cadre_mf

Universitatea Tehnic Gh. AsachiIai Statica nedeterminat Catedra de Mecanica construciilor Titular curs: .l. dr. ing. Cezar Aanici

- 1 -

CALCULUL STRUCTURILOR NEDETERMINATE PRIN METODA FORELOR

(CADRE PLANE)

ACIUNEA FORELOR

1. S se calculeze, prin metoda forelor, structura din figura.1 la aciunea ncrcrilor exterioare indicate.

Date numerice:

3,8 ; 3 ; 30 / ; 48 ; 64L m H m p kN m F kN M kN m= = = = = Rezolvare:

4I0

I0

2I0

F4I0

p

L L/3

3H/4

H

1. Stabilirea gradului de nedeterminare static:

Gradul de nederminare static se stabilete cu relaia: 3-6)(013r)(l3cns =+=+=

Structura este de 3 ori static nedeterminat.


- 2 -

2. Alegerea sistemului de baz: Sistemul de baz reprezint sistemul ataat sistemului static nedeterminat ce are suprimate attea legturi exterioare sau interioare cte sunt necesare transformrii acestuia ntr-un sistem static determinat si incarcat si cu actiunile exterioare (forte, cedari de reazeme, variatii de temperatura etc). Pe direcia fiecrei legturi suprimate se introduce un efort compatibil cu legtura suprimat, notat, de regul, cu

1, 2 , ...X X . n metoda forelor exist, teoretic, o infinitate de sisteme de baz. Dup stabilirea unor modele/variantele de sisteme de baz se va alege pentru rezolvare cel mai convenabil model din punct de vedere al calculelor numerice. Pentru structura din cazul de fa n figurile 2.b,c,d,e sunt prezentate cteva modele de sisteme de baz ce pot fi ataate sistemului nedeterminat. Varianta optim aleas pentru calcule este cea din fig 2. a).

4I0

I0

2I0

F4I0

p

3,8 1,27

2,25

3

X 1

X 2

X 3

a)

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

X3

X2

X1

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

X 3

X1

X2

b) c)


- 3 -

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

X1X1

X2

X2

X3

X3

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

X1

X2

X2

X2

d) e)

Fig. 2 3. Ecuaiile de echilibru elastic se obin prin scrierea condiiilor de compatibilitate pe direcia legturilor suprimate:

- ideplasarea absolut pe direcia necunoscutelor iX este nul:

Relaia de mai sus, explicitat, are forma:

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

0

0

0

p

p

p

X X XX X XX X X

+ + + = + + + = + + + =

4. Calculul coeficienilor i al termenilor liberi

4.1. Coeficienii principali i secundari:

- se calculeaz cu relaiile:

= l ii dxEIMM

ii 0

=== l ijl ji dxEIMMdx

EIMM

jiij 00

- unde Mi si Mj: momentele ncovoietoare produse pe sistemul de baz static determinat de ncrcrile cu necunoscutele iX =1, respectiv jX =1 (stare reala).

Pentru calculul deplasarilor ij se vor aplica forte virtuale de intensitate 1 n punctele i pe direciile deplasrilor ce urmeaz a fi calculate, diagramele de eforturi fiind identice diagramelor de eforturi determinate de incarcarile Xi=1.

- Sistemul de baza incrcat cu 1X = 1:

0i

aX =


- 4 -

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

5,25

3

M1

1 1X = 0; 1 3 3 ; 0; 3 ;

1 5, 25 5, 25 ; 5, 25 ; 5, 25 .

AB CB BDA B B BBD DED D E

M M kN m M M kN mM kN m M kN m M kN

= = = = = = = = =

- Sistemul de baza incrcat cu 2X = 1:

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D

E

M2

5,07

2 1X = 0A B C DM M M M= = = =

5,07EM kN m=


- 5 -

- Sistemul de baza incrcat cu 3X = 1: 3 1X = 0AM = ;

0; 1 3,8 3,8 ; 0; 3,8 ; 3,8 ;CB AB BC BDC B B B DM M kN m M M kN m M kN m= = = = = = 3,8 ; 1,27DED EM kN m M kN m= =

3,8 1,27

2,25

3

A

B

C

D

E

M3

3,8

3,8

1,27

Calculul coeficienilor sistemului de ecuaii:

2 21 111

0 0 00

0 0 0 0

1 1 2 2,25 1( 3 3) ( 3) (2 3 2 5, 25 2 3 5, 25) 5, 25 5,07 5, 252 2 3 6 4

4,5 39, 23 34,94 78,67

l M M dxEI E I E I E I

EI EI EI EI

= = + + + + = = + + =

2 222

0 00

1 1 2 10,865,07 5,07 5,074 2 3

l M M dxEI E I EI

= = = 3 3

330 00

2 2

0

0 0 0 0

1 1 2 13,8 3,8 3,8 3,8 2, 25 3,84 2 3

5,07 (2 3,8 2 1,27 2 3,8 1, 27)6 44,57 32,49 4,74 41,8

l M M dxEI E I E I

E I

EI EI EI EI

= = + + + + == + + =

1 2 2 112 21

0 00 0

1 5,07 5,07 16,875,254 2

l LM M M Mdx dxEI EI E I EI

= = = = =


- 6 -

1 313 31

00

0

0 0 0

1 (3 5, 25) 2, 25 3,82

5,07 (2 5, 25 3,8 2 5, 25 1, 27 5, 25 1, 27 5, 25 3,8)6 435,27 8,42 43,69

l M M dxEI E I

E I

EI EI EI

+ = = = ++ + = = + =

2 323 32

0 00

5,07 1,35(2 5,07 1,27 5,07 3,8)6 4

l M M dxEI E I EI

= = = = Suma coeficienilor:

, 178,67 10,86 41,8 2 (43,69 16,87 1,35) 182, 27

snISS ij

i j

== = + + + =

4.2. Termenii liberi se calculeaz cu relaia:

0

lp i

ip

M Mdx

EI =

unde pM reprezint momentul produs pe sistemul de baz static determinat de ncrcrile exterioare.

11

00

0

0 0 0

2, 25 (2 216,6 3 2 108,6 5,25 216,6 5, 25 108,6 3)65,07 ( 2 108,6 5, 25 2 469,36 5, 25 108,6 5, 25 469,36 5, 25)

6 41463,56 1200,32 263,24

lp

p

M Mdx

EI E I

E I

EI EI EI

= = + + + ++ + + == + =

48 kN30 kN/m

3,8 1,27

2,25

3

A

CB

DE


- 7 -

3,8 1,27

2,25

3

216,6

108,6

469,36

Mp

22

0 00

5,07 889,09( 2 469,36 5,07 108,6 5,07)6 4

lp

p

M Mdx

EI E I EI = = + =

33

00

0

0

0 0 0 0

1 1 3( 3,8 216,6) 3,84 3 4

1 (216,6 108,6) 2.25 3,82

5,07 ( 2 108,6 3,8 2 469,36 1, 27 108,6 1,27 469,36 3,8)6 4

195, 48 1390, 23 20,29 1606

lp

p

M Mdx

EI E I

E I

E I

EI EI EI EI

= = + +

+ + + == =

Suma termenilor liberi:

1263, 24 889,09 1606 2758.33

snISp ip

i= = = =

5. Verificarea coeficienilor i a termenilor liberi. Coeficienii sunt corect calculai dac este ndeplinit condiia:

2

1 1 0

s s ln nII s

ij SSi j

M dxEI

= =

= =


- 8 -

3,8 1,27

2,25

3Mss

33,8

9,05

1,09

6,8

2

00

0

2 2

0

2 2

0

0 0 0 0 0

1 1 2( 3 3) 32 2 31 1 2( 3,8 3,8) 3,84 2 3

2, 25 (2 6,8 2 9,05 2 6,8 9,05)6

5,07 (2 9,05 2 1,09 2 9,05 1,09)6 44,5 4,57 142,26 30,94 182, 27

lII sSS

M dxEI E I

E I

E I

E I

EI EI EI EI EI

= = ++ ++ + + ++ + == + + + =

I IISS SS =

Condiie ndeplinit, coeficienii sunt corect calculai.

Termenii liberi sunt corect calculai dac este ndeplinit condiia:

1 0

s lnp sII

ip Spi

M Mdx

EI=

= =


- 9 -

00

0

0 0

1 1 3216,6 3,8 3,84 3 4

2,25 (2 216,6 6,8 2 108,6 9,05 108,6 6,8 216,6 9,05)6

5,07 2758.33( 2 108,6 9,05 2 469,36 1,09 463,36 9,05 108,6 1,09)6 4

lp s

sp

M Mdx

EI E I

E I

E I EI

= = + + + ++ + + =

I IISS SS =

Condiie ndeplinit, termenii liberi sunt corect calculai.

6. Rezolvarea sistemului de ecuaii: 11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

0

0

0

p

p

p

X X XX X XX X X

+ + + = + + + = + + + =

1 2 30 0 0 0

1 2 30 0 0 0

1 2 30 0 0 0

78,67 16,87 43,69 263, 24 0

16,87 10,86 1,35 889,09 0

43,39 1,35 41,8 1606 0

X X XEI EI EI EI

X X XEI EI EI EI

X X XEI EI EI EI

+ = + = + =

sau

1 2 3

1 2 3

1 2 3

78,67 16,87 43,69 263, 2416,87 10,86 1,35 889,09

43,39 1,35 41,8 1606

X X XX X X

X X X

+ = + = + =

avnd soluia:

1

2

3

6.29377.9947.472

X kNX kNX kN

= ==


- 10 -

7. Trasarea diagramelor finale de eforturi:

3.8 1.27

2.25

3.0

48 kN

30 kN/m

6.29 kN

47.47 kN

77.99 kN

-N

-

77.99 kN

11.46 kN

41.71 kN

-

+

-

6.29 kN

41.71 kN

Q

47.47 kN

66.53 kN +-

11.46 kN

+


- 11 -

M

39.37 kNm

19.34 kNm

54.48 kNm

18.87 kNm

35.61 kNm37.55 kNm

1.58 m

8. Verificarea diagramelor de eforturi:

8.1 Verificri de echilibru static:

- Verificarea nodului B:


- 12 -

41.71 48 6.29 0

77.99 11, 46 66.53 0

54.48 18.87 35.61 0

X

Y

M

= + == == + + =

- Verificarea diagramei de momente final M, se face cu ajutorul principiului lucrului mecanic

virtual pe mecanismul de etaj din figura de mai jos:

M

39.37 kNm

54.48 kNm

18.87 kNm

48 kN

1=/2.25

2=/3

( )1 2( ) (39.37 54.48) 48 18.87 39.37 54.48 48 18.87 02.25 3LMV

= + + = + + =

8.2. Verificri elastice a diagramei finale a momentelor ncovoietoare:

Diagrama final a momentelor ncovoietoare este corect trasat dac este satisfcut condiia:

0

0i

l fi

XM M dx

EI = =

1

1

0

0 0

5,07 (2 39.37 5.25 2 19.34 5.25 39.37 5.25 19.34 5.25)6 4

2.25 1 1 2(2 39.37 5.25 2 3 54.48 39.37 3 54.48 5.25) 18.87 3 3 04 2 3

l f

XM M dx

EI E I

E I E I

= = + ++ + =


- 13 -

CEDRI DE REAZEME 2. S se calculeze structura din figura de mai jos, la aciunea cedrilor de reazeme, prin metoda forelor.

Date numerice:

03,8 ; 3 ; 30 / ; 48 ; 1 ; 1, 4L m H m p kN m F kN v cm = = = = = =

3,8m 1,27m

2,25m

3m

A

B

C

D E

v

1. Se adopt acelai sistem de baz:


- 14 -

2. Sistemul de ecuaii de echilibru elastic are forma:

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

c

c

c

X X X LX X X LX X X L

+ + = + + = + + =

3. Coeficienii au valorile:

2 21 1

110 0 00

0 0 0 0

1 1 2 2,25 1( 3 3) ( 3) (2 3 2 5, 25 2 3 5, 25) 5, 25 5,07 5, 252 2 3 6 4

4,5 39, 23 34,94 78,67


EI EI EI EI

= = + + + + = = + + =

2 222

0 00

1 1 2 10,865,07 5,07 5,074 2 3

l M M dxEI E I EI

= = =

3 333

0 00

2 2

0

0 0 0 0

1 1 2 13,8 3,8 3,8 3,8 2, 25 3,84 2 3

5,07 (2 3,8 2 1,27 2 3,8 1, 27)6 44,57 32,49 4,74 41,8

l M M dxEI E I E I

E I

EI EI EI EI

= = + + + + == + + =

1 2 2 112 21

0 00 0

1 5,07 5,07 16,875,254 2


= = = = =

1 313 31

00

0

0 0 0

1 (3 5,25) 2, 25 3,82

5,07 (2 5, 25 3,8 2 5,25 1,27 5, 25 1,27 5, 25 3,8)6 435, 27 8, 42 43,69

l M M dxEI E I

E I

EI EI EI

+ = = = ++ + = = + =

2 323 32

0 00

5,07 1,35(2 5,07 1,27 5,07 3,8)6 4

l M M dxEI E I EI

= = = = 1 2

12 210 00

1 5,07 16,87(5,25 5,07)4 2

l M M dxEI E I EI

= = = = Suma coeficienilor:

, 178,67 10,86 41,8 2 (43,69 16,87 1,35) 182, 27

snISS ij

i j

== = + + + =

4. Calculul termenilor liberi:

Termenii liberi se calculeaz cu relaia general:


- 15 -

( )1

ikic i kL R=

unde : - 1 - aciunea virtual (for/moment sau cuplu de fore/momente) aplicat pe fiecarea din direciile Xi; - i - cedarea de reazem corespunztoare direciei necunoscute Xi; -

( )ikR reaciunile din reazemul k determinate aciunea virtual 1.

Sistemul se ncarc pe fiecare direcie Xi , consecutiv, cu o aciunea virtual 1 i se determin reaciunile corespunztoare ale sistemului de baz.

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

Rx1,1

X1

Rx1,2

1,1 1 5,25 5,25xR = = 1,1 1 1xR = =

11, 41 0 1 0 5,25 0,128180c

L = + =


- 16 -

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

Rx2,1

X2

Rx2,2

2,1 1 5,07 5,07xR = =

2,1 1 1xR = = 2

1, 41 0 1 0 5,07 0,124180c

L = + + =

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

Rx3,2

X3

Rx3,1


- 17 -

3,1 1 1,27 1,27xR = = 3,1 1xR = 2

1, 41 0,01 1 0 1,27 0,021180c

L = + + =

1

0,128 0,124 0, 021 0, 017sn

ici

L=

= + + =

5. Verificarea termenilor liberi: Termenii liberi sunt corect calculai dac este ndeplinit urmtoarea relaie:

( )

1( 1 ) ( )

sn skic sc i k

iL L R

== = +

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

Rs3

X3

Rs2

X1

X2

Rs1

1 1sR = 2 2sR = 3 1 1,27 1 5,25 1 5,07 1,09sR = + =

1, 4 3,14151 0, 01 1 0 2 0 1,09 0, 017180sc

L = + + + = Termenii liber sunt corect calculai.


- 18 -

6. Rezolvarea sistemului de ecuaii:

Produsul: 7 4 3 20 2,1 10 72 10 151,2 10E I kN m

= =

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

c

c

c

X X X LX X X LX X X L

+ + = + + = + + =

31 2 3

31 2 3

31 2 3

78, 67 16,87 43, 69 19,3536 10

16,87 10,86 1,35 18, 7488 10

43,39 1,35 41,8 3,1752 10

X X XX X X

X X X

+ = + = + =

Soluia sistemului:

X

391.395

2.302 103258.775

=

7. Trasarea diagramelor de eforturi finale: Sistemul de baz devine:

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

258,775

2302

391,395


- 19 -

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D E

2302

2043,225

391,395

N Diagrama final a eforturilor axiale

Q Diagrama final a forelor tietoare


- 20 -

3,8 1,27

2,25

3

A

B C

D E

983,345

1071,478

1174,185190,84 9287,672

1071,478

M

M Diagrama final a momentelor ncovoietoare Verificarea diagramei de momente, prin LMV:

M

1071.48 kNm

190.84 kNm

1174.18 kNm

1=/2.25

2=/3

1 2( ) ( 1071.48 190.84) 1174.18 ( 1071.48 190.84) 1174.18 02.25 3LMV = + + = + + =


- 21 -

ACIUNEA VARIAIEI DE TEMPERATUR

3. S se calculeze structura din figura de mai jos la aciunea variaiilor neuniforme de temperatur, aplicnd metoda forelor:

Date numerice

35 5 2 4

040 603,8 ; 3 ; 10 ; 2,1 10 / ;

12tL m H m E daN cm I cm = = = = =

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

DE

100100

100 200

80

Din relaia:

34

040 60

12I cm=

- pentru bara avnd momentul de inerie 0I 3

0 0, 4 ; 0, 612b hI b m h m= = =

30 0nI Ih h n=

- pentru bara avnd momentul de inerie 02I

0 0

0

3 32

22 7512 12I I

I

b h b hh cm

= = - pentru bara avnd momentul de inerie 04I

0 0

0

3 34

44 9512 12I I

I

b h b hh cm

= =


- 22 -

1. Sistemul de baz:

o Pentru c se adopt acelai sistem de baz coeficienii sistemului de ecuaii de condiie nu se modific.

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

DE

100100

100 200

80

X1

X2

X3

2. Sistemul de ecuaii de condiii:

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

000

t

t

t

X X XX X XX X X

+ + + = + + + = + + + =

8. 3. Calculul coeficienilor sistemului de ecuaii:

2 21 1

110 0 00

0 0 0 0

1 1 2 2,25 1( 3 3) ( 3) (2 3 2 5, 25 2 3 5, 25) 5, 25 5,07 5, 252 2 3 6 4

4,5 39, 23 34,94 78,67


EI EI EI EI

= = + + + + = = + + =

2 222

0 00

1 1 2 10,865,07 5,07 5,074 2 3

l M M dxEI E I EI

= = =


- 23 -

3 333

0 00

2 2

0

0 0 0 0

1 1 2 13,8 3,8 3,8 3,8 2, 25 3,84 2 3

5,07 (2 3,8 2 1,27 2 3,8 1, 27)6 44,57 32,49 4,74 41,8

l M M dxEI E I E I

E I

EI EI EI EI

= = + + + + == + + =

1 2 2 112 21

0 00 0

1 5,07 5,07 16,875,254 2


= = = = =

1 313 31

00

0

0 0 0

1 (3 5, 25) 2, 25 3,82

5,07 (2 5, 25 3,8 2 5, 25 1, 27 5, 25 1, 27 5, 25 3,8)6 435,27 8,42 43,69

l M M dxEI E I

E I

EI EI EI

+ = = = ++ + = = + =

2 323 32

0 00

5,07 1,35(2 5,07 1,27 5,07 3,8)6 4

l M M dxEI E I EI

= = = = 1 2

12 210 00

1 5,07 16,87(5,25 5,07)4 2

l M M dxEI E I EI

= = = = 4. Calculul termenilor liberi: Relaia general de calcul a termenilor liberi este:

i i

oo

it t ax tN Mtth

= n care:

t - coeficientul de variaie termic liniar - 5 110t oC ;

oaxt - temperatura n axul barei (temperatura medie): 2

o oo i eax

t tt += ; ot - diferena de temperatur ntre fibrele extreme ale seciunii transversale a barei: o o oi et t t = ;

h - nlimea seciunii transversale a barei; Diagramele de momente fiind trasate la prima aplicaie (aciunea forelor exterioare), acum se

traseaz suplimentar diagramele de fore axiale din aciuni (fore/momente sau cupluri de fore/momente) egale cu 1, aplicate pe direciile legturilor suprimate.


- 24 -

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D E

X =11

N1

1

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D E

X =12

N2

1

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D E

X =12N3

1

- Determinarea temperaturilor n axul barei i a diferenelor de temperatur:

2

o oo o o oi eax i e

t tt t t t+= = BARA ti te Dt tax

AB 20 10 10 15

BC 20 10 10 15

BD 10 10 0 10

DE 10 8 2 9

Fibrele tensionate datorit diferenei de temperatur sunt figurate cu linie discontinu

n figura de mai jos:


- 25 -

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D E

100100

100 200

80

X1

X2

X3

Valorile termenilor liberi sunt:

1 1 1 111 , , , , ,

5 5 5

( )

10 1 210 9 5,07 10 ( 3 3 0 0 5,07 5, 25) 156, 41 100,75 2 0,95

oo o oo BCAB BD DE

t t ax DE tN M AB M BD M BC M DEAB BD BC DE

tt t tth h h h

= + + + =

= + + + =

2 2 2 222 , ,2, , , , , ,

5 5 5

( ) ( )

2 110 ( 15 3 10 2, 25) 10 (0 0 0 5,07 5,07) 40,84 100,95 2

oo o oo o BCAB BD DE

t t ax AB ax BD tN AB N BD M AB M BD M BC M DEAB BD BC DE

tt t tt th h h h

= + =

= + + + + =

3 3 3 33 , 3, , , , ,

5 5 5

( )

10 1 2 1 110 10 2, 25 10 [0 0 3,8 3,8 ( 3,8 3,8 1, 27 1, 27)] 39,086 100,95 2 0,95 2 2

oo o oo BCAB BD DE

t t ax BD tN BD M AB M BD M BC M DEAB BD BC DE

tt t tth h h h

= + =

= + + + + + =

5 5( 156,41 40,84 39,086) 10 158,164 10it

= + = 5. Verificarea termenilor liberi:

Termenii liberi sunt corect calculai dac este ndeplinit condiia:

s s

oo

it st t ax tN M

tth

= =


- 26 -

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

D E

Ns

1

2

1

3,8 1,27

2,25

3Mss

33,8

9,05

1,09

6,8

5 5

5

10 1 10 110 ( 15 3 10 4,5 9 5,07) 10 [ 3 3 3,8 3,80,75 2 0,95 2

2 1 1( 4, 25 9,05 1,09 0,545)] 158,14 100,95 2 2

st

= + + +

+ + =

6. Rezolvarea sistemului de ecuaii:

7 4 3 20 2,1 10 72 10 151, 2 10E I kN m

= =

1 2 3

1 2 3

1 2 3

78,67 16,87 43,69 236,516,87 10,86 1,35 61,75

43,69 1,35 41,8 59,1

X X XX X X

X X X

+ = + = + =

...soluia sistemului de ecuaii fiind:

X

35.177

55.809

36.379

=


- 27 -

7. Trasarea diagramelor finale de eforturi:

3,8 1,27

2,25

3

A

BC

DE

100100

100 200

80

36,379

55,809

35,177

105,53

138,24

52,07

46,44

M

32,71

55,809kN

19,43kN

35,177kN

N

Q

35,177kN

19,43kN

36,379kN

Date post:	04-Oct-2015
Category:	Documents
Upload:	alexandra-marcu
View:	224 times
Download:	0 times

cadre_mf

Documents