Post on 12-Sep-2018
transcript
1
Cursul 8
Forme biliniare şi forme pătratice
Forme biliniare
Definiţia 1. Fie V/ un spaţiu vectorial de dimensiune finită n. O formă biliniară pe V este o
aplicaţie :F V V care satisface proprietăţile
i. ( , ) ( , ) ( , )F ax by z aF x z bF y z ;
ii. ( , ) ( , ) ( , )F x ay bz aF x y bF x z ;
pentru orice ,a b şi pentru orice , ,x y z V .
Condiţia (i) se numeşte liniaritatea în prima variabilă, iar condiţia (ii) se numeşte liniaritatea în
cea de-a doua variabilă.
Definiţia 2. F se numeşte simetrică dacă ( , ) ( , ), ,F x y F y x x y V .
Definiţia 3. a) F este pozitiv definită dacă
i. ( , ) 0F x x x V ;
ii. ( , ) 0 0VF x x x .
b) F este negativ definită dacă
i. ( , ) 0F x x x V ;
ii. ( , ) 0 0VF x x x .
Aplicaţia 1. Fie 2V şi 1 2,x x x , 1 2,y y y şi 1 2,z z z . Să se arate că funcţia
1 1 2 2( , )F x y x y x y este aplicaţie biliniară.
Soluţie. Trebuie să demonstrăm proprietăţile
i. ( , ) ( , ) ( , )F ax by z aF x z bF y z ;
ii. ( , ) ( , ) ( , )F x ay bz aF x y bF x z ;
i. 1 2 1 2 1 2( , ) , , , ,F ax by z F a x x b y y z z
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2, , , , , , ,F ax ax by by z z F ax by ax by z z
1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2ax by z ax by z ax z by z ax z by z . (1.1)
2
1 1 2 2 1 1 2 2( , ) ( , )aF x z bF y z a x z x z b y z y z
1 1 1 1 2 2 2 2ax z by z ax z by z . (1.2)
Din (1.1) şi (1.2) rezultă că (i) este îndeplinită.
ii. 1 2 1 2 1 2( , ) , , , ,F x ay bz F x x a y y b z z 1 2 1 1 2 2, , ,F x x ay bz ay bz
1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2x ay bz x ay bz ax y bx z ax y bx z . (1.3)
1 1 2 2 1 1 2 2( , ) ( , )aF x y bF x z a x y x y b x z x z
1 1 1 1 2 2 2 2ax y bx z ax y bx z . (1.4)
Din (1.3) şi (1.4) rezultă că (ii) este îndeplinită.
Definiţia 4. Fie :F V V o formă biliniară, 1dim , , nV n B e e o bază. Matricea
, , , , 1,ij ij i jA a a F e e i j n se numeşte matricea asociată lui F în baza B.
Aplicaţia 2. Fie 2 2:F , 1 1 2 2( , )F x y x y x y . Să se determine matricea lui F în baza
canonică din 2 .
Soluţie. Baza canonică 1 21,0 , 0,1B e e
11 1 1, 1a F e e 12 1 2, 0a F e e
21 2 1, 0a F e e 22 2 2, 1a F e e
Deci 1 0
0 1A
.
Teorema 1. Fie :F V V o formă biliniară, , , , , 1,ij ij i jA a a F e e i j n matricea
asociată lui F în baza 1, nB e e . Dacă 1
n
i i
i
x x e
, 1
n
j j
j
y y e
, atunci
1 1
,n n
ij i j
i j
F x y a x y
sau 11 1 1
1
1
,
n
t
n
n nn n
a a y
F x y X AY x x
a a y
.
3
Teorema 2. Forma biliniară :F V V este simetrică dacă şi numai dacă matricea asociată
este simetrică ( tA A ).
Forme pătratice
Definiţia 5. Fie :F V V o formă biliniară simetrică, unde V un spaţiu vectorial real.
Funcţia :Q V , ( ) ( , )Q x F x x se numeşte formă pătratică pe V asociată lui F.
Teorema 3. Dacă :Q V este o formă pătratică asociată formei biliniare simetrice F, atunci
1
( , ) ( ) ( ) ( )2
F x y Q x y Q x Q y ,
iar ( , )F x y se numeşte polara formei pătratice Q.
Demonstraţie. , , , , ,Q x y F x y x y F x x F x y F y x F y y
2 ,Q x F x y Q y 1
( , ) ( ) ( ) ( ) .2
F x y Q x y Q x Q y
Definiţia 6. Forma pătratică Q se numeşte pozitiv definită dacă ( ) 0, 0VQ x x şi se numeşte
negativ definită dacă ( ) 0, 0VQ x x . Forma pătratică este cu semn nedefinit dacă există x,y
astfel ca ( ) 0Q x şi ( ) 0Q y .
Teorema 4. Dacă :Q V este o formă pătratică, iar 1, nB e e este o bază a lui V şi A
este matricea lui Q în raport cu baza B (adică , , , 1,ij i j jia F e e a i j n ), iar
1
,n
i i
i
x V x x e
, atunci
2 2 2
11 1 22 2 12 1 2 13 1 3 1, 1
1 1
2 2 2 .n n
ij i j nn n n n n n
i j
Q x a x x a x a x a x a x x a x x a x x
(1.5)
Definiţia 7. O formă pătratică pe n este o funcţie Q definită pe n ale cărei valori într-un
vector x din n sunt calculate printr-o expresie de forma ( ) tQ x x Ax , unde A este o matrice
simetrică n n . Matricea A se numeşte matricea formei pătratice Q.
Aplicaţia 3. Fie 1
2
xx
x
. Calculaţi ( ) tQ x x Ax pentru următoarele matrice
4
a) 4 0
0 3A
;
b) 3 2
2 7A
.
Soluţie. a) 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
44 0( ) 4 3
30 3
tx x
Q x x Ax x x x x x xx x
.
b) 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
2 1 2
3 23 2( ) 3 4 7
2 72 7
tx x x
Q x x Ax x x x x x x x xx x x
.
Aplicaţia 4. Pentru 3x , scrieţi forma pătratică 2 2 2
1 2 3 1 2 2 3( ) 5 3 2 8Q x x x x x x x x sub
forma tx Ax .
Soluţie. Pentru a scrie matricea A, coeficienţii lui 2 2 2
1 2 3, ,x x x se trec pe diagonala principală.
Pentru ca matricea A să fie simetrică, coeficientul lui ,i jx x i j trebuie împărţit în mod egal între
poziţia (i,j) şi poziţia (j,i), deci va fi împărţit la 2. Coeficientul lui 1 3x x este 0. În consecinţă,
1
1 2 3 2
3
15 0
2
1( ) 3 4
2
0 4 2
t
x
Q x x Ax x x x x
x
.
Aplicaţia 5. Fie forma pătratică 2 2
1 1 2 2( ) 8 5Q x x x x x . Calculaţi ( )Q x pentru
a) 3
1x
;
b) 2
2x
;
c) 1
3x
;
Soluţie.
a) 2 23,1 3 8 3 1 5 1 28Q ;
b) 2 2
2, 2 2 8 2 2 5 2 16Q ;
c) 221, 3 1 8 1 3 5 3 20Q .
5
În anumite cazuri, formele pătratice sunt mai uşor de utilizat dacă nu au termeni de forma
,i jx x i j , adică matricea este diagonală. Aceşti termeni pot fi eliminaţi făcând o schimbare de
variabilă.
Definiţia 8. O formă pătratică se numeşte redusă la forma canonică dacă există o bază în care
matricea asociată are forma diagonală (adică Q x este o sumă de pătrate).
Definiţia 9. O formă pătratică se numeşte redusă la forma canonică dacă există o bază
1, , nB f f astfel ca dacă '
1
n
i i
i
x x f
, are loc
' '2 '2 '2
1 1 2 2( ) n nQ x x x x , (1.6)
unde , 1,i i n se numesc coeficienţii formei pătratice.
Reducerea la forma canonică
I. Metoda lui Gauss
Metoda lui Gauss constă în gruparea convenabilă a termenilor formei pătratice în scopul formării
de pătrate.
Fie forma pătratică 1 1
n n
ij i j
i j
Q x a x x
unde , , 1,ij jia a i j n .
I. Dacă 11 0a , atunci grupul termenilor care conţin variabila 1x se poate scrie astfel
2 2 11211 1 12 1 2 1 1 11 1 1 2 1
11 11
2 2 2 2 nn n n
aaa x a x x a x x a x x x x x
a a
2
1 111211 1 2
2 211 11 11
n ni jn
n i j
i j
a aaaa x x x x x
a a a
.
Notând 1121 1 2
11 11
nn
aay x x x
a a şi , 2,k ky x k n , se obţine
2 '
11 1
2 2
( )n n
ij i j
i j
Q y a y a y y
,
unde 1 1'
11
, , 2,i j
ij ij
a aa a i j n
a .
6
Considerăm '
1
2 2
( )n n
ij i j
i j
Q y a y y
, care este o formă pătratică în n-1 variabile şi dacă '
22 0a se
repetă procedeul şi se obţine ' 2
1 22 2 2( )Q y a z Q z , unde 2Q z este o formă pătratică în n-2
variabile.
În final, ( )Q x se scrie ca o sumă de pătrate
2 2
1 1 n nQ .
II. Dacă 11 0a , dar există un coeficient 0iia , 2,i n atunci se începe prin a
grupa termenii ce conţin variabila ix .
III. Dacă 0iia pentru orice 1,i n , atunci se face o schimbare de variabilă
1 1 2 2 1 2, , , 3,k kx y y x y y x y k n .
Astfel, forma pătratică în 1 2, , ny y y conţine un termen de forma 2
11 1b y şi se aplică procedeul
descris mai sus.
Aplicaţia 6. Să se reducă la forma canonică următoarele forme pătratice folosind metoda lui
Gauss
a) 2 2 2
1 2 3 1 2( ) 4 4 2Q x x x x x x ;
b) 2 2 2
1 1 3 2 3 2 3( ) 4 6 3 2Q x x x x x x x x .
Soluţie. a) 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 1 1 2 2 3
1( ) 4 4 2 4 4
2Q x x x x x x x x x x x
2 2 2 2 2
1 1 2 2 2 2 3
1 1 14 2 4
4 16 4x x x x x x x
2
2 2
1 2 2 3
1 154
4 4x x x x
.
Notând 1 1 2 2 2 3 3
1, ,
4y x x y x y x , rezultă forma canonică
2 2 2
1 2 3
15( ) 4
4Q y y y y (pozitiv definită).
Exprimând variabilele 1x , 2x , 3x în funcţie de 1y , 2y , 3y se obţine
1 1 2 2 2 3 3
1, ,
4x y y x y x y .
7
Forma pătratică are forma canonică în baza formată de vectorii
1 2 3
11, ,0 , 0,1,0 , 0,0,1
4e e e
.
Matricea de trecere de la baza canonică la această bază este
1 0 0
11 0
4
0 0 1
C
.
În această bază, matricea formei pătratice are forma diagonală.
4 1 0
1 4 0
0 0 1
A
,
4 0 0
0 15/4 0
0 0 1
tD C A C
.
b) 2 2 2
1 1 3 2 3 2 3( ) 4 6 3 2Q x x x x x x x x 2 2 2 2 2
1 1 3 3 3 2 3 2 34 4 4 6 3 2x x x x x x x x x
2 2 2
1 3 2 2 3 32 3 2 6x x x x x x 2 2 2
1 3 2 3 32 3 9x x x x x .
Notând 1 1 3 2 2 3 3 32 , ,y x x y x x y x , se obţine forma canonică
2 2 2
1 2 3( ) 3 9Q y y y y (nedefinită).
Exprimând variabilele 1x , 2x , 3x în funcţie de 1y , 2y , 3y se obţine
1 1 3 2 2 3 3 32 , ,x y y x y y x y .
Forma pătratică are forma canonică în baza formată de vectorii
1 2 31,0, 2 , 0,1,1 , 0,0,1e e e .
Matricea de trecere de la baza canonică la această bază este
1 0 0
0 1 0
2 1 1
C
.
În această bază, matricea formei pătratice are forma diagonală.
8
1 0 2
0 3 -3
2 -3 -2
A
1 0 0
0 3 0
0 0 -9
tD C A C
.
II. Metoda lui Jacobi
Dacă pentru orice 1,i n , determinanţii
11 12 1
12 22 2
1 2
i
i
i
i i ii
a a a
a a a
a a a
(1.7)
sunt nenuli, atunci există o bază 1, , nB f f astfel ca dacă '
1
n
i i
i
x x f
, în care Q are forma
canonică
' '2 '2 '211
1 2
1 2
1( ) n
n
n
Q x x x x
. (1.8)
Baza B se determină astfel
1 1 , 1,i i ii if c e c e i n , (1.9)
iar , 1,jic j i satisfac sistemele de ecuaţii
11 12 1 1
12 22 2 2
1 2
0
0
1
i i
i i
i i ii ii
a a a c
a a a c
a a a c
.
Observaţie. 1iii
i
c
, 1,i n , 0 1 .
9
Criteriul lui Sylvester. Fie V un spaţiu vectorial real de dimensiune n, iar Q o formă pătratică cu
matricea A. Atunci
i. Q este pozitiv definită 0, 1,i i n ;
ii. Q este negativ definită 1 0, 1,i
i i n ;
unde i sunt daţi de (1.7).
Aplicaţia 7. Să se reducă la forma canonică următoarea formă pătratică folosind metoda lui
Jacobi
2 2 2
1 1 3 2 3 2 3( ) 4 6 3 2Q x x x x x x x x .
Soluţie.
1 0 2
0 3 -3
2 -3 -2
A
1 1 0
2
1 03 0
0 3
3
1 0 2
0 3 -3 27 0
2 -3 -2
Forma pătratică este nedefinită, iar forma canonică este
' '2 '2 '2
1 2 3
1 1( )
3 9Q x x x x .
Să găsim acum baza 1 2 3, ,B f f f în care forma pătratică are forma canonică.
011
1
1c
1 11 1 1 1,0,0f c e e .
12 22
12 22
1 0 0
0 3 1
c c
c c
12
22
0
1
3
c
c
2 12 1 22 2 2
1 10, ,0
3 3f c e c e e
.
10
13 23 33
13 23 33
13 23 33
1 0 2 0
0 3 3 0
2 3 2 1
c c c
c c c
c c c
233
3
13 33
23 33
1
9
22
9
1
9
c
c c
c c
3 13 1 23 2 33 3 1 2 3
2 1 1 2 1 1, ,
9 9 9 9 9 9f c e c e c e e e e
.
Temă. Să se reducă la forma canonică următoarele forme pătratice
1) 2 2 2
1 2 3 2 35 2 5 4x x x x x ;
2) 2 2 2
1 1 2 2 38 3x x x x x ;
3) 2 2 2
1 2 3 1 2 2 35 6 7 4 4x x x x x x x ;
4) 2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 33 2 2 2 2 4x x x x x x x x x ;
5) 2 2 2
1 2 3 1 2 2 35 6 7 4 4x x x x x x x .
11
Matrice ortogonale
Transformări liniare ortogonale
Definiţia 1. Fie E un spaţiu euclidian, :T E E transformare liniară. * :T E E se numeşte
adjunctul lui T dacă *, , , ,T x y x T y x y E .
Definiţia 2. Fie E un spaţiu euclidian, :T E E liniar. Transformarea T se numeşte
autoadjunctă (operator autoadjunct) dacă *T T , adică
*, , , , ,T x y x T y x T y x y E .
Teorema 1. Transformarea :T E E este autoadjunctă, dacă şi numai dacă matricea lui T în
raport cu orice bază ortonormată este simetrică.
Definiţia 3. Fie E un spaţiu euclidian, :T E E un operator liniar. T se numeşte transformare
ortogonală (operator ortogonal) dacă transformă orice bază ortonormată într-o bază ortonormată
a lui E.
Observaţie. Dacă 1 2, , , nB e e e este o bază ortonormată în E, atunci
1 2, , , nT e T e T e este bază ortonormată a lui E, adică
, , , 1, , , , 1,i j ij i j ije e i j n T e T e i j n .
Teorema 2. Dacă E este un spaţiu euclidian de dimensiune n şi :T E E un operator liniar,
atunci următoarele afimaţii sunt echivalente:
a) T este transformare ortogonală;
b) T păstrează produsul scalar, adică
, , , , ;T x T y x y x y E (1.10)
c) Dacă A este matricea asociată lui T într-o bază ortonormată, atunci există 1A şi
1 tA A .
Demonstraţie. Demonstrăm că a b c a .
“ a b ”. Fie 1 2, , , nB e e e o bază ortonormată în E. Atunci 1 2, , , nT e T e T e este
bază ortonormată a lui E, adică , , , , 1,i j ij i je e T e T e i j n .
12
Fie 1
, ,n
i i
i
x y E x x e
şi 1
n
j j
j
y x e
. Atunci 1
,n
i i
i
x y x y
.
Dar 1 1 1
, , ,n n n
i j i j i i
i j i
T x T y x y T e T e x y x y
, , ,T x T y x y x y E .
“b c ”. Trebuie să demonstrăm că 1, , , tT x T y x y x y E A A .
Demonstrăm mai întâi că T este injectivă, adică EKerT O .
0 , , 0 0 0def prod scalarip x KerT
E E Ex KerT T x x x T x T x x KerT T
injectiv. Cum T este şi surjectiv, rezultă că este bijectiv, deci există 1 :T E E . Din ipoteză
ştim că , , , ,T x T y x y x y E . Alegem în această relaţie
1 1, ,y T x T y x T x x x T x .
Dar *, ,T x x x T x 1 * * 1, ,x T x x T x T T .
Se demonstrează că matricea lui *T este tA , iar matricea lui 1T este 1A , deci 1tA A .
“ c a ”. Din ipoteză 1 * 1tA A T T . Trebuie să arătăm că T este transformare ortogonală.
Fie 1 2, , , nB e e e este o bază ortonormată în E şi A matricea lui T în această bază.
* 1, , , , , , 1, .i j i j i j i j ijT e T e e T T e e T T e e e i j n
Deci 1 2, , , nT e T e T e este bază ortonormată a lui E, adică T este ortogonal.
Corolarul 1. Un operator ortogonal păstrează distanţele şi unghiurile.
Demonstraţie. Trebuie să arătăm că , ,d T x T y d x y şi cos , cos ,T x T y x y .
Alegând y x în (1.10), rezultă , , ,x x T x T x x T x x E .
Atunci , ,T liniar
d T x T y T x T y T x y x y d x y , deci T păstrează
distanţele.
, ,cos , cos ,
T x T y x yT x T y x y
x yT x T y
, deci T conservă unghiurile.
13
Matrice ortogonale
Definiţia 4. O matrice nA M se numeşte matrice ortogonală dacă este inversabilă şi
1 tA A .
Exemple. Matricele 1 0 0 1 cos sin
, ,0 1 1 0 sin cos
sunt ortogonale. Acest lucru se verifică
prin calcul direct.
Propoziţia 1. Dacă nA M este matrice ortogonală, atunci det 1A .
Demonstraţie. A ortogonală det det dett t t
n nA A A A I A A I .
Dar det det tA A , rezultă că 2
det 1 det 1.A A
Definiţia 5. Matricea A ortogonală pentru care det 1A se numeşte matrice de rotaţie.