Post on 04-Aug-2015
transcript
Universitatea OVIDIUS Constanţa Departamentul ID-IFR Facultatea Matematica-Informatica
ELEMENTE DE
ANALIZA MATEMATICA SI
MATEMATICI SPECIALE
Caiet de Studiu Individual
Specializarea IEDM Anul de studii I
Semestrul I
Titular disciplină: Prof. univ. dr. EDUARD-MARIUS CRACIUN
2010
Cuprins
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
2
ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA SI MATEMATICI SPECIALE
CUPRINS
Unitate de
învăţare 1 2 3
4
5
Titlul INTRODUCERE 1 RECAPITULAREA UNOR NOŢIUNI DE BAZA DIN ANALIZA MATEMATICĂ DE LICEU 1.1 Mulţimi. 1.2 Funcţii Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 1 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 1 2 SPAŢII METRICE 2.1 Definiţii şi exemple 2.2 Spaţii metrice particulare Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 2 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 2 SIRURI DE NUMERE 3.1 Siruri de numere: definiţie şi exemple 3.2 Criterii de convergenţă Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 3 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 3 SERII DE NUMERE 4.1 Serii numerice 4.2 Criterii de convergenţă Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 4 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 4 LIMITE DE FUNCŢII 5.1 Limita unei funcţii într-un punct Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 5 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 5
Pagina
6
8
8 9
11 11 11
13 13 14 16 16 17
19 19 20 21 21 21
23 23 24 25 26 26
28 28 29 29 30
Cuprins
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
3
6
7
8
9
10
11
12
FUNCŢII CONTINUE 6.1 Funcţii continue pe spaţii metrice Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 6 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 6 DERIVATE PARŢIALE SI DIFERENŢIALA DE ORDINUL ÎNTÂI 7.1 Derivate parţiale de ordinul întâi Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 7 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 7 DERIVATE PARŢIALE SI DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR 8.1 Derivate parţiale de ordin superior 8.2 Derivata dupa un versor Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 8 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 8 EXTREME LIBERE 9.1 Puncte de extrem local 9.2 Algoritm de determinare a punctelor de extrem local Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 9 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 9 EXTREME CU LEGĂTURI 10.1 Extreme condiţionate 10.2 Multiplicatorii lui Lagrange. Exemplu Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 10 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 10 INTEGRALA RIEMANN 11.1 Sume Riemann. 11.2 Clase de funcţii integrabile Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 11 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 11 INTEGRALE IMPROPRII 12.1 Integrale improprii de speţa I Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 12 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare
32 32 33 33 33
35 35 36 37 37
39 39 40 41 41 42
44 44 44 46 46 47
49 49 50 51 51 52
54 54 55 56 56 56
58 58 60 60
Cuprins
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
4
13
14
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 12 INTEGRALE DUBLE 13.1 Definiţia integralei duble. Proprietăţi ale integralei duble. Metode de calcul Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 13 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 13 INTEGRALE TRIPLE 14.1 Definiţia integralei triple. Calculul integralei triple Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 14 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 14 BIBLIOGRAFIE
60
62
62 64 65 65
67 67 68 68 69
70
Observaţie: numărul unităţilor de învăţare este egal cu numărul şedinţelor de curs la forma de învăţământ zi (28 ore curs = 14 UI, 14 ore curs = 7 UI)
Introducere
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
6
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
INTRODUCERE
foto Stimate student, Numele meu este Eduard-Marius Craciun (n.1965), în prezent sunt profesor universitar, titular al Facultaţii de Matematica-Informatica din cadrul Universităţii „Ovidius” Constanţa. Sunt absolvent al Facultăţii de Matematica-Informatica a Universitatii din Bucureşti. Sunt autor a numeroase cărţi şi articole în domeniul matematicilor aplicate si al mecanicii publicate in prestigiose edituri din tara si din strainatate (SUA, China, Germania, Franta, Italia, sa). Materialul este organizat în 14 unităţi de învăţare, fiecare din aceste unităţi conţinând o parte de prezentare teoretică a subiectului tratat, o parte de exerciţii (teste de autoevaluare), rezolvările acestora şi o lucrare de verificare finală. Testele de autoevaluare ajută la fixarea cunoştinţelor dobândite în fiecare unitate de învăţare şi permit evaluarea continuă a cursantului. Lucrările de verificare reprezintă o evaluare finală la sfârşitul fiecărei etape de învăţare, prin care se urmăreşte determinarea gradului de însuşire de către dumneavoastră a conceptelor, metodelor, tehnicilor etc. prezentate anterior. Răspunsurile pe care le formulaţi vor fi transmise prin e-mail la adresa emcraciun@yahoo.com pentru a fi verificate şi comentate. Lucrarea pe care o redactaţi şi pe care o trimiteţi tutorelui trebuie să conţină pe prima pagină denumirea cursului „Elemente de analiza matematica si matematici speciale”, numele şi prenumele dumneavoastră şi adresa de e-mail pe care o aveţi. Pentru o justă identificare a lucrării este de dorit ca pe fiecare pagină să inseraţi numele şi prenumele dumneavoastră. Răspunsurile trebuie să fie clar formulate, în limita posibilităţilor fiind recomandabilă utilizarea unui procesator de texte. În medie răspunsurile ar trebui să se întindă pe o jumătate de pagină, putând exista formulări mai lungi sau mai scurte funcţie de subiectul tratat. Între două răspunsuri succesive este necesar a fi lăsat un spaţiu de 5-6 cm pentru eventuale comentarii din partea tutorelui. Ponderea acestor lucrări de evaluare în totalul notei de examen este de 50%, restul de 50% fiind constituit de examenul propriu-zis.
Introducere
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
7
Succes ! Spor la învăţat şi succes!
…
Recapitularea unor notiuni de baza din analiza matematica de liceu
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
8
Unitate de învăţare Nr. 1
RECAPITULAREA UNOR NOTIUNI DE BAZA DIN ANALIZA
MATEMATICA DE LICEU
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 1 RECAPITULAREA UNOR NOŢIUNI DE BAZA DIN ANALIZA MATEMATICĂ DE LICEU
Recapitularea noţiunilor de baza ale analizei matematice din liceu Însuşirea aparatului de calcul din analiza matematică de liceu
8
1.1 Mulţimi …………………………………………....………………………………….. 8
1.2 Funcţii …………………………………………....…………………………………... 9
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 1………………………………………….... 11
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 11
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 1…………………………………………………….. 11
Recapitularea unor notiuni de baza din analiza matematica de liceu
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
9
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 1
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 1 sunt:
Recapitularea noţiunilor de bază ale analizei matematice din liceu Însuşirea aparatului de calcul din analiza matematică de liceu
Mulţimi 1.1 Mulţimi
Dacă elementul x se află printre elementele mulţimii A vom scrie Ax şi citim x aparţine mulţimii A. În caz contrar scriem Ax şi citim x nu aparţine mulţimii A. Notăm cu mulţimea vidă (fără nici un element).
Definiţie
Dacă A, B sunt două mulţimi atunci:
1) A este inclusă în B şi notăm BxAxBA ;
2) BABA şi AB ;
3) intersecţia mulţimilor A şi B este mulţimea
AxxBA | şi Bx ;
4) reuniunea mulţimilor A şi B este mulţimea
AxxBA | sau Bx .
Dacă X este o mulţime atunci mulţimea submulţimilor acestei mulţimi se
notează XAAXP | , (mulţimea părţilor lui X).
Dacă naaaX ,...,, 21 este o mulţime finită atunci P(X) este o mulţime
cu 2n elemente, de aceea o altă notaţie pentru P(X) este 2X.
Exemplu
Dacă 321 ,, aaaX , atunci
.,,,,,,,,,,,, 321313221321 aaaaaaaaaaaaXP
Definiţie
Dacă A1, A2 sunt două mulţimi se numeşte produsul cartezian al mulţimii A1 cu mulţimea A2 mulţimea
22112121 ,|, AaAaaaAA .
Recapitularea unor notiuni de baza din analiza matematica de liceu
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
10
Exemplu
RRRR yxyx ,|,2 ;
RRRRR zyxzyx ,,|,,3 ;
nixxxx inn ,...,1,|,...,,... 21 RRRRRR .
Dacă A şi B sunt două mulţimi atunci mulţimea
AxxBA |\ şi Bx
se numeşte diferenţa celor două mulţimi.
Dacă X şi XA atunci complementara lui A în raport cu X este
mulţimea XxxACX | şi Ax .
Test de autoevaluare 1.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Fie familia de mulţimi XXPA Iii , . Aratati ca următoarea
egalitate este adevărată:
Ii
iXIi
iX ACAC
Răspunsul la test se găseşte la pagina .
Funcţii 1.2 Funcţii Definiţie
Fiind date mulţimile nevide X şi Y, se numeşte funcţie definită pe X cu valori în Y o relaţie binară YXf cu proprietăţile:
1) YyXx , astfel încăt fyx , ;
2) Dacă 2121 ,,, yyfyxfyx . Dacă f este o funcţie de la X la Y şi fyx , atunci vom scrie xfy . Elementul y se numeşte imaginea lui x prin funcţia f sau valoarea lui f în punctul x. X se mai numeşte şi domeniul funcţiei f. Remarcăm de asemenea că noţiunea de funcţie presupune trei elemente: 1) X, domeniul de definiţie al funcţiei; 2) Y, mulţimea de valori a funcţiei sau codomeniul; 3) relaţia care asociază oricărui element Xx un unic element Yy . Precizăm că în locul termenului de funcţie se mai folosesc şi termenii de aplicaţie, transformare, operator. Dacă YXf : este o funcţie şi XA , mulţimea
AxYxfAf |
Recapitularea unor notiuni de baza din analiza matematica de liceu
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
11
se numeşte imaginea lui A prin f , iar dacă YB , mulţimea
BxfXxBf |1
se numeşte imaginea reciprocă sau preimaginea prin funcţia f a mulţimii B. Definiţie Dacă f1, f2 sunt două funcţii 111 : YXf şi 222 : YXf , atunci spunem
că f1 şi f2 sunt egale 21 ff dacă şi numai dacă
1) 21 XX ;
2) 21 YY ;
3) xfxfXx 211 . Definiţie Fie YXf : o funcţie. Spunem că:
1) f este injectivă dacă Xxx 21, , 2121 xfxfxx ;
2) f este surjectivă dacă Yy , Xx astfel încât yxf ; 3) f este bijectivă dacă f este injectivă şi surjectivă; 4) f este inversabilă dacă XYg : astfel încât Xfg 1 şi
Ygf 1 ;
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 1. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 1 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Recapitularea unor notiuni de baza din analiza matematica de liceu
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
12
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 1
Să se arate că: Ii
iXIi
iX ACAC
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 1.1
Să arătăm că avem Ii
iXIi
iX ACAC
. Fie
iXiIi
iIi
iX ACxAxAxACx
,
Ii
iX ACxIi
. Invers, dacă iXIi
iX ACxACx ,
iAxIi ,
IiiX
Iii ACxAxIi .
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 1
1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si
matematici speciale”, Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004 2. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si
Pedagogica, Bucuresti 1989
Spatii metrice
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
13
Unitate de învăţare Nr. 2
SPAŢII METRICE
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 2…………………………………………………….. 13
2.1 Definiţii şi exemple………………………………………………………………........ 13
2.2 Spaţii metrice particulare……………………………………………………………... 14
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 2………………………………………….... 16
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 16
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 2…………………………………………………….. 17
Spatii metrice
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
14
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 2
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 2 sunt:
Însuşirea noţiunilor din baza ale teoriei spaţiilor metrice Studierea proprietăţilor trecerii la limită
2.1 Definiţii şi exemple
Definiţii şi exemple
Definiţie Fie X o mulţime nevidă. O aplicaţie ,0: XXd se numeşte distanţă pe X (sau metrică) dacă: 1) 0, yxd dacă şi numai dacă yx , Xyx , ;
2) xydyxd ,, , Xyx , ;
3) zydyxdzxd ,,, , Xzyx ,, , (inegalitatea triunghiului).
Perechea dX , se numeşte spaţiu metric. Exemplu 1. Pe RR definim distanţa, yxyxd , , R yx, . Se verifică
uşor că d,R este spaţiu metric.
2. Fie X o mulţime nevidă şi ,0: XXd ,
1
0, yxd dacă
,
,
yx
yx
numită metrica discretă pe X. 3. Pe C putem defini matricea 2121 , zzzzd , C 21, zz . Astfel,
d,C este spaţiu metric.
4. Pe spaţiul RR nnn xxxx ,...,|,..., 11 , definim aplicaţia
,0: nnd RR ,
2211 ..., nn yxyxyxd , nyx R , ,
nxxx ,...,1 , nyyy ,...,1 . Atunci d estedistanţa pe Rn, numită distanţa
euclidiană. Definiţie Fie dX , un spaţiu metric şi Xx 0 , 0r .
Se numeşte bilă deschisă centrată în x0, de rază r, mulţimea:
Spatii metrice
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
15
rxxdXxxBr 00 ,| .
Se numeşte bilă închisă, centrată în x0 şi de rază r, mulţimea:
rxxdXxxBr 00 ,| .
Se numeşte sferă centrată x0 şi de rază r, mulţimea:
rxxdXxxSr 00 ,| .
Exemplu Dacă RX şi yxyxd , , R yx, , atunci
rxrxxBr 000 , . Mai mult, orice interval (a, b) din R coincide cu
o bilă deschisă din R şi anume
2,
2
baBba ab .
Avem rxrxxBr 000 , , iar orice interval închis Rba, coincide
cu
22
baB ab .
Test de autoevaluare 2.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Fie X o multime nevidă şi d metrica discretă. Arătaţi că (X,d) este spaţiu metric. Răspunsul la test se găseşte la pagina .
2.2 Spaţii metrice particulare Spaţii metrice
particulare Definiţie Fie X un spaţiu vectorial peste corpul K RK sau C . Se numeşte nor-
mă definită pe X o aplicaţie notată |||| , R X||:|| , xx , cu
proprietăţile: 1) 0x , Xx şi 00 xx ;
2) x x , Ky , Xx ;
3) yxyx , Xyx , (inegalitatea triunghiului).
Observaţie Pentru Xx , numărul x se numeşte norma vectorului x.
Exemplu 1. R este spaţiu vectorial peste R şi aplicaţia R xxx : , verifică
axiomele unei norme. 2. Rn este spaţiu vectorial peste R. Se poate arăta (verificaţi acest lucru) că următoarele aplicaţii sunt norme pe Rn :
Spatii metrice
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
16
a)
n
iixx
1
2 , nnxxxx R ,...,, 21 ,
(norma euclidiană)
b)
n
iixx
11
, nnxxxx R ,...,, 21 ;
c) i
nixx
12max , n
nxxxx R ,...,, 21 .
3. R, baffbaCX ,:|:,0 continuã f . Se verifică uşor că X este spaţiu vectorial peste R şi aplicaţiile:
a) 2
1
2
b
a
dxxff , Xf ;
b)
xff
bax ,sup
, Xf , (norma convergenţei uniforme) sunt nor-
me pe spaţiul X. Definiţie Perechea formată dintr-un spaţiu vectorial X şi o normă pe X se numeşte spaţiu vectorial normat. Vom nota cu ||||, X . Fie spaţiul vectorial normat ||||, X şi R XXd : ,
yxyxd , , Xyx , .
Atunci d este o distanţă pe X. Observaţie Prin urmare, orice spaţiu vectorial normat devine un spaţiu metric în care distanţa este cea definită cu ajutorul normei. Ca urmare într-un spaţiu vectorial normat vom avea toate noţiunile topologice introduse într-un spaţiu metric. Toate noţiunile topologice exprimate cu ajutorul distanţei vor avea o exprimare cu ajutorul normei. Definiţie Un spaţiu vectorial normat în care orice şir Cauchy este convergent se numeşte spaţiu Banach. O categorie particulară de spaţii normate sunt spaţiile prehilbertiene: acele spaţii normate în care forma este definită cu ajutorul produsului scalar. Fie X un spaţiu vectorial peste K RK ( sau )C .
Spatii metrice
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
17
Definiţie Se numeşte produs scalar pe X o aplicaţie notată:
KXX :, yxyx ,, cu proprietăţile:
1) 0, xx , Xx şi 00, xxx ;
2) xyyx ,, , Xyx , ;
3) yxyxyxx ,,, 2121 , Xyxx ,, 21 ;
4) yxyx ,, , K , Xyx , . Propoziţie Fie X un spaţiu vectorial pe care s-a definit un produs scalar, notat , . Atunci pentru orice Xyx , are loc egalitatea:
yyxxyx ,,, .
Test de autoevaluare 2.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwartz Fie X un spaţiu vectorial pe care s-a definit un produs scalar, notat , . Atunci pentru price Xyx , are loc inegalitatea:
yyxxyx ,,,
Răspunsul la test se găseşte la pagina .
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 2. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 2 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 2
Fie X un spaţiu vectorial pe care avem definit un produs scalar, notat <,>.
Atunci aplicaţia: R X||:|| , xxx , , Xx este o normă pe
X.
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 2.1 Să arătam că d verifică proprietăţile 1) – 3). Proprietăţile 1) şi 2) sunt evidente din definiţia lui d. Pentru 3), dacă 0,, zydyxd , atunci yx şi zy , de unde zx ,
deci 0, zxd . În aceste cazuri inegalitatea triunghiului este evidentă.
Spatii metrice
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
18
Răspuns 2.2 Vom demonstra pentru cazul în care X este spaţiu vectorial peste R. Fie
Xyx , şi R . Pentru orice R avem:
yyyxxxyxyx ,,2,,0 2 . Deoarece avem o funcţie de gradul doi în λ deducem:
yyxxyx ,,,0 .
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 2
1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si matematici speciale”, Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004
2. Colojoara I. – “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1983
3. Craiu M., Tanase V. - “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1980
Siruri de numere
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
19
Unitate de învăţare Nr. 3
ŞIRURI DE NUMERE
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 3…………………………………………………….. 19
3.1 Şiruri de numere: definiţii şi exemple ………………………………………....……... 19
3.2 Criterii de convergenţă………………………………………....……………………... 20
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 3………………………………………….... 21
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 21
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 3…………………………………………………….. 21
Siruri de numere
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
20
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 3
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 3 sunt:
Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea cunoştinţelor teoretice in aplicatiile practice.
Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în analiza şi rezolvarea oricărei aplicatii de şiruri ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma (Mecanica, Rezistenta, etc.).
3.1 Siruri de numere: definiţie şi exemple Definiţii
Exemple
Definiţie Un şir Kz nn N se numeşte şir convergent dacă există Kz astfel
încât 0 , N N cu proprietatea că
zzzzd nn , , Nn .
Numărul se numeşte limita şirului Nnnz şi vom nota zzn
n
lim .
Un şir care nu are limită în K se numeşte divergent. Exemplu Şirul
n
xn
n
1 , 1 n ,
este convergent. Definiţie Un şir Kz nn N , se numeşte şir Cauchy dacă 0 , NN
astfel încât, Nn şi N p să rezulte
npnnpn zzzzd , .
Exemplu Şirul
22
1...
2
11
nxn , 1 ,
este şir Cauchy. Definiţie Un şir Kz nn N se numeşte mărginit dacă 0 M astfel încât
Mzn , N n .
Siruri de numere
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
21
Definiţie Dacă mulţimea RK şi şirul RN nnx atunci spunem că şirul este
monoton crescător (respectiv descrescător) dacă:
nn xx 1 , (respectiv nn xx 1 ), N n .
Un şir se numeşte monoton dacă este monoton crescător sau monoton descrescător. Fie şirul Kz nn N . Dacă şirul este convergent atunci şirul Nnnz este
mărginit. Reciproca nu este adevărată.
Test de autoevaluare 3.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Dati exemplu de un sir marginit si divergent. Răspunsul la test se găseşte la pagina .
3.2 Criterii de convergenţă
Criterii de convergenţă
Propoziţie Orice şir convergent Kz nn N este şir Cauchy.
Fie Kz nn N un şir Cauchy, atunci Nnnz este mărginit.
Teoremă (Weierstrass) Fie şirul RN nnx , monoton şi mărginit atunci Nnnx este convergent.
Orice şir mărginit de numere reale are cel putin un subşir convergent. Fie Nnnx , Nnny şi Nnnz şiruri de numere reale astfel încât
nnn zyx , 0 Nn , lzx nnn
n
limlim .
Atunci şirul Nnny este convergent şi
nn lylim .
Dacă Nnnx şi Nnny sunt şiruri de numere reale astfel încât
nn xxlim ,
nn yylim iar nn yx , 0 Nn , atunci yx .
Teoremă Fie şirul de numere complexe Nnnz , cu nnn iyxz , Rnn yx , ,
N n . Atunci :
1) şirul Nnnz este convergent N nnx şi Nnny sunt convergente şi
are loc egalitatea:
nn
nnn
nyixz limlimlim ;
Siruri de numere
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
22
2) şirul Nnnz este Cauchy N nnx şi Nnny sunt şiruri Cauchy.
Teoremă Un şir de numere reale Nnnx este convergent dacă şi numai dacă este şir
Cauchy.
Test de autoevaluare 3.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.
Şirul CN nnz este convergent dacă şi numai dacă este şir Cauchy.
Răspunsul la test se găseşte la pagina .
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 3. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 3 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 3
Calculaţi limita şirului 1nna avand termenul general
1
1...
32
1
21
1
nnan
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 3.2 Fie nnn iyxz , Rnn yx , , N n .
Şirul N nnz este convergent N nnx şi Nnny sunt convergente
N nnx şi Nnny sunt şiruri Cauchy N nnz este şir Cauchy.
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 3
1. Arama L., Morozan T. – “Culegere de probleme de calcul diferential si integral”, Ed. Tehnica, Bucuresti 1978
2. Bucur Gh., Campu E., Gaina S. - “Culegere de probleme de calcul diferential si integral II, III”, Ed. Tehnica, Bucuresti 1966
3. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989
4. Rosculet M. - “Culegere de probleme de analiza matematica” Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1976
Serii de numere
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
23
Unitate de învăţare Nr. 4
SERII DE NUMERE
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 4…………………………………………………….. 23
4.1 Serii numerice……………………………………………………..………………….. 23
4.2 Criterii de convergenţă……………………………………………………..…………. 24
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 4………………………………………….... 25
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 26
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 4…………………………………………………….. 26
Serii de numere
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
24
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 4
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 4 sunt:
Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea cunoştinţelor teoretice in aplicatiile practice.
Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în analiza şi rezolvarea oricărei aplicaţii de siruri ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma (Mecanica, Rezistenta, etc.)
4.1Serii numerice
Definiţii şi exemple
Definiţie Fie Nnnz un şir de numere complexe şi
nn zzzs ...10 , N n ,
numit şirul sumelor parţiale asociat şirului Nnnz . Perechea de şiruri
NN nnnn sz , se numeşte seria de termen general zn. Vom nota această
serie cu 0n
nz ,
0nnz sau ......10 nzzz .
Definiţie Seria
0nnz se numeşte convergentă dacă şirul sumelor parţiale Nnns este
convergent. Numărul nn
ss
lim se numeşte suma seriei şi vom nota
0n
nzs . Seriile care nu sunt convergente se numesc divergente.
Exemplu Seria geometrică de raţie 1\Cr ,
0n
nr . Şirul sumelor parţiale este
r
rrs
nn
k
kn
1
1 1
0
, 1 n . Astfel, seria 0n
nr este convergentă dacă şi
numai dacă 1r şi în acest caz are suma r1
1.
Definiţie O serie de numere complexe
0nnz se numeşte absolut convergentă dacă
seria
0nnz este convergentă.
Serii de numere
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
25
Test de autoevaluare 4.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.
Seria 1 1
1
n nn, cu termenul general 1
1
nnzn este convergentă.
Răspunsul la test se găseşte la pagina .
4.2Criterii de convergenţă
Criterii convergenţă
Teoremă (Criteriul necesar de convergenţă)
Dacă seria
0nnz este convergentă atunci 0lim
nn
z .
Exemplu
Fie seria
1 32
1
n n
ncu termenul general
32
1
n
nzn . Evident
02
1
32
1lim
n
nn
. Seria este divergentă.
Teoremă
Fie seria
0nna de numere reale pozitive 0na , N n . Seria este
convergentă dacă şi numai dacă şirul sumelor parţiale, Nnns , este
mărginit. Propoziţie
Seria armonică generalizată
1
1
n n este convergentă pentru 1 şi este
divergentă pentru 1 . Teoremă
Fie seriile
0nna şi
0nnb astfel încât nn ba 0 , 0 nn .
Atunci :
1) Dacă seria
0nnb este convergentă şi seria
0nna este convergentă;
2) Dacă seria
0nna este divergentă şi seria
0nnb este divergentă.
Teoremă (Criteriul rădăcinii limită)
Fie seria
0nnz astfel încât există n
nn
zl
lim .
1) dacă 1l seria este absolut convergentă; 2) dacă 1l seria este divergentă.
Serii de numere
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
26
Teoremă (Criteriul raportului cu limită)
Fie seria
0nnz , 0\Cnz , N n , astfel încât există l
z
z
n
n
n
1lim .
Atunci: 1) dacă 1l seria este absolut convergentă; 2) dacă 1l seria este divergentă; 3) dacă 1l nu se poate preciza natura seriei. Teoremă (Criteriul Raabe-Duhamel)
Fie seria
0nna , 0na , N n astfel încât există
la
an
n
n
n
1lim1
Atunci: 1) dacă 1l serie convergentă; 2) dacă 1l serie divergentă; 3) dacă 1l , nu se poate preciza natura seriei.
Test de autoevaluare 4.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.
Studiaţi natura seriei
13
2
1
1
n nnn
n.
Răspunsul la test se găseşte la pagina .
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 4. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 4 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 4
Studiaţi natura seriei
1
1
nnn
.
Serii de numere
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
27
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 4.1
n
k
n
kn nkkkk
s1 1 1
11
1
11
1
1, 1 n .
Evident 1lim n
ns şi astfel seria este convergentă şi
1
11
1
n nn.
Răspuns 4.2
Fie 23
1
nbn , 1 n . Deoarece
,01lim
n
n
n b
a deducem conform
Crieteriului comparaţiei la limită că seriile
03
2
1
1
n nnn
n şi
023
1
n n au
aceeaşi natură, adică sunt convergente. Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 4
1. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989
2. Craiu M., Tanase V. - “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1980
3. Fihtenholt G.M. – “Curs de calcul diferential si integral, vol. I – III”, Ed. Tehnica, Bucuresti 1963
4. Meghea C. – “Bazele analizei matematice” Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1977
5. Mortici C. – “Lectii de analiza matematica” Ed. ExPonto, Constanta, 2000
6. Smirnov V.I. – “Curs de matematici superioare” vol. I – V, Ed. Tehnica, Bucuresti 1953
Limite de functii
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
28
Unitate de învăţare Nr. 5
LIMITE DE FUNCŢII
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 5…………………………………………………….. 28
5.1 Limita unei funcţii într-un punct……………………………………………………... 28
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 5………………………………………….... 29
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 29
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 5…………………………………………………….. 30
Limite de functii
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
29
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 5
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 5 sunt:
Însuşirea noţiunilor de bază ale teoriei limitelor de funcţii Aplicarea calculului limitelor la discipline ce vor fi studiate
5.1 Limita unei funcţii într-un punct
Definiţii şi exemple
Definiţie Considerăm 11,dS , 22 ,dS două spaţii metrice, 1SA , şi funcţia
2: SAf . Spunem că f are limita în punctul '0 Ax dacă există 2Sl cu
proprietatea că: 0 , 0 astfel încât 0\ xAx cu 0, xxd să rezulte
lxfd ,2 . În acest caz spunem că l este limita funcţiei f în punctul x0 şi notăm
lxfxx
0
lim .
Observaţie Problema limitei unei funcţii se pune numai într-un punct de acumulare al domeniului de definiţie al funcţiei, adică într-un punct pentru care avem posibilitatea să ne apropiem prin puncte din mulţimea pe care este definită funcţia. Propoziţie Fie 11,dS , 22 ,dS două spaţii metrice şi funcţia 21: SSAf ,
'0 Ax . Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:
a) lxfxx
0
lim ;
b) pentru orice şir 0\ xAx nn N cu 0lim xxnn
rezultă că lxfn
lim
(definiţia limitei cu şiruri); c) pentru orice vecinătate V a lui l există U vecinătate a lui x0 astfel încât:
VAxUf 0\
(definiţia limitei cu vecinătăţi). Teoremă Fie spaţiile metrice 11,dS şi 22 ,dS , 1SA , 2: SAf , '0 Ax . Dacă
există xfxx 0
lim
atunci aceasta este unică.
Propoziţie Fie nmAf RR : , mxxx ...,1 , mfff ...,1 , '0 Ax . Functia f
Limite de functii
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
30
are limita în x0 dacă şi numai dacă funcţiile reale nfff ,...,, 21 au limite în
x0 şi în acest caz:
xfxfxfxf n
xxxxxxxx 0000
lim,...,lim,limlim 21 .
Test de autoevaluare 5.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Studiaţi existenţa limitei în origine pentru funcţia 22,0\: RR f ,
2
1,
sin 2
x
xx
x
xxf , 2,0 x .
Răspunsul la test se găseşte la pagina .
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 5. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 5 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 5
Studiaţi existenţa limitei în origine a funcţiei RR 0,0\: 2f ,
22
3
,yx
yxyxf
.
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 5.1
Notăm cu x
xxf
sin1 ,
2
12
2
x
xxxf , 2,0 x . Avem:
1sin
limlim0
10
x
xxf
xx,
2
1
2
1limlim
2
02
0
x
xxxf
xx,
deci f are limită în punctul 00 x şi
2
1,1lim
0xf
x.
Limite de functii
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
31
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 5
1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si matematici speciale”,Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004
2. Craiu M., Tanase V. - “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1980
3. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989
4. Rosculet M. - “Culegere de probleme de analiza matematica” Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1976
5. Demidovici D.P. – “Problems in Mathematical Analysis”, Mir Publishers, Moskow, 1976
Functii continue
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
32
Unitate de învăţare Nr. 6
FUNCŢII CONTINUE
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 6…………………………………………………….. 32
6.1 Funcţii continue.............................................................................................................. 32
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 6………………………………………….... 33
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 33
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 6…………………………………………………….. 33
Functii continue
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
33
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 6
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 6 sunt:
Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea notiunii de functie continua in aplicatiile practice.
Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în analiza şi rezolvarea oricărei aplicaţii de funcţie continuă ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma.
6.1 Funcţii continue Funcţii continue pe spaţii metrice
Definiţie Fie 11,dS , 22 ,dS două spaţii metrice şi 21: SSAf , Ax 0 .
Spunem că f este continuă în punctul 0 0 x , 0 a.î.
Ax , 01 , xxd să rezulte 02 , xfxfd .
Dacă f nu este continuă în Dx 0 , atunci spunem că f este discontinuă
în punctul x0. Teoremă Fie 21: SSAf , '0 AAx . Atunci următoarele afirmaţii sunt echi-
valente: a) f este continuă în x0 ; b) există 0
0
lim xfxfxx
.
Teoremă (de caracterizare a continuităţii) Fie 11,dS , 22 ,dS două spaţii metrice, 1SA şi Ax 0 . Atunci urmă-
toarele definiţii sunt echivalente: a) f este continuă în x0 (definiţia cu “ ”); b) pentru orice 0 , există 0 astfel încât 00 xfBAxBf
(definiţia cu bile); c) pentru orice V, vecinătate a lui 0xf , există U vecinătate a lui x0 astfel
încât VAUf (definiţia cu vecinătăţi);
d) pentru orice şir Ax nn N , 0lim xxnx
, rezultă că 0lim xfxf nx
(definiţia cu şiruri). Teoremă Fie KSAgf :, , dS , spaţiu metric, RK sau C. Dacă f şi g
sunt continue în Ax 0 atunci funcţiile gf , gf ,g
f (în ipoteza
Axxg 0 ) sunt continue în punctul x0, K , .
Functii continue
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
34
Test de autoevaluare 6.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.
Studiaţi continuitatea funcţiei 222
sin,,
zyx
ezyxzyxf
xyz
, unde
RR 3: Af unde 0|,, 2223 zyxzyxA R . Răspunsul la test se găseşte la pagina .
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 6. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 6 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 6
Studiaţi continuitatea funcţiei RR 0,0\: 2f unde:
0,0,, 0
0,0,,, 22
3
yx
yxyx
yxyxf
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 6.1 Evident, f este continuă în orice punct din domeniul de definiţie pentru că se obţine prin compunere şi operaţii algebrice de funcţii continue.
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 6
1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si matematici speciale”,Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004
2. Craiu M., Tanase V. - “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1980
3. Arama L., Morozan T. – “Culegere de probleme de calcul diferential si integral”, Ed. Tehnica, Bucuresti 1977
4. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989
5. Flondor P. – “Lectii de analiza matematica si exercitii rezolvate”, Ed. All, Bucuresti, 1998.
Derivate partiale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
35
Unitate de învăţare Nr. 7
DERIVATE PARŢIALE
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 7…………………………………………………….. 35
7.1 Derivate parţiale de ordinul întâi…………………………………………………….... 35
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 7………………………………………….... 36
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 37
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 7…………………………………………………….. 37
Derivate partiale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
36
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 7
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 7 sunt:
Însuşirea noţiunilor de bază ale teoriei funcţiilor diferenţiale Aplicarea derivatelor parţiale la probleme ce apar în practică
7.1 Derivate parţiale de ordinul întâi Derivate parţiale Definiţie
Fie RR nAf : , A mulţime deschisă, Aa . Spunem că f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila xk dacă următoarea limită există şi este finită:
kk
nknkkk
ax ax
aaafaaxaaafkk
,...,,...,,...,,,,...,,lim 11121 ,
naaaa ,...,, 21 .
În acest caz limita de mai sus se numeşte derivata parţială a limitei f în
punctul a în raport cu variabila xk şi se notează kx
f
(a) sau afkx .
Fie nDDf R R ,: mulţime deschisă. Spunem că f este derivabilă parţial pe D dacă f derivabilă parţial în orice punct din D în raport cu
toate variabilele xk. În acest caz se pot defini n funcţii R
Dx
f
k
: ,
nk ,...,2,1 , numite derivatele parţiale ale lui f pe D. Spunem că f este de clasă C1 pe D dacă f este derivabilă parţial pe D iar
funcţiile kx
f
, nk ,...,2,1 , sunt continue pe D. Vom nota DCf 1 .
Definiţie Fie aplicaţia nm DDf R R ,: mulţime deschisă şi un punct Da . Aplicaţia T se numeşte diferenţiabila funcţiei f în a sau derivata Fréchet şi se notează adf . Teoremă (Criteriul de diferenţiabilitate) Fie nD R o mulţime deschisă şi RDf : . Dacă f admite derivate parţiale de ordinul întâi într-o vecinătate V a punctului Da şi acestea sunt continue în a, atunci f este diferenţiabilă în punctul a.
Derivate partiale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
37
Astfel, dacă RR nf : , D multime deschisă şi Da , f diferenţiabilă în a, atunci diferenţiala în a este:
n
kk
k
adxax
fadf
1 .
Dacă f este diferenţiabilă în orice punct Da putem scrie
n
kk
k
dxx
fdf
1
Pentru 2n sau 3 această egalitate devine:
,dyy
fdx
x
fdf
respectiv
dzz
fdy
y
fdx
x
fdf
.
Test de autoevaluare 7.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Calculaţi derivatele parţiale şi diferenţiale pentru funcţia:
zxyzxyzyxzyxf 333,, .
Răspunsul la test se găseşte la pagina .
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 7. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 7 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 7
Calculaţi diferenţiala df (1,1,1) pentru funcţia:
xyzzyxzyxf 12,, 223 .
Derivate partiale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
38
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Raspuns 7.1
zyxzyxx
f
23,, ,
zxyzyxy
f
23,, ,
yxzzyxz
f
23,, ,
şi
dzyxzdyzxydxzyxzyxdf 222 333,, . Dacă alegem 1,1,1,, zyx putem scrie:
dzdydxdf 5551,1,1 .
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 7
1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si
matematici speciale”, Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004 2. Boboc N. – “Analiza matematica”, partea I si II, Ed. Universitatii
Bucuresti, 1988 3. Colojoara I. – “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica,
Bucuresti 1983 4. Arama L., Morozan T. – “Culegere de probleme de calcul
diferential si integral”, Ed. Tehnica, Bucuresti 1977 5. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si
Pedagogica, Bucuresti 1989
Derivate parţiale de ordin superior
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
39
Unitate de învăţare Nr. 8
DERIVATE PARŢIALE DE ORDIN SUPERIOR
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 8…………………………………………………….. 39
8.1 Derivate parţiale de ordin superior……………………………………………………. 39
8.2 Derivata după un versor……………………………………………………..………... 40
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 8………………………………………….... 41
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 41
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 8…………………………………………………….. 42
Derivate parţiale de ordin superior
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
40
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 8
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 8 sunt:
Însuşirea noţiunilor de bază ale teoriei funcţiilor diferenţiale Aplicarea derivatelor parţiale de ordin superior la probleme ce
apar în practică
8.1 Derivate parţiale de ordin superior
Definiţii şi exemple
Definiţie Fie D o mulţime deschisă din Rn ni 1 , RDf : o funcţie care
admite derivată parţială în raport cu variabila xi pe D, notată RDx
f
i
: .
Dacă există derivata parţială în Da (respectiv în orice Da ) în raport
cu variabila xk a funcţiei ix
f
, atunci aceasta se va numi derivata parţială
de ordin doi a funcţiei f în punctul a (respectiv pe D) în raport cu variabilele xk, xi şi se va nota cu
axx
fa
x
f
x ikik
2
sau afik xx
" , dacă ki
şi
ax
fa
x
f
x kkk2
2
sau afkx
"2 , dacă ki .
Derivatele axx
f
ik2
, ki se vor numi derivate mixte de ordin doi în
punctul a.
Dacă R
Dx
f
i
: este derivabilă parţială în raport cu variabila xk pe D,
atunci obţinem funcţiile R
D
xx
f
ik
:2
numite derivate parţiale de
ordinul doi. Teoremă (Schwarz) Fie RR nAf : , A mulţime deschisă din Rn. Dacă f are derivate
parţiale mixte ji xx
f
2
şi ij xx
f
2
, ji , într-o vecinătate a unui punct
Aa şi aceastea sunt continue în a, atunci
Derivate parţiale de ordin superior
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
41
axx
fa
xx
f
ijji
22
.
Definiţie Fie RDf : , nD R mulţime deschisă. Spunem că f este de 2kk
ori diferenţiabilă în punctul Da dacă f este de 1k ori derivabilă
parţial într-o vecinătate V a lui a şi toate derivatele parţiale de ordin 1k ale lui f sunt diferenţiabile în a. f este k ori diferenţiabilă pe D dacă este de k ori diferenţiabilă în orice punct Da .
Observaţie Formula de definiţie a lui vafd k se mai poate scriesub formă condensată:
n
ll
l
k dxax
ffd
1
.
Test de autoevaluare 8.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Calculaţi df şi d2f pentru funcţia RR 3:f , xyzzyxf ,, . Răspunsul la test se găseşte la pagina .
8.2 Derivata după un versor
Definiţii şi exemple
Fie nD R , D mulţime deschisă, Da , nnssss R ,...,, 21 un versor
sau direcţie, adică 1... 222
21 nssss .
Definiţie Spunem că funcţia RR nDf : este derivabilă în Da după direcţia s, dacă există şi este finită limita:
as
f
t
aftsaft
0
lim
În acest caz, as
f
se numeşte derivata lui f după direcţia s în punctul a
sau derivata Gâteaux (slabă) a lui f în a după direcţia s. Teoremă Dacă RR nDf : , D mulţime deschisă şi f este diferenţiabilă în
Da , atunci f este derivabilă în a după orice versor s şi avem egalitatea:
Derivate parţiale de ordin superior
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
42
sadfads
df .
Test de autoevaluare 8.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.
Fie RR 2:f , yxyxyxf 32, 2 . Să se calculeze 3,2s
f
, unde
2
1,
2
1s .
Răspunsul la test se găseşte la pagina .
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 8. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 8 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 8
Calculaţi derivata după versorul
2
1,
2
1D pentru
42 2, yxyxyxf în punctul 1,2 a .
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 8.1
yzx
f
, xzy
f
, xzz
f
,
yzx
f
2
2
, xzy
f
2
2
, xzz
f
2
2
,
zyx
f
2
, yzx
f
2
, xzy
f
2
,
deducem xydzxzdyyzdxdf iar
ydxdzxdydzzdxdydzz
fdy
y
fdx
x
ffd 222
2
2
.
Răspuns 8.2 Conform teoremei anterioare f are derivată după orice direcţie în orice punct 2, Ryx şi
Derivate parţiale de ordin superior
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
43
2
3
2
17
2
110
2
13,2
2
13,23,2
y
f
x
f
ds
df.
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 8
1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si matematici speciale”,Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004
2. Craiu M., Tanase V. - “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1980
3. Arama L., Morozan T. – “Culegere de probleme de calcul diferential si integral”, Ed. Tehnica, Bucuresti 1977
4. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989
5. Flondor P. – “Lectii de analiza matematica si exercitii rezolvate”, Ed. All, Bucuresti, 1998.
Extreme locale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
44
Unitate de învăţare Nr. 9
EXTREME LOCALE
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 9…………………………………………………….. 44
9.1 Puncte de extrem local……………………………………………………..…………. 44
9.2 Algoritm de determinare a punctelor de extrem local.................................................... 44
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 9………………………………………….... 46
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 46
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 9…………………………………………………….. 47
Extreme locale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
45
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 9
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 9 sunt:
Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea cunoştinţelor teoretice în aplicaţiile practice.
Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în analiza şi rezolvarea oricărei aplicatii de caculul extreme libere ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma (Mecanica, Rezistenta, etc.).
9.1 Puncte de extrem local
Definiţii şi exemple
Fie RDf : şi nD R o mulţime deschisă. Definiţie Un punct Da se numeşte punct de extrem local pentru f dacă există o bilă DaBr pe care afxf are semn constant ; mai exact a este punct de minim (respectiv maxim) local pentru f dacă pentru orice
aBx r , afxf (respectiv afxf ). Un punct Da se numeşte punct critic pentru f dacă f este
diferenţiabilă în a şi 0adf , adică 0
ax
f
i
, ni ,...,2,1 .
Teoremă (Fermat) Fie nD R o mulţime deschisă şi RDf : , f diferenţiabilă în Da care este în acelaşi timp şi punct de extrem local pentru f. Atunci
0adf , adică a este punct critic pentru f . Definiţie Un punct staţionar care nu este de extrem se numeşte şa. Teoremă Fie RR nDf : , DCf 2 şi Da un punct critic pentru f. Dacă
forma pătratică afd 2 este pozitiv (negativ) definită, atunci a este punct de minim (respectiv de maxim) local pentru f .
Test de autoevaluare 9.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei RR 2:f ,
1424, 22 yxyxyxyxf . Răspunsul la test se găseşte la pagina .
9.2 Algoritm de determinare a punctelor de extrem local
În ipotezele teoremei anterioare dacă: a) toate numerele
Extreme locale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
46
111 a ,
nnnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aa
aa
...
............
...
...
,...,
21
22221
11211
2221
12112 ,
unde axx
fa
jiij
2
, ni ,...,2,1 , nj ,...,2,1 , sunt strict pozitive, atunci
a este punct de minim local; b) toate numerele
nn 1,...,, 21
sunt strict positive atunci a este punct de maxim local. Pentru cazul particular 2n avem următorul algoritm: Pasul 1. se rezolvă sistemul
.0
,0
y
fx
f
Pasul 2. Pentru fiecare soluţie 21,aaa a sistemului anterior se
calculează ax
fr
2
2
, ayx
fs
2
, ay
ft
2
2
şi 2srt . Atunci:
a) dacă 0 , a nu este punct de extrem local; b) dacă 0 , a este punct de extrem local: - de minim dacă 0r ; - de maxim dacă 0r . În cazul în care 02 srt , pentru a decide dacă punctul a este un punct de extrem, trebuie luate în consideraţie derivatele parţiale de ordin superior lui doi ale lui f .
Test de autoevaluare 9.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei RR 3:f ,
zyxzyxzyxf 642,, 222 . Răspunsul la test se găseşte la pagina .
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 9. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în
Extreme locale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
47
această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 9 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 9
Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei RR 3:f ,
zxyzyxzyxf 212,, 223 .
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 9.1
Deoarece 428
yxx
f, 122
yxy
f, obţinem punctul stationar
0,
2
1, yx . Calculăm în continuare
80,2
12
2
x
fr , 20,
2
12
yx
fs , 20,
2
12
2
y
ft .
Deaorece 0122 srt şi 08 r , punctul
0,
2
1este de minim
local. Răspuns 9.2 Punctele staţionare sunt soluţii ale sistemului:
,062
,042
,022
zz
f
yy
f
xx
f
adică avem un singur punct staţionar, 3,2,1 . deoarece
23,2,12
2
x
f, 03,2,1
2
yx
f, 23,2,1
2
2
z
f,
23,2,12
2
y
f, 03,2,1
2
yx
f,
vom avea că
Extreme locale
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
48
21 , 420
022 , 8
200
020
002
3 ,
ca urmare, 3,2,1 este punct de minim local.
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 9
1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si matematici speciale”,Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004
2. Boboc N. – “Analiza matematica”, partea I si II, Ed. Universitatii Bucuresti, 1988
3. Colojoara I. – “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1983
4. Arama L., Morozan T. – “Culegere de probleme de calcul diferential si integral”, Ed. Tehnica, Bucuresti 1977
Extreme cu legaturi
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
49
Unitate de învăţare Nr. 10
EXTREME CONDIŢIONATE
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 10…………………………………………………… 49
10.1 Extreme cu legături...................................................................................................... 49
10.2 Multiplicatorii lui Lagrange......................................................................................... 50
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 10………………………………………….. 51
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 51
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 10…………………………………………………… 52
Extreme cu legaturi
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
50
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 10
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 10 sunt:
Însuşirea noţiunilor de bază ale teoriei extremelor condiţionate Aplicarea problemelor de extreme condiţionate în practică.
10.1 Extreme condiţionate
Extreme condiţionate
În practică, apare şi situaţia determinării unor puncte de extrem ale funcţiei, pe anumite submulţimi ale mulţimii de definiţie, aceste puncte nemaifiind interioare submulţimii respective. În acest sens, să analizăm următoarea problemă care intervine frecvent în practică: Fie mnD RR o mulţime deschisă şi RDf : , DCf 1 ,
mDg R: , mgggg ,...,, 21 , RDgi : , DCgi1 , mi ,...,2,1 .
Funcţia f o vom numi funcţie scop sau funcţie obiectiv, iar mggg ,...,, 21
se vor numi legături. Vom examina punctele de extrem ale funcţiei f supuse la condiţiile suplimentare
,...,yy ,,...,x xunde ,0,
...................
0,
0,
11
2
1
mnm yxyxg
yxg
yxg
sau echivalent, 0, yxg . Notăm m1,2,...,i ,0,|, yxgDyxM i .
Definiţie Un punct Myx 00 , se numeşte punct de extrem local al funcţiei f cu
legăturile (sau punct de extrem conditionat) 0, yxg , dacă există
MyxBr , astfel încât:
00 ,, yxfyxf
are semn constant pe 00 , yxBr .
Observăm că extremele locale cu legături ale funcţiei f sunt extreme locale ale restricţiei lui f la M.
Extreme cu legaturi
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
51
10.2 Multiplicatorii lui Lagrange Multiplicatorii lui Lagrange
Teoremă (existenţa multiplicatorilor lui Lagrange) Fie mnD RR o mulţime deschisă, RDf : , mDg R: ,
mgggg ,...,, 21 , DCgi1 , mi ,...,2,1 şi Dyx 00 , punct de
extrem al lui f cu restricţiile 0, yxg . Dacă:
0,
,...,
,...,,00
21
21 yxyyyD
gggD
m
m ,
atunci există m numere reale m ,...,, 21 , astfel încât, considerând funcţia
mmgggfL ...2211 ,
punctul 00 , yx este punct staţionar al funcţiei L.
Observaţie 1. Numerele m ,...,, 21 se numesc multiplicatorii lui Lagrange.
2. Punctele de extrem ale lui f cu restricţiile 0, yxg se găsesc printre punctele staţionare ale funcţiei L., adică sunt puncte staţionare condiţionate ale lui f . Reciproc nu este adevărat, adică există puncte staţionare condiţionate care nu sunt de extrem condiţionat. 3. Funcţia ,,, yxLyx , mDyx R,, se numeşte lagrangean sau funcţia lui Lagrange. Algoritm a) dacă toţi determinanţii
nnnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aa
aaa
...
............
...
...
,...,,
21
22221
11211
2221
12112111
Sunt strict pozitivi, atunci forma pătratică 00
2 , yxLd este pozitiv definită,
deci 00 , yx este punct de minim condiţionat;
b) dacă 01 kk , 1,2,...nk , atunci 00
2 , yxLd este negativ
definită şi 00 , yx este punct de maxim local condiţionat.
Metoda prezentată mai sus se numeşte metoda multiplicatorilor lui Lagrange.
Extreme cu legaturi
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
52
Test de autoevaluare 10.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Să se determine extremele funcţiei xyyxf , cu legătura 122 yx . Răspunsul la test se găseşte la pagina .
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 10. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 10 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 10
Să se determine extremele funcţiei 123, 22 yxyxyxf cu
legatura 122 yx .
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 10.2 1, 22 yxxyyxL
Punctele staţionare condiţionate vor fi soluţiile sistemului:
.01
,02
,02
22
yxL
yxy
L
xyx
L
Vom obţine 2
11 ,
2
12 .
Dacă 2
11 atunci
2
11 x ,
2
11 y ,
2
12 x ,
2
12 y .
Pentru 2
12 avem
2
133 yx şi
2
144 yx .
Avem patru puncte staţionare. Dacă 2
11 avem
Extreme cu legaturi
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
53
12
1, 22
1 yxxyyxL .
Deoarece
121
2
x
L, 11
2
xy
L, 1
21
2
y
L,
deducem că
2221
2 2, dydxdxdydydxyxLd ii , 2 ,1i ,
ca urmare ii yxLd ,1
2 este pozitiv definită, de unde ii yx , sunt puncte de
minim local condiţionat, 2 ,1i .
Pentru 2
12 avem,
12
1, 22
2 yxxyyxL .
Cum
1,22
2
ii yxx
L, 1,2
2
ii yx
yx
L, 1,
22
2
ii yxy
L,
avem
2222
2 2, dydxdxdydydxyxLd ii , 4 ,3i ,
adică ii yxLd ,2
2 este negativ definită şi în concluzie ii yx , , 4 ,3i sunt
puncte de maxim local condiţionat.
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 10
1. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989
2. Craiu M., Tanase V. - “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1980
3. Fihtenholt G.M. – “Curs de calcul diferential si integral, vol. I – III”, Ed. Tehnica, Bucuresti 1963
4. Meghea C. – “Bazele analizei matematice” Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1977
5. Mortici C. – “Lectii de analiza matematica” Ed. ExPonto, Constanta, 2000
6. Smirnov V.I. – “Curs de matematici superioare” vol. I – V, Ed. Tehnica, Bucuresti 1953
Integrala Riemann
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
54
Unitate de învăţare Nr. 11
INTEGRALA RIEMANN
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 11…………………………………………………… 54
11.1 Sume Riemann…………………………………………..…………………………... 54
11.2 Clase de funcţii integrabile…………………………………………..………………. 55
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 11………………………………………….. 56
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 56
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 11…………………………………………………… 56
Integrala Riemann
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
55
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 11
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 11 sunt:
Însuşirea noţiunilor de bază ale teoriei calculului integral Studierea proprietăţilor funcţiilor integrabile Perfecţionarea calculului integral
11.1 Sume Riemann Sume Riemann Definiţie
Se numeşte diviziune a intervalului ba, , notată cu Δ o multime finită de
numere nxxx ,...,, 10 astfel încât
bxxxxa n ...210 .
Numărul
11max
iini
xx
se numeşte norma diviziunii Δ. O mulţime de numere nii 1 cu proprietatea că
iii xx ,1 , ni 1 ,
se numeşte sistem de puncte intermediare asociat diviziunii Δ. Definiţie Numărul real notat
n
iiiii xxff
11 ,
se numeşte suma Riemann asociată funcţiei f , diviziunii Δ şi sistemului de puncte intermediare ξi. Definiţie Funcţia Rbaf ,: se numeşte integrabilă Riemann dacă există RI
cu proprietatea că oricare ar fi 0 , există 0 astfel încât pentru orice diviziune Δ
bxxxxa n ...210
cu norma şi pentru orice alegere a unui sistem de puncte
intermediare
Integrala Riemann
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
56
iii xx ,1 , ni 1 ,
avem If i, .
Numărul I se numeşte integrala Riemann a lui f pe intervalul ba, şi se
notează dxxfIb
a .
Teoremă Fie Rbaf ,: . Următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1) f este integrabilă Riemann; 2) există RI astfel încât pentru orice şir de diviziuni 1 nn ale inter-
valului ba, cu 0lim n
n şi pentru orcie şir de sisteme de puncte inter-
mediare 1 nni , nji 1 , rezultă şirul sumelor Riemann
1,
n
nif
n
este convergent la I. Corolar Dacă R1,0:f este o funcţie integrabilă Riemann atunci
n
kn
dxxfn
kf
n 1
1
0
1lim .
11.2 Clase de funcţii integrabile
Proprietăţi ale funcţiilor
integrabile
Teoreme Orice funcţie monotonă Rbaf ,: este integrabilă. Orice funcţie continuă Rbaf ,: este integrabilă. Orice funcţie integrabilă Riemann, Rbaf ,: , este mărginită. O funcţie Rbaf ,: este integrabilă dacă şi numai dacă este mărginită şi continuă aproape peste tot. Fie Rbaf ,: . Dacă este integrabilă şi admite primitiva F pe ba, atunci
b
aaFbFdxxf .
Integrala Riemann
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
57
Test de autoevaluare 11.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Dacă Rbaf ,: este integrabilă atunci pentru orice badc ,, , res-
tricţia dcf ,| este integrabilă.
Răspunsul la test se găseşte la pagina .
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 11. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 11 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 11
Folosind noţiunea integralei definite calculaţi limita şirului:
222
1...
21
n
n
nnan
.
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 11.2 Notăm dcfg ,| , f , g mulţimea punctelor de discontinuitate ale
funcţiilor f şi g. Deoarece f este integrabilă, avem că f este mărginită şi continuă a.p.t., adică f este neglijabilă. În particular, rezultă că g este mărginită şi cum
fg ,
g este neglijabilă, prin urmare g este integrabilă.
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 11
1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si matematici speciale”, Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004
2. Meghea C. – “Bazele analizei matematice” Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1977
3. Mortici C. – “Lectii de analiza matematica” Ed. ExPonto, Constanta, 2000
4. Smirnov V.I. – “Curs de matematici superioare” vol. I – V, Ed. Tehnica, Bucuresti 1953
Integrale improprii
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
58
Unitate de învăţare Nr. 12
INTEGRLE IMPROPRII
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 12…………………………………………………… 58
12.1 Integrale improprii de speţa întâi……………………………………………………. 58
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 12………………………………………….. 60
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 60
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 12…………………………………………………… 60
Integrale improprii
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
59
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 12
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 12 sunt:
Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea cunoştinţelor teoretice în aplicaţiile practice.
Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în analiza şi rezolvarea oricărei aplicaţii de calcul integral ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma (Mecanica, Rezistenta, etc.).
12.1 Integrale improprii
Integrale improprii de speţa întâi
Vom convenii să numim integrale improprii (sau generalizate) integralele pentru care lungimea intervalului de integrare ba, este infinită sau f nu este mărginită în [a, b] şi vom utiliza următoarea clasificare a acestora: 1. O integrală este de speţa întâi (sau de primul tip) dacă ab , deci de forma:
adxxf ,
bdxxf ,
dxxf , Rba, ,
f fiind mărginită pe intervalul de integrare. 2. O integrală improprie este de speţa a doua (sau de-al doilea tip) dacă
ab dar f nu este mărginită în ba, . 3. O integrală improprie este de speţa a treia (sau de-al treilea tip) dacă atăt intervalul de integrare este de lungime infinită cât şi f este nemăr-ginită în acest interval de integrare. Definiţie O funcţie RR If : , I interval (mărginit sau nemărginit) se numeşte local integrabilă pe I dacă este integrabilă pe orice interval compact inclus în I. Definiţie Fie R,: af local integrabilă pe ,a . Definim
a
b
abdxxfdxxf lim ,
dacă limita există şi este finită. În acest caz integrala se numeşte convergentă. O integrală care nu este convergentă se numeşte divergentă. Dacă R bf ,: şi f este local integrabilă pe b, , definim
b b
aadxxfdxxf lim .
Integrale improprii
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
60
De asemenea,
b
abadxxfdxxf
,,lim .
integrala fiind convergentă dacă limita există şi este finită şi divergentă în caz contrar. Teoremă Fie R,:, agf , f, g local integrabile pe ,a , 0g , astfel încât există
*R xg
xfl
xlim .
Atunci
adxxf şi
adxxg au aceeaşi natură (sunt ambele
convergente sau ambele divergente). Fie R,: af o funcţie local integrabil pe ,a , astfel încât există şi este finită
xfxlx
lim .
Atunci
adxxf este:
a) convergentă, dacă 1 ; b) divergentă, dacă 1 .
Test de autoevaluare 12.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Calculaţi integrala
a px
dx, 1a .
Răspunsul la test se găseşte la pagina .
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 12. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 12 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Integrale improprii
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
61
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 12
Demonstraţi că integralele improprii
a
xdxex , 0a
Sunt convergente pentru orcie R .
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 12.1 Evident dacă ab avem
ppb
a p abpx
dx
11
1
1, 1p ,
b
a
x
dxb
a p ln , 1p .
Ca urmare
b
a
p
pb p
a
x
dx
1lim
1
,
Dacă 101 pp . Pentru 1p deducem că integrala este divergen-tă.
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 12
1. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989
2. Craiu M., Tanase V. - “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1980
3. Fihtenholt G.M. – “Curs de calcul diferential si integral, vol. I – III”, Ed. Tehnica, Bucuresti 1963
4. Meghea C. – “Bazele analizei matematice” Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1977
5. Mortici C. – “Lectii de analiza matematica” Ed. ExPonto, Constanta, 2000
6. Smirnov V.I. – “Curs de matematici superioare” vol. I – V, Ed. Tehnica, Bucuresti 1953
Integrale duble
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
62
Unitate de învăţare Nr. 13
INTEGRALE DUBLE
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 13…………………………………………………… 62
13.1 Definiţia integralei duble. Proprietăţi ale integralei duble. Metode de calcul............. 62
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 13………………………………………….. 64
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 65
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 13…………………………………………………… 65
Integrale duble
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
63
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 13
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 13 sunt:
Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea cunoştinţelor teoretice în aplicatţile practice.
Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în analiza şi rezolvarea oricărei aplicaţii de calculul integralelor duble ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma (Mecanica, Rezistenta, etc.).
Integrale duble
13.1 Definiţia integralei duble. Proprietăţi ale
integralei duble. Metode de
calcul
Fie RR 2: Df , D domeniu compact. Spunem că f este integrabilă Riemann pe D dacă există un număr I cu proprietatea că pentru orice
0 , există un număr 0 astfel încât pentru orice diviziune Δ cu
şi oricare ar fi alegerea ounctelor intermediare iii D , să
avem
If ii ,, .
În acest caz numărul I se numeşte integrala Riemann a funcţiei f pe do-meniul D şi folosim notaţia
D
dxdyyxfI , .
Dacă 0f pe D, atunci D dxdyyxf , reprezintă volumul cilindrului
despre care am discutat la începutul paragrafului. Propoziţie Dacă f este integrabilă pe D şi R , atunci f este integrabilă pe D şi are loc
dxdyyxfdxdyyxfD
D ,, .
Propoziţie Dacă f şi g sunt două funcţii integrabile pe D atunci şi funcţia gf este integrabilă pe D şi
dxdyyxgdxdyyxfdxdyyxgyxfD
DD
,,,, .
Propoziţie Dacă 21 DDD unde D1 şi D2 sunt domenii compacte, D1 şi D2 nu au puncte interioare comune şi f este integrabilă peD, atunci
Integrale duble
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
64
dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxfDD
D
21
,,, .
Propoziţie Dacă Mfm pe D şi f este integrabilă pe D atunci
m aria D
MdxdyyxfD , aria D.
Propoziţie
D
Ddxdy aria .
Teorema Fie R dcbaf ,,: mărginită. Dacă:
a) f este integrabilă pe dcba ,, ;
b) pentru orice bax , , există integrala
xFdyyxfd
c ,
atunci există b
adxxF şi are loc egalitatea
dxdyyxfdxxFdxdyyxfb
a
b
a
d
cD
,, .
Teoremă Dacă R dcbaf ,,: este mărginită şi
a) f este integrabilă pe dcba ,, ;
b)pentru orice dcy , , există b
a
yGdxyxf , , atunci g este
integrabilă pe dc, şi are loc:
dydxyxfdxdyyxfd
c
b
aD
,, .
Teoremă Fie D un domeniu compact, simplu în raport cu axa Oy,
xyxbxayxD 21,|, ,
RDf : o funcţie mărginită astfel încăt: a) f este integrabilă pe D;
b) pentru orice bax , , există integrala
dyyxfx
x
2
1
, .
Integrale duble
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
65
Atunci există integrala
dxdyyxfb
a
x
x
2
1
, şi are loc egalitatea
dxdyyxfdxdyyxfb
a
x
xD
2
1
,, .
Teoremă Fie D un domeniu compact, simplu în raport cu axa Ox,
yxydycyxD 21,, ,
RDf : mărginită. Dacă: a) f este integrabilă pe D ;
b) pentru orice dcy , există
dxyxfx
x
2
1
, .
Atunci există integrala
dydxyxfd
c
x
x
2
1
, şi are loc egalitatea
dydxyxfdxdyyxfd
c
x
xD
2
1
,, .
Test de autoevaluare 13.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.
Să se calculeze D
dxdyyxI ln , unde 2,11,0 D .
Răspunsul la test se găseşte la pagina .
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 13. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 13 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 13
Să se calculeze
D
yxI dxdy 2 ,
unde D este domeniul mărginit pe dreptele xy şi are parabola 2xy .
Integrale duble
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
66
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 13.1 Deoarece f este continuă pe D avem
.2
32ln43ln
2
9 11ln12ln2
|ln ln
1
0
1
0
1
0
21
2
1
dxxxxx
dxyyxyxdxdyyxI
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 13
1. Craiu M., Tanase V. - “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1980
2. Fihtenholt G.M. – “Curs de calcul diferential si integral, vol. I – III”, Ed. Tehnica, Bucuresti 1963
3. Meghea C. – “Bazele analizei matematice” Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1977
4. Mortici C. – “Lectii de analiza matematica” Ed. ExPonto, Constanta, 2000
5. Smirnov V.I. – “Curs de matematici superioare” vol. I – V, Ed. Tehnica, Bucuresti 1953
Integrale triple
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
67
Unitate de învăţare Nr. 14
INTEGRALE TRIPLE
Cuprins
Pagina
Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 14…………………………………………………… 67
14.1 Definiţia integralei triple. Calculul integralei triple…………………………………. 67
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 14………………………………………….. 68
Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 68
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 14…………………………………………………… 69
Integrale triple
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
68
OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 14
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 14 sunt:
Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea cunoştinţelor teoretice în aplicaţiile practice.
Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în analiza şi rezolvarea oricărei aplicaţii de calculul integralelor triple ce apar în practică sau la disciplinele ce vor urma (Mecanica, Rezistenta, etc.).
Integrale triple
14.1 Definiţia integralei triple.
Calculul integralei triple
Definiţie Fie RUf : mărginită pe 3RU domeniu compact. Vom spune că f este integrabilă Riemann pe U dacă există RI cu proprietatea că pentru orice 0 există 0 astfel încât pentru orice şi oricare ar fi
alegerea punctelor intermediare iiii U ,, să rezulte
If iii ,,, .
În acest caz numărul I se numeşte integrala Riemann a funcţiei f pe domeniul U şi vom nota
UU
dVzyxfdxdydzxyxfI ,,,, .
Teoremă Fie R fedcaf ,,,: o funcţie mărginită. Dacă:
1) f este integrabilă pe fedcbaI ,,, ;
2) pentru orice dcbaDyx ,,, există
f
e
yxFdzyxf ,,, ,
atunci există dxdyyxFD
, şi are loc egalitatea
dxdydzzyxfdxdyyxFdxdydzzyxf
D
f
eDI
,,,,, .
Teoremă Fie 3RU un domeniu simplu în raport cu axa Oz şi RUf : o funcţie mărginită. Dacă: a) f este integrabilă pe U ;
b) pentru orice Dyx , , există integrala
dzzyxfyx
yx
,
,
2
1
,, atunci există şi
integrala
Integrale triple
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
69
dxdydzzyxfD
yx
yx
,
,
2
1
,,
şi are loc egalitatea
dxdydzzyxfdxdydzxyxfD
yx
yxU
,
,
2
1
,,,, .
Test de autoevaluare 14.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.
Să se calculeze I
dxdydzyxJ 2 unde 1,02,11,0 I .
Răspunsul la test se găseşte la pagina .
În loc de rezumat
Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 14. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 14 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.
Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 14
Să se calculeze integrala triplă
U
dxdydzzyxI2/32221
unde 1: 222 zyxU .
Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 14.1 În acest caz avem 2,11,0 D şi ca urmare,
.2
1
|
1
0
2
1
2
210
21
0
2
dxdyyx
dxdyyxdxdyyzxdxdydzyxJDD
zzD
Integrale triple
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
70
Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 14
1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si matematici speciale”,Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004
2. Boboc N. – “Analiza matematica”, partea I si II, Ed. Universitatii Bucuresti, 1988
3. Colojoara I. – “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1983
4. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989
Bibliografie
…
71
BIBLIOGRAFIE
1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si matematici speciale”,Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004
2. Boboc N. – “Analiza matematica”, partea I si II, Ed. Universitatii Bucuresti, 1988 3. Colojoara I. – “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1983 4. Craiu M., Tanase V. - “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti
1980 5. Arama L., Morozan T. – “Culegere de probleme de calcul diferential si integral”, Ed.
Tehnica, Bucuresti 1977 6. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica,
Bucuresti 1989 7. Rosculet M. - “Culegere de probleme de analiza matematica” Ed. Didactica si
Pedagogica, Bucuresti, 1976 8. Demidovici D.P. – “Problems in Mathematical Analysis”, Mir Publishers, Moskow,
1976 9. Donciu N., Flondor D. – “Algebra si analiza matematica” (culegere de probleme),
Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1979 10. Flondor P. – “Lectii de analiza matematica si exercitii rezolvate”, Ed. All, Bucuresti,
1998.
...