Post on 04-Jun-2018
transcript
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
1/74
Prof. univ. dr. ing. Ghiu Dumitru
Geodezie
fizic
Universitatea "Transilvania" din Braov
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
2/74
2010
Introducere
Manualul de fa reprezint cursul universitar pe care urmeaz s-l predau ncepnd cu anul
universitar 2011-2012 la Universitatea Transilvania din Braov.!ursul de fa este o adaptare a
manualului universitar Geodezie i gravimetrie geodezic, pulicat de autor n anul 1#$% laEditura
Didactic& 'ucrarea poate fi util i altor studeni care audiaz prele(eri de Geodezie fizic, precum i
specialiilor interesai n acest domeniu&
)olumul de pa(ini al manualului este n concordan cu numrul de ore prevzute n viitorul
plan de nvmnt* ceea ce a impus o anumit selecie a prolematicii aordate& +in acest motiv* n
manual nu au fost cuprinse unele proleme mai deoseite de (eodezie fizic ,dezvoltri n serii
elipsoidale* determinarea practic a (eoidului &a&* situaii n care s-au fcut trimiteri la lucrri de
specialitate mai e.tinse&
+in acelai motiv* la te.tul propriu / zis al manualului s-au adu(at un numr de Anexen care
sunt e.puse* la un nivel accesiil studenilor* noiuni de Alger sau Analiz matematic, folosite
frecvent n manual&
!unotinele cptate de ctre studeni dup audierea prele(erilor i efectuarea lucrrilor
practice* vor fi utile la nele(erea coninutului i altor discipline din planul de nvmnt cum ar fi
Geodezia matematic, !roiec"ii cartografice .a. Manualul cuprinde e.emple numerice i aplicaii* care
au rolul de a completa i clarifica cunotinele de natur teoretic&
in s aduc mulumiri deoseite +oamnei prof&Monica etrule ,Mota* care a rspuns pozitiv
solicitrii mele de a prelua redactarea desenelor din manual&
'ucrarea a fost scris la 3tutt(art* n perioada de documentare din vara anului 200#* finanate de
#unda"ia Alexander von $umoldt din Germania* creia i aduc calde mulumiri i pe aceast cale&
Autorul
%tuttgart, &n vara anului '(()
2
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
3/74
Geodezia este tiina msurrii
i reprezentrii suprafeei
Pmntului
(F. R. Helmert 1880
GEODEZIE DEFINIIE, OBIECT, SCURT PRIVIRE ISTORIC
+efiniia dat (eodeziei de F. R. Helmertmerit toat atenia* nu numai pentru vec4imea sa ct
mai ales pentru calitile sale* de (eneralizare i de e.primare simpl* dar edificatoare* a oiectului de
studiu al (eodeziei& +e menionat c definiia lui Helmert este discutat* c4iar disputat* n multe
cercuri de specialitate* dar acceptat* pn la urm* aproape fr e.cepii& Tendinele de modificare
e.istente n trecut* ca i n prezent* a acestei definiii* au ntrunit la fel de multe contraar(umente* astfel
nct propunerile respective au fost retrase& 5n prezent* astfel de 6completri7* se refer la necesitatea de
a cuprinde n definiia (eodeziei i preocupri caracteristice* prin amploarea lor* pentru ultimele decenii*
cum ar fi
- determinarea potenialului (ravitii8
- urmrirea variaiei n timp a parametrilor definitorii pentru forma i dimensiunile mntului8
- determinarea deplasrilor recente ale scoarei terestre i* implicit* variaia n timp a poziiei
punctelor (eodezice8
- carto(rafierea automat &a&m&d&
+ar* dup o analiz mai atent* de coninut* se constat c definiia dat de Helmertnu e.clude
aceste aspecte* i nici altele* de acelai ordin& +esi(ur* evoluia (eodeziei n decursul unui secol i* mai
cu seam* n epoca modern* este de necontestat* att prin perfecionrile survenite n dezvoltarea
aparaturii i te4nolo(iilor proprii sau din domeniul prelucrrii datelor ct i prin le(turile din ce n ce
mai comple.e* de natur interdisciplinar* cu multe alte ramuri ale tiinei i te4nicii& +ar* n ultim
analiz* acestea nu au modificat oiectul de studiu al (eodeziei* precizat prin definiia lui Helmert* ci au
reprezentat ntotdeauna noi posiiliti* mai profunde i de multe ori de randament superior* de aordare
%
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
4/74
i rezolvare a prolematicii comple.e reprezentate de msurarea i re*rezentarea su*rafe"ei
!m+ntului&
Tratarea prolematicii (eodeziei n ansamlul su este realizat n conte.t cu alte discipline din
planul de nvmnt al specializrii de cadastru i msurtori terestre* cum ar fi msurtori geodezice
*rin unde* cartografia matematic &a&* fiecrei discipline revenindu-i* prin pro(ramele analitice
corespondente* roluri ine determinate n ceea ce priveste oiectul de studiu i metodele de rezolvare aprolemelor aordate&
%intetiz+nd* putem afirma c din multitudinea prolemelor tiinifice i te4nice pe care le are de
rezolvat (eodezia* cursul care va fi predat pe parcursul a trei semestre va trata doar unele aspecte* i
anume
- elementele de definire a formei i dimensiunilor mntului8
- (eodezia matematic8
- crearea reelelor (eodezice de stat i de ndesire&
+e semnalat c* nu de puine ori* una dintre prolemele fundamentale ale (eodeziei* i anume
cea le(at de determinarea formei i dimensiunilor !m+ntului* a fost prezentat ca defini"ie a
(eodeziei* ceea ce evident este (reit* deoarece limiteaz domeniul i oiectul de studiu al acestei tiine&
!u alte cuvinte* prin (eodezie nu putem nele(e numai acest aspect* dei este fundamental&&
9ezolvarea prolemei fundamentale a (eodeziei* i anume determinarea formei i
dimensiunilor mntului* se poate realiza* n principiu* prin urmtoarele metode
- metode geometrice* care au constat la nceput din msurtori de arce de meridian i de
paralel* otinute n reele de trian(ulaie n scopul deducerii parametrilor de az care
definesc suprafaa de referin8
- metode dinamice,fizice8
- metode astronomogeodezice i cu sateli"i artificiali ai !m+ntului.
:stfel de lucrri comple.e presupun nele(eri i cooperri internaionale care sunt coordonate
de Uniunea Interna"ional de Geodezie i GeofizicUIGG* care are reuniuni din patru n patru ani&
Uniunea cuprinde asociaii care au ca oiect planeta!m+nt
- Asocia"ia Interna"ional de Geodezie AIG* ,care studiaz metodele de msurare ireprezentare a suprafeei mntului / care este prima asociaie fondat8
- Asocia"ia Interna"ional de Geofizic,care analizeaz structura straturilor interioare ale
mntului i* implicit* resursele naturale8
- Asocia"ia Interna"ional de -ulcanologie8
- Asocia"ia Interna"ional de ceanografie/
;
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
5/74
- Asociatia Internationala de %eismologie/
- &a&
5n sperana c oiectul de studiu al (eodeziei* n ansamlul su* a fost suficient de clar definit*
fiind marcat n acelai timp i poziia manualului n acest ansamlu* considerm ca este instructiv s
prezentm unele momente din evolutia cunotin"elor referitoare la forma i dimensiunile !m+ntului* pe
de o parte* precum i la evoluia crerii reelelor (eodezice n (eneral i pe teritoriul patriei noastre nspecial* pe de alt parte&
rimele afirmaii scrise n le(tur cu forma mntului ,ima(inat ca un disc sunt le(ate de
istoria Mes!t"m#e# ,sec&
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
6/74
P#"r%& :cesta determin* pe aza oservaiilor ntr-o reea de trian(ulaie desfurat n meridianul
P"r#s(l(#, ntre M"l-#s#&e i Am#e&s* lun(imea sfertului de meridian ca fiind 1000# Dm& :cest
rezultat este considerat ca *rima determinare din istoria geodeziei, care *oate fi com*arat cu
rezultatele actuale, datorit *reciziei de msurare i metodelor folosite
D#s!(t" Net& C"ss#
5n anul 1>$@* Net& fundamenteaz teoria sa asupra atrac"iei universale pe aza creiadeduce c forma mntului este reprezentat de un elipsoid* cu turtire la poli ,turtirea f estimat n
lucrrile sale ar fi e(al cu 12%1&
a
"af
=
5n sc4im* msurtorile efectuate de +. D. C"ss#,1>$%-1@1$ conduc la un rezultat surpriz
pentru lumea tiinific de atunci mntul avea forma unui elipsoid* ns cu turtirea la ecuator* adic
cu turtirea ne(ativa f F / 1#?&
:ceste rezultate se datorau erorilor sistematice de msurare i imperfeciunii metodelor de
prelucrare a oservaiilor effectuate&
>
a
a
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
7/74
+isputa a fost clarificat mult mai trziu* prin efectuarea unor noi msurtori* ntreprinse la
nsrcinarea Academiei de tiin"e din P"r#s n cadrul urmtoarelor dou mari e.pediii astronomo-
(eodezice
- Per( ,1@%?-1@;; / emisfera sudic8
/ 0"!",1@%>-1@%@ / emisfera nordic&
Urmarea acestor e.pediii a fost confirmarea afirmaiilor lui Net&* turtirea la polideterminat atunci avnd valoarea 1210&
Msurtorile (raduale au continuat i n secolele & )aloarea merit o atenie deoseit fiind e.trem de apropiat de valoarea
recomandat n anul 1#$0 de AIG,12#$*2>* dovedind o te4nic de msurare i de prelucrare cu totul
remarcaile pentru acea vreme&
5ncepnd cu anul 1#?@* n (eodezie se folosesc rezultatele oinute cu autorul sateliilor
artificiali (eodezici ai mntului pentru determinarea formei i dimensiunilor planetei noastre&
5n ara noastr* nceputul utilizrii trian(ulaiei este le(at de desfurarea lucrrilor de ntocmire
a 4rilor diverselor re(iuni ale rii& Gste de remarcat faptul c nvmntul (eodezic referitor la
aceast metod a premers acestor lucrri* putndu-se meniona n acest sens leciile deg1eodeziede la
coala lui G$. As"$#,1$1% i cea a lui G$. 0"3"r,1$1$&5n Tr"&s#l-"" i n "r" Rm2&e"s4* primele lucrri de trian(ulaie s-au desfurat la
milocul secolului al
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
8/74
120000 i pentru celelalte re(iuni ale rii a fost oiectivul principal , Ml%-"ntre anii 1$@%-1$#%*
D5r'e"1$$0-1$$;* M(&te" %e Est1$#%-1$##&
Gste de menionat c ara noastr fcea parte din anul 1$>1 din Asocia"ia Euro*ean *entru
msurtori graduale* precursoare a actualeiAsocia"ii Interna"ionale de Geodezie* su impulsul creia s-
au desfurat primele lucrri de trian(ulaie la milocul secolului al @ n
Tr"&s#l-"" i "r" Rm2&e"s4* terminate cu rezultate remarcaile pentru acea vreme&lanul unei trian(ulaii moderne pentru ntrea(a ar este conceput n 1#%0* prevzndu-se
printre altele trecerea la elipsoidul internaional H"61r%,1#0#* proiecia stereo(rafic* desfurarea
reelei de trian(ulaie n lun(ul meridianelor i paralelelor& 5n acelai sens treuie menionat reeaua de
nivelment realizat dup primul rzoi mondial i compensat ri(uros n anul 1#%%&
+up anul 1#?1 se poate vori de o nou perioad n dezvoltarea (eodeziei romnesti& 5n acest
an s-a adoptat elipsoidul 7r"s-s8#,1#;2 i sistemul de proiecie G"(ss/7r9'er* crendu-se o nou
reea de trian(ulaie de stat de ordinul =-=) i o reea de ridicare de ordinul )& 9eeaua de trrian(ulaie
astronomo-(eodezic* primordial* a rii a fost continuu muntit prin efectuarea unor msurtori
(eodezice* astronomice* (ravimetrice de mare precizie* potrivit principiilor moderne de msurare i
compensare a vastelor reele de trian(ulaie& 5n aceeai perioad de timp ,1#??-1#>$ s-a creat reeaua
modern de nivelment (eodezic din ara noastr& !oordonatorul i realizatorul principal al acestor ample
lucrari a fostDirec"ia To*ografic 2ilitar& Un rol important n dezvoltarea (eodeziei contemporane
romneti revine* de asemenea* Institutului de Geodezie, #otogrammetrie, 3artografie i rganizarea
Teritoriului* nfiinat n anul 1#?$&
+ei nu are le(atur direct cu disciplina geodezie* apreciem c este necesar s se punctezerolul acesteia n activitatea de cadastrucare constituie specialitatea de az a seciei&
3adastrulreprezint sistemul unitar i oli(atoriu de eviden te4nic* economic i uridic a
terenurilor* cu sau fr construcii* pe ntre(ul teritoriu al rii* indiferent de destinaia lor i de
proprietar&
Baza le(al de or(anizare i funcionare n prezent a !adastrului i !rii Hunciare* ca instituii
ale statului* este re(lementat de Iotrrea Juvernulului 9omniei privind or(anizarea si funcionarea
:(eniei Kaionale de !adastru i ulicitate =moiliar pulicat n Monitorul Lficial al 9omniei la #
au(ust 200;&
5n aza le(ii menionate* cadastrul / constituie n e.clusivitate atriutul :(eniei Kaionale de
!adastru i ulicitate =moiliar,ANCPI&
rin Lficiile de !adastru i ulicitate =moiliar,OCPI* or(anizate la nivelul udeelor i al
Municipiului B((re:t#* precum i prin 3entrul 4a"ianal de Geodezie, 3artografie, #otogrametrie i
$
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
9/74
Telede"ectie ,CNGCFT* or(anizat la nivel central* ca uniti de specialitate din suordineaANCPI* se
asi(ur ntocmirea documentelor cadastrale scrise* desenate isau stocate pe suporturi informatice&
Jeodezia particip la dezvoltarea i modernizarea cadastrului prin realizarea* modernizarea i
ntreinerea unui sistem de referin necesar pentru poziionarea oricrui oiect sau fenomen n spaiul
terestru& 3istemul rspectiv este materializat n fiecare ar / inclusiv Rm2"/ prin0e"eaua 4ational
Geodezic de 0eferin"* format dintr-un ansamlu de puncte (eodezice repartizate ct mai uniformposiil pe ntrea(a suprafa a teritoriului naional* determinate n sisteme de coordonate
corespunztoare& :ceast reea reprezint infrastructura care permite pozitionarea e.act n spaiul
terestru a fiecrei parcele* a activitilor desfurate n teritoriu* precum i a studiilor necesare proiectrii
i e.ecutrii oiectivelor de investiii din toate ramurile economiei naionale&
Datele Geodezice de 0eferin"sunt acele mrimi care conduc la ncadrarea reelei (eodezice
considerate n sistemul de coordonate corespondent& 5n prezent se folosesc n Rm2" urmtoarele
Date Geodezice de 0eferin" oficiale* care urmeaz a se folosi n lucrrile de specialitate care se
desfaoar n prezent n ara noastr* inclusiv cele e.ecutate n domeniul cadastrului&
Re;e"(" %e Tr#"&'(l";#e %e St"t
- eli*soidul de referin" 7r"s-s8# ,1#;0* orientat pe pilastrul mare al Lservatorului
astronomic din P(l8-5Fe%er";#" R(s468
- *lanul de *roiec"ie stereografic1#@0 ,cu plan unic secant Br":-8
Re;e"(" %e N#-elme&t %e St"t
- sistemul de nivelment M"re" Ne"'r4 ?* cu punct zero fundamental n reperul de
adncime proteat situat n 3a*ela militar din 2unici*iul C&st"&;"8
- sistemul de altitudini normale ,Ml%e&s8#.
9eeaua de Trian(ulaie de 3tat de ordinele =* ==* === i =) a fost constituit* la momentul iniial*
din cca 1@1?0 puncte i completat cu o reea de ndesire de ordinul )* constituit din cca ;@00 puncte&
e aceast reea se pot spriini operaiunile cadastrale* ncepnd de la nivelul parcelelor* pn la nivelul
diviziunilor administrativ-teritoriale i la nivel naional& recizia n poziie planimetric ,.* N pentru
reeaua de trian(ulaie de stat* n ansamlul su* este estimat la 10-1? cm* asi(urndu-se o densitate
iniial de apro.imativ 1 punct la 20 Dm2&Gste de menionat c n multe municipii e.ist reele (eodezice de spriin* determinate cu
precizii mai mari dect cea specificat pentru reeaua (eodezic de stat& :ceste reele au fost create* n
decursul anilor* de ministere economice sau de administraiile locale* pentru scopuri proprii& 9ezultatele
finale au fost predate* de re(ul* oficiilor udeene care rspundeau la acea vreme de activitile
(eodezice* pentru a fi utilizate pe plan local&
#
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
10/74
+in informaiile oinute n teritoriu* cca ?0E din punctele (eodezice menionate mai nainte
au fost distruse* astfel nct* dei reeaua de trian(ulaie a fost ine confi(urat iniial* se situeaz n
prezent su nivelul standardelor internaionale& +in aceeste motive* sunt necesare fonduri anuale pentru
refacerea i completarea retelei (eodezice* n zonele considerate ca prioritare de ctre fiecare ude* prin
utilizarea te4nolo(iilor moderne* care sunt mai puin costisitoare* comparativ cu te4nolo(iile clasice&
9eeaua de Kivelment de 3tat de ordinele =* ==* === i =) a fost constituit* la momentul iniial*din cca 1;000 repere i mrci de nivelment* completat cu o 9eea de ndesire de ordinul )* constituit*
la momentul iniial* din cca 2?0 repere i mrci de nivelment&
9eeaua altimetric de ordinul = a 9omniei acoper uniform teritoriul rii* fiind una dintre
cele mai apreciate din E(r!".!4iar dac multe mrci isau repere de nivelment au fost distruse*
reeaua e.istent este suficient de dens pentru a fi folosit ca reea de spriin n efectuarea lucrrilor
realizate n diverse sectoare ale economiei naionale&
5n anii de dup 9evoluia din 1#$#* s-a introdus* sporadic* te4nolo(ia de determinare a
punctelor (eodezice n sistemul *ozi"ionrii gloale GPS ,Gloal Positioning S7stem& G.ist* pe
teritoriul Rm2e#* o serie de puncte determinate cu te4nolo(ia GPS* att n scopuri civile ct i
militare* aparinnd unor reele europene* dar care nu sunt constituite nc ntr-o reea GPSomo(en pe
teritoriul rii&
+e aceea este necesar realizarea 9eelei Kaionale GPSa Rm2e#* compatiil cu reelele
similare e.istente de mai muli ani n celalte ri din E(r!"* inclusiv n unele ri vecine& 5n anul 200%*
ICGFCa nceput crearea acestei reele* cu determinarea unui numr de cca %00 puncte (eodezice& 3e
preconiza c la finele anului 200? reeaua s cuprind un numr de cca %?00 puncte (eodezice* uniformrspndite n teritoriu i cu multiple le(turi la actuala reea (eodezic de spriin precum i la staii GPS
permanente* situate n mai multe ari europene* ceea ce* din pcate* nu s-a realizat nc&
10
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
11/74
CAPITO0U0 %@$ Dm?1?0 Dm;@00 Dm2#00 Dm
#$; Dm
%0 Dm
0
F 2*@ (cm-%
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
25/74
5ntr-o prim zonare* de ordinul =* structura intern a mntului este reprezentat de % (eosfere
crusta terestr* mantaua terest i nucleul& 'imitele dintre aceste sfere se numesc discontinuiti de
ordinul = discontinuitatea Mo4oroviZiZ ,denumit curent discontinuitatea Mo4o i respectiv
discontinuitatea Lld4am ori Jutener(&
3e apreciaz c discontinuitatea Mo4o se afl la o distan medie de %% Dm* punctndu-se* ns*
i variaii concave de ;0-?0 Dm* su locurile continentale* i ondulaii conve.e de pn la ? Dm* su
zonele oceanice&
!rusta terestr este constituit din dou strate stratul azaltic continuu i stratul (ranitic
discontinuu* amele de (rosimi variaile& +easupra acestor strate urmeaz depozitele stratului
sedimentar* care are* de asemenea* (rosimi variaile&
entru stratul (ranitic se accept densitatea (F 2*@ (cm%* iar pentru calcule mai precise [F 2*>@ (cm%&
5n continuare pot fi mentionate i sumpriri* respectiv discontinuiti de ordinul ==* a cror
poziionare pe vertical n raport cu scoara terestr nu este unanim acceptat n lucrrile de specialitate&
2?
F ?*>> (cm-%G(te&5er'
Ol%$"m
Hi(& 2&2& )ariaia densitii ctre interiorul mntului&
F 11*@> (cm-%
F 1; (cm-%
F 1> (cm-%
F ;*>; (cm-%
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
26/74
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
27/74
&0202 dvGdm
G#vv
==
,21$
!omponentele pe a.ele de coordonate vor fi
*
8
8
2
2
2
dvcz
G#
dv7G#
dvax
G#
v
z
v
7
v
x
=
=
=
,2&1#
unde
dv da d ac . ,2&20
.
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
28/74
v F rp * ,2&22
rezult
0p2rrL != * V F r p] ,2&2%
unde - r peste raza paralelului8
-0*r este versorul razei paralelului8
- este viteza de rotaie a mntului&
)iteza un(4iular medie* n cazul mntului* recomandat de :=J 1#$0 este
F @2#211? 10-11rad s-1& ,2&2;
+in relaia ,2&2% se oserv c fora centrifu( este variail pe suprafaa mntului* avnd o
valoare ma.im pentru punctele situate pe ecuator* unde r F a i fiind nul pentru poli* unde r F 0&
entru a puncta ordinul de mrime* se poate reine raportul
%00
1
H
V
ec
ec
. ,2&2?
!omponentele forei centrifu(e -V*V*V, zN.L vor fi
&0cos,
8cos,
8,cos
2
22
==
==
===
3E,L
6E,L
),L
FF
7FF
xr
xrFF
z
7
*
*x
,2&2>
.
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
29/74
&
8
8
2
%
2
%
2
%
zdvaz
GF#g
7dv7
GF#g
xdvax
GF#g
v
zzz
v
777
v
xxx
+
=+=
+
=+=
+
=+=
,2&2$
.. Pte&;#"l(l 'r"-#t4;##. entru descrierea unui cmp de fore se utilizeaz o funcie introdus
0"!l"e,sec&
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
30/74
otenialul ) este o funcie continu n spaiu i tinde ctre zero* atunci cnd punctul atras este situat
la infinit* la fel cu funcia
1* cnd &
rin particularizare* n cazul punctului atras de mas e(al cu unitatea* potenialul de atracie al unui
punct surs de mas m* situat la distana * va fi
Gm-= &
,2&%;
+in definiia ,2&%1 se oserv apartenena funciei ) la un anumit punct !5x,7,z6 i rolul
punctului sursA5a,,c6.
+erivata parial n raport de . a funciei ,2&%% este
&1
dvx
Gx
-
v
=
,2&%?+eoarece
*1
1
1
22
ax
xx
- ==
,2&%>
se oine
( ) ( ) &*coscos% C#####dvax
Gx
-xx
v
===
=
,2&%@
5n mod analo( rezult
( )
( ) &*cos
8*cos
A###z
-
B###7
-
z
7
==
==
,2&%$
!nd sunt ndeplinite relaiile ,2&%@ i ,2&%$ se consider c#estegradient de - i se scrie
#F (rad - ,2&%#
sau # - ,
,2&;0
unde este o*eratorul lui H"m#lt&
* :z
G7
ix
+
+
=
,2&;1
%0
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
31/74
iar :Gi ** sunt versorii pe a.ele de coordonate .* N* z& rin urmare - este un vector
&N
#:z
-
-i
x
--:
z
7i
x-
=
+
+
=
+
+
=
,2&;2
Semnificaia fizic a potenialului.Glementul diferenial d) al potenialului de atracie* n cazul
a dou puncte infinit apropiate 3,.*N*z i 3,. d.* N dN* z dz de mase e(ale cu unitatea* situate la
distana ds este
dzz
)dN
N
)d.
.
)d)
+
+
= * ,2&;%
unde
-**cos,
-8*cos,
-8*cos,
Adsdz
Bdsd7
Cdsdx
s
s
s
=
=
=
,2&;;
unde s reprezint o direcie oarecare din spaiul (ravific&
!onsidernd i relaiile ,2&;%* ,2&%@* ,2&%$ i ,2&;; rezult
-Q*cos,-Q*cos,-P*cos,-P*cos,-
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
32/74
+in e.presia ,2&;$ rezult c elementul infinit mic de potenial (ravitational d) reprezint lucrul
mecanic pe care l efectueaz fora de atracie H pentru deplasarea dintr-un punct * de mas e(al cu unitatea
ntr-un punct 9* situat la distana ds&
serva"ie.entru dou puncte ,de mas e(al cu unitatea i respectiv 3 ,punct surs* de masa m
situate la o distan + oarecare* potenialul cmpului de atracie va fi reprezentat de lucrul mecanic
===3
3
33* ))d)d+*cos,H' DF &
,2&;#
resupunnd c ,+ * atunci )0* conform cu serv"iade su relaia ,2&%%* rezult
prin urmare
%% -; =* & ,2&?0
!oten"ialul c+m*ului for"ei de atrac"ie &ntrun *unct este egal cu lucrul mecanic efectuat de for"a de
atrac"ie *entru de*lasarea unit"ii de mas de la infinit &n *unctul dat. Aceast semnifica"ie este s*ecific
*oten"ialului gravita"ional, i nu &n general/ &n *articular, aceasta nu este valail nici *entru *oten"ialul
cam*ului gravit"ii H.
... Pte&;#"l(l 1r;e# e&tr#1('e.otenialul din care deriv fora centrifu( este reprezentat
de urmtoarea funcie
N.,2
` 222
+
= & ,2&?1
5n adevr* se oserv c
0Vz`8V
N`8V
.`
zN. ===
=
& ,2&?2
sau mai (eneral
&gradF ==
,2&?%
... Pte&;#"l(l 'r"-#t4;##.5n apro.imaia folosit pn n prezent
_ F ) `* ,2&?;
rezult*`grad-gradHHgradg +=== ,2&??
sau
N.,29
JM_ 22
2
++= ,2&?>
Dac se are &n vedere *oten"ialul gravit"ii H, formula 5'.JK6 devine9
%2
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
33/74
cos,((_ds
d_s3
s,'=== &
,2&?@
..Pte&;#"l(l %e "tr";#e "l (&r r!(r# s#m!le
!orpurile simple sunt corpurile ale cror (eometrie este definit& 3e presupune* de asemenea* caceste corpuri au densitatea [ omo(en* adic [ F [,+* unde + este distana de la centrul maselor surs
la punctul atras& entru simplificarea raionamentelor se consider sistemul rectan(ular .* N* z ntr-un
caz particular i anume ,Hi(& 2&;& a.a z s treac prin punctul atras ! * de mas e(al cu unitatea* care
va avea* prin urmare* coordonatele 0* 0* +&
Hi(&2&;& otenialul de atracie a stratului sferic
..
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
34/74
d m 9 d 8 dsp F 0 sin d; ,
,2&?#
rezult
dm [02sin d d; d0 . ,2&>0
otenialul de atracie al stratului sferic )stpoate fi e.primat n funcie de relaia ,2&%2
) st F
2 &sin0
2
10
2d;
0
0
dd00G
,2&>1
Ultima inte(ral fiind imediat* rezult
) st F 2J[ &sin
2
10
2 0
0
dd00
,2&>2
5n continuare calculele se pot desfura mai uor dac se introduce o sc4imare de variail& +in
relaia
*cos2-222 0D0D += ,2&>%
se oine
*sin22 d0Dd =
,2&>;
i prin urmare* rezult
&sin0Ddd
= ,2&>?
'imitele dup sc4imarea de variail vor fi
pentru F 0 corespunde FD L 0 /
F F D M 0 &
!u aceasta* deoareceDF constant* rezult
+
=2
1
82
0
0
0D
0D
dd00D
NG-st ,2&>>
++=2
1
8-2
0
0
d00D0D0D
G-st
,2&>@
=2
1
2 *;
0
0
d00D
G-st
,2&>$
adic
%;
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
35/74
( ) &-%
; %1
%
2 00D
G-st
= ,2&>#
+eoarece masa stratului sferic este
( ) *-%
; %1
%
2 002
st = ,2&@0
rezult
&D
2G- stst= ,2&@1
serva"ie
+in relaia ,2&@1 rezult c potenialul de atracie al stratului sferic* n situaia e.aminat mai
sus* se poate calcula cu formula ,2&%;* cu condiia ca masa stratului2sts fie concentrat n centrul su&
... S1er" %e r"34 R. P(&t(l "tr"s este e)ter#r s1ere#
otenialul de atracie -sf al unei sfere* cu densitate omo(en* n cazul n care punctul atras se
afl la distanaD de centrul sferei* poate fi calculat din relaia ,2&@1 prin particularizrile
0=F 0 8 0' 0 , ,2&@2
rezultnd
&%
; 20D
G-sf
= ,2&@%
+eoarece masa sferei de raz0 i densitate omo(en este
*%
;
%
0
2sf =
,2&@;
rezult
&D
2G- sf
sf =
,2&@?
rin urmare* oservaia de su relaia ,%&1; este valail* n mod corespunztor* i n cazul e.a
aici&
... P(&t(l "tr"s este s#t("t & #&ter#r(l
str"t(l(# s1er# %e r"3e R:# R
otenialul de atracie -ise oine* n acest caz* din particularizareaD 0 n inte(rala ,2&>@*
care rezult
( ) &-2 212
2 00G-i =
,2&@>
..K. P(&t(l "tr"s este s#t("t & #&ter#r(l (&e#
%?
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
36/74
s1ere %e r"34 R, l" %#st"&;4 r %e e&tr(
entru calculul potenialului de atracie* n acest caz* se duce prin punctul ! o sfer au.iliar de raz r
,Hi(& 2&?&&
Hi(& 2&?& otenialul de atracie a unei sfere* de raz0 * n cazul
n care punctul atras se afl la o distan r de centru&
otenialul de atracie -Iare dou componente
-I -sfM -i,
,2&@@
i anume
-sf este potenialul de atracie a sferei* de raz r * i punctul! e.terior sferei
8%
;&
%
; 2% r
Gr
r
G-sf
== ,2&@$
-ieste potenialul de atracie al stratului sferic* de raze 0ir, n cazul n care punctul atras se
afl n interiorul stratului
( &-2 22 r0G-i = ,2&@#
5n acest fel* rezult din relaia ,2&@@
( ) *2%-%%2
222
rr0G
-I +=
,2&$0
adic
( ) &-%%
2 22 r0
G-I
=
,2&$1 ..?. P(&t(l "tr"s este s#t("t !e s1er" %e r"34 R
otenialul de atracie poate fi determinat din relaia ,2&$1 su condia r 0
%>
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
37/74
&%
; 2
0
2G0
G-
sf
sf ==
,2&$2
:ceeai e.presie se oine i din relaia ,2&@? su condia r D.
.K. E(";##le 0"!l"e/P#ss&
rodusul scalar dintre un vector oarecare **, z7x i operatorul (radient
( ) *z
N
.
zN. :i:i
++
+
+
= ,2&$%
este scalarul
*=
+
+
=
divz7x
z7x
,2&$;
numitdivergen"a vectorului * notat div &9ezult prin urmare
*z
(
N
(
.
(((div z
N.
+
+
==
,2&$?
iar mpreun cu relaia ,2&??
&z
_
N
_
.
___,div(
2222
+
+
=== ,2&$>
Mrimea 2
22
2
2
2
22
z7x
+
+
= ,2&$@
se numete o*erator 0"!l"e sau* mai simplu* la*lacian, i se noteaz* n mod frecvent* cu &
3e folosesc uzual i notaiile
*&&&*2
2
2
x7xx H7x
HH
x
H=
=
&a&m&d&*
,2&$$
astfel c
zz77xx HHHHH ++==2 &
,2&$#
+in relaia ,2&?? rezult* de asemenea
-H222 += &
,2
%@
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
38/74
3e numeec+m* la*lacian cmpul care deriv dintr-un potenial al crui laplacian este nul&
.K.
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
39/74
3oluiile ecuaiei 0"!l"e se numesc func"ii armonice. rin urmare* potenialul cmpului
(ravitaional este ofunc"ie armonic, atunci cnd punctul atras este e.terior maselor surs&
Hunciile armonice satisfac ecuaia0"!l"e n oricare punct al domeniului -e. 3e poate arta c
funciile armonice sunt funcii analitice* fiind funcii continue* mpreun cu derivatele lor de orice ordin&
L funcie armonic deoseit de des folosit n (eodezia fizic este inversul distanei
( ) ( ) ( ) 22211
cz7ax ++= & ,2#
5n adevr* deoarece
%1
ax
x
=
* ,2&100
i
( )%
2%
2
2 %1
ax
x
+=
* ,2&101
mpreun cu
( )%
2%
2
2 %1
7
7
+=
8 ,2&102
( )%
2%
2
2 %1
cz
z
+=
& ,2&10%
rezult
012 =
* ,2&10;
astfel c funcia
1este o funcie armonic&
serva"ie
5n punctul pentru care F 0 i 1 F * nu se poate aplica acest raionament* funcia 1nefiind funcie armonic n acest unic punct &
'aplacianul cmpului (ravitaional n cazul n care punctul atras este situat n interiorul maselor
surs a avut e.presia
( ) &-%%
2 22 r0
G-I
= ,2&10?
'a deducerea formulei de mai sus s-a avut n vedere c punctul !5x, 7, z6atras este situat n inte
unei sfere de raz0 ,mrime constant i c distana r ,mrime variail fa de un punct curent A5a,
se calculeaz cu
( ) ( ) ( ) 2222 cz7axr ++= * ,2&
%#
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
40/74
+in ,2&$1 se oine
x
rr
G
x
-I
=
%
; & ,2&10@
+eoarece
%
ax
x
r =
* ,2&10$
rezult
( )axG
x
-I =
%
; * ,2&10#
i n continuare
%
;
2
2 G
x
-I =
& ,2&110
5n mod similar
%
;2
2G
7
-I =
8%
;
2
2 G
z
-I =
,2&111
astfel nct
G-I ;= & ,2&112
:ceasta este ecua"ia P#ss&, dedus n anul 1$1%* din care rezult c potenialul cmpului
(ravitaional nu este o funcie armonic* atunci cnd punctul atras este situat n interiorul maselor surs&
serva"ie+in compararea relaiilor ,2$ i ,2&10$ se oserv c ecua"ia P#ss& este un caz particular al
ecuaiei 0"!l"e* pentru [ F 0 &
.K.. 0"!l"#"&(l 2m!(l(# 'r"-#t4;##. 3e determin iniial laplacianul cmpului forei centrifu(e&
+eoarece s-a dedus c
xx
Fx
2=
= * ,2&11%
rezult
22
2
=x
& ,2&11;
:nalo( se oine
222
=7
8 22
2
=7
* ,2&11?
astfel nct
22 2= & ,2&11>
;0
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
41/74
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
42/74
funcia - este considerat potenialul de atracie terestr* care este o funcie armonic* atuci
cnd punctul atras este e.terior maselor surs8
domeniulD este suprafaa mntului&
+e e.emplu**rolemele limit ar putea fi enunate n (eodezia fizic n modul urmtor
se cunoate potenialul de atracie pe suprafaa mntului f- D = & 3e caut -e ,
potenialul pentru spaiul e.terior suprafaei mntului8 se cunosc derivatele normale ale potenialului de atracie pe suprafaa mntului
fn
-D
=
& 3e caut -e/
se cunosc cominaii liniare ntre potenialul de atracie terestr i derivatel sale normale
fn
-:1- D =
+ pesuprafaa mntului & 3e caut -e&
Treuie fcut oservaia c suprafaa mntului rmnd necunoscut* n (eodezia fizicproleme limit sunt rezolvate pe o suprafa apropiat de aceasta* de oicei un elipsoid de
rotaie sau o sfer de raz medie0.
.K.K. F(&;## "rme s1er#e. F(&;## 0e'e&%re
+intre funciile armonice* definite n ...
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
43/74
Hi(& 2&>& 3istemele de coordonate rectan(ulare i coordonate sferice
&
8
8
22
222
x
7tgarc;
z
7xtgarc
z7xr
=
+=
++=
,2&12%
+ac se scrie ecuaia 0"!l"e n coordonate sferice se oine
&0sin
1
r
)2r
2
2
22
2
2
2
2 =
+
+
+
+
;
--ctg
-
r
-r
,2&12;
L funcie omo(en de ordinul n * e.primat n coordonate sferice r, O, ; * poate fi e.primat su
forma unui produs de dou funcii* dintre care una depinde numai de r , iar cealalt numai de O i;
-5r, O, ;6 f5r6 P 5O, ;6 . ,2&12?
+ac -5r, O, ;6 este o soluie a ecuaiei 0"!l"e* atunci se numetefunc"ie armonic sferic de
volum* iar 5O, ;6 este ofunc"ie armonic sferic de su*rafa".
5n acest caz* ecuaia 0"!l"e se poate scrie i su forma
*0sin2
2
2
22
2
2
22 =
+
+
+
+
;
fctgf
f
r
fr
r
f-r
,2&12>
sau* dup mprire cu f i separarea variailelor
&sin
1
1-2
,
12
2
22
2
2
22
+
+
=
+
;
ctg
r
fr
r
fr
rf
,2&12@
3e oserv c partea stn( a relaiei de mai sus depinde numai de r * iar partea dreapt doar de
O i; . :ceasta nseamn c amele pri sunt e(ale cu o anumit constant aritrar* care va finotat n 5nM=6
( ) 801-22
22 =+
+
nfnr
fr
r
fr ,2&12$
( ) &01sin
1
2
2
22
2
=++
+
+
nn;
ctg
,2&12#
entru ecuaia ,2&122 rezult soluiile
f5r6 rn i f5r6 r5nM=6, ,2
care pot fi verificate prin sustituie& Kotnd soluiile ecuaiei ,2&12% cu n 5O *;6, care se vor determ
continuare* rezult c ecuaia ,2&11$ admite soluiile
( ) ( )
1
n **r +== nn
nr
;-is;-
&
,2&1%1
3e poate arta c n treuie s fie numr ntre(&
;%
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
44/74
3uma soluiilor menionate este* de asemenea* o soluie a ecuaiei 0"!l"e* astfel c forma (eneral va
fi
( ) ( )
==
0n
*** ;Br;r- nn
i ( ) ( )
== +
0n&
***
1n
n
r
;;r-
,2&1%2
Huncia armonic sferic de suprafan5O , ;6
poatefi e.primat* de asemenea* su forma unui
produs de dou funcii
n5O *;6 g5O6 . 15;6 , ,2&1%%
dependente numai de cte o sin(ur variail& :ceasta treuie s verifice ecuaia ,2&12%
( ) *01sin
2
2
22
2
=++
+
+
nng1;
1ggctg1
g1
,2&1%;
sau* dup multiplicare cug1
2sin i separarea variailelor
( ) 22
2
2 1sin1cossin
sin
;
1
1ngn
gg
g =
++
+
& ,2&1%?
9ealizndu-se o separare n dou pri a ecuaiei ,2&12%* una n funcie numai de O i cealalt n
funcie numai de ' * se poate e(ala fiecare parte cu o nou constant aritrar* notat m'9
( ) ( ) *0sin-sin1cossin
2
2
2
=
++
+
gm
nngg
,2&1%>
i respectiv
( ) &022
2
=+;1m
;1 ,2&1%@
3oluiile ecuaiei ,2&1%1 sunt
15;6 cos m; i 15;6 sin m; , ,2&1%$
care pot fi verificate prin sustituie&
+educerea soluiilor ecuaiei ,2&12# este mul mai complicat ,v& Anexa =& Gle se numescfunc"ii
0e'e&%re i sunt notate!nm5cos O 6. 3e poate arta c n i m treuie s fie numere ntre(i i * n plus*
nm & +eci
g5O6 !nm5 cos O6.
,2&1%#
rin urmare soluiile ecuaiei difereniale ,2&1%0 sunt
( ) ( ) ( ) ( ) sincos*8coscos* m;!;m;!; nmnnmn ==
,2&1;0
mpreun cu urmtoarea cominaie liniar
;;
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
45/74
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
46/74
t rQ R r S = / cos . ,2&1;$
Huncia armonic sferic
1poate fi dezvoltat n serie de puteri ale lui t * coeficienii pentru t fiind
polinoamele 0e'e&%re!n56 !n5cos69
( ) ( ) ( ) ( ) &&&&0n
21
12
2
10 +++=
==
+
!tt!!!t
tt n
n
,2&1;#
rin urmare
( ) &cos0n
R
11
nn
n
!r
r
== +
,2&1?0
Hi(& 2&@& 3istemul de coordonate carteziene (loal (eocentric
+eoarece r este o mrime constant* rezult din ,2&1;; i ,2&%2 o e.presie (eneral a dezvoltrii
potenialului de atracie n polinoame 0e'e&%re
( ) &cos0n
h
1 d2!rG
r-
n
n
n
==
+ ,2&1?1
Utiliznd e.presiile polinoamelor 0e'e&%re dinAnexa =,rezult n continuare
( ) ( ) &%
cosR
1cos%2
R
cosR
1
2
%
2
2 d2
n
!r
rGd2,
r
rGd2
r
rG
r
d2G- nn
n
=+++= +
,2&1?2entru a uura calculul inte(ralelor din relaia ,2&1;> se folosete sistemul de coordonate
carteziene (loal (eocentric din Hi(& 2&@&* definit nAnexa >.
+eoarece r este o mrime constant* prima inte(ral din ,2&1;> este imediat
== &1 rG2
r
d2GI
,2&1?%
;>
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
47/74
=nte(rala a doua are valoarea zero
== &0cosR2 d2rI ,2&1?;entru demonstrarea afirmaiei se noteaz
*R
cz"Na.
R
R
Rcos
rrr
z
r
c
r
7
r
r
x
r
a ++=++= ,2&1??
astfel nct
{ } &1cosR ++= cd2zd27ad2xrd2r ,2&1?>
+eoarece ori(inea sistemului de coordonate coincide cu centrul de mas* care are coordonate
ca **
*08080 ======
d2
cd2c
d2
d2
d2
ad2a
,2&1?@
rezult demonstraia necesar &3e calculeaz cea de a treia inte(ral
( ) ( )
++== &-%
21-cos%R
2 2
2
%%
2%
%% d2rVcz7axr
Gd2r
r
GI
,2&1?$
+eoarece
5ax M 7 M cz6' a'x'M'7'M c'z'M'ax7 M 'acxz M 'c7z ,
n calcule vor interveni i inte(ralele
828282 d2c7zd2acxzd2ax7
,2&1?#
care sun e(ale cu zero* odat cu momentele de inerie centrifu(ale ,deoarece a.ele de coordonate coinc
cu a.ele de inerie &
( )
( ) ( ) ( )[ ] *R%R%R%2
1
R%%%2
1
222222222
?
22222222
?%
++=
=++=
d2rczd2r7d2raxr
d2rrcz7axr
I
,2&1>0sau
( ) ( ) ( )[ 2222
1 222222222222
?% ++= aczd2ca7d2caxr
I
,2&1>1
3e introduc momentele de inerie principale* n raport de a.ele de coordonatex, 7, z
;@
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
48/74
( ) ( ) ( ) +=+=+= 888 222222 d2a3d2caBd2cA ,2&1>2
i prin permutri circulare se oin
( )
( )
( ) *22
822
822
222
222
222
3BAd2ac
BA3d2ac
A3Bd2ca
+=
+=
+=
,2&1>%
rezult
( ) ( ) ( ){ } &2222
1
222
?% 3BAxBA37A3Bx
rI +++++=
,2&1>;
+in ,2&11> se oin
( )
( )
*cosz
82sin1sin2
1sinsin
82cos1sin2
1cossin
222
222222
222222
r
;r;r7
;r;rx
=
==
+==
,2&1>?
dup care
( ) ( ) &2cossin;
%cos%1
22
1 2
%
2
%% ;AB
r
BA3
rI +
+= ,2&1>>
9elaiile ,2&1;@* ,2&1;$ i ,2&1>0 introduse n ,2&1;> dau e.presia potenialului de atracie ncoordonate sferice
( ) ( )
( ) &cos%
R
2cossin;
%cos%1
22
1
2
%
2
%
d2!n r
rG
;ABr
GBA3
r
G
r
G2-
nn
n
+
=+
++
++=
,2&1>@+ezvoltarea n coordonate rectan(ulare rezult din ,2&1?%* ,2&1?;* ,2&1?$ prin utilizarea formulelor
,2&122
( ){ } ( ) ( )
( ) &cos%
R
2!-B:2B-:!2
1
222
%
d2!
n r
rG
z7xA3Br
G2-
nn
n
+
=+
++++++= ,2&1>$
5n calculele care intervin n (eodezia fizic se opereaz relativ puin cu momentele de inerieprincipaleA, B, 3 & 5n mod curent se folosesc coeficien"i armonici zonali de forma
( ) &;
18
2
1
;22220 BA
2aW
BA3
2aW =
+= ,2&1>#
5n cazul corpurilor de rotaie* momentele de inerie principaleA iB fiind e(ale* rezult
;$
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
49/74
&08 222220 === W
2a
A3WW ,2&1@0
serva"ie5n relaiile de mai sus cu a s-a notat semia.a mare a crpului de rotaie avut n vedere n aplicai
respectiv ,de re(ul* un elipsoid de rotaie* cu turtire mic la poli&9ecomandrileAIG din anul 1#$0 prevd
W'F ,10$ 2>% ^ 0*? 10-$& ,2&1@1
!onsidernd relaiile ,2&?> i ,2&1>@ rezult dezvoltarea potenialului (ravitii n coordonatsferice
( ) ( )
( ) &sin2
1&cos
%
R
2cossin;
%cos%1
22
222
1
2
%
2
%
rd2!n r
rG
;ABr
GBA3
r
G
r
G2H
nn
n
+
=+
++
++=
+ ,2&1@2
Ultimul termen al relaiei ,2&1>? cuprinde e.presin r sinO * care reprezint deprtarea punctului!fa de a.a z &
+ezvoltarea potenialului (ravitii n coordonate rectan(ulare se poate oine din relaia ,2&1>$
i ,2&?1
( ){ } ( ) ( )
( ) .
HC/BAHB/AC
+
=+
++++++=
+ 222n1nn
222
%
sinr2
1dMcos
%n r
RrJ
zN.:!Br2
JM_
,2&1@%
serva"ii
1& G.presia ,2&1>> permite ca prin comparare cu formulele cunoscute pentru potenialul d
atracie al unor corpuri simple ,v& . s se desprind unele concluzii preliminari
privitoare la forma mntului* i anume
rimul termen este identic cu ,2&$2* adic e.prim potenialul de atracie al unei sfere format din straturi
concentrice omeo(ene* punctul atras fiind situat la distana r de centrul sferei& :cest prim termen este acceptat n
distanelor foarte mari* interplanetare* cnd orice corp ceresc acioneaz ca o mas punctiform* de potenialr
Gm
:l doilea termen introduce aterile* care intervin n potenialul (ravitii* datorit turtirii la poli a Jloului t
rin urmare* ntr-o apro.imaie muntit* mntul are forma unui elipsoid de rotaie 8
!el de-al treilea termen introduce aaterile formei mntului de la forma unui elipsoid de rotaie* n funcie
latitudinea; & :cest termen dispare cndA B ,elipsoid de rotaie i* n acest caz* n termenul doi rezult 3 L A
2-
BA3
+8
enultimul termen se ncadreaz n noiunea de*oten"ial *erturator care se va notaT, i e.prim* su aspe
(eneral* faptul c este practic imposiil de a se da un rspuns cate(oric i definitiv n le(tur cu forma mntu
dezvoltarea* teoretic fr limite, a acestui termen pot rezulta rspunsuri infinite referitoare la forma mntului&
;#
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
50/74
+in motive de ordin practic* dezvoltarea n serie a potenialului efectiv H este ntrerupt dup un numr
oarecare de termeni* fcdu-se astfel o distinie ntre e.presia unui*oten"ial normal U i*oten"ial ,2&1@>
,2&1@?
H UM T, ,2&1@;*erturator T. :ceasta afirmaie se poate scrie su form (eneral astfel
H UM T, ,2&1@?unde
( ) &cosR
8
1
8sin
0 2
2
1
22
1
d2!n
rGB
n
r
BT
r
n
X
r
BU
nn
n
n
n
n
=
+==
=+=
+
+
,2&1@>
Ultimul termen al relaiilor ,2&1>? * ,2&1>> i prima relaie din ,2&1>$ reprezpotenialul forei centrifu(e
2& Accelera"ia gravit"ii calculat ,denumit din acest motiv valoare teoreticsau normal ee(al cu derivata normal a potenialului normal U
&---r
U
n
r
r
U
n
U
= ,2&1@@
%& :supra poten"ialului normal U se va reveni mai trziu&
CAPITO0U0 .
SUPRAFEE ECHIPOTENIA0E
.
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
51/74
:ceast e.presie reprezint ecuaia unor suprafee ec4ipoteniale* denumite de ctre 0"!l"e,
su*arafe"e de nivel. 9ezult c suprafeele de nivel sunt perpendiculare* n oricare din punctele lor* pe
direcia (ravitii& +atorit structurii interne a mntului aceste suprafee sunt foarte comple.e* cu
multe ondulaii* fr muc4ii sau vrfuri& 3c4imndu-se valoarea constantei c din relaia ,%&; se oin
diverse suprafee de nivel& +intre suprafeele de nivel posiile* pentru (eodezie o importan deoseit o
are suprafaa de nivel zero* denumitgeoid,noiune introdus de ctre 0#st#&'n anul 1$@%& :ceastsuprafa ec4ipotenial a fost propus de ctre C. F. G"(sscafigur matematic a !m+ntului
_ ,.* N* z F _0& ,%&;
AIGrecomand n anul 1#$0
_0F ,>2>%>$> % 10 m2s-2 ,%&?
Hiind n permanen perpendicular pe direcia (ravitii* (eoidul are o confi(uraie foarte
comple.& Modificrile de densitate din interiorul mntului conduc la sc4imarea (eometriei
suprafeelor de nivel ,inclusiv a (eoidului deoarece curura acestora depinde de densitatea & +in acest
motiv este imposiil o formulare analitic-matematic a acestei suprafee comple.e* dependent n
permanen de distriuia i densitatea maselor n interiorul mntului&
Jeoidul este definit uzual ca suprafaa medie a mrilor linitite prelun(it pe su continente&
H. Br(&sa formulat scopul principal al (eodeziei fizice ca fiind determinarea suprafeelor de
nivel ale cmpului (ravitii* ceea ce ec4ivaleaz cu determinarea funciei potential _,.* N* z& 5n
adevr* cunoscnd e.presia potenialului unui corp* se pot face estimri privind forma suprafeei sale&
+eoarece suprafeele de nivel sunt suprafee ec4ipoteniale* diferena de potenial dintre dou
suprafee de nivel este o mrime constant& 9ezult c creterea de potential ,deci de lucru mecanic nu
depinde de drumul parcurs* pentru trecerea unui punct de pe o suprafa de nivel pe alta ,traseul 1 sau
traseul 2 n Hi(& %&1&
Hi(& %&1& 3eciune prin suprafea de nivel
?1
12
_ d_
_
&33ec3ec
iuneprin
suprafaa de
nivel&
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
52/74
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
53/74
direcia (ravitii ' * care poate fi materializat prin directia firului cu plum& L ima(ine apro.imativ*
intuitiv* a suprafeelor de nivel i liniilor de for este reprezentat n Hi(& %&2&
3e(mentul de linie de for cuprins ntre poziia punctului pe suprafa fizic a mntului i
proiecia sa pe (eoid 0se numete altitudine ortometric .0!$ &
.. S#steme %e r%&"te &"t(r"le
!alificativul natural ataat unor mrimi sau sisteme* respectiv unor coordonate* cu care se operea
n (eodezie* urmree ndeplinirea unui dulu deziderat pe de o parte se e.prim modalitatea de definire
sistemului sau coordonatelor respective ,n raport de mrimi naturale* iar pe de alt parte se indi
le(turile directe dintre acestea i*rocesele de msuraresau* mai (eneral* de determinare.
..
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
54/74
Hi(& %&%& 3isteme de coordonate naturale
... S#stem(l "str&m# l"l3e consider unsistem local n care punctul de staie! ndeplinete rolul de ori(ine a sistemului
,to*ocentru& 3ensul pozitiv al a.elor este considerat cnd
a.aaeste ndreptat dup tan(enta la linia de for* ctre zenitul astronomic8
planulCaaeste perpendicular pe direcia (ravitii ,de aceea este numit*lan orizontal8
a.aCaeste situat n meridianul astronomic al punctului considerat ,direc"ia nord* iar a.a a
este ndreptat spre direcia estului astronomic&
Gvident* fiecrui punct de staie i corespunde un alt sistem astronomic local. 5n raport cu noul
pocentru* poziia oricrui punct nvecinat poate fi e.primat prin coordonatele carteziene astronomice
cale Ca, a, a.
5n sistemul astronomic local* poziia oricrui punct0 * aflat n le(tur direct cu punctul de staie*
re ndeplinete rolul de topocentru* poate fi e.primat i n funcie de urmtoarele coordonate (eodezice
D(L distan"a &nclinat dintre cele dou puncte8
[ L azimutul astronomic, care esteun(4iul dintredirecia!0 i meridianul astronomic al punctului de
staie8
\(L ung1iul zenital, care este un(4iul dintre verticala locului i direcia!0&
serva"ie
5n multe situaii* are loc o transmitere de azimut, de e.emplu prin intermediul unui alt punct % ,ca n
(& %&%& +irecia !% este orientat n raport cu direcia nordului astronomic k= * n funcie se poate
?;
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
55/74
determina* n continuare* orientarea direciei !0 prin msurarea un(4iului & +e cele mai multe ori sunt
necesare mai multe puncte intermediare* i ca urmare * sunt necesare mai multe un(4iuri & :ceasta este
motivaia pentru care msurtorile un(4iulare ,sau de direcii se numesc msurtori azimutale ,a nu se
confunda cu msurtorisau determinrideazimut
Msurtorile D( , [ , \( ,comletate* dup caz cu sunt denumite coordonate astronomice *olare
locale.
'e(tura dintre cele dou cate(orii de coordonate naturale locale este
.X
=
=0
0
0
0
cos
sininks
sinkcos
+
aQa
Pa
# devin* lund n consideraie i ,2&1>%
( )[ ]
( ) .
P
+=
++=
2222
2222
sinrcos%12
%
1r
JM
sinr2
1cos%11
r
JMU
,%&2#
entru calculele ulterioare este util perticularizarea relailor,%&2# pentru ecuator* respectiv pentru pol
!entru ecuator 9 5O )((/ r a6
8a
2
%1
r
JM
e
8a2
1
2
1
a
JM
eU
222
222
+=
+
+=
,%&%0
i *entru *ol 9 5O ((/ r 6
( )
( ) .22
2
%1"
JMp
81"
JMp
U
=
= ,%&%1
5n unele situaii se apro.imeaz
.2a
JM
p ,%&%2
3feroidul fiind o suprafa ec4ipotenial se pot e(ala primele formule din relaiile ,%&2# i ,%&%2 din ca
zult turtirea sferoiduluiBr(&s
.
P
e2
a
2
%
JM2
a
2
%f
a
"af
22
2%2
+
+=
=
,%&%%
?$
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
59/74
+in e(alarea primelor formule din relaiile ,%&2# i ,%&%0 se oine
,
+=JM2
a
2
%cosara
2222 ,%&%;
care mpreun cu formula ,%&%% ofer ecuaia curei meridiane a sferoiduluiBr(&s
r a5= L fcos'O6 . ,%&%?
entru comparaie se determin ecuaia curei meridiane a elipsoidului de rotaie ,Hi(& %&?* prinutilizarea coordonatelor polare rEiO .
Gcuaia elipsei meridiane a elipsoidului de rotaie e.primat n coordonate carteziene este
,01"
2GN
a
2G.
22 =+ ,%&%>
n care se introduc coordonatele polare
xE rEsin O / 7E rEcos O ,%&%@
i turtireaf definit de relaia a doua din ,%&%% devine
( )
.
=
+
1
f1a
cos
a
sin
G
2r
22
G
2
2
G
2
,%&%$
+ac aceast formul se dezvolt n serie* n ipoteza ne(lirii termenilor de ordinul doi i superiori se
oine
rE a 5= L f cos'O6 . ,%&%#
+in compararea formulelor ,%&%? i ,%&%# se oserv e(alitatea dintre ecuaia elipsei meridiane
a sferoidului Br(&s i* respectiv* ecuaia elipsei meridiane a elipsoidului de rotaie* n limitele
apro.imaiilor de ordinul doi ale puterilor turtiriif .
!ititorul interesat va putea (si n lucrri mai e.tinse c* n limite de calcul mai precise*
diferena dintre razele vectoare ale sferoiduluiBr(&s i* respectiv ale elipsoidului de rotaie este
r r0 =`,@ cos''O mb . ,%&;0
?#
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
60/74
Hi(& %&?& oziia sferoidului de nivel n raport cu elipsoidul de rotaie
... Terem" Cl"#r"(t
TeoremaCl"#r"(t are o importan deoseit pentru (eodezia fizic deoarece stailete ole(tur dint
turtirea geometricf i turtireagravimetric* care se va notafP
.e
epf
= ,%&;
+in formulele ,%&;1 * i ultimele relaii din ,%&%0 i ,%&%1 rezult
,2222
2
2a
a2
2JM%
a
JM
"
JM%
"
JM
ef += ,%&;
din care se deduce* n ipoteza apro.imaiilor acceptate anterior
.
e
a
2
?ff
2
=+ ,%&;
+ac se notez
,e
a
JM
"am
222
= ,%&;;
zult
f M fP m2
?. ,%&;
Hormula ,%&;? sau ,%&;% reprezint forma iniial a teoremei Cl"#r"(t ,1@%$* care cuprinde doar termeni d
dinul 1&
serva"iiAIG recomand n anul 1#$0 urmtoarele valori pentru mrmile folosite mai sus
f M fP m2
? (,((( (>K/
f (,((> >?> `=( `K=/
fP (,((? >(' JJ( =='/
m (,((> JJ) @K` (((/ ,%&;>
a=R')K,'?@/
W' (,(=/
=Ra =R =?@P=() .
... V"r#";#" 'r"-#t4;## teret#e &rm"le
!e s1er#%(l %e -el
+in compararea ultimelor relaii din formulele ,%&%0 i ,%&%1 se oserv c pe * ceea ce indic o
riaie a (ravitii teoretice ,normale pe suprafaa sferoidului de nivel* n funcie de latitudine& entru
>0
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
61/74
deducerea acestei variaii* n limita apro.imaiilor acceptate pn acum* se compar ultimele relaii din
formulele ,%&2# i ,%&%0
,+= 2222
2cosacos
a
JM
2
#
e ,%&;@
din care rezult dup dezvoltri simple
e5= M fP cos'O6 . ,%&;$
Hormulele ,%&;% i ,%&;$ e.prim* ntr-o prim apro.imaie* una dintre posiilitile (eodeziei
fizice de determinare a formei i dimensiunilor mntului* deoarece prin aceste formule se determin
le(tura dintre valori distriuite pe suprafaa mntului i elementele (eometrice a i f ale
corpului prin care se apro.imeaz forma mntului& rocedeul descris mai sus are un caracter de
principiu* determinrile actuale ale formei i dimensiunilor mntului avnd un caracter mult mai
comple.&
.K. S1er#%(l Helmertotenialul sferoiduluiHelmert se deduce prin considerarea
( ) P 0dMcos%n r
RrJ n1n
n
=
=+
,%&;#
n dezvoltarea potenialului ,v& formula ,2&1>>* oinndu-se
( ),
++++= %?%
sin@
>cos
r
+sin
JM2
Crcos%1
2
1
r
JMU 2;
;
22%
220
,%&?0
undeW''a fost definit cu relaia ,2&1>%* iarDRrJeste un termen de ord& ; n raport cu r>X'R'G2 care est
un termen de ord& 2&
5n continuare se prezint* fr a se demonstra* formele dezvoltate pe care le au formulel
prezentate n ..* pe aces sferoid
turtirea (eometric a se compara cu ,%&%%g
( ) ( ) P;
2220
a@
+
JM2
af21
2
%f1f
++=+ ,%&?1
ecuaia curei meridiane a se compara cu ,%&%?g
rJ a=f5=MfPf6Mbcos'O M f5fPf6M bcosJO/ ,%&?2
diferena ma.im ntre raza vectoare a sferoiduluiHelmert r$i cea a elipsoidului rE
5r$L rE6 max =',J m 8 ,%&?%
teorema Cl"#r"(t detvoltat a se compara cu ,%&;?g
>1
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
62/74
P;
a
+2
2
mffm
2
?ff +
+=+ ,%&?;
variaia (ravitii teoretice ,normale pe sferoidulHelmert a se compara cu ,%&;$g
.
+= 2cos
2cosf1
e2i2 ,%&??
5n e.presia ,%&??Jeste un coeficient care poate fi calculat cu formula
J > L @f'M J f fP. ,%&?>
+up cum se oserv relaiile sunt mult mai comple.e* n comparaie cu cele din ..
.?. El#!s#%(l %e -el
+up cum s-a specificat n .K.?.*fi(ura mtului poate fi considerat* ntr-o apro.imaie de ordinul
doi* ca fiind elipsoidul de rotaie&+e aceea* se accept c fi(ura normal a mtului este un eli*soid de nive
,n lima en(lez;evel Elli*soid* adic un elipsoid de rotaie* care este o suprafa ec4ipotenial a unui cmp
(ravific normal& :cceptnd aceast definiie* funcia potenial U5x, 7, z6 este
( ) ,22 N.22
1)U ++= ,%&?@
complet determinat n cazul n care se cunosc
forma elipsoidului de rotaie ,de e.emplu semia.ele a i 8
masa total2 8
viteza un(4iular de rotaie C &
.?.
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
63/74
rimii trei parametri se mai numesc i parametri principali& Glipsoidul de rotaie poate fi definit pri
doi parametri* dintre care unul treue s fie liniar ,lun(ime& :supra parametrilor (eometrici a
elipsoidului de rotaie* precum i asupra le(turilor dintre acetia se va trata pe lar( la disciplina
Geodezie matematic.
.?.. S#steme %e r%&"te &-e&;#&"le
Hi(& %&>& 3isteme de coordonate convenionale
3istemele de coordonate denumite conven"ionale sunt definite n raport de elipsoidul de rotaie
,Hi(& %&>* pe care se proiectez reelele (eodezice de ordin superior ,care se vor aorda ntr-un alt curs
universitar Instrumente geodezice i metode de msurare& 5n comparaie cu sistemele naturale de
>%
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
64/74
coordonate* care se raporteaz la procesele de msurare* sistemele de coordonate convenionale se
raporteaz la procesele de calcul
.?..
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
65/74
*rim *osiilitatede reprezentare a potenialul (ravitii normale este ,He#s8"&e& Mr#t
pa(& >@
( ) .
=+
++=+=
1n
m%
1
1n2
n2Re
11"
JMa
%
1Rarct(e
G
JMU
n22 ,%
5n formula de mai sus sin(urele necunoscute sunt parametrii (eometrici i eQ i consantele fiz
i C & alt *osiilitate de e.primare a potenialului (ravific normal este dat de utilizarea coefic
armonici zonali i a coordonatelor sferice r, O, ;, raportate la elopsoidul de nivel
( ) ,+
=
= 222 sinr
2
1cos
n2
n2
1n r
a
n21
r
JMU ,%&?#
unde coeficienii armonici zonali se pot determina cu o relaie (eneral
( )( )( )
+
+++=
2MG
:!n?n1
%n21n2
n2e%1n1
n2
& ,%&>0
5n completare la valorile prezentate n ,%&;> se menioneaz urmtoarele recomandri aleAIG
din anul 1#$0
W> 5 '?J h =6 P =(K/ WJ 5 =`' h =6 P =(K/
,%&>1
W? 5 '> h =6 P =( K/ W 5 ?? h =6 P =( K .
.>. Gr"-#t"te" &rm"l4
Jravitatea normal se poate e.prima su forma (eneral
(rad U , ,%&>2rezultnd din formula ,%&?$
,
+
+
+= Bcos
V
RVRe
>
mm1sin
V
RVRe
%
m1
cos"sinaa
JM 2
0
02
0
0
2222 ,%&>%
unde este latitudinea redus* determinat pe elipsoidul de nivel* cu semia.a mic u ,ec4ivalentel
acestor mrimi pe elipsoidul de referin sunt notate cu Ui respectiv / mrimi care vor fi studiate s
lar( la disciplina Geodezie matematic& +e asemenea se notez
.
P
1u
Garct(
G
u1
G
"%1%V
G
"%
"
Garct(
G
"%1
2
1V
2
2R0
2
2
0
+=
+=
,%&>;
rin particularizri pentru (( i respectiv )(( * rezult
>?
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
66/74
,
P
+=
=
0
R
0
2
0
R
0
V
VRe
%
m1
a
JM
p
V
VRe
>
mm1
a"
JM
e
,%&>?
astfel nct
,
+
=+0
R
02
V2
VRe1
e
"ff
,%&>>
ceea ce reprezint corespondentul teoremei Cl"#r"(t a se compara cu ,%&;2g &
5n ara noastrInstruc"iunile *entru nivelmentul de ordinele I, II, III, I- i cu teodolitul elaorate
deDirec"ia To*ografic 2ilitar n anul 1#>?* s-a avut n vedere formula Helmert ,%&??* dedus n anul
1#01* n care sin(ura variail este latitudinea (eodezicB a punctului n care se calculeaz qI,indicele
superior I indic faptul c se folosete formula Helmert $ )@K (>( 5= M (,((?>('( sin'B L (,((( ((( @ sin''B6 . ,%&>@
9ecomandrileAIG din anul 1#$0 prevd o formul deoseit de precis pentru calculul (ravitii
normale pe elipsoidul de referin ,cu o apro.imaie de ^ 10-;m(al
=)K( )@K (>',@5= M (,((? '@) (J= Jsin'B M (,((( ('> '@= sinJB M
M (,((( ((( ='` ' sin`B M (,((( ((( ((( @ sinKB6 , ,%&>$
precum i o formul pentru uz curent ,cu o apro.imaie de ^ 0*1 m(al
=)K( )@K (>',@5= M (,((? >(' J sin'B (,((( ((( ?K sin'' B6 . ,%&>#
.. V"r#";#" 'r"-#t4;## &rm"le %e"s(!r" el#!s#%(l(#
entru o cot mic$ deasupra elipsoidului ,de ordinul celor n (eodezie se poate aplica formula
Br(&s ,%&2;* su condiia (
,20 2(24
(=
,%&@0
unde* de aceast dat* curura medieW( va fi e.primat n funcie de razele de curur principale0= 2
iar 0' 4 ,razele de curur principale 0= i 0' vor fi studiate pe lar( la disciplina Geodezie
matematic& 9ezult
,
+=
K
1
M
1
2
1 0 ,%&@1
Unde2 este raza de curur a elipsei meridiane* iar4 este raza de curur a primului vertical ,marea
normal&
!alculul (radientului vertical al (ravitii normale se realizeaz n limita ne(lirii termenilor de
ord& 2 i superiori ai turtiriif * prin utilizarea urmtoarelor formule
>>
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
67/74
( )
( ) ,
P
+++=
+++=
&&&BcosRe2
11
a
cBcosRe1
a
c
K
1
&&&BcosRe2
%1
a
cBcosRe1
a
c
M
1
22
2
2122
2
22
2
2%22
2
,%&@2
vor fi studiate la disciplina Geodezie matematic. 5n formulele de mai sus
eQ'
'f .,%&@%
5n acest fel rezult
( ) ( ) .Bcosf21a
c2BcosRe1
a
c2
K
1
M
1 22
22
2 +++ 5%&@;
nct se poate scrie
( ) .Bsinf2f21a
f1 20
= ,%&@?
Hi(& %&@& )ariaia (ravitii normale deasupra elipsoidului
+in relaiile ,%&;; i ,%&;$ se oin
( ) ,P Bsinf1ea
em
22
= ,%&@>
astfel nct rezult
( ) .Bsinf1a
m 22 + ,%&@@
!u aceasta mrimea (radientului vertical al (ravitii normale va fi
( ) ( ) ,Bsinf1a
m2Bsinf2f21
a
f12
I
22 +
=
,%&@$
sau n limita apro.imaiilor folosite pn acum
>@
,I
I
elipsoidul dereferin0,
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
68/74
( ) .Bsinf2mf1a
2
I
2++
=
,%&@#
Jravitatea normal la cota$poate fi calculat printr-o dezvoltare n serie T"6lr
&&&II2
1I
I
2
2
2
I +
+
+= ,%&$0
!alculul derivatei de ord& 2 se poate face apro.imativ n funcie de relaia
,2a
JM
de unde
.PH
2;22 a
>
a
JM>
Ia
JM2
aI
=
,%&$1
+in e.presiile ,%&@@ - ,%&$1 se oine relaia cutat
( ) . +++=2
2
2
I Ia
%Bsinf2mf1a
21 ,%&$2
9ecomandrileAIG din anul 1#$0 nu prevd formula corespondent pentru ,%&$2&
5n calculele uzuale ,inclusiv la lucrrile practice se poate folosi o e.presie simplificat
,I%0$>*0I ,%&$%
(radientului vertical apro.imativ al (ravitii normale fiind considerat
.mm(al%0$>*0I
,%&$;serva"ie
5n apro.imaiaW]W(* relaia ,%&2; se poate scrie n raport de formula ,%&@0
.+
=
J;44
( ,%&$?
Holosind valorile medii cu care s-a operat pn acum* rezult
.mm(al0$;$*022%$*0%0$>*04
(=+=
,%&$>
5n acest fel se e.prim valoarea (ravitiig(la nivelul (eoidului n raport de valoarea msuratgi (radientul vertical mediu ,%&$> precum i altitudinea$ ,e.primat n metri a punctului considerat
.I0$;$*0(( 0 + ,%&$@
>$
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
69/74
CAPITO0U0 K
APARATE QI METODE
PENTRU MSURTORI GRAVIMETRICE
K.
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
70/74
reduse la suprafaa (eoidului* notate (r i valorile normale ale acceleraiei (ravitii
,considerate pe elipsoid nu sunt constante* diferenele ma.ime (r / putnd atin(e valori de
ordinul ^ 200 m(al&
Influen"ele diverse exercitate de cor*urile cereti.)ariaiile temporale* nre(istrate n puncte
staionare* datorate n mod deoseit;uniii %oarelui* sunt mai mici de ^ 0&% m(al&
Gradientul vertical al gravit"ii. )ariaia (ravitii n funcie de cota $este de apro.imativ0*0$;$ m(alm ,a se vedea.
2odificri &n *oten"ialul gravit"ii. :cestea sunt datorate circuitului apei n atmosfer*
micrilor maselor n interiorul mntului* deplasrilor polului mecanic &a&* influena lor
aun(nd pentru un punct dat* la mrimi de ordinul a ^ 0&01 m(al pentru un deceniu&
+up cum se vede* variaiile (ravitii sunt caracterizate prin ordine de mrime cu totul diferite
i* ca atare* aparatele i metodele de msurare treuie s asi(ure o precizie corespunztoare acestei
variaii* n funcie de scopul urmrit&'ucrndu-se cu puncte de mas e(al cu unitatea* (ravitatea este numeric e(al cu acceleraia sa&
Unitatea de msur n sistemul CGSeste (alul ,1 (al F 1 cm s-2* denumire adoptat n memoria marelui
nvat italian G"l#le G"l#le#& +eoarece la pol mrimea (ravitaiei este apr.imativ e(al cu #$% (al* iar
la ecuator #@$ (al ar rezulta o variaie mult prea puin semnificativ n aceast unitate de masur& +e
aceea n (eodezia fizic se lucreaz n mili(ali ,1 m(al F 10-% (al* instrumentele de msur actuale
avnd o precizie de ordinul a 0*01 m(al sau c4iar i mai un&
5n prezent determinrile (ravimetrice au atins parametri foarte nali de precizie
msurtorile &n *uncte sta"ionare* n condiii deoseite de lucru n laorator* destinate
etalonrilor (ravimetrice sau determinrilor mareelor terestre au precizia situat su limita ^
0&001 m(al8
msurtorile de teren sunt caracterizate* n (eneral* de erori cuprinse ntre ^ 0&01 m(al i
^ 0&0? m(al& 5n unele pulicaii se comunic i pentru astfel de lucrri oinerea unei precizii
foarte nalte* de circa ^ 0&00% m(al* realizat cu aparate perfecionate&
+eterminrile acceleraiei (ravitii n puncte stationare ,puncte de az* efectuate independent*
se numesc determinri asolute,iar determinrile de variaii ale acceleraiei (ravitii* n raport de un
punct de az se numesc determinri relative& Msurtorile de (ravitate se azeaz n prezent* pe
utilizarea fenomenelor de oscilaie* de cdere lier a corpurilor i de modificare a ec4ilirului unui
sistem deformail* e.istnd urmtoarea clasificare uzual
@0
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
71/74
2etoda dinamic,n care msurarea (ravitii se realizeaz prin urmrirea n timp a unor corpuri
n micare& :paratul clasic pentru acest (rup de metode este *endulul& +up msurarea perioadei de
oscilaie i a altor parametri necesari* se calculeaz valoarea (ravitii n punctul de oservaie&
9ezultate mai precise s-au oinut prin procedee care determin valori asolute ale acceleraiei
(ravitii* azate pe le(ea miscrii rectilinii uniform accelerate n cderea lier a corpurilor&
2etoda static,folosit la evaluarea variaiei (ravitii din punct n punct sau n timp* pentru unacelai loc* const n e.aminarea strii de ec4iliru a unui sistem deformail* asupra cruia acioneaz
simultan (ravitatea ,ca for independent sau ntr-un cuplu de fore i un factor anta(onist de natur
elastic ,for sau cuplu de fore& =nstrumentul tipic pentru aceast metod estegravimetrul static.
Determinarea unor derivate de ordinul ' ale *oten"ialuluise azeaz* n principiu* pe utilizarea
unei metode statice* care const n urmrirea strii de ec4iliru a unei pr(4ii suspendat de un fir de
torsiune& :ciunea este reprezentat de un cuplu (ravitaional ,n care intervin derivatele de ordinul 2 ale
potenialului* iar reaciunea de cuplul de torsiune al firului de suspensie& resupunnd constant
coeficientul de torsiune al firului sau cunoscnd le(ea sa de variaie* modificarea strii de ec4iliru
dintr-un punct n altul este datorat* n primul rnd* variaiilor derivatelor de ordinul 2 ale potenialului&
:cestea au dimensiunile unui (radient* de e.emplu
=
=
=
.
(
.
__ z.. (radient orizontal* n direcia . al (ravitii&
Jradientul vertical al (ravitii _zz nu este msurail* putnd fi determinat doar indirect&
Unitatea de msur pentru aceste derivate de ordinul 2 ale potenialului este reprezentat de variaia de
0*1 m(al pe distana de 1 Dm
Escm
cms
:m
mgal1101
10
101&0
1
1&0 2#?
2%
===
* ,;&2
fiind numit Et-s,n onoarea savantului ma(4iar care a realizat aparatul pentru msurarea acestei
mrimi* numit alan" de torsiune&
K.. Determ#&4r# "5sl(te %e "eler";#e " 'r"-#t4;## '
K..
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
72/74
#ig. J.=. !endulul matematic
!oninutul acestui capitol fiind relativ independent* n raport cu celelalte capitole* se vor folosi
notaii care n restul manualului au alt semnificaie* deoarece noiunile respective nu sunt utilizate
simultan& :stfel* se vor folosi ca notaii principale
m/ masa pendulului8
/ amplitudinea* respectiv un(4iul care caracterizeaz poziia e.trem a pendului
,elon(aia ma.im8
/ elon(aia* respectiv un(4iul care caracterizeaz poziia curent* la un moment dat a
pendulului8
T/ perioada complet a oscilaiei* respectiv timpul necesar pendulului pentru a trece dintr-o
poziie e.trem ,/ n cealalt , i napoi8
/ lun(imea pendului&
3e poate demonstra ,+r%"& &a&* , G$#;4(, 1#$% &a& c perioadaTa pendulului matematic
poate fi e.primat n cadrul amplitudinilor mici* cu formula
++++= &&&
1>%$;
2?
102;
#
1>1TT >;
2
0 * ,;&%
unde treuie e.primat n radiani* iar T(/ perioada complet pentru amplitudini infinit mici ,0
g
T 20 = & ,;&;
@2
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
73/74
endulul matematic este imposiil de realizat practic* avnd n definiia sa ipoteze
simplificatoare* care nu au ec4ivalent n realitate&
K... Pe&%(l(l 1#3#este reprezentat de un corp material* nedeformail* care oscileaz n vid* n
urul unei a.e fi.e* orizontale* su influena (ravitii& !ondiia de oscilaie a pendulului fizic este ca a.a
de suspensie s nu treac prin centrul de (reutate J ,.J* NJ al corpului* ci s fie situat deasupra lui
,Hi(& 2&10&
Hi(& ;&2&endulul fizic
3e noteaz cu 'rlungimea redusa pendulului fizic
aDa
'
22
r += * ,;&?
unde D este o valoare medie pentru distana r dintre un punct curent al elementului de mas dm i centrul
de (reutate J& strnd i ipoteza amplitudinilor mici* se poate demonstra c perioada pendulului fizic
se e.prim analo( cu ,;&;
ag
:a
g
;T rf
22
22 +
== & ,;&>
+eterminarea constantelor a i D este dificil i puin precis* astfel nct e.presiile de calcul ale
acceleraiei (ravitii care le conin nu asi(ur precizia necesar&erioada T0 se poate determina cu mai mult e.actitate* astfel nct n ipoteza cunoaterii
lun(imii reduse 'r* se ofer*osiiliatea *rinci*ialpentru determinarea acceleraiei (ravitii
20
r
2
T
';(
= & ,;&@
+ificultile de ordin practic rezid* n special* n determinarea cu o precizie convenail* a
lun(imii reduse& entru rezolvarea acestei proleme se presupune c &n acelai *unct se efectueaz@%
.
N
r
L
J,.(* N(dm
.
N
a
[i
8/13/2019 Geodezie Fizica Ghitau Brasov 2010
74/74
simultan i n condiii identice determinri (ravimetrice cu un pendul cu lun(imea redus r'
cunoscut& Msurnd* cu precizia necesar* cele dou perioade 0T i 0Tse pot calcula* n ipoteza ( F
constant* lun(imea redus a celuilalt pendul
r2
0
2
0
r '
T
T'
= & ,;&$
K... Pe&%(l(l re-ers#5#leste un pendul care are dou a.e paralele de suspensie* respectiv de
oscilaie* care sunt interanaile&
erioada T a pendulului reversiil se determin cu relaia
g
aaTTT 2121 2
2
+=
+= * ,;
fiind dedus n urmtoarele ipoteze* realizaile constructiv
perioadele T= iT'corespondente celor dou poziii de oscilaie* sunt mici* astfel nct5T=L T'6 (/
centrele de oscilaie sunt dispuse asimetric n raport cu centrul de (reutate* astfel nct
diferena dintre distanele corespondente a=i a'este mare&
Du* msurarea *erioadelor T=i T', accelera"ia gravit"ii g se *oate calcula, cu rela"ia anterioar,dac se cunoate distan"a 5a=M a'6. Aceast distan" se *oate determina mult mai exact dec+t distan"eleindividuale a=i a', &n ra*ort cu centrul de greutate, a crui *ozi"ie este mult mai greu de stailit.