Transformata Fourier Continua (TFC) - iota.ee.tuiasi.roiota.ee.tuiasi.ro/~tns/Domeniul...

transcript

Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa

Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.1

Transformata Fourier Continua (TFC) TFC este instrumentul care face trecerea reprezentarii semnalelor din

domeniul timp in domeniul frecventa si invers.

Domeniul timp Domeniul frecventa

)(th )( fHTFC

))(()( thTFCfH ))(()( 1 fHTFCth

dtethfH ftj 2)()(

dfefHth ftj 2)()(

00 )()( thtp 2

)()( kk fHfP

Puterea semnalului la momentul t0 Puterea semnalului la frecventa fk

Energia semnalului in domeniul timp

Energia semnalului in domeniul frecventa

Transformata Fourier Continua (TFC) Reprezentarea semnalelor in domeniile timp si frecventa

)( fHTFC

TFC-1 )(th

Daca h(t) este un semnal continuu aperiodic, H(f) este o functie continua.

Figura 3.1

Transformata Fourier Continua (TFC) Reprezentarea semnalelor in domeniile timp si frecventa

)( fHTFC

|H(f)| poate fi amplitudinea sau valoarea efectiva a semnalului la frecventa fk

Figura 3.2

|H(f)|

f1 2f1 3f1 4f1 5f1 -f1 -2f1

-3f1 -4f1

Daca h(t) este un semnal continuu periodic, H(f) este o functie discreta care

se reprezinta prin spectrul de frecvente |H(f)| sau spectrul de putere |H(f)|2

Prin aplicarea TFC pe o singura perioada, se obtine dezvoltarea in serie

Fourier a semnalului.

Transformata Fourier Continua (TFC)

H(f) este o functie complexa.

))(Im())(Re()( fHjfHfH

)Im()(

)(Im)(Re)(

farctgf

efHfH fj

Transformata Fourier Continua (TFC) Exemplu

tpentru

tpentrubeth

dtebdtebefHthTFC

tfjaftjat

)())((

Timp Frecventa

Figura 3.3

Transformata Fourier Continua (TFC) Exemplu

2222 )2(

2arctan

22 )2()(

|H(f)|

θ(f) f

Figura 3.4

Transformata Fourier Continua (TFC)

2)())(( atfj bedfe

bthfHTFC

Timp Frecventa

TFC a unor functii uzuale

Ttdaca

TtTdacaAtw

1. Fereastra dreptunghiulara simetrica

T0 -T0

W(f) 2AT0

)2(sin22

)2sin(2)( 00

00 fTcAT

fTATfW

Figura 3.5

Figura 3.6

restin

TtdacaAtw

2. Fereastra dreptunghiulara nesimetrica

)2sin(2)(

fTATfW

)2sin(2)(

fTATfW

|W(f)|

|W(f)| 2AT0

Figura 3.7

Figura 3.8

restin

tdacaAtAth

3. Impuls Dirac

AAedtetAfH ftj

02)()(

Figura 3.9

Ath )(

4. Semnal constant

)()( 22 fAdteAdtAefH ftjftj

Figura 3.10

)2cos()( 0tfAth

5. Semnale periodice (cosinus)

)( 00 ffA

-f0 f0

Figura 3.11

)2sin()( 0tfAth

6. Semnale periodice (sinus)

Im(H(f))

2)( 00 ff

Figura 3.12

TFC a unor functii uzuale 7. Semnal pieptene

TfP 00

kTttp )()( 0 kZ

1 1 1 1 1 1 1

3T0 -T0

1/T0 1/T0 1/T0

0f 02 f 03 f0fFigura 3.13

TFC a unor functii uzuale 8. Semnal periodic limitat in timp (in fereastra)

)]()([)( 002 ffQffQTAfH

restin

TtTdacatfAth

)2cos()(

)2sin()(

A2T A2T

f0 -f0

Figura 3.14

Proprietatile TFC

1. Liniaritatea

Atunci TFC

Exemplu: adunarea unei componente continui la un semnal sinusoidal

)(tx )( fX

)(ty )( fY

)()( tbytax )()( fbYfaX

ktx )( )()( fkfX TFC

tfAty 02cos)( )(2

)( 00 ffA

fy TFC

A h(t)

-f0 f0 0

tfAkth 02cos)( )(2

)()( 00 ffA

Figura 3.15

Proprietatile TFC

2. Simetria

Daca TFC

Atunci

Exemplu: TFC a unei functii sinc

)(th )( fH

TFC )(tH

T0 -T0

h(-f) = h(f)

Figura 3.16

Proprietatile TFC

3. Scalarea in timp

TFC Atunci

Expandarea scarii in timp corespunde comprimarii scarii in frecventa.

TFC )(th )( fH

Proprietatile TFC

3. Scalarea in timp (exemplu)

T0 -T0

2T0 -2T0

3T0 -3T0

Figura 3.17.c

Figura 3.17.a

Figura 3.17.b

Proprietatile TFC

4. Scalarea in frecventa

TFC Atunci

TFC )(th )( fH

Proprietatile TFC

5. Deplasarea in timp

TFC Atunci )( 0tth 02 tfj

TFC )(th )( fH

T0 -T0

)2(sin22

)2sin(2)( 00

00 fTcAT

fTATfW

w(t-T0)

)2sin(2)(

fTATfW

Figura 3.18

Proprietatile TFC

6. Deplasarea in frecventa

TFC Atunci tfj

eth 02)(

TFC )(th )( fH

Proprietatile TFC

7. Formula inversa alternata

Atunci

2* )()(

dfefHth ftj

TFC )(th )( fH

* = conjugata complexa

dtethfH ftj 2)()(

Proprietatile TFC

8. TFC a semnalelor pare

Atunci

TFC )(th )( fH

dtftthfH )2cos()()(

)(th functie para )()( thth

H(f) functie pur reala si para

Exemplu: TFC a semnalului cosinusoidal

H(f) A

-f0 f0

)( 00 ffA

Figura 3.19

Proprietatile TFC

9. TFC a semnalelor impare

Atunci

TFC )(th )( fH

dtftthjfH )2sin()()(

)(th functie impara )()( thth

H(f) functie pur imaginara si impara

Exemplu: TFC a semnalului sinusoidal

2)( 00 ff

Im(H(f))

Figura 3.20

Proprietatile TFC

10. Teorema convolutiei in timp

Atunci

TFC )(tx )( fX

Convolutiei in domeniul timp ii corespunde produsul in domeniul frecventa

TFC )(th )( fH

)(*)()( thtxty )()()( fHfXfY TFC

Proprietatile TFC

Exemplu: TFC a convolutiei dintre o functie pieptene si o functie oarecare

y(t) = x(t)p(t)

T0 2T0 -2T0 -T0 0

* = t t

T0 2T0 -2T0 -T0

A A A A A

Y(f) = X(f)P(f)

Figura 3.21

Figura 3.22

Proprietatile TFC

11. Teorema convolutiei in frecventa

Atunci

TFC )(tx )( fX

Convolutiei in domeniul frecventa ii corespunde produsul in domeniul timp

TFC )(th )( fH

)()()( thtxty )(*)()( fHfXfY TFC

Proprietatile TFC

Exemplul 1: TFC a unui semnal esantionat.Explicarea erorii de alias utilizand teorema convolutiei in frecventa.

T0 2T0 -2T0 -T0

Y(f) = X(f)P(f) P(f)

1 1 1 1 1 1 1 1

x(t)p(t)

T T0 -T0

0 fmax -fmax

0f02 f 0f 02 f

0f 02 f20ffNq

Figura 3.23

Figura 3.24

Proprietatile TFC

T0 2T0 -2T0 -T0

Y(f) = X(f)P(f) P(f)

1 1 1 1

x(t)p(t)

T T0 -T0

0 fmax -fmax

0f02 f 0f 02 f

0f 02 f20ffNq

1 1 1 1

Exemplul 1: TFC a unui semnal esantionat.Explicarea erorii de alias utilizand teorema convolutiei in frecventa.

Figura 3.25

Figura 3.26

Proprietatile TFC 11. Teorema convolutiei in frecventa

Exemplul 2: TFC a unui semnal trunchiat in timp prin inmultirea cu o fereastra dreptunghiulara

h(t)w(t)

T -T T -T

-f0 f0

H(f)*W(f)

-f0 0 0

Figura 3.27

Figura 3.28

Proprietatile TFC

12. Teorema lui Parseval

Atunci

TFC )(tx )( fX

La trecerea din domeniul timp in domeniul frecventa,

energia semnalului se conserva

dffXdttx22

Legatura dintre Transformata Fourier si seriile Fourier

00 )2sin()2cos()(k

k tkfbtkfaats

Orice semnal periodic s(t) de frecventa f0 poate fi descompus in serie

Fourier dupa cum urmeaza:

a dttkftsT

)2cos()(2

dttkftsT

)2sin()(2

ak, bk

3f1 4f1 5f1 0 f1 2f1 6f1 Figura 3.29

00 )2cos()(k

kk tkfAAts

00 aA Componenta continua (valoarea medie) a semnalului

kkk baA 22 Amplitudinea componentei spectrale de ordin k

barctg Faza componentei spectrale de ordin k

3f1 4f1 5f1 0 f1 2f1 6f1 Figura 3.30

tkfjkects 02

forma complexa a descompunerii in serie Fourier:

tkfjk dtets

unde ck sunt coeficientii Fourier complecsi ai dezvoltarii, dati de relatia:

Dar TFC a semnalului s(t) pentru o perioada T0 este:

ftjpp dtetsfS )(

t Figura 3.31

Concluzii

1. Daca semnalul este periodic, spectrul sau este discret.

2. Valorile componentelor spectrale sunt valorile TFC ale lui s(t) pe o

perioada (sp(t)) , calculate in punctele kf0 si ponderate cu 1/T0.

s(t) p(t)

02T0T02T 0T 02T0T02T

1 1 1 1 1 =

pp kTttstptsts )(*)()(*)()( 0

pp ckfST

fSfPfSfS

)()()()( 0

Figura 3.32

Transformata Fourier Discreta (TFD) h(t)

0 T0 2T0

1 1 1 1 1 1 1 1

h(t)p(t)

1 1 1 1 1 1 1 1

H(f)*P(f)

Figura 3.33

Transformata Fourier Discreta (TFD) w(t)

H(f)*P(f)*W(f)

h(t)p(t)w(t)

N esantioane

Figura 3.33

Transformata Fourier Discreta (TFD)

H(f)*P(f)*W(f)

h(t)p(t)w(t)

h(t)p(t)w(t)] p1(t)

N esantioane

[H(f)*P(f)*W(f)]P1(f)

N esantioane N esantioane

Figura 3.33

Transformata Fourier Discreta (TFD) Trecerea de la domeniul continuu la domeniul discret

)(th )(kh

Continuu Discret

)( fH )(nH

t 10 Nk

Transformata Fourier Discreta (TFD) TFD este instrumentul care face trecerea reprezentarii semnalelor din

domeniul timpului discret in domeniul frecventelor discrete si invers.

)(kh )(nHTFD

))(()( khTFDnH ))(()( 1 nHTFDkh

dtethfH ftj 2)()(

dfefHth ftj 2)()(TFC

kh TFD

Δt=T 0

T = NT0

N eşantioane

|H(n)|

N eşantioane

f + f _

Rezolutia in timp

Rezolutia in frecventa

)1()(...;)1()1(;)1()0( kNHkHNHHNHH

NTTf 0

)1()();2()1();1()0( kNkNN

Figura 3.34

)(kh )(nHTFD

)()()(*)(

nHnHnSP

Spectrul de putere

Figura 3.35

Exercitii

1. Sa se calculeze TFD a semnalului periodic :

2. Sa se calculeze TFD a semnalului periodic :

restin

mnpentruns

41)( Zm

restin

mnpentruns

141)( Zm

Exercitii

3. Sa se calculeze TFD a secventei:

s(n) = {1, 0, 1, 0, 1, 0}

4. a) Sa se calculeze secventa obtinuta prin esantionarea semnalului

tts 200cos2)(

cu frecventa f0 = 600 Hz, pe parcursul unei perioade.

b) Sa se calculeze secventa S(n) = TFD (s(n)) si sa se reprezinte grafic spectrul

de amplitudine al semnalului.

c) Sa se verifice ca s(n) = TFD-1[S(n)]

d) Aceeasi problema pentru semnalul:

tts 200sin2)(

Concluzii

1. Esantionarea in domeniul timp cu perioada T0 conduce la periodizare in

domeniul frecventa cu perioada 1/T0 .

2. Esantionarea in domeniul frecventa cu perioada 1/T conduce la periodizare in

domeniul timp cu perioada T, unde T este lungimea ferestrei de trunchiere.

Figura 3.36

Concluzii

3. La N esantioane in domeniul timp corespund N esantioane in domeniul

frecventa.

4. Daca in procesul de esantionare nu este indeplinita teorema lui Shannon,

spectrele perioadelor in domeniul frecventa se suprapun, rezultand erori de

“alias”.

5. TFD a unui semnal este intotdeauna o functie complexa.

6. Primelor N/2 esantioane din spectru le corespunde domeniul frecventelor

pozitive, care este spectrul frecventelor reale.

7. Spectrul de amplitudine este simetric, iar cel al fazelor este antisimetric.

Proprietatile TFD

1. Liniaritatea

Atunci TFD

)(kx )(nX

)(ky )(nY

)()( kbykax )()( nbYnaX

2. Simetria

Daca TFD

Atunci

)(kh )(nH

TFD )(

N)( nh

Proprietatile TFD

3. Deplasarea in timp

Daca TFD

)(kh )(nH

TFD Atunci )( ikh N

4. Deplasarea in frecventa

Daca TFD

)(kh )(nH

TFD Atunci

)( inH

Proprietatile TFD

5. Formula inversa alternata

Daca TFD

)(kh )(nH

Atunci

6. TFD a semnalelor pare

Daca TFD

)(kh )(nH

Atunci

2cos)()(

nkkhnH

si )()( khkh

H(n) para si pur reala

Proprietatile TFD

7. TFD a semnalelor impare

Daca TFD

)(kh )(nH

Atunci

2sin)()(

nkkhjnH

si )()( khkh

H(n) impara si pur imaginara

Atunci TFD

)(kx )(nX

)(ky )(nY

)(*)( kykx )()( nYnX

Proprietatile TFD

Atunci TFD

)(kx )(nX

)(ky )(nY

)()( kykx )(*)(1

10. Teorema lui Parseval

Daca TFD

)(kx )(nX

Atunci

Eroarea de “leakage”

Corect

T = 2Ts

|H(n)|

h’(n)

T =1,5Ts

h’(n)

|H(n)|

Leakage

T = mTs

h’(n) = h(n)

h’(n) h(n) Figura 3.37

Eroarea de “leakage” - exemple

h’(n)

Figura 3.38

fereastra de trunchiere discontinuitati

Posibilitati de reducere a erorii de “leakage”

1. Achizitia intregului semnal (de la - la + )

2. Achizitia unui numar intreg de perioade

a) achizitie sincrona utilizand un multiplicator de frecventa

b) prelucrare off-line

3. Utilizarea ferestrelor de ponderare

Utilizarea ferestrelor de ponderare pentru reducerea

erorii de “leakage”

Fereastra de ponderare – o functie cu care se inmulteste semnalul de

analizat cu scopul reducerii discontinuitatilor la reconstruirea semnalului

din perioadele sale.

h(n)w(n)

Figura 3.39

Tipuri de ferestre de ponderare

1,.....1,0 Nn

restin

Nnpentrunw

Aplicatii: Pentru analiza semnalelor tranzitorii de durata mai mica

decat lungimea ferestrei.

Fereastra rectangulara

0 20 40 60 80 100n

Figura 3.40

nnw 2cos5,05,0)(

0 20 40 60 80 100n

Aplicatii: Pentru analiza semnalelor tranzitorii de durata mai mare

decat lungimea ferestrei, in aplicatii de uz general.

1,.....1,0 Nn

Fereastra Hann

(Hanning) Figura 3.41

Fereastra

Hamming

Aplicatii: Asemanator cu Hanning, insa fereastra are pe capete

valori nenule

0 20 40 60 80 100n

1,.....1,0 Nn

nnw 2cos46,054,0)(

Figura 3.42

Fereastra

exponentiala

Aplicatii: Pentru analiza semnalelor tranzitorii a caror durata este

mai lunga decat lungimea ferestrei. Forma semnalului

trebuie sa fie tot exponentiala.

1,.....1,0 Nn

0 20 40 60 80 100n

f = valoarea finala

Figura 3.43

nnw 4cos198,02cos52,0281,0)(

Fereastra

“flat-top”

Aplicatii: Pentru analiza semnalelor care prezinta componente

singulare in domeniul frecventei. Are cea mai buna precizie

in privinta amplitudinii.

1,.....1,0 Nn

0 20 40 60 80 100n

Figura 3.44

nnw 4cos08,02cos5,042,0)(

Fereastra

Blackman

Aplicatii: Pentru detectarea frecventelor indepartate si de amplitudini

diferite.

1,.....1,0 Nn

0 20 40 60 80 100n

Figura 3.45

aInw 21,

Fereastra

Kaiser - Bessel

Aplicatii: Pentru detectarea a doua componente dintr-un semnal de

frecvente foarte apropiate, dar cu amplitudini foarte diferite.

1,.....1,0 Nn

0 20 40 60 80 100n

= 1 = 0,2

I0 = functia Bessel de prima speta

Figura 3.46

Fereastra

triunghiulara

(Barlett)

1,.....1,0 Nn

0 20 40 60 80 100

Figura 3.47

0 20 40 60 80 100

Kaiser-Bessel (β=1)

rectangulara

Barlett

Flat top

Hamming Blackman

Hanning

Figura 3.48

Alegerea tipului de fereastra

Aplicatia Tip fereastra

Semnale a caror durata este mai mica decat lungimea

ferestrei

Rectangulara

Semnale a caror durata este mai mare decat lungimea

ferestrei

Exponentiala, Hanning

Aplicatii de ordin general Hanning

Separarea a doua tonuri de frecvente foarte apropiate dar

diferite ca amplitudine

Kaiser-Bessel

Separarea a doua tonuri de frecvente foarte apropiate si

amplitudini comparabile

Rectangulara

Masurarea cu precizie a amplitudinii unei frecvente singulare Flat top

Forme de unda sinusoidale si combinatii ale acestora Hanning

Semnale tranzitorii exponentiale Exponentiala

Forme de unda sinusoidale la care masurarea amplitudinii

trebuie facuta cu precizie

Flat top

Exemple de aplicare a ferestrelor

0 5 10 15 20 25

f = 40 Hz; A = 20

f = 50 Hz; A = 100

0 5 10 15 20 25Fereastra rectangulara

Figura 3.49

Figura 3.50

Exemple de aplicare a ferestrelor

0 5 10 15 20 25

Fereastra Hann

Fereastra Hamming

Fereastra Barlett

Figura 3.51

Figura 3.52

Figura 3.53

Transformata Fourier Continua (TFC) - iota.ee.tuiasi.roiota.ee.tuiasi.ro/~tns/Domeniul...

Documents