

deci Baza ortonomata va fi: .

2. Fie cu produsul scalar canonic. Se cere:

a) să se determine U , unde U= ;

b) să se afle proiecţia ortogonală a vectorului u= pe U.

Rezolvare:

a) Găsim īntāi o bază a lui U:

U={ . Vom arata ca B= este baza pentru U. Īntr-adevăr, U=L deci B

este un sistem de generatori S şi este şi sistem liniar independent deoarece matricea are rangul doi.Căutăm vectorii w= ortogonali

lui U. Este suficient să punem condiţia ca w să fie ortogonal pe vectorii bazei lui U, adică

deci

U , unde v

b) Scriem , unde u iar u Atunci u si u . Rezultă şi obţinem sistemul

de unde , . Atunci proiecţia vectorului pe U este vectorul .

3. Fie spaţiul euclidian cu produsul scalar canonic si sistemul de vectori . Să se arate că S este baza a lui şi să se determine o bază ortonormată pornind de la S.

Rezolvare:

Vectorii sunt liniar independenţi deoarece matricea corespunzătoare are rangul 4:

Deoarece din si , rezultă a S este bază. Construim mai intāi o bază ortogonală folosind procedeul Gram-Schmidt. Fie vectorii:

Din condiţia rezultă , de unde obţinem . Atunci .

Punem condiţiile si , adică



, deci . Punem condiţiile . Obţinem de unde

Baza este ortogonală. Baza ortonormată va fi

4.Fie subspaţiul

a) Să se determine o bază ortonormată pentru U faţă de produsul scalar ;

b) Să se afle ;

c) Să se găsească proiecţia ortogonală a polinomului pe U.

Rezolvare:

a) Găsim mai īntāi o bază a lui U. Scriem unde este baza lui U deoarece polinoamele u ,u sunt liniar independente şi generează S. Determinăm o bază ortogonală a lui U cu procedeul Gram-Schmidt. Fie vectorii

Aflăm a astfel încât vectorii să fie ortogonali:

si . Atunci

si

Baza ortonormată va fi

b) căutăm vectorii ortogonali pe U. este suficient să punem condiţia ca q să fie ortogonal pe vectorii bazei lui U, adică .

Atunci

c) scriem unde şi . Avem

Atunci . Analog si . Atunci este proiecţia polinomului

r pe U.

5. Fie spaţiul euclidian cu produsul scalar Să se determine o bază ortonormată pentru subspaţiul , unde

Rezolvare:

Matricea corespunzătoare vectorilor A este

şi are rangul 3, deci numai 3 vectori sunt liniari independenti, de exemplu A Atunci este bază pentru u.

Determinăm o bază ortogonală pornind de la aceasta. Fie



Din condiţiile obţinem Atunci si

Baza este ortogonală iar baza

este ortonormată.

6. Fie spaţiul euclidian cu produsul scalar unde si subspaţiile

si Să se arate

Rezolvare:

E suficient să arătăm că vectorii bazelor celor două subspatii sunt ortogonali.Scriem unde este baza lui U şi unde este baza lui V. Calculăm

Rezultă , deci .

7. Fie spaţiul unitar cu produsul scalar canonic şi vectorii .

a) Să se verifice că vectorii sunt liniari independenţi;

b) Să se determine o bază ortonormată pentru ;

c) Să se completeze până la o bază a lui

Rezolvare:

a) Matricea formată cu componentele vectorilor are rangul 2:

deci vectorii sunt liniari dependenţi, dar doi dintre cei trei vectori sunt liniari independenti, de exemplu v

b) Baza . Găsim o bază ortogonală cu ajutorul procedeului Gram-Schmidt.Fie vectorii si Din condiţia Atunci este o bază ortogonală. Baza

ortonormată va fi

c) O bază ortogonală a lui C este unde . Am ales deoarece sistemul este liniar independent. Aflăm si astfel încât să fie ortogonal cu si Atunci si . Bază ortonormată a lui C este

1. Să se verifice dacă urmatoarele aplicaţii sunt produse scalare:

a) ;

b) ;

c) ;

d)

e) unde este urma matricii A;

f) ;

g) ;

h)

2. Să se verifice dac următoarele aplicaţii sunt norme:



a) unde produsul scalar este cel definit in ex. 1 f);

b) ;

c) ;

d) ;

e)

f)

g)

3. Fie astfel încât , unde produsul scalar este cel canonic. Să se arate că x,y sunt liniari dependenţi.

4. Fie un spaţiu vectorial pe care se defineşte un produs scalar .

a) Dacă U şi W sunt subspaţii ale lui V astfel încât , să se arate că ;

b) Dacă , atunci ;

c) Dacă U si W sunt subspaţii ale lui V, atunci .

5. Să se determine pentru:

a) , unde produsul scalar este cel canonic;

b) cu produsul scalar canonic;

c) cu produsul scalar definit in ex.1 d);

d) , cu produsul scalar definit in ex, 1 b);

e) unde , cu produsul scalar definit in ex. 1 c);

f) , cu produsul scalar definit la ex. 1 g);

g) , cu produsul scalar definit in ex. 1 h).

6. Să se arate că urmatoarele sisteme de vectori sunt baze euclidiene sau unitare respective şi să se determine o bază ortonormată a spatiului pornind de la baza indicată:

a) cu produsul scalar canonic,

i)

ii)

b) , cu produsul scalar canonic,

c) cu produsul scalar definit in ex. 1 d);

;

d) cu produsul scalar definit la ex. 1 b);

i)

ii)



e)

i)

ii)

f) cu produsul scalar definit in ex. 1 c)

i)

ii)

g) cu produsul scalar definit in ex. 1 h);

i)

ii)

7. Fie spaţiul euclidian cu produsul scalar canonic, si subspaţiile

a) Să se determine o bază ortonormată pentru U;

b) Să se detremine si o bază ortonormată a sa;

c) Să se determine proiecţia ortogonală a vectorului pe U.

8. Fie spaţiul euclidian cu produsul scalar canonic, şi subspatiile

a) Să se determine o bază ortonormată pentru

b) Să se determine si o bază ortonormată a sa;

c) Să se determine proiecţia ortogonală a vectorului pe U.

9. Fie spaţiul unitar cu produsul scalar canonic, şi subspatiul

a) Să se determine o bază ortonormată pentru U;

b) Să se determine proiecţia ortogonală a vectorului pe U.

2.2) Fie Determinati matricea operatorului de proiectie pe ,a operatorului de

proiectie si stabiliti daca este proiectie ortogonala.

"Rezolvare"

Subspatiul vectorial al lui este generat de vectorii ortogonali si . Daca

cu cu si atunci

deci are matricea

si este proiectie ortogonala, iar

2.8) Fie definit prin

Calculati Ce puteti spune despre ?

"Rezolvare"



Matricea asociata operatorului in baza canonica este

2.10) Fie fixat si fie definit prin

Determinati operatorul si aratati ca este normal.

"Rezolvare"

In baza ortonormala a spatiului vectorial ,matricea operatorului

si se verifica prin calcul direct ca

2.11) Fie definiti prin

Dterminati operatori adjuncti si aratati ca sunt operatori normali.

"Rezolvare"

Matricea asociata operatorului si in baza canonica este

Baza este ortonnormala , deci

2.12) Verificati faptul ca urmatorii operatori sunt normali

"Rezolvare"

In baza canonica , matricile asociate sunt , pentru operatori

2.13) Stabiliti care dintre operatorii urmatori este pozitiv semidefinit si care este pozitiv definit



care poate fi si negatie

este pozitiva definita.

Problema 1.

Fie cu norma octaedrica si , , o matrice patratica de ordinul n; sa se arate ca:

Solutie. Fie un vector din cu norma ; evaluam norma vectorului :

Am obtinut deci ca pentru exista relatia:

relatie din care rezulta:

Fie acel numar pentru care:

si vectorul pentru care avem:

norma vectorului va fi evident 1. Avem relatiile:



si deci:

Din relatiile si rezulta egalitatea din enuntul problemei.

Problema 2.

Fie cu norma cubica si o matrice patratica de ordinul n; sa se arate ca:

Solutie: Fie un vector din cu norma ; evaluam norma vectorului :

Am obtinut deci ca pentru exista relatia:

relatie din care rezulta:

Fie acel numar pentru care:

si vectorul pentru care avem:

, ;

componentele vectorului au modulul:

si deci daca atunci . Avem relatiile:

si deci:



Din relatiile si rezulta egalitatea din enuntul problemei pentru , egalitate care pentru este evidenta.

Problema 3.

Fie un spatiu vectorial normat; sa se arate ca oricare ar fi vectorii , , , au loc relatiile:

a) ;

b) .

Solutie:a) Inegalitatea data este echivalenta cu:

.

Prima inegalitate se mai poate scrie ca:

si ea este adevarata deoarece:

.

A doua inegalitate se mai poate scrie ca:

si ea este adevarata deoarece:

.

b) Daca in egalitatea precedenta consideram obtinem:

.

Problema 4.

Fie un spatiu vectorial normat si un sir de vectori convergent catre vectorul ;sa se arate ca:

.

Solutie: Fie , deoarece , exista un numar natural astfel incit pentru sa avem ; conform problemei 3. exista

relatia:

si deci pentru avem , adica:

.

Observatie: Din afirmatia de sus rezulta ca norma este o functie continua.

Problema 5.

Fie un spatiu vectorial normat, si doua siruri de vectori ce au limita , respectiv si un sir de scalari convergent catre ; sa se arate ca:

a) , oricare ar fi scalarii si ;

b) .

Solutie: a) Consideram relatia:

.

Fie ; pentru , cind , exista numarul natural astfel incit pentru orice sa avem:



(relatie adevarata si pentru cazul in care ); analog, pentru , daca , exista astfel incit pentru orice sa avem:

si deci

.

Pentru avem:

c.c.t.d.

b) Consideram relatia:

.

Fie ; sirul fiind convergent este marginit si deci exista astfel incit pentru orice natural;

Pentru exista astfel incit pentru orice sa avem:

si deci .

Pentru , daca , exista astfel incit pentru sa avem si deci relatie adevarata si pentru cazul in

care .

Pentru avem relatia:

c.c.t.d.

Problema 6.

Fie o multime nevida si o functie injectiva; sa se arate ca functia , este o distanta pe .

Solutie: Verificam proprietatile distantei:

1) este evidenta.

deoarece este o functie injectiva, ultima relatie este echivalenta cu .

2) .

3)

.

Problema 7.

Sa se arate ca orice spatiu vectorial normat este un spatiu separat.

Solutie: Fie si doi vectori distincti, deci este strict pozitiva. Sferele:

unde , constituie cite o vecinatate a lui , respectiv . Vom arata ca aceste sfere sunt disjuncte; fie din , avem relatiile:

si deci nu apartine sferei ; cum a fost oarecare rezulta ca .

Problema 8.

Fie un spatiu vectorial normat si un numar rea pozitiv; sa se arate ca multimea:



este inchisa.

Solutie: Multimea din este evident o multime inchisa, norma este o functie continua si prin urmare este inchisa deoarece este preimaginea unei multimi inchise.

Problema 9.

Fie un spatiu vecorial normat de dimensiune ; sa se arate ca orice subspatiu al lui este o multime inchisa.

Solutie: Va trebui sa aratam ca pentru orice sir convergent de vectori din , limita sirului apartine tot lui . Fie , o baza in , o baza a lui , un sir de vectori din si ; scriem vectorii si in baza respectiv :

, , ,

, , .

Convergenta sirului catre este echivalenta cu convergenta pe componente, adica:

,

,

si deci

, ceea ce exprima faptul ca este din .

Problema 10.

Fie un spatiu vectorial normat de dimensiune , un spatiu vectorial normat si un operator liniar, ; sa se arate ca este o functie continua.

Solutie: Va trebui sa aratam ca pentru orice sir convergent de vectori din sirul imaginilor prin converge catre imaginea limitei. Fie un sir din convergent catre si o baza in ; scriem vectorii si in baza .

, , ,

, ,

Relatia este echivalenta cu , . Avem relatiile:

,

;

conform problemei 5. avem deci .

Problema 11.

Fie un spatiu vectorial normat de dimensiune ; sa se arate ca exista numerele si strict pozitive astfel incit pentru orice din sa avem:

unde , , sunt coordonatele vectorului intr-o baza data .

Solutie: Fie cu norma data de relatia:

unde si urmatoarea submultime ale lui :

.

Consideram functia , definita prin daca si functia , data de . Vom arata ca functia



este continua.

Fie un sir din convergent catre din , unde si ; deoarece rezulta ca , ; avem

atunci si si deci si prin urmare functia este continua. Norma fiind o functie continua rezulta

ca fiind compunerea a doua functii continue este si ea continua. Multimea este marginita si inchisa si deci compacta. Functia fiind continua pe un compact isi atinge marginile pe , fie acestea:

si

si exista si in astfel incit si ; functia nu se anuleaza pe deoarece pentru din avem :

iar , unde ; deci numerele si sunt strict pozitive si exista relatia:

Am demonstrat deci ca pentru din , cu exista relatia:

Fie din oarecare; daca atunci relatia din enunt este evident adevarata. Daca este nenul atunci fie

unde .

Daca , sunt coordonatele vectorului in baza atunci avem:

si deci pentru putem utiliza relatia :

Notind si se obtine relatia din enunt.

Problema 12.

Fie un spatiu vectorial si , (relatia monotona notata cu ), doua norme pe ; se numeste echivalenta cu daca exista numerele si strict pozitive astfel incit pentru orice vector sa existe relatia : . Sa se arate ca:

a)relatia definita pe multimea normelor pe este o relatie de echivalenta;

b)daca dimensiunea lui este atunci oricare doua norme pe sunt echivalente.

Solutie: a) Verificam proprietatile relatiei de echivalenta:

1) deoarece avem pentru orice din ;

2) daca atunci exista numerele , astfel incit pentru orice din sa avem

; din ultima relatie rezulta: si deci ;

3) daca si atunci rezulta ca exista numerele , , , astfel incit pentru orice din sa avem si ; din ultimele relatii rezulta ca si deci .



b) Fie o baza in ; functia data prin relatia:

unde , sunt coordonatele lui in baza ,este o norma pe . Conform problemei 11. aceasta norma este echivalenta cu orice alta norma pe si deci oricare doua norme pe sunt echivalente.

Problema 13.

Fie un spatiu vectorial si doua norme echivalente pe ; sa se arate ca cele doua norme genereaza aceeasi topologie pe .

Solutie: Fie si cele doua tipologii pe . Vom arata ca multimea este dschisa in daca si numai daca este deschisa in

Sa presupunem ca multimea este deschisa in . Daca atunci este evident deschisa si in . Pentru nevida fie din ; exista deci sfera:

,

inclusa in . Cum cele doua norme sunt echivalente rezulta ca exista numerele , astfel incit pentru orice din sa avem . Vom arata ca sfera:

= unde

este inclusa in ; fie din , deci si ; conform echivalentei dintre cele doua norme avem si deci ; din ultima relatie rezulta ca si prin urmare este inclusa in , adica este deschisa in .

Datorita simetriei rezulta ca daca este deschisa in atunci este deschisa si in

Problema 14.

Fie spatiul vectorial al tuturor sirurilor marginite de numere reale. Sa se arate ca:

a) functia , , unde , este o norma;

b) este un spatiu Banach.

Solutie: a) Deoarece sirurile din sunt marginite exista pentru orice din .

Fie , din si din ; verificam proprietatile normei:

1) este evidenta

, ;

2) = ;

3) .

b) Fie un sir Cauchy din ; deci pentru orice exista un numar natural astfel incit pentru orice , exista relatia , adica:

;

din ultima relatie rezulta ca pentru orice din avem:

si deci sirul este un sir Cauchy din . fiind un spatiu Banach rezulta ca pentru orice din exista un numar astfel incit .Notam cu

sirul . Vom arata ca:

1) . Daca in relatia:



adevarata pentru orice din si orice , trecem la limita dupa si obtinem:

,

si deci avem:

pentru , adica

2) Sirul apartine multimii . Pentru si avem:

, ;

ultima relatie se mai scrie si ca :

.

Sirul fiind marginit exista numerele , astfel incit pentru orice si deci:

unde , si prin urmare sirul este marginit.

Problema 15.

Sa se arate ca functia , , unde si defineste un produs scalar pe .

Solutie: Functia este evident o functionala biliniara simetrica si deci ramine sa aratam ca este pozitiv definita: pentru orice din ;daca atunci si , adica .



Date post:	29-Dec-2014
Category:	Documents
Upload:	ramona-alexandru
View:	38 times
Download:	1 times

10._Spatii_euclidiene

Documents