1

Componente şi circuite pasive - CCP

Cursul 8

2

Cuprins

Inductanţa

Inductanţa electrică ca element de circuit

Comportarea în curent continuu

Comportarea în curent alternativ

Comportarea în regim tranzitoriu

Circuitul RLC serie

Circuitul RLC paralel

3

Adrese web unde pot fi găsite informaţii

pentru curs http://en.wikipedia.org/wiki/RL_circuit

http://www.play-hookey.com/ac_theory/ac_rl_series.html

http://en.wikibooks.org/wiki/Circuit_Theory/RLC_Circuits#Series_RLC_Cir

cuit

http://members.aol.com/_ht_a/RAdelkopf/rl.html

http://www.tpub.com/neets/book2/4l.htm

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/rlcpar.html

4

Inductanţa electrică ca element de circuit

Proprietatea electrică a elementului de circuit denumit inductanţă este aceea de a genera un flux magnetic când este parcursă de un curent electric.

Unitatea de măsură pentru inductanţă este Henri-ul [H]. Valorile întâlnite în practică pentru inductivităţi încep de la subunităţile nH şi H până la mH şi H.

IL

dt

diLv

dt

di

v

dt

didt

d

L LL

L

L

L

I

L

VL

Conductor

Conductor

Mediu carcaterizat

de permebilitatea

magnetică relativăr

I

Liniile de flux magnetic

5

Inductanţa electrică ca element de circuit

Componenta electronică caracterizată în principal prin inductanţă electrică este bobina. Ea conţine mai multe înfăşurări numite spire.

Pentru o bobină inductanţa poate fi exprimată în funcţie de numărul de spire, N, de dimensiunile sale geometrice (A-aria unei spire şi l-lungimea bobinei) şi de proprietăţile magnetice ale mediului:

H/m104 7

0

2

0

l

ANL r

l

D

6

Energia înmagazinată în inductanţă

Inductanţa nu disipă putere dar înmagazinează o anumită

energie magnetică atunci când este străbătută de

curentul I şi o cedează când acest curent dispare din ea:

2

0002

1L

T

LL

T

LL

T

m LIdtdt

diLidtivpdtW

7

Conectarea inductivităţilor în serie

Prin conectarea mai multor

inductivităţi în serie se obţine o

inductivitate echivalentă egală

cu suma acestor inductivităţi :

n

i

iech

n

i

iABiAB

i

ii

AB

ABech

LL

iivv

dt

di

vL

dt

di

vL

1

1

;

;

A

A

B

B

LnL2

Lech

L1

8

Conectarea inductivităţilor în paralel

Prin conectarea mai multor inductivităţi în paralel se obţine o inductivitate echivalentă dată de relaţia:

n

i iech

n

i

iABiAB

i

ii

AB

ABech

LL

vvii

dt

di

vL

dt

di

vL

1

1

11

;

;

B

A

B

A

L1 L2 Ln Lech

9

Comportarea inductivităţilor în curent

continuu (CC)

Inductivităţile sunt echivalente

în curent continuu cu un

scurtcircuit.

0. dt

diLvcsti AB

ABAB

Circuit

electronic

B

A B

V1 V2=V1

V =0AB

DC

L

Circuit

electronic

A B

V1 V2=V1

V =0AB

10

Comportarea inductiviţilor în curent

alternativ (CA) Inductivităţile sunt echivalente în curent alternativ cu o

impedanţă, ZL. Considerăm curentul prin inductanţă prin reprezentarea sa complexă:

LZX

LjZi

viLj

eeILjdt

eeVIdLv

eeIidt

diLv

LL

L

L

LL

jtjjtj

L

jtj

LL

L

;

Reactanţa inductanţei

11

Comportarea inductivităţilor în curent

alternativ (CA)

Impedanţa (reactanţa) inductivităţii este

dependentă de pulsaţie (frecvenţă).

În curent alternativ imitanţele circuitelor cu

inductivităţi vor fi dependente de frecvenţa

semnalelor.

În consecinţă şi circuitele ce conţin inductivităţi au

proprietatea de filtrare a semnalelor.

12

Filtru RL trece sus

R

Lj

R

Lj

jv

jvjH

vLjR

Ljv

ZR

Zv

i

o

ii

L

Lo

1)(

)()(

Pentru R=1 K şi L=160 H se obţine:

6

6

3

6

3

6

101

10

10

1016021

10

101602

)(

fj

fj

fj

fj

jfH

Exerciţii:

Deduceţi relaţia vo=f(vi).

Identificaţi circuitul din cursul anterior care realiza aceeaşi funcţie.

vo

R

vi L

13

Caracteristicile de frecvenţă ale filtrului

RL trece sus

14

Filtru RL trece jos

R

Lj

jv

jvjH

vLjR

Rv

ZR

Rv

i

o

ii

L

o

1

1

)(

)()(

6

3

6101

1

10

1016021

1)(

fj

fj

jfH

Pentru R=1 K şi L=160 H se obţine:

Exerciţii:

Deduceţi relaţia vo=f(vi).

Identificaţi circuitul din cursul anterior care realiza aceeaşi funcţie.

vi

voR

L

15

Caracteristicile de frecvenţă ale filtrului

RL trece jos

16

Comportarea inductivităţii la înaltă

frecvenţă

La înaltă frecvenţă, acolo unde reactanţa inductivităţii devine mult mai mare decât rezistenţele din circuitele anterioare, inductanţa poate fi echivalată (la limită) cu o întrerupere a circuitului.

vi

R

vi

vo

vi

voR

=

0=

FÎF

FÎF

vo

R

vi L

voR

L

vi

17

Şoc de înaltă frecvenţă

În unele circuite inductivităţile sunt utilizate pentru

a separa componentele de curent alternativ de

înaltă frecvenţă (întreruperi în CA) dintre două

circuite fără a afecta transmiterea componentelor

de curent continuu (scurtcircuit în CC), în aceste

situaţii ele se numesc şocuri de înaltă frecvenţă.

18

Exemplu: comportare în cc şi ca

Se consideră

circuitul alăturat

în care sursele

generează

următoarele

semnale.

Pulsaţia este

=107rad/sec mA][sin22020

V][sin2210

ti

tv

I

I

iI

RRR Cv

I

Ls1 s2l

100 nF 1 mH

100 100 100

19

Exemplu: comportare în cc şi ca

Să se determine:

Tensiunea continuă la bornele sarcinii Rl

Tensiunea variabilă la bornele sarcinii Rl

Forma tensiunii de la bornele sarcinii

Puterea disipată pe sarcina Rl

Să se repete analiza pentru =105rad/sec

iI

RRR Cv

I

Ls1 s2l

100 nF 1 mH

100 100 100

20

Comportarea inductivităţii în regim

tranzitoriu

Regimul tranzitoriu în acest caz reprezintă modificarea

stării de curent continuu din circuit.

Pe durata acestor modificări inductivităţile nu pot fi

considerate nici întreruperi nici scurtcircuite.

Analiza de regim tranzitoriu presupune determinarea

modului în care variază curentul prin inductanţe.

În general funcţionarea circuitelor în acest tip de regim

este descrisă de ecuaţii diferenţiale.

21

Stabilirea curentului prin inductanţă la

aplicarea unei tensiuni constante Considerăm iniţial comutatorul

K în poziţia 1. Curentul prin inductanţă este nul.

La un moment dat, considerat moment de referinţă t=t0, comutatorul K trece în poziţia 2.

După un timp suficient de lung, t, curentul prin inductanţă va fi E/R.

Regimul tranzitoriu se desfăşoară între cele două stări de curent continuu ale inductivităţii.

R

E vL

1

2K

iL

vR

L

22

Stabilirea curentului prin inductanţă la

aplicarea unei tensiuni constante

dt

dii

R

E

R

L

dt

diLRiE

dt

diLvviRE

vvE

LL

LL

LLLL

LR

;

;

:TKV

t

LLLL eiiiti

)]()0([)()(

)()(

)()0( 0

tii

ttii

LL

LL

Soluţia ecuaţiei diferenţiale

R

L Constanta de timp a

circuitului

R

E vL

1

K

iL

2

vR

L

23

Variaţia curentului prin inductanţă, iL

)1()(

)(;0)0(

t

L

LL

eR

Eti

R

Eii

24

Variaţia tensiunii pe inductanţă, vL

t

RL

t

LR

eEtvEtv

eERtitv

)()(

)1()()(

25

Semnificaţia constantei de timp a circuitului

Dacă procesul tranzitoriu s-ar desfăşura cu aceeaşi

pantă ca în origine (momentul iniţial), atunci valoarea

finală a mărimilor din circuit s-ar obţine după un timp

egal cu această constantă de timp.

Aşa cum se poate constata, matematic valoarea finală a

curentului prin inductanţă se obţine la infinit.

În practică se consideră că procesul tranzitoriu este

încheiat după 3 (95%) sau după 5 (99%).

26

Exemplu (E=1 V, R=1 K, L=1 mH)

27

Stingerea curentului prin inductanţă

Considerăm iniţial comutatorul K în poziţia 2. Curentul prin inductanţă este E/R.

La un moment dat, considerat moment de referinţă t=t0, comutatorul K trece în poziţia 1.

După un timp suficient de lung, t, curentul prin inductanţă se anulează.

Regimul tranzitoriu se desfăşoară între cele două stări de curent continuu ale inductivităţii.

R

E vL

1

K

iL

2

vR

L

28

Stingerea curentului prin inductanţă

R

E vL

1

2K

iL

vR

L

dt

dii

R

L

dt

diLiR

dt

diLvviR

vv

LL

LL

LLLL

LR

0

;0

;0

0:TKV

Soluţia ecuaţiei diferenţiale

;)()(

;)()(;)(

t

RL

t

LR

t

L

eEtvtv

eEtiRtveR

Eti

t

LLLL eiiiti

)]()0([)()(

0)()(

)()0( 0

tiiR

Ettii

LL

LL

29

Exemplu (E=1 V, R=1 K, L=1 mH)

30

Observaţie

Dacă la trecerea comutatorului K din poziţia 2 în poziţia 1 circuitul rămâne deschis curentul prin circuit se anulează instantaneu ceea ce înseamnă că di/dt. Acest fenomen determină apariţia unei supratensiuni la bornele inductanţei. Această tensiune foarte mare poate fi periculoasă pentru alte circuite.

Protecţia împotriva acestei situaţii se obţine prin introducerea unei diode în circuit.

R

E vL

1

2K

iL

vR

L

R

E vL

1

2K

iL

vR

L

31

Comportarea circuitelor RL la aplicarea

unui tren de impulsuri Reluăm circuitul RL serie

căruia sursa de semnal vI îi aplică un tren de impulsuri dreptunghiulare.

În analiza următoare vom lua în considerare atât tensiunea de la bornele inductivităţii, vL(t), cât şi tensiunea de la bornele rezistenţei, vR(t).

Prin aplicarea sursei de semnal se repetă succesiv fenomenele de tranzitorii analizate anterior.

R

vL

iC

vR

vI

L

32

Cazul A – constanta de timp a circuitului

mult mai mică decât durata impulsurilor

33

Cazul B – constanta de timp a circuitului

mult mai mare decât durata impulsurilor

34

Circuit integrator

Dacă tensiunea de ieşire este tensiunea de pe rezistenţă efectul circuitului asupra semnalului de intrare este de atenuare a fronturilor, fiind similar cu cel al operaţiei matematice de integrare.

În această situaţie, vO(t)=vR(t), circuitul se numeşte circuit de integrare.

Efectul de integrare este mai pronunţat în cazul B, în care constanta de timp a circuitului este mai mare decât durata impulsurilor.

Funcţia de integrare realizată în regim tranzitoriu este corespondentă funcţiei de FTJ realizată în CA.

35

Circuit derivator

Dacă tensiunea de ieşire este tensiunea de pe inductanţă efectul circuitului asupra semnalului de intrare este de accentuare a fronturilor, fiind similar cu cel al operaţiei matematice de derivare.

În această situaţie, vO(t)=vL(t), circuitul se numeşte circuit de derivare.

Efectul de derivare este mai pronunţat în cazul A, în care constanta de timp a circuitului este mai mică decât durata impulsurilor.

Funcţia de derivare realizată în regim tranzitoriu este corespondentă funcţiei de FTS realizată în CA.

36

Circuitul RLC serie – comportare în CA

Impedanţa echivalentă

între bornele AB este:

CR L

A Bi

vAB

CLjR

CjLjRZZ SechAB

11

Modulul acestei impedanţe este:

C

LCCR

CLRZSech

222222

2 11

37

Circuitul RLC serie – comportare în CA

Se observă că atunci când pulsaţia (frecvenţa) tinde la zero sau la modulul impedanţei tinde şi el la . Această comportare rezultă şi din faptul că în curent continuu capacitatea reprezintă o întrerupere, iar la frecvenţe foarte înalte inductanţa reprezintă o întrerupere.

Se observă că partea imaginară a impedanţei se anulează la frecvenţa:

LC

10

Ea se numeşte frecvenţă de rezonanţă. Din punct de vedere energetic la acestă frecvenţă capacitatea şi inductanţa îşi transferă reciproc energia.

38

Circuitul RLC serie – comportare în CA

Derivata modulului impedanţei se anulează la frecvenţa de

rezonanţă.

Rezultă că frecvenţa de rezonanţă este un punct de extrem

pentru modulul impedanţei, în cazul de faţă el fiind un minim.

La frecvenţa de rezonanţă impedanţa este pur rezistivă fiind

egală cu:

RZSech )( 0

39

Modulul ZSech pentru R=10 , L=10 H, C=100

nF

Exerciţiu:

Reprezentaţi |ZSech| în funcţie de frecvenţă la scară simplu logaritmică

40

Circuitul RLC paralel – comportare în CA

Impedanţa echivalentă

între bornele AB este:

R

C

L

i

A B

vABR

LjLC

Lj

LC

LjRZZRZZ CLPechAB

22

11

||||||

Modulul acestei impedanţe este:

22

2

2 1 LCR

L

LZPech

41

Circuitul RLC paralel – comportare în CA

Se observă că atunci când pulsaţia (frecvenţa) tinde la zero sau la modulul impedanţei tinde la zero. Această comportare rezultă şi din faptul că în curent continuu capacitatea reprezintă o întrerupere, iar la frecvenţe foarte înalte inductanţa reprezintă o întrerupere.

Se observă că partea imaginară a impedanţei devine la frecvenţa:

LC

10

Ea se numeşte frecvenţă de rezonanţă. Din punct de vedere energetic la acestă frecvenţă capacitatea şi inductanţa îşi transferă reciproc energia.

42

Circuitul RLC serie – comportare în CA

Derivata modulului impedanţei se anulează la frecvenţa de

rezonanţă.

Rezultă că frecvenţa de rezonanţă este un punct de extrem

pentru modulul impedanţei, în cazul de faţă el fiind un maxim.

La frecvenţa de rezonanţă impedanţa este pur rezistivă fiind

egală cu:

RZPech )( 0

43

Modulul ZPech pentru R=100 , L=10 H, C=100 nF

Exerciţiu:

Reprezentaţi |ZPech| în funcţie de frecvenţă la scară simplu logaritmică

44

Factorul de calitate - Q

Cele două structuri prezentate sunt utilizate pentru obţinerea unor filtre (FTB şi FOB).

Selectrivitatea acestor circuite faţă de anumite frecvenţe este caracterizată de o mărime sintetică numită factor de calitate. El reprezintă raportul dintre frecvenţa de rezonanţă şi banda definită la 3 dB atenuare/amplificare.

L

RQ

R

LQ

P

S

0

0

45

Activităţi individuale

Determinaţi pentru fiecare situaţie din tabel funcţia pe care o realizează în curent alternativ circuitul alăturat.

Întocmiţi un referat cu tema: “Complementaritatea comportării inductanţelor şi capacităţilor în circuitele electronice”

Circuit 1 Circuit 2 Funcţie realizată

R RLC serie

R RLC paralel

RLC serie R

RLC paralel R

RLC serie RLC paralel

RLC paralel RLC serie

Circuit 1

Circuit 2vi

vo

46

Activităţi individuale

Determinaţi pentru fiecare situaţie din tabel funcţia pe care o realizează în curent alternativ circuitul alăturat.

Întocmiţi un referat cu tema: “Complementaritatea comportării inductanţelor şi capacităţilor în circuitele electronice”

Circuit 1 Circuit 2 Funcţie realizată

R RLC serie

R RLC paralel

RLC serie R

RLC paralel R

RLC serie RLC paralel

RLC paralel RLC serie

Circuit 1

Circuit 2vi

vo