+ All Categories
Home > Documents > 09. Functionale Biliniare Si Patratice

09. Functionale Biliniare Si Patratice

Date post: 30-Dec-2014
Category:
Upload: ramona-alexandru
View: 180 times
Download: 5 times
Share this document with a friend
65
Funcţionale biliniare şi pătratice Stabiliţi dacă următoarea funcţională este biliniară sau nu? , . Soluţie: functionala biliniara daca 1) 2) 3) 4) Fie 1) 2) Analog si am demonstrat ca functionala biliniara Să se reducă la forma canonică funcţionala pătratică , . Soluţie: folosim metoda Gauss Să se reducă la forma canonică funcţionala pătratică , . Soluţie: folosim metoda Iacobi-obtinem Să se reducă la forma canonică funcţionala pătratică , Soluţie: folosim metoda Iacobi si obtinem Exercise Exercise Exercise Exercise Page 1 of 65 05FuncBilinPatrat.htm 20.04.2008 http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Transcript
Page 1: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Funcţionale biliniare şi pătratice Stabiliţi dacă următoarea funcţională este biliniară sau nu? , .

Soluţie: functionala biliniara daca

1)

2)

3)

4)

Fie

1)

2)

Analog si am demonstrat ca functionala biliniara

Să se reducă la forma canonică funcţionala pătratică , .

Soluţie: folosim metoda Gauss

Să se reducă la forma canonică funcţionala pătratică , .

Soluţie: folosim metoda Iacobi-obtinem

Să se reducă la forma canonică funcţionala pătratică ,

Soluţie: folosim metoda Iacobi si obtinem

Exercise

Exercise

Exercise

Exercise

Page 1 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 2: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Să se aducă următoarea funcţională la forma canonică prin metoda lui Iacobi şi a lui Gauss şi să se stabilească natura funcţionalei: ,

Soluţie: Iacobi:

pozitiv definita

Gauss:

pozitiv definita

Să se aducă urmatoarea funcţională la forma canonică prin metoda lui Iacobi şi să se stabilească natura funcţionalei:

Soluţie:

functionala este pozitiv definita.

Să se aducă următoarea funcţională la forma canonică prin metoda lui Iacobi şi să se stabilească natura funcţionalei:

Exercise

Exercise

Exercise

Page 2 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 3: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Soluţie:

functionala este nedefinita

Să se aducă următoarea funcţională la forma canonică:

Soluţie: Notam

Să se aducă la forma canonică următoarea formă patratică: .

Soluţie: matricea formei patratice este :

Să se aducă la forma canonică urmatoarea funcţională pătratică: .

Soluţie:

Notam:

Exercise

Exercise

Exercise

Page 3 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 4: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Care dintre următoarele funcţionale sunt biliniare? , .

Soluţie: fie x=

x

f

=

f

=

=

din

6. Care este natura functionalei pãtratice:

.

Rezolvare:

Metoda Gauss.

. Fãcând transformarea : , obtinem: . Facem transformarea: . Avem

si am obtinut forma canonicã. Ea are matricea: . Deci functionala pãtraticã este nedefinitã.

Metoda Jacobi:

Matricea lui este: . Avem , , , , deci se poate aplica metoda. Facem transformarea:

Exercise

Page 4 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 5: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

. Obtinem: . Matricea ei este: . Avem , ,

, , . Rezultã cã forma canonicã este .

7. Sã se aducã la forma canonicã functionala pãtraticã:

.

Rezolvare:

Metoda Gauss:

Deoarece nu avem nici un pãtrat perfect facem transformarea: , obtinem: . Încercãm sã obtinem pãtrate

perfecte: ,

deci . Facem transformarea: si obtinem , care are matricea:

. Deoarece minorii principali sunt: , , functionala este nedefinitã.

Metoda Jacobi:

Matricea functionalei pãtratice este: . Deoarece nu putem aplica aceastã metodã, deci trebuie sã facem transformarea:

si obtinem . Matricea acestei functionalei este: A= . Avem , , ,

. Forma canonicã va fi : .

9. Se dã urmãtoarea functionalã biliniarã:

, .

a) Scrieti matricea lui în baza canonicã ;

b) Scrieti matricea lui f în baza , unde ,

Rezolvare:

a) Fie baza , unde , . Matricea lui în aceastã bazã este , unde . Atunci avem:

Page 5 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 6: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Deci .

b) Fie matricea corespunzãtoarea bazei . Avem:

,

deci matricea este .

Sa se aduca la forma canonica urmatoarele functionalele patratice:

1.

V(x)

unde:

2.

unde:

3.

unde:

Page 6 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 7: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

4.

unde:

5.

unde:

6.

unde:

7.

unde:

Sa se determine valorile reale ale lui a pentru care functionala patratica:

8. ,sa fie pozitiv definita;

Page 7 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 8: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

unde:

functionala este pozitiv definita pentru

9. ,sa fie negativ definita

unde:

functionala este negativ definita pentru

,

10. ,sa fie negativ definita

unde:

nu exista a pentru care functionala este negativ definita.

3.Sa se arate ca x unde cu este o functionala biliniara.

.

4.Se da functuionala: definita prin:

Aratati ca functionala este biliniara.

Rezolvare:

Fie Sa aratam :

1)

Page 8 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 9: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

2)

3)

4)

Rezolvare:

1)

2)

3)

4)

5.Fie spatiul vectorial al sirurilor convergentede numere reale ,construit cu operatiile obisnuite de adunare a sirurilor si de inmultire cu scalari. Sa se arate ca functionala ,unde

este biliniara si simetrica

Rezolvare:

Fie fiind sirurile cu limitele respectiv

Limita sirului suma este iar limita sirului este

Functionala fiind liniara in primul argument si simetrica ,este liniara si in al doilea argument ,prin urmare,

este o functionala biliniara si simetrica.

6.Sa se stabileasca natura urmatoarei forme patratice:(pozitiv definita,negativ definita,nedefinita)

Rezolvare:

Matricele formelor patratice si minorii principali sunt :

Este pozitiv definita.

7.Sa se reduca la forma canonica functionala patratica:

Rezolvare:

Metoda Gauss:

Page 9 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 10: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

unde

8. Sa se determine valorile reale ale lui pentru care functionala patratica

sa fie pozitiv definita.

Rezolvare :

Reducem functionala la forma canonica:

Pentru ca sa fie pozitiv definit trebuie ca

10. Sa se cerceteze daca functionala

este biliniara

Rezolvare:

este biliniara.

4.Să se arate că funcţionala : este biliniară şi să se scrie matricea ei în baza : .

5.Să se arate că funcţionala biliniară : , unde şi este simertică şi pozitiv definită.

6.Să se reducă la forma canonică funcţionala pătratică : , .

7.Să se determine valorile reale ale lui pentru care funcţionala pătratică : să fie pozitiv definită.

8.Să se reducă la forma canonică funcţionala pătratica ; , , determinând baza în care e scrisă forma canonică.

9.Să se reducă la forma canonică funcţionala : şi să i se specifice natura.

4.Să se arate că funcţionala : este biliniară şi să se scrie matricea ei în baza : .

Soluţie:

Fie , şi , , şi atunci :

funcţionala este biliniară.

Page 10 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 11: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Matricea ataşată funcţionalei in baza este: unde:

deci .

5.Să se arate că funcţionala biliniară : , unde şi este simertică şi pozitiv definită.

Soluţie:

-

deci ,funcţionala este simetrică.

deci .

6.Să se reducă la forma canonică funcţionala pătratică : , .

Soluţie:

metoda lui Gauss:

Page 11 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 12: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

-matoda Jacobi:

, , , ,

.

7.Să se determine valorile reale ale lui pentru care funcţionala pătratică : să fie pozitiv definită.

Soluţie:

pentru ca să fie pozitiv definită, trebuie ca:

( .

8.Să se reducă la forma canonică funcţionala pătratica ; , , determinând baza în care e scrisă forma canonică.

Soluţie:

,

.

conform formulei:

.

9.Să se reducă la forma canonică funcţionala : şi să i se specifice natura.

Page 12 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 13: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Soluţie:

;

deci funcţionala este pozitiv definită.

10..Să se determine valorile reale ale lui pentru care funcţionala pătratică : să fie negativ definită.

Soluţie:

, ,

Forma canonică a funcţionalei este:

şi petru ca funcţionala să fie negativ definită, trebuie ca

adică : .

***

FUNCTIONALE LINIARE ,BILINIARE ,PATRATICE

1.Să se aducă la forma canonică funcţionala pătratică:

notez:

Page 13 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 14: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

notez:

functionala strict pozitiv definita.

2.Să se aducă la forma canonică:

notez:

3.Să se reducă la forma canonică funcţionala patratică:

notez:

notez:

4.Să se reducă la forma canonică:

notez:

notez:

5.Să se determine valorile reale ale lui pentru ca funcţionala pătratică să fie pozitiv definită:

notez:

Page 14 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 15: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

notez:

pozitiv definita

6.Să se determine valorile reale ale lui pentru ca funcţionala patratică să fie negativ definită:

notez:

notez :

negativ definita

9.Sa se arate ca este o functionala biliniara si sa se scrie matricea ei in baza canonica si in baza G.

Page 15 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 16: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

10.Sa se aduca la forma canonica ,in functie de parametrul

1.pentru functionala devine:

functionala nedefinita

2.pentru

nedefinita

semidefinita

nedefinita

semidefinita

functionala e pozitiv definita

3.Stabiliti daca urmatoarea functionala este biliniara sau nu?

f: ,

Analog

4.Sa se reduca la forma canonica functionala patratica V: ,

folosim metoda Gaus

Page 16 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 17: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

5.sa se reduca la forma canonica functionala patratica ,

6.Sa se reduca la forma canonica functionala patratica ,

7. In spatiul numeric se considera forma biliniara A(x,y)= . Sa se regaseasca matricea corespunzatoare formei biliniare A(x,y) in baza:

SOLUTIE: Matricea atasata lui A in baza canonica este:

iar matricea de trecere de

la baza mentionata este: . Atunci matricea atasata lui A este

8. Fiind data o matrice simetrica , avand proprietatile: , 0, ,

Page 17 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 18: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

sa se arate ca .

SOLUTIE: Stim ca daca A este o matrice simetrica care indeplineste conditiile mentionate ,atunci: unde

si din faptul ca este pozitiv definita

7/22. Care din urmatoarele functionale sunt biliniare si care nu?

a)

b)

c)

Rezolvare:

a) Fie , , , si ; exista relatia:

este si aditiva si omogena rezulta biliniara.

b)Fie , , , si ; exista relatia:

nu este aditiva nu este biliniara.

c) Fie , , , si ; exista relatia:

este si aditiva si omogena rezulta biliniara.

8/22. Sa se arate ca este o functie biliinara si sa se scrie matricea ei in baza canonica si in baza G:

a) , ,

b) , ,

c) , ,

Rezolvare

a) Fie , , , si ; exista relatia:

Matricea functionalei in baza canonica va fi: , , , unde , adica

Page 18 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 19: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

, ,

Matricea functionalei in baza G are urmatoarele elemente:

, ,

,

fiind vectorii bazei .

b)Fie , , , si ; exista relatia:

Matricea functionalei in baza canonica va fi: , , , unde

,

,

,

,

Matricea functionalei in baza G este :

, , ,

, , , , ,

9/23. Sa se arate ca functionala biliniara , , unde

si este simetrica si pozitiv definita.

Rezolvare

Functionala este simetrica.

Sa aratam ca este strict pozitiva pentru orice , cu . Avem:

Deci este pozitiva pentru orice x si se anuleaza numai cand , , sistemul are numai solutia banala si deci pentru orice

Page 19 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 20: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

10/23. Sa se arate ca , unde cu , este o functionala biliniara. Sa se scrie matricea in bazele

, .

Rezolvare

, , ,

, , ,

este functionala biliniara. Calculam matricea functionalei, cu , astfel:

si deci:

11/23. Sa se reduca la forma canonica functionala patratica

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

Rezolvare

a) Metoda 1. (Gauss)

, unde , , .

Metoda 2. (Jacobi) Calculam minorii principali ai matricei functionalei patratice

, , ,

Toti minorii fiind nenuli, metoda lui Jacobi sa poate aplica si forma canonica a lui este:

.

c) Deoarece matricea functionalei patratice este:

, nu se poate aplica nici o metoda de mai sus. Dar pentru , ,

, unde:

12/24. Sa se reduca la forma canonica funtionala patratica determinandu-se si baza in care este scrisa forma canonica.

Page 20 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 21: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

a) ,

b) ,

c) ,

Rezolvare:

a) Grupam termenii:

Obtinem forma canonica (1) unde , , (2)

(3)

Coordonatele vectorului x in baza , in care are forma canonica (1), sunt .

Se stie ca , unde cu notam baza canonica, iar este matricea de trecere de la baza canonica la baza . Avem, deci, conform relatiei (3):

si cum

Fie , matricea adjuncta a lui

baza este formata din vectorii: , , .

b) ; , , ;

c) ; , ;

13/25. Sa se determine valorile reale ale lui a pentru care funtionala patratica:

a) sa fie pozitiv definita;

b) sa fie negativ definita;

c) sa fie negativ defitnia;

Rezolvare:

a) Metoda 1. Reducem functia la forma canonica

.

Pentru ca sa fie pozitiv definita trebuie ca adica

Metoda 2. Minorii principali ai maricei

sunt Trebuie ca de unde

b) Minorii principali ai matricei:

Page 21 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 22: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

sunt . Trebuie sa implineasca conditiile de unde rezulta ca .

c) , , . Daca , adica , functionala este negativ definita.

14/26. Sa se reduca la forma canonica si sa se specifice natura.

Rezolvare

Matricea functionalei este

Calculand , minorul principal de ordinul al lui astfel : adunam toate liniliile la prima, scoatem factor comun si apoi scadem prima coloana din toate celelalte.

.

Forma canonica a lui va fi:

si este pozitiv definita.

Sa se arate ca , , unde si este o functionala biliniara; sa se scrie matricea acestei functionale biliniare in baza canonica si in baza .

Solutie

Fie , si din ; exista relatiile:

,

;

in mod analog rezulta ca:

si deci este o functionala biliniara.

matricea functionalei in baza canonica va fi:

unde

, adica:

, , ,

, , ,

, ,

Page 22 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 23: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

si deci:

Matricea se poate scrie si direct folosind relatia .

Matricea a functionalei in baza se poate calcula prin doua metode:

Metoda 1.

Elementele matricei B sunt:

,

, , ,

, , ,

, ,

si deci:

.

Metoda 2.

Matricea este egala cu unde este matricea de trecere de la baza canonica la baza , adica:

si deci:

.

Sa se arate ca , unde este o functionala biliniara simetrica; sa se scrie matricea ei in baza .

Solutie

Faptul ca este o functionala biliniara se arata cu usurinta; este simetrica deoarece inmultirea a doua polinoame e comutativa si deci:

Calculam matricea functionalei:

daca deoarece

, , ,

, , ,

, , ,

Page 23 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 24: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

.

Sa se arate ca functionala biliniara unde si , este pozitiv definita.

Solutie

Trebuie sa aratam ca pentru orice din , . Putem scrie:

;

grupam termenii:

fiind o suma de patrate este nenegativa si se anuleaza numai cand:

singura solutie a sistemului de mai sus este ; adica numai pentru iar pentru avem .

Sa se demonstreze ca o functionala biliniara este degenerata daca si numai daca exista orice vector y din (Functionala biliniara se numeste degenerata daca matricea ei intr-o baza este singulara).

Solutie

Fie , matricea lui f in baza a lui si coordonatele lui si in aceeasi baza , respectiv , ; cu aceste notatii putem scrie:

Daca atunci sistemul omogen , este nedeterminat; fie o solutie nenula a acestui sistem . Daca notam cu vectorul ce

are coordonatele , in baza atunci e nenul si avem:

pentru orice din .

Sa presupunem acum ca exista vectorul nenul astfel incat pentru orice din . Avem in particular pentru orice , din relatia , adica:

, .

Relatiile de mai sus arata ca sistemul omogen , are si o solutie nenula si prin urmare determinantul sistemului este nul.

Observatia 1. Evident, este adevarata afirmatia din enuntul problemei daca se schimba rolurile lui x si y.

Observatia 2. Orice functionala biliniara pozitiv definita are matricea nesingulara.

9. Sa se reduca forma patratica:

Rezolvare:

Avem

Page 24 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 25: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Deci transformarea

reduce q la forma

10. Sa se reduca urmatoarea forma patratica:

Rezolvare

Aplicam teorema lui Kronecker. Avem dar

Transformarea nesingulara

sau reduce la forma:

11. Sa se demonstreze ca adca o forma patratica reala q este transformata prin doua transformari nesingulare in doua forme reduse distincte

si

atunci

Rezolvare

Presupunem Fie transformarea prin care se ajunge la (1) si transformarea prin care se ajunge la (2). Atunci avem

si

Tinand seama de (1) si (2), obtinem:

Consideram ecuatii:

Page 25 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 26: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Acest sistem are o solutie diferita de cea banala, fie Inlocuind in (3) avem

Este clar ca acestea necesita ca fiecare din paranteze sa fie zero. Daca nu, atunci nici unul din F sau G nu este nesingular, contrar ipotezei. Deci Repetand rationamentul pentru se ajunge din nou la o contradictie, deci

8.Fie functionala biliniara:

a) Determinati matricea A corespunzatoare bazei canonice

b) Determinati matricea B corespunzatoare bazei unde:

a)

b) Fie matricea de trecere de la la adica matricea care are pe coloane coordonatele vectorilor

in baza unitara B.

Avem: Din relatia: rezulta:

9.Sa se aduca la forma canonica urm. functionale patratice si sa se stabileasca naturalor : a)

Rezolvare prin metoda Jacobi:

Matricea functionalei patratice este:

Minorii principali sunt:

Stiind ca daca toti avem:

rezulta: Functionala este nedefinita

Page 26 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 27: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

b)

Rezolvare prin metoda Gauss:

Fie transformarea:

Rezulta:

Facand transformarea rezulta:

Fie . Rezulta

Matricea formei canonice este matricea diagonala:

si are minorii principali: Rezulta ca f este nedefinita

10. Fie functionala patratica

Sa se determine valorile lui astfel incat functionala sa fie pozitiv definita.

Rezolvare:

Matricea formei patratice este: A=

Punem conditia:

3/43 Utilizand metoda transformarilor ortogonale(sau metoda valorilor proprii), sa se aduca la forma

canonica urmatoarele forme patratice:

a)

b)

Metoda transformarii ortogonale consta in urmatoarele.Se scrie matricea formei patratice si se rezolva

ecuatia caracteristica , obtinandu-se valorile proprii . Se rezolva apoi

sistemul obtinandu-se vectorii proprii normati

Forma patratica este redusa la forma canonica prin transformarea

ortogonala

Page 27 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 28: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

a) Matricea formei patratice este iar ecuatia caracteristica se scrie

Valorile proprii sunt Pentru , din sistemul

determinam vectorul propriu normat, adica Pentru din sistemul

obtinem In sfarsit, pentru din sistemul

obtinem

Prin urmare, cu transformarea ortogonala

forma este redusa la urmatoarea forma canonica

b) Matricea formei patratice este Ecuatia caracteristica

admite radacinile Pentru din sistemul

obtinem vectorul propriu normat Pentru ,se obtine sistemul

Sistemul fundamental de solutii al acestui sistem

de ecuatii este format din = si , solutia generala a sistemului fiind Deoarece

vectorii si nu sunt ortogonali, se procedeaza astfel: se ia si se cauta normat si ortogonal lui

Deoarece si , din conditia de ortogonalitate a acestora obtinem astfel

ca .Normand acest vector,obtinem

Cu aceasta vectorii formeaza o baza ortonomata si cu transformarea ortogonala

forma patratica este redusa la forma canonica

4/44 Sa se determine astfel ca intre formele liniare

sa aiba loc relatia

5/44 Sa se cerceteze natura sistemului de forme si sa se stabileasca relatiile de dependenta cand este cazul:

Page 28 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 29: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

a) b)

c)

Rezolvare:

a)

Fie

sistemul are doar solutia banala

sistemul e liniar independent.

b)

Fie

sistem liniar dependent.

Page 29 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 30: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Cautam minori de ordin 3 nenuli:

Cautam minori de ordin 2 nenuli:

Notam necunoscuta secundara

Dependenta liniara a functionalelor este:

Pentru

c)

Fie

Cautam minori de ordin 3 nenuli:

:

Cautam minori de ordin 2 nenuli:

Notam necunoscuta secundara

Page 30 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 31: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Dependenta liniara a functionalelor este:

Pentru

6/44 Sa se aduca la forma canonica prin metoda lui Gauss si sa se precizeze indicele pozitiv,

signatura si natura pentru fiecare din formele patratice:

a)

Notam

, rang =

In aceasta forma canonica se vede ca indicele pozitiv este indicele negativ ,signatura este

Deoarece sistemul este nedegenerat si pozitiv definit.

b)

Notam

Indicele pozitiv este , rang

indicele negativ si signatura Sistemul este nedegenerat si pozitiv.

7/45 Aplicand metoda transformarii ortogonale, sa se aduca la forma canonica urmatoarele forme patratice:

a)

Page 31 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 32: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

, Solutia este:

Pentru , Solutia este:

Dam lui o valoare arbitrara 1 si normam.

Pentru , Solutia este: :

Procedez asemanator si calculez

Pentru , Solutia este:

Prin urmare,cu transformarea ortogonala

b)

, Solutia este:

Pentru , Solutia este:

Pentru , Solutia este:

Pentru , Solutia este:

Cu transformarea ortogonala

c)

Page 32 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 33: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

, Solutia este:

Pentru , Solutia este:

Pentru , Solutia este:

Pentru , Solutia este:

Cu transformarea ortogonala

d)

, Solutia este:

Pentru , Solutia este:

Pentru , Solutia este:

Pentru , Solutia este:

Cu transformarea ortogonala:

8. Fie o matrice simetrica, avand valorile proprii si functionala patratica asociata lui

Sa se demonstreze afirmatiile:

a)

b)

c)Daca si cu proprietatea ca atunci e o valoare proprie a operatorului cu matricea A

Page 33 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 34: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

d) astfel incat

e)

Rezolvare

a)Fie o valoare proprie oarecare a lui . Luam un vector propriu corespunzator valorii proprii Conform ipotezei de unde rezulta ca

b)Se stie din teorie ca putem gasi o baza ortornormata formarta din vectori proprii corespunzatori valorilor proprii

Daca atunci

Reciproc, daca atunci

unde si e baza canonica in

Deoarece , obtinem

c)Daca atunci (conform a)

Daca exista astfel incat atunci unde iar e o baza formata cu vectori

proprii.

Atunci si cum rezulta ca exista astfel incat

d)Fie

Folosind punctul b) obtinem si unde

luam si totul e demonstrat.

e) Avem conform punctului b)

9.Fie si Aratati ca :

a) e o matrice simetrica.

b)Functionarea patratica , e semipozitiv definita

c)

Rezolvare

a)Avem si deci e simetrica

b) Avem unde

deci ceea ce inseamna ca e semipozitiv definita.

c)Deoarece rezulta ca exista astfel incat Atunci implica faptul ca este valoare proprie a lui ceea ce e echivalent cu

10. Fie o matrice patratica de ordin simetrica cu elemente numere reale.

Sa se gaseasca un interval astfel incat sa fie matricea asociata unei functionale patratice pozitiv definita.

Rezolvare

Page 34 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 35: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Fie valorile proprii ale matricei

Avem unde sunt valorile proprii ale matricei

Fie

Daca atunci , si deci

11.Fie , doua matrice patratice de ordin , simetrice.Sa se arate ca daca valorile proprii ale operatorului cu matricea sunt pozitive, atunci valorile proprii ale matricei sunt pozitive sau nule.

Rezolvare

Fie valorile proprii ale operatorului cu matricea Daca atunci conform problemei 8 avem Atunci Deci valorile proprii ale matricei sunt pozitive (sau nule daca

12.Fie o matrice antisimetrica Aratati ca:

a)valorile proprii ale operatorului cu matricea sunt reale, pozitive sau nule

b)valorile proprii ale operatorului cu matricea sunt de forma unde

Rezolvare

a)Observam ca unde

Deoarece Conform problemei 8 obtinem ca valorile proprii ale operatorului cu matricea sunt pozitive sau nule

b)Fie o valoare proprie a lui si un vector propriu corespunzator valorii proprii Atunci

Deci este o valoare proprie a matricei Conform punctului a aceasta valoare proprie trebuie sa fie pozitiva sau nula, deci unde

13.Fie o matrice inversabila.Sa se arate ca operatorul cu matricea are toate valorile proprii strict pozitive.

Rezolvare

Observam mai intai ca este simetrica. Intr-adevar, In plus unde si

deci

Conform problemei 8 obtinem ca unde sunt valorile proprii ale operatorului cu matricea .Pe de alta parte e o valoare proprie a operatorului cu matricea ceea ce e fals.In concluzie,

14.Fie o matrice simetrica asociata unei functionale patratice , pozitiv definita.Fie matricea de ordinul obtinuta din suprimand liniile si

coloanele Sa se arate ca Reciproc in cazul sa se verifice ca

implica faptul ca e pozitiv definita.

Rezolvare

Pentru orice avem Deci in particular Deci este pozitiv definita si matricea sa este Conform problemei 8 obtinem Pentru n=3 obtinem

si si

15.Fie o functional patratica pozitiv definita unde este o matrice patratica simetrica.Sa se arate ca

a) este inversabila si este simetrica

Page 35 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 36: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

b) este o functionala patratica

Rezolvare

a)Deoarece conform problemei 8, si deci este inversabila.Apoi

b)Valorile proprii ale matricei sunt de forma unde sunt valorile proprii ale lui

Intrucat obtinem ca

16.Fie astfel incat ,

Aratati ca

Deduceti ca

Rezolvare

Avem unde Deoarece rezulta

valorile proprii ale operatorului cu matrice sunt strict pozitive.Deci In plus,

17.Fie o functionala biliniara, simetrica pe si functionala patratica asociata.

a)Sa se arate ca este un subspatiu vectorial al lui

b)Presupunem ca exista functionale liniare astfel incat Sa se gaseasca expresia functionalei biliniare si sa se arate ca numarul al

functionalelor liniare este egal cu

c)Sa se arate ca poate fi intotdeauna descompusa intr-o suma de patrate .

Rezolvare

a) este un subspatiu vectorial al lui deoarece , de unde deducem ca si

de unde deducem ca

b)Se stie ca si deci Prin ipoteza

functionalele liniare sunt liniar independente.Pe de alta parte avem

Deoarece solutiile sistemului formeaza un subspatiu vectorial de dimensiune care coincide cu , putem scrie sau

c)Pentru , unde Sa presupunem ca afirmatia e adevarata pentru Fie presupunem fara a restrange

generalitatea ca contine un termen in In functionala patratica nu apar

decat coordonate de indice inferior lui si din acest motiv ea poate fi considerata ca o functionala patratica pe Conform ipotezei exista

functionale liniar independente astfel incat Daca atunci primul termen al functionalei este patratul functionalei

Functionala este independenta de functionalele deoarece este singura care il contine pe

Daca nu contine un termen in dar contine un termen in , atunci se aplica acelasi rationament, inlocuind cu

Daca nu contine patrate atunci ea trebuie sa contina cel putin un termen nenul Se efectueaza apoi schimbarea:

si se obtine

Ceilalti termeni nu contin pe Avand un termen la patrat in se poate aplica rationamentul de mai sus.

Problemele 1-8 pg 259-275 Aida Toma

1.Sa se aduca la forma canonica dupa metoda lui Gauss functionalele:

Page 36 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 37: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

a)

b)

c)

Rezolvare

a)

Luam

si putem scrie

b)Intrucat coeficientii patratelor sunt zero vom efectua urmatoarea transformare liniara

si obtinem

Facem schimbarea liniara

si deci

c)

Facem transformarea

si deci

Page 37 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 38: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Facem transformarea

Deci

Efectuam o ultima transformare

Si astfel

2.Sa se aduca la forma canonica si sa se precizeze natura pentru fiecare din functionalele

a)

b)

c)

Rezolvare

a)

Luam

si forma canonica a lui este

rezulta este pozitiv definita

b)

Transformam

Asadar

Efectuam o ultima transformare liniara

Page 38 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 39: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

si obtinem forma canonica rezulta este nedefinita

c)

Transformam

obtinem

Transformam

obtinem : rezulta nedefinita

3.Sa se aduca la forma canonica si sa se indice baza in care e scrisa

a)

b)

c)

Rezolvare

a)

Obtinem

Coordonatele vectorului in baza in care are f.c. de mai sus sunt Se stie ca

unde e baza canonica in iar este matricea de trecere de la baza la baza

Din relatiile 1 si 2 obtinem ca

si deci . Din definitia matricei de trecere deducem ca citim de pe coloane vectorii bazei . Asadar baza in care

functionala patratica are forma canonica gasita este formataa cu vectorii

Page 39 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 40: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

b)

Transformam si obtinem

Fie baza in care e scrisa f.c. de mai sus. Atunci si deci atunci si rezulta

.

c)

transformam obtinem

Fie baza in care e scrisa f.c. de mai sus. Atunci si deci atunci si rezulta

.

4. Sa se aduca la f.c. cu metoda Jacobi functionalele:

a)

b)

c)

Rezolvare

a) Matricea asociata functionalei patratice este . Calculam minorii principali ai matricei

. Toti minorii fiind nenuli, aplicam Jacobi, f.c. a lui este

b) Matricea asociata functionalei patratice este . Calculam minorii principali ai matricei

. Toti minorii fiind nenuli, aplicam Jacobi, f.c. a lui este

c) Matricea asociata functionalei patratice este . Calculam minorii principali ai matricei

Page 40 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 41: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

. Toti minorii fiind nenuli, aplicam Jacobi, f.c. a lui este

5. Sa se aduca la forma canonica functionala

Rezolvare

Folosind metoda Jacobi obtinem

Calculam minorul de ordinul , astfel: adunam toate liniile la prima, scoatem factor comun si apoi scadem prima coloana din

celelalte:

Deci f.c a lui este

6.Sa se aduca la forma canonica functionala

a)

b)

Rezolvare

Folosind metoda Jacobi obtinem

Calculam minorul de ordinul , astfel: adunam toate liniile la prima, scoatem factor comun si apoi scadem prima coloana din

celelalte:

Deci f.c a lui este

Page 41 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 42: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

b)Folosind metoda Jacobi obtinem

Calculam minorul de ordinul , astfel: adunam toate liniile la prima, scoatem factor comun si apoi scadem prima

coloana din celelalte:

Deci f.c a lui este

7.Sa se aduca urmatoarea functionala patratica la forma canonica

Rezolvare

Efectuam transformarea

si obtinem

Facem transformarea

si obtinem

8.Utilizand metoda transformarilor ortogonale aduceti la f.c. functionalele precizand baza

a)

b)

Page 42 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 43: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Rezolvare

a)Scriem matricea functionalei patratice

si rezolvam ecuatia caracteristica Valorile proprii sunt

Daca din sistemul Determinam vectorul propriu normat

Pentru din sistemul obtinem vectorul propriu normat

Pentru din sistemul obtinem vectorul propriu normat

Obtinem vectorul propriu normat

Cu transformare ortogonala

Functionala patratica este adusa la forma canonica

unde si

b)Matricea asocita functionalei patratice este Ecuatia carecteristica este

Radacinile sale sunt

Daca din sistemul obtinem vectorul propriu normat

Daca se obtine sistemul .Solutia general a acestui sistem e de forma unde si

Page 43 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 44: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Deoarece vectorii nu sunt ortogonali vom proceda astfel si cautam un vector propriu normat si ortogonal pe .Deoarece

este de forma Din conditia ortogonalitate se obtine si deci

Pt normand vectorul obtinem Astfel, vectorii formeaza obaza ortonormata si aplicand trnsformarea ortogonala

Functionala patrtica are f.c. unde si

In spatiul numeric se defineste functia:

unde

Sa se arate ca este o forma biliniara.

Rezolvare:

functie biliniara.

In spatiul liniar al functiilor continue in intervalul se defineste functia:

Sa se arate ca este o forma biliniara.

Rezolvare:

Fie

Page 44 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 45: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Fie atunci:

Fie atunci:

Fie

functie biliniara.

Sa se precizeze daca urmatorul sistem de functionale liniare este liniar dependent:

a) b)

Rezolvare:

Fie astfel incat

Atunci:

Pentru obtinem

Pentru obtinem

Page 45 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 46: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Pentru obtinem

Determinantul matricei sistemului:

este:

sistemul de mai sus este nedeterminat, deci admite si alte solutii in afara solutiei banale, si deci functionalele considerate sunt liniar dependente.

b)Fie astfel incat

Atunci:

Pentru obtinem

Pentru obtinem

Pentru obtinem

Pentru obtinem

detrrminantul matricei sistemului:

Page 46 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 47: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

este:

deducem ca sistemul admite numai solutia banala, adica

Prin urmare cele trei functionale sunt liniar independente.

* Daca este o forma biliniara definita pe spatiile si atunci

si

Rezolvare:

Daca este o functionala biliniara atunci:

daca

daca

Problema 54.

Sa se arate ca functional este biliniar si sa i se scrie matricea in baza canonica.

Rezolvare:

pentru orice x,y f este simetrica este suficient sa demnstram liniaritatea intr-un argument.

Fie oarecare:

f(

Sa gasim acum matricea lui f in baza canonica.

Observam ca f(e e )=1 pemtru orice k= si ca f(e ,e )=0, k,j= , de unde rezulta:

A=

Problema 55.

Sa se arate ca este o functionala biliniara si sa se scrie matricea ei in baza canonica si in baza G:

a)

b)

Page 47 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 48: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Rezolvare

a) Fie si a calculam:

si deci functionala f este biliniara.

Matrice functionala biliniara in baza canonica este A=(a ) unde a

a

a

a

Deci A= matricea care se mai poate scrie si direct din relatia

Matricea B a functionalei in baza G se poate calcula prin doua metode.

Matricea B=CAC unde C este matricea de trecere de la baza canonica la baza G, adica:

C= B=

b)

Este usor de aratat ca f este functionala biliniara.

Matricea in baza canonica este:

A= matricea de trecere de la baza canonica la baza G este:

C= cu C = si B=CAC

Problema 56.

Sa se arate ca este o functionala biliniara si sa i se scrie matricea in bazele E={1,x,x } si F={1,x,x x x }.

Rezolvare

Liniaritatea lui f se obtine usor din liniaritate integralei definite, pentru fiecare argument in parte.

Matricea functionalei este A=(a

A=

Page 48 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 49: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Problema 57.

Sa se arate ca este o functionala biliniara simetrica pozitiv definita si sa i se scrie matricea in baza G={1,x,x ,x

}.

Rezolvare

Liniaritatea lui f in ambele argumente este usor de demostrat.

Simetria:

f(P,Q)= este adevarata.

Pozitiv definirea:

f(P,P)=

Maticea B in baza G este B=(b cu b

b unde:

B=

Problema 58.

Sa se arate ca functionala biliniara ,

x=(x ,x ,x ,x ), y=(y ,y ,y ,y ) este simetrica si pozitiv definita.

Rezolvare

E usor de aratat simetria lui f.

f(x,x)=x

cu y y y y

Problema 59.

Sa se demonstreze ca functionala biliniara este degenerata daca si numai daca exista x astfel incat f(x,y)=0 pentru orice vector y ( f este degenerata daca matricea ei intr-o baza este singulara).

Rezolvare

Fie A=(a matricea lui f in baza E din si x coordonatele lui x in E iar y coordonatele lui y in E.

Avem

Dac det A=0 atunci sistemul omogen este nedeterminat si fie (x o solutie nenula a lui.

Avem: pentru orice y

Reciproc, sa presupunem ca exista vectorul nenul x astfel ca pentru orice y Avem in particular pentru orice e 1 din E relatia adica (*) pentru toti j=1,2, n.

Asta implica faptul ca sitemul omogen (*) are solutie nenula x si deci det A=0.

Problema 60.

Sa se reduca la forma canonica functionala patratica urmatoare, V: , determinanduse si baza in care este scrisa forma canonica.

Page 49 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 50: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

a) V(x)=x +x +x +x x +x x +x x x=(x ,x ,x )

b) V(x)=x +x +2x x +2x x x=(x ,x ,x )

Rezolvare

Metoda lui Gauss. Grupam termenii.

Notam:

y

y

y

Si obtinem forma canonica V(y)=y +y +y unde y ,y ,y sunt coordonatele lui x in baza G in care V are forma canonica. Stim ca x C x C

x unde E este baza canonica iar C este matricea de trecere de la baza canonica la baza G.

Conform relatiilor (*) avem:

C = C C

si baza G este formata din vectorii: g =(1,0,0), g =( g =( )

b) Metoda lui Gauss. Grupam termenii.

V(x)=(x +2x x )+x +2x x =(x +x ) +x +2x x -x =(x +x ) +(x +2x x )-x = (x +x ) +(x +x ) -2x

Notand:

y =x +x

y =x +x

y = x

Si obtinem forma canonica V(y)=y +y +y unde y ,y ,y sunt coordonatele lui x in baza G in care V are forma canonica. Stim ca x C x C

x unde E este baza canonica iar C este matricea de trecere de la baza E la G.

Conform relatiilor (*) avem:

C C = C=

iar baza G este formata din vectorii g =(1,0,0), g =(0,1,0), g =( ).

1. Fie o functionala biliniara prin

unde si .

Sa se scrie matricea asociata functionalei in baza formata cu vectorii

Page 50 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 51: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

REZOLVARE:

Avem:

Deci matricea asociata lui f in baza este

=

2.Sa se arate ca definita prin

unde si este o functionala biliniara.Sa se scrie matricea acestei functionale in baza canonica si in baza

Este f degenerata?

REZOLVARE:

Fie si Avem:

In mod analog rezulta ca

si deci f este o functie biliniara.

Matricea functionalei in baza canonica va fi

unde adica

Page 51 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 52: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

si deci

Intrucat este degenerata.

Matricea B ,matricea functionalei in baza F,este egala cu ,unde matricea C este matricea de trecere de la baza canonica la baza canonica la baza F,adica:

si deci

3.Se considera functionala biliniara definita prin

unde si

Este f degenerata?

REZOLVARE

Matricea functionalei biliniare f in baza canonica este

unde Avem

si deci

Deoarece functionala biliniara f este nedegenerata.

4.Se considera functionala biliniara ,definita in baza canonica prin:

a)Sa se scrie matricea lui f in baza canonica.

Page 52 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 53: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

b)Sa se calculeze unde si

c)Sa se scrie matricea lui f in baza unde

REZOLVARE

a)Matricea atasata functionalei f in baza canonica este:

b)Fie si .Atunci

c)Fie B matricea asociata functionalei biliniare date in baza Atunci

unde C este matricea de trecere de la baza canonica la baza canonica la baza adica

Atunci,

5.Fie spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult 2 cu coeficienti numere reale si definita prin

unde este functia polinomiala asociata lui iar este functia polinomiala asociata lui

a)Sa se arate ca f este o functionala biliniara

b)Sa se scrie matricea functionalei in baza

c)Sa se demonstreze ca

este un subspatiu vectorial al lui si sa se determine dimensiunea lui.

REZOLVARE

a)Fie .Atunci

Page 53 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 54: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Fie si Atunci,

Fie Atunci

Fie si .Atunci

Deci este o functionala biliniara.

b)Fie Atunci

Observam ca f este simetrica ,intrucat

pentru orice Deci matricea asociata lui f fiind simetrica se scrie

c)Aratam ca M este un subspatiu vectorial al lui Fie Atunci

si

Atunci

si deci

Fie si Atunci

Page 54 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 55: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

si deci

ceea ce insemna ca

In concluzie,M este un subspatiu vectorial al lui

Fie Atunci

deci in particular

adica

Deoarece este o functie continua, si obtinem

Asadar Q(x) este un polinom avand o infinitate de zerouri si in consecinta,Q(x)=0

Deci M se reduce doar la nul si deci dimM=0.

6.(Inegalitatea lui Cauchy-Schwartz).Fie o functionala biliniara ,simetrica ,pozitiv semidefinita.Sa se arate ca

REZOLVARE

Deorece f este pozitiv semidefinita ,avem

Prin urmare

implica

adica

7.Fie (X,K) un spatiu vectorial si o functionala biliniara simetrica.Sa se arate ca daca se descompune in produsul a doua functionale liniare

adica atunci ea poate fi exprimata ca ,unde este un scalar nenul iar l o functionala biliniara.

REZOLVARE

Deoarece f este simetrica avem

Pentru orice vectori astfel incat avem

Consideram produsul al functionalei liniare si

Produsul este identic nul deci obtinem sau

In concluzie putem scrie

8.Fie V o functionala patratica biliniara(polara) asociata.Sa se arate ca

REZOLVARE

Se stie ca

pentru spatiului vectorial pe care este definita functionala patratica.Atunci

Page 55 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 56: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

,f fiind simetrica.

9.Fie spatiul vectorial al polinoamelor in nedetrminata X cu coeficienti numere reale.Sa se arate ca aplicatia definita prin

unde este functia polinomiala asociata polinomului P,este o functionala patratica pe

REZOLVARE

Aplicatia definita prin

este functionala patratica.

10.Fie X spatiul vectorial real al matricelor patratice de ordinul 2 cu elemente numere complexe.Sa se indice o baza in X.Fie Y subspatiul vectorial al lui X

generat de:

Aratati ca definita prin este o functionala patratica pe Y.Este ea degenerata?

REZOLVARE

Fie Atunci

Matricea asociata functionalei este:

deci V este nedegenerata.

11.Se considera functionala patratica

Sa se arate ca daca V este pozitiv definita atunci

REZOLVARE

Deoarece V este pozitiv definita ,conform definitiei

Pentru obtinem

Pentru obtinem

......................................................

Page 56 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 57: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Pentru obtinem

fiind baza canonica a spatiului vectorial

12.Sa se gaseasca toate valorile reale ale parametrului care urmatoarele functionale patratice sunt pozitiv definite.

a)

b)

c)

d)

e)

REZOLVARE

matricea asociata functionalei patratice

sa fie pozitiv definit minorii principali ai matricei A sa fie strict pozitivi

b)Matricea asociata functionalei patratice este

c)Matricea functionalei patratice este

1.

2.

Page 57 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 58: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

3.

2,3

d)Matricea asociata functionalei patratice este

1.

2.

3.

2,3

e)Matricea functionalei patratice este

13.Sa se determine valorile parametrului pentru care urmatoarele functionale patratice sunt negativ definite:

a)

b)

c)

REZOLVARE

a)Matricea functionalei patratice este

1.

2.

3.

1,2,3

b)

1.

2.

3.

1,2,3

c)

Page 58 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 59: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

1.

2.

3.

2,3

14.Fie o functionala patrtica pozitiv definita si f functionala biliniara asociata.Sa se arate ca relatia

implica x= sau y=

REZOLVARE

Fie m>2

Membrul stang fiind o suma de nr pozitive

Fie m=2

Fie 1<m<2 Inmultind inegalitatea lui Cauchy-Scwartz cu m-2 obtinem

pozitiv definita

15.Fie(X,K) un spatiu vectorial de dimensiune finita si o functionala patratica biliniara "antisimetrica",adica

a)Sa se arate ca

b)Sa se arate ca daca sunt liniar dependenti,atunci Deduceti ca daca atunci

c)Fie si Sa se arate ca exista doi vectori liniar independenti astfel incat

d)Fie Y spatiul generat de vectorii Sa se determine matricea functionalei biliniare restrictionate in baza

e)Fie Sa se arateca

REZOLVARE

a)Fie Avem

b)Fie liniar dependenti.Atunci astfel incat

daca o baza in X este formata dintr-un singur vector.Pp ca este o baza in X.

Fie astfel incat si

c)Exista doi vectori liniar independenti astfel incat

Page 59 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 60: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

vectorii sunt liniar independenti

Fie astfel incat

liniar independenti liniar independenti

d)Avem

(conform a)

Matricea ceruta este

e)Observam ca Intradevar daca atunci

astfel incat

daca

si deci

Observam urmatoarea descompunere a lui

Fie astfel incat

14) Fie functionala biliniara:

a) determinati matricea corespunzatoare bazei canonice din

b) determinati matricea corespunzatoare bazei unde

Rez:

a) Functionala biliniara se mai poate scrie:

Page 60 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 61: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

Rezulta ca

b) Fie matricea lui in Fie matricea de trecere de la la adica

Din rezulta:

adica

15) Care este natura functionalei patratice:

Metoda Jacobi. Matricea lui este:

Avem: deci nu putem aplica metoda. Facem transformarea:

Obtinem:

Matricea este:

Avem: Rezulta:

Rezulta ca functionala patratica este nedefinita.

Care dintre urmatoarele functionale sunt biliniare si care nu ?

a. f : , f(x,y) = - + .

b. f : , f(x,y) = + - .

c. f : , f(x,y) = + + 4.

a. Verificam intai liniaritatea lui f in raport cu primul argument. Fie x, y, z . Avem:

f = f = =

= + . Liniaritatea in raport cu al doilea argument:

Page 61 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 62: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

f = f = =

= + . Rezulta ca f este functionala biliniara.

b. Liniaritatea primului argument: f( ) =

= .

Deoarece f( ) rezulta ca f nu este functionala biliniara. c. Liniaritatea primului argument:

f( ) = f =

= .

Cum f( ) rezulta ca f nu este functionala biliniara.

Fie functionala biliniara:

f: , f(x,y) = .

a. Scrieti matricea lui f in baza canonica din .

b. Scrieti matricea lui f in baza = {a, b}, unde a = , b = .

a. Fie baza = {e1, e2}, unde = , = .

Matricea lui f in baza este A = , unde . Avem:

= = f = 0

= = f = 2

= = f = 4

= = f = -1

Deci A = .

b. Fie B = matricea lui f corespunzatoare bazei = {a, b}.Avem:

= = f = -6 - 9 - 12 = -27

= = f = -2 - 3 + 24 = 19

= = f = 12 - 3 - 4 = 5

Page 62 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 63: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

= = f = 4 - 1 + 8 = 11.

Rezulta ca B = .

Fie functionala biliniara:

f: , f(x,y) = .

a. Determinati matricea A corespunzatore bazei canonice din .

b. Determinati matricea B corespunzatoare bazei = {a, b, c}, unde

a = , b = , c = .

Functionala biliniara f(x,y) se mai poate scrie:

f(x,y) = .

Rezulta ca A = .

b. Fie B = , matricea lui f in . Fie C matricea de trecere de la la , adica C = .

Din B = C rezulta:

B = = .

adica B = .

Sa se aduca la forma canonica functionala patratica:

f(x,x) = , unde x = si sa se stabileasca natura functionalei patratice.

Scriem matricea functionalei patratice :

A =

Calculam minorii principali:

Page 63 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 64: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

= 1, = 2, = = 2, = = -24.

Intrucat toti 0, i = si stiind ca:

f(x,x) = obtinem:

f(x,x) = .

Functionala patratica este nedefinita.

Sa se aduca la forma canonica functionala patratica:

f(x,x) = - + .

Matricea functionalei patratice este:

A = . Deoarece = 0 nu putem aplica acesta metoda.

Facand transformarea:

, obtinem: f(y,y) = .

Matricea acestei functionale patratice este :

A =

Avem: = 1, = 5, = -25, = = - .

Forma canonica va fi:

f(z,z) = - + .

Care este natura functionalei patratice:

f(x,x) = - - - .

Matricea lui f(x,x) este:

. Avem: = 1, = 6 0, = -36 0, = 0, Deci nu putem aplica metoda.

Astfel facem transformarea:

si obtinem: f(y,y) = - + .

Matricea ei este :

Page 64 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm

Page 65: 09. Functionale Biliniare Si Patratice

A = .

Avem: = 1, = 6, = -36, = 108, = = 324. Rezulta:

f(y,y) = - - + .

Page 65 of 6505FuncBilinPatrat.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm


Recommended