Relatii metrice în triunghiul

dreptunghic

Teorema înălţimiiTeorema cateteiTeorema lui Pitagora

De ce trebuie să învăţăm aceste teoreme?

Aceasta teoreme ne ajută să calculam lungimile unor segmente.

OBSERVAŢIE: Aceste teoreme se pot aplica doar în triunghiul dreptunghic.

SĂ NE REAMINTIM CÂTE CEVA…

1. Se dă triunghiul ABC, dreptunghic în A.

a) Cum se numeşte latura AC? b) Cum se numeşte latura BC? c) Cum se numeşte latura AB?

RĂSPUNS:

AC - catetă BC - ipotenuză AB - catetă

Problemă

1. Se dă triunghiul ABC, dreptunghic în A. - duceţi înălţimea corespunzătoare laturii

AC - duceţi înălţimea corespunzătoare laturii

AB - duceţi înălţimea AD corespunzătoare

laturii BC

Aşa trebuia să procedaţi:

A C

B

D

2. Cine este proiecţia catetei AB pe ipotenuza BC?

RĂSPUNS:

BD.

2. Cine este proiectia catetei AC pe ipotenuza BC?

RASPUNS:

DC.

Enunţ: TEOREMA ÎNĂLŢIMII

Într-un triunghi dreptunghic pătratul lungimii înălţimii duse din vârful

unghiului drept este egală cu produsul lungimii proiecţiilor

catetelor pe ipotenuză.

DCBDAD 2

B C

A

D

m n

Consideram un triunghi ABC dreptunghic în A şi construim AD, înălţimea corespunzătoare unghiului drept. ( D este luată pe dreapta BC) Presupunând cunoscute lungimile proiecţiilor catetelor pe ipotenuză: BD=m, CD=n, ne intrebăm cum putem afla lungimea înălţimii AD.

Considerăm un triunghi ABC dreptunghic în A şi construim AD, înălţimea corespunzătoare unghiului drept. ( D este luată pe dreapta BC)

D

A

B C

m n

Demonstrăm că triunghiurile ABC, DBA, şi DAC sunt asemenea. (unghiurile ADB şi CDA sunt congruente deoarece sunt drepte şi unghiurile BAD şi ACD sunt congruente deoarece au acelaşi complement şi anume unghiul CAD)

Pe noi ne interesează asemanarea dintre triunghiurile ABD şi CAD pentru că acestea au pe AD catetă. ∆ABD~ ∆CAD ( Caz I de asemanare) Scriind proporţionalitatea laturilor obţinem:

DCBDAD 2

Enunţ: TEOREMA CATETEI

Într-un triunghi dreptunghic o catetă este medie geometrică între

ipotenuză şi proiecţia acestei catete pe ipotenuză.

CDBCAC

BDBCAB

2

2

B C

A

D

Consideram un triunghi ABC dreptunghic în A şi construim AD, înălţimea corespunzătoare unghiului drept. ( D este luată pe dreapta BC) Presupunând cunoscute lungimile proiecţiilor catetelor pe ipotenuză: BD=m, CD=n, ne intrebăm cum putem afla lungimea catetei AB.

Considerăm un triunghi ABC dreptunghic în A şi construim AD, înălţimea corespunzătoare unghiului drept. ( D este luată pe dreapta BC)

D

A

B C

m n

Demonstrăm că triunghiurile ABC, DBA, şi DAC sunt asemenea. (unghiurile ADB şi CDA sunt congruente deoarece sunt drepte şi unghiurile BAD şi ACD sunt congruente deoarece au acelaşi complement şi anume unghiul CAD)

Pe noi ne interesează asemanarea dintre triunghiurile ABD şi CAD pentru că acestea au pe AD catetă. ∆ABD~ ∆CAD ( Caz I de asemanare) Scriind proporţionalitatea laturilor obţinem:

BCBDAB 2

Enunţ: TEOREMA LUI PITAGORA

Într-un triunghi dreptunghic pătratul ipotenuzei este egal cu suma

pătratelor catetelor.

222 ACABBC

B C

A

D

Considerăm un triunghi ABC dreptunghic în A şi construim AD, înălţimea corespunzătoare unghiului drept. ( D este luată pe dreapta BC) Presupunând cunoscute lungimile catetelor şi lungimea ipotenuzei: AB=a, AC=b, BC=c,demonstrăm teorema.

Considerăm un triunghi ABC dreptunghic în A şi construim AD, înălţimea corespunzătoare unghiului drept. ( D este luată pe dreapta BC)

D

A

B C

Scriem aria triunghiului ABC în două moduri:

222 ACABBC

22

BCADACAB

Să rezolvăm probleme!

Problema 1.

Aflaţi lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei unui

triunghi dreptunghic ştiind că proiecţiile catetelor pe ipotenuză au

dimensiunile de 4cm si 6cm.

Problema 2.

Triunghiul ABC este dreptunghic isoscel cu baza BC. Aflaţi lungimea înălţimii AD, ştiind că BC este 6 dm.

Problema 3.

ABCD este un dreptunghi iar E este intersecţia dreptei AB cu

perpendiculara în C pe AC. Calculaţi AE, ştiind că AB=3cm şi AD=2cm.