0 Termotehnica Si Masini Termice p

Termotehnică şi maşini termice

I

PREFAŢĂ Lucrarea de faţă a fost concepută pe baza programei analitice a cursului de Termotehnică şi maşini termice al Facultăţii: Forajul sondelor şi exploatarea zăcămintelor, profilele: Petrol şi Transportul depozitarea şi distribuţia hidrocarburilor. În prima parte, capitolele 1…3 sunt prezentate conceptele fundamentale şi principiile termodinamicii. Sunt prezentate atât elementele clasice precum şi conceptele noi dezvoltate în ultimii ani cum sunt ecuaţia puterilor, sursa de entropie, puterea disponibilă pierdută şi noţiuni despre optimizarea entropică a proceselor. Având în vedere profilul acestei facultăţi, capitolul 4 prezintă detaliat noţiunile fundamentale legate de gazele reale şi de amestecurile de gaze reale precum şi metodele de determinare a parametrilor de stare ai gazelor reale şi a amestecurilor de gaze reale. În finalul capitolului sunt prezentate metode de calcul pentru transformările de stare ale gazelor reale. Capitolul 5 este dedicat prezentării termodinamicii arderii, pe lângă conceptele legate de procesul de ardere sunt prezentate elemente legate de formarea noxelor şi metodele de control şi diminuare a emisiilor poluante. Dinamica curgerii gazelor şi vaporilor este prezentată în capitolul 6, iar capitolul 7 este dedicat transferului de căldură, în care sunt abordate şi probleme specifice ce apar în domeniul exploatării zăcămintelor de petrol sau a transportului produselor petroliere. În capitolele 8…12 sunt prezentate principalele tipuri de maşini termice, ciclurile, termodinamice pe baza cărora funcţionează şi ecuaţiile fundamentale ale acestora. Deoarece reprezentarea grafică a transformărilor de stare în diagramele pV şi Ts este utilă pentru înţelegerea fenomenelor şi pentru că evoluţiile sistemelor au la bază curbe greu de desenat am apelat la programe specializate, originale pentru realizarea diagramelor şi a ciclurilor termodinamice din această lucrare. În fiecare capitol sunt prezentate câteva aplicaţii ce au rolul de a preciza modul în care se pot utiliza relaţiile teoretice din capitolul respectiv. Consider că în această lucrare studenţii vor găsi un sprijin pentru însuşirea noţiunilor legate de disciplina: Termotehnică şi maşini termice. Autorul

II

Listă de notaţii

A – secţiunea [m2]; b – funcţia de disponibilitate [J/kg]; cp – căldura specifică izobară [J/kg/K]; cv – căldura specifică izocoră [J/kg/K]; e – energia specifică [J/kg]; E – Energie [J] ; F – forţa [N]; g – acceleraţia gravitaţională 9,8 [m/s2] H – entalpie [J] ; h – entalpie specifică [J/kg]; k – exponent adiabatic; L – lucrul mecanic [J];

l – lucrul mecanic specific [J/kg]; M – masa moleculară [kg/kmol]; m – masa [kg]; •m - debitul masic [kg/s]; n – exponent politropic; Q – căldura [J]; q – căldura unităţii de masă [J/kg]; P – putere [W] ; p – presiune [Pa]; R – constanta gazului [J/kg/K]; RM – constanta universală a gazelor prefecte [J/kmol/K]; S – entropie [J/K]; s – entropia unităţii de masă [J/kg/K]; T – temperatura [K] ; t – temperatura [°C] ; U – energia internă [J]; u – energia internă a unităţii de masă [J/kg]; V – volum [m3]; v – volumul specific [m3/kg]; x – deplasarea [m]; Z – factor de compresibilitate; – cota [m];


III

α - coeficient de dilatare izobară; - coeficient de convecţie;

β - coeficient de compresibilitate izocoră; ε - raport de compresie; - eficienţă frigorifică sau calorică;

γ - coeficient de compresibilitate izotermă; η - randament; ι - timpul [s]; λ - coeficient de conductivitate termică [W/m/K]; - raportul de creştere a presiunii în arderea izocoră; θ - raportul temperaturilor extreme la ITG; µj - coeficientul Joule-Thomson; ρ - densitate [kg/m3]; - raport de destindere prealabilă;

Exponenţi şi indici

a – admisie; e – evacuare; c – ciclu; f – frigorific; m – medie; p – izobară;

– pompă de căldură; v – izocoră; T – izotermă; t – tehnic;

IV

Cuprins 1 Concepte şi definiţii ………..…………………………………………………. 1 1.1 Sistem termodinamic ………………………………………………………… 1 1.2 Transformări de stare ………………………………………………………... 3 1.3 Ecuaţia de stare ……………………………………………………………… 4 1.4 Gazul perfect ………………………………………………………………… 7 1.4.1 Ecuaţia de stare a gazului perfect …..……………………………………… 8 1.4.2 Amestecuri de gaze perfecte ……..………………………………………… 11 1.5 Starea energetică a uni sistem termodinamic, echilibrul termodinamic ……………………………………………………… 13 1.6 Postulatele termodinamicii …………………………………………………... 15 2 Primul principiu al termodinamicii, principiul conservării………………… 18 2.1 Principiul zero al termodinamicii ……………………………………………. 18 2.2 Forme de interacţiune energetică între sistem şi mediul exterior ……………. 18 2.2.1 Lucrul mecanic …………………………………………………………….. 19 2.2.2 Lucrul mecanic de dislocare ……………………………………………….. 21 2.2.3 Lucrul mecanic tehnic ……………………………………………………… 21 2.2.4 Alte forme de interacţiune energetică echivalente lucrului mecanic ………. 23 2.2.5 Lucrul mecanic al unui ciclu termodinamic ……………………………….. 25 2.2.6 Căldura ……………………………………………………………………... 2 2.2.7 Caracteristici ale interacţiunilor energetice ale sistemelor

termodinamice cu mediul exterior …………………………………………. 26 2.3 Primul principiu al termodinamicii …………………………………………… 27 2.3.1 Formularea primului principiu al termodinamicii

pentru o transformare de stare ………………………………………………. 27 2.3.2 Formularea primului principiu al termodinamicii

pentru sisteme deschise ……………………………………………………… 31 2.3.2.1 Ecuaţia puterilor …………………………………………………………. 31 2.3.2.2 Legea conservării masei pentru un volum de control ……………………. 31 2.3.2.3 Ecuaţia primului principiu al termodinamicii

pentru sisteme deschise …………………………………………………… 33 2.4 Evaluarea energiei interne şi a entalpiei ………………………………………. 36 2.5 Analiza energetică a transformărilor de stare …………………………………. 38 2.5.1 Transformarea izocoră ………………………………………………………. 39 2.5.2 Transformarea izobară ………………………………………………………. 41 2.5.3 Transformarea izotermă ……………………………………………………... 42 2.5.4 Transformarea adiabată …………………………………………………….. 44 2.5.5 Transformarea politropă …………………………………………………….. 47 3 Principiul al doilea al termodinamicii, principiul evoluţiei ……………………… 54 3.1 Noţiuni generale despre cicluri termodinamice ………………………………. 54 3.2 Ciclul Carnot ………………………………………………………………….. 59 3.3 Enunţuri ale principiului al doilea al termodinamicii ………………………… 61 3.3.1 Enunţul lui Clausius ………………………………………………………… 61


V

3.3.2 Enunţul lui Kelvin-Planck …………………………………………………. 61 3.4 Entropia ……………………………………………………………………… 62 3.4.1 Variaţia entropiei pentru transformările de stare reversibile, ale gazelor perfecte ……………………………………………. 63 3.4.2 Diagrame temperatură entropie ……………………………………………. 64 3.4.3 Expresiile diferenţiale combinate ale celor două principii ale termodinamicii ……………………………………………….. 65 3.5 Variaţia entropiei în transformările ireversibile ……………………………… 66 3.5.1 Generarea de entropie în sistemele deschise ……………………………….. 67 3.5.2 Teorema Gouy-Stodola …………………………………………………….. 71 3.5.3 Puterea maximă disponibilă în procesele de transport ……………………… 73 3.5.4 Entropia generată în cazul curgerilor cu frecare ……………………………. 74 4 Gaze reale ………………………………………………………………………… 76 4.1 Potenţiale termodinamice ……………………………………………………... 76 4.1.1 Entalpia ……………………………………………………………………… 76 4.1.2 Energia liberă ……………………………………………………………….. 77 4.1.3 Entalpia liberă ………………………………………………………………. 77 4.1.4 Relaţiile lui Maxwell ……………………………………………………….. 77 4.2 Analiza comportării gazelor reale …………………………………………….. 79 4.3 Condiţiile de echilibru lichid-vapori ………………………………………….. 83 4.3.1 Ecuaţia lui Clapeyron ………………………………………………………. 84 4.3.2 Ecuaţia presiunii de saturaţie ………………………………………………. 85 4.3.3 Noţiunea de fugacitate ……………………………………………………… 86 4.3.3.1 Calculul fugacităţii pentru faza vapori …………………………………… 88 4.3.3.2 Calculul fugacităţii pentru faza lichidă …………………………………… 89 4.4. Termeni de corecţie pentru gazele reale ……………………………………… 90 4.4.1 Calculul variaţiei entalpiei …………………………………………………. 91 4.4.2 Calculul variaţiei entropiei …………………………………………………. 92 4.5 Metode de calcul pentru parametrii de stare ai gazelor reale ………………… 94 4.5.1 Legea stărilor corespondente ……………………………………………….. 94 4.5.2 Corelaţii în funcţie de trei parametri. Factorul acentric ……………………. 96 4.5.3 Ecuaţii de stare ……………………………………………………………... 100 4.5.3.1 Ecuaţia cu viriali …………………………………………………………. 102 4.5.3.1.1 Corelaţia lui Berthelot …………………………………………………. 102 4.5.3.1.2 Corelaţiile lui Pitzer …………………………………………………… 103 4.5.3.2 Ecuaţia de stare Redlich Kwong ………………………………………… 104 4.5.3.2.1 Determinarea parametrilor „a” şi „b” pornind de la

coordonatele critice ……………………………………………………. 105 4.5.3.2.2 Factorul de compresibilitate obţinut cu ecuaţia Redlich Kwong ……… 106 4.5.3.2.3 Determinarea factorilor corectivi pe baza ecuaţiei Redlich Kwong …… 107 4.5.3.2.3.1 Fugacitatea şi abaterea entalpiei libere ………………………………. 107 4.5.3.2.3.2 Abaterea entalpiei ……………………………………………………. 108 4.5.3.2.3.3 Abaterea entropiei …………………………………………………… 109 4.5.3.2.4 Determinarea echilibrului lichid-vapori cu ecuaţia Redlich Kwong …. 109 4.5.3.3 Ecuaţia Benedict-Webb-Rubin …………………………………………. 111 4.5.3.4 Analiza comparativă a ecuaţiilor de stare ………………………………. 112

VI

4.6 Transformări de stare pentru gaze reale …………………………………….. 116 4.6.1 Comprimarea gazelor reale ………………………………………………… 116 4.6.2 Destinderea gazelor reale ………………………………………………….. 123 4.6.3 Laminarea gazelor reale …………………………………………………… 126 4.7 Amestecuri de gaze reale ……………………………………………………. 132 4.7.1 Noţiuni generale …………………………………………………………… 132 4.7.2 Analiza echilibrului lichid-vapori pentru un amestec de gaze reale ………. 134 4.7.2.1 Analiza echilibrului izoterm lichid-vapori pentru un amestec binar ……. 134 4.7.2.2 Analiza echilibrului izobar lichid-vapori pentru un amestec binar ……… 137 4.7.2.3 Calculul echilibrului lichid-vapori pentru un amestec multicomponent … 139 4.7.2.4 Calculul compoziţiei amestecului în cazul vaporizării parţiale ………… 142 4.7.2.5 Determinarea limitelor de încadrare al amestecului ……………………. 142 4.7.3 Determinarea parametrilor termodinamici ai amestecurilor

de gaze reale ………………………………………………………………. 143 4.7.3.1 Determinarea volumului specific al amestecului de gaze reale …………. 143 4.7.3.2 Programe pentru amestecuri de gaze reale ………………………………. 145 5 Termodinamica arderii …………………………………………………………. 147 5.1 Procesul de arderea ………………………………………………………….. 147 5.1.1 Arderea unei hidrocarburi de tipul yxHC ………………………………... 148 5.1.2 Analiza arderii unui combustibil definit prin compoziţia elementară ……. 153 5.1.3 Determinarea excesului de aer prin analiza gazelor de ardere ……………. 156 5.2 Analiza energetică a procesului de ardere …………………………………… 158 5.2.1 Entalpia de formare ……………………………………………………….. 159 5.2.2 Determinarea temperaturii de ardere ……………………………………… 160 5.3 Analiza arderii în cazul procesului de combustie subterană ………………... 162 5.4 Controlul arderii şi poluarea ………………………………………………… 165 5.4.1 Formarea şi caracteristicile componentelor gazelor de ardere ……………. 166 5.4.1.1 Monoxid de carbon (CO) ………………………………………………… 166 5.4.1.2 Hidrocarburi (HC) ……………………………………………………….. 167 5.4.1.3 Oxizi de azot (Nox) ………………………………………………………. 168 5.4.1.4 Bioxidul de carbon (CO2) ……………………………………………….. 168 5.4.1.5 Oxigenul ………………………………………………………………… 168 5.4.1.6 Bioxid de sulf (SO2) …………………………………………………….. 168 5.4.1.8 Fum / particule / negru de fum ………………………………………….. 168 5.4.2. Utilizarea catalizatorului pentru combaterea noxelor …………………….. 169 5.4.3 Reducerea noxelor prin recircularea gazelor arse …………………………. 173 6 Termodinamica curgerii gazelor şi vaporilor …………………………………… 175 6.1 Ecuaţiile mişcării staţionare, monodimensionale, adiabate a gazelor ……….. 175 6.1.1 Proprietăţile stării frânate …………………..................…………………… 175 6.1.2 Viteza sunetului într-un gaz perfect ……………………………………….. 177 6.1.3 Caracterizarea ajutajelor funcţie de criteriul Mach ……………………….. 179 6.1.4 Parametrii frânaţi şi parametrii critici ……………………………………… 181 6.2 Ajutajul convergent ………………………………………………………….. 182 6.3 Ajutajul divergent ……………………………………………………………. 184 6.4 Ajutajul convergent-divergent (Laval) ………………………………………. 185 6.5 Undele de şoc normale ce apar la curgerea gazelor perfecte prin ajutaje ……. 186


VII

7 Transferul de căldură …………………………………………………………… 192 7.1 Mecanismele transferului de căldură ………………………………………… 192 7.1.1 Conducţia ………………………………………………………………….. 192 7.1.2 Convecţia ………………………………………………………………….. 194 7.1.3 Radiaţia ……………………………………………………………………. 195 7.2 Metode de analiză utilizate în transferul de căldură ………………………… 196 7.3 Transferul de căldură prin conducţie ………………………………………… 199 7.3.1 Ecuaţia lui Fourier, ecuaţia difuziei căldurii ……………………………….. 199 7.3.2 Conducţia staţionară prin pereţi plani paraleli ……………………………... 205 7.3.2.1 Analogia electrică ………………………………………………………... 207 7.3.2.2 Rezistenţa de contact ……………………………………………………. 210 7.3.3 Conducţia staţionară prin pereţi cilindrici …………………………………. 214 7.3.4 Conducţia staţionară prin pereţi sferici ……………………………………. 219 7.3.5 Elemente de conducţia nestaţionară ……………………………………….. 220 7.3.5.1 Metoda capacităţii punctiforme ………………………………………….. 220 7.3.5.2 Analiza metodei capacităţii punctiforme ………………………………… 223 7.3.5.3 Soluţii exacte pentru ecuaţia difuziei căldurii în cazul

unui corp solid, semiinfinit ………………………………………………. 226 7.4 Convecţia …………………………………………………………………….. 229 7.4.1 Analiza procesului de convecţie în stratul limită …………………………... 230 7.4.2 Similitudinea în stratul limită, criterii de similitudine …………………….. 233 7.4.3 Convecţia forţată în spaţiu nelimitat ………………………………………. 235 7.4.4 Convecţia liberă în spaţiu nelimitat ……………………………………….. 239 7.4.5 Convecţia forţată în cazul curgerii fluidelor prin interiorul ţevilor ………... 242 7.4.5.1 Analiza stratului limită ………………………………………………….. 242 7.4.5.2 Bilanţul energetic al curgerii ……………………………………………. 244 7.4.5.3 Soluţii analitice pentru curgerea laminară, complet dezvoltată …………. 247 7.4.5.4 Ecuaţii criteriale pentru determinarea coeficientului de convecţie ……… 249 7.5 Schimbătoare de căldură …………………………………………………….. 253 7.5.1 Tipuri de schimbătoare de căldură ………………………………………… 253 7.5.2 Coeficientul global de schimb de căldură …………………………………. 255 7.5.3 Metoda temperaturii medii logaritmice ……………………...……………. 256 7.5.4 Determinarea temperaturii medii logaritmice în cazul schimbătoarelor

cu mai multe treceri sau circulaţie încrucişată …………………………….. 260 7.5.5 Metoda NTU ………………………………………………………………. 262 8 Compresoare …………………………………………………………………….. 271 8.1 Compresoare volumetrice ……………………………………………………. 271 8.1.1 Compresoare volumetrice cu piston ……………………………………….. 271 8.1.2 Compresoare cu piston cu mai multe trepte ……………………………….. 276 8.1.3 Compresoare volumetrice, rotative cu lamele culisante …………………… 280 8.1.4 Compresoare volumetrice, cu rotoare profilate de tip Roots ………………. 282 8.2 Compresoare dinamice ………………………………………………………. 284 8.2.1 Compresoare centrifugale ………………………………………………….. 284 8.2.2 Compresoare axiale ……………………………………………………….. 289

VIII

9 Instalaţii de forţă cu abur ……………………………………………………….. 292 9.1 Ciclul Rankine ………………………………………………………………. 292 9.2 Procesul termogazodinamic din treapta de turbină ………………………….. 295 9.3 Influenţa presiunii şi temperaturii asupra ciclului Rankine …………………. 296 9.4 Ciclul cu supraîncălzirea intermediară a aburului …………………………… 299 9.5 Cicluri regenerative ………………………………………………………….. 301 9.6 Cogenerarea ………………………………………………………………….. 302 10 Turbina cu gaze ……………………………………………………………….. 305 10.1 Ciclul Brayton ……………………………………………………………… 306 10.2 Ciclul turbinei cu gaze cu regenerare ………………………………………. 310 10.3 Instalaţii ce funcţionează pe baza ciclurilor combinate Brayton-Rankine ……………………………………………….. 312 11 Motoare cu ardere internă ……………………………………………………… 315 11.1 Ciclurile termodinamice ale motoarelor cu ardere internă .……………….. 316 11.2 Supraalimentarea motoarelor ………………………………………………. 322 11.3 Noţiuni despre comanda electronică a motoarelor ………………………… 325 11.3.1 Sistemul de injecţie electronică monopunct ……………………………… 328 11.3.2 Sistemul de injecţie electronică multipunct ………………………………. 329 11.3.3 Sistemul electronic de injecţie directă de benzină GDI

(Gasoline Direct Injection) ………………………………………………. 331 11.3.4 Comanda electronică a motoarelor diesel ……………………………….. 332 12 Instalaţii frigorifice ……………………………………………………………. 337 12.1 Ciclul termodinamic al instalaţiei frigorifice cu vapori, cu compresie mecanică ……………………………………………………….. 338 12.2 Ciclul termodinamic al instalaţiei frigorifice cu gaze

necondensabile ……………………………………………………………… 340


1

1. Concepte şi definiţii

1.1 Sistem termodinamic Dezvoltarea ştiinţelor a impus pentru analiza fenomenelor naturale sau a

experimentelor introducerea unor concepte care să uşureze înţelegerea acestora. Un concept fundamental îl constituie acela de sistem. Termenul provine din grecescul sistema care înseamnă ansamblu, reuniune, punere împreună a mai multor obiecte.

Pentru noţiunea utilizată în tehnica, putem defini sistemul ca un ansamblu de elemente interconectate dinamic, capabil de a se individualiza de mediul ambiant prin realizarea unei funcţii sau a unui grup de funcţii.

Astfel, de exemplu, funcţia unei conducte este de a permite transportul fluidelor sub acţiunea unui gradient de presiune sau a câmpului gravitaţional. Această funcţie se realizează indiferent de materialul din care este alcătuită conducta şi de natura fluidului care curge prin ea. În plus, faţă de un canal, la o conductă apare şi funcţia de containerizare a fluidului. Rezultă deci, şi o protecţie a mediului ambiant în cazul fluidelor toxice, poluante chimic, termic sau radioactiv.

Un sistem la care sunt analizate interacţiunile energetice dintre părţile componente şi dintre sistem şi mediu înconjurător îl numim sistem termodinamic.

În figura 1.1 sunt prezentate două exemple de sisteme termodinamice.

Fig. 1.1

Figura 1.1 a) reprezintă un cilindru în care evoluează un gaz. La partea inferioară cilindrul este închis de un perete mobil denumit piston. Pentru uşurinţa analizei se defineşte un volum de control, reprezentat punctat în figură, ce delimitează zona de interes de restul obiectelor. Tot ce rămâne în afara volumului de control reprezintă mediul exterior. Limita volumului de control, desenată printr-o linie punctată defineşte graniţa sistemului, ea poate avea un suport fizic (de exemplu un perete) sau poate fi fictivă. Pentru descrierea matematică a sistemului, graniţa reprezintă locul unde se definesc condiţiile la limită.

Concepte şi definiţii

2

Astfel, pentru cilindrul din figura 1.1 a) gazul nu poate ieşi sau intra in cilindru,

deci graniţa sistemului (care în acest caz este reprezentată fizic de pereţii cilindrului şi capul pistonului) nu permite schimbul de substanţă cu mediul exterior; în acest caz sistemul se numeşte sistem închis. Graniţa sistemului permite, însă, schimburile energetice cu mediul exterior, sub formă de căldură şi / sau lucru mecanic. În figura 1.1 b) volumul de control defineşte un sistem termodinamic format de o porţiune dintr-o conductă. Observăm că volumul de control are, în acest caz, şi graniţe fictive, definite pe secţiunea conductei. Prin aceste graniţe fictive circulă un fluid, iar sistemul în care este permis schimbul de substanţă cu mediul exterior se numeşte sistem deschis. Dacă graniţa sistemului nu permite schimbul de căldură cu mediul exterior, denumim sistemul ca un sistem adiabat. În figura 1.2 sunt prezentate sintetic categoriile de sisteme termodinamice funcţie de schimburile de substanţă sau energie ce pot avea loc prin graniţele sistemului.

Fig. 1.2

Problema fundamentală a termodinamicii o constituie transformarea căldurii în

lucru mecanic. Lucrul mecanic este o formă de energie ce apare şi există atât timp cât se produce o deplasare a unei mase. Pentru ca un sistem termodinamic să poată produce lucru mecanic, trebuie ca graniţa acestuia să se deformeze. În interiorul graniţei sistemului termodinamic trebuie să existe un cop care să poată să se deformeze semnificativ odată cu graniţa sistemului, menţinându-şi continuitatea. Acest lucru este posibil dacă în interiorul sistemelor termodinamice evoluează gaze sau vapori.

NU

DA

ST ADIABATIC NU

DA

DA

NU

TRANSFER DE MASĂ

TRANSFER DE LUCRU MECAHIC TRANSFER DE CĂLDURA

ST ÎNCHIS

ST DESCHIS


3

Principalele mărimi ce se pot măsura în interiorul unui sistem termodinamic sunt presiunea, volumul şi temperatura. Valoarea acestor mărimi la un moment dat defineşte starea sistemului termodinamic. Parametrii care definesc starea sistemului se numesc parametrii de stare, aceştia fiind:

a) presiunea:

- se notează cu p ; - prin definiţie, presiunea reprezintă raportul dintre forţa normală şi

suprafaţa pe care se exercită: S/Fp = (F - forţa, S - suprafaţa); - în Sistemul Internaţional (SI) se măsoară în pascali: Pa, 1Pa = 1N/m2;

b) volumul: - se notează cu V, iar în Sistemul Internaţional se măsoară în m3; - se defineşte: volumul specific m/Vv = , ( V - volumul,

m - masa ); - unitatea de măsură în SI este m3/kg;

c) temperatura:

- se notează cu T, unitatea de măsură în SI este K (Kelvin), o altă unitate, tolerată si utilizată des la măsurarea temperaturii, notată cu t, este gradul Celsius oC; legătura între cele două scări de temperatură este: 15,273tT += ;

(1oC = 273 K)

1.2 Transformări de stare

Starea unui sistem, la un moment dat, este dată de totalitatea valorilor parametrilor de stare. Imaginea stării sistemului într-un spaţiu tridimensional ce are ca axe presiunea, volumul şi temperatura, este un punct.

În figura 1.3 punctele 1 şi 2 reprezintă stări ale sistemului termodinamic. În timp, parametrii de stare ai sistemului termodinamic pot evolua; dacă reprezentăm grafic totalitatea stărilor prin care trece sistemul, de la starea 1 la starea 2, obţinem o curbă. Procesul de evoluţie a sistemului termodinamic de la starea 1 la starea 2 poartă denumirea de transformare de stare. În termodinamică vom întâlni două feluri de transformări termodinamice:

- transformări reversibile - sunt transformări teoretice (ideale), în care sistemul termodinamic evoluează de la starea 2 la stare 1 exact prin aceleaşi puncte (stări) prin care a evoluat de la 1 la 2. Ecuaţia transformărilor reversibile nu depinde de direcţia timpului. ( ) ( )ττ −= FF , un exemplu de astfel de ecuaţie fiind ecuaţia propagării undelor în vid:


4

012

2

22

2

2

2

2

2=

∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

τψψψψ

czyx (1.1)

Fig. 1.3

- transformări ireversibile - sunt transformări reale în care evoluţiile sistemului de la starea 1 la starea 2 şi invers au loc pe curbe diferite. Ecuaţiile ce descriu transformările ireversibile depind de direcţia timpului, adică ( ) ( )ττ −≠ FF , un exemplu de astfel de ecuaţie fiind ecuaţia conducţiei:

( )τ

ρλ∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−

→ TcTgraddiv p (1.2)

1.3 Ecuaţia de stare

Totalitatea evoluţiilor posibile ale unui sistem termodinamic formează în spaţiul p, V, T o suprafaţă. Ecuaţia acestei suprafeţe este:

0)T,V,pF( = (1.3)

V

T

1

p

2


5

Având în vedere că în interiorul sistemelor termodinamice evoluează gaze sau vapori, substanţe ce nu prezintă discontinuităţi locale, proprietăţile acestora pot fi descrise prin funcţii continue şi derivabile. Această observaţie ne permite să obţinem câteva relaţii utile pornind de la ecuaţia de stare.

Ecuaţia (1.3) exprimă o legătură între parametrii de stare. Putem explicita pe fiecare dintre ei funcţie de ceilalţi doi, obţinând alte trei forme ale ecuaţiei de stare:

)T,V(pp = (1.4) )T,p(VV = (1.5) )V,p(TT = (1.6) Considerând că presiunea p este o funcţie continuă şi derivabilă în raport cu V şi

T, diferenţiem ecuaţia (1.4), obţinând:

dTTpdV

Vpdp

VT⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂

∂∂ (1.7)

Indicele T sau V scris lângă derivata parţială arată că acel parametru este constant

în timpul derivării. Dacă notăm:

TV

pN ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∂∂ (1.8)

VV

pM ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∂∂ (1.9)

expresia diferenţialei devine: MdTNdVdp += (1.10) Condiţia ca relaţia (1.10) sa fie o diferenţială totală este ca:

VM

TN

∂∂

∂∂

= (1.11)

sau VTp

TVp 22

∂∂∂

∂∂∂

= (1.12)

Această condiţie se realizează dacă derivatele parţiale ale lui p în raport cu V şi

respectiv T sunt continue şi derivabile.


6

Mărimea termodinamică caracterizată de funcţia care îndeplineşte condiţia (1.11) este, din punct de vedere matematic, o diferenţială totală exactă; ea se numeşte mărime de stare şi se poate calcula în fiecare punct al suprafeţei definite de ecuaţia (1.3), deci în fiecare stare a sistemului.

Variaţia mărimii respective între două stări se calculează printr-o integrală curbilinie în lungul funcţiei ce reprezintă transformarea de stare. Fiind o diferenţială totală exactă, valoare integralei “nu depinde de drum”, adică este aceeaşi indiferent ce curbă am alege pentru a efectua integrala; ea depinde numai de valorile din stările iniţială şi finală. Rezultă, din cele de mai sus, că variaţia unei mărimi de stare nu depinde de felul transformării termodinamice, ci numai de valorile iniţiale şi finale.

Proprietăţile prezentate mai sus sunt valabile pentru oricare dintre funcţiile (1.4), (1.5) sau (1.6).

Diferenţiind ecuaţia (1.5) şi substituind-o în (1.7) obţinem:

dTTVdp

pVdV

pT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∂∂

∂∂ (1.13)

dTTpdT

TVdp

pV

Vpdp

VpTT⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ (1.14)

dTTp

TV

Vpdp

pV

Vpdp

VpTTT ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ (1.15)

In expresia (1.15) dp si dT sunt diferenţiale, adică nişte variaţii mici arbitrare ale

parametrilor de stare. Astfel: - dacă dT = 0 rezultă

1pV

Vp

TT

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ (1.16)

- dacă dp = 0 rezultă

0Tp

TV

Vp

VpT

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∂∂ (1.17)

sau 1pT

TV

Vp

VpT

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∂∂ (1.18)

Derivatele parţiale ale mărimilor de stare p, V şi T au o interpretare fizică ce poate

fi prezentată introducând următorii coeficienţi:


7

- coeficient de dilatare izobară:

0pp0

VTV

TV

V1 α

∂∂

∂∂α =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= (1.19)

- coeficient de compresibilitate izocoră:

0VV0

pTp

Tp

p1 β

∂∂

∂∂β =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= (1.20)

- coeficient de compresibilitate izoterma:

0TT0

VpV

pV

V1 γ

∂∂

∂∂γ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= (1.21)

Exprimând derivatele parţiale din ecuaţiile (1.19), (1.20) şi (1.21) şi substituindu-

le în ecuaţia (1.18), rezultă: βγα 0p= (1.22)

α, β şi γ poartă denumirea de coeficienţi termodinamici fizici. Aceştia

evidenţiază proporţionalitatea dintre variaţia unei mărimi de stare faţă de alta, în anumite condiţii restrictive. De exemplu, dacă un gaz având volumul V şi temperatura T se încălzeşte izobar la temperatura T+∆T, volumul acestuia va deveni V+∆V şi va putea fi calculat cu relaţia: TVV ∆=∆ α (1.23)

1.4 Gazul perfect Gazele sau vaporii care evoluează în interiorul sistemelor termodinamice poartă

denumirea de agenţi termodinamici. În acest paragraf vom analiza gazul perfect ca agent termodinamic.

Din punct de vedere istoric, în secolele 17 şi 18 au fost stabilite, pe cale experimentală, legile gazelor având o exprimare matematică simplă. Cercetări ulterioare au demonstrat că aceste legi nu exprimă riguros comportarea gazelor reale, dar în anumite condiţii, pentru o largă categorie de gaze, aceste legi pot exprima comportarea gazelor reale. Observaţia de mai sus, precum şi simplitatea expresiilor matematice ale legilor gazelor, au făcut ca acestea să se menţină în cadrul termodinamicii sub forma legilor gazului perfect. Practic, s-a introdus un concept nou, gazul perfect, pe baza următoarelor ipoteze:


8

moleculele gazului sunt perfect sferice şi elastice; volumul propriu al moleculelor este neglijabil în raport cu volumul gazului; între molecule nu se exercită forţe de interacţiune; traiectoria moleculelor între două ciocniri este o linie dreaptă.

S-a constatat că o parte dintre gazele din natură au un comportament ce poate fi descris de legile gazului perfect, dacă se găsesc la presiuni relativ scăzute şi temperaturi mari. O categorie de gaze care pot fi aproximate în condiţii mulţumitoare de catre legile gazului perfect o constituie gazele de ardere sau aerul aflat la presiunea şi temperatura mediului ambiant.

1.4.1 Ecuaţia de stare a gazului perfect Experimental, s-au dedus legile ce descriu comportarea gazelor. Acestea s-au

menţinut sub denumirea de legile simple ale gazului perfect. Ele sunt: a) Legea Boyle-Mariotte, care exprimă faptul că la temperatură constantă volumul

gazului variază invers proporţional cu temperatura.

VCp 1= T = C1 = constant ( C1- o constantă) (1.24)

b) Legea Gay-Lussac arată că la presiune constantă volumul variază proporţional

cu temperatura. TCV 2= p =C2 = constant (C2 - o constantă) (1.25) c) Legea lui Charles exprimă faptul că la volum constant presiunea variază

proporţional cu temperatura. TCp 3= V =C3 = constant (C3 - o constantă) (1.26) d) Legea lui Avogadro arată că, în aceleaşi condiţii de presiune şi temperatură,

volume egale de gaze diferite conţin acelaşi număr de molecule. O consecinţă importantă o constituie independenţa numărului de molecule faţă de

natura gazului, astfel că în aceleaşi condiţii de presiune şi temperatură, un kilomol de gaz conţine N = 6,023·1026 molecule. Acest număr poartă denumirea de numărul lui Avogadro.

Deoarece un kilomol de gaz conţine un număr bine determinat de molecule, rezultă ca volumul molar în starea normală are aceeaşi valoare pentru toate gazele.

Starea normala se defineşte prin următoarele valori ale parametrilor de stare: pN = 1,013·105 Pa şi TN = 273 K. În aceste condiţii (VM)N, volumul molar la

starea normală, este: (VM)N = 22,414 m3/kmol. Pentru a deduce ecuaţia de stare a gazului perfect vom integra expresia

diferenţială (1.27). Derivatele parţiale din această expresie le calculăm în funcţie de legile simple ale gazului perfect.


9

dTTpdV

Vpdp

VT⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂

∂∂ (1.27)

Derivata parţială a presiunii la volum în condiţii izoterme o exprimăm din relaţia

(1.24) scrisă sub altă forma, apoi derivată, rezultând:

VC=p 1 (1.28)

21

T VC

Vp

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ (1.29)

Constanta C1 o exprimăm din relaţia (1.26) şi o introducem în (1.27): pVC1 = (1.30)

Vp

Vp

T

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ (1.31)

Derivata parţială a presiunii la temperatură în condiţii izocore o exprimăm din

relaţia (1.26), prin derivare şi determinarea constantei rezultând:

3V

CTp

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ (1.32)

TpC3 = (1.33)

Tp

Tp

V

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ (1.34)

Înlocuind relaţiile (1.31) şi (1.34) în relaţia (1.27), rezultă:

dTTpdV

Vpdp +−= (1.35)

Pentru a integra această ecuaţie diferenţială, procedăm la separarea variabilelor

prin împărţirea expresiei cu variabila p, rezultând succesiv:

0TdT

VdV

pdp

=−+ (1.36)


10

lnCTpVln = ; C = constantă; (1.37)

CTpV

= (1.38)

Constanta C se poate determina cu ajutorul legii lui Avogadro. Introducând

parametrii p, V şi T la starea normală obţinem, pentru un kilomol, expresia:

8314273

22,414101,013T

)(Vp 5

N

NMN =⋅⋅

= [J/kmol/K] (1.39)

Se notează cu MR şi se defineşte următoarea mărime:

8314RM = [J/kmol/K] (1.40) Ea se numeşte constanta molară universală a gazelor perfecte. Notăm cu n numărul de kilomoli, definit astfel:

Mmn = (1.41)

m - masa gazului; M - masa moleculară a gazului.

Înlocuind (1.39) şi (1.40) în (1.38), obţinem:

TRMmpV M= (1.42)

Se notează cu R şi se defineşte:

MRR M= (1.43)

Această constantă se numeşte constanta gazului, iar ecuaţia (1.42) devine:

mRTpV = (1.44)

Ea se numeşte ecuaţia de stare a gazului perfect sau ecuaţia lui Clapeyron. În termodinamica tehnică se preferă această formulare pentru ecuaţia de stare,

deoarece masa “m” exprimându-se în kilograme, face posibil ca puterea, furnizată sau consumată de sistemul termodinamic, să se exprime în waţi.

1.4.2. Amestecuri de gaze perfecte


11

În practică, sunt situaţii când în sistemele termodinamice evoluează amestecuri

de gaze. Vom analiza în acest paragraf legile amestecurilor de gaze perfecte. Dacă toţi componenţii unui amestec sunt gaze perfecte, numim amestecul amestec de gaze perfecte.

Ori de câte ori se lucrează cu un amestec de gaze, este absolut necesară cunoaşterea compoziţiei acestuia. Astfel, pentru un amestec de gaze se pot defini trei tipuri de compoziţii:

• compoziţia masică:

mmg i

i = ; mmn

1ii =∑

=

; 1gn

1ii =∑

=

; (1.45)

unde: gi reprezintă fracţia masică;

mi - masa componentului „i”; m - masa amestecului; n - numărul de componenţi. • compoziţia molară

nny i

i = ; nnn

1ii =∑

=

; 1yn

1ii =∑

=

; (1.46)

unde: yi reprezintă fracţie molară;

ni - numărul de moli (kilomoli) ai componentului „i”; n - numărul de moli (kilomoli) ai amestecului; n - numărul de componenţi.

• compoziţia volumică

VVr i

i = ; VVn

1ii =∑

=

; 1rn

1ii =∑

=

; (1.47)

unde: ri reprezintă fracţia volumică a componentului „i”; Vi - volumul componentului „i”; V - volumul amestecului; n - numărul de componenţi.

Volumele componenţilor, în aceleaşi condiţii de presiune şi temperatură cu amestecul, se mai numesc volume parţiale.

Prin definiţie, masa moleculară a unui gaz este dată de raportul dintre masa gazului şi numărul de kilomoli. În aceste condiţii, masa moleculară pentru un component „i” se poate defini astfel:


12

]kmol/kg[nmM

i

ii = (1.48)

Trecerea de la o compoziţie la alta se poate face prin relaţiile:

∑∑∑===

=== n

1iii

iin

1iii

iin

1ii

ii

My

My

MN

MN

m

mg (1.49)

∑∑∑===

=== n

1i i

i

i

i

n

1i i

i

i

i

n

1ii

ii

Mg

Mg

Mm

Mm

N

Ny (1.50)

Pentru a defini mărimile specifice amestecurilor de gaze, se consideră un

amestec format din trei componenţi, desenaţi prin figuri geometrice distincte (figura 1.4): a) b)

Fig. 1.4

În figura 1.4 a) sunt prezentaţi componenţii separaţi prin intermediul unor pereţi despărţitori care împiedică amestecarea, dar permit componenţilor să aibă aceeaşi presiune şi aceeaşi temperatură. Dacă se înlătură pereţii despărţitori, gazele se amestecă, rezultând situaţia prezentată în figura 1.4 b). Se obţine, practic, un amestec de gaze.

Legătura dintre mărimile de stare ale componenţilor şi mărimile de stare ale amestecului poate fi stabilită prin intermediul legii lui Dalton sau a legii lui Amagat.

Legea lui Dalton defineşte presiunea amestecului ca fiind suma presiunilor parţiale ale componenţilor. Presiunea parţială a componentului „i” se notează cu pi şi reprezintă presiunea componentului considerat în aceleaşi condiţii de temperatură şi volum cu cele ale amestecului.

∑=

=n

1iipp (1.51)

componentul 1 componentul 2 componentul 3


13

Legea lui Amagat defineşte volumul amestecului ca fiind suma volumelor parţiale ale componenţilor. Prin volum parţial al componentului „i”, notat cu Vi, se înţelege volumul pe care îl ocupă acesta în aceleaşi condiţii de presiune şi temperatură cu cele ale amestecului.

∑=

=n

1iiVV (1.52)

Dacă se consideră ecuaţia de stare pentru gazele perfecte aplicată componentului

„i”, considerată după legea lui Amagat, şi ecuaţia de stare scrisă pentru întreg amestecul, prin împărţirea lor rezultă o relaţie între fracţiile volumice şi molare: TRnpV Mii = (1.53)

TnRpV M= (1.54)

iiii yr

nn

VV

=⇒= (1.55)

Relaţia (1.55) arată că cele trei compoziţii care se pot defini pentru un amestec

nu sunt independente, fracţiile volumice fiind egale cu fracţiile masice. Masa moleculară aparentă a unui amestec de gaze poate fi definită de una din

relaţiile:

i

n

1iii

n

1ii

n

1iii

MrMyn

Mn

nmM ∑∑

∑==

= ==== (1.56)

sau

∑∑

===

i

i

i

i

Mg

1

Mm

mnmM (1.57)

În funcţie de această mărime, se poate defini constanta amestecului:

];K/kmol/J[8314R];K/kg/J[MRR M

M == (1.58)

1.5 Starea energetică a unui sistem termodinamic, echilibrul termodinamic

Starea energetică a unui sistem termodinamic se referă la aspectul macroscopic

şi reprezintă nivelul energetic de ansamblu corespunzător tuturor particulelor conţinute.


14

Intensitatea stării de agitaţie moleculară caracterizează starea energetică a

sistemului şi ca urmare, în timpul unei transformări termodinamice, această intensitate se modifică.

În natură sunt numeroase procese care decurg de la sine (procese naturale), de exemplu trecerea căldurii de la corpuri cu temperatură mai mare la corpuri cu temperatură mai scăzută. Acest proces se desfăşoară pe o durată finită în timp, până la stabilirea echilibrului, care în acest caz este reprezentat de egalitatea temperaturilor. Odată atins echilibrul, sistemul termodinamic izolat de mediul înconjurător nu va mai putea ieşi din această stare.

Starea de echilibru intern reprezintă egalitatea, în toată masa sistemului, a valorilor tuturor parametrilor de stare ce caracterizează sistemul termodinamic. Admiţând că presiunea p şi temperatura T sunt parametrii de stare de care depinde energia gazului perfect închis în cilindrul unui motor, starea de echilibru implică egalitatea acestor valori în tot volumul cilindrului. Notăm cu indicele prim parametrii de stare ai mediului exterior, de exemplu p’, T’, etc. Dacă cel puţin unul dintre parametrii de stare ai sistemului termodinamic are o valoare diferită de valoarea parametrului corespunzător mediului exterior, de exemplu

'pp ≠ sau 'TT ≠ etc., atunci sistemul termodinamic este în dezechilibru extern. Starea de echilibru extern defineşte egalitatea nivelului mediu de energie corespunzătoare sistemului termodinamic şi a mediului extern. Condiţia necesară şi suficientă ca un sistem termodinamic să fie într-o stare de echilibru extern este ca valorile parametrilor de stare ai sistemului termodinamic să fie egale cu valorile parametrilor de stare ai mediului înconjurător.

În capitolele ce urmează vom constata că pe lângă presiune şi temperatură vor mai apare şi alte mărimi de stare, cum sunt energia internă, entalpia, entropia, etc. Condiţiile de echilibru intern sau extern se referă la toate mărimile de stare.

În termodinamica clasică se admite posibilitatea existenţei dezechilibrului extern, dar pentru simplificarea lucrurilor (a modelului matematic ce descrie fenomenul) sistemul termodinamic se consideră totdeauna in echilibru intern.

Scoaterea unui sistem termodinamic din starea de echilibru extern se face prin schimb de lucru mecanic sau căldură cu mediul exterior, de exemplu pistonul unui motor comprimă gazul din cilindru, în timpul arderii gazele se încălzesc de la căldura degajată de reacţia de ardere, etc.

Dezechilibrul intern al unui sistem termodinamic depinde de cât de repede se uniformizează starea energetică în masa acestuia. Timpul scurs de la producerea unui dezechilibru până la uniformizarea stării energetice în masa sistemului se numeşte timp de relaxare. Acest timp are valori diferite funcţie de proces şi sistem. Astfel, uniformizarea presiunii în masa unui gaz se face într-un interval de timp de ~10-6s, dar egalizarea concentraţiilor într-un aliaj metalic are loc în câţiva ani.

Având în vedere că în interiorul sistemelor termodinamice evoluează gaze sau vapori şi că timpul de relaxare pentru aceste corpuri este scăzut, ipoteza prin care sistemele termodinamice tehnice sunt considerate în permanenţă în echilibru intern este destul de aproape de realitate.


15

1.6 Postulatele termodinamicii Termodinamica are la bază două postulate, care se referă la condiţiile de

stabilitate şi menţinere a echilibrului unui sistem. Primul postulat al termodinamicii: Un sistem termodinamic izolat ajunge

totdeauna, după încetarea interacţiunilor energetice cu exteriorul, în starea de echilibru termodinamic intern şi nu poate ieşi de la sine din această stare.

Atingerea stării de echilibru şi menţinerea sistemului în această stare exprimă numai comportarea cea mai probabilă. Teoria fluctuaţiilor de la starea de echilibru arată că, datorită mişcării continue a particulelor din care este format un sistem termodinamic, pentru intervale scurte de timp sunt posibile şi stări de dezechilibru intern, dar aceste fluctuaţii reprezintă abateri spontane cu atât mai puţin probabile cu cât sistemul este compus din mai multe particule. De exemplu, considerăm un volum delimitat arbitrar în două jumătăţi, jumătatea din stânga şi jumătatea din dreapta, în care se găseşte o singură moleculă de gaz. Probabilitatea ca această moleculă să se găsească în jumătatea din dreapta este de 0.5. Dacă ar fi două molecule, probabilitatea ca ambele să se găsească în jumătatea din dreapta ar fi de 0,25. Dacă am avea un număr de molecule N, probabilitatea ca toate să se găsească în jumătatea din dreapta ar fi 1/2N, pentru gaze la presiuni şi temperaturi obişnuite N > 1020, deci probabilitatea apariţiei unei fluctuaţii este foarte mică.

Al doilea postulat al termodinamicii: Toţi parametrii interni ai unui sistem termodinamic la echilibru sunt funcţii de parametri externi şi de energia sistemului.

Postulatul acesta este o consecinţă a faptului că un sistem termodinamic există fizic în timp şi spaţiu, în interacţiune directă cu mediul exterior. Interacţiunile energetice cu mediul exterior produc modificări în energia internă a sistemului. Aceasta este o mărime macroscopică, care însumează energiile moleculelor ce alcătuiesc sistemul. Mărimea termodinamică ce reflectă energia moleculelor sistemului, dar caracterizează şi energia acestuia, ca mărime macromoleculară, este temperatura.

Exemplul E 1.1 O cantitate de gaz perfect se află în starea 1, caracterizată de p1 = 2 [bar], V1 = 0,5 [m3] şi T1 = 1200K. Gazul parcurge o transformare izocoră până în starea 2, apoi o transformare izobară până în starea 3, astfel încât T3 = T1. Să se determine temperatura T2 şi presiunea p2. Soluţie: În figura 6.1 sunt prezentate stările gazului din problema 1. Izoterma punctului 1 fiind o hiperbolă echilateră, este simetrică faţă de prima bisectoare, iar acest lucru ne permite să scriem:

]m[]bar[1

VVpptg 3

23

21 =−−

=α

Din transformarea izocoră 1-2 exprimăm presiunea p2, iar din izobara 2-3 exprimăm volumul V3:

1

212

2

2

1

1

TTpp

Tp

Tp

=⇒=


16

2

11

2

323

3

3

2

2

TTV

TTVV

TV

TV

==⇒=

Înlocuind aceste valori în expresia unghiului rezultă:

250,0m

]bar[1]bar[2]m[5,0

]m[]bar[1

pV

TT

]m[]bar[1

1

TT1V

TT1p

3

3

31

1

1

23

1

21

1

21

===⇒=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Fig. 1.5

Obţinem următoarele valori:

]K[3001200250,0T2 =⋅=

]bar[5,0250,02TTpp

1

212 =⋅==


17

Exemplul E 2.2

Într-un rezervor cu volumul de 10 m3 se găseşte un amestec de gaze cu următoarea

compoziţie volumică: 0,7 metan (CH4), 0,2 etan (C2H6) şi 0,1 propan (C3H8). Gazele sunt la presiunea p1 = 50 [bar] şi temperatura t1 = 15 °C.

a) Prin expunerea la soare, temperatura gazelor din rezervor devine t2 = 65 °C. Să se determine presiunea gazelor în această stare.

b) Să se determine ce volum de gaze la starea normală trebuie extras din rezervorul cald pentru ca presiunea să rămână neschimbată.

Soluţie: a) În acest caz este vorba de o transformare izocoră, prin încălzire volumul rezervorului

se dilată puţin în raport cu dilatarea gazelor, astfel încât această variaţie poate fi neglijată. Aplicând relaţia transformării izocore, obţinem:

36,67273152736550

TTpp

Tp

Tp

1

212

2

2

1

1 =++

==⇒= [bar]

b) Punând condiţia ca presiunea în rezervorul cald să fie egală cu p1 din ecuaţia de

stare, determinăm masa de gaz ce rămâne în rezervor după ce s-a extras excesul de gaze. Având în vedere că în rezervor este un amestec de gaze, determinăm mai întâi masa moleculară a acestuia: 6,211,0442,0307,016MrM ii =⋅+⋅+⋅==∑ [kg/kmol]

Constanta amestecului este 9,3846,21

8314R == [J/kg/K]

79,3443389,384101050

RTVpmRTmVp

5

2

22222 =

⋅⋅

==⇒= [kg]

Masa de gaze aflată iniţial în rezervor o determinăm din ecuaţia de stare aplicată în prima situaţie:

04,4512889,384101050

RTVpmRTmVp

5

1

11111 =

⋅⋅

==⇒= [kg]

Volumul de gaze extras din rezervor este dat de diferenţa de masă împărţită la

densitate în starea normală. Aceasta se calculează din consecinţele legii lui Avogadro, care arată că un kilomol dintr-o substanţă are, la starea normală, un volum de 22,414 [m3].

9636,0414,226,21

414,22M

N ===ρ [kg/Nm3]

1,1069636,0

25,102mmVN

21 ==−

=∆ρ

[Nm3]

Primul principiu al termodinamicii 18

2. Primul principiu al termodinamicii Principiul conservării

2.1 Principiul zero al termodinamicii

Temperatura este o mărime de stare intensivă, cu caracter statistic, introdusă în termodinamică ca o proprietate specifică sistemelor macroscopice. Spre deosebire de ceilalţi parametri de stare (presiune, volum), temperatura nu prezintă un etalon fizic în natură, fiind măsura intensităţii agitaţiei termice a moleculelor, practic o expresie macroscopică a energiei medii a atomilor şi moleculelor ce compun corpurile. La valori constante ale parametrilor externi, temperatura unui corp creşte o dată cu energia cinetică a particulelor componente. Pornind de la ideea intuitivă de cald şi rece, se poate constata dacă un corp îşi menţine echilibrul termic la contactul cu alte sisteme. Principiul zero al termodinamicii: Într-un sistem izolat format dintr-un număr de corpuri în contact termic, condiţia necesară şi suficientă de echilibru este egalitatea parametrului termic pentru toate corpurile considerate. Pentru o diferenţă dată de temperatură între două corpuri cu mase diferite, aduse în contact, modificarea variabilelor de stare se face diferenţiat, în sensul că aceste modificări sunt mai mari pentru corpul cu masă mai mică şi imperceptibile pentru corpul cu masă mai mare. Fenomenul se accentuează pe măsură ce raportul maselor celor două sisteme creşte, ajungându-se la situaţia în care, deşi corpul cu masă mai mică schimbă căldură, celălalt corp cu masă mai mare îşi menţine temperatura neschimbată, jucând rol de rezervor de căldură de capacitate infinită sau termostat. Corpul cu masă mai mică poate juca rol de termometru, preluând temperatura sistemului studiat fără ca, practic, acesta să-şi modifice starea. Definirea cantitativă a temperaturii prin măsurarea ei cu ajutorul unui termometru se realizează stabilind o relaţie între temperatură şi o proprietate fizico-chimică a corpului (dilataţia, efectul termoelectric, transformarea de fază, etc). Această relaţie, definită printr-o funcţie de forma T=f(m), trebuie să îndeplinească mai multe condiţii, între care: să fie continuă, monotonă şi univocă în raport cu mărimea fizico-chimică urmărită. Stabilirea unei scări termometrice este parţial arbitrară. În prezent, cele mai folosite sunt: scara Celsius (cu unitatea °C), scara Fahrenheit (cu unitatea °F) şi scara absolută de temperatură Kelvin (cu unitatea K). Relaţia între aceste scări de temperatură este:

( ) ( ) ( )[ ]67,459Ft9515,273CtKT +=+= oo (2.1)

2.2 Forme de interacţiune energetică între sistem şi mediul exterior Orice sistem termodinamic există şi evoluează în strânsă legătură cu alte sisteme sau corpuri, denumite generic mediul înconjurător. Starea energetică a sistemului termodinamic este influenţată de mediul exterior pentru că în timpul evoluţiei acestuia se produc schimburi energetice între sistem şi mediu. În acest paragraf se vor analiza formele şi metodele de calcul a interacţiunilor energetice dintre sistem şi mediu.

Termotehnică şi maşini termice 19

2.2.1 Lucrul mecanic

Definiţia din mecanică, a lucrului mecanic făcut de o forţa F ce acţionează

asupra unui corp pe direcţia deplasării x între două limite, notate cu 1 şi 2, este:

∫=2

1

FdxL (2.2)

În esenţă, lucrul mecanic reprezintă o formă de energie, deci unitatea de măsură

pentru lucru mecanic este, în Sistemul Internaţional, Joule-ul, simbolizată J. Lucrul mecanic de 1J reprezintă energia necesară deplasării unei forţe de 1N pe distanţa de 1m. a b Fig. 2.1

Lucrul mecanic este o formă de energie care apare şi se manifestă la graniţa

sistemului termodinamic, ca urmare a interacţiunii acestuia cu mediul înconjurător. Pentru a înţelege mai bine acest lucru, să consideram următorul exemplu:

În figura 2.1 este prezentat un sistem format dintr-o baterie şi un motor electric. Lucrul mecanic făcut de sistem - conturat prin linia punctată - asupra mediului înconjurător constă în ridicarea unei greutăţi. Se observă că lucrul mecanic făcut de sistem “străbate” graniţa acestuia. Singurul efect - în acest caz - produs asupra mediului este ridicarea greutăţii. Deoarece, în general, fenomenele au o desfăşurare finită în timp, ţinând seama de durata procesului de ridicare a greutăţii putem concluziona că graniţa sistemului este străbătută de puterea necesară ridicării greutăţii. Puterea, după cum se cunoaşte, reprezintă energie pe unitatea de timp.

Dacă modificăm graniţa sistemului astfel ca ea să includă numai bateria, atunci tot ce rămâne în afara graniţei se consideră mediu exterior, inclusiv motorul şi greutatea. Se pune următoarea problemă: cum interacţionează sistemul cu mediul exterior din punct de vedere al lucrului mecanic. Practic - în acest caz - macroscopic, nu observăm nici o mişcare între motor şi baterie, cu toate că greutatea este ridicată de motor. Graniţa sistemului este străbătută de energia electrică echivalentă lucrului mecanic dezvoltat de motor. Energia electrică echivalentă, raportată la durata procesului, reprezintă puterea furnizată de sistem, în acest caz, mediului exterior.

Un sistem termodinamic este capabil să producă sau să preia lucrul mecanic, ca expresie a deplasării unei forţe, numai dacă graniţa sistemului termodinamic este deformabilă, iar în interiorul acestuia evoluează un gaz.

L

greutate

baterie

motor

“L”

greutate

baterie

motor


Considerăm un gaz ce evoluează în interiorul unui cilindru prevăzut la unul din

capete cu un piston, lucru ce realizează, fizic, o graniţă deformabilă, fig.2.2.

Fig. 2.2

Presupunem că evoluţia gazului din interiorul cilindrului se face de la starea 1 până la starea 2. Pentru o deplasare elementară dx a pistonului, corespunde o variaţie elementară de volum dV=Adx, unde prin A s-a notat suprafaţa pistonului. Lucrul mecanic elementar făcut de gaz este: pdVpAdxFdxL ===δ ( 2.3) Pentru întreaga evoluţie de la 1 la 2 a sistemului, lucrul mecanic este:

∫=2

112 pdVL (2.4)

S-a folosit notaţia Lδ in loc de dL deoarece lucrul mecanic nu este o mărime de

stare, ci este o mărime de proces (de parcurs). Atât timp cât sistemul considerat


(cilindrul cu gaz) nu îşi modifică starea, spre exemplu rămâne în starea 1, nu există lucru mecanic. Acesta apare numai în momentul în care sistemul începe să evolueze către starea 2. Valoarea lucrului mecanic efectuat de sistem în evoluţia sa de la 1 la 2 depinde de tipul acesteia, de restricţiile în care se desfăşoară procesul, fapt care ne conduce la concluzia că integrala lucrului mecanic depinde de drum, deci diferenţiala acestuia nu este o diferenţială totală exactă. Remarcăm şi în acest caz că lucrul mecanic apare şi se manifestă la graniţa sistemului (pistonul face parte din graniţa sistemului), străbătând-o de la interior spre mediul înconjurător sau invers. Dacă interpretăm matematic formula (2.4) de definiţie a lucrului mecanic, valoarea L12 este numeric egală cu aria de sub curba 1-2 şi axa volumului, adică aria 122’1’1 (figura 2.2).

2.2.2 Lucrul mecanic de dislocare

O altă formă de lucru mecanic ce apare în sistemele tehnice este reprezentată de lucrul mecanic necesar deplasării agentului termodinamic pe conductele instalaţiilor sau maşinilor. În figura 2.3 este prezentată o conductă pe care se deplasează un volum V de fluid de la poziţia 1 până la poziţia 2, la presiune constantă. Lucru mecanic consumat pentru această deplasare este:

pVpAxL == (2.5)

Prin A s-a notat secţiunea conductei. Lucrul mecanic de dislocare (sau de deplasare) reprezintă interacţiunea energetică a sistemului termodinamic cu mediul, datorată transferului de masă între sistem şi mediu.

Fig. 2.3

Ipoteza în care s-a dedus această formulă, prin care am presupus că presiunea este constantă, este o ipoteză valabilă în cazul conductelor de admisie sau de evacuare a agentului termodinamic din sistem, deoarece aceste conducte au lungime mică.

2.2.3 Lucrul mecanic tehnic

Lucrul mecanic tehnic, numit şi lucrul mecanic util sau total, reprezintă lucrul

mecanic total schimbat de un sistem termodinamic cu mediul exterior. Acesta se notează de regulă cu indicele “t”. În figura 2.4 este prezentată schematic o turbină. Aceasta este o maşină în care fluidul de lucru - a cărui energie pe unitatea de masă este mare (presiune, temperatură ridicate) - pătrunde printr-o conductă de admisie în maşină,

21

x

VV


apoi se destinde acţionând asupra paletelor rotorului, cedând o parte din energie, iar în final este evacuat din maşină. Trecerea fluidului prin maşină face ca turbina să producă un lucru mecanic util, care poate fi cules la arborele maşinii.

Utilizând notaţiile din figura 2.4 putem scrie: 22121112t VpLVpL −+= (2.6)

Fig. 2.4 Semnificaţia termenilor este următoarea:

- Lt12 reprezintă lucrul mecanic tehnic făcut de sistemul termodinamic prin trecerea agentului termodinamic de la starea 1 la starea 2;

- p1V1 reprezintă lucrul mecanic de dislocare datorat admisiei agentului termodinamic în sistem; el este pozitiv, deoarece este adus în sistem o dată cu procesul de admisie;

- L12 reprezintă lucrul mecanic al variaţiei de volum (formula 2.4) efectuat de agentul termodinamic în sistem datorită variaţiei volumului specific între stările 1 şi 2;

- p2V2 reprezintă lucru mecanic consumat pentru evacuarea agentului termodinamic din sistem; el este negativ, deoarece consumă o parte din energia sistemului.

Ţinând cont de formula (2.6), putem scrie:

( ) ( )∫∫∫∫ −=−−=−+=2

1

2

11122

2

12

2

121112t pVdpdVVpVppdVVppdVVpL (2.7)

( )[ ] [ ]∫∫ −−=−=2

1

2

112t VdppdVpdVpVdpdVL (2.8)

Lt12

L12

p2V2

p1V1


∫ −=2

112t VdpL (2.9)

Interpretarea matematică a formulei (2.9) ne arată că lucrul mecanic tehnic este -

ca valoare - numeric egal cu aria de sub curba transformării 1-2 şi axa presiunilor, adică aria 122’1’1, figura 2.5.

Fig. 2.5

2.2.4 Alte forme de interacţiune energetică echivalente lucrului mecanic Sistemele termodinamice întâlnite în tehnică la ora actuală au o structură

complexă şi pot interacţiona cu mediul exterior prin diverse forme de energie: - Interacţiunea datorată tensiunii superficiale - poate apare atunci când graniţa

sistemului este formată de suprafaţa uni lichid. Energia schimbată de sistem cu mediul este dată de formula:


∫−=2

112 daL τ (2.10)

τ - tensiunea superficială; da - modificarea elementară a ariei;

- Energie datorată deformării elastice - apare atunci când graniţa sistemului este

metalică şi suferă deformări elastice. Pentru deformarea pe o singură direcţie, putem scrie următoarea formulă:

∫−=2

112 dxL σ (2.11)

σ - efortul unitar; dx – deplasarea elementară;

- Energia câmpului magnetic - poate apare atunci când fluidul sau părţi ale sistemului au proprietăţi magnetice:

( )πµ VHdL2

1012 ∫−= (2.12)

0µ - permeabilitatea vidului; V – volumul; H – intensitatea câmpului magnetic; π - magnetizarea; - Energia câmpului electric - poate apare atunci când agentul termodinamic sau

părţi ale sistemului sunt bune conducătoare de curent:

∫−=2

112 EdsL (2.13)

E reprezintă intensitatea câmpului electric; ds arcul elementar;

Se remarcă similaritatea formulelor, în fiecare dintre ele energia elementară fiind dată de produsul dintre o mărime intensivă şi variaţia elementară a unei mărimi extensive. Aceste forme de energie apar şi se manifestă atunci când se produc modificări ale graniţelor sistemului termodinamic şi desigur, există condiţii locale pentru manifestarea acestor forme de energie.

Toate aceste forme de energie trebuiesc luate în considerare, dacă este cazul, la analiza sistemelor termodinamice. Ele constituie generalizarea noţiunii de lucru şi pentru alte forme de energie. Astfel, deformarea graniţelor sistemului este însoţită întotdeauna de apariţia unui schimb de energie sub formă de lucru mecanic, lucru mecanic al tensiunii superficiale, lucru mecanic de deformare elastică, lucru magnetic, lucru electric, etc.

Variaţia elementară de lucru poate fi exprimată de o formulă care cuprinde toate aceste forme de energie:

Eds)V(HddxdApdVdL 0 −−−−= πµστ (2.14)


2.2.5 Lucrul mecanic al unui ciclu termodinamic

Dacă un sistem termodinamic funcţionează pe baza unui ciclu termodinamic, el poate produce un lucru mecanic util sau poate consuma lucru mecanic. Fie ciclul termodinamic din figura 2.6, ne propunem să determinăm modul de calcul al lucrului mecanic asociat acestui ciclu.

Transformările termodinamice reprezentate de arcul 1A2 produc un lucru mecanic egal cu aria cuprinsă între curbă şi axa volumelor:

∫ ==2

1VV2M112 12

ApdVL (2.15)

Lucrul mecanic produs de transformările reprezentate de arcul de curbă 2N1

este, în mod asemănător, egal cu aria cuprinsă de curbă şi axa volumelor, dar - având în vedere sensul de parcurgere al curbei - el va fi negativ.

∫ −==1

22N1VV221 12

ApdVL (2.16)

Fig. 2.6


Lucrul mecanic al ciclului este suma lucrurilor mecanice ale transformărilor care compun ciclul. Însumând lucrurile mecanice şi având în vedere semnul rezultat din sensul de parcurgere a ciclului, acesta este: 1N2M12112c ALLL =+= (2.17) Lucrul mecanic al ciclului este numeric egal cu aria ciclului.

2.2.6 Căldura Căldura este forma de energie care apare şi se manifestă la graniţa sistemului şi se datorează diferenţei de temperatură între sistem şi mediu. Ori de câte ori există o diferenţă de temperatură între sistem şi mediu, apare această formă de energie. Ea trece de la zona cu temperatura mai ridicată către zona cu temperatură scăzută. Condiţia de existenţă a căldurii este existenţa unei diferenţe finite de temperatură. Despre un corp aflat la o anumită temperatură nu putem spune că are căldură. Ca mărime, căldura se notează cu Q şi este proporţională cu diferenţa de temperatură. Pentru un corp solid sau lichid, căldura poate fi exprimată astfel: TmcQ ∆= (2.18) în care m – este masa corpului; c – căldura specifică; T∆ - diferenţa de temperatură.

2.2.7 Caracteristici ale interacţiunilor energetice ale sistemelor termodinamice cu mediul exterior Există multe similarităţi între căldură şi lucru mecanic; în continuare sunt

precizate cele mai importante proprietăţi. Pentru uşurinţa exprimării, vom utiliza denumirea de lucru mecanic, dar proprietăţile ce vor fi enunţate sunt valabile pentru orice formă de energie inclusă în categoria de lucru generalizat:

1. Căldura şi lucru mecanic sunt fenomene tranzitorii. Sistemul termodinamic nu

posedă lucru mecanic sau căldură. Acestea apar şi se manifestă numai pe durata modificării stării sistemului termodinamic, deci în transformările de stare.

2. Căldura şi lucru mecanic sunt fenomene de graniţă. Amândouă sunt observate numai la graniţele sistemului termodinamic, iar atunci când apar străbat graniţele sistemului.

3. Căldura şi lucrul mecanic, din punct de vedere matematic, nu sunt diferenţiale totale exacte. Valoarea lor în timpul unui proces de durată finită depinde de modul cum evoluează sistemul, deci de transformările de stare ale acestuia.


2.3 Primul principiu al termodinamicii

Primul principiu al termodinamicii exprimă legea generală de conservare şi

transformare a energiei pentru sisteme termodinamice. Funcţie de autor şi de perioada când a fost enunţat, se cunosc mai multe formulări ale acestui principiu, bazate pe anumite fenomene specifice, de importanţă restrânsă.

a) Energia unui sistem termodinamic izolat se menţine constantă, oricare ar fi procesele care se desfăşoară în interiorul acestuia.

b) Nu se poate realiza o maşină termică cu funcţionare continuă, care să producă lucru mecanic fără a consuma o cantitate echivalentă din altă formă de energie.

c) Un perpetuum mobile de speţa I este imposibil. Perpetuum mobile de speţa I este o maşină care ar produce în permanenţă lucru

mecanic, fără a consuma o altă formă de energie. S-a constatat că, pentru a produce lucru mecanic prin transformarea altor forme

de energie pe o perioadă nedefinită, un sistem termodinamic trebuie să funcţioneze pe baza unui ciclu termodinamic.

Enunţul primului principiu al termodinamicii este următorul: Pentru oricare ciclu termodinamic produs de sistem, suma căldurilor schimbate

de sistemul termodinamic cu mediul exterior de-a lungul ciclului termodinamic este egală cu suma lucrurilor mecanice schimbate de sistem cu mediul exterior.

Exprimarea matematica a primului principiu este: ∫ ∫= LQ δδ (2.19)

Aceasta arată ca integrala curbilinie a căldurii schimbate de sistem cu mediul exterior, luată pentru întreg ciclul, este egală cu integrala curbilinie a lucrului mecanic. Pentru simbolul de diferenţiere d s-a preferat notaţia δ pentru a evidenţia faptul că mărimile respective nu sunt diferenţiale totale exacte.

Stabilirea enunţurilor acestui principiu natural a avut la bază rezultatele unei mulţimi de experienţe realizate în decursul timpului, care au condus la verificări directe sau indirecte a acestei legi.

2.3.1 Formularea primului principiu al termodinamicii pentru o transformare de stare

Considerăm că sistemul termodinamic evoluează de la starea 1 la starea 2, conform reprezentării din figura 2.7.

Între cele două stări se aleg arbitrar următoarele transformări, ca evoluţii posibile ale sistemului: 1A2, 2B1 şi 1C2. Considerăm că sistemul parcurge ciclul format de transformările 1A2 şi 2B1.

Aplicăm formula primului principiu al termodinamicii (2.19) pentru acest ciclu, astfel putem scrie:


∫∫∫∫ +=+2

1B

2

1A

2

1B

2

1A LLQQ δδδδ (2.20)

Procedăm în mod similar şi pentru evoluţia posibilă a sistemului pe ciclul format

din transformările 1C2 şi 2B1, obţinând:

∫∫∫∫ +=+2

1B

2

1C

2

1B

2

1C LLQQ δδδδ (2.21)

Fig. 2.7

Scăzând cele două relaţii şi grupând termenii, rezultă:

∫∫∫∫ −=−2

1C

2

1A

2

1C

2

1A LLQQ δδδδ (2.22)

( ) ( )C

2

1A

2

1

LQLQ ∫∫ −=− δδδδ (2.23)


Ţinând seama că transformările 1A2 şi 1C2 sunt transformări alese arbitrar,

putem trage concluzia că integrala expresiei diferenţiale (δQ-δL) nu depinde de drumul dintre cele stări 1 şi 2, ci numai de stările iniţială şi finală. Aceste observaţii ne conduc la concluzia că expresia (δQ-δL) este, din punct de vedere matematic, o diferenţială totală exactă. Faptul că, pentru o transformare, ea depinde numai de stările iniţiale şi finale, înseamnă că această expresie este o mărime de stare.

Notăm cu E mărimea respectivă; ea se numeşte energia sistemului termodinamic LQdE δδ −= (2.24) sau LdEQ δδ −= (2.25)

Forma integrală a expresiei (2.25) între stările 1 şi 2 este:

121212 LEEQ +−= (2.26)

S-au folosit următoarele notaţii: - Q12 reprezintă căldura schimbată de sistemul termodinamic cu mediul

exterior în procesul 1-2; - L12 reprezintă lucrul mecanic schimbat de sistemul termodinamic cu mediul

exterior în procesul 1-2; - E2-E1 reprezintă variaţia energiei sistemului în cursul procesului.

Semnificaţia fizică a mărimii E constă în faptul că ea reprezintă suma tuturor formelor de energie ale sistemului termodinamic pentru o stare dată. În studiul termodinamicii este util să separăm energiile macroscopice legate de deplasarea masei sistemului şi poziţia acesteia în energie cinetică Ec şi potenţială Ep, iar toate celelalte forme de energie care reprezintă suma energiilor microscopice ale moleculelor sistemului să le notăm cu U, mărime pe care o denumim energie internă.

Această formă de energie reprezintă suma energiilor de translaţie, vibraţie, potenţială, chimică, ale atomilor şi moleculelor ce constituie masa sistemului termodinamic.

Expresia diferenţială a energiei sistemului este:

mgdZmwdwdUdE ++= (2.27) în care mwdw (cu w s-a notat viteza de deplasare a sistemului) reprezintă energia cinetică elementară, iar mgdZ (Z simbolizează cota centrului de greutate) reprezintă energia potenţială elementară. Expresia diferenţială a primului principiu pentru o transformare de stare devine:

( ) ( ) LmgZd2

mwddUQ2

δδ +++= (2.28)

Pentru un proces termodinamic care se desfăşoară între stările 1 şi 2, integrând

expresia (2.28), obţinem formularea integrală:


( ) ( ) 1212

21

22

1212 LZZmg2

wwmUUQ +−+−

+−= (2.29)

( ) ( ) 121221

221212 lZZgww

21uuq +−+−+−= (2.30)

Expresia (2.30) reprezintă situaţia în care masa sistemului este 1 kg. Pentru sisteme termodinamice deschise, prin care curge în permanenţă agentul

termodinamic, lucrul mecanic total făcut de acesta este lucrul mecanic tehnic; înlocuind expresia pentru L12 din formula (2.7) în expresia (2.29), obţinem:

( ) ( ) 12t12

21

22

11122212 LZZmg2

wwmVpUVpUQ +−+−

+−−+= (2.31)

Observăm că expresiile 222 VpU + şi 111 VpU + sunt alcătuite numai din mărimi

de stare – energia internă, care este o diferenţială totală exactă, şi produsul unor parametri de stare pV, care este şi el o diferenţială totală exactă. Acest grup de mărimi defineşte o nouă mărime de stare, numită entalpie, definită astfel : pVUH += [J] (2.32) sau pvuh += [J/kg] (2.33)

În formula (2.31) introducem entalpia, iar aceasta devine:

( ) ( ) 12t12

21

22

1212 LZZmg2

wwmHHQ +−+−

+−= [J] (2.34)

( ) ( ) 12t1221

221212 lZZgww

21hhq +−+−+−= [J/kg] (2.35)

Expresiile (2.34) şi (2.35) reprezintă formulele integrale ale primului principiu

al termodinamicii, pentru o evoluţie a acestuia din stare 1 în starea 2. Formele diferenţiale ale primului principiu se obţin prin diferenţierea expresiilor

(2.30) şi (2.35), rezultând: pdvgdZwdwduq +++=δ (2.36) vdpgdZwdwdhq −++=δ (2.37)

Dacă în aceste expresii se neglijează termenii ce reprezintă energia cinetică şi energia potenţială, obţinem pentru primul principiu următoarele forme diferenţiale: pdvduq +=δ (2.38)


vdpdhq −=δ (2.39)

2.3.2 Formularea primului principiu al termodinamicii pentru sisteme deschise 2.3.2.1 Ecuaţia puterilor

Termodinamica clasică operează cu conceptul de sistem în echilibru. Conform

acestui concept, orice evoluţie se petrece lent, în aşa fel încât sistemul să se afle în permanenţă în echilibru intern şi extern. Dacă ne referim la timpul în care are loc un proces, în acceptul termodinamicii clasice, acest timp este infinit de mare. El nu apare ca parametru în ecuaţiile transformărilor de stare.

Evoluţia reală a sistemelor termodinamice se face în timp finit, astfel încât este necesară introducerea unui nou concept care să ţină seama de viteza finită de evoluţie a fenomenelor reale. Dacă în locul termenilor din ecuaţia primului principiu (2.25) utilizăm derivatele termenilor funcţie de timp, obţinem o ecuaţie care exprima viteza momentană de variaţie a energiei sistemului ca suma vitezelor momentane de variaţie a căldurii şi a lucrului mecanic. Deoarece derivata întâi a energiei la timp reprezintă putere, ecuaţia bilanţului energetic exprimată prin derivatele de ordinul unu, devine ecuaţia bilanţului puterilor.

••

+= LddEQτ

(2.40)

în care •

Q si •

L reprezintă viteza de variaţie a căldurii, respectiv a lucrului mecanic ce străbat graniţele sistemului. Practic, putem enunţa ecuaţia puterilor, a primului principiu al termodinamicii, astfel: viteza de variaţie a energiei sistemului este egală cu diferenţa puterilor termice şi mecanice ce străbat graniţele sistemului.

Aplicarea acestei formule pentru sistemele tehnice nu este foarte simplă, deoarece trebuie luată în considerare totalitatea fluxurilor masice şi energetice la un anumit moment. În continuare se va detalia ecuaţia puterilor şi modul de aplicare a acesteia.

2.3.2.2 Legea conservării masei pentru un volum de control

Procesele termodinamice pe care dorim să le analizăm se desfăşoară într-un anumit spaţiu. Este util să definim fictiv un volum de control în care vom analiza fenomenele. Acest lucru ne permite să creăm o delimitare netă între sistemul studiat (aflat în volumul de control) şi restul spaţiului, pe care îl denumim mediul înconjurător. Masa delimitată de acest volum reprezintă masa sistemului analizat. Ea poate varia în decursul timpului, funcţie de fluxurile de substanţă ce străbat sistemul. Considerăm un sistem, pentru care am definit volumul de control figura 2.8. Sistemul este reprezentat la două momente de timp foarte apropiate.


La momentul iniţial τ masa sistemului este mτ , iar masa elementară δma ce

urmează a fi admisă se află la limita volumului de control, dar în afara acestuia. Masa δme care va fi evacuată se află în interiorul sistemului la limita volumului de control, dar în interiorul acestuia.

La momentul următor de timp τ+dτ masa sistemului este mτ+dτ, masa elementară δma a fost admisă în volumul de control şi a ieşit masa δme.

Pentru volumul de control considerat, egalăm masa sistemului la cele două momente de timp şi obţinem: eda mmmm δδ τττ +=+ + (2.41)

Împărţind cu intervalul elementar dτ şi făcându-l pe acesta să tindă la limită către zero, obţinem expresia legii conservării masei:

0dm

dm

dmm aed =−+

−+

τδ

τδ

ττττ (2.42)

Fig. 2.8

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

→→

+

→ τδ

τδ

τ ττ

τττ

τ dmlim

dmlim

dmmlim a

0d

e

0d

d

0d (2.43)

mτ

mτ+dτ

τ msistem = mτ + δma

τ+dτ msistem = mτ+dτ + δme

δma

δma δme

δme

Graniţa sistemului

Volumul de control


0mmddm

ae =−+••⋅

τ (2.44)

Notaţia •

m reprezintă derivata în raport cu timpul a masei, deci este chiar debitul masic. Legea conservări masei pentru sisteme arată că variaţia masei sistemului este suma algebrică a debitelor masice care străbat volumul de control. Pentru un sistem care schimbă masă cu exteriorul prin mai multe canale, expresia generală este:

0mmddm

ae =−+ ∑∑••

τ (2.45)

Particularizând legea conservării masei pentru o conductă prin care curgerea este

staţionară, figura 2.9, rezultă:

Fig. 2.9

ea mm••

= (2.46)

( ) Awd

Axdm ρτρ

==•

(2.47)

eeeaaa wAwA ρρ = (2.48)

În relaţia (2.48), ρ semnifică densitatea, A secţiunea si w viteza fluidului. Relaţia (2.48) reprezintă ecuaţia de continuitate pentru un tub de curent.

Dacă fluidul este incompresibil, relaţia (2.48) devine: eeaa wAwA = (2.49)

2.3.2.3 Ecuaţia primului principiu al termodinamicii pentru sisteme deschise

Fenomenele reale ce se desfăşoară în maşinile şi instalaţiile termice evoluează

într-un timp finit. Din această cauză, este utilă formularea matematică a primului principiu al termodinamicii în formă diferenţială, pentru un volum de control. Pornim de la ecuaţia puterilor (2.40), scrisă sub următoarea formă:

• me

• ma


( )τδ

ττδ

dL

dEE

dQ 12 +

−= (2.50)

Considerăm un sistem termodinamic separat de mediul înconjurător printr-un

volum de control (figura 2.10) prin care circulă un agent termodinamic. Acesta este prezentat în două ipostaze, la momentul τ şi la momentul τ+dτ.

Masa admisă în sistem δma, care are volumul specific va, şi se găseşte la presiunea pa, intră în sistem cu energia specifică ea, definită de următoarea expresie:

a

2a

aa z2

wue ++= (2.51)

În mod analog, energia specifică a masei δme ce iese din sistem la momentul

τ+dτ este:

e

2e

ee z2

wue ++= (2.52)

Fig. 2.10

δma pa v

mτ

mτ+dτ Eτ+dτ

τ

τ+dτ

δLt (produs de sustem in intervalul

δma pa v

δQ (transferat sistemului in intervalul

δme pe v

Granita Volumul de

δme pe v


Se consideră energia sistemului mărginit de volumul de control la momentul τ

ca fiind: aa1 meEE δτ += (2.53) iar la momentul τ+dτ este : eed2 meEE δττ += + (2.54)

Lucrul mecanic total făcut de sistem în acest interval de timp este egal cu lucrul mecanic tehnic ce însumează algebric lucrul mecanic al variaţiei de volum şi lucrurile mecanice de dislocare necesare admisiei masei δma şi evacuării masei δme. ( )eeeaaat mvpmvpLL δδδδ −+= (2.55) Înlocuind relaţiile (2.51), (2.52), (2.53), (2.54) şi (2.55) în expresia 2.50, rezultă:

( ) ( )τ

δτ

δττ

δτ

δ τττ

dLvpe

dm

dEEvpe

dm

dQ t

eeed

aaaa +++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=++ + (2.56)

Ţinând cont de relaţiile:

a

2a

aaaa

2a

aaaa gZ2

whvpgZ2

wuvpe ++=+++=+ (2.57)

e

2e

eeee

2e

eeee gZ2

whvpgZ2

wuvpe ++=+++=+ (2.58)

şi trecând la limită expresia (2.56) când dτ tinde către zero, rezultă:

te

2e

eea

2a

aa LgZ2

whmddEgZ

2whmQ

••••

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

τ (2.59)

Considerând cazul general când sistemul are mai multe căi de admisie şi de

evacuare, expresia devine :

te

2e

eea

2a

aa LgZ2

whmddEgZ

2whmQ

••••

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++ ∑∑ τ

(2.60)

Expresiile (2.59) şi (2.60) constituie formulările matematice ale primului

principiu pentru sisteme deschise. O simplificare importantă se poate obţine pentru regimurile de funcţionare

staţionare ale sistemelor termodinamice, deoarece în acest caz energia sistemului rămâne constantă în timp, deci derivata ei se anulează.


te

2e

eea

2a

aa LgZ2

whmgZ2

whmQ••••

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++ ∑∑ (2.61)

Alte particularizări importante se obţin din relaţia (2.61) prin introducerea de

restricţii suplimetare. Ecuaţia energiei pentru curgerea adiabată, fără frecare, a unui fluid compresibil în interiorul unei conducte, este:

e

2e

ea

2a

a gZ2

whgZ2

wh ++=++ (2.62)

Particularizarea relaţiei (2.61) pentru curgerea izotermă a unui fluid

incompresibil printr-o conductă ne conduce la ecuaţia lui Bernoulli.

e

2e

e

ea

2a

a

a gZ2

wpgZ2

wp++=++

ρρ (2.63)

2.4 Evaluarea energiei interne şi a entalpiei

Pentru a putea aplica ecuaţiile primului principiu, trebuie să existe posibilitatea definirii energiei interne şi a entalpiei agentului termodinamic. Deoarece în sistemele termodinamice în care are loc transformarea căldurii în lucru mecanic sau invers, agenţii termodinamici sunt în fază gazoasă, vom prezenta modul de calcul al energiei interne şi al entalpiei pentru gaze.

O caracteristică comună atât energiei interne, cât şi entalpiei, o constituie faptul că aceste mărimi sunt mărimi de stare, adică ele se pot determina complet în fiecare stare a sistemului, iar variaţia lor nu depinde de modul cum se face evoluţia sistemului între cele două stări, ci numai de valorile pe care le au în starea iniţială şi finală. Din punct de vedere matematic, ele sunt diferenţiale totale exacte.

Se consideră energia internă ca fiind funcţie de volum şi temperatură, ( )T,vu , prin diferenţiere obţinem:

dvvudT

Tudu

Tv⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= (2.64)

Cercetări experimentale au demonstrat că la gaze energia internă nu variază

funcţie de volum, ea fiind funcţie numai de temperatură. Derivata parţială a energiei interne la temperatură, în condiţii de volum constant, a primit denumirea de căldură specifică izocoră, definită prin expresia următoare:

v

v Tuc ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= (2.65)


Considerând entalpia ca o funcţie de presiune şi temperatură ( )T,ph , prin

diferenţiere obţinem:

dpphdT

Thdh

p⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= (2.66)

Pentru gaze perfecte s-a constatat că entalpia nu depinde de presiune, iar

derivata parţială a acesteia funcţie de temperatură a fost denumită căldură specifică izobară, având următoarea formulă de definiţie:

p

p Thc ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= (2.67)

Dacă considerăm un proces izobar de evoluţie a unui sistem termodinamic şi

aplicăm formele diferenţiale ale primului principiu (2.38) şi (2.39) în care introducem expresiile (2.65) şi (2.67), pentru p = constant, obţinem:

pdvdTcq v +=δ (2.68) dTcq p=δ (2.69)

Din ecuaţia de stare a gazului perfect, scrisă pentru 1 kg de gaz perfect sub

forma RTpv = , pentru un proces izobar exprimăm produsul pdv: RdTpdv = (2.70) Egalând relaţiile (2.68) şi (2.69) rezultă: Rcc vp =− (2.71) Relaţia de mai sus poartă numele de relaţia lui Robert Mayer. Raportul dintre

căldurile specifice izobară şi izocoră se notează cu k şi se numeşte exponent adiabatic.

v

p

cc

k = (2.72)

Cele două mărimi reprezintă proprietăţi ale substanţelor; pentru gaze perfecte ele

se pot determina în funcţie de constanta gazului şi exponentul adiabatic. Considerând relaţiile (2.71) şi (2.72) ca un sistem de ecuaţii cu necunoscutele cv şi cp, prin rezolvarea sa obţinem:

R1k

kcp −= (2.73)


R1k

1cv −= (2.74)

Expresiile (2.73) şi (2.74) permit calcularea căldurilor specifice izocore şi izobare pentru gazele perfecte. Valorile obţinute cu aceste relaţii sunt diferite de valorile reale. Chiar dacă un gaz, prin comportarea sa în anumite intervale de presiune şi temperatură, poate fi aproximat cu un gaz perfect, pentru calcularea mărimilor energetice (energie internă, entalpie, etc) în tehnică se utilizează valorile reale ale acestor mărimi. Cercetări experimentale au arătat că valorile căldurilor specifice ale gazelor reale variază puternic funcţie de temperatură şi mult mai puţin funcţie de presiune.

În figura 2.11 este prezentată variaţia căldurii specifice izobare pentru un gaz real. Din punct de vedere matematic, curba de variaţie este - de regulă - exprimată printr-o regresie polinomială, de exemplu relaţia (2.75):

( ) ...TaTaTaaTc 2

3210p ++++= (2.75)

Fig. 2.11

Pentru un proces care se desfăşoară între temperaturile 1 şi 2, se utilizează

căldura specifică izobară medie obţinută cu ajutorul mediei integrale, relaţia (2.76):

( )dTTcTT

1c2

1p

12pm ∫−= (2.76)

În mod analog se procedează şi în cazul căldurii specifice izocore.

2.5 Analiza energetică a transformărilor de stare Analiza evoluţiilor posibile ale unui sistem termodinamic a evidenţiat faptul că acesta poate trece de la o stare la alta printr-un număr limitat de transformări. În timpul evoluţiei, agentul termodinamic interacţionează cu mediul exterior, modificându-şi parametrii de stare şi parametrii energetici.

cp(T)

cpm

cp

T T1 T2


Fig. 2.12

Considerând agentul termodinamic gaz perfect, se vor analiza succesiv toate evoluţiile posibile ale sistemelor termodinamice. Relaţiile matematice care se vor deduce în acest paragraf constituie baza analizei termodinamice a sistemelor. Analiza energetică a sistemului termodinamic se va face asupra evoluţiei reversibile a acestuia între două stări, conform schemei din figura 2.12 Notăm cu 1 starea iniţială a sistemului. În această stare, parametrii sistemului se notează cu indicele 1. Starea finală se notează cu 2, la fel şi indicii parametrilor din această stare.

În timpul evoluţiei sistemului, interacţiunea acestuia cu mediul înconjurător se poate face prin lucru mecanic şi căldură. Valorile acestor mărimi, în timpul trecerii sistemului de la starea 1 la starea 2, s-au notat cu indicii 1,2. Se va considera, pentru simplitate, masa sistemului termodinamic egală cu 1kg şi se va determina pentru fiecare tip de transformare variaţia mărimilor de stare: energie internă şi entalpie, dar şi schimburile energetice cu mediul exterior, materializate prin variaţia căldurii şi lucrului mecanic.

2.5.1 Transformarea izocoră Trecerea sistemului termodinamic de la starea iniţială, notată cu 1, la starea finală, notată cu 2, se face cu o restricţie, volumul sistemului rămâne neschimbat pe durata transformării; acest lucru, din punct de vedere matematic, este reprezentat de condiţia: ttanconsv = . Condiţia introdusă în ecuaţia (1.38) permite stabilirea ecuaţiei transformării:

2

2

1

1

Tp

Tp

= (2.77)

În figura 2.13 este reprezentată grafic, în diagrama pV , o transformare izocoră

ce se desfăşoară între stările reprezentate de punctele 1 şi 2. Se constată că în această evoluţie de volum constant, variază presiunea şi temperatura.

2 1

q12

l12

p1, v1, T1, u1, h1

p2, v2, T2, u2, h2


Energia internă fiind o diferenţială totală exactă, variaţia acestei mărimi nu depinde de drum, deci de felul transformării, ci numai de valorile în stările iniţială şi finală. Acelaşi lucru se poate spune şi despre entalpie. ( )12v12 TTcuuu −=−=∆ (2.78) ( )12p12 TTchhh −=−=∆ (2.79)

Lucrul mecanic, lucrul mecanic tehnic şi căldura nefiind diferenţiale totale exacte, variaţia lor depinde de felul transformării, iar acest lucru se traduce prin faptul că integrarea formelor diferenţiale se face pe baza ecuaţiei transformării (2.77), adică se ţine seama de restricţia de volum constant.

∫ ==2

112 0pdvl (2.80)

( ) ( ) ( )212112

2

112t TTRppvppvvdpl −=−=−−=−= ∫ (2.81)

Fig.2.13


Căldura schimbată cu mediul exterior se determină prin integrarea ecuaţiei

primului principiu (2.38):

( ) uuupdvduq 1

2

1212 ∆=−=+= ∫ (2.82)

2.5.2 Transformarea izobară Trecerea sistemului termodinamic de la starea iniţială, notată cu 1, la starea finală, notată cu 2, se face pentru această transformare cu restricţia ttanconsp = . Această condiţie, introdusă în ecuaţia (1.38), permite stabilirea ecuaţiei transformării:

2

2

1

1

Tv

Tv

= (2.83)

În figura 2.14 este reprezentată în diagrama pV o evoluţie izobară a sistemului.

Se remarcă în procesul izobar variaţia volumului şi temperaturii între stările iniţiale şi finale ale procesului.

Fig. 2.14


Variaţia de energie internă si variaţia de entalpie pentru transformarea izobară se

poate calcula astfel: ( )12v12 TTcuuu −=−=∆ (2.84) ( )12p1`2 TTchhh −=−=∆ (2.85) După cum observăm, aceste formule rămân neschimbate indiferent de tipul transformării (izobară, izocoră, etc), deoarece sunt diferenţiale totale exacte şi nu depind decât de stările iniţială şi finală, iar prin definiţie energia internă se determină cu căldura specifică izocoră, iar entalpia cu cea izobară. Schimburile energetice cu mediul exterior, pentru această transformare, se calculează astfel: - lucrul mecanic

( ) ( )12

2

112

2

112 TTRvvpdvppdvl −=−=== ∫∫ (2.86)

- lucrul mecanic tehnic

0vdpl2

112t =−= ∫ (2.87)

- căldura schimbată în cursul procesului

( ) ( )12p

2

1

2

1p12 TTcdTcvdpdhq −==−= ∫ ∫ (2.88)

2.5.3 Transformarea izotermă Această transformare de stare se produce atunci când, pe durata evoluţiei sistemului, temperatura rămâne constantă. Introducând această condiţie în relaţia (1.38), rezultă ecuaţia transformării de stare izoterme: 2211 vpvp = (2.89)

Ecuaţia (2.89) constituie legea evoluţiei izoterme a sistemului, care din punct de

vedere matematic reprezintă ecuaţia unei hiperbole echilatere. În figura 2.15, curba 1-2 reprezintă o transformare izotermă pentru temperatura 697,61 [K].

Variaţia energiei interne şi a entalpiei se calculează prin formulele de definiţie, ţinând cont de restricţia T = constant, deci T1 = T2 :

( ) 0TTcuuu 12v12 =−=−=∆ (2.90)


( ) 0TTchhh 12p1`2 =−=−=∆ (2.91) Considerăm o stare intermediară, între stările iniţială şi finală ale acestei

transformări, reprezentată printr-un punct curent de pe curba transformării izoterme. Notăm coordonatele acestui punct cu p şi v. Fiind un punct de pe curbă, el verifică ecuaţia curbei, deci:

vvpppvvp 11

11 =⇒= (2.92)

Lucrul mecanic al variaţiei de volum se calculează pe baza ecuaţiei curbei,

utilizând relaţia (2.92):

2

11

1

211

2

11

2

1112 p

plnRTvvlnvp

vdvvppdvl ==== ∫∫ (2.93)

Fig. 2.15


Lucrul mecanic tehnic se calculează în mod similar:

2

11

2

111

2

111

2

112t p

plnRTpplnvp

pdpvpvdpl ==−=−= ∫∫ (2.94)

Observăm că, în cazul transformării izoterme, lucrul mecanic al variaţiei de volum este numeric egal cu lucrul mecanic tehnic. Acest fapt se datorează simetriei curbei izoterme, este simetrică faţă de prima bisectoare, iar acest lucru face ca aria cuprinsă între curba izotermă si axa volumelor să fie egală cu aria cuprinsă între curbă şi axa presiunilor. Cele două arii reprezintă lucrul mecanic al variaţiei de volum şi respectiv lucrul mecanic tehnic. Căldura se poate calcula prin integrarea formelor diferenţiale ce exprimă matematic primul principiul, ecuaţiile (2.38) sau (2.39):

( ) ( )∫ ∫ =+=+=2

1

2

112v12 lpdvdTcpdvduq (2.95)

Din relaţiile (2.93), (2.94) şi (2.95) rezultă un lucru important pentru transformarea izotermă: căldura schimbată de sistem pe durata unei transformări izoterme este numeric egală cu lucrul mecanic al variaţiei de volum şi cu lucrul mecanic tehnic. 12t1212 llq == (2.96)

2.5.4 Transformarea adiabată Transformarea adiabată este transformarea în cursul căreia sistemul termodinamic nu schimbă căldură cu mediul exterior. Restricţia acestei transformări este 0q12 = . Exprimată diferenţial, această condiţie devine 0q =δ . Introducând condiţia în expresia diferenţială a primului principul (2.38) şi integrând-o, vom obţine ecuaţia acestei transformări: 0pdvdTcpdvdu v =+=+ (2.97) Din ecuaţia de stare exprimăm diferenţiala dT, pe care o introducem în ecuaţia (2.97):

R

vdTpdvdTRTpv +=⇒= (2.98)


( ) 0vdpcRcpdv vv =++ (2.99)

0p

dpvdv

cc

v

p =+ (2.100)

Expresia (2.100) reprezintă o ecuaţie diferenţială cu variabile separate. Se

defineşte exponentul adiabatic ca raportul căldurilor specifice izobară şi izocoră şi se notează cu k.

v

p

cc

k = (2.101)

Prin integrarea relaţiei (2.100) obţinem ecuaţia adiabatei: ttanconspvk = (2.102)

Dacă combinăm ecuaţia (2.102) cu ecuaţia de stare (1.36) obţinem încă două formulări ale ecuaţiei adiabatei:

ttanconsTv 1k =− (2.103)

ttanconsp

T

k1k =− (2.104)

În figura 2.16 este reprezentată grafic o transformare adiabată. Se observă că,

faţă de izoterme, este o curbă mai abruptă, datorită exponentului variabilei volum, care este supraunitar. Acest lucru are drept consecinţă variaţia temperaturii în transformarea adiabată între stările iniţială şi finală.

Variaţia de energie internă şi de entalpie se calculează astfel:

( )12v12 TTcuuu −=−=∆ (2.105)

( )12p1`2 TTchhh −=−=∆ (2.106)

Pentru calculul lucrului mecanic al variaţiei de volum, vom exprima legea adiabatei pentru un punct curent de pe curbă, astfel:


Fig. 2.16

k

k11kk

11 vvpppvvp =⇒= (2.107)

( )2211

1k1

1k2k

11

2

1k

k11

2

112 vpvp

1k1

1kvvvp

vdvvppdvl −

−=

+−−

===+−+−

∫∫ (2.108)

Pentru a calcula mai simplu lucrul mecanic tehnic, vom integra a doua formă

diferenţială a primului principiu (2.39), astfel:

2112t

2

1

2

1

hhlvdpdh0vdpdh −=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⇒=− ∫∫ (2.109)

Relaţia (2.109) ne arată că lucrul mecanic tehnic efectuat de agentul

termodinamic într-o transformare adiabată se face pe baza variaţiei entalpiei sistemului. Dezvoltând relaţia (2.109), obţinem:

( ) ( ) ( )22112121p12t vpvp1k

kTTR1k

kTTcl −−

=−−

=−= ( 2.110)


Din relaţiile de mai sus rezultă legătura între lucrurile mecanice ale transformării

adiabate: 1212t kll = (2.111) Datorită asimetriei curbei adiabate, lucrul mecanic tehnic este mai mare decât lucrul mecanic al variaţiei de volum.

2.5.5 Transformarea politropă Această transformare reprezintă o generalizare a transformărilor de stare prezentate până acum, deoarece permite determinarea parametrilor unui sistem termodinamic atunci când acesta evoluează fără nici o restricţie. Pentru a defini ecuaţia acestei transformări de stare se porneşte de la ecuaţia primului principiu sub formă diferenţială (2.112), care prin integrare permite deducerea ecuaţiei politropei: pdvduq +=δ (2.112)

Pentru a putea integra ecuaţia pentru membrul stâng, se introduce următoarea notaţie: dTcq n=δ (2.113)

Se consideră o mărime fictivă cn, numită căldură specifică politropă, care permite exprimarea diferenţialei căldurii conform relaţiei (2.112). Cu această notaţie, relaţia (2.112) se pregăteşte pentru integrare în mod asemănător ecuaţiei adiabatei, astfel:

( ) 0pdvdTccpdvdTcdTc nvvn =+−⇒+= (2.114) ( )( ) 0Rpdvvdppdvcc nv =++− (2.115)

0p

dpvdv

cccc

nv

np =+−−

(2.116)

Ecuaţia (2.116) este o ecuaţia diferenţială cu variabile separate. Pentru a o

integra, notăm exponentul politropic cu n, el este definit de relaţia (2.116). Pentru un gaz ideal, acest coeficient este constant, lucru ce permite integrare relaţiei (2.115)

nv

np

cccc

n−−

= (2.117)


ttanconspv0p

dpvdvn n =⇒=+ (2.118)

Relaţia (2.118) reprezintă ecuaţia politropei. Aceasta poate fi exprimată sub alte

două forme, procedând la fel ca la adiabată:

ttanconsp

T;ttanconsTvk

1k1k == −− (2.119)

În figura 2.17 este reprezentată grafic o transformare politropă în diagrama pv.

Calculul variaţiei energiei interne şi entalpiei se face astfel: ( )12v12 TTcuuu −=−=∆ (2.120) ( )12p1`2 TTchhh −=−=∆ (2.121) Lucrul mecanic al variaţiei de volum se determină prin efectuarea integralei pe întreaga lungime a curbei:

( )2211

1m1

1n2n

11

2

1n

n11

2

112 vpvp

1n1

1nvvvp

vdvvppdvl −

−=

+−−

===+−+−

∫∫ (2.122)

În mod asemănător se determină lucrul mecanic tehnic.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=−=−=

+−+−

∫ ∫1

k1

2

1k1

11n1

1

2

1

2

1 n11

n1

112t ppvp1n

n

p

dpvpvdpl (2.123)

( )221112t vpvp1n

nl −−

= (2.124)

Analizând relaţiile (2.122) şi (2.123), observăm că legătura între lucrurile mecanice ale politropei este:

1212t nll = (2.125) În transformarea politropă este permis schimbul de căldură cu exteriorul, el se

poate determina din una dintre relaţiile primului principiu, spre exemplu relaţia (2.38):


( ) 12

2

11212 lupdvduq +∆=+= ∫ ( 2.126)

Fig. 2.17

Transformările izotermă, adiabată şi politropă sunt reprezentate de curbe apropiate ca aspect. Este interesant de observat poziţia lor relativă. Pentru acest lucru, s-au reprezentat în figura 2.18 trei transformări care pornesc din acelaşi punct şi se desfăşoară între aceleaşi limite de presiune.

Se observă că politropa se aşează între adiabată şi izotermă, respectând relaţia dintre exponenţi volumului din ecuaţiile respective kn1 << . Acest lucru este adevărat pentru majoritatea transformărilor politrope întâlnite în tehnică.

Izoterma reprezintă un proces ideal, greu de atins în tehnică, însă adiabata poate aproxima, destul de bine, procesele rapide din maşini şi instalaţii. În primă aproximare, procesele rapide pot fi descrise de o adiabată. O modelare mai riguroasă se poate face utilizând transformarea politropă.


Fig. 2.18

Politropa este considerată o transformare de stare generală. Prin particularizarea exponentului politropic se pot genera toate celelalte transformări de stare, astfel:

- pentru 0n = obţinem ecuaţia izobarei; - pentru ∞=n obţinem ecuaţia izocorei; - pentru 1n = obţinem ecuaţia izotermei; - pentru kn = obţinem ecuaţia adiabatei;

Lucrări recente [22, 23] au arătat că legile fundamentale ale naturii se pot formula succint printr-o relaţie matematică de tip politropic. Particularizarea exponentului conduce la legile interacţiunilor politropice conservative pentru sisteme mecanice, termodinamice, electrice, magnetice şi electromagnetice.

Exemplul E 2.1 Un compresor comprimă 0,5[Nm3/min] aer (Maer=29[kg/kmol]) de la presiunea

p1=0,8[bar] şi temperatura T1=292[K], până la presiunea de 8[bar], după un proces politrop cu n=1.25. Exponentul adiabatic al aerului este k=1,4.

a) Să se determine temperatura de ieşire a aerului din maşină, puterea necesară comprimării aerului şi puterea termică a sistemului de răcire.


b) Să se determine căldura ce trebuie extrasă izobar din aerul comprimat pentru a

ajunge la temperatura T1. c) Să se determine puterea necesară comprimării aerului între aceiaşi parametrii după

un proces izoterm şi puterea termică la care trebuie dimensionat sistemul de răcire în acest caz. Soluţie În figura 2.19 este trasată politropa 1-2pol corespunzătoare procesului de comprimare,

apoi izobara 2pol-2T prin care aerul comprimat este răcit până la temperatura T1. Tot pe această diagramă s-a trasat izoterma T1 corespunzătoare punctului c).

a)Temperatura T2 a aerului la ieşirea din compresor se determină din ecuaţia politropei:

7,4628,0

8292ppTT

25,1125,1

n1n

1

212 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

[K]

Puterea necesară procesului de comprimare este egală cu lucrul mecanic tehnic al poitropei 1-2 înmulţit cu debitul masic.

Fig. 2.19


Debitul masic:

01078,0414,22

295,0VMVVm

NM

NNN ====•••

ρ [kg/s]

Puterea:

( ) ( ) 44,229246229

8314125,1

25,101,0TTR1n

nmlmP 21t12=−

−=−

−==

••

[kW]

Puterea termică se determină din primul principiu:

( )[ ] ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−+−=+−=

•••

2112pt1212 TTR1n

nTTcmlhhmQ12pol

( ) ( ) 73,046229229

8314125,1

25,129246229

831414,1

4,101,0Qpol12 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

−+−

−=

•

[kW]

b) Procesul de răcire al aerului comprimat este un proces izobar, puterea termică

necesară acestui proces este:

( ) ( ) ( ) 71,146829229

831414,1

4,101,0TTcmhhmQ 21p22R polT−=−

−=−=−=

•••

[kW]

c) În cazul în care comprimarea este izotermă puterea se determină astfel:

92,18,0

8ln29229

831401,0pplnRTmP

1

21T ===

•

[kW]

Puterea termică a sistemului de răcire este egală cu puterea necesară comprimării,

deoarece în procesul izoterm lucrul mecanic tehnic este egal cu căldura schimbată în timpul procesului.

92,1PQ TT ==•

[kW] Se observă, atât numeric, cât şi din figura 2.19, că puterea obţinută printr-o comprimare izotermă este mai mică decât puterea din procesul politrop. Procesul izoterm este un proces ideal care necesită o răcire intensă a gazului pentru a menţine neschimbată temperatura acestuia, lucru nerealizabil tehnic. Procesele reale sunt procese politropice. Observăm că şi în acest caz maşina trebuie răcită, dar puterea termică necesară este mai mică. În diagrama din figura 2.19 putem vedea şi compara lucrul mecanic tehnic al procesului izoterm egal cu aria 12T2’1’1 şi lucrul mecanic al procesului politrop egal cu aria 12pol2’1’1.

Exemplul E 2.2

Să se calculeze forţa de propulsie creată de un motor rachetă, cunoscând că în camera de ardere gazele au temperatura de 3000K, presiunea de 100 bar şi că motorul evacuează un debit de 25 kg/s gaze arse. Gazele arse se vor considera gaz perfect cu masa moleculară 29 kg/kmol şi exponentul adiabatic k=1.4, iar presiunea exterioară motorului este p2 = 1 bar.


Analiza problemei

În figura 2.20 este prezentat schematic un motor rachetă. Gazele arse din camera de ardere se destind adiabat în ajutajul de reacţie, mărindu-şi viteza de la zero la w2. Produsul dintre debitul masic şi viteza medie a gazelor arse reprezintă forţa de tracţiune. Se consideră un volum de control reprezentat punctat în figura P4, acesta delimitează ajutajul, partea în care are loc transformarea entalpiei gazelor arse în energie cinetică. Ecuaţia pe care o utilizăm este ecuaţia (2.62), pe care o particularizăm pentru situaţia din problemă.

Fig. 2.20

Soluţie Ecuaţia energiei pentru o curgere staţionară între secţiunile 1 şi 2 este:

2

whh22

21 +=

Se determină viteza:

( ) ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=−=−=

−k

1k

1

2121p21 p

p1T1k

kR2TTc2hh2w

66,2453100

11300014,1

2983144,1

2w4,0

14,1

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=

−

m/s

Forţa de tracţiune este:

3,612566,2453mwFtr =⋅=⋅=•

kN

54 Principiul al doilea al termodinamicii

3. Principiul al doilea al termodinamicii Principiul evoluţiei

Principiul al doilea al termodinamicii precizează sensul de desfăşurare al proceselor naturale şi stabileşte condiţiile transformării căldurii în lucru mecanic. Desfăşurarea în mod continuu a acestei transformării energetice este posibilă numai prin realizarea unui ciclu termodinamic. Din experienţă ştim că în natură fenomenele au un anumit sens de desfăşurare; astfel, o ceaşcă de ceai fierbinte plasată pe masă va ceda căldură către mediul exterior, dar niciodată căldura obiectelor cu o temperatură mai scăzuta decât a ceştii de ceai nu va trece de la aceste obiecte şi va încălzi ceaşca. Un alt exemplu este sensul de desfăşurare al proceselor într-un automobil: întotdeauna benzina va arde producând căldură, care se transformă în energie mecanică, acţionând maşina. Benzina nu poate fi refăcută în totalitate utilizând energia mecanică ce poate fi recuperată la coborârea pantelor sau la frânare. Aceste două exemple ne arată că fenomenele din natură se desfăşoară într-o anumită direcţie. Pe durata transformărilor, o anumită parte din energie se transformă ireversibil în forme de energie ce tehnic nu mai pot fi utilizate. Practic, numai o parte din energia disponibilă la un anumit moment poate fi utilizată. Principul al doilea al termodinamicii stabileşte reguli ce permit calcularea fracţiei, din energia utilă la un moment dat, care poate fi utilizată şi cu ce randament. De asemenea, precizează sensul de desfăşurare al transformărilor, precum şi reguli de optimizare a proceselor.

3.1 Noţiuni generale despre cicluri termodinamice Principala problemă a termodinamicii constă în a stabilii legile de transformare a căldurii în lucru mecanic. Acest fapt se produce într-o maşină termică care funcţionează pe baza unui ciclu termodinamic.

Schematic, în figura 3.1 este reprezentată o maşină termică. Maşina termică primeşte căldură Q, la temperatura T, de la o sursă cu capacitate calorică mare, astfel încât temperatura acesteia rămâne constantă. Maşina termică produce la fiecare ciclu lucrul mecanic Lc. O parte din energie este transmisă sub formă de căldură, notată cu Q0, către mediul înconjurător considerat un rezervor de căldură cu capacitate calorică infinită, astfel încât temperatura acestuia să rămână constantă, egală cu T0.

Faptul că maşina termică funcţionează pe baza unui ciclu termodinamic este marcat printr-un cerc în interiorul dreptunghiului ce o schematizează. Săgeata de pe cerc reprezintă sensul de parcurgere a ciclului termodinamic - după cum vom vedea, un lucru deosebit de important, deoarece acesta determină tipul maşinii, maşină de forţă care produce lucru mecanic sau maşină frigorifică care consumă lucru mecanic pentru a produce frig. În practică, s-a constatat că o maşină care produce energie mecanică prin conversia energiei termice, în mod permanent, trebuie să funcţioneze pe baza unui ciclu termodinamic. Considerăm că maşina analizată funcţionează după ciclul din figura 3.1. Maşinile termice care funcţionează pe baza unui ciclu termodinamic şi care au drept rezultat producerea de lucru mecanic, se numesc maşini de forţă sau motoare.


Fig. 3.1

Fig. 3.2

M

Rezervor de căldură cu temperatura T

Rezervor de căldură cu tmperatura T0(T0<T)

LC

Q

Q0


Totdeauna, transformările ce alcătuiesc ciclurile termodinamice ale maşinilor de forţă sunt parcurse în sensul acelor de ceas, aşa cum este arătat în figurile 3.1 şi 3.2.

În domeniul de existenţă al ciclului termodinamic există două transformări adiabate care au o poziţie particulară în raport cu ciclul termodinamic; acestea sunt transformările tangente la ciclu. Se notează punctele de tangenţă cu A şi B. Acestea determină, pe curba ce reprezintă ciclul termodinamic, două segmente.

Transformările termodinamice reprezentate de segmentul de curbă B1A se fac cu aport de căldură. Suma tuturor cantităţilor de căldură schimbate de maşină cu mediul pe acest segment de curbă o notăm cu Q; ea reprezintă căldura primită de maşina termică de la sursa caldă.

Transformările termodinamice reprezentate de segmentul de curbă A2B se fac cu cedare de căldură către mediul exterior. Notăm această căldură cu Q0.

Aria din interiorul curbei reprezintă ciclul termodinamic; ea este numeric egală cu lucrul mecanic al ciclului, pe care îl notăm cu Lc.

Bilanţul energetic aplicat maşinii din figura 3.1 ne permite scrierea următoarei ecuaţii: c0 LQQ += (3.1)

Pentru o maşină de forţă, se defineşte eficienţa energetică sau randamentul ca

fiind raportul între energia utilă furnizată de maşină şi energia consumată de aceasta. Energia utilă este reprezentată de lucrul mecanic furnizat de maşină la fiecare ciclu termodinamic. Energia consumată de maşină este reprezentată de căldura primită de la sursa caldă. Pentru ca să se realizeze un ciclu termodinamic - din punct de vedere geometric, o curbă închisă - transformările din partea inferioară, aflate sub punctele de tangenţă ale adiabatelor limită, se pot efectua numai dacă sistemul cedează căldură pe toată lungimea lor. Această căldură reprezintă o pierdere, deoarece este cedată mediului exterior.

QQ

1Q

QQQL 00c −=

−==η (3.2)

Relaţia (3.2) ne permite să calculăm eficienţa maşinilor de forţă. În această

formulă, căldura cedată mediului exterior s-a luat în modul, pentru a se evita greşelile. Această căldură fiind cedată mediului exterior, valoarea ei - calculată corect - rezultă negativă. Convenţia de semne pentru căldură şi lucru mecanic, funcţie de sensul acestora, este prezentată în fig. 3.3.

Fig. 3.3

(-)Q

(+)Q

(+)L (-)L ST


O importantă categorie de maşini termice o constituie maşinile frigorifice şi

pompele de căldură. Schema generală a acestora este prezentată în figura 3.4. Observăm că maşina termică interacţionează cu două surse de căldură. Aceasta primeşte lucrul mecanic Lc, iar fiecare ciclu efectuat preia căldura Q0 de la un rezervor cu temperatură scăzută T0 şi furnizează căldura Q la un rezervor de căldură cu temperatură ridicată (T>T0).

Fig. 3.4

Ciclul termodinamic asociat acestei maşini termice este prezentat în figura 3.5. Pentru această categorie de maşini observăm că ciclul termodinamic este parcurs

în sens invers acelor de ceas. Lucrul mecanic al ciclului este negativ în valoare, ceea ce ne arată că el este primit de sistem din exterior, deci este un lucru mecanic consumat de maşină. Transformările termodinamice reprezentate de arcul B1A se fac cu cedare de căldură. Notăm cu Q suma căldurilor cedate pe această porţiune de curbă. Transformările termodinamice reprezentate de arcul de curbă A2B se produc cu aport de căldură. Notăm această căldură cu Q0. Ecuaţia de bilanţ energetic a maşinii (3.3) este asemănătoare cu ecuatia (3.2), mărimile care alcătuiesc această relaţie diferă prin semn, însă toate au semnul schimbat faţă de relaţia (3.2), deci matematic sunt echivalente. QLQ c0 =+ (3.3)

Pentru a defini eficienţa acestor tipuri de maşini trebuie să facem precizări suplimentare. Astfel, dacă rezervorul de căldură caracterizat de temperatura T0 este o incintă izolată, iar rezervorul de căldură caracterizat de temperatura T este reprezentat de mediul exterior, maşina se numeşte maşină frigorifică deoarece pe durata funcţionării extrage permanent căldură din rezervorul T0, fapt ce are drept consecinţă scăderea temperaturii în incinta izolată.

M

Rezervor de căldură cu temperatura T

Rezervor de căldură cu temperatura T0(T0<T)

LC

Q

Q0


Fig. 3.5

Pentru acest caz, se defineşte eficienţa frigorifică a maşinii ca fiind raportul între efectul util, căldura Q0 extrasă la fiecare ciclu pentru răcirea rezervorului T0 şi energia consumată, lucrul mecanic pe ciclu Lc.

0

0

c

0f QQ

QLQ

−==ε (3.4)

Altă categorie de maşini care funcţionează pe baza unui ciclu termodinamic

inversat sunt pompele de căldură. Schematic, pot fi reprezentate ca în figura 3.5, însă de această dată rezervorul aflat la temperatura T0 reprezintă mediul exterior, iar rezervorul caracterizat de temperatura T este o incintă semiizolată, cum ar fi o încăpere. Pompa de căldură extrage căldură din mediul exterior, de la o temperatură scăzută, şi o livrează în rezervorul T la o temperatură ridicată (T>T0), contribuind la încălzirea acestuia. Eficienţa pompelor de căldură este dată de raportul căldurii utile, de această dată căldura Q folosită la încălzire, şi energia consumată reprezentată de lucrul mecanic pe ciclu.

0c

p QQQ

LQ

−==ε (3.5)


Eficienţa pompei de căldură se mai numeşte şi eficienţă calorică. Între cele două relaţii există o legătură:

1L

LQLQ

fc

c0

cp +=

+== εε (3.6)

Funcţionarea pompelor de căldură este - de regulă - reversibilă, astfel că ele pot

fi utilizate la încălzirea unor incinte sau la răcirea acestora, funcţie de cum sunt dirijate fluxurile de căldură Q şi Q0. Un bun exemplu pentru o astfel de maşină, ce poate fi utilizată atât la răcirea unei încăperi, cât şi la încălzirea acesteia, o constituie instalaţiile de climatizare reversibile.

3.2 Ciclul Carnot

Dintre ciclurile termodinamice în cadrul cărora are loc transformarea căldurii în lucru mecanic, folosind un număr cât mai redus de surse de căldură, ciclul Carnot are o importanţă deosebită în studiul termodinamicii. El reprezintă ciclul termodinamic cu eficienţa maximă care se poate produce între două rezervoare de căldură cu temperaturi diferite.

Fig. 3.6


Agentul termodinamic este un gaz perfect, el este adus în contact cu două surse

de căldură cu temperaturile T şi T0 (T>T0). Căldura Q este preluată în procesul izoterm 12 (fig. 3.6), iar în procesul izoterm 34 căldura Q0 este cedată mediului exterior.

Între cele două procese izoterme, gazul mai suferă o comprimare adiabată 34 şi o destinderea adiabată 23. Lucrul mecanic al ciclului este reprezentat de aria cuprinsă în interiorul celor patru transformări.

Eficienţa acestui ciclu se poate calcula cu relaţia (3.2). Cele două călduri care intervin în relaţie sunt călduri schimbate în lungul unor transformări izoterme; ele se calculează astfel:

2

11

1

21112 p

plnRTvvlnvpQQ === (3.7)

4

33

3

433340 p

plnRTvvlnvpQQ === (3.8)

2

11

4

33

pplnT

pplnT

1−=η (3.9)

Pentru a exprima rapoartele presiunilor, utilizăm ecuaţiile adiabatelor 14 şi 23:

k

1k

4

k1k

1

4

1

k1k

4

4

k1k

1

1

p

pTT

p

T

p

T−

−

−− =⇒= (3.10)

k

1k

3

k1k

2

3

2

k1k

3

3

k1k

2

2

p

pTT

p

T

p

T−

−

−− =⇒= ( 3.11)

3

4

2

1

3

2

4

1

043

21

pp

pp

pp

pp

TTTTTT

=⇒=⇒⎭⎬⎫

====

(3.12)

În final, rezultă randamentul ciclului Carnot (3.13). Observăm că acesta depinde

numai de temperaturile celor două surse de căldură.

TT1 0−=η (3.13)


În mod asemănător, se poate demonstra că dacă o maşină frigorifică (fig.3.4)

funcţionează după ciclul Carnot inversat, eficienţa frigorifică depinde numai de temperaturile celor două izoterme:

C

0

0

0

0

0

0

0f

TT

TT1

TT

TTT

QQQ

ηε =

−=

−=

−= (3.14)

Cu ηC s-a notat randamentul ciclului motor Carnot care ar funcţiona între aceleaşi limite de temperatură. Eficienţa calorică a pompelor de căldură este dată de formula:

C000

p1

TT1

1TT

TQQ

Qη

ε =−

=−

=−

= (3.15)

3.3 Enunţuri ale principiului al doilea al termodinamicii

Principiul al doilea al termodinamicii mai este numit şi principiul evoluţiei. Din punct de vedere istoric, S. Carnot a fost primul care a enunţat acest principiu, precizând sensul evoluţiei transformărilor ireversibile. Există şi alte enunţuri, dintre care cele mai cunoscute sunt cele ale lui Clausius şi Kelvin-Planck, care vor fi prezentate în continuare. Toate enunţurile clasice se referă la o tratare sistemică.

3.3.1 Enunţul lui Clausius Trecerea căldurii de la un corp mai rece către unul mai cald nu se poate face de la sine. Aceasta necesită un consum de energie.

După cum s-a arătat, acest lucru este posibil în cazul pompelor de căldură, dar trecerea căldurii de la un corp mai rece la unul mai cald nu se face de la sine (în mod natural), ci se face pe baza unui consum de lucru mecanic.

3.3.2 Enunţul lui Kelvin-Planck Este imposibilă obţinerea de lucru mecanic cu ajutorul unui sistem termodinamic care descrie un ciclu în care agentul se află în contact doar cu o sursă de căldură. Enunţul arată imposibilitatea realizării motorului monoterm, adică a unui motor care să funcţioneze pe baza unei singure surse de temperatură. Acesta ar fi un motor care ar transforma integral căldura în lucru mecanic, având un randament egal cu unu; el se mai numeşte perpetuum mobile de speţa a doua. Enunţul Kelvin-Planc interzice existenţa acestui tip de motor.


3.4 Entropia Din relaţiile (3.2) şi (3.13) se deduce, pentru un ciclu Carnot, o legătură între căldurile schimbate de agentul termodinamic şi temperaturile proceselor izoterme.

0TQ

TQ

TT1

QQ

10

000 =+⇒−=−=η (3.16)

Considerăm un ciclu oarecare, alcătuit din transformări reversibile (fig. 3.7). În intervalul dintre cele două adiabate limită ale ciclului ducem n curbe adiabate (incluzând adiabatele limită). Între două curbe adiabate, consecutive - de exemplu, curbele notate cu i şi i+1 - se formează un ciclu elementar. Acesta este alcătuit din două adiabate 2i3i , 1i4i şi două arce de curbă 1i2i , 3i4i . Dacă adiabatele i şi i+1 sunt apropiate, putem aproxima cele două arce de curbă 1i2i şi 3i4i cu două izoterme elementare corespunzătoare temperaturilor Ti şi T0i . În acest caz, putem considera ciclul termodinamic ales împărţit în n-1 cicluri Carnot elementare, pentru care putem aplica relaţia (3.16). Pentru ciclul elementar Carnot, notat cu i, relaţia devine:

Fig. 3.7


0TQ

TQ

i0

i0

i

i =+ (3.17)

Însumând toate relaţiile de tipul (3.17) pentru toate ciclurile Carnot elementare

ce compun ciclul ales şi trecând la limită când numărul adiabatelor tinde către infinit, rezultă:

0TQ

TQ

TQ

i0

i0

i

i

nlim ==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∑ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ∫

∞→

δ (3.18)

Integrala din relaţia (3.18) poartă denumirea de integrala lui Clausius. Pentru un

ciclu reversibil, valoarea acestei integrale este nulă. Din punct de vedere matematic, avem de a face cu o integrală curbilinie calculată pe un contur închis, pe o curbă oarecare. Deoarece valoarea acestei integrale este nulă, rezultă că mărimea de sub semnul de integrare este o diferenţială totală exactă.

Se defineşte o nouă mărime de stare numită entropie, astfel:

TQdS δ

= [J/K]; Tqds δ

= [J/kg/K] (3.19)

Pentru o transformare de stare reversibilă, variaţia de entropie se calculează

astfel:

∫=−2

112 T

QSS δ (3.20)

sau entropia unităţii de masă:

∫=−2

112 T

qss δ (3.21)

3.4.1 Variaţia entropiei pentru transformările de stare reversibile ale gazelor perfecte

Pentru procesele reversibile, entropia se comportă ca o mărime de stare: variaţia ei nu depinde de drum, deci de felul transformării. Variaţia entropiei se poate calcula cu relaţia (3.21).

Pentru a efectua integrala, se exprimă convenabil diferenţiala căldurii din relaţiile diferenţiale ale primului principiu (2.38) sau (2.39), iar pentru parametrii de stare se utilizează ecuaţia lui Clapeyron.


o Variaţia entropiei în transformarea izocoră:

1

2v

2

1v

2

1

2

112 T

TlncTdTc

Tpdvdu

dTqs ==

+==∆ ∫∫∫

δ (3.22)

o Variaţia entropiei în transformarea izobară:

1

2p

2

1p

2

1

2

112 T

TlncTdTc

Tvdpdh

dTqs ==

−==∆ ∫∫∫

δ (3.23)

o Variaţia entropiei în transformarea izotermă:

2

1

1

22

1

2

1

2

1

2

112 p

plnRvvlnR

vdvRdv

Tp

Tpdvdu

dTqs ====

+==∆ ∫∫∫∫

δ (3.24)

o Variaţia entropiei în transformarea adiabată:

0s12 =∆ (3.25)

o Variaţia entropiei în transformarea politropă:

1

2

1

2v

2

1v

2

1

2

112 v

vlnRTTlnc

vdvR

TdTc

Tpdvdu

dTqs +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+==∆ ∫∫∫

δ (3.26)

3.4.2 Diagrame temperatură - entropie Conceptul de entropie permite utilizarea unui sistem de axe de coordonate T-s pentru reprezentarea grafică a transformărilor termodinamice. Avantajul utilizării acestui sistem de coordonate constă în faptul că transformările adiabate ce aproximează multe procese reale din tehnică sunt reprezentate prin segmente de dreaptă. În figura 3.8 este prezentat un ciclu Carnot în coordonate T-s. În această diagramă, transformările izobare şi izocore sunt reprezentate prin curbe exponenţiale. Notarea acestora se face astfel: în partea de sus şi din dreapta sunt notate valorile izobarele, iar în partea din dreapta şi de jos sunt notate valorile izocorelor.

În aceste coordonate, căldura apare direct sub forma ariilor cuprinse între curbă şi axa entropiei, astfel:

( )12

2

11212 ssTTdsq;qmQ −==⋅= ∫ (3.27)


( )340

4

334340 ssTTdsq;qmQ −==⋅= ∫ (3.28)

Fig. 3.8

Lucrul mecanic pe ciclu este egal cu diferenţa căldurilor intrate şi ieşite pe ciclu; acesta este reprezentat în diagramă de aria ciclului. În diagramă s-a notat cu T temperatura izotermei 1-2 şi respectiv cu T0 temperatura izotermei 3-4.

3.4.3 Expresiile diferenţiale combinate ale celor două principii ale termodinamicii

În cazul transformărilor termodinamice reversibile, în expresiile diferenţiale ale primului principiu (2.38), (2.39) înlocuim expresia diferenţialei căldurii din relaţia de definiţie a entropiei (3.19), rezultând expresii ce combină ambele principii: pdvduTds += (3.29)


vdvdhTds −= (3.30)

Ecuaţiile de mai sus mai sunt numite ecuaţiile fundamentale ale termodinamicii.

3.5 Variaţia entropiei în transformările ireversibile Evoluţiile reale ale sistemelor termodinamice sunt evoluţii ireversibile. Dintre cele mai frecvente surse de ireversibilitate vom aminti câteva: transferul de căldură, frecările, curgerea fluidelor reale în care apare disiparea vâscoasă sau turbulentă a energiei, laminarea, difuzia, disiparea energiei electrice prin efect Joule, etc. Toate aceste fenomene amintite mai sus produc disiparea unei părţi a energiei, astfel că - într-o transformare ireversibilă - performanţele acesteia, lucru mecanic şi randament, sunt mai mici decât în cazul unei transformări similare reversibile. Pentru o evoluţie ireversibilă a sistemului termodinamic de la 1 la 2, relaţia (3.20) are următoarea formă:

12

2

1

SSTQ

−≤∫δ (3.31)

Semnificaţia termenilor acestei inegalităţi este următoarea:

∫2

1 TQδ - reprezintă transferul de entropie ce se produce între sistem şi mediul

exterior, odată cu transferul de căldură;

12 SS − - reprezintă variaţia de entropie a sistemului.

Transferul de entropie între un sistem termodinamic închis (fig. 3.9) şi mediul exterior se face prin intermediul transferului de căldură (δQ). Transferul de entropie (δQ/T) se produce paralel cu transferul de căldură. Numai transferul de energie sub formă de căldură determină un transfer de entropie; schimbul de lucru mecanic între sistem şi mediu nu este însoţit de transfer de energie.

Fig. 3.9


Pentru un proces reversibil, variaţia de entropie este egală cu transferul de entropie produs pe durata procesului. În cazul proceselor ireversibile, variaţia de entropie a sistemului termodinamic este mai mare decât entropia schimbată cu mediul exterior. Diferenţa între transferul de entropie realizat în cursul procesului şi variaţia de entropie se numeşte entropie generată în timpul procesului sau producţie de entropie şi se defineşte prin relaţia:

∫−−=2

112gen T

QSSS δ (3.32)

Entropia generată în timpul procesului este totdeauna pozitivă în cazul proceselor ireversibile şi nulă pentru procese reversibile. Ea constituie o măsură a ireversibilităţii proceselor. Cu cât ireversibilitatea unei transformări de stare este mai mare, cu atât entropia generată este mai mare. Entropia generată Sgen nu este o mărime de stare, ea apare în cursul transformărilor ireversibile şi depinde de tipul transformării. Inegalitatea din relaţia (3.30) are o semnificaţie deosebită deoarece arată sensul de evoluţie al fenomenelor. Orice proces real se desfăşoară cu producere de entropie, astfel încât pe parcursul evoluţiei sistemelor entropie acestora creşte. Un sistem izolat de mediul înconjurător evoluează spre starea de echilibru caracterizată prin valoarea maximă a entropiei acestuia.

3.5.1 Generarea de entropie în sistemele deschise

Un sistem termodinamic deschis este un sistem care schimbă substanţă cu mediul înconjurător. Considerăm un sistem deschis (fig. 3.10), în care intră fluxurile de

masă am•

care aduc pe fiecare kilogram entropia specifică as şi sunt evacuate fluxurile

de masă em•

care pentru fiecare kilogram au entropia specifică es . Sistemul

interacţionează termic cu mediul exterior, fie •

Q puterea termică momentană schimbată

de sistem cu exteriorul şi T/Q•

fluxul de entropie asociat:

Fig. 3.10


Bilanţul entropiei pentru sistemul din figura 3.10 este alcătuit din fluxul de entropie primit de sistem datorită interacţiunii termice, la care se adaugă fluxurile de entropie aduse sau extrase din sistem odată cu debitele masice ce străbat sistemul. Toate acestea determină variaţia în timp a entropiei sistemului:

τ∂∂

≤+−

•••

∑∑ STQsmsm eeaa

(3.33)

Putem împărţi termenii relaţiei (3.32) funcţie de semnificaţia acestora, astfel:

TQsmsm eeaa

•••

+−∑∑ = viteza de transfer a entropiei;

τ∂∂S = viteza de schimbare a entropiei sistemului.

Diferenţa între relaţia pentru sisteme deschise (3.33) şi relaţia (3.31) pentru

sisteme închise constă în transferul de entropie asociat debitelor masice care străbat graniţele sistemului.

Pentru procese reversibile, în relaţia (3.33) este valabil semnul egal, iar pentru procese ireversibile este valabilă inegalitatea. Datorită ireversibilităţii proceselor reale, viteza de schimbare a entropiei este mai mare decât viteza de transfer a entropiei. Acest lucru a permis definirea producţiei de entropie sau a generării de entropie în sistemele deschise.

Viteza de generare a entropiei în sistemele deschise, măsurată în SI în [W/K], se calculează cu relaţia:

eeaagen smsmTQSS ∑∑

•••

•

−+−∂∂

=τ

(3.34)

Pentru a fixa mai bine noţiunile, vom face un studiu de caz referitor la

funcţionarea reală stabilizată a unei turbine, reprezentată în figura 3.11. Considerăm că în timpul destinderii în turbină agentul termodinamic nu

interacţionează termic cu exteriorul; pentru a sublinia acest lucru am considerat un contur adiabatic, care nu permite schimbul de căldură cu exteriorul. În aceste condiţii, destinderea agentului termodinamic în turbină este adiabată, ireversibilitatea procesului fiind dată numai de entropia generată în timpul destinderii. Funcţionarea acestei maşini se face astfel:

Debitul am•

de agent termodinamic intră în turbină cu entalpia specifică ha şi

entropia specifică sa. Din maşină este evacuat debitul em•

având entalpia specifică he şi entropia specifică se. Turbina prelucrează diferenţa de entalpie, rezultând o putere reală la axul maşinii pe care o vom nota cu P.


Având în vedere funcţionarea stabilizată, adică termenii ce conţin derivatele

funcţie de timp sunt nuli, aplicăm următoarele legi:

Fig.3.11

- legea conservării masei:

•••

== mmm ba (3.35) - primul principiu al termodinamicii, particularizarea relaţiei (2.61), ne

permite calcularea puterii reale la axul obţinută la axul turbinei:

( )irevea hhmP −

•

−= (3.36)

- al doilea principiu al termodinamicii :

( )airevegen ssmS −= −

••

(3.37)

În figura 3.12 este prezentat procesul real al destinderii în turbină prin curba aeirev, iar procesul ideal, reversibil, prin curba aerev. Puterea maximă a turbinei s-ar obţine dacă ea ar funcţiona după un proces reversibil; aceasta se poate calcula astfel:

( )reveamax hhmP −

•

−= (3.38) Pierderea de putere datorită ireversibilităţii o notăm cu Pp şi o putem calcula ca

diferenţă între puterea reală obţinută la axul maşinii şi puterea maximă teoretică:

( )reveirevemaxp hhmPPP −−

•

−=−= (3.39)


Din reprezentarea în diagrama TS (fig. 3.12) a proceselor observăm că

temperaturile punctelor erev şi eirev sunt diferite. Definim prin T0 o temperatură medie a fluidului evacuat din turbină, calculată cu relaţia:

∫−

−−− −=

ireve

revereveireve0 Tds

ss1T (3.40)

Fig. 3.12

Diferenţa dintre entalpiile celor două puncte de evacuare, reversibil şi ireversibil, poate fi evaluată astfel: ( ) ( )reveireve0reveireve ssThh −−−− −=− (3.41) Înlocuind relaţia (3.40) în relaţia (3.39), rezultă formula finală a puterii pierdute:

( )•

−−

•

=−=−= gen0reveireve0maxp STssTmPPP (3.42)


În relaţia (3.40) s-a ţinut seama că în procesul reversibil aerev, entropia specifică a fluidului la intrarea în turbină sa este egală cu entropia specifică a fluidului la ieşirea din turbină se-rev. Din cele expuse mai sus putem trage o concluzie importantă: puterea pierdută de turbină datorită ireversibilităţii este egală cu produsul dintre viteza de generare a entropiei şi temperatura mediului exterior. Entropia generată în sistem contribuie direct la reducerea puterii la axul turbinei.

3.5.2 Teorema Gouy - Stodola Considerăm un sistem termodinamic deschis, reprezentat schematic în figura

3.13. Sistemul schimbă căldură cu mediul exterior, notăm puterea termică cu •

Q . Simultan cu fluxul termic, sistemul primeşte de la mediul exterior un flux de entropie

0T/Q•

. Se consideră temperatura mediului exterior T0, iar graniţa sistemului se consideră la aceeaşi temperatură.

Sistemul este străbătut de fluxuri masice ce contribuie la variaţia energiei sistemului şi a entropiei acestuia. Fie P puterea efectivă (la axul maşinii) furnizată de sistem:

Fig. 3.13

Ecuaţiile termodinamice care descriu acest sistem sunt: - ecuaţia primului principiu (2.61), în care termenii au fost aranjaţi convenabil

şi în care s-a notat derivata lucrului mecanic tehnic •

tL cu puterea P:

PQgZ2

whmgZ2

whmddE

e

2e

eea

2a

aa −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

•••

∑∑τ (3.43)


- Ecuaţia principiului al doilea, scris pentru sisteme deschise sub forma (3.33),

în care s-au aranjat convenabil termenii:

0

eaa TQmsmS•

••

+−≥∂∂ ∑∑τ

(3.44)

- Ecuaţia sursei de entropie:

eaa

0

gen msmTQSS ∑∑

•••

•

−+−∂∂

=τ

(3.45)

Eliminând puterea termică •

Q între relaţiile (3.43) şi (3.44) şi aranjând convenabil termenii, obţinem pentru puterea P furnizată de sistem expresia următoare:

( )STEsTgZ2

whmsTgZ2

whmP 0e0e

2e

eea0a

2a

aa −∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++≤ ∑∑

••

τ (3.46)

Inegalitatea corespunde cazului general pentru un proces ireversibil. Puterea atinge valoarea maximă pentru o evoluţie reversibilă a sistemului.

( )STEsTgZ2

whmsTgZ2

whmP 0e0e

2e

eea0a

2a

aamax −∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++= ∑∑

••

τ (3.47)

Procesele reale sunt procese reversibile, deci puterea reală obţinută la axul maşinii este mai mică decât puterea maximă ce se poate obţine printr-un proces reversibil. Se defineşte puterea disponibilă pierdută datorită ireversibilităţii Pp astfel:

PPP maxp −= (3.48) Puterea disponibilă pierdută este o mărime întotdeauna pozitiv definită, ea reprezintă o măsură a ireversibilităţii procesului. Ireversibilitatea este responsabilă de distrugerea parţială a puterii disponibile. În sistemele tehnice procesele sunt ireversibile, consecinţa importantă a acestui lucru fiind aceea că niciodată nu vom putea utiliza întreaga energie disponibilă iniţial în proces, deoarece o parte mai mică sau mai mare se distruge, adică se transformă în forme de energie inutilizabile tehnic, chiar în cursul procesului. O relaţie importantă leagă puterea disponibilă pierdută de generarea de entropie în timpul procesului. Înlocuind în relaţia (3.47) expresia termenilor P şi Pmax obţinem:


gen0eaa0

0p STmsmTQSTP =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+−−

∂∂

= ∑∑••

•

τ (3.49)

Ecuaţia (3.49) reprezintă Teorema Gouy-Stodola. Enunţul acestei teoreme este următorul: Puterea disponibilă pierdută într-un proces este direct proporţională cu producţia de entropie, constanta de proporţionalitate fiind temperatura absolută a mediului înconjurător. Pentru a măsura eficienţa unui proces ireversibil se defineşte randamentul principiului al II-lea ca fiind raportul dintre puterea efectivă, la axul maşinii şi puterea teoretică maximă, astfel:

max

gen0

max

p

maxII P

ST1

PP

1PP

−=−==η (3.50)

Observăm că acest randament este invers proporţional cu entropia generată în timpul procesului. Trebuie să nu se confunde acest randament impus de ireversibilitatea proceselor cu randamentul termodinamic definit anterior. Pentru a se face o distincţie clară, randamentul termodinamic clasic se mai numeşte randamentul primului principiu. Astfel, dacă avem o maşină termică care funcţionează după ciclul Carnot cu randamentul:

TT1 0

Carnot −=η - randamentul primului principiu

şi dacă presupunem că transformările care compun ciclul sunt ireversibile, randamentul total al maşinii este produsul randamentelor: CarnotIIηηη = (3.51)

3.5.3 Puterea maximă disponibilă în procesele de transport

Considerând curgerea staţionară a unui fluid printr-o conductă şi notând cu 1 şi 2 parametrii fluidului la intrarea şi respectiv ieşirea din conductă, particularizând formula (3.47) obţinem puterea maximă disponibila:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++=

•

202

22

2101

21

1max sTgZ2

whsTgZ2

whmP (3.52)

Această putere dată de formula (3.51) reprezintă puterea maximă de care mai

dispune fluidul după ce a fost transportat în condiţii reversibile pe conductă între secţiunile 1 şi 2. Notăm: sThb 0−= (3.53)


Această mărime a fost denumită funcţie de disponibilitate; ea este o proprietate

termodinamică a sistemului, definită în condiţiile în care mediul înconjurător are temperatura (ce caracterizează nivelul energetic) T0. Introducând funcţia de disponibilitate, relaţia (3.52) devine:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

•

2

22

21

21

1max gZ2

wbgZ2

wbmP (3.54)

Dacă alegem ca referinţă starea mediului înconjurător cu temperatura 0T şi cota

0Z , Gordon [35] defineşte puterea maximă pe unitatea de masă prin funcţia ψ , astfel:

( )00000

2

gZsThsTgz2

wh +−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++=ψ (3.55)

Cu această notaţie. puterea maximă disponibilă se poate exprima într-un proces

de curgere fără interacţiuni de natură termică astfel:

( )21max mP ψψ −=•

(3.56)

Puterea reală disponibilă este mai mică deoarece intervine puterea pierdută datorită ireversibilităţii procesului de transport. Aplicând teorema Gouy-Stodola, putem defini puterea reală disponibilă a fluidului în urma unui proces de transport pe o conductă de la secţiune 1 la 2:

( ) TSmPPP gen21pmax

••

−−=−= ψψ (3.57)

Termenul genS•

reprezintă entropia generată în procesul de transport. 3.5.4 Entropia generată în cazul curgerilor cu frecare

Considerăm curgerea unui fluid cu frecare printr-o conductă între secţiunile 1 şi 2. Entropia generată în timpul curgerii este datorată proceselor de disipaţie vâscoasă. În absenţa interacţiunilor termice cu mediul exterior, la limită putem considera procesul de curgere adiabat. Particularizăm relaţia (3.29) pentru acest caz:

∫ −=⇒−=−=•• 2

1

gen dpTvmSvdp0vdpdhTds (3.58)

Pentru un proces izoterm de transport 0dh = .


2

1

1

22

1

genpplnRm

pplnRm

pdpRmS

••••

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−= ∫ (3.59)

Relaţia între presiunile de la capetele conductei este ppp 12 ∆−= şi dacă 1pp <<∆ , putem aproxima formula (3.59) astfel:

12

1gen

ppRm

pplnRmS ∆

≈==•••

(3.60)

Căderea de presiune pe conductă se calculează cu formula (3.60) pentru

pierderile de presiune în lungul conductei:

2w

DL4fp

2ρ=∆ (3.61)

Coeficientul de frecare f se determină cu formula Karaman-Nikuradse:

( )f4Reln87,08,0f4

1+−= (3.62)

Exemplul E 3.1 Să se determine puterea pierdută printr-o clapetă fluture deschisă la 70°. Geometria problemei şi datele sunt prezentate în schema de mai jos. Prin conductă circulă aer.

Soluţie:

Pierderea de presiune în clapetă este 2wfp

2ρ=∆ cu f = 361 pentru cazul din

problemă. Aplicăm formulele (3.54), (3.56) şi obţinem:

35,020000010604

29831450019625.035,2

ppAwRS1

gen =⋅⋅=∆

=•

ρ [W/K]

10530035,0TSP 0genp =⋅==•

[W]

Gaze reale 76

4. Gaze reale

După cum se cunoaşte, substanţele se pot găsi în diferite stări de agregare.

Deoarece parametrii termodinamici corespunzători mediului normal în care se desfăşoară activitatea – presiunea şi temperatura - au variaţii mici şi limitate, substanţele cu care interacţionăm se găsesc în stare gazoasă, lichidă sau solidă. Substanţele care în condiţii obişnuite de presiune şi temperatură se află în fază gazoasă sunt numite, simplu, gaze.

4.1 Potenţiale termodinamice Mărimile termodinamice pot fi împărţite în două categorii: funcţii de stare şi funcţii de proces. Funcţiile de stare - sau mărimile de stare, după cum mai sunt denumite - sunt funcţii care admit diferenţiale totale exacte. Această caracteristică are consecinţe importante pentru calculul mărimilor termodinamice:

- Dacă U este o mărime de stare, iar sistemul parcurge o evoluţie de la starea 1 la starea 2, valoarea integralei devine:

1

2

12 UUdU −=∫ (4.1)

Practic, valoarea integralei nu depinde de drum, ci numai de stările iniţială şi finală. - Pentru o transformare ciclică, valoarea integralei pe o curbă închisă este nulă:

∫ = 0dU (4.2)

- Dacă funcţia U este definită numai prin: ii

dxxUdU ∑∂∂

= ,

atunci ea poate fi determinată cu aproximarea unei constante aditive. Funcţiile de stare se mai numesc şi funcţii caracteristice sau - prin analogie cu

mecanica - potenţiale termodinamice. În definirea potenţialelor termodinamice se porneşte de la relaţia fundamentală a

termodinamicii: LdUTdS δ+≥ (4.3)

Pentru un proces reversibil, relaţia (4.3) devine: pdVTdSdU −= (4.4) 4.1.1 Entalpia

Energia internă, notată cu U, este un potenţial termodinamic. Ecuaţia (4.4) este o diferenţiala totală liniară, deci o formă Pfaff olonomă. Printr-o transformare de tip Legendre, în relaţia (4.4) se înlocuieşte volumul V cu presiunea p:


⇒+= VdppdV)pV(d ⇒−= Vdp)pV(dpdV ⇒+−= Vdp)pV(dTdSdU

VdpTdS)pVU(d +=+ HpVU =+ (4.5)

VdpTdSdH += (4.6)

Funcţia U+pV este o diferenţială totală exactă, deci un potenţial termodinamic. Ea se notează cu H în relaţia (4.5) şi reprezintă entalpia.

4.1.2 Energia liberă

Dacă în relaţia (4.4) se înlocuieşte variabila S cu T, printr-o transformare Legendre rezultă: ⇒−= pdVTdSdU ⇒+= SdTTdS)TS(d ⇒−= SdT)TS(dTdS ⇒−−= pdVSdT)TS(ddU pdVSdT)TSU(d −−=− TSUF −= (4.7) pdVSdTdF −−= (4.8)

Funcţia termodinamică F poartă denumirea de energie liberă sau potenţialul lui Helmholtz. 4.1.3 Entalpia liberă

Dacă în relaţia (4.6) se schimbă variabila S cu T, printr-o transformare Legendre rezultă:

⇒+= VdpTdSdH ⇒+= SdTTdS)TS(d ⇒−= SdT)TS(dTdS ⇒+−= VdpSdT)TS(ddH VdpSdT)TSH(d +−=− TSHG −= (4.9) VdpSdTdG +−= (4.10)

Funcţia G se numeşte entalpie liberă sau potenţialul lui Gibbs.

4.1.4 Relaţiile lui Maxwell

Se consideră o funcţie de două variabile f(x,z) care admite o diferenţială totală exactă:

Gaze reale 78

dyyfdx

xfdf

∂∂

+∂∂

= (4.11)

Se notează: xfM∂∂

= yfN∂∂

= , rezultând:

NdyMdxdf += (4.12)

Dacă derivatele parţiale sunt funcţii continue şi derivabile, atunci există relaţia (4.13), ca o consecinţă a egalităţii derivatelor mixte de ordinul doi (4.28):

xN

yM

∂∂

=∂∂ (4.13)

yxf

yxf 22

∂∂∂

=∂∂

∂ (4.14)

Pentru potenţialele termodinamice: pdVTdSdU −= VdpTdSdH += pdVSdTdF −−=

VdpSdTdG +−= se aplică relaţia (4.14) şi se obţine:

VS S

pVT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ (4.15)

pS S

VpT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ (4.16)

VT T

pVS

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ (4.17)

pT T

VpS

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ (4.18)

Relaţiile (4.15), (4.16), (4.17) şi (4.18) poartă denumirea de ecuaţiile (relaţiile) lui Maxwell.


4.2 Analiza comportării gazelor reale

Studiul gazelor a relevat faptul că legătura dintre parametrii de stare (p – presiune, T – temperatură, V – volum) poate fi descrisă matematic de o ecuaţie numită ecuaţie de stare. Pentru gazele reale se utilizează frecvent o formă simplificată a ecuaţiei de stare, care permite obţinerea rapidă de soluţii:

mZRTpV = (4.19) În ecuaţia de mai sus, cu Z s-a notat factorul de compresibilitate. Această

mărime este caracteristică gazelor reale, nu este o constantă, iar valorile lui Z sunt definite în funcţie de parametrii de stare şi de proprietăţile gazului. Analiza experimentală a proprietăţilor gazelor reale arată că, pentru fiecare gaz, există o zonă în care variaţia parametrilor de stare prezintă discontinuităţi, legate fizic de procesul de schimbare de fază. Pentru a exemplifica aceste fenomene, dar şi pentru a putea defini noţiunile legate de procesul de schimbare de fază, în figura 1 este prezentată diagrama Ts corespunzătoare gazului metan. În această diagramă s-au trasat curbele izobare ale metanului, exprimate în [MPa], începând de la presiunea de 0,1 MPa (1 bar) şi până la presiunea de 100 MPa (1.000 bar). Se observă că pentru presiuni mari, cuprinse în intervalul 20 ÷ 100 MPa, izobarele sunt curbe uniforme, continue pe întreg domeniul reprezentat. Pe măsură ce presiunea izobarelor îşi micşorează valoarea (10, 8, 4,599 MPa) curbele prezintă inflexiuni din ce în ce mai accentuate, acestea culminând cu un punct de inflexiune cu tangentă orizontală pe izobara 4,599 MPa, notat cu K. Toate curbele care se află sub valoarea de 4,599 MPa prezintă discontinuităţi, la o anumită temperatură apărând un palier orizontal. Din punct de vedere matematic, se observă că pe această porţiune sunt constanţi doi parametri de stare: presiunea şi temperatura.

Un comportament asemănător cu al gazului metan se întâlneşte la orice substanţă pură, explicaţia trebuind să fie făcută în strânsă legătură cu fenomenele fizice care au loc la aceste presiuni şi temperaturi. Pentru a înţelege particularităţile prezentate mai sus, în cele ce urmează se va face o analiză asupra izobarei de 0,5 MPa. Se observă lesne faptul că, de la temperaturi ridicate şi până la 135,7 K (-137,3 °C), izobara este reprezentată de o curbă continuă. În această porţiune, metanul se află în fază gazoasă. Din punct de vedere termodinamic, evoluţia gazului de la temperaturi ridicate spre temperaturi scăzute se poate face printr-un proces de răcire, ceea ce provoacă - concomitent cu scăderea temperaturii - micşorarea entropiei. La temperatura de 135,7 K, curba prezintă o discontinuitate. Practic, comportarea uniformă a curbei este întreruptă brusc şi aceasta continuă cu un palier orizontal MN, pentru care presiunea şi temperatura rămân constante.

Discontinuitatea bruscă în comportamentul gazului metan este determinată de începutul procesului de schimbare de fază. Din punct de vedere matematic, punctul M este un punct de discontinuitate (începutul palierului orizontal), dar termodinamic reprezintă începutul procesului de condensare. La presiunea respectivă, temperatura palierului este constantă şi poartă numele de temperatură de saturaţie. În punctul de discontinuitate, metanul se găseşte sub formă de vapori la temperatura de saturaţie, denumiţi prescurtat vapori saturaţi sau

Gaze reale 80

vapori saturaţi uscaţi (după cum apare în unele publicaţii, precizându-se că în această stare nu mai există nici o picătură de lichid). Toate izobarele care au presiunea mai mică de 4,599 MPa (0,1, 0,5, 1, 2, 3 MPa) prezintă puncte de discontinuitate în care există vapori saturaţi. Punctele respective sunt plasate pe curba KB (fig. 4.1), care poate fi definită ca locul geometric al punctelor care reprezintă începutul procesului de condensare. Ca stare termodinamică, metanul se află sub formă de vapori saturaţi. Pe această curbă, care poartă denumirea de curba limită superioară, parametrii termodinamici ai punctelor se notează astfel: v” – volumul specific [m3/kg] , h” – entalpia specifică [kJ/kg], s” – entropia specifică [kJ/kg/K].

Fig. 4.1 Analizând în continuare comportarea metanului pe izobara de 0,5 MPa se constată că entropia scade de-a lungul palierului până la apariţia unui nou punct de discontinuitate, notat cu N. Aici se sfârşeşte palierul orizontal, iar curba revine la o comportare asemănătoare cu cea anterioară apariţiei discontinuităţii din punctul M. Din punct de vedere termodinamic, punctul N reprezintă starea de lichid la saturaţie. Evoluţia metanului pe palierul MN descrie procesul de schimbare de fază. Din punctul M începe procesul de condensare, caracterizat de apariţia picăturilor de lichid. Datorită faptului că temperatura şi presiunea rămân constante, procesul de condensare este un proces izobar-izoterm. Entropia, care caracterizează gradul de dezordine al materiei, scade. De aici rezultă că pe această porţiune evoluţia metanului se face printr-


un proces de răcire. Din punctul M şi până în punctul N cantitatea de lichid din masa sistemului creşte, până la momentul în care tot metanul se transformă în lichid.

Din punct de vedere termodinamic, punctele care se găsesc pe palierul MN reprezintă un amestec de lichid şi vapori la saturaţie.

În punctul N toată faza gazoasă (denumită vapori) s-a transformat în lichid. La diferite presiuni, punctele care reprezintă lichid la saturaţie se găsesc pe o curbă KA (fig. 4.1), denumită curba limită inferioară. Ea reprezintă sfârşitul procesului de condensare. Practic, este momentul în care tot gazul s-a transformat în lichid. Mărimile termodinamice ale lichidului saturat se notează astfel: v’ – volumul specific [m3/kg] , h’ – entalpia specifică [kJ/kg], s’ – entropia specifică [kJ/kg/K]. Pentru a putea defini stările sistemului în timpul procesului izobar-izoterm (de condensare), se defineşte titlul ca fiind raportul dintre masa de vapori şi masa totală a sistemului (lichid-vapori). Titlul se notează cu x.

În cazul amestecurilor de gaze reale care se află în zona de echilibru lichid-vapori, partea din unitatea de masă care este în fază gazoasă se numeşte fracţie vaporizată, şi este notată Fv. În aceste condiţii, titlul este:

lv

v

mmm

Fvx+

== (4.20)

Ţinând cont de relaţia de mai sus, curba limită superioară poate fi definită prin ecuaţia x = 1, iar curba limită inferioară prin ecuaţia x = 0. Până acum a fost prezentat procesul de schimbare de fază într-un singur sens: metanul este răcit izobar (pe curba 0,5 MPa), se condensează şi se transformă în lichid. Procesul poate fi privit, însă, şi în celălalt sens. Metanul este încălzit izobar (tot pe curba 0,5 MPa), curba fiind parcursă în sens invers. Iniţial metanul este lichid, iar apoi se încălzeşte până ajunge la temperatura de saturaţie (135,7 K, punctul N). În acest punct, fizic vorbind, are loc un proces de vaporizare în toată masa lichidului, proces denumit fierbere. De-a lungul palierului NM, procesul de vaporizare este izobar-izoterm şi durează până când tot lichidul s-a transformat în vapori (punctul M). În cursul acestui proces, sistemul primeşte căldură şi entropia creşte. Analizând izobarele din fig. 4.1 se constată că pe măsură ce presiunea creşte, palierul ce reprezintă procesul de schimbare de fază se micşorează, până când devine un punct (notat cu K). K reprezintă punctul critic al substanţei respective. Mărimile de stare ale acestui punct, denumite şi coordonate critice, sunt specifice fiecărui gaz.

Ecuaţiile de stare pentru gazele reale folosesc coordonatele critice pentru determinarea coeficienţilor. Spre exemplu, coordonatele critice ale metanului sunt: pc = 4,599 MPa şi Tc = 190,4 K.

Izobara care trece prin punctul K este denumită izobară critică. Se observă că cele două curbe limită – KA şi, respectiv, KB – se întâlnesc în acest punct. Aici, proprietăţile lichidului saturat sunt egale cu ale vaporilor saturaţi (v’=v”, s’=s”, h’=h”). Analizând evoluţia sistemului pe izobara critică, într-un proces de răcire, se constată că proprietăţile vaporilor supraîncălziţi evoluează uniform, devenind egale, în punctul critic K, cu cele ale lichidului. Pentru orice substanţă pură, punctul critic şi cele două curbe limită (superioară şi inferioară) împart spaţiul din diagrama Ts în mai multe regiuni, în care substanţa are proprietăţi bine definite, diferite unele faţă de altele. Exemplificarea împărţirilor regionale se poate face utilizând fig. 4.1:

Gaze reale 82

• Zona de schimbare de fază este cuprinsă în interiorul celor două curbe limită, ea

reprezentând un amestec de vapori şi lichid la saturaţie. În această zonă are loc procesul de schimbare de fază. Dacă sistemul este răcit, se face trecerea substanţei de la faza gazoasă la faza lichidă (condensarea). În cazul în care sistemul este încălzit, are loc procesul invers, de trecere de la faza lichidă la faza gazoasă (fierberea, prin aceasta înţelegându-se un proces de vaporizare care are loc în toată masa lichidului, la temperatura de saturaţie corespunzătoare presiunii sistemului).

• Zona de lichid este zona din stânga curbei limită inferioară şi de sub izoterma critică. În această porţiune substanţa are o singură fază, faza lichidă.

• Zona de vapori supraîncălziţi este zona din dreapta curbei limită superioară şi de sub izoterma critică. În această porţiune substanţa are o singură fază, faza de vapori. O altă denumire folosită pentru această fază este denumirea de gaz.

• Zona de fluid dens este reprezentată de punctele care se găsesc deasupra izotermei critice. Substanţa aflată în aceste stări nu poate fi lichefiată printr-un proces de răcire izoterm. Se constată că într-un proces izoterm de răcire, proprietăţile fazei gazoase evoluează în mod uniform către proprietăţile fazei lichide şi invers, în procesele de încălzire izotermă. În zona de fluid dens, la presiuni scăzute substanţa se comportă ca un gaz, iar la presiuni ridicate ca un lichid. În această zonă de fluid dens nu există un punct în care gazul se transformă în lichid sau invers. După cum s-a arătat, proprietăţile termodinamice variază uniform de la o faza la alta. Practic, se poate vorbi de faze la extremităţile domeniului. Ca o consecinţă a celor menţionate anterior se poate prezenta un exemplu

semnificativ. Curgerea metanului în zăcământ este descrisă de ecuaţiile curgerii gazului până la presiuni de maxim 15 MPa. Peste aceste presiuni se utilizează ecuaţiile curgerii lichidelor. Este de menţionat faptul că în zăcământ temperatura metanului este mai mare decât temperatura critică. Până acum a fost analizat comportamentul substanţelor pure. Practic, orice substanţă pură are un punct critic şi o zonă de schimbare de fază. În fig. 4.2 este prezentată diagrama pT pentru o substanţă pură oarecare.

Zona de schimbare de fază, despre care s-a discutat anterior, este reprezentată prin curba TK, punctul critic fiind notat cu K. Ecuaţia acestei curbe reprezintă legătura între temperatura de saturaţie şi presiune. Procesul de transformare din faza de vapori (gaz) în lichid sau invers se poate face numai pe segmentul de curbă TK. Stările gazului care se caracterizează prin presiuni şi temperaturi mai mari decât cele ale punctului critic pot fi lichefiate numai micşorând valorile unuia dintre parametri (presiunea sau temperatura) sub valorile punctului critic.

Se observă că la temperaturi şi presiuni scăzute apare faza solidă. Punctul T, unde coexistă în echilibru cele trei faze (vapori, lichid şi solid), se numeşte punctul triplu.

Pentru gazele reale, folosite în tehnică, zonele de mare interes sunt: zona de fluid dens, zona de vapori şi zona de schimbare de fază.


Fig. 4.2

4.3 Condiţiile de echilibru lichid - vapori

După cum s-a arătat în paragraful precedent, schimbarea de fază a unei substanţe este un proces izobar-izoterm în care coexistă, în echilibru termodinamic, două faze: lichidul şi vaporii. Pentru a deduce condiţiile de echilibru, se va utiliza o funcţie termodinamică de stare denumită entalpia liberă.

TSHG −= (4.21)

Variaţia entalpiei libere sau - după cum se mai numeşte - potenţialul lui Gibbs sau potenţial chimic:

VdpSdTdG +−= (4.22)

Se observă că într-un proces izobar-izoterm (p = constant, T = constant, deci dT = 0 şi dp = 0) variaţia potenţialului lui Gibbs este nulă: dG = 0.

Se consideră că există un corp pur, aflat în zona de echilibru lichid-vapori, în condiţii de saturaţie (un punct oarecare de pe un palier asemănător cu palierul NM din figura 4.1). La un moment dat, o masă infinitezimală dm de lichid se transformă în vapori. Notând cu dGLS variaţia entalpiei libere pentru lichidul saturat, iar cu dGVS variaţia entalpiei libere pentru vaporii saturaţii, se poate scrie:

dmgdG LSLS = (4.23) dmgdG VSVS −= (4.24) S-au utilizat notaţiile gLS şi gVS pentru entalpiile libere specifice ale lichidului

saturat şi, respectiv, ale vaporilor saturaţi (exprimate în [J/kg]). Variaţia totală a entalpiei libere este:

Gaze reale 84

( ) 0dmggdGdGdG VSLSVSLS =−=+= (4.25)

Având în vedere că dm prezintă o variaţie mică, arbitrară, a masei, variaţie care poate fi nenulă, rezultă:

VSLS gg = (4.26)

Aşadar, condiţia de echilibru lichid-vapori la saturaţie este ca entalpia liberă a

lichidului saturat să fie egală cu entalpia liberă a vaporilor saturaţi. Analizând cu atenţie figura 4.1, se constată că schimbarea de fază pentru fiecare

presiune mai mică decât presiunea critică se produce la o anumită temperatură. Această constatare poare fi făcută şi în sens invers, fiecărei temperaturi mai mici decât temperatura critică îi corespunde o presiune la care se face schimbarea de fază, numită presiune de saturaţie. În lucrările de inginerie petrochimică, presiunea de saturaţie este denumită tensiune de vapori. Pentru zona de saturaţie există o dependenţă între presiunea de saturaţie şi temperatură.

4.3.1 Ecuaţia lui Clapeyron

Pentru zona de saturaţie, ecuaţia diferenţială care arată legătura între presiunea

de saturaţie şi temperatură poartă denumirea de ecuaţia lui Clapeyron. Dacă se exprimă variaţiile entalpiei libere specifice din ecuaţia (4.22), rezultă: SVSVSSLSLS dpvdTsdpvdTs −=− (4.27)

Regrupând termenii, se obţine expresia:

LSVS

LSVSS

vvss

dTdp

−−

= (4.28)

Din formula de definiţie a entalpiei libere se poate deduce ecuaţia:

( ) ( ) 0ssThhTshTshgg LSVSVSLSVSVSLSLSVSLS =−−−=−−−=− (4.29)

Dacă ∆h [kJ/kg] reprezintă variaţia entalpiei în procesul de schimbare de fază, aceasta se numeşte căldură latentă de vaporizare (sau condensare, iar în unele publicaţii se notează cu r) şi este dată de relaţia:

T

sshhh LSVSLSVS

−=−=∆ (4.30)

( )LSVS

SS

vvTh

dTdp

−=

∆ (4.31)


Ecuaţia diferenţială (4.13) este denumită ecuaţia lui Clapeyron şi arată legătura

dintre presiunea de saturaţie, temperatură, variaţia entalpiei şi a volumului în procesul de schimbare de fază. Prin integrarea acesteia se obţine, analitic, funcţia care descrie legătura dintre presiunea de saturaţie şi temperatură.

4.3.2 Ecuaţia presiunii de saturaţie

Ecuaţia lui Clapeyron poate fi integrată analitic utilizând ipoteze simplificatoare. Dacă volumul specific al lichidului saturat - în comparaţie cu volumul vaporilor saturaţi - se consideră neglijabil, adică vLS<<vVS, iar volumul vaporilor saturaţi vVS este dat de legea gazelor perfecte:

S

VS pRTv = (4.32)

ecuaţia (4.13) devine:

S2SS p

RTh

dTdp ∆

= (4.33)

Separând variabilele şi integrând ecuaţia (4.33), se obţin relaţiile:

2S

S

S

TdT

Rh

pdp ∆

= (4.34)

CT1

Rh

pln SS +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

∆ (4.35)

Constanta C din (4.17) poate fi determinată experimental. De regulă, legătura între presiunea de saturaţie şi temperatură se exprimă prin relaţii empirice, deduse pe baza valorilor experimentale. Pentru ca relaţia să poată fi aplicată în majoritatea cazurilor, se utilizează parametrii termodinamici reduşi. Notând cu pc şi Tc coordonatele critice ale gazului, presiunea redusă şi temperatura redusă se exprimă astfel:

c

rc

r TTT;

ppp == (4.36)

În lucrarea [36], J. Vidal defineşte legătura între presiunea redusă de saturaţie şi

temperatura redusă astfel:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−= 3

r2

rr2

r2

rr

sr T

3981,0T524,2

T008,21175,0

T3456,0

T454,1

T318,4209,3pLg ω

(4.37)

Gaze reale 86

4.3.3 Noţiunea de fugacitate

Un corp pur, compus din două faze – vapori şi lichid – aflate în echilibru,

constituie un bun exemplu de sistem termodinamic compus. Suprafaţa de separaţie dintre cele două faze permite schimbul de energie termică, variaţia volumului şi transferul de masă. Condiţiile de echilibru lichid-vapori impun egalitatea temperaturilor, presiunilor şi a entalpiilor libere (potenţialele Gibbs). Această ultimă mărime exprimă tendinţa de transformare a materiei, referitoare la tendinţa lichidului de a se transforma în vapori, în condiţii de saturaţie, atunci când se analizează faza lichidă; sau tendinţa vaporilor de a condensa, atunci când se analizează faza vapori. Potenţialul lui Gibbs este o mărime rezultată din calcul, mai puţin intuitivă în raport cu ceilalţi parametri de stare (presiune sau temperatură).

Atunci când se face referire la echilibrul lichid-vapori, la tendinţa de evoluţie, potenţialul lui Gibbs - ca valoare - nu are o semnificaţie concretă. Din această cauză, pentru a estima tendinţa de transformare a unei faze, este mai sugestivă interpretarea presiunii: presiunea de început de condensare, dacă se face referire la un gaz; sau presiunea de saturaţie, atunci când este vorba de un lichid. Considerând entalpia liberă specifică: vdpsdTdg +−= (4.38) şi ţinând cont că pentru o temperatură dată (constantă), entalpia liberă depinde numai de presiune, se poate integra ecuaţia (4.22) de la presiunea p1 = 1 bar, până la presiunea p2 = p, la temperatura T = constantă.

Pentru o masă de gaz perfect de 1 kg rezultă: )p(RTLn)1,T(g)p,T(g =− (4.39) iar pentru un gaz real:

∫=−p

1vdp)1,T(g)p,T(g (4.40)

Prin similitudine cu relaţia (4.22) şi pentru a menţine analogia calitativă între

potenţialul lui Gibbs şi presiune, termenul din membrul stâng al relaţiei (4.39) poate fi exprimat în funcţie de o nouă mărime, notată cu f, care reprezintă fugacitatea uni corp pur.

Fugacitatea poate fi astfel definită prin relaţia: )f(RTdLndg = (4.41) Pentru a asigura continuitatea cu gazele perfecte, în cazul cărora fugacitatea se confundă cu presiunea, se introduce condiţia:

1pflim

0p=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→

(4.42)


La limită, această condiţie permite exprimarea fugacităţii în valoare absolută, în

unităţi de presiune. Pentru două stări diferite, notate cu indicii I şi II, relaţia (4.39) se poate scrie:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

I

IIIII f

fRTLngg (4.43)

Relaţiile (4.42) şi (4.43) permit definirea condiţiilor pentru ca două faze – lichid

şi vapori – ale aceluiaşi gaz, să fie în echilibru. Astfel, cele două faze, lichid şi vapori, sunt în echilibru în situaţia în care sunt egale potenţialele lui Gibbs sau fugacităţile. Matematic, condiţia de mai sus se exprimă astfel:

LSVS gg = sau LSVS ff = (4.44)

Fugacitatea este considerată de unii autori ca fiind o presiune efectivă (şcoala

franceză) sau ca o pseudopresiune (şcoala americană). În calcule, se utilizează coeficientul fugacităţii, care exprimă efectul forţelor de

coeziune intermoleculară asupra entalpiei libere. Coeficientul fugacităţii caracterizează abaterea gazului real faţă de gazul perfect şi este reprezentat matematic prin raportul dintre fugacitate şi presiune:

pf

=ϕ (4.45)

Pentru un gaz perfect, integrând ecuaţia (4.41) între o presiune de referinţă p0 şi

o presiune p, se obţine:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

00

**

ppRTLn)T,p(g)T,p(g (4.46)

În relaţia (4.46) s-a utilizat o notaţie devenită clasică, simbolul „*”, reprezentând

entalpia liberă a gazului perfect. În cazul gazelor reale, mărimile termodinamice se determină folosind legile

gazului perfect, la care se adaugă corecţii. Toate mărimile de stare ale gazelor reale, care se determină folosind legile gazului perfect, se notează cu simbolul „*”. Integrând ecuaţia (4.41) pentru un gaz real, se obţine următorul rezultat:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

00 f

fRTLn)T,p(g)T,p(g (4.47)

Scăzând relaţia (4.47) din (4.46) şi considerând că, în cazul în care p0 → 0,

atunci entalpia liberă a gazului real tinde către entalpia liberă a gazului perfect g(p0,T) → g*(p0,T), se obţine relaţia:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

pfRTLnT,pgT,pg * (4.48)

Gaze reale 88

Aceasta exprimă abaterea entalpiei libere a unui gaz real faţă de gazul perfect.

Expresia se mai poate scrie şi sub următoarele forme:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−pfLn

RTgg *

(4.49)

( )ϕLnRT

*gg=

− (4.50)

4.3.3.1 Calculul fugacităţii pentru faza vapori

Calculul se face pentru determinarea coeficientului de fugacitate. Se consideră relaţia (4.41) de definire a entalpiei libere, pentru cazul când temperatura este constantă, şi se integrează, o dată pentru gazul real şi o dată pentru gazul perfect: ( )( )fLnRTdvdpdg == (4.51) ( )( )pLnRTddpvdg ** == (4.52)

Scăzând cele două ecuaţii membru cu membru, se obţine expresia:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=−

pfLnRTddpvvggd ** (4.53)

Integrând relaţia (4.53) de la presiunea p0 = 0 până la o valoare p, rezultă:

( )dp*vvpfRTLn*gg

p

0∫ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=− (4.54)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅= ∫p

0

dpRT

*vvexppf (4.55)

Dacă se exprimă volumul gazului real în funcţie de factorul de compresibilitate

(dat de relaţia 4.56), se obţine:

RTpv

*vvZ == (4.56)

( )p

dp1ZpfLn

p

0∫ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (4.57)


Calculul efectiv al fugacităţii, folosind expresiile (4.56) şi (4.57), necesită

cunoaşterea variaţiei lui Z în funcţie de presiune şi temperatură, acest lucru fiind posibil prin utilizarea unei ecuaţii de stare.

4.3.3.2 Calculul fugacităţii pentru faza lichidă

În figura 4.3 este reprezentat punctul M, aflat în zona de lichid, pentru care se va arăta modalitatea de calcul a fugacităţii:

Fig. 4.3

Pe izoterma TM a punctului M considerat se află punctul N. Acesta reprezintă lichid aflat la temperatura de saturaţie, dar la o presiune pN mai mică decât presiunea punctului M. La saturaţie, în punctul N, lichidul se află în echilibru cu vaporii (punctul N reprezintă începutul procesului de vaporizare), deci: VSLS gg = (4.58) sau SVSLS fff == (4.59)

Notând cu fS fugacitatea la saturaţie şi având în vedere că vaporii saturaţi reprezintă faza gazoasă şi, conform relaţiei (4.59), fugacitatea lichidului saturat este egală cu fugacitatea vaporilor saturaţi, se poate aplica relaţia (4.55), deci se obţine expresia:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅= ∫Sp

0SS dp

RT*vvexppf (4.60)

Prin pS s-a notat presiunea punctului N care, aflându-se pe curba limită

inferioară, este o presiune de saturaţie. Presiunea punctului M, aceea care reprezintă starea lichidă care trebuie determinată, este mai mare decât pS, presiunea punctului N.

Gaze reale 90

Se notează cu fL fugacitatea lichidului din starea M. Pentru a determina această

mărime, se integrează ecuaţia diferenţială (4.34) de la presiunea pS la presiunea p, corespunzătoare punctului M:

( )( )RTvdpfLnd = (4.61)

∫=p

pS

L

SRTvdp

ff

Ln (4.62)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫

p

pSL

SRTvdpexpff (4.63)

Introducând expresia (4.63) a fugacităţii la saturaţie în relaţia (4.60), rezultă:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= ∫∫

p

p

p

0SL

S

S

RTvdpexpdp

RT*vvexppf (4.64)

Se observă că cele două integrale din expresia (4.64) se rezolvă pe zone diferite,

prima integrală pe zona de vapori saturaţi, iar cea de-a doua pe zona de lichid. Considerând lichidul incompresibil, expresia se simplifică, rezultând relaţia:

( )

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

RTppv

expff SSL (4.65)

Factorul desemnat de relaţia (4.65) şi exprimat sub forma (4.66) mai este

denumit corecţia lui Poynting:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫

p

pS

L

SRTvdpexp

ff (4.66)

4.4 Termeni de corecţie pentru gazele reale

Proprietăţile termodinamice (volum, entalpie, entropie etc.) ale unui gaz real pot fi exprimate în funcţie de proprietăţile gazului, considerat gaz perfect, în aceleaşi condiţii de presiune şi temperatură, la care se adaugă termeni de corecţie care exprimă influenţa forţelor de coeziune intermoleculară. Alţi autori numesc aceşti termeni cantităţi reziduale sau cantităţi configuraţionale.

Termenii de corecţie sunt definiţi în modul următor:

• factorul de compresibilitate RTpv

*vvZ ==


• volumul rezidual ( )*vv −−=α

• abaterea energiei interne ( )u*u −

• abaterea entalpiei ( )h*h −

• abaterea entropiei ( )s*s −

• coeficientul de fugacitate ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −==

cRTg*gexp

pfϕ

4.4.1 Calculul variaţiei entalpiei

Posibilitatea de determinare a variaţiei entalpiei şi a entropiei pentru un gaz real este deosebit de importantă, deoarece permite calcularea unor procese reale (comprimarea, destinderea sau laminarea) care au loc în maşini sau instalaţii.

Pentru calcularea variaţiei de entropie între două stări notate cu 1 şi 2, pentru un gaz real, se foloseşte schema din figura 4.4. Pe această schemă s-au figurat cele două puncte, împreună cu izobarele corespunzătoare. În plus, s-a trasat izobara p*, care reprezintă o presiune de valoare foarte mică, la care se pot neglija forţele de coeziune, astfel încât gazul aflat la această presiune să poată fi considerat gaz perfect. Toate punctele de pe izobara p* sunt considerate stări ale gazului perfect. Se face observaţia că izobara p* este fictivă, fiind utilizată doar pentru calcule.

Deoarece entalpia este o mărime de stare, deci o diferenţială totală exactă, rezultă că integrala definită între cele două stări nu depinde de drum. În aceste condiţii, poate fi aleasă o cale convenabilă. Astfel, pentru a calcula variaţia de entalpie se alege drumul 1 - 1* - 2* - 2 (fig. 4.4). Efectuând integrala pe acest drum, rezultă:

Fig. 4.4

Gaze reale 92

( ) ( ) ( )1*1

*1

*22

*212 hhhhhhhh −+−+−−=− (4.67)

În expresia (4.67), membrul stâng reprezintă variaţia de entalpie între cele două

stări - 1 şi 2 - iar membrul drept conţine termenii: • ( )2

*2 hh − - abaterea izotermă a entalpiei în starea 2 faţă de starea de gaz

perfect, datorată variaţiei presiunii. • ( )1

*1 hh − - abaterea izotermă a entalpiei în starea 1 faţă de starea de gaz

perfect, datorată variaţiei presiunii. • ( )*

1*2 hh − - variaţia izobară a entalpiei gazului, considerat gaz perfect, în

funcţie de temperaturile stărilor 1 şi 2. Această variaţie se poate calcula cu ajutorul formulei (4.68):

( )12

*1

*2 TTchh p −=− (4.68)

4.4.2 Calculul variaţiei entropiei Pentru calculul entropiei se procedează asemănător, folosind diagrama din figura

4.5. În acest caz, s-au ales două stări fictive - 1* şi 2* - ca fiind stările gazului. Cele două stări au fost alese astfel: 1* reprezintă starea în care s-ar găsi gazul real, considerat gaz perfect, la presiunea şi temperatura punctului 1, iar 2* reprezintă starea în care s-ar găsi gazul real, considerat gaz perfect, la presiunea şi temperatura punctului 2.

Deoarece entropia este şi o mărime de stare, deci o diferenţială totală exactă, pentru integrarea ei între stările 1 şi 2 se alege un drum convenabil: 1 - 1* - 2* - 2. Formula pentru acest caz este exprimată de relaţia (4.52):

( ) ( ) ( )1*

,*

,*

,2*

,12 11112222ssssssss TpTpTpTp −+−+−−=− (4.69)

Semnificaţia termenilor din formula (4.69) este următoarea: • ( )2

*T,p ss

22− - abaterea izotermă a entropiei în starea 2 faţă de starea de gaz

perfect, datorată variaţiei presiunii. • ( )1

*T,p ss

11− - abaterea izotermă a entropiei în starea 1 faţă de starea de gaz

perfect, datorată variaţiei presiunii. • ( )*

T,p*

T,p 1122ss − - variaţia izobară a entropiei pentru gazul considerat gaz

perfect, între temperaturile stărilor 1 şi 2. Aceasta se poate calcula cu formula (4.70):


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

1

2

1

2*,

*, 1122 p

pRLn

TT

Lncss pTpTp (4.70)

Fig. 4.5 Exemplul E 4.1

Să se calculeze variaţiile de entalpie şi entropie pentru nButan, între punctul 1 (care are parametrii: presiune 0,1 MPa şi temperatură 300 K) şi punctul 2 (care are parametrii: presiune 1 MPa şi temperatură 400 K), aşa cum sunt definite punctele în figura 4.5. Soluţie: Proprietăţile necesare calculului pentru nButan sunt: Tc = 425,2 K R = 0,143 kJ/kg/K cp = 1,90064 kJ/kg (căldura specifică medie în intervalul 300 ÷ 400 K). Introducând în programul Z datele de definire a punctelor 1 şi 2, se obţine: ( ) ( ) kJ301,42,425143,007074,0h*h07074,0

RTh*h

11c

11 =⋅⋅=−⇒=−

( ) ( ) kJ389,242,425143,040112,0h*h40112,0RT

h*h22

c

22 =⋅⋅=−⇒=−

( ) ( ) K/kg/kJ010085,01430,007053,0s*s07053,0R

s*s11

11 =⋅=−⇒=−

( ) ( ) K/kg/kJ0135039,01430,03073,0s*s3073,0R

s*s22

22 =⋅=−⇒=−

( ) kg/kJ064,19030040090064,1*h*h 12 =−⋅=−

K/kg/kJ2173,01,0

1Ln143,0300400Ln90064,1*s*s 12 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−

Gaze reale 94

Aplicând formulele (4.50) şi (4.52), se obţin variaţiile corespunzătoare entalpiei şi entropiei:

kg/kJ976,169301,4064,190389,24hh 12 =++−=−

K/kg/kJ21388,0010085,02173,00135039,0ss 12 =++−=−

4.5 Metode de calcul pentru parametrii de stare ai gazelor reale

Proprietăţile gazelor variază uniform în funcţie de parametrii de stare, dar în momentul transformării de fază apar comportări care, din punct de vedere matematic, pot fi considerate ca discontinuităţi. Acest comportament face ca realizarea unui model matematic să fie extrem de dificilă. Pe de o parte, inginerii doresc ecuaţii relativ simple şi precise, astfel încât să poată determina cât mai rapid mărimile de care au nevoie. Pe de altă parte, utilizarea unor ecuaţii complicate, cu o precizie ridicată, se dovedeşte a fi deosebit de dificilă în practică.

Soluţia adoptată în această lucrare ţine seama de evoluţia actuală a tehnicilor de calcul şi de programare, astfel încât s-au realizat modele, complicate din punct de vedere matematic, cu o precizie ridicată, dar simplu de utilizat.

În acest capitol vor fi prezentate bazele teoretice care au constituit fundamentul modelelor numerice utilizate.

4.5.1 Legea stărilor corespondente

Analizând aspectele energetice legate de moleculele unui gaz, se constată faptul că moleculele posedă energie cinetică - datorată mişcărilor de translaţie, rotaţie şi vibraţie - legată de temperatura gazului prin legea lui Boltzmann. Dacă se ia în considerare numai această formă de energie pentru moleculele unui gaz, se ajunge la modelul gazului perfect. O condiţie importantă în definirea gazului perfect este aceea prin care se menţionează că între moleculele gazului nu se exercită forţe de coeziune.

În descrierea comportării gazelor reale trebuie luate în considerare forţele de atracţie care se manifestă între moleculele gazului, numite forţe de coeziune. Aceste forţe depind invers proporţional de distanţele dintre moleculele gazului. Energia legată de forţele de coeziune portă denumirea de energie potenţială sau energie de coeziune. Existenţa şi manifestarea acţiunii forţelor de coeziune fac posibilă apariţia fazelor dense (lichide şi solide) ale substanţelor. Cele două forme de energie - cinetică şi de coeziune - există şi se manifestă simultan, determinând comportări specifice ale gazelor reale. Echilibrul a două faze, lichid-vapori, apare datorită antagonismului forţelor de coeziune şi energiei cinetice. Forţele de coeziune au un comportament complex. Ele apar şi se manifestă la anumite distanţe, ca forte de atracţie, dar - odată cu micşorarea distanţei intermoleculare - îşi modifică sensul şi devin forţe de respingere.

Compresibilitatea limitată a fazei lichide arată faptul că, dacă se încearcă diminuarea distanţei dintre moleculele unui lichid, în sens opus forţelor de coeziune, de la o anumită distanţă apar şi se manifestă forţele de respingere moleculară. Acestea cresc foarte rapid (exponenţial) odată cu micşorarea distanţei, determinând o limită inferioară a distanţelor intermoleculare numită diametrul de ciocnire sau - corespunzător volumului corpului la nivel macromolecular - numită co-volum. Pentru a


ţine seama de efectele opuse ale celor două forme de energie, Lenard Jones a propus următoarea ecuaţie:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

60

120

0 rr

2rr

r εε (4.71)

Relaţia (4.54) exprimă variaţia energiei de coeziune care se manifestă între două

molecule. Cu ε s-a notat energia de coeziune în funcţie de distanţa r dintre centrele de atracţie (care coincid cu centrele moleculelor). Această energie de coeziune trece printr-un minim, de coordonate r0 şi ε0, caracteristic fiecărei substanţe (figura 4.6).

Legea stărilor corespondente se bazează pe următoarele ipoteze: - potenţialele legate de gradele de libertate interne (vibraţie, rotaţie etc.) şi externe

(coeziunea) pot fi exprimate independent; - energia coezivă a unui sistem se exprimă prin însumarea interacţiunilor binare

între centrele de atracţie; - interacţiunile se reduc la forţele de dispersare şi printr-o expresie de forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00 r

rFεε (4.72)

unde ε0 şi r0 sunt determinate numai de natura substanţei.

Funcţia F este o funcţie universală şi poate să difere de ecuaţia Lenard Jones. Ipotezele de mai sus permit să se facă aprecierea că efectele macroscopice ale

interacţiunilor moleculare se exprimă în funcţie de doi parametri caracteristici pentru fiecare substanţă. Energiei de coeziune minimă şi razei respective, ε0 şi r0, le corespund, macroscopic, doi parametri de stare: volumul critic şi temperatura critică:

Fig. 4.6

30c Nrv = , unde N este numărul lui Avogadro (4.73)

k26,1T 0

cε

= , unde k este constanta lui Boltzmann (4.74)

Gaze reale 96

Datorită impreciziei cu care se determină volumul critic, este preferată o altă

mărime de stare (care se poate determina cu precizie), presiunea critică:

30

0c r

117,0p ε= (4.75)

Având în vedere cele prezentate mai sus, se poate enunţa legea stărilor

corespondente, în care prin coordonate reduse se înţeleg presiunea şi temperatura redusă:

Abaterea gazelor reale faţă de legea gazelor perfecte depinde numai de coordonatele reduse.

Această lege se aplică următoarelor mărimi:

- factorul de compresibilitate: ( )rr T,pZ

- abaterea entalpiei: ( )rrc

T,pRT

*hh −

- abaterea entropiei: ( )rr T,pR

*ss −

- coeficientul fugacităţii: ( )rr T,ppf

=ϕ

- echilibrul lichid-vapori prin presiunea de saturaţie redusă: ( )rc

s Tpp

4.5.2 Corelaţii în funcţie de trei parametri. Factorul acentric

Ipotezele introduse de legea stărilor corespondente, precum şi analiza

echilibrului lichid-vapori, au arătat că exprimarea legilor gazelor reale în funcţie numai de coordonatele reduse nu descrie suficient de precis comportarea acestora. Din această cauză, a fost necesară introducerea unui nou parametru, caracteristic fiecărei substanţe. În prezent, cel mai utilizat este factorul acentric. El provine dintr-o corelaţie bazată pe echilibrul lichid-vapori, stare în care se manifestă pregnant forţele de coeziune.

Pentru fluide simple, care se caracterizează prin molecule mici şi sferice, ipotezele introduse de legea stărilor corespondente, inclusiv echilibrul lichid vapori, sunt verificate. Pentru substanţe cu molecule complexe, cum este cazul hidrocarburilor, există diferenţe notabile faţă de legea stărilor corespondente. Factorul acentric s-a introdus pentru a „măsura” această abatere. El se defineşte, la temperatura redusă Tr = 0,7 , prin formula:

1pp

Lgc

s −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=ω (4.76)

În formula (4.76), presiunea de saturaţie ps reprezintă presiunea corespunzătoare

temperaturii reduse Tr = 0,7. Factorul acentric, determinat experimental, a fost introdus de Pitzer.


Abaterea faţă de legile gazului perfect se exprimă printr-o funcţie liniară faţă de

factorul acentric. Ca exemplu, factorul de compresibilitate corectat în funcţie de factorul acentric este exprimat de relaţia:

( ) ( )10 ZZZ ω+= (4.77)

Cu Z(0) s-a notat valoarea de referinţă şi cu Z(1) corecţia. Acestea sunt exprimate

în funcţie de parametrii reduşi. Aceeaşi corecţie se aplică pentru abaterile entalpiei şi entropiei, precum şi pentru coeficientul fugacităţii.

Pentru fluidele nesaturate - lichid la presiune mai mare decât presiunea de saturaţie sau vapori la presiune mai mică decât presiunea de saturaţie (vapori supraîncălziţi) - termenii corectivi exprimaţi în funcţie de parametrii reduşi şi de factorul acentric sunt definiţi de formulele: ( ) ( )rr

)0(rr

)0( T,pZT,pZZ ω+= (4.78)

( ) ( )rr

)1(

crr

)0(

cc

T,pRT

h*hT,pRT

h*hRT

h*h⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

− ω (4.79)

( ) ( )rr

)1(

rr

)0(

T,pR

s*sT,pR

s*sR

s*s⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=− ω (4.80)

( ) ( )rr

)1(rr

)0( T,pT,p ωϕϕϕ += (4.81)

Exemplul 4.2 Să se determine factorul de compresibilitate Z, abaterea entropiei, abaterea entalpiei şi coeficientul fugacităţii pentru etan aflat la presiunea de 5,2 MPa şi temperatura de 350 K. Soluţie: Coordonatele critice ale etanului sunt: pc = 4,82 MPa Tc = 305,4 K ω = 0,105. Se determină parametrii reduşi:

14604,14,305

35007884,182,42,5

==== rr Tp

Introducând aceste date în programul Z, se obţin următoarele rezultate:

Gaze reale 98

În tabelul cu rezultate se observă modalitatea de realizare a corecţiei în funcţie de factorul acentric, conform formulelor (4.78), (4.79), (4.80) şi (4.81). Figura 4.7 prezintă diagrama factorului de compresibilitate, în care este figurat punctul corespunzător stării calculate în acest exemplu.

Fig. 4.7 Exemplul E 4.3

Să se calculeze factorul de compresibilitate, abaterea entropiei, abaterea entalpiei şi coeficientul fugacităţii pentru un amestec lichid-valori de nPentan aflat la saturaţie, având titlul de 40 % la temperatura de 380 K.


Soluţie: Coordonatele critice pentru nPentan sunt: pc = 3,33 MPa Tc = 469,6 K ω=0,252. Pentru aceste date de intrare se determină temperatura redusă:

8092,06,469

380==rT

Introducând datele în programul Z, se obţin rezultatele:

Pentru că determinările se fac în zona de saturaţie, formulele (4.78), (4.79), (4.80) şi (4.81) se utilizează pentru obţinerea mărimilor corespunzătoare curbelor de saturaţie. Sunt calculate mărimile corespunzătoare vaporilor saturaţi şi lichidului la saturaţie. Deoarece determinările se fac în domeniul echilibrului lichid-vapori, fugacitatea lichidului saturat este egală cu fugacitatea vaporilor saturaţi. Din această cauză, se calculează un singur coeficient de fugacitate.

În tabelul „Rezultate”, mărimile punctului se calculează după formulele clasice, în funcţie de titlul vaporilor. În figura 4.8 este prezentat punctul corespunzător stării calculate.

Gaze reale 100

Fig. 4.8

4.5.3 Ecuaţii de stare

Ecuaţia de stare pentru un gaz real reprezintă legătura existentă între parametrii de stare, printr-o expresie de forma: ( ) 0M,T,V,pf = (4.82)

Dezvoltarea continuă a sistemelor de tehnică de calcul a făcut posibilă abordarea ecuaţiilor de stare cu expresii matematice complicate, dar cu o precizie mult mai bună. Alegerea unei ecuaţii de stare reprezintă un compromis între simplitatea formulelor matematice şi precizia rezultatelor.

În conformitate cu legea stărilor corespondente, ecuaţiile de stare se pot formula mai comod prin forma generalizată: ( ) 0T,pf rr =ω (4.83)


Condiţiile de stabilitate termodinamică care trebuiesc respectate de o ecuaţie de

stare sunt exprimate de relaţiile:

0vp

T

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ (4.84)

0Tv

p

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ (4.85)

0v

pvp

T2

2

T

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ (4.86)

Toate ecuaţiile de stare sunt exprimate prin expresii matematice care reprezintă o

funcţie sau o combinaţie de funcţii care, în general, sunt continue pe domeniul de definiţie, dar gazele reale au o comportare în care apar discontinuităţi. Ca exemplu, conform [36], este prezentată o comparaţie între o izotermă reală a propanului (figura 4.9) şi o izotermă obţinută cu ecuaţia de stare Redlich Kwong pentru acelaşi gaz. Se constată că în zona de schimbare de fază izoterma reală prezintă un palier, pe când izoterma obţinută cu ecuaţia Redlich Kwong are două bucle. Practic, ecuaţia de stare nu poate descrie fidel comportarea reală a propanului. Cu toate că palierul din zona de schimbare de fază nu este modelat de ecuaţie, extremităţile sale se pot determina pe baza ecuaţiei de stare.

Fig. 4.9

Gaze reale 102

Ecuaţia Redlich Kwong are trei rădăcini în zona de saturaţie (notate pe figură cu

x1, x2 şi x3). Acestea se obţin prin intersectarea curbei izoterme obţinută cu ajutorul ecuaţiei de stare cu dreapta de ecuaţie y=ps. Rădăcina cu valoarea cea mai mică, x1, reprezintă volumul fazei lichide la saturaţie, adică este chiar capătul din stânga al palierului de schimbare de fază. Rădăcina cu valoarea cea mai mare, x3, reprezintă volumul vaporilor saturaţi, deci capătul din dreapta al palierului. În acest caz, rădăcina cu valoare intermediară, x2, nu are sens fizic.

Se observă că ecuaţiile de stare nu sunt capabile să descrie comportarea gazului real pe palierul de schimbare de fază. Cu ajutorul lor se pot determina numai capetele palierului. O problemă importantă este precizarea poziţiei palierului.

După cum s-a constatat şi în exemplul de mai sus, poziţia palierului este determinată de temperatura de saturaţie la presiunea respectivă. Pentru aceasta se utilizează funcţiile: Ts=f(p) sau ps=f(T).

4.5.3.1 Ecuaţia cu viriali Ecuaţia de stare cu viriali reprezintă exprimarea factorului de compresibilitate printr-o dezvoltare în serie, în funcţie de puterile volumului sau presiunii. Coeficienţii termenilor seriei sunt, în general, funcţii de temperatură şi poartă numele de viriali.

Forma generală a ecuaţia cu viriali poate fi una din expresiile:

( ) ( ) ( ) ...v

TDvTC

vTB1Z 32 ++++= (4.87)

( ) ( ) ...pT'CpT'B1Z 2 +++= (4.88)

Coeficienţii B, C, D, B’, C’ etc. se numesc coeficienţi viriali. Pentru presiuni moderate s-a observat că ecuaţia este destul de precisă chiar dacă

se utilizează numai primii doi termeni din dezvoltare:

( )vTB1Z += (4.89)

( )pT'B1Z += (4.90)

Legătura dintre coeficienţii B şi B’ din expresiile de mai sus este dată de relaţia:

RTB'B = (4.91)

4.5.3.1.1 Corelaţia lui Berthelot Prima corelaţie se datorează lui Berthelot, conform căreia coeficientul B se

exprimă printr-o relaţie simplă, în funcţie de coordonatele critice şi temperatura redusă:


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

rc

c

T61

1289

RTBp

(4.92)

Datorită simplităţii sale, relaţia se utilizează mult în procesul de învăţământ, pentru realizarea proiectelor şi temelor de casă.

Această relaţie se poate utiliza ca primă aproximaţie pentru coeficientul B al ecuaţiei cu viriali, dar - datorită preciziei scăzute - se preferă utilizarea unei expresii mai complexe şi mai precise, care ţine seama şi de factorul acentric.

4.5.3.1.2 Corelaţiile lui Pitzer Relaţiile (4.76), (4.77) şi (4.78) au fost propuse de Pitzer şi poartă numele de

corelaţiile lui Pitzer. Ele se caracterizează printr-o precizie remarcabilă în domeniul presiunilor mici şi moderate, pentru faza vapori:

)1(

c

c

)0(

c

c

c

c

RTBp

RTBp

RTBp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ω (4.93)

3r

2r

1r

)0(

c

c T0121,0T1385,0T33,01445,0RTBp −−− −−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (4.94)

( )

8r

3r

2r

1r

1

c

c T0073,0T097,0T5,0T46,0073,0RTBp −−−− −−−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (4.95)

Deoarece termenii corelaţiilor lui Pitzer depind numai de temperatura redusă,

derivata dB/dT, care apare în expresia termenilor corectivi, se poate calcula cu uşurinţă. În domeniul presiunilor moderate, ecuaţia cu viriali limitată la termenul al doilea

furnizează rezultate foarte bune, dacă se utilizează corelaţia lui Pitzer. Utilizarea ei necesită numai cunoaşterea coordonatelor critice şi a factorului acentric.

Ecuaţia cu viriali prezentată în acest paragraf poate fi utilizată cu succes pentru presiuni mai mici decât presiunea critică, începând de la starea de vapori saturaţi, în întregul domeniu al vaporilor supraîncălziţi.

Exemplu E 4.4 Să se calculeze volumul specific al etanului aflat la presiunea de 1 MPa şi temperatura de 298 K, utilizând ecuaţia cu viriali. Soluţie: Coordonatele critice ale etanului sunt: pc=4,82 MPa Tc=305,4 K ω=0,105.

Gaze reale 104

Se determină temperatura redusă, iar din relaţiile (4.76), (4.77) şi (4.78) se calculează coeficientul B:

975,04,305

298Tr ==

3525,0975,0975,00121,0975,01385,0975,033,01445,0RTBp 321

)0(

c

c −=⋅⋅−⋅−⋅−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−

( )

=⋅−⋅−⋅−⋅+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−− 83211

c

c 975,00073,0975,0097,0975,05,0975,046,0073,0RTBp

362454,00948,0105,03525,0RTBp

c

c =⋅−−= 0948,0−

kg/m00636449,006E0.182,4

4,30530

8314

362454,0B 3−=⋅

−=

922934,006E0,1298

30831400636449,01p

RTB1Z =−=+=

kg/m0762195,006E0,1

29830

8314922934,0

pZRTv 3===

4.5.3.2 Ecuaţia de stare Redlich Kwong

Expresia ecuaţiei Redlich Kwong este asemănătoare cu ecuaţia lui Van der

Waals, dar termenul care reprezintă presiunea internă este modificat, ceea ce permite o reprezentare mai bună a comportamentului gazelor reale:

( )

( ) RTbvbvvT

ap =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++ (4.96)

Această ecuaţie descrie cu precizie stările termodinamice din domeniile vaporilor supraîncălziţi şi vaporilor saturaţi. Ecuaţia are o precizie remarcabilă pentru stările din vecinătatea punctului critic, dar pentru presiuni mai mari sau egale cu presiunea critică. Pentru domeniile lichid şi lichid saturat, ecuaţia este mai puţin precisă.


4.5.3.2.1 Determinarea parametrilor „a” şi „b” pornind de la coordonatele critice

Punctul critic al oricărei substanţe este, din punct de vedere matematic, un punct

de inflexiune cu tangentă orizontală. Condiţiile pentru acest punct sunt:

ccTT

TTppv

pvp

===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ 02

2

(4.97)

Scriind ecuaţia sub o formă mai convenabilă (4.81), făcând derivata de ordinul

unu (4.82) şi pe cea de ordinul doi (4.83) şi particularizând aceste expresii pentru punctul critic, se obţin relaţiile:

( )bvv1

Ta

bvRTp

ccccc +

−−

= (4.98)

( ) ( )[ ]2cc

c

c2

c

c

bvvbv2

Ta

bvRT

+

+=

− (4.99)

( )

( ) ( )( )[ ]3cc

cc2

c

c3

c

c

bvvbvvbv2

Ta

bvRT

+

+−+=

− (4.100)

Se exprimă parametrii a şi b în funcţie de coordonatele critice:

c

5,2c

2

a pTR

a Ω= (4.101)

c

cb p

RTb Ω= (4.102)

În expresiile de mai sus, cu Ωa şi Ωb s-au notat numerele adimensionale

caracteristice fiecărui parametru. Pentru volumul critic se va folosi o ecuaţie exprimată în funcţie de factorul de compresibilitate critic:

c

ccc p

RTZv = (4.103)

Înlocuind expresiile (4.84), (4.85) şi (4.86) în sistemul format de ecuaţiile (4.81),

(4.82) şi (4.83), se obţin relaţiile:

Gaze reale 106

( ) ( )bccb

bc

bcc ZZZ

ZZΩΩ

ΩΩ

++=−+

(4.104)

( ) ( )[ ]bcca

2

bc

bcc ZZZ

ZZΩΩ

ΩΩ

++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

(4.105)

( ) ( ) ( )[ ]2

bcbcc2ca

3

bc

bcc ZZZZZ

ZZΩΩΩ

ΩΩ

++++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

(4.106)

Rezolvând sistemul format de ecuaţiile (4.87), (4.88) şi (4.89) se obţin relaţiile:

3333333,031Zc == (4.107)

42748,0a =Ω (4.108) 0867,0b =Ω (4.109)

Se observă că valoarea factorului de compresibilitate critic Zc, obţinut cu ecuaţia Redlich Kwong, este mai mare decât valorile experimentale, care situează factorul de compresibilitate critic între 0,25 şi 0,29. Din analiza numerică realizată asupra comportării ecuaţiei pe un domeniu mai larg se remarcă faptul că, în afara vecinătăţii punctului critic, valorile furnizate de ecuaţie au o precizie ridicată.

4.5.3.2.2 Factorul de compresibilitate obţinut cu ecuaţia Redlich Kwong

Se operează câteva schimbări de variabile, astfel încât ecuaţia respectivă să fie exprimată în funcţie de factorul de compresibilitate.

Se introduc două variabile noi, A şi B, definite după cum urmează:

5,2rc

a5,222

Tp1

TRaA Ω== (4.110)

rc

b Tp1

RTbB Ω== (4.111)

Cu aceste noi variabile, ecuaţia de stare Redlich Kwong se poate scrie:

BpZ

BpBA

BpZZZ

2

+−

−= (4.112)


Expresia (4.112) permite determinarea factorului de abatere Z. Ea reprezintă o

ecuaţie de gradul trei în Z. Dacă se rearanjează termenii şi se face ordonarea după puterile lui Z, se obţine relaţia:

( ) 0BpBAZ1Bp

BABpZZ 2

2223 =−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+− (4.113)

Analiza numerică a rădăcinilor ecuaţiei (4.113) arată că, pentru presiuni mai

mici decât presiunea critică (presiunea redusă subunitară), ecuaţia are trei rădăcini reale. Cea mai mică în valoare dintre rădăcini corespunde factorului de compresibilitate pentru lichid saturat, cea mai mare corespunde factorului de compresibilitate pentru vapori saturaţi, iar cea de-a treia - intermediară ca valoare - nu are sens termodinamic.

Determinarea palierului de condensare/vaporizare se face ţinând seama de condiţia de echilibru vapori-lichid, care stabileşte că fugacităţile lichidului saturat şi ale vaporilor saturaţi sunt egale.

4.5.3.2.3 Determinarea factorilor corectivi pe baza ecuaţiei Redlich Kwong

Termenii corectivi reprezintă diferenţa între valorile efective ale funcţiilor termodinamice ale gazelor reale şi valorile acestora calculate pentru gazul perfect, în aceleaşi condiţii de presiune şi temperatură. Termenii corectivi se pot calcula pe baza ecuaţiei de stare, pentru o variaţie izotermă a mărimii respective.

4.5.3.2.3.1 Fugacitatea şi abaterea entalpiei libere

Calculul porneşte de la formula de definiţie pentru entalpia liberă:

( ) ( )dp*vvpfRTRTLn*gg

p

p0

∫ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==− ϕ (4.114)

Se dezvoltă membrul drept al relaţiei (4.114) şi se ţine seama de identitatea

( ) vdppdvpvd += , unde v* reprezintă volumul unui gaz perfect, care poate fi exprimat din ecuaţia de stare a gazului perfect. În aceste condiţii, se obţine relaţia:

( ) ( ) dpp

RTpdvpvdRTLnp

p

p

p

p

p 00 0

∫∫ ∫ −−=ϕ (4.115)

Pentru a efectua a doua integrală din expresia (4.98) se utilizează ecuaţia lui

Redlich Kwong, în care se explicitează presiunea:

( )bvvTa

bvRTp

+−

−= (4.116)

Gaze reale 108

( ) ( )( )

dpp

RTdvbvvT

abv

RTpvdRTLnp

p

v

v

p

p 000

∫∫∫ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

−−=ϕ (4.117)

Efectuând calculele, se obţine:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−=→→

0

0

00000v;0p v

bvbv

vLnTb

app

bvbvRTLnvppvlimRTLn

00

ϕ (4.118)

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−=bv

vLnTb

aRT

pbvRTLnRTpvRTLn ϕ (4.119)

Făcând schimbarea de variabilă definită prin relaţiile (4.110) şi (4.111), se obţine

expresia coeficientului fugacităţii:

( ) ( ) 1ZBpZLnZBp1Ln

BALn

2

−+−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=ϕ (4.120)

În practică, relaţia (4.120) se poate utiliza pentru calculul fugacităţii sau al

entalpiei libere, pentru vaporii saturaţi şi vaporii supraîncălziţi. Pentru starea lichidă, relaţia nu dă rezultate satisfăcătoare.

4.5.3.2.3.2 Abaterea entalpiei

Pentru a calcula abaterea entalpiei se va utiliza formula de definiţie în funcţie de energia internă: ( ) RTpv*uu*pvpv*uu*hh −+−=−+−=− (4.121)

Considerând energia internă ca fiind o funcţie de temperatură şi volum, u(T,v), prin diferenţiere şi utilizarea formulei fundamentale a termodinamicii rezultă:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂−

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= pvsTdTcdv

vpdvTdsdTcdv

vudT

Tudu

Tv

Tv

Tv

(4.122)

Reţinând numai termenii care exprimă variaţia energiei interne pe o izotermă,

rezultă:

dvpTpTdu

vT ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= (4.123)


Pentru a calcula expresia din paranteza dreaptă se utilizează expresia (4.116),

care este introdusă în (4.123), o dată derivată în funcţie de temperatură şi a doua oară ca atare.

Integrând expresia diferenţială (4.123), rezultă:

( ) RTpvbv

vLnTb

a23

bvv1

Ta

23dvp

TpT

v

v

v

v v 00

−++

=+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∫∫∞→∞→

(4.124)

Se fac notaţiile:

5,222 TRAaRTBbp

ZRTv === (4.125)

În final, se obţine expresia:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=− Z1

ZBp1Ln

BA

23RT*hh

2

(4.126)

4.5.3.2.3.3 Abaterea entropiei

Pentru a determina abaterea entropiei se pleacă de la formula de definiţie:

( ) ( )T

*gg*hh*ss −−−=− (4.127)

Înlocuind expresiile entalpiei şi entalpiei libere în formula (4.110), rezultă:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−=

−ZBp1Ln

BA

21BpZLn

R*ss 2

(4.128)

4.5.3.2.4 Determinarea echilibrului lichid-vapori cu ecuaţia Redlich Kwong

După cum s-a arătat anterior, în zona de schimbare de fază ecuaţia Redlich Kwong (4.113) are trei rădăcini: cea mai mică reprezintă valoarea factorului de compresibilitate pentru lichid saturat, Zlichid, cea mai mare reprezintă factorul de compresibilitate pentru vapori saturaţi, Zvapori, iar cea de-a treia nu are sens fizic.

Din punct de vedere matematic, ecuaţia de stare reprezintă o curbă continuă. Problema care trebuie rezolvată este stabilirea palierului de schimbare de fază. Acest palier, care caracterizează comportarea reală a gazului, se poate defini pe baza ecuaţiei de stare.

Gaze reale 110

Metoda de determinare prezentată este o metodă numerică şi constă în calcularea

legăturii între presiune şi temperatura de saturaţie. S-a considerat, pentru acest exemplu, o presiune p mai mică decât presiunea critică. Pentru a determina temperatura de saturaţie corespunzătoare presiunii p s-a rezolvat numeric ecuaţia Redlich Kwong, dată de relaţia (4.113), pentru diferite temperaturi. Pentru cele două rădăcini care au sens fizic s-a calculat fugacitatea. Condiţia de echilibru lichid-vapori este îndeplinită atunci când valorile fugacităţii pentru lichidul saturat şi vaporii saturaţi sunt egale. Temperatura la care se realizează această egalitate reprezintă temperatura de saturaţie la presiunea aleasă.

În figura 4.10 este prezentată schematic această metodă numerică de determinare, iar rezultatele sunt prezentate în tabelul T 4.1. S-a ales o dreaptă dată de ecuaţia y=T (T variabil), care se intersectează cu ecuaţia de stare. Variaţia lui T se opreşte în momentul în care fugacităţile calculate pentru punctele de intersecţie (capetele palierului) sunt egale. La acel moment se consideră că valoarea lui T reprezintă temperatura de saturaţie la presiunea respectivă.

Pentru exemplificare, s-a ales drept gaz real propanul. În tabelul T 4.1 s-a notat cu Zlichid rădăcina cu valoarea cea mai mică a ecuaţiei,

iar cu Zvapori rădăcina cu valoarea cea mai mare. Analizând exemplul, se observă că pentru presiunea de 1,5 MPa se poate considera că temperatura de saturaţie este de 312,3 K. Fiind vorba de un exemplu de calcul, s-a ales o eroare mai mică de 10-3.

Cu Z3 s-a notat rădăcina ecuaţiei care nu are sens fizic. Trebuie menţionat faptul, remarcat şi în literatura de specialitate, că ecuaţia

Redlich Kwong nu descrie corect echilibrul lichid-vapori. Chiar valorile determinate mai sus diferă de valorile calculate cu ecuaţia Lee-Kesler, care este mult mai precisă.

Fig. 4.10


În acest caz, fie se utilizează o ecuaţie de stare mai precisă, fie se modifică

ecuaţia Redlich Kwong pentru a i se corecta comportarea.

Tabelul T 4.1

T [K] Z lichid Z 3 Z vapori f lichid f vapori 313 0,063 0,17807 0,75892 1,22248 1,21043

312,9 0,06299 0,17839 0,75862 1,22042 1,21017 312,8 0,06297 0,17871 0,75832 1,21835 1,2099 312,7 0,06295 0,17903 0,75802 1,21629 1,20963 312,6 0,06294 0,17935 0,75771 1,21422 1,20937 312,5 0,06292 0,17967 0,75741 1,21216 1,2091 312,4 0,06291 0,17999 0,75711 1,2101 1,20883 312,3 0,06289 0,18031 0,7568 1,20804 1,20856 312,2 0,06287 0,18063 0,7565 1,20598 1,20829 312,1 0,06285 0,18096 0,75619 1,20393 1,20802 312 0,06284 0,18128 0,75588 1,20187 1,20775

311,9 0,06282 0,1816 0,75557 1,19982 1,20748 311,8 0,06281 0,18193 0,75526 1,19776 1,20721 311,7 0,06279 0,18225 0,75495 1,19571 1,20694 311,6 0,06277 0,18258 0,75464 1,19366 1,20667 311,5 0,06276 0,18291 0,75433 1,19161 1,2064

4.5.3.3 Ecuaţia Benedict-Webb-Rubin

Principalul avantaj al ecuaţiilor de stare prezentate anterior îl constituie

simplitatea expresiei matematice, aspect de ordin practic pentru care sunt des folosite în aplicaţiile inginereşti. Dezavantajul major constă în faptul că precizia ecuaţiilor simple este bună numai pentru anumite domenii de variaţie a parametrilor de stare.

Din aceste motive, s-a încercat realizarea unor ecuaţii cu precizie sporită pentru un domeniu cât mai mare. Exemplificarea se va face prezentând ecuaţia Benedict-Webb-Rubin:

2v223632

2000 e

v1

Tvc

va

vaRTb

vT/CARTB

vRTp

γγα −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

−+

−−+= (4.129)

Ecuaţia se bazează pe opt constante empirice. În Anexa 1 sunt prezentate

constantele empirice pentru câteva dintre substanţele uzuale. Se observă că ecuaţia Benedict-Webb-Rubin are o expresie matematică complicată, soluţiile ei putând fi obţinute numai pe cale numerică, cu condiţia să se cunoască constantele empirice ale gazului.

O particularizare interesantă a ecuaţiei Benedict-Webb-Rubin a fost propusă în anul 1975, rezultând o nouă ecuaţie de stare, exprimată în termeni reduşi. Ecuaţia, denumită Lee-Kesler (4.130), are la bază 12 constante:

Gaze reale 112

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++== 2

r2r

2r

3r

45r

2rrr

rr

vexp

vvTc

vD

vC

vB1

Tvp

Z γγβ (4.130)

34

232

1rrr T

bTb

Tb

bB −−−= (4.131)

332

1rr T

cTc

cC +−= (4.132)

rT

ddD 2

1 += (4.133)

c

r TTT =

rppp =

ccr pRT

vv/

= (4.134)

Valorile empirice ale constantelor, pentru două categorii de substanţe, sunt prezentate în Anexa 2. Forma (4.130) a ecuaţiei Lee-Kesler este avantajoasă prin generalitatea ei şi prin faptul că permite calcularea directă a valorii factorului de compresibilitate. Pentru utilizarea ei trebuie cunoscute coordonatele critice (presiune şi temperatura critică) şi factorul acentric.

Pe baza ecuaţiei Lee-Kesler se pot calcula termenii corectivi. 4.5.3.4 Analiza comparativă a ecuaţiilor de stare

Ecuaţiile de stare constituie un instrument deosebit de util pentru inginerii care

proiectează sau exploatează instalaţii tehnologice în care evoluează gaze reale. Din acest motiv, s-a considerat oportună realizarea unei comparaţii între diferitele ecuaţii de stare prezentate în acest capitol.

Pentru a evidenţia diferenţele existente între rezultatele obţinute utilizând ecuaţii diferite, într-un domeniu cât mai larg de valori, a fost preferată comparaţia grafică. Pentru aceasta au fost suprapuse, pe rând, soluţiile obţinute cu diferite ecuaţii peste soluţiile obţinute cu cea mai precisă ecuaţie dintre cele analizate.

Comparaţia s-a făcut pentru propan, pentru care s-au reprezentat, în coordonate logaritmice, izotermele pentru temperaturile reduse: 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1; 1,05; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2; 3; 4; 5. S-a considerat că ecuaţia Lee-Kesler oferă precizia cea mai ridicată, astfel încât aceasta a fost aleasă drept termen de comparaţie. În figura 4.11 sunt prezentate izotermele menţionate mai sus, curbele limită şi punctul critic:


Fig. 4.11

Pentru a obţine o comparaţie relevantă, peste această diagramă au fost reprezentate izotermele obţinute cu ecuaţia cu viriali, la care s-au utilizat şi corecţiile lui Pitzer (figura 4.12). Pe această diagramă sunt marcate numai izotermele ecuaţiei cu viriali, desenate cu linie mai accentuată, iar cele obţinute cu ecuaţia Lee-Lesler sunt trasate cu linii mai estompate.

Analizând rezultatele, se remarcă faptul că ecuaţia cu viriali are o precizie bună în domeniul vaporilor supraîncălziţi, la presiuni mici şi moderate. Până la temperaturi reduse mai mici sau cel mult egale cu 0,8, deasupra curbei vaporilor saturaţi, izotermele ecuaţiei cu viriali coincid cu cele obţinute cu ecuaţia Lee-Kesler. Pentru zona menţionată, ecuaţia cu viriali oferă valori bune şi pe curba de saturaţie. Peste temperatura redusă de 0,8, diferenţa între izoterme creşte concomitent cu scăderea preciziei ecuaţiei cu viriali. Această ecuaţie nu descrie corect vecinătatea punctului critic. Se observă că pe măsură ce presiunile cresc, pentru fiecare temperatură redusă există o limită de la care direcţiile celor două familii de izoterme devin divergente. Acest lucru arată incapacitatea ecuaţiei cu viriali de a descrie stările dense ale gazului, inclusiv a stării fazei lichide. Dacă la temperaturi reduse mici (<0,8) cele două familii de izoterme coincid pe întreg domeniul de vapori supraîncălziţi, inclusiv la saturaţie, pe măsura creşterii temperaturii reduse, simultan cu creşterea presiunii, porţiunile de suprapunere a izotermelor devin din ce în ce mai mici.

Gaze reale 114

Fig. 4.12

În concluzie, se poate aprecia că ecuaţia cu viriali permite obţinerea unor soluţii

bune pentru faza vapori, inclusiv vapori saturaţi, până la temperaturi reduse de 0,8. Peste această valoare, domeniul în care ecuaţia furnizează soluţii precise se îngustează foarte mult. A doua ecuaţie analizată este ecuaţia lui Redlich Kwong. În figura 4.13 s-au reprezentat izotermele obţinute cu ecuaţia Redlich Kwong suprapuse peste izotermele calculate cu ecuaţia Lee-Kesler.

Se observă existenţa unei precizii remarcabile pe un domeniu larg de variaţie a parametrilor de stare. Astfel, în domeniul vaporilor saturaţi si supraîncălziţi, cele două familii de izoterme aproape coincid.

Comparaţia scoate în evidenţă începutul „palierului” izobar-izoterm pentru zona de schimbare de fază, în cazul ecuaţiei Redlich Kwong. După cum au remarcat şi alţi autori, modelarea zonei de schimbare de fază cu această ecuaţie nu este precisă. Cu toate acestea, se observă un fapt remarcabil: dacă se modelează zona de schimbare de fază cu altă ecuaţie (în cazul da faţă ecuaţia Lee-Kesler), valorile obţinute utilizând ecuaţia Redlich Kwong pentru vaporii saturaţi sunt extrem de precise.

Precizia scăzută în cazul modelării curbei de vapori saturaţi utilizând ecuaţia Redlich Kwong face ca şi curba de lichid saturat să prezinte erori. Se menţionează că în


figura 4.11 zona de schimbare de fază a fost modelată cu ecuaţia Lee-Kesler, curbele izoterme ale ecuaţiei Redlich Kwong fiind trasate fără nici o prelucrare, aşa cum rezultă din rezolvarea ecuaţiei.

Fig. 4.13

Odată depăşită zona de lichid saturat, se constată că ecuaţia Redlich Kwong descrie precis faza lichidă şi zona de fluid dens.

Analizând vecinătatea punctului critic, se observă cele două izoterme care au temperatura redusă egală cu unu, deci trec prin punctul critic (practic coincid). Trebuie precizat că valoarea 0,3333 pentru factorul de compresibilitate în punctul critic, obţinută cu ecuaţia Redlich Kwong, diferă de valoarea exactă 0,2767392 (pentru propan ω = 0,152), obţinută din ecuaţia Lee-Kesler.

Ecuaţia Redlich Kwong furnizează valori precise şi în domeniul fluidului dens, pentru presiuni mai mari decât presiunea critică. Simplitatea ecuaţiei, cât şi precizia ridicată, fac ca aceasta să fie des utilizată în practică, nu numai pentru gaze individuale, ci şi în cazul amestecurilor de gaze reale. Această ecuaţie a stat la baza realizării programului educaţional Zrk. Pentru a obţine rezultate bune şi în zona de schimbare de fază, ecuaţia a fost completată cu un model numeric, original, pentru descrierea zonelor de vapori saturaţi şi lichid la saturaţie.

Gaze reale 116

Ecuaţia Redlich Kwong a mai fost utilizată pentru descrierea proprietăţilor fazei

vapori, în cazul amestecurilor de gaze reale, în ambele versiuni ale programului Epsilon. 4.6 Transformări de stare pentru gaze reale

În timpul transportului şi depozitării, gazele sunt supuse proceselor de comprimare, destindere sau laminare. Aceste procese provoacă modificări rapide ale parametrilor termodinamici de stare ai gazelor, având loc, în acelaşi timp, un intens schimb energetic între masa de gaz şi utilajul în care are loc procesul. Din punct de vedere ingineresc, interesează puterea necesară producerii procesului şi parametrii termodinamici (presiune, temperatură şi volum specific) la începutul şi sfârşitul procesului, pentru a putea dimensiona conductele de legătură.

În cazul gazelor perfecte, simplitatea ecuaţiei de stare utilizată la integrarea ecuaţiilor diferenţiale ale transformărilor de stare permite obţinerea soluţiilor analitice care au fost prezentate în cadrul cursului de termodinamică.

Situaţia se schimbă radical pentru gazele reale, deoarece chiar şi cele mai simple ecuaţii de stare nu permit obţinerea de soluţii analitice. Din această cauză se utilizează soluţii numerice.

4.6.1 Comprimarea gazelor reale În figura 4.14 este prezentat un proces de comprimare a gazului metan, între

punctele aflate la presiunile p1 şi p2. Punctul 1, reprezentând starea gazului la intrarea în compresor, are parametrii: - p1 = 0,1 MPa; - T1 = 293 K; - h1 = 612,25 kJ/kg; - s1 = 11,572 kJ/kg/K. Starea 3 reprezintă starea gazului la ieşirea din compresor şi are parametrii: - p3 = 0,8 MPa; - T3 = 491,28 K; - h3 = 1109,16 kJ/kg; - s3 = 11,788 kJ/kg/K. Starea 2 reprezintă starea gazului la ieşirea din compresor, pentru situaţia în care

procesul din maşină ar fi o comprimare adiabat reversibilă (proces izentropic), adică entropia generată în timpul procesului ar fi nulă. Parametrii acestei stări se utilizează pentru calculul procesului real, în special pentru determinarea stării 3. Aceştia sunt:

- p2 = 0,8 MPa; - T2 = 455,81 K; - h2 = 1009,78 kJ/kg; - s2 = 11,572 kJ/kg/K. Toate valorile au fost determinate folosind programul MetanTS. Procesul real de comprimare a gazului de la presiunea p1 la presiunea p2,

reprezentat de segmentul 13, este un proces ireversibil, în cursul căruia are loc o creştere de entropie, s3>s1.


Dacă se analizează procesul de comprimare din punct de vedere al duratei de desfăşurare, indiferent de tipul maşinii utilizate (compresor cu piston sau rotativ), timpul în care se produce comprimarea unei mase de gaz în maşină este foarte scurt, ceea ce face ca schimbul de căldură între maşină şi masa de gaz să fie nesemnificativ. Acest fapt permite să se aprecieze că procesul de comprimare este un proces adiabat ireversibil.

Fig. 4.14

În acest caz, se pune următoarea problemă: dacă procesul este adiabat, de unde apare căldura care produce creşterea entropiei?

Răspunsul la această întrebare rezultă din constatarea că procesul de comprimare se produce rapid, ceea ce face ca masa de gaz care evoluează în maşină să aibă mişcări puternice, turbulente, care produc o disipaţie vâscoasă a unei părţi din energia procesului de comprimare. Această energie se regăseşte în masa de gaz şi ea produce o creştere mai mare a entropiei şi a temperaturii gazului la ieşirea din maşină, decât a procesul izentropic.

Puterea consumată pentru comprimarea adiabat ireversibilă 13 este dată de relaţia:

( ) ][1313 kWmhhPP•

−== (4.135)

Gaze reale 118

Puterea consumată pentru un proces de comprimare izentropic 12 este:

( ) ][1212 kWmhhP•

−= (4.136)

Din datele de mai sus se observă că puterea necesară procesului real de comprimare este mai mare decât puterea procesului izentropic. Randamentul izentropic al procesului de comprimare reprezintă raportul dintre puterea necesară procesului real de comprimare şi puterea unui proces adiabat care are loc între aceleaşi presiuni, P şi P12:

P

P12iz=η (4.137)

Pentru diferite compresoare utilizate în practică, randamentul izentropic are

valori cuprinse în intervalul 0,75 ÷ 0,85. Combinând relaţiile (4.135), (4.136) şi (4.137), se obţin expresiile:

( )( )13

12iz hh

hh−−

=η (4.138)

( )iz

1213

hhhh

η−

+= (4.139)

Relaţia (4.139) permite determinarea entalpiei gazului la ieşirea din compresor

pe baza variaţiei entalpiei în comprimarea adiabat reversibilă 12 şi pe baza randamentului izentropic.

Metoda pentru calculul procesului de comprimare se bazează pe relaţiile (4.135) ÷ (4.139), datele necesare fiind luate direct din diagramele TS ale gazelor respective. Acest lucru este posibil prin utilizarea programelor: MetanTS, DiagrameTS sau APAB.

Etapele parcurse în cazul metodei directe sunt următoarele: I. se determină parametrii stării gazului la intrarea în compresor (starea 1,

figura 4,14). Aceştia sunt p1, T1, h1 şi s1; II. pe izobara p2 (starea 2), din condiţia ca procesul 12 să fie izentropic (i. e.

s2=s1), se determină entalpia acestei stări, h2; III. pe baza randamentului izentropic se determină entalpia stării gazului la

ieşirea din compresor, utilizând formula ( )

iz

1213

hhhh

η−

+= . Din diagrama

Ts se determină temperatura T3, corespunzătoare gazului la ieşirea din compresor, iar în final se determină puterea necesară utilizând formula:

( ) ][13 kWmhhP•

−= .

Exemplul E4.5 Să se calculeze puterea necesară comprimării şi temperatura de ieşire pentru un debit de metan de 2,5 Nm3/s, pornind din punctul cu presiunea de 0,1 MPa şi temperatura de 298 K şi sfârşind în punctul cu presiunea de 0,8 MPa.


Soluţie: Se utilizează programul MetanTS. Parametrii gazului la intrarea în compresor, în punctul 1, sunt: h1 = 623,35 kJ/kg şi s1 = 11,6147 kJ/kg/K. Pentru p = 0,8 Mpa şi s = 11,6147 kJ/kg/K, se obţine entalpia corespunzătoare stării 2 (12 proces izentropic): h2 = 1026,75 kJ/kg. Entalpia stării 3, la ieşirea in compresor, este dată de relaţia:

kg/kJ66,11268,0

35,62375,102635,623h3 =−

+= .

În aceste condiţii, se pot determina: T3 = 497,35 K şi s2 = 11,8234 kJ/kg/K.

Puterea necesară comprimării este: ( ) kW2,89835,62366,1126414,22

165,2P =−= .

Calculele necesare pentru determinarea diferiţilor parametri pot fi făcute şi

semiautomat, luând în considerare abaterile entalpiei şi entropiei. Se face precizarea că şi pentru acest tip de calcul este necesar un program care să furnizeze valorile abaterilor entalpiei şi entropiei.

Algoritmul care va fi prezentat în continuare stă la baza programelor specializate şi prezentarea lui este utilă pentru înţelegerea metodei. Acesta are la bază următoarele formule:

( ) ( ) ( )1

*1

*1

*22

*212 hhhhhhhh −+−+−−=−

( )12

*1

*2 TTchh p −=−

( ) ( ) ( )1

*,

*,

*,2

*,12 11112222

ssssssss TpTpTpTp −+−+−−=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

1

2

1

2*,

*, 1122 p

pRLn

TT

Lncss pTpTp

Valorile abaterilor entalpiei şi entropiei faţă de starea de gaz perfect, pentru situaţia în care calculele se fac manual, se pot prelua din programul Z. Algoritmul utilizează notaţiile din figura 4.14 şi cuprinde următoarele etape:

I. se stabilesc valorile parametrilor la intrarea în compresor (punctul „1”): presiunea p1 şi temperatura T1;

II. se stabileşte presiunea de ieşire a gazului din compresor, p2; III. se presupune o valoare pentru temperatura T2 şi - folosind relaţiile (1.52) şi

(1.53) - se determină variaţia de entropie s2-s1; pentru obţinerea unor valori mai precise, în formula (1.53) se poate utiliza pentru căldura specifică cp, valoarea medie între temperaturile punctelor 1 şi 2;

IV. dacă valoarea variaţiei entropiei, s2-s1, nu este nulă, se face o nouă apreciere a valorii pentru temperatura T2 şi se repetă calculul până când variaţia de entropie devine nulă;

V. cu parametrii punctului 2 astfel determinaţi, se calculează variaţia de entropie, h2-h1, iar cu formula (4.139), impunând un randament izentropic, se

Gaze reale 120

determină entalpia gazului la ieşirea din compresor; pentru a putea determina şi temperatura gazului la ieşirea din compresor, T3, pentru un calcul realizat manual se poate folosi formula:

( )

13pmiz

1212pm13 c

TTcTT

η−

+= (4.140)

Exemplul E 4.6 Să se calculeze puterea necesară comprimării unui debit de etan de 0,5 Nm3/s, de la presiunea p1 = 0,1 MPa şi temperatura T1 = 298 K, până la presiunea p2 = 0,8 MPa, considerând un randament izentropic de 0,8. Soluţie: Coordonatele critice ale etanului sunt: pc = 4,82 MPa şi Tc = 305,4 K. Utilizând formulele (1.52) şi (1.53), se determină temperatura T2. Calculele sunt prezentate în tabelul T 4.2: Tabelul 4.2

T2 [K] AS1 AS2 Cpm

[kJ/kg/K] R

[kJ/kg/K] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1

2p T

TLnc ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1

2

pp

RLn s2 [kJ/kg/K]

s1 [kJ/kg/K]

s1-s2

500 0,02094 0,32941 2,17484 0,2765 1,12551 1,21163 7,46229 7,6337 -0,17141

550 0,02094 0,2495 2,27961 0,2765 1,397 1,21163 7,75588 7,6337 0,12218

525 0,02094 0,28551 2,22723 0,2765 1,26129 1,21163 7,6102 7,6337 -0,0235

530 0,02094 0,27767 2,2377 0,2765 1,28843 1,21163 7,63952 7,6337 0,00582

Prin încercări succesive s-a obţinut temperatura T2, pentru care se anulează variaţia de entropie, ceea ce corespunde unui proces izentropic. Datele finale se găsesc pe ultima linie a tabelului. Cu acestea se poate calcula variaţia de entropie în procesul izentropic 12:

( ) ( ) ( )1*112p2

*212 hhTTchhhh −+−+−−=−

4,3052765,002698,014716,5194,3052765,060065,0hh 12 ⋅⋅++⋅⋅−=−

kg/kJ70476,470=

.kg/kJ38,5888,0

70467,470hh 13 ==−

Considerând că valorile căldurilor specifice medii pentru procesele 12 şi 13 sunt practic identice, se poate calcula temperatura la ieşirea din compresor utilizând formula (4.122):

.K5888,0298530298T3 =

−+=

Puterea necesară comprimării este:

( ) .kW75,39338,588414.22

305,0hhmP 13 ==−=•


După cum rezultă din exemplul de mai sus, calculele făcute manual, utilizând

metoda directă, sunt laborioase. Sunt necesare valorile abaterile entalpiei şi entropiei faţă de starea de gaz perfect, mărimi care se obţin prin utilizarea unor programe adecvate. Se poate face observaţia că etapa calculelor iterative făcute manual este depăşită de evoluţia sistemelor de calcul moderne, astfel încât specialiştii trebuie să utilizeze noile tehnologii pentru a obţine rezultate foarte precise şi într-un timp extrem de scurt.

O soluţie simplă, comodă şi foarte eficientă pentru calculul procesului de comprimare o constituie utilizarea unuia dintre programele MetanTS sau DiagrameTS.

În continuare va fi prezentat un exemplu de calcul al procesului de comprimare utilizând programul MetanTS.

Exemplu E 4.7

Să se calculeze puterea necesară comprimării unui debit de metan de 0,8 Nm3/s, de la presiunea de 0,1 MPa şi temperatura de 298 K, până la presiunea de 6,4 MPa. Se va utiliza un compresor cu trei trepte, care are randamentele izentropice, corespunzătoare celor trei trepte, de: 0,75, 0,82 şi 0,85. Se consideră că între două comprimări succesive gazul se răceşte până la temperatura de intrare a treptei anterioare. Soluţie: Calculele se efectuează cu ajutorul programului MetanTS. Raportul de comprimare într-o treaptă este dat de relaţia:

4,039999,04,63 ≈==π . În aceste condiţii, comprimarea corespunzătoare fiecărei trepte este:

- treapta I: comprimare între presiunile 0,1 MPa şi 0,4 MPa; - treapta II: comprimare între presiunile 0,4 MPa şi 1,6 MPa; - treapta III: realizează comprimare între presiunile 1,6 MPa şi 6,4 MPa. -

Calculul pentru treapta I-a Punctele care definesc procesul sunt: 1’, 2’ şi 3’ (fig.4.15). Se utilizează butonul p-T, introducându-se parametrii: p = 0,1 MPa şi T = 298 K. Programul afişează următoarele mărimi: s1’ = 11,5772 kJ/kg/K, h1’ = 612,25 kJ/kg. Pentru calculul procesului adiabat reversibil 1’2’ se utilizează butonul p-s, introducându-se datele: p2’ = 0,4 şi s2’ = 11,5772. Programul afişează următoarele mărimi: T2’ = 399 K, h2’ = 861,48 kJ/kg.

Se calculează: .kg/kJ65,94475,0

25,61248,86125,612'h3 =−

+=

Variaţia de entalpie în procesul ireversibil 1’3’ este: .kg/kJ4,332'h'h 13 =− Calculul pentru treapta a II-a Punctele care definesc procesul sunt: 1’’, 2’’ şi 3’’ (fig.4.15). Se utilizează butonul p-T, introducându-se parametrii: p = 0,4 MPa şi T = 298 K. Programul afişează următoarele mărimi: s1’’ = 10,8292 kJ/kg/K, h1’’ = 609,17 kJ/kg. Pentru calculul procesului adiabat reversibil 1’’2’’ se utilizează butonul p-s, introducându-se datele: p2’’ = 1,6 şi s2’’ = 10,8392. Programul afişează următoarele mărimi: T2’’ = 397 K, h2’’ = 851,04 kJ/kg.


17,60904,8517,609''h3 =−

+=

Variaţia de entalpie în procesul ireversibil 1’’3’’ este: .kg/kJ96,294''h''h 13 =−

Gaze reale 122

Calculul pentru treapta a III-a Punctele care definesc procesul sunt: 1’’’, 2’’’ şi 3’’’ (fig.4.15). Se utilizează butonul p-T, introducându-se parametrii: p = 1,6 MPa şi T = 298 K. Programul afişează următoarele mărimi: s1’’’ = 10,099 kJ/kg/K, h1’’’ = 598,1 kJ/kg. Pentru calculul procesului adiabat reversibil 1’’’2’’’ se utilizează butonul p-s, introducându-se datele: p2’’’ = 1,6 şi s2’’’ = 10,099. Programul afişează următoarele mărimi: T2’’’ = 404,26 K, h2’’’ = 842,35 kJ/kg.


1,59835,8421,598'''h3 =−

+=

Variaţia de entalpie în procesul 1’’’3’’’ este: .kg/kJ35,287'''h'''h 13 =− Variaţia totală de entalpie pentru cele trei trepte este dată de suma variaţiei de entalpie pe fiecare dintre cele trei trepte:

.kg/kJ71,91435,28796,2944,332htot =++=∆ Puterea necesară comprimării este:

.kW36,52271,914414,22

168,0hmP tot ==∆=•

Fig. 4.15


4.6.2 Destinderea gazelor reale

Procesul de destindere este un proces în care gazul trece rapid de la o stare cu

presiune ridicată la o stare caracterizată printr-o presiune scăzută. În timpul procesului, gazul produce lucru mecanic - denumit lucru mecanic tehnic - pe baza scăderii entalpiei concomitent cu scăderea temperaturii.

Datorită vitezei ridicate cu care se produce trecerea gazului prin maşină, căldura schimbată de acesta cu detentorul este foarte mică, astfel încât poate fi neglijată. Procesul poate fi considerat drept proces adiabat. Procesul real de destindere este însoţit de o creştere a entropiei, creştere datorată ireversibilităţii procesului. Fenomenele de disipaţie vâscoasă care au loc la trecerea gazului prin maşină determină o generare de căldură în masa gazului, fapt care provoacă creşterea entropiei.

În figura 4.16 este prezentat un proces real de destindere pentru metan. Punctul 1 reprezintă starea de intrare a gazului în detentor. Procesul real de

destindere este reprezentat de dreapta 13, iar procesul izentropic (teoretic) este reprezentat de dreapta 12.

Fig. 4.16 Pentru destindere, se defineşte randamentul izentropic ca fiind raportul dintre

lucrul mecanic tehnic, specific, al destinderii reale şi lucrul mecanic tehnic, specific, al destinderii izentropice reversibile:

Gaze reale 124

21

31iz hh

hh−−

=η (4.141)

Cunoscând randamentul izentropic al detentorului, se poate determina entalpia

gazului la ieşirea din maşină, element care permite calcularea puterii furnizate de detentor.

Calculul procesului de destindere se face astfel: I. pentru determinarea randamentului, cunoscând parametrii stării gazului la

intrarea în maşină (starea 1 din figura 4.16), se determină entropia s1 şi entalpia h1, corespunzătoare acestei stări;

II. se determină parametrii stării 2 din figura 4.16, căutându-se punctul care are presiunea egală cu p2 (presiunea la ieşirea din maşină), dar entropia egală cu s1;

III. cunoscând ca procesul 1-2 este izentropic, se determină entalpia stării 3 din figura 27:

( )21iz13 hhhh −−= η (4.142)

IV. se determină puterea furnizată de detentor utilizând formula:

( )31 hhmP −=•

(4.143)

Practic, calculul procesului de destindere se poate realiza utilizând programe informatice adecvate, cum sunt programele MetanTS sau DiagrameTS. Calculul se poate face şi manual, prin încercări succesive, utilizând formulele abaterilor entalpiei şi entropiei de la starea de gaz perfect.

Acest calcul laborios este denumit impropriu manual, deoarece pentru a fi efectuat trebuie determinate abaterile entropiei şi entalpiei gazului real faţă de starea de gaz perfect.

Exemplu E 4.8 Să se determine puterea furnizată de o turbină în care se destinde un debit de metan de 5,5 Nm3/s, de la presiunea de 7 MPa şi temperatura de 273 K, până la presiunea de 0,1 MPa, cu randamentul izentropic 0,85. Soluţie: Pentru rezolvarea problemei se va utiliza programul MetanTS. Parametrii stării 1 din figura 4.16 se obţin prin folosirea butonului p-T, introducând valorile iniţiale: p = 7 şi T = 273. Programul afişează următoarele mărimi: s1 = 8,9963 kJ/kg/K, h1 = 482,19 kJ/kg. Parametrii stării 2 din figura 4.16 se obţin prin utilizarea butonului p-s, introducându-se datele: p = 0,1 şi s = 8,9963. Programul afişează următoarele mărimi: h2 = 165,2 kJ/kg, T2 = 111,2 K, x = 0,8871. Se observă că punctul 2 se găseşte în domeniul de echilibru lichid-vapori. Prin x s-a notat titlul. Entalpia punctului 3 se determină utilizând formula (4.19):

( ) .kg/kJ74,2122,16519,48885,019,488h3 =−−=


Se utilizează butonul p-h, introducându-se datele: p = 0,1 şi h = 212,74. Programul afişează următorii parametri, corespunzători gazului la ieşirea din turbină: T3 = 111,2 K, p3 = 0,1 MPa, s3 = 9,42 kJ/kg/K, x3 = 0,9795, h3 = 212,74 kJ/kg. Puterea furnizată de turbină se calculează cu ajutorul relaţiei (4.20):

( ) ( ) .kW89,105774,21219,482414,22

165,5hhmP 31 =−=−=•

Exemplu E 4.9 Un debit de 1,2 Nm3/s propan se destinde într-un detentor, de la presiunea de 2,5 MPa şi temperatura de 400 K, până la presiunea de 0,1 MPa. Să se determine puterea rezultată şi parametrii gazului la ieşirea din detentor. Soluţie: Pentru rezolvarea problemei se va utiliza programul DiagrameTS. Se determinăm entropia şi entalpia gazului la intrarea în detentor, pentru starea 1 din figura 4.17. Se utilizează butonul p-T, programul afişând următorii parametri: s1 = 5,8912 kJ/kg/K, h1 = 607,66 kJ/kg. Se determină entalpia corespunzătoare stării 2, care are entropia egală cu s1. Rezultă h2 = 334,52 kJ/kg. Se determină entalpia în starea 3, utilizând formula (4.19):

( ) .kg/kJ148,38952,3346,6078,066,607h3 =−−= Pe baza presiunii şi entalpiei stării 3, care au valorile de 0,1 MPa şi 389,148 kJ/kg, se obţin parametrii gazului la ieşirea din detentor: T3 = 283,3 K, s2 = 5,9646 kJ/kg/K. Se determină puterea utilizând formula (4.20):

( ) .kW74,514148,38966,607414,22

442,1P =−=

Fig. 4.17

Gaze reale 126

4.6.3 Laminarea gazelor reale

Procesul de laminare este un proces dinamic, care se produce la trecerea gazului

printr-un spaţiu îngust (figura 4.18). Un exemplu tipic pentru procesul de laminare îl reprezintă trecerea gazelor

printr-o valvă parţial deschisă, sau printr-o zonă parţial obturată a conductei de transport. Laminarea poate apărea în cursul unui proces tehnologic care se petrece în ventilele de laminare din instalaţiile frigorifice sau de lichefiere a gazelor. De asemenea, laminarea apare în interiorul reductoarelor de presiune. Fenomenul de laminare se produce ori de câte ori un ventil nu se închide bine, sau oferă gazului o secţiune mică de curgere.

Figura 4.18

În timpul procesului de laminare, parametrii gazului suferă diverse modificări. Conform legii conservării energiei, pentru procese de curgere staţionară, folosind notaţiile din figura 4.18, se poate scrie relaţia:

2221

21 hw

21hw

21

+=+ (4.144)

Se consideră că secţiunile din faţa şi din spatele orificiului de laminare sunt

egale, fapt care permite concluzia - în baza legii conservării masei - că cele două viteze, w1 şi w2, sunt egale. În aceste condiţii, relaţia (4.144) devine: 12 hh = (4.145)

Cu alte cuvinte, laminarea gazelor este o transformare de stare în care entalpia rămâne constantă. Această transformare se numeşte izentalpă.

Pentru un gaz perfect, entalpia este doar o funcţie de temperatură. În concluzie, prin laminare un gaz perfect îşi modifică numai presiunea. În cazul gazelor reale, situaţia se modifică. Entalpia este definită în funcţie de temperatură şi de presiune, ceea ce conduce la concluzia că o modificare a presiunii într-un proces izentalp produce şi o modificare a temperaturii.

Fenomenul de modificare a temperaturii în timpul laminării este denumit efectul Joule-Thomson. Dacă laminarea este însoţită de o scădere a temperaturii, efectul Joule-Thomson se numeşte pozitiv, iar dacă fenomenul este însoţit de o creştere a temperaturii, efectul Joule-Thomson se numeşte negativ.


În tehnică se utilizează efectul Joule-Thomson pozitiv pentru a obţine

temperaturi scăzute, dar - de multe ori - consecinţele acestui efect conduc la incidente nedorite. Astfel, în cazul reductoarelor de presiune utilizate în industria gazelor, dacă reducerea presiunii este importantă, aceasta este însoţită şi de o scădere a temperaturii care, în anumite condiţii, poate provoca îngheţarea ventilului şi blocarea acestuia.

Efectul de laminare este apreciat matematic prin coeficientul Joule-Thomson, µJ:

h

J pT⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=µ (4.146)

Acesta se poate calcula din expresia diferenţială a entalpiei, care trebuie egalată cu zero. Pentru un proces izentalp condiţia este dh=0, iar după câteva calcule în care folosim ecuaţia de stare a gazelor reale, obţinem expresia coeficientului Joule-Thomson:

p

p

hpp c

vTvT

pT0dp

TvTvdTcdh

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⇒=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⋅−+=

⇒+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⇒=⇒=p

ZRTZ

pRT

Tv

pZRTvZRTpv

p

p

ZRTp

ZRTTZ

pRTv

TvT

p

2

p

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

pp

2

p

pJ T

ZpcRT

c

vTvT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=µ (4.147)

Efectul de modificare a temperaturii rezultă din integrarea expresiei

coeficientului Joule-Thomson. Pentru a face acest lucru, trebuie să existe o relaţie analitică a dependenţei factorului de compresibilitate în funcţie de presiune şi temperatură. Ea se poate obţine, cu o precizie ridicată, prin metode numerice.

Laminarea fiind un proces izentalp, trasarea curbei de entalpie constantă pentru procesul respectiv permite obţinerea de informaţii utile referitoare la variaţia temperaturii în procesul de laminare. Valorile temperaturilor la capetele cubei reprezintă temperatura la începutul şi respectiv sfârşitul procesului de laminare. Această metodă înlocuieşte calcularea integralei expresiei (4.147) prin rezolvarea numerică a ecuaţiei ( ) 0hs,Th 0 =− pentru mai multe puncte, rezultând un vector ( ) ;n..2,1i;s,T ii = ce

permite trasarea izentalpei procesului. Fenomenul de laminare este un fenomen deosebit de complex. Pentru a-l putea

explica s-a ales un gaz real, metanul, pentru care - prin metode numerice - s-au determinat şi s-au trasat câteva grupe reprezentative de curbe izentalpe, astfel încât să se evidenţieze cât mai bine toate particularităţile acestui fenomen.

Gaze reale 128

Comportarea gazelor reale în timpul procesului de laminare este asemănătoare comportamentului gazului metan, deci concluziile care se vor desprinde din analiza metanului rămân valabile pentru oricare alt gaz real.

În figura 4.19 sunt reprezentate mai multe curbe izentalpe, presiunile corespunzătoare fiind indicate în tabelul T 4.1.

Fig.4.19

Tabelul T4.1

Nr. curbă Presiunea iniţială [MPa] Presiunea finală [MPa] 1 100 0,1 2 80 0,1 3 60 0,1 4 40 0,1 5 20 0,1 6 10 0,1 7 5 0,1

Toate cele şapte curbe pornesc de la acelaşi punct de temperatură (313 K), au presiuni de început de laminare diferite, dar se termină pe aceeaşi izobară. Privind cu atenţie curba 1, se constată că aceasta are presiunea de început a procesului la 100 MPa


(1000 bar). În prima parte curba are o porţiune ascendentă, ceea ce arată că pe această porţiune temperatura creşte, deci efectul Joule-Thomson este negativ. În punctul maxim al curbei efectul Joule-Thomson se inversează, cu alte cuvinte scăderea presiunii implică scăderea temperaturii. Acest punct poartă denumirea de punct de inversiune. După depăşirea punctului de inversiune, scăderea de temperatură nu este uniformă. Se constată că există o porţiune abruptă, care reflectă o scădere accentuată a temperaturii, urmată apoi de o porţiune care tinde să se orizontalizeze, în care scăderea de temperatură este redusă. Din diagramă se observă că pentru toate curbele care au o presiune de laminare peste aproximativ 2/3 din presiunea critică, panta curbei se reduce foarte mult. Acest fapt arată că, pe porţiunea respectivă, efectul Joule-Thomson este redus. Dacă se revine în porţiunea presiunilor ridicate, se observă că pentru curbele 1, 2 şi 3 există, în prima parte, un efect Joule-Thomson negativ, pentru care laminarea se face cu creştere de temperatură. Toate aceste curbe prezintă un maxim, deci un punct de inversiune al efectului. Începând de la curba numărul 4, punctul de maxim dispare. Curbele de laminare prezintă doar o porţiune descrescătoare, deci laminările se fac cu efect Joule-Thomson pozitiv.

Fig. 4.20

Pentru a analiza zona punctelor de inversiune s-a extins analiza, rezultatele fiind prezentate în figura 4.20.

Gaze reale 130

În tabelul T4.2 sunt disponibile datele pentru o parte dintre parametrii curbelor

izentalpe corespunzătoare metanului, care pornesc de la presiunea de 100 MPa şi se termină pe izobara de 0,1 MPa. Tabelul T4.2

Coordonatele punctului de inversiuneNr. curbă p1 [MPa] t1 [°C] p2 [MPa] h [kJ/kg] t [°C] p [MPa] s [kJ/kg/K]

1 100 200 0,1 990,81 210 54,59 8,858 2 100 150 0,1 828,15 3 100 100 0,1 670,78 107 47,33 8,6 4 100 40 0,1 487,38 5 100 0 0,1 367,2 18 46,7 7,75 6 100 -40 0,1 247,52 7 100 -80 0,1 127 -53,7 31,5 6,7 8 100 -100 0,1 66,7 -70 33,31 6,6 9 100 -120 0,1 6,27 -86,5 24,8 6,5

Se observă cu uşurinţă că toate aceste curbe prezintă, în prima parte, o porţiune

crescătoare (în care efectul Joule-Thomson este negativ), au un maxim (în care efectul Joule-Thomson se inversează), după care urmează o zonă în care efectul Joule-Thomson este pozitiv. Punctele în care efectul Joule-Thomson se inversează, se aşează pe o curbă denumită curbă de inversiune. Efectul Joule-Thomson pozitiv are cea mai mare intensitate - caracterizată prin scăderi importante de temperatură - în porţiunea cuprinsă între punctul de inversiune şi până la un punct a cărui presiune este mai mică decât presiunea critică şi egală, ca valoare, cu aproximativ (2/3)pc. Această observaţie este valabilă numai pentru exteriorul zonei de schimbare de fază. Se observă că izentalpele din domeniul lichid-vapori prezintă un efect Joule-Thomson pozitiv, intens, caracterizat prin variaţii mari ale temperaturii în timpul procesului. Acest fapt explică utilizarea laminărilor în domeniul schimbării de fază, pentru maşinile frigorifice şi pentru lichefierea gazelor.

Calculul procesului de laminare constă în determinarea temperaturii finale, cunoscând datele iniţiale şi presiunea finală, sau în determinarea presiunii finale care să asigure o anumită scădere a temperaturii.

Integrarea coeficientului Joule-Thomson pentru rezolvarea problemei se dovedeşte a fi un proces dificil, în majoritatea cazurilor folosindu-se metode numerice de calcul.

O metodă practică, eficientă, pentru calcularea proceselor de laminare o constituie utilizarea programelor informatice specializate. În cele ce urmează, vor fi prezentate două aplicaţii numerice, pentru rezolvarea cărora vor fi utilizate aplicaţiile software MetanTS şi DiagrameTS.

Exemplu E 4.10

Să se calculeze temperatura finală pentru laminarea metanului de la presiunea de 7 MPa şi temperatura de 273 K, până la presiunea de 0,1 MPa.


Soluţie: Pentru rezolvarea problemei se utilizează programul MetanTS. Rezultatele sunt prezentate în tabelul T4.3 şi figura 4.21. Tabelul T4.3

Nr. punct p [Mpa] T [K] v [m3/kg] h [kJ/kg] s [kJ/kg/K] 1 7 273 0,017882 482,13 8,9974 2 0,1 232,92 1,20307 482,13 11,0802

Fig. 4.21

Exemplu E 4.11 O cantitate de n-butan este laminată de la starea de lichid saturat, la presiunea de 2,5 MPa, până la o presiune de 0,1 MPa. Să se determine temperatura finală şi titlul amestecului lichid-vapori rezultat. Soluţie: Pentru rezolvare se utilizează programul DiagrameTS. Mărimile de stare ale celor două puncte, 1 şi 2, din figura 4.22, sunt prezentate în tabelul T4.4. Tabelul T4.4

Nr. punct p [Mpa] T [K] v [m3/kg] h [kJ/kg] s [kJ/kg/K] Titlul 1 2,5 400,15 0,002585 257,13 4,8109 0 2 0,1 273,63 0,327831 257,13 5 0,912

Gaze reale 132

Fig. 4.22

4.7 Amestecuri de gaze reale

Gazele reale, cu care se lucrează în practică, au un comportament diferit faţă de gazele perfecte şi - de cele mai multe ori - se prezintă sub forma unor amestecuri. Pentru a putea trata comportarea amestecurilor de gaze reale este nevoie, pe lângă mărimile definite în cazul amestecurile de gaze prefecte, de alte noţiuni şi mărimi noi. Pentru început vor fi prezentate, pe scurt, principalele noţiuni şi mărimi utilizate pentru descrierea amestecurilor de gaze perfecte.

4.7.1 Noţiuni generale

După cum s-a arătat anterior, un gaz real pur se poate afla în diferite stări de agregare (lichidă sau gazoasă), în funcţie de parametrii termodinamici (presiune, temperatură, volum). În mod similar, într-un amestec de gaze reale componenţii se pot găsi atât în fază gazoasă (sub formă de vapori), cât şi în fază lichidă.

Pentru a defini amestecul, este necesară introducerea de notaţii suplimentare. Se defineşte zi ca fiind fracţia molară (sau volumică) a componentului „i” din amestec.


Pentru faza vapori se defineşte yi ca fiind fracţia molară (sau volumică) a componentului „i” din amestec. Pentru faza lichidă se defineşte xi ca fiind fracţia molară (sau volumică) a componentului „i” din amestec.

Notând cu F numărul fazelor din sistem, cu C numărul componenţilor şi cu G numărul gradelor de libertate, conform legii fazelor (stabilită de Gibs) există relaţia: 2FCG +−= (4.148)

Prin grade de libertate se înţelege numărul de parametri termodinamici

independenţi (p,v,T) care pot fi schimbaţi arbitrar, fără a schimba numărul de faze. În cazul unui sistem format dintr-un singur component şi două faze (lichid,

vapori), relaţia (4.148) devine: 1221G =+−= (4.149)

Fig. 4.23.

Se observă că în cazul unui sistem monocomponent (cazul substanţelor pure) numărul de grade de libertate este 1. Practic, procesul de schimbare de fază poate fi definit de un singur parametru. În cazul unui component pur, procesul de schimbare de fază este izobar-izoterm.

Pentru un amestec de gaze reale care poate avea două faze şi „n” componenţi, numărul de grade de libertate este:

n22nG =+−= (4.150)

Dacă sistemul are numai doi componenţi, rezultă că procesul de schimbare de fază poate fi definit de doi parametri independenţi (se pot alege, de exemplu, presiunea şi temperatura). Astfel, pentru un amestec binar (alcătuit din doi componenţi), în timpul procesului de schimbare de fază variază atât presiunea, cât şi temperatura (faţă de sistemul monocomponent, în care aceste mărimi nu variază). Dacă există „n” componenţi, pentru a defini schimbarea de fază, pe lângă cei doi parametri consideraţi anterior mai trebuie alese „n-2” concentraţii.

VAPORI

- y1 - y2 - y3

LICHID

- x1 - x2 - x3

- z1 - z2 - z3

AMESTEC

Gaze reale 134

4.7.2 Analiza echilibrului lichid-vapori pentru un amestec de gaze reale

După cum s-a arătat anterior, un amestec de gaze reale poate să aibă o singură

fază (vapori sau lichid) sau să conţină ambele faze (în funcţie de parametrii termodinamici ai acestuia). Problemele care apar sunt legate de precizarea condiţiilor termodinamice în care amestecul de gaze reale are o singură fază sau ambele faze, precum şi de modul în care se face trecerea de la o fază la alta. Clarificarea acestor probleme este esenţială pentru a înţelege comportamentul amestecurilor de gaze reale, cât şi pentru a aplica corect relaţiile care vor fi descrise în acest capitol.

Pentru a uşura înţelegerea acestor probleme se va începe analiza cu amestecuri compuse din doi componenţi, numite amestecuri binare.

4.7.2.1 Analiza echilibrului izoterm lichid-vapori pentru un amestec binar

Un sistem binar are două grade de libertate, deci comportarea lui poate fi

descrisă cu ajutorul a doi parametri. Pentru început, vor fi aleşi ca parametri presiunea şi concentraţia unuia dintre componenţi, menţinând constantă temperatura. Pentru exemplificare a fost ales un amestec de propan şi n-pentan aflat la temperatura de 323 K, cu compoziţia z1 = 0,4 şi z2 = 0,6 (s-a notat cu indicele 1 propanul şi cu indicele 2 n-pentanul).

Fig. 4.24


În tabelul T4.5 sunt prezentate valorile numerice ale presiunii şi fracţiilor molare

(volumice) ale punctelor marcate din diagrama izotermă de echilibru binar (fig. 4.24). În diagramă se remarcă existenţa a două curbe importante: curba punctelor de

fierbere şi curba punctelor de rouă. Toate stările amestecului considerat, care au ca reprezentare în diagramă puncte care se găsesc deasupra curbei punctelor de fierbere, reprezintă faza lichidă.

Tabelul T 4.5

propan n-pentan lichid vapori lichid vapori

p [MPa] punctul x1 y1 x2 y2 fracţia vaporizată

0,236468 6 0,06966376 0,40009105 0,93033624 0,59990895 0,99972445 0,3 5 0,11817371 0,53862659 0,88182629 0,46137341 0,67029220 0,4 4 0,19306595 0,66829929 0,80693405 0,33170071 0,43543673 0,5 3 0,26607269 0,74873456 0,73392731 0,25126544 0,27747647 0,6 2 0,33733645 0,80197926 0,66266355 0,19802074 0,13486391

0,689868 1 0,39999991 0,83606660 0,60000009 0,16393340 0,00000021

Cu alte cuvinte, la temperatura de 323 K, amestecul de hidrocarburi format din 0,4 propan şi 0,6 n-pentan, aflat la o presiune mai mare de 0,68 MPa, este în fază lichidă. Aceste stări sunt reprezentate de toate punctele care se găsesc pe dreapta de ecuaţie x = 0,4, situate deasupra punctului 1’.

Micşorând presiunea, există o valoare a acesteia, egală cu 0,689868 MPa (punctul 1 din tabelul T 4.5), la care apare prima bulă de vapori. Acest punct se numeşte punct de fierbere şi este notat cu 1’ pe diagrama din figura 4.24. Se observă că acest punct este definit de presiune şi compoziţie. Pentru alte compoziţii, amestecul format de propan şi n-pentan are alte puncte de fierbere. Toate acestea formează curba punctelor de fierbere. La extremităţi, când unul dintre componenţi are participaţia zero, punctele respective reprezintă chiar presiunea de saturaţie a celuilalt component, la temperatura respectivă.

Revenind la amestecul considerat, se urmăresc punctele care reprezintă stările amestecului la scăderea presiunii: 1’, 2, 3, 4, 5, 6”.

În starea reprezentată de punctul 6”, la presiunea de 0,236468 MPa, ultima picătură de lichid s-a evaporat, astfel că întreg amestecul este alcătuit din vapori. Acest punct reprezintă punctul de rouă al amestecului (dacă se priveşte procesul invers, în sensul creşterii presiunii, în acest punct apare prima picătură de lichid). Totalitatea punctelor de rouă pentru diferite concentraţii determină curba punctelor de rouă.

Toate punctele aflate pe dreapta de ecuaţie x = 0,4, situate sub punctul 6”, reprezintă starea monofazică de vapori a amestecului.

Se face analiza unei stări intermediare, spre exemplu starea reprezentată de punctul 3. Aici, amestecul de propan şi n-pentan, cu concentraţia z1 = 0,4 şi z2 = 0,6, are două faze:

- faza lichidă, compusă din x1 = 0,26607269 propan şi x2 = 0,73392731 n-pentan. În diagramă, acest punct este notat 3’. Pe axa de jos se citeşte x1 (fracţia de propan în fază lichidă), iar la partea superioară a graficului se citeşte x2 (fracţia de n-pentan în fază lichidă);

Gaze reale 136

- faza vapori, compusă din y1 = 0,74873456 propan si y2 = 0,25126544 n-pentan. În diagramă, acest punct este notat 3”. Pe axa de jos se citeşte y1 (participaţia propanului în faza vapori), iar în partea de sus a graficului se citeşte y2 (participaţia n-pentanului în faza vapori).

După cum se observă, în punctul 3 amestecul considerat are două faze, în care sunt repartizaţi ambii componenţi, conform participaţiilor prezentate mai sus. Dacă se notează cu Fv fracţia vaporizată din amestec, corespunzătoare punctului 3, se poate scrie relaţia:

11

11

xyxzFv

−−

= (4.151)

Cu datele punctului 3 din tabelul T 4.5, fracţia vaporizată este:

26607269,026607269,074873456,0

26607269,04,0Fv3 =−

−=

Fracţia vaporizată permite determinarea cantităţilor de substanţă corespunzătoare

fiecărui component, în fiecare fază. Acest fapt va fi arătat printr-un exemplu.

Exemplul E 4.12 Se consideră că există o cantitate de 1 kg de amestec propan 0,4 şi n-pentan 0,6, aflată la temperatura de 323 K şi presiunea de 0,5 MPa. Să se determine cantităţile masice ale componenţilor, pe fiecare fază. Soluţie: Se observă că punctul corespunzător amestecului este chiar punctul 3 din diagrama din figura 4.24. Fracţia vaporizată, în acest caz, este Fv3 = 0,26607269. Rezultă:

- masa moleculară a amestecului: M = 0,4*44+0,6*72=60,8 kg/kmol; - numărul de kilomoli ai amestecului: N = 1 kg/M = 0,01644737 kmol;

- numărul de moli ai fazei lichide: L = N*(1-Fv3) = 0,01207117 kmol; - numărul de moli ai fazei vapori: V = N*Fv3 = 0,00437620 kmol; - masa de propan în faza lichid: m1l = L*x1*MPropan = 0,14131962 kg; - masa de propan în faza vapori: m1v = V*y1*MPropan = 0,14417079 kg; - masa de n-pentan în faza lichid: m2l = L*x2*MnPentan = 0,63787417 kg; - masa de n-pentan în faza vapori: m2v = V*y2*MnPentan = 0,07917024 kg.

Ca verificare, se poate face suma maselor tuturor componenţilor, pe toate fazele. Se obţine valoarea de 1,002 kg, rezultat care trebuie comparat cu cantitatea din enunţ, de 1 kg.

Se observă că fracţia vaporizată pentru punctul 1’ este zero, iar pentru punctul 6” este unu. Punctul 1’ reprezintă începutul procesului de vaporizare (aici amestecul are o singură fază, faza lichidă), iar punctul 6” reprezintă sfârşitul procesului de vaporizare (amestecul are o singură fază, faza vapori).

Punctele cuprinse între curba punctelor de fierbere şi curba punctelor de rouă reprezintă un amestec bifazic lichid-vapori. Această zonă se mai numeşte şi lentila de echilibru lichid-vapori.

Din cele prezentate până acum se poate concluziona că procesul de transformare de fază pentru un amestec de gaze reale diferă de procesul similar pentru substanţe pure (pentru un gaz real). În timpul procesului de schimbare de fază variază doi parametri (pentru cazul amestecurilor binare) şi „n” parametri pentru un amestec cu „n” componenţi.


Fig. 4.25.

Din analiza diagramei din figura 4.24 se deduce un criteriu deosebit de important pentru caracterizarea amestecurilor de gaze reale. Se constată că pentru o anumită temperatură, amestecul prezintă două presiuni caracteristice: presiunea punctului de fierbere (în exemplul de mai sus, presiunea punctului 1’) şi presiunea punctului de rouă (în exemplu este presiunea punctului 6”). Dacă se cunosc aceste valori, se poate deduce în ce regiune se încadrează amestecul, deci se poate şti câte faze are amestecul şi care sunt acestea.

În figura 4.25 se prezintă încadrarea amestecului ales pentru presiunea punctului 3 (figura 4.24 şi tabelul T 4.5), care este de 0,5 MPa.

Orice amestec de gaze reale are cele două presiuni caracteristice, presiunea punctului de fierbere (pf) şi presiunea punctului de rouă (pr). În funcţie de presiunea amestecului (pa), pot exista următoarele situaţii: - ra pp ≤ : amestecul este omogen, are o singură fază (vapori), fiind un amestec de gaze reale. Toţi componenţii sunt în faza gazoasă; - far ppp << : amestecul este neomogen, are două faze (vapori şi lichid), componenţii fiind repartizaţi pe cele două faze; - af pp ≤ : amestecul este omogen, are o singură fază (lichid), fiind - practic - o soluţie; toţi componenţii amestecului sunt în fază lichidă.

4.7.2.2 Analiza echilibrului izobar lichid-vapori pentru un amestec binar

Se va analiza acum acelaşi amestec, cu compoziţia molară propan 0,4 şi n-pentan 0,6, dar menţinând presiunea constantă, la valoarea de 0,5 MPa, şi studiind echilibrul lichid-vapori în funcţie de temperatură şi concentraţie. Se face menţiunea că notarea punctelor din figura 4.26 şi tabelul T 4.6 nu are nici o legătură cu notaţiile punctelor din figura 4.24 şi tabelul T 4.5.

În figura 4.26 este prezentată diagrama izobară de echilibru lichid-vapori pentru amestecul considerat, iar în tabelul T 4.6 sunt prezentate câteva puncte aparţinând dreptei de concentraţie x1 = 0,4.

Punctele din partea stânga, din josul figurii 4.26, reprezintă starea lichidă. Punctul 1’ din diagramă reprezintă, pentru amestecul ales, momentul când apare prima bulă de vapori, deci începutul procesului de vaporizare, la presiunea respectivă, pentru amestecul cu compoziţia Propan 0,4 şi nPentan 0,6.

Gaze reale 138

Tabelul T 4.6

propan n-pentan lichid vapori lichid vapori

T [K] punctul x1 y1 x2 y2 fracţia vaporizată

309,15 1’ 0,39965539 0,86230300 0,60034461 0,13769700 0,00074487 316 2 0,32850086 0,81124905 0,67149914 0,18875095 0,14810856 323 3 0,26653421 0,74824610 0,73346579 0,25175390 0,27706560 330 4 0,21216512 0,67412497 0,78783488 0,32587503 0,40660434 335 5 0,17679789 0,61120706 0,82320211 0,38879294 0,51380616 342 6 0,13217607 0,50970924 0,86782393 0,49029076 0,70940504

348,7 7” 0,09327994 0,39983810 0,90672006 0,60016190 1,00052830

Temperatura punctului care reprezintă începutul vaporizării amestecului este de 309,15 K, aşa cum rezultă din tabelul T 4.6. Acest punct reprezintă punctul de fierbere al amestecului. Pentru diferite compoziţii există diferite puncte de fierbere, ele aşezându-se pe o curbă numită curba punctelor de fierbere.

Fig. 4.26. Pe măsură ce creşte temperatura, stările amestecului ales evoluează prin punctele

2, 3, 4, 5, 6 şi 7”. În punctul 1’ întregul amestec se află în fază lichidă şi fracţia vaporizată este nulă. Pentru celelalte puncte, fracţia vaporizată, descrisă de relaţia


(4.151), este diferită de zero. Ea creşte până în punctul 7”, când devine egală cu unu, deci întregul amestec este în fază vapori. Acest punct se numeşte punctul de rouă al amestecului şi reprezintă momentul sfârşitului procesului de vaporizare. Toate punctele de rouă ale amestecului formează curba punctelor de rouă.

Stările amestecului, reprezentate prin puncte care se află deasupra curbei punctelor de rouă, constituie starea vapori.

Spaţiul cuprins între cele două curbe, numit lentila de echilibru, reprezintă domeniul în care amestecul are două faze în echilibru, lichid şi vapori.

Pentru a vizualiza modul de schimbare de fază pentru amestecul propus, în condiţii izobare, având o compoziţie fixată şi temperatură variabilă, se reprezintă fracţia vaporizată în funcţie de temperatură.

Rezultă o curbă numită curba de vaporizare în echilibru, care este prezentată în figura 4.27. Curba reprezintă procesul de vaporizare a amestecului în condiţii de presiune constantă. Comparativ cu substanţele pure, se observă că temperatura variază pe durata vaporizării.

305

310

315

320

325

330

335

340

345

350

355

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

% vaporizat

T [K

]

Fig. 4.27

4.7.2.3 Calculul echilibrului lichid-vapori pentru

un amestec multicomponent

Amestecurile a căror presiune pa îndeplineşte condiţia: far ppp << (4.152) au două faze în echilibru: vapori şi lichid. Ecuaţia de bilanţ masic se scrie:

∑=

=n

1iiNN (4.153)

Gaze reale 140

iii LxVyN += (4.154)

În relaţiile de mai sus s-au utilizat notaţiile: N – numărul de kilomoli ai amestecului, Ni – numărul de kilomoli ai componentului „i”, V – numărul de kilomoli ai fazei vapori, L – numărul de kilomoli ai fazei lichide.

O altă condiţie importantă o constituie verificarea compoziţiilor pentru amestec şi pe fiecare fază:

1yxzn

1ii

n

1ii

n

1ii === ∑∑∑

===

(4.155)

Condiţiile de echilibru lichid-vapori se aplică pentru fiecare component în

parte şi se definesc prin egalitatea fugacităţilor fazelor lichide şi vapori:

Li

Vi ff = (4.156)

Pentru fiecare component se defineşte constanta de echilibru:

i

ii x

yK = (4.157)

La determinarea constantelor de echilibru se calculează fugacitatea

componentului „i”, în faza lichidă şi în faza vapori, în funcţie de fugacitatea componentului în stare pură: i

V*i

Vi yff = (4.158)

i

L*i

Li xff = (4.159)

Prin simbolul * s-a notat fugacitatea componentului în stare pură. Ţinând cont de

relaţia (4.159), se obţine expresia pentru constanta de echilibru a componentului „i”:

V*i

L*i

i

ii f

fxy

K == (4.160)

Exemplele care urmează au fost calculate cu programul Epsilon în care, pentru

calculul constantelor de echilibru, s-a utilizat expresia (4.160). În această ecuaţie au fost introduse valorile fugacităţilor pentru componenţii aflaţi în stare pură, calculate cu programul Z, realizat pe baza ecuaţiei Lee-Keseler.

Pentru determinarea constantelor de echilibru se mai pot utiliza diagrame, prezentate în lucrările [20] şi [22], sau relaţii analitice care se bazează pe diverse ecuaţii de stare.

În continuare va fi prezentată, conform [26], o relaţie de calcul bazată pe ecuaţia de stare cu viriali:


( )( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

RTppBv

expp

pK

sii

L*i

Siid

i (4.161)

În expresia de mai sus Bi reprezintă coeficientul termenului al doilea din ecuaţia

cu viriali (2.18), calculat pentru componentul „i” din corelaţia lui Pitzer, expresiile (2.33), (2.34) şi (2.35). Indicele „s” se referă la starea de saturaţie, iar vi

*L reprezintă volumul specific al fazei lichide corespunzătoare componentului respectiv.

Exemplul E 4.13

Să se determine constanta de echilibru pentru n-hexan, aflat la presiunea de 0,15 MPa şi temperatura de 340 K, utilizând relaţia (4.156). Soluţie: Coordonatele critice pentru n-hexan sunt: pc=3,16, Tc=433,8, ω=0,195. Temperatura redusă este:

7837713,08,433

340Tr ==

Se calculează termenul B al ecuaţiei cu viriali din corelaţiile lui Pitzer:

5271334,0783,00121,0783,01385,0783,033,01445,0RTBp 321

)0(

c

c −=⋅−⋅−⋅−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−

( )

4067623,0

783,00073,0783,0097,0783,05,0783,046,0073,0RTBp 8321

1

c

c

−=

=⋅−⋅−⋅−⋅+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−−

606452059,04067623,0195,05271334,0RTBp

c

c −=⋅−−=

kg/m340080484177,006E0.116,3

8,43386

8314

606452069,0B 3−=⋅

−=

Presiunea de saturaţie se poate determina cu relaţia (4.37). În acest exemplu, determinarea s-a făcut cu ajutorul programului Z. Tot cu acest program s-a determinat şi volumul fazei lichide: ps = 0,52789 MPa, vi

*L = 0,0059298. Cu aceste valori se poate determina constanta de echilibru:

( )( )( )

9968275,2

34086

821406E0.152789,015,040080484177,00059298,0exp

15,052789,0K id

i

=

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛+⋅−−−

=

Gaze reale 142

4.7.2.4 Calculul compoziţiei amestecului în cazul vaporizării parţiale

Dacă amestecul de gaze reale are o sigură fază, vapori sau lichid, atunci

compoziţia fazei respective coincide cu compoziţia amestecului. Dacă presiunea amestecului se încadrează între presiunea punctului de rouă şi presiunea punctului de fierbere, atunci amestecul este neomogen. El are două faze, lichid şi vapori. În aceste condiţii, se poate spune că amestecul respectiv este parţial vaporizat. Pentru a determina proprietăţile amestecului, în acest caz, trebuie să se cunoască cantitatea din fiecare fază şi compoziţia acesteia.

Condiţia pe care trebuie să o îndeplinească amestecul pentru ca acesta să aibă două faze în echilibru este: fr ppp << , unde cu p s-a notat presiunea amestecului.

Calculele se desfăşoară după următorul algoritm: I. se calculează constantele de echilibru Ki, pentru toţi componenţii

amestecului, la presiunea şi temperatura amestecului; II. se scrie ecuaţia de bilanţ material pentru componentul „i”, în care s-a notat

cu Fi numărul de kilomoli ai componentului, iar cu L şi V numărul de kilomoli ai fazei lichide şi respectiv ai fazei vapori:

iii FVyLx =+ (4.162) Introducând relaţia de echilibru lichid-vapori:

iii xKy = (4.163)

în ecuaţia (4.162), rezultă pentru componentul „i” relaţia:

i

ii VKL

Fx

+= (4.164)

Însumând ecuaţia componentului „i” pentru toţi componenţii amestecului,

rezultă:

1VKL

Fx

n

1i i

in

1ii =

+= ∑∑

==

(4.165)

III. Se rezolvă numeric ecuaţia (4.165). Ca necunoscută se poate alege numărul

de kilomoli din faza lichidă L, sau vapori V. În urma rezolvării ecuaţiei (4.165) rezultă numărul de kilomoli din faza lichidă sau numărul de kilomoli din faza vapori, iar din ecuaţiile (4.164) şi (4.163) se calculează compoziţia fazei lichide şi compoziţia fazei vapori.

4.7.2.5 Determinarea limitelor de încadrare al amestecului Limitele de încadrare ale amestecului sunt reprezentate de presiunea punctului de rouă şi de presiunea punctului de fierbere. Poziţia presiunii amestecului faţă de aceste limite determină numărul de faze al acestuia.


Se notează cu xS şi yS şi se definesc astfel următoarele mărimi:

i

n

1i

i

Ky

Sy ∑=

= (4.166)

i

n

1ii KxSx ∑

=

= (4.167)

Conform [27], în funcţie de valorile acestor mărimi sunt valabile următoarele reguli:

- dacă Sy>1 şi Sx>1, atunci amestecul are două faze: lichid şi vapori; - dacă Sy<1, atunci amestecul are o singură fază: vapori; - dacă Sx<1, atunci amestecul are o singură fază: lichid. Presiunea punctului de rouă se determină ca soluţie a ecuaţiei:

01S y =− (4.168)

Presiunea punctului de fierbere este soluţia ecuaţiei: 01Sx =− (4.169)

4.7.3 Determinarea parametrilor termodinamici ai amestecurilor de gaze reale

4.7.3.1 Determinarea volumului specific al amestecului de gaze reale

Pentru calcularea volumului specific al amestecului de gaze reale este necesar să se ţină seama de domeniul în care se încadrează amestecul, adică dacă se face referire la un amestec monofazic (compus din vapori sau lichid) sau la un amestec bifazic. Calculele se desfăşoară diferit, în funcţie de încadrarea amestecului.

Amestecul monofazic având numai fază vapori, trebuie să îndeplinească următoarea condiţie termodinamică: la temperatura amestecului, presiunea acestuia trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu presiunea punctului de rouă (p<pr).

Pentru calculul volumului specific se pot utiliza mai multe metode. Cea mai simplă metodă de calcul, dar şi cea mai puţin precisă, este dată de

utilizarea regulii lui Kay, prin care amestecul de gaze reale este redus la un gaz fictiv pur, cu coordonatele critice pseudoreduse definite astfel:

ci

n

1:iipc TyT ∑

=

= (4.170)

ci

n

1iipc pyp ∑

=

= (4.171)

Gaze reale 144

Pe baza lor se determină parametrii pseudoreduşi, factorul de compresibilitate al

amestecului şi volumul specific, folosind cu relaţiile:

pcpr T

TT = pc

pr pp

p = ( )

pRTT,pZ

v prpr= (4.172)

Pentru a se obţine rezultate bune, este necesară utilizarea unei ecuaţii de stare

care să asigure o precizie satisfăcătoare. Pentru descrierea fazei vapori a amestecurilor de gaze reale se poate utiliza ecuaţia lui Redlich Kwong.

5,2rc

a5,222

Tp1

TRaA Ω== ;

rcb Tp

1RTbB Ω=

BpZ

BpBA

BpZZZ

2

+−

−= (4.112)

Pentru un amestec de gaze, coeficienţii A şi B se determină cu relaţiile:

∑=

=n

1iiii AyA ; ii

n

1ii ByB ∑

=

= (4.173)

Factorul de compresibilitate Z se obţine prin rezolvarea ecuaţiei de stare Redlich

Kwong, pentru un amestec de gaze reale (4.112). Amestecul bifazic vapori şi lichid necesită calculul fracţiei vaporizate Fv. Este

necesară cunoaşterea compoziţiei ambelor faze, iar calculul se face separat, pentru fiecare dintre ele. Pentru faza vapori se aplică una dintre metodele prezentate mai sus şi se determină volumul specific al fazei respective (vv). Spre exemplu, se determină vZ din ecuaţia (4.112), apoi volumul specific, cu relaţia:

p

RTZv vv = (4.174)

Pentru faza lichidă a amestecului se aplică relaţia (4.175) pentru determinarea

factorului de compresibilitate al fazei respective, iar apoi se calculează volumul vl:

i

n

1iil ZxZ ∑

=

= (4.175)

p

RTZv ll = (4.176)

Pentru calculul volumului specific al amestecului se aplică relaţia:

( ) lv vFv1vFvv ⋅−+⋅= (4.177)


La presiunea şi temperatura amestecului, anumiţi componenţi pot să se afle în

stare lichidă cu toate că, în stare pură, în aceleaşi condiţii, ei ar trebui să fie în faza de vapori. În aceste cazuri, conform [26], se recomandă să se folosească valorile la saturaţie ale componentului, pentru faza corespunzătoare.

4.7.3.2 Programe pentru amestecuri de gaze reale Pentru determinarea limitelor de încadrare ale amestecului, calculul de echilibru

lichid-vapori, a parametrilor de stare ai amestecurilor sau a altor mărimi termodinamice sunt laborioase, iar de multe ori ecuaţiile trebuie rezolvare prin metode numerice. Din această cauză s-au realizat programe performante, ce permit utilizatorului obţinerea rapidă a rezultatelor.

Programul EPSILON este dedicat rezolvării problemelor legate de gaze reale, având o interfaţă prietenoasă, uşor de utilizat. Programul pune la dispoziţia utilizatorului două baze de date în care sunt stocate valorile proprietăţilor termodinamice a mai mult de 70 de substanţe.

Exemplul E 4.14 Pentru amestecul de gaze cu compoziţia din tabelul de mai jos, la presiunea de 0,5 MPa şi temperatura de 303K să se determine fracţia vaporizată si volumul specific.

Nr. component Denumire Compoziţie zi

1 2 3 4 5

Etan C2H6 Propan C3H8 izoButan C4H10 nButan C4H10 nPentan C5H12

0,04 0,38 0,08 0,44 0,06

Soluţie: Introducând datele în programul Epsilon obţinem:

Gaze reale 146

Exemplul E 4.15

Să se determine volumul specific şi abaterile entropiei şi a entalpiei, la presiunea de 2,5 MPa şi temperatura de 244 K, pentru gazele naturale cu compoziţia din tabelul următor:

Component Compoziţie (zi) C1

CO2 C2 C3 iC4 nC4 iC5 nC5 C6 C7

0,9010 0,0106 0,0499 0,0187 0,0065 0,0045 0,0017 0,0019 0,0029 0,0023

Soluţie: Calculele, efectuate cu ajutorul programului Epsilon, arată că presiunea punctului de rouă este pr = 2,5432 MPa. Gazele naturale îndeplinesc condiţia p<pr, deci amestecul este omogen, având o singură fază (vapori). Rezultatele calculelor sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Nr. component yi M A2 B AH AS 1 0,9010 16 0,049997 0,014711 0,371192 0,204515 2 0,0106 44 0,100444 0,014642 0,469584 0,425502 3 0,0499 30 0,155441 0,022514 0,462383 0,412508 4 0,0187 44 0,288499 0,031360 0,142712 0,147663 5 0,0065 58 0,429591 0,040280 0,058440 0,068404 6 0,0045 58 0,456976 0,040289 0,043114 0,051231 7 0,0017 72 0,625941 0,048980 0,020100 0,024967 8 0,0019 72 0,659656 0,050109 0,013143 0,016630 9 0,0029 74 0,570135 0,048779 0,038701 0,046303

10 0,0023 86 0,909808 0,061534 0,004222 0,006059 1,0000 18,5118 0,070176 0,016024 0,365918 0,213022

Cu valorile coeficienţilor A2 şi B din ecuaţia (4.112), rezultă: Z = 0,85279840 V = 0,03738157 m3/kg Abaterile entropiei (AS) şi entalpiei (AH) amestecului faţă de starea de gaz perfect se pot citi direct din tabelul de mai sus, pe ultima linie a coloanelor respective.


5. Termodinamica arderii O mare parte din energia folosită în societate este produsă prin transformarea căldurii în energie mecanică, care este utilizată ca atare la tracţiune sau transformată în energie electrică pentru a putea fi uşor transportată şi folosită acolo unde este nevoie. Energia termică, în tehnică, este produsă prin arderea unor substanţe speciale numite combustibili, în prezenţa aerului.

Arderea este o reacţie chimică de oxidare. Deoarece scopul final este obţinerea de căldură, în cantitate cât mai mare, se utilizează drept combustibili substanţe a căror reacţie cu oxigenul este exotermă. Pe lângă această calitate, combustibilii trebuie să se găsească relativ uşor şi din abundenţă în natură, costul de exploatare să fie scăzut, iar prin ardere să nu producă substanţe poluante.

Cei mai utilizaţi combustibili sunt cărbunii, gazele naturale şi derivatele ţiţeiului, benzine, motorine, kerosen, păcură.

5.1 Procesul de ardere

Procesele de ardere constau în reacţii de oxidare a elementelor constituente ale combustibilului capabile să reacţioneze cu oxigenul; ele sunt reprezentate prin reacţii chimice. Să considerăm procesul de ardere al carbonului. Acesta poate fi prezentat prin următoarea reacţie chimică:

22 COOC →+ (5.1) 2O,C - se numesc reactanţi 2CO - se numeşte produs de ardere

Din punct de vedere al conservării masei, relaţia (5.1) se verifică, adică suma maselor reactanţilor este egală cu suma maselor produselor de ardere, dacă exprimăm cantităţile de substanţă în kilomoli. Astfel, considerând în relaţia (5.1) că un kilomol de carbon reacţionează cu un kilomol de oxigen, rezultând un kilomol de bioxid de carbon, acest lucru înseamnă că 12 kilograme de carbon reacţionează cu 32 kilograme de oxigen, formând 44 kilograme de bioxid de carbon. Dacă adunăm masele reactanţilor, observăm că sunt egale cu masa produsului de ardere. Să analizăm, în continuarea, reacţia de arderea a metanului:

OH2COO2CH 2224 +→+ (5.2) Remarcăm că cele două elemente ce compun metanul reacţionează cu oxigenul, formând bioxid de carbon şi apă. Pentru arderi, în tehnică se utilizează aer. Dacă considerăm compoziţia tehnică a aerului ca fiind 21% O2 şi 79% N2, atunci pentru fiecare kilomol de oxigen va intra în reacţie şi 79/21 = 3,76 kilomoli de azot. Acesta nu participă la reacţie, aşa că îl vom regăsi integral în produsele de ardere. Reacţia de ardere a metanului, pentru cazul când se consideră că aceasta are lor în prezenţa aerului, este:

Termodinamica arderii 148

( ) ( ) 222224 N76,32OH2CON76,32O2CH ++→++ (5.3) Din relaţia (5.3) se poate deduce cantitatea de aer necesară arderii. Astfel, pentru un kilomol de metan sunt necesari 2(1O2+3,76N2) = 9,52 kilomoli de aer. Dacă avem în vedere că un kilomol de metan conţine 16 kilograme, rezultă că pentru un kilogram de metan avem nevoie de 9,52 / 16 = 0,595 kilomol de aer. Observăm că atât carbonul, cât şi hidrogenul, s-au oxidat complet, iar produşii de ardere nu mai conţin oxigen. Acest proces de ardere se numeşte stoichiometric deoarece constituenţii combustibilului (metanului, în acest caz) se oxidează complet, utilizând cantitatea minimă de aer necesară. Cantitatea minimă de aer necesară arderii complete se notează cu

MminL şi se exprimă în kilomoli de aer pentru un kilogram de combustibil. Din relaţia (5.3) putem deduce compoziţia gazelor de ardere. Astfel, numărul total de kilomoli al produselor de ardere este:

( ) ( ) ( ) 52,10N52,7OH2CO1n 222 =++= kilomol

095057,052,10

1ry22 COCO ===

190114,052,10

2ry OHOH 22===

7148288,052,10

52,7ry22 NN ===

verificare: 19999998,0yyy

222 NOHCO ≈=++

5.1.1 Arderea unei hidrocarburi de tipul yxHC

Considerăm cazul general în care o hidrocarbură de tipul yxHC arde complet cu aerul minim necesar. Reacţia chimică de oxidare este: ( ) 2NOH2CO22Oyx NCON76,3OHC

2222ββββ ++→++ (5.4)

Coeficienţii

2Oβ , 2COβ , OH2

β , 2Nβ poartă numele de coeficienţi stoichiometrici.

Ei se determină făcând bilanţul atomilor în relaţia (5.4): x:C

2CO =β (5.5)

2yy2:H OHOH 22

=⇒= ββ (5.6)

4yx

2:O OH

COO2

22+=+=

βββ (5.7)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=⇒⋅=

4yx76,376,3:N

222 NON βββ (5.8)


Introducând valorile coeficienţilor stoichiometrici în relaţia (5.4) şi ţinând seama

că ( ) 76,4N76,3O 22 =+ kilomoli de aer, aceasta devine:

( ) 222yx N76,34yx0H

2yxCOaer76,4

4yxHC ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++→⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ (5.9)

Arderea care se desfăşoară cu aerul minim necesar arderii complete a elementelor ce alcătuiesc combustibilul (5.9) este un caz ideal, ce permite definirea unor mărimi utile în analiza procesului real de ardere. Se notează cu MminL şi se defineşte cantitatea minimă de aer, molară, necesară arderii complete a unui kilogram din hidrocarbura de tipul yx HC , sau cantitatea stoichiometrică de aer:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

=.combkg1

aerkmolM

4yx76,4

LyxHC

Mmin (5.10)

Cantitatea minimă, masică de aer necesară arderii complete se determină cu

formula (5.11), în care coeficientul 29 reprezintă masa moleculară a aerului:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

⋅=.combkg1

aerkgL29l Mminmin (5.11)

În arderile reale din instalaţii şi motoare, datorită imposibilităţii realizării unui

amestec omogen de combustibil şi aer, acestea se desfăşoară cu o cantitate mai mare de aer decât aerul minim necesar ardeii complete. Notăm cu L cantitatea molară reală de aer utilizată pentru arderea unui kilogram de combustibil (l cantitatea masică reală de aer utilizată pentru arderea uni kilogram de combustibil). Se defineşte excesul de aer ca fiind raportul între aerul real al arderii şi aerul minim necesar arderii complete:

minMmin ll

LL

==λ (5.12)

Pentru arderea diferitelor tipuri de combustibili, valorile excesului de aer sunt 1,05..1,2 pentru combustibili gazoşi, 1,2..1,4 pentru combustibili lichizi, 1,25..1,4 pentru combustibili solizi, în jurul valorii 1 pentru arderea benzinei în motoarele cu aprindere prin scânteie, etc. O altă mărime importantă referitoare la raţia combustibil - aer este dozajul. Acesta se defineşte ca fiind raportul între masa de aer reală a arderii şi masa combustibilului implicat în procesul de ardere.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

==.combkg1

aerkglm

mdlcombustibi

aer (5.13)


Dacă hidrocarbura yx HC arde cu excesul de aer λ > 1, atunci în gazele de ardere va pare oxigen în exces, iar relaţia stoichiometrică de ardere (5.9) se transformă astfel:

( ) ( ) 2222yx N76,34yxO

4yx10H

2yxCOaer76,4

4yxHC ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−++→⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ λλλ

(5.14)

Din relaţia generală de ardere (5.14) se pot deduce mărimile utile în calculul procesului de ardere. Am sintetizat în tabelul T 5.1 rezultatele analizei procesului de ardere completă a unui kilogram din hidrocarbura yx HC cu excesul de aer λ. În acest tabel sunt prezentate formulele de calcul pentru aerul necesar arderii şi pentru produsele de ardere, rezultatele fiind obţinute în kilomoli. Alegerea acestei unităţi de măsură favorizează calcularea cu uşurinţă a compoziţiei gazelor de ardere în fracţii volumice. Tabelul T 5.1

Componentul Numărul de kilomoli Fracţia molară / volumică

Aerul arderii

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅

=.combkg1

aerkmolM

4yx76,4

LyxHC

λ

-

Produse de ardere -

Bioxid de carbon ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

=.combkg1

COkmolM

xn 2

HCCO

yx

2

nn

ry 2

22

COCOCO ==

Apă ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

=.combkg1

OHkmolM2

yn 2

HCOH

yx

2

nn

ry OHOHOH

2

22==

Oxigen ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=.combkg1

OkmolM

4yx1

n 2

HCO

yx

2

λ n

nry 2

22

OOO ==

Azot

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅

=.combkg1

NkmolM

4yx76,3

n 2

HCN

yx

2

λ n

nry 2

22

NNN ==

Total 2222 NOOHCO nnnnn +++= -

În tabelul T 5.2 sunt prezentate relaţiile de calcul pentru aerul necesar arderii şi

produsele de ardere astfel încât rezultatele sunt obţinute în kilograme de substanţă pe kilogramul de combustibil. Acest tip de analiză este utilă deoarece permite determinarea debitului masic de aer al arderii, valoare ce se măsoară efectiv, în timp real, pe motoare sau instalaţii de ardere, cu ajutorul traductoarelor de debit masic. Valorile măsurate permit determinarea în timp real a raportului aer - combustibil (dozajul), astfel încât corecţiile să fie eficiente.


O altă posibilitate oferită de formulele din tabelul T 5.2 o constituie verificarea conservării masei pentru arderea unui kilogram de combustibil. Aceasta poate fi făcută cu relaţia: 2222

ii N,O,OH,COi;nl1 ==+ ∑ (5.15)

Tabelul T 5.2

Componentul Numărul de kilograme Fracţia masică

Aerul arderii ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=.combkg1

aerkgM

4yx76,4

MlyxHC

aer

λ

-

Produse de ardere -

Bioxid de carbon ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

=.combkg1

COkgMM

xm 2CO

HCCO 2

yx

2

mm

g 2

2

COCO =

Apă ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

=.combkg1

OHkgMM2

ym 2OH

HCOH 2

yx

2

mm

g OHOH

2

2=

Oxigen ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=.combkg1

OkgMM

4yx1

m 2O

HCO 2

yx

2

λ m

mg 2

2

OO =

Azot

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅

=.combkg1

NkgMM

4yx76,3

m 2N

HCN 2

yx

2

λm

mg 2

2

NN =

Total 2222 NOOHCO mmmmm +++= -

Exemplul numeric E 5.1 Un debit de 0,5 kg/s octan, 188 HC , arde cu excesul de aer λ=1,25 la presiunea de 0,15MPa. Să se determine: a) compoziţia gazelor arse; b) temperatura punctului de rouă a vaporilor de apă rezultaţi din arderea hidrogenului; c) bilanţul masic; d) debitul de aer necesar; Soluţie:

a) Folosind formulele din tabelul T 5.1 obţinem prin calcul:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

==.combkg1

COkmol0701754,0114

8n 2CO2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

=⋅

=.combkg1

OHkmol0789473,0114218n 2

OH2

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=.combkg1

Okmol02741228,0114

4188125,1

n 2O2


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅

=.combkg1

Nkmol515350877,0114

418825,176,3

n 2N 2

Numărul total de kilomoli de gaze de ardere este: ∑ +++= 515350877,0027412280,00789473,00701754,0ni

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

=.combkg1

gazekmol691885857,0

Participaţiile molare (sau volumice) sunt:

1014262,0691885857,0

0701754,0y2CO ==

1141045,0691885857,0

0789473,0y OH2==

0396196565,0691885857,002741228,0y

2O ==

7448495612,0691885857,0515350877,0y

2N ==

Pentru verificare, vom face suma fracţiilor molare: ∑ = 9999999317,0yi

b) Temperatura punctului de rouă a vaporilor de apă proveniţi din ardere reprezintă temperatura la care aceştia condensează. Având în vedere că gazele de ardere reprezintă un amestec de gaze reale, presiunea vaporilor de apă, conform legii lui Dalton, este presiunea parţială a acestora:

017115677,015,0114104514,0pyp OHOH 22=⋅=⋅= [MPa]

Din programul APAB, pentru această presiune rezultă temperatura de condensare: 13,288Tr = [K] 98,14t =⇒ [°C]

c) Făcând o comparaţie între formulele prezentate în tabelele T 5.1 şi T 5.2, observăm că masele produselor de ardere se pot determina din cantităţile molare înmulţite cu masa moleculară a produsului respectiv:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

=⋅=⋅=.combkg1

COkg0877176,3440701754,0Mnm 2COCOCO 222

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

=⋅=⋅=.combkg1

OHkg4210514,1180789473,0Mnm 2OHOHOH 222


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

=⋅=⋅=.combkg1

Okg87719296,03202741228,0Mnm 2OOO 222

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

=⋅=⋅=.combkg1

Okg42982455,1428515350877,0Mnm 2NNN 222

Suma maselor produselor de ardere este:

∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

=.combkg1

gazekg8157,19mi

Aerul necesar arderii se determină cu relaţia din tabelul T 5.2:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅

=.combkg1

aerkg919956,18114

418825,176,4

29l

Bilanţul masic în acest caz este: gazekg8157,19919956,19aerkg919956,18lcombustibikg1 ⋅≈=⋅+⋅

d) Debitul masic de aer pentru arderea a 0,5 kg/s octan este:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

=⋅=•

saerkg459,9919956,185,0m

5.1.2 Analiza arderii unui combustibil definit prin compoziţia elementară În instalaţiile de ardere industriale sunt utilizaţi combustibili care au o

compoziţie complexă. Prin analiza chimică se stabileşte compoziţia elementară a unui kilogram de combustibil sub forma unor fracţii masice.

1zwnoshc =++++++ (5.16) În relaţia (5.16) semnificaţia simbolurilor utilizate este următoarea:

c – fracţia masică de carbon conţinută într-un kilogram de combustibil; h – fracţia masică de hidrogen conţinută într-un kilogram de combustibil; s – fracţia masică de sulf conţinută într-un kilogram de combustibil; o – fracţia masică de oxigen conţinută într-un kilogram de combustibil; n – fracţia masică de azot conţinută într-un kilogram de combustibil; w – fracţia masică de apă conţinută într-un kilogram de combustibil; z – fracţia masică de substanţe minerale, care formează cenuşa, conţinută într-un kilogram de combustibil. Cei mai importanţi componenţi din structura combustibilului - din punct de vedere al arderii - sunt carbonul şi hidrogenul, deoarece reacţiile lor de oxidare determină căldura degajată în procesul de ardere. Sulful este un element nedorit, el


apare în cantităţi mici în anumiţi combustibili, funcţie de locul de extracţie al ţiţeiului din care s-a fabricat combustibilul. Cantităţile de azot, umiditate şi substanţe minerale sunt mici pentru combustibili proveniţi din petrol. Cărbunii au un conţinut ridicat de substanţe minerale, iar anumiţi combustibili speciali pe bază de alcooli au un conţinut ridicat de oxigen în moleculă.

Pentru a determina aerul necesar arderii şi structura gazelor arse la un combustibil cu compoziţia (5.16), se utilizează reacţiile de oxidare a componenţilor. Se consideră oxidarea completă a carbonului, hidrogenului şi sulfului cu oxigen: 22 CO

12cO

12cCc →+⋅ (5.17)

OH

2hO

4hHh 222 →+⋅ (5.18)

22 SO

32sO

32sSs →+⋅ (5.19)

Coeficienţii stoichiometrici au fost aleşi astfel încât cantităţile oxidate din

substanţele respective să fie c, h şi s kilograme. Astfel, în reacţia (5.17) s-a avut în vedere că un kilomol de carbon are 12 kg, deci un kilogram de carbon are nevoie de 1/12 kilomoli de oxigen. Acest lucru însemnă că c kilograme de carbon vor avea nevoie de c/12 kilomoli de oxigen, iar în final vor rezulta c/12 kilomoli de bioxid de carbon. Un raţionament asemănător s-a efectuat şi în cazul celorlalte relaţii.

Oxigenul minim necesar arderii complete a combustibilului îl obţinem prin însumarea oxigenului necesar oxidării fiecărui component:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

−++=combkg1

Okmol32o

32s

4h

12cO 2

immin (5.20)

Dacă arderea are loc cu aer, oxigenul reprezintă numai 21% din aer, astfel aerul minim necesar arderii complete este:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++==

.combkg1aerkmol

32o

32s

4h

12c

21,01

21,0OL immin

Mmin (5.21)

Aerul real al arderii se exprimă în funcţie de coeficientul de exces de aer:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

=.combkg1

aerkmolLL Mminλ (5.22)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

⋅⋅=⋅=.combkg1

aerkgMLMLl aerMminaer λ (5.23)


Masa produselor de ardere se determină prin însumarea maselor produselor de ardere rezultate la oxidarea fiecărui component al combustibilului. Azotul din gazele de ardere şi oxigenul în exces se determină funcţie de cantitatea totală de aer utilizată pentru ardere. În tabelul T 5.3 sunt prezentate relaţiile de calcul pentru cazul arderii unui combustibil definit prin analiza elementară. Aerul necesar şi produsele de ardere sunt prezentate în kilomoli de produs pe kilogram de combustibil şi în kilograme de produs pe kilogram de combustibil. Tabelul T 5.3

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅comb.kg1

.substkmol ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

.combkg1substkg

Fracţia molară

Fracţia masică

Aerul arderii MminL⋅λ aerMmin ML ⋅⋅λ - - Produse de

ardere

Bioxid de carbon 12

cn2CO = 222 COCOCO Mnm ⋅=

nn

y 2

2

COCO =

m

mg 2

2

COCO =

Apă

2hn OH2

= OHOHOH 222Mnm ⋅=

nn

y OHOH

2

2=

m

mg OH

OH2

2=

Bioxid de

sulf 32sn

2SO = 222 SOSOSO Mnm ⋅= n

ny 2

2

SOSO =

mm

g 2

2

SOSO =

Oxigen ( ) MminO L121,0n

2−= λ

222 OOO Mnm ⋅= n

ny 2

2

OO =

mm

g 2

2

OO =

Azot MminN L79,0n2

⋅⋅= λ 222 NNN Mnm ⋅=

nn

y 2

2

NN =

mm

g 2

2

NN =

Total

22

222

NO

SOOHCO

nn

nnnn

++

++=

22

22

NO

SOOHCO

mm

mmmm

++

++=

-

-

Pentru determinarea cantităţilor de carbon şi hidrogen, pentru combustibili petrolieri lichizi de la benzine la păcură, se poate utiliza o relaţie empirică pentru determinarea compoziţiei elementare:

;c1h;74,0d15,0c 1515 −=+⋅= (5.24)

În această relaţie 15

15d reprezintă densitatea relativă a combustibilului petrolier lichid în raport cu apa, ambele mărimi considerate la 15°C. Exemplu numeric E 5.2

Pentru o motorină cu 1515d =0,84 să se determine: a) aerul masic necesar arderii

complete cu excesul de aer 1,3; b) fracţia volumică de bioxid de carbon din gazele de ardere.


Soluţie: a) Din formulele (5.20), (5.21) şi (5.22) determinăm cantitatea de aer. Pentru început, cu formula (5.24) stabilim compoziţia elementară a motorinei:

134,0866,01h;866,074,084,015,0c =−==+⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅=

.combkg1aerkmol6541,0

4134,0

12866,03,1

21,01L

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

=⋅=.combkg1

aerkg969,18296541,0l

b) Gazele de ardere sunt formate din CO2, H2O, O2 şi N2. Folosind formulele din tabelul T 5.3, calculăm numărul de kilomoli pentru fiecare substanţă, apoi fracţia volumică (care este identică cu cea molară) de bioxid ce carbon:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅==

.comb.kg1COkmol072166,0

12866,0n 2

CO2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

==.combkg1

OHkmol067,02134,0n 2

OH2

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

=⋅−⋅=.combkg1

Okmol0412083,06541,013,121,0n 2O2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

=⋅⋅=.combkg1

Nkmol67176,06541,03,179,0n 2N2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

=+++==∑ .combkg1gazekmol852134,067176,00412083,0067,0072166,0nn i

%468,8r08468,0852134,0072166,0yr

222 COCOCO =⇒===

5.1.3 Determinarea excesului de aer prin analiza gazelor de ardere Prin proiectarea unui proces de ardere se calculează cantitatea de aer reală a arderii corespunzătoare excesului de aer adoptat şi se estimează gazele arse ce rezultă în urma procesului. Desfăşurarea reală a procesului de ardere este, în general, diferită de aceste valori teoretice calculate. Din această cauză, procesele industriale de ardere sunt controlate şi conduse în permanenţă de instalaţii care - din analiza gazelor de ardere rezultate - determină aerul real al arderii, îl compară cu valorile stabilite în procesul de proiectare, după care determină valorile de corecţie majore, la care se adaugă corecţiile minore determinate pentru încadrarea noxelor în standardele în vigoare.


Procesul real de ardere este un proces dinamic în care parametrii de intrare, cantitatea de aer şi de combustibil variază continuu, deci şi gazele arse variază - cantitativ şi calitativ - astfel încât instalaţiile moderne de ardere nu se concep fără analiza permanentă a gazelor de ardere. După cum am observat, principalii constituenţi ai unui combustibil, care prezintă interes în procesul de ardere, sunt carbonul şi hidrogenul. Aceste două elemente au o comportare diferită faţă de oxigen. Astfel, hidrogenul are o afinitate mai mare faţă de oxigen, lucru care face ca totdeauna acesta să se oxideze complet. Carbonul are o afinitate mai mică faţă de oxigen, lucru care poate conduce - în procesele reale de ardere - la oxidarea incompletă a carbonului, fapt ce determină apariţia în gazele de ardere a monoxidului de carbon, CO . Chiar dacă arderea se produce cu exces de aer, imperfecţiunile ce apar în realizarea unui amestec omogen aer - combustibil, datorate intensităţii mari a turbulenţei din focar, conduc la apariţia în gazele de ardere a monoxidului de carbon.

COO21C 2 →+ (5.25)

Din reacţia de oxidare a carbonului la monoxid de carbon (5.25) observăm că un

kilomol de carbon are nevoie de 0,5 kilomoli de oxigen şi rezultă un kilomol de monoxid de carbon.

Considerăm relaţia generală de ardere a unei hidrocarburi de tipul yx HC cu excesul de ardere λ, în care în gazele de ardere apare şi monoxidul de carbon. Notăm cu r fracţia de carbon care se oxidează la monoxidul de carbon şi o definim astfel:

COCO

CO

nnnr2+

= (5.26)

Cu această notaţie, reacţia generală de ardere este:

( ) ( ) ++⋅⋅+⋅⋅−→+⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ OH

2yCOxrCOxr1N76,3O

4yx

2r1HC 2222yx λ

( ) 22 N4yx

2r176,3O

4yx

2r11` ⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅− λλ (5.27)

Prin măsurarea gazelor de ardere se poate determina excesul de aer. Se consideră

cunoscut combustibilul (valorile x şi y) şi se notează cu a cantitatea de monoxid de carbon din gazele de ardere, iar cu b cantitatea de oxigen din gazele de ardere. Utilizând coeficienţii stoichiometrici din relaţia (5.27), putem scrie: axr =⋅ (5.28)

( ) b4yx

2r11 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−λ (5.29)


Din rezolvarea sistemului format din (5.28) şi (5.29), având în vedere că valorile a, b sunt cunoscute din măsurarea gazelor arse, iar valorile x, y sunt cunoscute din analiza combustibilului, rezultă:

1

4yx

x2a1

b+

+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−

=λ (5.30)

În cazul general, din analiza gazelor de ardere uscate - adică fără vaporii de apă

proveniţi din arderea hidrogenului - se determină, prin măsurători, valorile următoarelor fracţiilor molare / volumice:

2COy , COy şi 2Oy .

Cantitatea de azot din gazele de ardere rezultă prin diferenţă: ( )

222 OCOCON yyy1y ++−= (5.31)

Cantitatea de oxigen intrată în ardere este 2Ny

7921 . Deoarece coeficientul de

exces de aer are drept referinţă arderea stoichiometrică - adică arderea completă cu oxigenul minim necesar acestei reacţii - în cazul când apare CO , monoxidul de carbon, în gazele de ardere, acesta indică o ardere incompletă. Oxigenul în exces din gazele de ardere, faţă de oxigenul teoretic al arderii stoichiometrice este COO y5,0y

2⋅− . Pentru

arderea completă, trebuie să scădem din oxigenul rămas în gazele de ardere oxigenul necesar oxidării complete a monoxidului de carbon. Excesul de aer, cu notaţiile de mai sus, are expresia:

( )

222

2

COON

N

y5,0yy7921

y7921

⋅−−=λ (5.32)

5.2 Analiza energetică a procesului de ardere Cantităţile de substanţe implicate în procesul de ardere aduc cu ele o anumită cantitate de energie. Chiar în timpul reacţiei de ardere se degajă o importantă cantitate de căldură pe care o poartă produsele de ardere.

Fig. 5.1


De cele mai multe ori, procesele de ardere se desfăşoară în spaţii denumite

camere de ardere. Aici este introdus aerul de ardere şi combustibilul, iar în urma reacţiei de ardere rezultă produsele de ardere. Pe lângă energiile purtate de aer, combustibil şi produsele de ardere, mai putem evidenţia căldura degajată în reacţia de ardere şi eventual lucrul mecanic produs datorită variaţiei volumului gazelor de ardere. Relaţia primului principiu al termodinamicii, în acest caz, este: PtR HLHQ +=+ (5.33) În relaţia de mai sus, cu RH s-a notat entalpia reactanţilor (substanţele care intră în reacţie), iar cu PH s-a notat entalpia produselor de ardere. Detaliind entalpiile de mai sus:

jP

jtR

ii hnLhnQ ∑∑ +=+ (5.34)

5.2.1 Entalpia de formare Vom considera o reacţie simplă, prin care carbonul se oxidează la bioxid de carbon: 22 COOC →+ (5.35)

Pentru a putea evalua energiile implicate în această reacţie, se consideră o stare de referinţă definită de parametrii p0 = 0,1MPa şi t0 = 25 °C, pentru care entalpiile reactanţilor şi a produselor de ardere sunt considerate nule.

Relaţia (5.34) particularizată pentru acest caz este:

22 COT,p0

CO0,f

OT,p0

CT,p0 hhhhQ →→→ ∆+=∆+∆+ (5.36)

În relaţia de mai sus s-a notat cu 2CO

0,fh entalpia de formare a bioxidului de carbon, considerându-se starea de referinţă starea “0” definită anterior. Valorile entalpiilor de formare se găsesc în tabelul din Anexa 3. Variaţiile de entalpie ale reactanţilor şi ale produselor de ardere se pot calcula utilizând relaţiile din Anexa 4.

Considerând că reactanţii au parametrii stării de referinţă şi că produsele de ardere sunt răcite până la această stare, relaţia (5.36) devine:

522.393hQ 2CO

0,f −== [kJ] (5.37) Entalpia bioxidului de carbon în altă stare, caracterizată de parametrii p şi T, se

determină astfel:

222 COT,p0

CO0,f

COT,p hhh →∆+= (5.38)

Relaţia (5.38) reprezintă modul de calcul al entalpiei unei substanţe într-o stare

de parametrii p, T în raport cu starea de referinţă “0”.


5.2.2 Determinarea temperaturii de ardere O mărime importantă a proceselor de ardere o reprezintă temperatura produselor

de ardere, denumită şi temperatura flăcării. Pentru a determina pe cale teoretică această mărime, se fac următoarele ipoteze:

- se consideră că arderea are loc într-un volum de control, fără pierderi de căldură către exterior. Această ardere teoretică se mai numeşte ardere adiabată, iar temperatura de ardere - în aceste condiţii - se numeşte temperatura adiabată a flăcării;

- reactanţii se consideră în starea de referinţă “0”, deci entalpiile purtate de aceştia sunt nule;

- reacţia de ardere este izobară, ea are loc la presiunea p0 = 0,1MPa; Având în vedere ipotezele de mai sus, rezultă că produsele de ardere vor avea o

temperatură mai mare decât temperatura reactanţilor (T0). Aceasta reprezintă temperatura adiabată a flăcării.

Bilanţul energetic, în ipotezele de mai sus, este reprezentat de egalitatea entalpiilor reactanţilor şi a produselor de ardere:

( ) ( )∑∑ →→ ∆+=∆+

PT,p00,f

RT,p00,f hhhh (5.39)

Considerând pentru reactanţi starea de referinţă “0”, relaţia de mai sus se

simplifică: ( ) ( )∑∑ →∆+=

PT,p00,f

R0,f hhh (5.40)

Relaţia (5.40) reprezintă o ecuaţie în care necunoscuta este temperatura. Prin

rezolvarea ei se determină temperatura adiabatică a flăcării. Exemplu numeric E 5.3 Octanul ( 188 HC ), în fază lichidă, este ars în aer cu un exces λ = 4. Octanul şi aerul se consideră la temperatura de 25°C. Să se determine temperatura adiabatică a flăcării. Soluţie: Reacţia de ardere a octanului cu excesul de aer din problemă este:

( ) +⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+⋅+⋅→⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅+ 222188 O

418814OH

218CO8aer76,4

41884HC

2N76,32

1884 ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

Considerând entalpiile aerului şi a octanului nule în starea de referinţă, ecuaţia de bilanţ energetic este:


( ) ( ) 222222188 OT0

OT0

OHT0

OHf

COT0

COf

HCf h188h5,37hh9hh8h →→→→ ∆⋅+∆⋅+∆+⋅+∆+⋅=

Din Anexa 4 se observă că entalpiile de formare pentru oxigen şi azot sunt nule. Variaţia entalpiilor produselor de ardere se exprimă funcţie de temperatură, utilizând relaţiile din Anexa 4. Vom prezenta modul de calcul al variaţiei entalpiei bioxidului de carbon, celelalte calcule fiind asemănătoare. Expresia căldurii izobare molare a bioxidului de carbon, conform Anexei 4, este: ( ) 25,0

COp 024198,01034,4529,307357,3C2

θθθ ⋅+⋅−⋅+−=

( )100T

100298

325,1T

298p

COT298 3

024198,02

1034,45,1

529,307357,3dC100h 2 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅+

⋅−

⋅+⋅−=⋅=∆ ∫→

θθθθθθ

Prelucrând asemănător celelalte variaţii de entalpie ale produselor de ardere, introducându-le în ecuaţia de bilanţ termic, rezultă o ecuaţie în T: ( ) ( ) ( )−∆+−⋅−∆+−⋅−− →→

OHT298

COT298

22 h2418269h3935228250150

0h5,37h5,37 22 N

T298O

T298 =∆⋅−∆⋅ →→ Ecuaţia de mai sus se rezolvă numeric. Se caută valorile lui T pentru care expresia schimbă semnul.

T Val. Ecuaţie950 91175 960 9140 970 -73039

…………. …………….961 928.75 962 -7284.2

Din datele de mai sus putem aprecia ca valoare a temperaturii adiabate a flăcării T=961,5[K]

O mărime importantă o constituie entalpia de reacţie sau căldura de reacţie. Aceasta se obţine făcând diferenţa dintre entalpiile produselor de ardere şi entalpia reactanţilor:

( ) ( )j

T0jf

Pj

iT0

if

RiRP hhnhhnh →→ ∆+−∆+= ∑∑ (5.41)

Dacă se consideră că reactanţii si produsele de ardere sunt la starea de referinţă

(0,1MPa, 25°C), relaţia (5.49) suferă o simplificare importantă: j

fP

jif

RiRP hnhnh ⋅−⋅= ∑∑ (5.42)

În tehnică, această mărime se numeşte putere calorică, se notează cu H şi este de două feluri: superioară şi inferioară. Dacă apa din produsele de ardere este sub formă de vapori, valoarea puterii calorice este mai mică, ea se notează cu indicele “i”, adică Hi. În


cazul când vaporii de apă proveniţi din arderea hidrogenului sunt în stare lichidă, mărimea se numeşte putere calorică superioară şi se notează cu indicele “s”, adică Hs. Exemplu numeric E 5.3 Să se determine entalpia de reacţie pentru gazul metan în două cazuri: a) apa rezultă în stare de vapori (Hi puterea calorică inferioară); b) apa rezultă în stare lichidă (Hs puterea calorică superioară). Soluţie: Reacţia de oxidare a metanului este: OH2COO2CH 2224 ⋅+→⋅+ Aplicăm relaţia (5.42): 422 CH

fOH

fCOfRP hh2hh −⋅+=

Din Anexa 3 alegem entalpiile de formare.

a) pentru cazul când apa rezultă sub formă de vapori:

( ) ( ) ( ) ⇒⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=−−⋅+−=kmolkJ802301748732418262393522hRP

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

kgkJ8,50143

16802301Hi

b) pentru cazul când apa rămâne în stare lichidă:

( ) ( ) ( ) ⇒⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=−−⋅+−=kmolkJ890309748732858302393522hRP

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

kgkJ31,55644

16890309H s

5.3 Analiza arderii în cazul procesului de combustie subterană Combustia subterană este un procedeu termic de recuperare secundară a ţiţeiului. Conform acestui procedeu, stratul productiv este aprins, apoi se injectează aer pentru întreţinerea arderii. Sondele în jurul cărora se aprinde stratul, apoi se injectează aer, se numesc sonde de injecţie. Sondele prin care se extrag produsele din strat se numesc sonde de reacţie. În urma aprinderii stratului şi a injecţiei continue de aer se formează frontul de combustie; acesta împinge fracţiile nearse ale petrolului către sondele de reacţie. Fracţiile mai grele de hidrocarburi se transformă - ca urmare a temperaturii ridicate din faţa frontului de ardere - într-un precipitat cărbunos, cu un conţinut redus de hidrogen (ca urmare a unor reacţii de piroliză de tipul dehidrogenării). Acest precipitat este numit


de obicei, în mod impropriu, cocs. Cocsul este ars, în prezenţa oxigenului din gazul injectat, constituind carburantul procesului de combustie directă. Zona spălată de frontul de combustie (zona „arsă”) nu va mai conţine compuşi organici. De-a lungul unui profil vertical, trasat de la sonda de injecţie către cea de reacţie, se separă - în mod convenţional - patru zone principale, numerotate în ordine crescătoare din amonte spre aval (fig. 5.2). Zona 1 este zona arsă, în care aerul injectat se preîncălzeşte la contactul cu matricea rocii, recuperând o mică parte din căldura reziduală a combustiei; această zonă constituie, deci, un fel de schimbător de căldură, a cărui temperatură scade spre amonte.

Fig. 5.2 Zona 2 este zona de combustie, unde cocsul arde în prezenţa oxigenului conţinut de aerul injectat; temperatura atinsă aici este dependentă, în mod esenţial, de natura şi de ponderea diferitelor substanţe solide, lichide şi gazoase prezente în mediul poros. Zona 3 este zona de formare a cocsului, în care fracţiile mai grele de hidrocarburi, care nu au fost nici dezlocuite şi nici vaporizate, suferă un proces de piroliză sau un proces combinat de piroliză şi oxidare, dacă în zona de combustie 2 nu a fost consumat integral oxigenul conţinut în gazul injectat. Zona 4 este zona în care temperatura este suficient de scăzută încât să nu mai aibă loc reacţii chimice. Această zonă este spălată de către gazele arse şi de către fluidele dezlocuite. În funcţie de fenomenele care se produc, se pot separa două subzone:


4.1. subzona din vecinătatea zonei 3, în care are loc un fenomen combinat de vaporizare-recondensare a fracţiilor uşoare ale petrolului, precum şi a apei din formaţiune. Tot în această subzonă condensează şi apa rezultată din reacţiile de combustie. Fenomenul de vaporizare-condensare accelerează transferul de căldură către aval, în faţa frontului de combustie. 4.2. subzona din aval, în care temperatura este mai scăzută decât cea de condensare a apei. În această subzonă se constată existenţa unui banc de apă, a cărui saturaţie este mai mare decât cea iniţială a zăcământului. În faţa acestei subzone apare un banc de petrol, cu saturaţia sp > spi. Domeniul ocupat de bancul de apă şi de cel de petrol constituie o zonă cu gradienţi mari de presiune, mai ales dacă petrolul este foarte vâscos. La o distanţă mai mare faţă de sonda de injecţie, caracteristicile mediului poros revin treptat la valorile iniţiale. În cazul procesului de combustie subterană, datorită imposibilităţii realizării unui amestec omogen între aer şi combustibil, vom avea întotdeauna de-a face cu o ardere incompletă, lucru ce va determina apariţia în gazele de ardere a monoxidului de carbon (CO ). Având în vedere că ţiţeiul reprezintă un amestec de hidrocarburi, reacţia generală de ardere este reprezentată de ecuaţia (5.27), la care se introduce notaţia:

yxX CH = (5.43)

Cu r s-a notat fracţia monoxidului de carbon din gazele de ardere definită de

relaţia (5.26):

COCO

CO

nnnr2+

= (5.44)

CHX reprezintă raportul între numărul de atomi de hidrogen şi numărul de atomi de carbon ai combustibilului. Cu această notaţie, ecuaţia (5.27) devine:

( ) ( ) ++⋅+⋅−→+⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ OH

2XCOrCOr1N76,3O

4X

2r1CH 2

CH222

CHXCH

λ

( ) 2CH

2CH N

4X

2r176,3O

4X

2r11` ⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅− λλ (5.45)

Parametrii acestei reacţii de ardere se definesc experimental, prin realizarea

combustiei unei probe de zăcământ, în laborator. Din analiza gazelor de ardere rezultate se determină parametrul CHX ce caracterizează combustibilul. Pe baza acestei valori şi a reacţiei (5.44) se determină aerul necesar combustiei, un parametru important pentru proiectarea exploatării.

Cantitatea molară de aer necesară arderii unui kilogram de combustibil este:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅⋅=

.combkg1aerkmol

4Xr176,4L CHλ (5.46)


Cantitatea masică de aer necesară arderii unui kilogram de combustibil este:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅⋅

=.combkg1

aerkgM

4Xr176,4

lCHXCH

CHλ (5.47)

5.4 Controlul arderii şi poluarea În urma reacţiilor de ardere, pe lângă efectul favorabil - obţinerea căldurii necesare producerii de lucru mecanic sau utilizării în alte procese - sunt eliminate în atmosferă gazele arse. Dintre acestea, o parte sunt nocive, de aceea eliminarea lor în atmosferă este reglementată de norme care, de la an la an, devin mai restrictive. Controlul noxelor (componentelor nocive din gazele de ardere) şi menţinerea lor în limitele prescrise se realizează printr-o monitorizare permanentă a gazelor arse, în funcţie de care se realizează, automat, reglarea parametrilor arderii. Numărul mare de autovehicule propulsate de motoare otto sau diesel, care circulă la ora actuală, constituie unul din principalii factori poluanţi. Structura noxelor pentru motoarele cu aprindere prin scânteie este prezentă în figura 5.3:

Fig. 5.3

Observăm că noxele motoarelor otto sunt alcătuite din hidrocarburi nearse, oxid de azot şi monoxid de carbon. Datorită temperaturilor mari din timpul arderii, o mică parte din azotul din aer se oxidează şi apare în gazele de ardere sub formă de oxizi de azot. La motoarele diesel, structura noxelor (fig. 5.4) ne arată că acestea sunt alcătuite din dioxid de sulf (datorat oxidării sulfului conţinut de combustibil), hidrocarburi nearse, monoxid de carbon şi oxizi de azot. Se mai remarcă şi cantitatea de zece ori mai mare de particule solide în cazul motoarelor diesel, comparativ cu motoarele otto. Componenta principală a particulelor se situează în clasa de mărime 0,1…0,3 µm. Deoarece particulele pot intra în plămâni, există suspiciunea existenţei pericolului de îmbolnăvire cu cancer. Testele pe animale, cu diferite concentraţii ale noxelor existente în gazele de ardere, au relevat influenţe cancerigene.


La motoarele diesel, particulele formează fumul; acesta deranjează prin miros şi îngreunarea vizibilităţii. Fumul vizibil trebuie evitat, de regulă, în toate regimurile de funcţionare.

Fig. 5.4

5.4.1 Formarea şi caracteristicile componentelor gazelor de ardere

În figura 5.5 este prezentată evoluţia componentelor gazelor de ardere funcţie de excesul de aer. Se remarcă o puternică influenţă a excesului de aer asupra gazelor de ardere. Acest lucru duce la concluzia că un control riguros al aerului de ardere permite încadrarea noxelor în anumite valori.

În continuare, se vor prezenta pentru fiecare component din gazele de ardere caracteristicile, modul de formare şi factorii care îl influenţează.

5.4.1.1 Monoxid de carbon (CO) Monoxidul de carbon este un gaz fără culoare şi fără miros. Acesta se depune pe

hemoglobina din sânge mai bine decât o face oxigenul, ducând la intoxicaţii. Monoxidul de carbon ia naştere în principal la lipsa de aer (λ < 1), adică la un

amestec bogat, atunci când sistemul de alimentare modifică raportul aer - combustibil astfel încât cantitatea de aer reală a arderii scade sub cea stoichiometrică. În cazul unei cantităţi de combustibil mai mici, adică la un excedent de aer (λ > 1), deci un amestec sărac, concentraţia de CO din gazele de eşapament depinde de distribuţia neomogenă a combustibilului în camera de ardere şi de oscilaţiile din compoziţia amestecului de la un ciclu la altul.

În zona amestecurilor bogate (aer mai puţin decât cel stoichiometric), formarea de CO scade aproape liniar cu creşterea lui λ (figura 5.4). În zona amestecurilor sărace (la un excedent de aer), formarea de CO este foarte mică şi aproape independentă de λ. La o valoare λ = 1, emisiunea de CO depinde de distribuţia uniformă a combustibilului la fiecare cilindru în parte.

Adaptarea exactă, în permanenţă, a raportului aer-combustibil şi a reglajului instalaţiei de aprindere la motoarele otto a dus la scăderea drastică a emisiunii de monoxid de carbon. Astăzi, pentru motoarele moderne, procentul de CO din gazele de ardere este mai mic de 1,5%.


Fig. 5.5

5.4.1.2 Hidrocarburi (HC) Acest paragraf se referă la hidrocarburile nearse ce apar în gazele de ardere;

pentru uşurinţa expunerii, ele au fost denumite prescurtat hidrocarburi. Lipsa de aer (λ < 1) duce, la fel ca la monoxidul de carbon, la o ardere

incompletă şi deci la hidrocarburi nearse şi arse parţial. În zona λ > 1,1 concentraţia de hidrocarburi creşte datorită unei arderi proaste.

Producerea de hidrocarburi prezintă, la o valoare λ = 1, un minim. În zona amestecurilor bogate, emisiunea de hidrocarburi creşte deoarece nu pot fi arse toate hidrocarburile, pentru că lipseşte oxigenul necesar; iar în zona amestecurilor sărace, neomogenităţile locale si turbulenţa din camera de ardere favorizează producerea de hidrocarburi.

O cantitate mare de hidrocarburi nearse în gazele de eşapament pot fi cauzată de: reglarea greşită a aprinderii, bujii ancrasate, fişele de bujii prezintă întreruperi, rateuri ale instalaţiei de aprindere, sistem de aspiraţie neetanş, neetanşeitatea cilindrului sau injectoare îmbâcsite. O altă cauză poate fi şi un consum mare de ulei.

O aerisire neetanşă a carterului motorului (legătură spre conducta de aspiraţie sau filtru de aer) duce la emisii de hidrocarburi în atmosferă.


5.4.1.3 Oxizi de azot (Nox) Temperatura şi presiunea ridicată în timpul arderii duc la oxidarea unei părţi a

azotului existent în amestec. Pe lângă oxidul de azot NO se mai găsesc, în cantităţi mai mici, bioxid de azot NO2 şi azotat N2O. NO este un gaz incolor, care în aer se oxidează formând NO2. NO2 este un gaz de culoarea ruginii, cu un miros înţepător. Irită plămânii prin atacarea ţesuturilor şi este cunoscut drept noxă puternică pentru sânge.

Producerea de NOx atinge un maximul pentru λ = 1,05…1,1 şi scade atât în zona amestecurilor bogate, cât şi în zona amestecurilor sărace. Acest proces depinde de temperatura din camera de ardere, care este maximă pentru valoarea λ = 1 şi scade în ambele sensuri.

5.4.1.4 Bioxidul de carbon (CO2) Bioxidul de carbon se obţine la arderea carbonului. Atât oamenii, cât şi

animalele, expiră CO2. Nu este vorba de un gaz dăunător sănătăţii. Creşterea concentraţiei bioxidului de carbon din atmosferă se numără printre

cele mai importante cauze pentru efectul de seră. Această creştere este cauzată de arderea combustibililor de către industrie, gospodăriile particulare, traficul rutier, dar şi de tăierea copacilor. Procentul de bioxid de carbon datorat traficului rutier este estimat la 10-15%. Pe lângă reducerea noxelor propriu-zise, mai există şi sarcina de a menţine consumul de combustibil cât mai mic cu putinţă, deoarece emisiile de CO2 la autovehicule sunt proporţionale cu consumul de combustibil.

5.4.1.5 Oxigenul

Oxigenul (O2) apare în gazele de eşapament în cazul când excesul de aer este supraunitar (λ>1), deci la un amestec sărac. La depăşirea valorii λ = 1 se remarcă o creştere clară a procentajului de O2. Concentraţia de oxigen, împreună cu maximul bioxidului de carbon, este un indicator pentru trecerea de la zona amestecurilor bogate la zona amestecurilor sărace. Mai poate fi, însă, şi un indiciu pentru zone neetanşe în sistemul de aspiraţie şi de evacuare sau rateuri (întreruperi în procesul de ardere).

5.4.1.6 Bioxid de sulf (SO2)

Sulful arde împreună cu oxigenul din aer şi formează bioxidul de sulf (SO2). În contact cu apa se formează acid sulfuros, proces cunoscut sub denumirea de „ploaie acidă”, care este nociv pentru mediu. Sulful există în cantitate mică în combustibil, mai puţin în benzină decât în motorină.

5.4.1.7 Fum / particule / negru de fum

Particule de negru de fum iau naştere în mod special la arderile care au loc în motoarele diesel; aceste particule sunt formate în principal din atomi de carbon. Prin experienţe pe animale s-a determinat faptul că aceste particule sunt cancerigene.


Alte componente solide sunt: sulful, funinginea şi particulele rezultate în urma frecării. Toate bucăţelele solide din gazele de ardere formează fumul, respectiv particule. 5.4.2. Utilizarea catalizatorului pentru combaterea noxelor În prezent, cel mai utilizat catalizator este catalizatorul cu trei căi sau catalizatorul selectiv. El s-a dovedit a avea cele mai bune performanţe în tratarea gazelor de ardere la motoarele Otto. Condiţia pentru realizarea acestui lucru este o reglare lambda cu o valoare nominală λ ≈ 1. Acest concept este folosit pentru încadrarea valorilor noxelor în limitele impuse, reuşind să satisfacă cele mai severe norme.

Fig. 5.6

1 Pregătire amestec; 2 Catalizator trei căi NOx, HC, CO; 3 Sondă lambda; 4 Aparat de comandă electronic;

Procesele de oxidare şi reducere a componentelor gazelor de ardere, în acest catalizator, sunt:

OH2yCOxO

4yxHC 222yx +⋅→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

22 CO2OCO2 ⋅→+⋅ OH2OH2 222 ⋅→+⋅ 22 CO2NCO2NO2 ⋅+→⋅+⋅ OH2NH2NO2 222 ⋅+→⋅+⋅ Din punct de vedere constructiv, catalizatorii actuali sunt monoliţii ceramici şi metalici. Aceştia au un strat din oxid de aluminiu care măreşte suprafaţa eficientă a catalizatorului cu un factor de cca. 7000. Stratul catalitic este format, la catalizatorii de oxidare, din metalele preţioase (platină şi paladiu), la catalizatorii cu trei căi - din platină şi rodiu. Platina accelerează oxidarea hidrocarburilor şi a monoxidului de


carbon, rodiu duce la reducerea oxizilor de azot. Conţinutul de metale preţioase dintr-un catalizator este de cca. 2-3 grame.

Două condiţii au o însemnătate specială pentru folosirea catalizatorilor: – Motorul trebuie alimentat cu benzină fără plumb. Combustibilul cu plumb

“otrăveşte” stratul de metal preţios al catalizatorului şi duce în scurt timp la incapacitatea de lucru irevocabilă a sistemului.

– Pentru obţinerea raportului optim de aer necesar procesului de transformare din catalizator, amestecul aer-combustibil va trebui măsurat exact cu o sondă lambda şi va trebui reglat în jurul valorii lambda = 1. Temperatura de funcţionare joacă la catalizator un rol important. Condiţiile de

funcţionare ideale pentru o durată lungă de viaţă sunt asigurate în zona de temperatură cuprinsă între cca. 400°C - 700°C, unde îmbătrânirea termică este scăzută. Dacă se depăşesc 1000°C, îmbătrânirea termică se accentuează foarte mult, până la distrugerea catalizatorului.

Datorită rateurilor în funcţionare ale motorului, cum ar fi de exemplu rateuri în aprindere, temperatura catalizatorului creşte la peste 1400°C. Astfel de temperaturi duc la distrugerea în întregime a catalizatorului prin topirea materialului suport. Pentru a evita acest lucru, trebuie ca în special sistemul de aprindere al autovehiculelor cu catalizator să funcţioneze cu foarte mare siguranţă şi fără întreţinere, lucru asigurat de către sistemele electronice. Supravegherea funcţionării catalizatorului se realizează cu sonde lambda.

Fig. 5.7 1 Electrod (+) 4 Racord electric 2 Ceramică specială 5 Ţeavă de protecţie (partea expusă la gazele de ardere) 3 Carcasă 6 Electrod (-)

În figura 5.7 este prezentată schematic o sondă lambda. La o astfel de sondă, între cei doi electrozi ia naştere o tensiune electrică ce poate fi folosită drept unitate de măsură pentru conţinutul de oxigen din gazele de ardere.

Sonda lambda se caracterizează prin faptul că indică modificările din compoziţia amestecului în zona λ = 1,0 ± 0,02, adică în zona de limită între amestecuri bogate şi amestecuri sărace. Această indicare se face printr-o modificare rapidă a tensiunii (fig 5.8).


Modificarea considerabilă a tensiunii poate fi folosită pentru dirijarea sistemului de formare a amestecului. Sonda începe să lucreze abia de la o temperatură de cca. 300°C, dar temperatura optimă de lucru se situează la cca. 600°C. Pentru atingerea rapidă a unui timp de reacţie la o temperatură constantă, se folosesc des sonde încălzite electric.

Fig. 5.8

În cazul în care compoziţia amestecului deviază de la valoarea stabilită, acest

lucru va fi recunoscut de către sonda lambda în baza restului de oxigen din gazele de ardere. Valoarea respectivă a tensiunii este transmisă aparatului electronic de comandă pentru prepararea amestecului. Aparatul de comandă va corecta doza de combustibil. Dacă în gazele arse nu există oxigen, înseamnă că amestecul injectat este prea bogat, drept urmare aparatul de comandă va micşora cantitatea injectată. Dacă sonda determină - după un anumit timp - oxigen în gazele de ardere, se va mări cantitatea injectată. În acest fel, amestecul va oscila în jurul valorii stoichiometrice (λ=1). Frecvenţa de reglare este condiţionată de timpul pe care gazul îl parcurge de la camera de ardere şi până la sonda lambda şi este, la ralanti, de cca. 0,5 Hz. Frecvenţa de reglare este mai mare odată cu creşterea turaţiei.

Modul de lucru al sondei lambda reprezintă un exemplul clasic al unei reglări în buclă a amestecului funcţie de oxigenul din gazele de ardere.

Pe lângă funcţia de reglare a amestecului aer-combustibil, sondele lambda se mai utilizează pentru supravegherea catalizatorului. În figura 5.9 este prezentată schema de montare a sondelor lambda .

Prima sondă lambda, plasată în faţa catalizatorului, este utilizată pentru reglarea amestecului aer-combustibil, iar cea de-a doua - plasată după catalizator - supraveghează funcţionarea acestuia.

Calitatea unui catalizator depinde mult de capacitatea de utilizare a oxigenului din gazele arse pentru oxidarea noxelor. Acest lucru este folosit pentru determinarea randamentului catalizatorului. Pentru măsurarea randamentului, se montează o a doua sondă lambda, după catalizator.


Fig. 5.9

1 Aparat de comandă; 2 Sondă lambda înaintea catalizatorului; 3 Sondă lambda după catalizator; 4 Catalizator; Tensiunea sondei lambda plasată în faţa catalizatorului este prezentată cu linie

continuă în figura 5.10, iar tensiunea sondei lambda plasată după catalizator este prezentată cu linie întreruptă (fig. 5.10).

Se observă că amplitudinea oscilaţiilor tensiunii sondei lambda plasată după catalizator este redusă datorită scăderii cantităţii de oxigen, determinată de utilizarea acestuia în catalizator.

Fig. 5.10

Randamentul catalizatorului se calculează din diferenţa amplitudinii oscilaţiilor

sondelor lambda. În timp, datorită îmbătrânirii catalizatorului, acesta îşi pierde capacitatea de a utiliza oxigenul din gazele arse, astfel încât amplitudinea semnalului sondei lambda plasată după catalizator (reprezentată cu linie punctată în fig. 5.10) devine comparabilă cu amplitudinea semnalului sondei lambda plasată în faţa catalizatorului (reprezentat cu linie continuă, fig. 5.10). În acest caz, diferenţa dintre amplitudinile celor două semnale se anulează, deci randamentul catalizatorului tinde la zero.


Catalizatorul cu trei căi oferă posibilitatea, în conlucrare cu reglarea lambda, a diminuării emisiilor de noxe, la valori prin care se pot respecta cele mai severe regulamente referitoare la gazele de eşapament. În interiorul zonei de reglare lambda sunt scăzute toate cele trei componente de noxe – CO, HC şi NOx.

5.4.3 Reducerea noxelor prin recircularea gazelor arse

Recircularea gazelor de ardere constă în amestecarea unei cantităţi din gazele arse cu aerul aspirat de motor la anumite regimuri de funcţionare, pentru a scădea temperatura maximă de ardere, deci pentru diminuarea emisiunii NOx.

Fig. 5. 11

1 Traductor electro - pneumatic; 2 Gaze arse; 3 Ventil recirculare; 4 Aparat de comandă; 5 Turaţie; 6 Presiune aspiraţie; 7 Temperatură; 8 Dispozitiv de măsurare a masei de aer;

Comanda sistemului se face în funcţie de cantitatea de aer, poziţia clapetei de

acceleraţie (sarcina), depresiunea conductei de aspiraţie sau cea a contra-presiunii ţevii de eşapament şi turaţie.

Recircularea se realizează la regimurile de ralanti si sarcini parţiale până la ~5%.


Debitul de gaze arse recirculate este:

– la autovehiculele pe benzină: până la 10%, – la autovehiculele pe motorină: până la 20%.

Această metodă de reducere a oxizilor de azot s-a generalizat pe toate tipurile de motoare. Ea este eficientă în special la circulaţia în aglomerările urbane. Se observă că acest procedeu permite eliminarea oxizilor de azot numai la anumite regimuri ale motorului (ralanti şi sarcini parţiale); sistemul de recirculare nu funcţionează la repriză şi la sarcini ridicate ale motorului. Din anul 1996, normele restrictive adoptate de SUA, Comunitatea Europeană, Japonia, etc. au impus utilizarea catalizatorului şi la motoarele diesel, pentru a permite eliminarea noxelor la toate regimurile.


6. Termodinamica curgerii gazelor şi vaporilor

Acest capitol prezintă transformările energetice care au loc în procesul de curgere. Este abordată curgerea monodimensională, staţionară prin ajutaje şi prin reţelele de palete. Ajutajul este un tub scurt, profilat, în care se produce transformarea entalpiei gazului în energie cinetică sau invers.

6.1 Ecuaţiile mişcării staţionare, monodimensionale, adiabate a gazelor

6.1.1 Proprietăţile stării frânate Considerăm curgerea adiabată, monodimensională, staţionară a unui fluid. Ecuaţia primului principiu al termodinamicii pentru acest caz (2.62) se poate scrie sub forma:

0

2

h2

wh =+ (6.1)

În ecuaţia energiei (6.1) s-au considerat două stări: starea actuală a curgerii, notată fără indice, şi o stare în care viteza fluidului este nulă, notată cu indicele “0”. Această stare, în care viteza fluidului este nulă, poate reprezenta o stare reală sau o stare teoretică. Se defineşte starea frânată, starea în care viteza fluidului este zero.

Fig. 6.1

Orice curgere a unui gaz cu o viteză nenulă poate ajunge în starea frânată prin

transformarea integrală a energiei cinetice în entalpie. Dacă curgerea de la starea actuală la starea frânată este izentropică (adiabată, reversibilă), se obţine presiunea maximă p0 (teoretică), figura 6.1. În realitate, starea frânată care se poate obţine printr-o curgere adiabata ireversibilă are aceeaşi valoarea a entalpiei frânate 0h dată de formula (6.1), dar presiunea reală a gazului comprimat este mai mică decât presiunea maximă p0, iar entropia stării ce reprezintă entalpia frânată este mai mare decât entropia fluidului în starea actuală de curgere.

Termodinamica curgerii gazelor şi vaporilor 176

Diferenţa între entalpia frânată şi entalpia fluidului la un moment dat reprezintă energia cinetică a unităţii de masă, nefiind influenţată de ireversibilitatea procesului.

În figura 6.2 este prezentat un ajutaj pentru care s-a definit o suprafaţă de control. Parametrii de intrare sunt notaţi cu indicele “i”, iar cei de ieşire cu “e”.

Fig. 6.2

Ecuaţiile ce descriu curgerea unui gaz prin ajutajul din figura 6.2 sunt:

- ecuaţia conservării masei:

eeeiiiei AwAwmm ρρ =⇒=••

(6.2) - ecuaţia energiei, obţinută prin particularizarea ecuaţiei primului principiu:

( ) ( ) ( ) 0ZZgww21hh ie

2i

2eie =−+−+− (6.3)

Pentru un proces izentropic şi un fluid incompresibil din ecuaţia fundamentală a

termodinamicii, obţinem:

( )ie

e

iie pp1vdphh0vdpdhTds −==−⇒=−= ∫ ρ

(6.4)

( ) ( ) ( ) 0ZZgww21pp

21

ie2i

2eie =−+−+− (6.5)

Ecuaţia (6.5) poartă numele de ecuaţia lui Bernoulli. - ecuaţia transformării de stare adiabate pentru un gaz perfect este:

k

1k

i

e

i

e

pp

TT

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (6.6)


6.1.2 Viteza sunetului într-un gaz perfect În cazul gazelor, care sunt fluide compresibile, orice mică perturbaţie (variaţii

mici ale presiunii faţă de valoarea medie) apărută se propagă în masa gazului sub forma unor unde a căror viteză este egală cu viteza sunetului. Această viteză este un parametru important în curgerea fluidelor compresibile.

În figura 6.3 este prezentată schematic o posibilitate de producere a perturbaţilor în masa unui gaz.

Fig. 6.3

Prin deplasarea pistonului de la capătul tubului se produce o perturbaţie caracterizată de o mică modificarea a parametrilor în masa gazului, care se deplasează sub forma unei unde ce are viteza c, figura 6.3 a. Pentru un observator legat de frontul de undă al perturbaţiei, situaţia parametrilor gazului este prezentată în figura 6.3 b. Considerăm o suprafaţă de control definită de frontul de undă. În partea stângă a acestei suprafeţe parametrii gazului sunt perturbaţi, iar în partea dreaptă parametrii gazului sunt neperturbaţi. Considerând curgerea staţionară într-o vecinătate a suprafeţei de control, bilanţul energetic se poate scrie:

( ) ( )2ch

2dwcdhh

22

+=−

++ (6.7)

După efectuarea calculelor, expresia de mai sus devine:

( ) ( ) 0dw;2ch

2dwdwc2cdhh 2

222

≈+=+⋅⋅−

++ (6.8)


0dwcdh =⋅− (6.9)

Legea conservării masei într-o vecinătate a suprafeţei de control ne permite scrierea următoarei relaţii: ( ) ( ) cAdwcAd ⋅⋅=−⋅⋅+ ρρρ (6.10)

După efectuarea calculelor şi neglijarea infiniţilor mici de ordin superior, obţinem: 0dwdc =⋅−⋅ ρρ (6.11)

Ecuaţia fundamentală a termodinamicii pentru un proces izentropic este:

ρdpdh0vdpdhTds =⇒=−= (6.12)

Combinând relaţiile (6.9) şi (6.12), obţinem:

0dwcdp=⋅−

ρ (6.13)

Eliminând dw din relaţiile (6.11) şi (6.13), obţinem:

s

22

ddpc0dcdpdcdw ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒=⋅−⇒=

ρρρ

ρρρ (6.14)

Relaţia (6.14) ne arată că pătratul vitezei de propagare a micilor perturbaţii (viteza sunetului) în masa gazului este egal cu derivata parţială a presiunii la densitate în condiţii izentropice ( ttanconss = ). O soluţie particulară a ecuaţiei (6.14) se poate obţine pentru un gaz ideal utilizând expresia ecuaţiei transformării adiabate:

( ) ( ) ( ) ( )Clnlnkplnpln;ttanconspvp kk

k =⋅−=⋅⇒==⋅ − ρρρ

(6.15)

TRkpkddp;0dk

pdp

s

⋅⋅==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒=−

ρρρρ (6.16)

TRkc ⋅⋅= (6.17) Din relaţia (6.17) observăm că viteza sunetului într-un gaz depinde atât de proprietăţile termodinamice ale acestuia (k şi R), cât şi de temperatura gazului. Pentru aer la 300K şi la 1000K viteza sunetului, ea este:


s/m2,34730029

83144,1TRkc =⋅⋅=⋅⋅=

s/m9,633100029

83144,1TRkc =⋅⋅=⋅⋅=

Mişcarea unui gaz este puternic influenţată de viteza sunetului: într-un fel se desfăşoară mişcarea gazului dacă viteza acestuia este mai mică decât viteza sunetului şi în alt fel dacă viteza gazului este mai mare ca cea a sunetului. Pentru a defini regimurile de curgere a unui gaz se introduce un criteriu adimensional, denumit criteriul lui Mach:

cwM = (6.18)

Dacă 1M < , spunem că mişcarea gazului este subsonică, iar dacă 1M > , spunem că mişcarea gazului este supersonică. 6.1.3 Caracterizarea ajutajelor funcţie de criteriul Mach Considerăm un volum elementar al fluidului care se deplasează printr-un ajutaj de secţiune variabilă. Datorită modificării secţiunii, valorile parametrilor la un moment dat pe faţa din stânga a volumului de control p, w, T, ρ, suferă o modificare infinitezimală p+dp, w+dw, T+dT, ρ+dρ (fig. 6.4).

Fig. 6.4

Ecuaţia conservării masei poate fi scrisă sub forma:

( ) ( ) ( ) ( )ClnwlnAlnln;ttanconswAm =++⇒=⋅⋅=•

ρρ (6.19)

0w

dwA

dAd=++

ρρ (6.20)

În ecuaţia energiei în formă diferenţială: 0wdwdh =+ (6.21)


Înlocuim diferenţiala entalpiei din ecuaţia fundamentală a termodinamicii (6.12), apoi exprimăm diferenţiala vitezei, pe care o introducem în relaţia (6.21):

w

dpdw;0wdwdp⋅

−=⇒=+ρρ

(6.22)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⋅+−=

⋅+−= 2222 c

1w1dp

wdp

dpdpd

wdpd

AdA

ρρρρ

ρρρ (6.23)

( )22 M1

wdp

AdA

−⋅

=ρ

(6.24)

Relaţia (6.24) permite analiza influenţei variaţiei secţiunii asupra curgerii prin ajutaje. Rezultatul discuţiei este sintetizat în figura 6.5:

Fig. 6.5

În regim subsonic ( ) 0M1;1M 2 >−⇒< , presiunea şi secţiunea ajutajului variază în acelaşi sens, astfel:

- pentru un ajutaj convergent, dacă secţiunea scade 0dA < rezultă şi o scădere a presiunii 0dp < , iar din ecuaţia (6.5) deducem o creştere a vitezei;

- pentru un ajutaj divergent, numit şi difuzor, dacă secţiunea creşte 0dA > rezultă o creştere a presiunii 0dp > şi o scădere a vitezei;

În regim supersonic ( ) 0M1;1M 2 <−⇒> , presiunea şi secţiunea ajutajului variază în sensuri opuse, astfel:

- pentru un ajutaj convergent, dacă secţiunea scade 0dA < rezultă şi o creştere a presiunii 0dp > , iar din ecuaţia (6.5) deducem o scădere a vitezei;


- pentru un ajutaj divergent, numit şi difuzor, dacă secţiunea creşte 0dA > rezultă o scădere a presiunii 0dp < şi o creştere a vitezei;

Dacă ;1M;0dA =⇒= , acest lucru ne arată că viteza sunetului se poate atinge numai într-o secţiune a ajutajului, ca de exemplu secţiunea de ieşire a ajutajului convergent - dacă acesta lucrează în regim subsonic - sau în secţiunea de intrarea a ajutajului divergent, dacă acesta lucrează în regim supersonic. 6.1.4 Parametrii frânaţi şi parametrii critici Pornind de la relaţia (6.1), exprimăm viteza de curgere funcţie de parametrii stării frânate:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=−⋅⋅=⇒=+ 1

TT

1kkRT2TTc2w;h

2wh 0

00p2

0

2

(6.25)

Din relaţia (6.16) înlocuim viteza sunetului în relaţia (6.24) şi obţinem:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−== 1

TT

1k2M

cw 02

2

2

(6.26)

( ) 20 M

21k1

TT −

+= (6.27)

Ţinând cont de ecuaţiile transformării izentropice, rezultă:

( ) 1kk

20 M2

1k1pp −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+= (6.28)

( ) 1k1

20 M2

1k1−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=

ρρ (6.29)

În condiţiile în care într-o secţiune a ajutajului se atinge viteza sunetului, curgerea se numeşte critică, iar parametrii acesteia se notează cu “*”. Valorile parametrilor critici funcţie de parametrii frânaţi se obţin din relaţiile (6.27), (6.28) şi (6.29), prin introducerea valorii 1 pentru criteriului M:

1k

2TT

0

*

+= (6.30)

1k

k

0

*

1k2

pp −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+= (6.31)


1k

1

0

*

1k2 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

ρρ (6.32)

6.2 Ajutajul convergent În figura 6.6 este prezentat un ajutaj convergent. În acest ajutaj, în cazul curgerii

subsonice se produce transformarea energiei gazului, reprezentată prin entalpie în ecuaţia (6.5), în energie cinetică. În cazul regimului supersonic, ajutajul lucrează ca un compresor, mărind presiunea şi temperatura gazului, deci entalpia, în baza scăderii energiei cinetice.

Fig. 6.6

Dacă considerăm parametrii iniţiali ai gazului egali cu parametrii frânaţi, notaţi cu indicele zero, parametrii gazului într-o secţiune a ajutajului funcţie de parametrii frânaţi se determină cu formulele (6.27), (6.28) şi (6.29). Dacă notăm cu A o secţiune oarecare a ajutajului, viteza şi debitul în această secţiune sunt:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⇒=+

−−

k1kk

1k

00

2

1RT1k

k2pp1RT

1kk2w;h

2wh β (6.33)

S-a notat cu β raportul dintre presiunea din secţiunea curentă a ajutajului şi presiunea frânată, considerată ca fiind presiunea din secţiunea de intrare a ajutajului. Pentru calculul debitului exprimăm, din ecuaţia adiabatei, densitatea în secţiunea curentă funcţie de densitatea frânată.

k1

0

0k1

0

k1

00

k00

RTp

pp;

pp ββρρρ

ρρ

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (6.34)


Debitul în secţiunea curentă va fi:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⋅⋅=

+•k

1kk2

0

0

1kk2

RTpAwAm ββρ (6.35)

Se observă că debitul depinde de regimul de presiuni din ajutaj. Dacă considerăm presiunea p egală cu presiunea din secţiunea de ieşire, vom căuta o valoare a raportului beta pentru care debitul devine maxim în ajutaj. Din relaţia (6.35) remarcăm că există două valori pentru care se anulează debitul, 0=β şi 1=β . Pentru a găsi o valoare care să maximizeze relaţia (6.34), ţinem seama de faptul că radicalul este o funcţie monotonă şi, în consecinţă, căutam maximul expresiei de sub radical. Pentru aceasta, anulăm derivata cantităţii de sub radical:

1k

k

crk

1kk2

1k2;0

dd −

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=⇒=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− βββ

β (6.36)

Se observă că valoarea lui beta, pentru care debitul este maxim, este similară cu relaţia (6.30). Debitul maxim se obţine prin înlocuirea expresiei lui beta critic în relaţia (6.34) şi obţinem:

1k1k

0

0Emax

1k2k

RTpAm

−+

•

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+= (6.37)

În graficul din figura 6.6 sunt prezentate variaţiile presiunii în ajutaj pentru mai multe situaţii determinate de valorile diferite ale presiunii din secţiunea de ieşire. Astfel, atâta timp cât presiunea din secţiunea de ieşire rămâne egală cu presiunea stării frânate,

0a pp = , în ajutaj nu există mişcare. Dacă presiunea în secţiunea de ieşire este mai mică decât presiunea frânată,

0d,..b pp < , gazul se accelerează în ajutaj, rezultând la ieşire o viteză dată de formula (6.33). Un caz special îl constituie momentul când presiunea, în secţiunea de ieşire, este egală cu presiunea critică, presiunea notă cu indicele c :

1k

k

cr0

c

1k2

pp −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+== β (6.38)

În aceste condiţii, debitul în ajutaj devine maxim, ajutajul prelucrează întreaga cădere de presiune astfel încât în secţiunea de ieşire viteza devine egală cu viteza sunetului. Denumim presiunea din secţiunea de ieşire presiune critică şi o notăm cu *p .

Dacă presiunea din exteriorul ajutajului scade sub valoarea presiunii critice, acest lucru nu mai modifică regimul de curgere din ajutaj, debitul rămâne la valoarea maximă, iar presiunea din secţiunea de ieşire rămâne la valoarea presiunii critice.


Destinderea gazului, în acest caz, este incompletă, cazul pc din figura 6.6. În

secţiunea de ieşire apare o discontinuitate a valorilor presiunii gazului, care din punct de vedere fizic se manifestă printr-o undă de şoc ce disipează excesul de energie al curentului de gaz. Observăm că la funcţionarea în regim subsonic ajutajul convergent prezintă o limitare în funcţionare, viteza maximă posibilă care se obţine cu acest ajutaj nu poate depăşi viteza sunetului în condiţiile termodinamice ale secţiunii de ieşire.

6.3 Ajutajul divergent Ajutajul convergent figura 6.7 se mai numeşte şi difuzor. În regim subsonic, acest ajutaj transformă energia cinetică a gazului în entalpie; procesele din acest ajutaj sunt similare celui dintr-un compresor.

Fig. 6.7

Notăm cu indicii 1 şi 2 secţiunile de intrare şi de ieşire ale acestui tip de ajutaj. Din ecuaţia continuităţii energiei putem determina viteza şi presiunea în secţiunea de ieşire, dacă se cunosc parametrii din secţiunea de intrare:

2

1

2

112 A

Awwρρ

= (6.39)

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=−−=

−

1ppRT

1kk2whh2ww

k1k

1

21

2112

212 (6.40)

Din formula (6.40) observăm limita de funcţionare a acestui ajutaj. Presiunea 2p devine maximă atunci când viteza în secţiunea de ieşire se anulează. Punând condiţia

0w2 = , rezultă :

( )k

1k

1

2

10max2

RT1k

k2

w1ppp

−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

+== (6.41)


În condiţia 0w2 = , în secţiunea de ieşire a ajutajului obţinem parametrii frânaţi ai curgerii, deci starea frânată nu reprezintă numai o stare teoretică, de calcul, ci poate fi obţinută în mod real cu un difuzor, în regim subsonic. 6.4. Ajutajul convergent-divergent (Laval) Pentru obţinerea vitezelor de curgere supersonice se utilizează ajutajul convergent-divergent (prescurtat con-div) sau Laval, după numele celui care l-a inventat (fig. 6.8). Este singurul ajutaj care permite trecerea gazului de la curgerea cu viteze subsonice la curgerea cu viteze supersonice.

Fig. 6.8

Considerând curgerea gazului prin ajutaj ca pornind de la parametrii frânaţi notaţi cu indicele zero, gazul se accelerează în porţiunea convergentă. O dimensionare corectă a ajutajului impune ca presiunea p la ieşirea din ajutaj să fie egală cu presiunea exterioară (cazul “d” din grafic). O altă condiţie obligatorie este ca în secţiunea minimă parametrii curgerii să devină critici, adică în secţiunea minimă viteza gazului trebuie să devină egală cu cea a sunetului, deci valoarea criteriului Mach este unu. În graficul din figură, acest caz este reprezentat de situaţia “d”. Dacă toate aceste condiţii sunt îndeplinite, atunci ajutajul este dimensionat corect şi permite destinderea completă a gazului, deci transformarea entalpiei în energie cinetică; viteza la ieşirea din ajutaj este supersonică, este viteza maximă posibilă ce se poate obţine din energia stării frânate.


Observăm că acest ajutaj este compus din două părţi: la intrare, un ajutaj convergent care lucrează la limită, adică în secţiunea minimă se obţine viteza maximă posibilă (viteza sunetului); urmează un ajutaj divergent, care lucrează în regim supersonic. Viteza la intrare în ajutajul divergent este egală cu viteza sunetului, datorită creşterii secţiunii gazul se destinde în continuare, viteza acestuia crescând la valori supersonice. Orice altă valoare a presiunii p la ieşirea din ajutaj, diferită de valoarea cazului “d”, determină o destindere incompletă a gazului în ajutaj, caz în care viteza finală este mai mică decât viteza maximă posibilă.

Pentru valori ale presiunii ce se apropie de valoarea cazului “d”, în partea divergentă a ajutajului apar unde de şoc ce produc disiparea parţială e energiei gazului. Dacă presiunea în exteriorul ajutajului este mai mică decât valoarea cazului “d”, undele de şoc se formează chiar în secţiunea de ieşire.

Concluzia ce se poate trage este că pentru o anumită diferenţă de presiune rezultă o anumită geometrie a ajutajului, iar aceasta este unică. Dacă se modifică regimul de presiuni, trebuie modificată şi geometria ajutajului. Acest lucru a determinat ca la sistemele moderne de propulsie cu jet ajutajele convergent-divergente să aibă geometrie variabilă. 6.5 Undele de şoc normale ce apar la curgerea gazelor perfecte prin ajutaje În cazul curgerii gazelor prin conducte, schimbarea regimului de curgere de la viteze supersonice la viteze subsonice se face de multe ori brusc, într-o zonă îngustă în care valorile parametrilor curgerii - viteza, presiunea, temperatura, densitatea - prezintă salturi importante. Funcţiile ce descriu aceşti parametrii prezintă, din punct de vedere matematic, discontinuităţi. Zona în care valorile parametrilor curgerii prezintă discontinuităţi poartă numele de undă de şoc. Undele de şoc apar şi se dezvoltă şi în cazul exploziilor; frontul undă în acest caz se propagă cu viteză mare, saltul de presiune în unda de şoc este mare, astfel încât impactul cu diferitele obiecte este distructiv.

Fig. 6.9

În figura 6.9 este reprezentată o undă de şoc normală. Pentru analiza acesteia, se defineşte un volum de control ce include numai unda de şoc, reprezentat punctat. Parametrii curgerii pe faţa din stânga se vor nota cu indicele x, iar parametrii pe faţa din stânga vor fi notaţi cu indicele y. Considerând curgerea gazului staţionară, ecuaţiile pentru volumul de control sunt următoarele:


- ecuaţia energiei :

y0x0

2y

y

2x

x hh2

wh

2wh ==+=+ (6.42)

- ecuaţia continuităţii:

yyxx wwAm

⋅=⋅=

•

ρρ (6.43)

- ecuaţia impusului:

( ) ( )xyyx wwmppA −=−•

(6.44) Din relaţia (6.42) rezultă egalitatea entalpiilor frânate, deci şi egalitatea temperaturilor: y0x0 TT = (6.45)

Relaţia (6.27), particularizată pentru cele două stări, permite scrierea relaţiilor:

2x

x

x0 M2

1k1TT −

+= (6.46)

2y

y

y0 M2

1k1TT −

+= (6.47)

Împărţind cele două relaţii, obţinem:

2y

2x

x

y

M2

1k1

M2

1k1

TT

−+

−+

= (6.48)

În ecuaţia de continuitate, exprimăm densitatea din expresia ecuaţiei de stare a gazului perfect, şi obţinem:

yy

yx

x

x wRTp

wRTp

= (6.49)

În relaţia (6.49), exprimăm viteza funcţie de criteriul Mach şi viteza sunetului:

yyy

yxx

x

xyy

y

yxx

x

x kRTMRTp

kRTMRTp;cM

RTp

cMRTp

=⇒= (6.50)


2

x

y2

x

y

x

y

MM

pp

TT

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (6.51)

Combinând relaţiile (6.48) cu (6.51) vom obţine:

2yy

2xx

y

x

M2

1k1M

M2

1k1M

pp

−+

−+

= (6.52)

Relaţia (6.52) poartă numele de relaţia lui Fanno, iar reprezentarea grafică a curbei corespunzătoare este prezentată în figura 6.10:

Fig. 6.10

Punctul a corespunde valorii 1M = . Porţiunea de curbă aflată deasupra punctului a se caracterizează prin valori 1M < , deci viteze subsonice, iar porţiunea de curbă aflată sub punctul a corespunde valorilor 1M > , deci vitezelor supersonice. Deoarece porţiunea de sub punctul a reprezintă partea din spatele undei de şoc, iar porţiunea situată deasupra punctului a reprezintă porţiunea din faţa undei de şoc, din principiul al doilea, pentru un proces adiabat în unda de şoc se impune condiţia

0ss xy ≥− , rezultă că unda de şoc, în cazul curgerii gazelor, se formează numai la schimbarea regimului de curgere de la viteze supersonice la viteze subsonice. Dacă prelucrăm ecuaţia impulsului, obţinem următoarea relaţie:


( ) 2xx

2yyxyyx wwww

Ampp ρρ −=−=−

•

(6.53)

y2y

y

yyx

2x

x

xx

2yyy

2xxx cM

RTp

pcMRTpp;wpwp +=+⇒+=+ ρρ (6.54)

y2y

y

yyx

2x

x

xx KRTM

RTp

pkRTMRTpp +=+ (6.55)

2y

2x

x

y

kM1kM1

pp

++

= (6.56)

Relaţia de mai sus poartă denumirea de relaţia lui Rayleigh şi este reprezentă în figura 6.10. Punctul b reprezintă punctul pentru care 1M = . Segmentul de curbă situat deasupra acestui punct reprezintă zona curgerii subsonice 1M < , iar segmentul de curbă de sub punctul b reprezintă zona curgerii supersonice 1M > .

Exemplul E 6.1 Un debit de 10000 Nm3/h gaz metan (MCH4=16 kg/kmol) intră într-o staţie de distribuţie la presiunea p1=0,2 MPa şi viteza w1=25 m/s. Din staţie, acest debit este distribuit în mod egal pe patru conducte la presiunea p2=0,12 MPa şi viteza w2=20 m/s. Temperatura mediului este 20°C. Să se determine: a) Debitul masic de metan ce intră în staţie; b) Diametrul conductei pe care intră gazul în staţie; c) Diametrele conductelor de distribuţie. Soluţie: a) Debitul masic îl determinăm din debitul volumic, utilizând densitatea la starea normală, calculată din legea lui Avogadro:

s/kg98,13600

10000414,22

16V414,22

MVm N

CHNN

4 ====•••

ρ

b) Diametrul conductei de intrare îl determinăm din ecuaţia de continuitate. Densitatea gazului în starea 1 se determină din ecuaţia de stare:

36

11 m/kg31,1

29316

8314102,0

TRp

=⋅

=⋅

=ρ

4

dwm2

111 ⋅⋅⋅=

•

πρ ; mm277m277,02531,1

98,14w

m4d11

1 ==⋅⋅

⋅=

⋅⋅=

•

πρπ


c) Debitele pe cele patru conducte de distribuţie fiind egale, la fel şi parametrii gazului, rezultă că debitul de intrare este repartizat uniform pe conductele de distribuţie, deci că o conductă de distribuţie va primi un sfert din debitul masic intrat în staţie:

36

22 m/kg79,0

29316

83141012,0

TRp

=⋅

=⋅

=ρ

4

dwm41 2

222 ⋅⋅⋅=

•

πρ mm100m1,02079,0

98,1w

md22

2 ==⋅⋅

=⋅⋅

=

•

πρπ

Exemplul E 6.2

Să se dimensioneze un ajutaj care să asigure destinderea unui debit s/kg2m =•

de oxigen, de la presiunea p1=0,15 MPa şi t1=27°C până la presiunea p2=0,1MPa. (MO2=32 kg/kmol; k=1,4). Soluţie: Considerând p1 presiunea frânată, determinăm temperatura critică:

MPa0792,014,1

215,01k

2pp14,1

4,11k

k

1* =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

−−

Deoarece p2>p*, pentru destinderea completă a oxigenului între cele două presiuni se utilizează un ajutaj convergent. Deoarece nu se precizează viteza sau secţiunea de intrare, se dimensionează numai secţiunea de ieşire, iar secţiunea de intrare se stabileşte din condiţii constructive. Se determină parametrii în secţiunea de ieşire:

( )C82,5K18,26715,01,0300

ppTT

4,114,1

k1k

1

212

o−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

36

2

22 m/kg44,1

188,26732

8314101,0

RTp

=⋅

==ρ

s/m3,24415,01,01300

328314

14,14,12

pp1RT

1kk2w

4,14,0

k1k

1

212 =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−⋅

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−

Secţiunea o determinăm din ecuaţia de continuitate:

224

222 cm85,56m1085,56

3,24444,12

wmA =⋅=

⋅== −

•

ρ


Exemplul E 6.3

Într-un ajutaj se destinde complet s/kg5m =•

CO2 de la 10p0 = bar şi K400T0 =

până la presiunea exterioară 5,1pe = bar. Să se determine tipul ajutajului şi secţiunile

caracteristice ( kmol/g44M2CO = , 3,1k = ).

Soluţie:

Calculăm presiunea critică:

bar457,514,1

2101k

2pp14,1

4,11k

k

0* =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

−−

Deoarece e

* pp > se va utiliza un ajutaj convergent-divergent. Se vor calcula secţiunile critică şi de ieşire. Pentru început, determinăm parametrii în secţiunea critică:

K83,34713,1

24001k

2TT 0* =

+=

+=

35

*

** m/kg303,8

83,34744

831410475,5

RTp

=⋅

==ρ

s/m3,29283,34744

83144,1kRTw ** ===

•

=⋅

== 2**

* cm6,203,292303,8

5w

mAρ

Determinăm parametrii în secţiunea de ieşire si valoarea acesteia:

K18,25810

5,1400ppTT

3,113,1

k1k

0

e0e =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

35

2

22 m/kg075,3

18,25844

8314105,1

RTp

=⋅

==ρ

s/m9,48110

5,1140044

831413,13,12

pp1RT

1kk2w

3,13,0

k1k

0

e0e =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−⋅

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−

224

eee cm74,33m1074,33

9,481075,35

wmA =⋅=

⋅== −

•

ρ

Transferul de căldură 192

7. Transferul de căldură Din studiul termodinamicii, s-a observat că un sistem termodinamic interacţionează cu mediul exterior prin căldură şi lucru mecanic. Scopul acestui capitol îl constituie analiza termodinamică a interacţiunii termice dintre sistem şi mediul înconjurător, stabilirea legilor şi a relaţiilor de calcul pentru puterea termică (viteza de variaţie a căldurii), a gradientului de temperatură în diferite situaţii şi geometrii derivate din analiza proceselor industriale. 7.1 Mecanismele de transfer de căldură Transferul de căldură reprezintă energia transmisă datorită diferenţei de temperatură. Oriunde există o diferenţă de temperatură între două corpuri sau între diferitele părţi ale aceluiaşi corp, apare transferul de căldură. Principalele mecanisme de transfer de căldură sunt: conducţia, convecţia şi radiaţia. 7.1.1 Conducţia Conducţia este fenomenul de transfer de căldură ce se produce în interiorul corpurilor datorită unui gradient de temperatură. El se poate explica apelând la structura moleculară a corpurilor. Astfel, pentru un gaz ce ocupă spaţiul dintre doi pereţi aflaţi la temperaturi diferite (fig. 7.1), fluxul termic xq ce se transmite pe direcţia x se datorează traversării planului x0 de către moleculele care vin din direcţia peretelui cald şi care poartă o energie mai mare decât cele aflate în vecinătatea peretelui rece.

Fig. 7.1

Trebuie să privim fenomenul din punct de vedere statistic, deoarece planul x0 este traversat de molecule în ambele sensuri, dar numărul moleculelor ce trec în direcţia x este mai mare decât numărul moleculelor ce se deplasează în direcţie inversă.


Din teoria cinetico-moleculară cunoaştem că energia cinetică medie a

moleculelor gazului este proporţională cu temperatura gazului, astfel că pentru un gaz monoatomic există relaţia:

kT23wm

21 2 = (7.1)

în care m- masa moleculei; w - viteza medie a moleculei; k - constanta lui Boltzmann ( K/J1038054,1k 23−⋅= ). Relaţia (7.1) arată legătura între temperatură, o mărime macromoleculară şi energia cinetică medie a moleculelor gazului. Deci, în prezenţa unui perete cald energia cinetică a moleculelor creşte, lucru ce determină amplificarea mişcării moleculelor. Energia moleculelor este preluată de la peretele cald, practic căldura este transmisă spre peretele rece prin intermediul mişcării medii a moleculelor gazului. Acest fenomen se mai numeşte difuzia energiei prin intermediul mişcării medii a moleculelor. În cazul lichidelor, fenomenul este similar, cu toate că moleculele sunt mai apropiate datorită forţelor de coeziune mai mari. La solide, atomii sunt structuraţii în reţele cristaline sau amorfe. Ei au o mişcare de vibraţie a cărei amplitudine este funcţie de temperatură. Transferul de căldură într-un corp solid este asociat cu unda reţelei indusă de vibraţiile atomilor datorită gradientului de temperatură. Pentru solidele care nu conduc curentul electric, transferul de căldură se face exclusiv pe baza undelor reţelei; pentru cele care conduc curentul electric, o parte din transferul de căldură este preluat de deplasarea electronilor liberi. Cuantificarea căldurii transferate prin conducţie se poate face, pentru o singură direcţie, pe baza legii lui Fourier:

dxdTq x ⋅−=

•

λ (7.2)

S-a notat cu xq•

fluxul de căldură pe direcţia x, care se măsoară în W/m2, dxdT

reprezintă gradientul de temperatură, iar λ reprezintă coeficientul de conductivitate termică a materialului, măsurat în W/m/K. Pentru o geometrie simplă, prezentată în figura 7.2, ecuaţia (7.2) se poate integra. Cu datele din figura 7.2, în ipoteza că variaţia temperaturii în interiorul peretelui este liniară, rezultă:

δ

12 TTdxdT −

= (7.3)

Pentru cazul unidirecţional, ecuaţia fluxului de căldură are următoarea expresie:

λδ

21x

TTq −=

•

(7.4)


Fig. 7.2

7.1.2 Convecţia Fenomenul de transfer de căldură prin convecţie apare la suprafaţa de separare dintre un corp solid şi un fluid, gaz sau lichid.

Fig. 7.3

În figura 7.3 este prezentată schematic suprafaţa unui perete peste care curge un fluid. Transferul de căldură prin convecţie implică două mecanisme la nivel molecular. Unul a fost prezentat anterior şi este reprezentat de difuzia energiei datorită mişcării medii a moleculelor, la care se adaugă energia transferată de grupurile mari de molecule ce se deplasează în mişcarea de transport a fluidului. Macroscopic privind lucrurile (fig. 7.3), la suprafaţa corpului solid viteza fluidului este nulă. Ea variază după o anumită lege, până atinge valoarea medie a vitezei


de transport a fluidului. Grosimea stratului în care viteza fluidului variază poartă numele de strat limită hidrodinamic. În masa fluidului în mişcare apare o variaţia de temperatura de la valoarea Ts , temperatura suprafaţa peretelui, până la ∞T - temperatura fluidului. Porţiunea în care temperatura variază poartă numele de strat limită termic. Schimbul de căldură este influenţat de mişcarea fluidului. Dacă acesta are o mişcare impusă, convecţia se numeşte forţată, iar dacă fluidul se mişcă liber, în câmp gravitaţional, datorită diferenţelor de densitate, convecţia se numeşte convecţie liberă sau naturală. Fluxul termic convectiv se determină cu formula lui Newton:

( )sTTq −⋅= ∞

•

α (7.5)

•

q reprezintă fluxul termic convectiv şi se măsoară în W/m2; α se numeşte coeficient de convecţie şi se măsoară în W/m2/K. 7.1.3 Radiaţia Materia aflată la o temperatură mai mare de 0K emite radiaţia de natură electromagnetică. Aceasta provine din modificările orbitelor electronilor ce alcătuiesc atomii. Radiaţia electromagnetică nu are nevoie de un suport material pentru propagare, ea se propagă în toate mediile (fiind absorbită parţial de acestea), inclusiv în vid. Fluxul maxim de energie ce poate fi emis de o suprafaţă este dat de legea lui Ştefan – Boltzamnn:

4Tq ⋅⋅=•

σε (7.6)

ε reprezintă coeficientul de emisivitate al suprafeţei ( 10 ≤≤ ε ); σ - constanta lui Ştefan – Boltzamnn ( [ ]428 K/m/W1067,5 −⋅=σ ).

Fig. 7.4


Schimbul total de căldură între o suprafaţă cu temperatura Ts şi mediul exterior,

care are temperatura Tmed, (fig. 7.4), este:

( )4med

4sr TT

AQq −⋅⋅==

•

σε (7.7)

Prin analogie cu schimbul de căldură, prin convecţie se defineşte un coeficient

de radiaţie αr, astfel încât formula (7.7) se scrie:

( )medsrr TTq −⋅=•

α (7.8)

Din comparaţia formulelor (7.8) şi (7.7) se deduce expresia coeficientului de schimb de căldură prin radiaţie: ( )( )2

med2

smedsr TTTT ++⋅⋅= σεα (7.9)

Schimbul total de căldură dintre un metru pătrat din suprafaţa din figura 7.4, aflată la temperatura Ts, şi mediul înconjurător, aflat la temperatura Tmed, este:

( )( )medsrrad.conv TTqqq −+=+=•••

αα (7.10) 7.2 Metode de analiză utilizate în transferul de căldură Spre deosebire de termodinamica clasică, în care se lucrează cu noţiunea de echilibru termodinamic intern şi extern, în care sistemele evoluează numai prin stări de echilibru, transferul de căldură este - în esenţa sa - un proces de neechilibru. Astfel, transferul de căldură se produce numai în prezenţa unui gradient de temperatură, care reprezintă un dezechilibru energetic. Analiza proceselor de transfer de căldură trebuie să se facă în timp şi în spaţiu. Utilizarea variabilei timp în ecuaţiile ce descriu transferul de căldură este indispensabilă. Relaţia de bază utilizată în modelarea proceselor de transfer de căldură este ecuaţia primului principiu al termodinamicii, adaptată pentru procesele de transfer de căldură. Astfel, în figura 7.5 este prezentat un volum de control şi energiile implicate în proces.

Fig. 7.5


Transferul de căldură fiind un proces nestaţionar, bilanţul energetic trebuie să se

facă pe un interval de timp; dacă acesta este un interval infinitezimal τd , în bilanţ vor fi implicate derivatele de ordinul unu, funcţie de timp a energiilor procesului, care de fapt reprezintă viteze de variaţie a energiei sau pe scurt puteri termice. Conform notaţiilor din figura 7.5, puterile termice implicate în proces sunt:

iE•

- puterea termică intrată în volumul de control;

eE•

- puterea termică ieşită din volumul de control;

•

gE - puterea generată în volumul de control; •

E - puterea termică acumulată în volumul de control.

Cu aceste notaţii, bilanţul instantaneu al puterilor (pe un interval de timp infinit mic, τd ) este: pentru un volum de control, puterea termică intrată, plus puterea termică generată, minus puterea termică ieşită este egală cu puterea termică acumulată în volumul de control.

Matematic, formularea de mai sus are expresia:

•••

==−+ EddEEEE egiτ

(7.11)

Termenii iE•

şi eE•

sunt asociaţi fenomenelor de suprafaţă şi sunt proporţionali cu ariile pe care se desfăşoară. Ei pot reprezenta fenomene de conducţie, convecţie sau radiaţie. Dacă prin suprafeţele volumului de control circulă fluide, termenii de mai sus conţin şi energie transportată de acestea.

Termenul •

gE reprezintă viteza de generare a energiei în volumul de control, este o mărime care depinde de volumul în care se desfăşoară fenomenul şi poate fi asociat cu reacţii chimice exoterme: generarea de căldură prin fisiunea nucleară sau generarea de căldură prin efect Joule.

Termenul •

E este tot o mărime de volum, ea reprezintă viteza de acumulare a energiei în volumul de control. Pentru fenomenele staţionare, acest termen este nul

( 0E =•

). O problemă importantă în studiul fenomenelor de schimb de căldură o reprezintă bilanţul energetic pe o suprafaţă de control. În figura 7.6 este prezentată geometria problemei.

Bilanţul energetic se face pe suprafaţa unui perete (fig. 7.6). Acest lucru înseamnă că vor fi implicate numai puterile termice ce descriu fenomene de suprafaţă; puterile termice care reprezintă fenomene de volum sunt nule. Bilanţul puterilor pentru suprafaţa din figura 7.6 este:

0EE ei =−••

(7.12)

Cu notaţiile din figură, relaţia (7.12) devine:


0qqq radconvcond =−−

•••

(7.13)

Fig. 7.6

Exemplu E 7.1 Să se deducă ecuaţia temperaturii într-un conductor de diametru D şi lungime L străbătut de curentul I. Se consideră rezistenţa conductorului Rl pe unitatea de lungime. Soluţie: În figura 7.7 este prezentată geometria problemei:

Fig. 7.7


S-a definit un volum de control în lungul conductorului. Datorită curentului ce străbate conductorul, puterea termică generată în volumul de control este reprezentată de puterea electrică disipată prin efect Joule. Prin suprafaţa exterioară a volumului de control are loc o pierdere de căldură prin convecţie şi prin radiaţie. Puterea termică generată datorită efectului Joule:

LRIE l2

g =•

Puterea termică transmisă către mediul exterior:

( ) ( )mede TTLDTTLDE −⋅⋅⋅⋅+∞−⋅⋅⋅=•

πσεπα Variaţia vitezei de acumulare a energiei în volumul de control este:

( )VcTddE ρτ

=•

Bilanţul puterilor este:

( ) ( )

4Dc

TTDTTDRIddTEEE 2

medl2eg

⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅−∞−⋅⋅⋅−=⇒=−

•••

πρ

πσεπατ

Ecuaţia de mai sus este o ecuaţie diferenţială în T. Prin integrarea ei rezultă variaţia

temperaturii conductorului funcţie de timp. Pentru o situaţie staţionară, ecuaţia de mai sus se simplifică prin egalarea derivatei

temperaturii cu zero şi rezultă: ( ) ( ) l2med RITTDTTD =−⋅⋅⋅⋅+∞−⋅⋅⋅ πσεπα 7.3 Transferul de căldură prin conducţie 7.3.1 Ecuaţia lui Fourier, ecuaţia difuziei căldurii Din relaţia (7.2) se observă că puterea termică transmisă prin conducţie este proporţională cu gradientul de temperatură. În cazul general, folosind notaţia vectorială, acest lucru poate fi scris:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

⋅−=∇−=•

kzTj

yTi

xTTq λλ (7.14)

Ecuaţia de mai sus poartă numele de ecuaţia lui Fourier. Ea arată legătura dintre

gradientul de temperatură şi puterea termică transmisă •

q pe unitatea de suprafaţă. Mărimea notată cu λ , denumită coeficient de conductivitate, se măsoară în W/m/K şi reprezintă o proprietate de transport a materiei. Astfel, metalele au un coeficient de convecţie mare 50...40=λ ; ele se numesc bune conducătoare de căldură. Alte


substanţe, cum ar fi cărămida, azbestul, vata de sticlă, au coeficientul de conductivitate 05,0...5,0=λ ; acestea opun o rezistenţă mare trecerii căldurii şi se utilizează ca

substanţe izolante pentru fluxul termic. Un obiectiv important în analiza procesului de convecţie îl constituie

determinarea câmpului de temperatură dintr-un anumit mediu, pe baza condiţiilor la limită impuse pe contur. Cunoaşterea câmpului de temperatură permite - pe baza legii lui Fourier - determinarea fluxului termic sau mai mult, determinarea tensiunilor termice induse de câmpul de temperatură.

Pentru a deduce ecuaţia diferenţială ce permite - prin integrare - determinarea câmpului termic, vom izola un volum infinitezimal dintr-un corp în care există un câmp de temperatură T(x,y,z), pe care vom aplica bilanţul puterilor termice.

Pe baza legii lui Fourier se definesc fluxurile termice elementare, conductive, care intră prin feţele cubului:

xTdydzqx ∂∂

−= λ ; yTdxdzqy ∂∂

−= λ ; zTdxdyqz ∂∂

−= λ (7.15)

Fluxurile termice care părăsesc cubul elementar se definesc prin dezvoltarea în serie Taylor a fluxurilor termice care intră în cub, din care se reţine numai termenul de ordinul unu, neglijând pe cei de ordin superior:

dxdydzxT

xqdx

xqqq x

xxdxx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+=∂∂

+=+ λ (7.16)

Fig. 7. 8

dxdydz

yT

yqdy

yq

qq yy

ydyy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+=∂

∂+=+ λ (7.17)


dxdydz

zT

zqdz

zqqq z

zzdzz ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+=∂∂

+=+ λ (7.18)

Relaţiile (7.15), (7.16), (7.17) şi (7.18) permit definirea puterilor termice conductive intrate şi ieşite din cubul elementar:

zyxi qqqE ++=•

(7.19)

dzzdyydxxe qqqE +++

•

++= (7.20)

Căldura generată în volumul elementar ales se exprimă funcţie de intensitatea

sursei vq•

[W/m3], astfel:

dxdydzqE vg

••

= (7.21)

Viteza de variaţie a energiei acumulate în cubul elementar se exprimă funcţie de proprietăţile mediului (c - căldura specifică şi ρ - densitatea), astfel:

dxdydzTcEτ

ρ∂∂⋅⋅=

•

(7.22)

Bilanţul puterilor - ecuaţia (7.11) - devine:

dxdtdzyT

yqdxdydz

xT

xqdxdydzqqqq yxvzyx ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−−+++•

λλ

dxdydzTcdxdydzzT

z τρλ

∂∂⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

− (7.23)

τ

ρλλλ∂∂⋅⋅=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ • Tcq

zT

zyT

yxT

x v (7.24)

Ecuaţia (7.24) se mai numeşte şi ecuaţia difuziei căldurii. Dacă se consideră

coeficientul difuzibilităţii termice - λ - constant, ecuaţia capătă forma :

τλ ∂∂

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

•

Ta1q

zT

yT

xT v

2

2

2

2

2

2

(7.25)

S-a notat cu a coeficientul difuzibilităţii termice, care este o proprietate a materialului şi este definit de relaţia (7.26):

c

a⋅

=ρλ (7.26)


În cazul fenomenelor staţionare, ecuaţia (7.25) se simplifică, devenind:

0q

zT

yT

xT v

2

2

2

2

2

2

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

•

λ (7.27)

Pentru rezolvarea diferitelor probleme, este utilă exprimarea ecuaţiei difuziei

căldurii (7.24) şi în alte sisteme de coordonate. Astfel, în figura 7.9 este prezentat un volum elementar exprimat în coordonate cilindrice. Pentru acest caz, legea lui Fourier are următoarea formă:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∇−=zTkT

r1j

rTiTq

φλλ (7.28)

Fig. 7.9

Fluxurile elementare corespunzătoare suprafeţelor volumului infinitezimal din

figura 7.9 sunt:

zTq;T

rq;

rTq zr ∂

∂−=

∂∂

−=∂∂

−= λφ

λλ φ (7.29)

Aplicând bilanţul puterilor termice pentru volumul elementar din figura 7.8, rezultă:

τ

ρλφ

λφ

λ∂∂⋅⋅=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂⋅⋅

∂∂ • Tcq

zT

zT

r1

rTr

rr1

v2 (7.30)


Considerăm un sistem de coordonate sferice, în care s-a definit un volum

elementar (fig. 7.10). Legea lui Fourier are, în acest caz, forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅+

∂∂

+∂∂

−=∇−=ϕθθ

λλ Tsinr1kT

r1j

rTiTq (7.31)

Fluxurile termice conductive pe laturile volumului elementar din figura 7.10 au

expresiile:

φθ

λθ

λλ φθ ∂∂

⋅−=

∂∂

−=∂∂

−=T

sinrq;T

rq;

rTqr (7.32)

Aplicând bilanţul puterilor termice, rezultă următoarea formă a ecuaţiei:

Fig. 7.10

τρ

θθλ

θθφλ

φθλ

∂∂⋅⋅=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂⋅⋅

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂⋅⋅

∂∂ • TcqTsin

sinr1T

sinr1

rTr

rr1

v2222

2

(7.33)

A determina câmpul de temperatură din interiorul unui corp înseamnă a integra una dintre formele ecuaţiei difuziei căldurii. Pentru acest lucru este nevoie să se definească domeniul în care se face integrarea. Fie acest domeniu corpul din figura 7.11:

Fig. 7.11


Ecuaţiile (7.25), (7.30) şi (7.33) permit determinarea variaţiei în timp a câmpului de temperatură. Pentru integrarea ecuaţiilor mai sus amintite este nevoie să se precizeze condiţiile iniţiale. Acestea reprezintă valorile câmpului de temperatură la momentul iniţial, moment de la care începe procesul de integrare. Stabilirea valorilor câmpului de temperatură nu se poate face fără precizarea condiţiilor la limită. Acestea înseamnă precizarea valorilor câmpului de temperatură pe conturul domeniului ales.

Fig. 7.12

Dacă ne referim la domeniul din figura 7.11, condiţiile la limită trebuiesc

precizate pe suprafaţa exterioară a corpului. Funcţie de fenomenul modelat, condiţiile la limită pot diferi; astfel, pe suprafaţa S1 să existe un anumit tip de condiţii la limită, iar pe suprafaţa S2 pot fi definite alte condiţii la limită. Există două feluri de condiţii la limită:

condiţii de tip Didichlet sau condiţii de ordinul unu, prin care în punctele suprafeţei pentru care sunt valabile aceste condiţii se precizează temperatura;

condiţii de tip Neumannn sau condiţii de ordinul doi, prin care în punctele suprafeţei pe care sunt valabile se defineşte derivata locală a câmpului de temperatură.

În figura 7.12, pentru o suprafaţă limită domeniului definită prin condiţia x = 0, sunt definite toate tipurile de condiţii la limită necesare integrării ecuaţiei difuziei căldurii.


7.3.2 Conducţia staţionară prin pereţi plani paraleli

Se consideră un perete plan infinit cu feţe paralele, în exteriorul căruia se află două fluide cu temperaturi diferite (fig. 7.13):

Fig. 7.13

Transferul de căldură de la fluidul cald se realizează prin convecţie, între fluidul

cu temperatura 1,T∞ şi suprafaţa peretelui cu temperatura 1,sT . Prin interiorul peretelui, fluxul termic xq se transmite prin conducţie către suprafaţa cu temperatura 2,sT , apoi prin convecţie către fluidul rece cu temperatura 2,T∞ .

În interiorul peretelui, ecuaţia ce defineşte procesul de conducţie se obţine prin particularizarea ecuaţiei (7.24) pentru cazul monodimensional, staţionar şi fără surse de căldură.

0xT

x=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ λ (7.34)


O consecinţă a ecuaţiei (7.2), în condiţiile relaţiei (7.34), este că fluxul de căldură în cazul conducţiei monodimensionale, staţionare, fără surse de căldură, este constant şi nu depinde de variabila x. Prin integrarea ecuaţiei (7.34) se obţine soluţia: ( ) 21 CxCxT += (7.35) Pentru determinarea constantelor, trebuie să punem condiţiile la limită. Utilizând notaţiile din figura 7.13, acestea sunt: ( ) 1,s2 TC0T0x ==⇒= (7.36) ( ) 2,s21 TCCTx =+=⇒= δδδ (7.37) Din sistemul format de ecuaţiile (7.36) şi (7.37) se determină constantele, astfel încât soluţia generală a ecuaţiei (7.34) este:

( ) ( ) 1,s1,s2,s TxTTxT +−=δ

(7.38)

Se observă că în cazul conducţiei staţionare, prin pereţi plani paraleli, fără surse

de căldură, variaţia de temperatură în lungul peretelui este liniară. Pentru a determina fluxul de căldură, utilizăm ecuaţia lui Fourier (7.2):

( )λδδ

λλ 2,s1,s2,s1,sx

TTATTA

dxdTAQ

−=−⋅⋅=⋅⋅−= [W] (7.39)

Pentru uşurinţa scrierii, notaţia •

q se înlocuieşte cu notaţia q , având în vedere că în cazul transferului de căldură atât q , cât şi Q , reprezintă puteri termice. Fluxul termic pe unitatea de suprafaţă, numit flux termic unitar, este:

λδ

2,s1,sx

TTq

−= [W/m2] (7.40)

Acest flux termic (7.40) provine de la fluidul cald - datorită diferenţei de temperatură între temperatura fluidului cald departe de perete 1,T∞ şi temperatura peretelui 1,sT - şi se transmite fluidului rece. În ipoteza că temperatura pereţilor este uniformă pe întreaga lungime, fluxul termic se transmite numai pe direcţie perpendiculară, direcţia x (fig. 7.13), neavând componentă longitudinală. Acestă observaţie ne permite să scriem bilanţul puterilor termice pentru cele două suprafeţe ale peretelui, ecuaţia (7.12), sub forma (7.41). Exprimând diferenţele de temperatură funcţie de fluxul termic şi însumându-le, obţinem o relaţie ce leagă fluxul termic unitar de


temperaturile celor două fluide şi rezistenţele termice asociate celor două feluri de transfer de căldură.

( )

2

2,2,s2,s1,s

1

1,s1,x 1

TTTT1

TTq

αλδ

α

∞∞ −=

−=

−= (7.41)

1

x1,s1,1qTTα⋅=−∞ (7.42)

λδ⋅=− x2,s1,s qTT (7.43)

2

x2,2,s1qTTα⋅=− ∞ (7.44)

Prin însumarea relaţiilor (7.42), (7.43) şi (7.44), rezultă:

( )2,1,gx21

x2,1, TTkq111qTT ∞∞∞∞ −⋅=⇒⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++⋅=−α

λδα

(7.45)

Din relaţia de mai sus, se notează cu gk şi se defineşte coeficientul global de schimb de căldură, în cazul unui perete plan, prin relaţia:

21

g 111k

αλδ

α++

= (7.46)

7.3.2.1 Analogia electrică

Relaţiile (7.40), (7.45) şi (7.46) ne permit stabilirea unei similitudini între transferul de căldură şi circuitele electrice de curent continuu. Astfel, prin analogie, considerăm fluxul termic xq similar cu intensitatea curentului electric, diferenţa de temperatură ( )2,1, TT ∞∞ − similară tensiunii, iar ceilalţi termeni - rezistenţe termice definite astfel:

- 1

1,t1Rα

= rezistenţă termică convectivă asociată procesului de convecţie dintre

fluidul cald şi perete;

- λδ

=2,tR rezistenţi termică conductivă asociată procesului de conducţie din

interiorul peretelui;

- 2

3,t1Rα

= rezistenţă termică convectivă asociată procesului de convecţie dintre

fluidul rece şi perete.


∑=

∞∞∞∞ −=

++−

= 3

1ii,t

2,1,

3,t2,t1,t

2,1,x

R

TTRRR

TTq (7.47)

Fluxul termic unitar de căldură se poate scrie funcţie de rezistenţele termice

asociate diferitelor forme de transfer de căldură (7.47). În figura 7.13 b) este prezentată schema unui circuit electric echivalent, împreună cu rezistenţele respective. Se observă că formularea matematică a ecuaţiilor ce descriu transferul de căldură printr-un perete plan este asemănătoare cu relaţiile circuitului electric de curent continuu pentru cazul legării în serie a rezistenţelor. Pe baza acestui concept, coeficientul global de schimb de căldură pentru peretele plan se defineşte astfel:

∑

=

ii,t

g R1k (7.48)

Fig. 7.14

Pentru un perete plan compus din mai multe straturi (fig. 7.14), utilizând analogia electrică şi notaţiile din figură, putem defini uşor coeficientul global de căldură:


4C

C

B

B5

1i A

A

1i,t

g

11Rk1

αλδ

λδ

λδ

α++++==∑

=

(7.49)

Fluxul termic se calculează din relaţia (7.45). Ca şi în cazul circuitelor serie de curent continuu, pentru care curentul ce străbate rezistenţele este acelaşi, şi în cazul transferului de căldură prin pereţi plani fluxul termic ce străbate diferitele straturi ale peretelui este acelaşi, egal cu fluxurile termice convective de pe feţele peretelui. Această observaţie permite determinarea temperaturilor dintre straturile peretelui. Dacă am determinat fluxul termic xq cu relaţia (7.45), plecând de la o margine se pot determina temperaturile feţelor peretelui şi cele dintre straturi:

1x1,1,s

1qTTα

−= ∞ ; A

Ax1,s2 qTTλδ

−= ; B

Bx23 qTTλδ

−= ; C

Cx34,s qTTλδ

−= (7.50)

Fig. 7.15


Analogia electrică ne permite rezolvarea unor probleme de transfer de căldură prin pereţi cu o structură complicată. În figura 7.15 este prezentat un perete compus din mai multe straturi, iar în partea de jos a figurii sunt prezentate două scheme posibile de calculare a rezistenţei echivalente. Problema care apare în cazurile în care un perete are straturile plasate paralel cu fluxul termic (în cazul de faţă, straturile notate cu F şi G ) depinde de diferenţa valorilor conductivităţii acestor straturi GF λλ − . Dacă diferenţa este mică, problema se poate rezolva prin analogia electrică; dacă această diferenţă este mare, apar componente ale fluxului termic, între cei doi pereţi, lucru ce nu mai permite aplicarea relaţiilor de până acum; problema, în acest caz, necesită o abordare numerică. Situaţia a) se poate utiliza dacă suprafaţa de separare dintre cei doi pereţi este o suprafaţă izotermă. Rezistenţa echivalentă în acest caz este:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=H

H

G

G

F

F

GF

GF

E

Ea

2

4

A1R

λδ

λδ

λδ

λλδδ

λδ (7.51)

Fluxul termic pentru acest caz este:

a

21

RTTQ −

= (7.52)

Rezistenţa termică în cazul b) este dată de formula (7.53), iar fluxul termic se

calculează cu formula (7.52):

H

H

G

G

F

F

E

E

H

H

G

G

E

E

H

H

F

F

E

E

b

22

2

A1R

λδ

λδ

λδ

λδ

λδ

λδ

λδ

λδ

λδ

λδ

⋅+++⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅

= (7.53)

7.3.2.2 Rezistenţa de contact

O problemă importantă ce apare în practică o constituie faptul că suprafeţele de contact dintre diferitele straturi ale pereţilor nu sunt perfecte. Acest lucru determină apariţia unor rezistenţe termice suplimentare, datorate contactelor imperfecte dintre diferitele straturi ale pereţilor. Din punct de vedere matematic, în aceste puncte temperatura prezintă discontinuităţi (fig. 7.16). În figură, în zona de contact a pereţilor, temperatura are un salt BA TTT −=∆ . Rezistenţa termică dintre straturi se datorează diferenţelor de rugozitate. Astfel, sunt zone în care cele două straturi sunt în contact direct şi sunt zone în care între cele două straturi există un spaţiu umplut - de regulă - de un fluid, de cele mai multe ori gaz. Fluxul termic în zona contactelor imperfecte dintre straturi are două componente:


- contactq , reprezentat de suma fluxurilor conductive din zonele de contact direct

între materialele celor două straturi;

Fig. 7.16

- golq reprezintă suma fluxurilor termice transmise prin golurile existente în cazul unui contact imperfect între straturi. Aceste fluxuri termice sunt de natură convectivă şi radiantă. În cazul contactelor imperfecte între straturile unui perete, utilizând notaţiile din figura 7.16, se defineşte rezistenţa termică de contact:

x

BAcontact,t q

TTR −= (7.54)

Pentru diverse cupluri de materiale, rezistenţele de contact se determină experimental. În Anexa 5 se găsesc valori pentru rezistenţe de contact.

Exemplul E 7.2 Uşa unui cuptor este compusă din două straturi de grosime Aδ şi Bδ ce îndeplinesc

condiţia BA 2 δδ ⋅= , având conductivităţile [ ]K/m/W15,0A =λ , [ ]K/m/W08,0B =λ . Aerul din cuptor are temperatura de 400°C, iar cel exterior 25°C. În interiorul cuptorului, coeficienţii de convecţie şi radiaţie sunt [ ]K/m/W25 2

rc ==αα ; la exterior căldura pierdută

prin radiaţie se consideră negljjabilă, iar coeficientul de convecţie este [ ]K/m/W25 2r0 =α .

Să se determine grosimea uşii cuptorului, astfel încât pe faţa exterioară a acesteia temperatura să nu depăşească 50°C.


Soluţie: În figura 7.17 este prezentată geometria problemei:

Fig. 7.17

Transferul de căldură prin uşa cuptorului este staţionar şi monodimensional. Schimbul de căldură de la peretele interior al uşii spre exterior este format din convecţie plus radiaţie - conducţie prin peretele uşii şi convecţie la exterior. Rezistenţele termice parcurse de fluxul termic de la interior către exterior, cu notaţiile din figura 7.17, sunt prezentate în figura 7.18:

Fig. 7.18

Puterea termică ce străbate uşa cuptorului de la interior până la peretele exterior este:

∑−

=•

t

0,sa1

RTT

E [W/m2]

Puterea termică ce părăseşte uşa de la peretele exterior către aer este:

( )∞

•

−= TTE 1,s02 α [W/m2] Bilanţul puterilor se va face pe suprafaţa peretelui exterior al uşii cuptorului, unde s-a impus condiţia pentru temperatură, aplicând relaţia (7.12). Rezistenţa termică echivalentă grupării serie este:

B

B

A

A

rce,t

1Rλδ

λδ

αα++

+=


Bilanţul puterilor este:

( )∞−=++

+

−TT1

TT0,s0

B

B

A

A

rc

0,sa α

λδ

λδ

αα

Având în vedere că BA 2δδ = , din relaţia de mai sus extragem Aδ :

( ) ( ) 0418,0

08,021

15,01

25251

25502550400

211

1TT

TT

BA

rc0,s0

0,sa

A =

⋅+

+−

−−

=

⋅+

+−

−−

= ∞

λλ

αααδ m

0209,02

AB ==

δδ

Grosimea totală a peretelui uşii este: mm7,62m0627,0BA ==+= δδδ

Exemplu E 7.3

Un procesor este fixat pe un suport de aluminiu de grosime 8=δ mm, printr-un film epoxidic de 0,08 mm. Procesorul şi suportul sunt răciţi într-un curent de aer ce are temperatura de 25°C. În aceste condiţii, coeficientul de convecţie este de 100 W/m2/K. Dacă procesorul produce în condiţii normale o putere termică de 104 W/m2, poate să funcţioneze la o temperatură mai mică decât 85°C, temperatura maximă admisă ? (pentru aluminiu 238=λ W/m/K)

Soluţie

Fig. 7.19


În figura 7.19 este prezentă schematic geometria problemei. Filmul epoxidic aplicat între

procesor şi suportul de aluminiu, datorită grosimii reduse este considerat ca o rezistenţă de contact. Din Anexa 5 obţinem, pentru acest caz, valoarea: 4

c,t 109,0R −⋅= m2K/W.

Căldura produsă de procesor pcq este preluată prin faţa acestuia 1q şi prin suportul de

aluminiu 2q . Bilanţul puterilor în acest caz este: 21pc qqq += Schema din dreapta figurii ne ajută să scriem puterile preluate de aerul de răcire:

α1

TTq pc

1∞−

=

αλδ 1R

TTq

c,t

pc2

++

−= ∞

αλδ

α1R

TT1

TTq

c,t

pcpcc

++

−+

−= ∞∞

Din relaţia de mai sus calculăm temperatura procesorului în condiţiile când acesta

produce o putere termică 4c 10q = W/m2:

3,75

1001

238008,0109,0

1100

1025

1R

1qTT

4

4

c,t

cpc =

++⋅+

+=

+++

+=

−

∞

αλδα

°C

Rezultatul de mai sus arată că procesorul lucrează sub temperatura maximă admisă.

7.3.3 Conducţia staţionară prin pereţi cilindrici O situaţie cu numeroase aplicaţii tehnice o constituie cazul transferului de căldură prin pereţi cilindrici. Geometria acestei probleme este prezentată în figura 7.20:

Fig. 7.20


Simetria axială a geometriei permite tratarea problemei într-un sistem de coordonate cilindrice. Considerând că suprafeţele de izoterme sunt suprafeţe cilindrice, rezultă că fluxul de căldură are numai componentă radială. Pentru situaţia staţionară, ecuaţia câmpului termic rezultă din particularizarea relaţiei (7.30).

0drdTr

drd

r1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅λ (7.55)

Soluţia generală a ecuaţiei de mai sus este: ( ) 21 CrlnCrT += (7.56)

Considerând temperaturile pe feţele cilindrului 1,sT şi 2,sT , corespunzătoare razelor 1r şi 2r , condiţiile la limită sunt: 2111,s CrlnCT += (7.57) 2222,s CrlnCT += (7.58)

Determinând constantele din relaţiile (7.57) şi (7.58) şi introducându-le în relaţia (7.56), rezultă ecuaţia variaţiei temperaturii în interiorul cilindrului:

( ) 2,s2

2

1

2,s1,s Trrln

rrln

TTrT +

−= (7.59)

Ecuaţia (7.59) permite determinarea fluxului termic pe baza ecuaţiei lui Fourier:

1

2

2,s1,sr

rrln

L21

TTdrdTLr2

drdTAQ

⋅⋅⋅

−=⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−=

λπ

πλλ (7.60)

Având în vedere analogia electrică din relaţia (7.60), deducem expresia rezistenţei termice conductive pentru cazul pereţilor cilindrici:

1

2cond,t r

rlnL2

1R⋅⋅⋅

=λπ

(7.61)

Considerând un sistem complet, prin care schimbul de căldură se face între două fluide despărţire de un perete cilindric (fig. 7.20), observăm că fluxul termic se transmite de la fluidul cald - prin convecţie - către suprafaţa interioară a cilindrului, prin conducţie în interiorul cilindrului şi prin convecţie către fluidul rece. Rezistenţa termică convectivă pentru cazul pereţilor cilindrici se deduce din relaţia fluxului termic:


Lr2

1R

Lr21

TTQ

11,conv,t

1

1,s1,r ⋅⋅⋅⋅

=⇒

⋅⋅⋅⋅

−= ∞

απαπ

(7.62)

Pentru schimbul de căldură dintre cele două fluide, rezistenţa termică totală este suma rezistenţelor convective şi conductive:

Lr21

rrln

L21

Lr21

1R1

221

2

11

e,t

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅

=

απλπαπ

(7.63)

Expresia fluxului termic pentru cazul pereţii cilindrici este:

( )2,1,cil,ge,t

2,1,r TTk

RTT

Q ∞∞∞∞ −=

−= (7.64)

S-a introdus notaţia cil,gk - coeficientul global de schimb de căldură pentru pereţi cilindrici. Expresia acestuia este:

e,t

cil,g R1k = (7.65)

Fig. 7.21


În cazul când peretele cilindric este compus din mai multe straturi cu proprietăţi

termice diferite (fig. 7.21), rezistenţa termică echivalentă este:

Lr21

rrln

L21

Lr21

1kR1

22

3

1i i

1i

i11

cil,ge,t

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅

==

∑=

+

απλπαπ

(7.66)

Exemplul E 7.4

O ţeavă de cupru. care transportă un lichid frigorific. are diametrul exterior 10ri = mm,

este izolată cu polistiren ce are conductivitatea 055,0=λ W/m/K şi raza exterioară r. Coeficientul de convecţie către aerul exterior este 5=α W/m2/K. Să se analizeze existenţa unei grosimi optime de izolaţie.

Soluţie: Schema conductei din problemă este prezentă în figura 7.22.

Fig. 7.22

Odată cu creşterea diametrului izolaţiei, rezistenţa conductivă creşte, iar rezistenţa convectivă scade datorită creşterii suprafeţei exterioare a izolaţiei. Se pune problema existenţei unei grosimi optime a izolaţiei, care să minimizeze fluxul termic. Cu notaţiile din figura 7.22, schema rezistenţelor termice este următoarea:

Fig. 7.23 Rezistenţa termică echivalentă pentru un metru de conductă şi fluxul termic sunt:

απλπ ⋅⋅⋅

+⋅⋅

=r2

1rrln

21R

ie,t ;

e,t

i

RTTq −

= ∞


Pentru găsirea unui optim pentru rezistenţa termică echivalentă, anulăm prima derivată:

αλ

απλπ=⇒=

⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⇒= r0

r21

r210

drdR

2e,t

Pentru a vedea dacă această valoare maximizează sau minimizează fluxul termic,

facem derivata a doua:

απλπ ⋅⋅+

⋅⋅⋅−= 322

e,t2

r1

r21

drRd

Pentru valoarea

αλ

=r , aceasta devine:

02

12111

drTd

2

322

2

>⋅⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

αλπλλ

αλπ

Valoarea derivatei a doua este totdeauna pozitivă; acest lucru înseamnă că la raza

αλ

=r rezistenţa termică echivalentă are un minim, deci fluxul termic este maxim. Rezultatul de

mai sus ne arată că nu poate exista o problemă de optimizare a grosimii izolaţiei.

Valoarea razei αλ

=r a fost denumită valoare critică, practic ea maximizează fluxul

termic. În general, odată cu creşterea izolaţiei scade fluxul termic, dacă raza izolaţiei este mai mare decât valoare critică. Cu valorile numerice din problemă, obţinem:

m011,05055,0r ==

αλ

în tabelul de mai jos s-au trecut rezultatele calculelor efectuate pentru diferite grosimi ale izolaţiei. Se observă că rezistenţa conductivă creşte o dată cu raza, însă rezistenţa convectivă scade cu creşterea razei. Aceste tendinţe sunt însumate de valorile rezistenţei termice echivalente. Observăm că acesta are minimul prezis de anularea primei derivate:

[ ]mr condR convR e,tR 0,005 0 6,37 6,37 0,007 0,97 4,55 5,52 0,010 2,00 3,18 5,18 0,011 2,28 2,89 5,17 0,015 3,18 2,12 5,30 0,025 4,66 1,27 5,93 0,045 6,35 0,71 7,06


7.3.4 Conducţia staţionară prin pereţi sferici Pentru a determina fluxul de căldură prin pereţi sferici considerăm un volum

definit de două sfere de raze 1r şi 2r , conform figurii 7.24:

Fig. 7.24

La distanţa r se defineşte o suprafaţă sferică de grosime dr. Fluxul termic pe faţa interioară a acesteia este rq , iar pe faţa exterioară este drrq + . Expresia fluxului termic este dată de legea lui Fourier, în care suprafaţa A este particularizată pentru cazul unei suprafeţe sferice de rază r :

( )drdTr4

drdTAq 2⋅⋅⋅−=⋅⋅−= πλλ (7.67)

Pentru suprafaţa sferică definită mai sus, se integrează ecuaţia definită de

formula (7.67). Observăm că ecuaţia diferenţială se poate integra prin separarea variabilelor.

dTr4

drq 2 λπ

−=⋅⋅

(7.68)

Integrând ecuaţia (7.68), rezultă:

∫∫⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⋅

−=⇒−=

⋅

2,s

1,s

2

1

T

T

21

2,s1,sr

r2

r1

r1

41

TTqdT

rdr

41q

λπ

λπ

(7.69)

Dacă ne referim la analogia electrică, rezistenţa termică conductivă asociată unui

perete sferic definit de razele 1r şi 2r este, conform relaţiei (7.69), următoarea:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⋅=

21t r

1r1

41Rλπ

(7.70)


7.3.5 Elemente de conducţia nestaţionară Ecuaţia difuziei căldurii, în diverse sisteme de coordonate, este alcătuită din

termeni ce conţin derivatele temperaturii funcţie de coordonate şi un termen care conţine derivata temperaturii funcţie de timp. Pentru a obţine soluţii analitice, se introduc ipoteze simplificatoare, cea mai utilizată fiind aceea prin care se consideră câmpul de temperatură staţionar, lucru ce face posibil anularea termenului ce conţine derivata temporară a temperaturii.

În cazul când se doreşte obţinerea de soluţii luând în considerare termenul ce conţine derivata temporară a temperaturii, soluţiile vor fi de forma ( )τ,z,y,xT , câmpul de temperatură depinde atât de coordonatele spaţiale, cât şi de timp. Spunem că avem o soluţie nestaţionară a ecuaţiei difuziei căldurii, care defineşte câmpul de temperatură în timp şi în spaţiu.

Datorită formei complexe a ecuaţiei difuziei căldurii, soluţiile analitice sunt limitate, iar acestea sunt obţinute în condiţiile unor ipoteze simplificatoare. Soluţii complexe, fără a introduce ipoteze simplificatoare, se pot obţine pe cale numerică.

7.3.5.1 Metoda capacităţii punctiforme De multe ori, se pot obţine soluţii simple pentru transferul nestaţionar de căldură

prin introducerea unor ipoteze ce reflectă o comportare particulară a anumitor corpuri în timpul transferului de căldură, comportare datorată unor proprietăţi specifice. Astfel, pentru multe corpuri solide, în special metale, caracterizate de valori mari ale conductivităţii, gradientul de temperatură în interiorul corpului în timpul transferului de căldură este mic, lucru ce permite introducerea unei ipoteze simplificatoare prin care se consideră că temperatura corpului este uniformă. Practic, prin această ipoteză dispare efectul spaţial al volumului corpului, acesta putând fi considerat punctiform. Această ipoteză stă la baza metodei capacităţii punctiforme.

Fig. 7. 25


Pentru a explica metoda capacităţii punctiforme, considerăm un bucată de metal caldă, cu temperatura iniţială iT , răcită într-un lichid cu temperatura ∞T (fig. 7.24). Ipoteza de bază a metodei presupune că temperatura corpului metalic este uniformă în volumul acestuia, pe întreaga durată a procesului. Iniţial, temperatura metalului este iT ; după ce acesta este introdus în vasul cu lichid, temperatura corpului se va modifica în timp. Utilizarea ipotezei prin care temperatura corpului este uniformă în întregul volum face ca temperatura corpului să devină o funcţie de o singură variabilă: timpul.

Bilanţul puterilor termice pe volumul de control asociat corpului (fig. 7.24) ne arată că variaţia energiei corpului este egală cu puterea termică transmisă prin convecţie lichidului:

••

=− EEe (7.71) sau:

( )τ

ραddTcVTTAs ⋅⋅⋅=−⋅⋅− ∞ (7.72)

Relaţia (7.72) reprezintă ecuaţia diferenţială ce descrie variaţia în timp a

temperaturii corpului. Se introduce notaţia:

ττ

θθddT

ddTT =⇒−= ∞ (7.73)

Cu această notaţie, ecuaţia devine:

θτθ

αρ

−=⋅⋅⋅

dd

AcV

s

(7.74)

Prin integrare, obţinem:

∫∫ −=⋅⋅⋅ τθ

θ

τθθ

αρ

0s

ddA

cV

i

; unde ∞−= TTiiθ (7.75)

Soluţia este:

τθθ

αρ

=⋅⋅⋅ i

s

lnA

cV (7.76)

sau :

( )τβτρα

θθ

⋅−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

⋅−=

−−

=∞

∞ expcV

AexpTTTT s

ii

(7.77)

Coeficientul timpului din ecuaţia (7.77) se notează cu β şi se numeşte constanta

termică a timpului.


( ) tcond,ts

CRcVA

1⋅=⋅⋅

⋅= ρα

β (7.78)

Din relaţia de mai sus se determină constanta termică a timpului; ea este egală cu produsul dintre rezistenţa termică convectivă şi capacitatea termică punctiformă a solidului. Aceste mărimi determină răspunsul în timp al corpului.

Fig. 7.26

În figura 7.25 sunt prezentate grafic câteva soluţii ale ecuaţiei (7.77). Se observă influenţa constantei termice a timpului β . Practic, această constantă modifică răspunsul în timp al corpului. Fiind vorba de un fenomen dinamic, există un circuit electric echivalent ce permite modelarea fenomenelor de transfer nestaţionar de căldură.

Fig. 7.27

În figura 7.26 este prezentat circuitul electric echivalent, împreună cu echivalenţa mărimilor. Practic, timpul de descărcare al condensatorului prin rezistenţa

tR este similar cu timpul de răspuns al corpului răcit.


Exemplul E 7.5 Un termocuplu ce poate fi asimilat unei sfere este folosit pentru măsurarea temperaturii într-un gaz. Coeficientul de convecţie este 400 W/m2/K, iar proprietăţile materialului sunt căldura specifică c=400 J/kg/K şi densitatea ρ=8500 kg/m3 . Să se determine diametrul termocuplului, astfel încât constanta termică a timpului să fie de 1s. Dacă termocuplul, de la 25°, este introdus în curentul de gaz la 200°C, cât timp îi trebuie termocuplului să ajungă la 199°C? Soluţie: Din condiţia 1=β deducem diametrul termocuplului:

42

3

1006,74008500

4006c

6D1D

c6D

−⋅=⋅

⋅=

⋅⋅

=⇒=⋅⋅

⋅⋅

⋅=

ρα

πα

πρβ m

Din ecuaţia (7.77) determinăm timpul:

16,520019920025ln

4001006,785006400

TTTTln

c6DD

TTTTln1

4i

3

2i =

−−

⋅⋅⋅⋅

=−−

⋅⋅

⋅

⋅⋅=

−−

= −∞

∞

∞

∞

πρ

παβ

τ s

7.3.5.2 Analiza metodei capacităţii punctiforme Considerăm un transfer de căldură staţionar, printr-un perete de lăţime L. Una

dintre suprafeţe este menţinută la temperatura 1,sT , iar cealaltă suprafaţă este expusă unui curent de fluid la temperatura ∞T , astfel încât temperatura acestei feţe este 2,sT , cu condiţia 1,s2,s TTT <<∞ (fig. 7.27).

Fig. 7.28


Bilanţul puterilor pe faţa exterioară a peretelui este:

( )∞−⋅⋅=−

⋅⋅ TTAL

TTA s,2

2,s1,s αλ (7.79)

Rearanjând relaţia de mai sus, obţinem :

BiLRR

A1

AL

TTTT

convectiva,t

conductiva,t

2,s

2,s1,s =⋅

==

⋅

⋅=−−

∞ λα

α

λ (7.80)

Relaţia de mai sus ne arată că raportul rezistenţelor termice conductive şi convective este adimensional şi poartă numele de numărul lui Biot (sau criteriul lui Biot, referitor la criterii de similitudine). Acesta joacă un rol fundamental în problemele de conducţie ce au o suprafaţă conductivă. Prin analiza numerică a schimbului de căldură, conform schemei din figura 7.27, rezultă că pentru valori ale numărului lui Biot mult mai mici ca 1 (Bi << 1), rezistenţa conductivă a peretelui este mai mică decât rezistenţa convectivă din stratul limită al fluidului. În aceste condiţii, se poate aplica metoda capacităţii punctiforme. Din figura 7.27 se observă că, în acest caz, variaţia de temperatură în interiorul peretelui este mică.

Fig. 7.29

Se consideră un caz general (fig. 7.28) al unui perete, care pe o faţă are impus un flux termic sq , iar pe cealaltă faţă este în contact cu un fluid, astfel încât există un flux de căldură convectiv cq şi unul radiant rq . Temperatura fluidului este ∞T , iar temperatura mediului exterior este medT . În interiorul peretelui se generează căldură de o

sursă de intensitate gE•

.


Aplicând conservarea puterilor termice, obţinem următoarea ecuaţie:

( ) ( ) τρ

ddTcVAqqEAq r,csrcsss ⋅⋅=⋅+−+⋅

•

(7.81)

( ) ( )[ ] ( ) τ

ρσεαddTcVATTTTEAq r,cs

4med

4sss ⋅⋅=⋅−⋅+−⋅−+⋅ ∞

•

(7.82)

Ecuaţia (7.82) este o ecuaţie diferenţială de ordinul unu, neomogenă şi neliniară, ce nu are soluţie analitică. Ea poate fi integrată numeric, dar – utilizând anumite ipoteze simplificatoare – putem obţine si soluţii analitice. Dacă fluxul termic impus sq este nul, fluxul generat în perete este nul şi convecţia poate fi neglijată, 0qc ≈ . Acesta poate fi cazul unui perete supus unei intense radiaţii (flacără); ecuaţia se simplifică şi ajunge la forma:

( )4med

4 TTddTcV −⋅⋅−=⋅⋅⋅ σετ

ρ (7.83)

Separând variabilele şi integrând, obţinem:

∫ ∫ −=

⋅⋅⋅⋅ τ

τρ

σε

0

T

T44

mediTT

dTdcV

A (7.84)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−+

−−+

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=med

i

mrdimed

imed

med

med3

med TTarctg

TTarctg2

TTTTln

TTTTln

TA4cV

σερτ (7.85)

O altă soluţie exactă se poate obţine în condiţiile în care fluxul termic radiant

este nul. Se introduce temperatura redusă ∞−= TTθ , precum şi următoarele notaţii:

cV

Aa⋅⋅

⋅=ρα ;

cVEAq

b gss

⋅⋅

+⋅=

•

ρ (7.86)

În aceste condiţii, ecuaţia (7.82) devine :

0badd

=−+ θτθ (7.87)

Soluţia generală a ecuaţiei (7.87) se obţine prin însumarea soluţiei ecuaţiei

omogene şi a soluţiei particulare. Neomogenitatea se elimină prin introducerea transformării:

ab

−=θγ (7.88)


Ecuaţia (7.87) devine:

0add

=+ γτγ (7.89)

Separând variabilele şi integrând între iγ şi γ , rezultă soluţia:

( )τγγ aexp

i

−= (7.90)

Revenind la variabilele iniţiale, obţinem :

( )τaexp

abTT

abTT

i

−=−−

−−

∞

∞

(7.91)

În final, rezultă:

( ) ( )[ ]ττ aexp1TT

ab

aexpTTTT

ii

−−−

+−=−−

∞∞

∞ (7.92)

7.3.5.3 Soluţii exacte pentru ecuaţia difuziei căldurii în cazul unui corp solid, semiinfinit Metoda capacităţii punctiforme se aplică într-un număr limitat de cazuri, care

îndeplinesc ipotezele respective. Pentru determinarea spaţial-temporară a câmpului de temperatură în interiorul unui solid, trebuie să utilizăm ecuaţia difuziei căldurii. Deoarece această ecuaţie este complicată, soluţiile analitice care se pot obţine sunt limitate.

Dacă considerăm ecuaţia (7.25) şi introducem următoarele ipoteze simplificatoare: conducţie este monodimensională şi fără surse de căldură, obţinem următoarea formă:

τ∂∂

=T

a1

dxTd2

2

(7.93)

Această formă simplă permite obţinerea de soluţii analitice dacă se integrează pe un domeniu semiinfinit, rezultând câmpul de temperatură sub forma unei suprafeţe definită de funcţia ( )τ,xTT = . Domeniul de integrare este monodimensional omogen, pornind de la 0x = până la ∞=x . Integrarea se face de la momentul 0=τ până la momentul ττ = . Condiţia iniţială o reprezintă precizarea temperaturii pentru toate valorile lui x la momentul 0=τ şi este reprezentată de relaţia ( ) iT0,xT = .


În figura 7.29 sunt prezentate trei tipuri de condiţii la limită, pentru limita din stânga a domeniului reprezentată de ecuaţia 0x = , ce se pot utiliza pentru ecuaţia (7.93):

- prima condiţie este de tip Dirichlet şi se referă definirea unei temperaturi sT pe suprafaţa din stânga a domeniului, pentru orice valoare a timpului;

- a doua condiţie este de tip Neumann şi se referă la impunerea unui flux de căldură constant 0q , pentru toate valorile timpului;

- a treia condiţie se referă la cazul când suprafaţa din stânga domeniului este în contact cu un fluid în mişcare; în acest caz condiţia la limită este tot de tip Neumann, prin care derivata temperaturii în punctul 0x = , înmulţită cu conductivitatea mediului, trebuie să fie egală cu fluxul termic convectiv. Această condiţie la limită este variabilă funcţie de valoarea timpului τ , deoarece în ecuaţia respectivă apare valoarea momentană a temperaturii la limita domeniului ( )τ,0T .

Fig. 7.30

Soluţiile obţinute pentru ecuaţia (7.93), pentru cele trei cazuri, sunt reprezentate grafic în figura 7.2. Analitic, au următoarele formulări: Cazul 1:

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅

=−−

ττ

a2xerf

TTT,xT

si

s (7.94)

În acest caz, fluxul termic pentru 0x = este:

( ) ( )τπ

λλτa

TTxTq is

0xs ⋅

−⋅=

∂∂⋅−=

=

(7.95)


Cazul 2:

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅

⋅−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⋅⋅=−

τλτλπτ

τa2xerfcxq

a4xexp

aq2T,xT 0

20

i (7.96)

Cazul 3:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅+

⋅−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅

=−−

∞ λτα

τλτλ

λα

ττ a

a2xerfcaxexp

a2xerfc

TTT,xT

2

2

i

i (7.97)

S-a notat cu erf funcţia erorilor a lui Gauss, care se găseşte tabelată în Anexa 5, iar cu erfc funcţia complementară a erorilor, definită astfel:

( ) ( )xerf1xerfc −= (7.98)

Exemplul E 7.6 Să se determine adâncimea minimă la care trebuie îngropată o conductă de apă, astfel încât după 60 de zile să ajungă de la o temperatură de 20°C la 0°C. Pe toată această perioadă, temperatura atmosferică se va considera -15°. Pentru sol se dau următoarele mărimi:

3m/kg2050=ρ ; k/m/W52,0=λ ; K/kg/J1840c = ; s/m10138,0a 26−⋅=

Soluţie: În figura 7.30 este prezentată schema conductei:

Fig. 7.31

Problema se încadrează în cazul 1. Fie mx adâncimea la care este îngropată conducta. După 60 de zile, solul are la suprafaţă -15°C, iar la adâncimea conductei 0°C. Suprafaţa solului constituie începutul domeniului de integrare, 0x = , locul în care se pune condiţia la limită ( ) 15,0T −=τ , adică temperatura solului la suprafaţă este egală cu temperatura atmosferică.

Relaţia (7.94) ne permite să calculăm temperatura la orice adâncime şi la orice moment de timp, deci:

( ) ( )( ) 4,0

a2x

a2xerf429,0

1520150

TTT,xT mm

si

sm =⋅

⇒⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅

==−−−−

=−

−ττ

τ

S-a utilizat pentru funcţia erorilor, ( )xerf , Anexa 5.

m68,03600246010138,08,0a8,0x 6m =⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= −τ


7.4 Convecţia Convecţia este fenomenul de schimb de căldură ce are loc la suprafaţa de

separare dintre un solid şi un fluid ce au temperaturi diferite. Evaluarea fuxului de căldură schimbat de cele două elemente se face cu relaţia lui Newton:

( )sx TTq −⋅= ∞α (7.99) Cu xq s-a notat fluxul de căldură local dintre elementul de suprafaţă a unei plăci plane aflat la distanţa x (fig. 7.32). Placa are la suprafaţă temperatura sT , iar fluidul are temperatura şi viteza notate cu ∞T , respectiv ∞u . Parametrii fluidului se notează, de regulă, cu indicele “∞ ”, ceea ce ne indică faptul că valorile acestor parametri sunt măsurate la o distanţă suficient de mare pentru a nu fi influenţaţi de corpul în jurul căruia se studiază fenomenul de convecţie. S-a notat cu sA suprafaţa totală a plăcii considerate.

Fig. 7.32

Căldura totală transferată prin convecţie între placă şi fluid se obţine prin integrarea, pe toată suprafaţa plăcii, a fluxului termic xq definit pe unitatea de suprafaţă. ( ) ( )∞∞ −⋅⋅=⋅−⋅== ∫∫ TTAdATTdAqQ sa

As

Ax

ss

αα (7.100)

În relaţia (7.100) s-a notat cu α valoarea medie e coeficientului de convecţie

pentru suprafaţa plăcii, definită de relaţia:

∫ ⋅=sAs

dAA1 αα (7.101)

Coeficientul de convecţie local α variază pe suprafaţa de schimb de căldură

dintre corp şi fluid, datorită condiţiilor locale de curgere. Pentru calculul schimbului de căldură este complicată determinarea coeficientului local de convecţie. Din această cauză, se utilizează valoarea medie, pe suprafaţă, a coeficientului de convecţie în procesul de determinare a schimbului de căldură.


7.4.1 Analiza procesului de convecţie în stratul limită

Pentru a explica conceptul de strat limită, vom considera un caz simplu: curgerea unui fluid peste o placă plană (fig. 7.33).

Fig. 7.33

Particulele de fluid care vin în contact direct cu placa, datorită forţelor de coeziune aderă la suprafaţa acesteia, astfel încât au o viteză nulă (fig. 7.33 a). Acest strat de fluid care aderă la suprafaţa plăcii şi are viteză nulă influenţează straturile vecine prin micşorarea vitezei acestora. Astfel, datorită forţelor de frecare vâscoasă (tensiuni tangenţiale notate cu τ ) ce se manifestă în straturile de fluid, la suprafaţa plăcii viteza fluidului variază de la zero până la valoarea vitezei curgerii neperturbate ∞u . Indicele “∞ ” se utilizează pentru a defini parametrii curgerii libere ce are loc în afara stratului limită.

Stratul de fluid din vecinătatea plăcii, în care viteza variază de la zero la valoarea vitezei din curgerea neperturbată, se numeşte strat limită.

Se notează cu δ valoarea lui y pentru care viteza în apropierea plăcii este ∞⋅= u99,0u . Ea se numeşte grosimea stratului limită. Curgerea unui fluid în jurul unei

plăci sau - în general - în jurul unui corp de formă oarecare, se poate împărţi în două regiuni distincte: stratul limită, în care gradientele de viteză şi de tensiuni tangenţiale sunt mari, şi regiunea care se află în afara stratului limită, în care gradientele de viteză şi de tensiuni tangenţiale sunt neglijabile.

În lungul plăcii, efectele vâscozităţii fac ca grosimea stratului limită să crească o dată cu x.


Dacă ne referim la temperatură, presupunem că pe faţa plăcii temperatura este

uniformă şi are valoarea sT , iar temperatura fluidului, în faţa plăcii, este ( )∞∞ >≠ TTTT ss . Particulele de fluid care aderă la suprafaţa plăcii au, datorită forţelor de

coeziune, temperatura egală cu temperatura plăcii. Straturile învecinate au - datorită schimbului de energie - temperaturi variabile, pe măsură ce sunt mai depărtate de placă temperatura lor tinde spre temperatura fluidului. Regiunea din vecinătatea în care există gradient de temperatură se numeşte strat limită termic. Limita acestui strat este denumită grosimea stratului limită termic tδ şi se defineşte ca fiind grosimea pentru care temperatura T a fluidului este egală cu valoarea definită de relaţia:

99,0TTTT

s

s =−−

∞

(7.102)

În figura 7.33 b) este prezentat stratul limită termic şi grosimea acestuia ( )xδ , care creşte odată cu creşterea lui x. Stratul limită termic are o importanţă deosebită în studiul procesului de convecţie. Astfel, fluxul de căldură local schimbat între placă şi fluid poate fi definit de relaţia lui Fourier, în care gradientul de temperatură este derivata funcţiei ce reprezintă variaţia temperaturii în stratul termic ( )yT în punctul de contact (fig. 7.33 b).

Dacă notăm cu xq fluxul de căldură local pe unitatea de suprafaţă, cu fλ conductivitatea termică a fluidului şi cu α coeficientul local de convecţie la distanţa x de marginea plăcii, acesta poate fi definit astfel:

( )0y

fsx yTTTq

=∞ ∂

∂⋅−=−⋅= λα (7.103)

Relaţia (7.103) ne permite să calculăm coeficientul de convecţie local:

∞

=

−

∂∂⋅−

=TTyT

s

0yfλ

α (7.104)

Practic, dacă se cunoaşte expresia variaţiei temperaturii în stratul limită termic ( )yT , se poate determina coeficientul de convecţie local. Acest lucru se poate determina

analitic într-un număr restrâns de cazuri, datorită complexităţii fenomenului. Un pas important în analiza procesului de convecţie din stratul limită îl reprezintă stabilirea naturii curgerii în această regiune, adică dacă avem de a face cu o curgere turbulentă sau cu o curgere laminară. Acest lucru determină profilul variaţiei vitezei în stratul limită care, la rândul său, influenţează profilul variaţiei temperaturii din stratul limită termic, deci coeficientul de convecţie. În figura 7.34 este prezentată structura reală a stratului limită. Iniţial, curgerea în stratul limită este laminară până la o anumită distanţă notată cu cx ; urmează o zonă de tranziţie, apoi curgerea se transformă - în mare parte - în curgere turbulentă.


În zona curgerii turbulente, precum şi în zona curgerii tranzitorii, se menţine în vecinătatea plăcii un substrat în care curgerea este laminară. Pentru zona turbulentă, între substratul laminar şi stratul turbulent există un strat de tranziţie.

Fig. 7.34

Se observă că în cele două zone distincte de curgere, laminară şi turbulentă, variaţia vitezei în stratul limită este diferită. Acest lucru influenţează variaţia temperaturii în stratul limită termic, deci şi derivata acesteia la suprafaţa plăcii, care determină valoarea coeficientului de convecţie. Aceste influenţe ale curgerii, în stratul limită, asupra grosimii acestuia, cât şi asupra coeficientului de convecţie, sunt prezentate în figura 7.35.

Fig. 7.35

Se observă dependenţa coeficientului local de convecţie de natura curgerii din stratul limită.


Deoarece modelarea analitică a procesului de convecţie, în scopul definirii unor formule pentru calculul coeficientului de convecţie, este posibilă numai într-un număr limitat de cazuri, se apelează la teoria similitudinii bazată pe determinări experimentale pentru definirea unor formule ale coeficientului de convecţie. 7.4.2 Similitudinea în stratul limită, criterii de similitudine Analizând aspectele particulare ale curgerii în stratul limită, se introduc următoarele aproximaţii pentru ecuaţiile de curgere şi ecuaţia energiei, folosind notaţiile din figurile 7.33 şi 7.34:

xv,

yv,

xu

yu;vu

∂∂

∂∂

∂∂

>>∂∂

>> (7.105)

xT

yT

∂∂

>>∂∂ (7.106)

Aplicând aceste aproximaţii ecuaţiei de curgere Navier-Stokes pentru curgerea staţionară bidimensională, ecuaţiei energiei şi a continuităţii, obţinem ecuaţiile stratului limită:

0yv

xu

=∂∂

+∂∂ (7.107)

2

2

yu

xp1

yuv

xuu

∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂ ν

ρ (7.108)

0yp=

∂∂ (7.109)

2

p2

2

yu

cyTa

yTv

xTu ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂ ν (7.110)

Ecuaţiile de mai sus conţin în partea stângă termeni de advecţie, iar în partea dreaptă termeni care exprimă difuzia (disipaţia), ceea ce face să considerăm că ecuaţiile descriu - pentru viteze mici - fenomenul de convecţie forţată. Pentru ecuaţiile de mai sus, se introduc următoarele mărimi adimensionale notate cu “*”:

- Lxx* = ;

Lyy* = ; L - lungimea caracteristică schimbului termic;

- ;Vuu* =

Vvv* = ; ∞= uV viteza fluidului neperturbată de stratul limită;

- s

s*

TTTTT−−

=∞


Înlocuind variabilele adimensionale definite mai sus în ecuaţiile (7.108) şi (7.110) ,obţinem forma adimensională a acestor ecuaţii. În ecuaţia (7.110) s-a neglijat termenul ce reprezintă disipaţia vâscoasă.

2*

*2

*

*

*

**

*

**

yu

LVxp

yuv

xuu

∂∂

⋅+

∂∂

−=∂∂

+∂∂ ν (7.111)

2*

*2

*

**

*

**

yT

LVa

yTv

xTu

∂∂

⋅=

∂∂

+∂∂ (7.112)

În ecuaţiile de mai sus apar termeni adimensionali, astfel:

- ν

LVRe ⋅= criteriul lui Reynolds

- pc

aPrRePr

LVa

LVa

⋅==⇒=

⋅⋅=

⋅ µλ

νν

ν criteriul lui Prandtl

Din ecuaţia coeficientului de convecţie local, prin introducerea variabilelor adimensionale, obţinem:

0y

*

*

0y*

*

0y*

*

s

sf

s

0yf

yTLNu

yT

LyT

TTTT

LTT

yT

===∞

∞

∞

=

∂∂

=⋅

=⇒∂∂⋅=

∂∂⋅

−−

⋅−=⇒−

∂∂⋅−

=λ

αλλα

λ

α

(7.113)

- λ

α LNu ⋅= criteriul lui Nusselt

Proprietăţile fluidului din criteriul Prandtl - dacă nu se fac alte precizări - se determină la valoarea medie a temperaturii, calculată astfel:

2

TTT sf

∞+= (7.114)

Pentru rezolvarea problemelor de convecţie trebuie calculat coeficientul de convecţie. Observăm că dacă se cunoaşte criteriul lui Nusselt, acesta permite determinarea coeficientului de convecţie. Există două metode. Prima este metoda teoretică, ce implică integrarea ecuaţiilor stratului limită şi permite obţinerea de soluţii pentru un număr limitat de cazuri. A doua metodă, denumită experimentală sau a corelaţiilor empirice, constă în efectuarea de măsurători experimentale pentru transferul de căldură prin convecţie pentru diferite geometrii şi corelarea datelor în ecuaţii criteriale, ecuaţii ai căror termeni sunt adimensionali, formaţi din criterii de similitudine.


7.4.3 Convecţia forţată în spaţiu nelimitat Convecţia forţată în spaţiu nelimitat înseamnă schimbul de căldură dintre un fluid ce are o mişcare impusă şi un corp. Fenomenul se petrece într-un spaţiu cu dimensiuni mari, ce nu afectează procesul de schimb de căldură.

Curgerea unui fluid peste o placă plană: - mişcarea fluidului este laminară

31

21

PrRe664,0Nu ⋅⋅= ; 50Pr6,0 << (7.115)

- între fluid şi placă există un strat limită mixt laminar şi turbulent, cu notaţiile din figura 7.34; ecuaţia criterială este:

31

54

c,x54

L21

c,x PrReRe037,0Re664,0Nu ⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= (7.116)

- mişcarea fluidului este turbulentă

31

54

PrRe0296,0Nu ⋅⋅= ; 60Pr6,0 << (7.117)

Curgerea unui gaz peste un cilindru, relaţie propusă de Hilpert:

31

mDD PrReCDNu ⋅=

⋅=

λα (7.118)

Lungimea caracteristică, în acest caz, este D diametrul cilindrului. DRe indică faptul că criteriul lui Reynolds se calculează cu diametrul D utilizat ca lungime caracteristică. În tabelul T 7.1 sunt prezentate valorile coeficienţilor C şi m din relaţia (7.118). Aceştia au fost determinaţi pe cale experimentală. Tabelul T 7.1


Ecuaţia (7.118) poate fi folosită şi în cazul curgerii unui gaz peste un corp cu altă geometrie. În tabelul T 7.2 sunt prezentate valorile coeficienţilor ecuaţiei pentru acest caz: Tabelul T 7.2

Cazul curgerii în jurul unei sfere de diametru D; se utilizează relaţia lui Whitaker:

41

s

4,032

D21

DD PrRe06,0Re4,02Nu ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅+=

µµ (7.119)

Relaţia este valabilă cu următoarele restricţii:

2,30,1;106,7Re5,3;380Pr71,0s

4D <⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<⋅<<<<

µµ

Curgerea peste un fascicul format din mai mult de 10 rânduri de ţevi ( )10N R ≥

de diametru D. Relaţii propuse de Grimison: max,D1D ReCNu = (7.120) cu restricţiile ;7,0Pr;000.40Re2000 max,D =<<

31

max,Dmax,D PrRe13,1Nu ⋅= (7.121) cu restricţiile ;7,0Pr;000.40Re2000 max,D ≥<<


Relaţiile (7.120) şi (7.121) se aplică funcţie de modul de aşezare a ţevilor în fascicul. În figura 7.36 sunt prezentate cele două moduri posibile de aşezare a tevilor în fascicul:

a) b)

Fig. 7.36 Utilizând notaţiile din figura 7.36, valorile coeficienţilor ecuaţiilor (7.120) şi (7.121) sunt date în Tabelul T 7.3:

Tabelul T 7.3


Criteriul max,DRe se calculează pentru valoarea maximă a vitezei fluidului între rândurile fascicolului. Pentru cazul în care ţevile sunt aliniate (fig. 7.36 a), viteza maximă se obţine în secţiunea 1A . Din legea conservării masei rezultă:

VDS

SVT

Tmax ⋅

−= (7.122)

În cazul fascicolului de ţevi intercalate, viteza maximă poate fi în secţiunea transversală 1A sau în secţiunea diagonală 2A . Dacă este îndeplinită condiţia:

2

DS2

SSS T21

2T2

LD+

<⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

atunci viteza maximă se determină cu relaţia:

( ) VDS2

SVT

Tmax ⋅

−⋅= (7.123)

Curgerea peste un fascicul format din mai puţin de 10 rânduri de ţevi

( )10N R ≤ de diametru D. Pentru acest caz se utilizează relaţia:

10ND210NDRR

NuCNu≥≤

⋅= (7.124) Se observă că în acest caz se utilizează valorile obţinute cu una dintre ecuaţiile (7.120) sau (7.121), corectate cu factorul 2C . Valorile acestuia se găsesc în Tabelul T 7.4 : Tabelul T 7.4

În cazul curgerii unui fluid peste un fascicul de ţevi, cantitatea de căldură preluată de acesta de la fascicul se poate determina astfel: notăm cu iT temperatura fluidului în faţa fasciculului şi cu eT temperatura acestuia la ieşirea din fascicul. Diferenţa medie logaritmică de temperatură între fluid şi temperatura sT a pereţilor exteriori ai ţevilor din fascicul este:

( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−−=∆

es

is

esisln

TTTTln

TTTTT (7.125)


Dacă notăm cu N numărul total de ţevi din fascicul şi cu NT numărul de ţevi din

secţiunea transversală a acestuia, raportul adimensional al temperaturilor se exprimă astfel:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−=−−

pTTis

es

cSNVNDexp

TTTT

ραπ (7.126)

Căldura schimbată de 1m de fascicul poate fi determinată cu relaţia: ( )lnl TDNq ∆⋅⋅⋅⋅= πα (7.127)

7.4.4 Convecţia liberă în spaţiu nelimitat Convecţia liberă se referă la schimbul de căldură ce are loc între un corp şi un

fluid cu temperaturi diferite. În acest caz, fluidul din jurul corpului nu are o mişcare impusă de forţe exterioare, dar gradientul de temperatură determină în masa fluidului un gradient de densitate. Fenomenul având loc în câmp gravitaţional, rezultă o mişcare a fluidului provocată de forţele interne apărute datorită gradientului de densitate. În figura 7.36 sunt prezentate două fenomene de convecţie liberă:

a) b)

Fig. 7.37 Figura 7.36 a) prezintă fenomenul de convecţie liberă ce are loc în jurul unei conducte calde plasate orizontal. Fluidul din vecinătatea conductei se încălzeşte, îşi micşorează densitatea şi începe să se ridice. Se formează o curgere, deasupra conductei, generată de forţele masice care fac ca particulele de fluid cu temperatură mai mare decât a mediului neperturbat, ∞>TT , să aibă o mişcare ascensionlă. Curgerea se dezvoltă în lungul axei ox, antrenând în mişcare o parte din aerul aflat în zona neperturbată. Fenomenul de transfer de căldură între conductă şi mediu este influenţat de mişcările fluidului din jurul acesteia.


În figura 7.37 b) este prezentat fenomenul de convecţie liberă ce se produce la

suprafaţa unei plăci verticale. Aerul care se mişcă pe lângă peretele cald, datorită diferenţelor de densitate, formează un strat limită complex, iniţial laminar, iar după o zonă de tranziţie devine turbulent. Criteriul de similitudine specific procesului de convecţie liberă este criteriul lui Grashof, care exprimă raportul dintre forţelor masice şi forţele de vâscozitate ce acţionează în fluid:

( )2

3s LTTgGrν

β ⋅−⋅⋅= ∞ (7.128)

În relaţia de mai sus g reprezintă acceleraţia gravitaţională, T1

=β , T

temperatura fluidului în zona de convecţie (în lipsa unor precizări suplimentare, pentru

T se adoptă valoarea 2

TTT s ∞+= ), L reprezintă lungimea caracteristică a schimbului

termic, iar ν vâscozitatea cinematică. În ecuaţiile criteriale pentru convecţie liberă se introduce următoarea notaţie: PrGrRa ⋅= (7.129) Funcţie de geometria suprafeţelor pe care se desfăşoară procesul de convecţie

liberă, sunt prezentate următoarele cazuri:

Plăci verticale, suprafeţe calde sau reci

2

278

169

61

L

Pr492,01

Ra387,0825,0Nu

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅+= (7.130)

Placi înclinate, suprafeţe calde sau reci

Se utilizează relaţia (7.128), dar se înlocuieşte g cu θcosg ⋅ o600 ≤≤θ .


Plăci orizontale de dimensiuni mari, suprafeţe calde sau reci

41

LRa54,0Nu ⋅= ; ( )7L

4 10Ra10 ≤≤ (7.131)

31

LRa15,0Nu ⋅= ; ( )11L

7 10Ra10 ≤≤ (7.132)

Plăci orizontale de dimensiuni mici, suprafeţe calde sau reci

41

LRa27,0Nu ⋅= ; ( )10L

5 10Ra10 ≤≤ (7.133)

Cilindru orizontal

2

278

169

61

D

Pr559,01

Ra38,060,0Nu

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅+= ; ( )22

D5 10Ra10 ≤≤ (7.134)

Sferă

94

169

41

DD

Pr469,01

Ra589,02Nu

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅+= ; ( )7,0Pr;10Ra 11

D ≥≤ (7.135)


7.4.5 Convecţia forţată în cazul curgerii fluidelor prin interiorul ţevilor 7.4.5.1 Analiza stratului limită În cazul curgerii laminare în interiorul conductelor (fig. 7.38) se disting două regiuni. Partea de intrare în conductă, în care apare şi se dezvoltă stratul limită şi partea în care curgerea este complet dezvoltată.

Fig. 7.38

Grosimea stratului limită creşte progresiv de la valoarea zero, la intrarea în

conductă, până la o valoare egală cu raza conductei. În acel moment, curgerea devine complet dezvoltată pe întreg diametrul conductei. Pentru curgerea laminară, în zona complet dezvoltată viteza are o variaţie parabolică pe diametru, cu valoarea maximă pe axa conductei. Partea de la intrarea conductei, fdx , în care apare şi se dezvoltă stratul limită, se numeşte zonă de intrare. Modul specific de variaţie a profilului vitezei la intrarea în conductă şi apoi în lungul acesteia determină aspectul stratului limită termic.

În figura 7.38 este prezentată geometria stratului limită termic pentru o conductă circulară caldă; temperatura suprafeţei interioare a conductei este mai mare decât temperatura fluidului fs TT > :

Fig. 7.39


Începând de la intrarea în conductă se dezvoltă stratul limită termic, grosimea acestuia crescând până ajunge egală cu raza conductei. Din acel loc începe zona termică complet dezvoltată. Zona termică de intrare se întinde pe o lungime t,fdx . Aceasta poate fi exprimată astfel:

PrRe05,0D

xD

lam

t,fd ⋅⋅≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (7.136)

În relaţia de mai sus diametrul conductei s-a notat cu D. Valoarea lungimii zonei termice de intrare diferă de lungimea zonei hidraulice

de in intrare fdx , care se poate calcula cu relaţia:

Dlam

fd Re05,0Dx

⋅≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (7.137)

Relaţia (7.137) nu este valabilă în curgerile turbulente pentru care lungimea hidraulică de intrare este aproape independentă de Reynolds. În primă aproximaţie, lungimea zonei hidraulice de intrare se poate determina din relaţia următoare:

60Dx

10turb

fd ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤ (7.138)

Deoarece viteza variază pe secţiunea conductei, în calculele de schimb de căldură se utilizează viteza medie pe secţiune. Dacă notăm aria secţiunii conductei cu A, debitul masic exprimat funcţie de valoarea medie a vitezei este:

Aum m ⋅⋅=•

ρ (7.139) Criteriul Reynolds, exprimat funcţie de valoare debitului masic, are expresia:

µπ ⋅⋅

⋅=

•

Dm4ReD (7.140)

Valoarea vitezei medii se defineşte astfel:

( )

( ) ( ) drrx,rur2drrx,ru

r2

A

dAx,ruu

00 r

02

0

r

02

0

Am ⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

=⋅

⋅= ∫∫∫

πρρπ

ρ

ρ (7.141)

Pentru calculele de schimb de căldură se defineşte o temperatură medie pe secţiune Tm. Puterea termică transportată de fluid printr-o secţiune a conductei este:


mpA

p TcmdATcuE ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ∫••

ρ (7.142)

Din relaţia (7.142) deducem valoarea medie a temperaturii imtr-o secţiune a conductei:

∫∫

⋅⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅⋅⋅= •

0r

02

0mp

Ap

m drrTuru

2

cm

dATcuT

ρ (7.143)

7.4.5.2 Bilanţul energetic al curgerii Deoarece curgerea fluidului prin conductă este separată faţă de mediu, Incropera

[5] propune efectuarea bilanţului energetic pentru determinarea temperaturii medii ( )xTm a fluidului în lungul conductei şi legătura între diferenţa de temperatură la

capetele conductei şi fluxul termic convectiv convq dintre conductă şi mediu.

Se consideră un debit constant de fluid •

m . Energia transferată pe direcţie axială prin conducţie, împreună cu energia cinetică şi potenţială a fluidului, sunt neglijabile în raport cu energia transferată prin convecţie. În figura 7.40 este prezentă schema volumului de control pentru bilanţul energetic:

Fig. 7.40

0dxdxdTTcmTcmdq ppconv =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−⋅⋅+

••

(7.144)

dTcmdxDq ps ⋅⋅=⋅⋅⋅•

π (7.145)

( )ms

pp

s TTcm

D

cm

DqdxdT

−⋅

=⋅⋅

= •• αππ (7.146)


Ecuaţia diferenţială (7.146) poate fi integrată analitic în două situaţii: dacă se

consideră fluxul termic conductiv sq constant sau dacă se consideră temperatura suprafeţei peretelui sT constantă.

a) Flux termic sq constant. În această ipoteză, ecuaţia (7.146) devine:

p

s

cm

DqdxdT

•

⋅⋅=

π (7.147)

Soluţia acestei ecuaţii, cu condiţia la limită i,mm TT0x =⇒= , este:

( ) x

cm

DqTxTp

si,m

⋅

⋅⋅+= •

π (7.148)

În această ipoteză, variaţia temperaturii medii în lungul conductei este liniară.

b) Temperatura suprafeţei peretelui conductei sT este constantă. Pentru

integrare, se face schimbarea de variabilă ms TTTT −=∆→ , iar ecuaţia (7.146) devine:

( ) Tcm

Ddx

Tddx

dT

p

m ∆⋅⋅

⋅=

∆−= • απ (7.149)

Ecuaţia (7.149) este o ecuaţie ce permite separarea variabilelor. Prin integrare

obţinem:

( ) dxcm

DTTd x

0p

T

T

0

i

⋅⋅

⋅−=

∆∆

∫∫ •

∆

∆

απ (7.150)

απ

pi

0

cm

xDTTln

⋅

⋅⋅−=

∆∆

• (7.151)

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅⋅−=

−−

=∆∆

• απ

pi,ms

ms

i

0

cm

xDexpTT

xTTTT (7.152)

( ) ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅⋅−−−= • απ

p

i,mssm

cm

xDexpTTTxT (7.153)


În cazul condiţiei ce impune temperatura suprafeţei peretelui conductei

constantă, variaţia temperaturii medii a fluidului în lungul conductei este exponenţială. Căldura schimbată cu mediul pe lungimea conductei determină variaţia

temperaturii fluidului la capetele conductei, deci putem scrie:

( ) ( ) ( )[ ] ( )0ip0,msi,msi,m0,mp TTcmTTTTTTcmQ ∆−∆⋅=−−−=−⋅=••

(7.154)

Din relaţia (7.151) exprimăm produsul pcm⋅•

, pe care îl introducem în (7.154):

0

ip

TTln

xDcm

∆∆

⋅⋅⋅=⋅

• απ (7.155)

La capătul conductei x devine egal cu L.

ln,medcond

0

i

0i TA

TTln

TTLDQ ∆⋅⋅=

∆∆∆−∆

⋅⋅⋅⋅= ααπ (7.156)

Deci, căldura totală schimbată de conductă cu mediul, prin convecţie, se determină cu formula (7.156), în care s-a notat cu condA aria laterală a conductei. În cazul când schimbul de căldură se efectuează între un fluid ce curge prin conductă şi alt fluid ce curge peste conductă (fig. 7.41), căldura totală schimbată între cele două fluide este:

Fig. 7.41

ln,medcil,gcond

0

i

0icil,gc TkA

TTln

TTkLDQ ∆⋅⋅=

∆∆∆−∆

⋅⋅⋅⋅= π (7.157)


În expresia de mai sus s-a utilizat cil,gk coeficientul global de schimb de căldură pentru pereţi cilindrici, definit de relaţia (7.65). Pentru cazul din figura 7.41, expresia temperaturii în lungul conductei (7.157) se modifică, deoarece în locul coeficientului de convecţie α se introduce coeficientul global de schimb de căldură cil,gk .

( ) ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅⋅−−−= • cil,g

p

i,mssm kcm

xDexpTTTxT π (7.158)

7.4.5.3 Soluţii analitice pentru curgerea laminară, complet dezvoltată Ecuaţia energiei, în coordonate cilindrice, este:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂

rTr

rra

rTv

xTu (7.159)

Folosind aproximaţiile stratului limită, prin care componenta vitezei perpendiculară pe axă este nulă 0v = şi derivata componentei u pe direcţia axei conductei este neglijabilă ( ) 0x/u =∂∂ , ecuaţia devine:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2

0

mm

rr1

dxdT

au2

drdTr

drd

r1 (7.160)

În ecuaţia (7.160) s-a ţinut seama de faptul că pentru mişcarea laminară într-o

conductă profilul vitezei este parabolic, dat de relaţia:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

0rr2

uru (7.161)

În ipoteza în care fluxul termic prin suprafaţa conductei sq este constant, rezultă

că mărimile ( )( )dx/dTa/u2 mm sunt constante. Separând variabilele şi integrând, obţinem soluţia:

( ) 2120

42mm CrlnC

r16r

4r

dxdT

au2rT ++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= (7.162)

Constantele se determină din condiţiile la limită, pentru ca temperatura să aibă

valoare finită la 0r = rezultă 0C1 = , iar pentru ( ) s0 TrT = rezultă:


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

16r3

dxdT

au2TC

20mm

22 (7.163)

În final, obţinem profilul temperaturii funcţie de raza conductei pentru curgerea

laminară.

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2

0

4

0

m2

0ms r

r41

rr

161

163

dxdT

aru2TrT (7.164)

Introducând relaţiile (7.161) şi (7.163) în relaţia de calcul a temperaturii medii (7.143), obţinem:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

dxdT

aru

4811TT m

20m

sm (7.165)

Din relaţia (7.147) exprimăm derivata temperaturii medii, pe care o înlocuim în

(7.165), rezultând:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅

⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=− •

p

2sp

20m

p

s2

0msm

c4D

Dqcru4811

cm

Dqaru

4811TT

πρ

πλρπ (7.166)

λ

Dq4811TT s

sm⋅

−=− (7.167)

Introducând valoarea de mai sus în ecuaţia lui Newton pentru convecţie obţinem:

( )D11

48Dq4811TTq s

mssλα

λαα =⇒=−= (7.168)

Relaţia (7.168) ne permite obţinerea unui rezultat important pentru cazul curgerii

laminare prin conducte, în ipoteza fluxului termic constant pe unitatea de suprafaţă a conductei. Criteriul lui Nusselt, cu valoarea de mai sus a coeficientului de convecţie, este:

36,41148D

D1148DNu ===

⋅=

λλ

λα (7.169)

Deci, într-un tub de secţiune circulară, prin care curge un fluid în regim laminar

şi care schimbă căldură cu mediul printr-un flux [ ]2s m/Wq constant pe unitatea de

arie laterală, valoarea criteriului lui Nusselt este independentă de valorile criteriilor lui Prandtl sau Reynolds.


Un rezultat similar se obţine în cazul când pe suprafaţa tubului se impune o

temperatură constantă sT . În acest caz, valoarea criteriului Nusselt este: ;ttanconsT;66.3Nu s == (7.170)

7.4.5.4 Ecuaţii criteriale pentru determinarea coeficientului de convecţie

Curgere laminară complet dezvoltată: 36,4Nu = ; 6,0Pr ≥ ; ttanconsqs = ; (7.171) 66,3Nu = ; 6,0Pr ≥ ; ttanconsTs = ; (7.172)

Curgere laminară, zona stratului limită termic, ttanconsTs = :

32

D

D

PrReLD04,01

PrReLD0668,0

66,3Nu

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+= (7.173)

Curgere laminară complet dezvoltată, incluzând efectul zonei de intrare:

14,0

s

31

DD

DL

PrRe86,1Nu ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=µµ ; 2

DL

PrRe14,0

s

31

D ≥

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

µµ (7.174)

700.16Pr48,0 << ; 75,90044,0s

<<µµ

Curgere turbulentă complet dezvoltată:

n54

DD PrRe027,0Nu ⋅⋅= ; 160Pr6,0 ≤≤ ; 000.10ReD ≥ ; 10DL≥ (7.175)

4,0n = pentru ms TT > ; 3,0n = pentru ms TT < ;

14,0

s

31

54

DD PrRe027,0Nu ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

µµ ; 10

DL≥ ; 160Pr6,0 ≤≤ ; 000.10ReD ≥ ; (7.176)


Exemplul E 7.3

Aerul la presiunea de 6 kN/m2 şi temperatura de 300°C curge cu viteza de 10 m/s peste o placă plană cu lungimea (pe direcţia curgerii) de 0,5m. Să se determine fluxul termic pe un 1m din lăţimea plăcii, necesar menţinerii temperaturii suprafeţei plăcii la temperatura de 27°C. Date: Pentru temperatura medie a aerului

K5,4352732

27300Tf =++

=

la presiunea atm1p0 = atm, proprietăţile acestuia sunt:

s/m1084,30 260

−⋅=ν ; ( )Km/W104,36 3 ⋅⋅= −λ , 687,0Pr =

Soluţie: Variaţia vâscozităţii cinematice cu presiunea, în condiţii izoterme, poate fi exprimată astfel:

pp1~ 0

0

=⇒⇒=νν

ρν

ρµν ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=

TRpρ

s/m1021,5106

10033,11084,30pp 24

3

56

0p−− ⋅=

⋅⋅

⋅==νν

Calculăm criteriul lui Reynolds 95971021,5

5,010LuRe 4 =⋅⋅

== −∞

ν. Această valoare ne arată că

regimul de curgere peste placă este laminar, din această cauză alegem ecuaţia criterială (7.113) şi determinăm criteriul Nusselt:

( ) ( ) 4,57687,09597664,0PrRe664,0Nu 31

21

31

21

=⋅⋅=⋅⋅= Coeficientul de convecţie este:

K/m/W18,45,00364,04,57

LNu 2=

⋅=

⋅=

λα

Fluxul termic îl determinăm din condiţia ca temperatura suprafeţei să aibă valoare impusă:

( ) ( ) m/W5702730015,018,4TTAQ sf =−⋅⋅⋅=−⋅⋅=α

Exemplul E 7.4 O conductă 158/148d/d 21 = mm este izolată cu un strat de 18 mm, izolaţia cu

12,0IZ =λ W/m/K . Ea transportă 23 kg/s ţiţei în regim neizoterm, cu o viteză medie de 1,32


m/s. Ţiţeiul intră în conductă cu temperatura de 70°C. Conducta este plasată în aer la temperatura de 10°, iar viteza vântului se consideră 10 m/s. Să se determine după ce lungime temperatura ţiţeiului ajunge la 25°C. Se mai dau: 50OL =λ W/m/K . La 47,5°C, proprietăţile ţiţeiului sunt:

72,2077ct = J/kg/K; 1372,0t =λ W/m/K ; 6t 10206,4 −⋅=ν m2/s ; 47,849t =ρ kg/m3;

Aerul la 10°C are următoarele proprietăţi: 6

a 1015 −⋅=ν m2/s ; 6a 103,26 −⋅=λ W/m/K ;

707,0Pra = ; Soluţie:

Pentru 1m de conductă, coeficientul global de căldură este dat de formula (7.66). Cu

notaţiile din figură, acesta este:

222

3

iz1

2

OL11

e,tcil,g

d21

ddln

21

ddln

21

d21

1R1k

⋅⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅⋅

==

απλπλπαπ

Calculăm coeficientul de convecţie pentru ţiţei considerându-l la temperatura medie:

C5,472

25702

ttt 0im

o=+

=+

=

4487510206,4143,032,1dvR 6

1e =

⋅⋅

=⋅

= −ν2300> , deci folosim ecuaţia criterială de regim

turbulent (7.173), pentru care mai determinăm criteriul Prandtl:

24,541372,0

2,207710206,447,849cPr6

=⋅⋅⋅

==−

λρν

7,47024,5444875027,0PrRe027,0Nu 3,08,03,054

=⋅⋅=⋅⋅=


21

1 mW436

148,01372,07,470

dNu

=⋅

=⋅

=λα

Pentru aer determinăm coeficientul de convecţie:

593331015178,05dvRe 6

3 =⋅⋅

=⋅

= −ν

Se utilizează relaţia (7.116) cu coeficienţii aleşi din tabelul T 7.1, corespunzători valorii lui Reynolds determinată anterior:

( ) ( ) 2,167707,059333027,0PrRe027,0Nu 33,0805,033,0805,0 =⋅⋅=⋅⋅=

07,24

178,00263,02,167

dNu

32 =

⋅=

⋅=

λα W/m2/K

Se determină coeficientul global de schimb de căldură:

2.4

24178,014,31

158,0178,0ln

12,028,61

148,0158,0ln

5028,61

436148,014,31

1kg =

⋅⋅+

⋅+

⋅+

⋅⋅

=

Din formula (7.155) definim lungimea conductei, punând condiţia ca la capătul conductei temperatura să fie 25°C. Definim diferenţele de temperatură la capete conductei:

o601070Ti =−=∆

o601025T0 =−=∆

C46,32

1560ln

1560

TTln

TTT

0

i

0iln,med

o=−

=

∆∆∆−∆

=∆

ln,medgmln,medgm Tkd

QL;TkLdQ∆⋅⋅⋅

=⇒∆⋅⋅⋅⋅=π

π

Căldura totală pierdută de ţiţei o calculăm din variaţia de entalpie a ţiţeiului:

( ) ( ) W695.149.22570207723TTcmQ 21 =−⋅⋅=−⋅⋅=•

km25,31m31250

322,42

178,0148,014,3

695.149.2L ==⋅⋅

+⋅

=


7.5 Schimbătoare de căldură Procesul de schimb de căldură ce are loc între două fluide la temperaturi diferite, separate prin pereţi metalici, se desfăşoară într-un aparat numit schimbător de căldură. Acesta poate fi întâlnit în multe aplicaţii industriale sau casnice, cum ar fi încălzirea spaţiilor, aerul condiţionat, producţia de energie electrică, industria chimică, dar şi în industria petrolieră. În acest paragraf sunt prezentate principiile schimbului de căldură ce are loc în aceste aparate, necesare proiectării sau evaluării performanţelor schimbătoarelor de căldură. 7.5.1 Tipuri de schimbătoare de căldură Clasificările clasice ale schimbătoarelor de căldură sunt după modul de circulaţie a fluidelor sau după tipul constructiv al aparatului. Cele mai simple schimbătoare de căldură sunt cele de tipul tub în tub (fig. 7.42). Acestea sunt alcătuite din două tuburi, unul în interiorul celuilalt. Un fluid circulă prin tubul interior, iar celălalt prin spaţiul inelar dintre cele două tuburi.

Fig. 7.42

Funcţie de modul de curgere a celor două fluide prin aparat, acestea pot fi clasificate în schimbătoare de căldură în echicurent, cazul (a) - în acest caz cele două fluide circulă în paralel, în acelaşi sens; cazul (b) arată că cele două fluide circulă prin aparat în sensuri opuse, acest tip de schimbător de căldură fiind numit în contracurent. Alt mod de circulaţie a fluidelor poate fi perpendicular (fig. 7.43).

Fig. 7.43


În figura 7.43 (a) curentul de fluid care curge printre ţevi este separat de plăcile fixate perpendicular pe ţevi. Acest lucru face ca straturile de fluid să nu se amestece, ceea ce conduce la o variaţie a temperaturii acestuia atât în lungul ţevilor, direcţia y, cât şi perpendicular pe acestea, direcţia x. Pentru acest tip constructiv, temperatura fluidului ce curge printre ţevi este o funcţie de două variabile T(x,y). Dacă mişcarea fluidului ce curge printre ţevi nu este dirijată de plăci (fig. 7.43 b), atunci straturile acestuia se pot amesteca, astfel încât temperatura acestuia este o funcţie monodimensională T(x). Cele mai răspândite tipuri de schimbătoare sunt schimbătoarele cu manta şi fascicul de tuburi (fig. 7.44).

Fig. 7.44

Unul dintre fluide - notat în figură cu 2 - circulă în lungul mantalei printr-un fascicul de ţevi. Acesta este introdus şi extras prin capacele din capetele mantalei. Celălalt fluid - notat cu 1 - circulă în interiorul mantalei printre ţevile din fascicul. Pentru intensificarea schimbului de căldură, în fasciculul de ţevi sunt inserate şicane care măresc distanţa parcursă de fluidul 1 în manta. Dorinţa măririi performanţelor schimbătoarelor de căldură a condus la apariţia unor forme compacte, cu performanţe deosebite (fig. 7.45). Tipurile (a), (b) şi (c) se utilizează pentru schimbul de căldură între două fluide cu proprietăţi termice diferite, cum ar fi schimbul de căldură dintre un gaz şi un lichid. Deoarece capacitatea gazelor de a prelua / ceda căldură este mai mică decât a lichidelor, se măreşte constructiv suprafaţa de schimb de căldură spre partea în care curge gazul. Astfel, lichidul curge prin ţevi, iar aerul printre plăci sau aripioare. Un exemplu de utilizare a acestor tipuri constructive îl constituie radiatoarele vehiculelor, care sunt schimbătoare de căldură în care cele două fluide sunt lichidul de răcire al motorului şi aerul atmosferic. În figura 7.45 (d) şi (e) este prezentată construcţia schimbătoarelor de căldură în plăci. Aceste tipuri constructive sunt foarte eficiente, reuşind prin construcţia compactă să realizeze o suprafaţă de schimb de căldură mare într-un volum mic ( )32 m/m700≥ . Primele aplicaţii a acestor tipuri de schimbătoare de căldură au fost pe vehiculele militare, dar ulterior au început să se folosească pe vehicule civile sau în centralele termice de mică putere utilizate la instalaţiile de încălzire centrală pentru case sau apartamente.


Fig. 7.45

7.5.2 Coeficientul global de schimb de căldură Schimbul de căldură între cele două fluide care circulă prin schimbătorul de căldură se realizează prin intermediul unui perete metalic de formă cilindrică, la schimbătoarele cu fascicole de ţevi, sau de formă plană - pentru schimbătoarele cu plăci. Pe durata exploatării schimbătoarelor de căldură, pe suprafeţele metalice care sunt în contact permanent cu cele două fluide apar depunerile impurităţilor conţinute de acestea. Straturile de impurităţi ce se formează introduc în procesul de transfer de căldură rezistenţe termice suplimentare, care se vor nota cu c,iR rezistenţa stratului de impurităţi în contact cu fluidul cald şi r,iR rezistenţa termică în contact cu fluidul rece.

Coeficientul global de schimb de căldură se poate calcula pentru pereţi plani cu relaţia (7.46), la care se adaugă rezistenţele termice datorate depunerilor:

rr,ic,i

c

plan,g 1RR11k

αλδ

α++++

= (7.177)

Cu indicele “c” s-a notat fluidul cald, iar cu indicele “i” fluidul rece. Păstrând

convenţia pentru cazul când pereţii despărţitori sunt cilindrici, coeficientul global de căldură se obţine prin combinarea relaţiilor (7.63) şi (7.65):


Lr21R

rrln

L21R

Lr21

1k

rrr,i

1

2c,i

cc

cil,g

⋅⋅⋅⋅++

⋅⋅⋅++

⋅⋅⋅⋅

=

απλπαπ

(7.178)

În tabelul T 7.5 sunt prezentate câteva valori pentru rezistenţa termică a stratului de impurităţi depuse pe suprafeţele ţevilor: Tabelul T 7.5

Valorile coeficientului global de căldură se pot calcula cu formulele (7.177) şi (7.178). Pentru anumite combinaţii de fluide, coeficienţii de convecţie globali au fost calculaţi de Kays şi London şi sunt prezentaţi în tabelul T 7.6: Tabelul T 7.6

7.5.3 Analiza energetică a schimbătoarelor de căldură

Se va analiza, pentru început, cazul schimbătorului în echicurent (fig. 7.46). Se va face bilanţul energetic pentru o suprafaţă elementară de schimb de căldură dA pentru a determina diferenţa medie de temperatură între cele două fluide. Ipotezele în care se face bilanţul energetic sunt următoarele:


- schimbătorul de căldură este izolat faţă de exterior, singurul schimb de

căldură care se produce este cel dintre cele două fluide; - conducţia axială în lungul ţevilor este neglijabilă; - variaţiile energiilor cinetice şi potenţiale sunt neglijabile; - căldura specifică a fluidelor este constantă; - coeficientul global de schimb de căldură este constant;

Fig. 7.46

Cele două fluide ce evoluează în schimbătorul de căldură au fost notate astfel: fluidul cald cu indicele “c” şi fluidul rece cu indicele “r”. Aplicând bilanţul energetic pe fiecare din elementele infinitezimale (fig. 7.46), rezultă:

- căldura cedată de elementul de volum al fluidului cald

cccc,pc dTCdTcmdQ ⋅−=⋅⋅−=•

(7.179)

- căldura primită de elementul de volum al fluidului rece

rrrr,pr dTCdTcmdQ ⋅=⋅⋅=•

(7.180) Cu cC şi rC s-au notat capacităţile calorice ale fluidului cald, respectiv fluidului rece. Căldura totală schimbată prin elementul de suprafaţă dA este:


dATkdQ g ⋅∆⋅= (7.181) Dacă notăm cu rc TTT −=∆ diferenţa locală de temperatură, prin diferenţiere şi utilizarea relaţiilor (7.179) şi (7.180) rezultă:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=−=∆

rcrc C

1C1dQdTdTTd (7.182)

Înlocuind expresia lui dq din ecuaţia (7.181) şi integrând pe toată lungimea

schimbătorului, rezultă:

( ) dAC1

C1k

TTd

rcg ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

∆∆ (7.183)

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∆∆

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

∆∆

∫∫rc

g

2

1rcg

2

1 C1

C1Ak

'T"TlndA

C1

C1k

TTd (7.184)

Variaţia de entalpie a celor două fluide pe toată lungimea schimbătorului este:

( ) ( )c,pc,pcc,pc,pc,pc "T'TC"T'TcmQ −⋅=−⋅⋅=•

(7.185)

( ) ( )r,pr,pcr,pr,pr,pr 'T"TC'T"TcmQ −⋅=−⋅⋅=•

(7.186) Deoarece schimbătorul de căldură se consideră izolat, întreaga căldură cedată de fluidul cald este preluată de fluidul rece, deci cele două variaţii de entalpie sunt egale.

Din relaţiile (7.185) şi (7.186) exprimăm capacităţile calorice şi le introducem în relaţia (7.184):

( ) ( )[ ]rcrcgrrcc

g "T"T'T'TQ

AkQ

'T"TQ

"T'TAk'T"Tln −−−

⋅−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−⋅⋅−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∆∆ (7.187)

( )'T"TQ

Ak'T"Tln g ∆−∆

⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∆∆ (7.188)

Se notează:

"T'Tln

"T'T

'T"Tln

'T"TTlm

∆∆∆−∆

=

∆∆∆−∆

=∆ (7.189)


şi se denumeşte diferenţa medie logaritmică de temperatură. Cu această notaţie, căldura schimbară între cele două fluide este: lmg TAkQ ∆⋅⋅= (7.190)

Această căldură produce variaţia de entalpie a celor două fluide, astfel încât bilanţul energetic pentru un schimbător de căldură capătă următoarea formă: ( ) ( )"T'Tcm"T'TcmTAkQ rrr,prccc,pclmg −⋅⋅=−⋅⋅=∆⋅⋅=

••

(7.191)

Pentru schimbătorul de căldură în echicurent, variabilele din formula diferenţei

logaritmice medii de temperatură sunt: 'T'T'T rc −=∆ ; "T"T"T rc −=∆ (7.192) Pentru schimbătoarele de căldură în contracurent, schema de calcul este prezentă în figura 7.47. Se poate face un raţionament asemănător cu cel pentru cazul în echicurent şi se ajunge la aceeaşi formulă de bilanţ termic (7.190).

Fig. 7.47


Ecuaţia de bilanţ termic (7.190) este valabilă şi în cazul schimbătoarelor de căldură în contracurent, dar variabilele din componenţa expresiei temperaturii medii logaritmice au alte expresii. Cu notaţiile din figura 7.47, acestea sunt: 'T'T'T rc −=∆ ; 'T"T"T rc −=∆ (7.193)

7.5.4 Determinarea temperaturii medii logaritmice în cazul schimbătoarelor cu mai multe treceri sau circulaţie încrucişată Pentru situaţii diferite de cele prezentate până acum, pentru a se putea utiliza

aceiaşi formulă de bilanţ termic (7.190), se introduce un factor de corecţie a temperaturii medii logaritmice care este funcţie de modul cum circulă fluidele în schimbător:

lmg TAkFQ ∆⋅⋅⋅= (7.194)

Conform [5] , valorile factorului F pot fi deduse din următoarele diagrame:

Fig. 7.48


Fig. 7.49

Fig. 7.50


Fig. 7.51

7.5.5 Metoda NTU Denumirea acestei metode provine de la prescurtarea denumirii în limba engleză

a numărului de unităţi de transfer - “ the number of transfer unit”. Considerăm un schimbător de căldură în contracurent, care are schema

temperaturilor conform figurii 7.47. Dacă lungimea schimbătorului tinde la infinit, temperatura maximă pe care o

poate atinge fluidul rece, la limită, devine egală cu ( 'T"T cr → ) temperatura de intrare a fluidului cald, iar fluidul cald se poate răci până la valoarea temperaturii de intrare a fluidului rece ( 'T"T rc → ). În aceste condiţii, diferenţa teoretică maximă de temperatură a fluidelor în schimbător este: 'T'T rc − , iar căldura maximă teoretică ce poate fi transferată într-un schimbător de căldură este: ( )'T'TCQ rcminmax −= (7.195)


În relaţia (7.195) s-a notat cu minC minimul dintre capacităţile calorice cC şi rC . Utilizarea capacităţii calorice minime în relaţia (7.195) se poate demonstra prin

reducere la absurd. În relaţia (7.196) presupunem că cmax CC = : ( ) ( )"T'TC'T"TC cccrrr −=− (7.196)

La limită 'T"T cr → , deci:

( ) ( )"T'T'T'TCC

ccrcc

r −=− , dar ⇒< 1CC

c

r ( ) ( )"T'T'T'T ccrc −<− - lucru imposibil.

Se notează cu ε şi se defineşte eficienţa efectivă a schimbului termic ca raportul dintre căldura efectivă schimbată de cele două fluide din aparat şi căldura teoretică maximă posibilă ce poate fi schimbată.

maxQQ

=ε (7.197)

Pentru un schimbător de căldură, relaţia (7.197) poate avea una din cele două

forme:

( )( )'T'TC

"T'TC

rcmin

ccc

−−

=ε (7.198)

( )( )'T'TC

'T"TC

rcmin

rrr

−−

=ε (7.199)

Valoarea eficienţei efective este subunitară 10 << ε . Dacă se cunoaşte această valoare, se poate calcula valoarea căldurii efectiv schimbate în aparat: ( )'T'TCQ rcmin −⋅= ε (7.200)

Se defineşte numărul unităţilor de transfer prin relaţia:

min

g

CAk

NTU = (7.201)

Valoarea eficienţei efective, pentru un schimbător de căldură, este funcţie de numărul de unităţi de transfer, NTU şi de rC - capacitatea calorică relativă a celor două fluide, definită de relaţia:

max

minr C

CC = (7.202)


Considerăm un schimbător de căldură în echicurent (fig. 7.46) pentru care ecuaţia de bilanţ termic este: ( ) ( )'T"TC"T'TC rrrccc −=− (7.203)

Sau, dacă considerăm cmin CC = :

"T'T'T"TC

CC

CC

cc

rrr

mzx

min

r

c

−−

=== (7.204)

Din relaţia (7.184) obţinem:

( ) ( )rrmin

g

rc

rc C1NUTC1C

Ak'T'T"T"Tln +−=−−=

−− (7.205)

( )[ ]r

rc

rc C1NUTexp'T'T"T"T

+−=−− (7.206)

Prelucrăm partea stângă din relaţia (7.206) astfel:

'T'T

"T'T'T"T'T'T"T"T

rc

rccc

rc

rc

−−+−

=−− (7.207)

Din relaţia (7.204) se exprimă "Tr şi se înlocuieşte în (7.207). Relaţia (7.198), în ipoteza cmin CC = , devine:

( )( )'T'T

"T'T

rc

cc

−−

=ε (7.208)

Din relaţia (7.208) se exprimă "T'T cc − şi se introduce în relaţia (7.207),

rezultând în final:

( )rrc

rc C11'T'T"T"T

−⋅−=−− ε (7.209)

Combinând relaţiile (7.206) cu (7.207), rezultă în final:

( )[ ]r

r

C1C1NUTexp1

++−−

=ε (7.210)

Pe baza relaţiilor de mai sus putem stabili etapele necesare calculului schimbătoarelor de căldură utilizând metoda NTU:


1. Se determină valorile coeficienţilor minC maxC şi rC ; 2. Se calculează valoarea NTU cu formula (7.201);

3. Se determină valoarea eficienţei efective ε utilizând valorile din tabelul T 7.7;

4. Se determină căldura efectiv schimbată între cele două fluide, cu relaţia (7.200).

Pentru diferite tipuri de schimbătoare s-au determinat expresiile eficienţei efective funcţie de numărul de unităţi de transfer NTU şi de capacitatea calorică relativă

rC . Conform [5], expresiile eficienţei efective sunt prezentate în tabelul T 7.7:

Tabelul T 7.7


Fig. 7.52 Schimbător de căldură ţeavă în ţeavă, echicurent

Fig. 7.53 Schimbător de căldură ţeavă în ţeavă, contracurent


Fig. 7.54 Schimbător de căldură cu o trece în manta, 2,4 … fascicule

Fig. 7.55 Schimbător de căldură cu 2 treceri în mata, 2,4 … fascicule


Fig. 7.56 Schimbător de căldură cu curgeri încrucişate În figurile 7.52, 7.53, 7.54, 7.55 şi 7.56 sunt reprezentate grafic ecuaţiile din tabelul T 7.7. Aceste diagrame fac posibilă determinarea NTU atunci când se cunoaşte eficienţa efectivă ε şi capacitatea calorică relativă Cr.

Exemplul E 7.8

Un preîncălzitor de apă, în curent încrucişat, are ca agent cald gazele de ardere, care intră cu temperatura 300°C şi ies cu 100°C. El este utilizat pentru preîncălzirea unui kilogram pe secundă de apă, de la 35°C la 125°. Căldura specifică a gazelor de ardere este 1000J/kg/K, iar coeficientul global de schimb de căldură este 2

g m/W100k = . Să se determine suprafaţa

de schimb de căldură (pentru apă la 80°C, cp=4197 J/kg/K). Soluţie: Schema problemei este prezentată în figura de mai sus. Cu indicele “c” s-a notat fluidul

cald, în cazul nostru gazele de ardere, iar cu indicele “r” s-a notat fluidul rece, care în cazul problemei de faţă este apa.

a) Se aplică metoda diferenţei medii logaritmice de temperatură. Suprafaţa de schimb de căldură se determină din relaţia (7.191):

lmg TFkQA∆⋅⋅

=


Pentru a determina coeficientul de corecţie F din figura 7.49 se calculează parametrii R şi P (se utilizează notaţiile din figură) :

34,03530035125

tTttP

ii

i0 =−−

=−−

= ; 22,235125100300

ttTTR

i0

0i =−−

=−−

=

Din figura 7.49 deducem 87,0F ≈ , apoi calculăm temperatura medie logaritmică.

( ) ( ) ( ) ( ) C111

35100125300ln

35100125300

'T"T"T'Tln

'T"T"T'TT

rc

rc

rcrclm

o=

−−

−−−=

−−

−−−=∆

Cantitatea totală de căldură o determinăm din variaţia entalpiei apei, fluidul rece:

( ) ( ) W1077,33512541971'T"TcmQ 5rrpr ⋅=−⋅⋅=−⋅⋅=

•

Aria suprafeţei de schimb de căldură este:

2

5

m1,3911187,0100

1077,3A =⋅⋅

⋅=

b) Se aplică metoda NTU. Determinăm capacităţile calorice a celor două fluide:

- pentru apă: K/W419741971cmC r,prr =⋅=⋅=•

- pentru gaze folosim ecuaţia de bilanţ termic:

( ) ( ) ( ) ( )⇒−⋅=−⋅⇒−⋅⋅=−⋅⋅••

"T'TC'T"TC"T'Tcm'T"Tcm cccrrrccc,pcrrr,pr

( )

( )( ) K/W1889

100300351254197

"T'T'T"TCC

cc

rrrc =

−−⋅

=−−⋅

=


45,041971889

CCC

max

minr ===

Din relaţia (7.192) determinăm căldura maximă posibilă a fi schimbată:

( ) ( ) 5

rcminmax 1001,5353001889'T'TCQ ⋅=−⋅=−⋅=

Căldura efectiv schimbată este:

( ) ( ) W1077,33512541971'T"TcmQ 5rrpr ⋅=−⋅⋅=−⋅⋅=

•

Eficienţa efectivă se determină cu formula (7.194):

75,01001,51077,3

QQ

5

5

max

=⋅⋅

==ε

Din figura 7.56 se determină, funcţie de eficienţa efectivă şi capacitatea calorică relativă

de valoarea pentru 1,2NTU ≈ .

2

g

min

min

g m7,39100

18891,2k

CNTUAC

AkNTU =

⋅=

⋅=⇒

⋅=

Valorile obţinute prin ambele metode sunt apropiate, ceea ce demonstrează

valabilitatea celor două metode.

Termotehnică si maşini termice 271

8. Compresoare Compresoarele sunt maşini care consumă lucru mecanic în scopul creşterii

presiunii gazelor sau vaporilor. În procesul de comprimare, odată cu creşterea presiunii creşte şi temperatura, practic are loc o creştere a energiei potenţiale a gazului.

O mărime caracteristică importantă pentru compresoare o reprezintă raportul de compresie notat cu ε, definit prin raportul între presiunea de refulare, pr şi presiunea de admisie, pa.

a

r

pp

=ε (8.1)

În funcţie de raportul de compresie, aceste maşini se clasifică astfel:

- ventilatoare, 1,1<ε ; - suflante, 5,21,1 L=ε ; - compresoare, 5,2>ε ;

Compresoarele care prin aspiraţia unui gaz dintr-un spaţiu închis produc depresiune sunt denumite pompe de vid, iar ventilatoarele care absorb gazele de ardere din focarele industriale şi le refulează către coşul de fum se numesc exhaustoare.

În funcţie de procesul prin care se realizează comprimarea gazelor, compresoarele mai pot fi clasificate în:

- compresoare volumetrice; creşterea presiunii în aceste maşini se realizează prin micşorarea volumului gazului;

- compresoare dinamice; la aceste maşini creşterea presiunii gazului se realizează în două etape: 1- rotorul compresorului transmite lucru mecanic gazului, fapt ce determină creşterea energiei cinetice a acestuia; 2 – energia cinetică din masa gazului se transformă în energie potenţială de presiune în statorul maşinii.

8.1 Compresoare volumetrice După modul tehnologic de realizare a variaţiei volumului, există mai multe tipuri

de compresoare volumetrice: - Compresoare cu piston, cu mişcare rectilinie alternativă; - Compresoare rotative, la care elementul rotativ poate fi un piston profilat,

un rotor cu lamele culisante, etc.; - Compresoare elicoidale, care au rotorul profilat.

8.1.1 Compresoare volumetrice cu piston Soluţia tehnologică de realizare a compresorului cu piston cu o treaptă de comprimare, adică cu un singur cilindru, este prezentată în figura 8.1, iar ciclul teoretic de funcţionare în figura 8.2. Organele mobile ale compresorului sunt pistonul 1, împreună cu segmenţii 2 şi bolţul 5, biela 6, arborele cotit 7. Organele fixe sunt blocul cilindrilor, chiulasa 4 şi carterul 8.

Compresoare 272

Fig. 8.1

Cilindrul compresorului este închis la partea superioară de chiulasă, iar la partea inferioară de piston, care reprezintă un perete mobil şi etanş. Prin mişcarea alternativă a pistonului se realizează tehnic un volum variabil ce permite desfăşurarea procesului de comprimare. Mecanismul bielă-manivelă face ca pistonul să execute o mişcare rectilinie alternativă între două limite denumite puncte moarte. Volumul descris de piston, care coincide cu volumul util al compresorului, este:

s4dV

2

s ⋅⋅

=π ; d – diametrul pistonului, s – cursa pistonului; (8.2)

Admisia gazului şi evacuarea gazului comprimat se realizează prin chiulasă, unde sunt prevăzute două orificii controlate de supape automate: supapa de admisie (SA), respectiv supapa de evacuare (SE). Ciclul termodinamic care se produce într-un compresor este un ciclu inversat, deoarece această maşină consumă lucru mecanic. Ciclul teoretic al compresorului se bazează pe următoarele ipoteze:


- fluidul de lucru este un gaz perfect; - nu există pierderi de presiune prin laminare în procesul de aspiraţie şi

refulare; - nu există frecare între piston şi cilindru; - masa de gaz într-un ciclu rămâne constantă.

Fig. 8.2

Principalele transformări termodinamice care compun ciclul sunt: 1-2 comprimare adiabată sau politropă; 2-3 transformare izobară care schematizează evacuarea gazului comprimat; 3-4 destinderea gazului comprimat rămas în cilindru la sfârşitul comprimării (între piston, aflat la PMI, şi chiulasă rămâne un spaţiu numit volum vătămător, plin cu gaz comprimat); 4-1 izobară ce schematizează procesul de admisie a gazului. În cazul compresoarelor, în momentul când pistonul se află la cursa maximă, adică în PMI (punctul mort interior), între el şi chiulasă rămâne un spaţiu tehnologic, pentru a evita lovirea pistonului de chiulasă. Acest spaţiu poartă numele de volum

Compresoare 274

vătămător. La sfârşitul refulării, în volumul vătămător rămâne gaz comprimat. Pentru a se deschide supapa de admisie care să permită intrarea gazului la presiunea p1 trebuie ca gazul comprimat din volumul vătămător să se destindă în timpul cursei de coborâre a pistonului până la presiunea p1 (procesul 3-4 din figura 8.2). Acest proces de destindere a gazului din volumul vătămător determină reducerea cursei pe care este aspirat gazul de la volumul Vs la volumul Va, lucru ce determină o micşorare a debitului de gaz ce trece prin maşină. Ciclul de funcţionare al compresorului (fig. 8.2) obţinut în baza unor ipoteze simplificatoare se numeşte ciclul compresorului tehnic sau - conform [7] - diagrama de funcţionare a compresorului tehnic. Deoarece volumul aspirat de compresor este mai mic decât volumul cursei pistonului (volumul cursei pistonului este volumul aspirat maxim, teoretic), se defineşte coeficientul de umplere ca raportul dintre volumul aspirat şi volumul cursei pistonului:

s

a

VV

=µ ; valori uzuale: 85,07,0 K=µ (8.3)

Volumul vătămător este o mărime constructivă care diferă de la compresor la compresor. Pentru a lua în calcul influenţa sa, se defineşte coeficientul spaţiului vătămător:

s

v0 V

V=ε ; valori uzuale: %1250 K=ε (8.4)

Relaţia dintre cele două mărimi se stabileşte astfel: 4sv41a VVVVVV −+=−= (8.5) Dacă considerăm destinderea 3-4 politropă, aplicând ecuaţia transformării rezultă:

n1

vn1

34n

44n

33 VVVVpVp εε ==⇒=

n1

vvsa VVVV ε−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

= 11V

1VVn1

0s

n1

vs

εεε

µ (8.6)

Lucrul mecanic pentru compresor este reprezentat de aria ciclului. Deoarece

lucrul mecanic tehnic pentru transformările izobare este nul, calculăm lucrul mecanic al ciclului ca diferenţa dintre lucrurile mecanice tehnice ale comprimării 1-2 şi destinderii 3-4, astfel:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−−n

1n

41n

1n

11c 1Vp1n

n1Vp1n

nL εε (8.7)


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−n

1n

a1c 1Vp1n

nL ε [J/ciclu] (8.8)

Deoarece la fiecare rotaţie este parcurs un ciclu, puterea necesară antrenării compresorului este:

60

nLP rc ⋅= [W] (8.9)

În formula (8.9) s-a utilizat modulul pentru lucrul mecanic pe ciclu deoarece, fiind vorba de un ciclu inversat, valoarea lucrului mecanic pe ciclu va fi negativă. Cu rn s-a notat turaţia compresorului, măsurată în rotaţii pe minut. Debitul de gaz comprimat este:

rs nVV ⋅⋅=•

µ [m3/min] (8.10) Puterea se poate exprima în funcţie de debitul aspirat. Combinând formulele (8.8), (8.9) şi (8.10), obţinem:

4n

1n

1 10611Vp

1nnP

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−•

ε [kW] (8.11)

Se observă din relaţia (8.11) că puterea de antrenare a compresorului este proporţională cu debitul de gaz şi cu raportul de compresie. Proporţional cu creşterea presiunii de refulare, scade volumul de gaz aspirat. În figura 8.3 sunt prezentate mai multe cicluri de comprimare, cu presiunea de refulare din ce în ce mai mare. Se observă că cu cât presiunea creşte, punctele 4, 4’ şi 4” se apropie de punctul 1, diminuând astfel volumul de gaz aspirat. Există o presiune de comprimare notată cu

max2p pentru care volumul aspirat de compresor este nul, iar ciclul compresorului devine o curbă (curba 1-2max, fig. 8.3). Pentru determinarea raportului maxim de comprimare şi a presiunii maxime se pune condiţia 0Va = , ceea ce înseamnă 0=µ . Din relaţia (8.6) obţinem:

011 n1

0 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− εε (8.12)

n

0max

11 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=ε

ε (8.13)

n

01max

11pp ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=ε

(8.14)

Compresoare 276

Fig. 8.3

O altă limitare impusă compresoarelor este una de natură tehnică. Deoarece odată cu creşterea presiunii de refulare creşte si temperatura, conform legii adiabatei:

n

1n

1

212 p

pTT

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (8.15)

Valoarea maximă a temperaturii T2 este limitată de uleiul utilizat pentru ungerea compresorului. Pentru a se evita cocsificarea uleiului, se impune o temperatură t2max=180…220°C, lucru ce limitează raportul de compresie. Astfel, pentru temperatura de 180°C rezultă o valoare a raportului de compresie maxim de 4,6. Condiţia impusă temperaturii la sfârşitul comprimării este mai severă decât alte condiţii impuse coeficientului de umplere.

8.1.2 Compresoare cu piston cu mai multe trepte Presiunea de refulare pentru compresorul într-o treaptă este limitată tehnologic la valoare de ~8 bar. Pentru obţinerea presiunilor mai mari decât această valoare s-au realizat compresoare în mai multe trepte. Aerul comprimat într-un cilindru este introdus


în alt cilindru, apoi comprimat în continuare; dacă presiunea finală este ridicată, procesul se repetă până se obţine valoare dorită a presiunii. Din punct de vedere energetic, cel mai eficient proces de comprimare este procesul izoterm, un proces irealizabil tehnic, deoarece menţinerea temperaturii constante în timpul procesului de comprimare necesită o răcire intensă a gazului. Procesul de schimb de căldură se desfăşoară lent în timp şi necesită o suprafaţă mare de schimb de căldură, pe când procesul de comprimare este un proces rapid, iar suprafaţa de schimb de căldură este limitată.

Utilizarea avantajului energetic al izotermei se poate face prin răcirea gazului, în vederea menţinerii temperaturii aproape constantă, de procesul de comprimare. Acest lucru este posibil numai utilizând un proces de comprimare în trepte (fig. 8.4).

Fig. 8.4

S-a reprezentat un proces de comprimare izoterm de la 1 la 64 bar şi un proces de comprimare în trei trepte, pentru un raport de comprimare egal pe fiecare treaptă

4=π . Între două trepte consecutive s-a considerat că gazul se răceşte până la valoarea iniţială a temperaturii, reprezentată de izoterma T. Se constată că introducerea proceselor izobare de răcire plasate între două comprimări succesive face ca procesul real de comprimare reprezentat de procesele de comprimare politrope şi răcirile izobare să se apropie de cel mai eficient proces de comprimare - procesul izoterm.

Compresoare 278

Un alt avantaj al utilizării răcirii intermediare îl constituie limitarea creşterii

temperaturii gazului datorită proceselor succesive de comprimare.

Fig. 8.5 În figura 8.5 este prezentată schema unui compresor în două trepte. Gazul este aspirat în cilindrul treptei 1, este comprimat şi refulat în răcitorul intermediar 3, apoi este introdus în cilindrul treptei a doua, este comprimat şi apoi refulat spre utilizare. Deoarece volumul specific al gazului scade în procesul de comprimare cilindrii compresorului în trepte sunt asimetrici. Presiunea medie (admisie plus refulare pe doi) este cu atât mai mare cu atât diametrul cilindrului treptei este mai mic. Pistoanele sunt antrenate prin intermediul bielelor fixate de arborele cotit 4.

Diagrama de funcţionare a compresorului în două trepte este prezentată în figura 8.6. Procesul de comprimare în prima treaptă este reprezentat de ciclul inversat 1ac4, iar procesul din treapta a doua este reprezentat de ciclul inversat b23c’.

Gazul comprimat în prima treaptă (procesul politropic 1a) este răcit izobar în răcitorul 3, până când temperatura gazului ajunge la valoarea iniţială T1. Urmează comprimarea în treapta a doua, reprezentată de procesul poitropic b2.

Dacă gazul nu ar fi fost răcit, procesul de comprimare în treapta a doua ar fi fost reprezentat de politropa a2’. Procesul de răcire permite o economie de energie mecanică necesară antrenării compresorului, la fiecare ciclu (la fiecare rotaţie a arborelui cotit), echivalentă cu aria a2’2b. Dacă neglijăm volumele vătămătoare din cele două trepte şi notăm cu px presiunea gazului între cele două trepte, atunci lucrul mecanic necesar procesului de comprimare pe cele două trepte, cu notaţiile din figura 8.5, se poate scrie:


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=+=

−−n

1n

x

2bb

n1n

1

x1III p

p1Vp1n

npp1pV

1nnLLL (8.16)

Fig. 8.6

În ipoteza că punctul b se găseşte pe izoterma T1 putem scrie: bb11 VpVp = , iar formula (8.16) devine:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−−n

1n

x

2n

1n

1

x11 p

ppp2Vp

1nnL [J/ciclu] (8.17)

Se observă că lucrul mecanic este funcţie de presiunea dintre cele două trepte de comprimare. Considerând px variabilă, putem determina valoarea acesteia care minimizează lucrul mecanic, prin anularea derivatei expresiei (8.17). Obţinem ca soluţie:

21x ppp ⋅= (8.18)

Compresoare 280

Pentru compresorul în două trepte, dacă notăm cu εI raportul de compresie pe prima treaptă şi cu εII raportul de compresie pe treapta a doua, obţinem:

III1

x

x

2

1

2

pp

pp

pp εεε ⋅=== (8.19)

Din relaţia (8.18) rezultă:

IIIx

2

1

x

pp

pp εε =⇒= (8.20)

Din relaţiile (8.19) şi (8.20) rezultă: εεε == III (8.21) Relaţia de mai sus ne arată că, pentru a comprima un gaz în două trepte folosind lucrul mecanic minim posibil, trebuie ca rapoartele de comprimare pe cele două trepte trebuie să fie egale. Acelaşi rezultat îl obţinem din considerente de echilibrare a maşinii. Astfel, dacă punem condiţia ca lucrurile mecanice pe cele două trepte să fie egale, obţinem rezultatul (8.18). Formula (8.21) se poate generaliza, pentru un compresor cu “i” trepte devenind:

iiIII εεεε ==== K (8.22)

Dacă notăm cu LI lucrul mecanic pe prima treaptă, pentru un compresor cu i trepte lucrul mecanic total necesar comprimării este:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−⋅=⋅=

−n

1n

I11I 1Vp1n

niLiL ε (8.23)

Puterea necesară procesului de comprimare se determină cu formula (8.9).

8.1.3 Compresoare volumetrice, rotative cu lamele culisante La aceste tipuri de maşini, comprimarea gazului se realizează prin micşorarea volumului gazului intrat în maşină; rotorul, împreună cu lamelele, joacă rol de piston. Prin eliminarea mecanismului bielă-manivelă s-au realizat construcţii echilibrate dinamic, care au randamente şi coeficienţi de debit mai mari decât ale compresoarelor cu piston. Dezavantajele acestor tipuri de compresore sunt reprezentate de uzura paletelor şi de presiunile maxime pe care le pot realiza (2..3 bar), inferioare compresoarelor cu piston. În figura 8.7 este prezentată construcţia unui astfel de compresor. Rotorul 1 este plasat excentric faţă de stator 2, excentricitatea fiind e. În rotor sunt executate canale înclinate cu un unghi faţă de direcţia radială, în care sunt introduse liber lamele 3. În timpul funcţionării compresorului, datorită forţei centrifuge lamele sunt împinse către stator, realizându-se astfel etanşarea spaţiilor dintre lamele. Datorită încălzirii gazului în procesul de comprimare, precum şi a frecării lamelelor de peretele interior al statorului, în carcasă sunt realizate canale de răcire 4 prin care circulă apa.


Aspiraţia gazului se realizează prin conducta 5, acesta pătrunde în spaţiul dintre lamele. Pe măsură ce rotorul se învârte, datorită plasării excentrice spaţiul dintre două lamele consecutive se micşorează, exemplu spaţiile notate cu I, II şi III. Odată cu micşorarea spaţiului dintre palete se realizează creşterea presiunii gazului din maşină.

Fig. 8.7

Gazul comprimat este evacuat prin conducta 6. Acest compresor nu are nevoie

de supape. Ciclul termodinamic inversat al acestui compresor este prezentat în fig. 8.8:

Fig. 8.8

Compresoare 282

Utilizând notaţiile din figura 8.7, putem explica ciclul compresorului. Astfel, din momentul în care lamele depăşesc zona de admisie - punctul a - începe procesul de comprimare, deoarece spaţiul dintre palete este complet izolat de exterior. Procesul este asimilat cu o politropă şi durează până când paletele ajung în zona de refulare b. Urmează procesul de evacuare a gazului în conducta 6, schematizat de izobara bc . În porţiunea cd, gazul rămas în spaţiul dintre rotor şi stator se destinde, politrop, până când lamele ajung în zona de admisie, iar presiunea gazului devine egală cu presiunea din conducta de admisie. Debitul volumic al acestui tip de compresor se determină cu relaţia:

rnrelKV ⋅⋅⋅⋅⋅=•

λ [m3/min] (8.24)

Semnificaţia mărimilor din relaţia (8.24) este: - λ coeficient de debit; - K coeficient constructiv funcţie de e/r ; - l lungimea statorului: - e excentricitatea; - r raza cilindrului; - nr turaţia;

8.1.4 Compresoare volumetrice, cu rotoare profilate, de tip Roots Un compresor de tip Roots (fig. 8.9) este alcătuit dintr-un corp cilindric 1, în interiorul căruia se găsesc două rotoare profilate 2 şi 3. Pe carcasă sunt prevăzute racordul de aspiraţie 4 şi racordul de refulare 5.

Fig. 8.9

Rotoarele profilate se rotesc în sens contrar, cu viteze unghiulare egale, păstrându-se tot timpul un mic joc între cele două rotoare şi între rotoare şi carcasă.


În timpul comunicării cu racordul de aspiraţie are loc umplerea cu gaz a spaţiului dintre rotoare şi cilindru, la presiunea pa. Prin mişcarea de rotaţie, fiecare rotor transportă spre racordul de refulare câte un volum de gaz Vc aflat la presiunea pa. Comprimarea gazului are loc brusc în momentul când acesta vine în contact, prin racordul de refulare, cu gazul comprimat. Practic, are loc un proces de curgere inversă a gazului comprimat prin racordul de refulare către gazul adus de rotor. Se consideră că procesul de comprimare are loc la volum constant.

Fig. 8.10

În figura 8.10 este prezentat ciclul termodinamic inversat care se produce în

compresorul de tip Roots. Deplasarea gazului în compresor, de la racordul de admisie către refulare, se face la presiune constantă şi este reprezentat de procesul izobar ab. Comprimarea gazului transportat, în momentul când ajunge în contact cu gazul comprimat, este reprezentată de izocora bc. Procesul de evacuare a gazului comprimat din maşină are loc la presiune constantă, fiind reprezentat de izobara cd .

În figura 8.10 procesul bc’ reprezintă un proces de comprimare politrop, care se desfăşoară între aceleaşi limite de presiune. Comparând procesul izocor de comprimare cu procesul politrop, constatăm că lucrul mecanic tehnic consumat pentru comprimarea gazului este mai mare în cazul comprimării izocore (compresoare Roots) decât în cazul procesului politrop, ( Aabcd > Aabc’d).

Debitul de gaz ce trece prin compresorul de tip Roots este:

rnlrKZV ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=•

πλ [m3/min] (8.25)

Compresoare 284

Semnificaţia mărimilor din relaţia (8.25) este: - Z număr de lobi; - λ coeficient de debit; - K coeficient constructiv; - r raza cilindrului; - nr turaţia.

Compresorul de tip Roots se utilizează pentru realizarea de presiuni până la doi bari. Cu cât presiunea de comprimare creşte, se reduce debitul, datorită scăpărilor gazului comprimat prin jocul dintre rotoare sau rotoare şi stator.

Compresoarele Roots funcţionează la turaţii ridicate. Din această cauză, atunci când sunt utilizate la supraalimentarea motoarelor, trebuie antrenate prin intermediul unui multiplicator de turaţie.

8.2 Compresoare dinamice La aceste tipuri de compresoare, procesul de comprimare se desfăşoară continuu, pe măsură ce gazul evoluează prin maşină. În funcţie de traiectoria curentului de gaz relativă la rotor, compresoarele dinamice se împart în două mari categorii:

a) Compresoare radiale (sau centrifugale), în care curentul de gaz se deplasează pe traiectorii ce pornesc din apropierea axului compresorului şi se depărtează de acesta în direcţia radială. Deplasarea gazului în rotorul compresorului se realizează sub acţiunea forţei centrifuge.

b) Compresoare axiale, în care curentul de gaz se deplasează paralel cu axa maşinii. Deplasarea gazului se realizează prin acţiunea paletelor rotorului.

Atât compresoarele axiale, cât şi cele centrifugale, furnizează debite mari de gaze la presiuni medii şi mici, iar presiunea de refulare este constantă.

Aceste tipuri de compresoare funcţionează la turaţii ridicate, astfel încât pentru acţionarea lor se utilizează turbine cu gaze sau cu abur. Ansamblul format dintr-o turbină şi un compresor poartă denumirea de grup turbocompresor (pot fi turbocompresoare centrifugale şi turbocompresoare axiale). 8.2.1 Compresoare centrifugale În figura 8.11 este prezentat compresorul centrifugal. El se compune din două părţi principale: o partea mobilă, 1, rotorul; el este prevăzut cu palete, iar în timpul funcţionării maşinii se roteşte. Gazul intră axial în maşină, apoi pătrunde între paletele rotorului, este antrenat în mişcare de rotaţie şi - datorită forţei centrifuge - se deplasează pe o direcţie radială. Antrenarea gazului de către paletele rotorului produce creşterea vitezei acestuia, deci mărirea energiei cinetice a debitului de gaz care circulă prin maşină. A doua piesă importantă a compresorului centrifugal este statorul. Acesta este construit în formă de spirală şi colectează gazul care iese din rotor cu viteză mare. Prin construcţie, secţiunea statorului este crescătoare spre partea de evacuare, lucru ce conduce la micşorarea vitezei gazului. În această porţiune are loc transformarea energiei cinetice, datorită scăderii vitezei, în entalpie. Mărirea entalpiei gazului se face cu creşterea presiunii şi temperaturii acestuia.


Fig. 8.11

Pentru a determina puterea necesară antrenării compresorului centrifugal se fac următoarele ipoteze:

- rotorul are un număr infinit de palete; - gazul umple complet canalele rotorului; - nu există pierderi prin frecări.

Fig. 8.12

În figura 8.12 este prezentată schema de calcul, împreună cu notaţiile necesare. Semnificaţia notaţiilor este următoarea:

- u viteza tangenţială a rotorului; - w viteza relativă (la paletă) a gazului; - c viteza absolută a gazului.

Gazul intră în rotor în punctul 1, unde începe profilul paletei, şi părăseşte rotorul în punctul 2, la terminarea paletei. În fiecare punct al deplasării particulei prin rotor există relaţia:

wuc rrr

+= (8.26)

Compresoare 286

Paletele rotorului produc variaţia momentului cinetic al gazului, care este numeric egală cu cuplul necesar antrenării rotorului:

( )1122 crcrmM rrrrr×−×=

•

[N.m] (8.27) Din figura 8.12 exprimăm produsele vectoriale astfel: u2222222 crcoscrcr ==× αrr (8.28)

u1111111 crcoscrcr ==× αrr (8.29) Cu notaţiile de mai sus, expresia cuplului devine:

( )u11u22 crcrmM −=•

(8.30) Puterea necesară antrenării compresorului este:

( )u11u22 crcrmMP −==•

ωω (8.31) Puterea compresorului centrifugal se poate exprima funcţie de lucrul mecanic tehnic şi debitul masic:

tlmP•

= (8.32)

Din relaţiile (8.31) şi (8.32) deducem expresia lucrului mecanic tehnic pentru compresorul centrifugal: u11u22t cucul −= (8.33) În relaţia de mai sus s-a ţinut seama de expresia vitezei tangenţiale ru ⋅=ω . Dacă se consideră procesul de comprimare adiabat, gazul care evoluează - un gaz perfect, se consideră neglijabilă viteza gazului la intrarea în compresor, iar în stator gazul este frânat complet, putem determina raportul maxim teoretic de comprimare şi presiunea maximă:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−

1RT1k

kl k1k

max1t ε (8.34)

1RT

cucuk

1k1RTl

k1k

1

u11u22

1

tmax +

−⋅

−=+

−=ε (8.35)


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−⋅

−= 1

RTcucu

k1kpp

1

u11u221max (8.36)

Observăm că atât puterea necesară antrenării compresorului centrifugal, cât şi parametrii funcţionali ai acestuia - raportul de comprimare şi presiunea maximă - sunt influenţate de geometria paletelor. În figura 8. 13 este prezentată influenţa înclinaţiei paletei la terminarea rotorului, unghiul beta, asupra vectorului ce reprezintă viteza absolută a gazului la ieşirea din rotor.

Fig. 8.13

Creşterea valorii vitezei absolute a gazului la ieşirea din rotor, c2 , determină creşterea presiunii maxime de comprimare, dar şi a puterii necesare antrenării compresorului. În general, raportul de comprimare pe o treaptă pentru aceste tipuri de compresoare este 2, iar considerente economice fac ca multe dintre aceste compresoare să fie construite cu unghiul paletei la ieşirea din rotor de 90°C. Curgerea reală între paletele rotorului este o curgere complexă, viteza nefiind uniformă radial (fig. 8.14 a).

Fig. 8.14

Compresoare 288

În procesul de rotaţie, între două palete consecutive apare o diferenţă de presiune care poate fi asociată inerţiei gazului. Viteza reală a gazului dintre două palete consecutive poate fi considerată ca fiind rezultanta a două mişcări: o mişcare uniformă (fig. 8.14 b), peste care este suprapusă o mişcare de rotaţie (fig. 8.14 c) ce se desfăşoară în sens invers mişcării rotorului. Această fenomen ce apare la compresoarele reale produce o scădere a componentei tangenţiale a vitezei absolute c2u , deci o diminuare a performanţelor maşinii. Din punct de vedere termodinamic, procesul de comprimare poate fi asimilat unui proces adiabat, deoarece timpul de trecere a gazului prin compresorul centrifugal este scurt, astfel încât căldura schimbată cu rotorul şi statorul poate fi neglijată.

Fig. 8.15

În realitate, datorită disipaţiei vâscoase ce are loc în procesul de curgere turbulentă din interiorul compresorului, apare o generare de entropie 1'2 sss −=∆ în timpul procesului de comprimare, ceea ce face ca temperatura finală a gazului comprimat să crească mai mult decât în cazul unui proces adiabat reversibil (izentrop), T2’>T2. Procesul real de comprimare, 1-2’ din figura 8.15, poate fi reprezentat printr-o transformare politropă. Datorită poziţiei acestei politrope faţă de adiabată, ea se numeşte supraadiabată şi este caracterizată de faptul că valoarea exponentului politropic este mai mare decât valoarea exponentului adiabatic, n>k .


Eficienţa procesului de comprimare pentru un compresor centrifugal se defineşte

ca raportul dintre variaţia entalpiei în procesul izentrop şi variaţia entalpiei în procesul politrop:

1'2

12comp hh

hh−−

=η (8.37)

8.2.2 Compresoare axiale

În figura 8.16 a) este prezentată schema unui compresor axial, iar în figura 8.16 b) este prezentată variaţia presiunii şi a vitezei absolute a gazului în lungul maşinii:

Fig. 8. 16

Din punct de vedere constructiv, acest tip de compresor este alcătuit dintr-un tambur 1 pe care sunt montate radial şiruri de palete mobile 2. Tamburul este solidar cu arborele 3 prin intermediul căruia este acţionat. Acest ansamblu formează rotorul compresorului. Partea fixă a compresorului - statorul - este format din carcasa 4, pe care sunt montate şiruri de palete fixe 5. De carcasă se fixează camera de aspiraţie 6 şi camera de refulare 7. Pe carcasă se plasează, în faţa rotorului, un rând de palete directoare care au rolul de a imprima curentului de gaz o direcţie favorabilă pătrunderii acestuia în şirul de palete mobile. O treaptă de comprimare este alcătuită dintr-un şir de palete mobile şi un şir de palete fixe. Aşa cum se poate vedea în figura 8.16 b), paletele mobile măresc viteza gazului, deci energia cinetică a acestuia. În şirul de palete fixe al treptei curentul de gaz este frânat, iar energia cinetică se transformă în energie potenţială, crescând astfel presiunea şi temperatura curentului de gaz. Aceste procese se repetă treaptă cu treaptă, determinând creşterea presiunii în lungul compresorului. Pentru a determina mărimile energetice asociate treptei de comprimare, vom considera o treaptă elementară de comprimare (fig. 8.17) alcătuită dintr-o reţea de palete mobile asociată rotorului şi o reţea de palete fixe asociate statorului.

Compresoare 290

Fig. 8.17

În figura 8.17 s-au reprezentat triunghiurile de viteze la intrarea şi ieşirea gazului din reţeaua de palete mobile. S-a notat cu c viteza absolută, cu u viteza tangenţială considerată la jumătatea înălţimii paletei şi cu w viteza relativă la profilul paletei. Din punct de vedere termodinamic, s-au considerat trei stări notate cu: 1 - starea gazului la intrarea în reţeaua de palete mobile; 2 - starea gazului la ieşirea din reţeaua de palete mobile şi intrarea în reţeaua de palete fixe; şi 3 - starea gazului la ieşirea din reţeaua de palete fixe. Rotorul antrenează gazul, producând o variaţie a momentului cinetic. Cu notaţiile din figura 8.17, putem scrie:

( ) ( )u1u212 ccrmcrcrmM −⋅=×−×=•• rrrr (8.38)

În relaţia de mai sus s-a considerat curgerea gazului la înălţimea medie a paletei, căreia îi corespunde raza r măsurată de la axul rotorului. Puterea necesară unei trepte de comprimare se exprimă în funcţie de viteza de rotaţie:

( ) ( ) uu1u2u1u2 cumccumccrmMP ∆⋅⋅=−⋅⋅=−⋅⋅⋅=⋅=•••

ωω (8.39) Din punct de vedere energetic, dacă se consideră că întreaga creştere de energie cinetică din reţeaua de palete mobile este transformată în entalpie prin frânarea curentului de gaz în reţeaua de palete fixe, prin aplicarea primului principiu al termodinamicii rezultă:

2

cc1Tc;2

cchh21

22k

1k

2p

21

22

23−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇒

−=−

−

ε (8.40)


1k

k

2p

21

22 1

Tc2cc −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅⋅−

=ε (8.41)

Valorile raportului de comprimare al treptei compresorului axial sunt cuprinse în intervalul 1,15…1,35 pentru treptele subsonice şi 1,9…2,5 pentru treptele supersonice. Circulaţia curentului de gaz în jurul unei palete determină o forţă aerodinamică ce are două componente: una axială şi una tangenţială. Dacă se consideră valoarea medie a vitezei relative prin reţeaua de palete mobile notată cu wm şi ρm densitatea medie, cele două componente ale forţei aerodinamice se exprimă astfel:

2mmuu wb

21F ⋅⋅⋅= ρκ (8.42)

2mmaa wb

21F ⋅⋅⋅= ρκ (8.43)

Coeficientul uκ se numeşte coeficient de portanţă, iar aκ se numeşte coeficient de rezistenţă la înaintare. Raportul lor µ= uκ / aκ se numeşte coeficient de fineţe şi are valori cuprinse în intervalul 15…20. Cu b s-a notat coarda profilului. Deoarece raportul de comprimare pe treaptă este redus, pentru a obţine presiuni de comprimare de 15…25 bar trebuie să se folosească un număr adecvat de trepte. Avantajul acestui tip de compresor constă în faptul că el poate comprima debite foarte mari de gaz (120…150 kg/s), în timp ce un compresor centrifugal poate comprima cel mult (40…50kg/s). Compresoarele axiale intră în alcătuirea turbinelor cu gaze utilizate pentru propulsie, deoarece pe lângă avantajul debitului mare au o secţiune frontală redusă. În industria petrolieră, compresoarele axiale se utilizează la comprimarea debitelor mari de gaze ce se transportă pe conductele magistrale.

Instalaţii de forţă cu abur

292

9. Instalaţii de forţă cu abur

Instalaţiile de forţă cu abur sunt utilizate, în special, în termocentrale, pentru producerea energiei electrice prin conversia parţială a căldurii obţinute prin arderea unor combustibili sau produsă în reactorii nucleari. Agentul termodinamic utilizat în aceste instalaţii este apa. Pe parcursul desfăşurării ciclului termodinamic, apa îşi modifică faza: pe anumite porţiuni ale ciclului este sub formă de vapori, iar pe alte porţiuni este în stare lichidă. În aceste instalaţii, agentul termodinamic rămâne permanent în instalaţie, existând numai unele mici adaosuri ce acoperă pierderile tehnologice. Ciclurile acestor instalaţii se bazează pe fenomenele termodinamice care au loc în procesul de schimbare de fază a apei. Ele se mai numesc cicluri cu vapori. 9.1 Ciclul Rankine

Ciclul Rankine stă la baza funcţionării centralelor termoelectrice. Pentru ca să se poată realiza acest ciclu, este nevoie ca instalaţia să fie configurată astfel (fig. 9.1):

Fig. 9.1

o Cazanul este un utilaj complex, în care căldura provenită de la gazele de ardere

este transferată apei. Aceasta intră în cazan în fază lichidă, la o presiune ridicată, stabilită de pompa de alimentare. Aici, datorită procesului de încălzire, apa îşi măreşte temperatura până la temperatura de saturaţie, procesul 4-4’ (fig. 9.2), se vaporizează, procesul 4’-4”, iar vaporii sunt încălziţi, devenind vapori supraîncălziţi, procesul 4”-1. Întreg procesul din cazan este izobar.

o Turbina este o maşină care produce putere datorită destinderii continue a aburului, de la presiunea stării 1 până la presiunea corespunzătoare punctului 2.

Termotehnică si maşini termice

293

Procesul teoretic de destindere este considerat adiabat reversibil, proces în care entropia rămâne constantă. În realitate, procesul destinderii aburului în turbină este ireversibil, procesul 1 2’ (fig. 9.2), deoarece în curgerea turbulentă a aburului prin turbină o parte din energie se disipează datorită frecărilor. Acest lucru determină existenţa unei surse active de entropie în turbină, lucru ce face ca destinderea adiabată a aburului să se facă cu creştere de entropie, deci să fie ireversibilă.

o Condensatorul este un utilaj în care aburul cu presiune scăzută, ieşit din turbină, este răcit până se condensează complet. Procesul este izobar izoterm.

o Pompa preia apa din condensator, îi măreşte presiunea şi o introduce în cazan. Ea stabileşte presiunea aburului furnizat de cazan, deci presiunea aburului la intrarea în turbină. Puterea furnizată de instalaţie se obţine în turbină. Ea se poate calcula având în

vedere că destinderea 1-2 este adiabată. Din primul principiu al termodinamicii rezultă: 0vdpdhq =−=δ (9.1) Prin integrare, obţinem expresia lucrului mecanic tehnic specific pentru o

destindere reversibilă, izentropă: 2112t hhl −= (9.2) Efectul ireversibilităţii se măsoară cu ajutorul randamentului izentropic al turbinei, definit ca raportul lucrurilor mecanice tehnice specifice pentru destinderea ireversibilă şi pentru destinderea teoretică, izentropă:

21

'21iz hh

hh−−

=η (9.3)

Lucrul mecanic tehnic specific al destinderii ireversibile este: ( ) ( )21iz.irev12t hhl −=η (9.4) Puterea turbinei se determină astfel:

( ) ( )21iz.irev12tT hhmlmP −⋅⋅==••

η (9.5) Puterea consumată de pompă, considerând procesul din pompă adiabat, este:

( )34p hhmP −=•

(9.6)

Căldura preluată de abur din cazan, în procesul izobar de încălzire, se mai numeşte şi putere termică. Ea se poate calcula din integrarea expresiei diferenţiale a primului principiu.

dhvdpdhq =−=δ p = constant (9.7)


294

( )∫ −==••• 1

44141 hhmqmQ δ (9.8)

Fig. 9.2

Eficienţa ciclului Rankine este dată de raportul dintre puterea mecanică furnizată de turbină minus puterea consumată de pompă şi puterea termică preluată de abur de la cazan:

( )31

21iz

31

T

41

pT

hhhh

Q

P

Q

PP−−

==−

= ••

ηη (9.9)

La acest tip de instalaţii, puterea pompei este mică în comparaţie cu puterea furnizată de turbină (câteva procente din puterea turbinei), lucru care ne permite neglijarea acestui termen în formula (9.9). Creşterea de entalpie în pompă (h4-h3) este atât de mică, încât pe diagrama Ts cele două puncte practic coincid. Acest lucru ne permite să facem o altă aproximaţie: să introducem în formula (9.9) valoarea entalpiei punctului 3, care reprezintă entalpia apei la saturaţie, mărime uşor de determinat.


295

Unul din marile avantaje specifice acestui ciclu este faptul că puterea consumată

de pompă pentru alimentarea cazanului este foarte mică în raport cu puterea dezvoltată de turbină. Acest lucru este posibil datorită faptului că apa evoluează în turbină sub formă de vapori, iar în pompă sub formă lichidă. Volumul unui kilogram de vapori este de peste 1000 de ori mai mare decât volumul unui kilogram de apă. Volumul ce trece prin pompă este mult mai mic - pentru acelaşi debit masic - faţă de volumul ce se destinde în turbină, lucru reflectat de diferenţa dintre puterile pompei şi turbinei. Instalaţiile de forţă cu abur sunt construite pentru obţinerea de puteri instalate foarte mari. Din această cauză, puterea mecanică rezultată este utilizată pentru producerea energiei electrice.

Prin folosirea, în locul cazanului, a unui reactor nuclear s-a reuşit obţinerea unor unităţi energetice de mare putere, dar de dimensiuni reduse, lucru ce a permis utilizarea acestora la sistemele de propulsie a navelor sau a submarinelor. Utilizarea energiei nucleare a permis obţinerea unor autonomii de funcţionare de câţiva ani. 9.2 Procesul termogazodinamic din treapta de turbină Turbina cu abur este o turbină axială prin care aburul se deplasează paralel cu axul turbinei. Ea este alcătuită dintr-un rotor la care sunt fixate discuri cu palete şi un stator pe care sunt montate palete fixe (fig. 9.3).

Fig. 9.3


296

Aburul părăseşte cazanul cu presiune şi temperatură ridicată, energia debitului de abur fiind reprezentată de entalpie. La intrarea în turbină, aburul este accelerat într-o porţiune cu ajutaje în care cea mai mare parte a entalpiei acestuia se transformă în energie cinetică, apoi este introdus în reţelele de palete. Treapta de turbină cuprinde o reţea de palete fixe (pe stator) şi o reţea de palete mobile (pe rotor). Destinderea aburului se realizează în reţeaua de palete fixe. În paletele mobile, datorită profilului acestora, curentul de abur suferă o modificare a impulsului prin variaţia direcţiei vectorului viteză. Variaţia impulsului producându-se la distanţa r de axul arborelui, se transformă într-o variaţie a momentului cinetic. În figura 9.3 s-au folosit notaţiile c – viteza absolută, w – viteza relativă, u – viteza tangenţială de rotaţie considerată la jumătatea paletei. Considerând că arborele turbinei se roteşte uniform cu viteza unghiulară ω, cuplul produs de trecerea gazului prin reţeaua de palete mobile a treptei este:

( )2211 crcrmM rrrr×−×⋅=

•

(9.10) Puterea treptei elementare transmisă la arborele turbinei este:

( )u22u11 cucumMP ⋅−⋅⋅=⋅=•

ω (9.11)

Din formula 9.10 putem deduce lucrul mecanic specific pe treapta de turbină:

u22u11tt cucul;lmP ⋅−⋅=⇒⋅=•

(9.12)

Formula 9.12 mai este cunoscută sub denumirea de formula lui Euler. După cum am arătat anterior, aburul se destinde în reţelele fixe de palete, care se

comportă ca ajutajele geometrice, mărind viteza aburului pe baza diminuării entalpiei acestuia. Este posibil ca aburul să se destindă şi în reţelele mobile de palete. În acest caz, viteza relativă creşte şi în reţeaua de palete mobile (w2>w1), iar treapta se numeşte cu reacţiune. Se defineşte gradul de reacţiune al treptei ca raportul vitezelor relative de ieşire şi intrare în reţeaua de palete mobile:

1

2

ww

=ρ (9.13)

Dacă 1=ρ , treapta se numeşte cu acţiune (w1=w2), dacă 1>ρ treapta se numeşte cu reacţiune (w2>w1).

9.3 Influenţa presiunii şi temperaturii asupra ciclului Rankine

Ciclul Rankine stă la baza funcţionării unităţilor energetice de mare putere. Din această cauză, orice influenţă pozitivă asupra performanţelor ciclului poate aduce economii semnificative. Se va analiza, în continuare, influenţa presiunii aburului la ieşirea din turbină şi a temperaturii aburului la intrarea în turbină.


297

În figura 9.4 s-a reprezentat un ciclu Rankine 1-2-3-4-4’-4”-1 cu următorii parametrii: presiunea aburului la intrarea în turbină p1 = 90 bar, temperatura aburului la intrarea în turbină T1 = 773 K ; la ieşirea din turbină aburul are presiunea p2 = 1 bar. Acest ciclu se consideră ciclu de referinţă şi se notează cu a.

Considerăm ciclul 1-2’-3’-N-4’-4”-1, pe care îl vom denumi ciclul b. Acesta diferă de ciclul de referinţă prin valoarea presiunii aburului la ieşirea din turbină, p2’ = 0,05 bar.

Fig. 9.4

Pentru a analiza influenţa temperaturii aburului la ieşirea din turbină, alegem ciclul 1’-M-3-4-4’-4”-1’, care diferă de ciclul de referinţă prin valoarea temperaturii aburului la intrarea în turbină, T1’ = 853 K. Pentru această analiză, considerăm că pe ciclu evoluează un debit de 1 kg/s. Vom calcula, utilizând programul APAB pentru fiecare ciclu în parte, puterea rezultată la turbină şi randamentul termodinamic.

a) În primul caz , parametrii de stare în punctele caracteristice şi performanţele ciclului sunt: Punctul 1: p1 = 90 bar; T1 = 773K; h1=3386,8 kJ/kg; s1=6,6601 kJ/kg/K; Punctul 2: p2 = 1 bar; transformarea 1-2 este adiabată, deci s2=s1

h2 = 2109,18 kJ/kg; x2 = 0,80126;


298

Punctul 3: p3 = 1 bar, reprezintă lichid saturat h3 = 191,79 kJ/kg

( ) 272,1hhmP 21a =−=•

MW/kg

399,0hhhh

31

21a =

−−

=η

b) Pentru varianta b obţinem: Punctul 1 : aceiaşi parametri ca la varianta a; Punctul 2’: p2’ = 0,05 bar; transformarea 1-2 este adiabată, deci s2=s1, h2’=2030,3 kJ/kg; x2’ = 0,78082; Punctul 3’: p3’ = 0,05 bar, reprezintă lichid saturat h3’ = 137,72 kJ/kg.

( ) 356,1hhmP '21b =−=•

MW/kg

4175,0hhhh

31

21b =

−−

=η

c) Analog, procedăm şi pentru ciclul c: Punctul 1: p1 = 90 bar; T1’ = 853 K; h1’=3582,75 kJ/kg; s1’=6,9013 kJ/kg/K; Punctul a: pM = 1 bar; transformarea 1’-M este adiabată, deci s1’=sM, h2 = 2109,18 kJ/kg; x2 = 0,80126; Punctul 3: p3 = 1 bar, reprezintă lichid saturat h3 = 191,79 kJ/kg.

( ) 389,1hhmP 21c =−=•

MW/kg

4122,0hhhh

31

21a =

−−

=η

Tabelul T 9.1

Varianta Parametrul modificat

Puterea [MW/kg]

Randament

Ciclul de bază 1-2-3-4-4’-4”-1

-

1,272

0,399

Ciclul modificat 1-2’-3’-N-4’-4“-1

p2’ < p2

1,356

0,4175

Ciclul modificat 1’-M-3-4-4’-4”-1

T1’ >T1

1,398

0,4122

Pentru a observa cu uşurinţă influenţele celor doi factori analizaţi, rezultatele au

fost trecute în tabelul T 9.1.


299

Observăm că ambele soluţii analizate permit, prin aplicarea lor, creşterea performanţelor ciclului Rankine. În practică, aceste soluţii se aplică, singurele limitări fiind de natură tehnologică. Astfel, temperatura aburului la intrarea în turbină este limitată de rezistenţa conductelor care intră în componenţa cazanului şi prin care circulă aburul. Presiunea scăzută (câteva sutimi de bar) la ieşirea aburului din turbină impune măsuri tehnologice deosebite pentru izolarea arborelui turbinei. 9.4 Ciclul cu supraîncălzirea intermediară a aburului Pentru a creşte eficienţa ciclului Rankine s-a introdus un aport suplimentar de căldură, preluat de agentul termodinamic între două destinderi succesive în turbină. Acest lucru contribuie atât la creşterea puterii furnizate de instalaţie, cât şi la mărirea randamentului. Aportul suplimentar de căldură permite scăderea condensului ce se produce în treptele de joasă presiune ale turbinei, cu efecte nedorite în funcţionarea acesteia. La turaţia de funcţionare a turbinei, picăturile de condens provoacă coroziunea paletelor datorită impactului cu acestea. În figura 9.5 este prezentată schema unei instalaţii cu supraîncălzirea intermediară a aburului. Se observă că schema turbinei prezintă două corpuri: CIP - corpul de înaltă presiune şi un alt corp, ce reprezintă combinaţia corpurilor de medie presiune şi de joasă presiune - CMP+CJP.

Fig. 9.5

Conform acestui procedeu, aburul se destinde adiabat în corpul de înaltă

presiune (procesul 1-2’, fig. 9.6); este reintrodus în cazan, unde este supraîncălzit până la o temperatură apropiată de T1; apoi condus la turbină, unde se destinde în corpurile de medie şi joasă presiune, de la presiunea p2’ până la presiunea punctului 2. Procesul de supraîncălzire suplimentară a aburului este un proces izobar. Presiunea la care se desfăşoară acesta este presiunea aburului la ieşirea din corpul de înaltă presiune.


300

Fig. 9.6

În acest procedeu, puterea instalaţiei se compune din puterile obţinute prin cele

două destinderi succesive ale aburului: o Puterea obţinută în CIP

( )'21I hhmP −=•

(9.14)

o Puterea obţinută în CMP+CJP

( )2"2II hhmP −=•

(9.15)

Puterea totală a instalaţiei este suma celor două puteri:

( ) ( )[ ]2"2'21 hhhhmP −−−=•

(9.16)

Pentru a determina eficienţa acestei instalaţii, trebuie luată în considerare şi căldura utilizată pentru supraîncălzirea intermediară a aburului. Astfel, puterea termică totală preluată de abur este:

( ) ( )[ ]'2"231 hhhhmQ −+−=••

(9.17)


301

Din cele două relaţii de mai sus se observă că în acest tip de instalaţii aburul preia din cazan o putere termică mai mare decât în cazul ciclului Rnakine clasic, care determină creşterea puterii turbinei.

Eficienţa acestei instalaţii se calculează astfel:

( ) ( )( ) ( )'2"231

2"2'21

hhhhhhhh

Q

P−+−−−−

== •η (9.18)

9.5 Cicluri regenerative

O măsură tehnologică importantă, care se utilizează în instalaţiile de forţă cu abur, este regenerarea căldurii. Acest lucru se face în scopul măririi randamentului instalaţiilor. Ea este materializată prin încălzirea apei rezultate din condensator cu abur prelevat de la turbină.

Fig. 9.7

În figura 9.7 este prezentată schema unui grup de 80 MW, folosit în

termocentrale pentru producerea energiei electrice, care utilizează încălzirea regenerativă a apei de alimentare. Pe schemă sunt precizate debitele de apă sau abur care circulă prin anumite porţiuni ale instalaţiei, împreună cu parametrii termodinamicii. Semnificaţiile prescurtărilor de pe figură sunt:

- CIP+CMP corpurile de înaltă şi medie presiune ale turbinei; - CJP corpul de joasă presiune a turbinei; - PIP preîncălzitor de înaltă presiune; - PMP preîncălzitor de medie presiune; - PJP preîncălzitor de joasă presiune; - C colectoare pentru condens.


302

Urmărind schema din figura 9.7, observăm că apa rezultată din condensator este încălzită în preîncălzitorul de joasă presiune (75 kPa = 0,75 bar) cu abur preluat din corpul de joasă presiune al turbinei, apoi intră în degazor. Tot aici este colectat şi condensul din PIP şi PMP.

Din corpul de înaltă presiune este prelevat abur prin trei prize, care este utilizat pentru încălzirea apei în degazor, preîncălzitorul de medie presiune şi preîncălzitorul de înaltă presiune. Teoretic, cu cât se utilizează mai multe prize de prelevare a aburului, randamentul instalaţiei tinde spre randamentul Carnot, dar - în realitate - trebuie realizat un compromis între eficienţă şi preţul de cost. Mai multe prize înseamnă mai multe schimbătoare de căldură regenerative, lucru care măreşte costul instalaţiei.

Apa de alimentare a cazanului este încălzită regenerativ până la temperatura de saturaţie corespunzătoare presiunii de lucru a cazanului. Astfel, în cazan se realizează procesele de vaporizare a apei şi supraîncălzire a aburului. Acest procedeu de preîncălzire regenerativă este utilizat în toate instalaţiile de forţă cu abur folosite în termocentrale pentru producerea energiei electrice.

9.6 Cogenerarea

În anumite procesele industriale este nevoie de abur tehnologic. Pentru a-l

produce este nevoie de un cazan şi de combustibil. Dacă în zonă există grupuri de forţă cu abur utilizate la producerea energiei electrice, acestea pot furniza abur diverşilor consumatori.

Fig. 9.8

Aburul pentru utilizatori este prelevat din turbină după corpul de înaltă presiune. Astfel, acesta este utilizat parţial în turbină pentru producerea energiei mecanice, apoi este furnizat utilizatorilor. Aceştia, de regulă, returnează condensul.

Acest procedeu, prin care aburul prelevat de al turbină este furnizat diverşilor utilizatori, se numeşte cogenerare. În figura 9.8 este prezentat schematic procedeul de cogenerare.


303

Avantajele utilizării cogenerării sunt de natură economică, deoarece aburul livrat

- contra cost - a fost deja utilizat la producerea energiei electrice. Prin cogenerare se scuteşte investiţia necesară producerii separate a aburului şi costurile de exploatare a acesteia.

Exemplul 9.1 O instalaţie de forţă cu abur funcţionează după schema din figura 9.1, pe baza ciclului

termodinamic din figura 9.2. Parametrii aburului la intrarea în turbină sunt p1 = 150 bar, T1 = 773 K, iar presiunea în condensator este p2 = 0,03 bar. Să se determine: a) randamentul instalaţiei; b) debitul masic de abur, astfel încât instalaţia să producă o putere de 50 MW; c) consumul de combustibil, dacă aceasta funcţionează: 1- cu gaz metan având puterea calorică inferioară Hi = 55 MJ/kg; 2 – cu păcură, Hi = 40 MJ/kg; 3 – cu cărbune energetic având Hi = 10,5 MJ/kg;

Soluţie Din tabele termodinamice sau din programul APAB se determină parametrii de stare: Punctul 1: h1=3310,62 kJ/kg; s1=6,3487 kJ/kg/K; Punctul 2: h2=1882,63 kJ/kg; s2=6,3487 kJ/kg/K; x2=72,87 %; Punctul 3: h3=101,15 kJ/kg;

a) Randamentul se calculează cu formula (4.12):

4449,015,10162,331063,188262,3310

hhhh

31

21 =−−

=−−

=η

b) Din formula (4.8) calculăm debitul masic:

014,3563,188262,3310

50000hh

Pm21

=−

=−

=•

[kg/s]

c) Consumul de combustibil se determină din formula:

3600HQB

i

31c ×= [kg/h]

Căldura necesară producerii aburului este:

( ) ( ) 377,11215,10162,3310014,35hhmQ 1331 =−=−=•

[MW]

c) 1 - 355.755

377,112Bc == [kg/h] = 10.359 [Nm3/h]

c) 2 - 113.1040

377,112Bc == [kg/h]

c) 3 - 527.385,10

377,112Bc == [kg/h]


304

Exemplul 9.2 O instalaţie de forţă cu abur cu supraîncălzire intermediară funcţionează conform schemei din figura 9.5 pe baza ciclului termodinamic din figura 9.6. Cunoscând următorii parametrii: p1=145 bar, T1=823 K, p2’=13 bar şi p2=0.02 bar, să se determine: a) Randamentul instalaţiei; b) Considerând că prin instalaţie circulă un debit de 30 kg/s abur/apă, să se calculeze puterea instalaţiei şi căldura necesară producerii aburului. Soluţie Din tabele termodinamice sau din programul APAB se determină parametrii:

Punctul 1 : h1 =3453,63 kJ/kg; s1=6,542 kJ/kg/K; Punctul 2’ : h2’=2808,87 kJ/kg; s2=6,542 kJ/kg/K; Punctul 2” : h2”=3584,29 kJ/kg; s2”=7,775 kJ/kg/K; Punctul 2 : h2=2257,78 kJ/kg; s2=7,775 kJ/kg/K; x2=73,45% Punctul 3 : h3=73,45 kJ/kg;

a)

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )87,280828,358445,7363,3453

78,225729,358487,280863,3453hhhhhhhh

'2"231

2"2'21

−+−−+−

=−+−−+−

=η

4743,0=η

b)

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]78,225729,358487,280863,345330hhhhmP 2"2'21 −+−=−+−=•

138,59P = [MW]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]87,280828,358445,7363,345330hhhhmQ '2"231 −+−=−+−=••

668,124Q =•

[MW]


305

10. Turbina cu gaze

Turbina cu gaze face parte din rândul motoarelor cu ardere internă, deoarece produce putere mecanică prin transformarea parţială a căldurii obţinute din arderea combustibilului, în lucru mecanic, pe baza unui ciclu termodinamic, iar agentul termodinamic este alcătuit din gazele de ardere. Raportul dintre puterea dezvoltată de turbina cu gaze şi greutate este foarte mic, lucru care face ca aceste maşini să fie puternice şi uşoare. Această caracteristică le-a făcut să fie utilizate pentru propulsie în aviaţie, în domeniul naval şi feroviar, dar şi pentru producerea energiei electrice. Gama de puteri în care se construiesc turbine cu gaze este foarte largă: 100kW…100MW.

Fig.10.1

În figura 10.1 este prezentată o turbină cu gaze utilizată ca sistem de propulsie în aviaţie. Acest tip de motor se numeşte turboventilator. Este un motor puternic şi economic, iar la ora actuală este utilizat pe avioanele de transport pasageri şi marfă. Forţa de propulsie este formată din două componente: jetul de aer creat de ventilator şi jetul de gaze arse care ies din turbină. Pentru a obţine un randament ridicat, se utilizează un compresor cu multe trepte (~14..16 trepte), structurat în două părţi: partea de joasă presiune şi partea de înaltă presiune. Pentru a mări fiabilitatea motorului, combustibilul este ars în mai multe camere de ardere, plasate uniform în jurul axului.

Turbine cu gaze 306

Pentru a asigura stabilitatea frontului de flacără, numai o parte din aerul

comprimat pătrunde în camera de ardere, astfel încât excesul de aer în acest loc este ~1,3. Restul aerului comprimat trece prin exteriorul camerelor de ardere, pentru a răci pereţii acestora, apoi cele două curente de aer sunt amestecate în faţa turbinei, pentru a diminua temperatura gazelor la intrarea în turbină până în jurul valorii de 1000°C, protejând astfel paletele turbinei. Cu toate acestea, pentru a rezista solicitărilor termice, paletele turbinei sunt răcite cu aer prelevat din partea de înaltă presiune a compresorului. Acesta circulă prin interiorul paletei, de la ax spre exterior.

Fig. 10.2

În figura 10.2 este prezentată turbina cu gaze Proteus, utilizată pentru acţionări industriale. Se observă că turbina este alcătuită din două părţi. Prima parte este utilizată pentru antrenarea compresorului, cea de-a doua este folosită pentru antrenarea diferiţilor utilizatori de energie mecanică (generatoare electrice, compresoare axiale sau radiale, etc.). Energia utilă se obţine în turbina a II-a, în care se destind gazele arse formate în camerele de ardere şi utilizate parţial în prima turbină. De multe ori, aceste tipuri de turbine cu gaze se mai numesc generatoare de gaze, deoarece compresorul, camerele de ardere si prima turbină sunt folosite pentru a produce gazele necesare turbinei a II-a, ce produce puterea utilă. 10.1 Ciclul Brayton Schema unei turbine cu gaze este prezentată în figura 10.3, iar ciclul termodinamic al acestei maşini este prezentat în diagrama PV (fig. 10.4) şi în diagrama Ts (fig. 10.5).

Aerul atmosferic este comprimat de compresor, procesul 1-2 fiind considerat adiabat, apoi este introdus în camera de ardere împreună cu combustibilul.


307

Arderea se desfăşoară la presiune constantă, fiind reprezentată de procesul 2-3. Căldura primită de agentul termodinamic în timpul arderii contribuie la creşterea temperaturii şi a vitezei de deplasare a gazelor arse prin maşină.

Fig. 10.3

Destinderea gazelor arse se face în turbină, ea este simbolizată de procesul

adiabat 3-4, apoi acestea sunt evacuate în atmosferă.

Fig. 10.4

Turbine cu gaze 308

Practic, agentul termodinamic intră în instalaţia de turbină cu gaze prin compresor (punctul 1 din diagrame) şi este evacuat sub formă de gaze de ardere (punctul 4 din diagrame). Agentul termodinamic nu parcurge un ciclu complet, deci turbina cu gaze funcţionează după un semiciclu. Pentru a putea analiza, din punct de vedere termodinamic, funcţionarea acestei maşini se consideră o transformare izobară fictivă între punctele 1-2, prin care agentul termodinamic se răceşte. Analiza ciclului termodinamic se face în următoarele ipoteze:

- Agentul termodinamic este gaz perfect; - Procesul de combustie este înlocuit cu un transfer izobar de căldură 2-3 de la

o sursă externă; - Procesul de evacuare a gazelor este înlocuit cu un proces fictiv de răcire

izobară a agentului termic; - Toate transformările ciclului sunt considerate reversibile. Se definesc următoarele mărimi caracteristice ale ciclului:

1

2pp

=ε - raportul de compresie;

1

3TT

=θ - raportul temperaturilor extreme ale ciclului.

Fig. 10.5


309

Ciclul turbinei cu gaze, reprezentat în coordonate PV (figura 10.4) şi în

coordonate Ts (fig. 10.5) se numeşte ciclul Brayton. Primul principiu, aplicat acestui ciclu, ne permite determinarea lucrului mecanic

pe ciclu funcţie de căldurile intrate şi ieşite din ciclu; al doilea principiu permite determinarea randamentului. 4123c QQL −= (10.1)

( )( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=−−

−=−=−

==1

TTT

1TTT

1TTcTTc

1QQ

1Q

QQQL

2

32

1

41

23p

14p

23

41

23

4123

23

cη (10.2)

Exprimăm rapoartele temperaturilor din relaţia (10.2) funcţie de presiunile celor

două izobare din ecuaţiile adiabatelor 1-2 şi 3-4.

k1kk

1k

1

2

1

2

pp

TT −

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ε (10.3)

k1kk

1k

4

3

4

3

pp

TT −

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ε (10.4)

Din relaţiile de mai sus rezultă:

1

4

2

3

4

1

3

2

4

3

1

2

TT

TT

TT

TT

TT

TT

=⇒=⇒= (10.5)

Deci, randamentul instalaţiei de turbină cu gaze are expresia:

k

1k2

1 11TT1 −−=−=

εη (10.6)

Observăm că randamentul depinde numai de raportul de compresie şi nu depinde de configuraţia temperaturilor pe ciclu.

O problemă importantă la aceste maşini o constituie puterea utilă. Din schema instalaţiei (fig. 10.3) observăm că puterea turbinei este utilizată parţial pentru antrenarea compresorului, iar restul reprezintă putere utilă.

Din bilanţul puterilor, calculăm puterea utilă folosind expresia lucrului mecanic tehnic pentru adiabatele ce reprezintă procesele de destindere, respectiv de comprimare 1-2 şi 3-4.

CUT PPP += (10.7)

Turbine cu gaze 310

( ) ( )12p43pCTU TTcmTTcmPPP −−−=−=••

(10.8)

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

−

−

•

1T11TcmP k1k

1k

1k3pU εε

(10.9)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −

−•

11TcmPk

1kk

1k

1pU

ε

θε (10.10)

Observăm că puterea utilă la instalaţia de turbină cu gaze depinde de raportul de

compresie şi de raportul temperaturilor extreme pe ciclu. Caracteristic acestui tip de instalaţie este faptul că puterea consumată pentru

comprimarea aerului este destul de mare (30..50% din puterea turbinei) comparativ cu turbinele cu abur, la care puterea pompei de alimentare este neglijabilă în raport cu puterea turbinei.

10.2 Ciclul turbinei cu gaze cu regenerare După ce evoluează în turbină, gazele de ardere sunt evacuate în atmosferă. Destinderea acestora în turbină se face până când presiunea finală devine egală cu presiunea atmosferică. Această condiţie de funcţionare nu implică egalitatea temperaturii gazelor de evacuare cu temperatura atmosferică, temperatura gazelor de evacuare rezultă în urma destinderii adiabate şi este mai mare decât temperatura atmosferică.

Ciclul turbinei cu regenerare utilizează o parte din căldura gazelor de evacuare pentru a încălzi aerul ce intră în camera de ardere. Acest lucru conduce la creşterea randamentului şi la scăderea consumului de combustibil. În figura 10.6 este prezentată schematic o astfel de instalaţie, iar ciclul de funcţionare în diagrama Ts este prezentată în figura 10.7.

Fig. 10.6


311

Condiţia pentru funcţionarea acestei instalaţii este ca temperatura aerului la ieşirea din compresor T2 să fie mai mică decât temperatura gazelor de evacuare T4. Dacă această condiţie este îndeplinită, o parte din căldura gazelor de evacuare se transferă, într-un schimbător regenerativ de căldură, către aerul ieşit din compresor. Datorită acestui fapt, temperatura gazelor de ardere scade până la Ty, iar temperatura aerului comprimat creşte până la Tx. În acest caz, căldura cedată de agentul termodinamic către mediul exterior este:

( )1yp1y TTcmQ −=•

(10.11)

Considerând temperatura T3 fixă, căldura primită de agentul termodinamic de la

sursa caldă este mai mică, deoarece acesta s-a încălzit parţial în schimbătorul regenerativ de căldură. Condiţia de a limita superior temperatura T3 este o condiţie tehnologică impusă de limita de rezistenţă termică a paletelor turbinei.

( )x3p3x TTcmQ −=

•

(10.12)

Fig. 10.7

Turbine cu gaze 312

În aceste condiţii, randamentul instalaţiei este:

x3

1y

3x

1y

TTTT

1QQ

1−−

−=−=η (10.13)

Pentru un regenerator ideal, fără pierderi, din diagrama Ts (fig. 10.7) se observă

că Ty=T2 şi Tx=T4. În aceste condiţii, randamentul devine:

θε

ε

εη

k1k

k1k3

k1k

1

43

12

11T

1T1

TTTT1

−

−

−

=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=−−

−= (10.14)

Expresia (10.14) reprezintă randamentul maxim teoretic al instalaţiei de turbină

cu gaze cu regenerarea căldurii, deoarece pentru stabilirea sa am folosit ipoteza că în regenerator nu avem pierderi. În realitate, datorită pierderilor din schimbătorul regenerativ, gradul de recuperare al căldurii este mai scăzut. Cu toate acestea, instalaţiile de turbină cu gaze cu regenerare au un randament mai ridicat decât instalaţiile ce funcţionează după ciclul Brayton, precum şi un consum redus de combustibil.

10.3 Instalaţii ce funcţionează pe baza ciclurilor combinate Brayton-Rankine

Necesitatea reducerii consumurilor de combustibili fosili, împreună cu dezvoltarea tehnologiei - inclusiv a tehnologiei IT de achiziţie, prelucrare şi conducere a proceselor - a făcut posibilă apariţia unor grupuri energetice care funcţionează pe baza a două cicluri termodinamice simultan. Fiecare ciclu este parcurs de un agent termodinamic specific. În figura 10.8 este prezentată o instalaţie care se compune dintr-o turbină cu gaze ce funcţionează pe baza ciclului Brayton şi o turbină cu abur ce funcţionează pe baza ciclului Rankine.

Sursa de energie primară pentru turbina cu gaze este căldura Q23 ce se obţine prin arderea combustibilului. Entalpia gazelor de ardere este prelucrată, la început, în turbina cu gaze, care produce puterea utilă notată cu Pgaze.

Gazele arse care au părăsit turbina trec prin schimbătorul de căldură izolat SC, unde urmează a doua etapă de prelucrare a entalpiei acestora prin cedarea căldurii Q45 agentului termodinamic din circuitul cu vapori, apoi sunt evacuate în atmosferă împreună cu o căldură reziduală Q50.

Instalaţia de turbină cu abur utilizează schimbătorul de căldură SC pe post de cazan. Aici apa primeşte căldura Q67, aceasta este utilizată pentru vaporizarea apei şi supraîncălzirea aburului.

Aburul se destinde în turbina cu abur, producând puterea notată cu Pabur. Din al doilea ciclu se transmite către mediul exterior, în procesul de condensare a apei, căldura reziduală Q89.


313

Randamentul efectiv al acestei instalaţii se defineşte astfel:

23

aburgaze

QPP +

=η (10.15)

Acest tip de instalaţii, ce funcţionează pe baza ciclurilor combinate, au un

randament ridicat (mai mare de 45%), ceea ce înseamnă consum redus de combustibil. Adaptarea unei instalaţii de automatizare comandată de un procesor a contribuit la creşterea performanţelor, cât şi la menţinerea acestora la valori optime pe întreaga durată a exploatării.

Fig. 10.8

Turbine cu gaze 314

Un alt avantaj al acestor grupuri energetice îl constituie dimensiunile reduse,

lucru ce a permis containerizarea lor. În ultima perioadă, pe piaţa a apărut o bogată ofertă de grupuri energetice

containerizate ce funcţionează pe baza ciclurilor combinate Brayton-Rankine, care pe lângă energia electrică, oferă la cerere, abur industrial obţinut prin cogenerare.

Gama de puteri pentru care se realizează aceste grupuri este de la 1..2MW până la 50 MW. Datorită preţurilor de cost scăzute, comparativ cu costul unui grup energetic dintr-o termocentrală clasică, a mobilităţii (fiind containerizate, acestea pot fi transportate cu uşurinţă la orice locaţie), a spaţiului restrâns pentru instalare (mai mic de 100m2), uşurinţa în exploatare (practic, funcţionează singure, fiind complet automatizate), aceste grupuri cu cicluri combinate s-au impus pe piaţa furnizorilor de energie.

Exemplul 8.1 O turbină cu gaze funcţionează după ciclul Brayton, având următorii parametrii: T1=298, ε=14 şi θ=3,93. Asimilând gazul care trece prin turbină cu aer având masa moleculară 29 kg/kmol şi k=1,4, să se determine: a) randamentul instalaţiei; b) debitul de aer necesar pentru ca puterea turbinei să fie de 2 MW.

Soluţie

a) 5286,014

1111k

1kk

1k =−=−= −−

εη

b)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

−

−

•

11Tc

Pm

k1k

k1k

1p

u

ε

θε

1368,7

114

93,311429829

831414,1

4,1

000.000.2m

4,114,1

4,114,1

=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

=

−

−

•

[kg/s]


315

11. Motoare cu ardere internă

Motorul cu ardere internă este o maşină la care arderea combustibilului şi transformarea căldurii în lucru mecanic are loc într-un volum închis, variabil, reprezentat de cilindrul maşinii. În figura 11.1 este prezentată schema unui motor cu ardere internă:

Fig. 11.1

Cilindrul motorului este închis la partea inferioară cu un perete mobil, numit piston. Acesta permite variaţia volumului gazului din cilindru dar, totodată, realizează şi etanşarea acestui spaţiu. La partea superioară a cilindrului există cel puţin trei orificii, dintre care două comandate de supape: supapa de admisie sa (fig. 11.1) şi supapa de evacuare se, iar b reprezintă bujia la motoarele otto sau injectorul la motoarele diesel.

Mişcările pistonului sunt comandate de un mecanism bielă-manivelă, care realizează transformarea mişcării alternative de translaţie a pistonului în mişcare de rotaţie. Puterea dezvoltată de motor la arbore rezultă sub formă de cuplu ori turaţie. În funcţie de cum se realizează aprinderea combustibilului, motoarele se clasifică în:

- motoare cu aprindere prin scânteie sau motoare otto - la aceste tipuri de motoare aprinderea este comandată cu ajutorul unei scântei electrice;

- motoare diesel - la aceste tipuri de motoare combustibilul se autoaprinde datorită faptului că este injectat în aerul comprimat, care are temperatură ridicată.

Motoare cu ardere internă 316

Procesele termodinamice care au loc în motor se repetă periodic. Totalitatea proceselor termodinamice ce se produc periodic în motor formează ciclul termodinamic. Acesta poate fi schematizat prin următoarele transformări de stare: admisia izobară, comprimarea adiabată sau politropă, arderea izocoră şi izobară, destinderea adiabată sau politropă şi evacuarea izobară.

Funcţie de durata ciclului termodinamic, motoarele se clasifică astfel: - motoare în doi timpi - acestea sunt motoarele la care ciclul termodinamic se

efectuează la o rotaţie a motorului sau la două curse ale pistonului; - motoare în patru timpi - sunt motoarele la care ciclul termodinamic se

efectuează la două rotaţii ale motorului sau la patru curse ale pistonului.

11.1 Ciclul termodinamic al motorului cu ardere internă

Ciclul termodinamic al motorului cu ardere internă este prezentat în diagrama PV (fig. 11.2) şi în diagrama Ts (fig. 11.3).

Din analiza măsurătorilor efectuate în timpul testării motoarelor s-a concluzionat că o bună aproximare a ciclului termodinamic pentru motoarelor cu ardere internă se poate obţine considerând următoarele ipoteze:

• în cilindrul motorului evoluează un gaz perfect ce nu îşi modifică compoziţia în timpul ciclului;

• procesul de ardere este schematizat prin încălzirea izocoră şi izobară a gazului; • procesele de schimbare a gazelor sunt înlocuite de o răcire izocoră;

Pe baza acestor ipoteze, configuraţia ciclului este următoarea: - 1-2 comprimarea adiabată; - 2-3 arderea izocoră, în care gazul primeşte căldura Q23; - 3-4 arderea izobară, în care gazul primeşte căldura Q34; - 4-5 destinderea adiabată; - 5-1 răcirea izocoră, fictivă, în care gazul cedează căldura Q51; - se neglijează lucrul mecanic consumat pentru schimbarea gazelor.

Prin schimbarea gazelor se înţelege evacuarea gazelor arse şi admisia aerului sau a amestecului de aer şi benzină. Cele două procese sunt reprezentate de două izobare, cu valori pentru evacuare ~1,2 bar, iar pentru admisie ~0,8 bar. Aria cuprinsă între aceste izobare reprezintă lucrul mecanic necesar schimbării gazelor. Valoarea acestuia este mică în comparaţie cu aria ciclului, a cărui presiune maximă depăşeşte valoarea de 70 bar la motoarele otto şi valoarea de 100 bar la motoarele diesel supraalimentate.

Pentru a face analiza termodinamică a ciclului, cu notaţiile din figura 11.2, se definesc următorii parametrii:

o 2

1

VV

=ε raportul de compresie;

o 2

3

pp

=λ raportul de creştere a presiunii în arderea izocoră;

o 3

4

VV

=ρ raportul de destindere prealabilă;

o 21S VVV −= cilindreea unitară, care reprezintă volumul unui cilindru, exprimat în cm3.


317

Fig. 11.2

Ca date cunoscute se aleg parametrii de stare ai punctului 1, p1 şi T1, reprezentând presiunea şi temperatura aerului la intrarea în motor.

Următorul pas îl reprezintă determinarea parametrilor de stare în punctele caracteristice ale ciclului. Pentru aceasta, se determină la început volumele în punctele 1 şi 2 folosind relaţiile de definiţie a raportului de compresie şi a cilindreei.

Pentru a determina restul parametrilor, se procedează astfel: se porneşte din punctul 1 spre punctul 5; utilizându-se ecuaţiile transformărilor ce compun ciclul, se determină parametrii de stare.

Rezultatele acestui calcul sunt prezentate sintetizat în tabelul T 11.1. Pe baza acestor rezultate se pot determina căldurile intrată şi ieşită din ciclu. Se notează cu m masa de aer care evoluează într-un ciclu:

( ) ( )1

11k

VpTTmcQk

2123v23 −

−−

=−=ελε (11.1)

( ) ( )111k

kVpTTmcQk

s134p34 −−−

=−= ρλεε (11.2)


Fig. 11.3

Tabelul T 11.1

Punctul / parametrul p V T 1

p1 s1 V

1V

−=εε

T1

2

k1p ε

s2 V1

1V−

=ε

1k

1T −ε

3

k1p λε

s2 V1

V−

=ερ

1k1T −λε

4

k1p λε

s1 V1

V−

=εε

1k1T −ρλε

5

k1p λρ

s1 V1

V−

=εε

k1T λρ


319

( ) ( )ks115v51 1

11kVpTTmcQ λρ

εε

−−−

=−= (11.3)

Randamentul termodinamic al ciclului este:

( ) ( )[ ]1k111

QQQ

1 1k

k

3423

51

−+−−

−=+

−= − ρλλελρη (11.4)

Ciclul în care arderea este schematizată prin două transformări - una izocoră şi

cealaltă izobară - este caracteristic motoarelor diesel rapide. Prin particularizarea relaţiei (11.4) obţinem câteva relaţii importante, specifice anumitor categorii de motoare.

Motoarele cu aprindere prin scânteie utilizează un combustibil volatil, cu viteză mare de ardere, astfel încât pentru aceste motoare arderea este schematizată numai printr-o transformare izocoră, în acest caz ρ = 1. Înlocuind această valoare în relaţia (11.4), obţinem expresia randamentului pentru motoarele otto:

111 −−= kε

η (11.5)

În figura 11.4 este prezentat ciclul termodinamic cu ardere la volum constant, specific motoarelor cu aprindere prin scânteie.

Fig. 11.4


Această relaţie simplă (11.5) este importantă, deoarece ne permite să analizăm

dependenţa dintre randamentul termodinamic şi raportul de compresie, un parametru constructiv al motorului.

Variatia randamentului functie de raportul de compresie

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Raportul de compresie

Ran

dam

entu

l ter

mod

inam

ic

Fig. 11.5

În figura 11.5 este prezentată grafic variaţia randamentului termodinamic funcţie de raportul de compresie calculat cu formula (11.5).

Se observă o creştere a randamentului odată cu raportul de compresie, dar la motoarele cu aprindere prin scânteie raportul de compresie este limitat tehnologic la valori mai mici sau cel multe egale cu 9..9,5 (maxim 10), pentru a împiedica autoaprinderea benzinei în timpul compresiei. Toate modelele cu injecţie de benzină în poarta supapei de admisie (sistemul de injecţie multipunct) trebuie să se supună acestei restricţii. Cercetări experimentale cu privire la posibilitatea creşterii raportului de compresie la motoarele otto, în vederea măririi randamentului şi a scăderii consumului, au condus la apariţia unui nou procedeu de formare a amestecului, injecţia directă de benzină în cilindru (GDI – Gasoline Direct Injection). S-a reuşit, astfel, mărirea raportului de compresie la motoarele otto, până la valoarea de 12, cu creşterea corespunzătoare a randamentului şi scăderea consumului. Motoarele diesel au rapoarte de compresie cuprinse între 18…24, ceea ce face ca randamentul acestora să fie mai mare decât randamentul motoarelor otto. Pentru utilizatori, un randament mai mare înseamnă un consum mai mic de combustibil. O altă particularizare utilă se obţine dacă în formula (11.4) particularizăm valoarea raportului de creştere a presiunii în timpul arderii, astfel λ = 1, rezultă:

( )1k11 1k

k

−−

−= − ρερη (11.6)


321

Această expresie este valabilă în cazul motoarelor diesel lente, de puteri mari şi

foarte mari (până la 48 MW), folosite în special la tracţiunea navală. Ciclul termodinamic al unui astfel de motor are particularitatea că arderea este schematizată printr-o transformare izobară şi se numeşte ardere la presiune constantă (fig. 11.6).

Fig. 11.6 Deoarece raportul de compresie al motoarelor diesel este mai mare decât al motoarelor otto şi datorită faptului că, la sarcini parţiale, pentru realizarea dozajului optim la motoarele otto se modifică cantitatea de aer ce intră în motor printr-o clapetă de laminare, pentru capacităţi cilindrice egale, motoarele diesel au consumuri cu ~30% mai mici decât motoarele otto, inclusiv la sarcini paţiale. Acest lucru face ca, pentru puteri echivalente, motoarele diesel să emită cantităţi mai mici de bioxid de carbon decât cele otto. Prevederile tratatului de la Kyoto, privind reducerea gazelor care provocă efectul de seră, determină statele să adopte politici de promovare a motoarelor diesel. Randamentul termodinamic este o componentă importantă a randamentului efectiv; valoric, ea are ponderea cea mai mare. Randamentul efectiv al motorului cu ardere internă se compune din următorii factori:


o η - randamentul termodinamic;

o iη - randamentul indicat - evaluează ce fracţie reprezintă aria ciclului real faţă de aria ciclului teoretic (fig. 11.2); are valori: 0,78…0,88 ;

o mη - randamentul mecanic - apreciază pierderile mecanice din motor; valori posibile: 0,75…0,85. Randamentul efectiv al motorului se defineşte astfel:

mie ηηηη = (11.7) Pe baza relaţiilor (11.1), (11.2) şi (11.3), se determină lucrul mecanic pe ciclu:

513423c QQQL −+= (11.8)

( ) ( ) ( )[ ]11k111k

VpL k1kks1c −−−+−

−−= − λρρλελε

εε [J/ciclu] (11.9)

Relaţia (11.9) permite determinarea puterii motorului, cu formula:

τ

η 3c

e 1030inLP

⋅⋅

= [kW] (11.10)

în care s-a notat cu n turaţia motorului în rotaţii/minut, i numărul de cilindrii, iar τ reprezintă numărul de timpi.

11.2 Supraalimentarea motoarelor Din formula (11.9) observăm că lucrul mecanic pe ciclu este direct proporţional cu presiunea aerului la intrarea în cilindru p1 şi cu cilindreea Vs, deci puterea motorului depinde direct de aceşti doi parametri. Creşterea puterii motoarelor se poate realiza pe două căi:

mărirea cilindreei, care de regulă se materializează prin creşterea volumului cilindrilor sau prin creşterea numărului de cilindri (motoare policilindrice);

mărirea presiunii aerului la intrarea în cilindru, creşterea valorii parametrului p1 din formula (11.9). Dacă presiunea aerului admis în cilindri este mai mare decât presiunea atmosferică, motorul se numeşte supraalimentat, iar procedeul poartă numele de supraalimentare;

Pentru a se putea realiza supraalimentarea motoarelor este necesar ca aerul ce intră în motor să fie comprimat în prealabil lucru ce impune existenţa unui compresor.

În figura 11.7 este prezentată cea mai utilizată schemă de supraalimentare a motoarelor. Conform acesteia, energia gazelor arse care părăsesc motorul este valorificată prin destinderea într-o turbină cu gaze, notată cu T. Puterea furnizată de aceasta este folosită pentru antrenarea unui compresor centrifugal, notat cu C. Cuplarea celor două maşini este posibilă deoarece ambele funcţionează la turaţii mari (80.000 … 100.000 rot/min) şi se realizează printr-un ax comun. Acest ansamblu turbină-compresor poartă denumirea de grup turbocompresor, iar motoarele se numesc turbosupraalimentate sau - mai simplu - turbo.


323

Deoarece supraalimentarea măreşte puterea motorului fără a mări numărul de cilindri, randamentul mecanic rămânând constant, aceste tipuri de motoare au o economicitate mai mare, consumul specific de combustibil pe unitatea de putere fiind mai redus decât în cazul motoarelor cu aspiraţie naturală.

Fig. 11.7

În figura 11.8 este prezentat comparativ ciclul motorului supraalimentat cu ciclul motorului cu aspiraţie naturală.

Fig. 11.8


Valorile parametrilor T1, ε, λ şi ρ pentru cele două cicluri sunt egale, singura diferenţă fiind valoarea presiunii p1, care pentru ciclul cu aspiraţie naturală este 0,8 bar, iar pentru ciclul supraalimentat este 1,45 bar. Se remarcă diferenţa ariilor celor două cicluri, care de fapt reprezintă lucrurile mecanice pe ciclu. În compresor procesul de comprimare este adiabatic, astfel că pe lângă creşterea presiunii se realizează şi creşterea temperaturii, lucru nedorit deoarece produce creşterea volumului specific al aerului, diminuând masa de aer ce poate intra în cilindru, lucru ce se traduce prin reducerea puterii. Pentru a combate acest fenomen se utilizează un răcitor intermediar notat cu R, care de regulă este un schimbător de căldură aer-aer plasat în faţa radiatorului pentru lichidul de răcire sau lateral faţă de acesta.

Supraalimentarea motoarelor este un procedeu complex ce măreşte puterea motorului, dar care în anumite condiţii poate determina o creştere a parametrilor gazelor de ardere (presiune, temperatură) ce pot distruge motorul. Din această cauză, acest proces este strict controlat electronic de către unitatea de comandă a motorului.

Fig. 11.9 În figura 11.9 este prezentat modul de control al procesului de supraalimentare. Aerul care intră în motor trece prin debitmetrul cu fir cald 1, apoi intră în compresorul centrifugal 2 unde este comprimat, apoi introdus în motor. Pe galeria de admisie, pentru determinarea debitului masic se mai măsoară presiunea absolută - cu senzorul 8 - şi temperatura aerului admis - cu senzorul 9. Debitul maxim de gaze arse ce intră în turbina 3 este controlat de supapa 4. Aceasta limitează presiunea maximă de


325

supraalimentare, prin scăderea debitului de gaze ce trece prin turbină. Când este deschisă, o parte dintre gazele arse trec direct în galeria de evacuare. Acţionarea supapei de scurcircuitare se face de către electrovalva 6, care este comandată de unitatea centrală de gestiune electronică a motorului. Pentru reducerea oxizilor de azot, la sarcini parţiale o parte din gazele arse sunt reintroduse în aspiraţia motorului. Recircularea gazelor arse este controlată de supapa 5, acţionată de electrovalva 7. Grupul turbocompresor funcţionează corespunzător începând de la un anumit debit de gaze de ardere. Acest lucru face ca, la sarcini parţiale mici, turbocompresorul să se comporte ca o rezistenţă suplimentară. Pentru a îmbunătăţi comportarea turbocompresorului, la toate regimurile s-au realizat turbocompresoare cu geometrie variabilă. Particularitatea constructivă a acestora constă în faptul că aparatul director ce dirijează gazele de ardere la intrarea în turbină este format dintr-un rând de palete mobile plasate pe stator, ale căror poziţii sunt comandate electronic funcţie de regimul motorului. Practic, la debite reduse de gaz se modifică direcţia vectorului viteză astfel ca puterea turbinei să fie suficientă pentru acţionarea eficientă a compresorului. Tot prin modificarea poziţiei paletelor aparatului director se obţine reducerea puterii turbinei în cazul sarcinilor mari. 11.3 Noţiuni despre comanda electronică a motoarelor Normele restrictive în privinţa poluării, pe care trebuie să le îndeplinească motoarele livrate pe piaţă, reducerea consumului de combustibil, mărirea performanţelor dinamice şi - nu în ultimul rând - asistarea comenzilor şi confortul conducătorului auto, au impus de mai bine de două decenii apariţia motoarelor cu comandă electronică. Apariţia acestui lucru a fost precedat de adoptarea unor legi specifice, la început în SUA, apoi şi în Europa. California este cunoscută în întreaga lume ca un stat deschizător de drumuri în ceea ce priveşte obiectivele menţinerii purităţii aerului. Pentru punerea în aplicare a acestor obiective a fost însărcinată „Autoritatea Californiană pentru Menţinerea Purităţii Aerului (California Air Resources Board = CARB). Această autoritate a decis punerea în aplicare, pe autovehicul, a procedeului de autodiagnosticare (On Board Diagnosis = OBD), astfel ca problema să fie atacată direct la sursă, adică direct pe motor.

Regulamentele pentru acest lucru au fost stabilite prin intermediul primei definiţii, OBD I, şi a fost introdus în fabricaţie în anul 1988. Începând cu anul de fabricaţie 1994, pentru autovehiculele vândute în SUA este valabilă definiţia a doua, OBD II.

Aplicarea pentru Europa se face de către organizaţia internaţională pentru norme ISO (International Organization for Standardization = ISO). Constructorii europeni de autovehicule au impus ca reglementare legislativă norma ISO 9141-CARB (redactată în 1991 sub forma DIN ISO 9141-2, reprezentând adaptarea normei americane OBD II).

Această normă europeană este inclusă în definiţia OBD, astfel s-a reuşit unificarea comunicării cu aparatele de comandă ale motoarelor. Acestea trebuie să comunice - conform OBD II - atât în SAE, cât şi în ISO.

Există, sub formă de proiect, norma europeană EOBD (On Board Diagnosis Europa), care va fi aplicată pe întreg teritoriul Europei (probabil din 2004).


În norma OBD I s-a stabilit controlul şi supravegherea tuturor sistemelor din

autovehicul legate în mod relevant de gazele arse, prin partea electrică şi electronică. Controlul era limitat la recunoaşterea funcţiilor defecte. Un defect trebuie memorat în memoria pentru erori a aparatului de comandă. Funcţia defectă este semnalizată prin intermediul unei lămpi de control încorporată în tabloul de bord.

În acest fel, se garantează o posibilitate simplă de control a respectării nomelor de poluare, prin poliţia rutieră. Orice defect ce afectează calitatea gazelor arse este semnalat la bord prin aprinderea lămpii de control, lucru ce este inspectat şi sancţionat de poliţia rutieră.

OBD I a fost înlocuit de către OBD II începând cu anul de fabricaţie 1994. Termenul pentru aprobări de excepţie a expirat din data de 01.01.1996. OBD II este valabilă pentru autoturisme şi autoutilitare cu motoare pe benzină, iar începând cu anul de fabricaţie 1996 şi pentru autovehiculele pe motorină cu motoare diesel. Această normă reprezintă continuarea OBD I, dar înăspreşte exigenţele către „On Board Diagnosis” şi măreşte volumul mărimilor ce trebuiesc controlate. Completările cele mai importante ale OBD II sunt reprezentate de faptul că aceasta prevede controlul permanent pentru următoarele componente şi procese:

ardere catalizator sonde lambda sistem de aer secundar sistemul de evaporare combustibil sistemul de recirculare gaze arse La ora actuală, motoarele cu ardere internă sunt cele mai utilizate sisteme pentru

propulsia autovehiculelor rutiere. Numărul unităţilor produse este în continuă creştere. Constrângerile impuse constructorilor, referitoare la scăderea consumului de combustibil, creşterea puterii pe unitate de volum, fiabilitate şi - nu în ultimul rând - respectarea unor legi tot mai restrictive privind poluarea, au impus o evoluţie spectaculoasă a acestora.

Un salt important în evoluţia motoarelor s-a produs odată cu introducerea controlului şi conducerii electronice a acestora. Tendinţa actuală este de extindere a gestiunii electronice, pentru un control total asupra funcţionării motorului, precum şi extinderea acestuia asupra sistemelor de fânare, suspensie, direcţie, cutiei de viteze, sistemelor de siguranţă la impact, etc. Controlul electronic al motorului se realizează printr-un calculator de bord ce primeşte semnale de la senzorii montaţi pe motor sau acţionaţi de conducătorul auto (pedala de acceleraţie, frână, schimbător de viteză, etc.) şi care - funcţie de valorile primite - emite comenzi către anumite elemente de execuţie ce controlează funcţionarea motorului.

Principalele elemente ce sunt comandate de către calculator sunt formarea unghiul de avans la producerea scânteii electrice sau la injecţia motorinei şi raportul aer- combustibil.

Modul specific de lucru al calculatorului este prezentat în schema din figura 11.10. Astfel, pentru avans, în memoria calculatorului sunt păstrate într-o matrice tridimensională valorile pentru unghiul de avans funcţie de sarcină şi turaţie. În timpul funcţionării motorului, pe baza valorilor venite de la senzori se determină din matrice valoarea unghiului de avans. Această mărime suferă două corecţii, o corecţie principală


327

funcţie de temperatura lichidului de răcire şi corecţii secundare funcţie de acceleraţie, intensitatea detonaţiei, etc.

Fig. 11.10

În mod similar se procedează în cazul determinării debitului de combustibil. În

memoria calculatorului sunt stocate valorile timpului de deschidere al injectoarelor funcţie de sarcină şi turaţie. Valorile citite sunt corectate în mai multe etape, principala corecţie se face funcţie de temperatura lichidului de răcire, apoi urmează corecţiile minore conform schemei din figura 11.10.


Fig. 11.11

O situaţie specială, în cazul motoarelor otto, o reprezintă reglarea raportului aer-combustibil funcţie de sonda lambda. Aşa cum s-a prezentat în capitolul 5, sonda lambda permite determinarea prezenţei oxigenului în gazele de ardere. Pentru a reduce cantitatea de monoxid de carbon şi pentru a mări economicitatea motorului, sistemele electronice de comandă fac posibilă arderea în motoarele otto a amestecurilor sărace care au excesul de aer ~1, deci amestecuri stoichiometrice. Pentru a aprinde astfel de amestecuri s-a mărit durata scânteii electrice. O problemă deosebită o constituie menţinerea dozajului în vecinătatea zonei stoichiometrice. Sonda lambda are un răspuns în tensiune (fig. 11.11) foarte prompt în zona dozajului stoichiometric, din această cauză semnalul de la sonda lambda este folosit pentru corectarea debitului de benzină înjectat. Astfel, la mersul stabilizat al motorului unitatea centrală de comandă trece la un reglaj al debitului de combustibil, în buclă închisă, funcţie de semnalul provenit de la sonda lambda. În regimurile de repriză se renunţă la economicitate în favoarea performanţelor, reglajul funcţie de sonda lambda se face în buclă deschisă.

11.3.1 Sistemul de injecţie electronică monopunct Un sistem simplu de injecţie electronică de benzină îl reprezintă sistemul de injecţie monopunct, exemplificat în figura 11.12 prin sistemul Mono-Jetronic produs de firma Bosch. Combustibilul este introdus în sistem de către pompa de benzină 1 plasată în rezervor. Aceasta asigură o presiune, după filtru de benzină 2, de circa 2 bar. Presiunea benzinei este riguros controlată şi menţinută constantă de către regulatorul de presiune 3b. Benzina este introdusă în galeria de admisie o dată la fiecare rotaţie a motorului, prin injectorul 3c. Sarcina se determină prin citirea poziţiei clapei de acceleraţie, cu ajutorul traductorului potenţiometric 3a.


329

Fig. 11.12

Clapeta de acceleraţie este comandată de utilizator, dar la anumite regimuri, în

special la ralanti sau sarcini parţiale, poziţia clapetei de acceleraţie este corectată de unitatea centrală de comandă, prin acţionarea servomotorului 3e.

Unitatea centrală de comandă 6 culege semnale pentru corecţia debitului de la senzorul de temperatură pentru aer 3d, senzorul de temperatură pentru lichidul de răcire 4 şi sonda lambda 5.

11.3.2 Sistemul de injecţie electronică multipunct Sistemul de injecţie multipunct este exemplificat în figura 11.13 prin sistemul Motronic M5, produs de firma Bosch. Acest sistem este un sistem de ultimă generaţie, performant, ce echipează numeroase vehicule, reprezentativ pentru sistemele multipunct de injecţie. Acest tip de sistem asigură o distribuţie uniformă a combustibilului, deoarece în galeria de admisie a fiecărui cilindru este plasat un injector de benzină (termenul consacrat: injectorul este plasat în poarta supapei).

Particularitatea funcţională a acestui sistem este că injectoarele sunt acţionate de către unitatea electronică de comandă în paralel, deci ele injectează toate odată la fiecare rotaţie a motorului. Acest lucru face ca, pe durata unui ciclu termodinamic, la fiecare cilindru să se producă două injecţii: o injecţie are loc când supapa de admisie este închisă (corespunde perioadei de destindere a ciclului), iar a doua se produce când supapa de admisie este deschisă. Conform acestui procedeu, doza de benzină necesară fiecărui cilindru se injectează în două cantităţi egale, jumătate când supapa este închisă - considerându-se că benzina rămâne în zona supapei de admisie până la deschiderea acesteia - şi jumătate în perioada admisiei.


Fig. 11.13

Semnificaţia poziţiilor din figura 11.13: 1 Filtru cărbune activ(FCA) 2 Dispozitiv măsurare masă de aer 3 Aparat de comandă 4 Port diagnosticare 5 Lampă diagnosticare (MIL, Malfunction Indicator Light ) 6 Ventil de închidere FCA 7 Potenţiometru clapetă de acceleraţie 8 Regulator ralanti 9 Ventil de regenerare FCA 10 Senzor temperatură aer 11 Senzor presiune galerie aspiraţie 12 Ventil recirculare gaze de eşapament

13 Senzor presiune 14 Rezervor combustibil 15 Injector 16 Regulator presiune 17 Senzor detonaţie 18 Indicator de turaţie 19 Senzor temperatură motor 20 Senzor faze 21 Catalizator cu două sonde lambda 22 Senzor de acceleraţie caroserie 23 Pompă aer secundar şi ventil aer secundar

Principiile de reglare a cantităţii de benzină funcţie de parametrii măsuraţi, corecţiile, reglajul lambda se fac aşa cum s-a arătat anterior. Sistemul Motronic M5 (fig. 11.13) este un sistem complex care, pe lângă reglarea debitului de carburant şi a avansului, are dispozitive suplimentare ce-i permit realizarea unor limite scăzute pentru noxe. Astfel, prin ventilul 12 sunt recirculate cantităţi limitate de gaze arse la regimuri parţiale pentru eliminarea oxizilor de azot. Prin pompa de aer secundar 23 este introdusă în galeria de evacuare, în faţa catalizatorului, o cantitate mică de aer, ce permite oxidarea monoxidului de carbon şi a hidrocarburilor nearse în zona catalizatorului.


331

Vaporizarea combustibilului este controlată prin supapele 6, 9 şi filtrul de

cărbune activ 1 . Unitatea centrală de comandă semnalizează la bordul vehiculului orice defecţiune apărută în sistem, prin lampa de semnalizare 5, iar prin portul de diagnoză 4 permite cuplarea unui calculator specializat pentru citirea memoriei cu erori şi / sau modificarea unor setări. O parte importantă a funcţiilor unităţii centrale de comandă o constituie autodiagnoza. Astfel, procesorul monitorizează în permanenţă semnalele venite de la senzori. În cazul defectării unui senzor, dacă valorile acestuia nu sunt esenţiale pentru siguranţa funcţionării motorului (ca spre exemplu senzorul de turaţie), se trece pe un regim de avarie, semnalul acestuia este înlocuit cu valori predefinite în memorie şi se semnalizează la bord prin lampa 5. Dacă defectul dispare, se revine la situaţia iniţială; dacă nu, se memorează acest defect în memoria cu erori, ce poate fi accesată prin portul 4. Dacă defectele afectează siguranţa funcţionării motorului, procesorul opreşte motorul şi nu permite pornirea acestuia decât după înlăturarea defectelor.

11.3.3 Sistemul electronic de injecţie directă de benzină GDI (Gasoline Direct Injection)

În figura 11.14 este prezentat sistemul electronic de injecţie a benzinei direct în cilindrii motorului, fabricat şi comercializat de firma Bosch.

Fig. 11.14


Semnificaţia poziţiilor este următoarea: 1. debitmetru masic de aer cu fir

cald; 2. filtru de cărbune activ; 3. supapă fitru de carbon activ; 4. pompă de înaltă presiune; 5. supapă control presiune; 6. rampă de benzină; 7. bobină de aprindere; 8. traductor pedală; 9. traductor clapetă; 10. supapă recirculare gaze; 11. senzor presiune absolută; 12. senzor înaltă presiune;

13. injector benzină 14. senzor detonaţie; 15. senzor temperatură motor; 16. senzor lambda; 17. senzor lambda; 18. catalizator NOx; 19. procesor; 20. priză diagnoză; 21. lampă diagnoză; 22. imobilizator vehicul; 23. senzor acceleraţie 24. pompă benzină; 25. senzor turaţie

Particularitatea acestui sistem constă în faptul că benzina este injectată la

sfârşitul compresiei direct în cilindru motorului, apoi se produce scânteia electrică ce aprinde amestecul de aer şi benzină. Deoarece în timpul compresiei în cilindrul motorului este numai aer, s-a reuşit mărirea raportului de compresie până la valoarea 12, rezultând o creştere a randamentului termodinamic şi o scădere a consumului de combustibil.

La acest tip de sistem injecţia se produce pentru fiecare cilindru, în ordinea de aprindere la sfârşitul compresiei; ea poartă numele de injecţie segvenţială.

Pentru a funcţiona, sistemul are nevoie de o pompă de benzină de înaltă presiune 4, ce asigură în rampa comună de alimentare a injectoarelor o presiune de ~150 bar, care este controlată de supapa pentru înaltă presiune 5.

Din punct de vedere a conducerii sistemului de către unitatea centrală de comandă, lucrurile sunt similare sistemelor prezentate anterior, monopunct şi mutipunct.

Sistemul de injecţie directă a benzinei (GDI) a apărut la vehiculele comercializate pe piaţă din anul 1998. Datorită consumului redus de benzină realizat de motoarele dotate cu acest sistem, el este în continuă dezvoltare, tendinţa fiind de a înlocui sistemul de injecţie multipunct care, în prezent, s-a generalizat la motoarele otto.

11.3.4 Comanda electronică a motoarelor diesel

Controlul electronic s-a dezvoltat şi pentru motoarele diesel. Aici se remarcă două tendinţe, controlul electronic al pompei de injecţie sau înlocuirea acesteia cu un sistem “common rail” (cu rampă comună de alimentare a injectoarelor, care sunt acţionate electromagnetic), asemănător celui folosit în cazul injecţiei directe de benzină. În figura 11.15 este prezentat un sistem prin care principalele funcţii ale pompei de injecţie de tip VP produsă de firma Bosch sunt controlate electronic de către unitatea centrală de comandă EDC 12. Astfel, dispozitivul electromagnetic 8 permite reglarea debitului de motorină prin comanda venită de la unitatea centrală de comandă, iar supapa electromagnetică 10 permite modificarea avansului funcţie de comanda primită.


333

Valorile sarcinii sunt măsurate de traductorul pedalei 11, turaţia de traductorul 6, iar pe baza acestor valori se citeşte valoarea debitului de motorină din matricea corespunzătoare aflată în memoria procesorului.

Fig. 11.15

1 Dispozitiv măsurare masă de aer 2 Senzor presiune de supraalimentare 3 Reglare presiune pentru recirculare gaze de eşapament 4 Injectoare cu senzor de mişcare a acului 5 Senzor temperatură motor 6 Senzor turaţie/punct mort superior 7 Pompă injecţie de distribuţie 8 Mecanism magnetic de reglare 9 Ventil / supapă de oprire 10 Supapă electromagnetică pentru reglare pulverizare

11 Traductor pedală 12 Aparat de comandă

Această valoare este corectată funcţie de debitul de aer (măsurat de debitmetrul 1) şi de temperatura motorului (măsurată de senzorul 5), iar în final este transmisă elementului de execuţie 8 ce controlează debitul. Deoarece la aceste tipuri de motoare arderea se desfăşoară cu exces de aer, cantităţile de monoxid de carbon din gazele de ardere sunt nesemnificative. Principalul component al noxelor pentru motoarele diesel este oxidul de azot. Acesta se combate la sarcini parţiale prin recircularea gazelor arse, controlată de procesor prin electrovalva 3.


Cel mai modern şi performant sistem de alimentare comandat electronic, pentru motoare diesel, este sistemul de tip common rail prezentat schematic în figura 11.16.

Fig. 11.16

1 Electrovalvă blocare motor 2 Senzor pedală acceleraţie 3 Baterie 4 Senzor turaţie şi poziţie arbore cotit 5 Modulul electronic de control 6 Senzor lichid de răcire 7 Electrovalvă recirculare gaze 8 Răcitor de combustibil 9 Filtru de conbustibil 10 Încălzitor de combustibil 11 Injector 12 Pompă de circulaţie electrică 13 Pompă de circulaţie mecanică 14 Releu pompă de alimentare 15 Supapă control presiune în rampă

16 Senzor presiune 17 Rampă combustibil 18 Rezervor 19 Senzor temperatură combustibil 20 Releu bujie incandescentă 21 Bujie incandescentă 22 Indicator bujie incandescentă 23 Pompă de înaltă presiune 24 Comutator pornire 25 Senzor temperatură 26 Lampă avarie 27 Senzor presiune absolută 28 Debitmetru 29 Supapă limitare presiune turbo 30 Senzor de viteză vehicul


335

Acest sistem permite un control riguros al momentului începutului injecţiei în fiecare cilindru, precum şi al cantităţii de motorină injectate. Debitul de combustibil este controlat prin timpul de deschidere al injectorului şi prin valoarea presiunii din rampă. Condiţia necesară de funcţionare a sistemului este ca în rampă să existe motorină la o presiune ridicată (la sistemele actuale aceasta variază între 800 bar la ralanti, până la 1350 bar în sarcină). Unele sisteme au presiunea de sarcină până la 2000 bar. Presiunea combustibilului în rampă este asigurată de pompa de înaltă presiune 23, iar valoarea acesteia este controlată de supapa 15. Datorită presiunii ridicate realizate de pompă, necesară funcţionării sistemului, combustibilul se încălzeşte destul de mult, astfel încât motorina întoarsă în rezervor pe retur trebuie răcită prin radiatorul 8. Pentru a asigura o pornire uşoară la temperaturi scăzute şi a evita pericolul condensării parafinelor, în situaţii deosebite combustibilul este încălzit înainte de a se introduce în pompa de înaltă presiune. Unitatea centrală de comandă electronică 5 funcţionează în mod similar celor prezentate anterior, pentru celelalte tipuri de sisteme de injecţie, adică are memorate valorile de avans şi de debit funcţie de sarcină şi turaţie. Valorile citite sunt corectate înainte de a se trimite spre elementele de execuţie.

În figura 11.17 este prezentat schematic un injector cu comandă electronică folosit în sistemele de injecţie de tip common raill.

Elementul de acţionare îl constituie electromagnetul 1, ce controlează supapa bilă 10. Motorina pătrunde în corpul injectorului prin racordul 2, până în camera 5. Acul injectorului 7 este ţinut pe sediu datorită forţei de apăsare exercitată de resortul 8 şi prin forţa de apăsare exercitată de tija 9, sub presiunea din camera 5.

Electromagnetul este acţionat de unitatea electronică de comandă prin conectorul 4, supapa bilă 10 se ridică de pe sediu, presiunea în camera 5 scade, iar presiunea ridicată din rampă ajunge în camera de acumulare 6 şi ridică acul 7 de pe sediu; astfel, motorina este pulverizată în cilindru prin orificiile de la baza pulverizatorului.

Injecţia se termină în momentul când tensiunea scade în electromagnet şi supapa bilă se închide, presiunea din rampă pătrunde în camera 5, apasă tija 9, forţând acul injectorului să se aşeze pe sediu.

Fig. 11.17 Sistemul de injecţie electronic de tip common rail asigură funcţionarea motoarelor diesel la parametrii ridicaţi, cu consumuri reduse de combustibil, şi reuşesc încadrarea noxelor emise în cele mai restrictive norme.


Exemplul E 11.1 Un motor diesel funcţionează la turaţia de 5000 rot/min, în patru timpi, după ciclul cu arderea mixtă, figura 11.2. Parametrii ciclului sunt: ε = 18, λ = 1,8 şi ρ = 1,6. Cilindreea este de 1400 cm3, motorul are 4 cilindri şi este supraalimentat, astfel că presiunea p1=1,8 bar. Se consideră că pe ciclu evoluează un gaz perfect cu masa moleculară 29 kg/kmol şi exponentul adiabatic 1,4. Să se determine: a) Randamentul efectiv cunoscând randamentul indicat 0,8 şi randamentul mecanic 0,75. b) Puterea efectivă.

Soluţie

a) Randamentul termodinamic se calculează cu formula (11.4):

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 663,016,18,14,118,118

16,18,111k1

11 14,1

4,1

1k

k

=−⋅+−

−⋅−=

−−−−

−= −− ρλλελρη

Randamentul efectiv se obţine aplicând formula (11.7)

3978,075,08,0663,0mie =⋅⋅== ηηηη

b) Pentru lucru mecanic pe ciclu se aplică formula (11.9), iar pentru putere formula (11.10):

( ) ( ) ( )[ ]11k111k

VpL k1kks1c −−−+−

−−= − λρρλελε

εε

( ) ( ) ( )[ ]16,18,116,1188,14,118,118118

1814,1

414008,1

L 4,14,14,1c −⋅−−⋅⋅+−

−−=

812Lc = [J/ciclu]

8,5341030

450008123978,01030

inLP 33c

e =⋅

⋅⋅=

⋅⋅

=τ

η [kW]


337

12. Instalaţii frigorifice

Răcirea unui corp sau a unui spaţiu presupune menţinerea temperaturii acestora sub temperatura mediului ambiant, prin evacuarea continuă a căldurii către mediul ambiant. Acest lucru se realizează în tehnică cu ajutorul instalaţiilor frigorifice, care funcţionează pe baza unui ciclu termodinamic inversat, adică transformările care compun ciclul sunt parcurse în sens invers acelor de ceas. Aceste cicluri inversate preiau căldură de la mediul care trebuie răcit şi o cedează mediului exterior; eficienţa lor este funcţie de căldura ce poate fi vehiculată. Pentru a putea transfera cât mai multă căldură pe unitatea de masă a agentului termodinamic, se folosesc agenţi termodinamici care îşi modifică starea de agregare în cursul ciclului. Pentru a explica acest lucru, vom folosi un exemplu: astfel, Freonul R134a, în cursul procesului de vaporizare la -20°C, preia 212,340 kJ/kg, temperatura rămânând constantă pe durata procesului; în timp ce un kilogram din aceeaşi substanţă, în stare monofazică preia pentru a se încălzi de la -20°C la +20°C 32,753 kJ/kg în fază de vapori şi 53,749 kJ/kg în fază lichidă. În general, în procesul de schimbare de fază orice substanţă preia mai multă căldură decât în situaţia când în procesul de transfer termic aceasta ar rămâne monofazică.

Fig. 12.1

Pentru ca agentul termodinamic să poată prelua căldură, el trebuie răcit în prealabil. Transformările în care agentul termodinamic suferă o răcire pot fi: transformarea adiabată şi procesul de laminare, care din punct de vedere termodinamic este o transformare de entalpie constantă, numită izentalpă.

În figura 12.1, pentru freon R134a este prezentată o adiabată 1-2. S-a ales pentru analiză zona de schimbare de fază deoarece, fiind vorba de cicluri inversate, în această zonă are loc procesul de răcire al gazului.

În cursul transformări adiabate 1-2 gazul se răceşte, dar pentru a se realiza practic această transformare, agentul termodinamic trebuie să se destindă cu producere de lucru mecanic. Din primul principiu pentru adiabată rezultă:

Instalaţii frigorifice 338

( )21p2112t TTchhlpdvdh0q −=−=⇒−==δ (12.1)

Cu alte cuvinte, răcirea gazului este determinată de lucrul mecanic tehnic

efectuat de gaz într-o maşină, care se numeşte turbodetentor (dacă este vorba de un detentor cu piston acesta se numeşte detentor). Din punct de vedere fizic, în turbodetentor ar intra lichid saturat şi ar ieşi un amestec de lichid şi vapori, lucru inacceptabil din punct de vedere tehnic. Pentru buna funcţionare a turbodetentorului, ar trebui ca în el să evolueze un gaz, deoarece picăturile de lichid combinate cu turaţia ridicată de funcţionare produc distrugerea maşinii. Soluţia tehnică este utilizarea unui alt proces termodinamic pentru răcirea gazului şi anume laminarea izentalpă, procesul 1-3 în figura 12.1. Acesta se realizează prin trecerea agentului termodinamic printr-un ventil de laminare, de la presiunea p1 la presiunea p3. Acesta nu are piese în mişcare şi este uşor de realizat tehnic.

12.1 Ciclul termodinamic al instalaţiei frigorifice cu vapori, cu compresie mecanică Schema unei instalaţii frigorifice cu vapori, cu compresie mecanică, este

prezentată în figura 12.2.

Fig. 12.2

Considerând transformările de stare ce au loc în instalaţie ca reversibile, agentul

termodinamic freon 134a, ciclul termodinamic este reprezentat în figura 12.3. Agentul termodinamic este vehiculat în instalaţie de către compresor. El preia vaporii saturaţi proveniţi din evaporator şi îi comprimă adiabat până în stare 2. Comprimarea este necesară pentru a pregăti condiţiile pentru procesul de laminare.


339

Vaporii cu parametrii termodinamici corespunzători stării 2 sunt trecuţi în condensator. Acesta este un schimbător de căldură care produce răcirea şi condensarea vaporilor. La presiunea stării 2, vaporii au o temperatură mai ridicată decât temperatura mediului ambiant. Acest lucru constituie o altă raţiune pentru care vaporii sunt comprimaţi. Pe izobara punctului 2 vaporii condensează la o temperatură mai ridicată decât temperatura mediului ambiant, deci se poate utiliza aerul la temperatura ambiantă pentru răcirea freonului în condensator.

Fig. 12.3

În condensator, vaporii de freon sunt condensaţi complet până când acesta se transformă în lichid saturat la temperatura ambiantă, starea 3. Urmează laminarea lichidului saturat prin ventilul de laminare. Datorită destinderii izentalpe, temperatura amestecului de lichid şi vapori rezultat în urma laminării - starea 4 - este scăzută. Acest amestec de lichid şi vapori la temperatură scăzută este trecut printr-un schimbător de căldură denumit vaporizator. Aici, amestecul de lichid şi vapori preia căldură de la incinta care trebuie răcită, până când se vaporizează complet. Puterea consumată de instalaţie este reprezentată de puterea necesară antrenării compresorului:

( )2112t hhmlmP −==••

(12.2)

Pentru că lucrul mecanic tehnic pentru antrenarea compresorului este negativ, în

formula (12.2) s-a utilizat modulul. Puterea frigorifică şi eficienţa instalaţiei sunt: ( )4141 hhmQ −=

••

(12.3)


21

4141f hh

hhP

Q−−

==

•

ε (12.4)

Dacă aceeaşi instalaţie este folosită pentru încălzire, ca o pompă de căldură, puterea calorică şi eficienţa sunt:

( )3223T hhmQQ −==•••

(12.5)

21

32Tp hh

hhP

Q−−

==

•

ε (12.6)

12.2 Ciclul termodinamic al instalaţiei frigorifice cu gaze necondensabile

După cum s-a arătat la începutul acestui paragraf, un agent termodinamic se

poate răci prin laminare sau prin destindere adiabată într-un detentor în care efectuează lucru mecanic. În tehnică, se utilizează instalaţii frigorifice în care evoluează gaze la presiuni şi temperaturi ce nu permit condensarea acestora. În figura 12.4 este prezentată schema unei astfel de instalaţii, iar în figura 12.5 ciclul termodinamic.

Fig. 12.4


341

Agentul termodinamic, în stare gazoasă, este antrenat în instalaţie de compresor. Pe baza puterii consumate Pc de acesta, gazul este comprimat adiabatic, procesul 1-2 din diagramă (fig.12.5). Urmează răcirea acestuia într-un schimbător de căldură. Căldura provenită din procesul adiabat de comprimare este evacuată către mediul exterior, deci temperatura minimă teoretică până la care poate fi răcit agentul termodinamic este T0 temperatura ambiantă.

În turbodetentor, agentul termodinamic se destine adiabat - procesul 3-4 din diagramă - producând o putere ce poate fi utilizată şi care s-a notat cu Pu, răcindu-se până la temperatura T4 (care reprezintă temperatura minimă realizată de instalaţie).

Agentul termodinamic rece este utilizat pentru a produce răcirea zonelor necesare. Se observă din diagrama Ts (fig. 12.5) că ciclul termodinamic care stă la baza acestor instalaţii este ciclul Brayton inversat.

Puterea consumată de instalaţie este puterea necesară antrenării compresorului, din care putem scădea puterea rezultată în turbodetentor.

( )[ ]421uc hhhhmPPP3−−−=−=

•

(12.7) Dacă considerăm agentul termodinamic gaz perfect, formula (12.7) devine:

( ) ( )[ ]4312p TTTTcmP −−−=•

(12.8) Notăm cu ε raportul de compresie al compresorului, cu k exponentul adiabatic,

cu T0 temperatura punctului T3, cu Tf temperatura punctului 1 şi cu ∆T = T3 - Tf. Formula (12.8) devine:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∆−−= −

−•

1T

TT1TcmP0

0

k1k

k1k

op

ε

ε (12.9)

Eficienţa frigorifică a instalaţiei este:

( )4321

4141f TTTT

TTP

Q−−−

−==ε (12.10)

De multe ori, instalaţiile de tipul celei descrise mai sus sunt utilizate la răcirea aerului din cabine sau încăperi. Agentul termodinamic al instalaţiei este aerul, iar aceasta funcţionează după un ciclu Brayton inversat şi deschis. În figura 12.6 este prezentată schema unei instalaţii pentru răcirea cabinelor de avion. Aerul rece, după ce părăseşte turbodetentorul, este introdus direct în cabină sau condus către zonele ce trebuie răcite.

Răcitorul de aer realizează scăderea temperaturii aerului de la temperatura T2>T0 la ieşirea din compresor până la temperatura T3=T0, în mod ideal. Practic, temperatura aerului la intrarea în turbodetentor este apropiată de temperatura ambiantă T0, dar un pic mai mare decât aceasta.


Fig. 12.5

Fig. 12.6


343

Exemplul E 12.1

O instalaţie frigorifică, figura 12.2, funcţionează cu freon R-12. Temperatura freonului în vaporizator este -20°C, iar în condensator este 40°C. Considerând că prin instalaţie circulă un debit de 0,03 kg/s, să se calculeze eficienţa frigorifică şi puterea frigorifică a instalaţiei.

Soluţie Se utilizează programul DiagrameTS pentru determinarea parametrilor freonului R-12.

Temperaturii de condensare a freonului R-12 de 40°C, îi corespunde o presiune P2=9,6 bar. Considerăm că freonul iese din vaporizator în starea de vapori saturaţi la -20°C, deci p1=1,3 bar, h1=178,61 kJ/kg, s1=0,7082 kJ/kg; Pentru a determina punctul ce reprezintă starea freonului la ieşirea din compresor, căutăm un punct pe izobara p2 a cărei entropie să fie egală cu s1 deoarece procesul 1-2 este adiabat. Se găseşte la temperatura 48 °C punctul cu h2=209 kJ/kg şi s1=0,709 kJ/kg/K. Pentru entalpia punctului 4 avem în vedere că procesul 3-4 este izentalp, aşa că putem utiliza entalpia punctului 3, care reprezintă lichid saturat la presiunea p2. Aceasta are valoarea h3 = 74,92 kJ/kg.

Eficienţa frigorifică:

998,298,17568,209

92,7498,175hhhh

12

41f =

−−

=−−

=ε

Puterea frigorifică este:

( ) ( ) 03,392,7498,17503,0hhmQ 41 =−=−=••

[kW]



345

Bibliografie 346

BIBLIOGRAFIE 1. Cernea, A.; Dobrinescu, D.; Făgărăşanu, I.; Covaci, A.: Termotehnica, Editura

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1969. 2. Bejan, A.: Entropy generation through heat and fluid flow, John Wiley & Sons Inc.,

New York, 1982. 3. Cristescu, T. Termodinamică, teorie şi aplicaţii, Editura Universităţii din Ploieşti,

2000. 4. Dobrinescu, D.: Procese de transfer termic şi utilaje specifice, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1983. 5. Frank P. Incropera, David P. DeWitt: Fundamentals of Heat and Mass Transfer,

Editura John Wiley & Sons, New York, 1990. 6. Feidt, M.: Thermodynamique et Optimisation Energetique de Systemes et Procedes,

Technique et Documentation (Lavoisier), Paris, 1987. 7. Ionescu, M., Stoicescu, M., Albulescu, M.: Metode termice de recuperare a

petrolului, Editura Elapis, Ploieşti, 2000. 8. Marinescu, M.; Băran, M. N.; Radcenco, V.: Termodinamică tehnică, MatrixRom,

Bucureşti, 1998. 9. Neacşu, S. Comprimarea şi lichefierea gazelor, Editura Universităţii din Ploieşti,

2003. 10. Neacşu, S. Termodinamica sistemelor tehnice, Editura Universităţii din Ploieşti,

2003. 11. Neacşu, S.: Programul Z pentru determinarea factorului de abatere pentru gazele

reale, Revista TERMOTEHNICA, Bucureşti, nr.1/2001. 12. Neacşu, S.: Programul RG1 pentru determinarea principalelor mărimi

termodinamice ale gazelor reale, Revista TERMOTEHNICA, Bucureşti, nr.2/2001; 13. Neacşu, S.; Cristescu, T.: Consideraţii privind destinderea aburului în turbină,

Conferinţa Naţională de Termotehnică Piteşti, vol. 1, Editura Universităţii Piteşti, mai 1998.

14. Neacşu, S.; Chiper, L.; Florea, T.: Monitorizarea în timp real a grupurilor termoenergetice cazan-turbină, Conferinţa Naţională de Termotehnică Piteşti, vol. 1, Editura Universităţii Piteşti, mai 1998.

15. Neacşu, S.; Chiper, L.; Florea, T.: Program expert pentru analiza proceselor termodinamice din centralele termoelectrice, Conferinţa Naţională de Energetică Industrială Bacău, vol. 2, Editura Plumb, Bacău, 1998.

16. Neacşu, S.; Chiper, L.; Florea, T.: Consideraţii privind mărirea preciziei de calcul pentru transformările care stau la baza aprecierii performanţelor cazanelor şi turbinelor cu abur, Conferinţa Naţională de Energetică Industrială Bacău, vol. 2, Editura Plumb, Bacău, 1998.

17. Neacşu, S.; Chiper, L.: Analiza entropică a ciclului Rankine cu reîncălzire intermediară a aburului, Conferinţa Naţională de Termotehnică Craiova, vol. 1, mai 1999.

18. Neacşu, S.; Ioan, V.: Analiza regimului nestaţionar al unui cuptor pentru încălzirea unui produs petrolier, Conferinţa Naţională de Termotehnică Sibiu, vol. 2, Editura Universităţii „Lucian Blaga”, Sibiu, mai 2000.


19. Neacşu, S.: Consideraţii privind posibilităţile de evaluare corectă a gradului maxim

de umplere în cazul recipientelor ce conţin gaze lichefiate, Conferinţa Naţională de Termotehnică Galaţi, vol. 4, Editura Evrika, Brăila, mai 2001.

20. Neacşu, S.: Logiciel pour les gaz reel, Colloque Franco-Roumain, Bucureşti, 2002. 21. Neacşu S.: An Experimental and Analytical Study of Engine Fuel Spray Atomisation

Quality, CONAT, Braşov, 1999. 22. Orovenu, T. Mecanica fluidelor vâscoase, Editura Academiei, 1967. 23. Pavel, A.; Nicoară, Al.: Cuptoare tubulare petrochimice, Editura Tehnică,

Bucureşti, 1995. 24. Pătărlăgeanu, M. Termotehnică, Editura universităţii din Ploieşti, 2000. 25. Popa, G.; Leca, A.: Tabele, nomograme şi formule termotehnice, vol. 1, Editura

Tehnică, Bucureşti, 1987. 26. Radcenco, V.: Termodinamica generalizată, Editura Tehnică, Bucureşti, 1994. 27. Radcenco, V.: O teorie termodinamică a interacţiunilor fizice, Editura Academiei,

Bucureşti, 2002. 28. Raznjevic, K.: Tabele şi diagrame termodinamice, Editura Tehnică, Bucureşti,

1978. 29. Remi G, Wet Way Combustion, Editura Elsevier, Paris, 2002. 30. Vâlcu, R.; Dobrescu, A.: Termodinamica proceselor ireversibile, Editura Tehnică,

Bucureşti, 1982. 31. Suciu, G.: Ingineria prelucrării hidrocarburilor, vol. 2, Editura Tehnică, Bucureşti,

1985. 32. Strătulă, C.: Vaporizarea şi condensarea. Principii de calcul, Editura Tehnică,

Bucureşti, 1988. 33. Şomoghi, V.: Procese de transfer de căldură, Editura Universal Cartfil, Ploieşti,

1998. 34. Ştefănescu, D.: Bazele termotehnicii, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1970. 35. Van Wylen, G.; Sonntag, R.; Borgnakke, C.: Fundamentals of Classical

Thermodynamics, John Wiley & Sons Inc., New York, 1994. 36. Vidal, J.: Thermodynamique - Methodes appliquees au raffinage et au genie

chimique, Edition Techniq, Paris, 1973. 37. *** Engineering Data Book, Compiled and edited in co-operation with the Gas

Processors Association, Tulsa, Oklahoma, 1972. 38. *** Diagnosticare aparate de comandă prin portul/interfaţa CARB, BOSCH, 2002. 39. *** Engine Management and Fuel Injection Systems Manual, Automotive, Haynes

Publishing, England, 2002.

ANEXA 1. CONSTANTELE EMPIRICE ALE ECUAŢIEI BENEDICT-WEBB-RUBIN

Gazul A0 B0 C0 1.0E-06 a b c 1.0E-06 α 1.0Ε+03 γ 1.0Ε+02 Metan 1,855 0,0426 0,002257 0,494 0,00338004 0,002545 0,124359 0,6 Etilena 3,33958 0,0556833 0,13114 0,259 0,0086 0,02112 0,178 0,923 Etan 4,15556 0,0627724 0,179592 0,34516 0,011122 0,032767 0,243389 1,18 Propilena 6,1122 0,0850647 0,439182 0,774056 0,0187059 0,102611 0,455696 1,829 Propan 6,87225 0,097313 0,508256 0,9477 0,0225 0,129 0,607175 2,2 n-Butan 10,0847 0,124361 0,99283 1,88231 0,0399983 0,3164 1,10132 3,4 n-Pentan 12,1794 0,156751 2,12121 4,0748 0,066812 0,82417 1,81 4,75 n-Hexan 14,4373 0,177813 3,31935 7,11671 0,109131 1,51276 2,81086 6,66849 n-Heptan 17,5206 0,199005 4,75474 10,36475 0,151954 2,47 4,35611 9 Azot 1,1925 0,0458 0,0058891 0,0149 0,00198154 0,000548064 0,291545 0,75 Oxigen 1,4988 0,046524 0,0038617 -0,040507 -0,00027963 -0,00020376 0,008641 0,359 Amoniac 3,78928 0,0516461 0,178567 0,10354 0,000719561 0,000157536 0,00465189 1,98 Dioxid de carbon 2,6734 0,045628 0,11333 0,051689 0,0030819 0,0070672 0,11271 0,494

Unităţi de măsură utilizate pentru coeficienţii ecuaţiei: atmosfere, litri, moli, grade Kelvin. Date de referinţă: R = 0,08206 T = 273,15 + t [°C]

Sursa: Van Wylen, G.; Sonntag, R.; Borgnakke, C.: Fundamentals of Classical Thermodynamics, John Wiley & Sons Inc., New York, 1994, pag. 50.

ANEXA 2

VALORILE COEFICIENŢILOR ECUAŢIEI LEE-KESLER

Sursa: Van Wylen, G.; Sonntag, R.; Borgnakke, C.: Fundamentals of Classical

Thermodynamics, John Wiley & Sons Inc., New York, 1994, pag. 50.

Constanta Fluide simple Fluid de referinţă b1 0,1181193 0,2026579 b2 0,265728 0,331511 b3 0,15479 0,027655 b4 0,030323 0,203488 c1 0,0236744 0,0313385 c2 0,0186984 0,0503618 c3 0 0,016901 c4 0,042724 0,041577 d1X10*4 0,155488 0,48736 d2X10*4 0,623689 0,0740336 β 0,65392 1,226 γ 0,060167 0,03754

ANEXA 3

Entalpia de formare, funcţia lui Gibbs de formare şi entropia absolută pentru diferite substanţe la 25°C şi 0,1MPa.

Substanţa Formula M

kg/kmolStare

fh kJ/kmol

fg kJ/kmol

fs kJ/kmol

Apă OH 2 18,015 gaz -241 826 -228 582 188,834

Apă OH 2 18,015 lichid -285 830 -237 141 69,950

Apă oxigenată 22OH 34,015 gaz -136 106 -105 445 232,991

Ozon 3O 47,998 gaz +142 674 +163 184 238,932

Carbon C 12,011 solid 0 0 5,740 Monoxid de carbon CO 28,011 gaz -110 527 -137 163 197,653 Dioxid de carbon

2CO 44,010 gaz -393 522 -394 389 213,795

Metan 4CH 16,043 gaz -74 873 -50 768 186,251

Acetilenă 22 HC 26,038 gaz +226 731 +209 200 200,958

Etenă 42 HC 28,054 gaz +52 467 +68 421 219,330

Etan 62 HC 30,070 gaz -84 740 -32 885 229,597

Propenă 63HC 42,081 gaz +20 430 +62 825 267,066

Propan 83HC 44,094 gaz -103 900 -23 393 269,917

Butan 104 HC 58,124 gaz -126 200 -15 970 306,647

Pentan 125 HC 72,151 gaz -146 500 -8 208 348,945

Benzen 66 HC 78,114 gaz +82 980 +129 765 269,562

Hexan 146 HC 86,178 gaz -167 300 +28 387.979

Heptane 147 HC 100,205 gaz -187 900 +8 227 427,805

n - Octan 188 HC 114,232 gaz -208 600 +16 660 466,514

n - Octan 188 HC 114,232 lichid -250 105 +6 741 360,575

Metanol OHCH 3 32,042 gaz -201 300 -162 551 239,709

Etanol OHHC 52 46,069 gaz -235 000 -168 319 282,444

Amoniac 3NH 17,031 gaz -45 720 -16 128 192,572

Motorină diesel 9,244,14 HC 198,06 lichid -174 000 +178 919 525,900

Sulf S 32,06 solid 0 0 32,056 Bioxid de sulf

2SO 64,059 gaz -298 842 -300 125 248,212

Trioxid de sulf 3SO 80 gaz -395 765 -317 016 256,769

Oxid de azot ON2 44,013 gaz +82 050 +104 179 219,957

Nitrometan 23 NOCH 61,04 lichid -113 100 -14 439 171,800

ANEXA 4

Căldurile izobare, molare ale câtorva gaze. K/kmol/kJC p → ; 100T

=θ

Gazul Formula Domeniul

K Eroarea maximă

% 2N 325,1

p 40,8207,107279,512060,39C −−− ⋅−⋅+⋅−= θθθ 300 – 3500 0,43

2O 25,15,1p 88,23657,178020102,0432,37C −− ⋅+⋅−⋅+= θθθ 300 – 3500 0,30

2H 5,1175,0p 7,5600,116574,702505,56C −−− ⋅−⋅+⋅−= θθθ 300 – 3500 0,60

CO 75,05,075,0p 76,17677,20070463,0145,69C −− ⋅+⋅−⋅−= θθθ 300 – 3500 0,42

OH θθθ ⋅−⋅+⋅−= 266,4329,17350,59546,81C 75,025,0p 300 – 3500 0,43

NO 5,15,05,0p 889,74613,707096,1283,59C −− ⋅+⋅−⋅−= θθθ 300 – 3500 0,34

OH 2 θθθ ⋅−⋅+⋅−= 6989,3751,8254,18305,143C 5,025,0p 300 – 3500 0,43

2CO 25,0p 024198,01034,4529,307357,3C θθθ ⋅+⋅−⋅+−= 300 – 3500 0,19

2NO 275,05,0p 55,23266,3631,216045,46C θθθ ⋅+⋅−⋅+= −− 300 – 3500 0,26

4CH 5,075,025,0p 88,323875,2474,43987,672C −⋅+⋅−⋅+−= θθθ 300 – 2000 0,15

42 HC 375,05,0p 77,182641,3515,123395,95C −⋅+⋅−⋅+−= θθθ 300 – 2000 0,07

62 HC 32p 00728,06402,026,17895,6C θθθ ⋅+⋅−⋅+= 300 - 1500 0,83

83 HC 32p 03171,0571,146,30042,4C θθθ ⋅+⋅−⋅+−= 300 - 1500 0,40

104 HC 32p 03498,0833,112,37954,3C θθθ ⋅+⋅−⋅+= 300 - 1500 0,54

ANEXA 5

Date post:	07-Dec-2014
Category:	Documents
Upload:	ingdumitrache
View:	81 times
Download:	7 times

0 Termotehnica Si Masini Termice p

Documents