Post on 10-Dec-2015
description
transcript
Analiza globală a fiabilităţii sistemelor tehnice
Curs
Analiza globală a fiabilităţii sistemelor tehnice
Fiabilitatea unui sistem poate fi definită ca fiind capacitatea unui sistem de a-
şi încadra performanţele în limitele de toleranţă specificate într-un interval.
Ieşirea din funcţiune a unui sistem poate fi analizată din două puncte de
vedere:
a) al apariţiei defecţiunilor ce împiedică funcţionarea sa, implicând repararea sau
înlocuirea componentelor deteriorate. Conceptul ataşat acestei prime situaţii este
acela de fiabilitate funcţională.
b) al scăderii calităţii şi preciziei sistemului, considerându-le şi pe acestea tot
defecţiuni, când se foloseşte termenul de fiabilitate tehnologică.
Descrierea matematică a fiabilităţii unui sistem poate fi realizată la nivel
global, ignorându-se structura sistemului, sau la nivel structural, când sunt luate în
considerare elementele sistemului şi relaţiile dintre ele.
Din punct de vedere al teoriei fiabilităţii, sistemele pot fi considerate ca fiind
compuse din elemente fără restabilire şi elemente cu restabilire. În cazul sistemelor
fără restabilire este suficient să se ia în considerare durata scursă de la punerea în
funcţiune a sistemului până la defectarea sa, durată care este o variabilă aleatoare
continuă. Caracteristicile numerice ale acestei variabile aleatoare vor reprezenta
indicatorii de fiabilitate ai sistemului.
Se va analiza în continuare fiabilitatea sistemelor fără restabilire.
2.1 Indicatori de fiabilitate
Pentru definirea indicatorilor de fiabilitate, se consideră timpul de funcţionare
T al unui sistem fără restabilire, de la punerea sa în funcţionare până la defectare,
ca o variabilă aleatoare continuă. Funcţiile şi caracteristicile numerice asociate
15
Analiza globală a fiabilităţii sistemelor tehnice
acestei variabile aleatoare continui au o interpretare particulară în domeniul teoriei
fiabilităţii, putând fi considerate ca indicatori de fiabilitate [15].
Astfel, funcţia de repartiţie F(t), adică probabilitatea ca variabila aleatoare T
să ia valori mai mici decât t, reprezintă probabilitatea de defectare a sistemului în
intervalul ( 0,t ) :
F(t) = P(T< t) (2.1)
Funcţia de repartiţie (2.1) caracterizează sistemul în orice interval de timp
având drept origine momentul punerii în funcţiune. Într-un interval de timp oarecare
(t,t+x) probabilitatea de defectare este:
(2.2)
Probabilitatea (2.1) este o probabilitate totală de defectare. În analiză
fiabilităţii interesează probabilitatea de defectare F(t,t+x) într-un interval de timp
(t,t+x) a unui sistem despre care se ştie că este bun la momentul iniţial t al
intervalului. Conform definiţiei probabilităţilor condiţionate , se poate scrie:
(2.3)
În teoria fiabilităţii, caracterizarea comportării sistemelor în intervale finite de
timp poate fi realizată şi prin probabilitatea de bună funcţionare în interval. De
aceea, se defineşte indicatorul funcţie de fiabilitate R(t) ca probabilitatea de bună
funcţionare a sistemului într-un anumit interval de timp, condiţionată de buna
funcţionare a sa, la momentul iniţial al intervalului. Considerând complementarele
expresiilor (2.1) şi (2.2), se poate scrie funcţia de fiabilitate R(t) a unui sistem în
intervalul (0,t), respectiv R(t,t+x) în intervalul (t,t+x):
(2.4)
Funcţiile definite până acum descriu fiabilitatea sistemului în diferite intervale
de timp, corespunzând unor posibile misiuni. Comportarea sistemului în jurul unui
moment dat este descrisă cu ajutorul densităţii de probabilitate a timpului de
funcţionare până la defectare, definită conform relaţiei:
(2.5)
16
Analiza globală a fiabilităţii sistemelor tehnice
Densitatea de probabilitate (2.5) reprezintă legea de repartiţie a timpului de
funcţionare până la defectare, având semnificaţia unei probabilităţi totale de
defectare în jurul momentului t, indiferent de comportarea anterioară a sistemului.
Pentru a descrie pericolul de defectare instantanee a unui sistem aflat în
stare de bună funcţionare, se defineşte rata de defectare. Rata de defectare z(t)
este probabilitatea de defectare în jurul unui moment dat, condiţionată de buna
funcţionare a sistemului până la acel moment. Ea se obţine raportând expresia
(2.3) a probabilităţii de defectare la mărimea intervalului şi trecând la limită când
aceasta tinde către zero :
(2.6)
Din relaţiile (2.5) şi (2.6) se obţine :
(2.7)
Integrând ecuaţia (2.7) cu condiţia iniţială R(0)=1, rezultă:
(2.8)
(2.9)
În afara funcţiilor enumerate, fiabilitatea unui sistem poate fi descrisă şi prin
caracteristici numerice ca: media, dispersia, abaterea medie pătratică şi cuantila
timpului de funcţionare.
Media timpului de funcţionare exprimă durata scursă de la punerea în
funcţiune a sistemului, după care este aşteptată defectarea acestuia şi se defineşte
prin relaţia:
(2.10)
Integrând prin părţi relaţia (2.10), se obţine :
(2.11)
O generalizare a expresiei (2.11) se poate obţine considerând funcţia de
fiabilitate într - un interval oarecare (t,t+x):
17
Analiza globală a fiabilităţii sistemelor tehnice
(2.12)
Expresia (2.12) reprezintă media timpului de funcţionare rămas până la
defectare începând de la un moment arbitrar t. Evident, pentru t=0, expresia (2.12)
se reduce la (2.11).
Dispersia D2(X) şi abaterea medie pătratică s se definesc cu ajutorul relaţiilor:
(2.13)
Mărimile D2(X) şi s indică gradul de uniformitate al performanţelor individuale
ale unor sisteme de acelaşi tip din punct de vedere al fiabilităţii. Dacă procesul
tehnologic de fabricaţie al sistemelor este bine controlat, valorile indicatorilor (2.13)
vor fi mici.
Un alt indicator de fiabilitate este cuantila de ordinul γ a timpului de
funcţionare tγ, definită ca rădăcină a ecuaţiei:
(2.14)
Din relaţia (2.14) rezultă o interpretare posibilă a cuantilei ca timp de
garanţie, adică timpul în care proporţia de elemente defectate dintr-o anumită
colectivitate nu depăşeşte o valoare prestabilită, γ.
Aplicaţie
18
Analiza globală a fiabilităţii sistemelor tehnice
Se consideră un eşantion n=35 roţi dinţate. Şţiind că legea de repartiţie
modelează defectarea eşantionului de roţi dinţate, se cere să se
determine următori indicatori de fiabilitate, la momentul t=10000 ore de funcţionare:
funcţia de repartiţie, funcţia de fiabilitate, densitatea de probabilitate, rate de
defectare şi media timpului de funţionare.
Soluţie
Indicatori de fiabilitate sunt:
a) Funcţia de repartiţie este:
b) Funcţia de fiabilitate este:
c) Densitatea de probabilitate se determină cu relaţia:
[ore]
d) Rata de defectare se calculează cu relaţia:
e) Media timpului de funcţionare este:
2.2 Modelarea fenomenelor de defectare ale sistemelor tehnice
În practică, asocierea dintre o lege de repartiţie şi un anumit sistem se face
printr-un raţionament care combină interpretarea fizică şi rezultatele experimentale.
Astfel, pe baza experienţei anterioare se adoptă iniţial un grup de legi de repartiţie
din care se elimină cele ce nu concordă cu rezultatele experimentale.
Modelarea fenomenelor de defectare constă în selectarea unei legi de
repartiţie şi verificarea adecvării ei la un anumit sistem prin confruntare cu
19
Analiza globală a fiabilităţii sistemelor tehnice
rezultatele experimentale. Procedeul de verificare este bazat pe teoria generală a
verificării ipotezelor statistice. Prin prisma acestei teorii, se formulează ipoteza nulă
H0 privind natura legii de repartiţie a timpului de funcţionare, cu ipoteza alternativă
H1 care exclude valabilitatea tipului de lege propus. Decizia între ipotezele
formulate se ia confrutând funcţia de repartiţie teoretică cu funcţia de repartiţie
estimată punctual din datele experimentale.
Decizia poate fi afectată de cele două tipuri de erori: respingerea ipotezei
nule, când aceasta este adevărată (eroarea de ordin I-α), respectiv acceptarea ei,
când este falsă (eroarea de ordin II-β). Criteriul de decizie trebuie astfel construit,
încât probabilităţile acestor erori să nu depăşească anumite valori impuse iniţial.
Unul dintre cele mai utilizate teste de concordanţă este testul Kolmogorov-
Smirnov [15].
Criteriul Kolomogorov- Smirnov presupune cunoaşterea momentelor de
defectare ale tuturor sistemelor din eşantion. Fie aceste momente
ordonate crescător. Cu ajutorul lor se poate estima funcţia de repartiţie a timpului
de funcţionare până la defectare, denumită şi funcţie empirică de repartiţie, conform
relaţiei:
(2.15)
Notând cu F(t) funcţia de repartiţie care caracterizează sistemul, teorema
Kolomogorov – Smirnov arată că ecartul maxim dintre funcţia de repartiţie teoretică
şi estimaţia ei , este o variabilă aleatoare a cărei lege de repartiţie
depinde numai de volumul eşantionului, nu şi de natura legii de repartiţie care se
verifică.
Funcţia de repartiţie Kolmogorov – Smirnov fiind tabelată, criteriul de decizie
este dat de cuantila de ordinul 1- a repartiţiei Kolomogorov – Smirnov, ipoteza H0
acceptându–se dacă ecartul maxim dintre funcţia de repartiţie teoretică şi cea
estimată nu depăşeşte valoarea cuantilei distribuţiei.
20
Analiza globală a fiabilităţii sistemelor tehnice
Însuşi modul în care au fost formulate ipotezele face deosebit de dificilă o
evaluare a puterii testului, respectiv a riscului de ordinul II (). Astfel, în aplicaţiile
curente, valoarea acestui risc rămâne necunoscută.
Etapele aplicării testului de concordanţă Kolmogorov-Smirnov sunt:
1) Se propune o lege de repartiţie a timpului de funcţionare, F(t);
2) Se adoptă riscul de ordinul I(),respectiv cuantila Dn(α)
3) Se determină funcţia de repartiţie estimată conform relaţiei (2.15);
4) Se determină ecartul maxim ;
5) Dacă ≤ Dn(α), atunci legea propusă nu se respinge.
Aplicaţia 1
Pentru un eşantion n=10 discuri de ambreiaj de la autoturisme Dacia s-au
obţinut următoarele momente de defectare (km de funcţionare): 73074, 76370,
78931, 68733, 70221, 74821, 71317, 78005, 75773 şi 74195.
Să se verifice, utilizând testul Kolmogorov-Smirnov, dacă legea de repartiţie
alpha modelează fenomenele de defectare a lotului de discuri. Se adoptă un risc de
ordinul I, α=0.15.
Soluţie
Funcţia de repartiţie pentru legea de repartiţie alpha este (cap.1):
(2.16)
unde este funcţia lui Laplace.
Utilizând metoda verosimilităţii maxime, parametrii repartiţiei alpha au
următoarele estimări:
(2.17)
21
Analiza globală a fiabilităţii sistemelor tehnice
(2.18)
Cu momentele de defectare ale discurilor se calculează următoarele mărimi:
(2.19)
(2.20)
(2.21)
Înlocuind relaţiile (2.19), (2.20) şi (2.21) în relaţiile (2.17) şi (2.18) se obţin
următoarele valori:
Utilizând anexa 1, funcţiile de repartiţie pentru legea alpha la momentele t i
sunt:
22
Analiza globală a fiabilităţii sistemelor tehnice
Diferenţele dintre funcţia de repartiţie alpha teoretică şi funcţia de repartiţie
estimată, la momentele ti sunt:
;
;
;
;
;
Ecartul maxim este:
=0.1072
Cuantila repartiţiei Kolmogorov-Smirnov pentru n=10 şi α=0.15 are valoarea
[ Anexa 2].
23
Analiza globală a fiabilităţii sistemelor tehnice
Deoarece < =0.360, legea de repartiţie alpha
modelează fenomenele de defectare ale eşantionului de discuri de ambreiaj.
Aplicaţia 2
Dintr-un lot de matriţe se prelevează în mod aleator un eşantion de volum
n=15 bucăţi, care sunt urmăriţi în exploatare până la defectarea tuturor matriţelor.
Momentele de defectare ale matriţelor sunt (în număr de acţionări): 15784, 16234,
17742, 18214, 19336, 19741, 20147, 20698, 21469, 21751, 22019, 22019, 22258,
22365.
Să se verifice, utilizând testul Kolmogorov-Smirnov, dacă legea de repartiţie
putere modelează fenomenele de defectare a lotului de matriţe. Se adoptă un risc
de ordinul I, α=0.1.
Soluţie
Pentru legea de repartiţie putere, funcţia de repartiţie teoretică F(t) are
expresia (capitolul 1):
(2.22)
unde b şi sunt parametri legi de repartiţie.
Parametrii b şi se pot determina utilizând metoda celor mai mici pătrate.
După transformări simple, funcţia de repartiţie putere poate fi scrisă sub
forma:
(2.23)
Se observă că ecuaţia (2.23) este ecuaţia unei drepte:
(2.24)
unde:
, iar (2.25)
24
Analiza globală a fiabilităţii sistemelor tehnice
Coeficienţii acestei drepte se determină cu relaţiile:
(2.26)
respectiv:
(2.27)
Parametrii funcţiei de repartiţie se determină cu relaţiile:
(2.28)
(2.29)
Cuantila repartiţiei Kolmogorov-Smirnov pentru n=15 şi α=0.1 are valoarea
[Anexa 2].
Funcţia de repartiţie estimată obţinută pe baza momentelor de defectare ale
matriţelor este:
(2.30)
Pentru şi iy se obţin următoarele valori:
25
Analiza globală a fiabilităţii sistemelor tehnice
Cu aceste valori se calculează următoarele mărimi:
Parametri a şi b1 se calculează cu relaţiile (2.26) şi (2.27):
26
Analiza globală a fiabilităţii sistemelor tehnice
respectiv:
Parametri pentru legea putere sunt:
Expresia funcţiei de repartiţie pentru legea putere este:
(2.31)
Se calculează diferenţele, în valoarea absolută, dintre funcţia de repartiţie
teoretică şi funcţia de repartiţie estimată. Se obţin următoarele valori:
27
Analiza globală a fiabilităţii sistemelor tehnice
Ecartul maxim este:
=0.0903
Deoarece =0.0903< , legea de repartiţie aleasă
modelează fenomenele de defectarea a lotul de matriţe.
Testul Kolmogorov-Smirnov a fost construit fără a se specifica riscul de ordin
II(β). Faptul că riscul de ordinul II rămâne neprecizat face ca respingerea unei
ipoteze să fie mai semnificativă decât acceptarea ei.
2.3 Estimarea indicatorilor de fiabilitate
Indicatorii de fiabilitate sunt calculaţi pe baza rezultatelor experimentale
obţinute în încercările de fiabilitate sau prin urmărirea sistemelor în exploatare. În
ambele cazuri, un eşantion reprezentativ de volum n este urmărit într-un anumit
interval de timp, funcţionând în condiţii de solicitare bine precizate.
28
Analiza globală a fiabilităţii sistemelor tehnice
Datorită caracterului statistic al experimentului, principial neputându-se
urmări decât o fracţiune redusă din sistemele realizate, valorile indicatorilor nu pot fi
determinate, ci doar estimate punctual sau cu interval de încredere. Dacă în
evaluarea indicatorilor se face abstracţie de legea lor de variaţie în timp, urmărindu-
se doar valorile numerice ale acestora, estimarea se numeşte neparametrică.
Evaluarea indicatorilor de fiabilitate prin intermediul legii timpului de funcţionare
poartă denumirea de estimare parametrică.
2.3.1 Estimarea neparametrică a indicatorilor de fiabilitate
Constă în evaluarea valorilor numerice ale indicatorilor de fiabilitate, fără a se
ţine seama de legea lor de variaţie. Fie un eşantion de volum n, urmărit într-un
interval de timp de mărime T, în care apar r defectări.
Dacă F(t) este probabilitatea de defectare în intervalul (0, t) a unui sistem din
eşantion, probabilitatea de apariţie a celor r defectări este dată de legea de
distribuţie binomială [15]:
(2.32)
Estimarea punctuală a probabilităţii de defectare F(t) se poate face prin
metoda verosimilităţii maxime. Logaritmând relaţia (2.32) şi punând condiţia de
maxim, rezultă estimaţia punctuală a funcţiei de repartiţie a timpului de funcţionare:
(2.33)
Dacă experimentul este realizat până la defectarea tuturor elementelor din
eşantion, înregistrându-se momentele succesive t1, t2……,ti,….,tn de defectare ale
acestora, funcţia de repartiţie poate fi estimată în ansamblul ei, conform
relaţiei (2.15).
Estimaţia cu interval de încredere a funcţiei de repartiţie sau a funcţiei de
fiabilitate prezintă mai puţin interes datorită impreciziei, chiar pentru eşantioane
relativ mari.
29
Analiza globală a fiabilităţii sistemelor tehnice
Pentru a evalua densitatea de probabilitate a timpului de funcţionare şi rata
de defectare, acestea fiind mărimi instantanee, este necesar să se considere un
interval finit Δt în care valorile acestor indicatori să fie presupuse constante.
Este important a se nota că estimarea acestor indicatori de fiabilitate depinde
de mărimea intervalului Δt: cu cât mărimea intervalului este mai mică, cu atât
aproximarea funcţiei printr-o constantă va fi mai bună. Prin urmare, în estimarea
indicatorilor de fiabilitate locali intervin erori datorate aproximării valorilor
instantanee cu mărimi constante pe interval, precum şi erori datorate caracterului
statistic al experimentului.
Fie un interval mic de timp (t,t+Dt) şi fie n(t) numărul de elemente din
eşantion aflate în bună stare la momentul t. Evident n(0) este tocmai volumul
eşantionului n.
Raportul dintre numărul de defectări înregistrate în intervalul (t,t+Dt) şi
volumul eşantionului este o estimaţie punctuală a probabilităţi totale de defectare în
acest interval. Raportând această valoare la mărimea intervalului, se obţine
estimaţia punctuală a densităţii de probabilitate f(t):
(2.34)
unde nf(t)=n(t)-n(t+Δt) este numărul de defecte înregistrate în intervalul (t,t+Dt).
Analog, împărţind numărul de defectări în intervalul (t,t+Dt) la numărul de
sisteme aflate în bună stare la începutul intervalului, se obţine estimaţia punctuală
a probabilităţii condiţionate de defectare în interval. Raportând această valoare la
mărimea intervalului, rezultă estimaţia punctuală a ratei de defectare:
(2.35)
Prin metode neparametrice se pot estima şi indicatorii numerici de fiabilitate.
Astfel media şi abaterea medie pătratică se estimează pe baza eşantionului,
conform relaţiilor:
(2.36)
respectiv:
30
Analiza globală a fiabilităţii sistemelor tehnice
(2.37)
2.3.2 Estimarea parametrică a indicatorilor de fiabilitate prin estimarea
punctuală
Evaluarea indicatorilor de fiabilitate prin intermediul legii de repartiţie a
timpului de funcţionare se numeşte estimare parametrică.
Deoarece repartiţia exponenţială poate aproxima cu nivelul de precizie dorit
orice lege de distribuţie a timpului de funcţionare, se va prezenta estimarea
punctuală a parametrului l al repartiţiei exponenţiale
În vederea estimării punctuale a parametrului l al repartiţiei exponenţiale, se
utilizează metoda verosimilităţii maxime [15]. Conform acestei metode, valoarea
estimată punctual este acea valoare care maximizează funcţia de verosimilitate,
adică probabilitatea asociată rezultatelor experimentelor efectiv înregistrate.
Funcţia de verosimilitate depinde de modul în care este organizată încercarea de
fiabilitate : trunchiat, dacă încercarea se încheie după o durată prestabilită T sau
cenzurat, dacă se încheie după un număr prestabilit de defectări.
În continuare se va prezenta planul cenzurat fără înlocuire, celelalte planuri
de organizare tratându-se în mod asemănător. În cazul planului cenzurat fără
înlocuire, rezultatele experimentale constau din numărul r de defectări şi
momentele t1,t2,…tr ale acestora.
Funcţia de verosimilitate este [15]:
(2.38)
unde:
(2.39)
31
Analiza globală a fiabilităţii sistemelor tehnice
Punând condiţia de maxim logaritmul funcţiei de verosimilitate (2.38), rezultă
estimaţia punctuală a lui l :
(2.40)
Este de dorit ca estimaţia punctuală să fie nedeplasată, adică media ei să
coincide cu valoarea adevărată a parametrului. În acest scop, estimaţia (2.40)
trebuie corectată, ea devenind:
(2.41)
Tabelul 2.1 cuprinde estimaţiile punctuale ale parametrului λ pentru toate
planurile de organizare ale încercărilor de fiabilitate.
Tabelul 2.1 Estimaţia punctuală prin metoda verosimilităţii maxime a parametrului repartiţiei
exponenţiale
Mod de organizare
a încercărilor
Fără înlocuire Cu înlocuire
Cenzurat
Trunchiat
Pe lângă absenţa deplasării, estimaţiile punctuale trebuie să fie caracterizate
prin consistenţă şi precizie. O estimare este consistentă dacă odată cu creşterea
volumului observaţiilor tinde spre valoarea adevărată. Condiţia de consistenţă este
îndeplinită prin utilizarea metodei verosimilităţii maxime în estimarea parametrilor.
32