Prefaţă Cartea se adresează în primul rând studenţilor specializării AUTOMATICĂ
ŞI INFORMATICĂ APLICATĂ – învăţământ la zi şi cu frecvenţă redusă, care au în planul de învăţământ disciplina cu acelaşi nume Teoria sistemelor automate, dar poate fi utilizată pentru completarea şi aprofundarea cunoştinţelor şi de studenţii de la specializările ELECTRONICĂ APLICATA, CALCULATOARE, ELECTROME-CANICĂ, INFORMATICA PROCESELOR CHIMICE şi INGINERIE ECONOMICĂ ÎN DOMENIUL MECANIC.
In primul capitol sunt reamintite principalele proprietăţi şi caracteristici ale sistemelor automate, câteva aspecte esenţiale privind locul, rolul şi clasificarea sistemelor automate, sunt prezentate definiţia şi rolul disciplinei Teoria sistemelor automate în pregătirea profesională a studenţilor automatişti de la ciclul licenţă.
In al doilea capitol este prezentată metoda operaţională Laplace pentru studiul sistemelor liniare continue. Caracteristica principală a acestei metode, numită şi metoda funcţiei de transfer, este forma simplă de descriere matematică a corelaţiei dinamice intrare-ieşire, cu consecinţe remarcabile în simplificarea formalismului matematic implicat în analiza şi sinteza sistemelor compuse tip serie, paralel, cu reacţie, mixte, chiar dacă această metodă implică mărirea gradului de abstractizare. O parte importantă a capitolului este destinată calculului analitic al răspunsului sistemelor elementare (de ordinul unu şi doi) şi compuse (de ordin superior). In încheierea capitolului este expus şi analizat, într-o manieră originală, cadrul general al problematicii sistemelor monotonice.
In capitolul trei este tratată problema stabilităţii sistemelor în ambele variante: stabilitatea internă (a stării) şi stabilitatea externă (a ieşirii). Sunt prezentate şi demonstrate principalele teoreme şi criterii de stabilitate internă şi externă ale sistemelor liniare continue şi discrete.
Capitolul patru este destinat analizei sistemelor în domeniul frecvenţei. Este prezentată şi demonstrată teorema de interpretare fizică a funcţiei de frecvenţă, numită şi teorema filtrării, sunt definite şi analizate caracteristicile de frecvenţă ale sistemelor liniare cu şi fără timp mort, apoi sunt prezentate criteriile frecvenţiale de stabilitate de tip Nyquist.
In capitolul cinci este tratată problema calităţii reglării în regim staţionar şi dinamic. Este demonstrată teorema erorii staţionare şi sunt prezentaţi principalii indicatori de performanţă ai reglării automate în regim dinamic. Cele două teoreme de alocare a polilor unui sistem continuu de reglare automată, pe baza factorului de magnitudine al comenzii regulatorului, sunt contribuţii originalei ale autorului.
Ultimul capitol abordează teoria structurală a sistemelor. Sunt prezentate principalele proprietăţi structurale ale sistemelor, conceptul de reglare prin reacţie după stare, analiza şi proiectarea estimatoarele de stare de ordinul unu..
Toate capitolele conţin un număr semnificativ de aplicaţii rezolvate sau propuse spre rezolvare. Rezultatele problemelor de autotestare sunt date la sfârşitul cărţii.
Vasile Cîrtoaje
CUPRINS
1. INTRODUCERE 7
2. METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 11 2.1. Transformarea Laplace ……………………………………………… 13 2.2. Funcţia de transfer ………………………………………………….. 15 2.3. Matricea de transfer …………………………………………………. 21 2.4. Funcţia de transfer a sistemelor compuse …………………………… 27 2.5. Calculul răspunsului sistemelor compuse …………………………… 30 2.6. Răspunsul sistemelor elementare ……………………………………. 32 2.7. Sisteme monotonice …………………………………………………. 49 2.8. Aplicaţii ………………………………………………………………. 52
3. STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE 71 3.1. Stabilitatea internă ………………………………………………….. 71 3.2. Stabilitatea externă …………………………………………………. 75 3.3. Criteriul de stabilitate Hurwitz ……………………………………… 80 3.4. Aplicaţii ……………………………………………………………… 82
4. FUNCŢIA DE FRECVENŢĂ 95 4.1. Definiţie şi proprietăţi ..……………………………………………. 95 4.2. Interpretare fizică ...………………………………………………… 96 4.3. Caracteristici de frecvenţă …………………………………………… 97 4.4. Sisteme cu timp mort .……………………………………………… 107 4.5. Criteriile de stabilitate Nyquist ………………………………………. 115 4.7. Aplicaţii ……………………………………………………………… 117
5. CALITATEA REGLĂRII 130 5.1. Calitatea reglării în regim staţionar …………………………………. 130 5.2. Calitatea reglării în regim dinamic ………………………………….. 133 5.3. Aplicaţii ……………………………………………………………… 147
6. PROPRIETĂŢI STRUCTURALE ALE SISTEMELOR 163 6.1. Controlabilitatea şi stabilizabilitatea ..…………………………….. 163 6.2. Observabilitatea şi detectabilitatea ..……………………………….. 173 6.3. Reglarea cu reacţie după stare şi estimator de stare ………………… 178 6.4. Aplicaţii ………………………………………………………………. 186
7. REZULTATE ALE APLICAŢIILOR DE AUTOCONTROL ………... 199
BIBLIOGRAFIE 211
1
INTRODUCERE
Sistemul este un ansamblu de elemente care funcţionează şi interacţionează între ele şi cu exteriorul după anumite reguli şi legi, în vederea realizării unui sens sau scop.
Un sistem este o conexiune de elemente, fiecare element constituind la rândul său un sistem (subsistem). Interacţiunea dintre elementele sistemului poate conferi acestuia proprietăţi, caracteristici şi moduri de manifestare pe care fiecare element în parte nu le posedă.
In cazul sistemelor fizice (reale), interacţiunea se realizează prin intermediul fluxurilor de masă şi energie, purtătoare de informaţie.
Teoria sistemelor reprezintă un ansamblu de concepte, cunoştinţe, principii şi metode independente de aplicaţii, necesare şi utile în studiul structurii, proprietăţilor şi caracteristicilor sistemelor în general, al sistemelor automate în mod special. Teoria sistemelor introduce şi dezvoltă un mod de gândire logic, aşa zis sistemic, bazat pe respectării principiului cauzalităţii, care permite abordarea interdisciplinară a realităţii înconjurătoare. Conform principiului cauzalităţii, orice efect este rezultatul unei cauze, efectul este întârziat faţă de cauză şi, în plus, două cauze identice generează în aceleaşi condiţii efecte identice.
Sistemele au următoarele trăsături fundamentale: • caracterul structural-unitar, care reflectă proprietatea unui sistem de a fi reprezentat ca o conexiune de subsisteme a căror acţiune este orientată spre un anumit scop (sens) final; • caracterul cauzal-dinamic, care reflectă proprietatea unui sistem de a evolua în timp sub acţiunea factorilor interni şi externi, cu respectarea principiului cauzalităţii; • caracterul informaţional, care reflectă proprietatea unui sistem de a primi, prelucra, memora şi transmite informaţie.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
8
In sensul teoriei sistemelor, prin informaţie se înţelege orice factor care serveşte la descrierea calitativ-cantitativă a comportamentului sistemului. La sistemele tehnice, mărimile fizice constituite ca suport pentru informaţie se numesc semnale.
Teoria sistemelor operează cu conceptul de sistem abstract, care este în fapt un model matematic pentru descrierea caracteristicilor şi comportamentului dinamic al unei clase de sisteme fizice (reale).
Mărimile fizice variabile asociate unui sistem sunt de trei feluri: mărimi de intrare, mărimi de stare şi mărimi de ieşire.
Mărimile de intrare sunt independente de sistem (deci sunt de tip cauză) şi influenţează din exterior comportamentul sistemului.
Mărimile de stare sunt dependente de mărimile de intrare (deci sunt de tip efect), sunt întârziate faţă de acestea şi au rolul de a caracteriza starea internă curentă a sistemului.
Mărimile de ieşire sunt dependente de mărimile de stare, uneori şi direct şi instantaneu de mărimile de intrare (deci sunt de tip efect), şi au rolul de-a transmite în exterior (sistemelor învecinate) informaţie despre starea curentă a sistemului. Mărimile de ieşire ale unui sistem sunt deci mărimi de intrare pentru sistemele învecinate. Unele mărimi de ieşire pot fi mărimi de stare. Dacă mărimile de ieşire se identifică cu mărimile de stare, atunci întreaga informaţie despre starea curentă a sistemului este transmisă în exterior.
Un sistem interacţionează cu sistemele învecinate numai prin intermediul mărimilor de intrare şi de ieşire.
Mărimile de ieşire ale sistemelor tehnice sunt măsurabile, în timp ce mărimile de stare nu sunt întotdeauna accesibile măsurării.
In afara mărimilor de intrare, de stare şi de ieşire, în descrierea compor-tamentului unui sistem intervin şi unele mărimi constante sau lent variabile, numite parametri. La sistemele fizice, parametrii sunt de regulă mărimi ce caracterizează proprietăţile fizico-chimice ale sistemului: densitate, viscozitate, lungime, volum, conductivitate termică sau electrică etc.
Teoria sistemelor operează cu două concepte de sistem: sistem de tip I-S-E (intrare-stare-ieşire) şi sistem de tip I-E (intrare-ieşire). Sistemele de tip I-S-E au mărimi de intrare, mărimi de stare şi mărimi de ieşire, iar transferul intrare-ieşire se realizează în mod indirect, prin intermediul stării. La sistemele de tip I-E, numai
INTRODUCERE
9
mărimile de intrare şi mărimile de ieşire intervin în mod explicit, iar transferul intrare-ieşire se realizează direct, cu întârziere sau instantaneu (în cazul sistemelor triviale de tip static). Unui sistem fizic i se poate asocia un sistem abstract (model matematic) de tip I-E sau de tip I-S-E.
Sistemele automate sunt sisteme tehnice cu ajutorul cărora se realizează supravegherea, comanda şi conducerea proceselor şi instalaţiilor tehnologice, fără intervenţia directă a omului.
Teoria sistemelor automate este un domeniu particular de studiu care vizează în special descrierea, înţelegerea, aprofundarea şi rezolvarea problemelor specifice domeniului reglării automate a instalaţiilor şi proceselor tehnice.
Un sistem automat SA este format din două mari subsisteme: procesul (instalaţia) de automatizat P şi dispozitivul de automatizare DA (fig. 1.1). Sistemele automate cu structurile (a) şi (b) sunt sisteme deschise (în buclă deschisă), cu flux de informaţie unidirecţional), iar cele cu structura (c) sunt sisteme închise (cu buclă închisă), în care ieşirea unui subsistem influenţează intrarea şi starea acestuia, prin intermediul altor subsisteme. Sistemul cu structura (c) este un sistem de reglare automată după eroare (abatere), în buclă închisă.
Fig. 1.1. Structuri posibile ale unui sistem automat.
La sistemele de reglare automată cu structură închisă, dispozitivul de automatizare DA primeşte informaţie despre starea curentă a procesului reglat P şi, pe baza acestei informaţii, generează comenzi convenabile asupra acestuia, în vederea aducerii şi menţinerii mărimii lui de ieşire în jurul unei valori de referinţă, în condiţiile acţiunii perturbaţiilor (externe) asupra procesului, acţiunii unor perturbaţii interne şi/sau modificării mărimii de referinţă.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
10
In raport cu funcţia îndeplinită, sistemele automate se clasifică în [9]: - sisteme automate de supraveghere (de măsurare şi/sau semnalizare); - sisteme automate de protecţie; - sisteme automate de comandă în buclă deschisă (după un program prestabilit
sau în raport cu o mărime de intrare); - sisteme automate de comandă în buclă închisă (de reglare); - sisteme automate de conducere (de supraveghere, protecţie, comandă, reglare).
Sistemele automate pot fi continue sau discrete. Sistemele continue sunt acele sisteme la care mărimile de intrare, de stare şi de ieşire iau valori la toate momentele de timp din mulţimea numerelor reale şi, în plus, mărimile de stare şi de ieşire variază continuu la orice variaţie continuă a mărimii de intrare. Sistemele discrete sunt acele sisteme la care mărimile de intrare, de stare şi de ieşire iau valori numai la momentele de timp echidistante kTtk = , unde k aparţine mulţimii numerelor
întregi, iar T este perioada (tactul, pasul) de discretizare a timpului. Sistemele care conţin atât elemente continue cât şi elemente discrete se numesc sisteme cu eşantionare sau sisteme eşantionate.
Sistemele pot fi liniare sau neliniare. Sistemele liniare sunt acelea care, în orice condiţii, verifică principiul superpoziţiei (suprapunerii efectelor): suma efectelor cauzelor este egală cu efectul sumei cauzelor. Sistemele neliniare sunt acelea care nu satisfac principiul superpoziţiei, adică acele sisteme care nu sunt liniare. Modul neconstructiv de definire a sistemelor neliniare (prin negarea unei proprietăţi) şi multitudinea modurilor de manifestare a neliniarităţilor conduc la ideea imposibi-lităţii construirii unei teorii unitare a sistemelor neliniare.
Sistemele pot fi monovariabile sau multivariabile. Sistemele monovariabile au o singură intrare şi o singură ieşire. Sistemele multivariabile au cel puţin două intrări şi două ieşiri; în plus, cel puţin o ieşire este influenţată de minimum două intrări.
Sistemele dinamice, spre deosebire de sistemele statice (fără memorie), se evidenţiază prin prezenţa regimurilor tranzitorii, ca o consecinţă a faptului că includ în componenţa lor elemente capabile să acumuleze şi să transfere, cu viteză finită, cantităţi semnificative de masă şi energie.
2 METODA OPERAŢIONALĂ
LAPLACE
Acest capitol este axat pe analiza de tip intrare-ieşire (I-E) a sistemelor liniare continue (netede) cu ajutorul formalismului operaţional Laplace.
Caracteristica principală a metodei operaţionale Laplace este forma simplă de descriere matematică a corelaţiei dinamice între intrarea şi ieşirea unui sistem liniar. Anticipând, modelul operaţional dinamic al sistemului va avea o formă similară celei a modelului staţionar, la care ieşirea y se obţine prin multiplicarea intrării u cu un factor constant de proporţionalitate K :
uKy = .
Forma simplă a modelului operaţional dinamic are consecinţe pozitive în special în analiza şi sinteza sistemelor compuse, cu una sau mai multe legături de reacţie. Simplificarea formalismului matematic se realizează însă cu preţul creşterii gradului de abstractizare. Aceasta presupune, în primul rând, trecerea de la studiul sistemelor în domeniul timpului la studiul în domeniul complex şi, în particular, în domeniul frecvenţei.
Reamintim că modelul primar de tip I-E al unui sistem liniar continuu monovariabil de ordinul n are forma:
ububububyayayaya rr
rr
nn
nn 01
)1(1
)(01
)1(1
)( +′+++=+′+++ −−
−− .
Prin eliminarea derivatelor mărimilor de intrare şi de ieşire se obţine modelul staţionar
uKy = , 00 /abK = .
In condiţiile aplicării la intrarea sistemului a unui semnal de tip treaptă, modelul staţionar este utilizabil pentru 0<t (când mărimile de intrare şi ieşire sunt nule) şi pentru t suficient de mare, când sistemul îşi stabileşte un nou regim staţionar
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
12
(teoretic, pentru ∞→t ). Modelul primar în domeniul timpului are două neajunsuri, forma relativ complicată (mai ales la sistemele de ordin superior) şi prezenţa derivatelor mărimii de intrare, care fac modelul neoperabil în cazul mărimilor de intrare discontinue şi/sau nederivabile (cazul intrării de tip treaptă).
Modelul secundar de tip I-E, cu forma
⎪⎩
⎪⎨⎧
+++=
=++++ −−
wbwbwby
uwawawawar
r
nn
nn
0
0
1)(
1)1(
1)(
...
... ,
înlătură al doilea neajuns, dar îl accentuează pe primul, prin introducerea mărimii w care mediază transferul intrare-ieşire [8].
Ambele neajunsuri sunt eliminate în cazul modelului de convoluţie
)(*)()()()( 0 tutgdutgty t =τττ−= ∫ ,
care exprimă răspunsul )(ty la o intrare )(tu dată, de tip original (nulă pentru 0<t ), atunci când se cunoaşte funcţia pondere )(tg a sistemului (definită ca fiind răspunsul sistemului la intrarea impuls Dirac )(0 tδu = ). Răspunsul )(ty este rezultatul produsului de convoluţie ug* , care depinde de întreaga evoluţie în timp a semnalului de intrare u şi a răspunsului pondere g pe intervalul ],0[ t . In acest mod, valoarea curentă (la momentul t ) a ieşirii y cumulează toate efectele produse de semnalul de intrare u la momentele de timp din intervalul ],0[ t . Forma modelului de convoluţie evidenţiază faptul că funcţia pondere g conţine toate caracteristicile dinamice ale sistemului sub aspectul corelaţiei intrare-ieşire. Acest model, deşi are o formă relativ simplă, este foarte rar utilizat în aplicaţii, deoarece determinarea funcţiei pondere g se poate face numai analitic, prin derivarea funcţiei indiciale h , după obţinerea acesteia cu ajutorul modelului secundar. Modelul de convoluţie are însă o mare importanţă teoretică, deoarece forma sa simplă sugerează posibilitatea găsirii unui model dinamic cu forma şi mai simplă, prin înlocuirea produsului de convoluţie cu unul algebric. Acest lucru este realizabil cu ajutorul transformării Laplace.
In cadrul metodei operaţionale Laplace, modelul de convoluţie ugy *= va căpăta forma operaţională de tip algebric
)()()( sUsGsY ⋅= ,
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
13
unde s este variabila complexă Laplace, iar )(sY , )(sG şi )(sU sunt transformatele Laplace ale funcţiilor de timp )(ty , )(tg şi )(tu . Modelul operaţional este deci un model abstract (în domeniul complex), dar care exprimă, într-o formă algebrică simplă, faptul că ieşirea complexă )(sY este produsul dintre funcţia complexă )(sG asociată caracteristicilor dinamice ale sistemului şi intrarea complexă )(sU .
Aşa cum vom vedea în continuare, determinarea modelului operaţional al unui sistem liniar compus din modelele operaţionale ale subsistemelor componente este o operaţie mult mai simplă decât aceea de obţinere, în domeniul timpului, a ecuaţiei diferenţiale a sistemului din ecuaţiile diferenţiale ale subsistemelor. Modelul operaţional poate fi dedus pe cale algebrică, printr-o metodologie similară celei utilizate la studiul sistemului în regim staţionar sau la studiul unui sistem format numai din subsisteme statice (de ordinul zero). In plus, metodologia analitică de calculul al răspunsului unui sistem pe baza funcţiei de transfer este mai simplă decât cea din domeniul timpului, prin rezolvarea ecuaţiei diferenţiale a sistemului.
2.1. TRANSFORMAREA LAPLACE
Variabilele de intrare, de stare şi de ieşire ale sistemelor liniare continue, aflate în regim staţionar pentru 0<t , sunt funcţii de timp de tip original, care admit transformate Laplace. O funcţie original )(tf este nulă pentru 0<t , este continuă şi derivabilă pe porţiuni şi are o rată de creştere cel mult exponenţială, adică există
0>A şi 0>B astfel încât
BtAtf e)( ≤ .
Pentru a fi satisfăcută prima proprietate, vom considera (aşa cum am procedat şi în analiza în domeniul timpului) că variabilele unui sistem reprezintă variaţiile mărimilor fizice respective faţă de valorile lor iniţiale (la momentele de timp negativ, când sistemul se află în regim staţionar). In cazul sistemelor liniare, răspunsul stare )(tX şi răspunsul ieşire )(tY la orice semnal de intrare de tip original sunt răspunsuri forţate de tip original.
Transformata Laplace sau imaginea Laplace a funcţiei original f este dată de relaţia
∫∞−
−Δ==
0e)()]([)( dttftfsF stL , C∈s .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
14
In mod natural, limita inferioară a integralei s-a ales −0 pentru a include în rezultatul transformării şi efectul funcţiilor original generalizate (tip distribuţie), aşa cum este funcţia impuls Dirac )(0 tδ . In plus, această alegere simplifică formula transformatei Laplace a derivatei )(kf a funcţiei original f , deoarece derivatele iniţiale )0( −f , )0( −′f , … , )0()1(
−−kf ,
sunt nule şi nu mai intervin în expresia transformatei Laplace (vezi proprietatea derivării de mai jos).
In continuare, prezentăm câteva proprietăţi uzuale ale transformării Laplace: • proprietatea de liniaritate
)]([)]([)]()([ 22112211 tfktfktfktfk LLL +=+ , (1)
valabilă oricare ar fi funcţiile original 1f , 2f şi constantele reale 1k , 2k ;
• proprietatea de derivare (integrare) în domeniul real1
)()]([ )( sFstf kk =L , Z∈k ; (2)
• proprietatea de derivare în domeniul complex
)()]([ sFttf ′−=L ; (3)
• proprietatea de translaţie în complex
)()]([ asFtfe at +=−L , C∈a ; (4)
• proprietatea de translaţie în real
)()]([ sFetf sττ −=−L ; (5)
• proprietatea valorii finale )(lim)(lim
0ssFtf
st →∞→= , (6)
valabilă în condiţiile în care toţi polii funcţiei )(ssF au partea reală negativă, deci sunt situaţi în stânga axei imaginare;
• proprietatea valorii iniţiale )(lim)(lim
0ssFtf
st ∞→→=
+, (7)
1 In relaţia (2), derivata )()( tf k poate fi şi funcţie de tip distribuţie, definită inclusiv în punctele de discontinuitate ale functiei f(t). Astfel, prima derivată a funcţiei discontinue )(1)( e ttf at⋅= − este
distribuţia )(1e)()( 0 tattf at ⋅−=′ −δ , unde )(0 tδ este funcţia impuls Dirac.
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
15
valabilă atunci când limita din dreapta există şi este finită;
• proprietatea produsului de convoluţie
)()(])()([0
sUsGdutgt =−∫ τττL . (8)
Transformarea Laplace inversă este operaţia de obţinere a funcţiei original )(tf din imaginea Laplace )(sF . Transformata Laplace inversă a imaginii )(sF este
dată de relaţia
∫∞+
∞−=
j
je)(
πj21)(
σ
σdssFtf ts , (9)
în care integrala se calculează de-a lungul dreptei cu abcisa constantă σ suficient de mică pentru a asigura convergenţa integralei. In majoritatea aplicaţiilor, pentru determinarea transformatei Laplace inverse se utilizează metoda descompunerii imaginii )(sF în fracţii simple, pentru care se cunosc transformatele Laplace inverse (funcţiile original).
Dintre transformatele Laplace mai frecvent utilizate, menţionăm următoarele:
1)]([ 0 =tδL , st 1)](1[ =L , 21)](1[s
tt =⋅L , 1!)](1[+
=⋅ kk
skttL ,
astat+=⋅− 1)](1[eL , 2)(
1)](1e[as
tt at+
=⋅−L ,
22)(
)](1cos[ebas
astbtat++
+=⋅−L , 22)(
)](1sin[ebas
btbtat++
=⋅−L ,
22)](1[cosbs
stbt+
=⋅L , 22)](1[sinbs
btbt+
=⋅L .
2.2. FUNCTIA DE TRANSFER
Prin definiţie, funcţia de transfer a unui sistem liniar continuu şi monovariabil este transformata Laplace )(sG a funcţiei pondere )(tg a sistemului. Aplicând transformarea Laplace modelului de convoluţie
τττ dutgty t )()()(0
−= ∫ , (10)
şi ţinând seama de proprietatea produsului de convoluţie (8), se obţine modelul operaţional dinamic intrare-ieşire
)()()( sUsGsY = , (11)
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
16
unde )(sU este transformata Laplace a funcţiei de intrare )(tu , iar )(sY este transformata Laplace a funcţiei de ieşire )(ty . Scriind modelul (11) sub forma
)()()(
sUsYsG = ,
rezultă Teorema funcţiei de transfer. Funcţia de transfer a unui sistem liniar continuu
monovariabil este egală cu raportul dintre transformata Laplace a răspunsului sistemului la o funcţie de intrare de tip original dată şi transformata Laplace a funcţiei de intrare.
Modelul operaţional (11) este modelul dinamic cu cea mai simplă formă posibilă, similară celei a modelului staţionar
uKy = ,
unde K reprezintă factorul static de proporţionalitate al sistemului. Modelul operaţional este însă un model abstract, deoarece nu realizează o corelare directă a mărimile fizice reale ale sistemului, ci o corelare a transformatelor Laplace ale acestor mărimi, care sunt funcţii de variabilă complexă.
Să considerăm acum forma primară a modelului de tip I-E al unui sistem liniar continuu monovariabil:
ububububyayayaya rr
rr
nn
nn 01
)1(1
)(01
)1(1
)( +′+++=+′+++ −−
−− , 0≠na .
Aplicând transformarea Laplace ambilor membri ai ecuaţiei diferenţiale a sistemului şi ţinând seama de proprietatea de liniaritate şi de proprietatea derivării în domeniul real, obţinem forma primară a funcţiei de transfer
01
11
011
1)(asassabsbsbsb
sG ... a ...
nn
nn
rr
rr
++++
++++−
−
−−= . (12)
care are la numitor chiar polinomul caracteristic al sistemului. La sistemele proprii (fizic realizabile), polinomul de la numărătorul funcţiei de
transfer are gradul mai mic sau cel mult egal cu gradul polinomului de la numitorul funcţiei de transfer )( nr ≤ .
In ecuaţia diferenţială de tip I-E a sistemului, dacă 0a şi 0b sunt coeficienţi adimensionali, atunci toţi coeficienţii ia şi ib sunt, din punct de vedere dimensional,
constante de timp la puterea i . Prin urmare, putem considera că variabila s din expresia funcţiei de transfer )(sG are, formal, dimensiunea inversului timpului.
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
17
Prin definiţie, ordinul funcţiei de transfer este egal cu gradul numitorului funcţiei de transfer simplificate (aduse la forma ireductibilă), adică este egal cu numărul total de poli sau cu gradul polinomului polilor funcţiei de transfer. In consecinţă, dacă polinoamele de la numărător şi numitor sunt coprime (nu au rădăcini comune), atunci )(sG are ordinul n . Diferenţa rn− dintre gradul polinoa-melor de la numitorul şi numărătorul funcţiei de transfer reprezintă ordinul relativ al funcţiei de transfer sau excesul poli-zerouri.
Inerţia unui sistem (caracterizată prin numărul condiţiilor iniţiale nule ale răspunsului la aplicarea unui semnal treaptă la intrare) este cu atât mai mare cu cât ordinul relativ al acestuia este mai mare. Mai exact, conform teoremei condiţiilor iniţiale nule, numărul condiţiilor iniţiale nule ale răspunsului indicial )(th al sistemului este egal cu ordinul relativ rn− al funcţiei de transfer, adică
0)0()0()0( )1( ===′= ++−
++rnhhh .
Astfel, aplicând proprietatea derivării şi proprietatea valorii iniţiale, pentru 1,,1,0 −−= rni , avem
0)(lim)(lim)]([lim)(lim 1)()(0
====∞→∞→∞→→
++
sGssHsthsth iiiissst
L .
Un sistem se numeşte de fază minimă atunci când funcţia de transfer este proprie ( nr ≤ ) şi nu are zerouri (rădăcini ale numărătorului funcţiei de transfer simplificate) cu partea reală pozitivă, adică situate în semiplanul din dreapta axei imaginare.
In general, funcţia de transfer )(sG este un factor de proporţionalitate complex ce caracterizează corelaţia între transformatele Laplace (complexe) ale mărimilor de intrare şi de ieşire. In cazul particular 0=s , funcţia de transfer coincide cu factorul static de proporţionalitate al sistemului:
Kab
G ==0
0)0( . (13)
La sistemele de tip proporţional, caracterizate prin 00 ≠a şi 00 ≠b , funcţia de transfer )(sG nu are pe s factor comun la numărător sau numitor, deci nu are zerou sau pol în origine. La sistemele de tip integral, caracterizate prin 00 =a şi 00 ≠b , funcţia de transfer )(sG are variabila s factor comun la numitor, iar la sistemele de tip derivativ, caracterizate prin 00 ≠a şi 00 =b , funcţia de transfer )(sG are pe s
factor comun la numărător.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
18
Observaţii. 1°. Din relaţia operaţională intrare-ieşire )()()( sUsGsY = , rezultă că transformata Laplace )(sH a răspunsului indicial )(th al sistemului are expresia
ssGsH )()( = .
Din )()( ssHsG = , regăsim relaţia dintre funcţia indicială )(th şi funcţia pondere )(tg , anume
)()0()(d)(d)( 0 ththt
thtg δ++′== .
Din proprietatea valorii iniţiale rezultă
n
n
ab
GsGssHhss
=∞===∞→∞→
+ )()(lim)(lim)0( . (14)
Dacă 0)0( =+h ( 0=nb ), atunci
n
n
ab
ssGsHsthshsss
12 )(lim)(lim)]([lim)0( −===′=′∞→∞→∞→
+ L . (15)
Prin urmare, un sistem semipropriu ( 0≠nb ) are răspunsul indicial )(th discontinuu în origine, un sistem strict propriu cu ordinul relativ unu ( 0=nb şi 01 ≠−nb ) are răspunsul indicial )(th continuu şi nederivabil în origine (tangent la o dreaptă oblică), iar un sistem strict propriu cu ordinul relativ doi sau mai mare ( 0=nb şi
01 =−nb ) are răspunsul indicial )(th continuu şi derivabil în origine (tangent la axa timpului).
In general, pentru orice sistem propriu , avem
211)0(n
nn
n
n
aba
abh −− −=′ + .
Această relaţie poate fi dedusă cu ajutorul proprietăţii valorii iniţiale, ţinând seama
că sistemul cu funcţia de transfer n
n
absGsG −= )()(1 este strict propriu şi are funcţia
indicială )(1)()(1 tab
ththn
n ⋅−= ; deci
211
112
1 )(lim)(lim)0()0(n
nn
n
n
aba
abssGsHshh
ss−− −===′=′
∞→∞→++ . (16)
2°. Din proprietatea valorii finale rezultă că dacă răspunsul indicial )(th al unui sistem tinde la o valoare finită pentru ∞→t , atunci această valoare este egală cu factorul static de proporţionalitate al sistemului:
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
19
KabGsGssHhss
=====∞→→
00 /)0()(lim)(lim)(00
. (17)
Acest rezultat era cunoscut de la analiza în domeniul timpului, din faptul că pentru orice răspuns indicial )(th care se stabilizează la o valoare finită, deosebim două regimuri staţionare, unul trivial, pentru )0,(−∞∈t , şi unul final, la încheierea
regimului tranzitoriu (teoretic, pentru ∞→t ), iar în condiţiile celui de-al doilea regim staţionar, din ecuaţia modelului staţionar ( Kuy= ), rezultă
KKuy =∞=∞ )()( .
Prin urmare, la sistemele de tip proporţional (cu factorul static de proporţionalitate K finit şi nenul), răspunsul indicial )(th tinde la o valoare finită şi nenulă, în timp ce la sistemele de tip derivativ (cu factorul static de proporţionalitate egal cu zero), răspunsul indicial )(th tinde la valoarea zero (fiind deci sub formă de “impuls”).
La sistemele de întârziere de ordinul unu, cu funcţia de transfer
1
)(1 +
=sTKsG , 01 >T ,
răspunsul indicial )(th poate fi reprezentat grafic pe baza relaţiilor
0)()0( =∞=+ Gh , KGh ==∞ )0()( , 1)4...3( TTtr ≅ , (18)
unde trT este durata regimului tranzitoriu.
3°. Regulatoarele continue de tip PID, cu ecuaţia improprie
0)ddd
0
1( c
tTt
TKc d
iR
t+++= ∫
εεε ,
au funcţia de transfer
)11()( sTsT
KsG di
RR ++= . (19)
Această funcţie de transfer este improprie (cu gradul numărătorului mai mare decât cel al numitorului) datorită componentei derivative. Caracterul impropriu al acestei componente reiese şi din faptul că la intrare treaptă, componenta derivativă este de tip impuls Dirac. In realitate, funcţia de transfer a regulatorului PID are forma semiproprie
)1
11()(1 +
++=sT
sTsT
KsG d
iRR , (20)
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
20
unde 1T este constanta de timp de întârziere a componentei derivative (cu valoarea, de regulă, mult mai mică decât cea a constantei de timp derivative dT ). Ţinând seama de (18), răspunsul la intrare treaptă unitară a componentei derivative
semiproprii cu funcţia de transfer 11 +sT
sTd creşte instantaneu la valoarea maximă
1/TTd , apoi coboară spre zero, durata regimului tranzitoriu fiind 1)43( TTtr ≅ (egală cu timpul în care exponenţiala 1/e Tt− scade de la valoarea iniţială 1 la valoarea 05,0e 3 ≅− sau 02,0e 4 ≅− ).
Prin utilizarea formei improprii a componentei derivative, în calculul răspunsului unui sistem de reglare nu apar erori semnificative, deoarece caracterul impropriu al regulatorului este compensat de caracterul strict propriu al părţii fixate (reprezentate de sistemul format din elementul de execuţie, proces şi traductor). In plus, constanta de timp de întârziere dominantă a părţii fixate este de zeci sau sute de ori mai mare decât constanta de timp de întârziere 1dT a componentei derivative semiproprii. Aşa se explică faptul că, de cele mai multe ori, funcţia de transfer a regulatorului PID apare în literatura de specialitate în forma improprie (19). Sub această formă, proprietăţile şi rolul componentei derivative sunt relativ uşor de înţeles şi de interpretat, inclusiv de către personalul din domeniu fără studii superioare.
4°. La sistemele semiproprii de tip proporţional (caracterizate printr-un răspuns indicial care tinde la o valoare finită şi nenulă), cu funcţia de transfer )(sG , definim factorul (raportul) de magnitudine mf ca fiind raportul dintre valoarea iniţială şi valoarea finală a răspunsului indicial )(th , adică
)()0(
∞= +
hhfm . (21)
Din (14), (17) şi (21) rezultă
)0()(
GGfm∞
= . (22)
Regulatorul pur proporţional, cu funcţia de transfer RR KsG =)( , are factorul de magnitudine egal cu 1, iar regulatorul de tip proporţional-derivativ, cu funcţia de transfer
)1
1()(1 +
+=sT
sTKsG dRR ,
are factorul de magnitudine 1/1 TTf dm += . Factorul de magnitudine al regulatorului
PD este supraunitar, fără a depăşi însă valoarea 20, deoarece o valoare mai mică a
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
21
acestuia asigură un semnal de comandă mai neted (mai puţin agresiv), o amplificare mai mică a zgomotului, o uzură mai redusă a instalaţiei comandate, un consum mai mic de energie şi combustibil. In cazul regulatorului cu componentă derivativă improprie (cu 01 =T ), factorul de magnitudine are valoarea ∞ .
5°. Modelul operaţional
)()()( sUsGsY =
permite confirmarea imediată a veridicităţii teoremei de echivalenţă intrare-ieşire, conform căreia două sisteme liniare continue sunt echivalente I-E (au acelaşi răspuns la orice intrare de tip original comună) dacă şi numai dacă funcţiile de transfer ale sistemelor sunt egale (sunt reductibile la aceeaşi expresie, deci au aceleaşi valori pentru orice C∈s din domeniul comun de definiţie).
6°. Un sistem cu ecuaţia diferenţială de ordinul n , deci având polinomul caracteristic de gradul n , se numeşte minimal dacă nu există un alt sistem echivalent intrare-ieşire care să aibă ordinul mai mic decât n .
Teorema de minimalitate a sistemelor monovariabile. Un sistem liniar monova-riabil este minimal dacă şi numai dacă polinomul caracteristic şi polinomul polilor au acelaşi grad.
Din teorema de minimalitate rezultă că un sistem monovariabil de tip I-E este minimal atunci când forma primară (12) a funcţiei de transfer este ireductibilă (numărătorul şi numitorul nu au rădăcini comune). Aducerea unui sistem neminimal la forma minimală constă în aducerea funcţiei de transfer la forma ireductibilă.
2.3. MATRICEA DE TRANSFER
In conformitate cu principiul superpoziţiei, pentru un sistem continuu liniar multivariabil cu m intrări şi p ieşiri, dependenţa ieşirii )(sYi în raport cu intrările
)(1 sU , )(2 sU , … , )(sUm , este dată de relaţia
)()()()()()()( 2211 sUsGsUsGsUsGsY mimiii +++= ,
unde )(sGij este funcţia de transfer a canalului cu intrarea jU şi ieşirea iY . Relaţiile
pot fi scrise pentru toate ieşirile sub forma vectorial-matriceală
)()()( sss UGY = , (23)
echivalentă cu
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
22
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mpmpp
m
m
p U
U
U
GGG
GGG
GGG
Y
Y
Y
2
1
21
22221
11211
2
1
.
Funcţia matriceală de tipul mp×
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
pmpp
m
m
GGG
GGG
GGG
21
22221
11211
G (24)
reprezintă matricea de transfer a sistemului. Relaţia )()()( sUssY G= exprimă faptul că în complex, vectorul Y al mărimilor de ieşire este egal cu produsul dintre matricea de transfer G a sistemului şi vectorul U al mărimilor de intrare. Intre intrarea )(sU j şi ieşirea )(sYi există relaţia operaţională
)()()( sUsGsY jiji = . (25)
In cazul sistemelor proprii, matricea de transfer )(sG poate fi reprezentată şi sub forma
01
11
011
1
asasasassss n
nn
n
nn
nn
++++++++
=−
−
−− KKKK)G( , (26)
unde iK , ni ,,2,1= sunt matrice constante de tipul mp× , iar polinomul de la
numitorul matricei de transfer este cel mai mic multiplu comun al polinoamelor de la numitorul tuturor funcţiilor de transfer )(sGij . Dacă toate funcţiilor de transfer
)(sGij sunt ireductibile (minimale), atunci polinomul de la numitor este chiar
polinomul polilor matricei de transfer. Gradul polinomului polilor este egal cu numărul total al polilor matricei de transfer, şi reprezintă ordinul matricei de transfer.
Fie ),,,( DCBAΣ un sistem liniar, continuu, de ordinul n , monovariabil sau multivariabil. Aplicând transformarea Laplace ecuaţiilor de stare şi de ieşire
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
23
⎩⎨⎧
)()()(
)()()(
t+DUtCX=t Y
t+BUtAX=tX ,
obţinem
⎩⎨⎧
+=
−= −
)()()(
)()I()( 1
sDUsCXs Y
sBUAss X.
Mai departe, înlocuind vectorul de stare )(sX din ecuaţia stării în ecuaţia ieşirii, rezultă matricea de transfer a sistemului (de tipul mp× ), sub forma
DBAsCs +−= −1)I()(G . (27)
Funcţia matriceală 1)I()( −−= AssΦ , (28)
de tipul nn× , reprezintă transformata Laplace a matricei fundamentale (de tranziţie a stării) )(1e)( tt At⋅=Φ . Intr-adevăr, aplicând transformarea Laplace relaţiei
)()0()()(' 0 ttAt δΦΦΦ ++= ,
unde I)0( =+Φ ,obţinem
I)()( += sAss ΦΦ , I)()I( =− sAs Φ , 1)I()( −−= AssΦ .
Aşadar, în afara metodelor în domeniul timpului (metoda diagonalizării şi metoda Sylvester), exponenţiala matriceală Ate poate fi calculată şi cu relaţia
])I[(e 11 −− −= AsAt L . (29)
Matricea fundamentală )(sΦ este o funcţie matriceală pătrată, raţională, strict
proprie. Ea poate fi scrisă sub forma
)()()( s
ss PE=Φ , (30)
unde )Idet()( Ass −=P
este polinomul caracteristic, iar )(sE - matricea de inversare asociată matricei As −I . Elementele )(sEij ale matricei pătrate )(sE sunt polinoame cu gradul mai
mic sau egal cu 1−n . Ţinând seama de (30), matricea de transfer )(sG a sistemului poate fi scrisă
astfel
DsBsCDBAsCs +=+−= −
)()()I()( 1
PEG ,
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
24
de unde rezultă că )(sG este o funcţie matriceală raţională proprie (strict proprie în cazul 0=D ).
Observaţii. 1°. Din relaţia )()()( sUssY G= , rezultă că două sisteme cu funcţiile sau matricele de transfer egale au acelaşi răspuns forţat la orice intrare comună de tip original, deci sunt echivalente intrare-ieşire. Acest rezultat constituie o extindere a teoremei de echivalenţă intrare-ieşire la sistemele multivariabile:
Două sisteme liniare continue sunt echivalente intrare-ieşire dacă şi numai dacă au matricele de transfer egale.
2°. Deoarece două sisteme echivalente I-S-E sunt, de asemenea, echivalente I-E, rezultă că două sisteme echivalente I-S-E au aceeaşi matrice de transfer. Acest rezultat poate fi obţinut şi pe baza relaţiilor date de teorema de echivalenţă I-S-E. Astfel, dacă sistemele ),,,( DCBAΣ şi ),,,( DCBAΣ sunt echivalente I-S-E, iar S este matricea de transformare a stării ( XSX = ), atunci:
=+−=+−= −−−− DBSASSsCSDBAsCsG 1111 )I()I()(
)()I(])I([ 1111 sGDBAsCDBSASSsSC =+−=+−= −−−− .
Două sisteme cu aceeaşi matrice (funcţie) de transfer nu sunt însă, în mod necesar, echivalente I-S-E (de exemplu, în cazul sistemelor de ordin diferit).
3°. Din teorema de minimalitate a sistemelor monovariabile rezultă că un sistem monovariabil de tip I-S-E de ordinul n (cu dimensiunea vectorului de stare X egală cu n ) este minimal atunci când funcţia de transfer DBAsCsG +−= −1)I()( are ordinul n , adică are n poli.
In toolbox-ul CONTROL din MATLAB, sistemul cu funcţia de transfer (12) se construieşte cu funcţia tf, care are ca argumente de intrare vectorii linie
][ 011 bbbbnum nn −= şi ][ 011 aaaaden nn −= ,
formaţi cu coeficienţii de la numărătorul şi respectiv numitorul funcţiei de transfer:
stf = tf (num,den) ;
In cazul nr < , vectorul num poate fi scris şi sub forma ][ 011 bbbbnum rr −= .
Alt mod de a construi un sistem în MATLAB constă în definirea prealabilă a variabilei Laplace s , urmată de scrierea expresiei funcţiei de transfer cu ajutorul operatorilor uzuali.
De exemplu, sistemul stf cu funcţia de transfer 245
13)( 2 +++=ss
ssG poate fi construit astfel:
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
25
s=tf(‘s’), stf=(3*s+1)/(5*s^2+4*s+2);
In cazul sistemelor multivariabile, construcţia se face prin concatenarea subsistemelor monovariabile. De exemplu, sistemul stf cu matricea de transfer
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
++
+++
=
21
215
312
21
)(2
22
sss
sss
sss
sG ,
se construieşte astfel: s11=tf([1 1], [1 1 2]); s12=tf([2 1], [1 3 0]); s21=tf([5 1], [1 2]); s22=tf(1, [1 0 2]); stf=[s11 s12;s21 s22]; sau s=tf('s ');
s11=(s+1)/(s^2+s+2); s12=(2s+1)/(s^2+3*s); s21=(5s+1)/(s+2); s22=1/(s^2+2); stf=[s11 s12;s21 s22];
De asemenea, sistemul multivariabil poate fi construit prin crearea a două mulţimi de vectori linie asociaţi numărătorilor şi numitorilor funcţiilor de transfer din componenţa matricei de transfer: Num={[1 1] [2 1];[5 1] 1}; Den={[1 1 2] [1 3 0];[1 2] [1 0 2}; stf=tf(Num,Den);
Sistemul de ordinul zero stf0 cu matricea de transfer ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
43
21)(sG poate fi construit astfel:
stf0=tf([1 2;3 4]);
Cu comanda s1=stf(i,j);
din sistemul multivariabil stf se extrage subsistemul 1s cu funcţia de transfer )(sGij .
Sistemul stf de tip I-E poate fi transformat în sistemul sis de tip I-S-E, astfel:
sis=ss(stf);
Invers, sistemul sis de tip I-S-E poate fi transformat în sistemul stf de tip I-E, astfel: stf=tf(sis);
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
26
2.4. FUNCTIA DE TRANSFER A SISTEMELOR COMPUSE
La sistemelor compuse, alcătuite din subsisteme liniare continue, obţinerea modelului matematic pe baza ecuaţiilor diferenţiale ale subsistemelor componente este o operaţie complicată, care presupune eliminarea tuturor variabilelor intermediare şi a derivatelor acestora. In cazul metodei operaţionale, determinarea modelului unui sistem liniar compus este echivalentă cu determinarea funcţiilor de transfer ale acestuia, operaţie care se realizează pe cale algebrică, ca în cazul studiului unui sistem în regim staţionar sau al unui sistem format numai din subsisteme statice (de ordinul zero).
In cazul conexiunii serie din figura 2.1, formată din subsistemul 1Σ cu funcţia de transfer 1G şi subsistemul 2Σ cu funcţia de transfer 2G , din modelele operaţionale
)()()( 2 sVsGsY = şi
)()()( 1 sUsGsV = ,
rezultă )()()()( 12 sUsGsGsY = . Prin urmare, sistemul compus are funcţia de transfer )()()( 12 sGsGsG = . In general, funcţia de transfer a unei conexiuni serie de n
subsisteme monovariabile este egală cu produsul funcţiilor de transfer ale subsistemelor componente, adică:
nGGGG 21= . (31)
Fig. 2.1. Conexiune serie.
Toţi polii conexiunii serie sunt poli ai subsistemelor componente. In consecinţă, comportamentul dinamic al unei conexiuni serie nu diferă radical de cel al subsistemelor componente. Reamintim, în acest sens, că în cazul unui sistem cu funcţia de transfer ireductibilă, polii acestuia coincid cu rădăcinile ecuaţiei caracteristice a sistemului, iar acestea determină sub aspect calitativ comportamentul dinamic al sistemului, adică forma răspunsului indicial.
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
27
Dacă toate funcţiile de transfer iG şi produsul acestora nGGG 21 sunt funcţii
raţionale ireductibile, atunci ordinul funcţiei de transfer a conexiunii serie este egal cu suma ordinelor funcţiilor de transfer ale subsistemelor componente.
La conectarea în serie a sistemelor multivariabile trebuie îndeplinită condiţia ca numărul de ieşiri ale unui subsistem să fie egal cu numărul de intrări ale subsistemului următor. Matricea de transfer a conexiunii este egală cu produsul matricelor de transfer ale subsistemelor componente, în ordine inversă, adică
11 GGGG −= nn . (32)
In cazul conexiunii paralel din figura 2.2, avem
)()()()()()()( 212121 sUGGsUGsUGsVsVsY +=+=+= ,
deci 21 GGG += . In general, funcţia de transfer a unei conexiuni paralel de n
subsisteme monovariabile este egală cu suma algebrică a funcţiilor de transfer ale subsistemelor componente, adică
nGGGG +++= 21 . (33)
Ca şi în cazul conexiunii serie, toţi polii conexiunii serie sunt poli ai subsistemelor componente. In plus, dacă funcţiile de transfer ale subsistemelor n-au niciun pol comun, atunci ordinul funcţiei de transfer a conexiunii este egal cu suma ordinelor funcţiilor de transfer ale subsistemelor componente.
Fig. 2.2. Conexiune paralel.
Sistemele multivariabile pot fi conectate în paralel numai dacă au acelaşi număr de intrări m şi acelaşi număr de ieşiri p . Matricea de transfer a conexiunii este egală cu suma algebrică a matricelor de transfer ale elementelor componente – relaţia (33).
In cazul conexiunii cu reacţie negativă din figura 2.3, notând cu 1G şi 2G
funcţiile de transfer ale subsistemelor 1Σ şi 2Σ , avem
)()( 2111 YGUGVUGEGY −=−== ,
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
28
deci )1/( 211 GGUGY += . Prin urmare, funcţia de transfer a sistemului cu intrarea U
şi ieşirea Y este
21
11 GG
GG
+= . (34)
Dacă produsul )()( 21 sGsG este o funcţie raţională ireductibilă, atunci toţi polii conexiunii închise (cu reacţie) sunt diferiţi de polii subsistemelor componente. In consecinţă, sistemele închise, spre deosebire de sistemele deschise, pot avea un comportament dinamic radical diferit de cel al subsistemelor componente. Ordinul funcţiei de transfer a conexiunii este egal cu suma ordinelor funcţiilor de transfer ale subsistemelor componente.
Fig. 2.3. Conexiune cu reacţie.
Să considerăm acum sistemul de reglare automată după eroare (abatere) din figura 2.4, având ca mărimi de intrare referinţa R şi perturbaţia V (aditivă la ieşirea procesului).
Fig. 2.4. Sistem de reglare automată.
Toate celelalte mărimi ale sistemului (Y , E , C , U şi M ) pot fi considerate mărimi de ieşire. Formula funcţiei de transfer a unuia din cele zece canale intrare-ieşire ale sistemului de reglare poate fi obţinută după următoarea regulă:
- numărătorul este produsul funcţiilor de transfer ale elementelor (canalelor) de pe traseul direct intrare-ieşire;
- numitorul este acelaşi, egal cu suma )(1 sGd+ , unde
TPERd GGGGG = (35)
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
29
reprezintă funcţia de transfer a sistemului deschis (a conexiunii serie cu intrarea R şi ieşirea M , obţinută prin întreruperea buclei închise, după traductor). Aplicând această regulă, avem
d
PERYR G
GGGG += 1 ,
dYV G
G+
=1
G V , (36)
d
ER GG +=11 ,
d
TVEV G
GGG+
−=
1)1( , (37)
d
CR GGG+
=1
R , d
RTVCV G
GGGG+
−=
1)1(
. (38)
Formulele (36) ale funcţiilor de transfer YRG şi YVG pot fi deduse procedând astfel: se scriu succesiv relaţiile de dependenţă cauzală ale mărimii )(sY , până se ajunge la mărimile de intrare )(sV şi )(sR , şi din nou la mărimea )(sY , adică
)()()()()()()( sVGsEGGGsVGsCGGsVGsUGsY VREPVEPVP +=+=+=
)()]()([)()]()([ sVGsYGsRGGGsVGsMsRGGG VTREPVREP +−=+−= .
Rezultă )()()()1( sVGsRGGGsYGGGG VREPTREP +=+ ,
adică )()()( sVGsRGsY YVYR += , unde YRG şi YVG au expresiile (36).
Deoarece toate funcţiile de transfer ale sistemului au acelaşi numitor, sistemul de reglare are ecuaţia polilor
01 =+ TPER GGGG , (39)
echivalentă cu 01 =+ FRGG , (40)
unde TPEF GGGG =
este funcţia de transfer a părţii fixate. La sistemele de reglare automată multivariabile, vectorul referinţă R , vectorul
ieşire Y , vectorul perturbaţie V , vectorul măsură M şi vectorul eroare E au, de regulă, aceeaşi dimensiune. Sistemul de reglare are matricele de transfer:
REPTREPYR GGGGGGGG 1)I( −+= , 1)I( −+= TREPYV GGGGG , (41)
1)I( −+= REPTER GGGGG , TREPTEV GGGGGG 1)I( −+−= . (42)
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
30
In MATLAB, pentru construirea conexiunilor serie, paralel şi cu reacţie se utilizează funcţiile: s = series(sis1,sis2) ; p = parallel(sis1,sis2) ; f = feedback(sis1,sis2,sign);
sau operatorii “+”, “*” şi “/”: s=sis1*sis2*sis3;
p=sis1+sis2+sis3; f=sis1/(1+sis1*sis2);
2.5. CALCULUL RASPUNSULUI SISTEMELOR COMPUSE
Metoda operaţională Laplace permite determinarea pe cale algebrică a răspunsului forţat al unui sistem liniar continuu compus la funcţii de intrare analitice de tip original, atunci când se cunosc ecuaţiile diferenţiale ale fiecărui subsistem.
Calculul analitic al răspunsului )(tyi al sistemului compus la o funcţie de intrare )(tu j dată (tip impuls Dirac, treaptă, rampă, sinusoidal etc.) se face după
următoarea metodologie: • se determină transformata Laplace )(sU j a funcţiei de intrare )(tu j ;
• se determină funcţiile de transfer ale subsistemelor componente; • se calculează funcţia de transfer )(sGij a sistemului compus, corespunzătoare
intrării )(sU j şi ieşirii )(sYi , în raport cu funcţiile de transfer ale subsistemelor;
• se calculează transformata Laplace )(sYi a răspunsului sistemului, cu relaţia )()()( sUsGsY jiji = ;
• se calculează răspunsul sistemului )]([)( 1 sYty ii−=L , prin metoda dezvoltării
funcţiei )(sYi în fracţii simple. Calculul funcţiei pondere )(tgij şi al funcţiei indiciale )(thij se face cu relaţiile
)]([)( 1 sGtg ijij−=L , )](1[)( 1 sG
sth ijij
−=L .
Dacă )(sGij are toţi polii situaţi în stânga axei imaginare, atunci răspunsul
indicial are valorile iniţială şi finală
)()0( ∞=+ ijij Gh , )0()( ijij Gh =∞ .
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
31
In general, răspunsul indicial )(thij satisface un număr de condiţii iniţiale nule egal cu ordinul relativ al funcţiei de transfer )(sGij . Prima condiţie iniţială nenulă a
răspunsului indicial este egală cu raportul coeficienţilor termenilor de grad maxim de la numărătorul şi numitorul funcţiei de transfer )(sGij . Astfel, dacă )(sGij este strict proprie ( 0=nb ), atunci
0)0( =+ijh , n
nij a
bh 1)0( −=′ + , )0()( ijij Gh =∞ . (43)
Dacă )(sGij este de ordinul unu, cu constanta de timp de întârziere (de la numitor) 01 >T şi constanta de timp de avans (de la numărător) 1τ , 110 T<≤τ , adică
11
)(1
1++
=sTsτ
KsGij ,
atunci durata regimului tranzitoriu al răspunsului indicial este aproximativ
))(4...3( 11 τTTtr −≅ . (44)
Pe baza acestor relaţii putem construi calitativ graficul răspunsului indicial al sistemelor de ordinul unu direct din funcţia de transfer, fără a mai efectua calculul analitic al acestuia.
Intr-un sens mai general, dacă )(sGij are numărătorul de gradul zero şi
numitorul de gradul n , de forma
)1()1)(1( 21 +++ sTsTsT n , 0,,, 21 >nTTT ,
atunci durata regimului tranzitoriu al răspunsului indicial are valoarea aproximativă
))(4...3( 21 ntr TTTT +++≅ .
O justificare a acestei relaţii este dată de aproximaţia
≅+++ )1()1)(1( 21 sTsTsT n 1)( 21 ++++ sTTT n ,
prin care un sistem de ordinul n poate fi redus (cu aproximaţie, desigur) la un sistem de ordinul unu. Si mai geenral, dacă numărătorul are forma
)1()1)(1( 21 +++ sτsτsτ n ,
cu ii Tτ <≤0 pentru ni ,,2,1= , atunci
))(4...3( 2121 nntr τττTTTT −−−−+++≅ .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
32
In MATLAB, pentru calculul şi reprezentarea grafică a răspunsului indicial, a răspunsului pondere şi a răspunsului la o intrare arbitrară de tip original U , în formă de scară, se utilizează funcţiile: • [Y,t] = step (sis,t) ; • [Y,t] = impulse (sis,t) ; • [Y,t] = lsim (sis,U,t) ;
Argumentul de intrare t , reprezentând vectorul timp, poate fi introdus printr-o comandă de forma
• t=t0:T:t1,
unde t0 este valoarea iniţială (de regulă egală cu 0), T este pasul de calcul, iar t1 - valoarea finală. Argumentul de intrare t poate fi omis la funcţiile step şi impulse, caz în care acesta este generat automat de funcţia respectivă. Argumentele de intrare U şi t ale funcţiei lsim sunt vectori cu aceeaşi dimensiune. Componentele vectorilor U şi Y reprezintă respectiv valorile mărimilor de intrare şi de ieşire la momentele de timp specificate de vectorul t .
Dacă funcţiile sunt apelate fără specificarea vreunui argument de ieşire, atunci se efectuează numai reprezentarea grafică a răspunsului. In cazul contrar, se efectuează evaluarea acestor argumente, fără reprezentarea grafică a răspunsului.
2.6. RASPUNSUL SISTEMELOR ELEMENTARE
In cele ce urmează vor fi calculate, interpretate şi analizate răspunsurile sistemelor liniare elementare de tip pur integral, de întârziere de ordinul unu, derivativ de ordinul unu, de avans-întârziere de ordinul unu, de întârziere de ordinul doi, derivativ de ordinul doi şi de avans-întârziere de ordinul doi.
2.6.1. Răspunsul sistemului pur integral
Sistemul pur integral (integrator) de ordinul unu, cu factorul de amplificare K şi constanta de timp integrală iT , are modelul I-E de forma
KutyTi =
dd (45)
şi funcţia de transfer
sTKsGi
=)( . (46)
Sistemul are funcţia pondere
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
33
ii T
KsT
Ktg == − ][)( 1L ,
funcţia indicială
ii TtK
sTKth == − ][)( 2
1L
şi răspunsul la intrare rampă unitară, )(1 ttu ⋅= ,
ii T
tKsT
th K2][)(
2
31
1 == −L .
Se observă că sistemul pur integral de ordinul unu are funcţia pondere sub formă de treaptă, funcţia indicială sub formă de rampă şi răspunsul la intrare rampă unitară sub formă parabolică (fig. 2.5).
Fig. 2.5. Răspunsul sistemului pur integral de ordinul unu.
Sistemul pur integral de ordinul q ( 1≥q ), cu factorul de amplificare K şi constanta de timp integrală iT , are modelul I-E de forma
KuyT qqi =)(
şi funcţia de transfer
qisTKsG
)()( = .
2.6.2. Răspunsul sistemului de întârziere de ordinul unu
Sistemul de întârziere de ordinul unu este cel mai simplu sistem dinamic liniar de tip proporţional. Acesta are modelul dinamic
KuytyT =+d
d1 , 01 >T , (47)
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
34
modelul staţionar uKy = ,
funcţia de transfer
1)(1 += sTKsG , (48)
unde K este factorul static de proporţionalitate, iar 1T - constanta de timp. Funcţia indicială )(th are următoarele proprietăţi (fig. 2.6):
0)()0( =∞=+ Gh , 1
)(lim)0( TKssGh
s==′
∞→+ ,
KGh ==∞ )0()( ,
1)4...3( TTtr ≅ .
Fig. 2.6. Răspunsul sistemului de întârziere de ordinul unu.
Funcţia pondere, funcţia indicială şi răspunsul la intrare rampă unitară se calculează astfel:
1/
11
1 e]1[)( TtTK
sTKtg −− ⋅=+=L ,
)e1(]11[])1([)( 1/
1
11
1
1 TtKsTT
sKsTsKth −−− −=+−=+= LL , (49)
)]e1([]11[]
)1([)( 1/
11
1
211
21
12
11
TtTtKTsT
TsT
sK
sTsKth −−− −−=+−=+
= +LL .
Funcţia indicială )(th tinde simplu exponenţial şi concav spre valoarea finală K , atingând valorile K95,0 şi K98,0 respectiv la momentele de timp 195 3TTtr ≅ şi
198 4TTtr ≅ . Mărimile 95trT şi 98trT caracterizează durata regimului tranzitoriu
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
35
(timpul de răspuns) şi permit o interpretare geometrică simplă a constantei de timp 1T . Altă interpretare geometrică a constantei de timp 1T este ilustrată în figura 2.7, în
care segmentul AC este tangent la exponenţiala )(th în punctul A, situat arbitrar pe exponenţială. In cazul 01<T , răspunsul sistemului la orice tip de intrare nenulă este
nemărginit (sistemul este instabil).
Fig. 2.7. Interpretări geometrice ale constantei de timp 1T .
Pentru intrarea sinusoidală de tip original tu ωsin= , rezultă
)1(11))((
)( 221
1
21
21
21
22 ωωωω
ωωω
+−
+++=
++=
ssT
sTT
TK
sTsKsY ,
)cossine(1
)( 1/
121
21 tTtT
TKty Tt ωωωωω
−++
= − ,
)]sin(sine)[()( 1/ αωαω −+= − tMty Tt ,
unde
2
121
)(T
KMω
ω+
= , 1Ttg ωα = , )2π,0(∈α .
In regim sinusoidal permanent (după eliminarea componentei tranzitorii ce tinde exponenţial la zero), răspunsul sistemului are expresia
)sin()()( αωω −= tMtyp .
2.6.3. Răspunsul sistemului derivativ de ordinul unu
Sistemul derivativ de ordinul unu are modelul dinamic
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
36
uTKyyT d=+1 , 01 >T , (50)
modelul staţionar 0=y , funcţia de transfer
1
)(1 +
=sT
sTKsG d , (51)
unde K este factorul de proporţionalitate, dT constanta de timp derivativă şi 1T
constanta de timp de întârziere. Funcţia indicială )(th are următoarele proprietăţi (fig. 2.8):
1
)()0(TT
KGh d=∞=+ , 0)0()( ==∞ Gh , 1)43( TTtr ≅ .
Sistemul are funcţia pondere
]e1)([]1
11[]1)[)( 1/
10
11
1
11
1 Ttddd
Tt
TTK
sTTTK
sTsTKtg −−− −=
+−=
+= δLL ,
şi funcţia indicială
1/
11
1 e]1
[)( Ttdd
TT
KsTT
Kth −− =+
=L . (52)
Sistemul derivativ de ordinul unu este frecvent utilizat în generarea semnalelor de comandă cu caracter anticipativ, deoarece răspunsul indicial este de tip „impuls”,
cu valoarea iniţială 1T
TK d şi valoarea finală zero. Timpul de răspuns, în care )(th are
o variaţie de 95 % din valoarea iniţială (exponenţiala 1/e Tt− scade de la valoarea iniţială 1 la valoarea 05,0e 3 ≅− ), este 195 3TTtr ≅ .
Fig. 2.8. Răspunsul indicial al sistemului derivativ de ordinul unu.
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
37
Scriind funcţia de transfer sub forma
)1
11()(11 +
−=sTT
TKsG d ,
rezultă că sistemul derivativ de ordinul unu poate fi obţinut prin conectarea paralel-opusă a unui sistem de tip static şi a unui sistem de întârziere de ordinul unu, ambele având acelaşi factor static de proporţionalitate.
2.6.4. Răspunsul sistemului de avans-întârziere de ordinul unu
Sistemul de avans-întârziere de ordinul unu are modelul dinamic
)( 11 uuKyyT +=+ τ , 01 >T , (53)
modelul staţionar uKy = ,
funcţia de transfer
1)1(
)(1
1++
= sTsK
sGτ
, (54)
unde K este factorul static de proporţionalitate, 1T - constanta de timp de întârziere, iar 1τ - constanta de timp de avans. Efectul de avans este dominant în cazul 11 T>τ , iar efectul de întârziere este dominant în cazul 110 T<<τ .
Funcţia indicială )(th are următoarele proprietăţi (fig. 2.9):
1
1)()0( TKGhτ
=∞=+ , KGh ==∞ )0()( , 1)43( TTtr ≅ .
Pentru 11 20 T<<τ , durata regimului tranzitoriu a răspunsului indicial poate fi exprimată prin relaţia mai precisă ||)43( 11 τ−≅ TTtr .
Funcţia pondere şi funcţia indicială se calculează astfel:
]e)1()([]1[]1)1(
[)( 1/
1
101
11
111
1
11
11 TtTtTT
KsT
TTK
sTsK
tg −−− −+=+−
+=++
=τ
δτ
ττ LL ,
]e)1(1[]11[])1(
)1([)( 1/
1
1
1
111
1
11 TtTKsT
TsKsTs
sKth −−− −−=+
−−=+
+=
τττ LL . (55)
In cazul 01<τ (cu zerou pozitiv), sistemul nu este de fază minimă. Din 0/)0( 11 <=+ TKh τ şi Kh =∞)( , rezultă că răspunsul indicial are la început o variaţie
bruscă de sens opus faţă de valoarea finală.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
38
Sistemul de avans de ordinul unu (cu 11 T>τ ) este frecvent utilizat în generarea
semnalelor de comandă cu caracter anticipativ, deoarece răspunsul indicial are o valoare iniţială de 11 /Tτ ori mai mare decât valoarea finală. Raportul 11 /Tτ dintre
valoarea iniţială (maximă) şi cea finală a răspunsului indicial reprezintă factorul de magnitudine. Scriind funcţia de transfer sub forma
]1)(
1[)(1
11+
−+= sT
sTKsG
τ, (56)
am obţinut funcţia de transfer a unui regulator de tip PD cu constanta de timp derivativă 11 TTd −=τ .
Fig. 2.9. Răspunsul indicial al sistemului de avans-întârziere de ordinul unu.
Scriind funcţia de transfer sub forma
)11/
()(1
11
1
1+−
−= sTT
TKsGττ
,
rezultă că sistemul de avans-întârziere de ordinul unu poate fi obţinut prin conectarea paralel-opusă a unui sistem de tip static şi a unui sistem de întârziere de ordinul unu.
2.6.5. Răspunsul sistemului de întârziere de ordinul doi
Sistemul de întârziere de ordinul doi are ecuaţia diferenţială
uKyyy nnn222 ωωωξ =++ , 0>nω , (57)
modelul staţionar uKy =
şi funcţia de transfer
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
39
22
2
2)(
nn
n
ssK
sGωξω
ω++
= , (58)
unde K este factorul static de proporţionalitate, ξ factorul de amortizare, iar nω
pulsaţia naturală. Deoarece excesul poli-zerouri este egal cu doi, funcţia indicială )(th este
continuă în origine şi tangentă la axa timpului, adică 0)0()0( =′= ++ hh . In plus, pentru 0>ξ , avem 1)0()( ==∞ Gh .
Funcţia de transfer a sistemului poate fi scrisă şi sub forma
1
)(1
222 ++
=sTsT
KsG ,
unde 1T şi 2T sunt constante de timp pozitive. In continuare, vom considera 1=K .
Cazul 10 <<ξ (regim oscilant amortizat). La intrare treaptă unitară, transfor-mata Laplace a răspunsului sistemului are forma
2222222
2
)1()()(1
221
)2()(
ξξ
ξ
ξ
ξ
ξ ωω
ξωωωω
ωωω
ω
−++
++−=
+++
−=++
=nn
nn
nn
n
nn
n
ss
ssss
ssss sY .
Cu notaţiile
ωω ξ =− 21n , αξ cos= , )2π,0(∈α ,
răspunsul indicial are expresia
)sin(1
e1)sin1
(cose1)(22
αωωωξξ
ξ ξωξω +⋅
−−=
−+−=
−− tttty
tntn , (59)
fiind de tip oscilant amortizat (fig. 2.10), cu pulsaţia nωω < .
Prin anularea derivatei răspunsului indicial
tty tnn ωωω ξω sine)(
2−⋅= ,
se obţin momentele de extrem
ωπk
kt = , N∈k ,
şi valorile de extrem
αξω ctgπe)1(1e)1(1)( kktnkk
kty −− −−=−−= ,
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
40
din care reiese că punctele de extrem sunt situate pe exponenţialele tntf ξω−−= e1)(2,1 .
Fig. 2.10. Răspunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul doi,
pentru 0<ξ<1.
Valoarea kσ a “pulsului k” este
kkkkkk ty 1
1πctg1 )1(e)1(1)( σσ α +−+ −=−=−= .
Pulsul maxim
21πctg1 ee ξ
πξ
ασ −
−
− == , (60)
se numeşte suprareglaj sau supradepăşire, iar
21
1
3 11 σσσ
δ −=−= .
reprezintă gradul de amortizare a oscilaţiilor (fig. 2.11).
Fig. 2.11. Dependenţa de ξ a suprareglajului 1σ şi a gradului de amortizare δ .
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
41
Cazul 0=ξ (regim oscilant întreţinut). Sistemul are răspunsul indicial
ts
ssss
ty nnn
n ωωω
ωcos1]1[]
)([)( 22
122
21 −=
+−=
+= −− LL . (61)
Răspunsul indicial este sinusoidal, cu amplitudinea constantă (egală cu 1) şi cu pulsaţia egală cu pulsaţia naturală nω (fig. 2.12).
Fig. 2.12. Răspunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul doi,
pentru 0=ξ şi 1=ξ .
Aplicând la intrare semnalul armonic tu nωcos= cu pulsaţia nω , se obţine
răspunsul
tts
sty nn
n
n ωωω
ωsin2
1])(
[)( 222
21 =
+= −L ,
caracterizat prin oscilaţii sinusoidale cu amplitudinea liniar crescătoare în timp.
Cazul 1=ξ (regim critic). Sistemul are răspunsul indicial
)1(e1])(
11[])(
[)( 21
2
21 t
sssssty n
t
n
n
nn
n n ωωω
ωωω ω +−=
+−
+−=
+= −−− LL .
Răspunsul indicial este strict crescător pentru 0≥t (fig. 2.12).
Cazul 1>ξ (regim supraamortizat). Funcţia de transfer a sistemului poate fi scrisă sub forma
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
42
)1)(1(1)(
21 ++= sTsTsG , 021 >≥TT , (62)
Forma convex-concavă crescătoare şi cu punct de inflexiune a răspunsului indicial (fig. 2.13) rezultă intuitiv din observaţia că sistemul poate fi descompus în două subsisteme de întârziere de ordinul unu, conectate în serie, cu funcţiile de transfer
1
1)(1
1 +=
sTsG ,
11)(
22 +
=sT
sG .
Prin eliminarea termenului de gradul doi de la numitorul funcţiei de transfer obţinem funcţia de transfer a unui sistem de întârziere de ordinul unu, cu constanta de timp
21 TT + . In consecinţă, durata regimului tranzitoriu este
))(43( 21 TTTtr +≅
Intre parametrii formelor echivalente (58) şi (62) de reprezentare a funcţiei de transfer, există următoarele relaţii:
n
T ωξξ 12
2,1−±= , 12
2
1 −+= ξξTT
, 21
1TTn =ω ,
21
212 TT
TT +=ξ .
Sistemul are răspunsul indicial
21 // e1
e1
11)( TtTt
kk
kty −−
−+
−−= , (63)
unde 1/ 12 <= TTk .
Fig. 2.13. Răspunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul doi, pentru ξ >1.
Parametrii asociaţi punctului de inflexiune I depind de constantele de timp 1T şi
2T , după relaţiile [9]:
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
43
zTt
ln1
1 −= , kTT
+=′
11
, zTT 1
1= , z
zk
Tt ln11
1
0 −−+= , zky )1(11 +−= , (64)
unde
1),e1(1 ∈−= k
k
kz .
Intre constantele de timp 1T şi 2T ale sistemului şi timpii 0t , 1t , T şi T ′ ai
răspunsului indicial există următoarea relaţie de ordonare:
011120 tTTtTtTt −′<≤−′≤≤< . (65)
Parametrii 1y , 0t , 1t , T şi T ′ pot fi determinaţi experimental din forma
răspunsului indicial. Dacă se cunosc oricare doi dintre aceşti parametri, atunci se pot calcula constantele de timp 1T şi 2T . De exemplu, dacă se cunosc T şi T ′ , atunci se
poate afla k din relaţia (fig. 2.14)
TTkk k
k ′=+ −1)1( ,
iar apoi din relaţiile
kTT
=1
2 , TTT ′=+ 21
se determină 1T şi 2T .
Fig. 2.14. Caracteristica )/(/ 12 TTTT f ′= .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
44
Dacă se cunosc 0t şi T , atunci din relaţiile Ttzkz /1)ln1( 0=−−+ şi kk
kz −= 1 se obţine k , apoi cu relaţia TzT =1 se obţine 1T , iar din relaţia 12 kTT = se obţine 2T . Mai simplu, constantele de timp 1T şi 2T pot fi determinate din caracteristicile grafice )/(/ 01 TtTT f= şi )/(/ 02 TtgTT = – figura 2.15.
Fig. 2.15. Caracteristicile )/(/ 01 TtfTT = şi )/(/ 02 TtgTT = .
Cazul 01 <<− ξ (regim oscilant instabil). Răspunsul indicial al sistemului este dat de relaţiile (81), în care ),2/( ππα∈ . Răspunsul indicial se caracterizează prin
oscilaţii exponenţial crescătoare (fig. 2.16).
Cazul 1−<ξ (regim supraamortizat instabil). Funcţia de transfer poate fi scrisă sub forma
)1)(1(1)(
21 ++= sTsTsG , 021 <<TT .
Răspunsul indicial, dat de relaţia (63), este crescător şi nemărginit (fig. 2.16).
Fig. 2.16. Răspunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul doi pentru 0<ξ .
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
45
2.6.6. Răspunsul sistemului derivativ de ordinul doi
Sistemul derivativ de ordinul doi are ecuaţia
uTKyyTTyTT d=+++ )( 2121 , 120 TT ≤< , (66)
şi funcţia de transfer
1)1)((
)(21 ++
=sTsT
sKTsG d , (67)
unde dT este constanta de timp derivativă, iar 1T şi 2T sunt constantele de timp de întârziere. De remarcat faptul că pentru 02 =T , sistemul devine derivativ de ordinul
unu. Ca şi acesta, sistemul derivativ de ordinul doi este utilizat în generarea semnalelor de comandă cu caracter anticipativ, răspunsul indicial fiind de tip „impuls” (creşte în primele momente la o valoare maximă, după care tinde spre zero, creşterea fiind însă mai lentă decât la sistemul derivativ de ordinul unu, unde creşterea este bruscă). Acest comportament mai puţin agresiv rezultă şi din faptul că sistemul derivativ de ordinul doi poate fi obţinut prin conectarea în serie a sistemului derivativ de ordinul unu, cu funcţia de transfer
1
)(1
1 +=
sTsTK
sG d ,
cu sistemul de întârziere de ordinul unu, cu funcţia de transfer
11)(
22 += sTsG .
Funcţia indicială )(th are următoarele proprietăţi:
0)()0( =∞=+ Gh , 21
)(lim)0(TT
KTssGh d
s==′
∞→+ ,
0)0()( ==∞ Gh .
In cazul 21 TT ≠ şi 1=K , răspunsul indicial este dat de relaţia:
)ee(]1)1)((
[)( 21
2121
1 Tt
Tt
dd
TTT
sTsTTth
−−− −⋅
−=
++=L . (68)
Pentru 21 TT = , răspunsul indicial are expresia (fig. 2.17)
1e]1)(
[)( 21
21
1 Tt
dd
TtT
sTTth
−− ⋅=
+=L . (69)
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
46
Valoarea maximă, atinsă la momentul 1Tt = , este dată de formula
1
max eTTh d= . (70)
Fig. 2.17. Răspunsul indicial al sistemului derivativ de ordinul doi cu 121 ==TT , pentru diferite valori ale constantei de timp derivative dT .
2.6.7. Răspunsul în timp al sistemului de avans-întârziere de ordinul doi
Sistemul de avans-întârziere de ordinul doi are ecuaţia
)()( 12121 uuKyyTTyTT +=+++ τ , 120 TT ≤< , (71)
şi funcţia de transfer
1)1)((1)(
)(21
1++
+= sTsT
sKsG
τ , (72)
unde 1τ este constanta de timp de avans, iar 1T şi 2T sunt constantele de timp de
întârziere. De remarcat faptul că pentru 21 T=τ şi 11 T=τ , sistemul devine de întârziere de
ordinul unu, cu funcţia de transfer 11
1 +sT , respectiv 11
2 +sT .
Sistemul de avans-întârziere de ordinul doi poate fi obţinut prin conectarea în serie a unui sistem de avans-întârziere de ordinul unu, cu funcţia de transfer
1)1(
)(1
11 +
+= sT
sKsG
τ,
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
47
cu un sistem de întârziere de ordinul unu, cu funcţia de transfer
11)(
22 += sTsG .
Din această reprezentare rezultă că răspunsul la o intrare dată a sistemului de avans-întârziere de ordinul doi este mai lent decât răspunsul sistemului de avans-întârziere de ordinul unu cu funcţia de transfer )(1 sG . Pentru 02 =T , sistemul devine de avans-
întârziere de ordinul unu. Funcţia indicială )(th are următoarele proprietăţi:
0)()0( =∞=+ Gh , 21
1)(lim)0(TT
KssGhs
τ==′
∞→+ , KGh ==∞ )0()( .
In cazul 1=K şi 021 >>TT , răspunsul indicial este dat de relaţia (fig. 2.18):
21 ee1]1)1)((
1[)(21
21
21
11
21
11 Tt
Tt
TTT
TTT
sTsTssth
−−− ⋅
−−
−⋅−−
+=++
+=
τττL . (73)
Fig. 2.18. Răspunsul indicial al sistemului de avans-întârziere de ordinul doi, pentru diferite valori ale constantei de timp de avans 1τ .
Răspunsul indicial este crescător pentru },max{0 211 TT≤≤τ . Pentru },max{ 211 TT>τ , răspunsul indicial este nemonotonic, având suprareglajul (depăşirea valorii finale)
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
48
2112 /11
21/1
1
11 )1/()1( / TTTT TT −− −⋅−= ττσ . (74)
Formula suprareglajului se obţine ţinând seama că ecuaţia 0)( =th are soluţia 0t
dată de relaţia
11ln
11
21
21
210
/
/
−−
−=
TT
TTTTt
ττ .
Sistemul de avans de ordinul doi, cu },max{ 211 TT>τ , este utilizat în generarea
semnalelor de comandă cu caracter anticipativ, deoarece răspunsul indicial creşte în primele momente la o valoare mai mare decât valoarea sa finală. Creşterea este însă mult mai lină decât la sistemele de avans de ordinul unu (unde creşterea este bruscă).
In cazul 21 TT = , răspunsul indicial are expresia
1e]1)1[(1)1(1
1])1(
1[)(11
12
1
11
12
1
11 1 Tt
TTsTT
sTT
ssTssth t −
− −−+=+−
++
−=++
=τττL .
Dacă 211 TT =>τ , atunci din ecuaţia 0)( =th rezultă soluţia
11
0 −= xxT
t
şi suprareglajul
1e)1( −−
⋅−= xx
xσ , (92)
unde 11
1 >=Txτ
(fig. 2.19). Pentru 4>x , avem 2,848,0 −+≈ xσ .
Fig. 2.19. Dependenţa suprareglajului σ în funcţie de raportul 11 /Tx τ= , pentru 21 TT = .
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
49
2.7. SISTEME MONOTONICE
Reamintim că, prin definiţie, un sistem este crescător monotonic (C-monotonic) atunci când răspunsul său la orice intrare de tip original crescătoare este crescător. De asemenea, un sistem este descrescător monotonic (D-monotonic) atunci când răspunsul său la orice intrare de tip original crescătoare este descrescător. Un sistem care nu este C-monotonic sau D-monotonic este nemonotonic. Conform teoremei fundamentale a sistemelor monotonice, un sistem liniar, invariant şi monovariabil este C-monotonic dacă şi numai dacă are funcţia pondere )(tg nenegativă (cu valori
pozitive sau nule la toate momentele de timp R∈t ) sau, echivalent, dacă şi numai dacă are funcţia indicială )(th crescătoare. O conexiune serie de subsisteme mono-
tonice este un sistem monotonic deoarece, aplicând la intrarea conexiunii un semnal treaptă unitară, răspunsul primului subsistem este monotonic, răspunsul următorului subsistem este monotonic ş.a.m.d.
In continuare ne vom referi numai la sistemele continue şi liniare. In mod evident, dacă un sistem cu funcţia de transfer )(sG este C-monotonic, atunci sistemul cu funcţia de transfer )(sG− este D-monotonic.
Prima teoremă de conservare a monotonicităţii [10]. Un sistem liniar monotonic îşi conservă proprietatea de monotonicitate prin:
a) eliminarea sau micşorarea unei constante de timp2 de avans pozitive; b) introducerea sau mărirea unei constante de timp3 de întârziere pozitive.
Pentru demonstrarea teoremei, considerăm un sistem Σ de tip C-monotonic, cu funcţia de transfer )(sG . Presupunem că )(sG are constanta de timp de avans 1τ ( 01 >τ ). Prin înlocuirea constantei de timp 1τ cu 1T ( 110 τ<≤T ), obţinem sistemul
Σ cu funcţia de transfer
)(11)(
1
1 sGssTsG++
=τ
, 110 τ<≤T . (93)
2 Micşorarea unei constante de timp de avans 1T constă în înlocuirea factorului 11 +sT de la
numărătorul funcţiei de transfer cu 12 +sT , unde 12 TT < . 3 Mărirea unei constante de timp de întârziere 1T constă în înlocuirea factorului 11 +sT de la numitorul funcţiei de transfer cu 12 +sT , unde 12 TT > .
.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
50
De asemenea, presupunând că )(sG are constanta de timp de întârziere 1T ( 01 ≥T ), prin înlocuirea ei cu 1τ ( 11 T>τ ), obţinem sistemul Σ cu funcţia de transfer )(sG
dată de (93). Demonstrarea teoremei 1 de conservare a monotonicităţii se reduce la a arăta că sistemul Σ cu funcţia de transfer )(sG este monotonic. Acest lucru este
adevărat deoarece sistemul Σ este o conexiune serie de două subsisteme C-monotonice: subsistemul de avans-întârziere de ordinul unu cu funcţia de transfer
11)(
1
10 +
+=
ssTsG
τ
şi subsistemul Σ cu funcţia de transfer )(sG . Sistemul cu funcţia de transfer
)1()1)(1()1()1)(1()(
21
21
++++++
=sTsTsTssssG
n
rτττ , (94)
unde nr ≤ şi 0>≥ iiT τ pentru ri ,,2,1= , este C-monotonic deoarece poate fi
reprezentat ca o conexiune serie de n subsisteme monotonice, anume subsistemele de avans-întârziere de ordinul unu cu funcţiile de transfer
11
)(++
=sTs
sGi
ii
τ , ri ,,2,1=
şi subsistemele de întârziere de ordinul unu cu funcţiile de transfer
1
1)(+
=sT
sGi
i , nrri ,,2,1 ++= .
Sistemul cu funcţia de transfer (94), în care toate constantele de timp sunt pozitive, iar cea mai mare constantă de timp este una de avans, este un sistem nemonotonic. Pentru a demonstra acest lucru în cazul particular în care toate constantele de timp de întârziere sunt distincte, să considerăm, de exemplu, că
nTTT >>>> 211τ şi să presupunem, prin reducere la absurd, că sistemul este monotonic. Din valoarea finală a răspunsului indicial 1)0()( ==∞ Gh , rezultă că sistemul este C-monotonic. In conformitate cu teorema 1 de conservare a monoto-nicităţii, sistemul cu funcţia de transfer
)1()1)(1(
1)(21
11 +++
+=
sTsTsTssG
n
τ
este, de asemenea, C-monotonic. Acest sistem are funcţia pondere de forma
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
51
nTtn
TtTt CCCtg //2
/11 eee)( 21 −−− +++= ,
care satisface proprietatea
0)1()1(
)1(1
)(elim
11
2
1
1
111
/ 1 <−−
−==
∞→
TT
TT
TTCtgn
Tt
t
τ
.
Prin urmare, funcţia pondere nu satisface condiţia 0)(1 ≥tg pentru orice 0≥t , deci sistemul cu funcţia de transfer )(1 sG nu este C-monotonic, ceea ce este fals. O consecinţă a rezultatului obţinut este aceea că sistemul cu funcţia de transfer )(1 sG ,
având toate constantele de timp pozitive, este C-monotonic dacă şi numai dacă
},,,{max 211 nTTT≤τ . (95)
A doua teoremă de conservare a monotonicităţii [10]. Un sistem liniar monotonic îşi conservă proprietatea de monotonicitate prin:
a) contractarea inversă4 a două constante de timp de avans pozitive ; b) dispersarea inversă5 a două constante de timp de întârziere pozitive.
Pentru demonstrarea teoremei, considerăm un sistem Σ de tip C-monotonic, cu funcţia de transfer )(sG . Presupunem că )(sG are constantele de timp de avans 1τ şi
2τ ( 021 >>ττ ). Prin contractarea inversă a celor două constante de timp de avans
1τ şi 2τ , obţinem sistemul Σ cu funcţia de transfer
)()1)(1()1)(1()(
21
21 sGsssTsTsG++++
=ττ
, (96)
unde 02211 >>≥> ττ TT şi 12
11
12
11
−−−− +=+ ττTT . De asemenea, presupunând că )(sG are constantele de timp de întârziere 1T şi 2T ( 021 >≥TT ), prin dispersarea
inversă a acestora obţinem sistemul Σ cu funcţia de transfer )(sG dată de (95). Demonstrarea teoremei de conservare a monotonicităţii se reduce la a arăta că sistemul Σ cu funcţia de transfer )(sG este monotonic. Acest lucru este adevărat
4 Prin contractarea inversă a două numere pozitive a şi b ( ba > ) se înţelege înlocuirea acestora cu numerele pozitive c şi d astfel încât bdca >≥> şi 1111 −−−− +=+ dcba . 5 Prin dispersarea inversă a două numere pozitive c şi d ( dc≥ ) se înţelege înlocuirea acestora cu numerele pozitive a şi b astfel încât bdca >≥> şi 1111 −−−− +=+ dcba .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
52
deoarece sistemul Σ este o conexiune serie de două subsisteme C-monotonice: subsistemul de avans-întârziere de ordinul doi cu funcţia de transfer
)1)(1()1)(1()(
21
210 ++
++=
sssTsTsG
ττ (97)
şi subsistemul Σ cu funcţia de transfer )(sG . Primul subsistem este C-monotonic deoarece
)1)(1(
)(21
12
11
12
111
21
101
21
1 ++−
+=−−−−
−−−−
ssTTsGTT
ττττ
ττ ,
0))(()( 11
12
11
11
11
12
11
11
12
11
12
11
12
11 >−−=−+−=− −−−−−−−−−−−−−− ττττττ TTTTTTTT .
Utilizând metoda inducţiei, putem demonstra
Propoziţia 1. Dacă 021 >≥≥≥ rτττ , 021 >≥≥≥ nTTT şi 1
11
1−− ≥Tτ ,
12
11
12
11
−−−− +≥+ TTττ , ……………………………………
112
11
112
11
−−−−−− +++≥+++ rr TTTτττ ,
atunci sistemul cu funcţia de transfer
)1()1)(1()1()1)(1()(
21
21
++++++
=sTsTsTssssG
n
rτττ , nr ≤ , (98)
este C-monotonic. Propoziţia 1 poate fi reformulată după cum urmează.
Propoziţia 2. Dacă naaa ,,, 21 şi rbbb ,,, 21 ( nr ≤ ) sunt numere reale astfel
încât rbbb ≤≤≤≤ 210 , raaa ≤≤≤≤ 210 şi ∑∑==
≥k
ii
k
ii ab
11
pentru rk ,,2,1= ,
atunci sistemul cu funcţia de transfer
)())(()())(()(
21
21
n
r
asasasbsbsbssG
++++++
= (99)
este C-monotonic.
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
53
2.8. APLICAŢII
2.8.1. Aplicaţii rezolvate
♦ Aplicaţia 2.1. Să se calculeze funcţia de transfer, răspunsul indicial şi răspunsul pondere ale sistemului cu modelul uuyyy 2868 +=++ .
Soluţie. Sistemul are funcţia de transfer
12
2)14)(12(
)14(2168
)14(2)( 2 +=
+++
=++
+=
ssss
ssssG ,
transformata Laplace a funcţiei indiciale
)2/1
11(2)12
21(2)12(
2)(1)(+
−=+
−=+
==ssssss
sGs
sH ,
funcţia indicială )e1(2)( 2/tth −−= , 0≥t
şi funcţia pondere
2/e)]([)( 1 tsGtg −== −L , 0≥t .
♦ Aplicaţia 2.2. Să se calculeze funcţia de transfer, răspunsul indicial şi răspunsul pondere ale sistemului cu modelul uuyyy +=++68 .
Soluţie. Sistemul are funcţia de transfer
)14)(12(
1168
1)( 2 +++
=++
+=
sss
ssssG ,
transformata Laplace a funcţiei indiciale
)14
612
11(2)14)(12(
)1(2)(1)(+
−+
+=++
+==
ssssssssG
ssH ,
funcţia indicială 4/2/ e3e2)( ttth −− −+= , 0≥t ,
transformata Laplace a funcţiei pondere
)4/1(8
3)2/1(4
1)14
312
1(21)(
++
+−
=+
++−
=ssss
sG ,
funcţia pondere
4/2/ e83e
41)( tttg −− +
−= , 0≥t .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
54
♦ Aplicaţia 2.3. Să se calculeze funcţia de transfer, răspunsul indicial şi răspunsul pondere ale sistemului cu modelul uuyyy +=++45 .
Soluţie. Sistemul are funcţia de transfer
145
1)( 2 +++
=ss
ssG ,
transformata Laplace a funcţiei indiciale
2222 )5/1()5/2(5/31
145351
)145(1)(1)(
+++
−=++
+−=
+++
==s
ssss
sssss
ssGs
sH
22 )5/1()5/2(5/1)5/2(1
++++
−=s
ss
,
funcţia indicială )5/sin5/(cose1)( 5/2 ttth t +−= − , 0≥t ,
transformata Laplace a funcţiei pondere
222 )5/1()5/2(1
51
5/15/41
51)(
+++
⋅=++
+⋅=
ss
ssssG
2222 )5/1()5/2()5/1(3)5/2(
51
)5/1()5/2()5/21()5/2(
51
++⋅++
⋅=++−++
⋅=ss
ss ,
funcţia pondere
)5/sin35/(cose51)( 5/2 tttg t += − , 0≥t .
♦ Aplicaţia 2.4. Să se arate că sistemul monovariabil cu ecuaţia diferenţială
uuuuyyyy +′+′′+′′′=+′+′′+′′′ 443233
nu este minimal. Să se afle apoi răspunsul indicial.
Soluţie. Sistemul are funcţia de transfer
2331443)( 23
23
++++++
=sssssssG .
Deoarece )1)(2(233 223 +++=+++ ssssss ,
)1)(13(144 223 +++=+++ ssssss ,
rezultă
213)(
++
=sssG .
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
55
Sistemul nu este minimal deoarece există un sistem echivalent intrare-ieşire având ordinul mai mic decât trei, anume sistemul de ordinul unu cu ecuaţia
uuyy +′=+′ 32 .
De asemenea, conform teoremei de minimalitate, sistemul nu este minimal deoarece polinomul caracteristic are gradul trei, iar polinomul polilor are gradul unu. Mai simplu, sistemul nu este minimal deoarece forma primară a funcţiei de transfer este reductibilă.
♦ Aplicaţia 2.5. Fie sistemul monovariabil ),,,( DCBAΣ cu
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
3212
A , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=12
B , [ ]21=C , 0=D .
Să se afle: a) transformata Laplace a matricei fundamentale şi funcţia de transfer;
b) funcţia pondere şi funcţia indicială.
Soluţie. a) Avem 45)Idet( 2 ++=− ssAs ,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+
++=−= −
22
13
451)I()( 2
1
s
s
ssAssΦ ,
45
9)()( 2 ++=+=
ssDBsCsG Φ .
Se observă că polinomul caracteristic şi polinomul polilor funcţiei de transfer coincid. b) Prin descompunerea în fracţii simple a funcţiei de transfer,
43
13)(
+−
+= sssG ,
obţinem funcţia pondere
)e(e3)]([)( 41 ttsGtg −− −==−L
şi funcţia indicială
)ee43(43)()( 4
0ttt
dgth −− +−== ∫ ττ .
Funcţia indicială poate fi calculată direct astfel:
).ee4(343)
41
143(
43)1
459()( 4
211 tt
ssssssth −− +−=
++
+−=⋅
++= −− LL
♦ Aplicaţia 2.6. Fie sistemul
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=3210
A , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
10
B , [ ]11=C , 1=D .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
56
Să se afle: a) funcţia de transfer )(sG ; b) răspunsul sistemului la intrarea )(1 ttu ⋅= ; c) răspunsul sistemului la intrarea )(13sin ttu ⋅= ; d) matricea fundamentală )(tΦ ;
e) răspunsul liber din starea iniţială ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=25
0X ;
f) răspunsul la intrarea tu = din starea iniţială ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=25
0X .
Soluţie. a) Avem
45)Idet( 2 ++=− ssAs , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+
++=−= −
ss
ssAss
213
231)I()( 2
1Φ .
231
231)()( 2 +
+=+
+++
=+=ss
sssDBsCsG Φ .
Polinomul caracteristic nu coincide cu polinomul polilor funcţiei de transfer, primul fiind de gradul doi, iar al doilea de gradul unu.
b) Ţinând seama că 21)(s
sU = , obţinem
)e16(41)
2116(
41)1
23()]()([)( 2
22111 tt
sssssssUsGty −+−=
++−=⋅
++
== −−− LLL .
c) Deoarece 9
3)( 2 +=
ssU , rezultă
)9
152
1(131)
91
23()]()([)( 22
111
+−
−+
=+
⋅++
== −−−
ss
sssssUsGty LLL
)3sin53cos(e131 2 ttt +−= − .
In regim sinusoidal permanent, răspunsul sistemului este
)3sin53cos(131)( tttyp +−= .
d) Avem
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
+−
++
+−
+−
++−
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+
++=
22
11
22
12
21
11
21
12
213
231)( 2
ssss
sssss
sss
sΦ ,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−+−
−−=
−−−−
−−−−
tttt
ttttt
22
22
e2ee2e2eeee2
)(Φ .
e) Starea evoluează liber astfel:
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
57
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−+−
−−==
−−
−−
−−−−
−−−−
tt
tt
tttt
tttt
l XttX2
2
22
22
0 e14e12e7e12
25
e2ee2e2eeee2
)()( Φ .
Răspunsul liber este
tlll txtxty 2
21 e7)()()( −=+= .
f) Avem )()()( tytyty fl += ,
unde tl ety 27)( −= - punctul e), iar )1(6
41)( 2t
f etty −+−= - punctul b). Rezultă
)291(641)( 2tetty −+−= .
♦ Aplicaţia 2.7. Să se afle matricea de transfer a sistemului multivariabil ),,,( DCBAΣ cu
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−
=3211
A , ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
=1101
B , ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
1210
C , ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
0000
D .
Soluţie. Avem
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++
++=−= −
1213
14
1)I()( 21
ss
ssAssΦ ,
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++++−
++=+=
3511
14
1)()( 2 ssss
ssDBsCsG Φ .
Matricea de transfer )(sG este de ordinul doi. Ea poate fi scrisă şi sub forma:
2 143511
1111
)(++
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
=ss
ssG .
♦ Aplicaţia 2.8. Să se studieze minimalitatea sistemelor
a) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−
=3212
A , ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
=12
B , [ ]21=C , 0=D ;
b) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−=
3210
A , ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
10
B , [ ]11=C , 1=D ;
c) A = ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−
3211
, B = ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡− 11
01, C = ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
1210
, D = ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
0000
.
Soluţie. a) Sistemul este minimal, deoarece funcţia de transfer
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
58
45
9)I()( 21
++=+−= −
ssDBAsCsG
are ordinul 2, egal cu cel al sistemului de tip ISE.
b) Sistemul nu este minimal, deoarece funcţia de transfer
231
231)I()( 2
1++
=+++
+=+−= −
ss
sssDBAsCsG
are ordinul 1, iar sistemul ISE este de ordinul 2. c) Sistemul este minimal, deoarece matricea de transfer
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++++−
++=+−= −
3511
14
1)I()( 21
ssss
ssDBAsCsG
are ordinul 2, egal cu ordinul sistemului ISE.
♦ Aplicaţia 2.9. Fie conexiunea serie de mai jos, formată din subsistemele:
Să se afle răspunsul sistemului pentru: a) )(0 tu δ= ; b) )(1 tu = ; c) )(1 ttu ⋅= ; d) )(1sin ttu ⋅= .
Soluţie. Avem
121)(1 +
+= sssG , 14
2)(2 += ssG , )14)(12(
)1(2)()()( 21 +++== ss
ssGsGsG .
a) 143
121
)14)(12()1(2)(
++
+−=
+++= ssss
ssY , 4/2/ e75,0e5,0)( ttty −− +−= ;
b) 1412
1222
)14)(12()1(2)(
+−
++=
+++= ssssss
ssY , 4/2/ e3e2)( ttty −− −+= ;
c) 14
4812
4102)14)(12(
)1(2)( 22 ++
+−−=
+++
=sssssss
ssY ,
4/2/ e12e2102)( tttty −− +−−= ;
d) )1(85
226)14(17
48)12(5
4)1)(14)(12(
)1(2)( 22 ++
−+
++
−=
++++
=ss
sssssssY ,
ttty tt sin852cos
8526e
1712e
52)( 4/2/ −−+−= −− .
♦ Aplicaţia 2.10. Elementele sistemului de reglare automată de mai jos au următoarele funcţii de transfer:
(Σ1) uu +=+vv2 , (Σ2) v24 =+ yy .
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
59
kGR = ; 2=EG ; 155,0+
= sGP ; 1
1+
=s
GT .
Pentru 1=k , să se afle răspunsul y(t) pentru: a) )(0 tr δ= , b) )(1 tr = , c) )(1 ttr ⋅= , şi răspunsul )(te pentru: d) )(0 tδ=v , e) )(1 t=v , f) )(1 tt ⋅=v .
Soluţie. Deoarece perturbaţia V este aditivă la ieşirea procesului, funcţia de transfer a canalului perturbator al procesului este 1)( =sGV . In conformitate cu (36) şi (37), obţinem:
165
1)(2 +++
+=
kssskGYR ,
1651)1)(5(
2 +++++
=kss
ssGYV ,
165
1)1)(5(2 +++
++=
kssssGER ,
1651)(5
2 ++++−
=kss
sGEV .
a) Avem
]0,20,6)5[(
0,220,6)(265
1)()( 222 ++⋅++
=++
+==
ss
ssssGsY YR ,
)2,0sin22,0(cose2,0)( 6,0 ttty t += − .
b) Avem
2)62(5
4521
2)6(51)(1)( 22 ++
+−=
+++
==ss
sssss
ssGs
sY YR
22 0,20,6)(0,20,50,6)0,5(5,0
++⋅++−=
ss
s ,
)2,0sin2,0(cose5,05,0)( 6,0 ttty t +−= − .
c) Avem
2)62(5
710121
2)6(51)(1)( 22222 ++
++−=
+++
==ss
ssssss
ssGs
sY YR
222 0,20,6)(0,20,50,6)(15,0
++⋅++
+−=ss
ss,
)2,0sin5,02,0(cose15,0)( 6,0 tttty t ++−= − .
d) Avem
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
60
222 0,20,6)(0,220,6)(
2651)(5)()(
++⋅−+−=
+++−==
ss
ssssGsE EV ,
)2,0sin22,0(cose)( 6,0 ttte t −−= − .
e) Avem
)265
451(21
2)6(51)(5)(1)( 22 ++
−−−=
+++−
==ss
sssss
ssGs
sE EV
]0,20,6)(0,270,6)(1[2
122 ++
⋅−+−−=ss
s ,
)2,0sin72,0(cose5,05,0)( 6,0 ttte t −+−= − .
f) Avem
)265
171021(21
2)6(51)(5)(1)( 22222 ++
+−+−=
+++−
==ss
ssssss
ssGs
sE EV
222 0,20,6)(0,25,50,6)(15,0
++⋅++
+−−
=ss
ss,
)2,0sin5,52,0(cose15,0)( 6,0 tttte t ++−−= − .
Remarcă. Ţinând seama de proprietatea valorii finale, eroarea staţionară (finală) pentru )(1 t=v şi 0>k este
1
1)(lim)()(lim)(lim)(lim000
pvf
+−
=====→→→∞→
Δ
ksGsVssGssEtee EVEVst
ssst.
De asemenea, pentru )(1 tr = , avem
11)(lim)(lim
0 +===→∞→ ksGtee ERstst .
In ambele cazuri, eroarea staţionară este nenulă, dar cu atât mai mică, cu cât factorul de proporţionalitate al regulatorului este mai mare.
♦ Aplicaţia 2.11. Să se arate că pentru orice k pozitiv, răspunsul indicial )(th al siste-mului cu funcţia de transfer
21
221
1)(12
)(1 +
++=
sTsTskT
sG , 01>T ,
are un punct fix.
Soluţie. Răspunsul indicial )(th se determină astfel:
2
221
1)()1(
1)(1 +
−+=
sTsTk
sG ,
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
61
]1)(1
)[1(11)(
)1(1)(1)( 211
2
21
111 +−
+−+=
+
−+==
sTT
sTTk
ssTsTk
ssG
ssH ,
1e)1)(1(1)(1
Tt
Ttkth
−−−+= .
Deoarece 1)( 1 =Th , toate răspunsurile indiciale ale sistemului trec prin punctul fix de coordonate )1,( 1T - figura 2.20.
Fig. 2.20. Răspunsuri indiciale pentru 51=T şi diferite valori ale lui k : 0=k ; 5,0=k ; 5,1=k ; 5,2=k ; 3=k .
♦ Aplicaţia 2.12. Să se arate că un sistem liniar nemonotonic Σ îşi conservă proprietatea de nemonotonicitate prin:
a) mărirea unei constante de timp de avans pozitive; b) micşorarea unei constante de timp de întârziere pozitive.
Soluţie. Vom utiliza metoda reducerii la absurd. (a) Presupunem că sistemul rezultant Σ este monotonic. Prin readucerea (micşorarea)
constantei timp de avans mărite la valoarea iniţială reobţinem sistemul Σ . Acesta, conform teoremei de conservare a monotonicităţii – punctul (a), este monotonic (ca şi Σ ), ceea ce este fals.
(b) Presupunem că sistemul rezultant Σ este monotonic. Prin readucerea (creşterea) constantei timp de întârziere micşorate la valoarea iniţială reobţinem sistemul Σ . Acesta, conform teoremei de conservare a monotonicităţii – punctul (b), este monotonic (ca şi Σ ), ceea ce este fals.
♦ Aplicaţia 2.13. Fie 1Σ un sistem C-monotonic cu funcţia de transfer )(1 sG având constanta de timp de întârziere 01 >T , iar 2Σ sistemul cu funcţia de transfer )(2 sG ,
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
62
obţinută din )(1 sG prin înlocuirea constantei de timp 1T cu 12 TT > . Să se arate că între funcţiile indiciale ale celor două sisteme există inegalitatea
)()( 21 thth ≥ , 0≥t .
Soluţie. Intre funcţiile de transfer )(1 sG şi )(2 sG ale sistemelor 1Σ şi 2Σ există corelaţia
)(11)( 1
2
12 sG
sTsTsG++
= .
Rezultă
)(1
)1()]()([1)()( 12
2
2
12121 sG
sTT
TTsGsG
ssHsH
+−=−=− .
Transformatei Laplace 12
2+sT
T îi corespunde funcţia original 2/e Tt− . In consecinţă, din
proprietatea produsului de convoluţie rezultă
∫ −−−=−t
gTTthth Tt
0 12
121 d)(e)1()()( 2/)( τττ .
Deoarece 0)(1 ≥τg pentru ],0[ t∈τ (din teorema fundamentală a sistemelor monotonice), rezultă 0)()( 21 ≥− thth pentru 0≥t .
♦ Aplicaţia 2.14. Să se arate că sistemul Σ cu funcţia de transfer
]1)1)[((
1)( 221
fTssTsG
+++= , 0>f , 0>T ,
este C-monotonic dacă şi numai dacă TT ≥1 .
Soluţie. Fie 0Σ sistemul cu funcţia de transfer
]1)1)[((
1)( 220 fTsTssG
+++= .
Suficienţa. Trebuie să arătăm că sistemul Σ este C-monotonic pentru TT ≥1 . Ţinând seama de punctul b) al teoremei 1 de conservare a monotonicităţii, este suficient să arătăm că sistemul 0Σ este C-monotonic pentru TT ≥1 . Ţinând seama de teorema fundamentală a sistemelor monotonice, trebuie să demonstrăm că TT ≥1 implică 0)(0 ≥tg pentru orice
0≥t . Intr-adevăr, avem
2202
1)(1
11)(
fTsTs
TssGf++
+−+= ,
deci
0)cos1(1)( /0
2 ≥−= −Ttfe
Ttg Ttf .
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
63
Necesitatea. Trebuie arătat că dacă 0)( ≥tg pentru orice 0≥t , atunci TT ≥1 . Presupunem, prin absurd, că TT <1 . Avem
1)(
)1()()(11)(
1111
000 +
−−=++
=sT
sGTTsG
TTsG
sTTssG ,
deci
)()1(1)()( 1111
0 tgTT
Ttg
TTtg −−= ,
unde
ττ τ de)()(0
1/1 0∫
−−=
t Ttgtg .
Deoarece, aşa cum am arătat mai înainte, 0)(0 ≥−τtg pentru orice ],0[ t∈τ , rezultă
0)(1 >tg pentru orice 0>t . Ţinând seama că 0)2(0 =fTg π şi TT <1 , obţinem
0)2()1(1)2( 111
<−−=ffTgT
TT
Tg ππ , ceea ce contrazice ipoteza 0)( ≥tg .
Fig. 2.21. Răspunsul indicial şi răspunsul pondere pentru sistemul cu funcţia de transfer
]64)13)[(13(
65)( 20 +++=
sssG .
♦ Aplicaţia 2.15. Fie
3
22
1)(1)()(
1 +++
=sT
kTssG , 0, 1>TT , 0≥k .
Să se arate că sistemul cu funcţia de transfer )(sG este C-monotonic pentru k
TT+
≥11 .
Soluţie. Cu notaţia 1T
Ta= , condiţia k
TT+
≥11 devine ak ≥+1 . Descompunem funcţia de
transfer în fracţii simple,
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
64
1)1()1(
)(1
21
31 +
++
++
=sTC
sTB
sTAsG ,
unde 0)1( 22 ≥+−= kaA , )1(2 aaB −= , 02 >=aC .
Sistemul are funcţia pondere
1e)2
(1)(1
21
2
1
Tt
CTBt
TAt
Ttg
−
++= .
In cazul 10 ≤<a , sistemul este C-monotonic deoarece 0≥B şi deci 0)( >tg pentru orice 0≥t .
In cazul 1>a , care implică 0>A şi 0<B , scriem funcţia pondere sub forma
1e]2)[()(2 22
11
Tt
BACBTAttAgT
−
−++= .
Avem 0)( ≥tg pentru orice 0≥t , deci sistemul este C-monotonic, dacă şi numai dacă 02 2 ≥−BAC . Intr-adevăr,
0)1)(1(22 22 ≥+−−+=− akakaBAC .
Caz particular. Sistemul cu funcţia de transfer
3
2
1)(11)4()(
1 +++
=sT
ssG
este C-monotonic pentru 21 ≥T şi este nemonotonic pentru 20 1 <<T . Răspunsurile din figura 2.22 au fost obţinute cu următorul program MATLAB:
t1=[1.75 2 3]; t=0:0.1:15; s=tf('s'); hold on; for i=1:3
sis=((4*s+1)^2+1)/(t1(i)*s+1)^3; step(sis,t);
impulse(sis,t); end;
grid on
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
65
Fig. 2.22. Răspunsurile indiciale şi pondere pentru 3;2;75,11=T ale sistemului cu
3
2
1)(11)4()(
1 +++
=sT
ssG .
♦ Aplicaţia 2.16. Fie sistemul cu funcţia de transfer
)1()1)(1()1()1)(1(
)(21
21++++++
=sTsTsTsssK
sGn
nτττ,
unde 0>K şi 02211 ≥>>>>>> nnTTT τττ . Să se arate că sistemul închis cu funcţia de transfer
)(1
)()(0 sGsGsG
+=
este C-monotonic.
Soluţie. Cu notaţiile )1()1)(1()( 21 +++= sTsTsTsP n
şi )1()1)(1()( 21 +++= ssssZ nτττ ,
scriem funcţia de transfer )(0 sG sub forma
)()()(0 sQ
sZsG = ,
unde )()()( 1 sPKsZsQ −+= .
Fie i
izτ
1−= rădăcinile polinomului )(sZ , iar i
i Tp 1−= rădăcinile polinomului )(sP . Rezultă
nn zpzpzp >>>>>> 2211 . Pentru orice },,2,1{ ni∈ , avem )()( ii pZpQ = şi
)()( 1ii zPKzQ −= , deci )()()()( 1
iiii zPpZKzQpQ −= . Deoarece 0)()1( 1 >− −i
i pZ şi
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
66
0)()1( >− ii zP , rezultă 0)()( <ii zPpZ , deci 0)()( <ii zQpQ pentru orice },,2,1{ ni∈ . Prin
urmare, toate rădăcinile ip~ ale polinomului )(sQ , adică toţi polii funcţiei de transfer )(0 sG , sunt numere reale situate între zerourile şi polii funcţiei de transfer )(sG , adică iii ppz << ~ pentru },,2,1{ ni∈ . Aşadar, putem rescrie funcţia de transfer )(0 sG sub forma
)1~()1~)(1~)(1(
)1()1)(1()(
211
210
++++
+++=
− sTsTsTKsss
sGn
nτττ,
unde constantele de timp de întârziere iT~ sunt pozitive astfel încât iii TT <<~τ ,
},,2,1{ ni∈ . Comparând funcţia de transfer )(0 sG şi funcţia de transfer )(sG cu forma (94), rezultă că sistemul închis cu funcţia de transfer )(0 sG este C-monotonic.
♦ Aplicaţia 2.17. Sistemul cu funcţia de transfer
)1()1)(1(
)1()(21 +++
+=
sTsTsTssG
n
nτ ,
cu 0>τ şi 0>iT pentru ni ,,2,1= , este C-monotonic dacă şi numai dacă
112
11
1 ... −−−− +++≥ nTTTnτ .
Soluţie. Necesitatea rezultă din condiţia ca răspunsul indicial să fie crescător la momentul +=0t , adică 0)0(' ≥+h . In conformitate cu (16), avem
)112
11
1
21211 ...()0( −−−−−−−−+ −−=−=′ n
n
n
n
nn
n
n TTTnTTTa
baa
bh ττ ,
iar din 0)0(' ≥+h obţinem 112
11
1 ... −−−− +++≥ nTTTnτ .
Pentru a demonstra suficienţa, în conformitate cu teorema 1 de conservare a monotonicităţii, este suficient să luăm în consideraţie cazul
11
21
11 ... −−−− +++= nTTTnτ .
In continuare vom considera acest caz şi vom utiliza metoda inducţiei. Pentru n=1, avem 1)( =sG , deci sistemul este C-monotonic. De asemenea, pentru 2=n , avem
)1)(1(
)1()(21
2
+++
=sTsT
ssG τ , 21
212TTTT+
=τ ,
iar sistemul este C-monotonic deoarece
)1)(1()(
)()1)(1(
)(21
221
221212
21
2212
21 +++−
+=++
−+=
sTsTTTTTTT
sTsTTT
sGTT ττ
τ .
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
67
In continuare vom presupune proprietatea adevărată pentru 2−n şi 1−n , şi vom arăta că aceasta rămâne adevărată şi pentru n. Presupunem, fără a pierde din generalitate, că
nTTT ≥≥≥ 21 şi kk TT <<+ τ1 . Fie )(1 sG funcţia de transfer obţinută din )(sG prin contracţia inversă a constantelor de timp de întârziere kT şi 1+kT . Asta presupune înlocuirea
produsului )1)(1( 1 ++ + sTsT kk
de la numitorul funcţiei )(sG cu produsul
)1~)(1~( 1 ++ + sTsT kk ,
unde constantele de timp kT~ şi 1~+kT satisfac condiţiile
11~~
++ >≥> kkkk TTTT , 11
111
1 ~~ −+
−−+
− +=+ kkkk TTTT .
In plus, din mulţimea infinită de perechi )1~,~( +kk TT care satisfac aceste condiţii, alegem
perechea în care cel puţin una dintre constantele de timp kT~ şi 1~+kT este egală cu τ . In
conformitate cu teorema 2 de conservare a monotonicităţii, este suficient să demonstrăm monotonicitatea sistemului cu funcţia de transfer )(1 sG de ordinul 1−n sau 2−n . Acest sistem este însă C-monotonic conform ipotezei de inducţie.
Caz particular. Sistemul cu funcţia de transfer
)1)(13)(16(
)1()(3
++++
=sss
ssG τ
este C-monotonic pentru 20 ≤≤τ şi este nemonotonic pentru 2>τ (fig. 2.23).
Fig. 2.23. Răspunsurile indiciale şi pondere pentru 3;5,2;2;1=τ ale sistemului cu
)1)(13)(16(
)1()(3
++++
=sss
ssG τ .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
68
2.8.2. Aplicaţii de autocontrol
♦ C2.1. Să se calculeze funcţia de transfer şi răspunsul sistemului
uuyy +=+ 27
la următoarele intrări: a) )(1 tu = ; b) )(0 tu δ= ; c) )(1 ttu ⋅= ; d) )(12sin ttu ⋅= .
♦ C2.2. Să se calculeze răspunsul indicial şi răspunsul pondere ale sistemului
uuyyy 2656 +=++ .
Să se scrie apoi ecuaţia sistemului echivalent minimal.
♦ C2.3. Să se calculeze răspunsul indicial al sistemului continuu
uuyyy +=++ 3243 .
♦ C2.4. Fie )(th răspunsul indicial al sistemului continuu
uuuyyyy ++=+++ 342544 .
Să se afle: a) )0( +h ; b) )0( +′h ; c) )(∞h .
♦ C2.5. Fie conexiunea serie formată din subsistemele:
1Σ : uu +=+ 34 vv , 2Σ : v25 =+ yy .
a) Să se calculeze funcţia de transfer )(sG a sistemului; b) Pentru )(1 tu = , să se afle )(tv ; c) Pentru )(1 tu = , să se afle )(ty ;
♦ C2.6. Fie conexiunea cu reacţie formată din subsistemele:
1Σ : eyy =+4 , 2Σ : y=+vv2 .
a) Să se afle funcţia de transfer )(sG şi ecuaţia sistemului; b) Pentru )(1 tu = , să se calculeze )(sY , apoi )(ty .
METODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE
69
♦ C2.7. Fie sistemul ),,,( DCBAΣ cu
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−
=12
32A , ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=11
B , [ ]pC −= 2 , 0=D ,
unde R∈p .
(a) Să se afle funcţia de transfer )(sG şi funcţia indicială )(th ; (b) Să se arate că sistemul nu este minimal.
♦ C2.8. Fie sistemul ),,,( DCBAΣ cu
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−
=2134
A , ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
=0121
B , ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
=1121
C , 0=D .
(a) Să se afle matricea de transfer )(sG ;
(b) Să se afle răspunsul )(1 ty la intrarea )(1)(2 ttu = .
♦ C2.9. Fie sistemul ),,,( DCBAΣ cu
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−
=12
1 pA , ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=21
B , [ ]11 −=C , 2=D ,
unde R∈p . Pentru ce valori ale parametrului p sistemul este minimal ?
♦ C2.10. Se dă sistemul cu funcţia de transfer
)1)(1(1)(21 ++
+= sTsTssG τ .
Dacă 0,, 21 >TTτ şi 21
111TTτ
+> , atunci răspunsul indicial al sistemului are un punct de
inflexiune la 0>t .
♦ C2.11. Să se afle răspunsul )(ty al sistemului cu
12
2)(+
=s
sG ,
la intrarea de tip original
⎩⎨⎧
≠
==
0,0
0,3)(
t
ttu .
♦ C2.12. Să se afle valoarea iniţială )0( +h şi valoarea finală )(∞h ale răspunsul sistemului cu funcţia de transfer
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
70
)1)(12(1)( ++
+= TssssG , 0>T ,
la intrarea de tip original
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤<
≤≤+
=
9,0
95,8
50,1
)(
t
t
tt
tu .
♦ C2.13. Să se arate că sistemul cu funcţia de transfer
])1)[(1(
)1()( 21
211
22
ksTsTkssG+++
++=
τ , 0,,, 11 >kTkτ .
este C-monotonic pentru
2
1
212
1
22 )1(
2−+≥
Tk
Tk ττ .
♦ C2.14. Să se arate că sistemul cu funcţia de transfer
)9)(5)(3()7)(6)(4()(
++++++
=sssssssG
este C-monotonic.
3 STABILITATEA
SISTEMELOR LINIARE
Conceptul de stabilitate este asociat sistemelor liniare pentru a ilustra caracterul mărginit sau nemărginit al mărimilor de stare şi de ieşire, în condiţiile în care mărimile de intrare sunt mărginite.
In domeniul stabilităţii sistemelor se utilizează două concepte: conceptul de stabilitate internă (referitoare la starea sistemului) şi conceptul de stabilitate externă (referitoare la ieşirea sistemului). Deoarece starea curentă a unui sistem determină ieşirea acestuia, dacă starea este mărginită (sistemul este intern stabil), atunci şi ieşirea este mărginită (sistemul este extern stabil). Reciproca acestei afirmaţii nu este adevărată, deoarece un sistem cu ieşirea mărginită nu are obligatoriu şi starea mărginită. Un exemplu în acest sens este sistemul monovariabil de ordinul doi cu variabila de stare 1x mărginită şi variabila de stare 2x nemărginită, având mărimea de ieşire identică cu starea 1x .
Sistemele fizice sunt liniare cel mult într-un domeniu de variaţie mărginit al mărimilor de stare şi de ieşire. In consecinţă, la sistemele fizice instabile, variabilele de stare şi de ieşire evoluează în afara domeniului de liniaritate. Deoarece orice sistem fizic prezintă în exteriorul domeniului de liniaritate caracteristici neliniare de tip saturaţie sau blocare, mărimile de stare şi de ieşire ale unui sistem fizic instabil rămân finite. In cele ce urmează, vom considera cazul teoretic al sistemelor cu domeniu de liniaritate nemărginit.
3.1. STABILITATEA INTERNA
Prin definiţie, un sistem este intern strict stabil dacă, oricare ar fi starea iniţială, starea sistemului evoluează în regim liber spre origine, adică
0)(lim =∞→
tXlt, 0X∀ . (1)
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
72
Un sistem este intern stabil dacă, în regim liber, starea sistemului rămâne finită (evoluează într-un domeniu mărginit al spaţiului stărilor), oricare ar fi starea iniţială. Un sistem stabil poate fi deci strict stabil sau semistabil (stabil la limită), iar un sistem care nu este stabil se numeşte instabil.
In regim liber, traiectoriile de stare pot fi convergente spre origine - la sistemele liniare strict stabile, convergente spre o curbă închisă - la sistemele semistabile, sau divergente - la sistemele instabile.
Tinând seama că
0)()( XttXl Φ= , (2)
unde )(tΦ este matricea fundamentală sau de tranziţie a stării, egală cu Ate ( +∈Rt ) la sistemele liniare continue şi cu tA ( N∈t ) la sistemele liniare discrete. Din (1) şi (2) obţinem
Lema stabilităţii interne. a) Un sistem liniar este intern strict stabil dacă şi numai dacă matricea de tranziţie a stării tinde spre zero, adică
0)(lim =∞→
tt
Φ ; (3)
b) Un sistem liniar este intern stabil dacă şi numai dacă matricea de tranziţie a stării este finită, adică există 0>M astfel încât
. t Mt 0,)( ≥∀≤Φ (4)
Din lema stabilităţii interne reiese că stabilitatea internă a unui sistem liniar (continuu sau discret) este o proprietate asociată exclusiv matricei A , deci o proprietate internă a sistemului.
Dacă matricea A a unui sistem liniar continuu are valorile proprii nsss ,,, 21
distincte, atunci matricea de tranziţie a sistemului poate fi scrisă sub forma
1e)( −= VVt tAΦ ,
unde V este matricea pătrată şi nesingulară a vectorilor proprii, iar
)e,,e,(ediage 21 tttt nsssA = .
Deoarece matricea V este nesingulară, avem
0)(lim =∞→
tt
Φ ⇔ 0elim =∞→
tAt
⇔ itst
i ∀=∞→
,0elim ⇔ isRe i ∀< ,0 .
STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE
73
Similar, în cazul unui sistem liniar discret cu valorile proprii nsss ,,, 21 distincte,
avem 1)( −= VAVt tΦ , cu
),,,(diag 21tn
ttt sssA = ;
prin urmare, avem
0)(lim =∞→
tt
Φ ⇔ 0lim =∞→
tt
A ⇔ istt
i ∀=∞→
,0lim ⇔ isi ∀< ,1 .
Aceste rezultate sunt valabile şi la sistemele (continue şi discrete) cu valori proprii multiple. Tinând seama de acest lucru şi de faptul că valorile proprii ale matricei A sunt rădăcinile polinomului caracteristic )Idet()( Ass −=P , putem formula condiţiile necesare şi suficiente de stabilitate strictă sub forma următoarei teoreme.
Teorema stabilităţii interne stricte. a) Un sistem continuu este intern strict stabil dacă şi numai dacă toate rădăcinile polinomului caracteristic au partea reală negativă (sunt situate în semiplanul complex stâng);
b) Un sistem discret este intern strict stabil dacă şi numai dacă toate rădăcinile polinomului caracteristic au modulul subunitar (sunt situate în interiorul discului unitar cu centrul în originea planului complex).
In cazul unui sistem continuu cu valori proprii distincte, matricea )(tΦ este mărginită dacă şi numai dacă matricea diagonală tAe este mărginită. Condiţia este satisfăcută atunci când toate funcţiile
tsie sunt mărginite, adică atunci când 0≤isRe pentru },,2,1{ ni∈ . Dacă matricea A (nedegenerată) are o valoare proprie is cu
ordinul de multiplicitate 2 , atunci matricea bloc diagonală tAe conţine blocul diagonal
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
t
ttt
is
isisi tA
e0eee . (5)
Se observă că în cazul 0=isRe , matricea tiAe nu este mărginită. Acest rezultat
poate fi extins sub forma următoarei condiţii suficiente de stabilitate simplă: Un sistem continuu este intern stabil dacă toate rădăcinile polinomului
caracteristic au partea reală negativă sau nulă, cele cu partea reală nulă fiind rădăcini simple.
In mod similar, un sistem discret este intern stabil dacă toate rădăcinile polinomului caracteristic au modulul subunitar sau unitar, cele cu modulul unitar fiind rădăcini simple.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
74
Condiţiile necesare şi suficiente de stabilitate simplă a unui sistem continuu liniar pot fi obţinute ţinând seama de expresia transformatei Laplace a funcţiei de tranziţie a stării 1)I()( −−= AssΦ . (6)
Un sistem continuu este intern stabil dacă şi numai dacă toţi polii transformatei Laplace a matricei de tranziţie a stării, adică 1)I()( −−= AssΦ , au partea reală negativă sau nulă, cei cu partea reală nulă fiind poli simpli.
Observaţii. 1°. Un sistem continuu cu matricea A degenerată poate fi semistabil chiar şi atunci când polinomul caracteristic are rădăcini multiple cu partea reală nulă. Astfel, sistemul cu parametrii matriceali
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
0000
A , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
10
B , [ ]11=C , 1=D ,
deşi are polinomul caracteristic 2)Idet()( sAss =−=P cu rădăcina dublă 02,1 =s ,
este totuşi intern semistabil deoarece transformata Laplace a matricei de tranziţie a stării
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−= −
10011)I()( 1
sAssΦ
are polul simplu 01 =s .
2°. Deoarece polinomul caracteristic al unei conexiuni serie sau paralel este egal cu produsul polinoamelor caracteristice ale sistemelor componente, adică
)()()( 21 sss PPP = , rezultă că spectrul sistemului rezultant (mulţimea rădăcinilor
polinomului caracteristic) este reuniunea disjunctă a spectrelor celor două sisteme componente, adică
21~σσσ ∪= .
In consecinţă, sistemul rezultant (serie sau paralel) este intern strict stabil dacă şi numai dacă sistemele componente sunt intern strict stabile.
3°. Din dezvoltarea
++++−=− −12211 )()Idet( n
nnn saaasAs
reiese că suma rădăcinilor polinomului caracteristic este egală cu suma elementelor diagonale ale matricei A , adică
STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE
75
nnn aaasss +++=+++ 221121 . (7)
Deoarece nn sResResResss +++=+++ 2121 ,
rezultă că dacă pentru un sistem continuu avem
02211 >+++ nnaaa , (8)
atunci sistemul este intern instabil. Similar, deoarece
nnnn aaassssss +++=+++≥+++ 22112121 ,
un sistem discret este intern instabil dacă
naaa nn >+++ 2211 . (9)
4°. Conceptul de stabilitate internă este specific sistemelor de tip I-S-E, dar poate fi extins şi la sistemele de tip I-E, pe baza conceptului de polinom caracteristic, comun ambelor tipuri de sisteme. Din acest motiv, în teorema stabilităţii interne am utilizat expresia “rădăcinile polinomului caracteristic“ în locul expresiei “valorile proprii ale matricei A“. La sistemele multivariabile cu m intrări şi p ieşiri,
polinomul caracteristic al sistemului este c.m.m.m.c al polinoamelor caracteristice asociate celor pm⋅ canale intrare-ieşire. 3.2. STABILITATEA EXTERNA
Prin definiţie, un sistem liniar este extern strict stabil dacă, la orice intrare de tip original mărginită pentru 0>t , ieşirea sistemului este, de asemenea, mărginită. Matematic, un sistem este extern strict stabil dacă oricare ar fi intrarea de tip original cu proprietatea 01)( >∀≤ t tU ,
există 0>M astfel încât
0 )( ≥∀≤ t MtY .
La sistemele monovariabile continue cu funcţia pondere )(tg , din relaţia de convoluţie
u-tgtyt∫= 0
)d()()( τττ , (10)
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
76
rezultă Prima lemă a stabilităţii interne stricte. (a) Un sistem monovariabil continuu
este extern strict stabil dacă şi numai dacă integrala
ttg∫∞
=0
d)(I (11)
este finită. (b) Un sistem liniar monovariabil discret este extern strict stabil dacă şi numai
dacă suma
∑∞
=
=0
)(k
kgS (12)
este finită. La sistemele continue, pentru a demonstra necesitatea, vom arăta că integrala
I este finită pentru un sistem extern strict stabil. Avem
∫∫ ∫ −===∞→
∞
∞→
T
T
T
TTg ttgttg
00 0d)(limd)(limd)( ττI
)(limd))sgn(g()(lim0
TyTTgtT
T
∞→=−⋅−= ∫
∞→τττ ,
unde )(Ty este valoarea ieşirii la momentul T pentru intrarea mărginită ))(sgn()( ττ −= Tgu . Deoarece sistemul este extern strict stabil, ieşirea y este
mărginită, deci integrala I este finită. Pentru a demonstra suficienţa, vom considera integrala I finită şi vom arăta că
pentru orice intrare )(tu cu 1≤)(tu , ieşirea )(ty este mărginită. Intr-adevăr, avem
=−≤−≤−= ∫∫∫ttt
tgutgutgty000
)()()( )()( ττττττττ ddd)(
I=≤= ∫∫∞
00)()( xxgxxg
tdd .
La sistemele discrete, demonstraţia este similară, pe baza relaţiei de convoluţie
∑=
−=t
kkuktgty
0)()()( .
O condiţie necesară ca integrala I şi suma S să fie finite este ca funcţia pondere g să tindă la 0 pentru ∞→t . La sistemele liniare de ordin finit, această condiţie este şi suficientă, ca urmare a caracterului exponenţial al funcţiei pondere. Rezultă astfel
STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE
77
A doua lemă a stabilităţii interne stricte. Un sistem liniar monovariabil (continuu sau discret) este extern strict stabil dacă şi numai dacă
0)(lim =∞→
tgt
. (13)
Deoarece funcţia pondere a unui sistem I-S-E strict propriu este dependentă de matricele A , B şi C , rezultă că stabilitatea externă constituie o proprietate asociată tuturor acestor matrice, spre deosebire de stabilitatea internă, care este asociată numai matricei A .
Prin relaxarea condiţiei de stabilitatea strictă (13), se consideră că un sistem liniar monovariabil este extern stabil dacă funcţia pondere g este mărginită pentru
0>t , adică există 0>M astfel încât
. tMtg 0,)( >≤ ∀ (14)
Funcţia de transfer a unui sistem liniar continuu cu polii simpli kppp ,,, 21
poate fi scrisă sub forma
k2
2
1
1)(ps
Cps
Cps
CdsG k
−−+
−+= ++ , (15)
unde d este o constantă reală. Din expresia funcţiei pondere,
tptptp kkCCCtdtg eee)()( 210 21 ++++= δ , (16)
reiese că 0)(lim =∞→
tgt
dacă şi numai dacă 0<ipRe pentru orice },,2,1{ ki∈ .
Acest rezultat este valabil şi la sistemele cu poli multipli. Teorema stabilităţii externe stricte a sistemelor continue. Un sistem liniar
monovariabil continuu este extern strict stabil dacă şi numai dacă toţi polii funcţiei de transfer a sistemului au partea reală negativă.
Din expresia (16) a funcţiei pondere g reiese că aceasta este mărginită pentru 0>t dacă şi numai dacă 0Re ≤ip pentru },,2,1{ ki∈ . In cazul ppp == 21 , când
k
212)(
)(ps
C
ps
Cps
CdsG k
−−+
−+= ++ ,
tpptpt kkCtCCtdtg eee)()( 210 ++++= δ ,
funcţia pondere g este mărginită pentru 0>t dacă şi numai dacă 0<pRe şi 0≤ipRe pentru },,4,3{ ki∈ . Generalizând acest rezultat, un sistem continuu
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
78
este extern stabil dacă şi numai dacă polii funcţiei de transfer a sistemului au partea reală negativă sau nulă, polii cu partea reală nulă fiind poli simpli.
Oricărui sistem liniar discret Σ i se poate asocia un sistem minimal 0Σ , cu funcţia de transfer ireductibilă, de forma
nn
rrzazazbzbb
zG −−
−−
++++++
= 11
110
0 1)( , C∈z .
Ambele sisteme au aceeaşi ecuaţie a polilor, anume
011
1 =++++ −−
nnnn azazaz ,
care coincide cu ecuaţia caracteristică a sistemului minimal. De asemenea, au aceeaşi funcţie pondere (deoarece sunt echivalente intrare-ieşire). Prin urmare, studiul stabilităţii externe a sistemului Σ se poate face pe baza funcţiei pondere a sistemului 0Σ , adică a răspunsului la intrare impuls unitar a sistemului cu ecuaţia
)()1()()()1()( 101 rtubtubtubntyatyaty rn −++−+=−++−+ .
Dacă rădăcinile nzzz ,,, 21 ale ecuaţiei caracteristice (identice cu polii funcţiei de
transfer) au valori distincte, atunci funcţia pondere are următoarea formă pentru t suficient de mare:
tnn
tt zCzCzCtg +++= 2211)( . (17)
Dacă rădăcinile 1z şi 2z sunt reale şi egale, atunci suma tt zCzC 2211 + trebuie înlocuită
cu tzCtC 121 )( + . In ambele cazuri, funcţia pondere )(tg tinde la 0 pentru ∞→t dacă
şi numai dacă toţi polii au modulul subunitar. Am obţinut astfel Teorema stabilităţii externe stricte a sistemelor discrete. Un sistem liniar
monovariabil discret este extern strict stabil dacă şi numai dacă toţi polii funcţiei de transfer a sistemului au modulul subunitar.
In ceea ce priveşte stabilitatea simplă, se poate arăta că funcţia pondere )(tg este mărginită dacă şi numai dacă toţii polii au modulul unitar sau subunitar, polii cu modulul unitar fiind poli simpli. Prin urmare, un sistem liniar monovariabil discret este extern stabil dacă şi numai dacă toţi polii funcţiei de transfer a sistemului au modulul subunitar sau unitar, polii cu modulul unitar fiind poli simpli.
Un sistem multivariabil este extern stabil dacă şi numai dacă toate canalele intrare-ieşire ale sistemului sunt extern stabile.
STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE
79
Observaţii. 1°. Problema stabilităţii unui sistem liniar se reduce la problema poziţionării în planul complex a rădăcinilor polinomului caracteristic - în cazul stabilităţii interne, respectiv a rădăcinilor polinomului polilor - în cazul stabilităţii externe. In cazul unui sistem monovariabil minimal, polinomul caracteristic coincide cu polinomul polilor şi, în consecinţă, sistemul este intern stabil dacă şi numai dacă este extern stabil. In general, un sistem intern stabil este şi extern stabil, dar implicaţia inversă nu este întotdeauna valabilă.
2°. In cazul conexiunilor serie si paralel, dacă sistemele componente sunt extern strict stabile, atunci sistemul rezultant este extern strict stabil. Teoretic, sistemul rezultant poate fi extern strict stabil şi în condiţiile în care sistemele componente nu
sunt toate extern strict stabile. De exemplu, conexiunea serie cu 11
1 +−= s
sG şi
11
2 −= sG , sau conexiunea paralel cu 11
1 −−= sG şi 12 −= s
sG , sunt extern strict
stabile, dar intern instabile. In majoritatea aplicaţiilor practice interesează stabilitatea externă a sistemului.
Totuşi, în cazul general al unui sistem compus, vom considera practic inacceptabilă soluţia stabilizării externe a sistemului prin simplificarea sau reducerea părţilor instabile.
3°. In cazul sistemului de reglare automată din figura 1.4, dacă elementele componente sunt de tip minimal (cu forma primară a funcţiilor de transfer ireductibilă) şi, în plus, produsul TPER GGGG este ireductibil, atunci polinomul
caracteristic şi polinomul polilor coincid, fiind egale cu numărătorul raţionalei
TPER GGGG+1 . (18)
In acest caz, sistemul este intern stabil dacă şi numai dacă este extern stabil. Această proprietate se păstrează şi în cazul mai general în care elementele componente sunt de tip minimal şi produsul raţional TPER GGGG se simplifică printr-un polinom
hurwitzian (care are toate rădăcinile cu partea reală negativă), precum şi atunci când toate elementele componente sunt stabile. In proiectarea regulatorului unui sistem de reglare a unui proces instabil trebuie evitată soluţia simplificării polului instabil al procesului printr-un zerou egal al regulatorului (în cadrul produsului PRGG ),
deoarece o simplificare perfectă nu este posibilă decât din punct de vedere teoretic.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
80
3.3. CRITERIUL DE STABILITATE HURWITZ
Criteriul lui Hurwitz permite rezolvarea efectivă a problemei stabilităţii pe baza condiţiilor formulate în cadrul teoremelor de stabilitate internă şi externă. Criteriul are la bază ideea conform căreia rezolvarea problemei locaţiei rădăcinilor unui polinom în raport cu axa imaginară sau cu cercul unitar cu centrul în origine nu necesită calculul rădăcinilor polinomului.
Criteriul lui Hurwitz. Polinomul
011
1)( asasasasp nn
nnn ++++= −
− , 0>na
este hurwitzian, adică are toate rădăcinile cu partea reală negativă, dacă şi numai dacă toţi coeficienţii polinomului şi minorii principali
11 −=Δ na , 3212
312 −−−
−
−− −==Δ nnnnnn
nn aaaaaaaa
, … , 10 −Δ=Δ nn a
ai matricei Hurwitz
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−
−−
02
1
2
31
*00**
0000
a a a
aaaa
Hnn
nn
n (19)
sunt pozitivi. Tinând seama de expresiile minorilor 1Δ şi nΔ , condiţia de pozitivitate a
acestor minori este evident superflue. Construcţia matricei Hurwitz se face astfel: se completează mai întâi diagonala
principală şi apoi coloanele, ţinând seama de faptul că indicii coeficienţilor cresc la deplasarea, de sus în jos, pe fiecare coloană.
Pentru 2=n , din criteriul lui Hurwitz rezultă că ambele rădăcini ale polinomului
012
22 )( asasasp ++= , 02 >a ,
au partea reală negativă dacă şi numai dacă toţi coeficienţii sunt strict pozitivi. Pentru 3=n , matricea Hurwitz are forma
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
02
13
02
3
000
aaaaaa
H .
STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE
81
Polinomul 012
23
33 )( asasasasp +++= (cu 03 >a ) are rădăcinile cu partea reală
negativă dacă şi numai dacă toţi coeficienţii sunt strict pozitivi şi, în plus, 030212 >−=Δ aaaa . (20)
Pentru 4=n , matricea Hurwitz are forma
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
02
13
024
13
00 00 00
4
4
aaaaaaaa
aa
H .
Rădăcinile polinomului
012
23
34
44 )( asasasasasp ++++= , 04 >a ,
au partea reală negativă dacă şi numai dacă toţi coeficienţii sunt strict pozitivi şi, în plus, 02
30213 >−Δ=Δ aaa , unde 41322 aaaa −=Δ . In mod evident, condiţia 02 >Δ rezultă implicit din condiţia 03 >Δ .
Observaţii. 1°. Polinomul )(spn are rădăcinile cu partea reală mai mică decât R∈α , adică situate în stânga dreptei α=s , dacă şi numai dacă polinomul )(sp este
hurwitzian, unde )() α+= ssp np( (21)
Această remarcă poate fi utilizată la poziţionarea rădăcinilor polinomului caracteristic sau polinomului polilor în stânga dreptei α=s , 0<α , în vederea obţinerii unor performanţe dinamice convenabile.
2°. In analiza stabilităţii sistemelor discrete se ţine seama de faptul că transformarea omografică
11
−+= s
sz , (22)
echivalentă cu zzs 1
1−+= , aplică biunivoc interiorul cercului unitar cu centrul în
origine din planul variabilei z în semiplanul 0<sRe din planul variabilei s . In consecinţă, polinomul
011
1)( azazazaz nn
nnn ++++= −
−P , 0>na ,
are toate rădăcinile cu modulul subunitar dacă şi numai dacă ecuaţia
0)11( =
−+
ss
nP (23)
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
82
are toate rădăcinile cu partea reală negativă, ceea ce poate fi analizat cu criteriul Hurwitz.
3.4. APLICAŢII
3.4.1. Aplicaţii rezolvate
♦ Aplicaţia 3.1. Să se studieze stabilitatea sistemului cu ecuaţia
uuyyy 2232 −=−− .
Soluţie. Sistemul are polinomul caracteristic
)12)(2(232)( 2 +−=−−= sssssP şi funcţia de transfer 12
1232
2)( 2 +=
−−−= sss
ssG .
Deoarece polinomul caracteristic are rădăcina 21 =s strict pozitivă, sistemul este intern
instabil. Deoarece polinomul polilor
12)( += ssP
are o singură rădăcină şi aceasta este negativă (egală cu 2/1− ), sistemul este extern strict stabil.
♦ Aplicaţia 3.2. Să se studieze stabilitatea sistemului cu ecuaţia
0 , )(168 2 ≥+−=−++ kuuykyy .
Soluţie. Formăm polinomul caracteristic
)4)(4(168)( 22 ksksksss −+++=−++=P
şi funcţia de transfer
)4)(4(1)(
k1681)( 22 ksks
sssssG −+++
−−=−++
+−= .
Polinomul caracteristic are rădăcina ks −−= 41 negativă şi rădăcina ks +−= 42 negativă
pentru 4<k , nulă pentru 4=k şi pozitivă pentru 4>k . In consecinţă, sistemul este intern strict stabil pentru 4<k , intern semistabil pentru 4=k şi intern instabil pentru 4>k .
Sistemul are doi poli pentru 5≠k şi un singur pol pentru 5=k , anume 91 −=s . Rezultă că sistemul este extern strict stabil pentru 4<k şi 5=k , extern semistabil pentru 4=k şi extern instabil pentru 4>k , 5≠k .
STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE
83
♦ Aplicaţia 3.3. Să se studieze stabilitatea sistemului continuu ),,,( DCBAΣ cu
[ ] . 0= , 001= , 100
= , 4561 00110
DCBA −⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−=
Soluţie. Polinomul caracteristic al sistemului
)3)(2)(1(64)Idet()( 23 ++−=−++=−= ssssssAssP
are o rădăcină pozitivă ( 11 =s ) şi, prin urmare, sistemul este intern instabil.
Funcţia de transfer a sistemului
3)2)((1
641)I()( 23
1++
=−++
−=+−= −sssss
sDBAsCsG ,
are polii 21 −=s şi 32 −=s , ambii negativi; în consecinţă, sistemul este extern strict stabil.
♦ Aplicaţia 3.4. Elementele componente ale sistemului de reglare automată de mai jos au următoarele modele dinamice: R: εkc = , mr −=ε ; E: cuu 22 =+ ; P: v25,05 −=+ uyy ; T: ymm =+ .
a) Să se studieze stabilitatea sistemului. b) Să se determine parametrul real k astfel încât polii sistemului de reglare să fie
situaţi în stânga dreptei 3,0−=s .
Soluţie. Elementele sistemului de reglare au următoarele funcţii de transfer
kGR = , 122+= sGE , 15
1+= sGP ,
1525,0+
−=
sGV , 1
1+= sGT .
a) Deoarece funcţiile de transfer ale elementelor componente şi funcţia de transfer a sistemului deschis
)1)(15)(12(2
+++== ssskGGGGG TPERd
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
84
sunt ireductibile, studiul sistemului din punctul de vedere al stabilităţii interne şi externe conduce la acelaşi rezultat. Polinomul caracteristic şi polinomul polilor sistemului coincid cu numărătorul raţionalei )(1 sGd+ , adică
kssskssssP 21817102)1)(15)(12()( 23 ++++=++++= .
Coeficienţii lui )(sP sunt pozitivi pentru 21−>k , iar minorul Hurwitz
)1063(2)21(1017803212 kkaaaa −=+−⋅=−=Δ
este pozitiv pentru 1063<k . Prin urmare, sistemul de reglare este strict stabil dacă şi numai
dacă factorul de proporţionalitate al regulatorului aparţine intervalului )1063,2
1(− .
In figura 3.1 este prezentat răspunsul )(ty al sistemului de reglare la referinţă treaptă unitară pentru diferite valori ale factorului de proporţionalitate k al regulatorului. Răspunsul a fost obţinut în MATLAB, cu următorul program:
k=[-0.1 0.5 2 6.3]; t=0:0.1:30; s=tf('s'); sis_E=2/(2*s+1);
sis_P=1/(5*s+1); sis_T=1/(s+1);
hold on; for i=1:4
sis1=k(i)*sis_E*sis_P; sis=sis1/(1+sis1*sis_T); step(sis,t); end; grid on
Fig. 3.1. Răspunsul )(ty la referinţă treaptă unitară.
STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE
85
b) Impunem condiţia ca polinomul
kssssP 21)3,0(8)3,0(17)3,0(10)3,0( 23 ++−+−+−=−
14,025,0810 23 −+++= ksss
să fie hurwitzian. Din condiţia de pozitivitate a coeficienţilor rezultă 07,0>k , iar din condiţia 02 >Δ , unde kkaaaa 204,5)14,02(1085,003212 −=−−⋅=−=Δ ,
rezultă 27,0<k . In concluzie, sistemul de reglare are toţi polii cu partea reală mai mică decât 3,0− pentru 27,007,0 <<k .
♦ Aplicaţia 3.5. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare cu funcţiile de transfer
)411( skGR += , 12
2+= sGE , 15
1+= sGP , 1
1+= sGT .
Soluţie. Avem
1)1)(1)(5(221)(4
++++= ssss
skGd .
Deoarece funcţiile de transfer ale elementelor componente şi ale sistemului deschis sunt ireductibile, polinomul polilor şi polinomul caracteristic coincid:
kskssssP +++++= )12(2163420)( 234 . Avem
)1063(814322 kaaaa −=−=Δ ,
)25217580(4 2230213 ++−=−Δ=Δ kkaaa .
Coeficienţii polinomului )(sP şi 3Δ sunt pozitivi pentru 00 kk << , unde 178,30 ≅k . Conform criteriului Hurwitz, sistemul de reglare este strict stabil (intern şi extern) dacă şi numai dacă 00 kk << .
In figura 3.2 este prezentat răspunsul )(ty al sistemului de reglare la referinţă treaptă unitară pentru diferite valori ale factorului de proporţionalitate k al regulatorului. Răspunsul a fost obţinut în MATLAB, cu următorul program:
k=[0.2 0.4 1 3.17]; t=0:0.1:40; s=tf('s'); sis_E=2/(2*s+1);
sis_P=1/(5*s+1); sis_T=1/(s+1);
hold on; for i=1:4
sis1=k(i)*(1+1/4/s)*sis_E*sis_P; sis=sis1/(1+sis1*sis_T); step(sis,t); end; grid on
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
86
Fig. 3.2. Răspunsul )(ty la referinţă treaptă unitară.
♦ Aplicaţia 3.6. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare cu funcţiile de transfer
sTGi
R11+= , 13
1+= sGE , 16
1+= sGP , 1
1+= sGT .
Soluţie. Avem
1)1)(61)(3(/1
++++
= ssssTs
G id .
Pentru }6,3,1{∉iT , polinomul polilor coincide cu polinomul caracteristic:
iTsssssP 12102718)( 234 ++++= .
Avem 23414322 =−=Δ aaaa
şi )8152(92
30213iTaaa −=−Δ=Δ .
Coeficienţii polinomului )(sP şi 3Δ sunt pozitivi pentru 5281>iT . Conform criteriului
Hurwitz, sistemul de reglare este strict stabil (intern şi extern) dacă şi numai dacă 55,152
81 ≅>iT . Acest rezultat este valabil şi în cazul }6,3,1{∈iT , când polinomul
caracteristic diferă de polinomul polilor, deoarece funcţia )(sGd se simplifică printr-un
polinom hurwitzian.
In figura 3.3 este prezentat răspunsul )(ty al sistemului de reglare la referinţă treaptă unitară pentru diferite valori ale constantei de timp integrale a regulatorului.
STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE
87
Fig. 3.3. Răspunsul )(ty la referinţă treaptă unitară.
♦ Aplicaţia 3.7. Fie sistemul de reglare automată ale cărui elemente au funcţiile de transfer
)11(sT
kGi
R += , 0>k ,
1=EG , )14(1++= ss
sGP , 1=TG .
Să se studieze stabilitatea sistemului pentru: (a) 1=iT ; (b) 3=iT .
Soluţie. (a) Avem
)14(
)1()( 2
2
++=ss
sksGd ,
iar polinomul polilor şi cel caracteristic coincid:
kksskssP ++++= 2)1(4)( 23 .
Deoarece coeficienţii lui )(sP sunt pozitivi, sistemul este stabil numai atunci când
0)1(230212 >−=−=Δ kkaaaa ,
adică pentru 1>k . In marea majoritate a aplicaţiilor practice, sistemele de reglare sunt stabile pentru valori mici ale factorului de proporţionalitate al regulatorului, când comanda generată de regulator este relativ slabă. Sistemul de reglare studiat este însă unul de excepţie, în care sistemul deschis este dublu integral, iar componenta integrală a regulatorului este foarte puternică.
In figura 3.4 este prezentat răspunsul )(ty al sistemului de reglare la referinţă treaptă unitară pentru diferite valori ale factorului de proporţionalitate k regulatorului.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
88
Fig. 3.4. Răspunsul la referinţă treaptă unitară pentru )11( skGR += .
(b) In cazul regulatorului )311( skGR += cu componenta integrală mai slabă, avem
)14(3
)1)(13()( 2 +++=
ssssksGd ,
iar polinomul polilor are expresia
kksskssP ++++= 4)1(312)( 23 .
Deoarece coeficienţii lui )(sP sunt pozitivi şi 012 230212 >=−=Δ kaaaa , sistemul este
stabil pentru orice 0>k (fig. 3.5).
Fig. 3.5. Răspunsul la referinţă treaptă unitară pentru )311( skGR += .
STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE
89
♦ Aplicaţia 3.8. Fie sistemul de reglare automată ale cărui elemente au funcţiile de transfer
)11( sTkGi
R += , 1=EG , )1(111 +
= sTsTGP , 1=TG .
Să se arate că sistemul este strict stabil pentru 01 >>TTi , oricare ar fi 0>k .
Soluţie. Avem
)1(
)1()(
12
1 +
+=
sTsTTsTk
sGi
id
şi polinomul polilor
kskTsTTsTTsP iii +++= 21
321)( .
Pentru 0>k , sistemul este strict stabil deoarece coeficienţii polinomului caracteristic sunt pozitivi şi 0)( 1130212 >−=−=Δ TTTkTaaaa ii .
♦ Aplicaţia 3.9. Să se studieze stabilitatea sistemului discret cu ecuaţia
)(2)1()2(2)1()(3 tututytkyty −−=−+−+ , R∈k
Soluţie. Sistemul are polinomul caracteristic
23)( 2 ++= kzzzP .
Rădăcinile polinomului caracteristic au modulul subunitar atunci când ecuaţia
0)11( =−
+ssP ,
echivalentă cu 052)5( 2 =−+++ kssk ,
are rădăcinile cu partea reală negativă, adică atunci când are toţi coeficienţii pozitivi. Prin urmare, sistemul este intern strict stabil pentru )5,5(−∈k , intern semistabil pentru
}5,5{−∈k şi intern instabil pentru ),5()5,( ∞∪−−∞∈k .
Pentru 5−=k avem )23)(1()( −−= zzzP , iar pentru 5=k avem )23)(1()( ++= zzzP . In
ambele cazuri sistemul este semistabil, deoarece ecuaţia caracteristică are o rădăcină cu modulul subunitar şi o rădăcină cu modulul unitar.
Pentru studiul stabilităţii externe formăm funcţia de transfer
23
223
2)( 221
21
++−=
++−= −−
−−
kzzz
zkzzzzG .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
90
Pentru 7−≠k , funcţia de transfer este ireductibilă, iar polinomul polilor coincide cu polinomul caracteristic. Pentru 7−=k , rezultă
131)( −= zzG ,
iar sistemul este extern strict stabil deoarece polul 31
1=z are modulul subunitar. In
concluzie, sistemul este extern strict stabil pentru }7{)5,5( −∪−∈k , extern semistabil pentru }5,5{−∈k şi extern instabil pentru ),5()5,7()7,( ∞∪−−∪−−∞∈k .
Pentru 7−=k , sistemul este intern instabil, dar extern strict stabil. In figurile 3.6 şi 3.7 sunt reprezentate grafic răspunsurile indiciale ale sistemului pentru cazurile de semistabilitate 5−=k şi 5=k , respectiv pentru cazurile de stabilitate externă 7−=k şi
0=k .
Fig. 3.6. Răspunsul indicial al sistemului semistabil.
Fig. 3.7. Răspunsul indicial al sistemului stabil.
STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE
91
♦ Aplicaţia 3.10. Să se studieze stabilitatea sistemului discret ),,,( DCBAdΣ cu
[ ] 0D , 01 , 11
, 5,021
1==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
−−
−= CBA
αα
.
unde α este un parametru real.
Soluţie. Sistemul are polinomul caracteristic
)12)(12(12)34(2)Idet()( 2 +++=++++=−= ααα zzzzAzzP .
Ţinând seama că 21
1−=z şi 122 −−= αz , rezultă că sistemul este intern strict stabil pentru
)0,1(−∈α , intern semistabil pentru }0,1{−∈α şi intern instabil pentru ),0()1,( ∞∪−−∞∈α .
Pentru studiul stabilităţii externe formăm modelul echivalent intrare-ieşire. Din ecuaţiile sistemului
⎩⎨⎧
++−=+
++−=+
)()()5,02()()1()()()()1(
222
211
tutxtxtxtutxtxtx
αα
, )()( 1 txty =
rezultă
⎪⎩
⎪⎨
⎧
++−++−+=+
++−=+
=
)1()()1()()5,12()()1()2()()()()1(
)()(
21
21
1
tututxtxtytutxtxty
txty
ααααα ,
de unde, prin eliminarea variabilelor de stare )(1 tx şi )(2 tx , obţinem ecuaţia
)()5,03()1()()5,0()1()5,12()2( tututytyty +++=++++++ ααα ,
echivalentă cu
)2()5,03()1()2()5,0()1()5,12()( −++−=−++−++ tututytyty ααα .
Rezultă funcţia de transfer
)12)(12(162
)5,0()5,12(1)5,03()( 21
21
+++++=
++++++= −−
−−
αα
ααα
zzz
zzzzzG .
Pentru 0≠α şi 21≠α , funcţia de transfer este ireductibilă, iar polinomul polilor coincide cu
polinomul caracteristic. Pentru 0=α , avem 11)( += zzG , iar sistemul este extern semistabil
deoarece polul 11 −=z are modulul egal cu 1. Pentru 5,0=α , avem
122)( += zzG ,
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
92
iar sistemul este extern strict stabil deoarece polul 21
1−=z are modulul subunitar. In
concluzie, sistemul este extern strict stabil pentru }21{)0,1( ∪−∈α , extern semistabil
pentru }0,1{−∈α şi extern instabil pentru ),21()2
1,0()1,( ∞∪∪−−∞∈α . Pentru 21=α ,
sistemul este intern instabil, dar extern strict stabil.
♦ Aplicaţia 3.11. Să se studieze stabilitatea sistemului discret având
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−=
1,70,80,110000 α
A , R∈α .
Soluţie. Polinomul caracteristic al matricei A este
α1,08,07,1)Idet()( 23 +++=−= zzzAzzP .
Mai departe, formăm ecuaţia
0)11( =
−+
ssP ,
care are forma
01)35()339()35( 23 =−+++−++ αααα sss .
Coeficienţii ecuaţiei sunt pozitivi pentru 135 <<− α . Impunând şi condiţia
01601368)1)(35()339)(35( 22 >++−=−+−−+=Δ αααααα ,
din criteriul Hurwitz rezultă că sistemul discret este intern strict stabil atunci când 10 <<− αα , unde 1047,10 ≈α .
3.4.2. Aplicaţii de autocontrol
♦ C3.1. Să se studieze stabilitatea internă şi externă a sistemului cu ecuaţia
uuukyyyy −−=+++ 2 ,
unde k este un parametru real.
♦ C3.2. Să se studieze stabilitatea internă şi externă a sistemului cu ecuaţia
uuyykykyk +−=+++++ 3)13()1( ,
unde k este un parametru real.
STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE
93
♦ C3.3. Să se studieze stabilitatea internă şi externă a sistemului continuu ),,,( DCBAΣ cu
[ ] , = , 001= ,
1
0
0
= ,
465
1 01
100
DkCBA
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
unde k este un parametru real.
♦ C3.4. Să se studieze stabilitatea internă a sistemului
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
−−=
−+=
3213
312
311
22
32
xxxxuxxx
ukxxx ,
⎩⎨⎧
−=
−=
212
11 2xxyuxy
,
unde k este un parametru real.
♦ C3.5. Să se studieze stabilitatea internă şi externă a sistemului
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−+=
+=
−=
uxxxx
ukxx
xxx
3213
22
321
52
,
321 22 xxxy ++−= ,
unde k este un parametru real.
♦ C3.6. Să se studieze stabilitatea internă şi externă a sistemului
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−−−=+=
=
uxxkxxuxx
xx
322 3213
32
21,
1xy= ,
unde k este un parametru real.
♦ C3.7. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare cu
kGR = , 122+= sGE ,
1815
22 +++
=ss
sGP , 1=TG ,
unde k este un parametru real.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
94
♦ C3.8. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare cu
)411( skGR += , 12
1+== sGG TE ,
142+= sGP ,
pentru 0>k .
♦ C3.9. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare cu
sTGi
R11+= , 1== TE GG ,
)18)(12(1
++= ssGP ,
pentru 0>iT .
♦ C3.10. Fie sistemul de reglare automată caracterizat prin
KGR = , 0>K , 1)s(24
1+
=EG , 1s41+=PG , 1=TG .
Să se determine K astfel încât polii sistemului să fie situaţi în stânga dreptei 31−
=s .
♦ C3.11. Pentru ce valori ale parametrului real k , sistemul discret cu ecuaţia
)2()1()3()2(8)1(17)(10 −+−=−+−+−+ tututkytytyty
este strict intern stabil ?
♦ C3.12. Pentru ce valori ale parametrului real k , sistemul discret cu ecuaţia
⎪⎩
⎪⎨⎧
−+=+
+−=+
)()()()1(2
)()()1(2
211
211
tutxtxtx
tkxtxtx , )()()( 21 txtxty −= .
este strict intern stabil ?
4 FUNCTIA DE FRECVENŢĂ
4.1. DEFINIŢIE SI PROPRIETĂŢI
Considerăm un sistem liniar neted cu funcţia de transfer )(sG . Prin definiţie, funcţia de frecvenţă (sau de pulsaţie) a sistemului este funcţia complexă )( ωjG , unde R∈ω sau, mai restrictiv, +∈Rω .
Funcţia de frecvenţă poate fi scrisă sub forma
)(e)()( ωωω jΦMjG = , (1)
unde )(ωM reprezintă modulul funcţiei de frecvenţă, iar )(ωΦ faza sau argumentul funcţiei de frecvenţă.
De asemenea, funcţia de frecvenţă poate fi scrisă sub forma
)()()( ωωω jVUjG += , (2)
unde )(ωU este partea reală a funcţiei de frecvenţă, iar )(ωV partea imaginară a funcţiei de frecvenţă.
Deoarece funcţia de transfer este o funcţie raţională, ea satisface următoarea proprietate:
)()( sGsG = ,
oricare ar fi variabila complexă s . Prin urmare,
)()( ωω jGjG =− ,
iar din )()()( ωωω −+−=− jVUjG şi )()()( ωωω jVUjG −= , rezultă
)()( ωω UU =− , )()( ωω VV −=− , (3)
adică )(ωU este funcţie pară, iar )(ωV funcţie impară. Din relaţiile
)()()( 22 ωVωUM +=ω (4)
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
96
şi )(/)()( ωωω UVΦtg = , (5)
rezultă că )(ωM este pară şi )(ωΦ impară. Dacă funcţiile impare )(ωV şi )(ωΦ sunt continue în punctul 0=ω , atunci 0)0( =V şi 0)0( =Φ . 4.2. INTERPRETARE FIZICA
Interpretarea fizică a funcţiei de frecvenţă a unui sistem liniar continuu rezultă imediat din teorema filtrării, enunţată şi demonstrată în cele ce urmează.
Teorema filtrării. Pentru un sistem liniar continuu propriu extern strict stabil aflat în regim sinusoidal permanent cu pulsaţia ω , modulul şi argumentul funcţiei de frecvenţă )( ωjG reprezintă factorul de amplificare şi, respectiv, defazajul ieşirii în raport cu intrarea.
Demonstraţie. Considerăm că la intrarea sistemului cu funcţia de transfer )(sG se aplică semnalul sinusoidal ttu ωsin)( = . Transformata Laplace a răspunsului sistemului este
)()()( 2222 sY s
B+AssGs
sY tr++
=+
=ωω
ω ,
unde )(sYtr este o raţională strict proprie având aceiaşi poli ca )(sG , deci cu partea
reală negativă. In relaţia de identificare )()()( 22 sGsBAssG trωω +++= , înlocuim pe s cu ωj pentru a elimina termenul cu )(sGtr . Rezultă
BAjjG += ωωω )( , BAjM jΦ += ωωω ω)(e)( , deci )(sin)( ωω ΦMA= , )(cos)( ωωω ΦMB = .
Prin urmare, răspunsul )(ty al sistemului are componenta armonică permanentă
[ ] =+=+
= − tBtAs
B+Asyp ωωωω
sincos221L(t)
)](sin[)(]sin)(coscos)()[sin( ωωωωωωωω ΦtMtΦtΦM +=+=
şi componenta tranzitorie
[ ])()( 1 sYty trtr−=L ,
FUNCŢIA DE FRECVENŢA
97
care se anulează în timp, adică 0)(lim =∞→
tytrt, deoarece toţi polii funcţiei )(sYtr au
partea reală negativă. Pentru intrarea sinusoidală ttu ωsin)( = , răspunsul permanent
al sistemului )](sin[)()( ωωω ΦtMtyp += , (6)
evidenţiază faptul că funcţia de frecvenţă
)(e)()( ωωω jΦMjG =
este factorul complex de amplificare în regim armonic permanent.
4.3. CARACTERISTICI DE FRECVENTA
Caracteristicile de frecvenţă cele mai utilizate sunt caracteristica amplificare-pulsaţie )(ωM şi caracteristica fază-pulsaţie )(ωΦ . Caracteristica amplificare-pulsaţie este frecvent cunoscută în literatura de specialitate şi sub denumirea, oarecum improprie, de caracteristică amplitudine-pulsaţie.
In reprezentarea grafică a celor două caracteristici, pulsaţia ω este exprimată de obicei în scară logaritmică, amplificarea M în decibeli ( MM lg20][ dB = , unde lg
este logaritmul zecimal), iar faza Φ în radiani. Sub această formă, caracteristicile de frecvenţă sunt cunoscute şi sub denumirea de caracteristici Bode.
In cazul sistemelor strict proprii (cu exces pozitiv poli-zerouri), din relaţia evidentă 0)(lim =
∞→sG
s rezultă condiţia
0)(lim =→∞
ωω
M ,
care exprimă faptul că factorul de amplificare în regim sinusoidal permanent al sistemelor strict proprii tinde la zero atunci când frecvenţa de oscilaţie tinde la infinit. Deoarece această proprietate caracterizează practic toate sistemele reale (fizice), rezultă că sistemele reale sunt strict proprii, cel puţin în domeniul frecvenţelor foarte înalte.
La sistemele semiproprii (cu acelaşi număr de poli şi zerouri), relaţia
n
n
absG
s=
∞→)(lim implică
0)(lim ≠=∞→ n
n
abM ω
ω.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
98
Valoarea nenulă a factorului de amplificare la frecvenţe (pulsaţii) ∞→ω se datorează faptului că sistemele semiproprii satisfac la limită principiul cauzalităţii, mărimea de ieşire având o componentă care urmăreşte instantaneu variaţiile mărimii de intrare.
In cazul sistemelor fizic realizabile, caracteristica amplificare-pulsaţie )(ωM
trebuie să satisfacă condiţia Paley-Wiener
∞<∫∞+
∞− d
1)(ln
2 ωωω
+M . (7)
Condiţia nu este satisfăcută atunci când )(ωM are valoarea nulă pe un interval de
variaţie a pulsaţiei ω . In particular, un filtru ideal de tip trece-jos, trece-bandă sau trece-sus (caracterizat printr-o amplificare nulă în afara benzii de trecere) nu este fizic realizabil. Se pot obţine însă caracteristici amplificare-pulsaţie oricât de apropiate de cele ale unui filtru ideal. O metodă de obţinere a acestor caracteristici este aproximaţia tip Taylor de un anumit ordin n , care în cazul filtrului trece-jos cu pulsaţia de bandă (de tăiere) bω (fig. 4.1), presupune satisfacerea următoarelor
condiţii:
1)0( =M , 2
1)( =bM ω , 0)0()( =iM , ni ,1= . (8)
Banda de trecere sau lărgimea de bandă a unui filtru trece-jos reprezintă intervalul ),0( bω în care factorul de amplificare în regim sinusoidal permanent
)(ωM nu scade mai mult de 2 ori (cu mai mult de 3 dB) faţă de valoarea sa
maximă.
Fig. 4.1. Caracteristica amplificare-pulsaţie a unui filtru trece- jos.
Aproximaţia tip Taylor de ordinul n are forma
FUNCŢIA DE FRECVENŢA
99
)( ))(( 21
1)(n
bbb
npspspssG
+++=
ωωω
, (9)
unde
ni
nipi 2
π1)(2jcos2π1)(2sin −−−
= , ni ,,2,1= . (10)
Cu notaţia 1 1 / bT ω= , pentru 1=n , 2=n şi 3=n , avem respectiv
11
1( )
1b
bG s s T s
ωω == + +
, (11)
2
2 2 2 2 21 1
2
1( )
2 1b
b bG s
s s T s T sωω ω+
=+
=+ +
, (12)
3
3 2 2 2 21 1 1
( )(
1( )
) ( 1)( 1)b
b b bG s
s s s T s T s T sω
ω ω ω+=
+=
+ + + + . (13)
Fig. 4.2. Caracteristicile amplificare-pulsaţie ale filtrelor de ordinul 1, 2 şi 3.
Graficul funcţiei de frecvenţă construit pentru 0≥ω se numeşte locul de transfer, iar graficul funcţiei de frecvenţă construit pentru R∈ω se numeşte locul lui Nyquist.
Locul de transfer mai poate fi definit ca fiind graficul funcţiei de transfer )(sG
atunci când variabila complexă s parcurge semiaxa imaginară pozitivă. Dacă )(sG are un pol în origine, atunci locul de transfer este construit pentru ωjs = , 0>ω , iar dacă )(sG are poli complex-conjugaţi pe axa imaginară, atunci variabila
s ocoleşte prin partea dreaptă polul de pe axa imaginară pozitivă, pe un semicerc de rază 0→r (parcurs în sens pozitiv, trigonometric). Unui asemenea pol îi
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
100
corespunde în planul funcţiei de transfer un semicerc de rază ∞→R parcurs în sens negativ, orar. De regulă, trasarea analitică a locului de transfer se face pe baza tabelelor de variaţie ale funcţiilor )(ωU şi )(ωV .
Locul lui Nyquist mai poate fi definit ca fiind graficul funcţiei de transfer )(sG
atunci când variabila complexă s parcurge întreaga axă imaginară. Toţi polii complex-conjugaţi de pe axa imaginară ai funcţiei de transfer sunt ocoliţi de variabila s prin semicercuri de rază 0→r , parcurse prin dreapta, în sens pozitiv. Din relaţiile )()( ωω UU =− şi )()( ωω VV −=− rezultă că locul lui Nyquist este
simetric faţă de axa reală şi poate fi obţinut din locul de transfer prin adăugarea simetricului locului de transfer faţă de axa reală. Deoarece axa imaginară este un contur deschis, locul lui Nyquist va fi o curbă deschisă.
Sistemul simplu integral, cu funcţia de transfer sKsG =)( , 0>K , are funcţia
de frecvenţă jωKjωG /)( = , deci
0)( =ωU , ωKV −=)(ω ,
ωω KM =)( , 2π)( −=ωΦ .
In regim sinusoidal permanent, faza sistemului )(ωΦ este negativă şi constantă în raport cu pulsaţia ω , iar factorul de amplificare )(ωM tinde la ∞ pentru 0→ω
şi este strict descrescător în raport cu ω . Prima proprietate a factorului de amplificare este irelevantă sub aspect practic, deoarece pulsaţia ω tinde la zero atunci când perioada de oscilaţie tinde la infinit. Locul de transfer coincide cu semiaxa imaginară negativă, parcursă de jos în sus (fig. 4.3).
Fig. 4.3. Locul lui Nyquist al sistemelor simplu integral şi dublu integral.
FUNCŢIA DE FRECVENŢA
101
Sistemul dublu integral, cu funcţia de transfer 2)(sKsG = , 0>K , are funcţia de
frecvenţă 2/)( ωKjωG −= , deci
2)(ω
KU −=ω , 0)( =ωV ,
2)(ωKM =ω , π)( −=ωΦ .
Locul de transfer coincide cu semiaxa reală negativă, parcursă de la stânga spre dreapta (fig. 4.3).
Sistemul de întârziere de ordinul unu, cu funcţia de transfer
1)(1 += sTKsG , 0, >TK ,
are funcţia de frecvenţă
1)(1 += ωω jT
KjG ,
deci
1
)( 221 +
=ω
ωT
KU , 1
)( 221
1+
−=
ωω
ωT
KTV , (14)
1
)(22
1 +=
ωω
TKM , ωω 1arctg)( TΦ −= . (15)
Amplificarea M este strict descrescătoare cu ω (de la valoarea K la zero). Din caracteristica amplificare-pulsaţie )(ωM reprezentată în figura 4.4, rezultă că sistemul este un filtru trece-jos cu pulsaţia de bandă 1/1 Tb =ω .
Fig. 4.4. Caracteristica amplificare-pulsaţie a sistemului de întârziere de ordinul unu.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
102
Faza Φ este negativă şi strict descrescătoare în raport cu pulsaţia ω (de la
valoarea 0 la valoarea 2π− ), având valoarea
4π− pentru pulsaţia de bandă bω .
Prin eliminarea produsului ωT1 între )(ωU şi )(ωV , obţinem următoarea
ecuaţie a locului de transfer şi locului lui Nyquist:
222 )2/()2/( KVKU =+− . (16)
Locul de transfer al sistemului este semicercul inferior (din cadranul IV), cu centrul în punctul )0,2/( K şi care trece prin origine, reprezentat cu linie continuă (fig. 4.5). Locul lui Nyquist cuprinde şi semicercul superior (din cadranul I), dar este o curbă deschisă care nu conţine originea.
Fig. 4.5. Locul lui Nyquist al sistemului de întârziere de ordinul unu.
Sistemul de avans-întârziere de ordinul unu, cu funcţia de transfer
11
)(1
1++
= sTsτ
KsG , 0,, 11 >τTK ,
are funcţia de frecvenţă
1)1(
)(1
1++
= ωωτ
ω jTjK
jG ,
deci
, )1
()( 221
111
121
11+
−+=
1+1+
= 2
2
ωω ΤτT
τTK
ΤωΤΚ
ωUτ )(
, 1)(
)( 221
11+−−
=ω
ωω
TτTK
V (17)
11)(
221
221
+
+=
ωωτω
TKM , ωωτω 11 arctgarctg)( TΦ −= . (18)
Faza Φ este negativă atunci când efectul de întârziere este dominant ( 11 T<τ ) şi pozitivă - când efectul de avans este dominant ( 11 T>τ ).
FUNCŢIA DE FRECVENŢA
103
Din caracteristica amplificare-pulsaţie )(ωM , rezultă că:
(a) pentru 21
1T
<τ , sistemul este un filtru trece-jos cu pulsaţia superioară de
bandă 21
21 2
1τ
ω−
=Tb ;
(b) pentru 111 22
TT
≤≤τ , sistemul este un filtru trece-tot;
(c) pentru 11 2T>τ , sistemul este un filtru trece-sus cu pulsaţia inferioară de
bandă 11
21
21 2
TT
b ττω −
= (fig. 4.6).
Fig. 4.6. Caracteristica amplitudine-pulsaţie a sistemului de avans-întârziere de ordinul unu cu 11 2T>τ .
Prin eliminarea variabilei ω între )(ωU şi )(ωV , rezultă următoarea ecuaţie a locului de transfer şi locului lui Nyquist:
0)1(1
122
1
12 =+++− Tτ
KVUTτ
KU . (19)
Pentru 11 T>τ , locul de transfer al sistemului este semicercul superior (din cadranul
I), care atinge axa reală în punctele )0,(K şi )0,(1
1Tτ
K - figura 4.7. Locul lui
Nyquist cuprinde şi semicercul inferior (din cadranul IV), dar nu conţine punctul
)0,(1
1Tτ
K .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
104
Fig. 4.7. Locul lui Nyquist al sistemului de avans-întârziere de ordinul unu cu 11 T>τ .
Sistemul derivativ de ordinul unu, cu funcţia de transfer
1)(1
1+= sTsτ
sG , 0, 11 >τT ,
are funcţia de frecvenţă
1)(1
1+= ωωτ
ω jTj
jG ,
deci
1+
= 2
2
ω2111)(
ΤωΤτ
ωU , , 1
)( 221
1+
=ωω
ωTτ
V (20)
1
)(22
1
1
+=
ω
ωτω
TM , ωω 1arctg2
π)( TΦ −= . (21)
Faza Φ este pozitivă şi strict descrescătoare în raport cu pulsaţia ω (de la 2π/ la zero), iar amplificarea M este strict crescătoare cu ω (de la valoarea zero la 11/Tτ ). Sistemul este un filtru trece-sus cu pulsaţia inferioară de bandă 1/1 Tb =ω (fig. 4.8).
Fig. 4.8. Caracteristica amplitudine-pulsaţie a sistemului derivativ de ordinul unu.
FUNCŢIA DE FRECVENŢA
105
Prin eliminarea variabilei ω între )(ωU şi )(ωV , rezultă următoarea ecuaţie a locului de transfer şi locului lui Nyquist:
2
1
122
1
1 )2()2( Tτ
VTU =+−τ
. (22)
Locul de transfer al sistemului este semicercul superior (din cadranul I), cu centrul
în )0,2(1
1Tτ
şi care trece prin origine (fig. 4.9). Locul lui Nyquist cuprinde şi
Fig. 4.9. Locul lui Nyquist al sistemului derivativ de ordinul unu.
Sistemul de întârziere de ordinul doi de tip oscilant, cu funcţia de transfer
22
2
2)(
nn
nss
sGωξω
ω++
= , 10 <<ξ , 0>nω ,
are funcţia de frecvenţă
)(2
)( 22
2
ωξωωωω
ωj
jGnn
n+−
= ,
deci
2222
2
4)(11)(
xxxxU
ξ+−−= , 2222 4)(1
x2)(xx
xVξ
ξ+−
−= , (23)
2222 4)1(
1)(xx
Mξ
ω+−
= , 1
2)(tg 2 −=
xxΦ ξω , (24)
unde nx ωω /= este pulsaţia relativă.
In cazul 12
1≤≤ξ , amplificarea M este descrescătoare cu x , deci cu pulsaţia
ω . In cazul 2
10 <<ξ , amplificarea M atinge valoarea maximă 212
1ξξ −
pentru
221 ξ−=x , adică pentru 221 ξωω −= n . In cazul 0=ξ , amplificarea M tinde la ∞ atunci când pulsaţia ω tinde spre valoarea nω (fenomen de rezonanţă).
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
106
Faza Φ este negativă şi strict descrescătoare în raport cu pulsaţia ω (de la zero la π− ), egală cu 2π/− pentru nωω= .
In figurile 4.10 şi 4.11 sunt reprezentate caracteristicile amplificare-pulsaţie şi locul de transfer pentru ξ = 0,4; 0,6; 0,8; 1,0.
Fig. 4.10. Caracteristica amplitudine-pulsaţie a sistemului oscilant de ordinul doi.
Fig. 4.11. Locul de transfer al sistemului de întârziere de ordinul doi.
■ In MATLAB, pentru reprezentarea locului lui Nyguist al unui sistem sis se utilizează funcţia nyquist, sub una din formele
• function [] = nyquist(sis) ; • function [] = nyquist(sis,w) .
Dacă funcţia nyquist este apelată cu argumentele de ieşire [Re,Im,w], în locul reprezentării grafice a locului de transfer sunt returnate valorile părţii reale Re, ale părţii imaginare Im şi ale vectorului de frecvenţă (pulsaţie) w.
FUNCŢIA DE FRECVENŢA
107
4.4. SISTEME CU TIMP MORT
Sistemul continuu pur proporţional cu timp mort are modelul
)()( τ−= tKuty , (25)
şi funcţia de transfer
sKsG τ−= e)( , (26)
unde K este factorul de proporţionalitate şi τ timpul mort ( 0>τ ). Similar, sistemul continuu de întârziere de ordinul unu cu timp mort are modelul
)()()(1 τ−=+ tKutytyT , (27)
şi funcţia de transfer
1e)(
1 +=−
sTK sG
sτ . (28)
Sistemele continue cu timp mort sunt sisteme infinit dimensionale, funcţia de transfer a unui sistem cu timp mort putând fi doar aproximată printr-o funcţie raţională de un anumit ordin.
Ţinând seama că
+ s + s + 2!1!1e22s τττ = ,
funcţia de transfer a elementului pur timp mort, anume
se)( ττ
−=sG , (29)
poate fi aproximată cu următoarea funcţie raţională de tipul 0+n (cu numitorul de gradul n şi numărătorul de gradul 0 )
!2!1!1
1)( 220
ns + + s + s +
sG nnn
ττττ =+ . (30)
In general, funcţia raţională de ordinul n care poate aproxima cel mai bine funcţia de transfer se)( τ
τ−=sG este una semiproprie, de forma
nn
nnnn
sa + + sa+ sa + sb + + sb+ sb +
sG 221
221
11
)( =+τ . (31)
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
108
Coeficienţii ia şi ib se determină prin aşa numita aproximaţie Padé, astfel încât
dezvoltările în jurul originii ale funcţiilor
nnsa + + sa+ sa + sa 2
211)( =
şi
)3!2!1!1)(1()(3322
221 + s+ s + s + sb + + sb+ sb + sb n
nτττ=
să coincidă până la ordinul maxim posibil, egal cu n2 . In acest fel, termenii cu puterile 0s , 1s , ... , ns2 ai lui )(sa şi )(sb sunt egali. Procedând astfel, obţinem
,!1)2()221)(2(2
1)(2)1)((iinnn
innnai
iτ⋅
+−−−+−−−
= (32)
ii
i ab 1)(−= . (33)
In particular, avem
2121
)(11s
ssG τ
τ
τ+
−=+ ,
12211221
)( 22
22
22
ss
sssG
ττ
ττ
τ++
+−=+ , (34)
12010211201021
)( 3322
3322
33
sss
ssssG
τττ
τττ
τ+++
−+−=+ , (35)
In majoritatea aplicaţiilor, ordinul n al aproximaţiei Padé se alege în gama 3….10. Precizia de aproximare a timpului mort este cu atât mai ridicată cu cât ordinul n este mai mare (fig. 4.12 şi 4.13). O valoare prea mare a lui n măreşte însă considerabil dimensiunea sistemului.
Deoarece nnnG )1()( −=∞+τ , răspunsul indicial al aproximaţiei Padé de ordinul n
are valoarea iniţială nh )1()0( −=+ . In zona timpului mort ( τ<< t0 ), răspunsul
indicial oscilează în jurul valorii zero, intersectând de n ori axa timpului. La sistemele dinamice cu timp mort aproximat prin metoda Padé, aceste oscilaţii sunt puternic atenuate, cu atât mai mult cu cât ordinul de aproximaţie Padé şi constanta de timp de întârziere dominantă a sistemului au valori mai ridicate (fig. 4.14 şi 4.15).
FUNCŢIA DE FRECVENŢA
109
Fig. 4.12. Răspunsul indicial al sistemului cu funcţia de transfer s5e)( −=sG ,
aproximată prin metoda Padé de ordinul 5=n .
Fig. 4.13. Răspunsul indicial al sistemului cu funcţia de transfer s5e)( −=sG ,
aproximată prin metoda Padé de ordinul 10=n .
Fig. 4.14. Răspunsul indicial al sistemului cu funcţia de transfer
15e)(
5
+=
−
ssG
s,
aproximată prin metoda Padé de ordinul 5=n .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
110
Fig. 4.15. Răspunsul indicial al sistemului cu funcţia de transfer
15e)(
5
+=
−
ssG
s,
aproximată prin metoda Padé de ordinul 8=n .
Funcţia de frecvenţă a elementului timp mort, ωττ ω jjG −= e)( , are modulul
unitar şi faza liniar descrescătoare cu ω :
1)( =ωτM , τωωτ −=)(Φ . (36)
Prin urmare, în cazul sistemului cu timp mort cu funcţia de transfer
sesGsGmτ−= )()( , (37)
unde )(sG este funcţia de transfer a sistemului fără timp mort, avem
)()( ωω MMm = , τωωω −= )()( ΦΦm . (38)
Rezultă că locul de transfer al sistemului cu timp mort poate fi obţinut prin „spiralizarea” în sens orar a locului de transfer al sistemului fără timp mort, adică prin rotirea în sens orar în jurul originii, cu unghiul τω (exprimat în radiani), a fiecărui punct al locului de transfer fără timp mort.
Pentru sistemul pur integral cu timp mort, descris prin funcţia de transfer
sssGm
τ−= e1)( , (39)
avem
ωω 1)( =mM , τωω −−= 2π)(mΦ (40)
şi
FUNCŢIA DE FRECVENŢA
111
ωτωω sin)( −
=mU , ωτωω cos)( −
=mV . (41)
Din ecuaţia π)12()( +−= kΦm ω , obţinem pulsaţiile punctelor de intersecţie a locului
de transfer cu semiaxa reală negativă (fig. 4.16):
τω 2π1)(4 += k
k , ,2,1,0=k (42)
Punctele de intersecţie cu semiaxa reală negativă au partea reală
π1)(42+
−= kUkτ , (43)
deci
π2
0τ−=U ,
π52
1τ−=U etc.
Fig. 4.16. Locul de transfer al sistemului pur integral cu timp mort.
La sistemele de întârziere de ordinul unu cu timp mort, descrise prin funcţia de transfer
sG sTsmτ−
+= e11)(
1 , (44)
avem
1
1)(22
1 +=
ωω
TMm , τωωω −−= 1arctg)( TΦm (45)
şi
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
112
1sincos)( 22
1
1
+−
=ω
τωωτωω
TTU m ,
1cossin)( 22
1
1
+−−
=ω
τωωτωω
TTVm . (46)
Prima intersecţie a locului de transfer cu semiaxa reală negativă (fig. 4.17) are partea reală 00 cosτω=U , unde pulsaţia 0ω este dată de relaţia
0001 =+ τωω tgT , πτωπ << 02 . (47)
Fig. 4.17. Locul de transfer al sistemului de întârziere de ordinul unu cu timp mort.
♦ In MATLAB, atribuirea unei valori T timpului mort al unui sistem sis se face astfel:
sis.iodelay=T;
Coeficienţii numărătorului şi numitorului raţionalei Padé )(sG nnT+ de ordinul nn+ pot fi
determinaţi cu funcţia pade, apelată sub forma
[num, den] = pade(T,n); Apelată sub forma sis1 = pade(sis,n);
funcţia returnează sistemul fără timp mort sis1 (cu funcţia de transfer raţională) care aproximează sistemul cu timp mort sis, prin înlocuirea timpului mort al sistemului sis cu aproximaţia Padé de ordinul nn+ .
4.5. CRITERIILE DE STABILITATE NYQUIST
Criteriul de stabilitate Hurwitz este un criteriu de tip algebric ce poate fi aplicat în studiul stabilităţii sistemelor continue şi discrete de ordin finit. Criteriile de stabilitate Nyquist sunt de tip frecvenţial şi pot fi aplicate în studiul stabilităţii externe al tuturor sistemelor liniare continue, inclusiv cu timp mort. De regulă,
FUNCŢIA DE FRECVENŢA
113
criteriile de stabilitate frecvenţiale sunt aplicate la sistemele de reglare cu structură închisă, pornind de la următorul rezultat cunoscut: Sistemul închis cu reacţie negativă este extern strict stabil dacă şi numai dacă ecuaţia polilor
0)(1 =+ sGd (48)
are toate rădăcinile cu partea reală negativă (situate în stânga axei imaginare).
Primul criteriu Nyquist. Considerăm un sistem de reglare automată având funcţia de transfer a sistemului deschis TPERd GGGGG = strict proprie, cu 0n poli pe axa imaginară şi 1n poli în dreapta axei imaginare. Sistemul de reglare este strict stabil dacă şi numai dacă variaţia totală a argumentului vectorului 0v cu originea în punctul critic 01 j+− şi cu vârful mobil pe ramurile locului de transfer
)(sGd este
ππ10 2
arg nn +=Δ 0v . (49)
Demonstraţie. Dacă )(sGd este o funcţie raţională proprie de ordinul n , atunci
)()()(1
sPsRsGd =+ , (50)
unde )())(()( 21 npspspssP −−−= , (51)
)())(()( 21 nzszszssR −−−= , (52)
)(sP fiind polinomul polilor sistemului deschis, iar )(sR polinomul polilor sistemului închis. Dintre polii ip ai lui )(sGd , 0n sunt situaţi pe axa imaginară, 1n în dreapta axei imaginare şi 10 nnn −− în stânga axei imaginare. Conform condiţiei
generale de stabilitate, sistemul de reglare este strict stabil dacă şi numai dacă polinomul )(sR al polilor sistemului închis este hurwitzian, adică are toate rădăcinile iz situate în stânga axei imaginare.
Atunci când variabila s parcurge semiaxa imaginară pozitivă, variaţia totală a argumentului funcţiei )(1 sGd+ , egală cu unghiul descris de vectorul cu punctul de
aplicaţie în originea axelor şi vârful pe locul de transfer al funcţiei, este dată de relaţia
∑∑==
−Δ−−Δ=+Δn
ii
n
iid pszsG
11)arg()arg()1arg( . (53)
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
114
Aşa cum reiese imediat din figura 4.18, dacă is este un număr real dat, atunci avem:
/ 2 , 0
arg( ) 0 , 0
/ 2 , 0
i
i i
i
s
s s s
s
π
Δ
π
<⎧⎪− = =⎨⎪− >⎩
. (54)
Fig. 4.18. Variaţia argumentului factorului 1ss− .
Considerăm, pentru început, că toate rădăcinile iz şi ip ale polinoamelor )(sP şi )(sR sunt reale. Dacă sistemul de reglare este stabil, adică )(sR are toate rădăcinile
iz situate în stânga axei imaginare, atunci avem
∑=
=−Δn
ii
nzs1 2)arg( π . (55)
Deoarece
ππππ1010
110 2)()2(02)()arg( nnnnnnnnps
n
ii −−=−+⋅+−−=−Δ∑
= , (56)
iar din (53) rezultă
ππ10 2
)1arg( nnGd +=+Δ .
Prin urmare, variaţia vectorului v cu centrul în origine şi vârful mobil pe ramurile
locului de transfer )(1 sGd+ este egală cu ππ10 2
nn + . Deoarece locul de transfer al
funcţiei )(sGd se obţine din locul de transfer al funcţiei )(1 sGd+ prin translatarea
acestuia spre stânga cu 1 (operaţie ce transformă originea axelor în punctul critic 01 j+− ), rezultă că variaţia vectorului 0v cu centrul în punctul critic 01 j+− şi
vârful mobil pe ramurile locului de transfer )(sGd este, de asemenea, ππ10 2
nn + ,
adică
FUNCŢIA DE FRECVENŢA
115
ππ100 2
)1arg(arg nnGd +=+Δ=Δ v .
Reciproc, dacă ππ100 2arg nn +=Δ v , atunci ππ
10 2)1arg( nnGd +=+Δ , iar din
(53) şi (56) obţinem
=−Δ++Δ=−Δ ∑∑==
n
ii
n
idi psGzs
11)arg()1arg()arg(
22)()2( 1010πππππ nnnnnn =−−++= ,
de unde rezultă că toate rădăcinile iz ale polinomului polilor sistemului de reglare )(sR sunt negative, deci sistemul este stabil. Demonstraţia poate fi extinsă la cazul general, în care nu toate rădăcinile iz şi
ip sunt reale, pe baza următoarelor două observaţii: a) rădăcinile complexe ale polinoamelor cu coeficienţi reali )(sP şi )(sR sunt
conjugate două câte două; b) dacă jbas ±=2,1 sunt două rădăcini complex conjugate, atunci
1 2 1 2
, 0
arg( )( ) arg( ) arg( ) 0 , 0
, 0
a
s s s s s s s s a
a
π
Δ Δ Δ
π
<⎧⎪− − = − + − = =⎨⎪− >⎩
. (57)
Remarcă. In particular, din criteriul Nyquist se obţine imediat următoarea variantă simplificată: In cazul în care funcţia de transfer )(sGd este stabil şi de fază minimă, sistemul
închis este strict stabil dacă şi numai dacă la parcurgerea locului de transfer al funcţiei )( ωjGd în
sensul creşterii lui ω , punctul critic 01 j+− rămâne în stânga acestuia.
In următoarea variantă a criteriului Nyquist vom considera că variabila complexă s parcurge în sens orar aşa numitul contur Nyquist (fig. 4.19), format din axa imaginară şi semicercul din dreapta axei cu centrul în origine şi de rază ∞→R . Dacă )(sGd are poli
situaţi pe axa imaginară, conturul Nyquist îi va ocoli Fig. 4.19. Conturul Nyquist.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
116
pe partea dreaptă, prin semicercuri de rază 0→r . Atunci când variabila s parcurge conturul Nyquist, funcţia de transfer )(sGd generează o curbă închisă, cu sens
continuu, numită diagrama Nyquist.
Al doilea criteriu Nyquist. Considerăm un sistem de reglare automată având funcţia de transfer a sistemului deschis TPERd GGGGG = proprie, cu 1n poli în dreapta axei imaginare ( 1n incluzând şi polii multipli). Sistemul de reglare este
strict stabil dacă şi numai dacă diagrama Nyquist a sistemului deschis înconjoară punctul critic 010 js +−= de 1n ori (în sens trigonometric).
Demonstraţie. Se ţine seama de principiul argumentului: Când variabila s parcurge în sens orar un contur închis C, care conţine în interior z zerouri şi p poli ai funcţiei analitice )(sF , funcţia )(sF va descrie o curbă închisă ce înconjoară originea de zp− ori (în sens trigonometric).
Dacă sistemul de reglare este strict stabil, atunci funcţia )(1)( sGsF d+= nu are
zerouri pe şi în interiorul conturului Nyquist. Deoarece polii funcţiei )(sF coincid cu polii funcţiei )(sGd , din principiul argumentului rezultă că diagrama Nyquist a funcţiei )(sF înconjoară originea de 1n ori, deci diagrama Nyquist a funcţiei )(sGd înconjoară punctul critic 0s de 1n ori (în sens trigonometric).
Reciproc, dacă diagrama Nyquist a funcţiei )(sGd înconjoară de 1n ori punctul critic 0s , atunci diagrama Nyquist a funcţiei )(1)( sGsF d+= înconjoară originea de
1n ori. Rezultă că )(sF nu are zerouri pe şi în interiorul conturului Nyquist, deci
sistemul de reglare este strict stabil.
Observaţii 10. Cazul cel mai frecvent întâlnit în practică este acela în care sistemul deschis este stabil, adică funcţia de transfer )(sGd nu are poli în dreapta
axei imaginare, deci în interiorul conturului Nyquist. In acest caz, sistemul de reglare este strict stabil dacă şi numai dacă diagrama Nyquist a funcţiei )(sGd nu înconjoară punctul critic 0s . Dacă diagrama trece chiar prin punctul 0s , atunci
sistemul închis este semistabil. 20. Ambele criterii Nyquist sunt valabile şi în cazul sistemelor cu timp mort, la
care funcţia de transfer poate fi oricât de bine aproximată printr-o funcţie raţională de tip Padé.
30. Referitor la construcţia diagramei Nyquist, următoarele observaţii sunt foarte utile.
FUNCŢIA DE FRECVENŢA
117
a) Dacă funcţia de transfer )(sGd este proprie, atunci semicercul de rază ∞→R
al conturului Nyquist se transformă în punctul n
nab
de pe axa reală (chiar în origine,
în cazul practic în care )(sGd este strict proprie). b) Polii simpli de pe axa imaginară ai funcţiei )(sGd sunt transformaţi în
″semicercuri″ de rază ∞→R , parcurse în sens orar. c) Deoarece funcţia )( ωjGd are partea reală pară şi partea imaginară impară,
diagrama Nyquist este simetrică faţă de axa reală.
d) Diagrama Nyquist este o curbă închisă, cu sensul de parcurgere continuu.
4.6. APLICAŢII
4.6.1. Aplicaţii rezolvate
♦ C4.1. Se dă sistemul cu ecuaţia
uyyT 11 4τ=+ ,
unde sT 101 = şi s31 =τ . Să se afle: (a) valoarea maximă a amplificării în regim sinusoidal permanent; (b) pulsaţia inferioară de bandă bω ;
(c) amplitudinea A şi defazajul α ce caracterizează răspunsul permanent al sistemului
)2
sin( α+=tAy p la intrarea
2sin3 tu = .
Soluţie. (a) Sistemul are funcţia de transfer
110
121
4)(1
1+
=+
=s
ssT
ssG τ
şi funcţia de frecvenţă
110
12)(+
=ωωω
jjjG .
Modulul funcţiei de frecvenţă este egal cu raportul dintre modulul numărătorului şi cel al numitorului, adică
1100
1156
1100
12)( 22 +−=
+=
ωω
ωωM .
Deoarece funcţia )(ωM este crescătoare, sistemul este un filtru trece sus, cu amplificarea maximă
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
118
56)(limmax ==
∞→ω
ωMM .
(b) Pulsaţia inferioară de bandă este dată de relaţia
2
)( maxMM b =ω .
Rezultă ecuaţia
25
6
1100
122
=+b
b
ω
ω,
din care obţinem 1,0=bω rad/s.
(c) Avem
633)21( =⋅=MA ,
Argumentul funcţiei de frecvenţă este egal cu diferenţa dintre argumentul numărătorului şi cel al numitorului, adică
)10(arctg2
)( ωπω −=Φ .
Prin urmare,
05arctg2
>−=πα .
♦ Aplicaţia 4.2. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare automată având
0, >= kkGR , sGE 151= , 112
1+
= sGP , 131+
= sGT ,
(a) cu primul criteriu Nyquist; (b) cu al doilea criteriu Nyquist; (c) cu criteriul Hurwitz.
Soluţie. (a) Avem
)13)(112(15)(++
= sssksGd ,
)19)(1144(
)( 22 ++−=
ωωω kUd ,
)19)(1144(15
)136()( 22
2
++−=ωωω
ωω kVd .
Mai departe, construim tabelul de variaţie
FUNCŢIA DE FRECVENŢA
119
şi locul de transfer (fig. 4.20).
Intrucât funcţia de transfer )(sGd are un pol pe axa imaginară ( 01 =s ) şi nu are poli în
dreapta axei imaginare ( 10 =n , 01=n ), avem 2ππ2
π10 =+= nnα .
In cazul 425<k , argumentul vectorului 0v variază de la 2
π− la 0 , deci
α==Δ 2πarg 0v , iar din primul criteriu Nyquist rezultă că sistemul închis este strict stabil.
In cazul 425>k , argumentul vectorului 0v variază de la 2
π3 la 0 , deci
α≠−=Δ 2π3arg 0v şi sistemul închis este instabil.
Pentru 425=k , sistemul închis este simplu stabil .
Fig. 4.20. Locul de transfer al funcţiei )13)(112(15)(++
= sssksGd .
(b) Deoarece funcţia de transfer a sistemului deschis )(sGd nu are pol în dreapta axei
imaginare, sistemul închis este stabil atunci când diagrama Nyquist nu înconjoară punctul critic 1− .
La trasarea diagramei (fig. 4.21) s-a ţinut seama de faptul că polul din origine al funcţiei )(sGd se transformă într-un “semicerc” de rază infinită, parcurs în sens orar.
Se observă că: - în cazul 4/25<k , diagrama Nyquist nu înconjoară punctul critic 1− , deci sistemul
închis este strict stabil;
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
120
- în cazul 4/25>k , diagrama Nyquist înconjoară punctul critic 1− de două ori, în sens orar, deci sistemul închis este instabil.
Fig. 4.21. Diagrama Nyquist a funcţiei )13)(112(15)(++
= sssksGd .
(c) Ecuaţia polilor 0)(1 =+ sGd are forma
015
1536 23 ≥+++ksss .
In conformitate cu criteriul Hurwitz (cazul 2=n ), sistemul de reglare este strict stabil dacă şi numai dacă coeficienţii ecuaţiei polilor sunt pozitivi (ceea ce este adevărat) şi 02 >Δ , unde
5
)425(315
361152kk −
=⋅−⋅=Δ .
Rezultă că sistemul de reglare este strict stabil numai pentru 4/25<k . Observaţie. In acest exemplu, ca de altfel în majoritatea cazurilor practice, asigurarea
stabilităţii sistemului de reglare se realizează prin limitarea superioară a factorului de proporţionalitate al regulatorului (în general, al sistemului deschis).
♦ Aplicaţia 4.3. Să se studieze stabilitatea sistemului cu reacţie negativă având
)1()1()(
−+= ss
sksGd , 0>k ,
(a) cu primul criteriu Nyquist; (b) cu al doilea criteriu Nyquist; (c) cu criteriul Hurwitz.
FUNCŢIA DE FRECVENŢA
121
Soluţie. (a) Din 212)(Re)(ω
ωω+−== kjGU dd şi
)1()1()(Im)( 2
2
ωωωωω
+−== kjGV dd , realizăm
următorul tabel de variaţie pentru ),0( ∞∈ω :
şi, pe baza lui, trasăm locul de transfer corespunzător (fig. 4.22).
Funcţia de transfer a sistemului deschis )(sGd are un pol pe axa imaginară ( 01=s ) şi un
pol în dreapta axei imaginare ( 12 =s ); prin urmare, 10 =n şi 11=n , deci 2π3π2
π10 =+= nnα .
Deosebim trei cazuri. 1) Pentru 1<k (fig. 4.22, a), argumentul vectorului 0v variază de la 2π/ la 0, deci
α≠−=Δ 2π3arg 0v . In conformitate cu primul criteriu Nyquist, sistemul închis este instabil;
2) Pentru 1>k (fig. 4.22, b), argumentul vectorului 0v variază de la 2π/ la π2 , deci
α==Δ 2π3arg 0v ; prin urmare, sistemul închis este strict stabil .
3) Pentru 1=k , sistemul este semistabil.
Fig. 4.22. Locul de transfer al funcţiei )1()1()(
−+= ss
sksGd .
(b) Deoarece funcţia de transfer a sistemului deschis )(sGd are un singur pol în dreapta axei imaginare ( 11=s ), din al doilea criteriu Nyquist rezultă că sistemul închis este stabil
atunci când diagrama Nyquist înconjoară o singura dată punctul critic 1− , în sens trigonometric.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
122
Pentru trasarea diagramei (fig. 4.23) s-a ţinut seama că: a) polul din origine al funcţiei )(sGd se transformă într-un “semicerc” de rază infinită, parcurs în sens orar; b) sensul de
parcurgere a diagramei Nyquist este continuu.
Fig. 4.23. Diagrama Nyquist a funcţiei )1(
)1()( −+= ss
sksGd .
In cazul 1<k , diagrama înconjoară punctul critic 01 j+− o singură dată, în sens orar, deci sistemul închis este instabil, iar în cazul 1>k , diagrama înconjoară punctul critic o singură dată, în sens trigonometric, deci sistemul este strict stabil.
(c) Ecuaţia polilor 0)(1 =+ sGd are forma
0)1(2 ≥+−+ ksks .
In conformitate cu criteriul Hurwitz (cazul 2=n ), sistemul de reglare este strict stabil dacă şi numai dacă coeficienţii ecuaţiei polilor sunt pozitivi, adică 1>k . Pentru 1=k , sistemul este semistabil deoarece are polii js ±=2,1 cu partea reală nulă.
♦ Aplicaţia 4.4. Să se studieze stabilitatea sistemului cu reacţie negativă având
12)( 2 +
−=sssGd ,
(a) cu primul criteriu Nyquist; (b) cu al doilea criteriu Nyquist; (c) cu criteriul Hurwitz.
Soluţie. (a) Din 1
2)( 2 −=ω
ωdU şi 1
)( 2 −−=ω
ωωdV , realizăm următorul tabel de variaţie:
FUNCŢIA DE FRECVENŢA
123
şi trasăm locul de transfer corespunzător (fig. 4.24). Din relaţia 122+−=+ ωdd VU , care
devine 12 −=+ dd VU pentru 1→ω , rezultă că locul de transfer este asimptotic la dreapta 12 −=+ dd VU .
Fig. 4.24. Locul de transfer al funcţiei 12)( 2 +
−=sssGd .
Pentru )1,0(∈ω , argumentul vectorului 0v variază de la π la 21arctgπ− , deci are
variaţia 21arctg1 −=Δ , iar pentru ),1( ∞∈ω , de la 2
1arctg− la 0 , deci are variaţia
21arctg1=Δ . Prin urmare, variaţia totală a argumentului vectorului 0v este
0arg 210 =Δ+Δ=Δ v . Pe de altă parte, funcţia de transfer )(sGd are doi poli pe axa imaginară ( js ±=2,1 ) şi niciun pol în dreapta axei imaginare, deci
ππ02π2π2
π10 =⋅+=+= nnα .
Deoarece α≠Δ 0argv , din primul criteriu Nyquist rezultă că sistemul închis este instabil.
(b) Deoarece funcţia de transfer a sistemului deschis )(sGd nu are poli în dreapta axei
imaginare, sistemul închis este stabil atunci când diagrama Nyquist nu înconjoară punctul 01 j+− . Pentru trasarea diagramei (fig. 4.25) s-a ţinut seama că: a) polii js ±=2,1 ai
funcţiei )(sGd situaţi pe axa imaginară se transformă într-un “semicercuri” de rază
infinită, parcurse în sens orar; b) sensul de parcurgere a diagramei Nyquist este continuu.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
124
Se observă că diagrama Nyquist înconjoară punctul critic 01 j+− o singură dată, în sens orar; în consecinţă, sistemul închis este instabil.
(c) Ecuaţia polilor 0)(1 =+ sGd are forma
012 ≥−+ ss .
In conformitate cu criteriul Hurwitz (cazul 2=n ), sistemul de reglare este strict stabil dacă şi numai dacă coeficienţii ecuaţiei polilor sunt pozitivi. Deoarece condiţia nu este îndeplinită, sistemul este instabil.
♦ Aplicaţia 4.5. Să se studieze stabilitatea sistemului cu reacţie negativă având
s
e )(i
d TsG
τs−= , 0>τ , 0>iT .
Soluţie. Utilizăm primul criteriu de stabilitate Nyquist. Avem 10 =n , 01=n , deci
2ππ2
π10 =+= nnα . In cazul 1=iT , locul de transfer al funcţiei
ssG
τsd
−=
e )( este
reprezentat în figura 4.16. In figura 4.26, locul de transfer este reprezentat în variantele de
poziţionare a punctului critic 1− la stânga punctului iTU π
20
τ−= şi, respectiv, între punctele
0U şi iTU π5
21
τ−= .
Aplicând primul criteriu Nyquist şi ţinând seama că i
k TkU π)14(2+−= τ , avem:
- pentru 2π<
iTτ (fig. 4.26, a), argumentul vectorului 0v variază de la 2
π− la 0, deci
α==Δ 2πarg 0v ; sistemul închis este strict stabil;
Fig. 4.25. Diagrama Nyquist a
funcţiei 12)( 2 +
−=sssGd .
FUNCŢIA DE FRECVENŢA
125
- pentru 2π5
2π <<
iTτ (fig. 4.26, b), argumentul vectorului 0v variază de la 2
π3 la 0 ,
deci α≠−=Δ 2π3arg 0v ; sistemul închis este instabil;
- pentru 2π)54(
2π)14( +<<+ k
Tk
i
τ , ,2,1=k , argumentul vectorului 0v variază de la
π22π3 k+ la 0 , deci α≠−−=Δ π22
π3arg 0 kv ; sistemul închis este instabil.
Fig. 4.26. Locul de transfer al funcţiei sTsGi
τsd
−= e )( .
In concluzie, sistemul cu reacţie este strict stabil pentru )2π,0(∈
iTτ , semistabil pentru
2π=
iTτ şi instabil pentru ),2
π( ∞∈iTτ .
Observaţie. Funcţia step1(tau,Ti,n,t) introdusă în mediul MATLAB sub forma fişierului step1.m realizează reprezentarea grafică a răspunsului indicial al sistemului de reglare, în condiţiile înlocuirii timpului mort τ cu aproximaţia Padé de ordinul nn+ .
function step1(tau,Ti,n,t1) s=tf('s');
sis=1/Ti/s; sis.iodelay=tau; sis1=pade(sis,n); sra=sis1/(1+sis1); step(sra,0:0.1:t1); grid on
Graficele din figurile 4.27 şi 4.28, obţinute cu comenzile step1(pi/2,1,2,30) şi step1(pi/2,1,4,30), prezintă răspunsurile indiciale aproximative (datorită utilizării aproximaţiei Padé ) ale sistemului de reglare aflat la limita de stabilitate. Se observă că în cazul aproximaţiei Padé de ordinul 44+ , graficul redă cu suficientă precizie caracterul oscilant întreţinut al răspunsului indicial.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
126
Fig. 4.27. Răspunsul indicial al sistemului de reglare la limita de stabilitate, în cazul utilizării aproximaţiei Padé de ordinul 22+ .
Fig. 4.28. Răspunsul indicial al sistemului de reglare la limita de stabilitate, în cazul utilizării aproximaţiei Padé de ordinul 44+ .
♦ Aplicaţia 4.6. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare cu 15
e )(2
+=
−
sksG
sd pentru:
a) 1=k ; b) 0>k .
Soluţie. (a) Utilizăm primul criteriu de stabilitate Nyquist. Locul de transfer al funcţiei )(sGd este reprezentat grafic în figura 4.17. Avem 00 =n şi 01=n , deci 0π2
π10 =+= nnα .
Conform primului criteriu de stabilitate Nyquist, sistemul închis este stabil atunci când punctul critic 1− se află la stânga punctului cu abcisa 00 2cos ω=U , unde pulsaţia 0ω este dată de relaţia 02tg5 00 =+ ωω , π22π/ 0 << ω . Deoarece 10 −>U , sistemul este strict stabil.
b) Cu programul MATLAB k=1; s=tf('s'); s1=1/(5*s+1); s1.iodelay=2; w=0.1:0.001:12; nyquist(s1,w); w1=0.895:0.0001:0.896; [Re,Im]=nyquist(s1,w1);
obţinem Im(:,:,3)<0, Im(:,:,4)>0 şi Re(:,:,3)≅ -0.2180, din care rezultă condiţia de stabilitate 12180,0 <k , adică 587,4<k .
FUNCŢIA DE FRECVENŢA
127
Funcţia step2(k,tau,T1,n,t1), introdusă în mediul MATLAB sub forma fişierului step2.m, realizează reprezentarea grafică a răspunsului indicial al sistemului de reglare cu funcţia de transfer a sistemului deschis
1
e )(1 +
=−
sTksG
sd
τ,
în condiţiile înlocuirii timpului mort τ cu aproximaţia Padé de ordinul nn+ :
function step2(k,tau,T1,n,t1) s=tf('s');
sis=k/(T1*s+1); sis.iodelay=tau; sis1=pade(sis,n); sra=sis1/(1+sis1); step(sra,0:0.1:t1); grid on
Graficele din figurile 4.29 şi 4.30, obţinute cu comenzile step2(4.587,2,5,2,30) şi step2(4.587,2,5,4,30), prezintă răspunsurile indiciale aproximative (datorită utilizării aproximaţiei Padé) ale sistemului de reglare aflat la limita de stabilitate ( 587,4=k ). Ca şi la problema precedentă, în cazul aproximaţiei Padé de ordinul 44+ , graficul redă cu suficientă precizie caracterul oscilant întreţinut al răspunsului indicial.
Fig. 4.29. Răspunsul indicial al sistemului de reglare la limita de stabilitate, în cazul utilizării aproximaţiei Padé de ordinul 22+ .
Fig. 4.30. Răspunsul indicial al sistemului de reglare la limita de stabilitate, în cazul utilizării aproximaţiei Padé de ordinul 44+ .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
128
4.6.2. Aplicaţii de autocontrol
♦ C4.1. Se dă sistemul cu ecuaţia uyyT =+1 , unde sT 101= . Să se afle: (a) pulsaţia de bandă bω ; (b) amplitudinea A şi defazajul α al răspunsului )4/sin( α+= tAy p al sistemului în
regim sinusoidal permanent, pentru 4/sin2 tu = .
♦ C4.2. Fie conexiunea serie formată din subsistemele:
1Σ : uu +=+ 34 vv , 2Σ : v25 =+ yy .
a) Pentru 3sin2 tu = , să se afle răspunsul permanent )3sin()( α+= tAtpv ;
b) Pentru 2sin tu = , să se afle răspunsul permanent )2sin()( α+= tAtyp .
♦ C4.3. Se dă sistemul
⎩⎨⎧
+−−=
=
uxxx
xx
212
21
322
2, 13xy = .
Să se afle banda de trecere şi amplificarea în regim permanent sinusoidal cu pulsaţia 1=ω rad/sec.
♦ C4.4. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare automată având
0, >= kkGR , 151+= sGE , 110
1+= sGP , 12
1+= sGT ,
utilizând primul criteriu Nyquist.
♦ C4.4. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare automată având
0,)411( >+= kskGR , 15
1+= sGE , 110
1+= sGP , 14
1+= sGT ,
utilizând al doilea criteriu Nyquist.
♦ C4.6. Utiliând mediul MATLAB, să se studieze stabilitatea sistemului cu reacţie negativă având
)12(10
e )(2
+=
−
ssksG
s
d , 0>k .
5
CALITATEA REGLĂRII
In aplicaţiile practice, sistemele de reglare automată trebuie să fie stabile şi să
satisfacă unele performanţe de regim staţionar şi dinamic, astfel încât abaterea (eroarea) produsă ca urmare a variaţiei în timp a referinţei, a unor perturbaţii externe sau a unor factori perturbatori interni să aibă o valoare cât mai redusă, atât în timpul regimului tranzitoriu, cât şi la sfârşitul acestuia.
5.1. CALITATEA REGLĂRII IN REGIM STAŢIONAR
In regim staţionar, calitatea reglării unui sistem de reglare stabil este dată de valoarea erorii staţionare )(lim t
tst εε
→∞= , (1)
la referinţă sau perturbaţie tip treaptă unitară sau rampă unitară. Sistemul este cu atât mai precis, cu cât eroarea staţionară (numită uneori offset) are valoarea în modul mai mică. Interpretarea geometrică a erorii staţionare la referinţă şi perturbaţie treaptă este ilustrată în figura 5.1.
Fig. 5.1. Interpretarea erorii staţionare pentru referinţă şi perturbaţie treaptă.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
130
Lema care urmează evidenţiază relaţiile de calcul al erorii staţionare, atunci când se cunosc funcţiile de transfer ale sistemului automat de reglare, cu schema din figura 2.5 .
Lema erorii staţionare. Dacă un sistem de reglare automată strict stabil are funcţia de transfer a sistemului deschis TPERd GGGGG = , atunci
a) ds
ERst GsG
s +==
→→ 11lim)(lim
00ε , pentru )(1)( ttr = ;
b) d
TVEVst G
GGsGss +
−==→→ 1lim)(lim
00ε , pentru )(1)( tt =v ;
c) )
11(lim)(1lim
00 dERst GssG
s ss +==
→→ε , pentru )(1)( tttr ⋅= ;
d) )1(
lim)(1lim00 d
TVEVst Gs
GGsGs ss +
−==→→
ε , pentru )(1)( ttt ⋅=v .
Formulele de calcul al erorii staţionare se obţin imediat pe baza proprietăţii valorii finale a transformării Laplace:
)(lim)(lim0
ssEtstst →∞→
== εε ,
ţinând seama şi de formulele transformatelor Laplace ale funcţiilor treaptă unitară şi rampă unitară:
s
t 1)](1[ =L , 21)](1[s
tt =⋅L .
Fig. 5.2. Sistem de reglare automată.
Observaţii. 1°. Toate relaţiile de calcul al erorii staţionare sunt valabile numai dacă sistemul de reglare este stabil, relaţia
0lim ( )sts
sE s→
ε = fiind validă numai atunci
când transformata Laplace )(sE are toţi polii cu partea reală negativă. Prin urmare,
CALITATEA REGLĂRII
131
obţinerea unei valori finite a erorii staţionare nu implică faptul că sistemul este stabil.
2°. Un sistem de reglare automată se consideră a fi precis în raport cu un semnal treaptă sau rampă aplicat la intrare (ca referinţă sau perturbaţie) atunci când eroarea staţionară este zero.
3°. Eroarea staţionară la referinţă sau perturbaţie tip rampă este de infinit ori mai mare decât eroarea staţionară la intrare tip treaptă. Prin urmare, dacă eroarea staţionară este nenulă la intrare treaptă, atunci ea este infinită la intrare rampă. Desigur, la sistemele fizice de reglare nu întâlnim niciodată erori staţionare infinite, deoarece domeniul de liniaritate este în toate cazurile mărginit. Astfel, în cazul exprimării procentuale a mărimilor unui sistem de reglare, valorile acestora sunt cuprinse între 0 şi 100 %.
Teorema preciziei reglării. Fie un sistem de reglare automată strict stabil, cu ambele canale ale părţii fixate (de execuţie şi perturbator) de tip proporţional.
(a) Dacă regulatorul este de tip proporţional, atunci eroarea staţionară este nenulă şi finită la intrare treaptă (cu atât mai mică în modul cu cât factorul de proporţionalitate al regulatorului este mai mare), respectiv infinită la referinţă rampă.
(b) Dacă regulatorul conţine o componentă integrală simplă, atunci eroarea staţionară este nulă la intrare treaptă, dar finită şi nenulă la referinţă rampă.
(c) Dacă regulatorul conţine o componentă integrală dublă, atunci eroarea staţionară este nulă la intrare rampă, deci şi la intrare treaptă.
Teorema preciziei reglării poate fi uşor demonstrată pe baza relaţiilor date de lema erorii staţionare, în care funcţia de transfer a sistemului deschis )(sGd este produsul dintre funcţia de transfer a regulatorului )(sGR şi funcţia de transfer a părţii fixate )(sGF :
)()()( sGsGsG FRd = .
In cazul (a), pentru )(1 tr = , avem
FRFR
st KKsGsGs ++==
→ 11
)()(11lim
0ε ,
unde RK şi FK sunt factorii statici de proporţionalitate ai regulatorului şi părţii
fixate. Prin urmare, eroarea staţionară este nenulă, dar cu atât mai mică cu cât
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
132
factorul de proporţionalitate RK al regulatorului este mai mare. In majoritatea
aplicaţiile industriale (de reglare a debitului, presiunii, temperaturii etc.), factorul de proporţionalitate al regulatorului nu poate fi însă mărit prea mult, deoarece sistemul de reglare tinde să devină oscilant sau chiar instabil. Totuşi, în domeniul electronicii, întâlnim dispozitive analogice cu buclă închisă (cu legătură de reacţie negativă), având deci structura unui sistem de reglare automată, în care “regulatorul” este un amplificator de tensiune cu factorul de amplificare de ordinul sutelor sau miilor. Aceste dispozitive electronice cu buclă închisă funcţionează practic cu eroare staţionară nulă la intrare treaptă.
In cazul (b), considerând un regulator de tip PI cu funcţia de transfer
)11()(sT
KsGi
RR += ,
pentru )(1 tr = , avem
0)10(0
0)()1(
lim)()11(1
1lim00
=++
=++
=++
=→→ FRFiRi
i
Fi
R
st KKsGsTKsTsT
sGsT
K ssε ,
iar pentru )(1)( tttr ⋅= , avem
FR
i
FiRi
i
Fi
R
st KKT
sGsTKsTT
sGsT
Ks ss=
++=
++⋅=
→→ )()1(lim
)()11(1
11lim00
ε .
Prin urmare, eroarea staţionară la referinţă treaptă este nulă, iar la referinţă rampă este finită şi nenulă, cu atât mai mică cu cât factorul de proporţionalitate RK al regulatorului este mai mare şi constanta de timp integrală iT mai mică.
In cazul (c), în care
)(1)( *2 sG
ssG RR = , 0)0(* ≠RG , FF KG =)0( ,
pentru referinţă rampă unitară avem
0)0(*0
0)()(
lim)1(
1lim *200=
+===
++ →→ FKRGsGsGss
GGs FRFRst
ssε .
Prin urmare, eroarea staţionară este nulă la referinţă rampă, deci şi la referinţă treaptă.
Observaţie. Atunci când partea fixată a sistemului de reglare este de tip integral, eroarea staţionară la referinţă sau perturbaţie treaptă este nulă chiar şi în cazul unui
CALITATEA REGLĂRII
133
regulator de tip proporţional. Pentru a avea eroare staţionară nulă şi la referinţă sau perturbaţie de tip rampă se recomandă totuşi utilizarea unui regulator cu componentă integrală simplă, dar având intensitatea redusă, pentru a se evita apariţia regimului oscilant.
5.2. CALITATEA REGLARII IN REGIM DINAMIC
In regim dinamic, calitatea reglării sistemelor automate este descrisă cu ajutorul unor indici de performanţă asociaţi de obicei răspunsului sistemului la referinţă sau perturbaţie tip treaptă. Unele aspecte ale calităţii regimului dinamic pot fi descrise şi cu ajutorul caracteristicilor de frecvenţă, care permit aprecierea comportării sistemului la semnale de intrare sinusoidale de frecvenţe diverse.
5.2.1. Indici de calitate
Dintre indicii de calitate mai frecvent utilizaţi în analiza si sinteza sistemelor de reglare automată, menţionăm: banda de trecere, banda de alocare a polilor, durata regimului tranzitoriu, suprareglajul, gradul de amortizare a oscilaţiilor (indicele de oscilaţie), poziţia polilor în planul complex, diverşi indici de tip integral ş.a.
Banda de trecere (banda de frecvenţă sau lărgimea de bandă) este un indicator ce caracterizează proprietatea de filtru trece-jos a sistemului de reglare, re-prezentând intervalul ),0( bω în care factorul de amplificare în regim sinusoidal
permanent nu scade sub 2
1 din valoarea maximă, adică [3]
max21)( MM ≥ω , (2)
unde )(ωM este modulul funcţiei de frecvenţă al canalului intrare-ieşire analizat. Pentru ca mărimea reglată y să urmărească referinţa r cu bune performanţe,
modulul funcţiei de frecvenţă )( ωjGYR trebuie să aibă valoarea apropiată de 1
pentru un domeniu cât mai larg de frecvenţe. Aşadar, în proiectare se impune limitarea inferioară a pulsaţiei de bandă bω a canalului cu funcţia de frecvenţă
)( ωjGYR , adică impωω ≥b . Pe de altă parte, pentru reducerea efectului perturbaţiei v
asupra mărimii reglate y , banda de frecvenţă asociată funcţiei de frecvenţă )( ωjGYV , trebuie să fie cât mai mică. In proiectare se impune limitarea superioară a
pulsaţiei de bandă bω a canalului cu funcţia de frecvenţă )( ωjGYV , adică impωω ≤b .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
134
In continuare sunt prezentaţi principalii indici de calitate asociaţi răspunsului indicial )(ty al sistemului de reglare la o variaţie de tip treaptă a mărimii de referinţă.
Banda de alocare a polilor unui sistem de reglare dat este intervalul ],( α−∞ ,
unde α este valoarea maximă a părţii reale a polilor sistemului de reglare. In cazul unui sistem care are numai poli simpli de forma iii jbap += cu 0<ia , ni ,,2,1= ,
variabila timp t apare în componenta tranzitorie a răspunsului indicial numai prin intermediul exponenţialelor
)sin(cosee tbjtb iitatp ii += .
Presupunând că sistemul este strict stabil şi are toţi polii situaţi în stânga dreptei α=s ( 0<α ), adică α≤ia pentru orice i , cu cât valoarea lui α este mai mică, cu
atât este eliminată mai rapid componenta tranzitorie a răspunsului sistemului, obţinându-se astfel un timp tranzitoriu mai scurt. Condiţia ca toţi polii să aibă partea reală mai mică sau egală cu α este echivalentă cu condiţia ca polinomul
)( α+sP
să fie hurwitzian în raport cu variabila s , unde )(sP este polinomul polilor sistemului de reglare. In proiectare se impune limitarea capătului superior al benzii de alocare a polilor la o valoare negativă dată, printr-o condiţie de forma
impusα≤α ( 0impus <α ).
Minimizarea indicelui de calitate α în raport cu parametrii de acordare ai regulatorului asigură de regulă un răspuns indicial rapid, dar oscilant amortizat.
Durata regimului tranzitoriu ( trT ) reprezintă intervalul de timp cuprins între
momentul 0=t în care referinţa se modifică sub formă de treaptă şi momentul trTt = în care mărimea reglată )(ty atinge pentru ultima dată una din limitele Δ±sty , fără a mai ieşi din zona cuprinsă între cele două limite, unde sty este
valoarea staţionară (finală) a ieşirii, iar Δ este sty05,0 sau sty02,0 – figura 5.3.
Matematic, durata regimului tranzitoriu este cea mai mică valoare a parametrului trT astfel încât
Δ≤− styty )( trTt ≥∀ . (3)
Reamintim că la sistemele de întârziere de ordinul unu cu constanta de timp 1T , durata regimului tranzitoriu este 13TTtr ≅ pentru sty05,0=Δ , respectiv 14TTtr ≅
CALITATEA REGLĂRII
135
pentru sty02,0=Δ . De asemenea, la sistemele de întârziere de ordinul doi cu constantele de timp 1T şi 2T , durata regimului tranzitoriu este
)(3 21 TTTtr +≅ ,
respectiv )(4 21 TTTtr +≅ .
Fig. 5.3. Indicatori de calitate asociaţi răspunsului indicial.
Un sistem de reglare automată este cu atât mai performant sub aspect dinamic cu cât durata regimului tranzitoriu este mai mică. La sistemele de ordinul doi sau mai mare nu există formule analitice pentru exprimarea acestui indicator.
Suprareglajul (σ ) se defineşte ca fiind depăşirea relativă maximă a valorii staţionare a ieşirii, adică
%1001 ⋅σ
=σsty
. (4)
Sistemele cu răspuns indicial crescător au suprareglajul nul. In proiectarea sistemelor de reglare se impune limitarea superioară a suprareglajului σ la o valoare cuprinsă între 1 şi 15 %, în funcţie de specificul sistemului şi de performanţele dorite.
Gradul de amortizare (δ ) este caracteristic numai sistemelor de reglare cu răspuns indicial oscilant, fiind o măsură a raportului subunitar al primelor două depăşiri pozitive ale valorii staţionare,
1
31 σσ
δ −= . (5)
In cazul sistemelor cu răspuns oscilant amortizat, gradul de amortizare ia valori cuprinse între 0 si 1. Pentru limitarea duratei regimului tranzitoriu, δ trebuie să aibă o valoare cât mai apropiată de 1.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
136
Indicii integrali, atunci când sunt aleşi convenabil, pot asigura o caracterizare mai completă a calităţii regimului dinamic şi o proiectare optimală a regulatorului, prin minimizarea valorii indicelui integral ales în raport cu structura şi parametrii regulatorului.
La sistemele de reglare cu eroare staţionară nulă la referinţă sau perturbaţie treaptă unitară, printre cei mai utilizaţi indici de tip integral, menţionăm următorii:
∫∞
=01 )( dttεI , (6)
∫∞
=0
22 )( dttεI , (7)
∫∞
+=0
2223 )]()([ dttετtεI , (8)
∫∞
−+=0
224 ]))(()([ dtctcktε stI , (9)
unde ε este eroarea (abaterea), c - mărimea de comandă, stc - valoarea staţionară a
mărimii de comandă, iar τ şi k - constante pozitive de ponderare. Indicele 1I este rar utilizat în analiza şi sinteza analitică a sistemelor, din cauza
operatorului de tip "modul", care ridică probleme în calculul analitic al integralei. Indicele integral pătratic 2I poate fi calculat analitic, iar sinteza regulatorului prin
minimizarea acestui indice asigură performanţe dinamice de bună calitate, fără a garanta însă obţinerea unui suprareglaj suficient de mic şi un consum energetic redus.
Minimizarea indicelui 3I asigură, prin comparaţie cu 2I , o reducere a vitezei de variaţie a mărimii reglate y şi, prin aceasta, o reducere a suprareglajului, în timp ce minimizarea indicelui 4I asigură, tot prin comparaţie cu 2I , o reducere a
consumului de energie în procesul de schimbare a valorii mărimii reglate. Se observă că indicii 2I , 3I şi 4I pot fi scrişi sub forma unei sume de integrale
de forma ∫
∞=
02)( dttzI , (10)
în care 0)(lim =∞→
tzt
, pentru a asigura convergenţa integralei.
In cazul unui sistem de reglare strict stabil, transformata Laplace a funcţiei )()( tεtz = la referinţă treaptă unitară este
)](1[
1)()()(sGs
sRsGsZF
ER +== , (11)
CALITATEA REGLĂRII
137
iar transformata Laplace a funcţiei
stctctz −= )()( ,
pentru referinţă treaptă unitară, este
s
GsGsZ CRCR )0()()(
−= , (12)
unde
)(1
)()(sG
sGsGF
RCR +
= . (13)
Intr-adevăr, ţinând seama de proprietatea valorii finale, avem
)0()()(lim)(lim00
CRCRst GsRssGssCcss
===→→
,
deci
s
Gs
sGs
csCsZ CRCRst )0()()()( −=−= .
Atunci când transformata Laplace )(sZ este o funcţie raţională hurwitziană, indicele de calitate integral-pătratic poate fi explicitat analitic în raport cu coeficienţii polinoamelor de la numărătorul si numitorul fracţiei )(sZ .
Teorema indicelui integral-pătratic. Dacă transformata Laplace
01
011
1)(asasa
bsbsbsZ n
n
nn
++++++
=−
−
are numitorul hurwitzian, atunci integrala ∫∞
=0
2)( dttzI , are valoarea
Δ
Δ=
n
n
a2I , (14)
în care
1
20
31
420
**0
*0*00
−
−−
−
=Δ
na
aaaa
aaa
,
iar nΔ se obţine din Δ prin înlocuirea ultimei linii cu [ ]1210 −nBBBB , unde
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
138
200 bB = ,
20211 2 bbbB −= ,
4031222 22 bbbbbB +−= ,
13
222 2 −−−− −= nnnn bbbB ,
211 −− = nn bB .
Principalele forme particulare ale formulei de calcul al indicelui integral I sunt prezentate mai jos.
1°. Pentru 4=n , funcţiei
01
22
33
44
012
23
3)(azasasasa
bsbsbsbsZ
+++++++
= (15)
îi corespunde integrala Δ
Δ=
4
4
2aI , unde
)( 2304
213210 aaaaaaaa −−=Δ (16)
şi
233021031
2241020
21430
20413244 )()2()2()( baaaaabbbaaabbbaaabaaaaa −+−+−+−=Δ . (17)
2°. Pentru 3=n , funcţiei
01
22
33
012
2)(azasasa
bsbsbsZ
+++++
= (18)
îi corespunde integrala
)(2
)2(
302130
221020
2130
2032
aaaaaabaabbbaabaa
−+−+
=I . (19)
3°. Pentru 2=n , funcţiei
01
22
01)(azasa
bsbsZ
+++
= (20)
îi corespunde integrala
210
210
202
2 aaababa +
=I . (21)
CALITATEA REGLĂRII
139
Observaţie. In cazul unui sistem de reglare automată cu regulator PID, indicii integrali de calitate sunt funcţii de parametrii pK , iT şi dT ai regulatorului. Pentru
indicii 2I , 3I şi 4I , teorema indicelui integral-pătratic de calitate permite determi-
narea analitică a acestor funcţii, atunci când se cunosc modelele dinamice liniare ale elementelor sistemului de reglare. In consecinţă, problema optimizării sistemului de reglare prin minimizarea unuia dintre aceşti indici de performanţă se reduce la calculul minimului unei funcţii algebrice, având ca variabile parametrii de acordare ai regulatorului.
5.2.2. Alocarea polilor
Metodele de studiu al calităţii dinamice a sistemelor de reglare pe baza indicilor integrali de calitate sunt de tip parametric, în sensul că permit evaluarea performanţelor dinamice ale sistemului de reglare în raport cu parametrii regula-torului, în condiţiile în care acesta are o structura dinamică dată.
In continuare, vom aborda problema sintezei structurii şi parametrilor regulatorului plecând de la ideea că performanţelor dinamice ale unui sistem de reglare liniar, continuu şi fără timp mort sunt determinate, în mod dominant, de poziţia în planul complex a polilor funcţiei de transfer a sistemului. Teoremele de alocare a polilor stabilesc faptul că, teoretic, un sistem de reglare liniar continuu şi fără timp mort poate realiza performanţe dinamice oricât de bune, prin alegerea convenabilă a funcţiei de transfer a regulatorului.
Prima teoremă de alocare a polilor [11]. Dacă funcţia de transfer )(sGF a
părţii fixate a unui sistem de reglare automată este ireductibilă, strict proprie, are ordinul relativ kn− şi toate zerourile cu partea reală negativă, atunci oricare ar fi polinomul hurwitzian )(sP de gradul kn− şi cu termenul liber unitar, există un regulator stabil, cu funcţia de transfer semiproprie, de ordinul n sau mai mic, astfel încât sistemul de reglare să aibă funcţia de transfer
)(
1)(0 sPsG = ,
iar funcţia de transfer a sistemului deschis să fie de tip dublu integral.
Demonstraţie. Fie
1)( 11
1 ++++= −−−−
−− scscscsP kn
knkn
kn . (22)
Din relaţia
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
140
)()(1
)()()(0 sGsGsGsGsG
FR
FR
+= ,
rezultă
]1)()[(
1)](1)[(
)()(
0
0
−=
−=
sPsGsGsGsG
sGFF
R . (23)
Tinând seama că
)()()( sp
srsGF = ,
unde )(sr şi )(sp sunt polinoame coprime astfel încât
0)0( ≠r , ksr =)(grad , nsp =)(grad ,
obţinem
)()()()(
1 spsrsspsGR ⋅⋅= , (24)
unde
122
11
1 )( cscscscsp knkn
knkn ++++= −−
−−−−
− . (25)
Funcţia de transfer a regulatorului are numărătorul şi numitorul de gradul n , fiind deci semiproprie.
Dacă partea fixată este de tip proporţional, deci 0)0( ≠p şi 0)0( ≠r , atunci regulatorul este de tip simplu integral.
Dacă partea fixată este de tip simplu integral, deci polinomul )(sp are un zerou
în origine, atunci regulatorul este de tip proporţional, având numărătorul şi numitorul de gradul 1−n .
Funcţia de transfer a sistemului deschis este de tip simplu integral, deoarece
)(
11)(
1)(1
)()(
10
0
spssPsGsG
sGd ⋅=
−=
−= . (26)
Prin urmare, eroarea staţionară este nulă la referinţă treaptă şi, de asemenea, la efect perturbator treaptă introdus la ieşirea sistemului.
Deoarece funcţia de transfer a părţii fixate )(sGF are toate zerourile cu partea reală negativă, regulatorul este stabil dacă şi numai dacă polinomul )(1 sp este hurwitzian. Conform criteriului de stabilitate Hurwitz, polinomul )(1 sp este hurwitzian dacă toţi coeficienţii 121 ,,,, cccc knkn −−− şi minorii principali 1D ,
2D , ... , 1−−knD ai matricei Hurwitz formată cu aceşti coeficienţi sunt pozitivi.
CALITATEA REGLĂRII
141
Această condiţie se îndeplineşte întotdeauna deoarece polinomul polilor sistemului de reglare )(sP este ales hurwitzian şi, prin urmare, toţi coeficienţii
011 ,,,, cccc knkn −−− şi minorii principali 1D , 2D , ... , 1−−knD , knD − ai matricei
Hurwitz formată cu aceşti coeficienţi sunt pozitivi. Cu aceasta, demonstraţia este încheiată.
Prin alegerea convenabilă a polinomului polilor )(sP , răspunsul sistemului de reglare la referinţă sau perturbaţie treaptă poate fi teoretic oricât de rapid. In aplicaţiile practice, unde modelul părţii fixate este cunoscut cu un anumit grad de incertitudine, polinomul polilor sistemului de reglare trebuie ales astfel încât constantele de timp ale sistemului de reglare să fie comparabile cu cele ale procesului reglat. De exemplu, în cazul în care partea fixată este de tip proporţional, durata teoretică a răspunsul indicial al sistemului de reglare trebuie să fie de cel mult 2 ... 5 ori mai mică decât durata răspunsului indicial al părţii fixate. Un asemenea mod practic de abordare a sintezei regulatorului asigură o mai strânsă corelaţie între rezultatele teoretice şi cele practice, precum şi o limitare adecvată a magnitudinii semnalului de comandă generat de regulator la o variaţie treaptă a referinţei. Reamintim că factorul de magnitudine al semnalului de comandă este definit ca fiind raportul )(/)0( ∞= + ccM dintre valoarea iniţială şi cea finală a semnalului de comandă )(tc la referinţă treaptă. In aplicaţiile practice, în cazul în care partea fixată este de tip proporţional, se impune limitarea factorului de magnitudine la o valoare mai mică decât 20 [12].
Factorul de magnitudine este dat de relaţia
)()(lim
)0(sGsP
GMF
F
s ∞→
= . (27)
Această relaţie din proprietăţile valorii iniţiale şi finale, astfel:
)()(
1)()()( 0
sGsPsGsGsG
FFCR == ,
)()(lim
1)(lim)()(lim)(lim)0(0
000 sGsPsGsRssGssCc
FCRCR
ssss
→→→→
====+ ,
)0(
1)0()0(
1)(lim)()(lim)(lim)(000 FF
CRCR GGPsGsRssGssCc
sss=====∞
→→→.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
142
Observaţii. 1o. Dacă alegem polinomul polilor )(sP cu toate rădăcinile reale şi negative, atunci răspunsul sistemului de reglare la referinţă treaptă este monotonic mărginit.
2o. Atunci când polinoamele )(sp şi )(1 sp au rădăcini comune, funcţia de
transfer a regulatorului va avea ordinul mai mic. Să considerăm sistemul de reglare cu partea fixată
)1)(1)(1()(21 +++=
ΣsTsTsTK
sG FF , (28)
unde 1T şi 2T sunt constante de timp dominante, iar ΣT reprezintă suma constantelor de timp parazite ( 12 TTT ≤<<Σ ). Tinând seama că
)(1)( 1 sspsP =− ,
dacă alegem polinomul polilor sistemului de reglare )(sP astfel încât 1)/1( =− ΣTP ,
atunci regulatorul va avea ordinul mai mic decât 3, prin simplificarea factorului 1+Σ sT de la numărătorul şi numitorul funcţiei de transfer.
De exemplu, alegând polinomul polilor
)1()1()( 22
1 ++= sssP ττ , (29)
cu
Σ+= Tx )1(1τ , Σ−= Tx
)11( 22τ , 1≥x ,
relaţia 1)/1( =− ΣTP este satisfăcută. Deoarece
=++++=− ssssP )2()2(1)( 212
2113
221 τττττττ
=−+−++−+= ΣΣΣ ]12)22()1[()1( 22222
2xsTxxsTxsT
xx
]12)1)[(1()1( 22
2−+−++= ΣΣΣ xsTxsTsT
xx ,
rezultă
)1()1)(1(
]1)()[(1)( 21
+++
=−=ΣΣ saTsT
sTsTKsPsGsG R
FR , (30)
cu
F
R KxxxK
)12()1( 2
2
−+= , 12
12
−−= x
xa .
CALITATEA REGLĂRII
143
Pentru 1=x , obţinem algoritmul de reglare PID, în forma improprie
sTKsTsT
sGF
RΣ
++= 4
)1)(1()( 21 ,
iar pentru 2=x , rezultă algoritmul de reglare PID, în forma semiproprie
)1(27)1)(1(4
)( 21+++
=ΣΣ sTsTKsTsT
sGF
R .
Sistemul de reglare are funcţia de transfer
)1()1(
1)(
1)(2
21
0 ++==
sssPsGττ
,
iar factorul de magnitudine al comenzii este
221
3
2
)1()1()()(lim)0(
Σ⋅
−+==
∞→TTT
xxx
sGsPGM
F
F
s
. (31)
Formele de răspuns )(ty la referinţă treaptă, pentru diferite valori ale
parametrului x , sunt reprezentate în figura 5.4.
Fig. 5.4. Răspunsul indicial al sistemului de reglare cu funcţia de transfer
)1()1(
1)(2
21
0 ++=
sssG
ττ, unde Σ+= Tx )1(1τ , Σ−= T
x)11( 22τ .
3o. In cazul sistemului de reglare cu partea fixată (28), să considerăm că polinomul polilor are forma
)1)(122()( 22 +++= ΣΣΣ sxTsTsTsP , 0≥x . (32)
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
144
Ţinând seama că
]2)1(22[1)( 22 xsTxsxTsTsP ++++=− ΣΣΣ ,
rezultă
]2)1(22[
)1)(1)(1(]1)()[(
1)( 2221
xsTxsxTsTKsTsTsT
sPsGsGFF
R +++++++
=−=ΣΣΣ
Σ , (33)
)1)(122(
1)(
1)( 220 +++==
ΣΣΣ sxTsTsTsPsG . (34)
Factorul de magnitudine al regulatorului este
221
21
)()(lim)0(
Σ∞→
⋅==TTT
xsGsPGM
Fs
F . (35)
In cazul particular 0=x , regulatorul este de tip PID, cu funcţia de transfer improprie
sTKsTsT
sGF
RΣ
++= 2
)1)(1()( 21 ,
iar sistemul de reglare are funcţia de transfer
122
1)( 220 ++=
ΣΣ sTsTsG .
Am regăsit relaţiile de acordare optimă a regulatorului din cadrul variantei Kessler a criteriului modulului.
Formele de răspuns )(ty la referinţă treaptă, pentru diferite valori ale parametrului x , sunt reprezentate în figura 5.5.
Fig. 5.5. Răspunsul indicial al sistemului de reglare cu funcţia de transfer (34).
CALITATEA REGLĂRII
145
Sistemul deschis rezultat din aplicarea primei teoreme de alocare a polilor este de tip simplu integral, indiferent dacă partea fixată este de tip proporţional sau integral.
Următoarea teoremă de alocare a polilor oferă posibilitatea proiectării regulatorului astfel încât sistemul deschis să rezulte de tip dublu integra.
A doua teoremă de alocare a polilor. Dacă funcţia de transfer )(sGF a părţii
fixate a unui sistem de reglare automată este ireductibilă, strict proprie, are ordinul relativ kn− şi toate zerourile cu partea reală negativă, atunci oricare ar fi polinomul hurwitzian )(sP de gradul 1+−kn şi cu termenul liber unitar, există un regulator stabil, cu funcţia de transfer semiproprie, de ordinul 1+n sau mai mic, astfel încât sistemul de reglare să aibă funcţia de transfer
)(
1)0()(0 sPsPsG +′
= ,
iar funcţia de transfer a sistemului deschis să fie de tip dublu integral.
Demonstraţie. Fie
1)( 11
1 ++++= −−
+−+− scscscsP kn
knkn
kn . (36)
Deoarece 10( cP =′ , din relaţia
)()(1
)()()(0 sGsGsGsGsG
FR
FR
+= ,
obţinem
]1)()[(
1)](1)[(
)()(1
1
0
0
−−+
=−
=scsPsG
scsGsG
sGsGFF
R . (37)
Tinând seama că
)()()( sp
srsGF = ,
unde )(sr şi )(sp sunt polinoame coprime astfel încât
0)0( ≠r , ksr =)(grad , nsp =)(grad ,
obţinem
)()()()1(
)(2
21
spsrsspsc
sGR ⋅⋅⋅+
= , (38)
unde
2321
12 )( cscscscsp knkn
knkn ++++= −−
−−−
+− . (39)
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
146
Funcţia de transfer a regulatorului are numărătorul şi numitorul de gradul 1+n , fiind semiproprie.
Dacă partea fixată este de tip proporţional, deci 0)0( ≠p şi 0)0( ≠r , atunci regulatorul este de tip dublu integral.
Dacă partea fixată este de tip simplu integral, deci polinomul )(sp are un zerou
în origine, atunci regulatorul este de tip simplu integral, având numărătorul şi numitorul de gradul n .
Funcţia de transfer a sistemului deschis este de tip simplu integral, deoarece
)(
11)(
1)(1
)()(2
21
1
1
0
0
spssc
scsPsc
sGsGsGd
+=
−−+
=−
= . (40)
Prin urmare, eroarea staţionară este nulă la referinţă treaptă sau rampă, precum şi la efect perturbator treaptă sau rampă introdus la ieşirea sistemului.
Deoarece funcţia de transfer a părţii fixate )(sGF are toate zerourile cu partea reală negativă, regulatorul proiectat este stabil dacă polinomul )(2 sp este hurwitzian. Conform criteriului de stabilitate Hurwitz, polinomul )(2 sp este hurwitzian dacă toţi coeficienţii 231 ,,,, cccc knkn −+− şi minorii principali 1D ,
2D , ... , 1−−knD ai matricei Hurwitz formată cu aceşti coeficienţi sunt pozitivi. Această condiţie are loc întotdeauna deoarece polinomul )(sP este hurwitzian şi, prin urmare, toţi coeficienţii 011 ,,,, cccc knkn −+− şi minorii principali 1D , 2D , ...
, knD − , 1+−knD ai matricei Hurwitz formată cu aceşti coeficienţi sunt pozitivi. Cu
aceasta, demonstraţia este încheiată. Prin alegerea convenabilă a polinomului polilor )(sP , răspunsul sistemului de
reglare la referinţă sau perturbaţie treaptă poate fi teoretic oricât de rapid. In aplicaţiile practice, unde modelul părţii fixate este obţinut cu un anumit grad de incertitudine, polinomul polilor sistemului de reglare trebuie ales astfel încât constantele de timp ale sistemului de reglare să fie comparabile cu cele ale procesului reglat. In cazul în care partea fixată este de tip proporţional, raportul
)(/)0( ∞= + ccM dintre valoarea iniţială şi cea finală a semnalului de comandă )(tc la referinţă treaptă constituie un indicator al magnitudinii semnalului de comandă, care nu trebuie să depăşească valoarea 20. Factorul de magnitudine este dat de relaţia
)()(
1lim)0( 1
sGsPscGM
FF
s
+=
∞→. (41)
CALITATEA REGLĂRII
147
Observaţii. 1o. Atunci când polinoamele )()1( 1 spsc + şi )()( 2 spsr ⋅ au rădăcini
comune, funcţia de transfer a regulatorului va avea ordinul mai mic. 2o. Dacă alegem polinomul polilor )(sP cu toate rădăcinile reale şi negative,
adică )1()1)(1()( 21 +++= sTsTsTsP n , 0,,, 21 >nTTT ,
atunci răspunsul sistemului de reglare la referinţă treaptă este aperiodic (fără oscilaţii), dar cu supradepăşire. Acest rezultat reiese din expresia funcţiei de transfer a sistemului de reglare,
)1()1)(1(
1)()(1)(
21
2110 +++
+++=
+=
sTsTsTsTTT
sPscsG
n
n , (42)
având în vedere relaţia (95) de la cap. 2. Valoarea suprareglajului este însă neglijabilă în cazul alegerii unei constante de timp dominante în raport cu celelalte
1−n constante de timp. Astfel, pentru
032 →=== nTTT ,
suprareglajul tinde la zero.
5.3. APLICAŢII
♦ Aplicaţia 5.1. Elementele unui sistem de reglare automată au următoarele ecuaţii:
R: εkc = , mr −=ε , 0>k , E: cuu 22 =+ ; P: v25,05 −=+ uyy ; T: ymm =+ .
Să se calculeze eroarea staţionară la referinţă şi perturbaţie treaptă unitară, respectiv rampă unitară. Care este valoarea minimă posibil a erorii staţionare la referinţă treaptă ?
Soluţie. Avem
kGR = , 1s2
2+
=EG , 15
1+
=s
GP , 1)s5(4
1+
−=VG ,
1s1+
=TG ,
)1)(15)(12(
2+++
==sss
kGGGGG TPERd ,
kG
sGds
ERsts 21
11
1lim)(lim00 +
=+
==ε→→
, pentru )(1)( ttr = ,
)21(4
11
lim)(lim00 kd
TVEVst G
GGsGss +
−=
+−==ε
→→, pentru )(1)( tt =v .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
148
Deoarece eroarea staţionară la referinţă şi perturbaţie treaptă unitară nu este nulă, la referinţă şi perturbaţie rampă unitară ea va fi ∞ , respectiv ∞− .
Scriind ecuaţia polilor 01 =+ dG sub forma
02181710 23 =++++ ksss ,
din criteriul de stabilitate Hurwitz rezultă că sistemul de reglare este strict stabil atunci când 02 >Δ , unde )1063(2)21(101782 kk −=+−⋅=Δ . Aşadar, valorile erorii staţionare obţinute anterior sunt valabile numai atunci când sistemul de reglare este strict stabil, adică pentru 3,60 << k . Prin urmare, eroarea staţionară minimă posibil la referinţă treaptă unitară este
%35,70735,03,621
1211)(
maxmin =≈
⋅+=
+=ε
kst .
♦ Aplicaţia 5.2. Fie sistemul de reglare automată caracterizat prin
)s411( +=KGR , 0>K , 1s2
4+
=EG , 1s41+=PG , 1s
1+
=TG .
Să se determine K astfel încât
(a) polii sistemului să fie situaţi în stânga dreptei 2,0−=s ; (b) banda de alocare a polilor sistemului să fie cât mai la stânga posibil.
Soluţie. Sistemul de reglare are
1)1)(sss(2 ++
=KGd ,
şi polinomul polilor
KssssP +++= 23 32)( .
Din criteriul Hurwitz rezultă că sistemul este stabil pentru 230 <<K .
(a) Polii sistemului de reglare sunt situaţi în stânga dreptei 2,0−=s dacă polinomul )(sp are toate rădăcinile cu partea reală negativă, unde
KsssKssssPsp +−++=+−+−+−=−= 096,004,08,12)2,0()2,0(3)2,0(2)2,0()( 2323 .
Conform criteriului Hurwitz, este necesar şi suficient ca toţi coeficienţii ia şi minorul
principal )132,0(230212 Kaaaa −=−=Δ
să fie pozitivi. In concluzie, sistemul de reglare are toţi polii situaţi în stânga dreptei 2,0−=s pentru 132,0096,0 <<K .
CALITATEA REGLĂRII
149
In figura 5.6 sunt prezentate răspunsurile indiciale )(ty ale sistemului de reglare la referinţă treaptă unitară pentru cele două valori extreme ale factorului de proporţionalitate K .
Fig. 5.6. Răspunsuri ale sistemului de reglare la referinţă treaptă unitară.
(b) Trebuie să găsim cea mai mică valoare a lui α astfel încât polinomul
=+α++α++α+=α+ KssssP )()(3)(2)( 23
Ksss +α+α+α++α+α+α++= 23223 32)166()21(32
să fie hurwitzian. Coeficienţii 166 21 +α+α=a şi )21(32 α+=a sunt pozitivi pentru
2113,06
33−≅
+−>α , iar coeficientul Ka +α+α+α= 23
0 32 este pozitiv pentru
α−α+α−> 23 32K . Cea mai la stânga alocare a polilor corespunde lui 6
33+−=α şi se
obţine pentru 0962,0183 ≅=K , dat de relaţia α−α+α−= 23 32K .
♦ Aplicaţia 5.3. Pentru nω dat, să se afle valoarea factorului de amortizare ξ al sistemului de întârziere de ordinul doi, cu funcţia de transfer
22
2
2)(
nn
n
ωsωsω
sG+ξ+
= ,
astfel încât indicele integral pătratic dtyty st2
02 ))((∫∞
−=I să aibă valoarea minimă, unde
)(ty este răspunsul indicial al sistemului.
Soluţie. Cu notaţia stytytz −= )()( , avem
22 2)2()0()()(
nn
n
ωsωsωs
sGsGsZ
+ξ+ξ+−
=−
= ,
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
150
iar din (21) rezultă
)ξ2
1ξ(22
12 +=
nωI .
Deoarece 2ξ21ξ2 ≥+ , cu egalitate pentru 2
1=ξ , rezultă că indicele de calitate 2I are
valoarea minimă nω
1)( min2 =I , obţinută pentru 21
opt =ξ .
Fig. 5.7. Răspunsul indicial al sistemului cu 22
2
2)(
nn
nss
sGωξω
ω++
= .
Pentru această valoare a lui ξ , răspunsul indicial are o supradepăşire de 3,16 %.
♦ Aplicaţia 5.4. Pentru sistemul de întârziere de ordinul doi din exemplul precedent cu răspunsul indicial )(ty , să se determine valoarea factorului de amortizare ξ astfel încât indicele de calitate
dttyτyty st )]())([( 22203 +−= ∫∞
I
să fie minim.
Soluţie. Se observă că I3 = I2 + 2τ I, unde
)ξ2
1ξ(22
12 +=
nωI
şi
∫∞
=0
2)( dttzI ,
cu )()( tytz = . Ţinând seama că
CALITATEA REGLĂRII
151
22
2
2)()()()()(
nn
n
ωsωsω
sGsUssGssYsZ+ξ+
==== ,
cu relaţia (21) obţinem ξωn4
=I ; prin urmare,
)ξ2
1ξ(2
21 22
3n
n
ωτω
++=I .
Pentru nω dat şi ξ variabil, 3I are valoarea minimă
22min3
1)( τωωn
+=I ,
obţinută pentru
2opt
2121
nωτ+=ξ .
Valoarea factorului de amortizare optξ este mai mare decât cea obţinută prin
minimizarea indicelui de calitate 2I , deoarece 3I conţine în plus o componentă de limitare
a pătratului vitezei de variaţie a răspunsului indicial. Pentru 0=τ , avem 5,0opt =ξ (cazul problemei precedente); pentru nωτ /1= , avem
71,022
opt ≈=ξ ; pentru nω
τ 3= avem 1opt =ξ . In conformitate cu (2.60), lui 5,0=ξ îi
corespunde suprareglajul %3,161 =σ , lui 22=ξ îi corespunde suprareglajul %3,41=σ ,
iar lui 1=ξ îi corespunde suprareglajul 01 =σ .
♦ Aplicaţia 5.5. Pentru sistemul de reglare automată caracterizat prin
KGR = , 0>K , )15)(12(5
1++
=sss
GF ,
să se calculeze şi să se minimizeze )(2 KI la referinţă treaptă unitară .
Soluţie. Avem:
Ksss
sssGG
sGFR
ER +++++
=+
=53550
)15)(12(51
1)( 23 ,
Ksss
sss
sGsZ ER
+++++
==53550
)15)(12(5)()( 23 ,
iar din (19) obţinem
)27(2
3539)(2 KKKK−+
=I .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
152
Indicele de calitate 2I este minim atunci când derivata sa în raport cu K este nulă. Rezultă
024514078 2 =−+ KK ,
de unde obţinem 09,1opt =K (fig. 5.8). Se observă că indicele de calitate 2I creşte foarte puţin atunci când factorul de proporţionalitate K variază între 0,7 şi 1,6.
Fig. 5.8. Caracteristica )(2 KI .
♦ Aplicaţia 5.6. Pentru sistemul de reglare automată cu
sKGR = , 0>K ,
)18(41+
=s
GF ,
să se afle K astfel încât, la modificarea treaptă unitară a referinţei, consumul de energie utilizat în comanda procesului să fie minim.
Soluţie. Vom calcula şi minimiza indicele integral
∫∞
=0
2)( dttzI , stututz −= )()( .
Avem
Kss
sKGG
GsGFR
RCR ++
+=
+=
432)18(4
1)( 2 ,
Kss
Kss
GsGsZ CRCR
++−+−
=−
=432
)128(16)0()()( 2 ,
iar din (21) obţinem
)214(32 −+=K
KI .
Indicele de calitate I este minim pentru 5,0=K .
CALITATEA REGLĂRII
153
♦ Aplicaţia 5.7. Pentru sistemul de reglare cu partea fixată
)16)(15)(1(1)(
+++= ssssGF ,
să se determine )(sGR de tip simplu integral astfel încât sistemul de reglare să aibă polinomul polilor
(a) )143()13()( 2 ++= sssP ; (b) )13)(122()( 2 +++= ssssP .
In ambele cazuri, să se determine factorul de magnitudine al comenzii regulatorului.
Soluţie. Deoarece gradul polinomului polilor este egal cu ordinul relativ al părţii fixate, vom utiliza prima teoremă de alocare a polilor.
(a) In conformitate cu (23), avem
2)1(4271)( +=− sssP ,
)1(27)16)(15(4
]1)()[(1)(
+++=
−= ss
sssPsGsG
FR .
Sistemul de reglare are funcţia de transfer
)43()13(
4)(
1)( 20 ++==
sssPsG .
Factorul de magnitudine al comenzii regulatorului, egal cu raportul dintre valoarea iniţială )0( +c şi cea finală )(∞c a semnalului de comandă la referinţă treaptă, are valoarea
940
)()(lim)0(
==→∞
sGsPGM
Fs
F .
Răspunsul indicial al părţii fixate )(tyF şi răspunsurile )(tc şi )(ty ale sistemului de reglare la referinţă treaptă sunt reprezentate în figura 5.9.
(b) In conformitate cu (23), avem
)586(
)16)(15)(1(]1)()[(
1)( 2 +++++=
−=
ssssss
sPsGsGF
R .
Sistemul de reglare are funcţia de transfer
)13)(122(
1)(
1)( 20 +++==
ssssPsG .
Factorul de magnitudine al comenzii regulatorului este
5)()(lim)0(
==∞→
sGsPGM
Fs
F .
Răspunsul indicial al părţii fixate )(tyF şi răspunsurile la referinţă treaptă )(tc şi )(ty ale sistemului de reglare sunt reprezentate în figura 5.10.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
154
Fig. 5.9. Răspunsurile indiciale ale părţii fixate ( Fy ) şi ale sistemului de reglare ( y şi c )
pentru )16)(15)(1(1)(
+++= ssssGF şi )1(27
)16)(15(4)(+
++= sssssGR .
Fig. 5.10. Răspunsurile indiciale ale părţii fixate ( Fy ) şi ale sistemului de reglare ( y şi c )
pentru )16)(15)(1(1)(
+++= ssssGF şi
)586()16)(15)(1()( 2 ++
+++=sss
ssssGR .
♦ Aplicaţia 5.8. Pentru sistemul de reglare cu partea fixată
)1)(1()(21 ++
= sTsTksGF , 0>k , 120 TT ≤< ,
să se determine )(sGR de tip simplu integral astfel încât sistemul de reglare să aibă
polinomul polilor
(a) 22 )12()( += sTsP ;
(b) 22 )1()( += sTsP .
In ambele cazuri, să se determine factorul de magnitudine al comenzii regulatorului.
CALITATEA REGLĂRII
155
Soluţie. (a) Aplicând prima teoremă de alocare a polilor, rezultă
skT
sTsPsG
sGF
R2
14
1]1)()[(
1)(+
=−
= ,
adică un regulator de tip PI, cu funcţia de transfer
)11()( sTKsGi
pR += , 2
14kT
TK p = , 1TTi = .
Sistemul de reglare are funcţia de transfer
22
0 )12(1
)(1)(
+==
sTsPsG ,
iar comanda regulatorului are factorul de magnitudine
2
14)()(lim
)0(TT
sGsPG
MF
s
F ==
∞→
.
In cazul particular 2=k , 101=T şi 22 =T , în care
)12)(110(2)(
++= sssGF ,
rezultă 25,1=M şi
)11()( sTKsGi
pR += , 85=pK , 10=iT .
Răspunsul indicial al părţii fixate )(tyF şi răspunsurile la referinţă treaptă )(tc şi )(ty ale
sistemului de reglare sunt reprezentate în figura 5.11.
Fig. 5.11. Răspunsurile indiciale ale părţii fixate ( Fy ) şi ale sistemului de reglare ( y şi c )
pentru )12)(110(2
++= ssGF şi )10
11(85
sGR += .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
156
(b) Aplicând prima teoremă de alocare a polilor, rezultă
)2()1)(1(
]1)()[(1)(
22
21+++
=−
= sTskTsTsT
sPsGsGF
R
şi
22
0 )1(1
)(1)(
+==
sTsPsG .
Regulatorul obţinut este de tip PID, cu funcţia de transfer
)1
11()(+τ
++=s
sTsT
KsGd
d
ipR ,
unde
)2
1(41
2
1TT
kK p += ,
22
1T
TTi += , 22T
d =τ , )2(2)2(
21
212TTTTT
Td +−
= .
Aceste relaţii pot fi obţinute alegând 22T
d =τ şi scriind apoi identitatea
skT
sTsTsTsTsT
K di
p2
212
)1)(1(]2)2)(11[( ++=+++
sub forma
sTT
TsTsTT
TsTTkKii
dp22
11
22
1)1(]2)2()2[( +++=++++ .
Se determină pK şi iT prin egalarea coeficienţilor termenilor liberi şi în s1 , apoi dT - prin
egalarea coeficienţilor termenilor în s .
Comanda regulatorul are factorul de magnitudine 2
1)()(lim
)0(TT
sGsPGM
Fs
F ==∞→
.
In cazul particular 2=k , 101=T şi 22 =T , în care
)12)(110(2)(
++= sssGF ,
rezultă 5=M şi
)1
11()1(8
)12)(110()(+
++=+
++=
sτsT
sTK
sssssG
d
d
ipR ,
unde
811=pK , 11=iT , 1=dτ , 11
9=dT .
Răspunsul indicial al părţii fixate )(tyF şi răspunsurile la referinţă treaptă )(tc şi )(ty
ale sistemului de reglare sunt reprezentate în figura 5.12.
CALITATEA REGLĂRII
157
Fig. 5.12. Răspunsurile indiciale ale părţii fixate ( Fy ) şi ale sistemului de reglare ( y şi c )
pentru )12)(110(2
++= ssGF şi )1(8
)12)(110(+
++= ssssGR .
♦ Aplicaţia 5.9. Pentru sistemul de reglare cu partea fixată
)110)(1(313)(
+++= sss
ssGF ,
să se determine )(sGR de tip proporţional astfel încât sistemul de reglare să aibă polinomul
polilor (a) 2)12()( += ssP ; (b) )1)(12()( ++= sssP .
Soluţie. (a) In conformitate cu prima teoremă de alocare a polilor, avem
)13(4)110(3
]1)()[(1)(
++
=−
=ss
sPsGsG
FR , 20 )12(
1)(
1)(+
==ssP
sG .
Răspunsul indicial al părţii fixate )(tyF şi răspunsurile la referinţă treaptă )(tc şi )(ty ale
sistemului de reglare sunt reprezentate în figura 5.13.
(b) In conformitate cu prima teoremă de alocare a polilor, avem
)32)(13()110)(1(3
]1)()[(1)(
++++=
−= ss
sssPsGsG
FR ,
)1)(12(1
)(1)(0 ++== sssPsG .
Răspunsul indicial al părţii fixate )(tyF şi răspunsurile la referinţă treaptă )(tc şi )(ty ale sistemului de reglare sunt reprezentate în figura 5.14.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
158
Fig. 5.13. Răspunsurile indiciale ale părţii fixate ( Fy ) şi ale sistemului de reglare ( y şi c )
pentru )110)(1(313)( ++
+= sssssGF şi )13(4
)110(3)(++= s
ssGR .
Fig. 5.14. Răspunsurile indiciale ale părţii fixate ( Fy ) şi ale sistemului de reglare ( y şi c )
pentru )110)(1(313)(
+++= sss
ssGF şi )32)(13()110)(1(3)(
++++= ss
sssGR .
♦ Aplicaţia 5.10. Pentru sistemul de reglare cu partea fixată de tip integral
)110)(32(13)(
+++= sss
ssGF ,
să se determine )(sGR de tip integral astfel încât sistemul de reglare să aibă polinomul
polilor
(a) 3)12()( += ssP ;
(b) 2)1)(130()( ++= sssP .
CALITATEA REGLĂRII
159
Soluţie. (a) In conformitate cu a doua teoremă de alocare a polilor, avem
)13(4
)16)(110(]1)()[(
1)(
1
1+
++=
−−+
=ss
ssscsPsG
scsG
FR ,
)32(4
16)()()( 2 ++==ss
ssGsGsG FRd ,
21
0 )12(16
)(1
)(++
=+
=ss
sPsc
sG .
Răspunsul indicial al părţii fixate )(tyF şi răspunsurile la referinţă treaptă )(tc şi )(ty ale
sistemului de reglare sunt reprezentate în figura 5.15.
Fig. 5.15. Răspunsurile indiciale ale părţii fixate ( Fy ) şi ale sistemului de reglare ( y şi c )
pentru )110)(32(13)(
+++= sss
ssGF şi )13(4)16)(110()( +
++= sssssGR .
(b) In conformitate cu a doua teoremă de alocare a polilor, avem
)6130)(13(
)132)(110)(32(]1)()[(
1)(
1
1++
+++=
−−+
=sss
sssscsPsG
scsG
FR ,
)6130(
132)()()( 2 ++==
ssssGsGsG FRd ,
21
0 )1)(130(132
)(1
)(++
+=
+=
sss
sPsc
sG .
Răspunsul indicial al părţii fixate )(tyF şi răspunsurile la referinţă treaptă )(tc şi )(ty ale
sistemului de reglare sunt reprezentate în figura 5.16.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
160
Fig. 5.16. Răspunsurile indiciale ale părţii fixate ( Fy ) şi ale sistemului de reglare ( y şi c )
pentru )110)(32(13)(
+++= sss
ssGF şi )6130)(13()132)(110)(32()(
+++++= sss
ssssGR .
5.3.2. Aplicaţii de autocontrol
♦ C5.1. Să se calculeze eroarea staţionară la perturbaţie treaptă unitară a sistemului de reglare automată caracterizat prin:
KGR = , 1s31+=EG ,
19202
2 ++=
ssGP ,
11220
12 ++−
=ss
GV , 1=TG .
Care este valoarea minimă posibil a erorii staţionare ?
♦ C5.2. Să se calculeze eroarea staţionară la referinţă rampă unitară a sistemului de reglare automată caracterizat prin:
)11(2 sTGi
R += , 1s21+=EG ,
191+= sGP , 1=TG .
♦ C 5.3. Pentru sistemul de reglare automată caracterizat prin
)s411( +=KGR , 1s2
1+=EG ,
1s81+=PG , 1s4
1+=TG ,
să se determine K astfel încât polii sistemului să fie situaţi în stânga dreptei 20
1−=s .
CALITATEA REGLĂRII
161
♦ C5.4. Se consideră sistemul cu funcţia de transfer
)1)(1(
1)(21 ++
+=
sTsTsτsG ,
având constantele de timp 1T şi 2T pozitive şi fixate. Pentru intrare treaptă unitară, să se arate că indicele integral pătratic
dtyty st2
02 ))((∫∞
−=I
este minim atunci când 21 TTτ += .
♦ C5.5. Elementele unui sistem de reglare automată au funcţiile de transfer
skGR = , 0>k , 1=EG ,
132+
=s
GP ,
)14(2
1+
=s
GV , 12
1+
=s
GT .
(a) Să se afle eroarea staţionară la referinţă treaptă unitară şi la perturbaţie rampă unitară.
(b) Pentru referinţă treaptă unitară, să se afle valoarea optimă a parametrului k în
raport cu indicele integral pătratic tt d)(0
22 ∫
∞= εI .
♦ C5.6. Elementele unui sistem de reglare automată au funcţiile de transfer
ssT
Gi
R 311 ++= , 1
12 +
=s
GF ,
Pentru referinţă treaptă unitară, să se afle valoarea optimă a constantei de timp integrale iT
în raport cu indicele integral pătratic tt d)(0
22 ∫
∞= εI .
♦ C5.7. Pentru sistemul de reglare cu partea fixată
)110)(34)(1(3)(
+++= ssssGF ,
să se determine )(sGR de tip simplu integral astfel încât sistemul de reglare să aibă polinomul polilor
(a) )1()14()( 2 ++= sssP ; (b) )1()12()( 2 ++= sssP .
In ambele cazuri, să se determine factorul de magnitudine al comenzii regulatorului.
♦ C5.8. Pentru sistemul de reglare cu partea fixată
)110)(14)(1(15)(
++++= sss
ssGF ,
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
162
să se determine )(sGR de tip simplu integral astfel încât sistemul de reglare să aibă polinomul polilor
(a) )123)(13()( ++= sssP ;
(b) 2)12()( += ssP ;
(c) )1)(12()( ++= sssP .
In toate cazurile, să se determine factorul de magnitudine al comenzii regulatorului.
♦ C5.9. Pentru sistemul de reglare cu partea fixată
)13)(1(10
15)(++
+=
sssssGF ,
să se proiecteze un regulator stabil de tip simplu integral astfel încât sistemul de reglare să aibă polinomul polilor 3)13()( += ssP .
♦ C5.10. Pentru sistemul de reglare cu partea fixată
)14)(13(
2)(++
=ss
sGF ,
să se determine funcţia de transfer )(sGR a regulatorului de tip simplu integral, astfel încât
semnalul de comandă generat de regulator la referinţă treaptă unitară să fie de tip treaptă.
♦ C5.11. Procesul P din componenţa sistemului de reglare după perturbaţie din figura de mai jos are modelul
P: v-v4231220 −+=++ uuyyy .
Să se determine funcţia de transfer )(sGC a compensatorului C pe canalul UV − , astfel
încât compensarea efectului perturbator să fie perfectă.
6 PROPRIETĂŢI STRUCTURALE
ALE SISTEMELOR LINIARE
Teoria structurală a sistemelor operează în mod explicit cu conceptul de STARE, esenţial pentru caracterizarea internă a sistemului la orice moment al timpului. Reamintim că vectorul de stare sintetizează întreaga informaţie utilă referitoare la evoluţia anterioară a sistemului, în sensul că starea X şi ieşirea Y ale unui sistem determinist sunt univoc determinate la momentul 0>t de starea iniţială 0X şi intrarea
],0[ tU .
In cele ce urmează ne vom referi la sistemele multivariabile (multi input-multi output) liniare, invariante şi fără timp mort (continue sau discrete), având modelul structural (tip I-S-E) de forma
⎪⎩
⎪⎨⎧
)()()(
)()()(
t+DUtCX=tY
t+BUtAX=tX, t ∈ R (1)
respectiv
⎩⎨⎧ +
)()()()()()1(
tDU+t=CXtYtBU+tAXtX =
, Z∈t . (2)
In ambele modele, vectorii de intrare U , de stare X şi de ieşire Y au respectiv dimensiunile m , n şi p . Ordinul (dimensiunea) sistemului este n .
6.1. CONTROLABILITATEA SI STABILIZABILITATEA
Controlabilitatea (reglabilitatea) este acea proprietate structurală a unui sistem liniar (stabil sau instabil) care permite reglarea acestuia, prin reacţie după stare, cu performanţe dinamice foarte bune (oricât de bune la sistemele continue), deoarece, alocarea spectrului unui sistem controlabil prin reacţie după stare se poate realiza în orice configuraţie dorită.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
164
Stabilizabilitatea este o proprietate structurală mai slabă, care permite numai stabilizarea sistemului prin reacţie după stare (prin alocarea spectrului în zona de stabilitate), dar nu şi obţinerea unor performanţe dinamice oricât sau suficient de bune. Toate sistemele stabile satisfac, în mod evident, proprietatea de stabilizabilitate. Un sistem instabil şi care nu satisface proprietatea de stabilizabilitate nu poate fi stabilizat prin introducerea unei legături de reacţie după stare.
6.1.1. Controlabilitatea stării
Prin definiţie, o stare 1X este controlabilă (reglabilă) dacă există o comandă U care să transfere sistemul din starea iniţială 00 =X în starea 1X , într-un interval de
timp finit. In cazul sistemului continuu ),,,( DCBAΣ , starea 1X este controlabilă dacă există 01 >t şi ],0[ 1tU astfel încât
∫ −= 1 10
)(1 )(e
t tA dBUX τττ .
La sistemul discret ),,,( DCBAdΣ , starea 1X este controlabilă dacă există un număr finit 11 ≥k de paşi de comandă
)}1(,),1(),0({ 1 −kUUU
astfel încât
)(1
0
11
11 iBUAX
k
i
ik∑−
=
−−= .
Pe baza acestor relaţii, putem demonstra (mai uşor în cazul sistemelor discrete) următoarea teoremă.
Teorema de controlabilitate a stării. O stare 1X este controlabilă dacă şi numai dacă poate fi scrisă sub forma WCX n=1 , unde
mnnnn BAABBC ×− ∈= R][ 1 (3)
este matricea de controlabilitate a sistemului, iar mnW R∈ .
Altfel spus, o stare 1X este controlabilă dacă şi numai dacă aparţine imaginii matricei de controlabilitate nC , adică
nCX Im1 ∈ . (4)
Imaginea matricei nC , definită astfel
PROPRIETĂŢI STRUCTURALE ALE SISTEMELOR LINIARE 165
},|{Im mnn
nn WWCXXC RR ∈=∈=
Δ, (5)
reprezintă subspaţiul controlabil, cu dimensiunea
nCn nc ≤= rang . (6)
In cazul nCn =rang , subspaţiul controlabil coincide cu nR , deci toate stările nX R∈ sunt controlabile. Dacă însă nCn <rang , atunci stările controlabile aparţin
subspaţiului controlabil nCIm , iar stărilor necontrolabile aparţin mulţimii nn CIm\R ,
care nu formează un subspaţiu vectorial. Există însă un cel mai mare subspaţiu vectorial format din elemente ale mulţimii stărilor necontrolabile, care reprezintă subspaţiul necontrolabil şi are dimensiunea
cnc nnn −= . (7)
Deoarece nnn ncc =+ , subspaţiul controlabil şi subspaţiul necontrolabil sunt
complementare în nR . In plus, ele sunt şi ortogonale, deoarece produsul scalar al oricăror două elemente aparţinând celor două subspaţii este nul. Astfel, dacă 1X aparţine subspaţiul controlabil, iar 2X aparţine subspaţiul necontrolabil, atunci
01221 == XXXX TT .
Orice stare nX R∈ care nu aparţine niciunui subspaţiu vectorial este o stare necontrolabilă.
Determinarea subspaţiului controlabil nCIm este echivalentă cu aflarea unei baze a acestuia. O bază cB a subspaţiului controlabil este dată de cn coloane liniar independente ale matricei de controlabilitate nC , iar o bază ncB a subspaţiului necontrolabil este dată de ncn vectori liniar independenţi iv care verifică ecuaţia
0=iTcB v . (8)
De notat faptul că orice element al unui subspaţiu (controlabil sau necontrolabil) poate fi reprezentat ca o combinaţie liniară a vectorilor −n dimensionali care formează baza subspaţiului.
Observaţii. 1o. In cazul unui sistem continuu, dacă starea 1X este controlabilă, atunci există o comandă ],0[ 1tU care transferă starea 00 =X în 1X într-un timp 1t
oricât de mic. Acest rezultat teoretic nu poate fi însă riguros implementat în cadrul aplicaţiilor practice, în primul rând din cauza incertitudinii modelului sistemului. Dar
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
166
şi în cazul ipotetic al unui model perfect, reducerea substanţială a timpului de transfer necesită utilizarea unui semnal de comandă cu magnitudinea extrem de mare, greu de realizat fizic şi inacceptabil din punct de vedere practic.
2o. La sistemele discrete, timpul minim în care starea controlabilă 1X poate fi
atinsă (plecând din origine) este cuprinsă între 1 şi n .
6.1.2. Controlabilitatea sistemului
Prin definiţie, un sistem este controlabil (reglabil) atunci când toate stările nX R∈ sunt controlabile. Din teorema de controlabilitate a stării rezultă imediat următoarea teoremă.
Teorema controlabilităţii. Un sistem liniar de ordinul n este controlabil dacă şi numai dacă matricea de controlabilitate are rangul n , adică
nCn =rang . (9)
Observaţia 1o. Proprietatea de controlabilitate este asociată exclusiv ecuaţiei de stare a sistemului, adică perechii de matrice ),( BA .
Observaţia 2o. La un sistem controlabil, oricare ar fi două stări nXX R∈21, , există o comandă ],0[ 1tU care să transfere sistemul din starea iniţială 1X în starea 2X , într-un timp 1t oricât de mic (dacă sistemul este continuu), sau cuprins între 1 şi n
(dacă sistemul este discret). In cazul unui sistem continuu controlabil, dacă ],0[ 1tU ′ transferă originea spaţiului
stărilor în starea 2X , iar ],0[ 1tU ′′ transferă originea spaţiului stărilor în starea 11e XAt− ,
atunci comanda UUU t ′′+′=],0[ 1 va transfera starea 1X în starea 2X . Intr-adevăr,
ţinând seama de (3), avem
∫ ′= −1 10
)(2 )(e
t tA dUBX τττ , ∫ ′′=− −1 110
)(1 )(ee
t tAAt dUBX τττ ,
iar prin însumare, obţinem relaţia
∫ −+= 1 110
)(12 )(ee
t tAAt dBUXX τττ ,
care exprimă faptul că starea 1X poate fi transferată în starea 2X , în timpul 1t , cu
comanda UUU ′′+′= . Demonstraţia este similară în cazul sistemelor discrete.
PROPRIETĂŢI STRUCTURALE ALE SISTEMELOR LINIARE 167
Observaţia 3o. Intre matricele de controlabilitate nC şi nC a două sisteme
),,,( DCBAΣ şi ),,,( DCBAΣ echivalente I-S-E există relaţia
nn CSC = , (10)
similară relaţiei de transformare a stării XSX = . Intr-adevăr,
][][ 1111111 BSSASBSASSBSSBABABSCS nnn
−−−−−−− ⋅⋅== n
n CBAABB == − ][ 1 .
Deoarece matricea pătrată S de transformare a stării este nesingulară, din (10) rezultă
nn CC rangrang = , (11)
care exprimă proprietatea de conservare prin echivalenţă a controlabilităţii, în sensul că subspaţiile controlabile a două sisteme echivalente I-S-E au aceeaşi dimensiune, deci ambele sisteme sunt fie controlabile, fie necontrolabile.
Teorema următoare exprimă posibilitatea descompunerii unui sistem necontrolabil în două subsisteme, unul controlabil şi celălalt necontrolabil.
Teorema descompunerii unui sistem necontrolabil. Fie ),,,( DCBAΣ un sistem
liniar necontrolabil de ordinul n , cu
nnC cn <=rang .
Efectuând transformarea de stare XSX = cu
][ ncc BBS = , (12)
unde cB şi ncB sunt respectiv baze ale subspaţiului controlabil şi necontrolabil, se obţine sistemul echivalent ),,,( DCBAΣ , având
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
22
1211
0 AAA
A , ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=01BB , [ ]21 CCC = , DD = , (13)
cu 11A de tipul cc nn × , 22A de tipul ncnc nn × , 1B de tipul mnc × şi 1C de tipul cnp× .
In cazul sistemelor continue, scriind vectorul de stare X al sistemului Σ sub forma ecuaţiile sistemului Σ devin astfel
X =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
ncXcX
(14)}nc
}n-nc
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
168
Σ : ⎪⎩
⎪⎨⎧
XA =X
UB +XA +XA = X
ncnc
nc cc
22
11211 , DUXCXCy ncc ++= 21 . (15)
In mod clar, componenta ncX a stării X este necontrolabilă, deoarece nu poate fi
transferată din origine sub acţiunea comenzii U . Prin eliminarea acestei componente, obţinem partea controlabilă CΣ a sistemului Σ , cu ordinul nc Cn rang= şi ecuaţiile
CΣ : ⎪⎩
⎪⎨⎧
+= DUXCy UB +XA = X
c
cc
1
111 . (16)
In majoritatea aplicaţiilor practice, reglarea sistemului necontrolabil Σ se reduce la reglarea părţii sale controlabile ),,,( 1111C DCBAΣ .
Observaţia 4o. Subsistemul controlabil CΣ este echivalent la stare nulă (deci
echivalent I-E) cu sistemul Σ , deci şi cu sistemul Σ . Această proprietate este consecinţa formei particulare a celei de-a doua ecuaţii de stare a sistemului Σ , care pentru 0)0( =ncX are soluţia 0)( =tX nc pentru orice 0≥t . Prin urmare, dacă sistemul Σ are starea iniţială 0)0( =X , deci 0)0( =cX şi 0)0( =ncX , atunci 0)( =tX nc pentru orice 0≥t , iar ecuaţiile sistemului Σ devin identice cu cele ale sistemului CΣ .
Observaţia 5o. Sistemele echivalente Σ şi Σ au acelaşi spectru (constituit din mulţimea disjunctă a valorilor proprii, adică a rădăcinilor ecuaţiei caracteristice). Spectrul cσ al matricei pătrate 11A reprezintă spectrul controlabil, iar spectrul ncσ al matricei pătrate 22A este spectrul necontrolabil. Din
)Idet()Idet()Idet()Idet( 2211 AsAsAsAs −⋅−=−=− ,
rezultă nccAA σσσσ ∪== ~)()( , (17)
care exprimă faptul că spectrul unui sistem este reuniunea disjunctă a spectrelor controlabil şi necontrolabil ale sistemului.
Pe baza teoremei de descompunere a unui sistem necontrolabil putem demonstra Teorema de controlabilitate a lui Hautus. Un sistem liniar ),,,( DCBAΣ de
ordinul n este controlabil dacă şi numai dacă pentru orice element λ al spectrului sistemului, matricea (de controlabilitate a lui Hautus)
]I[)( BAHc −= λλ (18)
are rangul n .
PROPRIETĂŢI STRUCTURALE ALE SISTEMELOR LINIARE 169
Observaţia 6o. Tinând seama de faptul că nA =− ]I[rang λ pentru )(\ Aσλ C∈ ,
teorema de controlabilitate a lui Hautus admite următoarea formă "extinsă": Un sistem este controlabil dacă si numai dacă matricea )(λcH are rangul n pentru orice C∈λ .
Observaţia 7o. In cazul unui sistem necontrolabil ),,,( DCBAΣ de ordinul n şi având spectrul )(Aσ format din n elemente distincte, spectrul controlabil şi spectrul necontrolabil sunt date de relaţiile
})(rang|)({ nHA cc =∈= λλ σσ , })(rang|)({ nHA cnc <∈= λλ σσ . (19)
Pe de altă parte, spectrul unui sistem continuu este reuniunea disjunctă a spectrului stabil (asimptotic) −σ şi a spectrului instabil +σ , definite astfel
}Re|)({ 0<∈=− λλ σσ A , }Re|)({ 0≥∈=+ λλ σσ A . (20)
6.1.3. Stabilizabilitatea
Prin definiţie, o stare 1X este stabilizabilă dacă există o comandă U care s-o
transfere în origine, într-un interval de timp finit sau infinit. In plus, un sistem este stabilizabil atunci când toate stările nX R∈ sunt stabilizabile.
Teorema stabilizabilităţii. Un sistem liniar este stabilizabil dacă şi numai dacă partea necontrolabilă este asimptotic stabilă (spectrul necontrolabil coincide cu spectrul stabil), adică −− ⊂≡ Cσσ nc . (21)
Având în vedere lanţul de echivalenţe
( −≡σσ nc ) ⇔ ( cσσ λλ ∈⇒∈ + ) ⇔ ( nHc =⇒∈ + )(rang λλ σ ),
rezultă Teorema de stabilizabilitate a lui Hautus. Un sistem liniar este stabilizabil dacă
şi numai dacă matricea de controlabilitate a lui Hautus are rangul n pentru orice element λ al spectrului instabil, adică
+∈∀= σλλ nHc )(rang . (22)
6.1.4. Forme canonice controlabile
Utilizarea formelor canonice de reprezentare I-S-E a unui sistem ),,,( DCBAΣ poate aduce simplificări în rezolvarea unor probleme majore ale reglării sistemelor
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
170
automate. Teoria formelor canonice are la bază conceptul de echivalenţă I-S-E, care permite transformarea sistemului ),,,( DCBAΣ în sistemul echivalent ),,,( DCBAΣ ,
prin schimbarea bazei spaţiului stărilor. Determinarea noii baze S , adică a matricei de transformare a stării după relaţia XSX = , este esenţială în obţinerea formei canonice dorite şi, eventual, după rezolvarea problemei, în revenirea la forma iniţială.
In cele ce urmează este abordat numai cazul sistemelor cu o singură intrare.
Forma canonică controlabilă de tipul 1. Un sistem liniar controlabil ),,,( DCBAΣ , cu o singură intrare şi cu polinomul caracteristic
011
1)Idet()( aaaA nn
n +++=−= −−+ λλλλλP ,
poate fi adus la forma canonică controlabilă de tipul unu ),,,(1C DCBAΣ , cu matricele A şi B de forma
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
−1210
1000
01000010
naaaa
A ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
10
00
B , (23)
prin alegerea bazei ][ 211 nc sssS = , unde
⎩⎨⎧
−− . , ,n ,n =i ,Ba+As= sB=s
i+ii
n
1211 (24)
Matricea pătrată 1cS este nesingulară deoarece, scriind relaţiile (24) sub forma
explicită
BABAaABaBas
ABBasBs
nnn
nn
n
121211
11
−−−
−−
++++=
+==
,
rezultă 11 ACS nc = ,
unde ][ 1BAABBC nn
−= este matricea de controlabilitate a sistemului Σ , iar
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−
0001001
011
1
32
21
1n
n
a
aaaaa
A .
PROPRIETĂŢI STRUCTURALE ALE SISTEMELOR LINIARE 171
Prin urmare,
0|det||det||det||det| 11 ≠=⋅= nnc CACS .
Pentru a demonstra că prin alegerea bazei 1cS se obţine forma canonică echivalentă (23), în conformitate cu teorema de echivalenţă I-S-E trebuie arătat că 1
11 cc ASSA −= şi
BSB c1
1−= , adică 11 cc ASAS = şi BBSc =1 . Deoarece a doua relaţie este evidentă,
rămâne să demonstrăm că 11 cc ASAS = . Tinând seama de teorema Cayley-Hamilton,
avem BaBAAaAaAaAs nn
n 01
12
211 )( −=++++= −− ,
adică nsaAs 01 −= . In plus, avem niii sasAs −=+1 pentru 1,,2,1 −= ni . Rezultă
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
−
−−
1210
1211211000
01000010
][][
n
nnnn
aaaa
ssssssssA ,
adică ASAS cc 11 = . Controlabilitatea sistemului 1CΣ reiese şi din faptul că matricea sa de contro-
labilitate ][ 1BABABC nn
−= este de forma
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
***1**10
*1001000
nC ,
deci are proprietatea 1|det| =nC .
Ecuaţia de stare asociată formei canonice controlabile de tipul 1 are forma
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−−−−==
=
−
−uxaxaxax
xx
xx
nnn
nn
12110
1
21
, (25)
care evidenţiază faptul că fiecare dintre variabilele de stare nxxx ,,, 32 sunt
derivatele variabilelor de stare precedente. De menţionat faptul că sistemul monovariabil cu forma canonică controlabilă
),,,(1C DCBAΣ şi
][ 110 −= ncccC , 0=D ,
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
172
are funcţia de transfer
01
11
011
1)(asasas
cscscsG nn
n
nn
+++++++
= −−
−− .
Forma canonică controlabilă de tipul 2. Un sistem liniar controlabil ),,,( DCBAΣ , cu o singură intrare şi cu polinomul caracteristic
011
1)Idet()( aaaA nn
n +++=−= −−+ λλλλλP ,
poate fi adus la forma canonică controlabilă de tipul doi ),,,(2C DCBAΣ , cu
matricele A şi B de forma
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
=
−1
210
1000
010001000
na
aaa
A ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0
001
B , (26)
prin alegerea bazei 2cS egală cu matricea de controlabilitate nC a sistemului Σ .
In conformitate cu teorema de echivalenţă I-S-E,, este suficient să arătăm că nn ACAC = şi BBCn = . Tinând seama de teorema Cayley-Hamilton, avem
][ 2 BABAABAC nn =
])I([ 1110
12 BAaAaaBABAAB nn
n −−
− +++−=
A
a
aaa
BAABB n
n
n C=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
=
−
−
1
2
1
0
1
1000
010001000
][
şi
BCBAABBB nn =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= −
0
01
][ 1 .
Controlabilitatea sistemului C2Σ reiese şi din faptul că matricea sa de contro-labilitate ][ 1BABABC n
n−= este egală cu matricea unitate I .
PROPRIETĂŢI STRUCTURALE ALE SISTEMELOR LINIARE 173
Ecuaţia de stare asociată formei canonice controlabile de tipul 2 are forma
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=+−=
−− nnnn
n
n
xaxx
xaxxuxax
11
112
01
. (27)
6.2. OBSERVABILITATEA SI DETECTABILITATEA
Observabilitatea şi detectabilitatea sunt respectiv dualele proprietăţilor de controlabilitate şi stabilizabilitate. Dacă proprietatea de controlabilitate permite atingerea într-un timp foarte mic a oricărei stări printr-o comandă convenabilă, deci reglarea sistemului prin reacţie după stare cu performanţe dinamice foarte bune, în schimb proprietatea de observabilitate permite o estimare performantă a stării sistemului, prin măsurarea şi procesarea convenabilă a mărimii de ieşire.
Detectabilitatea este o proprietate mai slabă care permite numai stabilizarea procesului de estimare a stării sistemului prin măsurarea şi procesarea convenabilă a mărimii de ieşire, dar nu şi realizarea unei calităţi bune a operaţiei de estimare. Starea unui sistem nedetectabil nu poate fi estimată prin procesarea ieşirii.
6.2.1. Observabilitatea
Prin definiţie, o stare 1X este observabilă dacă răspunsul liber )(tYl din starea iniţială 1X este nenul pentru 0≥t . Altfel spus, o stare 1X este neobservabilă dacă răspunsul liber )(tYl din starea iniţială 1X este identic nul pentru 0≥t .
La sistemul continuu ),,,( DCBAΣ , starea 1X este neobservabilă dacă şi numai
dacă 0e 1 =XC At 0≥∀ t . (28)
La sistemul discret ),,,( DCBAdΣ , starea 1X este neobservabilă dacă şi numai
dacă 01 =XCAk ,2,1,0=∀ k . (29)
Relaţiile (28) şi (29) sunt echivalente, deoarece (29) implică (28) , conform relaţiei de definiţie a exponenţialei matriceale, iar (28) implică
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
174
0)e(dd
01 =
=t
Atk XC
t ,2,1,0=∀ k ,
adică (29). Pe baza acestor relaţii, putem demonstra următoarea teoremă. Teorema de observabilitate a stării. O stare 1X este neobservabilă dacă şi numai
dacă 01 =XQn , (30)
unde
npn
n
n
CA
CAC
Q ×
−
∈⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
= R1
(31)
este matricea de observabilitate a sistemului.
Mulţimea stărilor neobservabile formează subspaţiul vectorial neobservabil, cu dimensiunea nQn rang− , în timp ce mulţimea celorlalte stări din nR (observabile) nu
formează un subspaţiu vectorial, dar conţine un cel mai mare subspaţiu vectorial, cu dimensiunea no Qn rang= , numit subspaţiul observabil. Cele două subspaţii, ca şi
subspaţiile controlabil şi necontrolabil, sunt ortogonale şi complementare în nR .
Prin definiţie, un sistem este observabil atunci când toate stările nX R∈ sunt observabile. Din teorema de observabilitate a stării rezultă imediat următoarea teoremă.
Teorema observabilităţii. Un sistem liniar de ordinul n este observabil dacă şi numai dacă matricea de observabilitate are rangul n , adică
nQn =rang . (32)
Observaţia 1o. Proprietatea de observabilitate este asociată exclusiv perechii de matrice ),( CA .
Observaţia 2o. Intre matricele de observabilitate nQ şi nQ a două sisteme
),,,( DCBAΣ şi ),,,( DCBAΣ echivalente I-S-E, cu matricea de transformare S
( XSX = ), există relaţia
SQQ nn = , (33)
Intr-adevăr,
PROPRIETĂŢI STRUCTURALE ALE SISTEMELOR LINIARE 175
SQS
CA
CAC
SASCS
ASSCSCS
AC
ACC
Q n
nnn
n =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⋅=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−−
−
− 111
1
1
Deoarece matricea pătrată S este nesingulară, din (33) rezultă
nn QQ rangrang = , (34)
care exprimă proprietatea de conservare prin echivalenţă a observabilităţii. Din
])([])()([),( 11 TnTTTTTnTTTn CACACCACACCAQ −− ==
),( TTn CAC=
rezultă
),(rang),(rang TTnn CACCAQ = , (35)
care exprimă Principiul dualităţii. Perechea ),( CA este observabilă dacă şi numai dacă
perechea ),( TT CA este controlabilă.
Sistemele ),,,( DCBAΣ şi ),,,(1 DBCA TTTΣ se numesc sisteme duale deoarece,
conform principiului dualităţii, studiul observabilităţii/controlabilităţii unuia se reduce la studiul controlabilităţii/observabilităţii celuilalt. Din principiul dualităţii putem obţine teorema descompunerii unui sistem neobservabil (similară teoremei descompunerii unui sistem necontrolabil), precum şi
Teorema de observabilitate a lui Hautus. Un sistem liniar ),,,( DCBAΣ de
ordinul n este observabil dacă şi numai dacă pentru orice element λ al spectrului sistemului, matricea (de observabilitate a lui Hautus)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
λλ
C
AHo
I)( (36)
are rangul n .
Observaţia 3o. In cazul unui sistem neobservabil ),,,( DCBAΣ de ordinul n având spectrul )(Aσ format din n elemente distincte, spectrul observabil şi spectrul neobservabil sunt date de relaţiile
})(rang|)({ nHA oo =∈= λλ σσ , })(rang|)({ nHA ono <∈= λλ σσ . (37)
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
176
6.2.2. Detectabilitatea
Prin definiţie, o stare 1X este detectabilă dacă este observabilă sau dacă starea sistemului în regim liber evoluează din starea iniţială 1X spre origine, într-un interval
de timp finit sau infinit. Dacă toate stările nX R∈ sunt detectabile, atunci sistemul este detectabil.
Teorema detectabilităţii. Un sistem liniar este detectabil dacă şi numai dacă spectrul neobservabil coincide cu spectrul stabil, adică
−− ⊂≡ Cσσ no . (38)
Având în vedere lanţul de echivalenţă
( −≡σσ no ) ⇔ ( oσσ λλ ∈⇒∈ + ) ⇔ ( nHc =⇒∈ + )(rang λλ σ ),
rezultă Teorema de detectabilitate a lui Hautus. Un sistem liniar este detectabil dacă şi
numai dacă matricea de observabilitate a lui Hautus are rangul n pentru orice element λ al spectrului instabil, adică
+∈∀= σλλ nHo )(rang . (39)
Perechea ),( CA este detectabilă dacă şi numai dacă perechea ),( TT CA este stabilizabilă, iar sistemul ),,,( DCBAΣ este detectabil dacă şi numai dacă sistemul dual ),,,(1 DBCA TTTΣ este stabilizabil.
6.2.3. Forme canonice observabile
Forma canonică observabilă de tipul 1. Un sistem liniar observabil ),,,( DCBAΣ , cu o singură ieşire şi cu polinomul caracteristic
011
1)Idet()( aaaA nn
n +++=−= −−+ λλλλλP ,
poate fi adus la forma canonică observabilă de tipul unu )~,~
,~,~
(1O DCBAΣ , cu
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
−1210
1000
01000010
~
naaaa
A , [ ]0001~=C , (40)
prin alegerea bazei 1oS egală cu inversa matricei de observabilitate, adică 1
1−= no QS .
PROPRIETĂŢI STRUCTURALE ALE SISTEMELOR LINIARE 177
Acest rezultat poate fi obţinut din forma canonică controlabilă de tipul doi (26), ţinând seama că AAT =
~ şi BC T =~ . Prin transpunere, relaţia 1
11
~oo ASSA −= devine
111 )( −= T
oTT
o SASA ; similar, 1~
oCSC = devine TTo CSB 1= . Pe de altă parte, deoarece
212 c
Tc SASA −= şi BSB c
12
−= , rezultă
212
111 )( c
Tc
To
TTo SASSAS −− = ,
BSCS cTT
o121
−= .
Prin urmare, 1oS poate fi obţinut prin transpunerea şi inversarea matricei 2cS , după ce au fost înlocuiţi parametrii A şi B din [ ]BAABBS n
c1
2−= respectiv cu TA şi
TC ; deci, 11
−= no QS .
Similar, din forma canonică controlabilă de tipul unu (23), rezultă Forma canonică observabilă de tipul 2. Un sistem liniar observabil ),,,( DCBAΣ ,
cu o singură ieşire şi cu polinomul caracteristic
011
1)Idet()( aaaA nn
n +++=−= −−+ λλλλλP ,
poate fi adus la forma canonică observabilă de tipul doi )~,~,~,~(O2 DCBAΣ , cu
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
=
−1
2
1
0
1000
010001000
~
na
aaa
A , [ ]1000~
=C , (41)
alegând baza 2oS de forma Tno sssS ][ 21
12 =− , unde
⎪⎩
⎪⎨⎧
−− . , ,n ,n =i Ca+sA= s
C=sT
i+iT
i
Tn
121,1
(42)
De menţionat faptul că sistemul monovariabil cu forma canonică observabilă )~,~,~,~(O2 DCBAΣ şi
][~110 −= n
T bbbB , 0~=D ,
are funcţia de transfer
01
11
011
1)(asasas
bsbsbsG n
nn
nn
+++++++
= −−
−− .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
178
6.3. REGLAREA CU REACŢIE DUPĂ STARE ŞI ESTIMATOR DE STARE
Reglarea automată unui sistem strict propriu ),,( CBAΣ presupune introducerea unei legi de comandă a acestuia, în funcţie de ieşirea măsurată Y şi de intrarea de referinţă I . Rezolvarea structurală a problemei sintezei sistemului de reglare se face în două etape:
- determinarea, în condiţiile controlabilităţii sistemului Σ , a unei legi de comandă liniară prin reacţie după stare, de forma
PRFXU +−= ,
astfel încât sistemul închis să aibă un spectru apriori fixat; - construirea, în condiţiile observabilităţii sistemului Σ , a unui estimator de stare
Σ~
, care să reconstituie rapid şi „asimptotic exact" starea necunoscută X a sistemului Σ , pe baza intrării U şi a ieşirii măsurate Y (fig. 6.1).
Condiţia de estimare „asimptotic exactă" a stării X a sistemului Σ semnifică faptul că ieşirea X~ a estimatorului de stare Σ
~ converge către starea X atunci când
∞→t , oricare ar fi starea iniţială )0(X şi intrarea ),0[ ∞U . Sistemul cΣ format din subsistemul de comandă după stare şi estimatorul de stare
se numeşte compensator liniar .
Fig. 6.1. Schema sistemului de reglare cu estimator de stare şi reacţie după starea estimată.
6.3.1. Reglarea prin reacţie după stare
Pentru sistemul liniar ),,( CBAΣ cu m variabile de intrare şi n variabile de stare, legea de comandă liniară după stare are forma generală
PRFXU +−= , (43)
PROPRIETĂŢI STRUCTURALE ALE SISTEMELOR LINIARE 179
unde qR R∈ este mărimea de intrare (de referinţă) a sistemului închis (cu reacţie), nmF ×∈R este matricea de reacţie (după stare), iar qmP ×∈R este matricea de
precompensare. Dacă sistemul Σ are o singură intrare ( 1=m ), atunci matricea de reacţie F este de tip linie.
Sistemul închis cu reacţie după stare ),,(, CBAPFΣ din figura 6.2 are modelul
⎪⎩
⎪⎨⎧
Y=CX
RX+B= AX PF , (44)
unde BFAAF −= , BPBP = . (45)
Fig. 6.2. Sistem închis cu reacţie după stare.
Un sistem ),,( CBAΣ cu n variabile de stare se numeşte alocabil dacă oricare ar fi mulţimea simetrică1 0σ de n numere reale sau complexe, există o matrice de reacţie F astfel încât spectrul sistemului cu reacţie după stare să coincidă cu 0σ , adică
0)( σ=σ FA . (46)
Se poate demonstra relativ uşor, pe baza teoremei descompunerii unui sistem necontrolabil, că un sistem necontrolabil ),,( CBAΣ nu este alocabil deoarece, oricare ar fi matricele F şi P , spectrul sistemului cu reacţie după stare ),,(, CBAPFΣ conţine
spectrul necontrolabil, deci fix, al lui Σ . Nu la fel de simplă este demonstraţia faptului că dacă sistemul ),,( CBAΣ este controlabil, atunci este şi alocabil.
Teorema alocabilităţii spectrului prin reacţie după stare. Un sistem este alocabil dacă şi numai dacă este controlabil.
Performanţele dinamice ale sistemului de reglare după stare sunt în mare măsură determinate de spectrul matricei FA . Teoretic, dacă sistemul Σ este controlabil, prin
alegerea convenabilă a matricei de reacţie F putem obţine spectrul dorit al sistemului
1 In care fiecare număr complex apare împreună cu conjugatul său.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
180
închis (al matricei FA ), deci putem proiecta sistemul închis pentru a avea performanţe
dinamice oricât de bune. Practic însă, acest lucru nu este posibil, ca urmare a nivelului de zgomot şi gradului de incertitudine al modelului sistemului Σ .
In cazul sistemelor cu o singură intrare ( 1=m ), procedura de alocare este următoarea:
a) Se calculează matricea de controlabilitate ][ 1BAABBC nn
−= şi se verifică faptul că nCn =rang ;
b) Se determină vectorul h cu relaţia ]100[=nT Ch ;
c) Se calculează matricea de reacţie F (tip linie) cu relaţia
∏=
−==n
kk
TT AhAhF1
00 )I)( ( λP , (47)
unde )(0 sP este polinomul caracteristic dorit, iar 01λ , …, 0
nλ sunt elementele dorite şi apriori fixate ale spectrului 0σ sistemului închis.
Observaţie. Procedura de alocare se simplifică în cazul unui sistem CBA ,,(1CΣ ) având forma canonică controlabilă de tipul 1. Astfel, dacă sistemul are
polinomul caracteristic
011
1)Idet()( aaaA nn
n +λ++λλ=−λ=λ −−+P ,
atunci alegând matricea de reacţie
][ 1111001 −− −−−= nn aaaF ααα , (48)
sistemul închis va avea polinomul caracteristic impus
011
10 )Idet()(1
α+λα++λλ=−λ=λ −−α+ n
nn
FAP .
Intr-adevăr, avem
][
10
00
21000
01000010
111100
110
1 −−
−
−−−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=− − nn
n
aaa
αααα
FBA ααα
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
−110 21000
01000010
nαααα
,
PROPRIETĂŢI STRUCTURALE ALE SISTEMELOR LINIARE 181
deci )()](I[det 01 λ=−−λ PFBA .
Dacă sistemul controlabil Σ nu are forma canonică controlabilă de tipul 1, atunci matricea de reacţie F este dată de relaţia
111
−= cSFF , (49)
unde 1cS este matricea (24) care realizează transformarea lui Σ în 1CΣ .
In MATLAB, pentru calculul matricei de reacţie F a unui sistem ),,( CBAΣ cu o singură intrare sau cu mai multe intrări, se utilizează respectiv funcţiile
• function F = acker(A,B,S), şi • function F = place(A,B,S). Vectorul n -dimensional S defineşte spectrul dorit 0σ al sistemului cu reacţie după stare.
6.3.2. Estimatoare de stare
Cel mai simplu estimator de stare (de tipul 1) al sistemului strict propriu ),,( CBAΣ de ordinul n este sistemul liniar, de ordinul n , strict propriu, cu modelul
1~Σ :
⎩⎨⎧ −
=WX
CWY=AW+BU+LW~
( ) , (50)
unde nW R∈ reprezintă starea estimatorului, X~ este estimarea stării X a sistemului Σ , iar pnL ×∈R este o matrice de corecţie aleasă convenabil. In lipsa termenului de corecţie )( CWYL − , ecuaţia de stare a estimatorului coincide cu ecuaţia de stare a sistemului Σ . Dacă sistemul Σ are o singură ieşire ( 1=p ), atunci matricea de corecţie L este de tip coloană.
Cu notaţia LCAAL −= , (51)
modelul estimatorului de stare devine astfel:
1~Σ :
⎩⎨⎧
=WX
W+BU+LY=AW L~ . (52)
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
182
Estimatorul are ca intrări mărimea de intrare U a sistemului Σ şi mărimea de ieşire Y a sistemului Σ , iar ca ieşire mărimea X~ de estimare a stării X a sistemului Σ . Spectrul estimatorului de stare este mulţimea valorilor proprii ale matricei pătrate
LA . Notând cu XXE −=
~ eroarea de estimare, din ecuaţia estimatorului
)~(~~ XCY+BU+LX=AX −
şi din ecuaţiile BUAXX += , CXY =
ale sistemului Σ , obţinem ecuaţia erorii
EAE L= , (53) care implică )0(e)( EtE tAL= , (54)
unde )0(E este eroarea de estimare iniţială. Din (54) rezultă că estimatorul este asimptotic stabil, adică 0)(lim =
∞→tE
t oricare ar fi eroarea iniţială )0(E , dacă şi numai
dacă toate valorile proprii ale matricei LA au partea reală negativă. Tinând seama că
)()()( TTTTLL LCAAA −== σσσ ,
din teorema alocabilităţii spectrului prin reacţie după stare rezultă că estimatorul este alocabil dacă şi numai dacă perechea ),( TT CA este controlabilă. In conformitate cu principiul dualităţii, perechea ),( TT CA este controlabilă dacă şi numai dacă perechea
),( CA este observabilă. Obţinem astfel
Teorema alocabilităţii spectrului estimatorului. Estimatorul de stare al unui sistem are spectrul alocabil dacă şi numai dacă sistemul este observabil.
In cazul unui sistem Σ observabil, alegând valorile proprii ale matricei LA în
stânga axei imaginare şi suficient de departe de aceasta, eroarea de estimare se poate anula oricât de rapid. Practic însă, acest lucru nu este posibil, ca urmare a nivelului de zgomot şi gradului de incertitudine al modelului sistemului Σ .
Procedeul de alocare a spectrului estimatorului este similar celui de la reacţia după stare. Astfel, dacă se doreşte ca estimatorul să aibă spectrul 0σ , atunci se notează TA cu A şi TC cu B , iar după aflarea matricei de reacţie F astfel încât 0)( σσ =− BFA ,
se calculează matricea de corecţie L , cu relaţia TFL = .
PROPRIETĂŢI STRUCTURALE ALE SISTEMELOR LINIARE 183
Observaţii. 1o. Modelul compensatorului de tipul 1, format din legea de comandă după starea estimată
PRXFU +−=~
şi estimatorul de stare 1~Σ cu modelul (50), are forma
cΣ : ⎪⎩
⎪⎨⎧
− RP+FWU=
+LY RW+BP=JW, (55)
unde BFLCAJ −−= . (56)
2o. Să considerăm sistemul închis cu reacţie după ieşire din figura 6.3, format din sistemul liniar ),,( CBAΣ şi compensatorul cΣ de tipul 1 cu modelul (55).
Fig. 6.3. Sistem de reglare cu compensator.
Prin eliminarea comenzii U , din ecuaţiile sistemului şi compensatorului obţinem modelul sistemului închis, de ordinul n2 , sub următoarea formă:
1Σ :
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
WX
CY
RBPBP
WX
JLCBFA
WX
]0[
. (57)
Datorită formei simple a relaţiei (53), modelul sistemului închis se va simplifica prin înlocuirea stării W cu starea (eroarea) E . Intr-adevăr, din
EXXW +==~
şi BPRBFEXBFAPRFWBAXBUAXX +−−=+−+=+= )()( ,
obţinem modelul sistemului închis, sub forma
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
184
1Σ′ :
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
EX
CY
RBP
EX
ABFA
EX
L
F
]0[
00
. (58)
Prin urmare, sistemul închis are spectrul
)(~)(1 LF AA σ∪σ=σ . (59)
In concluzie, spectrul sistemului închis este reuniunea disjunctă a spectrelor sistemului cu reacţie după stare şi estimatorului de stare.
3°. Matricea de precompensare P nu intervine în problema alocabilităţii sistemelor de reglare cu reacţie după stare şi estimator de stare. In consecinţă, această matrice rămâne disponibilă în vederea satisfacerii unor cerinţe suplimentare, cum ar fi cea referitoare la precizia reglării în regim staţionar.
6.3.3. Precizia de reglare
Pentru un sistem de reglare intern stabil la care vectorul de referinţă R are dimensiunea mărimii reglate Y ( pq = ), să notăm cu )(tE eroarea de reglare, adică
)()()( tYtRtE −= ,
corespunzătoare intrării tip treaptă
)(1)( 0 tRtR ⋅= , pR R∈0 .
Anularea erorii staţionare )(lim tEEt
st∞→
= poate fi realizată în două moduri: prin
precompensare şi prin introducerea câte unui integrator pe fiecare canal de eroare. Deoarece starea estimată X~ coincide în regim staţionar (pentru ∞→t ) cu starea
X , estimatorul de stare nu influenţează valoarea erorii staţionare stE . In consecinţă,
pentru calculul erorii staţionare vom considera că sistemul de reglare se identifică cu sistemul cu reacţie după stare (fig. 6.2). In acest caz, avem
s
RBAsCsRsGsRsE PFPF01
, ])I([I)()()()( −−−=−=
şi deci
PROPRIETĂŢI STRUCTURALE ALE SISTEMELOR LINIARE 185
01 ])([I)(lim
0RBPBFACssEE
sst
−−+==→
. (60)
Din (60) reiese că eroarea staţionară este nulă pentru orice funcţie de intrare tip treaptă dacă şi numai dacă are loc relaţia
0)(I 1 =−+ − BPBFAC . (61)
In cazul unui sistem Σ la care numărul m al mărimilor de comandă coincide cu numărul p al mărimilor de ieşire, iar matricea pătrată
BBFAC 1)( −−
este nesingulară, din (61) rezultă, în mod unic, matricea de precompensare (pătrată)
11 ])([ −−−−= BBFACP . (62)
In general, pentru ca să existe o matrice de precompensare P de tipul pm× astfel încât relaţia (61) să fie satisfăcută, este necesar şi suficient ca matricea BBFAC 1)( −− , de tipul np× , să aibă rangul p . Pe baza acestui rezultat se poate demonstra
Teorema anulării prin precompensare a erorii staţionare. Presupunând că sistemul ),,( CBAΣ este stabilizabil, de ordinul n şi are m intrări şi p ieşiri, condiţia de anulare a erorii staţionare pentru referinţă tip treaptă poate fi satisfăcută prin alegerea convenabilă a matricei de precompensare P dacă şi numai dacă este îndeplinită condiţia de rang
pnC
BA+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
0rang . (63)
Deoarece matricea de rang are dimensiunea )()( mnpn +×+ , condiţia de rang nu poate fi îndeplinită atunci când sistemul Σ are mai puţine intrări (comenzi) decât ieşiri (mărimi reglate), adică pm ≤ .
Rezolvarea problemei anulării erorii staţionare prin precompensare nu oferă o soluţie robustă, datorită incertitudinii modelului sistemului Σ . Problema poate fi rezol-vată într-o manieră structural robustă, prin adăugarea unui set de p integratoare, câte unul pe fiecare canal de eroare (fig. 6.4). Sistemul ),,( CBAΣ va fi extins la sistemul
exΣ prin adăugarea intrării pR R∈ şi a stării pZ R∈ , definită astfel
YREZ −== . (64)
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
186
Cu notaţiile
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
Z
XX ex (65)
şi
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=
0
0
C
AAex , ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
0
BBex , ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
I
0exE , ]0[CCex = , (66)
modelul sistemului extins devine astfel
exΣ : ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
+= +
exex
exexexXexex
XCY
REUBAX . (67)
Fig. 6.4. Sistem cu elemente integratoare pentru anularea erorii staţionare.
6.4. APLICAŢII
6.4.1. Aplicaţii rezolvate
♦ Aplicaţia 6.1. Să se studieze controlabilitatea stărilor sistemului cu ecuaţiile de stare
⎩⎨⎧
−+=
+−=
umxxxuxxx2
2
212
211 ,
unde m este un parametru real.
Soluţie. Sistemul are matricea de controlabilitate
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−==
mABBC
21251][2 .
Pentru 2/11≠m , matricea 2C are rangul 2, deci toate stările 2R∈X sunt controlabile.
PROPRIETĂŢI STRUCTURALE ALE SISTEMELOR LINIARE 187
Pentru 2/11=m , matricea 2C are rangul 1, deci nu toate stările 2R∈X sunt controlabile. Subspaţiul controlabil are dimensiunea 1=cn , iar subspaţiul necontrolabil are dimensiunea
1=−= cnc nnn .
Prima coloană a matricei 2C formează baza
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
=21
cB
a subspaţiului controlabil. Prin urmare, elementele subspaţiului controlabil sunt de forma
α⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
=21
X , R∈α , deci stările controlabile ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
2
1xx
X sunt situate pe dreapta
12 2xx −=
din planul 2R . Toate stările 2R∈X nesituate pe această dreaptă sunt necontrolabile. O bază ncB a subspaţiului necontrolabil este dată de o soluţie nenulă a ecuaţiei vectoriale
0=vTcB , unde ]21[ −=T
cB . Rezultă
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= 12
ncB ,
deci elementele subspaţiului necontrolabil sunt de forma α⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=12
X , R∈α , adică de forma
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
2
1xx
X cu
12 21 xx = .
Dreapta de controlabilitate 12 2xx −= şi dreapta de necontrolabilitate 12 21 xx = sunt
perpendiculare între ele.
♦Aplicaţia 6.2. Să se studieze controlabilitatea stărilor sistemului cu ecuaţiile de stare
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=−−=
++−=
uxxxxx
uxxx
13
322
2116
2 .
Soluţie. Sistemul are matricea de controlabilitate
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−==
211060221
][ 23 BAABBC .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
188
Deoarece 2rang 3 =C , nu toate stările 3R∈X sunt controlabile. Subspaţiul controlabil are dimensiunea 2c =n , iar subspaţiul necontrolabil are dimensiunea 1=−= cnc nnn .
O bază cB a subspaţiului controlabil este formată din primele două coloane ale matricei
3C , iar o bază ncB a subspaţiului necontrolabil este dată de vectorul nenul v care verifică
relaţia 0=vTcB , unde ]21[ −=T
cB ; rezultă
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−
=116021
cB , ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
212
ncB .
Stările controlabile sunt de forma
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−−
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
βαββα
βα 62
162
101
X ,
unde R∈βα , , deci sunt situate în planul
022 321 =−− xxx
din spaţiul 3R . Toate stările 3R∈X nesituate în acest plan sunt necontrolabile. Stările subspaţiului necontrolabil sunt de forma
δ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−=
212
X , R∈δ .
♦Aplicaţia 6.3. Să se studieze controlabilitatea şi stabilizabilitatea sistemului liniar continuu cu modelul I-S-E
:Σ ⎪⎩
⎪⎨⎧
+=−−=
++−=
uxxxxx
uxxx
13
322
211
62
, 321 xxxy −−= .
Soluţie. Avem
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−
−=
001610012
A , ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
101
B , ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
−−==
211060221
][ 23 BAABBC .
Deoarece 2rang 3c == Cn , sistemul nu este controlabil. O bază cB a subspaţiului controlabil este formată din primele două coloane ale matricei
3C , iar o bază ncB a subspaţiului necontrolabil este dată de vectorul nenul v care verifică
relaţia 0=vTcB ; rezultă
PROPRIETĂŢI STRUCTURALE ALE SISTEMELOR LINIARE 189
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−
=116021
cB , ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−=
212
ncB .
Cu matricea de transformare
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
−−==
211160221
][ ncc BBS , ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−−
=−
636141
14213
2711S ,
se obţine forma necontrolabilă descompusă
Σ :
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=
+=
++−=
33
312
321
335
372
xx
xxx
uxxx
, 32 53 xxy −= ,
care evidenţiază clar necontrolabilitatea stării 3x . Prin eliminarea acestei stări, obţinem partea controlabilă a sistemului
CΣ : ⎩⎨⎧
=+−=
12
21 2xx
uxx , 23xy = .
Din
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −= 01
2011A , 322 −=A ,
rezultă că sistemul are spectrul controlabil }2{)( 11 jAc ±==ασ şi spectrul necontrolabil
}3{)( 22 −== Anc ασ .
Matricea de controlabilitate a lui Hautus
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
−+=−=
λλ
λλλ
10106101012
]I[)( BAH c
are rangul 3 pentru 2j±=λ (ultimele trei coloane fiind liniar dependente numai pentru 3−=λ şi 2=λ ) şi rangul 2 pentru 3−=λ , rezultat ce confirmă necontrolabilitatea sistemului,
dar şi modul de împărţire a spectrului sistemului în controlabil şi necontrolabil. Deoarece spectrul necontrolabil ncσ al sistemului coincide cu spectrul stabil σ− = {−3},
din teorema stabilizabilitatăţii rezultă că sistemul este stabilizabil. Acest lucru este confirmat de teorema de stabilizabilitate a lui Hautus, prin faptul că matricea )(λcH are rangul 3 pentru
}2{ j±=+∈σλ .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
190
♦Aplicaţia 6.4. Să se studieze controlabilitatea şi stabilizabilitatea sistemului liniar
Σ : ⎪⎩
⎪⎨⎧
++=++=
+−−+=
2213
2122
213211
32
222
uxxxuuxx
uuxxxx,
⎩⎨⎧
+−=−=
1212
311
2 uxxyxxy
.
Soluţie. Avem
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −=
021010122
A , ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
301121
B , ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−
=021101C , ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
0100D ,
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−==
524130111111413021
][ 23 BAABBC .
Deoarece matricea de controlabilitate 3C are rangul 2 (linia a treia este suma primelor două) sistemul este necontrolabil; subspaţiul controlabil are dimensiunea 2=cn , iar subspaţiul necontrolabil are dimensiunea 1=ncn . Alegem baza cB a subspaţiului controlabil ca fiind formată din prima şi a treia coloană a matricei 3C , apoi baza ncB a subspaţiului necontrolabil sub
forma vectorului nenul v care verific relaţia 0=vTcB ; rezultă
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−
−==
110111101
][ ncc BBS , ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−
−−=−
111211112
311S .
Cu matricea de transformare S , se obţine forma necontrolabilă descompusă
Σ : ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=
−+−−=
33
23212
21321
3+424
xxuxxxx
uuxxx ,
⎩⎨⎧
+−−−=−−=
13212
3211
232+
uxxxyxxxy
,
care evidenţiază necontrolabilitatea stării 3x . Prin eliminarea acestei stări, obţinem partea controlabilă a sistemului
CΣ : ⎩⎨⎧
+=−+−=
2212
2121
3+2 uxxxuuxx
, ⎩⎨⎧
+−−=−−=
1212
211
23 uxxxxy
y.
Din
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
=2110
11A , 112 =A ,
rezultă că sistemul are spectrul controlabil }1,1{)( 11 == Ac ασ şi spectrul necontrolabil }1{)( 22 == Anc ασ .
PROPRIETĂŢI STRUCTURALE ALE SISTEMELOR LINIARE 191
Pentru 1=λ , matricea lui Hautus
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−=−=
301211100021121
]I[)( BAHc λλ
are rangul 2 (ultima linie fiind suma primelor două), fapt ce confirmă necontrolabilitatea sistemului.
Deoarece spectrul necontrolabil ncσ al sistemului nu este asimptotic stabil, din teorema stabilizabilităţii rezultă că sistemul nu este nici stabilizabil. Acest lucru este confirmat de teorema de stabilizabilitate a lui Hautus, prin faptul că matricea )(λcH are rangul 2 pentru
}1,1,1{=+∈σλ .
♦Aplicaţia 6.5. Să se determine formele canonice controlabile ale sistemului cu
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=
110201010
A , ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=211
B , [ ]101 −=C , 0=D .
Soluţie. Polinomul caracteristic
13110
2101
)Idet()( 23 −−+=+−
−−−
=−= λλλλ
λλ
λλ AP ,
are coeficienţii 10 −=a , 31 −=a , 12 =a .
Pentru a obţine forma canonică controlabilă de tipul 1, cu relaţiile (24) determinăm baza 1cS , astfel:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−==211
3 Bs , ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=+=
140
232 BaAss , ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=+=
111
121 BaAss ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−=
211141101
1cS , ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
−−=−
413231417
1011
1cS .
Rezultă forma canonică ),,,(1C DCBAΣ cu
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−== −
131100010
111 cc ASSA ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡== −
100
11 BSB c , [ ]1121 −== cCSC , 0== DD ,
adică
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
192
:1CΣ ⎪⎩
⎪⎨⎧
+−+===
uxxxxxxxx
3213
32
21
3 , 3212 xxxy −+= .
Pentru a obţine forma canonică controlabilă de tipul 2, calculăm
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−
−==
832751511
][ 22 BAABBSc ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−
−=−
417226
18719
1011
2cS .
Rezultă forma canonică ),,,(2C DCBAΣ cu
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−== −
110301100
212 cc ASSA ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡== −
001
12 BSB c , [ ]3212 −−== cCSC , 0== DD ,
adică
:C2Σ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+=+=
323
312
313xxxxxx
uxx , 321 32 xxxy −+−= .
♦Aplicaţia 6.6. Să se studieze observabilitatea şi detectabilitatea sistemului liniar continuu cu modelul I-S-E
:Σ ⎪⎩
⎪⎨⎧
+−−=−−=++−=
uxxxuxxxuxxx
22
323
212
211
, 321 2xxxy ++= .
Soluţie. Avem
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−
−=
110011011
A , ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
221
B , [ ]211=C , 0=D ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
242220211
23CACAC
Q .
Deoarece matricea de observabilitate 3Q are rangul 2, sistemul este neobservabil; subspaţiul observabil are dimensiunea 2rang 3 == Qno , iar subspaţiul neobservabil are dimensiunea
1=non .
Prin rezolvarea ecuaţiei caracteristice 0)Idet( =− As , echivalentă cu 0)2)(1( =++ sss , obţinem spectrul }0,1,2{ −−=σ . Matricea de observabilitate a lui Hautus,
PROPRIETĂŢI STRUCTURALE ALE SISTEMELOR LINIARE 193
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++−
−+
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
211110
011011
I)( λλ
λλλ C
AHo ,
are rangul 3 pentru 2−=λ şi 1−=λ (ultimele trei linii fiind liniar independente) şi rangul 2 pentru 0=λ , fapt ce confirmă neobservabilitatea sistemului şi permite determinarea spectrului observabil }1,2{ −−=oσ şi a spectrului neobservabil }0{=noσ . Deoarece spectrul
neobservabil nu este asimptotic stabil (adică inclus în −C ), din teorema detectabilităţii rezultă că sistemul este nedetectabil. Acest lucru este confirmat de teorema de detectabilitate a lui Hautus, deoarece rangul matricei )(λoH pentru +∈= σλ 0 este mai mic decât 3 .
♦Aplicaţia 6.7. Să se determine formele canonice observabile ale sistemului cu
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=
110201010
A , ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=211
B , [ ]101 −=C , 0=D .
Soluţie. Pentru a obţine forma canonică observabilă de tipul 1, calculăm
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=−
110100101
211
CACAC
So , ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
010110011
1oS .
Rezultă forma canonică )~,~
,~,~
(1O DCBAΣ cu
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−== −
131100010~
111 oo ASSA ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−== −
321~ 1
1 BSB o ,
[ ]001~
1 == oCSC , 0~== DD ,
adică
:1OΣ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+=+=−=
uxxxxuxx
uxx
3~~3~~2~~
~~
3213
32
21 , 1
~xy = .
Polinomul caracteristic
13110
2101
)Idet()( 23 −−+=+−
−−−
=−= λλλλ
λλ
λλ AP ,
are coeficienţii 10 −=a , 31 −=a , 12 =a .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
194
Pentru a obţine forma canonică observabilă de tipul 2, cu relaţiile (42) determinăm baza 2oS , astfel:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−==
101
3TCs ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=+=
001
232TT CasAs ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=+=
313
121TT CasAs ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−=−
101001313
12oS ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=
110301010
2oS .
Rezultă forma canonică )~,~
,~,~
(2O DCBAΣ cu
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−== −
110301100~
212 oo ASSA ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−== −
112~ 1
2BSB o ,
[ ]100~
2 == oCSC , 0== DD ,
adică
:O2Σ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=++=
+=
uxxxuxxx
uxx
313
312
31
~~~~3~~
2~~
, 3~xy = .
Aplicaţia 6.8. Pentru sistemul ),,,( DCBAΣ de la exemplul 6.5, având
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=
110201010
A , ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
211
B ,
să se determine matricea de reacţie după stare F astfel încât sistemul rezultant să aibă spectrul }1,1,2{0 −−−=σ .
Soluţie. Matricea de controlabilitate
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−
−==
832751511
][ 23 BAABBC
are rangul 3 , deci sistemul este controlabil şi, prin urmare, alocabil. Din ]100[3 =ChT obţinem ]4,01,07,0[ −−=Th , iar din 2
0 )1)(2()( ++= λλλP
rezultă
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=++=
45310128686
)I)(I2()( 20 AAAP .
Prin urmare, avem
PROPRIETĂŢI STRUCTURALE ALE SISTEMELOR LINIARE 195
]6,14,22,2[)(0 == AhF TP .
Sistemul închis are matricea
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−
−−−=−=
211922181216
8711
51BFAAF ,
cu spectrul }1,1,2{)( −−−=FAσ .
Aceeaşi matrice de reacţie F poate fi obţinută pe baza relaţiei (49). Utilizând unele rezultate din cadrul aplicaţiei 6.5, avem
13)( 23 −−+= λλλλP , 254)( 23 +++= λλλλ0P , ]383[1 =F ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
−−=−
413231417
1011
1cS , ]162422[1011
11 == −cSFF .
Aplicaţia 6.9. Pentru sistemul ),,( CBAΣ cu
A = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−
1,7100,8010,100
, B = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
014
, C = [ 0 0 1 ],
să se proiecteze estimatorul de stare de tipul 1 care să aibă spectrul }2,2,2{)( −−−=LAσ .
Soluţie. Notând TA cu A şi TC cu B , avem
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−=
1,70,80,1100010
A , ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
100
B .
Deoarece perechea ),( BA are forma canonică controlabilă de tipul 1, în conformitate cu relaţia (48), din
1,08,0)Idet()( 23 7,1 ++=−= + λλλλλ AP şi 812)2()( 233
0 6 ++=+= + λλλλλP ,
rezultă ]3,42,119,7[]7,168,0121,08[ =−−−=F ,
deci
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡==
4,311,27,9
TFL .
Estimatorul proiectat are matricea
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
196
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−
=−=610
1201800
]100[4,3
11,27,9
1,7100,8010,100
LCAAL .
şi, în conformitate cu (50), are ecuaţiile de stare
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=
++−=
++−=
ywwwyuwww
yuww
3,462,1112
9,748
323
312
31
.
Se poate verifica imediat că }2,2,2{)( −−−=LAσ .
6.4.2. Aplicaţii de autocontrol
♦ C6.1. Fie sistemul
⎩⎨⎧
=
++=
− 212
211 2xmxx
uxxx,
unde m este un parametru real. Să se studieze controlabilitatea stărilor şi a sistemului, precum şi stabilizabilitatea sistemului.
♦ C6.2. Să se studieze controlabilitatea şi stabilizabilitatea sistemului cu ecuaţiile de stare
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−−=
+−= −
13
322
211 2
mxxuxxx
uxxx ,
unde m este un parametru real.
♦ C6.3. Să se studieze controlabilitatea şi stabilizabilitatea sistemului liniar
⎩⎨⎧
−=
++−=
− 22212
1211
uxmxxuxxx
, ⎩⎨⎧
−=
= +
212
211
2xxy
xxy,
unde m este un parametru real.
♦ C6.4. Să se determine formele canonice controlabile ale sistemului cu
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−−=
110211010
A , ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−=
201
B , [ ]111 −=C , 0=D .
PROPRIETĂŢI STRUCTURALE ALE SISTEMELOR LINIARE 197
♦ C6.5. Să se studieze observabilitatea sistemului liniar continuu cu modelul I-S-E
:Σ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=
−−=
++−=
323
12
211
xxxuxx
uxxx, 321 xxxy −−= .
♦ C6.6. Să se determine formele canonice observabile ale sistemului cu
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−=
100311010
A , ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
221
B , [ ]111 −−=C , 0=D .
♦ C6.7. Pentru sistemul ),,,( DCBAΣ cu
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−=
110121030
A , ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−=
210
B ,
să se determine matricea de reacţie după stare F astfel încât sistemul rezultant să aibă spectrul }1,1,1{0 −−−=σ .
♦ C6.8. Pentru sistemul ),,( CBAΣ cu
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−
=110201100
A , [ ]120=C ,
să se proiecteze estimatorul de stare de tipul 1 care să aibă spectrul }1,1,1{)( −−−=LAσ .
♦ C6.9. Pentru sistemul ),,( CBAΣ cu
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−
=110201100
A , ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
110
B , C = [ 0 2 1 ], D=0,
să se proiecteze un compensator astfel astfel încât sistemul cu reacţie după stare şi estimatorul de stare de tipul 1 care să aibă fiecare spectrul }1,1,1{ −−−=σ , iar eroarea staţionară la referinţă
treaptă să fie nulă.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
198
REZULTATELE APLICAŢIILOR DE
AUTOCONTROL
C2.1. 1712)(
++
=sssG .
a) 17
51)17(
12)(+
−=++
=ssss
ssY ; 7e751)(
t
ty−
−= pentru 0≥t .
b) )17(7
572
1712)(
++=
++
=ss
ssY ; 70 e495)(
72)(
t
tty−
+δ= pentru 0≥t .
c) 17
3551)17(
12)( 22 +−+=
++
=sssss
ssY ; 7e55)(t
tty−
−+= pentru 0≥t .
d) )14
182017
35(531
)14)(17()12(2)( 22 +
−−
+=
+++
=ss
sssssY ;
)2
sin92
cos55(531)( 7e ttty
t
+−=−
pentru 0≥t .
C2.2. 12
2)(+
=s
sG ; )12
21(2)12(
2)(+
−=+
=ssss
sH ; )1(2)( 2et
th−
−= , 0≥t ;
2e)(t
tg−
= , 0≥t ;
uyy 22 =+ .
C2.3. 243
13)( 2 +++
=ss
ssG ;
2222 )3/2()3/2(
3/21243
231)243(
)13(2)(2++
−−=
++−
−=++
+=
ss
ssss
ssssssH ,
)23sin22
23(cos1)(2 3
2
e tttht
−−=−
, 0≥t .
C2.4. 2544
138)( 23
2
+++++
=sss
sssG .
a) 2)()0( =∞=+ Gh ; b) 43)0( 1 ==+′ −
n
na
bh ; c)
21)0()( ==∞ Gh .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
200
C2.5. a) 1413)(1 +
+=
sssG ,
152)(2 +
=s
sG , )15)(14(
)13(2)(++
+=
ssssG .
b) 14
11)14(
13)(+
−=++
=ssss
ssV ; 4e411)(
t
ty−
−= pentru 0≥t .
c) 15
2014
82)15)(14(
)13(2)(+
−+
+=++
+=
ssssssssY ; )21(2)( 54 ee
tt
ty−−
−+= pentru 0≥t .
C2.6. a) 14
1)(1 +=
ssG ,
121)(2 +
=s
sG , )234(2
12)( 2 +++
=ss
ssG .
b) 2222 )8/23()8/3(
8/5)8/3(1234
141)234(
24)(4++−+
−=++
−−=
+++
=s
ssss
sssss
ssY ;
)823sin
235
823(cos1)(4 8
3
e tttyt
−−=−
pentru 0≥t .
C2.7. a) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
+
+−=− −
22
31
)4)(1(1)I( 1
s
s
ssAs ,
1
2)I()( 1−−
=+−= −s
pDBAsCsG , )1)(2()( e −−= tpth .
b) Sistemul I-S-E nu este minimal deoarece are ordinul 2, iar funcţia sa de transfer are ordinul 1.
C2.8. a) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
+
++=− −
41
32
)5)(1(1)I( 1
s
s
ssAs ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−−
+−−
++=+−= −
2222
827
)5)(1(1)I()( 1
ss
ss
ssDBAsCsG .
b) )5(10
1)1(2
358
)5)(1(82)()()( 2121 +
−+
−=++
+==
ssssssssUsGsY ;
ttty 51 ee
101
23
58)( −− −−= .
C2.9. ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
+
−++=− −
12
1
2121)I( 2
1
s
ps
pssAs ,
2212
23)I()( 21 +
−++−+
−=+−= −
psspsDBAsCsG ;
REZULTATELE APLICAŢIILOR DE AUTOCONTROL 201
3522
31)(
++
=++−
=ss
ssG pentru 2=p ;
ss
ssG 1221)( −
=+−
= pentru 21
=p .
C2.10. Pentru 21 TT < , rezultă 21 TTτ << .
])()[(11)( 21 /2
/1
12ee TtTt τTτT
TTth −− −−−
−+= .
212
221)/1/1(
)()(
0)( 21eTτTTτT
th TTt−
−=⇔=′′ − .
Există 0>t dacă 1)()(
212
221 >
−
−
TτTTτT
, adică 21
111TT
+>τ
.
C2.11. Răspunsul la intrare impuls Dirac este 2/e)( ttg −= . Deoarece sistemul este liniar şi semnalul )(tu este de infinit ori mai mic decât impulsul Dirac, răspunsul )(ty este de infinit ori mai mic decât )(tg , adică 0)( =ty pentru 0≥t .
C2.12. 0)11()1)(12(
1lim)()(lim)(lim)0( 2 =+⋅++
+⋅===
∞→∞→∞→+
ssTsssssUssGssHh
sss.
00)1)(12(
1lim)()(lim)(lim)(000
=⋅++
+⋅===∞
→→→ TsssssUssGssHh
sss.
C 2.13. 21
21
11
1 )1()1(
1)(
ksTCksTB
sTAsG
++++
++
= , unde
)1(2
111−=
TTkC ττ , 2
2
21
21
2
4C
TkkA
τ+= , A
TB −= 2
1
2τ .
0e)sincos()( 1
1
1
1
11 ≥++=
−T
t
tTkCt
TkBAtgT , deoarece
0])1(2
[2 2
1
212
1
22
21
221222 ≥−−−=−−
Tk
Tk
Tk
CBA τττ
C 2.14. Se ţine seama de Propoziţia 2. Avem 764 << , 953 << şi 34> 5364 +>+ 953764 ++=++ .
*************************************************************************** C3.1. ),1()0,( ∞∪−∞∈k - intern instabil
}1,0{∈k - intern semistabil )1,0(∈k - intern strict stabil
),1()0,3()3,( ∞∪−∪−−∞∈k - extern instabil
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
202
}1,0{∈k - exintern semistabil }3{)1,0( −∪∈k - extern strict stabil
C3.2. 0<k - intern instabil 0≥k - intern strict stabil
)0,1()1,( ∪−−∞∈k - extern instabil }1{),0( −∪∞∈k - extern strict stabil
C3.3. Sistemul este intern instabil pentru orice k real, deoarece polinomul caracteristic
)3)(2)(1(64)Idet()( 23 ++−=−++=−= ssssssAssP
are rădăcina pozitivă 11 =s .
Din
)3)(2)(1(
1)1()I()( 1++−
+−=+−= −
sssskDBAsCsG ,
rezultă că sistemul este extern strict stabil pentru 0=k şi extern instabil pentru 0≠k .
C3.4. Sistemul este intern instabil pentru orice k real, deoarece polinomul caracteristic
)42)(1(42)42()Idet()( 223 −−−=+++−−=−= ksskskssAssP
are rădăcina pozitivă 11 =s .
C3.5. Sistemul are polinomul caracteristic
)15)(()51()5()Idet()( 223 ++−=−−+−+=−= ssksksksksAssP ,
deci este intern strict stabil pentru 0<k , intern semistabil pentru 0=k şi intern instabil pentru 0>k .
Din
)15)((23)29(3)I()( 2
21
++−−−−+
=+−= −
ssksksksDBAsCsG ,
rezultă că sistemul este extern strict stabil pentru 0<k şi 2
761−=k , extern
semistabil pentru 0=k şi extern instabil pentru 0>k , 2
761−≠k .
C3.6. Sistemul are polinomul caracteristic
ksssAss +++=−= 22)Idet()( 23P ,
deci este intern strict stabil pentru )4,0(∈k , intern semistabil pentru 0=k şi 4=k , intern instabil pentru ),4()0,( ∞∪−∞∈k .
Din
REZULTATELE APLICAŢIILOR DE AUTOCONTROL 203
ksss
sDBAsCsG+++
−=+−= −
221)I()( 23
1 ,
rezultă că sistemul este extern strict stabil pentru )4,0(∈k şi 5−=k , extern semistabil pentru 0=k şi 4=k , extern instabil pentru ),4()0,5()5,( ∞∪−∪−−∞∈k .
C3.7. Sistemul are polinomul polilor
14)102(3130)( 23 +++++= ksksssP .
Sistemul este strict stabil pentru 29
14041
<<− k , semistabil pentru
41−
=k şi 29
140=k ,
instabil pentru 41−
<k şi 29
140>k .
C3.8. Sistemul are polinomul polilor
kssssP +++= 288)( 23 .
Sistemul este strict stabil pentru 20 << k , semistabil pentru 2=k şi instabil pentru 2>k .
C3.9. Sistemul are polinomul polilor
iT
ssssP 121016)( 23 +++= .
Sistemul este strict stabil pentru 54
>iT , semistabil pentru 54
=iT şi instabil pentru
540 << iT .
C3.10. Sistemul are polinomul polilor
4
168)( 2 ksssP +++= .
Polinomul
91
4328)
31( 2 −++=−
ksssP
este hurwitzian pentru 94
>k .
C3.11. Sistemul are polinomul caracteristic
kzzzz +++= 81710)( 23P .
Rădăcinile polinomului caracteristic au modulul subunitar atunci când ecuaţia
0)11( =−
+ssP ,
echivalentă cu
01)35()13(3)35( 23 =−+++−++ ksksksk ,
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
204
are rădăcinile cu partea reală negativă. Aplicând criteriul Hurwitz, rezultă
12
41317<<
− k .
C3.12. Sistemul are polinomul caracteristic
kzAzz −−=−= 1)Idet()( 2P .
Rădăcinile polinomului caracteristic au modulul subunitar atunci când ecuaţia
0)11( =−
+ssP ,
echivalentă cu
0)2(22 =++− kskks ,
are rădăcinile cu partea reală negativă, adică are toţi coeficienţii de acelaşi semn. Rezultă 02 <<− k .
***************************************************************************
C4.1. a) 1,01
1==ω
Tb rad/sec.
b) 294
1
222
1
=+
=ωT
A , 25arctgarctg 1 −=−=α ωT ;
C4.2. a) 1413)(1 +
+=
sssG ,
526
116
1922
2=
+ω
+ω=A ,
34arctg
24arctg3arctg −
π=−=α ωω .
b) )15)(14(
)13(2)(++
+=
ssssG ,
145
132
)125(116(
19222
2=
+ω+ω
+ω=A ,
25arctg2arctg
23arctg5arctg4arctg3arctg −−=−−=α ωωω .
C4.3. )12)(1(
3132
3)( 2 ++=
++=
sssssG ,
)14)(1(
3)(22 +ω+ω
=ωM ,
8
541−=ωb rad/sec ,
103)1( =M .
C4.4. Sistemulde reglare este strict stabil pentru 5630 << k .
C4.5. Sistemulde reglare este strict stabil pentru 560 << k .
REZULTATELE APLICAŢIILOR DE AUTOCONTROL 205
C4.6 Cu programul MATLAB
k=1; s=tf('s'); sd=k/10/s/(2*s+1); sd.iodelay =2; w=0.1:0.001:3; nyquist(sd,w); w1=0.430:0.0001:0.431; [Re,Im]=nyquist(sd,w1);
obţinem Im(:,:,2)<0, Im(:,:,3)>0 şi Re(:,:,3)≅ -0.1762, din care rezultă condiţia de stabilitate 11762,0 <k , adică 675,5<k .
***************************************************************************
C5.1 K
Gε EVst 211)0(+
== . Rezultatul este valabil numai dacă sistemul este strict stabil,
adică pentru 5210 <<K . Prin urmare, eroarea staţionară este întotdeauna mai mare
decât 475 .
C5.2 2
)(1lim0
iER
sst
TsG
sε ==
→. Rezultatul este valabil numai dacă sistemul este strict stabil,
adică pentru 1112
>iT .
C5.3 Sistemul are polinomul polilor
KssssP +++= )18)(12(4)( . Polinomul
27250120760016000(2501)
201( 23 −+++=− KssssP
este hurwitzian pentru 12542
25027
<<K .
C5.4 Cu notaţia stytytz −= )()( , avem
1)(
)0()()(21
221
2121
+++−−+−
=−
=sTTsTTTTτsTT
sGsGsZ ,
iar din (21) rezultă
)(2
)(
1
212
212 TT
TTTTτ+
+−−=I .
Indicele integral de calitate 2I este minim pentru 21 TTτ += .
C5.5 Sistemul este strict stabil pentru 1250 << k .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
206
(a) Pentru )(1 tr = şi 1250 << k , avem
0)(lim0
==→
sGε ERs
st .
Pentru )(1 tt ⋅=v şi 1250 << k , avem
k
sGs
ε EVs
st 41)(1lim
0
−==
→.
(b) Cu notaţia )()( ttz ε= , avem
ksss
sss
sGsZ ER
256156)()( 23
2
+++++
== ,
iar din (19) rezultă
)125(4
5382 kk
k−+
=I .
Indicele integral de calitate 2I este minim pentru 137,0≅k .
C5.6. i
ER
Tssss
ssG
sZ/123
1)()( 23
2
++++
== , )16(2
3 2
2 −=
i
iTT
I , ( iT )opt= 31 .
C5.7. (a) )34(3
)110)(1(]1)()[(
1)(+++
=−
=ss
sssPsG
sGF
R , 65
)()(lim)0(
==
∞→sGsP
GM
Fs
F ;
(b) )584(3
)110)(34)(1(]1)()[(
1)( 2 +++++
=−
=sss
ssssPsG
sGF
R , 3
10)()(lim
)0(==
∞→sGsP
GM
Fs
F .
C5.8. (a) )15(9
)110)(14(2]1)()[(
1)(+
++=
−=
ssss
sPsGsG
FR ,
916
)()(lim)0(
==
∞→sGsP
GM
Fs
F ;
(b) )15(4
)110)(14(]1)()[(
1)(+
++=
−=
ssss
sPsGsG
FR , 2
)()(lim)0(
==
∞→sGsP
GMF
s
F .
(c) )32)(15(
)110)(14)(1(]1)()[(
1)(++
+++=
−=
ssssss
sPsGsG
FR , 4
)()(lim)0(
==
∞→sGsP
GM
Fs
F .
C5.9. )15(27
)13)(19(10]1)()[(
1)(1
1+++
=−−
+=
ssss
scsPsGscsG
FR .
C5.10. Semnalul de comandă al regulatorului este de forma )(1)( tktc ⋅= , deci sksC /)( = .
REZULTATELE APLICAŢIILOR DE AUTOCONTROL 207
Pe de altă parte
ssGsG
sGsR
sGsGsG
sCFR
R
FR
R 1)()(1
)()(
)()(1)(
)( ⋅+
=+
= .
Rezultă
)712(
)14)(13()0(/)(1
1/)(1
1)(+++
=−
=−
=ss
ssGsGksG
sGFFF
R .
C5.11. 2314
)()(
)(++
=−=ss
sGsG
sGP
VC .
***************************************************************************
C6.1. ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
mC
021
2 .
Cazul 0≠m . Sistemul este controlabil şi stabilizabil. Cazul 0=m . Sistemul nu este controlabil. Stările situate pe dreapta 02 =x (subspaţiul controlabil) sunt controlabile. Celelalte stări nu sunt controlabile. Subspaţiul necontrolabil e format din dreapta perpendiculară 01 =x . Spectrul controlabil este }2{=σc , iar spectrul necontrolabil este }1{−=σnc . Deoarece −⊂σ Cnc , sistemul este stabilizabil.
C6.2. ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−−−−=
mmmC
0111
1113 ,
Cazul 0≠m . Sistemul este controlabil şi stabilizabil. Cazul 0=m . Sistemul nu este controlabil. Subspaţiul controlabil are dimensiunea 1. Spectrul controlabil este }1{=σc , iar spectrul necontrolabil este }0,1{−=σnc .
Deoarece −⊂σ Cnc , sistemul este stabilizabil.
C6.3. ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−−+−−
=43210
3111012 mmm
mC .
Sistemul este controlabil şi stabilizabil pentru orice m real.
C6.4. Sistemul este controlabil deoarece matricea de controlabilitate
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=
322150501
3C
are rangul 3.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
208
Forma canonică controlabilă de tipul 1:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=
223051105
1cS , ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡== −
001100010
111 cc ASSA ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡== −
100
11 ASB c ,
[ ]3331 == cCSC , 0==DD .
Forma canonică controlabilă de tipul 2:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=
322150501
2cS , ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡== −
010001100
212 cc ASSA ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡== −
001
12 BSB c ,
[ ]3332 == cCSC , 0==DD .
C6.5. ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−−−
=112120111
3Q . Sistemul este observabil.
C6.6. Sistemul este observabil deoarece matricea de observabilitate
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−−=
410401111
3Q
are rangul 3.
Forma canonică observabilă de tipul 1:
131−=QSo ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡== −
021100010
111 oo ASSA ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−== −
691
11 BSB o ,
[ ]0011 == oCSC , 0==DD .
Forma canonică observabilă de tipul 2:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
−−=−
111401212
12oS ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡== −
010201100
212 oo ASSA ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−== −
194
12BSB o ,
[ ]1002 == oCSC , 0==DD .
C6.7. ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−=
332601030
3C , [ ]12191−=Th , [ ]177022
91I)( 3 =+= AhF T .
REZULTATELE APLICAŢIILOR DE AUTOCONTROL 209
C6.8. ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−=
151512120
3C , [ ]4211251
−=Th , [ ]12198251I)( 3 =+= AhF T ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡==
12198
251TFL .
C6.9. ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡==
12198
251TFL conform aplicaţiei 6.8.
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−
−=
201121010
3C , [ ]112 −−=Th , [ ]111I)( 3 −=+= AhF T .
21])([ 11 −
=−−= −− BBFACP .
Ecuaţiile (55) ale compensatorului:
yrwww
www
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
12198
251
110
21
62242594635033160
251
3
2
1
3
2
1
[ ] rwww
u21111
3
2
1
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−= .
Ecuaţiile (57) ale sistemului de reglare ),,,( 00000Σ DCBA :
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−−−−−
−
=
622425122409463501938033160816025252525250252525500250002500
251
0A ,
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
110110
21
0B ,
[ ]0001200 =C , 00 =D .
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
210
BIBLIOGRAFIE
1. Autsaklis P.J., Michel A.N., Linear Systems, Mc. Graw Hill, Inc., 1997. 2. Băieşu A., Teoria sistemelor, Editura Universităţii Petrol-Gaze din Ploieşti, 2007. 3. Băieşu A., Tehnica reglării automate, Editura MatrixRom, Bucuresti, 2012. 4. Belea C., Automatică neliniară, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1985. 5. Bequette B.W., Process Control-Modeling, Design, and Simulation, Prentice Hall
International, 2002. 6. Borne P., Richard J.P., Analyse et régulation des processus industriels, Editions
Technip, Paris, 1993. 7. Brogan W.L., Modern Control Theory, Prentice Hall International, 1991. 8. Cîrtoaje V., Teoria sistemelor automate – Analiza elementară în domeniul timpu-
lui, Editura Universităţii Petrol-Gaze din Ploieşti, 2015. 9. Cîrtoaje V., Sisteme automate, Editura Universităţii Petrol-Gaze din Ploieşti, 2012. 10. Cîrtoaje V., Linear Continuous Systems of Monotonic Type, Control Engi-
neering and Applied Informatics, Vol. 2, Number 1, December 2000. 11. Cîrtoaje V., Băieşu A., Mihalache S., Two Controller Design Procedure Using
Closed-Loop Pole Placement Technique, Control Engineering and Applied Informatics, Vol. 11, Number 1, March 2009.
12. Cîrtoaje V., Băieşu A., Two Design Procedure for a Time Delay Control System, Control Engineering and Applied Informatics, Vol. 12, No. 4, 2010.
13. Cook P.A., Nonlinear Dynamical Systems, Prentice Hall International, 1992. 14. Coughanowr D., Process Systems – Analysis and Control, McGraw International
Editions, 1991. 15. Cristea M., Agachi S., Elemente de teoria sistemelor, Ed. RosoPrint, Cluj-Napoca,
2002. 16. Di Stefano J.J., Stubberud A.R., Feedback and Control Systems, Mc. Graw Hill,
Inc., 1990. 17. Dragomir O., Dragomir F., Mincă E., Dumitrache C., Teoria sistemelor automate
– Fundamente teoretice şi aplicaţii MATLAB, Ed. Matrix-Rom, Bucureşti, 2010.
18. Ilaş C., Teoria sistemelor de reglare automată, Ed. Matrix-Rom, Bucureşti, 2001. 19. Ilaş C., Priboianu M., Teoria sistemelor de reglare automată - Indrumar de
laborator, Ed. Matrix-Rom, Bucureşti, 2004. 20. Filipescu A., Stamatescu F., Teoria sistemelor, Analiza şi sinteza în abordare
structurală, Editura MatrixRom, Bucuresti, 2002.
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
212
21. Ionescu V., Teoria sistemelor, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1985. 22. Ionescu V., Belea C., Teoria sistemelor, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,
1985. 23. Ionescu V., Popeea C., Conducerea structurală a sistemelor liniare, Ed. Teh-nică,
Bucureşti, 1986. 24. Popescu D., Teoria sistemelor automate, Ed. Matrix-Rom, Bucureşti, 2000. 25. Pozna C., Teoria sistemelor automate, Ed. Matrix-Rom, Bucureşti, 2004. 26. Serban S., Sisteme dinamice lineare – Aplicaţii numerice, Ed. Printech, Bucu-reşti,
2001. 27. Serban S., Corâci I., Analiza sistemelor de reglare automată, Ed. Matrix-Rom,
Bucureşti, 1997. 28. Soare C., Iliescu S., Tudor V., Făgărăşan I., Dragomir O.F., Proiectarea asistată
de calculator în MATLAB şi SIMULINK – Conducerea avansată a proce-selor, Ed. Agir, 2006.
29. Stefan D., Teoria sistemelor, Analiza sistemelor, Editura MatrixRom, Bucuresti, 2005.
30. Stratulat F., Teoria sistemelor - Analiza asistată de calculator a sistemelor liniare, Editura MatrixRom, Bucuresti, 2000.
31. Voicu M., Feraru L., Păstrăveanu O., Schonberger F., Introducere în automatică - Culegere de probleme, Editura MatrixRom, Bucuresti, 1999.
32. Voicu M., Introducere în automatică, Editura PoliRom, Iaşi, 2002.