Download - Statistic A

Transcript

UNIVERSITATEA ROMÂNO-AMERICANĂ

STATISTICĂ

- NOTE DE CURS –

Prof. univ. dr. Constantin Secăreanu

CUPRINS

MODULUL 1:

STATISTICA – INSTRUMENT DE CUNOAŞTERE ŞI CONDUCERE 1.1. Obiectul statisticii 1.2. Apariţia şi dezvoltarea statisticii 1.3. Evoluţia statisticii româneşti 1.4. Organizarea statisticii oficiale în România MODULUL 2: ETAPELE CERCETĂRII STATISTICE 2.1. Cercetarea statistică 2.2. Observarea statistică 2.3. Prelucrarea statistică 2.4. Analiza şi interpretarea rezultatelor 2.5. Diseminarea informaţiilor statistice 2.6. Cercetări statistice în turism MODULUL 3: INDICATORII RELATIVI 3.1. Indicatorii relativi de structură 3.2. Indicatorii relativi de coordonare 3.3. Indicatorii relativi ai dinamicii 3.4. Indicatorii relativi ai planului 3.5. Indicatorii relativi de intensitate MODULUL 4: INDICATORII TENDINŢEI CENTRALE 4.1. Mediile 4.2. Mediana 4.3. Valoarea dominantă

MODULUL 5: INDICATORII VARIAŢIEI 5.1. Indicatorii simpli ai variaţiei 5.2. Indicatorii sintetici ai variaţiei

MODULUL 6: INDICATORII ASIMETRIEI 6.1. Reprezentarea grafică a seriilor cu distribuţie de frecvenţă 6.2. Tipuri de asimetrie 6.3. Coeficientul de asimetrie

MODULUL 7: ANALIZA SERIILOR INTERDEPENDENTE 7.1. Conceptul de legătură statistică 7.2. Clasificarea legăturilor statistice 7.3. Metode de cercetare a legăturilor statistice 7.3.1. Metode simple (elementare) 7.3.2. Metode complexe (analitice) 7.3.3. Metode neparametrice

MODULUL 8: ANALIZA SERIILOR CRONOLOGICE 8.1. Definirea şi tipologia seriilor cronologice 8.2. Indicatorii seriilor cronologice 8.3. Componentele seriilor cronologice 8.4. Analiza tendinţei pe termen lung 8.5. Analiza sezonalităţii MODULUL 9: METODA INDICILOR 9.1. Noţiuni generale 9.2. Indicii individuali (elementari) 9.3. Indicii sintetici (de grup) 9.4. Evoluţia nominală şi evoluţia reală a indicatorilor valorici de rezultate

MODULUL 1

Tema STATISTICA – INSTRUMENT DE CUNOAŞTERE ŞI CONDUCERE Obiective Asimilarea conceptelor de bază ale statisticii şi înţelegerea rolului

acesteia de instrument de cunoaştere şi conducere

Finalitate – Competenţe dobândite

Dobândire de cunoştinţe privind locul şi rolul statisticii în spaţiul economiei naţionale. Capacitatea de a înţelege particularităţile obiectului de studiu al statisticii Dobândirea de cunoştinţe privind statistica oficială în România

Mijloace &&&& Studiu individual

FFFF Definiţii de reţinut

@@@@ Identificare răspunsurilor la întrebări

Evaluare Calitatea şi completitudinea răspunsurilor la întrebări

Timp de lucru necesar

Parcurgerea şi înţelegerea problematicilor prezentate: 2 ore

Formularea răspunsurilor la întrebări: 1 oră

Modulul 1

STATISTICA – INSTRUMENT DE CUNOAŞTERE ŞI CONDUCERE

1.1 Obiectul statisticii 1.2 Apariţia şi dezvoltarea statisticii 1.3 Evoluţia statisticii româneşti 1.4 Organizarea statisticii oficiale în România

1.1. Obiectul statisticii

În cadrul societăţii, în economie, dar şi în natură şi în tehnologie, apar două tipuri de fenomene: A. Fenomene deterministe, certe, de tip funcţional; B. Fenomene de masă, nedeterministe, de tip statistic.

A. Fenomene deterministe, certe, de tip funcţional Să luăm exemplul a 100 de televizoare de acelaşi tip, aflate în funcţiune, cărora dorim să le studiem caracteristicile tehnice. Exceptând cazul unor defecţiuni tehnice, fenomenul de funcţionare a fiecăruia dintre cele 100 de televizoare prezintă următoarele caracteristici:

- sunt fenomene simple, care apar ca rezultat al unei singure cauze, în cazul nostru cuplarea la reţeaua electrică;

- sunt fenomene identice, la care pe măsură ce se produce cauza, se produce şi efectul, dacă rămân neschimbate condiţiile;

- sunt fenomene ce se produc pe baza legilor dinamicii (legi ale fizicii, mecanicii, chimiei etc.); - sunt fenomene ce pot fi cunoscute cu ajutorul metodei experimentale (de laborator).

⇒ Aceste fenomene nu fac obiectul statisticii. B. Fenomene de masă, nedeterministe, de tip statistic Să luăm exemplul a 100 de magazine ce comercializează acelaşi tip de televizor, cărora dorim să le studiem volumul vânzărilor. Aceste fenomene economice prezintă următoarele caracteristici:

- sunt fenomene complexe, multicriteriale, la care rezultatele sunt influenţate de acţiunea mai multor cauze izolate sau interdependente, cu caracter sistematic (permanent) sau întâmplător (necontrolabil);

- sunt fenomene asemănătoare, care apar ca o mulţime de forme individuale diferite, variabile în timp şi spaţiu, produse în condiţii de incertitudine;

- sunt fenomene ce se produc pe baza legilor statistice, care se manifestă ca tendinţă generală, abaterile întâmplătoare într-un sens sau altul compensându-se reciproc; ca urmare, legea de manifestare a acestor fenomene nu poate fi cunoscută şi verificată în fiecare caz în parte, ci numai la nivelul întregului ansamblu de cazuri individuale;

- sunt fenomene ce nu pot fi cunoscute cu ajutorul metodei experimentale (de laborator), ci prin metode statistice bazate pe o serie de abstractizări succesive prin care se reţine numai ceea ce este esenţial şi tipic în forma lor de manifestare. ⇒ Aceste fenomene fac obiectul statisticii.

În consecinţă, statistica: a. studiază fenomenele social-economice de masă în cadrul cărora acţionează legile statistice şi care

prezintă proprietatea de a fi variabile în timp şi spaţiu; b. caracterizează latura cantitativ-numerică a fenomenelor social–economice, stabilindu-le prin intermediul

indicatorilor statistici dimensiunea, structura, dinamica şi raporturile de interdependenţă; c. reprezintă un instrument de cunoaştere şi conducere a diferitelor fenomene şi procese ale activităţii

umane.

De exemplu, pentru a analiza starea turismului în România (sau într-o anumită zonă turistică) nu este suficient să studiem numai realizările fiecărui agent economic. Acestea sunt foarte diferite ca rezultat al influenţelor diverşilor factori. Prin abordarea statistică a unor astfel de fenomene de masă se realizează trecerea de la datele individuale foarte numeroase, la un sistem de indicatori specifici ansamblului. Cei mai cunoscuţi sunt indicatorii medii: cifra medie de afaceri, salariul mediu, numărul mediu de salariaţi. De asemenea, se pot calcula o serie de structuri (ponderi) ce reflectă tendinţele de dezvoltare: ponderea în total a turiştilor ce vizitează o anumită zonă turistică, ponderea femeilor în totalul angajaţilor, cota de piaţă (ponderea în cifra de afaceri totală) a celor mai performante 10 societăţi comerciale din domeniu etc.

1.2. Apariţia şi dezvoltarea statisticii

Procesul de conturare a statisticii, în accepţiunea de astăzi, a fost marcat de mai multe etape semnificative:

A - etapa prestatistică; B - statistica descriptivă; C - aritmetica politică; D - statistica modernă (inductivă).

Etapa prestatistică coincide cu apariţia primelor forme de evidenţă; este forma cea mai veche, datând de câteva milenii, încă din lumea antică; a servit unor scopuri fiscale, demografice, administrative şi militare; exemplele cele mai cunoscute de aplicare a statisticii sunt: inventarierea aurului şi pământului la egipteni, recensămintele populaţiei la romani şi chinezi, stabilirea impozitelor la greci şi romani etc.

Statistica descriptivă

• s-a dezvoltat în secolele XVI-XVIII în cadrul universităţilor, cea mai cunoscută fiind şcoala descriptivă germană;

• se ocupă iniţial cu descrierea statului: situaţia geografică, politică, economică, socială şi culturală a unui stat, fără a efectua însă o adevărată analiză cauzală;

∗ un exemplu în acest caz îl constituie lucrarea „ Descrierea Moldovei ” a lui Dimitrie Cantemir; • reprezentanţii şcolii descriptive germane au dat noii discipline numele de „ statistică ”;

∗ etimologia cuvântului provine de la cuvântul „ status ” care înseamnă stare, situaţie. • se dezvoltă mijloacele de investigare a fenomenelor sociale şi economice, precum şi mijloacele de

informare a organismelor statale, punând accentul pe determinările numerice.

Aritmetica politică • s-a dezvoltat în secolele XVII-XIX, numele provenind de la lucrarea lui William Petty „ Aritmetica

politică ” (1690), prin care acesta pune bazele statisticii ca ştiinţă; • şcoala aritmeticii politice engleze tinde spre exactitate, obiectivul de bază fiind analiza datelor de

observaţie şi a procedeelor matematice de prelucrare a acestora, în scopul identificării regularităţilor, a tendinţelor în producerea fenomenelor economico-sociale, inclusiv formularea de previziuni;

În secolele XVII-XVIII s-au confruntat cele două curente (statistica descriptivă şi aritmetica politică), triumfând curentul de tendinţă modernă reprezentat de aritmetica politică, care capătă o nouă dimensiune odată cu introducerea calculului probabilităţilor.

O consecinţă de importanţă deosebită o constituie crearea – spre finele acestei perioade – a primelor institute naţionale de statistică: Suedia – 1796, Norvegia – 1797, Franţa – 1800,..., România – 1859. Statistica modernă (inductivă)

• se conturează în cursul secolului al XIX–lea, odată cu formularea principiilor teoriei selecţiei şi calculului probabilităţilor;

• lucrarea belgianului Quételet „ La méthode statistique ” (1848) este considerată prima teorie modernă a statisticii, prin care, pornindu-se de la elementele particulare rezultate din înregistrarea valorilor individuale (empirice) ale fenomenelor de masă se urmăreşte - prin utilizarea metodelor cantitative – interpretarea acestora şi obţinerea unor concluzii inductive, general – valabile pentru întreaga colectivitate.

• în deceniile următoare statistica a înregistrat o dezvoltare rapidă, în special în cadrul şcolii anglo-saxone de statistică matematică, multe dintre metodele statistice elaborate de reprezentanţii acesteia fiind utilizate şi în prezent.

După o remarcabilă evoluţie de-a lungul timpului, statistica a devenit astăzi o veritabilă resursă.

Fie că suntem sau nu conştienţi de aceasta, în prezent statistica a devenit omniprezentă în fiecare fază a vieţii noastre, prin nevoia de cunoaştere cantitativă şi prin analiza datelor statistice.

1.3. Evoluţia statisticii româneşti

Evoluţia statisticii în România a înregistrat aproximativ aceleaşi particularităţi

cu cele evidenţiate la nivel european, cu menţiunea că, în unele cazuri, a existat un anumit decalaj temporar, adesea neînsemnat.

La 12 iulie 1859, în cadrul reformelor economice şi sociale realizate în scopul

modernizării tânărului stat român, domnitorul Alexandru Ioan Cuza semnează Ordonanţa Domnească nr. 276, prin care se creează Oficiul Central de Statistică sub conducerea lui Dionisie Pop Marţian, eveniment ce consfinţeşte înfiinţarea statisticii oficiale pe teritoriul României.

În evoluţia statisticii oficiale româneşti se identifică patru etape:

- perioada până la Marea Unire (1918); - perioada interbelică; - perioada 1948-1989; - perioada de integrare a statisticii româneşti în sistemul statistic european.

Perioada de integrare a statisticii oficiale româneşti în sistemul statistic european Statistica oficială românească a avut de recuperat, după 1989, cel puţin două

handicapuri esenţiale: independenţa şi credibilitatea, puternic zdruncinate în anii ’80. Cu atât mai dificilă a fost sarcina statisticienilor cu cât mediul economic, social şi politic din acei ani era nefavorabil: prăbuşire economică, mişcări sociale şi revendicări sindicale, dispute politice. Cu toate dificultăţile inerente s-a acţionat, indiscutabil, în sensul schimbării, pentru promovarea metodelor moderne de cercetare statistică, de prelucrare şi diseminare.

A fost adoptat un nou cadru legal în care să-şi găsească reflectarea principiile fundamentale ale funcţionării statisticii oficiale într-o societate democratică, preluate în întregime în Ordonanţa Guvernului nr.9/1992 (cu modificările şi completările ulterioare)1 şi care au devenit setul de valori al Institutul Naţional de Statistică (INS), prin care s-a urmărit recâştigarea respectului diferitelor categorii de furnizori şi beneficiari de date şi informaţii statistice, a opiniei publice.

Obiectivele, măsurile şi acţiunile întreprinse au fost conjugate, concertate şi au vizat toate aspectele:

a. Schimbarea conceptelor, instrumentarului şi metodelor statistice de cercetare; b. Formarea profesională a personalului statistic şi managementul resurselor umane; c. Dotarea cu echipamente de înaltă performanţă şi administrarea tehnologiei informatiei; d. Cooperarea internă şi internaţională.

Ca urmare, asistăm - în prezent - la crearea unei noi imagini a statisticii

1 În prezent a fost elaborat proiectul noii Legii de organizare şi funcţionare a statisticii oficiale în România, care

urmează să intre în vigoare în cursul anului 2009.

oficiale, proces treptat, foarte dificil şi uneori contradictoriu, prin care informaţia statistică este mediatizată şi accesibilă tuturor utilizatorilor, indiferent de tendinţele relevate de aceasta.

1.4. Organizarea statisticii oficiale în România

Statistica oficială în România este organizată - în prezent - în conformitate cu prevederile legale şi cuprinde următoarele componente (producători de statistici oficiale):

• Institutul Naţional de Statistică (INS), organizează şi coordonează întreaga activitate de statistică din România; este organ de specialitate al administraţiei publice centrale în subordinea Guvernului şi în coordonarea primului ministru; în subordinea INS funcţionează:

= 8 direcţii regionale de statistică organizate la nivelul judeţelor – centre de regiuni de dezvoltare stabilite potrivit legii;

= 34 direcţii judeţene de statistică la nivelul celorlalte judeţe; = Editura „ Revista Română de Statistică ”; = Centrul Naţional de Perfecţionare în Statistică • Compartimentele de statistică din cadrul Băncii Naţionale a României, din administraţia publică

centrală şi locală, din alte instituţii şi autorităţi publice. Pe plan internaţional activitatea de statistică este coordonată de:

- Oficiul de Statistică al Comunităţii Europene (EUROSTAT), care urmăreşte armonizarea statisticilor naţionale ale statelor membre ale Uniunii Europene;

- Comisia de Statistică din cadrul Organizaţiei Naţiunilor Unite, care asigură coordonarea internaţională a programelor guvernamentale ce vizează statistica, precum şi publicarea de date specializate. Principiile fundamentale pe care se bazează statistica oficială sunt următoarele:

a. Autonomia ştiinţifică b. Relevanţa c. Confidenţialitatea d. Corectitudinea e. Promptitudinea şi punctualitatea f. Transparenţa g. Accesibilitatea h. Consistenţa i. Deontologia statistică j. Prevenirea utilizării şi interpretării eronată a datelor şi informaţiilor statistice oficiale l. Raportul cost-eficienţă

Întrebări teoretice:

1. Arătaţi ce tip de variabilă şi pe ce scală de măsurare se măsoară caracteristica „profitul

întreprinderilor”;

2. Care este deosebirea dintre variantă şi variabilă statistică;

3. Elementele asupra cărora se efectuează un studiu statistic sunt denumite variabile;

4. Particularităţile, însuşirile prezentate de o unitate statistică sunt numite caracteristici;

5. O singură unitate statistică poate avea mai multe caracteristici;

6. Daţi un exemplu de variabilă numerică discretă ce poate fi considerată de continuu;

7. Ce este statistica;

8. Care sunt principalele concepte folosite în statistică.

MODULUL 2

Tema ETAPELE CERCETĂRII STATISTICE

Obiective Asimilarea etapelor cercetării statistice şi înţelegerea rolului acestora.

Finalitate – Competenţe dobândite

Dobândire de cunoştinţe privind prelucrarea datelor statristice în spaţiul economiei naţionale. Capacitatea de a înţelege etapele cercetării statistice. Dobândirea de cunoştinţe privind gruparea datelor statistice.

Mijloace & Studiu individual

F Definiţii de reţinut

@ Identificare răspunsurilor la întrebări

Evaluare Calitatea şi completitudinea răspunsurilor la întrebări

Timp de lucru necesar

Parcurgerea şi înţelegerea problematicilor prezentate: 2 ore

Formularea răspunsurilor la întrebări: 1 oră

MODULUL 2

ETAPELE CERCETĂRII STATISTICE

2.1. Cercetarea statistică 2.2. Observarea statistică 2.3. Prelucrarea statistică 2.4. Analiza şi interpretarea rezultatelor 2.5. Diseminarea informaţiilor statistice 2.6. Cercetări statistice în turism

2.1. Cercetarea statistică reprezintă un proces de cunoaştere a fenomenelor de masă, realizat cu ajutorul metodelor statistice şi cuprinde patru etape:

- observarea statistică; - prelucrarea statistică; - analiza şi interpretarea rezultatelor; - diseminarea / difuzarea informaţiilor statistice. Trebuie menţionat faptul că întregul proces se derulează pe baza unui program de organizare şi

desfăşurare a unei cercetări statistice, prin care se stabilesc: - scopul şi obiectul cercetării statistice; - pregătirea detaliată a fiecărei etape a cercetării statistice; - măsurile organizatorice preconizate; - resursele umane, financiare şi materiale necesare. De asemenea, pe parcursul întregului proces de desfăşurare a unei cercetări statistice trebuie luate toate

măsurile pentru exercitarea unui control eficient, în vederea depistării şi eliminării eventualelor erori.

2.2. Observarea statistică este etapa în care are loc înregistrarea, după o metodologie unitară, a valorilor caracteristicilor pentru fiecare unitate statistică din cadrul populaţiei statistice cercetate, având ca obiectiv colectarea datelor statistice primare (individuale).

Se definesc următoarele concepte de bază utilizate în statistică: a. unitatea statistică este forma individuală sub care se manifestă fenomenele de masă.

• unităţile statistice pot fi: - simple (persoana, salariatul etc.); - complexe (familia, gospodăria, echipa de lucru, operatorul economic sau firma etc.).

b. populaţia sau colectivitatea statistică este alcătuită din totalitatea unităţilor statistice delimitate în timp şi spaţiu. • de exemplu: populaţia unei ţări, salariaţii dintr-o unitate economică etc.

c. caracteristica statistică (sau variabila statistică) este proprietatea comună tuturor unităţilor dintr-o colectivitate şi înregistrată în cadrul unei cercetări statistice. • de exemplu: vârsta, sexul, vechimea în muncă, nivelul studiilor (primare, liceale, superioare), salariul

obţinut, cifra de afaceri realizată, timpul efectiv lucrat etc.

Observarea statistică (înregistrarea datelor primare) se realizează în mod diferit în funcţie de

obiectivele cercetării: I. Dacă cercetarea statistică se realizează la nivelul unui operator economic (firmă), înregistrarea datelor primare se realizează prin preluarea acestora din evidenţa curentă (documente contabile, statistice, tehnico - operative), unde acestea fac obiectul unei înregistrări sistematice. II. Dacă cercetarea statistică se realizează la un nivel mai agregat (judeţ, ramură a economiei, întreaga economie naţională), atunci înregistrarea datelor primare de la toţi operatorii (agenţii) economici se realizează de către o instituţie abilitată (de regulă, Institutul Naţional de Statistică), printr-una dintre metodele prezentate în continuare2.

Observarea statistică este de două tipuri: A. Observarea totală (exhaustivă), prin care se înregistrează caracteristicile tuturor unităţilor din populaţia statistică.

• Principalele metode de observare totală sunt: A.1 – recensământul; A.2 - rapoartele statistice.

B. Observarea parţială (selectivă), prin care se înregistrează caracteristicile unei părţi dintre unităţile populaţiei statistice.

• Principalele metode de observare parţială sunt: B.1 – sondajul statistic;

B.2 – ancheta de opinie; B.3 – observarea părţii principale. A.1 Recensământul este cea mai veche metodă de observare statistică şi constituie o „fotografiere” a fenomenului la un moment dat. Se utilizează în special în studiul populaţiei (demografie), dar şi în economie (recensământul întreprinderilor, recensământul agricol, inventarierea capitalului fix etc.).

Organizarea unui recensământ trebuie să se bazeze pe următoarele principii: - universalitatea înregistrării, în sensul că se înregistrează toate unităţile ce definesc

colectivitatea; - simultaneitatea înregistrări, ceea ce înseamnă că datele înregistrate trebuie să exprime

situaţia la un moment dat, numit „moment critic”; - periodicitatea recensământului, indică necesitatea organizării înregistrării la intervale

regulate de timp (de obicei 10 ani în domeniul demografiei şi 5 ani în domeniul economic); - comparabilitatea datelor, în sensul că metodologia de efectuare a recensământului trebuie

să conducă la obţinerea de date comparabile în timp şi pe plan internaţional. Primul recensământ modern al populaţiei din România este considerat cel efectuat în anul

1838. De atunci în România s-au mai efectuat 11 recensăminte, ultimul în anul 2002. Recensămintele sunt acţiuni de mare amploare, care necesită mari resurse umane, materiale şi

financiare, dar în urma acestora se obţin indicatori deosebit de importanţi privind caracterizarea populaţiei şi a forţei de muncă, în general a situaţiei economico – sociale a unei ţări.

De asemenea, recensămintele furnizează o bază pertinentă de sondaj, urmare a faptului că asigură o caracterizare completă a întregii populaţii (colectivităţi) statistice.

A.2 Rapoartele statistice sunt documente oficiale (sub forma unor formulare tipizate), prin care fiecare operator economic este obligat să raporteze periodic forului în drept (Institutul Naţional de Statistică, ministere, etc. ), rezultatele obţinute în activitatea sa, într-o anumită perioadă de timp.

Cele mai cunoscute tipuri de astfel de înregistrări sunt cele cu caracter fiscal (bilanţul contabil, declaraţiile vamale de export / import etc.).

2 În unele situaţii se practică observarea documentară atunci când datele necesare sunt disponibile în

publicaţii (cărţi şi reviste de specialitate, pagini web).

B.1 Sondajul statistic este o observare parţială care constă în înregistrarea caracteristicilor numai pentru o parte din colectivitate supusă observării, parte numită eşantion.

Eşantionul trebuie să îndeplinească condiţia de reprezentativitate, în sensul de a avea aceleaşi structuri, trăsături esenţiale şi valori tipice ca şi populaţia statistică din care provine. Între rezultatele unui sondaj şi rezultatele ce s-ar obţine dintr-o observare totală apar unele abateri numite erori de sondaj (sau de reprezentativitate), care trebuie să fie cât mai mici .

Sondajul statistic prezintă o serie de avantaje comparativ cu înregistrările totale: - este mai economic, din punct de vedere al resurselor necesare; - este mai operativ, rezultatele obţinându-se după o perioadă mult mai scurtă de timp.

B.2 Ancheta de opinie constă în colectarea informaţiilor, îndeosebi de la populaţie, prin chestionare speciale de observare. Răspunsurile se consemnează într-un chestionar de către un personal instruit sau anchetele se pot realiza prin autoînregistrare, prin poştă, prin telefon, prin Internet. Eşantionul nu asigură, de regulă, reprezentativitatea la nivelul întregii populaţii, iar răspunsurile sunt benevole. Ca urmare, se obţin informaţii orientative, de calitate mai redusă decât în cazul sondajului statistic. Exemplul clasic al unei astfel de cercetări îl constituie sondarea opiniei publice cu privire la un produs / serviciu în cadrul târgurilor şi expoziţiilor. B.3 Observarea părţii principale

Populaţia statistică este structurată şi ordonată pe grupe de importanţă diferită în funcţie de mărimea unităţilor statistice componente. Se înregistrează datele primare numai de la unităţile care ocupă cea mai mare pondere, neglijându-le pe acelea cu o importanţă mai mică.

De exemplu, pentru cunoaşterea câştigului salarial mediu şi a efectivului de salariaţi se organizează lunar de către INS o cercetare statistică selectivă prin metoda observării părţii principale. Astfel, se includ în cercetare toate unităţile cu 4 salariaţi şi peste, în timp ce unităţile cu 0 – 3 salariaţi sunt excluse.

Datele primare (individuale ) înregistrate în etapa de observare statistică trebuie să îndeplinească o serie de condiţii:

- realitatea (autenticitatea ) datelor, respectiv datele să reflecte dimensiunea corectă a fenomenului, fără erori involuntare sau intervenţii exterioare;

- completitudinea datelor, respectiv volumul datelor colectate să fie suficient de mare astfel încât să permită manifestarea legii numerelor mari3, iar compensarea factorilor aleatori (neesenţiali, întâmplători) să fie asigurată ;

- operativitatea datelor, respectiv obţinerea lor în timp util. Etapa observării statistice se încheie cu controlul datelor primare, operaţiune ce are drept scop

descoperirea eventualelor erori de înregistrare. Tipurile de erori de observare statistică sunt: - erorile întâmplătoare, care au un caracter nepremeditat; acestea se produc în ambele sensuri

(pozitive şi negative), iar în cazul unui număr mare de unităţi înregistrate – de regulă – se compensează, influenţând rezultatele finale într-o mai mică măsură;

- erorile sistematice (de exemplu erorile metodologice), care se produc - de regulă - într-un singur sens, influenţând rezultatele finale într-o mai mare măsură.

După etapa observării statistice se obţin informaţii foarte numeroase, dar neordonate, care nu permit formarea unei imagini de ansamblu asupra fenomenului respectiv. Ca urmare, este necesară operaţiunea de prelucrare a datelor primare.

3 Legea numerelor mari formulată de Bernoulli demonstrează că dacă ne limităm la a studia un număr redus

de cazuri pentru a analiza un fenomen, acesta apare întâmplător; prin înregistrarea şi analizarea unui număr mare de cazuri, abaterile individuale întâmplătoare se compensează şi există o probabilitate foarte mare de a depista tendinţa în manifestarea fenomenului respectiv.

2.3. Prelucrarea statistică este etapa în care folosind o serie de metode şi tehnici de calcul se obţin indicatorii statistici.

Indicatorul statistic este expresia cantitativă, generalizatoare, ce permite cunoaşterea a ceea ce este esenţial în forma de manifestare a unui fenomen.

Orice indicator statistic este format din două elemente: - conţinutul indicatorului (inclusiv metoda şi metodologia de calcul); - expresia numerică concretizată în timp şi spaţiu.

Exemple: • produsul intern brut al României în anul 2005 a fost de 287186 milioane lei (RON) • rata inflaţiei în România în decembrie 2005, comparativ cu decembrie 2004 a fost de 8,6%

Prelucrarea statistică are două obiective:

A. prelucrarea primară sau sistematizarea datelor primare (individuale) se realizează cu ajutorul metodei grupării statistice şi a metodei centralizării datelor, având ca rezultat obţinerea indicatorilor primari (totalizatori). B. prelucrarea de bază4 se realizează prin calculul indicatorilor derivaţi (indicatori medii, ai variaţiei şi asimetriei, indicatori relativi, indici şi ritmuri de creştere etc.).

Rezultatele obţinute în urma prelucrării statistice sunt prezentate sub formă de tabele şi grafice.

Metoda grupării statistice

Atunci când cantitatea datelor primare disponibile depăşeşte un anumit volum este necesară operaţia de grupare a acestora, fiind imposibilă obţinerea unor concluzii sintetice, clare şi corecte dintr-un număr atât de mare de informaţii.

Gruparea statistică este operaţia de descompunere a populaţiei statistice în părţi, clase, grupe omogene, în funcţie de variaţia unei caracteristici sau, simultan, a mai multor caracteristici.

În consecinţă, grupă omogenă în sens statistic este aceea clasă de unităţi statistice la care se înregistrează o variaţie minimă între valorile individuale ale caracteristicii.

Gruparea se poate efectua după diferite caracteristici, clasificate astfel: •••• după modul de exprimare:

- caracteristici numerice (cifra de afaceri, câştigul salarial, vechimea în muncă, timpul efectiv lucrat etc.);

- caracteristici nenumerice (sexul, nivelul studiilor, profesia, forma de proprietate, activitatea economică, judeţul unde îşi are sediul/domiciliul, tipurile de structuri de cazare turistică, zonele turistice etc.).

•••• după conţinutul caracteristicii: - caracteristici de timp (anul naşterii, anul înregistrării firmei); - caracteristici de spaţiu (localitate, judeţul, ţara); - caracteristici atributive (se exprimă printr-un atribut numeric sau nenumeric asociat

unităţilor observate). •••• după modul de manifestare:

- caracteristici alternative (binare), care pot lua numai două valori (sexul, mediul de rezidenţă urban şi rural, turişti români şi străini etc.);

- caracteristici nealternative, care pot lua o mulţime de valori. •••• după natura variaţiei, caracteristicile numerice pot fi:

- caracteristici cu variaţie continuă, care pot lua orice valori într-un interval dat (cifra de afaceri, câştigul salarial etc.);

- caracteristici discrete, care pot lua numai valorile întregi din cadrul unui anumit interval (numărul de copii ai unei familii, nota la examen, durata sejurului etc.).

4 Principalii indicatori derivaţi şi diferitele metode de calcul şi analiză a acestora se vor trata în capitolele

următoare. Ca atare, în prezentul capitol se va studia numai prelucrarea primară.

Metoda centralizării datelor primare (individuale) presupune calcularea indicatorilor totalizatori sub formă de mărimi absolute care se obţin printr-o simplă însumare a nivelurilor caracteristicii studiate. Se obţin astfel indicatorii primari. Centralizarea poate fi:

- centralizare simplă, efectuată pentru întreaga colectivitate, la care totalul general reprezintă suma totalurilor grupelor: ∑= grupegeneral TT

- centralizare pe grupe, la care în prima etapă se obţin totalurile fiecărei grupe ca sumă a totalurilor subgrupelor componente, iar în a doua etapă totalul general se calculează ca sumă a totalurilor grupelor :

∑= subgrupegrupa TT

∑= grupegeneral TT

Pe baza indicatorilor primari (totalizatori) se calculează în continuare indicatorii derivaţi5

2.4 Analiza şi interpretarea rezultatelor Este etapa cercetării statistice ce are ca obiective:

- confruntarea şi compararea datelor; - verificarea ipotezelor; - formularea concluziilor şi luarea deciziilor; - fundamentarea planurilor şi prognozelor.

2.5 Diseminarea informaţiilor statistice Datele şi informaţiile produse în cadrul sistemului statistic naţional reprezintă un bun

naţional de interes public şi sunt accesibile tuturor utilizatorilor, sub formă de publicaţii statistice pe suport de hârtie sau în format electronic.

Datele statistice individuale (care se referă la o singură persoană fizică sau juridică) nu pot fi făcute publice decât în formă agregată, respectându-se astfel principiul confidenţialităţii.

2.6 Cercetări statistice în turism

Cercetările statistice în turism se realizează având în vedere obiectivele stabilite prin: - legislaţia naţională: Ordonanţa Guvernului nr. 9/1991 privind organizarea statisticii

oficiale, republicată, cu modificările şi completările ulterioare; Ordonanţa Guvernului nr.58/1998 privind organizarea, coordonarea şi dezvoltarea turismului, aprobată cu modificări şi completări prin Legea nr. 755/2001 cu modificările şi completările ulterioare.

- legislaţia comunitară: Directiva 98/57/CE a Consiliului UE din 23.11.1995 cu privire la colectarea informaţiilor statistice în domeniul turismului.

Ca urmare, sistemul statistic din turism este astfel conceput încât: - să răspundă necesităţilor utilizatorilor interni de date statistice (guvern, ministere, agenţii,

operatori economici, patronate, sindicate, mediul universitar şi ştiinţific, mass-media, publicul larg);

- să asigure comparabilitatea indicatorilor între statele membre ale Uniunii Europene. Cercetările statistice în turism cuprind două componente distincte:

A. Cercetări statistice comune tuturor activităţilor din economia naţională, prin care se colectează, prelucrează şi diseminează date şi indicatori statistici sintetici la nivelul ansamblului economiei naţionale:

- indicatori de rezultate (cifre de afaceri, valoarea adăugată brută etc.); - indicatori ai eforturilor (forţa de muncă utilizată, volumul investiţiilor, consumurile

intermediare etc.). B. Cercetări statistice specifice activităţii de turism, prin care se colectează, prelucrează şi diseminează informaţii privind cinci domenii:

- capacitatea de cazare turistică;

5 Aceştia fac obiectul următoarelor capitole.

- frecventarea structurilor de cazare turistică; - activitatea agenţiilor de turism; - turismul internaţional; - cererea turistică a rezidenţilor.

În funcţie de specificul domeniului supus cercetării, pentru colectarea datelor primare se utilizează cele două metode de observare statistică:

I. Observarea totală se utilizează în cazul următoarelor cercetări: TURISM 1A - Frecventarea structurilor de cazare turistică prezintă următoarele caracteristici:

• se realizează cu o periodicitate lunară; • numărul unităţilor de la care se colectează date primare este de cca. 3600; • se colectează date primare privind:

- numărul de camere şi de locuri oferite turiştilor; - numărul de sosiri şi înnoptări ale turiştilor rezidenţi în România şi nerezidenţi

(grupaţi pe ţări de rezidenţă). • permite calcularea unor indicatori sintetici deosebit de expresivi, precum:

- indicile de utilizare a capacităţii de cazare; - durata medie a şederii.

TURISM 1B - Capacitatea de cazare turistică existentă la 31 iulie prezintă următoarele caracteristici.

• se realizează anual; • numărul unităţilor de la care se colectează date primare este de cca. 4300.

TURISM 2 - Activitatea agenţiilor de turism prezintă următoarele caracteristici: • se realizează trimestrial; • numărul unităţilor de la care se colectează date primare este de cca. 800; • se colectează date privind numărul de turişti participanţi la acţiuni turistice interne şi

externe, precum şi numărul de turişti – zile; • permite grupări pe zone turistice (în cazul acţiunilor turistice interne) şi pe ţări (în cazul

acţiunilor turistice externe); • permite calcularea duratei medii a sejurului.

TURISMUL INTERNAŢIONAL, prezintă următoarele caracteristici: • se realizează lunar, prin preluarea de la Ministerul Administraţiei şi Internelor

(Inspectoratul General al Poliţiei de Frontieră) a datelor de la punctele de frontieră de intrare/ieşire din ţară;

• se calculează numărul sosirilor de vizitatori străini în România, pe ţări de origine şi mijloace de transport utilizate, precum şi numărul plecărilor vizitatorilor români în străinătate.

II Observarea parţială (prin sondaj) se utilizează în cazul următoarelor cercetări: ACTR – Ancheta cererea turistică a rezidenţilor prezintă următoarele caracteristici:

• se realizează cu o periodicitate trimestrială; • dacă toate cercetările statistice anterioare aveau ca unitate de observare operatorul

economic (firma ca persoană juridică), această anchetă urmăreşte obţinerea de informaţii privind cererea turistică a populaţiei; astfel eşantionul cuprinde un număr de cca. 9500 gospodării ale populaţiei.

Cercetările statistice comune tuturor activităţilor din economia naţională se realizează numai prin sondaj şi permit calcularea cu periodicitate lunară /trimestrială a unor indicatori precum:

- dinamica cifrei de afaceri; - numărul salariaţilor; - câştigul salarial (brut şi net); - indicii de preţuri /tarife; - volumul investiţiilor. Informaţiile statistice din turism obţinute în urma prelucrării se diseminează prin:

- Anuarul statistic; - Breviar statistic – Turismul României; - Buletine şi publicaţii statistice cu periodicitate lunară şi trimestrială.

Întrebări teoretice:

1. Ce reprezintă observarea statistică? În ce constă importanţa ei?

2. Cum se efectuează controlul datelor statistice?

3. Ce reprezintă tabelul statistic?

4. Cum se calculează mărimea intervalului de grupare?

5. De ce este necesar să sistematizăm un set de date statistice pe care

le+am colectat?

6. De ce este util în analiza datelor statistice pokigonul frecvenţelor?

7. Care este diferenţa dintre dintre intervale de grupare cu variaţie

continuă şi discontinuă?

8. Cum se calculează frecvenţele absolute cumulate crescător?

MODULUL 3

Tema INDICATORII RELATIVI

Obiective Asimilarea mărimilor relative şi înţelegerea rolului acestora.

Finalitate – Competenţe dobândite

Dobândire de cunoştinţe privind mărimile relative. Capacitatea de a înţelege mărimile relative. Dobândirea de cunoştinţe privind mărimile de structură, de coordonare, de intensitate şi ale planului.

Mijloace & Studiu individual

F Definiţii de reţinut

@ Identificare răspunsurilor la întrebări

K Rezolvarea aplicaţiilor propuse

Evaluare Calitatea şi completitudinea răspunsurilor la întrebări

Timp de lucru necesar

Parcurgerea şi înţelegerea problematicilor prezentate: 2 ore

Formularea răspunsurilor la întrebări: 1 oră

Rezolvarea aplicaţiilor propuse 1 ore

MODULUL 3

INDICATORII RELATIVI

3.1 Indicatorii relativi de structură 3.2 Indicatorii relativi de coordonare 3.3 Indicatorii relativi ai dinamicii 3.4 Indicatorii relativi ai planului 3.5 Indicatorii relativi de intensitate

Indicatorii relativi se obţin prin raportarea a doi indicatori statistici şi se utilizează pentru a compara în timp şi spaţiu variaţia fenomenelor economice.

Formula generală a unui indicator relativ )(IR este următoarea:

comparatiedebazăindicator

comparatindicatorIR =

3.1. Indicatorii relativi de structură

•••• Permit cunoaşterea aprofundată a compoziţiei unei colectivităţi care a fost separată în grupe şi subgrupe, după variaţia uneia sau mai multor caracteristici de grupare.

•••• Indicatorii relativi de structură ( )ig se mai numesc ponderi sau greutăţi specifice şi se calculează ca raport între parte (grupă, subgrupă) şi întreg (colectivitatea statistică). Aceştia caracterizează variaţia nivelului unei caracteristici din fiecare grupă sau subgrupă i )X( i , în raport cu nivelul totalizat al caracteristicii pentru întreaga colectivitate ∑ )X( i :

( )100⋅=∑ i

ii X

unde : =ig ponderea sau greutatea specifică a grupei i în total;

=i numărul maxim de grupe (subgrupe); n,i 1= •••• Se exprimă fie sub formă de coeficienţi, fie sub formă de procente (atunci când relaţia se

înmulţeşte cu 100). •••• Indicatorii de structură posedă proprietatea de aditivitate: suma lor este egală cu 1 sau cu

100, în funcţie de forma de exprimare (coeficienţi sau procente).

=+++=∑=

ii g...ggg 21

=+++=∑∑∑ i

ii XX

...X

X 21

)(XX

i 1001==∑∑

• Principalii indicatori de structură ce se calculează în activitatea de turism sunt următorii:

a. Indicatorii de structură ai capacităţii de cazare turistică:

Ø pe tipuri de structuri: hoteluri, moteluri, hanuri turistice, hoteluri pentru tineret, hosteluri, vile turistice, bungalouri, cabane turistice, sate de vacanţă, campinguri, tabere de elevi şi preşcolari, popasuri turistice, pensiuni turistice, pensiuni agroturistice, unităţi tip căsuţe şi spaţii de cazare pe nave;

Ø pe forme de proprietate: majoritară de stat şi majoritară privată; Ø pe categorii de confort: neclasificate, 1, 2, ..., 5 stele; Ø pe destinaţii turistice: litoral exclusiv municipiul Constanţa, staţiuni balneare,

staţiuni montane, Delta Dunării inclusiv municipiul Tulcea, Bucureşti şi oraşele reşedinţă de judeţ exclusiv municipiul Tulcea;

Ø după numărul de locuri în camere; Ø după dotarea cu instalaţii sanitare (baie sau duş).

b. Indicatorii de structură ai numărului de turişti cazaţi şi ai numărului de înnoptări în unităţile de cazare:

Ø după rezidenţă: români şi străini (după ţara de reşedinţă). Aceste structuri pot fi combinate cu toate cele prezentate la litera a.

c. Indicatorii de structură ai turismului organizat prin agenţiile de turism, respectiv

număr turişti şi turişti-zile: Ø după tipul acţiunilor turistice interne şi externe; Ø după zonele turistice: zona litorală, zona montană-oraşe, zona montană-sate şi

trasee turistice alpine, zona staţiunilor balneare, zone istorice, zone de pelerinaj religios, croaziere fluviale, circuite diverse, alte zone;

Ø după numărul de zile al acţiunilor turistice: excursii fără înnoptări, acţiuni turistice cu durata de 1-3 zile, peste 4 zile;

Ø după ţara de destinaţie, în cazul acţiunilor turistice externe. Observaţie: Majoritatea indicatorilor şi structurilor prezentate anterior se calculează în profil teritorial, respectiv structura pe judeţe şi pe regiuni de dezvoltare. d. Indicatorii de structură ai turismului internaţional:

Ø sosirile vizitatorilor străini în România după ţara de reşedinţă şi mijloacele de transport utilizate;

Ø plecările vizitatorilor români în străinătate după mijloacele de transport utilizate. •••• Atunci când indicatorii de structură caracterizează variaţia frecvenţelor absolute )f( i de

apariţie din fiecare grupă (numărul unităţilor din fiecare grupă), în raport cu numărul unităţilor din întreaga colectivitate ∑ )f( se numesc frecvenţe relative )f( *

i :

)(f

i*i 100⋅=

∑

•••• Indicatorii relativi de structură sunt utilizaţi atât pentru analiza structurii într-o anumită perioadă (moment), cât şi pentru analiza deplasărilor structurale ce survin în timp, în cursul evoluţiei fenomenelor economice şi sociale de la o perioadă la alta.

3.2. Indicatorii relativi de coordonare

•••• Caracterizează raportul numeric în care se găsesc : - două grupe ale aceleiaşi colectivităţi statistice sau - două colectivităţi statistice de acelaşi fel, dar situate în spaţii diferite.

•••• Pentru calculul acestor indicatori se parcurg două etape: A. se alege baza de comparaţie;

B. se calculează indicatorii de coordonare prin raportarea fiecărui indicator din fiecare grupă sau colectivitate )X( A , la nivelul indicatorului din grupa sau colectivitatea considerate bază de comparaţie ).X( B

)(XX

AB/A 100⋅=

•••• Indicatorii relativi de coordonare posedă proprietatea de reversibilitate: produsul a doi indicatori la care baza de comparaţie se schimbă este 1.

1=⋅=⋅A

AA/BB/A X

XXX

•••• Indicatorii relativi de coordonare sunt utilizaţi, în special, pentru: - efectuarea comparaţiilor între performanţele economice ale firmelor; - efectuarea comparaţiilor între judeţe, regiuni de dezvoltare şi ţări, caz în care seriile de

date sunt serii teritoriale, iar indicatorii de coordonare se numesc indici teritoriali. 3.3. Indicatorii relativi ai dinamicii

• Se utilizează pentru caracterizarea evoluţiei în timp a fenomenelor, între perioada curentă (1) şi perioada de bază (0).

• Se calculează 2 indicatori relativi ai dinamicii - indicele de creştere/descreştere ( 0/1I ) este raportul procentual dintre nivelul

indicatorului în perioada curentă )X( 1 şi nivelul indicatorului în perioada de bază )X( 0 :

1000

101 ⋅=

I /

Dacă: ⇒>⇒> %IXX / 1000101 creşterea fenomenului ⇒=⇒= %IXX / 1000101 menţinerea fenomenului ⇒<⇒< %IXX / 1000101 reducerea fenomenului

- ritmul de creştere/descreştere )( 0/1R se calculează ca diferenţă între indice şi 100:

1000101 −= // IR

Ø ritmul arată cu câte procente a crescut sau a scăzut nivelul indicatorului în perioada curentă, comparativ cu perioada de bază. Dacă: ⇒> 0R creşterea fenomenului

⇒= 0R menţinerea fenomenului ⇒< 0R reducerea fenomenului

Observaţie: Indicatorii relativi ai dinamicii se vor detalia pe larg, din punct de vedere al conţinutului şi al semnificaţiei acestora, în Capitolul 8 „Analiza seriilor cronologice”. 3.4. Indicatorii relativi ai planului (programului)

• Se utilizează – de regulă – la nivelul firmelor şi presupun analiza diferiţilor indicatori de performanţa în două etape:

A. În faza de fundamentare a planului de afaceri pentru anul următor (anul de plan - pl), când în perioada de bază (0) se stabileşte indicele sarcinii de plan ( 0/plI ):

1000

0 ⋅=X

XI pl

/pl ,

prin care se proiectează evoluţia viitoare a fenomenului respectiv ( X ).

B. În faza de analiză a realizării planului de afaceri, când – după încheierea anului de plan – se compară realizările obţinute ( 1X ), cu nivelul stabilit prin planul de afaceri ( plX ). Raportul

procentual dintre aceşti indicatori se numeşte indicele realizării planului ( pl/I1 )

10011 ⋅=

plpl/ X

XI ,

prin care se cuantifică măsura în care sarcinile propuse au fost îndeplinite. Între cei doi indici prezentaţi şi indicele de dinamică ( 01/I ) există următoarea relaţie:

10101 X

III pl

pl/plpl// =⋅=⋅=

3.5. Indicatorii relativi de intensitate

• Se obţin prin raportarea a 2 indicatori în mărime absolută, de natură diferită, care se află într-o relaţie de interdependenţă.

• Indicatorii relativi de intensitate cu cea mai frecventă utilizare în practică sunt: - nivelul productivităţii medii a muncii (W ) calculat ca raport între un indicator de rezultate (cifra de afaceri - CA , valoarea adăugată brută - VAB etc.) dintr-o anumită perioadă şi numărul mediu de salariaţi (personal ocupat) - T , al aceleiaşi perioade:

)VAB(CAW =

- nivelul salariului mediu ( s ) calculat ca raport între fondul de salarii ( FS ) dintr-o anumită perioadă şi numărul mediu de salariaţi (T ), al aceleiaşi perioade:

TFS

s =

- produsul intern brut pe locuitor ( pib ) calculat ca raport între produsul intern brut total realizat de o ţară într-un an ( PIB ) şi numărul populaţiei ţării ( P ) la data de 1 iulie a anului respectiv:

PIBpib =

În activitatea de turism se utilizează o serie de indicatori relativi de intensitate specifici, dintre care enumerăm:

A – durata medie a şederii ( d ) în unităţile de cazare turistică calculată ca raport între numărul total de înnoptări (∑N ) şi numărul total de turişti (∑T ):

∑∑=

B – durata medie a sejurului ( sd ) se calculează în mod asemănător, dar la nivelul agenţiilor de

turism, prin raportarea numărului de turişti-zile (∑TZ ) la numărul de turişti (∑T ) participanţi la acţiunile turistice:

∑∑=

TTZ

d s

Menţionăm faptul că numărul de turişti-zile se determină prin înmulţirea numărului de turişti participanţi la acţiunile turistice cu durata efectivă în zile a acţiunilor turistice ( d ):

∑∑ ⋅= dTTZ

C – coeficientul de utilizare netă a locurilor de cazare ( K ) exprimă relaţia între capacitatea de cazare turistică în funcţiune şi utilizarea efectivă a acesteia de către turişti, într-o perioadă determinată. Se calculează ca raport între numărul total de înnoptări realizate (∑N ) şi capacitatea turistică în funcţiune exprimată în locuri-zile ( CF ):

NK ∑=

D – numărul turiştilor străini la 100 de locuitori ( st ) este un indicator frecvent utilizat în

comparaţiile internaţionale:

100⋅=PT

t ss

Întrebări teoretice:

1. Ce sunt mărimile relative? 2. Mărimile relative de structură: definiţie, utilizare,, reprezentare grafică,

exemple. 3. Mărimile relative de coordonare: definiţie, utilizare,, reprezentare grafică,

exemple. 4. Mărimile relative de intensitate: definiţie, utilizare,, reprezentare grafică,

exemple. 5. Definiţi mărimile relative ale dinamicii şi ale planului?

Aplicaţii propuse

1. Despre 40 de agenţi economici din ramura comerţului se cunosc următoarele date privind zona de amplasare, valoarea totală a vânzărilor şi fondul de salarii pentru luna august 2007:

Grupe de agenţi economici după

zona de amplasare

Numărul agenţilor economici

Valoarea vânzărilor realizate

(mii RON)

Fondul de salarii (RON)

centrală (C) semicentrală (S) periferică (P)

15 20 5

15.000 16.000 4.000

1.500 1.800

700 Total 40 35.000 4.000

Se cere să se calculeze toate mărimile relative posibile şi să se reprezinte grafic.

2. Despre o societate comercială care are 3 puncte de desfacere se cunosc următoarele date pentru lunile august şi septembrie 2007:

Puncte de desfacere

Structura valorii vânzărilor în perioada

de bază (%) ( )v

0ig

Indicele sarcinii de plan (%)

( )0/pli

Dinamica valorii

vânzărilor (%) ( )0/1i

A B C

30 50 20

110 150 120

90 160 100

Se cere: a) dinamica valorii vânzărilor pe total; b) indicele sarcinii de plan pe total; c) indicele îndeplinirii planului pe total; d) să se reprezinte grafic mărimile relative ale planului.

MODULUL 4

Tema INDICATORII TENDINŢEI CENTRALE

Obiective Asimilarea indicatorilor tendinţei centrale şi înţelegerea rolului acestora.

Finalitate – Competenţe dobândite

Dobândire de cunoştinţe privind indicatorii tendinţei centrale. Capacitatea de a înţelege media mediana şi valoarea modală. Dobândirea de cunoştinţe privind indicatorii medii şi de structură

Mijloace & Studiu individual

F Definiţii de reţinut

@ Identificare răspunsurilor la întrebări

K Rezolvarea aplicaţiilor propuse

Evaluare Calitatea şi completitudinea răspunsurilor la întrebări şi a modului de rezolvare a problemelor propuse

Timp de

lucru

necesar

Parcurgerea şi înţelegerea problematicilor prezentate: 4 ore

Rezolvarea problemelor propuse: 2 ore

Formularea răspunsurilor la întrebări: 1 oră

MODULUL 4

INDICATORII TENDINŢEI CENTRALE

4.1. Mediile 4.2. Mediana 4.3. Valoarea dominantă (sau valoarea modală)

Indicatorii tendinţei centrale sunt utilizaţi în analiza statistică a fenomenelor de masă,

reprezentând expresia sintetizării întru-un singur nivel reprezentativ a ceea ce este esenţial, tipic şi general în apariţia, manifestarea şi dezvoltarea fenomenelor.

Principalii indicatori ai tendinţei centrale sunt:

1. valoarea medie ( X ); 2. valoarea mediană (M); 3. valoarea dominantă (D).

4.1. Mediile

Principalele caracteristici ale mediilor: 1. Mediile sunt indicatorii statistici cu cel mai mare grad de aplicabilitate practică. 2. Mediile se prezintă ca mărimi cu caracter abstract, în sensul că valoarea medie – de cele

mai multe ori – nu coincide cu niciuna dintre valorile individuale din care s-a calculat . 3. Media este nivelul la care ar fi ajuns caracteristica înregistrată, dacă în toate cazurile, toţi

factorii esenţiali şi neesenţiali ar fi acţionat constant. 4. Pentru a asigura un conţinut real mediilor calculate, valorile individuale din care se obţin

trebuie să fie cât mai apropiate, să existe o omogenitate a colectivităţii. În cazul eterogenităţii colectivităţii, aceasta trebuie separată pe grupe calitative pentru care se calculează medii parţiale.

5. În analiza statistică se calculează mai multe tipuri de medii: - media aritmetică; - media armonică; - media pătratică; - media geometrică; - media cronologică.

În practică, mărimile medii nu se folosesc la întâmplare, ci – în funcţie de specificul şi de proprietăţile fenomenului respectiv – se utilizează una sau alta dintre medii.

În continuare se prezintă detaliat media aritmetică, urmând ca şi celelalte tipuri de medii să fie tratată la temele următoare.

Media aritmetică ( X ) Media aritmetică este rezultatul sintetizării într-o singură expresie numerică a tuturor

nivelurilor individuale observate şi se calculează prin raportarea valorii totalizate a caracteristicii la numărul total al unităţilor. Formula de calcul

A. pentru seriile simple, adică în cazul în care numărul variantelor caracteristicii studiate este egal cu numărul unităţilor.

• fie caracteristica X cu variantele X1, X2 ,..., Xn, în care :

∑=

=+++n

iin XX...XX

121 , unde n = numărul unităţilor

• înlocuind fiecare valoare Xi cu X se obţine:

∑=

=+++n

1ii

orinde

XX...XX 44 344 21 ,

∑=

=⋅n

iiXXn

• rezultă formula de calcul pentru media aritmetică simplă:

ii∑

== 1

B. pentru seriile cu distribuţie de frecvenţe, adică în cazul în care variantele caracteristicii

se înregistrează de mai multe ori • formula de calcul pentru media aritmetică ponderată este următoarea:

∗

= ⋅=⋅

= ∑∑

∑i

iim

iii

fXf

fXX

unde: fi = frecvenţa absolută înregistrată la valoarea Xi a caracteristici

==∑

∗

ii f

ff frecvenţa relativă (ponderea) înregistrată la valoarea Xi a caracteristicii.

m = numărul de grupe ale caracteristicii X.

Principalele proprietăţi ale mediei aritmetice

1. Media aritmetică are întotdeauna o valoare cuprinsă între valorile extreme ale seriei:

maxmin XXX << Dacă media se plasează în afara acestor limite, rezultatul este în mod sigur eronat

(controlul logic).

2. În cazul unei serii cu distribuţii de frecvenţe, media aritmetică se încadrează între valorile extreme ale variabilei şi oscilează în jurul termenului (intervalului) cu frecvenţă maximă.

3. Suma abaterilor nivelurilor individuale de la media lor este egală cu 0.

• pentru o serie simplă:

=−∑=

)XX(n

• pentru o serie cu distribuţie de frecvenţe:

=⋅−∑=

ii f)XX(

Dezavantajul mediei aritmetice

Media aritmetică este sensibilă faţă de valorile extreme, astfel că devine nereprezentativă dacă termenii seriei sunt prea împrăştiaţi.

În concluzie, indiferent de media utilizată şi de modelul de calcul, pentru verificarea gradului de reprezentativitate a acesteia este necesar să se calculeze indicatorii variaţiei şi

asimetriei. 4.2. Mediana

Mediana (M) reprezintă termenul care ocupă locul central în seria valorilor caracteristicii, aranjate în ordine crescătoare sau descrescătoare. Valoarea medianei împarte seria în două părţi egale: 50% dintre unităţile observate se află sub nivelul medianei şi 50% peste nivelul medianei.

Observaţie În afară de mediană, care împarte seria în două părţi egale (50%, 50%), în statistică se mai calculează în mod asemănător:

- cuartile, care împart seria statistică în 4 părţi egale (25%, 25%, 25%, 25%); - decile, care împart seria statistică în 10 părţi egale (10%, ..., 10%).

4.3. Valoarea dominantă (sau valoarea modală) Valoarea dominantă (D) a seriei este acea valoare a caracteristicii care are cea mai mare frecvenţă de apariţie. Valoarea dominantă se mai numeşte valoare modală.

Observaţie De regulă, fenomenele economico – sociale de masă care se caracterizează prin omogenitatea populaţiei statistice reflectă o repartiţie (distribuţie) a frecvenţelor unimodală, în sensul că reprezentarea lor grafică prezintă un singur punct de maxim. Atunci când o serie cu distribuţie de frecvenţe prezintă mai multe puncte de maxim este multimodală, reflectând neomogenitatea populaţiei statistice. În această situaţie indicatorii tendinţei centrale au o semnificaţie redusă, fiind necesară descompunerea populaţiei statistice iniţiale în mai multe subcolectivităţi ce reflectă tipuri calitative diferite. Întrebări teoretice:

1. Ce sunt indicatorii tendinţei centrale? 2. Media aritmetică: definiţie, proprietăţi, observaţii, utilizări; 3. Care sunt indicatorii de poziţie? 4. Mediana: definiţie, calcul, utilizări; 5. Dominanta: definiţie, calcul, utilizări;

Aplicaţii propuse

1. Într-o firmă de leasing lucrează 10 operatori care în luna septembrie 2008 au încheiat fiecare contracte de leasing în valoare de:

80, 88, 90, 92, 95, 100, 105, 110, 112, 118 mii Euro.

Se cere: a) să se formeze seria privind valoarea contractelor de leasing încheiate; b) să se calculeze valoarea medie a contractelor de leasing încheiate de un operator

şi să se testeze proprietăţile mediei aritmetice; c) să se calculeze indicatorii medii de poziţie; d) să se reprezinte grafic seria.

2. Calculaţi media, mediana şi dominanta pentru fiecare din cele 3 serii

de date şi precizaţi forma asimetriei pentru fiecare set de date în parte pe baza relaţiei dintre indicatorii tendinţei centrale:

Set 1: 10, 12, 15, 15, 18, 20 Set 2: 2, 2, 4, 6, 15, 15, 18 Set 3: 12, 15, 15, 24, 26, 28

3. În tabelul următor se prezintă repartiţia unei populaţii în funcţie de

numărul de muzee vizitate în cursul anului 2006: Nr. muzee vizitate 0 1 2 3 4 5 6

Nr. persoane 12 34 43 39 28 10 4

Să se calculeze dominanta acestei serii.

4. Se cunosc următoarele date privind numărul de cărţi împrumutate în decursul unei luni de abonaţii unei biblioteci:

Nr. cărţi împrumutate 0 1 2 3 4 5 6 7

Nr. abonaţi 18 39 57 64 42 33 21 4

Calculaţi mediana şi dominanta acestei serii.

5. Calculaţi mediana pentru seria statistică următoare:

14 16 12 9 11 18 7 8 9 16 7 9 18

6.. Un elev a obţinut la opt teste următoarele note: 3 5 8 10 7 1 9 9

Calculaţi nota medie a elevului.

7. Considerăm următoarea serie statistică:

xi 1 2 3 4 5 6 ni 22 31 20 11 4 1

Să se calculeze media aritmetică, pătratică, geometrică şi armonică pentru această

serie şi să se verifice relaţia care există între acestea.

8. În tabelul următor este prezentată repartiţia populaţiei unui sat pe grupe de vârstă:

Grupe de vârstă (ani) Nr. locuitori

0 – 10 10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 70 - 80

18 44 68 54 42 36 16 10

Să se calculeze indicatorii medii de poziţie pentru această serie.

MODULUL 5

Tema INDICATORII VARIAŢIEI

Obiective Asimilarea indicatorilor simpli şi sintetici ai variaţiei şi înţelegerea

rolului acestora.

Finalitate – Competenţe dobândite

Dobândire de cunoştinţe privind indicatorii variaţiei. Capacitatea de a înţelege calculul şi interpretarea coeficientului de variaţie. Dobândirea de cunoştinţe privind indicatorii simpli şi sintetici ai variaţiei.

Mijloace & Studiu individual

F Definiţii de reţinut

@ Identificare răspunsurilor la întrebări

K Rezolvarea problemelor propuse

Evaluare Calitatea şi completitudinea răspunsurilor la întrebări şi la problemele propuse

Timp de lucru necesar

Parcurgerea şi înţelegerea problematicilor prezentate: 4 ore

Rezolvarea problemelor propuse: 2 ore

Formularea răspunsurilor la întrebări: 1 oră

MODULUL 5

INDICATORII VARIAŢIEI 5.1. Indicatorii simpli ai variaţiei 5.2. Indicatorii sintetici ai variaţiei

Media sintetizează într-o singură expresie numerică ceea ce este esenţial şi tipic în nivelul de dezvoltare al unei caracteristici. Ea nu poate evidenţia – însă – diversitatea valorilor caracteristicii respective şi nu oferă nici o informaţie privind omogenitatea sau eterogenitatea seriei respective.

Există situaţii în practică în care pentru serii statistice diferite, media este aceeaşi. În consecinţă, pentru efectuarea unei analize corecte şi complete se impune apelarea la

indicatorii variaţiei care permit, printre altele: - caracterizarea omogenităţii / eterogenităţii colectivităţii statistice; - caracterizarea reprezentativităţii mediei.

5.1. Indicatorii simpli ai variaţiei

A. Amplitudinea variaţiei calculată sub două forme: - amplitudinea absolută (Aa), ca diferenţă între valoarea maximă (Xmax) şi valoarea

minimă (Xmin) a caracteristicii; se exprimă în aceeaşi unitate de măsură ca şi caracteristica studiată.

minmax XXAa −=

- amplitudinea relativă (Ar), ca raport procentual între amplitudinea absolută a variaţiei şi

nivelul mediu al caracteristicii ( X ); se exprimă în procente, motiv pentru care permite compararea variaţiei mai multor caracteristici ale aceleiaşi colectivităţi.

100⋅=X

AA a

În mod evident: • cu cât amplitudinea (absolută şi relativă) este mai mare, cu atât colectivitatea este mai

eterogenă; • cu cât amplitudinea (absolută şi relativă) este mai mică, cu atât colectivitatea este mai

omogenă. Principala deficienţă a amplitudinii variaţiei o constituie faptul că depinde numai de

valorile extreme ale caracteristicii, fără a furniza nici o informaţie referitoare la „împrăştierea” celorlalte valori ale seriei.

Totuşi, amplitudinea variaţiei este un indicator des utilizat în practică, în special atunci când este calculat după eliminarea aşa-ziselor „cazuri aberante”. Deficienţa menţionată anterior poate fi parţial ameliorată prin calculul abaterilor individuale faţă de medie.

B. Abaterile individuale faţă de medie calculate, la rândul lor, sub două forme:

- abaterile individuale absolute ( aid ), ca diferenţă între fiecare valoare înregistrată şi

nivelul mediu:

XXd iai −=

- abaterile individuale relative )d( ri , ca raport procentual între abaterea individuală

absolută şi nivelul mediu al caracteristicii

100⋅=X

air

Cum numărul abaterilor individuale este foarte mare, de cele mai multe ori, în analiză se

utilizează abaterea maximă pozitivă şi abaterea maximă negativă. Indicatorii simpli ai variaţiei nu pot cuantifica într-o singură expresie numerică

întreaga variaţie a unei caracteristici, motiv pentru care se apelează la indicatorii sintetici ai variaţiei.

5.2. Indicatorii sintetici ai variaţiei

Indicatorii sintetici ai variaţiei cuantifică într-o singură expresie numerică întreaga variaţie a unei caracteristici, oferind o imagine sintetică a împrăştierii (dispersării) valorilor caracteristicii, luând în considerare toţi termenii seriei.

Principalii indicatori sintetici ai variaţiei sunt: A. Abaterea medie pătratică sau abaterea standard (σ ) se calculează ca medie pătratică

(simplă sau ponderată) a abaterilor individuale ale termenilor seriei de la media lor. În mod normal, cuantificarea tuturor abaterilor individuale am fi tentaţi să o calculăm

prin însumarea acestora şi determinarea mediei aritmetice:

)XX( i∑ −

De la proprietăţile mediei aritmetice se cunoaşte că suma abaterilor individuale este 0, urmare a faptului că abaterile pozitive sunt compensate de abaterile negative.

În consecinţă, abaterea standard nu se poate calcula pe baza formulei mediei aritmetice, apelându-se în acest scop la media pătratică.

Prin media pătratică, termenii seriei )XX( i − sunt mai întâi ridicaţi la pătrat (astfel încât

termenii negativi devin pozitivi), iar în continuare pentru a contracara efectele operaţiunii anterioare se aplică funcţia inversă ridicării la pătrat, adică extragerea rădăcinii pătratice (radicalul).

Ca urmare, relaţiile de calcul pentru abaterea medie pătratică sunt următoarele: • pentru o serie simplă

)XX(n

ii∑

=−

=σ 1

• pentru o serie cu distribuţie de frecvenţe

∑

=⋅−

=σm

iii

f)XX(

Abaterea medie pătratică prezintă următoarele caracteristici: - se exprimă în aceeaşi unitate de măsură ca şi caracteristica respectivă, având o

semnificaţie clară şi uşor de înţeles; - nu poate fi utilizată pentru a se face aprecieri comparative referitoare la variaţia unor

caracteristici diferite, chiar dacă acestea vizează una şi aceeaşi colectivitate. Pentru a contracara această ultimă deficienţă se foloseşte coeficientul de variaţie.

B. Coeficientul de variaţie )(v se calculează ca raport procentual între abaterea medie

pătratică )(σ şi nivelul mediu al seriei )X( .

100⋅σ

Coeficientul de variaţie este considerat cel mai complet indicator al cuantificării împrăştierii valorilor unei anumite caracteristici, oferind o imagine convingătoare asupra omogenităţii sau eterogenităţii colectivităţii statistice şi reprezentând un veritabil test de verificare a reprezentativităţii mediei.

Coeficientul de variaţie poate lua numai valori pozitive, situate într-un interval limitat:

v [ ]1000,∈

• cu cât v are o valoare mai mică, cu atât seria este mai omogenă şi deci media mai reprezentativă;

• se apreciază că pentru v>30%, media nu este reprezentativă, colectivitatea este neomogenă şi trebuie separată în subcolectivităţi omogene, urmând ca acestea să fie analizate distinct.

)A(X

v =⋅σ

= 100

C. Dispersia sau varianţa )( 2σ se calculează ca medie aritmetică (simplă sau ponderată) a

pătratelor abaterilor termenilor faţă de media lor. Cu alte cuvinte, dispersia este abaterea standard ridicată la pătrat.

• pentru o serie simplă

=σ2n

)XX(n

ii∑

=−

• pentru o serie cu distribuţie de frecvenţe

=σ2

∑

=⋅−

iii

f)XX(

Ca urmare, calcularea abaterii medii pătratice implică calcularea dispersiei: 2σ=σ

În practică, pentru simplificarea calculelor se poate apela la următoarele relaţii: • pentru o serie simplă

=σ2 21

−∑=

• pentru o serie cu distribuţie de frecvenţe

2 Xf

iii

−=σ∑

∑

Valoarea dispersiei nu are un conţinut concret, aşa cum de exemplu se întâmplă în cazul abaterii medii pătratice. Cu toate acestea, dispersia se utilizează frecvent în statistică în analize ulterioare privind regula de adunare a dispersiilor şi analiza dispersională. Întrebări teoretice:

1. Care sunt indicatorii simplii ai variabilităţii? 2. Ce reprezintă abaterea medie liniară? 3. Dispersia: determinare, observaţii; 4. Cum se determină abaterea medie pătratică? 5. Coeficientul de variaţie: calcul, utilizări;

Aplicaţii propuse: 1. Despre angajaţii unei sucursale a unei bănci comerciale se cunosc datele:

Grupe de salariaţi după

vechime (ani)

Nr. salariaţi

0 – 4 4 – 8

8 – 12 12 – 16 16 - 20

2 6

10 8 4

Total 30 Se cere:

1. să se reprezinte grafic distribuţia salariaţilor după vechime; 2. să se verifice dacă distribuţia salariaţilor după vechime este omogenă;

2. În tabelul următor este prezentată repartiţia populaţiei unui sat pe grupe de vârstă:

Grupe de vârstă (ani) Nr. locuitori

0 – 10 10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 70 - 80

18 44 68 54 42 36 16 10

Să se calculeze indicatorii variaţiei pentru această serie.

3. Preţurile de vânzare pentru un calculator ştiinţific cu aceleaşi caracteristici, fabricat de aceeaşi firmă, au fost înregistrate în 20 de magazine. Rezultatele sunt redate mai jos şi sunt exprimate în RON: 10,50 12,75 11,00 16,50 19,30 20,00 16,50 13,90 17,50 18,00

13,50 17,75 18,50 20,00 15,00 14,45 17,85 15,00 17,50 13,50

Se cere: a) să se caracterizeze gradul de variaţie al seriei;

MODULUL 6

Tema INDICATORII ASIMETRIEI

Obiective Asimilarea asimetriei seriei şi înţelegerea rolului acesteia.

Finalitate – Competenţe dobândite

Dobândire de cunoştinţe privind indicatorii asimetriei. Capacitatea de a înţelege reprezentarea grafică a seriilor de distribuţie de frecvenţă. Dobândirea de cunoştinţe privind coeficientul de asimetrie.

Mijloace & Studiu individual

F Definiţii de reţinut

@ Identificare răspunsurilor la întrebări

K Rezolvarea aplicaţiilor propuse

Evaluare Calitatea şi completitudinea răspunsurilor la întrebări şi a modului de rezolvare a problemelor propuse

Timp de

lucru

necesar

Parcurgerea şi înţelegerea problematicilor prezentate: 2 ore

Rezolvarea problemelor propuse: 1 ore

Formularea răspunsurilor la întrebări: 1 oră

MODULUL 6

INDICATORII ASIMETRIEI 6.1. Reprezentarea grafică a seriilor cu distribuţie de frecvenţă 6.2. Tipuri de asimetrie 6.3. Coeficientul de asimetrie 6.1. Reprezentarea grafică a seriilor cu distribuţie de frecvenţă Seria cu distribuţie de frecvenţe este rezultatul grupării colectivităţii în funcţie de variantele sau intervalele de variaţie ale unei caracteristici.

De exemplu, pentru cei 20 de angajaţi ai unei firme s-au înregistrat în luna septembrie 2006, următoarele câştiguri salariale nete (sunt prezentate trei variante diferite din punct de vedere al distribuţiei angajaţilor pe grupe de salarii).

Tabelul 6.1

Distribuţia salariaţilor pe grupe de salarii nete

Grupe de angajaţi după salariul net

(Xi) - um -

Număr salariaţi – persoane (fi)

Varianta

Varianta B

Varianta C

100 – 300 300 – 500 500 – 700 700 – 900

900 – 1100

5 7 5 2 1

1 2 5 7 5

2 4 8 4 2

Total 20 20 20 Sursa: Evidenţele primare ale firmei. Notă: Limita inferioară este inclusă în interval

O primă imagine asupra formei repartiţiei se obţine prin intermediul reprezentărilor grafice ale seriilor cu distribuţie de frecvenţe, care se vizualizează – de regulă – prin două tipuri de grafice, construite pe acelaşi sistem de axe:

A. Histograma se construieşte astfel: - pe axa abciselor (Ox) se trec valorile variabilei care delimitează grupele/clasele, în cazul nostru salariile nete (Xi); - pe axa ordonatelor (Oy) se trec valorile frecvenţelor de grupă (fi), în cazul nostru numărul salariaţilor; - se construiesc dreptunghiuri de înălţimi egale cu frecvenţele de repartiţie şi cu baze egale cu mărimea intervalului/variantei de grupare.

B. poligonul frecvenţelor

- se construieşte prin unirea succesivă, prin segmente de dreaptă, a mijloacelor bazelor superioare ale dreptunghiurilor.

100 300 500 700 900 1100

Fig. 6.1: Varianta A

5 5

100 300 500 700 900 1100

Fig. 6.2: Varianta B

100 300 500 700 900 1100

Fig. 6.3: Varianta C

6.2. Tipuri de asimetrie

Orice serie statistică simplă cu un număr suficient de mare de termeni se poate transforma, prin gruparea acestora, într-o serie cu distribuţie de frecvenţe. O serie cu distribuţie de frecvenţe poate să fie: - simetrică, dacă valorile variabilei sunt egal dispersate de o parte şi de alta a valorii

centrale • în cazul în care repartiţia este perfect simetrică (numită repartiţie normală), între

indicatorii tendinţei centrale există o relaţie de egalitate:

DMeX ==

DMeX == Fig. 6.4: Distribuţia simetrică a frecvenţelor de apariţie

- asimetrică, dacă valorile variabilei sunt inegal dispersate de o parte şi de alta a valorii centrale.

Asimetria poate fi: • asimetrie spre stânga (sau pozitivă), când valorile caracteristicii mai mici decât

nivelul mediu au frecvenţe foarte mari şi ca urmare: XD <

DX < Fig. 6.5: Distribuţia simetrică spre stânga a frecvenţelor de apariţie

• asimetrie spre dreapta (sau negativă), când valorile caracteristicii mai mari decât

nivelul mediu au frecvenţe foarte mari şi ca urmare: XD >

DX < Fig. 6.6: Distribuţia simetrică spre dreapta a frecvenţelor de apariţie

6.3 Coeficientul de asimetrie

Pentru a aprecia gradul de asimetrie a unei distribuţii statistice se folosesc o serie de indicatori, dintre care cel mai reprezentativ este coeficientul de asimetrie (Kas) propus de Karl Pearson, care poate lua valori cuprinse între -1 şi +1.

σ−

=DX

Kas ,1(−∈Kas )1

unde: =σ abaterea medie pătratică.

Coeficientul prezentat permite analiza asimetriei seriei în funcţie de semnul şi nivelul acestuia: - dacă seria este perfect simetrică:

0=⇒= KasDX - dacă seria este asimetrică: • spre stânga

0KasDX >⇒> • spre dreapta

0KasDX <⇒< Coeficientul de asimetrie reflectă: - o distribuţie ce tinde spre una simetrică cu cât Kas este mai mic (mai apropiat de 0); - o distribuţie moderat asimetrică dacă:

;3,0(−∈Kas )3,0+

- o distribuţie ce tinde spre una puternic asimetrică cu cât Kas este mai mare (mai apropiat de ±1).

În continuare, pe baza elementelor de calcul din Tabelele 6.1., 6.2. şi 6.3., se determină coeficientul de asimetrie pentru fiecare variantă în parte.

Tabelul 6.2

Varianta A

Grupe de salariaţi

după salariul net

- um -

Număr de

salariaţi

- pers. - fi

Centrul intervalul

ui de grupare

ii fx ⋅⋅⋅⋅ ii f)xx( ⋅− 2

100 – 300 300 – 500 500 – 700 700 – 900

900 - 1100

5 7 5 2 1

200 400 600 800

1000

1000 2800 3000 1600 1000

(200-470)2•5=364500

(400-470)2•7=34300

84500 217800 280900

TOTAL 20 * 9400 982000 Notă: Limita inferioară este inclusă în interval.

Tabelul 6.3 Varianta B

Grupe de salariaţi

după salariul net

- um -

Număr de

salariaţi

- pers. - fi

Centrul intervalul

ui de grupare

ii fx ⋅⋅⋅⋅ ii f)xx( ⋅− 2

100 – 300 300 – 500 500 – 700 700 – 900

900 - 1100

1 2 5 7 5

200 400 600 800

1000

200 800

3000 5600 5000

(200-730)2•1=280900

(400-730)2•2=217800

84500 34300

364500 TOTAL 20 * 14600 982000

Notă: Limita inferioară este inclusă în interval.

Tabelul 6.4 Varianta C

Grupe de salariaţi

după salariul net

- um -

Număr de

salariaţi

- pers. - fi

Centrul intervalul

ui de grupare

ii fx ⋅⋅⋅⋅ ii f)xx( ⋅− 2

100 – 300 300 – 500 500 – 700 700 – 900

900 - 1100

2 4 8 4 2

200 400 600 800

1000

400 1600 4800 3200 2000

(200-600)2•1=320000

(400-600)2•2=160000

0 160000 320000

TOTAL 20 * 12000 960000

um)C(

um)B(

um)A(f

fXX

60020

12000

73020

14600

47020

9400

==⋅

=∑

∑

um.)()(

)C(

um.)()(

)B(

um.)()(

)A(

KXD

600502005004848

48200500

800502007005757

57200700

400502003005757

57200300

=⋅+=−+−

−⋅+=

=⋅+=−+−

−⋅+=

=⋅+=−+−

−⋅+=

=∆+∆

∆⋅+=

um,)C(

um,)B(

um,)A(f

f)XX(

121920

960000

622120

982000

622120

9820002

==⋅−

=σ

∑

perfectăsimetrieC

dreaptaspreasimetrieB

stângaspreasimetrieA

DXKas

⇒=−

⇒−=−

⇒+=−

=−

06,219600600

)(

32,06,221800730

)(

32,06,221400470

)(

Întrebări teoretice:

1. Cum se analizează asimetria (oblicitatea) unei repartiţii? 2. Ce reprezintă oblicitatea unei repartiţii?

Aplicaţii propuse:

1. Pentru 40 de angajaţi ai unei bănci comerciale de la Departamentul Operaţiuni Persoane Juridice au fost înregistrate numărul de operaţiuni efectuate de fiecare într-o oră.

Rezultatele sunt prezentate în şirul următor: 10 12 15 17 8 12 23 6 9 10 10 12 15 6 8 10 12 15 16 9 6 12 20 8 10 12 20 15 6 9 9 8 12 20 18 6 12 18 15 14

Se cere: a) să se măsoare gradul de asimetrie.

2. Despre angajaţii unei sucursale a unei bănci comerciale se cunosc datele:

Grupe de salariaţi după vechime

(ani) Nr. salariaţi

0 – 4 4 – 8

8 – 12 12 – 16 16 - 20

2 6

10 8 4

Total 30 Se cere:

a) să se reprezinte grafic distribuţia salariaţilor după vechime; b) să se caracterizeze gradul de asimetrie;

MODULUL 7

Tema ANALIZA SERIILOR INTERDEPENDENTE

Obiective Asimilarea legăturilor statistice şi înţelegerea rolului acesteia.

Finalitate – Competenţe dobândite

Dobândire de cunoştinţe privind legăturile statistice. Capacitatea de a înţelege metodelor de cercetare a legăturilor statistice. Dobândirea de cunoştinţe privind metodele simple şi complexe.

Mijloace & Studiu individual

F Definiţii de reţinut

@ Identificare răspunsurilor la întrebări

K Rezolvarea problemelor propuse

Evaluare Calitatea şi completitudinea răspunsurilor la întrebări şi a modului de rezolvare a problemelor propuse

Timp de

lucru

necesar

Parcurgerea şi înţelegerea problematicilor prezentate: 4 ore

Rezolvarea problemelor propuse: 2 ore

Formularea răspunsurilor la întrebări: 1 oră

MODULUL 7

ANALIZA SERIILOR INTERDEPENDENTE

7.1. Conceptul de legătură statistică 7.2. Clasificarea legăturilor statistice 7.3. Metode de cercetare a legăturilor statistice

7.3.1. Metode simple (elementare) 7.3.2. Metode complexe (analitice) 7.3.3. Metode neparametrice

7.1. Conceptul de legătură statistică Asupra fenomenelor economico – sociale acţionează un număr mare de factori (principali şi secundari, esenţiali şi neesenţiali), care se găsesc în legătură reciprocă. Statistica permite, cu ajutorul unei game variate de procedee, metode şi indicatori:

- studierea acestor legături; - exprimarea lor cantitativă; - măsurarea intensităţii cu care se produc.

Din punct de vedere al legăturilor statistice, caracteristicile (variabilele) se clasifică în două categorii:

- caracteristicii factoriale (exogene sau cauză); - caracteristici rezultative (endogene sau efect), asupra cărora îşi exercită influenţa

caracteristicile factoriale. Există două tipuri de legături: A. legături funcţionale

- sunt caracteristice, în general, ştiinţelor tehnice; - unei valori a caracteristicii factoriale (x) îi corespunde o singură valoare a caracteristicii

rezultative (y). y = f(x)

B. legături statistice (stochastice) - sunt specifice fenomenelor şi proceselor economice şi sociale (fenomene nedeterministe); - unei valori a caracteristicii factoriale (x) îi corespunde o distribuţie de valori ale

caracteristicii rezultative (y), datorită faptului că asupra acesteia din urmă îşi exercită influenţa şi alte caracteristici factoriale considerate neesenţiale, întâmplătoare (cuantificate prin ∈).

y = f(x)+∈

7.2. Tipologia legăturilor statistice

Se poate realiza după mai multe criterii:

A. după numărul caracteristicilor factoriale care se iau în studiu: - legături simple, când se consideră că o singură caracteristică factorială (x), cu caracter

esenţial, determină caracteristica rezultativă (y); y = f(x)

Exemple: • legătura dintre cifra de afaceri realizată de un salariat (CA) şi câştigul salarial (S) :

S= f(CA) • legătura dintre vechimea în muncă (VM) şi câştigul salarial:

S= f (VM) • legătura dintre numărul înnoptărilor (N) şi capacitatea de cazare (C) a structurilor

turistice: N = f(C)

- legături multiple, când se consideră că, cel puţin două caracteristici funcţionale (x1,x2,...) determină caracteristica rezultativă (y):

y = f (x1, x2,...) Exemplu:

• legătura dintre cifra de afaceri realizată de un salariat (CA ) şi vechimea în muncă (VM) – pe de o parte – şi câştigul salarial – pe de altă parte:

S = f (CA, VM)

B. după direcţia legăturii - legături directe, când creşterea/descreşterea valorilor caracteristicii factoriale conduce la

creşterea/descreşterea valorii caracteristicii rezultative. Exemple:

S= f (CA) S = f (VM)

- legături inverse, când creşterea/descreşterea valorilor caracteristicii factoriale conduce la descreşterea/creşterea valorii caracteristicii rezultative.

Exemplu:

• legătura dintre timpul nelucrat (număr absenţe de la serviciu în ore sau zile - TN) şi câştigul salarial:

S= F (TN)

C. după expresia analitică a legăturilor - legături liniare, când se exprimă prin ecuaţia unei drepte; - legături neliniare (curbilinii), când se exprimă prin ecuaţia unei curbe (parabolă,

hiperbolă, exponenţială etc.).

D. după modul de exprimare a caracteristicilor - legături între variabile statistice exprimate numeric (cantitativ); acestea se numesc

corelaţii statistice; - legături între variabile statistice exprimate prin cuvinte (nenumeric); acestea se numesc

asocieri statistice; 7.3. Metode de cercetare a legăturilor statistice Studiul şi analiza legăturilor dintre fenomenele economico – sociale se realizează cu ajutorul a două categorii de metode:

- metode elementare (simple), prin care se sistematizează informaţia necesară, se verifică existenţa, direcţia şi forma legăturii dintre caracteristicile înregistrate;

- metode complexe, prin care se măsoară dependenţa dintre variabile, inclusiv intensitatea acesteia, folosindu-se un instrumentar statistic mai complex.

7.3.1. Metodele simple reprezintă modele de analiză calitativă, capabile să surprindă aspectele esenţiale ale legăturilor dintre variabilele economice.

A. Metoda seriilor paralele interdependente

- constă în ordonarea valorilor (xi , yi) înregistrate astfel: se ordonează crescător valorile caracteristicii factoriale x şi se ataşează valorile corespunzătoare ale caracteristicii rezultative y;

- prin compararea celor două serii de valori astfel ordonate se poate stabili dacă există sau nu legătură între ele şi direcţia acestei legături: • dacă modificările intervenite la variabila x conduc la modificări – de regulă - în

acelaşi sens ale variabilei y, atunci corelaţia este directă; • dacă modificările intervenite la variabila x conduc la modificări – de regulă - în

sens contrar ale variabilei y, atunci corelaţia este inversă. - această metodă se foloseşte numai în cazul în care există un număr redus de unităţi

observate.

B. Metoda grupărilor - se grupează unităţile observate după variabila factorială, iar pentru variabila

rezultativă se calculează indicatorii medii )( y pentru fiecare grupă în parte (medii condiţionate);

- prin compararea variaţiei caracteristicii factoriale cu aceea a caracteristicii rezultative (medii pe grupe) se pot evidenţia existenţa şi direcţia legăturii;

- această metodă se utilizează în cazul în care există un număr mare de unităţi de observare.

C. Metoda tabelului de corelaţie

- tabelul de corelaţie este un tabel cu dublă intrare în care separarea pe grupe a unităţilor se face după variaţia ambelor caracteristici (factorială şi rezultativă);

- valorile caracteristicii factoriale (x) se trec în ordine crescătoare în capetele coloanelor, iar valorile caracteristicii rezultative în ordine descrescătoare în capetele rândurilor;

- la intersecţia dintre rândul „i” şi coloana „j” se înregistrează frecvenţa de apariţie (fij); - în funcţie de modul de repartizare a frecvenţelor în tabelul de corelaţie se pot aprecia:

• direcţia legăturii, dată de poziţia diagonalei după care se grupează frecvenţele: = ordonare a frecvenţelor după diagonala principală

⇒ legătură directă = ordonare a frecvenţelor după diagonala secundară ⇒ legătura inversă

• intensitatea legăturii: = concentrarea intensă a frecvenţelor în jurul uneia

dintre diagonale ⇒ legătură puternică

= repartizarea frecvenţelor pe întregul tabel, fără nicio regularitate

⇒ legătură foarte slabă sau chiar lipsă de legătură.

D. Metoda grafică

- se utilizează graficul numit corelogramă sau graficul „norilor de puncte”, prin care: • pe abscisă (axa Ox) se înscriu valorile caracteristicii factoriale x; • pe ordonată (axa Oy) se înscriu valorile caracteristicii rezultative y; • fiecare unitate observată purtătoare a celor două caracteristici se reprezintă pe

grafic printr-un punct (xi, yi).

- pe baza graficului se studiază existenţa, forma şi direcţia corelaţiei, în funcţie de tendinţa de ordonare a punctelor: • punctele se ordonează în jurul unei drepte

Fig. 7.1: Legătură liniară directă

Fig. 7.2: Legătură liniară inversă

• punctele se ordonează în jurul unei curbe

Fig. 7.3: Legătură neliniară

Fig. 7.4: Legătură neliniară

• dacă punctele se ordonează după o dreaptă paralelă cu axa Ox sau se împrăştie pe grafic fără nicio regularitate, atunci între cele două variabile nu există corelaţie statistică (sunt considerate independente).

Fig. 7.5: Lipsă legătură

Fig. 7.6: Lipsă legătură

7.3.2. Metodele complexe Metodele simple de caracterizare a legăturilor dintre variabile au ca deficienţă

principală faptul că, deşi permit constatarea legăturii şi caracterului ei, nu o pot măsura printr-un indicator sintetic. Acest inconvenient este înlăturat prin utilizarea a două metode:

- metoda regresiei; - metoda corelaţiei.

A. Metoda regresiei

- constituie o metodă statistică de cercetare a legăturii dintre variabile cu ajutorul unor funcţii matematice numite funcţii de regresie;

- regresiile pot fi: • unifactoriale (simple)

∈+= )x(fY , unde: ∈ = eroarea aleatoare sau valoarea reziduală

Modelele unifactoriale cele mai des utilizate în practică sunt: modelul liniar bxaY += modelul parabolei 2cxbxaY ++=

modelul hiperbolei x

baY1⋅+=

modelul exponenţialei xbaY ⋅=

• multifactoriale (multiple) ∈+= ,...)x,x(fY 21

În practică, modelul multifactorial cel mai frecvent aplicat este:

modelul liniar bifactorial 21 cxbxaY ++= Modelul unifactorial liniar

- stabileşte legătura liniară dintre două variabile y şi x, considerând că toţi ceilalţi factori de influenţă au o acţiune constantă şi neglijabilă asupra caracteristicii y.

- dreapta de regresie este: bxaY +=

unde: a, b = parametrii (coeficienţii) funcţiei de regresie, ce urmează a fi calculaţi; =Y valorile teoretice ale funcţiei.

Pentru calcularea parametrilor a şi b se utilizează metoda celor mai mici pătrate, care presupune ca suma pătratelor abaterilor între punctele observate (valorile reale – yi) şi punctele corespunzătoare ale dreptei (valorile teoretice –Yi) trebuie să fie minimă.

→−∑ 2)Yy( ii minim sau →−−∑ 2)bxay( ii minim Prin acest procedeu, din infinitatea dreptelor din plan, se selectează aceea care ajustează cel mai bine legătura dintre cele două variabile.

y (lei)

x1 (mil.

Fig. 7.7

Derivând în raport cu a şi b şi anulând derivatele parţiale se obţine următorul sistem de ecuaţii:

=+=+

∑ ∑ ∑∑ ∑

xyxbxayxbna

Rezolvarea sistemului presupune determinarea parametrilor a şi b prin diferitele metode cunoscute. De exemplu, prin metoda determinanţilor, se obţine:

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑−

⋅−⋅=

)x(xn

xyxyxa

∑ ∑∑ ∑ ∑

−

−=

22 )x(xn

yxxynb

Ca urmare, pentru determinarea parametrilor a şi b calculele se organizează în tabelul următor:

Tabelul 7.1

Nr. crt. x y xy x2 y2

Valorile teoretice (Yi)

Yi=a+bxi

1 2 . . . n

Total

∑ x ∑ y ∑ xy ∑ x2 ∑ y2 ∑Y

Interpretarea parametrilor

- coeficientul a poate fi pozitiv sau negativ şi reprezintă valoarea lui Y când x = 0; cu alte cuvinte parametrul „a” exprimă influenţa factorilor neincluşi în model, consideraţi cu acţiune constantă.

- coeficientul b se numeşte coeficient de regresie şi arată cu cât se modifică variabila rezultativă Y în cazul în care caracteristica factorială se modifică cu o unitate.

* semnul lui b arată tipul de legătură: b>0 ⇒ legătură directă b<0 ⇒ legătură inversă b=0 ⇒ lipsă legătură.

Cu ajutorul coeficienţilor a şi b se determină ecuaţia de regresie, în baza căreia se calculează valorile teoretice Y ale caracteristicii y în funcţie de x: bxaY +=

• operaţia de înlocuire a termenelor reali y cu valorile teoretice Y se numeşte ajustare.

• pentru verificarea exactităţii calculării parametrilor funcţiei de regresie se foloseşte relaţia:

∑ ∑= ii Yy B. Metoda corelaţiei

- se utilizează pentru a măsura intensitatea legăturilor de tip statistic între două sau mai multe variabile.

Cel mai cunoscut şi utilizat indicator este coeficientul de corelaţie (liniară simplă) dintre variabilele y şi x, care se calculează pe baza următoarelor relaţii:

yxn

)yy)(xx(r

σσ−−

= ∑

Înlocuind în această relaţie:

x ∑= , n

yy ∑= ,

xnx

x −=σ ∑ 2

yny

y −=σ ∑

se obţine o relaţie frecvent utilizată în practică, urmare a faptului că majoritatea elementelor au fost deja calculate cu ocazia determinării funcţiei de regresie în Tabelul 7.1:

( )[ ] ( )[ ]∑ ∑∑ ∑

∑ ∑ ∑−⋅−

−=

2222 yynxxn

yxxynr

Coeficientul de corelaţie (r) poate lua valori cuprinse între [-1, +1]:

- pentru ( ]⇒+∈ 1,0r corelaţie directă

- pentru [ )⇒−∈ 0,1r corelaţie inversă

În plus, coeficientul de corelaţie oferă o măsură a intensităţii legăturii dintre cele două variabile (pentru valorile negative ale coeficientului de corelaţie semnificaţia pe intervalul [-1, 0) este aceeaşi, cu menţiunea că legătura este inversă):

0 < r < 0,2 nu există legătură 0,2 < r < 0,5 legătură slabă 0,5 < r < 0,75 legătură de intensitate medie 0,75 < r < 0,95 legătură puternică 0,95 < r < 1 legătură relativ deterministă ⇒ Legătura între cele două variabile este cu atât mai puternică, cu cât valorile

coeficientului de corelaţie r sunt mai apropiate de ± 1; dimpotrivă o valoare a coeficientului apropiată de 0 indică lipsa de legătură.

7.3.3. Metode neparametrice

Metodele neparametrice de măsurare a intensităţii legăturilor dintre fenomene se utilizează în

următoarele situaţii: - variabilele sunt de natură calitativă, nefiind exprimate numeric; - chiar dacă variabilele sunt exprimate numeric:

* fie distribuţia frecvenţelor nu urmează legea normală sau aproximativ legea normală (caz în care nu este indicată utilizarea metodei regresiei şi a coeficientului de corelaţie);

* fie valorile înregistrate nu prezintă o siguranţă suficientă, semnificative devenind nu atât valorile în sine, ci poziţiile (locurile, ordinea) pe care le ocupă unele faţă de altele.

În asemenea situaţii se apelează la metodele neparametrice de măsurare a legăturilor dintre fenomene, cele mai frecvent utilizate urmărind calculul şi analiza:

- coeficientului de asociere; - coeficientului de corelaţie a rangurilor,

Coeficientul de asociere - se utilizează atunci când variabilele înregistrate sunt separate numai în două grupe calitative

(de tipul “da-nu”), variabile numite alternative (binare sau dihotomice); exemple: • turiştii grupaţi în români şi străini; • angajaţii grupaţi în:

* bărbaţi şi femei; * cu şi fără studii superioare;

• categoria de confort a structurilor de cazare turistică: maxim 3 stele şi respectiv 4-5 stele.

- se construieşte tabelul de asociere după următoarele reguli: • în subiect se trece variaţia caracteristicii factoriale (x), cu cele două variante x1 şi x2; • în predicat se trece variaţia caracteristicii rezultative (y), cu cele două variante y1 şi y2; • în rubricile tabelului se trec frecvenţele de apariţie (notate a, b, c, d), la care s-a realizat

asocierea celor două caracteristici.

Tabelul 7.2 Tabelul de asociere

Variantele

caracteristicii

Variantele caracteristicii y

Total y1 y2

x1 x2

a c

b d

a + b c + d

Total a + c b + d - interpretarea asocierii celor două variabile se realizează pe baza frecvenţelor de apariţie:

• dacă frecvenţele se concentrează pe una dintre diagonale, atunci există o asociere puternică:

§ pozitivă, când predomină frecvenţele a şi d, deci asocierea se realizează între x1 cu y1 şi x2 cu y2, iar produsul a ⋅ d are o valoare mare;

§ negativă, când predomină frecvenţele b şi c, deci asocierea se realizează între x1 cu y2 şi x2 cu y1, iar produsul b ⋅ c are o valoare mare.

• dacă frecvenţele nu se concentrează pe niciuna dintre diagonale, atunci nu există asociere (variabilele sunt independente), iar între frecvenţe există următoarea relaţie:

0≈⋅−⋅⇒⋅≈⋅⇒≈ cbdacbdadb

- indicatorul care măsoară intensitatea asocierii dintre variabilele alternative este coeficientul lui Yule (Q):

cbdacbda

Q⋅+⋅⋅−⋅

• Q ia valori cuprinse între –1 şi +1; • dacă 0≈⇒⋅≈⋅ Qcbda şi semnifică lipsa asocierii între variabile; • dacă 0≠⇒⋅≠⋅ Qcbda şi semnifică:

§ asocierea pozitivă, când a ⋅ d > b ⋅ c, iar Q ia o valoare pozitivă, apropiată de +1;

§ asocierea negativă, când a ⋅ d < b ⋅ c, iar Q ia o valoare negativă, apropiată de -1;

• dacă una dintre frecvenţe este 0, atunci Q ia una dintre valorile extreme:

§ dacă a = 0 sau d = 0 1−=−

=⇒bcbc

Q şi indică o asociere perfectă negativă;

§ dacă b = 0 sau c = 0 1+==⇒adad

Q şi indică o asociere perfectă pozitivă.

Coeficientul de corelaţie a rangurilor

Dintre coeficienţii utilizaţi în practică, cel mai des întâlnit este coeficientul Spearman. Calculul şi analiza acestui coeficient presupun parcurgerea următoarelor etape:

- se ordonează crescător unităţile observate după valorile caracteristicii factoriale; - fiecărei unităţi observate i se vor atribui două ranguri care permit ordonarea unităţilor

şi stabilirea locului pe care îl ocupă în colectivitatea respectivă: • în cazul caracteristicii factoriale (ordonată crescător) rangurile vor fi în ordine

de la 1 la n (n = numărul unităţilor observate); • în cazul caracteristicii rezultative se atribuie rangurile corespunzător, în

ordinea crescătoare a valorilor înregistrate, care, de regulă, nu corespunde cu ordinea stabilită la caracteristica factorială;

- ca urmare, fiecărei unităţi de observare i se vor atribui:

• rangul corespunzător poziţiei deţinute între valorile caracteristicii factoriale - Rx;

• rangul corespunzător poziţiei deţinute între valorile caracteristicii rezultative - Ry;

- se calculează diferenţa de rang di între caracteristicile corelate pentru fiecare unitate de observare:

yxi RRd −=

- se calculează coeficientul Spearman (rs), conform relaţiei:

( )16

−−= ∑

dr i

Întrebări teoretice:

1. Definiţi conceptul de legătură statistică 2. Cum clasificaţi legăturile statistice? Exemplificaţi. 3. În ce constă metoda regresiei? 4. Cum se apreciază calitatea ajustării? Indicatori. 5. Coeficientul de corelaţie: concept. Mod de calcul, interpretare. Aplicaţii propuse:

1. În tabelul următor sunt prezentate date cu privire la cheltuielile cu reclama şi valoarea totală a vânzărilor pentru şase tipuri de detergenţi:

Nr. crt.

Cheltuieli cu reclama (mii USD)

Valoarea totală a vânzărilor (mii USD)

1 2 3 4 5 6

2,3 5,7 4,8 7,3 5,9 6,2

77 105 96

118 102 95

Se cere: a) să se stabilească existenţa, direcţia şi forma legăturii dintre valoarea vânzărilor şi

cheltuielile cu reclama pentru cele 6 tipuri de detergenţi; b) să se determine parametrii funcţiei de regresie; c) să se studieze intensitatea legăturii dintre cele două variabile;

2. Într-un studiu privind deficitul de ozon a fost măsurată fluorescenţa indusă de laser la diferite presiuni ale stratului de ozon, obţinându-se următoarele rezultate:

Presiunea stratului de ozon (militorr)

8 10 27 41 52 67 83

Intensitatea fluorescenţei indusă de laser

1,5 3 4,2 7,5 9,8 11,5 15

Se cere: a) să se studieze existenţa, direcţia şi intensitatea legăturii dintre intensitatea

fluorescenţei şi presiunea stratului de ozon; b) să se determine parametrii funcţiei de regresie;

MODULUL 8

Tema ANALIZA SERIILOR CRONOLOGICE

Obiective Asimilarea componentelor seriilor de timp şi înţelegerea rolului acestora.

Finalitate – Competenţe dobândite

Dobândire de cunoştinţe privind seriile cronologice. Capacitatea de a înţelege metodelor de ajustare a seriilor cronologice. Dobândirea de cunoştinţe privind metodele simple şi complexe.

Mijloace & Studiu individual

F Definiţii de reţinut

@ Identificare răspunsurilor la întrebări

K Rezolvarea problemelor propuse

Evaluare Calitatea şi completitudinea răspunsurilor la întrebări şi a modului de rezolvare a problemelor propuse

Timp de

lucru

necesar

Parcurgerea şi înţelegerea problematicilor prezentate: 6 ore

Rezolvarea problemelor propuse: 3 ore

Formularea răspunsurilor la întrebări: 1 oră

MODULUL 8

ANALIZA SERIILOR CRONOLOGICE

8.1. Definirea şi tipologia seriilor cronologice

8.2. Indicatorii seriilor cronologice 8.3. Componentele seriilor cronologice 8.4. Analiza tendinţei pe termen lung 8.5. Analiza sezonalităţii 8.1. Definirea şi tipologia seriilor cronologice (SC) Seria cronologică (de timp sau dinamică) este constituită din două şiruri paralele de date:

7. primul şir îl constituie timpul (t), cu rol de variabilă factorială; 8. al doilea şir îl constituie indicatorul respectiv, înregistrat pentru fiecare perioadă sau moment

(yt), cu rol de variabilă rezultativă. Ca urmare, o serie cronologică poate fi sistematizată astfel:

0 1 y0 y1

2 y2

...

... t yt

...

... n yn

sau y = f(t)

unde: t = n,1 reprezintă unităţile de timp (perioade sau momente); yt = nivelul indicatorului (variabilei) la perioada/momentul t.

Tipologia seriilor cronologice poate fi studiată în funcţie de mai multe criterii:

A. În funcţie de timpul la care se referă datele: 9. SC de flux (de interval de timp), care reflectă evoluţia unui fenomen pe anumite perioade de

timp (zile, luni, trimestre, ani). 9.1. caracteristică pentru seriile de flux este posibilitatea însumării nivelurilor succesive ale

indicatorilor exprimaţi în mărimi absolute:

∑=

tty

1 are sens

9.2. exemple de variabile care admit această proprietate de aditivitate: cifra de afaceri, fondul de salarii, volumul investiţiilor, numărul de turişti sau de înnoptări într-o unitate de cazare turistică etc.

Să presupunem că la o unitate de cazare turistică s-au înregistrat 600 înnoptări în luna ianuarie şi 400 în luna februarie. Cele două valori pot fi însumate, consemnând faptul că în cele două luni numărul înnoptărilor a fost de 600 + 400 = 1000.

- SC de stoc (de moment), care reflectă evoluţia unui fenomen la anumite momente de timp

(sfârşitul lunii, sfârşitul trimestrului, începutul sau sfârşitul anului etc.). • caracteristică pentru seriile de flux este imposibilitatea sau – mai bine spus – lipsa de

semnificaţie a însumării nivelurilor succesive ale indicatorilor:

∑=

tty

1 nu are sens

• exemple de variabile care nu admit proprietatea de aditivitate: efectivul de salariaţi la sfârşitul lunii, valoarea activelor fixe şi stocurile de active la anumite momente ale anului, însumarea unor astfel de variabile conducând la multiple înregistrări ale aceleiaşi valori înregistrate. Să presupunem că la o unitate de cazare turistică efectivul de salariaţi la

sfârşitul lunilor ianuarie şi februarie a fost de 20, respectiv 18 salariaţi.

Însumarea acestor valori (20 + 18 = 38), nu are nicio semnificaţie.

B. În funcţie de modul de exprimare a termenilor:

- SC din mărimi absolute , exprimate în unităţi de măsură specifice: cifra de afaceri în lei, efectivul de salariaţi în persoane, frecventarea structurilor de cazare turistică în număr de turişti sau număr de înnoptări etc.;

- SC din mărimi relative, exprimate - de exemplu - sub forma indicatorilor de structură: ponderea femeilor sau a persoanelor cu studii superioare în total salariaţi, ponderea turiştilor străini în numărul total al turiştilor etc.

- SC din mărimi medii: cifra de afaceri medie pe un salariat (productivitatea medie a muncii), câştigul salarial mediu (brut sau net), durata medie a sejurului etc.

În concluzie, indicatorii seriilor cronologice permit:

- analiza diagnostic a evoluţiei în timp a fenomenelor economico-sociale pentru o perioadă anterioară, prin studierea comportamentului trecut al unei variabile pe baza datelor istorice;

- stabilirea tendinţelor viitoare de dezvoltare a fenomenelor, implicit formularea previziunilor şi prognozelor.

Pentru a realiza aceste obiective, o serie cronologică trebuie să îndeplinească cel puţin două condiţii:

- condiţia de volum, prin care o serie cronologică trebuie să fie alcătuită dintr-un număr suficient de mare de termeni (minim 10-15 termeni), astfel încât aspectele întâmplătoare sa se compenseze şi anuleze;6 - condiţia de comparabilitate a datelor, care presupune, în primul rând, calculul tuturor termenilor seriei pe baza aceleiaşi metodologii, iar în al doilea rând, în cazul indicatorilor valorici (de exemplu cifra de afaceri) calculele trebuie efectuate în preţuri comparabile (indicatori reali), din care s-a eliminat influenţa creşterii preţurilor.7

8.2. Indicatorii seriilor cronologice

Pentru analiza evoluţiei în timp a unui fenomen economico-social se utilizează un sistem de indicatori care cuprinde:

A. indicatorii absoluţi ai SC; B. indicatorii relative ai SC; C. indicatorii medii ai SC.

• Indicatorii absoluţi ai seriei cronologice se exprimă în aceleaşi unităţi de măsură cu

caracteristica observată (în cazul nostru, cifra de afaceri se exprimă în milioane unităţi monetare).

Indicatorii absoluţi sunt: a – nivelurile absolute (yt), care reprezintă chiar termenii seriei cronologice

6 De multe ori, în practică, se utilizează serii cronologice cu un număr mai redus de termini, în funcţie de

disponibilitatea informaţiei statistice. 7 Vezi capitolul 9.

b – modificările absolute se obţin ca diferenţă a doi termeni ai seriei, sub două forme: * modificările absolute cu bază fixă se calculează ca diferenţă între fiecare termen yt şi

termenul de bază y0 : ∆t/o = yt - y0

* modificările absolute cu bază în lanţ se calculează ca diferenţă între fiecare termen al seriei yt şi termenul precedent yt-1 :

∆t/t-1 = yt - yt-1

Ca urmare, indiferent de tipul modificării absolute (cu bază fixă sau cu bază în lanţ) putem

generaliza următoarea concluzie: A. dacă ∆ > 0 rezultă o creştere a fenomenului; B. dacă ∆ = 0 rezultă o stagnare a fenomenului; C. dacă ∆ < 0 rezultă o descreştere a fenomenului.

Între cele două forme de modificări absolute (cu bază fixă şi cu bază în lanţ) există două relaţii

de legătură:

- Dacă se cunosc numai modificările absolute cu bază în lanţ se poate calcula orice modificare absolută cu bază fixă, conform relaţiei:

∆n/0 = ∑=

t 1∆t/t-1

Cu alte cuvinte, orice modificare cu bază fixă este egală cu suma modificărilor absolute cu bază în lanţ din perioada respectivă:

∆n/0 = ∑=

t 1∆t/t-1 = ∆1/0 + ∆2/1 + ∆3/2 + ... + ∆n/o + ∆n/n-1 = y1 – y0 +

+ y2 - y1 + y3 – y2 + ... + yn – yn-1 = yn – y0

- Dacă se cunosc numai modificările absolute cu bază fixă se poate calcula orice

modificare absolută cu bază în lanţ, conform relaţiei: ∆t/t-1 = ∆t/0 - ∆t-1/0

Cu alte cuvinte, orice modificare cu bază în lanţ este diferenţa modificărilor absolute cu bază fixă corespunzătoare: ∆t/t-1 = ∆t/0 – ∆t-1/0 = (yt – y0) - (yt-1 – y0) = yt – yt-1

• Indicatorii relativi ai seriei cronologice se obţin prin compararea sub formă de raport a doi termeni ai seriei şi se exprimă – de regulă – în procente.

Indicatorii relativi sunt: A – indicele de creştere/descreştere; B – ritmul de creştere/descreştere. a. Indicii de creştere/descreştere se calculează ca raport procentual între doi termeni ai seriei,

primul fiind nivelul dintr-o perioadă considerată curentă (ycrt), iar al doilea fiind nivelul dintr-o perioadă considerată bază de comparaţie (ycomp).

I = comp

crt

· 100

Este evident că:

- dacă I > 100% ⇒ ycrt > ycomp ⇒ creşterea fenomenului - dacă I = 100% ⇒ ycrt = ycomp ⇒ stagnarea fenomenului - dacă I < 100% ⇒ ycrt < ycomp ⇒ descreşterea fenomenului

Indicii se calculează sub două forme:

* indicii cu bază fixă se obţin ca raport procentual între nivelul fiecărui termen yt şi termenul din perioada de bază y0 :

It/o = 0

· 100

* indicii cu bază în lanţ se obţin ca raport procentual între nivelul fiecărui termen yt şi termenul precedent yt-1 :

It/t-1 = 1−t

· 100

Între cele două forme de indicii (cu bază fixă şi cu bază în lanţ) există două relaţii de legătură: 1. Dacă se cunosc numai indicii cu bază în lanţ se poate calcula orice indice cu bază fixă,

conform relaţiei:

In/0 = ∏=

t 1 It/t-1

Cu alte cuvinte, orice indice cu bază fixă este egal cu produsul indicilor cu bază în lanţ din perioada respectivă:

In/0 = ∏=

t 1 It/t-1 = I1/0 · I2/1 · I3/2 · … · In/n-1 =

· 1

⋅ 2

· … · 1−n

= 0y

Observaţie După cum se poate observa, relaţiile anterioare se verifică numai în condiţiile în care indicii

sunt calculaţi sub formă de coeficient (neînmulţiţi cu 100).

2. Dacă se cunosc numai indicii cu bază fixă se poate calcula orice indice cu bază în lanţ, conform relaţiei:

It/t-1 = 01

−

Cu alte cuvinte, orice indice cu bază în lanţ este egal cu raportul indicilor cu bază fixă corespunzători:

It/t-1 = 01

−

yyyy

− =

1−t

b. Ritmurile de creştere/descreştere se calculează ca raport procentual între modificarea absolută dintre perioada curentă ycrt şi perioada bază de comparaţie ycomp, pe de o parte, şi nivelul caracteristicii din perioada bază de comparaţie.

R = compy

comp/crt∆ · 100 =

compy

yy compcrt − · 100 =

= compy

ycrt · 100 - comp

comp

y · 100 = I – 100

Ca urmare, relaţia de calcul a ritmului de creştere/descreştere este diferenţa dintre indice şi 100:

R = I – 100

Astfel calculat, ritmul arată cu câte procente a crescut sau a scăzut nivelul caracteristicii într-o

anumită perioadă, comparativ cu perioada bază de comparaţie:

D. dacă R > 0 ⇒ I > 100% ⇒ creşterea fenomenului E. dacă R = 0 ⇒ I = 100% ⇒ stagnarea fenomenului F. dacă R < 0 ⇒ I < 100% ⇒ descreşterea fenomenului

În mod corespunzător, ritmurile de creştere/descreştere se calculează tot sub 2 forme:

* ritmuri cu bază fixă

Rt/0 = It/0 - 100

*ritmuri cu bază în lanţ

Rt/t-1 = It/t-1 - 100

Observaţii:

1. De regulă, în analizele economice ritmurile de creştere/descreştere sunt mult mai frecvent utilizate decât indicii.

2. Relaţiile de legătură stabilite între cele două tipuri de indici nu sunt valabile şi în cazul ritmurilor. Acesta este motivul pentru care în calcule se utilizează indicii, iar în analizele economice ritmurile.

• Indicatorii medii ai seriei cronologice

Spre deosebire de indicatorii absoluţi şi relativi care caracterizează relaţiile cantitative parţiale

existente între doi termeni ai seriei (yt şi y0, respectiv yt şi yt-1), indicatorii medii caracterizează tendinţa de dezvoltare a fenomenului pe întreaga perioadă de la t = 0, până la t = n, prin sintetizarea într-o singură expresie a fiecărui indicator.

Pentru o serie cronologică se calculează 4 indicatori medii:

Nivelul mediu ( y ) se determină diferenţiat în raport cu timpul seriei cronologice: - pentru seria cronologică de intervale se calculează ca medie aritmetică simplă a

tuturor termenilor seriei:

+=∑=

- pentru seria cronologică de momente se calculează ca medie cronologică simplă

( cry )

Relaţia de calcul a mediei cronologice se determină în două etape: 1. se calculează nivelul mediu pe fiecare interval (medii parţiale):

• pentru intervalul [0,1] media parţială este 2

10 yy +

• pentru intervalul [1,2] media parţială este 2

21 yy +

• …

• pentru intervalul [n-1,n] media parţială este 2

1 nn yy +−

2. se calculează media cronologică, ca medie aritmetică simplă a mediilor parţiale:

cry = 2

10 yy ++

221 yy +

+ .. +2

1 nn yy +−

20y

+ y1 + y2 + ..+ yn-1 +2

n n

Modificarea medie absolută (−

∆ ) arată cu cât creşte/scade în medie, în valoare absolută, un fenomen de la o perioadă la alta şi se calculează ca medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu baza în lanţ.

−

∆ = n

tt/t∑

=−∆

= n

/n 0∆=

nyyn 0−

Observaţii:

- −

∆ depinde numai de termenii extremi ai seriei y0 şi yn, ignorând variaţiile interioare;

- −

∆ este o mărime reprezentativă pentru termenii seriei cronologice numai dacă seria prezintă o anumită uniformitate în tendinţa de dezvoltare, caracterizată prin modificări absolute cu baza în lanţ aproximativ egale şi de acelaşi sens.

Indicele mediu de creştere/descreştere (−

I ) arată de câte ori creşte/scade în medie un fenomen de la o perioadă la alta şi se calculează ca medie geometrică a indicilor cu baza în lanţ.

Formula de calcul a mediei geometrice se deduce pornind de la relaţia de legătură dintre indici:

In/0 = ∏=

−

tt/tI

11 = I1/0 · I2/1 · I3/2 · ... · In/n-1

în care fiecare indice cu bază în lanţ poate fi înlocuit cu I . Rezultă:

In/0 = I · I · I · ... · I = I n

n ori Din relaţia:

In/0 = I n

se obţine formula de calcul a indicelui mediu:

I = n/nI 0 = n

tt/tI∏

=−

11 = n n

Observaţii:

- −

I este indicat să se calculeze numai pentru serii cronologice în care există o anumită constanţă a indicilor de creştere cu baza în lanţ;

- −

I depinde numai de termenii extremi ai seriei y0 şi yn.

Ritmul mediu de creştere/descreştere (−

R ) arată cu câte procente a crescut/scăzut în medie un fenomen în cursul perioadei analizate şi se calculează ca diferenţă între indicele mediu şi 100.

R = I - 100

8.3. Componentele seriilor cronologice

Termenii unei serii cronologice prezintă un grad mai mare sau mai mic de variabilitate, în funcţie de acţiunea diverşilor factori (esenţiali, periodici, sezonieri, accidentali) ce acţionează de-a lungul timpului.

Ca urmare, o serie cronologică poate fi descompusă în următoarele componente:

• Tendinţa generală sau trendul (yT) constituie componenta principală a liniei de evoluţie,

formată sub acţiunea factorilor esenţiali, cu acţiune permanentă şi care imprimă fenomenului direcţia de dezvoltare pe o perioadă mare de timp.

În multe cazuri, variabilele social-economice pot avea o tendinţă liniară pe termen lung, crescătoare sau descrescătoare.

• Oscilaţiile (variaţiile) periodice (yS), dintre care cele mai frecvente sunt oscilaţiile sezoniere (valurile sau ciclurile), produse – de obicei – sub influenţa unor factori naturali-climaterici care se manifestă în unităţi de timp mai scurte decât anul (trimestre, luni, zile)8.

În general, industria turismului este afectată de sezonalitate, prin cererea de produse turistice şi, implicit, prin preţurile şi tarifele practicate.

• Abaterile întâmplătoare sau componenta reziduală (yR), se manifestă ca devieri neregulate de la linia evoluţiei sistematice, ca efect al acţiunii unor factori accidentali (aleatori).

Modelul general al unei serii cronologice poate fi exprimat: - ca un model aditiv, prin care valoarea variabilei în perioada (momentul) t poate fi descrisă

astfel: yt = yTt + yCt + ySt + yRt

- ca un model multiplicativ: yt = yTt · yCt · ySt · yRt

8.4. Analiza tendinţei pe termen lung

În cadrul operaţiilor de modelare a seriilor cronologice se pune în primul rând problema

determinării trendului, a ceea ce este tipic, permanent, cu caracter de lege (statistică), prin eliminarea influenţei factorilor adiacenţi şi accidentali. Această operaţiune se numeşte ajustarea seriei cronologice prin care se realizează înlocuirea termenilor reali (empirici) ai seriei cronologice cu termeni teoretici care exprimă legitatea internă specifică dezvoltării obiective a fenomenului.

8 În afara componentei sezoniere, în unele situaţii poate fi identificată componenta ciclică (yC). Aceasta are o

influenţă semnificativă sub forma unor valuri care apar la un număr mai mare de ani (2-10) şi se manifestă sub forma cunoscutelor cicluri de afaceri ce includ perioade de recesiune şi expansiune, cicluri pe termen lung privind cererea unor mărfuri, cicluri în sectorul monetar şi financiar. De exemplu, în industria turismului întâlnim cicluri de viaţă ale destinaţiilor turistice.

Ajustarea seriilor cronologice se realizează apelând la trei metode: - metoda grafică; - metode mecanice; - metode analitice.

A. Metoda grafică - constituie calea cea mai simplă, sugestivă şi operativă de apreciere vizuală a

tendinţei de evoluţie în timp a fenomenelor; - graficul se numeşte cronogramă sau historiogramă, în care:

- pe abscisă se prezintă variabila de timp (t); - pe ordonată se prezintă nivelurile reale (yt) ale fenomenului studiat.

- prin unirea punctelor de coordonate (t, yt) se obţine curba termenilor reali ai seriei cronologice;

- pe acelaşi grafic se mai trasează curba ajustării vizuale; aceasta se înscrie pe grafic în aşa fel încât să urmeze cât mai fidel direcţia de evoluţie a fenomenului şi să prezinte abateri minime faţă de valorile efective;

- cronograma este un instrument auxiliar şi constituie un mijloc potrivit de stabilire a funcţiei matematice care corespunde cel mai bine formei în care se dezvoltă fenomenul studiat.

b. Metode mecanice b1. Metoda modificării medii absolute

• se utilizează atunci când modificările absolute cu baza în lanţ sunt relativ constante, deci seria cronologică se dezvoltă asemănător unei progresii aritmetice:

Y0 = y0

Y1 = y0 + 1 · ∆ Y2 = y0 + 2 · ∆ ……. Yn = y0 + n · ∆

În consecinţă, funcţia de ajustare este:

Yt = y0 + t · ∆

unde: Yt = valoarea ajustată a variabilei caracteristicii factoriale în anul t; y0 = termenul luat ca bază de ajustare; t = variabila de timp; ∆ = modificarea medie absolută.

Observaţii: - această metodă se aplică în cazul in care din analiza datelor reprezentate grafic observăm o

tendinţă de evoluţie aproximativ liniară, iar modificările absolute cu bază în lanţ au valori apropiate între ele;

- ajustarea prin această metodă presupune că tendinţa de dezvoltare a fenomenului este dată de dreapta care uneşte primul cu ultimul termen al seriei cronologice.

b2. Metoda indicelui mediu de creştere

• se utilizează atunci când indicii cu baza în lanţ sunt relativ constanţi, deci seria cronologică se dezvoltă asemănător unei progresii geometrice:

Y0 = y0

Y1 = y0 · I 1 Y2 = y0 · I 2

……. Yn = y0 · I n

În consecinţă, funcţia de ajustare este:

Yt = y0 · I t

unde:

I = indicele mediu de creştere.

Observaţii: - această metodă se aplică în cazul in care din analiza datelor reprezentate grafic observăm o

tendinţă de evoluţie aproximativ exponenţială, iar indicii cu bază în lanţ au valori apropiate între ei;

- ajustarea prin această metodă presupune că tendinţa de dezvoltare a fenomenului este dată de o funcţie exponenţială care uneşte primul cu ultimul termen al seriei cronologice.

În concluzie: Metodele mecanice de ajustare sunt relativ simple şi necesită un volum redus de operaţii

matematice.

Acestea prezintă un dezavantaj important, prin faptul că ∆ şi −

I se determină numai pe baza valorilor extreme. Ca urmare, metodele mecanice de ajustare ignoră variaţiile din interiorul seriilor cronologice, serii complet diferite conducând la rezultate identice.

Metode analitice

• presupun utilizarea unui model matematic in care tendinţa generală se exprimă ca o funcţie

de timp, numită funcţie de ajustare: Y = f(t)

- alegerea tipului de funcţie care se potriveşte cel mai bine pentru exprimarea trendului se face – de regulă – pe baza cronogramei, prin care se apreciază forma tendinţei de evoluţie.

- cele mai utilizate funcţii de ajustare sunt: o funcţia liniară

Yt = a + bt o funcţia parabolică (de gradul 2)

Yt = a + bt + ct2

o funcţia hiperbolică

Yt = a + t1

o funcţia exponenţială Yt = a · bt

- determinarea funcţiilor de ajustare se realizează prin calculul parametrilor funcţiei (a, b, ...) prin rezolvarea sistemului de ecuaţii normale obţinut prin metoda celor mai mici pătrate:

Σ(yt – Yt)2 = minim

• exemplificăm cele prezentate mai sus pentru funcţia liniară, prin parcurgerea următoarelor etape:

1. se stabileşte funcţia de ajustare, în cazul de faţă funcţia liniară:

Yt = a + bt

- se minimizează suma pătratelor diferenţelor dintre valorile reale (empirice) ale seriei cronologice şi valorile teoretice (ajustate):

Σ [yt – (a +bt)]2 = minim

- prin derivarea parţială în raport cu a şi b şi prin anularea derivatelor se obţine sistemul de

ecuaţii normale:

na + b Σ t = Σ y a Σ t + b Σ t2 = Σ ty

- pentru simplificarea rezolvării sistemului se stabileşte originea de calcul a timpului, astfel: - dacă seria este formată dintr-un număr impar de termeni se alege ca origine t = 0

termenul median, ceilalţi termeni plasaţi simetric faţă de acesta se notează cu (-1, 1), (-2, 2) etc.

- dacă seria este formată dintr-un număr par de termeni, termenii centrali se notează cu (-1, 1), iar în continuare fiecărei valori reale de timp i se atribuie, tot la distanţa de câte două unităţi, valori convenţionale de timp (-3, 3), (-5, 5) etc.

Ca urmare: Σ t = 0,

iar soluţiile sistemului de ecuaţii devin:

a = ny Σ

b = 2t

ty ΣΣ

- se obţine funcţia de regresie:

Yt = a + bt

- se calculează valorile ajustate (teoretice) ale variabilei rezultative prin înlocuirea în funcţia de regresie cu valorile succesive ale variabilei timp;

- se verifică corectitudinea calculelor prin respectarea relaţiei:

Σ Yt = Σ yt

Pentru ajustarea seriilor cronologice, după cum s-a arătat, se folosesc mai multe metode. În scopul aprecierii fidelităţii ajustării prin fiecare dintre metodele utilizate se calculează:

- eroarea medie pătratică a ajustării generată de fiecare dintre aceste metode, conform relaţiei:

σajust = n

)Yy( tt2−Σ

- coeficientul de variaţie al ajustării, conform relaţiei:

ν = y

adjustσ· 100

În mod evident, dintre metodele de ajustare utilizate, va fi considerată cea mai bună aceea pentru care eroarea medie pătratică şi respectiv coeficientul de variaţie al ajustării înregistrează valorile cele mai mici.

Dacă se pune problema de a estima evoluţia viitoare a cifrei de afaceri într-un anumit orizont de timp, se prelungeşte numerotarea unităţilor de timp – t, corespunzător anului pentru care se realizează prognoza, având aceeaşi origine şi aceeaşi numerotare a unităţilor de timp.

Valorile extrapolate pot fi determinate astfel: - în ipoteza că fenomenele vor evolua în aceleaşi condiţii ca şi în perioada trecută, se

păstrează aceeaşi tendinţă, utilizând aceleaşi variabile (modificarea medie absolută, indicele mediu de creştere, parametrii funcţiei de regresie);

- în ipoteza că fenomenele vor evolua în mod diferit faţă de condiţiile din perioada trecută, tendinţa se va schimba prin utilizarea unor coeficienţi aplicaţi asupra variabilelor, care pot fi:

- subunitari, în condiţiile contracţiei fenomenului respectiv; - supraunitari, în condiţiile expansiunii acestuia.

- în ipoteza că fenomenul respectiv se analizează în interdependenţă cu variaţia unor caracteristici factoriale, se determină valorile de perspectivă ale factorilor, iar valorile prognozate ale variabilei rezultative se calculează pe baza funcţiei de regresie (de modelare a corelaţiei).

În consecinţă, datorită gradului înalt de complexitate a evoluţiei fenomenelor economice şi sociale, este necesar ca pentru previziune şi prognoză să se folosească mai multe variante de calcul, solid fundamentate pe o temeinică şi riguroasă analiză economică. 8.5. Analiza sezonalităţii

Numeroase activităţi din economie (comerţ, turism, transporturi, agricultură, construcţii etc.) înregistrează o evoluţie a activităţii diferită în interiorul unui an, existând variaţii sezoniere la intervale de timp mai scurte (trimestre, luni. săptămâni, chiar zile). Aceste oscilaţii periodice, pe perioade subanuale, se repetă cu relativă exactitate de la o perioadă de observare la alta.

Pentru a diminua la maximum influenţa factorilor întâmplători, accidentali asupra sezonalităţii se recomandă utilizarea informaţiilor referitoare la un anumit fenomen, structurate pe luni ale anului sau cel mult pe trimestre, pe o perioadă de 3-5 ani consecutive.

Să considerăm o serie cronologică privind sosirile trimestriale ale turiştilor la o unitate de cazare turistică dintr-o zonă montană (Tabelul 8.1). Condiţiile climaterice, ca rezultat al schimbării anotimpurilor şi al sărbătorilor de iarnă, relevă faptul că numărul turiştilor este mai mane în trimestrele III şi IV, dar se reduce semnificativ în trimestrul I, dar mai ales în trimestrul II.

Tabelul 8.1 Sosirile trimestriale de turişti la hotelul X în perioada 2003 – 2006

Anii Trimestre

I II III IV 2003 900 600 1900 1400 2004 910 650 2000 1450 2005 990 680 2070 1520 2006 1030 700 2150 1550 Total 3830 2630 8120 5920

Reprezentarea grafică a acestei serii cronologice trimestriale ne permite să vizualizăm oscilaţiile sezoniere.

500

600700800900

1000110012001300140015001600170018001900200021002200

I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV2003 2004 2005 2006

numar sosiri turisti

Fig. 8.1. Sosiri trimestriale de turişti la hotelul X în perioada 2003–2006

În situaţia unei serii cronologice cu variaţii sezoniere, determinarea tendinţei pe termen lung se realizează printr-o metodă specifică, metoda mediilor mobile.

Mediile mobile sau glisante se obţin prin înlocuirea treptată a valorilor (termenilor) empirice sau reale, cu medii parţiale calculate din termenii seriei.

De exemplu, în cazul nostru avem 16 termeni, corespunzător celor 4 trimestre, ale celor 4 ani.

Printr-o analiză calitativă a periodicităţii cu care se produce variaţia fenomenului se stabileşte numărul termenilor din care se calculează mediile mobile.

Dacă o oscilaţie completă se realizează la un număr impar de termeni (de exemplu 3 termeni), mediile mobile ( iy ) se calculează ca medie aritmetică simplă a 3 termeni consecutive:

3321

1yyy

y++

3432

2yyy

y++

…

312

1nnn

nyyy

y++

= −−−

Ca urmare, fiecare medie mobilă se plasează în dreptul termenului cu poziţia mediană în

grupul celor 3 termeni, după schema următoare:

În cazul exemplului prezentat în Tabelul 8.1 şi Figura 8.1 se observă că o oscilaţie completă se

realizează după 4 termeni (corespunzător celor 4 trimestre). Ca urmare, dacă o oscilaţie completă se realizează la un număr par de termeni, se parcurg două etape:

a. Se calculează mediile mobile provizorii (de exemplu din 4 termeni):

44321

1yyyy

y+++

45432

2yyyy

y+++

…

4123

2nnnn

nyyyy

y+++

= −−−−

Mediile mobile provizorii se situează între cei 2 termeni care au poziţie mediană în grupul celor 4 termeni care participă la determinarea mediei, motiv pentru care acestea trebuie centrate.

b. Se calculează mediile mobile centrate ( iy ) ca medie aritmetică simplă a două medii mobile provizorii:

221

yyy

232

yyy

…

y1 y2 y3 y4 yn-2 yn-1 yn

y 1 y 2 y 3 y n-2 y n-1

223

3−−

−

+= nn

yyy

Mediile mobile elimină influenţa variaţiei sezoniere şi a factorilor accidentali (reziduali),

evidenţiind evoluţia fenomenului produsă numai sub influenţa factorilor obiectivi, cu acţiune sistematică de lungă durată (tendinţa).

În exemplul anterior, pentru calcularea tendinţei pe termen lung, folosind metoda mediilor mobile din 4 termeni (la câţi se manifestă o oscilaţie completă), putem sistematiza datele în tabelul următor:

Calculul mediilor mobile Tabelul 8.2

Anul Trimestrul Perioada t

Număr turişti

Mediile mobile Provizori

i y

Centrate y

1 2 3 4 5 6 2003 I 1 900

II 2 600 1200

III 3 1900 1202 1203

IV 4 1400 1209 1215

2004 I 1 910 1228 1240

II 2 650 1246 1253

III 3 2000 1263 1273

IV 4 1450 1277 1280

2005 I 1 990 1289 1298

II 2 680 1307 1315

III 3 2070 1320 1325

IV 4 1520 1328 1330

2006 I 1 1030 1340 1350

II 2 700 1354 1358

y 1 y 2 y 3 y n-4 y n-3 y 4 y n-2

y 1 y 2 y 3 y n-4 y n-3

III 3 2150

IV 4 1550 0 Se observă faptul că determinarea tendinţei prin metoda mediilor mobile conduce la o

anumită pierdere de informaţii. Astfel, pentru primii şi ultimii termeni ai seriei cronologice nu se pot calcula valori ajustate (medii mobile). În exemplul anterior, seria reală (yt) cuprinde 16

termeni, în timp ce seria ajustată ( y ) este alcătuită din numai 12 termeni. Reprezentarea grafică următoare ilustrează în mod clar modul în care mediile mobile permit

determinarea tendinţei de lungă durată, prin eliminarea oscilaţiilor sezoniere şi asigurarea netezirii seriei cronologice.

Fig. 8.2. Determinarea tendinţei folosind mediile mobile Pentru caracterizarea componentei sezoniere şi, implicit, cuantificarea efectului sezonier se

poate apela la cele două modele: 1. modelul aditiv

RSTt yyyy ++=

2. modelul multiplicativ RSTt yyyy ⋅⋅=

În cazul modelului aditiv se calculează devierile sezoniere, care măsoară abaterile fiecărui

sezon de la trend. În acest scop se parcurg următoarele etape: 1. Se elimină din valorile reale ale seriei cronologice (yt) componenta de trend (yT),

determinată prin metoda mediilor mobile:

RSTt yyyy +=− unde:

yyT = (calculat în Tabelul 8.9) Calculele se realizează pe baza datelor din Tabelul 8.9

ttTt yyyy −=− = 1900 – 1202 = 698 1400 – 1209 = 191 910 – 1228 = - 318 … 700 – 1354 = - 654

1100

1150

1200

1250

1300

1350

1400

I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV2003 2004 2005 2006

numar sosiri turisti

Rezultatele obţinute - ce cuprind componenta sezonieră şi componenta reziduală - se sistematizează în tabelul următor:

Tabelul 8.3. Determinarea devierilor sezoniere

Anii Trimestrul

Suma I II III IV 2003 - - 698 191 - 2004 -318 -596 737 173 - 2005 -299 -627 750 192 - 2006 -310 -654 -

Media -309 -625,7 728,3 185,3 -21,1 Devierea sezonier

ă -304 -621 734 191 0

2. Pentru fiecare trimestru (sezon) în parte se calculează media abaterilor obţinute în etapa 1. Prin

calculul mediilor se înlătură cea mai mare parte din variaţiile reziduale (aleatoare):

- pentru trimestrul I: ( ) ( )

3093

310299318−=

−+−+−

- pentru trimestrul II: ( ) ( )

76253

654627596,−=

−+−+−

- pentru trimestrul III: 37283

750737698,+=

- pentru trimestrul IV: 31853

192173191,+=

3. Suma devierilor sezoniere, pentru toate trimestrele, trebuie să fie egală cu 0. Cum suma mediilor

abaterilor calculate la etapa 2 este: (-309) + (-625,7) + 728,3 + 185,3 = -21,1

deci este diferită de 0, atunci se vor ajusta mediile calculate cu un factor de corecţie cu valoarea

354

121,

,−≈

−.

4. Se calculează devierile sezoniere prin corectarea mediilor determinate în etapa 2:

ys1 = -309 – (-5,3) = -303,7 ≈ -304 persoane ys2 = -625,7 – (-5,3) = -620,4 ≈ -621 persoane ys3 = 728,3 – (-5,3) = 733,6 ≈ 734 persoane ys4 = 185,3 – (-5,3) = 190,6 ≈ 191 persoane

Rezultatele obţinute ne arată că factorul sezonier deviază numărul sosirilor de turişti în trimestrul I

cu 304 persoane sub linia de trend, în trimestrul II cu 621 persoane sub trend, iar în trimestrele III şi IV cu 734, respectiv 191 persoane peste tendinţa de lungă durată.

Rezultatele finale sintetizează influenţa fiecărei componente asupra evoluţiei fenomenului: trendul, factorul sezonier şi componenta aleatoare.

Tabelul 8.4. Componentele seriei cronologice

Anul Trimestrul

Numărul turiştilor

(date efective) yt

Mediile

mobile

centrate

(tendinţa)

yyT =

Devierile sezoniere corectate

(componenta sezonieră)

Componenta aleatoare

yR = yt- yT- yS

1 2 3 4 5 6 2003 I 900 - - -

II 600 - - - III 1900 1202 +734 -36 IV 1400 1209 -191 0

2004 I 910 1228 -304 -14 II 650 1246 -621 +25 III 2000 1263 +734 +3 IV 1450 1277 +191 -18

2005 I 990 1289 -304 +5 II 680 1307 -621 -6 III 2070 1320 +734 +16 IV 1520 1328 +191 +1

2006 I 1030 1340 -304 -6 II 700 1354 -621 -33 III 2150 - - - IV 1550 - - -

Întrebări teoretice:

1. Cum definici o serie cronologică? 2. Cum se repreyintă grafic o serie cronologică? 3. Prezentaţi indicatorii absoluţi ce caracterizează o serie cronologică? 4. Care sunt componentele unei serii cronologice? 5. Ce reprezintă ajustarea seriei cronologice? 6. Cum se determină trendul unei SCR, folosind metode mecanice. 7. Descrieţi metoda mediilor mobile 8. Cum se determină indicele de modificare a unei variabile statistice?

Aplicaţii propuse:

1. Se cunosc următoarele date despre evoluţia tricotajelor din bumbac produse în România în perioada 1993-2004:

Anul 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Tricotaje

bumbac (mil. buc.)

27 19 16 16 14 8 7 7 6 8 6 6

Se cere: a) să se precizeze tipul seriei cronologice şi să se reprezinte grafic; b) să se caracterizeze evoluţia producţiei de tricotaje a României cu ajutorul

indicatorilor: - absoluţi; - relativi; - medii;

c) să se ajusteze seria cronologică pe baza metodelor mecanice şi analitice şi să se precizeze care este cea mai bună metodă de ajustare;

d) să se extrapoleze seria pentru anii 2005 şi 2006. 2. Se cunosc următoarele date privind stocurile de produse aflate în depozitele unei

societăţi:

Data 01.01 01.02 01.03 31.03 15.05 01.06 01.09 31.12 Stocul de produse

(kg) 100 80 60 70 90 110 100 90

Se cere: a) să se precizeze tipul seriei cronologice şi să se reprezinte grafic seria; b) să se determine stocul mediu pe tot anul; c) să se determine stocul mediu de produse pentru primul trimestru al anului. 3. Se cunosc următoarele date referitoare la numărul medicilor stomatologi din

România în perioada 2000-2004:

Anul Numărul medicilor* 2000 2001 2002 2003 2004

8.307 8.694 8.830 9.447 9.907

Notă: * la sfârşitul anului Se cere: a) să se precizeze tipul seriei cronologice şi să se reprezinte grafic; b) să se calculeze indicatorii seriei cronologice; c) să se determine trendul pe baza metodelor mecanice şi analitice; d) să se extrapoleze seria pentru anul 2005. 4. Se cunosc următoarele date referitoare la numărul de turişti sosiţi într-o staţiune

montană în perioada 2004-2006:

Perioada Numărul de turişti

2004 – trim. I - trim. II - trim. III - trim. IV

400 320 380 450

Serii cronologice

2005 – trim. I - trim. II - trim. III - trim. IV

2006 – trim. I - trim. II - trim. III - trim. IV

420 360 400 450 440 400 420 500

Se cere: a) să se reprezinte grafic seria cronologică; b) să se determine abaterile (modificările) sezoniere şi indicii (coeficienţii)

sezonieri; c) să se determine trendul pentru seria desezonalizată; d) să se extrapoleze seria pentru primele două trimestre din anul 2007 folosind cea

mai bună metodă de ajustare.

MODULUL 9

Tema METODA INDICILOR

Obiective Asimilarea metodei indicilor şi înţelegerea rolului acestora.

Finalitate – Competenţe dobândite

Dobândire de cunoştinţe privind indicii. Capacitatea de a înţelege indicii individuali şi indicii de grup. Dobândirea de cunoştinţe privind calculul şi interpretarea indicilor.

Mijloace & Studiu individual

F Definiţii de reţinut

@ Identificare răspunsurilor la întrebări

K Rezolvarea problemelor propuse

Evaluare Calitatea şi completitudinea răspunsurilor la întrebări şi a modului de rezolvare a problemelor propuse

Timp de

lucru

necesar

Parcurgerea şi înţelegerea problematicilor prezentate: 4 ore

Rezolvarea problemelor propuse: 3 ore

Formularea răspunsurilor la întrebări: 1 oră

MODULUL 9

METODA INDICILOR

9.1. Noţiuni generale 9.2. Indicii individuali (elementari) 9.3. Indicii sintetici (de grup)

9.4. Evoluţia nominală şi evoluţia reală a indicatorilor valorici de rezultate 9.1. Noţiuni generale

Metoda indicilor face parte dintre metodele de analiză factorială prin care se măsoară variaţia în timp şi în spaţiu a unui fenomen complex, în funcţie de modificarea factorilor de influenţă.

În scopul înţelegerii conţinutului şi utilizării corecte a acestei metode sunt necesare o serie de precizări:

A. Indicii9 sunt mărimi relative calculate ca rapoarte (procentuale) sub trei forme: - indicii dinamicii, care compară variaţia unui indicator (Y ) între două perioade (momente) diferite de timp, de regulă, între perioada curentă (1) şi perioada de bază (0):

⇒⋅= )(YY

I / 1000

101 variaţia în timp

- indicii teritoriali (spaţiali), care compară variaţia unui indicator (Y ) între două unităţi teritoriale diferite ( A şi B ):

⇒⋅= )(YY

AB/A 100 variaţia în spaţiu

- indicii programului, care compară nivelurile prevăzute a fi realizate ( prY ), cu nivelurile

efectiv înregistrate ( 0Y sau 1Y ):

)(Y

YI pr

/pr 1000

0 ⋅=

)(YY

Ipr

pr/ 10011 ⋅=

În continuarea acestui capitol, metoda indicilor va fi prezentată numai cu referire la indicii dinamici.

B. Metoda indicilor se aplică în cazul fenomenelor (variabilelor) complexe (Y ), aflate sub influenţa mai multor factori:

- dintre care cel puţin unul este factor de natură calitativă ( X ) şi cel puţin unul de natură cantitativă ( f ); - între care există o relaţie multiplicativă; ca urmare fenomenul complex (Y ) poate fi scris ca un produs al factorilor de influenţă.

Cel mai simplu model este cel cu 2 factori de influenţă:

9 Vezi Capitolul 3 – Indicatorii relativi.

fXY ⋅=

Exemple de astfel de variabile complexe sunt: - cifra de afaceri - CA (sau alt indicator valoric de rezultate), care este rezultatul acţiunii a

doi factori: = preţul (tariful) - p , ca factor calitativ; = cantitatea vândută - q , ca factor cantitativ.

qpCA ⋅=

- valoarea producţiei - P , care este rezultatul acţiunii a doi factori: = productivitatea muncii - W , ca factor calitativ; = numărul mediu al angajaţilor - L , ca factor cantitativ.

LWP ⋅=

- fondul de salarii - FS , care este rezultatul acţiunii a doi factori: = salariul mediu - s , ca factor calitativ; = numărul mediu al salariaţilor - N , ca factor cantitativ.

NsFS ⋅=

- numărul înnoptărilor în unităţile de cazare turistică - N , care este rezultatul acţiunii a doi factori:

= durata medie a şederii (sejurului) - d , ca factor calitativ; = numărul sosirilor de turişti - T , ca factor cantitativ.

TdN ⋅=

Ceea ce este esenţial în cazul metodei indicilor, este faptul că indicele fenomenului complex ( YI ) este egal cu produsul celor doi indici ai factorilor ( XI şi fI ):

fXY III ⋅=

C. Metoda indicilor se aplică pe două trepte de agregare:

- la nivelul unei unităţi statistice (nivel de element), de exemplu al unei unităţi de cazare, caz în care:

fXY ⋅= , iar indicii calculaţi sunt indici individuali ( 01 /i ):

101 fX

fXYY

i / ⋅⋅

- la nivelul colectivităţii statistice (nivel de grup), de exemplu al unui lanţ hotelier sau la nivelul întregii activităţi de cazare din economia naţională, caz în care:

fXY ⋅=∑∑ , iar indicii calculaţi sunt indici sintetici ( 01 /I ):

∑∑

⋅⋅

==00

101 fX

fXYY

I /

D. Metoda indicilor constituie un mijloc de analiză factorială prin care se explică variaţia unei variabile (Y ) în funcţie de modificările intervenite în variabilele considerate factori de influenţă ( X şi f ). 9.2. Indicii individuali (elementari)

Se calculează la nivelul unei unităţi statistice, cu activitate omogenă, pentru care nivelul fenomenului complex (Y ) este produsul celor doi factori ( X şi f ):

fXY ⋅= Sistemul de indici (modificări relative) şi modificări absolute cuprinde următoarele elemente:

1.- modificarea fenomenului complex:

101 fX

fXYY

iY/ ⋅

⋅==

00110101 fXfXYYY/ ⋅−⋅=−=∆

2.- modificarea fenomenului complex pe seama modificării factorului calitativ X , se

determină prin menţinerea constantă a factorului cantitativ f , la nivelul din perioada curentă ( 1f ):

)X(Y/ i

fXfX

i 0110

1101 =

⋅⋅

1011011011 ff)XX(fXfX X/

)X(Y ⋅∆=⋅−=⋅−⋅=∆

3.- modificarea fenomenului complex pe seama modificării factorului cantitativ f , se determină prin menţinerea constantă a factorului calitativ X , la nivelul din perioada de bază ( 0X ):

)f(Y/ i

fXfX

i 0100

1001 =

⋅⋅

)f(Y X)ff(XfXfX 0100100010 ∆⋅=−=⋅−⋅=∆

Între cele trei tipuri de modificări există următoarele relaţii de legătură: - în cazul modificărilor relative, indicele fenomenului complex este egal cu produsul

indicilor factorilor:

10101010101 Y

Yff

iiiii f/

)f(Y/

)X(Y/

Y/ =⋅=⋅=⋅=

- în cazul modificărilor absolute, modificarea fenomenului complex este egală cu suma

modificărilor pe baza celor doi factori:

01001100101011010101 YYfXfX)fXfX()fXfX()f(Y/

)X(Y/

Y/ −=⋅−⋅=⋅−⋅+⋅−⋅=∆+∆=∆

Un exemplu va clarifica modalităţile de calcul şi analiză ale indicatorilor prezentaţi.

Pentru lunile iunie şi iulie ale anului 2006 se cunosc următoarele informaţii înregistrate la nivelul unei structuri de cazare turistică situată în zona litorală:

Tabelul 9.1. Indicatorul Iunie 2006 Iulie 2006

Tarif pe loc de cazare (t) – lei 30 50 Număr înnoptări (N) 4000 3000

Pentru analiza evoluţiei cifrei de afaceri realizată în cele două luni şi a influenţei factorilor se apelează la următorul model de calcul:

NtCA ⋅= ,

pe baza căruia se determină CA realizată în perioada de bază 0 (luna iunie 2006) şi în perioada curentă 1 (luna iulie 2006).

120000400030000 =⋅=⋅= NtCA lei 150000300050111 =⋅=⋅= NtCA lei

Sistemul de indici şi modificări absolute este următorul:

- modificarea CA pe seama ambilor factori:

251120000150000

101 ,

NtNt

CACA

iCA/ ==

⋅⋅

== sau 125 %

300001200001500000101 +=−=−=∆ CACACA

/ lei

- modificarea CA influenţată numai de factorul calitativ (tariful), factorul cantitativ fiind menţinut constant la nivelul din perioada curentă10:

667190000

1500001

1101 ,

CACA

NtNt

)t(CA/ ===

⋅⋅

= sau 166,7 %

6000090000150000101 +=−=−=∆ *

)t(CA/ CACA lei

- modificarea CA influenţată numai de factorul cantitativ (numărul de înnoptări), factorul

calitativ fiind menţinut constant la nivelul din periaoda de bază:

75012000090000

000

1001 ,

CACA

NtNt

i *)N(CA/ ===

⋅⋅

= sau 75 %

3000012000090000001 −=−=−=∆ CACA*

)N(CA/ lei

Relaţiile de legătură între indicatori sunt:

10 CA* reprezintă cifra de afaceri care s-ar fi realizat dacă se practicau tarifele din perioada de bază, iar numărul

înnoptărilor ar fi fost cel din perioada curentă.

7506671251010101 ,,,iii )N(CA/

)t(CA/

CA/ ⋅=⇔⋅=

300006000030000010101 −+=+⇔∆+∆=∆ )N(CA

/)t(CA

/CA

/ În concluzie, rezultă că cifra de afaceri a crescut în luna iulie 2006 comparativ cu luna iunie 2006 cu 25 %, respectiv cu 30 mii lei. Influenţele celor doi factori cu fost de natură diferită:

- creşterea tarifelor cu 66,7 % ar fi trebuit să conducă la o majorare a cifrei de afaceri cu 60 mii lei;

- reducerea numărului înnoptărilor (cu 25 %), cu siguranţa şi ca urmare a creşterii tarifelor, dar şi a altor factori, a avut o influenţă negativă (-30 mii lei).

Un alt exemplu poate avea în vedere analiza evoluţiei numărului de înnoptări (N) în funcţie de factorii săi de influenţă:

- durata medie a sejurului (d) în zile; - numărul sosirilor de turişti (T).

Din evidenţele primare ale aceleiaşi unităţi de cazare turistică se cunosc următoarele informaţii:

Tabelul 9.2. Indicatorul Iunie

2006 Iulie 2006

Numărul înnoptărilor (N) 4000 3000 Număr sosiri de turişti (T) 800 750

Pentru început se calculează durata medie a sejurului în cele două perioade:

58004000

00 ===

d zile

4750

3000

11 ===

d zile

În continuare se calculează sistemul de indici şi modificări absolute ce are la bază relaţia:

TdN ⋅=

- modificarea numărului de înnoptări pe seama ambilor factori:

75040003000

101 ,

i N/ === sau 75 %

1000400030000101 −=−=−=∆ NNN

/ înnoptări

- modificarea numărului de înnoptări sub influenţa duratei medii a sejurului:

800375030001

1101 ,

TdTd

)d(N/ ===

⋅⋅

= sau 80 %

75037503000101 −=−=−=∆ *)d(N

/ NN înnoptări

- modificarea numărului de înnoptări sub influenţa numărului de sosiri ale turiştilor:

9375040003750

000

10101 ,

TdTd

i *)T(N/ ===

⋅⋅

= sau 93,75 %

25040003750001 −=−=−=∆ NN*

)T(N/ înnoptări

În concluzie, numărul de înnoptări s-a redus cu 25 %, respectiv 1000 înnoptări. Ambii

factori au avut o influenţă negativă: reducerea duratei medii a sejurului cu 20 %, explică reducerea numărului de înnoptări cu 750, în timp ce numărul sosirilor de turişti s-a micşorat cu 6,25 %, influenţând numărul înnoptărilor în sensul reducerii acestora cu 250.

Ca urmare, sistemul de indici şi modificările absolute poate fi sintetizat în următoarele relaţii de legătură:

937508007500101010101 ,,,iiiii T/

)T(N/

)d(N/

N/ ⋅=⇔⋅=⋅=

)()()T(N

/)d(N

/ 2507501000010101 −+−=−⇔∆+∆=∆

9.3. Indicii sintetici (de grup) Să presupunem că analiza de la punctul 9.2 (Tabelul 9.1) se doreşte a se efectua în cazul a două structuri de cazare turistică A (cu datele din Tabelul 9.1.) şi B.

Tabelul 9.3. Structura de

cazare turistică

Tarif pe loc de cazare (t) - lei

Număr de înnoptări (N)

Cifra de afaceri (CA) - lei

iunie 2006

iulie 2006

iunie 2006

iulie 2006

iunie 2006

iulie 2006

A 30 50 4000 3000 120000 150000 B 30 40 5000 10000 150000 400000

Total 30 42,3 9000 13000 270000 550000

Dintre cei trei indicatori, numai cifra de afaceri şi numărul de înnoptări sunt însumabili. Tariful pe loc de cazare la nivelul celor două unităţi de cazare turistică este un indicator mediu

(neînsumabil), astfel că pe rândul de “Total“ se va înregistra tariful mediu ( t ) calculat astfel:

pentru perioada de bază 309000

270000= lei

==∑∑

NCA

pentru perioada curentă 34213000550000

,= lei

Pentru a realiza analiza evoluţiei cifrei de afaceri pe ansamblul celor două structuri de cazare turistică şi a influenţei factorilor se utilizează următorul model de calcul:

∑ ∑ +=⋅+⋅=⋅= BABBAA CACANtNtNtCA

În mod asemănător metodei de descompunere factorială prezentată anterior se calculează sistemul de indici şi modificări absolute pe ansamblul celor două structuri de cazare turistică.

Deci, suntem în situaţia în care între fenomenul complex ∑Y şi factorii de influenţă X şi

f există relaţia: fXY ⋅=∑∑

Pentru calculul indicelui agregat al fenomenului complex se utilizează relaţia:

∑∑

⋅⋅

==∑00

101 fX

fXYY

prin care se cuantifică modificarea fenomenului complex în funcţie de variaţia ambilor factori.

În scopul calculării indicilor agregaţi ai fiecărui factor se apelează la metoda substituţiei în lanţ, care se bazează pe următoarea regulă: pentru evidenţierea evoluţiei şi influenţei unui singur factor, celălalt factor va fi menţinut constant (fie la nivelul din perioada de bază, fie la nivelul din perioada curentă). În mod uzual se utilizează următoarea schemă:

- indicele agregat al factorului calitativ se determină prin menţinerea constantă a factorului cantitativ la nivelul din perioada curentă:

∑∑

⋅⋅

== ∑10

fXfX

II )X(YX (indice de tip Laspeyres)

- indicele agregat al factorului cantitativ se determină prin menţinerea constantă a

factorului calitativ la nivelul din perioada de bază:

∑∑

⋅⋅

== ∑00

fXfX

II )f(Yf (indice de tip Paasche)

Pe baza datelor din Tabelul 9.3. se calculează:

- modificarea CA pe seama ambilor factori:

0372270000550000

101 ,

NtNt

CACA

ICA

/ ==⋅⋅

==∑∑

∑∑∑ sau 203,7 %

∑ ∑ +=−=−=∆∑ 2800002700005500000101 CACACA

/ lei

- modificarea CA influenţată numai de creşterea tarifelor (factorul calitativ):

4113900005500001

110101 ,

CACA

NtNt

II*

)t(CA/

t/ ===

⋅⋅

==∑∑∑ sau 141,0 %

∑ =+=⋅+⋅=⋅ 39000030000090000100003030003010 Nt lei

(reprezintă cifra de afaceri ca s-ar fi realizat dacă numărul înnoptărilor era cel din perioada curentă, iar tarifele aplicate cele din perioada de bază)

160000390000550000101 +=−=−=∆∑ *)t(CA

/ CACA lei

- modificarea CA influenţată numai de variaţia numărului de înnoptări (factorul cantitativ):

4441270000390000

000

100101 ,

CACA

NtNt

II *)N(CA/

N/ ===

⋅⋅

==∑∑∑ sau 144,4%

120000270000390000001 =−=−=∆∑ CACA*)N(CA

/ lei

Relaţiile de legătură sunt următoarele:

44414110372010101 ,,,.III)N(CA

/)t(CA

/CA

/ ⋅=⇔⋅= ∑∑∑

120000160000280000010101 +=⇔∆+∆=∆ ∑∑∑ )N(CA/

)t(CA/

CA/

Cifra de afaceri pe ansamblul celor două structuri de cazare turistică in perioada iunie/iulie

2006 s-a dublat ( %7,203=I ), ceea ce a condus la o creştere în valori absolute de 280000 lei. Ambii factori de influenţă au acţionat în acelaşi sens, de creştere a cifrei de afaceri. Majorarea tarifelor cu 41 % a contribuit la creşterea cifrei de afaceri cu 160000 lei, în timp ce

numărul înnoptărilor au înregistrat o creştere de 44,4 %, ceea ce s-a concretizat într-o majorare suplimentară a cifrei de afaceri cu 120000 lei. 9.4. Evoluţia nominală şi evoluţia reală a indicatorilor valorici de rezultate

Analiza evoluţiei rezultatelor obţinute într-un anumit domeniu de activitate se efectuează - de regulă - prin intermediul indicatorilor valorici ( v ), care reprezintă rezultatul înmulţirii preţului ( p ), cu cantitatea ( q ) produsă sau comercializată dintr-un anumit produs11:

- la nivel elementar, al unui singur produs:

qpv ⋅=

- la nivel de ansamblu, al mai multor produse:

qpv ⋅=∑∑

Cei mai utilizaţi indicatori de rezultate în practica economică sunt:

• la nivel microeconomic (de firmă); - cifra de afaceri; - producţia realizată; - valoarea adăugată.

• la nivel macroeconomic:

11 Relaţiile sunt identice cu cele utilizate în paragrafele 9.2. şi 9.3., în cazul activităţii de cazare turistică:

NtCA ⋅=

NtCA ⋅=∑∑

unde: t = tariful, respectiv preţul;

N = numărul înnoptărilor, respectiv cantitatea.

- produsul intern brut. Pentru a cuantifica modificările intervenite de la o perioadă la alta în dinamica indicatorului respectiv se poate apela la două variante:

A. Analiza evoluţiei nominale, prin compararea (sub formă de raport sau diferenţă) a nivelurilor înregistrate în cele două perioade, evaluarea realizându-se prin intermediul preţurilor practicate în fiecare perioadă (preţuri curente – crt.). Se calculează astfel indicatorii nominali (n):

crt

crtCAn/ CA

CAqpqp

1101 =

⋅⋅

=∑∑

∑ ∑ −=⋅−⋅=∆ crtcrtCAn/ CACAqpqp 01001101

Orice analiză efectuată pe baza indicatorilor exprimaţi în preţuri curente nu poate conduce la rezultate concludente privind dinamica economiei, deoarece este influenţată şi de modificările intervenite în evoluţia preţurilor.

B. Analiza evoluţiei reale, presupune ca din mărimea indicatorilor valorici exprimaţi în preţuri

curente să se elimine influenţa modificării preţurilor bunurilor/tarifelor serviciilor, cu alte cuvinte evaluarea se realizează în preţuri comparabile – comp. În acest scop se calculează indici de preţuri ( p

/I 01 ), care exprimă modificarea preţurilor/tarifelor bunurilor şi serviciilor ce compun indicatorul respectiv, cu ajutorul cărora indicatorul din perioada curentă (evaluat în preţurile perioadei curente) se va recalcula în preţurile perioadei de bază (considerate a fi preţurile comparabile). Se obţin astfel indicatorii reali (r), neinfluenţaţi de modificarea preţurilor:

crt

comp

compCAr/ CA

CACACA

qpqp

1001 ==

⋅⋅

=∑∑

compcompCAr

/ CACA 0101 −=∆

Se observă că: ∑ ⋅== 0000 qpCACA crtcomp , tocmai pentru faptul că preţurile comparabile sunt preţurile perioadei de bază.

În relaţiile anterioare, elementul care nu este cunoscut din evidenţele firmei este compCA1 , adică cifra de afaceri realizată în perioada curentă, dar evaluată în preţurile perioadei de bază. Aceasta se calculează prin raportarea indicatorului în preţuri curente la indicele de preţuri (IP) corespunzător:

IPCA

CAcrt

comp 11 =

Să presupunem că la nivelul unei firme se cunosc următoarele informaţii: - cifra de afaceri realizată în anul 2005 (perioada de bază 0), respectiv în anul 2006

(perioada curentă 1); - ritmul de creştere a preţurilor/tarifelor bunurilor şi serviciilor produse şi/sau

comercializate.

Tabelul 9.4.

Indicatorul 2005 –

Perioada de bază 0

2006 – Perioada de

curentă 1 Cifra de afaceri (CA ) –

mil. lei preţuri curente

200

210

Creşterea preţurilor ( pR 0/1 ) –

- 20

Evoluţia nominală

051200210

101 ,

CAI

crt

crtCAn/ === sau 105 %

102002100101 +=−=−=∆ crtcrtCAn

/ CACA mil. lei

Evoluţia reală

17521

210

11 ===

,ICA

CAp/

crtcomp mil. lei

%RI p

/p/ 120100201000101 =+=+= sau 1,2

20000 == crtcomp CACA mil. lei

8750200175

101 ,

CACA

Icomp

compCAr/ === sau 87,5 %

252001750101 −=−=−=∆ compcompCAr

/ CACA mil. lei

Analiza situaţiei firmei prin prisma evoluţiei nominale reflectă un aspect pozitiv: cifra de afaceri a crescut cu 5%, respectiv cu 10 mil. lei. Analizând – însă – evoluţia reală a indicatorului respectiv (prin eliminarea influenţei creşterilor de preţuri) ajungem la concluzia că – în realitate – cifra de afaceri s-a redus cu 12,5%, respectiv cu 25 mil. lei. Întrebări teoretice:

1. Arătaţi rolul şi funcţiile indicilor în cercetarea statistică? 2. Cum clasificaţi indicii? 3. Cum se construiesc indicii agregaţi? Exemplificaţi. 4. Exemplificaţi conţinutul metodei substituţiei în lanţ. 5. Indicii calculaţi ca medie a indicilor individuali: utilizare, relaţii de calcul, exemple.

Aplicaţii propuse:

1. Se cunosc următoarele date referitoare la cantităţile vândute şi la preţurile unitare a patru produse A, B, C, D în două luni consecutive:

Produse

Cantităţi vândute (kg)

Preţul unitar (RON)

perioada de bază

perioada curentă

perioada de bază

perioada curentă

A B C D

27 31 40 15

37 40 28 30

9,00 4,90 3,65 8,10

9,25 5,20 5,00 7,70

Se cere:

a) să se calculeze indicii individuali ai valorii, volumului fizic şi preţurilor şi să se verifice relaţia dintre ei;

b) să se calculeze indicii de grup ai valorii, volumului fizic şi preţurilor şi să se verifice relaţia dintre ei;

c) să se calculeze pe total modificările absolute pentru valoare, preţuri şi volum fizic şi să se specifice care este contribuţia fiecărui factor la modificarea absolută totală a valorii.

2. Se cunosc următoarele date referitoare la patru produse A, B, C, D în două luni consecutive:

Produse

Valoarea produselor (RON)

Preţul unitar (RON)

perioada de bază

perioada curentă

perioada de bază

perioada curentă

A B C D

184 161 152 136,8

351,5 248 140 228

8,00 4,60 3,80 7,60

9,50 6,20 5,00 7,60

Se cere: a) să se calculeze indicii individuali ai valorii, volumului fizic şi preţurilor; b) să se calculeze indicii de grup ai valorii, volumului fizic şi preţurilor şi să se

verifice relaţia dintre ei; c) să se calculeze pe total modificările absolute ale valorii, volumului fizic şi

preţurilor şi să se verifice relaţia dintre ele.

3. Se cunosc următoarele date despre trei produse A, B, C în două luni consecutive:

Produse

Cantităţi vândute (kg)

Valoarea produselor (RON)

perioada de bază

perioada curentă

perioada de bază

perioada curentă

A B C

23 35 40

37 40 28

184 140 152

333 248 228

Se cere:

a) să se calculeze indicii individuali ai valorii, volumului fizic şi preţurilor; b) să se calculeze indicii de grup ai valorii, volumului fizic şi preţurilor şi să se

verifice relaţia dintre ei; c) să se calculeze pe total modificările absolute ale valorii, volumului fizic şi

preţurilor şi să se verifice relaţia dintre ele; d) să se calculeze indicii de grup ai valorii şi ai volumului fizic ca medii aritmetice

ponderate a indicilor individuali.

4. Se cunosc următoarele date cu privire la trei produse A, B, C fabricate de o firmă în lunile august şi septembrie 2007:

Produse Valoarea producţiei

(mii RON) Procentul de modificare

al preţurilor unitare (%) august septembrie

A B C

80 50 70

90 40 70

20 10 -5

Se cere: a) să se calculeze indicii individuali ai valorii, volumului fizic şi preţurilor; b) să se calculeze indicii de grup ai valorii, volumului fizic şi preţurilor; c) să se calculeze pe total modificările absolute pentru valoare, volum fizic şi

preţuri; d) ştiind că numărul personalului muncitor, pe total, a crescut în septembrie faţă de

august cu 5%, să se determine modificarea relativă a productivităţii medii a muncii.

5. Se cunosc următoarele date cu privire la două produse A, B comercializate de un

magazin în lunile august şi septembrie 2007:

Produse Valoarea vânzărilor

(mii RON) Indicii cantităţilor

vândute (%) august septembrie

A B

40 60

60 90

120 100

preţurilor.

6. La o societate comercială s-au înregistrat următoarele date cu privire la două

produse A, B în lunile august şi septembrie 2007:

Produs Structura

vânzărilor în luna septembrie

Indicii individuali ai

volumului fizic

Indicii individuali ai preţurilor

A B

0,4 0,6

1,2 1,0

1,5 2,0

Se cere:

a) să se calculeze indicii individuali ai valorii; b) să se calculeze pe total modificarea relativă a valorii, volumului fizic şi

preţurilor; c) să se calculeze pe total modificarea absolută a valorii, volumului fizic şi

preţurilor.

7. Se cunosc următoarele date cu privire la două produse A, B, fabricate de o firmă în lunile august şi septembrie 2007:

Produs

Valoarea producţiei în luna august (mii RON)

Indicii individuali ai

volumului fizic

Modificarea relativă a preţurilor unitare

(%)

A B

100 80

1,2 0,8

50 20

Se cere:

a) să se calculeze indicii individuali ai preţurilor şi ai valorii; b) să se calculeze indicii de grup ai valorii, volumului fizic şi preţurilor; c) să se calculeze modificarea absolută a valorii pe total cu evidenţierea factorilor

de influenţă; d) ştiind că numărul personalului muncitor a crescut în septembrie faţă de august cu

2%, să se determine modificarea relativă a productivităţii medii a muncii.

Top Related