Post on 04-Oct-2015
description
transcript
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 1 -
CALCULUL STRUCTURILOR NEDETERMINATE PRIN METODA FORELOR
(CADRE PLANE)
ACIUNEA FORELOR
1. S se calculeze, prin metoda forelor, structura din figura.1 la aciunea ncrcrilor exterioare indicate.
Date numerice:
3,8 ; 3 ; 30 / ; 48 ; 64L m H m p kN m F kN M kN m= = = = = Rezolvare:
4I0
I0
2I0
F4I0
p
L L/3
3H/4
H
1. Stabilirea gradului de nedeterminare static:
Gradul de nederminare static se stabilete cu relaia: 3-6)(013r)(l3cns =+=+=
Structura este de 3 ori static nedeterminat.
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 2 -
2. Alegerea sistemului de baz: Sistemul de baz reprezint sistemul ataat sistemului static nedeterminat ce are suprimate attea legturi exterioare sau interioare cte sunt necesare transformrii acestuia ntr-un sistem static determinat si incarcat si cu actiunile exterioare (forte, cedari de reazeme, variatii de temperatura etc). Pe direcia fiecrei legturi suprimate se introduce un efort compatibil cu legtura suprimat, notat, de regul, cu
1, 2 , ...X X . n metoda forelor exist, teoretic, o infinitate de sisteme de baz. Dup stabilirea unor modele/variantele de sisteme de baz se va alege pentru rezolvare cel mai convenabil model din punct de vedere al calculelor numerice. Pentru structura din cazul de fa n figurile 2.b,c,d,e sunt prezentate cteva modele de sisteme de baz ce pot fi ataate sistemului nedeterminat. Varianta optim aleas pentru calcule este cea din fig 2. a).
4I0
I0
2I0
F4I0
p
3,8 1,27
2,25
3
X 1
X 2
X 3
a)
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
X3
X2
X1
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
X 3
X1
X2
b) c)
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 3 -
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
X1X1
X2
X2
X3
X3
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
X1
X2
X2
X2
d) e)
Fig. 2 3. Ecuaiile de echilibru elastic se obin prin scrierea condiiilor de compatibilitate pe direcia legturilor suprimate:
- ideplasarea absolut pe direcia necunoscutelor iX este nul:
Relaia de mai sus, explicitat, are forma:
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
0
0
0
p
p
p
X X XX X XX X X
+ + + = + + + = + + + =
4. Calculul coeficienilor i al termenilor liberi
4.1. Coeficienii principali i secundari:
- se calculeaz cu relaiile:
= l ii dxEIMM
ii 0
=== l ijl ji dxEIMMdx
EIMM
jiij 00
- unde Mi si Mj: momentele ncovoietoare produse pe sistemul de baz static determinat de ncrcrile cu necunoscutele iX =1, respectiv jX =1 (stare reala).
Pentru calculul deplasarilor ij se vor aplica forte virtuale de intensitate 1 n punctele i pe direciile deplasrilor ce urmeaz a fi calculate, diagramele de eforturi fiind identice diagramelor de eforturi determinate de incarcarile Xi=1.
- Sistemul de baza incrcat cu 1X = 1:
0i
aX =
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 4 -
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
5,25
3
M1
1 1X = 0; 1 3 3 ; 0; 3 ;
1 5, 25 5, 25 ; 5, 25 ; 5, 25 .
AB CB BDA B B BBD DED D E
M M kN m M M kN mM kN m M kN m M kN
= = = = = = = = =
- Sistemul de baza incrcat cu 2X = 1:
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D
E
M2
5,07
2 1X = 0A B C DM M M M= = = =
5,07EM kN m=
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 5 -
- Sistemul de baza incrcat cu 3X = 1: 3 1X = 0AM = ;
0; 1 3,8 3,8 ; 0; 3,8 ; 3,8 ;CB AB BC BDC B B B DM M kN m M M kN m M kN m= = = = = = 3,8 ; 1,27DED EM kN m M kN m= =
3,8 1,27
2,25
3
A
B
C
D
E
M3
3,8
3,8
1,27
Calculul coeficienilor sistemului de ecuaii:
2 21 111
0 0 00
0 0 0 0
1 1 2 2,25 1( 3 3) ( 3) (2 3 2 5, 25 2 3 5, 25) 5, 25 5,07 5, 252 2 3 6 4
4,5 39, 23 34,94 78,67
l M M dxEI E I E I E I
EI EI EI EI
= = + + + + = = + + =
2 222
0 00
1 1 2 10,865,07 5,07 5,074 2 3
l M M dxEI E I EI
= = = 3 3
330 00
2 2
0
0 0 0 0
1 1 2 13,8 3,8 3,8 3,8 2, 25 3,84 2 3
5,07 (2 3,8 2 1,27 2 3,8 1, 27)6 44,57 32,49 4,74 41,8
l M M dxEI E I E I
E I
EI EI EI EI
= = + + + + == + + =
1 2 2 112 21
0 00 0
1 5,07 5,07 16,875,254 2
l LM M M Mdx dxEI EI E I EI
= = = = =
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 6 -
1 313 31
00
0
0 0 0
1 (3 5, 25) 2, 25 3,82
5,07 (2 5, 25 3,8 2 5, 25 1, 27 5, 25 1, 27 5, 25 3,8)6 435,27 8,42 43,69
l M M dxEI E I
E I
EI EI EI
+ = = = ++ + = = + =
2 323 32
0 00
5,07 1,35(2 5,07 1,27 5,07 3,8)6 4
l M M dxEI E I EI
= = = = Suma coeficienilor:
, 178,67 10,86 41,8 2 (43,69 16,87 1,35) 182, 27
snISS ij
i j
== = + + + =
4.2. Termenii liberi se calculeaz cu relaia:
0
lp i
ip
M Mdx
EI =
unde pM reprezint momentul produs pe sistemul de baz static determinat de ncrcrile exterioare.
11
00
0
0 0 0
2, 25 (2 216,6 3 2 108,6 5,25 216,6 5, 25 108,6 3)65,07 ( 2 108,6 5, 25 2 469,36 5, 25 108,6 5, 25 469,36 5, 25)
6 41463,56 1200,32 263,24
lp
p
M Mdx
EI E I
E I
EI EI EI
= = + + + ++ + + == + =
48 kN30 kN/m
3,8 1,27
2,25
3
A
CB
DE
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 7 -
3,8 1,27
2,25
3
216,6
108,6
469,36
Mp
22
0 00
5,07 889,09( 2 469,36 5,07 108,6 5,07)6 4
lp
p
M Mdx
EI E I EI = = + =
33
00
0
0
0 0 0 0
1 1 3( 3,8 216,6) 3,84 3 4
1 (216,6 108,6) 2.25 3,82
5,07 ( 2 108,6 3,8 2 469,36 1, 27 108,6 1,27 469,36 3,8)6 4
195, 48 1390, 23 20,29 1606
lp
p
M Mdx
EI E I
E I
E I
EI EI EI EI
= = + +
+ + + == =
Suma termenilor liberi:
1263, 24 889,09 1606 2758.33
snISp ip
i= = = =
5. Verificarea coeficienilor i a termenilor liberi. Coeficienii sunt corect calculai dac este ndeplinit condiia:
2
1 1 0
s s ln nII s
ij SSi j
M dxEI
= =
= =
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 8 -
3,8 1,27
2,25
3Mss
33,8
9,05
1,09
6,8
2
00
0
2 2
0
2 2
0
0 0 0 0 0
1 1 2( 3 3) 32 2 31 1 2( 3,8 3,8) 3,84 2 3
2, 25 (2 6,8 2 9,05 2 6,8 9,05)6
5,07 (2 9,05 2 1,09 2 9,05 1,09)6 44,5 4,57 142,26 30,94 182, 27
lII sSS
M dxEI E I
E I
E I
E I
EI EI EI EI EI
= = ++ ++ + + ++ + == + + + =
I IISS SS =
Condiie ndeplinit, coeficienii sunt corect calculai.
Termenii liberi sunt corect calculai dac este ndeplinit condiia:
1 0
s lnp sII
ip Spi
M Mdx
EI=
= =
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 9 -
00
0
0 0
1 1 3216,6 3,8 3,84 3 4
2,25 (2 216,6 6,8 2 108,6 9,05 108,6 6,8 216,6 9,05)6
5,07 2758.33( 2 108,6 9,05 2 469,36 1,09 463,36 9,05 108,6 1,09)6 4
lp s
sp
M Mdx
EI E I
E I
E I EI
= = + + + ++ + + =
I IISS SS =
Condiie ndeplinit, termenii liberi sunt corect calculai.
6. Rezolvarea sistemului de ecuaii: 11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
0
0
0
p
p
p
X X XX X XX X X
+ + + = + + + = + + + =
1 2 30 0 0 0
1 2 30 0 0 0
1 2 30 0 0 0
78,67 16,87 43,69 263, 24 0
16,87 10,86 1,35 889,09 0
43,39 1,35 41,8 1606 0
X X XEI EI EI EI
X X XEI EI EI EI
X X XEI EI EI EI
+ = + = + =
sau
1 2 3
1 2 3
1 2 3
78,67 16,87 43,69 263, 2416,87 10,86 1,35 889,09
43,39 1,35 41,8 1606
X X XX X X
X X X
+ = + = + =
avnd soluia:
1
2
3
6.29377.9947.472
X kNX kNX kN
= ==
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 10 -
7. Trasarea diagramelor finale de eforturi:
3.8 1.27
2.25
3.0
48 kN
30 kN/m
6.29 kN
47.47 kN
77.99 kN
-N
-
77.99 kN
11.46 kN
41.71 kN
-
+
-
6.29 kN
41.71 kN
Q
47.47 kN
66.53 kN +-
11.46 kN
+
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 11 -
M
39.37 kNm
19.34 kNm
54.48 kNm
18.87 kNm
35.61 kNm37.55 kNm
1.58 m
8. Verificarea diagramelor de eforturi:
8.1 Verificri de echilibru static:
- Verificarea nodului B:
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 12 -
41.71 48 6.29 0
77.99 11, 46 66.53 0
54.48 18.87 35.61 0
X
Y
M
= + == == + + =
- Verificarea diagramei de momente final M, se face cu ajutorul principiului lucrului mecanic
virtual pe mecanismul de etaj din figura de mai jos:
M
39.37 kNm
54.48 kNm
18.87 kNm
48 kN
1=/2.25
2=/3
( )1 2( ) (39.37 54.48) 48 18.87 39.37 54.48 48 18.87 02.25 3LMV
= + + = + + =
8.2. Verificri elastice a diagramei finale a momentelor ncovoietoare:
Diagrama final a momentelor ncovoietoare este corect trasat dac este satisfcut condiia:
0
0i
l fi
XM M dx
EI = =
1
1
0
0 0
5,07 (2 39.37 5.25 2 19.34 5.25 39.37 5.25 19.34 5.25)6 4
2.25 1 1 2(2 39.37 5.25 2 3 54.48 39.37 3 54.48 5.25) 18.87 3 3 04 2 3
l f
XM M dx
EI E I
E I E I
= = + ++ + =
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 13 -
CEDRI DE REAZEME 2. S se calculeze structura din figura de mai jos, la aciunea cedrilor de reazeme, prin metoda forelor.
Date numerice:
03,8 ; 3 ; 30 / ; 48 ; 1 ; 1, 4L m H m p kN m F kN v cm = = = = = =
3,8m 1,27m
2,25m
3m
A
B
C
D E
v
1. Se adopt acelai sistem de baz:
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 14 -
2. Sistemul de ecuaii de echilibru elastic are forma:
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
c
c
c
X X X LX X X LX X X L
+ + = + + = + + =
3. Coeficienii au valorile:
2 21 1
110 0 00
0 0 0 0
1 1 2 2,25 1( 3 3) ( 3) (2 3 2 5, 25 2 3 5, 25) 5, 25 5,07 5, 252 2 3 6 4
4,5 39, 23 34,94 78,67
l M M dxEI E I E I E I
EI EI EI EI
= = + + + + = = + + =
2 222
0 00
1 1 2 10,865,07 5,07 5,074 2 3
l M M dxEI E I EI
= = =
3 333
0 00
2 2
0
0 0 0 0
1 1 2 13,8 3,8 3,8 3,8 2, 25 3,84 2 3
5,07 (2 3,8 2 1,27 2 3,8 1, 27)6 44,57 32,49 4,74 41,8
l M M dxEI E I E I
E I
EI EI EI EI
= = + + + + == + + =
1 2 2 112 21
0 00 0
1 5,07 5,07 16,875,254 2
l LM M M Mdx dxEI EI E I EI
= = = = =
1 313 31
00
0
0 0 0
1 (3 5,25) 2, 25 3,82
5,07 (2 5, 25 3,8 2 5,25 1,27 5, 25 1,27 5, 25 3,8)6 435, 27 8, 42 43,69
l M M dxEI E I
E I
EI EI EI
+ = = = ++ + = = + =
2 323 32
0 00
5,07 1,35(2 5,07 1,27 5,07 3,8)6 4
l M M dxEI E I EI
= = = = 1 2
12 210 00
1 5,07 16,87(5,25 5,07)4 2
l M M dxEI E I EI
= = = = Suma coeficienilor:
, 178,67 10,86 41,8 2 (43,69 16,87 1,35) 182, 27
snISS ij
i j
== = + + + =
4. Calculul termenilor liberi:
Termenii liberi se calculeaz cu relaia general:
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 15 -
( )1
ikic i kL R=
unde : - 1 - aciunea virtual (for/moment sau cuplu de fore/momente) aplicat pe fiecarea din direciile Xi; - i - cedarea de reazem corespunztoare direciei necunoscute Xi; -
( )ikR reaciunile din reazemul k determinate aciunea virtual 1.
Sistemul se ncarc pe fiecare direcie Xi , consecutiv, cu o aciunea virtual 1 i se determin reaciunile corespunztoare ale sistemului de baz.
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
Rx1,1
X1
Rx1,2
1,1 1 5,25 5,25xR = = 1,1 1 1xR = =
11, 41 0 1 0 5,25 0,128180c
L = + =
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 16 -
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
Rx2,1
X2
Rx2,2
2,1 1 5,07 5,07xR = =
2,1 1 1xR = = 2
1, 41 0 1 0 5,07 0,124180c
L = + + =
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
Rx3,2
X3
Rx3,1
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 17 -
3,1 1 1,27 1,27xR = = 3,1 1xR = 2
1, 41 0,01 1 0 1,27 0,021180c
L = + + =
1
0,128 0,124 0, 021 0, 017sn
ici
L=
= + + =
5. Verificarea termenilor liberi: Termenii liberi sunt corect calculai dac este ndeplinit urmtoarea relaie:
( )
1( 1 ) ( )
sn skic sc i k
iL L R
== = +
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
Rs3
X3
Rs2
X1
X2
Rs1
1 1sR = 2 2sR = 3 1 1,27 1 5,25 1 5,07 1,09sR = + =
1, 4 3,14151 0, 01 1 0 2 0 1,09 0, 017180sc
L = + + + = Termenii liber sunt corect calculai.
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 18 -
6. Rezolvarea sistemului de ecuaii:
Produsul: 7 4 3 20 2,1 10 72 10 151,2 10E I kN m
= =
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
c
c
c
X X X LX X X LX X X L
+ + = + + = + + =
31 2 3
31 2 3
31 2 3
78, 67 16,87 43, 69 19,3536 10
16,87 10,86 1,35 18, 7488 10
43,39 1,35 41,8 3,1752 10
X X XX X X
X X X
+ = + = + =
Soluia sistemului:
X
391.395
2.302 103258.775
=
7. Trasarea diagramelor de eforturi finale: Sistemul de baz devine:
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
258,775
2302
391,395
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 19 -
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D E
2302
2043,225
391,395
N Diagrama final a eforturilor axiale
Q Diagrama final a forelor tietoare
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 20 -
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
983,345
1071,478
1174,185190,84 9287,672
1071,478
M
M Diagrama final a momentelor ncovoietoare Verificarea diagramei de momente, prin LMV:
M
1071.48 kNm
190.84 kNm
1174.18 kNm
1=/2.25
2=/3
1 2( ) ( 1071.48 190.84) 1174.18 ( 1071.48 190.84) 1174.18 02.25 3LMV = + + = + + =
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 21 -
ACIUNEA VARIAIEI DE TEMPERATUR
3. S se calculeze structura din figura de mai jos la aciunea variaiilor neuniforme de temperatur, aplicnd metoda forelor:
Date numerice
35 5 2 4
040 603,8 ; 3 ; 10 ; 2,1 10 / ;
12tL m H m E daN cm I cm = = = = =
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
DE
100100
100 200
80
Din relaia:
34
040 60
12I cm=
- pentru bara avnd momentul de inerie 0I 3
0 0, 4 ; 0, 612b hI b m h m= = =
30 0nI Ih h n=
- pentru bara avnd momentul de inerie 02I
0 0
0
3 32
22 7512 12I I
I
b h b hh cm
= = - pentru bara avnd momentul de inerie 04I
0 0
0
3 34
44 9512 12I I
I
b h b hh cm
= =
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 22 -
1. Sistemul de baz:
o Pentru c se adopt acelai sistem de baz coeficienii sistemului de ecuaii de condiie nu se modific.
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
DE
100100
100 200
80
X1
X2
X3
2. Sistemul de ecuaii de condiii:
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
000
t
t
t
X X XX X XX X X
+ + + = + + + = + + + =
8. 3. Calculul coeficienilor sistemului de ecuaii:
2 21 1
110 0 00
0 0 0 0
1 1 2 2,25 1( 3 3) ( 3) (2 3 2 5, 25 2 3 5, 25) 5, 25 5,07 5, 252 2 3 6 4
4,5 39, 23 34,94 78,67
l M M dxEI E I E I E I
EI EI EI EI
= = + + + + = = + + =
2 222
0 00
1 1 2 10,865,07 5,07 5,074 2 3
l M M dxEI E I EI
= = =
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 23 -
3 333
0 00
2 2
0
0 0 0 0
1 1 2 13,8 3,8 3,8 3,8 2, 25 3,84 2 3
5,07 (2 3,8 2 1,27 2 3,8 1, 27)6 44,57 32,49 4,74 41,8
l M M dxEI E I E I
E I
EI EI EI EI
= = + + + + == + + =
1 2 2 112 21
0 00 0
1 5,07 5,07 16,875,254 2
l LM M M Mdx dxEI EI E I EI
= = = = =
1 313 31
00
0
0 0 0
1 (3 5, 25) 2, 25 3,82
5,07 (2 5, 25 3,8 2 5, 25 1, 27 5, 25 1, 27 5, 25 3,8)6 435,27 8,42 43,69
l M M dxEI E I
E I
EI EI EI
+ = = = ++ + = = + =
2 323 32
0 00
5,07 1,35(2 5,07 1,27 5,07 3,8)6 4
l M M dxEI E I EI
= = = = 1 2
12 210 00
1 5,07 16,87(5,25 5,07)4 2
l M M dxEI E I EI
= = = = 4. Calculul termenilor liberi: Relaia general de calcul a termenilor liberi este:
i i
oo
it t ax tN Mtth
= n care:
t - coeficientul de variaie termic liniar - 5 110t oC ;
oaxt - temperatura n axul barei (temperatura medie): 2
o oo i eax
t tt += ; ot - diferena de temperatur ntre fibrele extreme ale seciunii transversale a barei: o o oi et t t = ;
h - nlimea seciunii transversale a barei; Diagramele de momente fiind trasate la prima aplicaie (aciunea forelor exterioare), acum se
traseaz suplimentar diagramele de fore axiale din aciuni (fore/momente sau cupluri de fore/momente) egale cu 1, aplicate pe direciile legturilor suprimate.
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 24 -
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D E
X =11
N1
1
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D E
X =12
N2
1
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D E
X =12N3
1
- Determinarea temperaturilor n axul barei i a diferenelor de temperatur:
2
o oo o o oi eax i e
t tt t t t+= = BARA ti te Dt tax
AB 20 10 10 15
BC 20 10 10 15
BD 10 10 0 10
DE 10 8 2 9
Fibrele tensionate datorit diferenei de temperatur sunt figurate cu linie discontinu
n figura de mai jos:
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 25 -
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D E
100100
100 200
80
X1
X2
X3
Valorile termenilor liberi sunt:
1 1 1 111 , , , , ,
5 5 5
( )
10 1 210 9 5,07 10 ( 3 3 0 0 5,07 5, 25) 156, 41 100,75 2 0,95
oo o oo BCAB BD DE
t t ax DE tN M AB M BD M BC M DEAB BD BC DE
tt t tth h h h
= + + + =
= + + + =
2 2 2 222 , ,2, , , , , ,
5 5 5
( ) ( )
2 110 ( 15 3 10 2, 25) 10 (0 0 0 5,07 5,07) 40,84 100,95 2
oo o oo o BCAB BD DE
t t ax AB ax BD tN AB N BD M AB M BD M BC M DEAB BD BC DE
tt t tt th h h h
= + =
= + + + + =
3 3 3 33 , 3, , , , ,
5 5 5
( )
10 1 2 1 110 10 2, 25 10 [0 0 3,8 3,8 ( 3,8 3,8 1, 27 1, 27)] 39,086 100,95 2 0,95 2 2
oo o oo BCAB BD DE
t t ax BD tN BD M AB M BD M BC M DEAB BD BC DE
tt t tth h h h
= + =
= + + + + + =
5 5( 156,41 40,84 39,086) 10 158,164 10it
= + = 5. Verificarea termenilor liberi:
Termenii liberi sunt corect calculai dac este ndeplinit condiia:
s s
oo
it st t ax tN M
tth
= =
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 26 -
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D E
Ns
1
2
1
3,8 1,27
2,25
3Mss
33,8
9,05
1,09
6,8
5 5
5
10 1 10 110 ( 15 3 10 4,5 9 5,07) 10 [ 3 3 3,8 3,80,75 2 0,95 2
2 1 1( 4, 25 9,05 1,09 0,545)] 158,14 100,95 2 2
st
= + + +
+ + =
6. Rezolvarea sistemului de ecuaii:
7 4 3 20 2,1 10 72 10 151, 2 10E I kN m
= =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
78,67 16,87 43,69 236,516,87 10,86 1,35 61,75
43,69 1,35 41,8 59,1
X X XX X X
X X X
+ = + = + =
...soluia sistemului de ecuaii fiind:
X
35.177
55.809
36.379
=
Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici
- 27 -
7. Trasarea diagramelor finale de eforturi:
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
DE
100100
100 200
80
36,379
55,809
35,177
105,53
138,24
52,07
46,44
M
32,71
55,809kN
19,43kN
35,177kN
N
Q
35,177kN
19,43kN
36,379kN