Post on 19-Jan-2016
transcript
CAPITOLUL 12
SOLICITĂRI DINAMICE
12.11. CONSIDERAŢII GENERALE
În foarte multe aplicaţii inginereşti şi în special în construcţiile
de maşini se întâlnesc piese şi sarcini care nu satisfac condiţiile
solicitării statice, admisă până acum. Solicitările dinamice sunt
rezultat al mişcării piesei studiate, sau al altor corpuri, care aplică,
asupra ei sarcini dinamice.
La solicitarea staticǎ se admite că vitezele şi acceleraţiile sunt,
practic, nule, la cea dinamică intervin şi aceste mǎrimi cinematice, în
cele mai variate feluri: constante (un volant în mişcare de rotaţie
uniformă), variabile continuu, variabile cu discontinuităţi.
O sistematizare a modului de variaţie a acestor mărimi
cinematice, după efectul mecanic asupra piesei studiate, permite
gruparea solicitărilor dinamice astfel:
a). Solicitări prin forţe de inerţie, datorate unor acceleraţii mari,
constante sau variabile continuu, întâlnite la: cabluri de ascensoare,
volanţi, discuri de şlefuit, rotori de turbine etc.
b). Solicitări prin şocuri, cauzate de variaţii bruşte (discontinui) ale
vitezelor şi acceleraţiilor.
c). Solicitări la oboseală, datorate unor variaţii periodice (uneori
aleatoare) ale eforturilor, repetate de un număr mare de ori. Studiul
cinematic şi dinamic al mişcărilor ce au loc la aceste solicitări face
obiectul vibraţiilor mecanice.
264
Aceste 4 capitole mari ale mecanicii corpurilor deformabile
au metode proprii de studiu, adesea fac obiectul unor cursuri şi
tratate separate.
În capitolul de faţă se vor studia numai câteva exemple de
solicitări prin forţe de inerţie şi solicitări prin şocuri.
12.2. SOLICITĂRI PRIN FORŢE DE INERŢIE
Piesele solicitate prin forţe de inerţie se studiază la fel cu cele
solicitate static, dacă se adaugă forţele de inerţie, după care se
determină eforturile, prin metodele cunoscute.
12.2.a. CALCULUL CABLULUl DE MACARA SAU ASCENSOR
În cablul de ascensor, efortul cel mai
mare are loc în perioada de pornire de jos in
sus (Fig. 12.1).
Dacă mişcarea are. loc cu o acceleraţie
, forţa axială în capătul superior al cablului
este:
(12.1)
Fig. 12. 1
Când greutatea cablului este mică în comparaţie cu a cabinei,
q se neglijează.
265
12.2.b. BARA ÎN MIŞCARE DE ROTAŢIE
Tija OA, (fig. 13.2), de greutate p N/mm şi lungime l, are
în capăt o bilă de greutate G şi se roteşte, în plan orizontal, cu vite-
za unghiulară , în jurul punctului O. Se cere să se determine forţa
axială maximă din tijă.
Aceasta forţă are loc în punctul O şi este egală cu forţa
centrifugă a bilei:
plus forţa centrifugă a tijei. Pentru un element din tijǎ, la distanţa
de punctul O, forţa
centrifugă este:
Fig. 12. 2
iar pentru întreaga tijă:
Forţa axială din bară, în punctul O este:
(12. 2)
266
12.2.c. ÎNCOVOIEREA PRODUSǍ DE FORŢELE DE INERŢIE ÎN BIELA
MOTOARE
La mecanismul bielă-manivelǎ (Fig. 12.3), în poziţia în care
unghiul dintre bielă şi manivelă este de 90°, acceleraţiile
perpendiculare pe bielǎ variază aproximativ liniar, având valoarea
maximǎ în punctul B
(butonul de manivelǎ). În realitate,
în capătul P acceleraţia nu este
chiar nulă, ci are valoarea:
Fig. 12. 3
Pentru un raport curent; rezultǎ:
adică o valoare, cu totul neglijabilă;
Admiţând distribuţia triunghiularǎ a componentei normale pe
bielă a acceleraţiei, rezultă o distribuţie triunghiularǎ a forţelor de
inerţie, ca în Fig. 12.3. Dacă A este secţiunea tijei bielei, masa pe
unitatea de lungime este:
iar forţa de inerţie pe unitatea de lungime, calculată în capătul B al
bielei, este:
267
(12. 3)
Biela, fiind încărcată cu o sarcină triunghiularǎ, normalǎ pe axa
longitudinală, corespunde schemei, deci are momentul maxim:
(12.4)
unde s-a înlocuit p prin f1. Dacǎ modulul de rezistenţă al secţiunii tijei
este W, efortul unitar produs în tijă este:
(12. 5)
Acest efort unitar, proporţional cu , are valori însemnate în
special la motoare cu turaţie mare.
12.2.d. CALCULUL APROXIMATIV AL VOLANTULUI
Calculul aproximativ al volantului se face în baza următoarelor
ipoteze simplificatoare:
se neglijează existenţa spitelor;
obada are grosime mică, în comparaţie cu raza R (Fig. 12.4);
se ia în considerare numai efectul forţelor de inerţie, neglijând
greutatea.
În aceasta situaţie, volantul este solicitat numai la întindere.
Făcând o secţiune, ca în Fig. 12.4, b şi scriind echilibrul jumătăţii de
268
volant, se află forţa axialǎ. Un element din coroana volantului,
haşurat pe desen, este supus forţei centrifuge:
Proiectând toate forţele pe verticalǎ, rezultă:
(12. 6)
unde s-a notat cu v viteza centrului
de greutate al secţiunii obezii.
Efortul unitar in volant este:
(12.7)
Se vede cǎ acest efort unitar este independent de aria secţiunii
volantului, deci formula (12.7) nu poate servi la dimensionarea
secţiunii. De fapt, masa volantului se calculează ţinând seama de
energia cinetică pe care trebuie să o acumuleze, volantul. În schimb,
dacă se dă rezistenţa admisibilă, formula poate servi la calculul
269
vitezei admisibile v, din care rezultă raza volantului. Astfel, pentru
volanţi de fontă, dacă se ia şi
rezultǎ:
Dându-se rezultǎ R, sau invers. S-a luat pentru o valoare
atât de micǎ din cauza, calculului aproximativ fǎcut. Calculul exact
aratǎ ca eforturile unitare pot atinge valori mult mai mari decât cele
date de formula (12.7). Pentru oţel rezistenţele admisibile sunt mult
mai mari, fapt care justificǎ, utilizarea volantului de oţel atunci când
nu poate fi realizat din fontă, din cauza depăşirii rezistenţei
admisibile.
Se poate determina şi lungirea coroanei volantului sub efectul
forţelor de inerţie:
(12.8)
Dacǎ lungimea coroanei creşte cu , raza R a volantului se
lungeşte cu:
(12.9)
Atunci când grosimea obezii nu mai este neglijabilǎ, în
comparaţie cu R, eforturile unitare nu se mai distribuie uniform pe
270
secţiune. Calculul exact al volantului, ţinând seama de efectul
spiţelor, este făcut în cursurile de organe de maşini.
12.2.e. EFORTURI ÎNTR-UN INEL CARE SE ÎNVÂRTE ÎN JURUL UNEI AXE
DIAMETRALE
Inelul subţire din Fig. 12.5, de diametru mediu 2R şi secţiune A,
se roteşte în jurul diametrului vertical AB eu viteza unghiularǎ .
Dacă se neglijează efectul greutăţii proprii, deformaţia inelului
Fig. 12. 5 Fig. 12. 6
este simetrică, cum se arată în Fig.13.6.
Într-o secţiune oarecare, definită prin unghiul a faţa de
diametrul orizontal, acceleraţia este:
Asupra unui element de masă din jurul punctului M:
271
acţionează forţa de inerţie orizontală:
iar asupra unităţii de lungime din circumferinţa inelului:
Forţele de inerţie
orizontale sunt, echilibrate
de forţele axiale din
secţiunile A şi B:
Fig.12.7
Forţa axială maximă este:
Pentru a determina celelalte eforturi, trebuie rezolvatǎ problema
static nedeterminatǎ. Se. secţionează un sfert din inel, ca în Fig.
12.7. Considerente de simetrie aratǎ cǎ atât în A cât şi în D forţa
272
tăietoare este nulă. Sistemul este simplu static, nedeterminat,
singura Fig. 12. 7necunoscutǎ fiind: (Momentul MA se aflǎ
apoi dintr-o ecuaţie de echilibru). Într-o secţiune oarecare P, la
unghiul , momentul încovoietor în sistemul de bază este:
În aceastǎ expresie, variabila de integrare este , deci:
Dacǎ în punctul D, în sistemul de bază, se aplică un cuplu egal
cu unitatea, în locul lui X1, într-o secţiune oarecare:
Necunoscuta static nedeterminatǎ se află din relaţia:
Se calculează coeficienţii şi :
273
Faptul că s-a obţinut o valoare pozitivă, arată cǎ momentul
are sensul ales în Fig. 12.7.
Pentru a calcula pe se scrie o ecuaţie de momente, de
exemplu faţă de centrul O al arcului,
de unde rezultǎ:
Într-o secţiune oarecare,
momentul încovoietor este:
(12.10)
274
Fig. 12. 8
Se observă că acest moment se anulează pentru:
Diagrama de momente încovoietoare este desenată în Fig.
12.8.
12.2.f. EFECTUL MONTAJULUI ÎNCLINAT AL UNUI VOLANT PE
ARBORE
Se considerǎ volantul
din Fig. 12.9, în ipoteza
calculului aproximativ descris
anterior, montat, din
greşeală, cu o înclinare
faţǎ de planul normal pe
arbore. Din aceastǎ cauzǎ,
forţele de inerţie caută să redreseze volantul, tinzând a-l aduce în
poziţia corectǎ, dar producând asupra arborelui un cuplu , care
se, adaugă solicitărilor cauzate de funcţionarea normală. Se va
calcula mărimea cuplului datorat montajului greşit.
Un element de arc, de. lungime este supus forţei
Fig.12. 9
de inerţie radiale:
275
Această forţǎ are o componentă verticală:
Se calculează rezultanta forţelor , şi poziţia punctului de
aplicaţie al lor, G:
Cuplul forţelor este:
(12.11)
Se mai poate da şi altă expresie cuplului , în funcţie de
energia cinetică a arborelui. Pentru un inel având toată masa m la
distanţa R de axul de rotaţie, momentul de inerţie este:
276
iar energia cinetică în mişcarea de rotaţie:
(12.12)
Comparând (12.9) cu (12.10), rezultǎ:
(12.13)
Cuplul produce asupra arborelui momente încovoietoare
care depind de locul de aplicare al lui şi modul de rezemare a
arborelui.
APLICAŢIE
Să se calculeze secţiunea unul cablu de ascensor, din oţel cu
, pentru o sarcinǎ , dacǎ el trebuie sǎ ajungă la
viteza de ridicare pe o distanţǎ . Se va neglija masa
cablului.
unde este viteza iniţială ( ) şi durata accelerării. Mişcarea de
ridicare fiind uniform acceleratǎ se poate scrie:
277
Se eliminǎ din formulele de mai sus şi rezultǎ valoarea acceleraţiei:
Forţa care întinde cablul este:
Secţiunea cablului este:
12.3. SOLICITǍRI PRIN ŞOC
Solicitarea prin şoc se produce când asupra unui corp intervine
o variaţie bruscă de viteză. Şocul este urmarea contactului între
corpuri produs într-un timp extrem de scurt. În urma şocului, se
produce o forţǎ de contact foarte mare, greu de evaluat.
În zona de contact dintre corpurile care se lovesc se produc
eforturi unitare locale foarte mari, urmate,de obicei, de apariţia
unor deformaţii permanente. În afarǎ de acestea, şocul se propagǎ,
cu efect mai redus. în toata masa corpurilor ce se lovesc. Din cauza
acestor douǎ efecte, local şi general, studiul şocului prezintă
numeroase dificultǎţi şi face obiectul multor cercetări şi în zilele
278
noastre.
Lăsând la o parte fenomenul local din zona de ciocnire,
solicitarea prin şoc poate fi asimilată unei solicitări statice, din
considerente energetice. Se ajunge astfel la o soluţionare
aproximativǎ a problemei, care va f expusă în cele ce urmează.
12.3.a. SOLICITAREA LA ÎNTINDERE SAU COMPRESIUNE PRIN ŞOC.
SOLICITAREA LA ÎNCOVOIERE PRIN ŞOC
Se consideră bara de lungime l şi secţiune A, din fig. 12.11. a,
în lungul căreia cade o greutate F de la înălţimea h. În momentul în
care greutatea loveşte opritorul, se produce solicitarea la întindere
prin şoc în urma căreia bara suferă o lungire . După atingerea
acestei deformaţii corpul F se opreşte, apoi bara începe să se
scurteze şi se produc o serie de oscilaţii longitudinale ale barei.
Solicitarea la compresiune prin şoc se explică prin schema din fig.
12.11, b, unde bara de lungime l este rezemată pe o placǎ rigidă, iar
greutatea F cade de la înălţimea h.
Considerând cǎ întreaga energie cinetică a greutăţii G, egală cu
lucrul mecanic, produs de forţa G
este cedată barei ca energie de
deformaţie şi folosind expresia (10.4)
a energiei de deformaţie, rezultǎ:
279
Luând ca necunoscutǎ pe . se scrie Fig. 12.10
ecuaţia de gradul al doilea:
a cărei soluţie este:
Este valabilă numai soluţia cu plus, deoarece cea cu minus
conduce la valori negative pentru , ceea. ce este imposibil.
Se vede cǎ în expresia lui apare deformaţia pe care ar
produce-o forţa G dacǎ s-ar aplica static:
(12.14)
Cu aceastǎ notaţie, expresia deformaţiei dinamice devine:
Expresia din paranteză se notează:
280
(12.15)
şi poartǎ numele de multiplicator de impact sau multiplicator de
ciocnire.
Cu notaţia , expresia deformaţiei devine:
(12.16)
Coeficientul are in general valori mari, deoarece , este de
obicei foarte mic. În aceste cazuri se neglijează 1 din faţa radicalului
şi de sub radical în formula (12.15) şi rezultǎ formula simplificată, a
lui :
(12.17)
Uneori, în loc de înălţimea de cădere h se dǎ viteza v a şocului.
În aceste cazuri se foloseşte relaţia căderii libere:
expresia lui devenind:
(12.18)
Deformaţiile fiind proporţionale cu eforturile unitare , în baza
relaţiei (12.16) se poate scrie efortul unitar dinamic:
281
(12.19)
Înlocuind expresia, simplificată. (12.17) şi luând , relaţia
(12.19) se poate transforma în formula de dimensionare:
Ridicând la pătrat, rezultă:
(12.20)
Se observǎ cǎ la dimensionare unei bare solicitate prin şoc
intereseazǎ nu numai secţiunea, ci şi lungimea ei, şi anume cu cât
bara are un volum mai mare, cu atât ea rezistă unui şoc mai puternic.
Dacă se porneşte de la formula (12.15) a lui , se găseşte:
(12.21)
Interesant de examinat este cazul în care o sarcină se aplicǎ
brusc, de la înălţimea . Formula (12.15) dă:
Se poate spune deci că: efectul unei sarcini aplicate brusc, fără
înălţime de cădere, este dublu decât al uneia aplicate static, adică cu
282
mărime crescând lent de la zero pînă la valoarea finală. Aceeaşi
constatare se face şi în baza formulei de dimensionare (12.21) care
pentru înălţimea de cădere nulă se transformă în:
În mod complet analog se tratează problema solicitării la
încovoiere prin şoc. Aşa, spre exemplu, la bara din Fig. 12.11,
exprimând energia de deformaţie în funcţie de săgeata f şi scriind
egalitatea între energia cineticǎ a greutăţii F şi cea de deformaţie a
barei, rezultǎ:
Rezolvarea ecuaţiei în raport cu f dǎ soluţia:
Fig. 12.11
Notând:
se găsesc formule similare cu cele stabilite anterior:
283
(12.22)
(12.23)
Examinând expresia lui , se constată cǎ el este cu atât mai
mare cu cât deformaţia statică ( , sau f,) este mai mică. Când
deformaţia statică este extrem de micǎ, coeficientul ia valori foarte
mari şi. ca urmare, efortul unitar prin şoc devine periculos ducând la
ruperea piesei. Astfel de materiale se numesc fragile. Se ştie că
oţelurile de mare rezistenţǎ se deformează mult mai puţin decât cele
de rezistenţa mică, deci sunt mai fragile. Rezultă de aici cǎ pentru
piesele de maşini supuse la şocuri puternice sunt mai indicate
oţelurile de rezistenţǎ mică.
12.3.b. SOLICITAREA LA RǍSUCIRE PRIN ŞOC
Se considerǎ un arbore de diametru d, pe care se aflǎ un volant
cu momentul de inerţie mare J, în mişcare de rotaţie cu viteza
unghiularǎ (Fig. 12.12). La un moment dat se produce o blocare
bruscă a arborelui, într-o secţiune oarecare F, la distanţa l de la
volant. Aceasta blocare se face într-un timp extrem de scurt, ceea,
ce împiedicǎ producerea de cǎldură prin frecare, aastfel încât
întreaga energie cineticǎ a volantului
se transformǎ în energie de
deformaţie a arborelui. Urmează sǎ se
determine efortul unitar de răsucire
284
produs de către şoc în arbore.
Fig. 12.12
În acest scop se va egala energia cinetică a volantului:
cu energia de deformaţie a arborelui:
Se elimină din această relaţie M, spre a se exprima energia în
funcţie de efortul unitar de la periferia secţiunii arborelui:
Făcând înlocuirile:
rezultǎ:
285
Din egalarea celor douǎ energii:
(12.24)
se calculează . Se observă, că acest efort unitar este cu atât mai
mic cu cât volumul V care participǎ la şoc, deci cu cât lungimea l,
este mai mare.
În ceea ce priveşte, momentul de inerţie masic, pentru un
volant de greutate F, având forma unui disc plin de diametru D,
expresia sa este:
(12.25)
iar dacă volantul are forma unei coroane circulare subţiri, de
diametru mediu D:
(12.26)
Un calcul mai exact aratǎ cǎ J trebuie sǎ includă şi momentul de
inerţie masic al arborelui.
APLICAŢIE
Un pilot de lemn, de dimensiuni şi este bătut cu
un berbec de greutate , căzând de la înǎlţimea . Sǎ se
calculeze efortul unitar produs în pilot în urma loviturilor.
286
Se foloseşte formula aproximativǎ a lui , din care rezultǎ:
Se înlocuiesc valorile numerice:
şi rezultǎ:
Dacǎ pilotul este din stejar, cu şi
valoarea obţinută este admisibilǎ.
12.4. EFECTUL MASEI CORPULUI LOVIT ASUPRA SOLICITĂRII PRIN
ŞOC
În stabilirea expresiei multiplicatorului de impact s-a neglijat
energia cinetică pe care o preia masa barei lovite, diminuând în
acest fel energia de deformaţie, deci reducând efortul şocului. În cele
ce urmează se va arăta cum se ia în considerare efectul masei
proprii a corpului lovit, tratând problema in cazul particular al şocului
axial.
Dacǎ greutatea, P, care cade pe bară. are înainte de şoc viteza
v după şoc va avea o viteză, v egală cu viteza capătului lovit al barei.
Se consideră că viteza diferitelor secţiuni ale barei scade, de-a lungul
ei, liniar, de la v până la zero (în capătul fix), astfel ca într-o secţiune
oarecare, la distanţa , x de la capătul lovit, ea este:
287
Energia cineticǎ a unui element de bară, de lungime dx, situat
la distanţa x de la capătul lovit, este:
Integrând pe lungimea barei, rezultǎ:
unde s-a notat cu greutatea proprie a barei.
Expresia poartă numele de greutate redusă a barei; ca
urmare, energia cinetică a barei se mai scrie:
Coeficientul:
(12.27)
care serveşte la calculul greutăţii reduse:
288
(12.28)
se numeşte coeficient de reducere a greutăţii (sau masei) barei.
Se observă că prin introducerea noţiunii de greutate sau masă
redusă se poate considera că întreaga masă a barei lovite se află în
punctul unde s-a produs şocul şi are, după şoc, viteza v1.
Scriind teorema, conservării impulsului, înainte şi după şoc,
rezultă:
de unde se obţine viteza după şoc:
(12.29)
unde h este înălţimea de cădere a greutăţii P.
Energia cinetică totală a greutăţii P şi a greutăţii reduse kQ, în
momentul imediat după şoc, este:
Adăugând la aceasta lucrul mecanic al forţei P, în timpul
deformaţiei dinamice , se găseşte energia totală care va fi cedată,
barei:
289
Această energie se egalează cu cea, de deformaţie a barei:
(12.30)
şi se repetă aceeaşi succesiune de calcule ca la stabilirea formulei
(12.15), Se observă ca relaţia de mai sus revine la cea anterioară
dacă se introduce o înălţime de cădere redusǎ:
ceea ce face ca expresia lui tf sa devină:
(12.31)
S-a arătat că pentru şocul axial . Pentru o bară simplu
rezemată, supusă unui şoc transversal în mijloc, se găseşte
, pentru bara încastrată, lovită în capătul liber, .
La pilotul de stejar de la aplicaţie, dacă se aplică relaţia
(12.31), se obţine un efort unitar dinamic cu 8% mai mic decât cel
290
calculat anterior.
291