Post on 02-Jun-2018
transcript
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 1/37
. '
_ ..-
[ )
.
:
.
Prof. dr. Gheorghe p r i ~ a n
r
Lect
dr. Antonela Toma
As
-drd: Cristhla Anton
1·
. .
, .
• _ \
.
. h \ 1lJ
.L.JL
; . l . 3 J
,
} ~ t i q
EXERCITII DE N LIZ
REALA
SI
COMPLEx
EDITURA PRINTECH
BUCURESTI 2005
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 2/37
Copyright
©
Printech, 2005
Editura acreditataC.N.C.S.I.S.
...!.
. D e s c r i e f e ~ i b l i o t ~ ~ i i N a f i o n a l ~ .. Romaniei
Gheorghe
P R I ~ N
Exercitii de analiza reaHi complexii -
Gheorghe O p r i ~ a n Antonela Toma, Crjstina Anton
B u c u r e ~ t i : P r i n t e c h ? - Q . o j
~ ~ · ~
: , , , , .
p.;cm.
Bibliogr.
ISBN 973-718-33 1-2
L
Universitatea "Politehnica" din
B u c u r e ~ t i
Departamentul de matematici, Catedra de matematici II,
Spl. Independentei 313, sector 6, B u c u r e ~ t i
e-mail: 2.oprisan@math.pub.ro
1
I
TIPAR:
I
Editura PRINTECH (S.c.
ANDOR
TIPO
S.R.L.)
Str.TUNARl m.ll , sector 2 • BUCURESTr
TelfFax:
211.37.12
I
I
© Copyright
2005
Toate drepturile prezentei editii sunt rezervate editurii si
autorului. Niei
0
parte din aeeasta luerare nu poate fi
reprodusa, stoeata sau transmisa indiferent prin ee forma, lara
aeordul prealabil sens
al
autorului .
-,
'
.
uprins
P r e f a ~ a
. : - ~ p - ~
I
ENUNTURl
1 ~ i r u r i serii
1.1 $iruri numeriee
1.2 Serii numeriee .
1.3 $iruri scrii de fUlletii .
1.4
Dezvoltari III serie. Dezvoltiiri limitate
1.5 Serii Fourier. . . . . . . . . .
2 Funetii de
mai
multe variabile
2.1 Limite.Continuitate.
2.2 S p a ~ i i
metriee
.
3 Calcul
d i f e r e n ~ i a l
3.1
D i f e r e n ~ i a b i l i t a t e . D e r i v a t c partiale
.
3.2 Extreme. FtIIlctii implieite .
4
Integrala
4.1 Primitive.lntegrale
Riemann.
4.2 Teoria masurii.lntegrala Lebesgue.
4.3 Integrale improprii .
4.4
Integrate
eu parametru
.
4.5 Integrale euleriene
4.6 Integrale eurbilinii
4.7 Iutegrale multiple.Teoria
campului
III
.
I
,L' V ' . 4 ·,
1
3
3
5
8
12
14
17
17
20
23
23
25
31
31
33
35
37
38
39
43
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 3/37
4.8 Integrale de
s u p r a f a ~ a
4.9 Formule integrale
Analiza complex8
5.1 F u . n c ~ i i olomorfe. R e l a ~ i i l e Cauchy-Riemann
5.2 Dezvoltari In serie. Reziduuri .
I
~ ~ f l ~ f f ~ ~ ~
6 Transformata Laplace -.
II
IND1CATII
SI RASPUNSURl
L
CUPJUNS
50
52
55
55
59
65
69
refata
Aceasta c o l e c ~ i e de e x e r c i ~ i i acopera cerintele cursului de Analiza.
matematica
care cSte
predat
studentilor din anul I al universitatilor tehnice.
In
pllll
lucrarea contine doua capitole referitoare la teoria f u n c ~ i i l o r
de 0
variabiIa. complexa
Ii
la transformarea Laplace. Aceste elemente sunt nece
sare pentru abordarea unor integraie folosind teorema reziduurilor precum
§i
pentru rezolvarea anumitor tipuri
de
ecuatii d i f e r e n ~ i a l e
lii
integrale.
La problemele propuse nu s-au dat solutii ample ci doar indicatii §i
raspunsnri suficiente
pentru
cititorul care a parcurs elementele teoretice de
baza ale cursului de Analiza matematica. In acest feI rezolvitorul va capata
abiliUiti in aplicarea teoriei element esential
pentru
I n v a ~ a m a n t u l tehnic.
Selectarea acestor probleme reprezinta rezultatlll anilor de
experienta
didactica. a autorilor la
f a c u l t a ~ i l e
de Electronica §i
T h l e c o m u n i c a ~ i i
§i
Automatica §i Calculatoare.
Lucrarea este
utila
atat
t u d e n ~ i l o r cat
§i cadrelor didacticedin InvatiiIl.lantlll
superior telmic sau cercetatorilor care doresc sa-§i amintea.<;ca despre di
versele ti puri de probleme clasice ale matematicii superioare.
v
Autorii
septembrie 2005
C e 2 t ~
R
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 4/37
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 5/37
·0
.J <
Capitolul
1
~ r u r §
serii
1.1 r u r i numeri e
J 1 1
1.1.
Fie
~ r u l
cu
termenul general an = 1
+ 2 + 2
+ .. + · Sa se aratc ca.
2 3
n
§irul (an, n E IN') este convergent,
aratand
ca este mODoton §i Il\iirginit.
l )
1.2.
Dadi ~ i r u an ,
n E lW) esle convergent arc Iirnita (J. E IR , atunci
. a l
+
a
+ .. .+ an
I
l ID = a.
11- 00 n
1.3. Daca ~ i r u (Xn, n E IN'), Xn > 0, este convergent §i are lirnita x > 0,
atunci
lim
\ fX1X2 · · · Xn =
x .
71-+00
F
· . ul (
IN')
0 . . I· a
,,+l
1 4
Ie :jlr
an,
n
E ,
a
> ,
CII propnetat
ea ca eXlsta 1m - - = a.
n- oo n
Atunci :jiml
n
=
yta,; ,
n E N*, este convergent §i
are
Iimita a
1.5.
Sa.
sc calculer.e
limita r u l u i
eu termenul general:
3·5·7· · · 2n-1) ,
l . a
n
= ( )
n
EIN.
2·4·6 ·
··
2n
3·7· 11 . . . 4n - 1)
..
2.
an
= ) n
E
1 \
.
3 . 9 . 13· . . 4n
+
1
3. an = n y'a -
1), n 2
2,
a>
0 .
1 J 1
1+-+-+· ·
·+ -
4. an
2 3
n n> 2
=
In n ' _.
5. an = In
( 1 - ;2
+
In
1
-
;2 + ... +
III
1
-
),
2
2.
3
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 6/37
111
I
II
4
CAP1TOJ,UL 1.
$IRURI
1 SERII
6
an = In I ___ ) +
In (1
_ 1 ) + . . . -I- In
(1
- 1 ) ,
\
1 + 2
1 + 2 + 3 1+2+· · ·+ n
n;::: 2.
Xn
7; an =
I n;:::
1, X> O.
n .
1.6.
Se da §irul cu termenul general
1.7. Sa se arate ca §irul cu termenul general
1 1 1
a = 1 + - + - + .. . + - - In n n > 1
n 23 n
-
este converge.nt
(Iimita acestui
~ i r
este un numar irational
c = 0, 577216 . . .
numit constanta lui Euler)f ' )
1.8.
Sa
se
arate
ca
urmatoar<he' §iruri
sunt
diverge nte:
1. Xn
= sin
n , n ;::: 1;
1 1 1
2. Xn = 1 + 2 + 3+ . . . + ;; ' n;::: 1;
(1
+ atl(2 +
a2)' (n
+ an)
3.x n= 2" ,n;::: I , undeai>0,ata2 ·· ·an = l .
1.9. Sii se calculeze JirniteJe
urmatoarelor i r u r i :
1.
Xn =
yin,
n
;::: 1;
n
3. Xn = nq n ;::: 1;
y n
n
k
5.
Xn
=
n '
n
;:::
1,
x
>
0, k E IN
;
x
7. Xn == sin(r.Jn2 I), n ;::: 0;
Xn+1 x2n
2.
Xn = (n +
I)
+ . , . + (2n) ' n;:::
1,
x
E
1R.;
\In
4.x = n.
n> I
n
n \ / ~ I) ' - ,
1
6.
Xn
=
-In(2n
xn), n >
1,
X>
0;
n
an
+b
n
8. I n
=
. -1 b
+1 ' n;:::
1, a, b
>
O.
an . n.
1.10. Pentru ~ i r u r i l e (Xn) sa se determine inf I n , Sup xn, lim sup Xn, lim inf
X
n
·
to o n t
1
1.
Xn =
1 - , n ;::: 1;
n
3. Xn ==
( - I t -
1
2 n;::: 1;
5. Xn = 1 2 ( _ 1 ) + 1 3 (- 1) n( n
2
1 ) , n ; 1;
n
2
2m.
7.
Xn
=
1 n
2
cos
- 3 - '
n;:::
1;
(_ I)fl 1+( - l ) n
2. In.
=
- ,n;::: 1;
n
n
n n7i
4.
" = 1
- -COS-
, n > 0'
n 1 2 -
6
. n7i
. I n = 1 n
sm
2 ' n
;:::
1;
n
2nIT
8.
I n
=
COS - - ,
n>
1.
3 -
1.2. SERIj NUMERICE
1.11. Folosind criteriul general al lui Cauchy sa se demonslreze
cil. ~ i r u r i l
urmatoare sunt convergenle:
ll
$-;'
. r-
cos
I
cos
2
cos
n
1.
Xn
== -
+ +
. . .
+ , n
>
l '
1·2 2·3 n(n 1)
1 . 1 . 1 .
2. I n = 1 + 22 + 3
2
+ . .. +
n
2 ' n ;::: 1;
cos a cos
2a
cos
na
3.
Xn. = ~ + 2 6 + ' ~ , n;::: 1, aEJR;
n
cos
hr
4.
Xn
==
"
__
1_
n
>
l'
o k
- ,
k ,1
n 1
5.
Xn = L - I ) k - l
k
,
n;::: 1;
k=
n sin(k 1) n > O
6. Xn =L (k + l)(k + 2)· .. (k + 100)' -
k=O
1.2 Serii numerice
< t
1
1.12. Sa se calculeze suwa seriilor :
00 1 00 (_1),,-1 00 (1) 00 2 n - l
a)
~
n(n+2); 0)
~
2
n
1
;
c)
~ l n 1
n
2
;
d)
~ ~
00 00 3an
2bn
e) ' ' (In 2 2/n 1 Jri); f) " , a> 1, b> 1;
o 0 a"b
n
n= 1 n=l
~ 1 co 1. 00 n _ 1 00 1
g ) Lg
2
3
2 ; h ) La r
ctg
2
l ; i )L ( )1 k L a r d g ~ 3 - 3 ;
>1=1
n
-
n
-
=1
n n
n=1
n+
.
,, =
1 . Tl
n +
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 7/37
CAPITOLUL 1. $IRURI
1
SERII
.
1.13. Sii se
studielle
natura urrnatoarelor
serii eu tcrmcni pozitivi:
1
1.
L \10 ,001; 2. L
Jfi+1;
n?2 n?l
n
n+l
. n .
'"
"
3. 02n-l
.
n> l
.
-
In(n+2)
.
5. L v'n3 + 1 '
n> l
-
n
1
~ _ ."
7: L
n 2 ~ ;
n > l
- an.
n! (a > 0);
L ~
n>l
11. L n n + ~ . .
(
'1 )n ,
n? l n+n
13.
'
n
5
o
2
n
+
3n
;
n?1
15
.
L
(3n
Z
+
l ) n .
n? l 2n
2
+
1 '
17 . L / 1
cos .
• 1 \ ,
n? l
l)
1
9. L
1
.
3
'
5
.. .
(2n- l )
n?l
2
·1·
6
..
·
(2n)
.
2n+
l '
21.
L av'n , a >
0;
n? l
23 .
L(
v'n+1-
vn)O
in
'
-1' 0'2:0:
n-
n?1
25. ' (n 1)2 arcsin ~ :
o 2"-;- 1
n?2
27.
L (_I_)IO(lnn)
n
2:
2
In
n ;
1 .
29. L ( lnlnnf '
n
?Z
1 . .
31.
L
In(n
+ I)! '
n > l
- (2n) .
'
)11'
0 (2n
+
1
..
n? l
4.
' rn+T - lfri
nl)
n ? l
1
6. ');
n
?1
. n
(n )z
8.
L a
2n) ' a> 0;
n 2 1 (
n
2
10.
L
(2 + ) n ;
n21
2 . 11' .
12.
L
n
SID 2
n
'
n ? 1
14 .
L
(J 1 \
,
a>
0;
n
nn
l)
n22
n!
16. ' )
o
(a + 1)· · · a + n
n ?l
L
[
1 . 3 . 5
..
.
(2n
18.
()
2 ·4 · 6 , · ,
2n
n ? 1
20. L( vn -
1);
n? 2
22. L(are tgn) - n;
n? l
L ·
2
11
4. sm - ;
2n
n ?1
L 2
11
26. an tg n 2
n
' a>
0;
n ? 1
Llnn .11I(1+1)
28. n
n
n
?2
L
1
0. ;
(Inlnn)lnn
n? l
32. L an
n > l (0.1
+ o.z
··
· +0. )2
34. L (2n
- I)!!
n? 1
n (2n) .
1.2.
SEWI NUMERlCE
7
1.14.
Folosind eriteriul general
aJ
lui Cauchy Sa sc
demonstreze
ca urmatoarele
serii
sunt
convcrgcnte;
' in
nO
!:
2 ' an
f
- ,
, a E
lR;
1. 0
2n""
a E
JR.;
. 0 IOn' Ian I < 10;
n ? 1 n?l
3
'
cosnx - eos(n
+ l)x
4
'
cos xn
. 0 n , x E.IR;
. 0 - -2 - x E
lR:
n? 1
n '
n? l
L
sinn3
5.
x E lR:
6. L p n
sin
nO , Ipi < 1,0'
E
~ ~ .
' - '
n?1
n? l
1.15. Sii
se cerccteze convergenta
(§i absolut
convergenta)
mmatoarelor
scrii:
1
2 ' (_ 1)n-1
1. L - I ) n - 1
_
;
' 0' ' ' aElR:
2n
1
n ? l '
n? 1
2
+
1
n+l n :
4. L(_1)n+l2n+
1.
3.
L - I )
n(n+
1)
'
n
n ? l
3 '
a> -1;
n>1
- (_I)n .
6. L( - l)"'- l _n
.
5.
L n - l nn
1)) 2 .
n ~ l
3n - I '
,
n ~ l . n7r
l)n+1
S I D T
;
8. L(_l tS in2n .
7. L v'n3 + 1
n ? 1
n > 1
- cos nn .
(_1)n
9. L ---;:!'
10.
L yin ;
n?1
n ? 2
2
l)n-l
(
11
L 1
rrn
12 . L - ,
, p E R;
. n >2
In
2
n cos n + 1;
n
P
+
n
? l
2
n
13 ~ sin!!1':
. L IZ
14
.
L ( _ 1 ) n - I ~ a>
0;
n .
n? 2
n? l
n
2n
15 . L( 1
) , - 1
2 cos a
16.
" ' (_I)n
nC' 1
o
v
nsm
-'
: n?1
n
2
+
1
a
E IR;
.
n ? 2 n'
_1)n)
18 . L( _
1)
(n - ' ) n
17.
L
a
+..;n ,
a
E
JR ;
100
(
n
n ? l 2 '
n>1
(_I)n.
20. L
sin
n
sin .
19. L nVil'
' aj
>
O
n? 2
n? l fo '
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 8/37
..
Ie
,;11
I
ill
I
i
t 1
ti
I
'I
8
21. L { - I t .
n ~ 2 . ,
_.
23.
2)-1)n fo
.
n>l ' .'
n +
100'
. I
7
25.
~ l n [1 + - I t ] 1
n ~ 2
nP ,P>2;
29. ~ l r - l t g l T 3 n
n?l
(
_1)"
31.
In n
s inna
33.
L . . L
~
ex
E1R;
n ~ l
35
.L sin::
cos
na,aE1R;
n
n ~ l
1.16.
Sase
stabileasca
natura
urmato
arelorserii:
1. L Sinn;
n? l
. 2
3.L
Sill
ncas .
n? l fo
'
5.
L Si
nnsinn2.
n ~ 1
n '
1.3
~ i r u r i §i
serii
de funct
ii
1.17. Sa secerceteze
convergenta
uniforma.a urma
toarelor ~ i r u r i
de functiipe
multimile
indicate:
1 . ln (x)=x
n
, a ) x E [ o ~ ]
b)X
E
[O
,I];
2.
In(x)
=
xn
-
3.
In(x)
= xn
-
x
4. In{x)
=- - ,x E
(0
, 00);
x+n
.. I
,i, i
.-
1.3.
$JRURI$! SERII EFUNCTII
APITOLUL 1 $IRURI
$1
SERII
22. Ls in ( lTN+ " ) ;
n ~ l
100
In n. nlT
24
. t
sm
- ;
n 4.
n ~ 2 "'
.
:" '
J,
(_I)n
.
26.L , ,_ ,_ , p>O;
n ~ 2
3
28.
L sin n.
'.'
, , ~ l
nO '
30.L
( _ l ) n - l .
n ~ l arctg
n
'
32.
t
cosna
--n--
,
0' E lR:
n ~ l
'
2
34 .L
sin
3n.
fo
'
36. L lt
n
n?l
n3
2.L s i n n
2
;
n
? l
4.
l t ~ ·
fo
n '
2
6. L sinncosn
n ~ l n
xMI,
x E[O,IJ;
x
2n
,
X E [0, 1] ;
nx
5.
In(x)
= ,
x
E[O,lJ;
J+n+x
xn
6. In(x)= a)
x
E[0,1 - el, b)
x
E[1 - e,1
+
eJ , c)
x
E [1
+
£,00), °
£
<
Ij
1
+
xn
.1
...
7. In(x)= : P ~ 2 Rj i .i
8. In(x)=
x+ - x
E (0,00); (V VI ,
g. In(x)=en(x-l , x E (0,1);
. 2 IT
(n
2
+
1)Sill
+
nx.- ..;nx, xE (1,00);
10. In(x)=
-
n
"
" .
'
2 .
x
11
.In(x)
=-4--2
X
x +n
E [1, 00 );
n
12. in(x)=(x
2n
-+
1)2' X E[1,00).
1.18.
Sa
se
determine multimea
de
r g e n ~ a . pentru
urrnatoarele serii
de
functii :
2
n
X .
1. ~ l n n
x;
2.
L2n'
n> l
- xn
xn
3 ~ 2 ;
4.
L,;n;
n
n?l
xn
n?l
6. L
n(n
+
l)xn;
5. L fo' a> 1;
n?la
n?l
xn
8 . ~ ;
.
L
1 + Xn;
L 1+
x2n
n?l
?l
xn
10 .
--
0;
.
L
Sill!!.,.·
L l x
n
n ~ l x n 2n,
n ~ l
11. L [x( x
+
n ]n
.
12 .L ne-
nx
;
n>l n '
n>l
14
. xn
13. L_l- 1
L
n ~ 2 Jnf1 +
2 : 1 . x ~
aE
lR
j
n ~ l
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 9/37
10
CAP1TOLUL 1.
SlRURI
$1 SERII
1.19. Sa secmceteze c o n v e r g e n ~ a uniformaa urruatoarclorser ii de f u n c ~ i i
pe
multi
mileindicate:
, ·.o \ ~ . .
'\
-
- l
xn
xn
1.
L
2
x
E
[-1,1);
2.
L
'
x
E(0,00);n.
n
n ~ 1
3. L ( 1
-
x)xn, x E [0,1);
4. L
[(n
_
I X :
l](nx +
1)'xE
(0,1);
n ~ l
· · ~
.-:
.. . " / c t )
[ o , £ J ; b) x
E IE,00, E
>
0);
e \
5.
L ..- , -. (xn
_
xn+1) , x
E
[-1,1);
2x
7.
L ;
n + l
6.
arctg 2 "
x E
1R;
L
x +n
n > 1
2
+
x
- cos(n+l)x , x ER ;
X
8.
L
) ."x
E[
0, a];
9. L
i j(n+l)5+
x
2
x + n x + n +
n > 1
1
_ I ) n x
1
11. - 2--2 X E .lR.;
0
0.
L.
A'
x
E
JR.;
0
x
+n
n ~ l
-I t
12. --, E
(-2,
(0);
13
. L.
x .,
,,)xE[O,OO);
0x+2
n
n ~ 1
n
x
nx
15. L
~ X n
+x - ) ,
E
14. 0
5 ' ) ' x
E
IR;
l + n x
yn :
l
n>1
cosnx
17. 0
- - 2 - '
xE IR.;
1 6 L ~ ~
. ,xE
JR.;
n
Cfn4 +
n ~ 1 X
n ~ l
IS.
sinnx
19 .Lx
2
e-
n x
, x
E
[0,00);
0 1 1 In , xEIR ;
n ~ l
y , .
n ~ l
2
x
2
(_1)n
21.
L
- -
x
E (0,00);
20.
L T
'
x E
IR;
x+ n
n ~ l
1
22. L
-2--2
' x E IR;
23.
'"""'
1
'
x> 0;
x + n
(x +n)(x +n+1)
X
+n(_1)n
24.
arct.g
2
2x
, x E JR.
;
25. 0
3 ,x
EJR.;
n
+X
x + n
n ~ l
26 . x)x'" x
E
[0,1);
2 7 ' L 2 2 { x E l a , b ] , U n : [ a , b ) ~ I R
(1 -
. n +U
n
x
n :
0
n ~ O
1.3. $IRURI $ISERII DE FUNCTII
1.20.
Utilizand ser iilc de puteri sa. se
determine
r n u l ~ i m e a
de
c o n v c r g e n ~ a
pentruurmatoarele
seriide
f \ l n
" l
...
,
2.
1. L lOnxn;
.
,
n
n ~ 1
" 2n2+5 x
)n
4. L ~ : - - ;
3.
L 7n2 + 8n + 2 2x+ 1 ;
n>1
n?l
5.
"xn.
L r '
n ~ l
n.
n ~ l
2n
+
1
I
x
- x. L ( n
1)3"-
1
n
-
1
;
8.L(-l
r
-
1
(2n_1)!(2n_l);
n ~ l
9. ' ) ' xn
nnxn
,
,
, lU. L---;!
;
n ~ 1
n ~ l
1) _,,2
nx
1 l . L
In(n
1) xn .
12
.
L 1
+- ;
(
e
n ~ 1
n + l
'
n ~ 1
n
n! x
n
13.
, , 3 "
+
(_2)n
L (x
+
l)n.
14 "
) ' a>
0;
. L
(a
+
l)(a
+2) ..
.(a+
n
n '
n?l
(_1)n (x)".
15. L ( l + ~ +
. . .
~ ) x n ;
16. L Jn2+1 '3 I
n?1 n +1 V ')
n ~ l n
n2n
yin
n .
7.
"n
2
+
1
18.
L n
2
+1 n (x -
3)n;
L 2
n
x,
n?1
n ~ 1 .
1.21.
Sa se calculezesumele
urmatoarelor
serii
de puteri
sa
se precizeze
multimea.
de
convergenta.
X2n.+I
1. L x n ;
2 L --- '
2n+
l '
n?O
n :
0
.
xn
3. L ( n +
l)(n
+2)xn;
4. ~ n(n+l);
n?O
n,::l
5. L( -1)"n
2
x";
6.
L ( n +l)(n +
2)(n
+3)xn;
n?1
n?O
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 10/37
J2
C.\/ 'ITOJ.UL I . .i1/1U1U 'iI.'i/·:l I l f
' :r" f· '
2n+2
111
+
I
•
7.
2.) -1),,+l
(;t
+IT
8. L 2ft
+
J
:c ,
n>1
>1
- x l
-
(-l)"x"
.
9. L (n
+
l)(n,
+ 2)'
10.
L (4n)!i
,,>0
- 3
2 1
(n+l ) " - I .
,x
11.
L
n(n + 2)"-r ,
12.2.:)-1),
2ft
+ Ii
n; O
1.22. Folosil}cI serii de pllteri sa se calclllczc slImcle IInniitoarclor scrij de
~ : ~ ~ ~ ~ : ' ' - t c ~ ~
~ ~ ~ ~ ~ , ; : ' : : J ~ ~ ~ _ ; . .
_
. . ~ l * ~ : : · ' . - ~ ~
~ : ' ~ 7 ~ > : ; ' ~
1.
L
1
n ~ O
(2n
+ I)Jl"+I;
2.
n+ 1.
o
4n '
n ~ O
3. L(_I)n(H+ 1)(n+2)
4. L ( n + l } { n ~ 2 } { n + 3 )
3 ;
n ~ O
[ )
1 .
5.
L(-l) 1L(1L+
1)2'"
.
G L - I ) , , - l n(n + 1).
n ~ l
3
n
'
7. - l),,11 +
1
2H I
8
L(- l) 1
l l ~ l (n + l)(n + 2}{n + 3)
('
2)
j ;
9. L 1 .
1
.
5· .. (271
- 1)
n ~ l 2 · 4·6·· ·(2n) 2
n
'
10
.
L 1
n ~ l
(111
-
3)(
v'3}ln-3·
1.4
Dezvoltari in serie. Dezvoltari limitate.
1.23. Sa se dezvoltc III serie Mac
Laurin
urluiHoarcle f U I l C ~ i i , prcci;:tuIl\u-se
nl\lltilllca de
c o n \ e r g e n ~ a
X .
I
2
1.
f -r
)
= c
,
2. J(
:
1:)
=
cos x ; 3.
J(l:)
==
S
il l
:! x;
:
1'10
.
1
."
4.
J
x )=1_ : r .
5. J(x)
==
(1
_
X)2;
6. J(t) == )1
._
2x ;
(i+7C
1 .
7. f(-r)
=
In V
T = ?
S.J(x) = :r 2;
!J.
J(:t)
= 1- :"_ e
2
'
1 + :t - 2x
1 .
1
1 .
10.
J(x)
==
~ : ; : - x
2
'
11.J(x)
== 2 ;
12. J(x)
== 1 _ ;e
2)
) \
_ x .
2
'
1
+ x + x
+ r,·
13
. J(.l:) 11l 1
:1: +
x
2
+
x :
l)
;
14.
J(x)
== 11l(,,; + )1 +- X2);
I!).
J(x)
== (1
+- x) 111 1
+z;) ;
2 - 2.[
16. J( .r) = :!w::os(1 -
2.-r);
17. J( : ) == an :t.g : : ;
18.
J( :e) ==
ar etg
1
+
h ·
1.4. DEZVOLTARI iN SERlE. DEZ\iOLTAR1 LIMITATE.
13
1.24. Utilizand dezvoltarile limitate
sa
se calculeze lUmatoarele limite:
2
2. l i ~
1 -
(cosx)sinx
1. lim 1 - cosx
.
"' ...... 0
X
3
"' 0 x
2
sinx
T
z2
. arcsin x - arctg x
3. lim
cos
x - e
4. lIm
3 ;
"
......
0 X
' 0 X4
5.
l im 1 - cos(1 - cos x)
X
+
1 1f)
6_ lim
x
(
arctg 2 -
-4
;
. . " ......
00
x + .
0 . x4 .
.•
. 3
7. lim
In(1
+
x ; x
2
)
+ '
In(l- x +
. t ( t g x . § n x ) - x ,
i
"' .....
0 x(c
-
1)
. " ......0
x
5
9. lim
sin(sinx)
- ~ 10. lim(2+COSX 3)
" ...... 0 x
3
sin x - x4 ;
"
......
0
XC
12.
lim
e sinx-x( l+x)
x- o
x l
;
1. } ~ ~ ( x - X 2 l n ( I + D ] ;
13. lim
(Vx
6
+ x
5
-
{!x
6
-
x
5
)j
14. lim..!:.
(.. :.
_ · t )
" ...... 0 x x c gx j
x.......,.oo
16. lim x
+
In(..J1+X2 - x)
15.
lim
-
ctg
2x) ;
,,-.0
" 0 X
1.25. Sa. se dezvolte in serie de puteri in jurul punctulu.i indicat:
1.
f(x) =
, , 2 ~ i X ~ I '
a = 1, x E JR.
2.
f(x) = arctgx, a = I, x E
lR
3. f(x) = xn + X + 1, a
=
1, x E lR.
4. f(x) = , , 2 ~ I ' a = I, x
E C
5.
f(x) = z":2' a = O,X E C
6.
J(x) =
1 ~ z 2 ' a
= O,X
E
C
7. J(x)
=
(Z+I)1(z+2)'
a
=
O,X
E C
1.26. Folosind formula lui Taylor, c a . l c u l a ~ i Cll
3
zecimale exacte
1. sin31°;
2.
v'i02; 3.ln(e
5
+1) ; 4. 2,1
2
,1; 5. In l , 02; 6.103; 7. In16.
1.27.
Sa se dezvolte in serie
de puteri
, precizandu-se domeniul
de C ~ l ~ a . :
2. f(x) =
('"
sin t
d
l.
J(x) = In(l +x2);
o t .,
C
L
4. f(x) = 1
arctg
t dt·
3. f(x)
=
e-
t2
;
o
t '
5.
f(x)
=
-Yl
+
x
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 11/37
" p
1.5 Serii Fourier
pcriodicc ric periuadii 2h:
1.
f(x) =
1
1,
x
7T
- :1:
:3. f(x)
=
,-- .c .
~ r - ; ? i
~ ~ ~ ~ : e ~ 1 i ; 7 r )
:1:=0
l
l.
(X )
= x, x
E
(0
, 7T);
1
h
:3,
f(x)
=
2 -
5.
f(x)
=
Si
IlO X
1.30. Sii se c l ~ z
L
J(x)
==
x, x
E
(0,,,);
:3.
f( x) = cos 2x
x
E (0,7r);
5. J(x)
==
COSCtx , : E (0,, , ), Q
fllnctii pcriodicc rie
pcrioaJJ
2T:
f(
.
) -
{a
, x
(0,
T]
-1:
0,
3. J(x)
=
xl.,
X
1.32. F l I l l c ~ i a J(x) =
(0, ,,); b) de
~ i n l l s u r i
pc (0, ,,); (')
sit se c
,, cnlc
ze slllllele ser iilor:
(; . \ I IH)/,(j/ , I ,
Sill/Jill
51
S
EWI
1.28 .
Sa se
dc zvoltc ill selic Fuurier, pe inlervalill
(-7T,
7T), lIrllJa to<lrdc fllllqii
E ( - '
; ,
7T)
;"
2.
f(
x)
=
I
Sill
1:1,
X
E
(-7T,n);
or
x 2
-2-
x
E (0,271 );
4.
f( : )
==
- - -, !: E (0,
27T);
2
47T
G J(x) = Sill OX, X E (-7T, 7T), ( c
rI- 12;
; t . ; i : · t ±
~ h l l ; {-7T;71');-
--'
c.
x
E (-
7T, 0)
,XE(-7T,7T); 1O,f(x)
=
:GE(-7T,O]
x
x E (0, h) 2x, x E (0,7T)
x
E
(-7r, 71 ).
1.29.
Sit sc dezvolte III se ri e Fourier de C O S i l l l l ~ u r i IIrJllat
oa
rele f I l J l c ~ i i
2, f (x)
=
x
3
, X E (0 , 7T) ;
4
siu
:c ,
x
E
(O,h) ;
1,
J(: :)
=
e"'x
,
x
E
(0
,
h)
,
'
E
1l1;
X E (O,n),
Ct
E IR \ II, ;
G. f(:I:)
=
siu 2x, :c E (O , 7T),
; o l t c ill
~ e r i c
F ) u r i ~ [ de I;illllsmi lIr1l1iito (l.[cle [llI1
Cii
i:
2,
fCc)
==
:1::\
X
E (0,71 ) ;
4,
f(x)
= e >:c,
x
E (0,
7T)
,
0 E'
JI1
\
Ll;
E IR \ Zl;
6.
f(:c) = chx, x E (0,7T).
1.31.
Sii sc
dC
7.vo ltc ill se rie Fourier, pe illtervallil (-T, T), T > 0, urJn i(to(l.rc1e
,
2T )
JR
.
, .1:
E ,0, ,
a
E , 2.
f(:c) ==
em:,
:c E (-T, T) ;
x E
(T,2T)
E, (-1,1) , T
=
1;
4,
J(
:c) == Ixl,: j E (-'1',1').
xl., sa sc ~ , y o l ill serie Fourier: il) de l ' o ~ i n \ s l l \ ' i pc
p c (0,2,,)
..
Foiusillrl r(!zull llcle Oi>ti lllltc
00 00 1
00
1
1
' ---:-,
' (·_1),,-1 _ , , - ____
-;.
,
G
l
0 ,,2 0 (2n _ 1)2
n = 1 u= u:.:;
1.5. SERII FOURIER
1.33.
Sa
sc
s t a b i l e a . ~ c a pcrioada 2T
a urmat.oarelor
f l l l l c ~ i i
pcriodicc sa sc
dezvolte
III
serie Fourier pe
-
T,
T).
a) I(x)
=
sgn (cos x); b)
I(x) =
arcsin(sinx);
c) f(x)
=
arcsin(cosx);
d)
f(x)x - [xl·
-
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 12/37
\ ,
\
/ I '
h
j
P I :
'f .
i
I
1\
\
I
C -
. ,
I:
I
,
= :
-
Capitolu12
Funct
ii
de mai
_multe
.... '-- ~ ~ :
variabile
~ ~ ~ . ~ ~
2 1 Limite Continuitate
2.1. Sa
sc
calculeze urUlatoarcl
c
limite:
2X2
-
x
-
4.
· x
+
2 2
2. lim + 1x
.
hm
2 ;
x ~ o o Y X I . l
X-400 X
+
1
2X2 + 2x + 4.
·
{; x2+1-1
3. hm
;
4. lim x
_ 8x +
5
3:-400
x-400 .
X
+ 1
2
x
· 5x + 1)2 2x -<If
6. lim
r;;:;
5.
11Tn
2
3 2 ;
X-400
8 + xvx
x-400 X + X +
2
. JX-1
- 6x + 9
8.
hm - 2- -1 ;
7. lim 2 9 ;
3:-41 X
X 43
X -
27
10. lim J
x
2
+ 5x +
6 -
x;
9 l i m ~ ;
x 4OC
X 427
VX
- 3
11. lim vx + a- Vi
12 .
lim
x +
Vi
- Tl)
;
3:-400
x- 4 00
v f+Sin x -
v 1=
sin
x .
13
r cos ax - cos bx
\
4
. 1m
x
2
3: 40 .
C
.
x ~ ~ ;
16 r arctg3x.
15 r
x -
sin
4x .
.
s i n h
. X +
sin6x
2 h +3
2
1
L\X
17. lim
x
+
x
+
2) - ;+ l
18. lim sin - + - .
(
x 4oo
-400
(
x
2
+ 1
X.
x
e - e
. CaL + e
bZ
)
20. hm 2 ;
19. lim :
X-40
X-40 sinax - sinbx
2
1
1l x
1. lim In(x
+
eX
,
22. lim - In , 1-1
- .
3x
3:-40
(
X
V -
x
3:-40 In(x
4
+ e
)
17
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 13/37
18
CAPITOLUL 2 FUNCTII
DE MAr MULTE VA
RIABILE
2.2. Sa se studieze
e x i s t c n ~ a
limiteifunctiei J in punctuJindicat:
[lJ 'x t 0
a) J(x) =
X
x In
punctul
Xo =0
{
O,x = 0
r
2xsinx,x>
7r
b) f(x) = - in punctuJ Xo
=
7r
{
X
e -
lr
- l x
<7r
2.3. Sa.
se
verifice
dadt f
are limita. Inpunctul Xo:
' ..-'.
- . . . , . . - , , ' :
t '
, . < ' _ c ~ : = . ? ~ - - = - - - : = . ? ' : . :
-oa} J x ) ~ l x l + X + I Xo =
b) f(x)
= ~ , . E O =
0
x-3
X
t 3
2.4.Se
da.
funqia
f:
D --+ lRJ{x) =
{
~ - t ~ : : undeDestedomeniul
maxim de definitiealfunctiei. Siisc studieze continuitatea in Xo =3.
2.5. Sa.
sc
determine parametrii
reali
0:',
{J astfel
incit funqia
f: JR
--+ lR
SinX
X
<
0
J(x) =
{
1f' sa fie dcrivabiJii
peR
x +O:'x +
J ,
x;::: 0
x3
-
2x,x EQ
2.6.
Se
considera f u n c ~ i a f: IR
-7
IR.
J{x)
= 2
{
X
-
2, x
ElR\Q
Sa
se determjne 0:' E lR astfelincit
lim
J{x)
x--+C>
sa
existe.
- ,
J
e-;r ,sin
2 . 7 . F i e f u n c ~ i a f : I R . - - + l R f x ) =
x '
{
a , X
=
0
a E lRa.c;tfel
inclt functia
Sa fie
continua
in O.
2.8. Sa se
studiczc continuit
a tea functiiJor:
1. f(x) = x2+i
x
l
Ixl
2, f(x) =
Jul
I
1
3.
f(x)
= er+2
I
•
f(
;
: =
l+ Th
e
I
r
,J( x )
=
arctg
x=3
x E lR
0
{}
,
Sa
sc
determine
2.1, LIMITE.CONTINUITATE.
I!}
z 9
6.
f(x) = x - 3 xt=3
{
4, x
= 3
, ; .i • •6.:
{x, ' x Q
..
7.
f{x) = -x , x E
lR\Q
3X
- 2,
x
E
Q
8. f{x) =
{
x'l,
X
E lR.\Q
9.
f(x)
=
{S inx , x EQ
cos
x, x E
lR\Q
10. f{x)
=
{e--fz, x t
0
0,
x
=0
11.
f{x)
= {max(x,x
2
X
3
),
x:-::;:
0
min{1
+
, ~ ,
eX)
, x>
0
12.
f(x) =
max(x
2
+
12,7x)
13. f(x) =min{x
2
+4,
5x)
1
14. f(x) =e;c,
15. f{x) = I
1
c'
2.9. Sa se
studie
ze punctele de discontinuitate ale func t iei f precizindu-se
natura
lor :
1.
f:
TH
--+
IR ,
f(x)
:: {XSin
+
c o s ~
x
t
0
0, x
0
2.
f: IR--+
lR,f(x)
=
{x+ X ~ I '
X
t
1
1, x =
1
. «:;;i
2.10. Sa searate ca
f :
IR --+ lR
are
proprietatea lui Darboux"S
1.
f{x) = { X C O S ~ x t 0;
0,. x
=0
c o s ~ ,
x t
0
2.
f{x) = , a
E
[-1,1]'
t i ,
x
=
0
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 14/37
jl
lij
; III
CAPITCjLUL 2,
3, f(x) =
{COS
c o s ~ ,
0,
2.11.
Sa se
arate
ea
f :
R
-+
lR nu are proprietatea lui Darboux:
1. f (x)
= { c o s ~ , x i-
°
a
[-1,1
a, x =°
2. f(x) = [x]
: ; ; ~
xElR\Q
2.2
Spatii met
rice
2.12.
Sa
se arate ca f u n c ~ i i I e urmatoare sunt mctrice pe s p a ~ i i l e indicate:
1. d:
lR
x lR
-+
JR, d(x,y)
=1
aretgx
2.
d: (0,00) x (0 ,
00)
-+ lR, d(x , y)
3. d
l
: lR
n
x
lR
n
-+ lR ,
d
l
(x,
y
,1Inde x
=
Xl,X2: ..
.
,xn),y
=
4. d
k
: Rn
x
lR
n
-4 lR ,
d,,(x,y)
cu
k
> 1 x
= (Xl.,X2, ... ,X
n
),y
=
5.
d: R
n
x
R
n
-4 JR
,
d x,y)
2.13. Sase
stabilcascii dad functiile de mai jos sunt Dorme:
1. . iii
:
lR
n
-+ lR
,
FUNCTlJ
DE MAi MULTE
VAillABILE
xi- °
x
= 0;
u l
, ;
,
arctgy 1
=
1 In
x
- In
y
1
n
= L 1
x - Yk
1
k ~ 1
.
(YhY2,
',Yn)
n ) t
=
1
Xi
-
'iii
I"
(
1
=1
(YI,Y2, ...,Yn)
n
1
Xk
-
Yk
I
= L 1+ 1Xk
-
' Ik I
k=1
n
IIxll l=Llxl
k=1
2.2. SPATH METRICE
x = (XI ,X l ... , x
n
) E JRn
2. . lk :
JR.n
-+ IR
,
U; I ~ ~ = (t 'lx'; : : ~ Q H ) . -
1 1
"
_
, x = (Xl,X-.
',
..
.
,x
n
) E
lR
n
3. X
= cl([a,b],lR) = {j:
[a,b)-+1R..,f continua}
rp
':X -+1R,
( I , -j ( . ' : < :
r f f - ~ ~ a x I C;Y11T
zE[a,b]
4.
X = CO([a,
b],
R) = {j: [a, b]
-+
JR.,
f continua} , II .
III: X
-+ JR
21
1
f 11r=
(r
f
2
(X)dX)
2
i[a,b]
2.14. Fie
X = {j If:
[a,
b] - t 1R
integrabila
Riemann} r.u structura
de spatiu
vectorial real. Se considera functia 0, .) :
X
x
X
-4
JR
, ,
(f, g = r f (x )g(x)dx
i[ a
,
b
Sa se verifice:
1. Dad aceasta f u n c ~ i e este
produs
scalar
2.
Daca
se
notea.za
Y
=
CO([a,
b];
lR)
,
§i
se define§te funct
ia
d: Y x Y lR,d(x,y) =1\ f - 9
II .
Sa se
arate
ca X,d) este spatil.l
. metric.
2.15. Sa.
se precizcze dadi functiile de mai jos
sunt
produse
SCil.lare:
1. X
= CO(
[a, b] ;lR), r.p: X x X -+ lR ,..:p(:_.
2. rp :
lR x
JR.n -+lR, r.p(x,y) = xAyT
3. X =
C1([a,b];lR),rp:
XxX - t lR.,rp(j,9) = J:[J(x)g(x)+f'(x)g'(x)]dx
2.16. Sa.
se cerceteze existenta unnatoarcIor limite §i In caz
di
exista., sa se
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 15/37
22
caJcuJeze:
1. lim
(x,y)-+(O,O)
3.
lim
(X
,y)4(O,O)
5
I
. 1m
(Z,Y)4(O,O)
. ' .
7. - liln
(Z,Y)4(O,O) x
6
+ y6' :
2.17. Sa
sestudieze
continuitatea
inorigjnea
unnatoarelor c ~ i i :
1. f(x,y) =
{ x ~ ) : ~ '
0,
, y ) = { x ~ ~ 1 2
0,
5. f(x,y)
=
{ ~ : ~ ~
0,
7. f(x
,y)
={X
2
x;.
y
2 ,
0,
9.
f(x
,y) =
{xsin;y
,
0,
l l . f (x,y)=
{
13.
f(x,y)
= {(X
2.18.
Sa se
continua
in origi!1e :
1. f(x, y =
0,
2. f( x
,
y) = {
0,
.,
f('
)-
{ ( S ~ : ¥ ) a ,
.]. y-
0,
CAP
lTOLUL 2. PUNCTII DE MAl MULTE
VARlABlLE
•
x2
,.
y2
x - y
2. lim
- - ;
.. ;x
2
+
y2 +
1- 1
(X,Y)4(O,O) X + y
J x
2
y
2+1 -1
x
2
y2
1
4.
lim .
x<
+
yL
(X,Y)4(O,O) x
2
y2 +
(x - my)4'
.
(2
2
sm
x x
+ y )
· 1- cos(x
2
+
) /)
6 I
1m .
x
2
+ y2
. (X,Y)4(O,O)
(x
2
+ y2)x
2
y2 '
I
€-'+.2
_
"'
. .
_
.a
.
lim ( 1 + x ~ 1 1 I 1 )
~ 2 ~ , 2
\X,Y)4(O,O) - ....
(x,y) (0,0) 2. f(x,y) = {Xl"' YZ ' (x,y) (0,0)
(x, y) =
(0,0)
0,
(x, y) =
(0,0)
( x , y ) ~ ( O , O ) 4·f(x,y)
= {X
2
Y
l,
( x , y ) ~ ( O , O )
x,
y)
=(0,0)
0,
x ,
y) =(0,0)
(x,y)
(0,0)
6.
f( x
,y)
=
(x,y)
(0,0)
(x, y) =
(0,0)
0, (x, y) =
(0,0)
(x,y)
=
0,0)
8.
f(x
,y)
= { f ~ (x,y) =
0,0)
(x,y)
- (0,0)
2 ' (x,y)
- (0,0)
xy=/=O
1 0 . f ( X , y ) = { ~ : : : ; j '
x=/=y
xy = 0 0, x =
y
X.
( )
..J. (0 0) , {X ,}X2..1-3Y2
x
2
+y2' X,y
~ 12·f(x,y)
= X 2 + ~ 2 ' (x,y) =/=(0,0)
0, (x,y)
=(0,0)
0, (x,y) ==(0,0)
2
+ y2)coSxZ!yZ' (x,y) (0,0)
0,
(x, y) = (0,0)
determine
pentru ce valori ale lui 0' functia f:
JR2
-+
JR
estc
{J1X
<> sin jx j ! jy j '
(x,
y
(0,0)
(x,y) = (0,0)
( J x i ~ f ~ I l (
(x,y) (0,0)
(x,y)-(O,O)
(x,y) = =
(0,0)
(x,y) ==
(0,0)
..
apitolul 3
alenl diferential
3.1 Diferentiabilitate.Derivate partiale.
3.1. Sa se st
udi eze
d i f e r e n ~ i a b i l i t a t e a
inoriginea
urmatoarelor
funct
· . l . · ~ h i - -
\
== t :
ii
:
1. f(x, y) =JiXY
2. f(x,y)
=
{ , } X
~ ~ Y 2 '
(x,y)
(0,0)
0, (x,y)
=
(0,0)
3.
f(x,y) =
{(X
2
+ y 2 ) s i n X 2 ~ y 2
(x,y)
(0,0)
0,
(x,
y = (0,0)
x2_y2
4. f (x ,y )=
x y ~ ( x , y ) ~ ( O , O )
{
0, (x,y) =(0,0)
5. f(x ,y) = ? : ~ 2 ' (x,y) ( O , O ~
0, (x,y) =
(0,0,
3.2.
Pentru f u n c ~ i i l e compusc de maijos,
sa
se calculeze derivatele
p a r ~ i a l e
indicate:
1.
u(t)=e:x-
2y
,x
=sint,y =t2;
1lt
=?;
t
2.u t) = x
2
+
y2
+
xY,x = sint,y =e ; 1lt
=?;
3
z(u v)
=
x
2
y
_
y
2
xx =
ucosv
y
=
usinv '
az =? fu. = ?
, ' , 1
u . u . ,
4.
z(u,v)
==x
2
Jny,x= ~ , y 3 u - 2 v ;
az
_7· fu. -?
au
- . , au -. ,
5.
u(x,y) =
j(a.x,by),f
E C
2
(R2) ;
2
a'u _7 .
alu _?
a u
-?
aXI
-.,axay -·,w -.,
2
a
7.
u(x, y)
=
f(xy , f
E C
2
(JR );
2
2
2
u
_7
a
u _?
a
u -?
aXI - ., axay
- . ,
W - '.'
2
3
8.
u(x,
y,
z)
==
f(x + y
+
z,x
2
+
y2 +
z '2
);
f
E C
(JR );
23
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 16/37
CAPITOLUL 3. CALCULDIFERENTIAL
a'u
_?
D
2
u _ ? a
2
u _ ?
[)2u
_'7.
a
2
u
_?
8Xi
- . ,
ax&y
- . , lfij(Ji.-., fi7 - ., azr -.,
9.u(x,y,z) =f(ax,by,cz);f E
C
2
(R
3
):
a
2
u _ ? a'u _ ? a
2
u
_ ? fPu _ ?
a
2
u _'7.
8Xi -:" .iX&ii
- . ,
lJiiliZ - . , 7iir -.
azr
-.,
10.
u(x, y)
=
f(x
2
+
y2,x2:'-'
t},2xy)j
f EC
2
.JR3)j
..'
. ,.....
r - ~
iPu
a
2
u
_ ?
a
2
u
.
_?
ift1
- . ,
i1xlfij -. iijI
- . ,
11. u(x,y) =
xPyqj
a m + n U ? N '
~ = · P q E j
I
~ . - : : : , f , ; l ~ ? ~ ~
~
/Jl.2t
~ = ;
13.u(x,
y, z)
= xyze
x
+
y
+
z
;
am n ,.u
-?
8xf ay
n
z
r
-.,
14.
u(x,y,z)
=
eXYZj
[)3u _ ?
axBy8z - "
3.3. Pentru functiile de mai
jos
sa
se
verificeegalitatile:
1
z(u
v)
=
arctg
x
=
u +
v
Y = u -
v'
az +
az
= u-v .
.
I' , , &U lfV U
2
+V 2 '
fl
2.
z(x,y)
=ip(x
2
+
y2),ip
E
CI(.JR)jyg; -
x g ~ = OJ
3. u(x, y) = sinx+f(siny-sinx), f E CI(JR)j ~ cosx+ cosy = cosx cosYj
4
( )
-
y
fECi IR) '1az + 1az
_ z .
•z
x,y - f(x2 y2) ,
xex
yBy - r '
5. z(x,
y)
= ( ~ ) ,
f E
C l R ) j x ~ + = OJ
ill
6
u(x
y z) = xkf(l. I.) kEN f E CI(R2). + yaU+ zOu =
ku'
.
x ' x" '
ax
ay t f i '
7.
u(x,
t) = ip(x - at) + 1f;(x+ at),
ip,
1f;ECZ(R)j = a 2 ~ ;
a
2
a2
" 2
8. u(x,
y)
=xf(x
+ y)
+
yg(x
+
y), f,g
E C
2
JR)j
ax i
- 2 ~ + =
OJ
9.
u(x,y)
=
p ( ~ ) + x 1 f ; ( ~ ) , t P E C 2 R ) j X 2 ~
+ 2xY::6;; + y 2 ~
= OJ
10
.u(x,
y)
=c,o[x + j (y)J, 1,0 ,1/; E C2(lR)j: ::6;; = ~ ~
3.4.
Sa
seca1culeze d i [ e r e n ~ i a l a indicatapentru functiile:
II
1. u(x,
y) =x
3
+
y3
-
3xy(x
- y);
d
3
u
=7;
2. u(x,
y) = sin(x
2
+ y2);
d
3
u
=?;
3.
u(x, y) = in(x +Y)j dlQu=?;
4.
u(x, y) = cos
xcb
y;
£i6u=7;
ri
5. u(x,
y, z)
=
xyZj
d
3
u
=7;
6.u(x,y,z) =xXyyzz ;d
4
u =
1
;
7.
u(x,y) =
e=+byjd"u = 7;
8. u(x,y) = f(x)g(y);f,g E C"(R)
;d"u =7;
9.
u(x,
y, z) =
f(x
+
y
+
z); f
E
cn(R)j
d"u =?;
3.i - EXTREME.FUNCTJIIMPLICITE
10.u(x,
y, z)
= eax+by+cz;
d"u = ?
. 3.5.
In
e c u a ~ i i l e
urmatoare'
s
se efectuezesCbimbarile
de
variabileindiCate! .
.
.
e... "·r . _ L,...,.J1ra_..1:5,....r . . .
1 x2a
2
y + 2x8y + a' y·="Oldaci.x ( r i ( t ) = .
'
t- .., ... . .
· 8Xi ax X7 . ...
I
2. 1 -
x
2
)
~
- -
=
0,
daca.X=
ip(t)
costj
3. yM - = 0,dacau =x, v = x
2
y2,
u, v·Doilevariabileindependentej '
4. ~ +
=
0,dacax
=
pcos 8, y =
psin
8,p,8- noilevariabileindepen
dente
- - £. - ~ : ' ~ : i ;
a2z a
2
z _0 d
v _
~ 2 _ V 2 . -
5· 8Xi
+ +
m z - , acax -
Y -
uv
y • .
\\ - " 1
V
6 a
2
z - 4 a
2
z +
3
a2z
= '6
daca
u = 3x +y' v = x +Y . .•"- . '
· 8X7
8xlJY lfilI ' , .
7.
~
+ 2cosxJz'ay -:sin
2
x ~
- s i n x ~
=
0, dacau
=
sinx+ x - y, v =
sinx+ y
2
a2
2 .
8. xya z +
(x2
+ y2)_Z_ +xya z_ yaZ
_ x
az
=
0 dacii
t =
x
2
_y2 V =
II
8X7 axBy liil ex By , x
2
9.X
2a2z
+2
xy
a z
+ y 2 C f 1 z + x ~ + y a Z k 2 _ = 0 dacau=l l v= y
.
8Xi ax8y
lfilI ox By
', x'
3.6. Inecuatiileurmatoare
sa
se efectuezesehimbarilede variabile indicate:
t,
;
1. Y M x ~ = (y-x)z, daca.u=
x
2
+y2, v = ~ + ~ -variabile independente,
w =Inz - x - y ·este0 noua
f u n c ~ i e
r
2. (xy
+
z) g;
+
1
-
y2) = x
+
yz,
dac3.u =
yz
- x,
v
= xz - y- variabile
independente,w = xy - z-este0 DOUa [unctie.
3.
fxt + 1 x 2 ~ + =
0,
dacau = x +
y,
v = x -
y-
variabileindependente,
w = xy
- z-este
0 noua[unetie.
3.2 Extreme.
Functii
implicite
3.7.Sa
secalculezcderivateleurmatoarelor[unctii,definiteimplicit,inpunctele
indicate:
1.
F(x,
y)
=
XO
+ yO +
xy - 3; (xo,
YO) = (1,1);Y= f(x);
2.
F(x
, y) =x
3
+
y3
- x
2
- y2;
(xo
,Yo)
= 1,
l);y =
f(x);
3.
{FI(X,y)
=x+2 y - z - 3 . " .:
F2(x, y) = x
3
+ y3+
z3
--
YO,ZQ)
= (1,1,0);y =h(x); Z =
Jz(x)
2 . '
4.
F(x,
y)
=
x
2
+
y2)
-
8a
2
xy,
(xo,
YO) = (a../2 ,a../2);
y
=
f(x);
2 2 2
5.
F(x,y,z) = + +
-l;(xo
,
YO,zo)
=(O ,D,e); z =f(x,y).
3.B.Sasedeterminepuncteledeextrempentrufunctiile:
1. f:
IIi?
-+
lR,
f(x,y)
=
x2
+
(y_1)2;
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 17/37
CAPITOLUL 3.
2.
I;
lR?
JR., f(x,y) = (x 2y+
1)2;
3. I :
lR? JR., f(x,y) = x4 + y4 -
x
2
;
4. I:
, J R .
f(x,y)
= (x
2
+ ~ ) e - ( : c
2 + l
5. I; R2-+ R, I(x,y,z) =
x
2
+
y2 + z2
-
6.
I :
JR3
-+.JR,
I(x,y,
z)
=
x
2
+
2y2
+
z2
7. I: JR2
-+
.JR, f(x, y) = (x - y + 1)2j
{J ) I : JR2
-+
JR.,
f(x,y)
= x
3
+ y3 -
3xy
+
2;
9. I : JR2
-+
JR., f(x,
y)=
xyln(x2
+
y2)j
10: j : R3
=
-m., 'f(x, X
2
i+
y2 - -
z { + 2 . : 1 :
11.
I: JR2 -+.JR, I(x,y) =
x
2
+
xy
+ y2
-
12. I:
JR2
-+
1R.,
I(x,y) = s
inx+cosx+cos(x
-y) , 0
s: x s:.q.
0 s:
y s: .q.;
13. I: JR3 -+ JR., I(x,
y,
z) = 2x2 +
3y2
+ ~ z 2
14
. I ; JR3
-+ JR., f(x,y
, z)
=
x
2
+
y2
+
z2
+
2x
+
6y
15. f; JR3 -+ JR., I(x,y,z) = 3x
2
+
4y2
+
3z
2
16. I: JR.2 -+
JR, I(x,
y) = x
3
+ y3
8xy;
17. I:
JR2\{(0
OJ} -+
lR.
I(x y) = a(x+Y)-1
, . , X
+y2
18. f;
JR3
-+
1R.,
f(x,y ,z
)
=
2x2
+y2
+
z4 -
19. I: JR2 -+
JR.
,
f(x, y)
=
X4 +
y4
-
4xy;
20. I:
JR2
-+ JR.,
f(x,y)
=
l+x-t,
.
,Jl+x2+y2
3.9.
Sa se
determine
puncteJe de extrem
e o n d i ~ i o n a t , e u
legaturile indicate:
1.
I(x,y) = xy ,culegatura g(x,y) =
x
+
Y
2. f(x,y) =
x
2
+ y2,
cu
legaturag(x,y)
= +
3
I ( )
1 I J
\
1
.
x,y = x
+;;
,CH
egaturag
x,YI=?+!j'1-Ql"
4.
I(x, y,z) =
x
-
2y
+ 2;;, cu legatura
g(x, y, z)
5. f(x,y,z)
=
x
+
y+z
,
cu
legatura
g(x,y,z)
6.
I(x,
y)
= cos
2
X+
cos
2
y,
eu
legaturag(x , y)
7.
I(x,
y, z)
=
xy2
z
:J, cu
iegaturag(x, y, z)
=
x
> 0, y > 0, z > 0,
a
> 0;
8. I(x, y , z) = xy z
,cu
legatura
g(x
,
y,
z) =
{
9. I( x
, v, z)
= xyz, eu Jegatura
g(x, y, z) =
10.
I(x,y) = J
+
~ , c u
legatura
g(x,y) = x
11
I( )
2 2 2
1 (
. .
x, y,
z -
x
+
y + Z ,eu egatura
9
x, y,
z
2 . I(x,y) =
x
2
+ y2,
cu Jegatura g(x,y) = J +
CALCUL
DlFERENTJAL
xy +x - Zj
2xy
+x
-
2zj
4;
4lnx .-1OInYi
2xz - 2yz - 2y -
6z;
6z;
4xy - 4xz -
2z
+
1;
a
E lR.:
,
xy - XZj
1
=
0;
-
1 = OJ
1 1 0
= ;
=
x
2
+
y2
+
z2
- 9 = 0;
=
+
t
+
- 1
=
OJ
= x
-
y
- =
0;
x
+
2y
+
3z - a
=
0,
{x2 +
y2
+ z2 - 1
=
0
.
x+y+z=O
X+
Y
+Z - 5=0
xy+xz+yz
= 8
2
+
y2 -1 = 0;
)
_.,2 i .. z2
1 -
O.
-
9'
+
4
+ T - _ ,
- 1
= 0;
3.2. EXTREME.
FUNCTn
JMPLICiTE
27
13 . I( x , y) = ) 4 - x
2
-
y2;
cu
Ic
gatura
g(x
,V) =
x
2
+
Y
-
1 = O.
2
3.10.
Fie
f u n c ~ i a y(x)
defillita implicit de
ecuatiax - 2xV + y2
+
X
+
Y -
2 =
o.
Sa sicllcwezeY'(l) iP)(l)
dacl.
y(l) d '
l
I e , , " p;
\
r-tII
3
Ecuatia
x
+ y3
-
3axy =
0,
a
f=.
0
defin€te implicit
functiay
y(x).Determinati
extremele locale ale functiei
y(x).
3.12.
Sase determine extremele locale
ale
,functiei
z
,:",
z(x;t j i e f i n f f a p l i c i t
de ecuatia
y2
-
x
2
+
z2
'
!.. 2y
+
2x
-
4z - 12
=.0cu lega
turay = 1.
3.13.
Sase determine extremele locale ale functiei
z
= z(x,
y)
definita. implicit
de
ccuatiaF(x, y, z)
=
x
2
+
y2
+
z2 - 2x + 2y
-
4z - tb o.
l
>
3.14.Sa
se calculeze
t daca
z
= z ( ~
este definita implicit de eCllatia
z
+ F(x,y
,z
)
=
0
unde
F
E COO (JR.3)
. . .
3.15.
Dacl
z
=
z(x,
y)
este definita
implicit
de ec
uatia
2x2
+
2y2
+
z2
-
8xz
z
+ 8 =
O,sa
se calcuieze dz,
d
2
z
pentru
x =
2,
y
= 0
!l
i
z =
1.
S
· I d t
{x2
+ y2
-
z2 = 0 d fi
.
Ii
f
1
3
.
16
. lstemu e
e c u a ~ l l 2
?
2
e,
n e ~ t e
Imp
CIt
ul1etll e
x
+
2y-
+
3z
= 0
y
= y(x)
§i z
=
z(x).
Sa se calculeze y' §i
Z l
pentru
x
=
l , y = 1 §i z
=
1
2
3.11.
Eeuatia
F(xy ,x
-
2xyz)
=
0
,F
E
C1(IR?)
d e f i n e ~ t e implicit funetia
z=z(x,y) .
Sa se calculeze expresia E = xy
_y2 ~ ~ .
S
·
1
d ..
{x2 + y2 - 2z2
=
0 d
fi
. I"
f
f"l
3
.
18
. lstemu e ecuatll 2 2 2 e
n ~ t
Imp
lClt u n e ~ 1 l
e
' .
x
+
2y
- 3z =
0
y
=
y(x)
z =
z(x) .
Sasc calculeze
y"
§i
z"
pentru
x
= 1.
3.19. Sa se det ermine
y (XO) y"(xo),
pentru
y
= y(:r:) definita implicit In
vecinatateapunctului
M(xo,yo).
1.
x
2
+ 2xy + 4y3 - 12 = 0, M(2, 1) ;
2.
x
3
- Y - cosy = 0, M(1,O);
3.
y -
2xarctg
;
=
0,
M(1,0)
3.11.
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 18/37
28
.
CAPITOLUV3 CALCUL DIYERENTIAL
4. In{x
2
+
y2)
-
arctg? =
0,
M{1,0)
5.
x
3
+
xy2
-
2y = 0, M 1 , ~ ) .
3.20. sa
se determine punctele de
extrem
ale
f u n c ~ i e i Y = y(x)
definita implicit ,
n
vecinatatea
lui M(xo, YO
2
1.
x4
+
y4 x -
=
0;
2. x
3
? - x + y
=
0;
3. x
3
+ y3 - 3xy =
0;
4. xe-XY
= 1;
:::; -
3.21.
Sa. se
determine
dz(xo, YO £2 z(xo,
YO
pentru z z(x, y
definita
implicit
in vecinatatea
punctului
M{xo, Yo, zo):
3
1. z3
-
3xyz
-
a = 0, a
¥
0, M(O, 0, 0);
2. e
Z
- x
-
z
- xyz
=:.jO, M(l, 0, 0);
",2 • y2
2
3. . . + ? - 1 = 0, M 0,0, c
4.
sinxy + sinxz + sinz =
2,
M 1 , ~ , ~ ) .
3.22. Sa
se determine extremele
f u n c ~ i e i
z
=
z(x, y)
definita implicit prin:
1.
x4 +
y4 + z4 =
2{x
2
+ y2 + z2);
2.
2x2
+
6y2
+ 8xz - 4x -
8y
+ 3
=
0;
3.23. Sa
se determine
y y"
dadt
j
x
2
+
y2
- arctg ' ..
=
0
x
3.24. Sa se
determine pentru
x =
y
= 2, z
= 0, dacii
{x +
y)e
Z
- xy - z =
0
3.25. Sa
se determine ji pentru
x = y = z
= 0, daca
Z
x
Z2 -
xe
Y
- ye - ze = 0
3.26. Sa.
se determine
z x pentru x = y = z =
0, daca.
x In y + y In z + z
In
x - 3 = 0
3.21. Sa se arate ca zsin
-
y2 g; =
0 dacii
(y + z) sin z -
y{x
+ z) = 0
3.28. Sa.
se arate ca. z{x + - y(y +
=
0 dacii
y{x
+
z)
-
(y
+
z)f{z)
=
0
3.2.
EXTREME
FUNCTII
IMPLICITE
x + y + z = C
3.29.
Sistemul de
ecuatii
define jte implicit funqiilc
y = y(x)
{
xyz
=
b
ji
z
= z{x).
Sa se calculeze y z .
x2
+
y2
+
z2
=
1
3.30
.
Sistcmul de e c u a ~ i i
2
defineijte impJjcit f u n c ~ i i l e y
=
{
x y= z
y(x) §i
z = z(x). Sa se ca1culeze
yl
ji Zl
3.31.
Sistemul de c c u a ~ i i
{x2+
y
, W ~ 1 J
= ' : ' : ' d e f i n ; ~ t ~ ~ ~ i t
t u l l c ~ i i l e
x+y+z+u=l
z =
z{x,y) ji
u
=
u(x,y).
Sa 5e
calculeze
z ~ z ~ , u ~ , u ~ .
L
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 19/37
V
____ .
; : ; :
;: - ;
apitolul
Integrala
4.1
Primitive.lntegrale Riemann.
4.1. Sa
calculcze
urroatoarele
integrale
r a ~ i o n a l e
:
1.
J
X ~ I ;
°
;
I
2
J
dx .
· x"- I '
2
dx.
3.
J
x
x"+I'
dx .
4 J (J.Jx)2(l+x2)'
d. t .
5
·
J
x
3
+1)2'
J (x2+x+i)dx . x E (-00,1);
6.
(x
-
l)3(x
2
+x+I)2'
4.2.
Folosind
substitutiile
lui Euler,sa. se calculeze integralele :
1. J
E (0,-1 + -/2 ;
1+
-
- x
2
J dr .
·
xJ(x
2
-1)(4 - x
2
)'
3. J
xJx2
+ 2x + 2dx;
4.J
~
I+x I+x
4.3.
Sa sc caJculeze
urroatoarele
integraJe binoroe:
1. J
Jx
3
+ x
4
dx;
2 J
1 + ~ 2 ;
3
J dx .
· l + ~
4
r
x
5
dx .
.. ~
5 J
vl x
4.4. Sa
se calculeze int egralele trigonometrice :
31
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 20/37
32
1.
J
. .dx 4 ;2 . J (tg
2
x+tg:;x)dx;
s n ~
eos
J
.. dx I
3.
sm5xcosx ;4.
sinx
5. I tgxtg
(a
+ x )dx;
6.
7
I
sin
2
xdx.
8 I
sin
x
cosxdx.
·
l+sin
2
x" s inx+rosx'
9
I
dx
10
I
sin
x-cos
x
· sin
4
2>+-C05
4
x; .
sin z 2 OS
x
4.5. Sasecalculeze integralele
(se
va
folosi
formuladeintegrare
prin pil.r1ji):
.1.I x
2
e
3x
dx; . .
.'
--
-.':"'':''
2. I e
ax
cos
2
bxdx;
3.
I xcX
sinxd x
;
I
d:c
4. Vl+e.";
5.
I arctg
.jXdx;
6. I x In(
I+x )dx'
i x
7. I sinax sinbxdx;
8.
I
'; x
2 -
a
2
dx
;
9.
I , ;a
2
- x
2
dx;
10. I ';x
2
+a
2
dx.
4.6.
Sa secalculezeurmatoareleintegraledefinite:
I
1. J v'f=X2dx ;
2
2.
I ~ 2 1 1 xl2dx;
3
(27r
dx
d
· Jo 2 a b c x;
4
I
l - x
2dx
· Jo arccos
l+x
;
(V3 :2
5. J o ~ x arctgxdx;
6.
I
0
41n(1
+ .gx)dx ;
7
Ie ./ifiX dx
· 1
x(
J+
/ifiX)
3
,
8.
1
arcsin
x-J dx'
Jo
' ;2(x2+1) '
9. I ~ 2 ( l x 3
xl
+ Ix + 2l)dx;
10
1 In(l+;Jd_
· Jo l+ x x ,
11.
(ro eX sin
2
xdx'
10 ,
12 .
Io
f
o < ; n _ ~ k L ; l a l i-Ibl i- 0.
4.7.
Stabilindintiii 0
r e l a ~ i e
de
r e c u r e n ~ a
1.
Io f
sinn
xdx;
4.
4.10.
4.2 . TEORJA
MASURJJ.JNTEGRALA LEBESGUE.
CAPITOLUL
4.
iNTEGRALA
2.
fol 1
-
x
2
)"dx;
dx
3.
fd
xm(lnx)"dx;
sinai
t s in(2n+
1)x
d
JO
SIn x
X.
( 2 + = S ~ )
sin.
,;
i .
.\ . -
liJ
d
X.
4.2 Teoria masurii.lntegrala Lebesgue.
O;x<
-1
4.8.
Fie
F: R F(x)
~ l ~ S x X ~ ; ~ e b e s g U e
{
9;x:::: 2
Stieltjescorespunzatoare. Sasedeterminemasura urrnatoarelor m u l ~ i m i :
a)
{2}
; b { - ~ , 3 } ;c)( - I,O]U
(1,2)
;
d)
[0,
t)
U(1,2] ;e)
{xllxl
+ 2X2 >
I}.
t>
4.9.
Fie masura Lebesgue-Stieltjescorespunzatoare uneifunctliF crescatoare
continua ladreapta F(oo)
=
I,F(-oo)
=
o sa. se cercetczc valabilitatea
urmatorclor a f i r m a ~ i i :
a)
A
E
B
numarabila
> fJ(A)
=0;
b)
fJ(A)
> 0
> A c o n ~ i n c
un intervaldescbis;
e)
fJ(A)
>°
fJ(lR \
A) =
0
> A este
densa
InR;
d) sa. seanalizeze b) §i c) daca. fJ esternasuraLebesguepe JR.
Exemplude m u l ~ i m e care nu e borelianiL NurnereJc x, y E lR vor fi
numite ecbivalentedaca x - y E Q. Dinfiecareclasa de e c h i v a l e n ~ a alegem
un
reprezentantce
a p a r ~ i n e
intervalului[0,1]. Notamcu
A
multimeaacestor
reprez entan ti.Avern:
1.
Dad.
1',
SEQ
,
l i-
o
atunei (1' + A) n(s + A)
= Q(r
+
A
=
{y E lR
I
y=r+a ;aEA}) ;
2. JR=UrE<Q{r+A};
sasecalculeze integralele:
3. Daca. A E 13 > l + A E
13
Daca fJ este masuraLebesgue atunci
I..I A)
=
0
>
11(1
+
A)
=
0;1'
E
Q.
C o n t r a d i c ~ i e
eu2)
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 21/37
C A P j T O { U L hVTEGR L
00
[1 - -t] In tdt =
1
e-
t
In tdt
n
1
t
[
_ n
In tdt = t
e-
t
In tdt
n
J
o
masura
Lebesgue-Stieltjes c Q r : e s p u n z a t Q 3 . r ~
J l n e i functii
:..
..
Se n u m e ~ t e
atom
aI
masurii
jJ. un
punct
x
E lR
astfel
Incat
2. Sa. se dedueaca numaru! de atomi
este
cel
multnumarabil.
4.13.Fie J L la fei ca In
problemaprccedenta
.Sa se
demonstreze
ca dadi. 1m F
este finita
,atunci
J.L{A)
-atomiea.(peste
masuraa.tomica dacaJ.L(A) = 0 ori
DefuLim E E P E) astfe : A E E ~ A este
De asemenea, definim functia
de
munime
{
daci
A estefinita
" . . A
E
E.
1,
~ c a
A este IUfiruta
nu este numiirabiladitiva(i.e. a
N.pentru fiecare A C E fie Nn A) =card(An(o,
n])
iar ; :
p(E) = lim Nn(A)
c.-IOO
-n
algeb:<i.
dar
nu este a-algebra.
2. P. esteunitaditivape; :
dar
DU este numiir
ab
il a d i t i t i v a J . L
un
spatiu
cu masw-j
:?i
F: E -7 J:\ masurabilaBore l. Sa se
= 2: p.{x/ f x) n}
T ES
34
4.11.
Sa. se
arateca:
a)
I
n
im
x-loo
1
b
lim
- ICC
io
..
4.12.Fie J.L
F
: lR
~
R
p{{x}) > 0.
1.
Sa.searateca.J.L({x})=F x) -F x-O) .
de
cite
ori
A
nu
c O D ~ i n e
nieiun atOm).
4.14. Fie E 0 mul\irne
infinita.
finita sauA
C
este finita.
.
).: E-7
{O,l}
prm: )'(A) =
Sa
se
arate
ca
. este finit aditiv3
dar
aditiva)
4.15. Fie E =
familia acelorsubmul\imiA
ale
lui E pentrucare
ex
ista
1. Sa se arate
ea
; : este0
este numita"
densitate
asiruptOtica." pe
E).
4.16.Fie (E, £ , J.L
arateca dad
p.
este finita. ,avem
1fdp.
E
35
.3. INTEGRALE IMPROPRJI.
4.17.Fie
E,
[ p.)
un spatiu
eu
masura,F
: E -7 JR, masurabilii. Bore! A E [ .
. .
Dacii.
i f d j J =
0
at unci
f
=
0, J.L -a .p .t. pe
A.
4.18. Fie (E,[,I ) lin spatiu cu masuraF: E -7 IR integrabilii iarAn,n =
1,2,3 ...
un ~ i r
de
s u m u l ~ i m i
dinF
~ ~ t f
Iueat
lim jJ.(A)
= O.
n-loo
Sa
se
arate
ca
Jim r fdjJ. = O.
n ~ o o J n
In
particular
l)
lim r fdJ.L = O
n-looJ{uI>n}
4.19.
Fie E
, £,jJ.)
un spatiueumasura , I fiind 0 masurafinita .Se
eons
idera
F: E
~
lR
masurabila
Borel c > 0 fhat .Sa se arate
ca
JJldJ.L
< X)
dad numai
daca
00
LP.{:l:/lf x)1 en}
< 00
n=O
4.20.
In
eonditiile
problemei
preeed
en
te
,
sa
se arateeli
J
IJledl
<
X)
daea. numaidad
00
C1p.{x/IJ(x)1
n} <
00
n }
-4.3 Integrale improprii.
4.21.Sa se
calcule
ze urmatoarele
integraJe
improprii,stabilindmai
Intai
o n v e r g e n ~
lor:
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 22/37
.36
C PITOLUL
4 '
INTEGR L
J. O>O rl:r
1.
a
X
2. fd
Inxdx
,-
i
,
froo dx
. : I · i
3.
0
l+xl
t
dx
4.
- I
V
I-x2
oo
dx
J . 00 x2+2x+2 • I
J :O d.x
6. 00
(x2+x+I)2
dx
7 '
froo
a
I+x3
x
2
d
8. fa
00
x4+1
X
9. fr oo arctgx dx
o
(Hx
2
)'1
10. f :O
e-
ax
cos
bxdx;
a
>
0
11. 10
=e-=
sinbxdx;
a
>0
12
.
[n = ~ _ ~ . \ n ,ac- b
2
>
0
13.
J.b l x dx '
a
<i
Q
b x
14
.
t dx
:a
<
b
a J(x-a )(b-
x)
'
15.
Jo'i In sin
xdx
I dx
16
. fa (x' -4
)Jx(x-
l)
17. fo
X
arctg
x
2
dx
18.
1;11
a
2
c o . L ~ h 2
c ; ~ l _; lal :/=
Ibl
19 . foXx- 1e-
Vx
dx. »".
.
4.22 .Sa se studieze c o n v e r g e n ~ a i ~ t e ~
fr
=sin
2
xdx
1. 0 ~
2 d:r.
2. II
xlnx
I
dx
3.
10
Jx(x-I)
.4.4. ,INTEGR LE CU P R METRU
37
4.
J'X co,,,xdx
71
>
0
o x"+1
'
5.
ft) X cos
x
2
dx
1.
.
2
6. f,oo In x dx
x
7.
fl
oo
~ d x
8 J
oo
sinxdx
. I
x
9. f0
4
x 16
-
10.
follnxdx
11.
f.} x ~ d x
12. t
v ~ L ,
[)
4 4
Integrale
ell
parametrll
4.23.
Sa
se studiezeF'(x)da
ca
F(x)
= j: 2e-XY'dy
4.24.
Sa
se calculezeF'(a)
daea
:
1. F(a)= ~ o s a e
a
v'f=X2
d
JSlna
X
2. F(a)= ret In (l+ax)dx
Jo
x
3. F(a)=j·b+a .in ox d
a+a
x
X
4. F(a)=o(). f(x+a,x-
a)dx
4.25.
Folosind teoremele dederivare
In raport
eli
parametrul,
sa secalculeze
integralele:
r
'i
arctg(atgx)dx aElR
1
'
)0
tg
x '
2. l n 1 - 2 a c o s x + a 2 d x , l a l
<1
3 r'i In
l + a c o s x . ~
la
l
<1
' .10 '- a cosx cosx
4.
6
1n
o+bs!nx..'!:!-·a
>b>
0
JO
a-bslI1T.sIOX
arctgJasinx)d
0 smx
X
6.
fo '
In(a
2
sin
2
x
+
b
2
eos
2
x)dx;a,b
>
0
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 23/37
CAPITOLUL
4. INTEGRALA
38
7.
fe
In(I
+acosx)c!x: lal
<1
rl In(i-a'x
2
)d
.
2<1
8
· Jo x
2
v'f=XI x, a
9. f""
..,.ctg= dx
J x2v'z!=l
h
4.26. Pornind
de la egalitatea e-a%;e-
=
f
e-
xYdy
sa
secalculezeintegrala:
r""
e-
O
%_e -
b
% dx b 0
Jo x
'
a,
>
4.27. Sa
se
demonstrezeJ9rmuia
luiFroul,lani "
.fo f ( = ) ~ f bx)dx =
j s t e
0 functie c o n t i n u a iar
integralar:
¥ x are sens
pentru oriee
A
>OAplicat
ii
:
r"" cos=
cosbxdx
a
b> 0
1
· Jo , x ' ,
2
r""
sin ax - siDbxdx
· JO
X '
3. fo
oo
. . , . c t g = ~ . . , . c t g b x d x
4.28.
Folosindderivareain
raport
eu
param
etrul
c a l c u l a ~ i
r"" e-
O
%2_ e
fJ
z2
dx 3
0
Jo x
,a, >
4.5
Integrale
euleriene
4.29.
Sa
seealculezeeu ajutorul
f u n c ~ i i l o r
euleriene
r
§iB:
1. fd v x -
x
2
dx
2 r""
Vi
· Jo (I+I)2dx
3 rOO x'
·
Jo
I+x.
dx
4.
fo X ~ l dx
5 rl dx
·
Jo
~ l _ : r m , n > I m> 0
6.
fo e-
xn
dx,
n>
0
r""
x
7..
Jo
xme-
n
dx
w
8. fa' sin
P
xeos
q
xd x , p>- 1,q>
-1
I)
r
no
, m
. 10 (a+b
xnjpdx,a>O b> O,np> Tn
+1>
0
rl
dx
II.
,/0
... (
1_
"":'J:+
I)
V;=;x ,"!"'
-
x
4.6. INTEGRALECURBILINII
2. .10 Tx+1)
4.30. Sa secalcuJezeeuajutorul functiiloreuleriene
r §i
B:
t..;;,
L
ul.:..n
...
'! i
\ .1 , ·'..iUL..f,
J
L I .....
..
I
O ' :.! :..I...
.z
L r x
3
e-
3x
dx
JO · .
r""
-
x3
d
. Jo e
x
2n
e-
x 2
3.
fa"" x dx
4.6 Integrale
.
curbilinii
\'
4.31. Sa
se
reprezinte parametric ,urmatoarele
eurbe:
1. segmentul de
parabola
y= x
2
+1,
x
2
[ ) 2.
segmentu\
de dreapta AB unde A(xJ,yd,B(X2,Y2)
3.
eereul
x
2
+
y2
=
R2
pareurs
pozitiv
0
datil
4.
eercul
(x - a)2
+
(y
- b)2 = R2
. x'
y2
5. elJpsa (lI +bT = 1
6. x
3
+
y.3
- 3:ry =
0
2 2 ,
7. X l
+
y i
=
a l (astroida)
8. (x
2
+y2)2 = e
2
(x
2
.:... y2)
(lem
iseata
luiBernoulli)
4.32.
Sa secalculeze int
egrala
curbilinie
feCx+y)ds
unde C
este eonturul
triunghinlui
cuvarfurile
0(0,0),
A(I ,0),B(D,
1)
4.33.
Sa
se
ealtuleze
:
1.
f e
xyds
unde C
este areul
dehiperboVi
x = aeh t ,y = ash t ,
0
t
to
4 . 2 2 2
2. feCXJ +y3)ds
unde Ceste
eurba.
inehisa
(astroida) X3 +
yl
= a l
3. Coordonatele eentrului de
g
reutate
G(xG,
yc)
alunui
fir material
eu
densitatea p x,
y)=
x+
y
aearuiimagine
este arellIde
astroid
a
X =
aeos
3
t
AB):
{
. 3 ' tE
[ O , ~ J
y
=
a
SID
t
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 24/37
j 1 ~ : : ( J A Y > i T O 4. ' INTEGRALA
4.
Ie )y 2_
y
)dSU nde c :{ x= t -S in t ,
tE
[ O ~ ]
• _ y=
1- cos
t
• ; .f ·
;
,
5. MOinEmtul
de inertiein raportcuoriginea0 afirului material, eu
denSitatea liniarap(x,y,z) =
xyz
avand forma arcului 'de ' ~ b a de
X
=
t
ecuat
ii
parametrice:
y =
~ t . J t
t
E[0,1J
{
z=t2
: ; ~ ; ~ ~ ~ : : :
: - : .
' : " : : ' ~ ~ ~ ~ ~ ~ ' ; ; ' : J
. _ . . j : <
..
X
= = I t ( : ( j ~ -
6.
Idx+y+z)dsundeC: ~ s i ~ ~ t'E [ O , ~ J .
{
z=
bi.
4.34. Saseaflelungimilearcelordecurba:
1. x
= e-tcost,y =
e-tsint,z=
t,O <
t
< 00
[)
2.
(x
-
y)2
=
a x
+
y),x
2
-
y2
=
~ z 2
de
la
0(0,0
,
0) la
A(I,
1,
1)
x = ~ c o s t
3,
c:
y = ~ s i n t
, t E[O,1l'J
z= t
4.
C:
x
= aln + ~
- Ja
2
- y2,
0<
b S yS
a
· .
3
fj E
[0 31f]
5
.
C
. r=as ln
3
u 2
6.
C : r = a s i n 4 ~ 9E
[
0,%]
X =
acostv'cos2t
7. C : y=asintvco
s2
t
,
0< t
<
:0:
4
{
Z
=at
3
8,
x=e
t
,
y= e
2t
, tE [O,IJ
;-
:
g C: (3 . ., . : , _
[0,2J
y=
3' +
.
X(9) =p(9) cosO
10
.C:
yeO)
= p(O) siuO
,9 E [0,
1lJ
{
p(9) = 9
11.
Y
=
Insinx,
x
E
[ ~ , ~ ]
,
r
4.
6,
INTEGRALE CURBILINII
I
tx
=
4.35.
Sa
He
calculcze Ie (x+I)JX+4Iyds uude
C;
y
=t
2
' t E(0,00)
4.36.
Sa
secalcuJezeIe x
2
+
y2 +
z2)ds uncle
Cestearculdeelice
x= aeost,y = asint,z='bt,O
S
t
S
21l'
4.37.
Sa
secalculezein tegralcle curbilinii:
1. I
exyds
, C= OA ,
O(O,O),A(-I,
1)
2. fcxds,
C
= {y ~ : t ~
3. Ie yds, C=
{y
=v'x+l,
x
E [0,2]}
4,
Ie
~ d s C
={y
= x+ 1, x E [0,5]}
5. Ie
x
2
ds, C=
AB,
A(I,2),
B(3,5)
- {x
2 .C. - }
6.
J.
e
xyds
,
C
- 4'
+
9 - I ,
y
°
4.38.
Sase calcuJezeintegrale1ecurbilinii:
1. Ie xdy + 2ydx, C :
y
=sinx, °
S
x
S
I
2,
I d
x2
- y2)dx +
x
2
+ y2)dy,C :
9x
2
+ y2 = !J
3.
Ie
~ d x +
ydy, c :
arculdecicloidax= aCt
-
sint),
y =a(I
- cos
t),
tE
[a,
4, I d x
+ y)dx + x
-
y)dy undeC : + = 1parcUIsa0
data
in sens
trigonometric
5. Ie
-
, j2xdy ullde
C
es tesemieercu lx
2
+
y2 -
2x
=
0,y
°
parcurs
Insensdirect.
6,
Iexy2dx -
x
2
ydy unde
curba
Illchisa C treceprin punctele
A l ,
I) ,
0(0
, 0),
B( - I,I), C -I , - I ) , dupacum unneaza: a) AOB este arcul
parabolei
y
= x
2
; b)
BC CA suntsegmentede
dreapta
x2 - 2x
+
y2
=
°
7. f e x
2
+ y2)dx+ xydy un
de
C :
>
°
,xE
[0,
IJ
{
y-
X
8, I dx+dy ,
undeC: -
t
2
,
t
E[
0,IJ
V
1
+
x
+y2
{
Y
=
t
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 25/37
42 CAPITOLUL ,4 ; INTEGRALA
{
X =
-tcost
+sint
9. I e Y d ~
X ~ ~ ~ y 2
Z ~ ) d ~ : : ~ n l t
, t E
[0,
1J
:;
: 1 . >
' '
:;. • \
i
10.
Ie
(yz
+
2x)dx
+
xzdy
+
X!;
+
2
z)dz
unde .
C = {(x,y,z) /:2
+
y2 = 1, z= 1,
A(I,
0,1), B(O, 1,
1)}
1
1'
·r
dx ·" • 2'd ....
,- ,.
....;
:.-,.:.... .. _ - o I . : :
4 E : : _ r . J =
.
e
-rZ Y
'
.. u . q u e ~ , , :
..
.
... .
~ L - ~ ~ - =
, 2 2 ' }
C={(x ,y ,z) / z=
V x2+y2 , z =6- x .+ Y )
j
12. Ie
xydx +
yzdy
+ zxdz unde
C
este conturul
determinat
de:
segmentul de
rueaptii
care
u n ~ t e
punctele
A(I,
0,
0)
ii
C O, 0,1);
seg
mentul de rueaptii care une!ite punctele B O,
1,0) §i
C O,
0,1);
arc.ul
mic al cercului x
2
+y2 = 1 (situat in planul xOy) care une!ite punctele
A i i
B C
=
(AB) U (BC) U(CA)
4.39. Sa se calculeze integralcJe curbilinii:
1
Ie xdy + ydx,C :
x(t)
= cos t, yet)= sin t,tE [0,27TJ
2.
Iex(1
+ y)dx+ y(1+x)dy,C:
x(t)
= t, yet)= t
2
,tE (0,1)
:1. Ie l,;y,dx+
1;x2dy,C:
x(t)=
(t
+ 1)2,y(t)= t, tE (0,1)
4. Ic(x
2
+
4y2)dx,
C :
x(t)=
2 cos
t, yet)=
sin
t, t
E
O , ~ )
;1. Ie rl;dx + x
2
dy,
c:
x(t)= \It, yet)= t
2
- 1, tE (0,1)
Ii .
. r ~ . xdx
+
ydy
+
zdz,
C: x(t) =
t, yet)
=
cos
t,
z(t)
= sin
t,
t E
(0,
'I,
,1;.. :r.·)'zdx
+
z
2
dy
+ xy
3
dz,
C:
xCt)= 0, yet)= t, z(t) =
1,
tE (0,2).
.....0.
H
,. t : ~ r c : e t e l . c daci formde d i ~ ; ~ a l e de sub integralasunt diferentiale
1 1 ~ 1 I I t .
I
ji IIpoi
a
se c a l c u l e z ~ :
J
11.1) (
( I. I x lI)(dx - dy)
I)
JI·.,
1
1
) rll , I,dl,
• .
111
1 . .
(I.V) a
nM
. ,
l
4.7.
INTEGRALE MULTIPLE
.TEORIA CAMPULUI
4 . r ~ , ~ / x 2 + 2xy - y2)dx
+
(x
2
- 2xy - y2)dy
pe
UD drum care nu taie
axa Oy
' r(6,I,l) '
ax
- d '" d .. \. \ i , . ....
. - \
:--:
5
· J(I,2,3) yz + xz y'+yx z" .
4.41.
Sa.
se calculeze
Ie
y
2
dx
+
z
2
dy
+
x
2
dz
unde C
este
por\iunea
din curba
lui Viviani: x
2
+ y2 + z2 = a
2
,x
2
+ y2 = ax(z O,a 0) ,parcursa in sens
trigonometric,
daci
0 privim din partea pozitiva,
X >
0 a axei Ox
.
4.42. Sa
se
determine
primi ivele urmatoarele
Q i : . m ~
diferentiale ,
intr-un
dome
niu stelat
in
cate
sunt definite:
1 -
¥dx-xd
y
· w- 3x - 2xy -3y2
2 -
(X2+2XY+5y2tdx+(X2_2Xy+y2)dY
· w- x+y)J
,3. w:::= eX[cY(x- y+ 2) + yJdx+ eX[eY(x- y)+ l]dy
4. w
xd x2d
=
x
- :3
Y
I
Y
5.
w = y ( x + ~ ) d x + x ( ~ + y ) d y
I
, w=(ylny)dx+x(I+lny)dy
7. w=
(y2 +
z2)dx
+
2xydy
+ 2xzdz
8 w= !:.dx - §dy + !:dz
· y Y Y
9.
w= x dx + Y dy+
Z dz
y'x2+y2+z2 y':r:2+y2+z'l .jx2+y2+z2
10. w= (z + y)dx + (x+ z)dy + (y+ x)dz
4.7
Integrale multiple.Teoria
dlmpului
4.43. Sa
se schimbe
ordinea
de integrare la urmatoarele integrale:
2 2x
l l dxIx f(x,y)dy
I x2
J
2. Ja
dx
Jx3 f(x,
y)dy
2 f v'2x-x
2
( )
3. 1 d 7; 2- x f x,y dy
•
4,
J:
dx f ~ n xf(x,y)dy
4.44. Sa se calculeze integralele duble:
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 26/37
45
CAPITOLUI; 4.
INTEGRALA
44
1. JJ
/ xy
2
dxdy ,
undeD
este
miirginitdeparahola
y2 = 2px
dreapta
x =
},P
>0
2.
Ilo/xy/dxdy
,
unde
D ~ t e
cereul
de raza
a,>
0, eu eent.z:uli n
,
9rigine
3.
fIo(x
2
+
1/)dxdy,
undeD este paralelogramul eu laturile
y= x, y= x+a,y= a,y= 3a '
• l " I "
I ' " . . . I
1 J o ( ~ ± y ' ) d x f i Y d
I 4 ~ j J
€ S t ~ i s
l } L P . a r g i n . i t 'de x
2
+y2 = X +y '
. . " 1 " - ' . ~ " " ' 0 : ; .
~ ~ ' ' ' ' ~ ' ' ~ ~ ~ '
· ·
-:1
. r
fJ. _:1.,
.
5.
f x l + I l I ~ l (Ixl +Iyl)dxdy,
6. f fo /1 - - ~ d x d y ,unde D estemiirginitde elipsa + =1
7. fIo(x
+y)dxdy,
undeD
este
miirginit
de eurbelc
y2=2x,x+y
=
4 ,x y= 12 L
8. ff0 xydxdy ,unde Destemiirginit de eurbele xy = 1,x+y=
9. ffoxydxdy ,D={(x,y) ER2jx
2
+y2 2 l, x
2
+y2 - 2x :::: 0,
y
::::
O}
2
y2
2
10. f In(x
+ )
dxdy D={(x
y)
E R2jl <
x
2
+
y2
<e }
o x
2
+y2 , , -
11.
ffo(x
2
+
y2)dxdy, D={(x,y) E R2jx
2
+
y2
X+y}
12
. ffD
~ d x d y , undeD este sfertul
elipsci:
5- +lfb2 - 1 = 0 din
~ ~
a
primuleadran
X -
y
= a
13.
f
~ d y
,
unde
D
este
domeniullimitat de
x=1
o
vx+y'Y y
=
0
{
0::::a:::: 1
14. ffo X 4 ~ y 4 d X d Y i
unde
D={(x,y) ER2jl
x
2
+y2 :::: 4}
15. f ~ ~ D = {(x , y) ER2jO::::
x::::
y ~ , y E(l,2]}
.
.
4.45.
Sii: ~ e u l e z e
integralele,folosind
0 sehimbarc de
variabila
ad
e
evata
:
1.
f fo V(x
2
+y2)3dxdy, D
=
{x
2
+
y2 :::: 9}
2. ffo In(x
2
+y2)dxdy, D
= {I ::::
x
2
+
y2 3}
3.
o
x2 2e
x2
+
y2
dxd D
x
2
+ 2
:::: 4,
2
O
4,7.
INTEGRALE MULTIPLE.TEORIA CAMPULUI
4.
ffD xydxdy, D = {x
2
+
y2
:::: 4x}
5. f fo(x +
y)dxdy,
D = {I::::
x
2
+y2::::
2x}
r : t ' ,
a
"1 !
" .
6.
ffoe-2(x2+y2)dxdy,
D = {(x,y)lx 2
O,y
2O}
7. f f
xdxdy, D =
{(x,y)
I1::::
xy2,x::::
y::::
2x}
8.
f fo (x2
~ r D
=
{(X,Y)
.1
:
2
+
9.
f
10
(x +
y)2dxdy,
D {I::::
x
+y:::: 4, 2x::::
y 4x}
4.46. Sa se
sehimbc ordinea de
integrare:
1. fOI dy f/'ii f(x,y)dx
2. f ~ l
dx
f o ~ f(x, y)dy
( r d fV2rx-x2
f(
)d
3.
Jo x
x
x,y y
"
" .
2
4. 2 d x L ~ v 4 7 f ( x y ) d y
5. f12
dx fx2x
f(x,
y)dy
X
6. f02
dx
[2
6
x- f(x ,y)dy
4.47. Sa seealculeze;
J ,;x
1.
Jo
a
dx 0 dy
2.
f24
dx
I;x
~ d y
f
'!d
( Iny xd
3
. 1
Y
JO C x
4.48. Sa se
sehiwbe ordinea de
iutegrareutiliza
nd
eoordonatelc
polare
:
1. f; dx o ~ f( x
,y)dy
2r
r J
2ry-
y
2
2.
f r.
dx Jo f(x, y)dy
2
3.
f; dx J / ;
2=zI
f( x
2
+y2)dy
4.
d x ~ r x
f(!l.)dy+ f_r
, _dx
f(l i)dy
o
0 x ~ 7 i ' 0 :r.
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 27/37
CAPITOLUL
4.
INTEGRALA
6
4.49. Sa
se
calculezearia figuriiplanemarginita de:
1. (x
2
+
y2)2 =
xy
2. x
2
+y2)2 =
x3
(
4.50.
Sase calculeze:
1. 11 M d x d y ,
D
=
{(x,ylix
3
2. I I D (
1 i ) d } : ~ ~
j l l : ~ ~
3. 11 ydxdy,
D
este marginitde
y
4. lID xdxdy, D este
miirginitde;r? +
y2 1 =
. J • .
j . . ; ~ t
\
.
Y
X2,
x::::
o}
~
=3x
§i y = x2
+2
°
i
y
-
x
- I
=° x °
2
5
I I
o
x
2
y, D ={(x,yliy x
,x
2
+
y2
-
6
o} "
6.
11
eX+Ydxdy, D
estemiirginit de
x
=0,
y =
°i
y
+
x
- 1=
7.
lID Y!2dxdy, Deste
miirginitde
y =
°
i
y = x, x = 3.
4.51. Sa
secalculeze centrele de
greutate
aleplaciloromogene D:
1. D = { x , y ) l x 2 + y 2 ~ 4 , x ~ o
2
_
{(
Ix
, : i
}
2.
D
-
x, y)
9"
T
16 1,
x
0,
y
°
3. D = {(x,y)\x
2
+ y2 I,y
x}
4.52. Sa secalculezecoordonatele centrelordegreutate aleplacilormateriale
aviinddensitateap(x, y)
a) D = { x , Y ) E R 2 j x 2 + y 2 ~ 6 y }
, p(x,y)=x
2
+y2
b) D=
{(x, y)
E
R2j5y x
2
;x
+
y
- 10
o}
,
p(x, y) =
1
4.53. Sa secalcuJeze
i n t ~ . g r a l e l e :
r1
lilt!
2
1. Jo dx Jo
d "
2. loa
dx
I; dy ~ ( x
+
y
+
z)dz
3.
I ; dx loX dy gxyzdz
3
4. loa dx loX dy fc:
Y
x
y
2
z
dz
4.7. "
INTEGRALE MULTIPLE.
TEORIA
CAMPULUJ
47
5
r
e
- j
dx r
e
-
x
- j
d
J,x+y+e. In(z-x-y)
dz
. Jo JO " . Y e (x-. )(x+y-e)
4.54. Sa
seschimbeordineade integraredin coordonatecarteziene in cOordo
nate sferice§i coordonatecilindrice ;iarapoi sa secalculeintegralele:
1.
1
dx
~ ~ ~ : 2
dy
g
dz
r2 d r../2x-x2 d r
a
. Jo
xJo YJOzVx-+y- z
3.
I
r
dx
~ d rJr2-x2-112(x2 "2)dz
r -.;rr.:: l
y
JO Y
rl r ~ rJI-x
2
_
y
2 V 2
4. Jo dx Jo
dyJOx
+
y
+
z
2
dz
4.55. Sa secalculezeintegraleletriple:
1.
IIIv xy2z3dxdydz ,unde
V
estemiirginitdesuprafetele
z = xy, y =
x,
z =
0,
x =
1
2. I I Iv
( l + t t ; ~ c t ; z ) j ,
lmde
V
estcmiirginitdesuprafetelc
x +
y
+z =
1,
x =0,
y
=
0,
z =
°
3. I I Ivxyzdxdydz, unde
V
cstemarginitdesuprafetele
x
2
+
y2
+
z2 =1,
x
=0,y
=
0,
z =
0
4.
IIJv
~ + ~ + ~ ) dxdydz ,unde V = { ( x , y , z ) j ~ + +
1}
5.
IJJv
J x
2
+y
2
dxdydz, nnde
V
esterniirginitdesuprafetele
x
2
+y2
= z2, z =
1
6. I I Iv 1 ~
-
~
-
~ d x d y d z , u n d e V = { ( x , y , z ) j ~
+ +
}
7.
IIIv(x
2
+
y2)dxdydz,
undeV estemarginitde suprafetele
x
2
+y2
= 2z, z
=
2
8. IIIv
x
2
dxdydz, unde
V
estemarginitde s u p r a f e ~ e l e
z
=
ay2,x =lYIi,y >0,(0<a <b),z
=
o X Z
=
(3x , (0<
0
<
(3),z
=
h, (h >
0)
9.
Sa
secalculeze masa coordonatele cent.ruluide greutate ale corpu
x2
+y2 +
z2 =
1
lui
V
marginit de suprafetelc:
V =
y =
x
{
z =x../3, x O,y
O,Z
2°
daca
densitatea intr-unpunct
M(x,
y, z) alcorpuluivariaza
dupa
legea:
p(x,
y,
z)
=
(x
+
y)z
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 28/37
49
48
C A P I T O L U L 4.
INTEGRALA
10. I I Iv [5(x - y)2+ 3az _ 40
2
]
d x d y ~ z V = { X 2+ y2"- az °
x
2
+ y2 + z2_ 2a
2
°
. "
.. ' · . ·r •• {X;:::O '
y>O
zJdxdydz .V -
11.
I I Iv
(y+z)(x+y+z) ' -
z;:::
°
x y z ~ l
12. I I fv xyzdxdydz ,V
i
z 1
x;:::O
y;:::o
13.
f f l v J x
2
+y2+ z2dxdydz, V ; : : : : { x : y , z ) / x 2 + y 2 + z 2 ~ 2 a x }
/®fJlv J x
2
+
y
2
dxdydz,
V={(x,
y,z /x
2
+ yi
z 8- x
2
_ y2}
15.
f f l v
x 2 + ' 1 ~ z _ 2 ) 2 ,
V={(x,y,z) /x
2
+ y2+ z2
I}
16. I I fv
z( x
2
+ y2)2dxdydz
,
V={ (x, y, z /
x'2
+ y2 z2, Z
E
[0,
I])
x2
y
17. I I fve + dxdydz ,V={(x,y,z) /x
2
+ y2 9,
Z
E [0,4]}
18.
IIIvxyzdxdydz , V={(x,y
, z)/x
2
+ y2 z, z E[0,2]}
19. fflvxydxdyd
z ,
V={(x,y,z) /x
2
+z2 9, x;::: O,y;::: O}
20.
IIfvzdxdydz
, V = { x , y , z ) / ~ + + I,
z;:::
O}
4.56. Sa
secalculeze
centrele de greutate
le
corpurilor
omogeneV :
1. V
= {(x,y,z)/x
2
+ y2 +
z2
9, y;::: O}
?
V = {(x,y,z)!x
2
+ y2 Z h, h> O}
itse calculeze volumele
marginite
de
urmittoarele suprafete
:
1. z
=1+
x
+
y, z=
0,
x
+ y=1,
x
=0,y
=
°
2. x+ y+ z = a ,x
2
+
y2
=R2,X =0,y =0,z =0,(0 ;::: R../2)
2
3. z
=
x
2
+ y2,Y=x ,Y 1, z
=
°
>
4.7. INTEGRALE
AWLTIPLE. TEORlA
CAMPULUI
4.
z
= c
2
+ y2,
Z
=2(x
2
+ y2l,
Y
=
x,y
=1;
1
5. az
=
x
2
+ y2,z
=
j x2 + y2,(a> 0)
4.58. Sa
se calculeze
(a-
vector
constant ,1'-
vectorul
"
de
pozitie
al punctului
cu,rent)
1. rot [a x (il x
r)]
2;
div
[a x (a xf)l
3. grad (a x1')2
4.
rot (a
x
f)
5. div (a x f)
6.
rotaf(r)
7.
rotf(r)f
8.
rot ((a·
f)
f)
9.
div
a·
f)
f)
10.
div
(1 x (a x
f)l
11.
div
(iif)
f
4.59. Folosilldreguliledecalcul cu o p e r a ~ i a \7 , se arate di:
1. u\7) l
=
il
2.
v\7)
Fu =
u
(
grad F)
+ F v\7)
U
3.
(a\7) (u x
v) =
ii x ii\7) U + U x a\7) v
4.
iigrad
(uii)=u(a\7)v+v(ii\7)u
5.
(a x b rotu = /j(ii\7)fi - a(b\7) U
6. u x \7) xv = (i i\7)v+u x
ro tv ud ivv
7.
(\7
x il) x
v
=
ij
x
roUi
+
udivv
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 29/37
50
CAPITOLUL
4.
uude 1'-vector de p o z i ~ i e ;u, V, F - f \ I n c ~ i i derivahiJe; ii, &-vcCtori
c . ( J I l s t a n ~ i
4.60.
Sa se calcuJeze IapJa.cianul fWlqiiJor:
1. F = (il x f) . (Ii x f)
2. WI :0:
[f
x (il x
f)]
x
f
3. W2
= (il
x
f)
x (b x f)
unde
il, -
vcctori
c o n s t a n ~ i
;
1'-
v ~ c t o r d5! p o z i ~ i e
.
- - = -
. . . . . ,,""' -; .; -.:
':::::
,
"' -..
... ~ ~ . ~ , ......
..
; a ' S ; . ~
•. .•
. s ~ a r a t e 'cif a C a · r o t i Y 1 t \ i i i & : ~ 7 r
1.
grad
(rv)
+ rot (1' x ii) + V =
0
2. 6 (1'v) = 0
3.
rot rot (1'
x
v)=o
4.62. Se considera campurile de vectori u
=
~ ( T ) 1 ; v =
iar il
un vector
constant
.Sa.
se
arate
ca
u-camp
irational,
iar
v-
solenoidal.
4.8 Integrale de suprafata
4.63. Sa se calculeze urrnatoarele integrale de suprafata :
1. f.dx2
+
y2 + z2)da, 2: = {(x,
y,
z)/x
2
+ y2 + z2
2.
f'L(x
2
+
y2
+ z2)do,L
=
{(x,y,z)/Ixl +
IYI
+
Izi
legatura dintre integralele de la punctele 1. l1i 2.?
.
J
cia
3.
'L(1+x+y)2,L =
FT{(X,y,z)/x+y+z:S l ,x ,y ,z
Wlui
tetraedru)
{
X = ucosv
4. z ~ ' L: Y = u sin v, 0 < u < a
. c
-'" z
=
v,
0
< v < 270
.; y
{X =
T c o s ~ s i n Q
5.
2
do L: y = T s i n ~ c o s Q ( o : S T : S a ) , ( 0 : S ~ : S 2 7 r ) , Q E ( 0 , ~ )
Z =
TCOSQ
COllstant
6.
f'L y"2 z
2
do-, L
=
{(x,
y,
z)lz2 = 4(x2
+
y2), x
2
+ y2
INTEGRALA
. , . , . .
"
-
' ",...
"
~ ( T ) aL )f) ,
E
C
I
(R)
= a
2
}
=
a}
. Care este
O} (frontiera
2x
:S O}
-1.13. INTEGRALE DE SUPRAFATA
7. f'L j:[;2 + yido, L
=
{(x, y, z)jx'
2
+
yL
+ z2 =
R2}
8. h \ C '+
y2
+ 1 o L
=
{(x,y,z)lz=x
2
+y2,
ZE[0,4j}
I
9. f'L z
2
do, 2: = '{
(x, y,
z
Jlx
2
+
y2
+ z2
=
9,x '
0, y 0, z
O}
4.64.
Sa se calculeze integralele de
s u p r a f a ~ a
de
speta
I-a:
2
ja
2
x
2
. f'L
j a
2
-
x -
y
2
do; L
=
{(x,
y,
z)/z
=
- -
y2; a> O}
2.
f'Lxyzdo-;L
=
{(x,y,z)/x
2
+y2+z2 =
a
2
;x O,y
2:
O,z
O}
3.
f'L
jx2 +
y
2
do;
L = {(x,
y, z)/x
2
+
y2 = 4;
y
0,
z
E [0,5])
. Ix2 y2 \ {(
)/ x
2
y2 z2 }
4
z2
d
J
L Va<
+
/if + C'
0;
=
x,
y,
z ar
+ t;r
+
C! = 1; a> b > c > 0
4 . ~ 5 . Sa se calculeze IlImatoarele integrale de suprafata de s p e ~ a
a
II-a:
"1.
h L . · ; , , ~ )
:czd:rdy+xVdyrlz+yzdxdz; L
= {(x,
V, zl/x
2
+
y2 + z2
2. ~ ( ' . )
x
2
dydz + z
2
dxdy + y
2
dxdz;
L n n j
2: =
{(x,y,z)/z
=
x
2
+y2;z:S h;h
> }
3. . )(x2COSQ+y2cosi3+z2COSI )do;
~ J n l n l
2: =
86
3 unde 63 = {(x,y:z ) / j x
2
+ y
2
:S z:S 4}
4. f
r"
n )(xcOSQ+ycos 3+zcosl')do;
,L..,
1n
.
L
=
86
3
, 6
3
= {(x'1/,z)/x
2
+
4y
2
s z:S
4}
,'i.
f(Ln.n,) xy
2
dydz +- yz
2
dzdx +-
zx
2
dxdy;
2:
=
86
3
6
3
=
{(x,y,z)/x
2
+- y2
+
z2 :S
a
2
;z
:S o}
4.66.
Sa se caIcllleze ariile suprafe telor
definite
prin:
1.
2z =
x
2
+
y2,
Z E [0,4]
2.
x
2
+ y2 +
z2
=
R2
3.
x
2
+ y2 + z2
=
1,
x
2
+
y2
4.
z
=
xv,
x
2
+ y2 :S 4.
-£
_
li
£
li
5. z - 2
oj
3
4 T 9 :S 1
x :S
0:
z
0
=
0
2
; z ~ y 2 ;
L >
()}
I'
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 30/37
53
,1
C I l l H J U n ·1 IYfU; LlL:1
4.!J
Formule intcgraJc
4.67. UtiJiza.nrl fornltIla lui Grecn ,sii calcllkzc Ilnn.l toarele illt.q;ralc
cm
ui1i"ii
(dmmul
parcursin seils trigonometric) ;
1. fcxy
2dy
-
x
2
ydx, mule(C)
este
ci n;
illnf
c
riniax2 .+
1/ =a
2
.-1
, i
2. f
c x
- y)dx- (x - y)dy , IInde (C) cstccJipsa
;;;.
+ =1
3. f ceZ[(l-
cosy
)dx
- (y- siny)dyl u llde
(C)
csl.cfron t icr
<l
dO llenilJlui
x.> 1[ O.
<
!iin;f
..'
" ' ~ ~
~ . , . ; ~ ~ ~ ~
.. .. j ~ ~ ~ ~ . ~ ~ a . A , ~ ~ . ; ~ ' ~ ' ~
4.
fc(.r:
+
y)2dx
-
(x
-
y)2rJy
,
unclc (C) cslc
drumlll
ill
<;
lIis format de
SCglllClltllide dreaptacare u n ~ t e pun ctelcA l, 1) B(2,G) : llreC IlJn
dcarcuide parabola
y
= x
2
+2x - 2 carc l I n c ~ a c c l e a . ~ i
]JUll
c
tC
.
2
5.
fc
e:c
+ y2(yd:c - xdy), undeC= {x
2
+y2 =
4)
6. fc
xy
2
dx+ :rdy, 1 I 1 1 d ~ (Cl,,;tc i c r a d l ( ) l ~ r . l l i I l I U i D
=
{ x,v)1 +
U; =
I,y >o}
. /
7.
fc(:J.:+v)dx+X
2
t1y,1111dc (C) est.e c r ~ dOlllcnilJilii
J)
=
{x
2
+y 'l $
2 x ,
8. f c - ydx +xuy, unclc (C) estc
fr
o llticra domc lIillllliD ={
:c
2
+ / ::;
1,
y x
2
}
9 .
~ , ( x 2
+y3
)d
x --
x:ldV
IlIH1c
C=
{(O
;,
Y)I(:!:
- 1)'1
+(1/
-
1)2$ I}
4.68.
Utilil,iind formul a luiGr een, si:i :;e Ci'ticllkzcUflnaloarea
f =fc 2(x
2
+y2) dx +(x+y)ldy,llndecs f c pcri met r llltrill nghilllni,parcllfs
ill sellspO ? iti v,undepu n
ct
clcSUlll 11(1,1),fl 2,
2),
C(1,:3 .
4.69
. Utili;"alld formula Illi Gn :cll , sa sc trallsforlllCintcgra!a curoili llic
I
=
.f
c x
2
+y2J:c
+V[xy
+
In(x
+
J; 'l
+y'l)J
dy
,lll1dc C
)
estcc0l1t
mll
1 limit?t
de clomeni
J
I
S.
4.70.Ulili";Qn
rl
formula.luiGa llss
-O
s
tr
ogr
?dsk
isasec?!culc;"eflllxull'1fIniito,lrclor
,ciimpnri
vectoriale
prill
s llprafetcleilHuc<1.tc ;
1. v=
:1:
2
t
+1/] +z2J; ,2: csteslIprafaia(!xtcrioar,la cuoliini
{(:c,y,z)
E : : ; x
$
(t,O
$
y::;(1,0
$
Z
$ It
}
2. ii
=
];"t+V
3
]
+z31.: ,2: csteStlflrafa.i,t cxtcrio
ar
il a sfcrci
{ x,V,z) E
R
3
/x
2
+
y2
+z2 =
,,2}
49. FORMULE
INTEGRALE
3. v= (x+y+z)l +(y - z+
x)] +
(2x - 2y - 2z)Ji: ,L cstc s u p r a f a ~ a
exterioara
{ x,
y,z)
E
R
3
/1x -
y
+zl +
Iy
-
z,
+xl
+Iz
-
x
+
yl = I}
"
., ._ 1 ·.·- 11 .. _ f ' . . '. \
,r
> ' _
r _
4. v= xi
+yj+ ik ',
L
este s u p r a f a ~ a exterioara asemisferei
{ ( ~ , y
, z )
E'R31x
2
+
y2
+
z2 = a
2
;z 2: o}
5. v=
x
2
'l +y2]
+z2Ji:
,
L
estc s u p r a f a ~ a sfcrei
{(x,
y,z)
ER
3
/ x -
a)2
+(y- b)2 +(c- z)2 = R2}
4.11. C a l e u l a ~ i integralelede s u p r a f a ~ a ntilizandformulalui
Gauss-Ostrogradski
1.
f f;:,
xdydz
+
ydxdz
+
zdxdy, unde
L
este
f a ~ a exterioara
apiramidei
delimit.ata de planelex+y+z
= a,
x
=
0,y
=
0,z
=
0.
2. f
f;:,
(x
2
cosCl +y2cosf3 +z2 cos
'Y)d
L ,undeL e s t e f a ~ a exterioara a
s l l p r a f e ~ e i
con ice + -
=0, Z E [0 , b]
4.12 .
T r a . n s f o r m a ~ i
integralcleaplicand formula luiStokes:
1.
fe x
2
- yz)dx
+(y2
-
zx )dy+(z 2
-
xy)d.,<
2. ie ydx +zdy+
xdz
4.13. Caleulati integraleledateaplicand formulaluiStokes§i verificandrezul
tateleprillcalenldirect
1. fe y
+z)dx +(z+x)dy +(x+y)d z, und e (C) es te c i r c u m f e r i n ~ a
2
x
2
+y2
+
z2 = a ,X
+
y
+
z= °
2.
fdy
- z)dx
+
(z - x)dy
+
(x -
y)dz
,und e C ) estcelipsax
2
+
y2
=
1,
x+z=
1
X=asint
3. fexdx+ y+x)dy+ x+y+z)dz
,unde
C):
y
=
acost
t
E
{
z
= a(sint+
cos
t)
[O,21r]
4.
fe
y
2
dx
+
z
2
dy+x
2
dz,undeABCAeste perimetrultriunghiuluiABC
de
varfuriA(a,0,0), B(O ,a, 0),C(O,0,a).
4.14.UtilizandformulaluiStokes,sa se calculeze:
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 31/37
54
CAPITOLUL 4. INTEGRALA
1. Je x - y)dx - (z - x)dy (x - y)dz,
uncle
e) este
elipsa
{ x,y) ER'2jx
2
y2
=a
2
,
=
1, a> O,I! >O)}
,parcurs
.
ll
sens d i r e c ~ in r ~ o r t cu d i r e c ~ j a pozitiva aaxei
ox
2.
y
2-
z
2)dx+ z2-
x
2)dy+(x
2
-
?/)dz
,unde
C) este
intersectiadintre
frontiera cubu lui { x,y,z) E
R3jO::;
x::; a,O::;
y
::; 0 , 0 ::;
z::;
a}
§i planul x
y
z
=
~ a p a r c u r s a in sens direct In raport cu directia
1 ~ j , U t r . ~ ~ ~ - . - . , ~ _
3.
Je x
2
y
3
dx
dy+ zdz, unde e) este
c e ~ c u l
de
i n t e r s
Intre cilindrul
2
x
2
y2 =a z =0parcurs I'n
sens trigonometric
4.
Je z
- y)dx (x - z)dy+ (y - x)dz unde
e)
este curba
formata de
la
turile
triunghiului ABC definitde punctele
A a, 0,
0),B(O, b, 0),e O, 0,
e),
a
>0, b >0, e>O.
0
J
e ydx zdy xdz , unde e)
este
cereul
c
de i n t e r s e c ~ i e
dintre
sfera
x
2
y2
z2 =
a
2
planul x
y
z = 0
parcurs
III sensdirect.
6. Je yz
2
dx xydy xdz ,unde
C= { x, y, z) E R3 jx
2
y2 = 4z, x -;-
y
z = l}
Capitolul 5
Analiza
complexa
5.1 Functii olomorfe Relatii1e Cauchy Riemann
5.1. a) Sa sedetermine punctelein care f u n c ~ i a
J:
C C data prin:
Z
1)
J z)
=
z2;
2) J(z)
= e ; 3) J z) = e
iz
+z2;
4) J
z)
=
).zn,
n
E.IN" ). E
lR;
5) J z) = z< - zz z2 Z - 2z estederivabila. sa secalculezederivata sa
Inacestepuncte.
b)
Sa
sedetermine
punctele III
care
functia data
prin:
1) J z) = x
2
_y2+2ixy; 2) J z) =
x2+y2_2ixy;
z=x+iy, este derivabi!a.
c)
Sa
se
determine
constantele respectiveastfel incat functiile:
1)
J z) = x ay i(bx
ey);
2) J(z)
= cosx(ch
y ash y). sinx(ch
y
+
b
sh
y);
z =x
iV, sa
fie derivabilc. Sa sescrieapoi J ca functie de z.
5.2. FieJ: C Cdefinitaprin:
pentru z = 0
1) J
z)
= ~
2) J(z) =
pentrll
z
=
0
Sa. se precizezedadi in
z =
0
functia J:
a)este contiuua;
b) satisface relati i1e Cauchy-Riemann;
c) este lR.2 -d iferentiabila.;
d) esteolomorla.
5.3. Sa se determinefUllctiaolomorla J = u iv ,da.c<'i:
a) J: C
C,
u x,y) =
e- X x
siny
- y CO!-lY);
b) J:C C,
u x,y)
=eX
cosy;
3
c) J : C
C, 1t{X,y) =x - -3xy2;
55
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 32/37
57
6 .
CAf ITOLUL
5. ANALIZA COMPLEXA
d)
I:
C\{O}
- tC, u(x,y) = ~ l o ( x < + y 1 . ) - y a r c t g ' { , / ( 1 )
2
x
e)
I:
C\ {O} - t C,
v(x,y) ~
1(-2)
=
0;
x +y
f)
I:
C
-t
C,
ll(x,y)
= e
2
:t
cos2y- x
2
+
y2,/(0)
=
1;
5.4. Fie I(z) = u(x, y) + iv(x,
v),
z = x + iy olomorra In domeniul
D.
Dad.
u
2
+ v
2
esteconstanta.InD atunci1 esteconstanta.in D.
5.5. a).
Sa
sedemonstreze
ca. f u n c ~ i a
omogTaficii I(z)
=
~ ~ : estc
0
transformare
conforrnaa lui
A =
{z E
C I [
) z
>
O} pe
B =
{zE
C
Ilzl
<l};
b)Consideram
f u n c ~ i a
omografidi
I(z) =
eia z - a
ex
ElR , a ECcu lal<1
o z - 1
Sasedemonstrezeca. f u n c ~ i a este0 transformare conformaadiscului
unitate
pe el
I D s m ~ i
careducepunctul
a
In centrulaccstui cerc.
c) Sa
se determine transformarea omograficacare
transfonna
punctele
-1,1, iInpunctele
1, 0
, respectiv -1.
5.6. Sa. secalculezeintegralele:
a) 1
=
,
idz
unde:
I} 1= {z ECI z i= 1},
2) I = {z ECIz= t
2
+it ,lntre
Zo
= 0§i ZI = 4+ 2i};
b)
I
=
1
f-I
dz
unde I = 11UI2U/3;
/1
este segmentulce
u n ~ t e
punctele
" ,z
-3 -2;
' /2
estesemicerculdinscmiplamJ superiorde centru 0§i raza
2;
/3
estc segmentul ce
u n e ~ t e punctcle
2 3.
!
;(2.-.!l !.
c) 1= ,.inzdz unde / : z(t) = e-
2
: t E[0,1].
d)
1=
( ( z -a )nd zunde /={zEC l l z -a l=r } ;
5.1. FUNCTII OLOMORFE. RELATIJLE CAUCHY-RIEMANN
5.7. Folosind teoremclcluiCauchysasecalculezeintcgralcle:
,
\
a) = r
(i+ezsinz)dz;
" •. - ( ,, ', •. ," \ I
w
J
ii
z
l
=2)
.
sm
1[Z
2
+
cos
7rZ
2
b)
1=
dz'
!
l
z
l=3} (z- 1)(z
-
2) ,
c)
1=
r .
e
Z
sinz
dz, T
lali ;:Jbcufje dupa a EC;
Jilzl=r} z- a
smz
d"'"
d ) l =
!
( _E) ( z2+5) .
iJzl=2} z 2
ze
l
e) 1=
J{lzl=3}
(z _ 2)n dz ; d i s c u ~ i c
dupa
n E IN;
)
1
dz .
f
1
= --2
undedrumul
l
este:
1)
Iz - il =
1;
2)
Iz
+
il
= 1;
,. 1+
z
3)
zi
=
2.
5.8. Sasedetermine punctclcIII care f u n c ~ i j l e I:
C
-t
C
date prin:
a) I(z) == z +zz - +2z- z;
b) I(z) = zz
c) I(z) =
d) I(z)=zlzl;
sunt olomorfe saseca1culczederivatelelor III acestepUl1cte.
5.9. Sa se determine constantelc a, b,c,d E lR astfelIllcat functia I: C - t C,
I(z) =
x
2
+
DXy + by2 +
i(cx
2
+
dxy
+
y2), z
=
x
+ iy sa tieolomorfii.
5.10.
FieI: C-t Cdefinitaprill:
1)
I(z) = {e--: ' pentru z f 0;
o pentru z= 0
Rez(lm
z)1 -I. 0
2)
I(z)
= z(i)2 pentru z I
{
o pentru
;;
= 0
SasestabiJeasca.dad!. in punctulz = 0 f u n c ~ i a I: a) este continua.; b) estc
] R ? · d i f e r e n ~ i a b i l a ;
c)
veri
fica
r e J a ~ i i l e
Cauchy·Riemann;d) esteolomorta.
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 33/37
58
CAPITOLUL 5. ANALIZA COMPLEX},
a)
J:
C
--t
C,
u(x,y) = x
2
-
y 2, J(O) .=0;
b)
J: C \
{(O,O)}
-t C,
v(x,y) =
X s i n y ~
x
+ y
c) J: C \
{OJ -t
C, v(x,y)
=In(x
2
+ y2)+ x - 2y
3
d) J:
C \ {OJ -t
C,u(x,y)
= x + xy2
+ x
.
x
2
+ y"
,
-. e h ~ ~ { ~ ~
~
i : o s 2 x Y
J ( O ) 1;
x-v 2 2 2 2 Y
f) J: C\
{OJ
-t C, u(x, y) - v(x, y)
=
-2-'
n
(x + y )- (x + y )arctg;;;
5.12. a) Sa sedcmonstreze
ca
funetia omografieaJ z)
= - i ~ ~ i
este 0 trans
formareeonforma a lui A = {zEC lImz >
0,
Izi < I} pc
B
={zEC IRez<
0,
1mz>
OJ;
b)
Consideram
functia
omografie[)
icrZ
J z)
=
e -
a
a E JR,aEC,1ma
>
O.
z - i l '
Sasedcmonstrezeca funetiaeste 0 transformare conforma a serniplanului
deschis Tmz> 0pe diseulunitate.
c) Sasc determine 0 transformareomografica. care transforma. semiplanul
superiorImz> 0pe discul unitate.
5.13. Sasecalculeze integralele:
a) 1= j zdz unde:
1) r ={zECl lz - 31+lz+31=1O},
2) '/ este lin plUrateuvarfurilc
In
z=
0,2,
2i,2+ 2i;
b) , Rezdz, 1'= [-I,i]U[i,I] ;
c) ~ d z , r: z = c
¥
tE[O 1]'
I )
Z
d) I
t:;
dz, r cste
ecrculde raz
a. 4
cu
centrulln
origine.
'l'
z,/
z
( ) j liz IIndeC estc fronticramultimii {zE
Cll
::; Iz l ::; 2}
orientata
'1
l Iat.l lral.
5.2. DEZVOLTARJ
iN
SERlE.
REZlDUURI
_59 __ _
5.14. Folosind teoremele lui Cauchy
sa. se
calculezc·integralele:
eZ sin
z +
cos
z
d
•
.
,
a z·
1
lzl=I/2} (z-
1)(z - 2)(z -
3)(z-
4)
,
: 4 1
"
t
.
I "
1
Z
b
dz,
a
::j;
0,
unde:
1
r
:
Iz
-
al
=
lal;
2)
r
Iz
+
al
=
lal
l z -a
!
e
2z
e) \
dz;
(lzl=3) (z + 1
!
••
f
sinz
d) dz, kE7l;
{l
zl= l}
Z
!
dz
2 2
e) 'l' (z2 + l)n'
n E
lN
,
'/
: x
+ y
-
ay =
0, a::j; 1;
!
8hz
f) , ... dz.
{ lz-
2i
l=2}
5.2
ezvoltari In
serie.
Reziduuri
5_15. Sa se de7.volte in serie de
puteri
(Taylor sau Lauren t eu precizarea
multimiide c o n v e r g c n ~ a centrateinpuncteleindicate, urmatoarelc functii:
1
a) J z) =
-
:
C \
{I} -t C;zo=0;
1 -
z
1
b) J z) = f
~ \ )
Zo = -2;
Z5
c) J( z)
=
f
) .
1)2' o
=
00;
1
d) J z)
=
2( .: o
=
0
pentru
0
<Izl
<
1;
z 1 - z smz
z -
1
e J z)
= Zo =0; z1 =
00;
Z2 =1;
M
2z
e
f) J z} =
(z_ 1)3'
Zo =
1
z - a
g) J z) = I n - - b ;zo= oc
z
2z
h) J z) = -; Zo =00.
z
+1
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 34/37
60
ANALIZA COMPLEXA
5.16.
Sa
se efectueze tIczvoltarca In seric a urmatoarelor
f U l l ~ i i pc
tIomeniile
2); a) in discul Izi < 1; b) in coroana 1 < Izi <
2;
--; )
in
discu] Izl
<
1; b) in
jurul punctului
de
la
infinit.
.
s i n g u l a r i t a ~ i l e
izolate
din C
sa precizeze natura lor
-
1
1f
sin
z2;
z2 - 1
= z2
+
l)(
z
- -
1)3
5.18. Sa
se
calculcze rcziduurile functiilor de mai jos in
punctele
lor singula re
,a=00,(b>0);
a = Z j , b = Z 2 , ( P E I ' i ) ;
P Z Z2
1,
b = 0;
2)2'
a
= 2.
2
+
y2
+
2x
= o};
= 1;
2;
5.2. DEZVOLTARI
iN
SERlE. REZIDUURJ
61
e I = 1 I I I .
l l n d :
= r
jar
r ~ u f i c i e n t de
mare
z + z +z+1
pcntru
ca
a . H l . c i ~ y e c c u a ~ i e i z I I I +
zll
+ z + 1 = 0 sa se afle in int eriorul
bilei B O, r); l '
, 1
z+a .
f
I
=
,n '
dz
untIe,
: Iz l
=
1,
iar
b
=1=
O,n
>
1.
5.20. eu ajutorul teoremei rcziduurilor sa. se calculeze urniatoarele integrale
reale:
..
1
0
x +
1
dx;
a
I
=
-00 (x2
+
1)2
2
f
oo x dx;
c)
I =
-00
X4
+ 10x2 +
9
r
27r
dx
e) I=Jo (4cosx+5)2'
1
cosx
) I
=
- 4dx;
g
0
1
x
' 1 x
COS
X dx:
i I = -00 x
2
_ 2x + 10 .
roo 1 dx'
b)
I
= Jo x2 + 1)3
d) I = fo
2lf
cosx
ndx,
n
E IN ;
1
0 1
f) I
= (
2 dx,
n
E
IN , a,
b > 0;
o a+bx n
1'2
dx
h
I
=
I
2 '
0
< p <
1;
J
o
1
2pcosx
+
P
1
0
xsinax
j)
I = ~ d x a,b> O.
o x + cr
5.21. Sa
se dezvolte in serie ric
putcri
(Taylor sau
Laurent
cu precizarea
multimii de convergcnta) centrate in pUllctele indicate, urmiHoarele
funct
ii
:
6z
+ 1
a
J(z)
= ( )2'
Zo
= 00;
z - 3
1
b)
J(z) =
.
-
Zo =
0;
smz
e
Z
- 1
c) J(z) = 3
Zo
= 0 pelltru 0
<
Izi <
1;
z'
e
Z
d) J(z) =
(z _ 1
2
o
= 1; Zl =
00.
5.22.
Sa
se efectueze dezvoltarea in serie a
urmatoarelor
functii
pe
domeniile
indicate:
1
1.
J(
z)
=
(z _
1)(z
_ 2)(z _ 3); a) In discullzl
<
1; b) In coroana
1
< Izl <
2;
c in coroana
2
< Izi < 3; d) in jurul punctului de la
infinit.
I
z
2. J(z)
= ~ ; a) in discul
I
zl
<
1; b) in
jurul
pundului de la illfillit.
l + z
CAPITOLUL
5.
indicate:
1 .,
1.
J(
z) =
(z _
1)(z
_
c)
in
jurul punctului
de la infinit.
-
z
2. J(z)
=
8+
z
i \ - ' 5 : i 7
in cazul
urmatoarelor
f u n c ~
Z2
a J(z)
= z2(z
-1)3'
b
J(z)
= ~ ;
1
c)
J( z)
= e<+ l ;
d)
J(z) =
,f>. 1.
e) JL
/) =
ch z
f
J(z)
indicate:
sinz
Z2
+ 1)2
a)
J(z)
= '
a =
2;
b)J(z)=
2
b
2
z
z +
c J(z)
=
ze ' ,
I
a
=
0;
d) J( .2 )
= (
)z(
z - Zl
1
e
Z
e J(z) = zcos - - a =
1
;
f
J(z) =
-3- -
2 '
a
=
z
+
1 z - z
iz
c z
g J(z)
=
z2
+
l '
a =
i;
h)
J(z)
= (z _
l)(
z _
5.19. Sii
sc calculcze
int
egralele:
1
dz
a
1 = - --lIllde :
I z - l l = l ;
.., Z +
1
b) I =
1
2 e I dz u
nde
, = {z = x + iy 1 x
'
1
z2 + 1 .
2
c) I = 2(2 ' )2dz unde,
este
elJpsa T + y2
..,z z+3
d) I =
dz
f (z -
1)2(z2
+ 1) unde, : Iz - 1 - il =
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 35/37
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 36/37
. - ~ +-
--
.
., ;
l )
I
_ _
-----
. .....
r:: •
\
; .
.\
.
t·
I
.
t - / --;
\.
\; \ ' I ' . /.-
L -
1 : , : .8.a
Capitoful
6
Transformata Laplace
- " : " : . .
: : : t a ? J : ~ ~
i · : · ·
•
,',
6.1. Sa
se ca\culezc
transformata
Laplace a urmatoarelor funct
ii
:
a)
f(t) = l sintdt;
b)
(
t) =
cos
3
t;
c)
e
L
- 1
f(t)
=
t ;
d)
f(t)
tQ, a> -1;
e)
f(t)
=
cos
mt
cos
nt,
m,
n
E
lR;
f)
f(t)
=
(t _1)2 et - l .
6.2.
Sa
se c:aleuleze originalcle
pentru
urmatoarele
[unct
ii
ima
gine:
a F(P)
=
p2 + 4p +
5'
p+2 .
b) P(p) = (p + 1)(P 2)(P2 + 4)
e-
P
pe
P
c)
P(p) = . d F(P)
- +
4 + 2
p
3
+ 3p2 + 2p +
l
- p2 - 2p
+
5 r
+
9 .
6.3.
Folosind teorema lui Efros sa. se calcuieze originalel
e
pentru
urma.toarele
f u n c ~ i i im
ag ine:
e-
aVi
a) F(P)
= ,
a > 0;
p
-aVi
b
F(P)=
e
,a ,b>O
6.4. Folosind
transformata
Laplace sa. se rezolve ecuat
ii
1e
diferentiale eu c o n d i ~ j i l e
initiale indicate (problema Cauchy): ... .
a) X + x' = 1; x(O) = x'(O) =
X (O)
= 0;
b) x
+
2x'
+
x =
sin t;
x(O) =
x'(O)
= -1;
c) X _ 2x' + x
=
e
L
;
x(O) =
O,x'(O)
=
1, x (0)
=
2;
d) x
+2x'
+x = e; x(O) = l,x'(O) = 0;
e)
x
-
2x'
+
5x =
e
t
cos
2t; x(O) = x'(O) =
1.
65
.
'i
-
-
-
.
' .
8/9/2019 Culegere - Exercitii de Analiza Reala Si Complexa
http://slidepdf.com/reader/full/culegere-exercitii-de-analiza-reala-si-complexa 37/37
CAPITOLUL 6.
TRANS'FORlvTATA
LAPLACE
6:5. FCiI6siuij
'[orml"iIilui"Diiha:;nersase r c z o i
l l a ~ i i i e
d i f c r e n ~ i a l
a) x"+ x= sin
t;
x(O)
=
X'(O)
=
0;
1
b)
x" - x' = 1+ e
t
;
x(O)
=
X'(O) = O.
6.6. Folosind transformataLaplacesa
se
rezolve ecuatiadiferentiala
._ .
x"(t)
-
x(t
-
1)
=
t;
x(O)
=
X'(O)
=
0
6.7. Folosind transformataLaplacesa se rezolveecuatiilei1ltegrale :
a) x(t)= sint+ r(t
-
r)x(r) dr;
o
t
c)
x(t)= cost+
1te -
T
x(r) dr;
2
t
d) x t) = 1- 2t- 4t + Io
[3
+ 6 t
-
r) - 4(t- r)2Jx(r)dr;
e) xU) [
-.\<:os
3t+1tsin3(t- r)x(r)dr.
6.B. Sa se
d1c
uleze transformata
Laplace
bilateralaa fUllctiei
e-t, t>o
J(t) =
{
2e3t,
t
0
6.9. Sa sc calculezcoriginalulLaplaceCO rCSPW1zator fllnc tiei
2p
Fll(p)
= 1
- p)(P-
3)
defi ui
t,t':
a)
lu banda
1
<
Rep
< 3;
b)
III
s ~ m i p l a n u l
Rep> 3;
c) In scmiplanulRep < l.
6.10. Sa se calculcze transformata Laplacea urmatoarelor functii:
3
a)
J(t)
=
lot
cos wtdt ,wE JR.; b) J(t) = Isintl;
c)
(t) =1-
co
st.
d) f(t) = t inT
dr;
t
J
o
r
e)
f(t)
= sin·
3
t ;
f) J(t)
=
(t- lfs in(t
-1) .
6.11.
Saseca.!culczeoriginalele
pentruurrnatoarele
functiiimagine :
, 1 2
p
3 + p2 +
2p
+
2
a) }(P)=p2+4p+3 ; b) F(P)= p5+2 4+2 3 ;
p
p
e-
3p
c:) 1- (11) =
1,:1 I '/.1
'
!p
'
d) F(P)=. ,,"
.
6.12.Folosindteorema luiEfrossa secalculczeoriginalelepentruurmatoarele
functii imagine:
e- av't
-av't 0
e
a>
a) F(P)= n
'
a>
0;
b)
F(p)
= p(Jp
+
a"
PyP
6.13.
Folosind
transformataLaplace
sa
se rezolve
e c u a ~ i i 1 e d i f e r e n ~ i a l e
cu
conditiileinitialeindicate:
a) X
x" -
s·ln
't · x(O) - X'(O) - xl/(O) -
O·
' "., .
-- .•' ,
- - '.. -
- § ~ · ~
~ ~ . :
b) x" + x' =cost; x(O) = 2,x'(0) = 0;
c) XIII + 2X" + 5x
'
= 0; x(O) =
-1,x'(O)
=
2, X"(O)
=
0;
d) x"
+
2x'
=tsint;
x(O)
=
X'(O) =
O.
6.14. Folosindformulalui
Duhamel
sa. se rczolve
e c u a ~ i i l e
diferntiale:
a)
x" = arctgt; x O) = X'(O) = 0;
b)
XII
+
x'= cos
t;
x(O) =
X'(O)
=
O.
6.15. Folosind
transformata
Laplacesa serezolve e c u a ~ i a diferentiala
xl/(t) - 2X'(t- 1)
=
t; x(O)
=
X'(O)
=
0
6.16. Folosind
transformata
Laplacesa serezolve u a ~ i i l e integrale:
1 t
a)
x(t) =t
+
2
J
(t- r)2
x
(r)dr;
o
b) x(t)
=
1
+
t
+
10 cos(t- r)x(r) dr;
t
c) x(t) = t+ 2Io [(t - r) - sin(t- r)]x(r)dr;
t
2
t
d)x( t )= '2+ Jo(t- r)e' -T
x(r)dr.
6.17.
Sa
se calculezc
transformata
Laplacebilaterala a functiilor:
e-
2ItJ
;
)
J(t)
=
b)
J(t)=
{e-
t
, t
0
e
2
,
t
< 0
6.18. Calcuiati transformata
Laplace
(bilatcrala ) inversa
a
functiei
definite: '
(p + l)(p
+
2)(p- 3)
a) In band a
-2
< Rep < -1 ;
b) In
banda-1 < Rep < 3;
c) In semiplanulRep>
3;
d) In semiplanulRep < -2.