Beznea/desc/Rezistenta materialelor...

CUPRINS Rezistenţa materialelor

Solicitari simple – Probleme şi teste

1. Introducere în rezistenţa materialelor.................................................. 1

2. Diagrame de eforturi la bare drepte, curbe şi cadre .......................... 13

3. Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor .. 27

4. Solicitarea axială ............................................................................... 37

5. Încovoierea barelor drepte................................................................. 50

6. Torsiunea barelor drepte ................................................................... 82

7. Flambajul barei drepte....................................................................... 98

8. Bibliografia ..................................................................................... 107

5

1

INTRODUCERE ÎN REZISTENŢA

MATERIALELOR Rezistenţa materialelor este o ramurǎ a m ecanicii solidului (care considerǎ corpurile deformabile sub acţiunea sarcinilor exterioare) care stabileşte formulele de calcul pentru studiul rezistenţei, rigiditǎţii şi stabilitǎţii acestora în scopul realizǎrii unor construcţii tehnice sigure şi ieftine. Rezistenţa materialelor studiazǎ comportarea corpurilor solide sub acţiunea forţelor, determinând materialul şi dimensiunea corpului solid astfel încât el să reziste, în condiţia unui consum minim de material. Orice construcţie sau maşină trebuie să răspundă, după realizare, unor condiţii tehnice şi economice: 1. O condiţie tehnică importantă este condiţia de rezistenţă, care cere ca maşina sau construcţia respectivă să lucreze în condiţii sigure sub acţiunea sarcinilor la care este supusă pe toată durata exploatării ei;

2. O altă condiţie este cea de rigiditate. Această condiţie cere ca elementele care intră în alcătuirea unei maşini sau construcţii să nu-şi schimbe în timpul funcţionării sub sarcinile de lucru, nici forma şi nici dimensiunea; 3. Deşi sunt îndeplinite ambele condiţii, în unele cazuri, la anumite valori ale sarcinilor, unele maşini, construcţii îşi pot pierde echilibrul stabil şi se pot distruge. Acestea trebuie să satisfacă şi condiţia de stabilitate, care cere ca valorile sarcinilor aplicate să fie mai mici decât valorile sarcinilor critice.

Rezistenţa materialelor – Solicitări simple – Probleme şi teste

6

Aceste condiţii tehnice pot fi îndeplinite pe diverse căi. Cea mai uşoară cale este aceea de a folosi secţiuni transversale masive. Acest lucru face ca maşina respectivă să devina mult mai grea iar realizarea ei să fie scumpă. Condiţia de economicitate este o condiţie de bază a unei realizări tehnice, deoarece orice piesă trebuie să fie realizată cu un consum cât mai mic de material, dar să se respecte condiţiile de rezistenţă, rigiditate, stabilitate. Rezistenţa materialelor rezolvǎ urmǎtoarele categorii de probleme: - probleme de dimensionare: prin care se stabilesc dimensiunile optime ale pieselor proiectate pentru ca acestea să îndeplinească:

- condiţiile de rezistenţă, rigiditate, stabilitate; - condiţiile de economicitate (costuri minime legate de material); - condiţiile de rentabilitate (costuri minime legate de tehnologia de

fabricaţie). - probleme de verificare: prin care se determinǎ dacǎ un corp solid , cu

anumite dimensiuni, respectǎ sau nu, sub acţiunea sarcinilor exterioare, condiţiile de rezistentǎ, rigiditate, stabilitate;

- probleme de determinare a sarcinii capabile: când se cunosc forma şi dimensiunile piesei, sarcinile exterioare, caracteristicile mecanice ale materialului şi se determină sarcina maximă pe care piesa o poate suporta pentru un anumit coeficient de siguranţă.

1.1 Condiţii de rezistenţă Spunem că un sistem este corespunzător, din punct de vedere al condiţiilor de rezistenţă, atunci când tensiunile care se produc în acesta, datorită sarcinilor, nu depăşesc anumite limite, stabilite convenţional. Valoarea convenţională aleasă în calcul, pe baza practicii, pentru tensiunea maximă care se poate produce într-o piesă, în condiţii date de material şi de solicitare, se numeşte rezistenţă admisibilă. Ţinând seama de deformaţiile care se produc, până la rupere, materialele se împart în două grupe :

- materiale tenace, care se deformează mult înainte de rupere (ex: oţelurile de rezistenţă mică şi mijlocie). Rezistenţa admisibilă la materialele tenace:

curgeredelimitadefatasigurantadecoefcurgeredelimita

cσσ

c

ca ==

- materiale fragile, care nu se deformează sau se deformează foarte

Introducere în rezistenţa materialelor

7

puţin, fără producerea fenomenului de gâtuire înainte de rupere (ex.: fonta, sticla, oţelul de rezistenţă mare). Rezistenţa admisibilă la materialele fragile:

ruperelarezistentadefatasigurantadecoefrupere la rezistenta

cσσ

r

ra ==

Când se alege coeficientul de siguranţă trebuie să ţinem seamă de următorii factori : a) Natura materialului şi tehnologia de fabricaţie. Fiecare material are anumite caracteristici mecanice, care determină rezistenţa admisibilă. b) Felul solicitării. Prin efectuarea de încercări mecanice (întindere, compresiune, încovoiere), s-a constatat că materialele au caracteristici mecanice diferite, în funcţie de modul de solicitare. Unele materiale au totuşi rezistenţe admisibile egale pentru diferite solicitări (de ex. oţelul pentru întindere, compresiune, încovoiere). c) Modul de acţiune a sarcinilor în timp. La solicitări cu sarcini statice coeficientul de siguranţă este mai mic decât la sarcini variabile în timp sau la sarcini aplicate cu şoc. d) Modul de evaluare a sarcinilor şi de realizare a ipotezelor de calcul. Cu cât sarcinile sunt mai incert evaluate, cu cât ipotezele şi schemele de calcul au un grad mai mare de aproximare, cu atât rezistenţele admisibile trebuie să fie mai mici şi coeficienţii de siguranţă mai mari. e) Durata de folosire a piesei. Pentru piese cu durată scurtă de funcţionare, se pot lua coeficienţi de siguranţă mai mici, deci rezistenţe admisibile mai mari. f) Temperatura. Temperaturile înalte sau scăzute influenţează negativ rezistenţele admisibile. Pentru structuri importante care vor lucra la temperaturi ridicate sau joase, rezistenţa admisibilă se alege în funcţie de caracteristicile mecanice la temperatura respectivă.

1.2 Clasificarea corpurilor în Rezistenţa Materialelor

a. Barele sunt corpuri cu o dimensiune (lungime) mult mai mare decât

celelalte două. O bară este definită prin axa barei şi secţiunea transversală a ei. - Axa barei se defineşte ca locul geometric al centrelor de greutate ale secţiunilor transversale. - Secţiunea transversală este intersecţia dintre bară şi un plan la care normala este direcţia tangentei la axa barei.


8

Clasificarea barelor: 1.în funcţie de formă:

- bare drepte; - bare curbe – plane sau spaţiale.

2. în funcţie de secţiune: - bare de secţiune constantă; - bare de secţiune variabilă pe lungime - continuă sau în trepte. b. Plăcile sunt corpuri la care una dintre dimensiuni (grosimea) poate fi

considerată mică în raport cu celelalte dimensiuni. O placă este caracterizată prin:

- suprafaţa mediană, care este locul geometric al punctelor egal depărtate de feţele plăcii. - grosimea plăcii, care se măsoară pe normala dusă în fiecare punct al

suprafeţei mediane a plăcii, ca distanţă între feţele plăcii. Ea poate fi constantă sau variabilă. Clasificarea plăcilor: În funcţie de suprafaţa mediană: - plană - plăci dreptunghiulare şi plăci circulare; - curbă.

c. Corpurile masive sunt corpuri la care cele trei dimensiuni sunt de

acelaşi ordin de mărime. Din aceastǎ categorie fac parte barajele, fundaţiile pentru maşini, tuburile cu pereţi groşi.

1.3 Forţe exterioare (de suprafaţǎ, de legǎturǎ)

1.3.1 Forţele de suprafaţǎ sunt forţele care acţioneazǎ pe anumite porţiuni din suprafaţa exterioarǎ a corpului solicitat. Acestea pot fi: - sarcini mobile (deplasarea unei telecabine pe fir, deplasarea unui pod rulant (macara) pe calea de rulare); - sarcini concentrate, care pot acţiona perpendicular sau sub un unghi (cuţitul unui strung care acţionează perpendicular pe un semifabricat pentru a se obţine în final o piesă cilindrică sau care acţioneaza sub un anumit unghi asupra semifabricatului pentru a obţine o piesă conică); - moment concentrat (momentul de torsiune dat de un arbore care transmite mişcarea de rotaţie);


9

- sarcini uniform distribuite: a. sarcină cu variaţie liniară (remorca unui camion care transportă nisip); b. sarcină cu variaţie triunghiulară (cazul este întâlnit la baraj, datorită presiunii hidrostatice a apei şi înălţimii mari a barajului); c. sarcină cu variaţie trapezoidală (remorca unui camion care transportă nisip, iar marfa se adună în partea frontală datorită frânărilor la coborarea unei pante).

1.3.2 Forţele de legǎturǎ (reacţiuni)

1.3.2.1. Articulaţia: dǎ posibilitatea rotirii în jurul punctului de reazem al grinzii, dar nu permite deplasǎri verticale şi orizontale. Reacţiunea se reprezintǎ prin componenta H orientatǎ în planul orizontal (în lungul axei grinzii) şi componenta verticalǎ V dirijatǎ în plan vertical (perpendicular pe axa grinzii). 1.3.2.2. Reazemul simplu: dǎ posi bilitatea grinzii sǎ se roteascǎ în jurul punctului de reazem al grinzii, dar nu permite deplasarea pe o direcţie perpendicularǎ pe suprafaţa de rezemare. 1.3.2.3 Încastrarea: nu permite grinzii nici un fel de deplasare sau rotire.

Grinzile la care numǎrul necunoscutelor din rezeme este egal cu numǎrul ecuaţiilor de echilibru static ce se pot scrie, se numesc grinzi static determinate. Acest tip de grinzi pot avea: o articulaţie şi un reazem sau o încastrare. Grinzile care se sprijinǎ pe douǎ sau mai multe reazeme simple se numesc grinzi continue. Dacǎ numǎrul necunoscutelor este mai mare decât numǎrul ecuaţiilor, grinzile sunt static nedeterminate, iar reacţiunile se calculeazǎ prin metode speciale.

1.4 Tipuri de solicitǎri În funcţie de modul de orientare al forţelor exterioare şi de poziţia acestora în raport cu axele corpului solicitat, în Rezistenţa Materialelor întâlnim:


10

- solicitǎri simple (întinderea – compresiunea, încovoierea, torsiunea sau răsucirea); - solicitǎri compuse, care apar din suprapunerea efectelor date de mai multe solicitǎri simple asupra aceleaşi piese studiate.

1.5 Forţe interioare (eforturi) Corpul este solicitat datoritǎ forţelor exterioare şi se deformeazǎ. În interiorul corpului, între particule apar forţe suplimentare care se opun acţiunii forţelor exterioare. Aceste forţe caracterizeazǎ rezistenţa materialului din care este confecţionat corpul. Forţele interioare reprezintǎ legǎtura suplimentarǎ care se realizeazǎ între particulele interioare ale corpului solid. Se considerǎ o barǎ aflat ă sub acţiunea forţelor (exterioare şi a forţelor de legǎturǎ (reacţiuni). Se secţionează bara cu un plan imaginar şi se separă cele două părţi distincte. În centrul de greutate al celor două secţiuni apare torsorul de reducere, care are două componente: rezultanta eforturilor R şi un momentul rezultant M oarecare în planul secţiunii.

−−

axialafortataietoareforta

NT

R

−−

incovoiere demoment orsiune)rasucire(tdemoment

i

t

MM

M

Fiecare componentǎ în parte produce un anumit tip de solicitare simplǎ, luate în ansamblu aceste componente produc o solicitare compus ǎ.

Tipul solicitǎrii Denumirea solicitǎrii Efectul care o produce

Solicitǎri care produc în secţiunea transversalǎ

numai tensiuni normale σ

Întinderea (compresiunea) Forţa axialǎ N

Încovoierea Moment încovoietor Mi

Solicitǎri care produc în secţiunea transversalǎ

numai tensiuni normale τ

Forfecarea Forţa tǎietoare T

Torsiunea Momentul de torsiune Mt


11

1.6 Tensiuni. Deplasǎri şi deformaţii Aplicând metoda secţiunilor pentru o barǎ încǎrcatǎ cu forţe exterioare, se pot determina eforturile R şi M în centrul de greutate. Acestea genereazǎ forţe elementare dp pe elemente de suprafaţǎ infinit mici dA. Tensiunea sau rezistenţa este raportul dintre valoarea forţei elementare (dF)şi aria aferentǎ de mǎrime (dA).

= 2m

NdAdFp

Tensiunea p are o direcţie oarecare şi poate fi descompusǎ: - o componentǎ normalǎ, σ, numitǎ tensiune normalǎ, care poate fi pozitivǎ

sau negativǎ, dupǎ cum are un efect de întind ere sau de compresiune în dreptul punctului considerat;

- o componentǎ tangenţialǎ, τ, care are efect de forfecare în punctul considerat.

Între cele douǎ componente, existǎ relaţia: 222 τσ +=p Lungirea specificǎ. Scurtarea specifică:

Dacǎ un corp este supus la întindere aplicatǎ în axa lui , lungimea iniţialǎ L0 devine L1 01 LLL −=∆. Lungirea specificǎ:

Deformaţia specificǎ liniarǎ: 0LL∆

=ε este o mǎrime adimensionalǎ.

În cazul solicitǎrii de compresiune L∆ se numeşte scurtare iar ε scurtare specificǎ.

Contracţia transversalǎ:

S-a demonstrat experimental cǎ, odatǎ cu lungirea unei bare, apare o micşorare a secţiunii transversale, numitǎ contracţie transversalǎ. Unei lungiri specifice ε a barei, îi corespunde o contracţie transversalǎ. εμε t ⋅−= unde µ = coeficientul de contracţie transversalǎ (coeficientul lui Poisson).

1.7 Ipoteze fundamentale în Rezistenţa Materialelor Ipoteza mediului continuu Aceasta ipotezǎ presupune cǎ materialul din care este alcǎtuit un corp formează un mediu continuu şi ocupǎ în mod întregul volum.


12

Ipoteza izotropiei şi omogenităţii Materialele se presupun izotrope şi omogene, – adicǎ au aceleaşi proprietǎţi elastice în toate punctele şi pe toate direcţiile. Metalele şi aliajele acestora sunt materiale izotrope, în timp ce lemnul, materialele stratificate sunt anizotrope. Ipoteza deformaţiilor mici Se considerǎ că deformaţiile corpurilor pânǎ la limita elasticǎ sunt mici în raport cu dimensiunile lor, lucru care permite sǎ scriem ecuaţiile de echilibru pentru piesa nedeformatǎ situate sub limita de elasticitate, adicǎ dupǎ descǎrcare, corpul revine complet la forma şi dimensiunile sale iniţiale. Ipoteza proporţionalitǎţii dintre tensiuni şi deformaţii (legea lui Hooke) Proporţionalitatea între tensiuni şi deformaţii specifice, exprimatǎ prin legea lui Hooke, permite aplicarea principiului suprapunerii efectelor Principiul lui Saint -Vénant Considerǎ cǎ dacǎ se înlocuiesc forţele care acţioneazǎ asupra unui element de suprafaţǎ al unui corp elastic printr -un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul, noua distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe apreciabile faţǎ de primul caz, dar rǎmâne fǎrǎ efect – sau cu efect neglijabil – la distanţe mari de aplicare a forţelor. Ipoteza lui Bernoulli (ipoteza secţiunilor plane şi normale) În cazul solicitǎrilor la întindere, încovoiere şi torsiune (în cazul barei cu secţiune circularǎ sau inelarǎ) , o secţiune planǎ şi normalǎ pe axa barei, înainte de deformare, rǎmâne planǎ şi normalǎ la axa barei şi dupǎ deformare.

13

2

DIAGRAME DE EFORTURI LA BARE DREPTE, CURBE

ŞI CADRE STATIC DETERMINATE

2.1 Diagrame de eforturi secţionale la bare drepte

Barele sunt acele corpuri la care una dintre dimensiuni este mare în

raport cu celelalte două. Elementele caracteristice ale unei bare sunt forma şi dimensiunilesecţiunii normale transversale(constantă sau variabilă de-a lungul barei) şi axa barei. Secţiunea normală într-un punct din bară este secţiunea de arie minimă obţinută prin intersecţia barei cu un plan; axa barei reprezintă curba dată de succesiunea centrelor de greutate ale secţiunilor normale. După forma axei există bare drepte, bare curbe plane şi bare curbe în spaţiu. Eforturi în bare

Corpul este solicitat datoritǎ forţelor exterioare şi se deformeazǎ. În interiorul corpului, între particule, apar forţe suplimentare care se opun acţiunii forţelor exterioare. Aceste forţe caracterizeazǎ rezistenţa


14

materialului din care este confecţionat corpul. Forţele interioare reprezintǎ legǎtura suplimentarǎ care se realizeazǎ între particulele interioare ale corpului solid.

Se considerǎ o barǎ sub acţiunea forţelor (exterioare şi a forţelor de legǎturǎ (reacţiuni). Se secţioneaza bara cu un plan imaginar şi se separă cele două părţi distincte. În centrul de greutate al celor două secţiuni, apare torsorul de reducere, care are două componente: rezultanta eforturilor R şi momentul rezultant M oarecare în planul secţiunii.

−−

axialafortataietoareforta

NT

R

−−

incovoiere demoment orsiune)rasucire(tdemoment

i

t

MM

M

Forţa axială N reprezintă suma tuturor forţelor de pe porţiunea de

bară care se îndepărtează (de lungime x), sumă proiectată pe direcţia axei longitudinale a barei. Această sumă este considerată pozitivă când produce o întindere a tuturor fibrelor secţiunii.

Forţa tăietoare T reprezintă suma tuturor forţelor de pe porţiunea de bară care se îndepărtează (de lungime x), sumă proiectată pe direcţia normalei la axa longitudinală a barei (axa z); prin convenţie, forţa tăietoare este considerată pozitivă dacă produce o lunecare în sensul acelor de ceas.

Momentul încovoietor Mi reprezintă suma tuturor momentelor de pe porţiunea de bară care se îndepărtează (de lungime x); aceste momente se calculează în raport cu centrul de greutate al secţiunii curente. La această sumă se adaugă şi momentele concentrate; momentul încovoietor este considerat pozitiv dacă produce întinderea fibrelor inferioare (situate sub fibra medie) şi comprimarea fibrelor superioare (situate deasupra fibrei medii).

Diagrame de eforturi la bare drepte, curbe şi cadre static determinate

15

Pentru calculul de rezistenţă, este necesară cunoaşterea valorilor tuturor eforturilor din fiecare secţiune transversală a barei. Prin reprezentarea acestora în lungul barei se obţin diagrame de eforturi secţionale. Cu ajutorul diagramelor de variaţie ale eforturilor secţionale, se obţin secţiunile cele mai solicitate (numite şi periculoase); valorile din aceste secţiuni periculoase ale forţei axiale, forţei tăietoare şi momentului încovoietor sunt utilizate în proiectare. Construirea diagramelor pornind de la expresiile analitice ale eforturilor secţionale

O cale directă de construire a diagramelor de eforturi constă în determinarea expresiilor analitice pentru o secţiune curentă x şi apoi reprezentarea grafică a funcţiilor N(x), T(x) şi M(x) rezultate.

Se convine ca în graficele de variaţie ordonatele pozitive să fie reprezentate astfel: - pentru momente încovoietoare, sub linia de referinţă (pe partea întinsă a barei) - pentru efort axial sau forţă tăietoare, deasupra liniilor de referinţă corespunzătoare.

Zonele de variaţie se delimitează cu litere sau cifre care se înscriu în dreptul punctelor caracteristice. Numele diagramei şi unităţile de măsură (dacă este cazul) se înscriu alăturat diagramei reprezentate.

Relaţii diferenţiale dintre eforturi şi încărcări şi consecinţele lor

În cazul unor bare cu încărcări diverse ca tip şi lege de distribuţie,

intervin dificultăţi în trasarea diagramelor de eforturi şi în stabilirea secţiunilor cu valori extreme. Un ajutor preţios în rezolvarea corectă a acestor probleme îl reprezintă relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi încărcări.

xqdxdN

−= Derivata forţei axiale N în raport cu x este egală cu

intensitatea încărcării distribuite qx care acţionează pe direcţie axială, luată cu semn schimbat.


16

zqdxdT

−= Derivata forţei tăietoare T în raport cu x este egală cu

intensitatea încărcării distribuite qz

mTdxdM

+=

care acţionează pe direcţie normală la axa barei, de asemenea luată cu semn schimbat.

Derivata momentului încovoietor M este egală cu forţa

tăietoare în secţiunea considerată, la care se adaugă intensitatea cuplului distribuit m.

Dacă în ultima relaţie se neglijează termenul corespunzător cuplului distribuit m (care intervine numai în cazuri particulare de încărcare) şi se

ţine cont de relaţia zqdxdT

−= se obţine ca o consecinţă a acestora relaţia:

z2

2

qdx

Md−= .

Expresiile eforturilor secţionale la dreapta şi la stânga punctului de

pe bară în care se înregistrează discontinuitatea, diferă cu valoarea forţei concentrate sau a momentului concentrat pentru care punctul de discontinuitate este punct de aplicaţie.

Pentru trasarea diagramelor de eforturi din relaţiile diferenţiale se desprind următoarele proprietăţi utile: - panta diagramei funcţiei N este dată de intensitatea sarcinii uniform distribuite qx(x), care acţionează pe direcţia axei barei, luată cu semn schimbat; - panta diagramei funcţiei T este dată de intensitatea sarcinii uniform distribuite qz

dxdMT =

(x), care acţionează pe direcţia normalei la axa barei, luată cu semn schimbat; - panta diagramei funcţiei moment încovoietor M este dată de funcţia T,

unde ;

- M este o funcţie crescătoare dacă T>0; - M este o funcţie descrescătoare dacă T<0; - M este constant daca T=0.


17

Folosirea simetriei şi antisimetriei forţelor exterioare la trasarea diagramelor de variaţie a eforturilor secţionale

Barele care prezintă simetrie geometrică şi simetrie de încărcare sunt sisteme simetrice; barele care au ca particularitate simetria geometrică dar sunt încărcate antisimetric sunt sisteme antisimetrice.

Pentru barele care reprezintă sisteme simetrice sau antisimetrice, diagramele de eforturi se pot trasa numai pe jumătate de bară, extinderea lor pe tot sistemul are în vedere proprietăţile de simetrie şi antisimetrie ale eforturilor secţionale: - dacă sistemul este simetric, atunci forţele axiale N şi momentele încovoietoare M au diagrame simetrice, în timp ce forţa tăietoare T are o diagramă antisimetrică; - dacă sistemul este antisimetric, atunci forţele axiale N şi momentele încovoietoare M au diagrame antisimetrice, în timp ce forţa tăietoare T are o diagramă simetrică.

În axa de simetrie geometrică diagrama efortului antisimetric trece prin zero.

Observaţiile de mai sus rămân valabile şi pentru sistemele care au antisimetrie geometrică combinată cu simetrie sau antisimetrie de încărcare.

2.2 Diagrame de eforturi secţionale la cadre plane

Pentru sistemele plane de bare drepte (cadre plane) la calculul şi la trasarea diagramelor N, T şi M se păstrează convenţia de semne de la barele drepte.

În punctele de îmbinare rigidă a două bare în unghi drept, momentul încovoietor se rabate de pe o regiune pe cealaltă (cu aceeaşi valoare şi acelaşi semn); în schimb, la trecerea de pe o bară pe alta, forţa tăietoare T trece în forţă axială N şi invers.

2.3 Diagrame de eforturi secţionale la bare curbe plane cu rază mare de curbură

În secţiunile transversale ale barelor curbe plane solicitate de forţe în planul lor, se produc forţe axiale N, forţe tăietoare T şi momente încovoietoare M, care se definesc în acelaşi mod ca la bara dreaptă (inclusiv convenţia de semne este cea de la bara dreaptă).


18

Linia de referinţă pentru trasarea diagramelor este axa barei curbe. Regulile de trasare a acestor diagrame sunt similare celor de la bara dreaptă;

Forţa axială N reprezintă suma tuturor forţelor situate la dreapta sau la stânga secţiunii curente proiectate pe direcţia tangentei la curbă în secţiunea curentă; forţa axială este pozitivă dacă produce o întindere a fibrelor.

Forţa tăietoare T reprezintă suma tuturor forţelor situate la dreapta sau la stânga secţiunii curente proiectate pe direcţia normalei la curbă în secţiunea curentă; forţa tăietoare este pozitivă dacă produce, în raport cu peretele secţiunii, o lunecare în sensul acelor de ceas.

Momentul încovoietor M reprezintă suma momentelor tuturor forţelor situate la dreapta sau la stânga secţiunii curente, calculate faţă de centrul de greutate al secţiunii curente (la această sumă de momente se adaugă şi cuplurile concentrate). Momentele încovoietoare se așează pe diagrame în dreptul fibrelor întinse (diagrama se trasează de partea fibrei întinse).

Expresiile pentru eforturi sunt funcţii trigonometrice de unghiul care poziţionează secţiunea curentă pe fiecare porţiune (atunci când încărcarea este dată de forţe şi momente concentrate).

Diagramele N, T şi M se pot trasa cu uşurinţă pentru eforturi exprimate prin funcţii trigonometrice simple; se calculează valorile eforturilor în extremităţile intervalului de definiţie pentru efortul secţional şi uneori în puncte de pe bara curbă din interiorul intervalului de definiţie. În cazul în care funcţiile care exprimă eforturile secţionale sunt expresii trigonometrice complexe, pentru determinarea secţiunii periculoase sunt necesare punctele de extrem. Punctele de extrem se pot determina pentru fiecare expresie N, T sau M prin anularea primei derivate; se obţin ecuaţii trigonometrice ale căror soluţii generale se intersectează cu domeniul de definiţie al expresiilor eforturilor.

În situaţia în care forţele nu sunt situate în planul barei ci perpendicular pe planul barei, atunci în secţiunile transversale apar, pe lângă momentele încovoietoare Mi, şi momente de torsiune Mt.


19

Metoda suprapunerii efectelor

În cazul în care grinzile sunt încărcate cu mai multe sarcini, acţionând simultan, se procedează ca în exemplele precedente, adică: se determină reacţiunile pentru încărcarea totală, apoi, pentru fiecare porţiune de grindă, se scriu expresiile care dau funcţiile N, T şi M.

În unele cazuri, se ajunge mai rapid la rezultat aplicând principiul suprapunerii efectelor. Acesta constă în a considera separat efectul fiecărei încărcări şi a calcula astfel funcţiile T şi M corespunzătoare lor.

Funcţia efortului total pentru fiecare porţiune de grindă, produs de toate încărcările simple, se obţine adunând algebric funcţiile corespunzătoare diferitelor încărcări pentru acea porţiune. Deci aplicarea practică a principiului suprapunerii efectelor presupune trasarea diagramelor pentru fiecare încărcare în parte; apoi, prin adunarea diagramelor parţiale, se obţin diagramele de eforturi pentru grinda considerată.

Metoda se recomandă pentru grinzile încărcate cu puţine sarcini, suprapunerea diagramelor devenind o operaţie greoaie pentru încărcări multiple.

Pentru a putea aduna ordonatele, una dintre curbe se desenează deasupra, iar cealaltă, sub linia de reper, dacă ambele diagrame au acelaşi semn. Dacă diagramele sunt de semne contrare, ele se desenează de aceeaşi parte a liniei de reper, iar efortul total rezultă prin scăderea ordonatelor celor două curbe.

Probleme propuse spre rezolvare 2.1 Pentru următoarele bare drepte să se determine reacţiunile, eforturile secţionale pe fiecare zona şi să se traseze diagramele de variaţie pentru forţa tăietoare şi momentul încovoietor.

1


20

2

3

4

5

6

7


21

8

9

10

11

12

13


22

14

15

16

17

18

19


23

20

21

22

23

24

25


24

26

27

28

29

30

31

32


25

2.2 Pentru următoarele sisteme de bare să se determine reacţiunile, eforturile secţionale pe fiecare zona şi să se traseze diagramele de variaţie pentru forţa axială, forţa tăietoare şi momentul încovoietor.

1

2

l 3 l 2

F1

l1

q

3kNm

8kN

6kN

/m

l 1

l 1

l4

l 3

l2

l1

HB

VB

B

A

VA


26

3

4

5

F

l 1

l 1

l2 l2

q

l2 l1 l 3

l 4

F1

M

q1

q2

F1

l 4

l 3

l2 l1

q

27

3

CARACTERISTICILE GEOMETRICE ALE

SECŢIUNILOR TRANSVERSALE ALE

BARELOR

Pentru a defini răspunsul sistemelor de bare la acţiunea forţelor exterioare, pe lângă forţele interioare şi proprietăţile fizice ale materialelor din care sunt alătuite elementele, sunt necesare mărimi legate de forma şi

dimensiunile secţiunilor transversale ale barelor, numite caracteristici geometrice ale secţiunilor. Aria secţiunii. Momente statice. Centre de greutate Cea mai simplă caracteristică geometrică a secţiunii transversale este aria secţiunii. Dacă se consideră secţiunea compusă dintr-o infinitate de arii elementare dA.


28

aria secţiunii va fi: ∫=A

dAA , unitatea de măsură pentru momentele statice

este (Lungime)2

∫=A

y zdAS

.

Momentele statice ale secţiunii faţă de axa y şi axa z, reprezentând suma produselor ariilor elementare dA cu distanţa la axa corespunzătoare (y sau z): şi ∫=

Az ydAS , unitatea de măsură pentru momentele

statice este (Lungime)3

∫=A

C ydAA1y

. Coordonatele centrului de masă sau de greutate ale secţiunii:

şi ∫=A

C zdAA1z

Axele de coordonate care trec prin centrul de greutate al secţiunii se numesc axe centrale.

În cazul unei secţiuni compuse din mai multe secţiuni simple Ai, pentru care sunt cunoscute coordonatele yi, zi ale centrului de greutate Ci, coordonatele centrului de greutate se calculeaza cu relaţiile:

;A

yAy n

1ii

n

1iii

C

∑

∑

=

== ;A

zAz n

1ii

n

1iii

C

∑

∑

=

==

Momente de inerţie (geometrice)

Se numeşte momentul de inerţie axial al figurii plane (de arie A) în raport cu o axă din planul său, suma produselor elementelor de arie dA cu pătratele distanţelor la axa considerată. În raport cu axele Oy şi Oz, momentele de inerţie sunt

dAzIA

y ∫= 2 şi dAyIA

z ∫= 2

Suma produselor elementelor de arie dA cu distanţele lor la un sistem de axe rectangular Oyz, adică: ∫=

Ayz yzdAI ,

se numeşte moment de inerţie centrifugal al figurii plane în raport cu axele Oyz.

Momentul de inerţie polar al unei figuri plane în raport cu un punct numit pol din planul figurii, este suma produselor elementelor de arie dA cu pătratele distanţelor lor la acel punct.

Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale

29

În (Fig. 1) polul O este originea sistemului de axe Oyz , iar momentul de inerţie polar este: ∫=

Ap dArI 2

Deoarece 222 zyr += momentul de inerţie polar se poate scrie: ∫ ∫ +=+==

Ayz

Ap IIdAzydArI )( 222

adică momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie axiale Iy şi Iz pentru oricare axe ortogonale Oy şi Oz care trec prin polul O. Unitatea de măsură pentru momentele de inerţie este (Lungime)4(în S.I. este m4

1. Momentul de inerţie la dreptunghi.

). Observaţii: - momentele de inerţie axiale şi momentul de inerţie polar sunt cantităţi strict pozitive, în timp ce momentul de inerţie centrifugal poate avea valori pozitive, negative sau poate fi nul. - momentul de inerţie centrifugal este nul atunci când secţiunea are cel puţin o axă de simetrie (oricare axe ortogonale centrale Oy şi Oz). Momente de inerţie pentru secţiuni simple

∫∫−

===2/

2/

322

12

h

hAy

bhdzzbdAzI

∫∫−

===2/

2/

322

12

h

hAz

hbdzybdAyI

Momentul de inerţie centrifugal, în raport cu sistemul de axe Oyz, este nul, deoarece acestea sunt axe de simetrie.


30

2. Momentul de inerţie la cerc. Elementul de arie dA este cuprins între două raze care fac între ele unghiul ϕ şi două cercuri concentrice de rază r şi r+dr: ϕ= rdrA dd Integrând pe întreaga suprafaţă a cercului, se va obţine:

Modulul de rezistenţă Raportul dintre momentul de inerţie al unei secţiuni faţă de o axă centrală de inerţie şi distanţa dintre cel mai îndepărtat punct din secţiune şi această axă se numeşte modul de rezistenţă.

Pentru profilele laminate (L, I, U), întâlnite frecvent în practică, sunt

întocmite tabele care conţin momentele de inerţie, modulele de rezistenţă, ariile, precum şi alte elemente geometrice evaluate ţinându-se cont de detalii geometrice cum ar fi racordări, înclinări ale feţelor.

322

44

0

32

0

32 DRdrrddrdrdArIR

AAp

ππϕϕπ

===== ∫∫∫∫∫

6442

44 DRIII p

zyππ

====

maxzI

W yy = ;

62

12

2

2

3

bhh

bh

hI

W yy ===

maxyIW z

z =62

12

2

2

3

hbh

hb

hIW z

z ===

322

643

4

DD

D

WW zyπ

π

===


31

Rază de inerţie Momentul de inerţie al unei secţiuni se poate reprezenta pornind de

la definiţie, sub forma produsului dintre aria secţiunii şi pătratul unei mărimi numite rază de inerţie sau de giraţie:

Pentru axele centrale principale de inerţie, razele de inerţie principale sunt:

Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axe paralele Se consideră o figură plană de arie A, raportată la un sistem de axe ortogonale Oyz, pentru care se cunosc momentele de inerţie în raport cu axele Oy şi Oz. Să se determine momentele de inerţie în raport cu noile axe O1y1 şi O1z1

paralele cu primele. Cu relaţiile dintre coordonate:

ayybzz+=+=

1

1

unde a şi b sunt coordonatele originei sistemului vechi Oyz în noul sistem de coordonate Oy1z1

şi utilizând formulele generale pentru momentele de inerţie, rezultă:

În acelaşi mod se obţine: iar pentru momentul de inerţie centrifugal,

22y

Ay iAdAzI ⋅== ∫;

AI

i yy = A

Ii zz =

;11 A

Ii =AIi 2

2 =

( ) AbbSIdAbAzdbdAzdAbzdAzI yyAAAAA

y22222

1 221

++=++=+== ∫∫∫∫∫AaaSII zzz

221

++=

( )( ) abAbSaSIdAbzayI zyyzA

zy +++=++= ∫11


32

În aceste relaţii, Sy şi Sz sunt momentele statice ale figurii în raport cu axele Oy şi Oz

Aceste relaţii se folosesc frecvent pentru calculul momentelor de inerţie ale figurilor compuse şi mai sunt cunoscute sub numele de teorema STEINER. Pentru suprafeţe care pot fi descompuse în „n” elemente simple (dreptunghiuri, triunghiuri, cercuri), relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie în raport cu axele centrale ale figurii compuse pot fi scrise sub forma:

. Dacă aceste axe sunt centrale, atunci momentele statice în raport cu ele sunt nule, iar relaţiile pentru momentele de inerţie în raport cu axele paralele cu cele centrale vor fi:

Variaţia momentelor de inerţie la rotirea axelor De interes practic este problema determinării momentelor de inerţie extreme pentru o figură plană (secţiune transversală a unei bare) şi determinarea poziţiei axelor în raport cu care momentele de inerţie sunt extreme. În acest sens, se studiază problema dezvoltată în continuare. Cunoscând momentele de inerţie Iy, Iz, Iyz, ale unei figuri plane în raport cu un sistem ortogonal de axe Oyz din planul ei, să se determine momentele de inerţie în raport cu un nou sistem de axe ortogonal Oy1z1

Coordonatele unui element de arie dA, în noul sistem de axe, se vor exprima în funcţie de coordonatele din vechiul sistem prin:

, rotit faţă de primul cu un unghi, considerat pozitiv dacă este descris în sens orar.

abAIIAaIIAbII yzzyzzyy +=+=+=1111

;; 22

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ]∑

∑

∑

=

=

=

−−+=

−+=

−+=

n

i

iicic

izyyz

n

i

iic

izz

n

i

iic

iyy

AzzyyII

AyyII

AzzII

1

)(

1

2)(

1

2)(

00

0

0

αααα

sincossincos

1

1

yzzzyy

−=+=


33

Înlocuind aceste expresii în relaţiile de definiţie pentru Iy1, Iz1, Iy1z1

, se obţine:

Dar

Se observă că mărimea unui moment de inerţie în raport cu o axă

oarecare depinde de unghiul de înclinare a acestei axe faţă de o axă de referinţă. În această situaţie, se poate determina o valoare α0 a unghiului, pentru care momentul de inerţie atinge o valoare extremă.

Deci există două axe ortogonale pentru care momentele de inerţie sunt extreme, iar momentul de inerţie centrifugal este nul. Asemenea axe se numesc axe principale de inerţie, iar momentele în raport cu aceste axe se numesc momente de inerţie principale. Deoarece suma momentelor de inerţie faţă de două axe normale între ele reprezintă un invariant la rotirea axelor, rezultă că unei axe principale îi corespunde cel mai mare moment de inerţie Imax=I1, iar celeilalte axe corespunde valoarea minimă Imax=I

( )

∫∫∫

∫∫++=

=+==

AAA

AAz

yzdAdAzdAy

dAzydAyI

αααα

αα

cossin2sincos

sincos

2222

2211

2. Momentele de inerţie în raport cu axele Oy1 şi Oz1 se pot scrie în

funcţie de momentele de inerţie principale:

( )( )

−+−=

=−+==

∫∫∫∫

∫∫

AAAA

AAzy

dAydAzyzdAyzdA

dAyzzydAzyI

2222

11

cossinsincos

sincossincos11

αααα

αααα

ααααααα 2sincossin2;2

2cos1cos ;2

2cos1sin 22 =+

=−

=

αα

ααα

ααα

2sin2sin2

2sincossin

2sinsincos

11

1

1

22

22

yzzy

zy

yzzyz

yzzyy

III

I

IIII

IIII

+−

=

++=

−+=

αα

αα

αα

2cos2sin2

2sin2cos22

2sin2cos22

11

1

1

yzzy

yz

yzzyzy

z

yzzyzy

y

III

I

IIIII

I

IIIII

I

+−

=

+−

−+

=

−−

++

=

( )

∫∫∫

∫∫−+=

=−==

AAA

AAy

yzdAdAydAz

dAyzdAzI

αααα

αα

cossin2sincos

sincos

2222

2211


34

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ, atunci axa

principală pentru care momentul de inerţie este maxim trece prin primul cadran al sistemului de referinţă considerat.

Dacă momentul de inerţie centrifugal este pozitiv, atunci axa principală pentru care momentul de inerţie este maxim trece prin cel de-al doilea cadran al sistemului de referinţă considerat. Axele principale de inerţie pot fi precizate în orice punct din planul figurii.

Din punct de vedere practic, interesează însă în mod deosebit axele principale centrale de inerţie ale figurii şi momentele de inerţie principale centrale. Astfel, momentul de inerţie maxim I1 este de interes în problemele de încovoiere, iar momentul de inerţie minim I2 este important în problemele de flambaj.

Când figura are cel puţin o axă de simetrie, una dintre axele centrale principale de inerţie va corespunde cu axa de simetrie care trece prin centrul de greutate al figurii.

Momente de inerţie pentru secţiuni de formă complexă.

Paşii de lucru în calculul momentelor de inerţie pentru secţiuni complexe, sunt următorii: - se împarte suprafaţa secţiunii în părţi componente simple pentru care momentele de inerţie se pot calcula uşor; pentru aceste elemente simple se cunosc ariile şi poziţiile centrelor de greutate; discretizarea nu este unică. - în raport cu axele unui sistem de referinţă auxiliar (y’O’z’), se determină poziţia centrului de greutate C al suprafeţei compuse. Sistemul de referinţă auxiliar nu este unic; sistemul de referinţă auxiliar este ales astfel încât coordonatele centrelor de greutate ale corpurilor simple să fie pozitive. - cunoscând coordonatele centrului de greutate, se definesc axele centrale principale faţă de care se calculează momentele de inerţie axiale şi momentul de inerţie centrifugal. - se calculează momentele de inerţie principale centrale şi poziţia axelor principale centrale.

α

α

α

2sin2

2cos22

2cos22

21

2121

2121

11

1

1

III

IIIII

IIIII

zy

z

y

−=

−−

+=

−+

+=

( ) ( ) 222,1 4

21

21

yzzyzy IIIIII +−+=

zy

yz

III

tg−

−=2

2 0α


35

Probleme propuse spre rezolvare 3.1 Pentru secţiunile prezentate mai jos să se determine:

a. centrul de greutate; b. momentele de inerţie axiale; c. modulele de rezistenţă; d. momentele de inerţie principale; e. direcţiile principale; f. modulele de rezistenţă axial şi polar; g. razele de inerţie.

1

2

3

4


36

5

6

7

8

9

10

37

4

SOLICITAREA AXIALĂ

Se consideră o bară dreptă din metal, de secţiune constantă, încărcată la capete cu o pereche de forţe egale şi de semn contrar, coliniare (suporturile lor coincid cu axa longitudinală a barei) şi acţionează în centrele de greutate ale secţiunilor de capăt. Bara solicitată astfel se află în echilibru static. Dacă forţele exterioare F, care solicită bara, ies din planul secţiunilor de capăt, se spune că bara este supusă (solicitată) la întindere; pentru cazul în care forţele intră în planul secţiunilor de capăt, bara se va considera solicitată la compresiune.

întindere compresiune

Aşadar, o bară dreaptă este solicitată la întindere sau compresiune

dacă în secţiunile ei transversale se dezvoltă forţe axiale notate cu N (forţe cu direcţia axei longitudinale a barei).

Valoarea forţei axiale N în dreptul unei secţiuni este dată de suma proiecţiilor pe axa longitudinală a barei a tuturor forţelor situate la stânga sau la dreapta secţiunii considerate. Forţele axiale sunt admise pozitive dacă produc întindere şi respectiv negative dacă produc compresiune. Pentru


38

determinarea secţiunii periculoase la barele drepte de secţiune constantă este necesară trasarea diagramei forţelor axiale.

Forţa axială are efect asupra întregii secţiuni transversale şi îşi manifestă prezenţa prin forţe distribuite pe unitatea de suprafaţă; pentru studiu, se cinsideră ipoteza distribuirii uniforme a forţei axiale în planul secţiunii transversale. Aceste mărimi distribuite pe unitatea de suprafaţă, numite tensiuni normale, studiului forţelor axiale. Aceste tensiuni normale au direcţia forţei axiale (sunt perpendiculare pe secţiunea considerată ) şi au ca unitate de măsură unitatea pentru presiune (în S.I. se măsoară în N/m2

AN

=σ

sau Pa). Forţa axială reprezintă deci rezultanta tuturor tensiunilor care se dezvoltă într-o secţiune transversală. Calculul tensiunilor

Expresia tensiunii normale pentru solicitarea de întindere sau compresiune sau formula pentru calculul de rezistenţa la solicitarea axială

este:

Calculul deformaţiilor Expresia lungirii specifice ε se poate determina din legea lui Hooke

εσ ⋅= E ; AE

NE ⋅==

σε

Valoarea lungirii totale ΔL se calculează cu relaţia:AELNLL⋅⋅

=⋅=∆ ε

Produsul EA (cu E modulul de elasticitate în direcţie longitudinală şi A aria secţiunii transversale a barei) se numeşte modul de rigiditate la solicitarea axială.

Pentru bare care au secţiune variabilă în trepte valoarea lungirii

totale este: ∑ ⋅⋅

=∆i i

ii

AELNL

cu iN - forţa axială constantă pe interval, iL - lungimea intervalului pe care forţa axială este constantă, iA - aria secţiunii transversale constantă pe interval.

Oricărui organ de maşină sau element de structură trebuie să îi fie asigurată rezistenţa (tensiunile să nu depăşească anumite valori) şi rigiditatea (forma să fie stabilă, iar deformaţiile să nu depăşească anumite valori). În general deci, este nevoie să se stabilească condiţii de rezistenţă şi condiţii de rigiditate.

Solicitarea axială

39

a. Verificarea barelor Pentru a asigura funcţionarea corespunzătoare a barei este necesar ca: • tensiunea astfel calculată să fie mai mică sau cel mult egală cu rezistenţa

admisibilă corespunzătoare aσ (condiţia de rezistenţă): aef

ef AN

σ≤=σ max

• deformaţia specifică sau alungirea calculată să fie mai mică decât valoarea deformaţiei specifice admisibile aε sau alungirea să fie mai mică decât cea

admisibilă aL∆ (condiţia de rigiditate): aef

efaef

ef LEA

LNLEAN

∆≤=∆ε≤=ε maxmax ;

b. Dimensionarea barelor. Secţiunea necesară a barei (Anec

anec

NAσ

≥ max

) rezultă din:

• din condiţia de rezistenţă:

• din condiţia de rigiditate: a

necnec E

NAε

≥ sau a

necnec LE

LNA∆⋅⋅

≥

Formula de dimensionare indică doar mărimea ariei, nu şi forma ei; forma secţiunii transversale rămâne la alegerea proiectantului.

c. Determinarea forţei capabile (Ncap). Forţa capabilă se determină cunoscând valoarea ariei efective (Aef aσ) şi valoarea rezistenţei admisibile , aε , aL∆ • din condiţia de rezistenţă: aefcap AN σ⋅=

• din condiţia de rigiditate: aefcap AEN ε⋅⋅= sau LLAEN a

efcap∆⋅⋅=

Sisteme static determinate solicitate axial

Dacă bara are secţiune constantă, pentru a cunoaşte secţiunea periculoasă în care forţa axială este maximă, este necesar să se construiască diagrama eforturilor axiale.

Dacă sistemul este static determinat, iar încărcarea barei este dată doar de forţe concentrate, diagrama de forţe axiale se trasează imediat pornind de la definiţia forţei axiale.


40

Sisteme static nedeterminate solicitate axial

În cazul sistemelor static nedeterminate ecuaţiile de echilibru care se pot scrie sunt insuficiente pentru finalizarea problemei, scrierea lor reprezentând o primă etapă de lucru.

Pentru soluţionarea problemei de solicitare axială, la ecuaţiile de echilibru se adaugă relaţii care ţin cont de modul în care se deformează sistemul; aceste relaţii se mai numesc de compatibilitate geometrică. Stabilirea ecuaţiilor de compatibilitate geometrică sau a condiţiei de deformaţie a sistemului reprezintă o a doua etapă de lucru. • Metoda de calcul a sistemelor static nedeterminate în care necunoscutele sunt eforturi sau reacţiuni, care se determină din condiţii de compatibilitate a deplasărilor, se numeşte metoda eforturilor. • O altă metodă de calcul a sistemelor static nedeterminate este metoda deplasărilor. În această metodă, se consideră că necunoscute deplasările, care apar din condiţii de echilibru. Atât pentru metoda forţelor, cât şi pentru metoda deplasărilor, există metodologii generale de calcul.

Probleme propuse 4.1 O bară din oţel, cu secţiunea circulară având diametru de 40 mm şi o lungime de 5 m, este solicitată la întindere de o forţă de 100 kN. Să se calculeze tensiunea care se dezvoltă în secţiunea barei, precum şi alungirea totală a barei. 4.2 O bară este încărcată cu forţele şi F2=40 kN iar l1= 2 m şi l2

0.75Dd,

mmN1021E,

mmN150σ 2

42a =⋅==

= 3 m. Să se dimensioneze bara şi să se calculeze deformaţia totală dacă:

d

D l2 l1

F2 F1

Solicitarea axială

41

4.3 Să se verifice bara din figura următoare şi să se calculeze deformaţia totală dacă se cunosc: F1=80 kN, F2=140 kN, F3=60 kN şi F4=10 kN iar l1=

2 m şi l2 24

2a mmN1021E,

mmN150σ ⋅=== 4 m, .

4.4 Să se determine sarcina maximă pe care o poate suporta bara din figura următoare dacă

1224

2a F2F,mm

N1021E,mm

N150σ ⋅=⋅== .

4.5 La bara din oţel dublu articulată se cere: a. să se calculeze reacţiunile; b. să se calculeze deformaţia totală a barei. c. să se traseze diagramele de variaţie a forţelor axiale şi a tensiunilor normale;

Se cunosc: F = 50 kN, A = 3 cm22a mm

N150σ =, L = 20 cm, .

l1 l2 l1

F4 F3 F2

F1


42

4.6 Pentru bara din oţel se cunosc F = 80 kN, A = 800 mm2

a = 500 mm. Să se traseze diagramele de variaţie a forţei axiale şi a tensiunii normale în lungul barei şi să se calculeze alungirea sau scurtarea secţiunii.

,

4.7 Să se determine reacţiunile care apar în legăturile barei. Să se traseze diagramele de variaţie a forţei axiale şi a tensiunii normale în lungul barei şi să se calculeze alungirea sau scurtarea secţiunii.

4.8 Să se determine valoarea F care solicită bara, cunoscând

m1lm,2ll,m104 APa,1021EPa,101800σ 3212-4115

a ===⋅=⋅=⋅= 4.9 Pentru bara din figură se cunosc: F1 = 50 kN, F2 = 50 kN şi F3 = 100 kN. Lungimile l1 = l2 Pa1021EPa,101800σ 115

a ⋅=⋅= = 2 m, iar . Să se dimensioneze bara şi să se calculeze deformaţia totală a barei. 4.10 Fie o bară ca cea din figura de mai jos. Bara de lungime l1 şi l3 are acelaşi diametru d1, iar bara de lungime l2 are diametrul d2. Să se determine

Solicitarea axială

43

sarcina capabilă precum şi deformaţia totală a barei. Se cunosc: l1 = l3 = 3 m, l2 Pa1021EPa,101800σ 115

a ⋅=⋅= = 2 m şi . 4.11 Pentru bara din figura următoare să se determine tensiunea din sectiunea periculoasă precum şi deformaţia totală a barei. Se cunosc: l1 = 3 m, l2 Pa1021EPa,101800σ 115

a ⋅=⋅= = 2 m şi , F1 = 80 kN, F2 = 80 kN şi F3 4.12 Se consideră o bară din oţel având diametrul de 40 mm şi lungime de 400 mm întinsă cu o forţă de 8000daN. Să se calculeze tensiunea care se dezvoltă în bară şi lungirea acesteia. 4.13 Un cablu este format din 76 de fire de cupru cu diametru

= 160 kN.

mm1dCu = şi 38 de fire din oţel cu diametrul mm1,2dOl = . Se cunosc

26Cu daN/cm1015.1E ⋅= 2

OLa2

Cua daN/cm1200σ,daN/cm800σ == . Să se calculeze ce forţă poate suporta acest cablu. 4.14 Fie bara formată din doi cilindri concentrici, confecţionaţi din două materiale diferite şi care este comprimată de forţa F. Să se determine forţele axiale şi tensiunile normale care apar în cei doi cilindri.


44

4.15 Un conductor bimetalic confecţionat din oţel şi cupru este întins cu o forţă F. Să se determine valoarea maximă a acestei forţe dacă

2EEMPa,50σPa,1021EMPa,150σ

Cu

OLCua

11OLOLa ==⋅==

4.16 Un conductor metalic confecţionat din oţel, aluminiu şi cupru este întins cu o forţă F = 30 kN. Să se determine valoarea tensiunilor care apar in cele trei materiale dacă se cunosc:

MPa1010E MPa,1014EMPa,1021E 4AL

4Cu

4OL ⋅=⋅=⋅= .

Diametrul barei din oţel este de 10 mm, diametrul barei de cupru este de 15 mm, iar diametrul barei din aluminiu este de 30 mm. 4.17 Fie bara formată din doi cilindri concentrici, confecţionaţi din două materiale diferite şi care este comprimată de forţa F.

Să se determine forţele axiale şi tensiunile normale care apar în cei doi cilindri.

Solicitarea axială

45

4.18 O bară este confecţionată din două materiale diferite care au aceeaşi lungime l = 1 m şi aceaşi sectiune A. Modulele de elasticitate şi coeficienţii de dilatare sunt diferiţi. Bara este încastrată la un capăt iar între capătul liber şi reazem rămâne un rost 0l∆ = 0.03 cm. Să se calculeze tensiunea dintre cele două materiale atunci când temperatura creşte cu C50Δt 0= .

2a2

2a1

62

61

262

261

daN/cm700σ,daN/cm1200σ1017α,1012α

daN/cm10E,daN/cm102.1E

==

⋅=⋅=

=⋅=−−

4.19 Se consideră bara din figura de mai jos, alcătuită din două materiale diferite, lungimi diferite şi secţiuni diferite. Cunoscându-se coeficienţii de dilatare ai materialelor respective şi variaţia de temperatură la care este supusă bara, să se calculeze tensiunile care iau naştere în cele două porţiuni ale barei. Se cunosc:

C30Δtcm60lcm,40l

,cm4A,cm2A1024α,1012α

daN/cm100.7E,daN/cm102.1E

021

22

21

62

61

262

261

=

====

⋅=⋅=

⋅=⋅=−−

4.20 Să se determine tensiunile care în cele trei piese ale sistemului din figura următoare la o încălzire cu C50Δt 0= Se cunosc:

63

62

61

243

242

241

212

32

22

1

1071α,1024α,1012αN/mm1011E,N/mm107E,N/mm1021Em4l,2l ,cm6A,cm8A,cm01A

−−− ⋅=⋅=⋅=

⋅=⋅=⋅=

===== m


46

4.21 Să se determine tensiunile care în cele trei piese ale sistemului din figura următoare la o încălzire cu C50Δt 0= . Piesele 1 şi 2 sunt din oţel şi

se cunosc:6

36

21

243

2421

21

22

22

21

1071α,1012ααN/mm1011E,N/mm1021E

m4l,2l,cm6A,cm8A,cm01A

−− ⋅=⋅==

⋅=⋅==

=====

Em

4.22 O bară din oţel cu secţiunea de 1000mm2 este fixată între doi pereţi rigizi, ca în figura alăturată. Bara este încărcată cu F1 = 100kN şi F1

mm1Δ0 =

= 140kN. Să se traseze diagramele de forţe axiale şi să se calculeze tensiunea maximă, dacă înainte de a fi solicitată bara era mai scurtă decât distanţa dintre reazeme cu 4.23 Un sistem bimetalic confecţionat din oţel şi cupru este supus compresiunii de o forţă de 1000kN. Să se determine valoarea tensiunilor care apar în cele două materiale din care este confecţionat sistemul. Se cunosc:

242

241

012

22

1

N/mm1041E,N/mm1021Emm1Δm,1l,cm80d,cm50d

⋅=⋅=

====

4.24 O bară dreaptă rigidă este articulată la o distanţă de 1 m faţă de un capăt şi menţinută în poziţie verticală de 2 tije. O tijă are lungimea de 1 m, iar cealaltă de 2 m. Să se determine tensiunile care apar în tijele verticale sub acţiunea forţei F=5 kN, precum şi deplasarea capătului liber.

Solicitarea axială

47

4.25 O bară dreaptă rigidă este articulată la o distanţă de 2 m faţă de un capăt şi menţinută în poziţie verticală de 2 tije. O tijă are lungimea de 1 m, iar cealaltă de 2 m. Să se determine tensiunile care apar în tijele verticale sub acţiunea forţei F=20 kN, precum şi deplasarea capătului liber.

4.26 O bară dreaptă rigidă este articulată la un capăt şi menţinută în poziţie verticală de 2 tije. O tijă are lungimea de 1 m iar cealaltă de 2.5 m. Să se determine tensiunile care apar în tijele verticale sub acţiunea forţei F=80 kN, precum şi deplasarea capătului liber.

1 2

1 m

a a a

F

2.5

m

2 1

1 m

a a a

F

2 m

2 m 2 m 1 m

F 2 m

1 m


48

4.27 Pentru sistemele de bare elastice din figurile de mai jos, să se determine tensiunile care apar sub acţiunea forţei F. Se cunosc: l = 1 m, F = 20 kN, A1=A2=A=2 cm2, A3

a.

=2A

b.

c.

d.

4.28 Pentru sistemul de bare din figura de mai jos, solicitat de forţa F, să se determine tensiunile care apar. Se cunosc: l = 1 m, F = 20 kN,A1=A2=A=2 cm2, A3 =A4=2A, A5=1.5A

4.29 La montarea fiecarui sistem de bare articulate din figurile de mai jos, se constata o inexactitate de construcţie. Să se stabileasca tensiunile din barele sistemului în cazul unui montaj forţat.

Solicitarea axială

49

a.

l = 1 m, δ = 2mm,

A1=A2=A=4 cm2

A3

b.

=2A

l = 1 m, δ = 4mm,

A1=A2=A=2 cm2

A3=A4

4.30 Să se traseze diagramele de forţe axiale pentru diferite valori ale încărcărilor

= 2A

F1

l 2

l 1

2k

N/m

3kN

/m

F2 F1

l1 l2

50

5

ÎNCOVOIEREA BARELOR DREPTE

O grindă dreaptă este solicitată la încovoiere, dacă în secţiunile ei transversale se dezvoltă momente încovoietoare. În funcţie de poziţia în spaţiu a forţelor, solicitarea de încovoiere poate fi: - încovoiere plană, dacă toate sarcinile aplicate se află într-un singur plan longitudinal, care conţine una dintre axele principale centrale de inerţie ale tuturor secţiunilor transversale; - încovoiere oblică, dacă toate sarcinile aplicate se află într-un singur plan longitudinal, care însă nu conţine axele centrale principale de inerţie ale tuturor secţiunilor transversale solicitate; - încovoiere strâmbă, când forţele aplicate sunt situate în plane longitudinale diferite.

În funcţie de natura eforturilor secţionale din secţiunile transversale,

solicitarea de încovoiere poate fi: - încovoierea pură, când în secţiunile transversale ale grinzii

acţionează numai momente încovoietoare;

Încovoierea barelor drepte

51

- încovoiere simplă, cauzată de existenţa simultană a momentului încovoietor şi a forţei tăietoare în toate secţiunile transversale ale grinzii.

Ipoteze simplificatoare: (1) Bara este iniţial dreaptă şi fără tensiuni iniţiale. (2) Materialul barei este perfect omogen şi izotrop adică cu aceeaşi densitate şi aceleaşi proprietăţi elastice pe toate direcţiile. (4) Modulul de elasticitate în direcţie longitudinală (modulul lui Young) al materialului este acelaşi la întindere şi compresiune. (5) Secţiunile plane rămân plane înainte şi după încovoiere. (6) Fiecare secţiune transversală a barei este simetrică în raport cu planul de încovoiere, adică în raport cu o axă perpendiculară pe axa neutră (A.N.), una dintre axele acelui plan neutru. (7) Se neglijează deformarea secţiunii transversale (secţiunea transversală îşi modifică forma din cauza contracţiei transversale, dar această modificare este neînsemnată şi se poate neglija)

Dacă o bară din cauciuc, de preferinţă de secţiune dreptunghiulară, este încovoiată, se poate observa că o suprafaţă a barei este întinsă în timp ce suprafaţa opusă este comprimată. Este evident că între cele două suprafeţe există un plan neutru în care fibrele materialului nu se întind şi nici nu se comprimă. Efectul de încovoiere poate fi clarificat dacă înainte de încovoiere se desenează pe suprafaţa barei de cauciuc o reţea de linii drepte cu spaţiere uniformă în direcţie longitudinală şi transversală. După încovoiere, se constată că distanţele dintre liniile trasate pe o parte se măresc, în timp ce în partea opusă se micşorează.


52

Tensiuni de încovoiere plană pură. Relaţia lui Navier. Dacă vom considera o bară fără tensiuni iniţiale solicitată de un moment încovoietor M constant de-a lungul barei, adică încovoiere pură, bara se va încovoia cu raza de curbură ρ . Ca rezultat al încovoierii fibrele inferioare se întind iar fibrele superioare se comprimă. Undeva între aceste două zone există evident puncte în care tensiunile axiale sunt zero. Locul geometric al acestor puncte este denumit axă neutră (A.N.). Raza de curbură ρ este deci măsurată de la centrul de curbură până la această axă. Pentru secţiuni simetrice axa neutră (A.N.) este axă de simetrie; în cazul unei secţiuni oarecare axa neutră trece întotdeauna prin centrul de greutate al secţiunii transversale. Planul neutru împarte bara în două părţi. Dacă momentul încovoietor are valoare pozitivă, ca în cazul de faţă, atunci fibrele situate sub planul neutru sunt solicitate la întindere (tracţiune) (σ>0), iar cele de deasupra, la compresiune (σ<0). Tensiunile cele mai mari se produc în dreptul celor mai îndepărtate puncte de axa neutră: Deci, momentul încovoietor îşi manifestă prezenţa într-o secţiune transversală prin tensiuni normale σ. Tensiunile normale într-un punct curent al secţiunii barei se determină cu formula Navier care arată că valoarea tensiunii normale de încovoiere este o funcţie liniară de distanţa punctului la axa neutră:

zIM

y

i ⋅=σ

Unde: iy

M = valoarea momentului încovoietor în secţiune (se ia cu semnul

corespunzător din diagrama de momente); y

I = momentul de inerţie principal; z = ordonata punctului în care se calculează tensiunea (se va lua cu semnul corespunzător poziţiei punctului). Tensiunea maximă de pe suprafaţa secţiunii situată în cel mai

îndepărtat punct de axa neutră:y

i

y

i

WM

IzM

=⋅

= maxmaxσ

. Iar

maxzI

W yy =

Această caracteristică geometrică a secţiunii transversale se numeşte modul de rezistenţă axial, sau modul de rezistenţă la încovoiere.Unitatea de măsură a acestei caracteristici geometrice este [L3], adică în S.I. [m3].


53

În scopul obţinerii unei rezistenţe maxime la încovoiere, este recomandabil să se utilizeze, în măsura posibilităţilor, secţiuni care au suprafeţe mari în punctele îndepărtate de axa neutră. În acest sens, barele cu profil I sau T au o largă utilizare în aplicaţiile inginereşti, cum ar fi grinzile de susţinere în care încovoierea joacă un rol important. O grindă rezistă cu atât mai bine la solicitarea de încovoiere cu cât modulul ei de rezistenţă (modulul axial) Wy

a

inecy

MW

σmax=

are valoare mai mare. Valoarea modulului axial depinde nu numai de mărimea, ci şi de forma secţiunii transversale. Astfel, forma secţiunii transversale poate fi considerată cu atât mai raţională, cu cât modulul de rezistenţă are o valoare mai mare pentru un consum cât mai mic de material(greutatea barei prismatice este legată de aria secţiunii transversale A).

Cu relaţia NAVIER se rezolvă trei categorii de probleme: - Probleme de dimensionare, prin care se determină modulul de rezistenţă

necesar, astfel încât grinda să reziste,

- Probleme de verificare, prin care se calculează tensiunea maximă de încovoiere şi se compară cu tensiunea admisibilă σ

a

ay

i

WM

σσ ≤=max

. Grinda rezistă dacă

- Probleme de calcul al momentului încovoietor pe care-l poate suporta grinda yai WM ⋅= σ


54

Probleme propuse

Să se dimensioneze următoarele grinzi cunoscând 𝜎𝜎𝑎𝑎=120 MPa; să se determine deplasarea pe verticală a secţiunii transversale din A şi să se traseze variaţiei tensiunii normale în secţiunea barei.

1

F= 4 kN q = 8 kN/m

2

F= 6 kN q = 2kN/m

3

F= 2 kN q = 4 kN/m


55

4 F= 8 kN q = 6 kN/m

5

M = 2 kNm q = 4 kN/m

6



56

7


8 M = 8 kNm q = 2 kN/m

9

F= 2 kN q = 4 kN/m


57

10

F= 4 kN q = 6 kN/m

11

F= 8 kN q = 4 kN/m

12 F= 2 kN q = 4 kN/m


58

13


14


15



59

16 M = 4 kNm q = 6 kN/m

17

F= 6 kN q = 2 kN/m

18

F= 2 kN q = 4 kN/m


60

19

F= 4 kN q = 6 kN/m

20

F= 2 kN q = 4 kN/m

21



61

22


23

M = 2 kNm q = 6kN/m

24 M = 2 kNm q = 4 kN/m


62

25

F= 8 kN q = 6 kN/m

26

F= 8 kN q = 2 kN/m

27

F= 6 kN q = 2 kN/m


63

28

F= 6 kN q = 2 kN/m

29


30 M = 8 kNm q = 4 kN/m


64

31

F= 4 kN q = 3 kN/m

32

M= 6 kNm q = 2 kN/m

33

F= 2 kN q = 4 kN/m


65

34

M= 8 kNm q = 6 kN/m

35


36

F = 4 kN q = 4 kN/m


66

37

F = 2 kNm q = 8 kN/m

38

M = 8 kNm F=2 kN q = 2 kN/m

39

F= 2 kN M=1 KNm q = 4 kN/m


67

40

F= 4 kN q = 6 kN/m

41

F= 8 kN q = 4 kN/m

42

M= 2 KNm q = 4 kN/m


68

43 F= 2 kN q = 4 kN/m

44.


45


46


69

F = 4 kN q = 2 kN/m

47

F= 2 kN M= 4 KNm q = 2 kN/m

48

M= 2 kNm q = 4 kN/m


70

49


50

M= 2 kNm q = 4 kN/m

51 M = 6 kNm q = 2 kN/m


71

52

F = 6 kN q = 2 kN/m

53


54 F = 8 kNm q = 4 kN/m


72

55

M = 4 kN q = 6 kN/m

56

F= 4 kN q = 2 kN/m

57

F= 3 kN q = 2 kN/m


73

58 F= 7 kN q = 2 kN/m

59


60



74

61

F= 4 kN q = 2 kN/m

62

M= 6 KNm q = 2 kN/m

63

M= 4 KNm q = 2 kN/m


75

64

F= 4 kN q = 5 kN/m

65

F= 2 kN M=1 KNm q = 4 kN/m

66 M= 4 KNm q = 6 kN/m


76

67

F= 8 kN q = 2 kN/m

68


69

F= 2 kN q = 6 kN/m


77

70

M= 5 KNm q = 2 kN/m

71

72


78

73

74

75.


79

76

77

78


80

79

80

81


81

82

83

82

6

TORSIUNEA BARELOR DREPTE

6.1 Generalităţi

O bară dreaptă este solicitată la torsiune (răsucire)

dacă în secţiunile ei transversale torsorul forţelor interioare se reduce la un moment (cuplu) care acţionează în plan normal pe axa barei. Acest moment, care se notează Mt

Solicitarea de torsiune este frecvent întâlnită la organele de maşini (arbori acţionaţi prin intermediul roţilor dinţate sau de curea, arcuri) dar este prezentă şi la solicitarea unor elemente de construcţie, cum ar fi: grinzi marginale care susţin planşee, sisteme spaţiale de bare, grinzi de rulare şi altele.

Dacă bara transmite o putere P[kW] la o turaţie n [rpm], atunci se poate determina valoarea momentului exterior cu direcţia axei longitudinale a barei Mx (care solicită bara la torsiune) în [Nm] cu relaţia:

, se numeşte de torsiune sau răsucire.

][][9550][

rpmnkWPmNM t =⋅

Torsiunea barelor drepte

83

Momentul de torsiune într-o secţiune transversală oarecare este egal cu suma momentelor tuturor forţelor şi cuplurilor situate la dreapta sau la stânga secţiunii considerate, în raport cu axa longitudinală a barei.

Se poate considera, prin convenţie, că momentul de torsiune este pozitiv dacă este reprezentat printr-un vector dirijat după axa barei care iese din planul secţiunii curente şi negativ dacă intră în planul secţiunii curente. Pentru trasarea diagramelor de variaţie a momentelor de torsiune de-a lungul barei se utilizează metoda secţiunilor aplicată pe fiecare domeniu de continuitate a expresiei momentului de torsiune.

Tensiunea tangenţială va fi rIM

p

t ⋅=τ , care atinge valoarea maximă

la R. ,maxp

t

p

t

WM

IRM

=⋅

=τ unde cu Wp

RI

W pp =

s-a notat modulul de rezistenţă polar

care se calculează cu relaţia: .

Modulele de rezistenţă pentru secţiunile circulară de diametru D=2R

şi inelară cu diametrul exterior D şi diametrul interior d (cu raportul

subunitar Dd

=α ) se calculează cu relaţiile: 16

2

3DDI

W pp

π== pentru

secţiunea circulară şi ( )44

116

2

απ−==

DDI

W pp pentru secţiune inelară.

Tensiunea maximă evaluată în zona sau secţiunea periculoasă trebuie să fie sub valoarea tensiunii admisibile aτ adică aττ ≤max . Valoarea tensiunii tangenţiale admisibile se poate stabili pentru materiale omogene şi izotrope, în funcţie de valoarea tensiunii normale admisibile aσ :

( ) aa στ 8.05.0 =


84

Unghiul de torsiune dintre secţiunile marginale:

∫∫∫ ⋅⋅

=⋅⋅

===L

p

t

p

tLL

IGLM

IGdxMdxd

000

θϕϕ

Unghiul cu care se roteşte o secţiune marginală faţă de alta

reprezintă unghiul de torsiune total φ.

dxdϕθ = şi ∫∫ ==

LL

dxd00

θϕϕ

Conform legii lui Hook,e este necesar ca pe feţele elementului să se dezvolte tensiuni tangenţiale τ proporţionale cu unghiul de lunecare specifică γ . Constanta de proporţionalitate este caracteristica mecanică a materialului numită modul de elasticitate în direcţie transversală G. Aşadar, legea lui Hooke pentru torsiunea barelor de secţiune circulară se poate scrie,

.γτ ⋅= G La baza studiului torsiunii barelor de secţiune circulară stau

următoarele ipoteze: (1) secţiunile transversale ale barei - plane şi perpendiculare pe axa acesteia înainte de deformare, rămân plane şi perpendiculare pe axa longitudinală a barei şi după deformare (ipoteza secţiunilor plane), secţiunile rotindu-se cu un anumit unghi în jurul axei; (2) razele secţiunii rămân drepte şi de aceeaşi lungime şi după deformare; (3) distanţele (măsurate în lungul axei) între diferitele secţiuni transversale nu se modifică în urma deformaţiei.

Utilizând aceste ipoteze, torsiunea barelor de secţiune circulară apare ca rezultatul lunecărilor provocate de rotirile reciproce ale secţiunilor transversale unele faţă de celelalte.

Pentru generalitate, elementul de lungime dx (dintre secţiunile 2 şi 3) se detaşează şi se pun în evidenţă deformaţiile. Deplasarea unui punct

oarecare Q din secţiune este: ,ϕγ drdx ⋅=⋅ de unde rezultă θϕγ ⋅=⋅= rdxdr

Tensiunea tangenţială este: rGG ⋅⋅=⋅= θγτ de unde se observă că tensiunea tangenţială are o distribuţie liniară, iar tensiunea maximă este:

RG ⋅⋅= θτ max , unde θ este unghiul de torsiune specific.


85

În această situaţie, unghiul de torsiune (în radiani pe unitatea de

lungime) are expresia: p

t

IGM⋅

=θ . Produsul pIG ⋅ se numeşte modul de

rigiditate la torsiune al barei de secţiune circulară. Cu cât valoarea acestui produs este mai mare, cu atât deformaţia de torsiune este mai mic.

Indiferent de tipul problemei (de verificare, de dimensionare sau de

calcul al momentului de torsiune capabil), este necesară stabilirea secţiunii sau zonei periculoase parametric sau numeric (din diagrama de momente) şi determinarea caracteristicilor geometrice ale secţiunii transversale specifice torsiunii (I

p şi W

p• problemele de dimensionare, în care se determină modulul de

rezistenţă necesar (la limită) cu relaţia

), de asemenea parametric sau numeric.

a

tp

MW

τmax

nec =

• problemele de verificare, în care se verifică dacă tensiunea efectivă este mai mică decât cea admisibilă

ap

t

WM

ττ ≤= maxmax

• probleme de calcul al momentului de torsiune capabil, care se determină cu relaţia:

pat WM ⋅= τcap

Probleme propuse

6.1 Să se rezolve următoarele probleme

1

Să se dimensioneze bara din figură. L=1m M=5kNm τa=80MPa


86

2

Să se dimensioneze bara din figură. L=1m M=5kNm τa

3

=80MPa

Să se dimensioneze bara din figură. L=0.5m M=6kNm τa

4

=90MPa

Să se dimensioneze bara din figură. L=0.5m M=6kNm τa

5

=90MPa

Pentru bara solicitată ca în figură să se determine unghiul de răsucire. L=0.2m M=8kNm τa=80MPa d1=0.5d

6

2

Pentru bara solicitată ca în figură să se determine unghiul de răsucire. L=0.2m M=8kNm τa=80MPa d1=0.5d

6.2 Să se dimensioneze arborele din figura de mai jos şi să se calculeze unghiul total de răsucire. Se cunosc: P

2

1=80 kW; P2=60 kW; P3=20 kW; n=300 rot/min; G=8•1010Pa; 𝜏𝜏𝑎𝑎=200•105 Pa.


87

6.3 Să se dimensioneze arborele din figura de mai jos şi să se calculeze unghiul total de răsucire.P1=80 kW; P2=20 kW; P3=60 kW; n=250 rot/min; G=8•1010Pa; 𝜏𝜏𝑎𝑎=200•105


Pa

1=100 kW; P2=50 kW; P3=150 kW; n=1200 rot/min; G=8•1010Pa; 𝜏𝜏𝑎𝑎=200•105

Pa.


88

6.5 Să se dimensioneze arborele din figura de mai jos şi să se calculeze unghiul total de răsucire. Se cunosc: P1=40 kW; P2=80 kW; P3=120 kW; n=320 rot/min; G=8•1010Pa; 𝜏𝜏𝑎𝑎=200•105


Pa.



Pa.

1=200 kW; P2=40 kW; P3=120 kW; P4=40 kW n=300 rot/min; G=8•1010Pa; 𝜏𝜏𝑎𝑎=200•105 Pa.


89

6.8 Să se dimensioneze arborele din figura de mai jos şi să se calculeze unghiul total de răsucire. Se cunosc: P1=50 kW; P1=50 kW; P2=100 kW; P3=200 kW; n=360 rot/min; G=8•1010Pa; 𝜏𝜏𝑎𝑎=200•105


Pa.

1=20 kW; P2=80 kW; P3=100 kW; n=320 rot/min; G=8•1010Pa; 𝜏𝜏𝑎𝑎=200•105 Pa.


90

6.10 Să se dimensioneze arborele din figura de mai jos şi să se calculeze unghiul total de răsucire. Se cunosc: P1=80 kW; P2=50 kW; P3=30 kW; n=350 rot/min; G=8•1010Pa; 𝜏𝜏𝑎𝑎=200•105


Pa.


Pa.


91

6.12 La mecanismul de ridicare din figura de mai jos se cunosc P=100 daN, a = 50 cm, b = 150 cm, D1 = 180 cm, D2 = 60 cm. Se cere: a. sarcina Q care se poate ridica; b. diametrul arborelui de secţiune circulara dacă σa=600 daN/cm2

6.13 Să se dimensioneze arborele de mai jos dacă se cunosc S

.

1 = S2 = 700 daN, S2 = S4 6.14 Să se dimensioneze arborele din figura de mai jos dacă se cunosc

= 200 daN, D = 150 cm.

rot/min.1000nMPa,120σa == D1 = 200 mm, D2

=100 mm, P = 15 kW


92

6.15 Să se dimensioneze arborele confecţionat din oţel din figura de mai jos. Pe el se găsesc montate două roţi de curea care preiau M1= 4M si M2= 2 M, l1=2m, l2=4m, l3 Pa10008 5

a ⋅=τ=6m. Se ştie ca M = 6000 Nm şi 6.16 Să se dimensioneze arborele de secţiune circulară care are 2 roţi de cure care preiau M1=M si M2=3M, unde M = 2500 Nm iar l1=4m, l2=l3

6.17 Pentru bara solicitată ca în figura următoare să se determine d

= 4m.

1 si d2. Se cunosc: l1 = 2m, l2 = 4m, M1=6kN şi M2 MPa90τ a ==8kN iar 6.18 Pentru bara solicitata ca în figura următoare să se determine d1 si d2. Se cunosc: l1 = l3= 2m, l2 = 4m, M1=6kN şi M2 MPa90τ a ==6kN iar


93

6.19 Să se determine unghiul de răsucire pentru bara din figură. Se cunosc: l1 = 2m, l2 = 4m, M2=8kN d1=0.5d2 MPa80τ a = iar 6.20 Se consideră un arbore ca în figura următoare, în care lucrează o maşină motoare cu puterea de N = 120 kW şi trei maşini care consumă 60 kW, 20 kW, 40 kW, turaţia arborelui fiind de 300 rot/min. Să se dimensioneze arborele cu diametre variabile pe fiecare interval, dacă

MPa90τ a = . 6.21 Să se dimensioneze arborii de transmisie de la un motor la două maşini consumatoare de energie, aşezate ca în figură dacă turaţia este de 200 rot/min. N1=20 kW; N=100 kW; N3=80 kW; n=1200 rot/min; G=8•1010Pa; 𝜏𝜏𝑎𝑎=200•105 Pa


94

6.22 Asupra unui arbore având diametrul d şi o lungime l=l1+l2 se aplică un moment de răsucire care se află la distanţele l1 şi l2

6.23 Pe arborele din figura următoare, încastrat în punctul A, acţionează forţele F

faţă de capete. Să se ridice nedeterminarea sistemului şi să se traseze diagrama momentelor de răsucire.

1 şi F2

6.24 Un arbore primeşte puterea N

. Să se traseze diagrama momentelor de torsiune.

3 de 6 kW la turaţia de 100 rot/min şi transmite puterile N1 = 1 kW, N2= 3 kW, N4 = 2 kW. Să se traseze diagrama de puteri şi să se calculeze momentele de torsiune.

l1 l2

MA

A F2

F2

F1

F1

1 2


95

6.25 Un arbore primeşte puterea motoare N1=120kW la turaţia de 500 rot/min şi transmite puterile N2=70 kW şi N3

6.26 Un arbore de secţiune constantă având diametrul de 10 cm, este încărcat cu M

=50 kW. Să se dimensioneze arborele din oţel şi să se calculeze rotirea relativă dintre roţile de la capete.

1=10kNm, M2=4kNm, M3=14kNm şi M4=40kNm. Să se traseze diagrama de momente de torsiune şi să se determine tensiunea maximă din arbore.

N1 N2 N3

l1 l2

l1 l2 l3 l4 l5

N4 N3

N2

N1

4 3 2 1


96

6.27 Să se traseze diagramele de momente de torsiune pentru diferite încărcări

M3 M2

M1

l1 l2 l3

M3 M2 M1

l1 l3 l2

M4 M3

M2 M1

l3 l2

l1


97

M3 M2

M1

l2 l4 l3 l1

M2

l3 l2

M4

l1

M1 M3

F4 F3 F2 F1

l3 l1 l2

98

7

FLAMBAJUL BARELOR ZVELTE

7.1. Fenomenul de stabilitate În Mecanica solidului rigid se spune despre un corp că este în: - Echilibru stabil, atunci când scos din poziţia de echilibru, acesta revine în poziţia iniţială datorită forţelor de gravitaţie şi reacţiunii care ia naştere în punctul de susţinere sau rezemare. O bilă în interiorul unei suprafeţe concave are o poziţie de echilibru stabil, deoarece dacă o forţă mică o scoate din această poziţie, în momentul în care această forţă încetează să acţioneze bila se reîntoarce spre poziţia de echilibru şi începe să oscileze în jurul acesteia până când oscilaţiile amortizându-se, ea rămâne în poziţia

iniţială de echilibru. - Echilibrul instabil, dacă corpul este scos din poziţia de echilibru nu mai revine la poziţia iniţială

echilibru stabil echilibru instabil echilibru indiferent

Flamabajul barelor zvelte

99

O bilă pe o suprafaţă convexă are o poziţie de echilibru instabil, deoarece dacă o forţă mică o scoate din această poziţie, ea nu mai revine în această poziţie, când forţa îşi încetează acţiunea, îndepărtându-se de poziţia iniţială. - Echilibrul indiferent (c) – în acest caz corpul rămâne în repaus în orice poziţie ar fi O bilă pe o suprafaţă plană scoasă de o forţă din poziţia de echilibru, după încetarea acţiunii forţei rămâne în noua poziţie de echilibru. Poziţia de echilibru indiferent este la limita dintre echilibrul stabil şi cel instabil.

O particularitate a barelor „zvelte” (bare cu lungime mare în

comparaţie cu dimensiunile secţiunii transversale) o constituie sensibilitatea acestora faţă de tensiunile de compresiune. Există pericolul ca în zonele comprimate bara să-şi piardă forma iniţială de echilibru. Pierderea stabilităţii sistemelor deformabile (a barelor, sistemelor de bare sau plăcilor) sub acţiunea forţelor se numeşte flambaj.

Pentru a demonstra producerea flambajului se consideră o bara zveltă dreaptă, dublu articulată, acţionată la capete de două forţe de compresiune F. Pentru valori mici ale forţelor F, bara işi păstrează forma rectilinie, fiind supusă la compresiune simplă. Mărind forţa F până la o anumită valoare, bara continuă să-şi păstreze forma, apoi se încovoaie brusc, luând o formă de echilibru curbilinie.

Valoarea forţei pentru care bara trece de la forma rectilinie la o formă curbilinie de echilibru este denumită forţă critică de flambaj şi este notată cu FÎn secţiunea transversală lui F

cr.

cr

AFcr

cr =σ

îi corespunde o tensiune critică de flambaj, care se poate determina cu formula:

, unde A este aria secţiunii.

Bara nu va flamba dacă ea va fi comprimată de o forţă F mai

mică decât cea de flambaj: cr

cr

cF

F = , unde ccr>1 este

coeficientul de siguranţă la stabilitate (flambaj). Echilibru unei bare drepte comprimate poate fi definit în două

moduri:


100

- dacă F<Fcr, atunci echilibrul este stabil, iar bara scoasă din poziţia rectilinie de echilibru, va reveni la forma ei iniţială după dispariţia cauzei perturbatoare;

- dacă F>Fcr

- Cazul I: bara încastrată la un capăt şi liberă la celalalt;

, atunci echilibru este instabil iar bara flambează sau e află în pericol de flambaj; scoasă din poziţia rectilinie de echilibru, bara rămâne deformată şi se poate rupe. 2. Determinarea fortei critice de flambaj pentru cazurile clasice de rezemare la bara comprimată axial. Formulele lui Euler şi Tetmajer Jasinski şi domeniul lor de valabilitate

Cea mai simplă problemă de echilibru elastic este cea a barei drepte

comprimată axial. Această problemă a fost rezolvată de către matematicianul Leonard Euler la finele secolului al XVIII-lea.

Determinarea forţei critice de flambaj pentru cazurile clasice de rezemare:

- Cazul II: bara articulată la ambele capete; - Cazul III: bara articulată la un capat si încastrată la celalalt; - Cazul IV: bara încastrată la ambele capete.

Forţa critică de flambaj se determină integrând ecuaţia diferenţială

aproximativă a fibrei medii deformate pentru starea flambată a barei şi impunerea condiţiilor de rezemare.

Cele 4 relaţii de calcul pentru forţa critică, corespunzătoare celor 4 cazuri de flambaj elastic prin compresiune examinate până acum, pot fi exprimate printr-o singură relaţie, numită formula lui Euler, după numele lui Leonard Euler, care a studiat cazul flambajului prin compresiune al barei libere la un capăt şi încastrată la celălalt în anul 1744.

Formula lui Euler este: 2min

2

fcr l

EIF π=

Unde: - E este modulul de elasticitate al materialului din care este confecţionată

bara; - Imin - l

momentul de inerţie minim al secţiunii; f lungimea de flambaj.


101

Lungimea de flambaj este o mărime care depinde de modul de rezemare şi este măsurată pe deformată între punctele de inflexiune.

Se poate observa că sarcina critică de flambaj depinde de materialul din care este făcută bara (E), forma şi dimensiunile geometrice ale secţiunii (Imin) şi modul de rezemare (lf

).

După modul de rezemare a barei comprimate se pot distinge patru cazuri fundamentale:

Cazul I: bară încastrată la un capăt şi liberă la celălalt: Fibra medie deformată este o sinusoidă de semiundă 2l

( ) 2min

2

2min

2

42 lEI

lEIFcr

ππ==

Cazul II: bară articulată la ambele capete: Fibra medie deformată este o sinusoidă de semiundă l (capetele barei sunt punctele de inflexiune)

( ) 2min

2

2min

2

lEI

lEIFcr

ππ==

Cazul III: bară articulată la un capat şi încastrată la celălalt: Un punct de inflexiune al fibrei medii deformate coincide cu articulaţia, iar

celălalt este situat pe deschidere la o distanţă de 22 l= 0.7 l de primul punct

2min

2

)7.0( lEIFcr

π=

Cazul IV: bară încastrată la ambele capete: Punctele de inflexiune sunt situate la sferturile deschiderii 0.5l


102

2min

2

)5.0( lEIFcr

π=

Forţei critice de flambaj îi corespunde, în secţiunea transversală a barei, o tensiune critică de flambaj:

2

22

min22

min2

λπππσ E

liE

lI

AE

AF

ff

crcr =

=

== , unde cuλ

(coeficient de zvelteţă sau subţirime) s-a notat raportul dintre lungimea de

flambaj şi raza minimă de inerţie a secţiunii transversale .minil f=λ

Aşadar, tensiunea critică de flambaj depinde de materialul barei (prin modulul de elasticitate longitudinal) şi de zvelteţea ei. Cu cât bara este mai zveltă, cu atât pericolul de flambaj este mai mare.

Dacă se reprezintă grafic relaţia ,2

2

λπσ E

cr = se obţine o hiperbolă

cunoscută sub numele de hiperbola lui Euler.

- Formula lui Euler este valabilă dacă tensiunea de flambaj este mai mică decât tensiunea corespunzătoare limitei de proporţionalitate:

pcrE σ

λπσ ≤= 2

2

, de unde rezultă un coeficient de zvelteţe ,0λ care

delimitează domeniul de valabilitate al relaţiei lui Euler: .2

0p

Eσπλ =

Prin urmare, coeficientul de zvelteţe delimitează două domenii în calculul de flambaj al barelor solicitate la compresiune:


103

- dacă 0λλ > , flambajul se numeşte elastic. Bara flambează inainte ca legea lui Hooke să-şi piardă valabilitatea, iar experienţa confirmă relaţia lui Euler.

- dacă 0λλ < , flambajul se numeşte plastic. Bara îşi pierde stabilitatea numai după ce tensiunea de compresiune o depăşeşte pe cea corespunzătoare limitei de proporţionalitate, iar experienţa nu confirmă relaţia lui Euler. În acest domeniu este valabilă o altă relaţie care dă efortul unitar critic de flambaj, relaţie stabilită experimental de către Tetmajer şi Iasinski: λσ baf −= , unde a şi b sunt coeficienţi care diferă după natura şi compoziţia chimică a materialului.

materialul a b 0λ crσ [daN/cm2] Oţel OL37 3040 11.2 105 3040-11.2λ

Oţel cu 5% Ni 4610 22.5 86 4610-22.6λ Duraluminiu 3720 21.4 50 3720-21.4λ

Lemn 287 1.9 100 287-1.9λ

- pentru valori ale lui 1λλ < ( 1λ este coeficientul de zvelteţe corespunzător limitei de curgere 1λ =20...40), se consideră că barele comprimate axial nu-şi mai pierd stabilitatea, ele fiind supuse numai la compresiune.


104

7.3. Metoda de rezolvare a problemelor de flambaj

Verificarea la flambaj a barelor drepte: Se determină coeficientul de siguranţă al barei la flambaj c1. se calculează valoarea coeficientului de zvelteţă

cr λ

2. folosindu-se formulele lui Euler sau Tetmajer-Iasinski după cum 0λλ >

sau 0λλ < se calculează valoarea coeficientului de siguranţă la flambaj a cărui valoare trebuie să fie mai mare decât cea impusă

2.1 dacă ,0λλ > se foloseşte relaţia lui Euler:

min2

2

=

fcr l

IEF π iar cF

Fc cr

cr ≥=

2.2 dacă ,01 λλλ << se foloseşte relaţia lui Tetmajer-Iasinski:

λσ bacr −= , crcr AF σ= şi cF

Fc cr

cr ≥=

2.3 dacă ,1λλ < bara se calculează la compresiune

Calculul de dimensionare la flambaj a barelor drepte:

1. se începe calculul folosind formula lui Euler ElcF

I f2

2

min π⋅⋅

=

2. se calculează raza minimă de inerţie: A

Ii minmin =

3. se determină coeficientul de zvelteţă: minil f=λ

4. odată determinată valoarea coeficientului de zvelteţă, sunt posibile următoarele cazuri:

4.1 dacă ,0λλ > bara îşi pierde stabilitatea în domeniul elastic şi dimensionarea cu formula lui Euler este bună;

4.2 dacă ,0λλ < bara îşi poate pierde stabilitatea în domeniul plastic.


105

Dimensionarea cu formula lui Euler nu este corectă şi urmează ca această dimensionare să fie făcută cu relaţiile de calcul stabilite pentru acest interval, adică se foloseşte formula lui Tetmajer pentru determinarea sarcinii critice. Se calculează tensiunea de compresiune şi apoi coeficientul de siguranţă la flambaj - dacă valoarea obţinută pentru c este cea impusă, dimensionarea este bună; - dacă valoarea obţinută este mai mică decât cea impusă, se măresc dimensiunile secţiunii şi se reia calculul până se obţine valoarea coeficientului de siguranţă impus

4.3 dacă ,1λλ < calculul se face la compresiune.

Probleme propuse 7.1 Să se dimensioneze o tijă din oţel de secţiune pătrată încastrată la un capăt şi articulată la celălalt având: l = 1.75 m, F = 190 kN, c = 4, 105λ 0 =

2cr2

6

cmdaN2.113040 ,

cmdaN102.1E λσ −=⋅=

7.2 Să se dimensioneze o tijă din oţel de secţiune circulară încastrată la ambele capete: l = 2 m, F = 200 kN, c = 4, 105λ 0 =

2cr2

6

cmdaN2.113040 ,


7.3 Să se dimensioneze o tijă din oţel de secţiune dreptunghiulară încastrată la un capăt şi liberă la celălalt capăt având: l = 3 m, F = 400 kN, c = 4,

105λ 0 = 2cr26

cmdaN2.113040 ,


7.4 Să se dimensioneze bara articulată la ambele capete dacă: l = 5 m, F = 100 kN, c = 10, 86λ 0 =

2cr2

6

cmdaN22.5λ4610σ ,

cmdaN102.1E −=⋅=

7.5 Să se stabileasca lungimea pe care o poate avea stâlpul încastrat la un capat şi articulat la celălalt capăt dacă se cunosc: l1 = 5 cm, l2 = 25 cm, l3 = 5 cm, l4

105,λ 0 =

= 30 cm

2cr26

cmdaN2.113040 ,

cmdaN102.1E λσ −=⋅= .


106

7.6 Un stâlp din oţel, de secţiune inelară D=14 cm şi d = 10 cm este solicitat la compresiune de o forţă F = 500 kN, l = 4m. Pentru cazurile prezentate în figura următoare, să se determine coeficientul de siguranţă la flambaj dacă

2cr26

cmdaN2.113040 ,


Bibliografie

1. Atanasiu C., Radeş M., Tudose I., Radu Gh., Rezistenţa materialelor, Bucureşti, Ed. Institutului Politehnic, 1984 2. Boazu D., Beznea E.F., Chirică I., Încercări de rezistenţă ale structurilor, Iaşi, Ed. Cermi, ISBN 978-973-667-282-8, 2007 3. Boazu D., Rezistenţa Materialelor – Solicitari simple şi compuse ale barelor, Galaţi, Ed. EUROPLUS, 2006 4. Chirică, I., Beznea, E.F., Chirică, R., Plăci compozite, Ed. Fundaţiei Universitare Dunărea de Jos, Galaţi, ISBN (10) 973-627-337-7; ISBN (13) 978-973-627-337-7, 2006 5. Chirică, I., Beznea, E.F., Elasticitatea materialelor anizotrope, Ed. Fundaţiei Universitare Dunărea de Jos, Galaţi, ISBN 973-627-176-5, 2004 6. Boiangiu D., Georgescu C., Savu M., Probleme de rezistenţa materialelor, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1989 7. Dobrotă V., Atanasiu M., Rezistenţa Matrialelor, Bucureşti, Ed. Didactică şi pedagogică,1977 8. Marin C., Elemente de bază în rezistenta materialelor şi teoria elasticitatii, Tâgovişte, Ed Macarie, 2002, http://www.c14utcb.aek.ro/library/cursuri/diverse/rm_elem_de_baza_in_rm_si_te.pdf 9. Marin C., Popa F., Rezistenta Materialelor – probleme de examen, carte electronică http://fsim.valahia.ro/cursuri/Probleme%20de%20Rezistenta%20materialelor%202001.pdf 10. Mănescu T., Jiga G., Zaharia L., Bîtea Ctin, Noţiuni fundamentale de rezistenta materialelor, Reşita, Ed. „Eftimie Murgu” Orizonturi Tehnice, 2008 11. Popovici M.M., Rezistenţa materialelor – program de autoinstruire prin descoperire dirijată, Bucureşti, Ed. Tehnică, , 1977 12. Pană T., Iliescu N., Atanasiu C., Tudose I., Gheorghiu H., Radu Gh., Culegere de probleme din rezistenţa materialelor, vol 1, Bucureşti, Ed. Institutul Politehnic, 1984 13. Stoicescu L., Rezistenţa Materialelor, vol 1+vol 2, Brăila, Ed. Evrika, 2004

http://www.c14utcb.aek.ro/library/cursuri/diverse/rm_elem_de_baza_in_rm_si_te.pdf�

http://fsim.valahia.ro/cursuri/Probleme%20de%20Rezistenta%20materialelor%202001.pdf�

STRUCTURI COMPOZITE – APLICAŢII DE LABORATOR

108

14. Tudose I., Constantinescu D.M., Stoica M., Rezistenţa materialelor – aplicaţii, Bucureşti, Ed Tehnică, 1990

Date post:	09-Sep-2019
Category:	Documents
Upload:	others
View:	283 times
Download:	60 times

Beznea/desc/Rezistenta materialelor...

Documents