Solicitarea plăcilor & a vaselor cu pereți subțiri

• Cazuri de încovoiere a plăcilor plane

• Flambajul plăcilor dreptunghiulare

• Vasele de revoluție cu pereți subțiri

Universitatea „Vasile ALECSANDRI” din Bacău - ROMÂNIA

CURS 9 – REZISTENȚA MATERIALELOR 2

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2

SOLICITĂRI PLĂCI

a) Cazul general

1. Cazuri de încovoiere a plăcilor plane

Se consideră elementul infinitezimaldin fig. alăturată, detașat dintr-oplacă plană. Pe suprafața liberă seaplică o forță distribuită 𝒑.

Pentru precizarea componentelortensiunilor, se consideră secțiunea𝐴𝐵𝐶𝐷, normală pe axa 𝑂𝑥. Cele 6componente ale forțelor internesunt:

𝑿 – forța axială, 𝒀 și 𝒁 – forțe tăietoare dirijate pe𝑂𝑦, respectiv pe 𝑂𝑧.𝑴𝒙 – moment de torsiune, 𝑴𝒚 și 𝑴𝒛 – momente

încovoietoare dirijate pe 𝑂𝑦, respectiv pe 𝑂𝑧.

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 3

SOLICITĂRI PLĂCI

Din cauza modului particular de încărcare a plăcii, unele dintre acestecomponente sunt nule. Pentru a preciza atât direcția tensiunilor cât șiplanul pe care sunt aplicate, se utilizează notația cu indici dubli, astfel:

‒ întrucât toate sarcinile sunt verticale, există doar forța tăietoare 𝑍,care se notează 𝑻𝒛𝒙 (are direcția axei 𝑂𝑧 și acționează în planul avândca normală pe 𝑂𝑥);

‒ componentele 𝑋 și 𝑌 sunt nule;

‒ sarcinile 𝑝 dau moment nul față de axa 𝑂𝑧, paralelă cu ele, deci existănumai momentele 𝑀𝑥 și 𝑀𝑦. Momentul încovoietor 𝑴𝒚 își păstrează

notația, în timp ce 𝑀𝑥 va prelua notația 𝑴𝒙𝒚, el producând eforturi

unitare tangențiale 𝝉𝒚𝒙 = 𝝉𝒙𝒚.

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 4

SOLICITĂRI PLĂCI

Astfel, componentele tensiuniiunitare pe fața 𝐴𝐵𝐶𝐷 sunt:

‒ tensiunea unitară de încovoiere𝝈𝒙, produs de către 𝑴𝒚;

‒ tensiunea unitară tangențială 𝝉𝒛𝒙,produs de către 𝑻𝒛𝒙;

‒ tensiunea unitară tangențială 𝝉𝒙𝒚,

produs de către 𝑴𝒙𝒚;

În mod analog se notează componentele tensiunilor și ale tensiunilorunitare pe celelalte fețe ale elementului.

Momentul 𝑴𝒙𝒚 , produce tensiuni unitare tangențiale 𝝉𝒚𝒙 = 𝝉𝒙𝒚 pe

elementul hașurat din planul 𝐴𝐵𝐶𝐷.

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 5

SOLICITĂRI PLĂCI

Ecuația generală a plăcilor plane

Derivând ecuațiile care descriu relațiile între tensiuni și deplasări, apoiînlocuind în prima ecuație din sistemul care descrie relațiile diferențialeîntre tensiuni, se găsește că:

𝜕4𝑤

𝜕𝑥4+ 2

𝜕4𝑤

𝜕𝑥2𝜕𝑦2+𝜕4𝑤

𝜕𝑦4=𝑝

𝐷

unde 𝑫 =𝑬𝒉𝟑

𝟏𝟐 𝟏−𝝂𝟐denumit rigiditatea la încovoiere a plăcii, unde 𝝂 este

coeficientul lui Poisson (OL = 0.3). Utilizând expresia operatorului Nabla

∇2=𝜕2

𝜕𝑥2+

𝜕2

𝜕𝑦2

ecuația generală a încovoierii plăcilor plane – denumită și ecuația SophieGermain – se scrie

𝜵𝟐 𝜵𝟐𝒘 =𝒑

𝑫

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 6

SOLICITĂRI PLĂCI

b) Încovoierea cilindrică a plăcilor plane

Placa din figură, de lungime 𝑳, lățime 𝒍, și grosime 𝒉, este simplu rezematăpe cele două laturi mari și încărcată cu o sarcină care este constantă pe olinie paralelă cu reazemele. În acest caz, placa se deformează după osuprafață cilindrică.

Încovoierea cilindrică nu esteposibilă când există sarciniconcentrate.

Studiul încovoierii cilindrice aplăcii prezintă analogie totalăcu al grinzii drepte solicitatela încovoiere. Secționândplaca prin plane paralele,normale pe axa longitudinală,se obțin grinzi de lățime egalăcu unitatea: 𝐶, 𝐴, și 𝐸.

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 7

SOLICITĂRI PLĂCI

O astfel de grindă are lungimea 𝒍, lățimea 𝒃 = 𝟏 și înălțimea 𝒉. O porțiunedin grinda 𝑨 – prezentată în figura de mai sus – este solicitată laîncovoiere pură prin aplicarea momentului 𝑴. Sub efectul momentului,grinda se curbează, fibra medie a acesteia având raza 𝝆.

Astfel, planul 𝒄𝒅 se rotește, față de 𝒂𝒃, cu un unghi 𝒅𝜽, ajungând înpoziția 𝒄′𝒅′. Lungimea fibrei 𝑬𝑭 este: ∆𝒅𝒙 = 𝐸𝐹′ = 𝒛𝒅𝜽, iar lungimeaspecifică în direcția axei 𝑂𝑥 este:

𝜺𝒙 =∆𝑑𝑥

𝑑𝑥= 𝑧

𝑑𝜃

𝑑𝑥=𝒛

𝝆

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 8

SOLICITĂRI PLĂCI

Înlocuindu-se 𝜺𝒙 și 𝜺𝒚 = 𝟎 în relațiile deformației totale după legea lui

Hooke generalizate, se obțin tensiunile:

𝝈𝒙 =𝐸𝜀𝑥

1 − 𝜈2=

𝒛𝑬

𝝆 𝟏 − 𝝂𝟐; 𝝈𝒚 =

𝜈𝑧𝐸

𝜌 1 − 𝜈2= 𝝂𝝈𝒙

iar ecuația de echivalență în secțiune devine:

𝑀 = න𝐴

𝜎𝑥𝑧𝑑𝐴 =𝐸ℎ3

12𝜌 1 − 𝜈2

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 9

SOLICITĂRI PLĂCI

Din ecuația generală a plăcilor plane se deduce că𝟏

𝝆=

𝑴

𝑫, iar pentru o

grindă având secțiunea 1 ∙ ℎ, rigiditatea la încovoiere este:

𝐸𝐼 =𝐸ℎ3

12

Ca urmare, rigiditatea unei plăci din OL are expresia:

𝑫 =𝐸ℎ3

12 1 − 𝜈2=

𝐸𝐼

1 − 𝜈2=

𝐸𝐼

1 − 0.32≈ 𝟏. 𝟏𝑬𝑰

Rezultă că atunci când este considerată placă, piesa are o rigiditate cu ≈10% mai mare decât când este considerată grindă.

Înlocuind pe 𝝆 în relațiile deformației totale, se află tensiunile unitare:

𝝈𝒙 =𝑀

𝐷∙

𝑧𝐸

1 − 𝜈2=𝟏𝟐𝒛𝑴

𝒉𝟑, respectiv 𝝈𝒚 = 𝝂𝝈𝒙

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 10

SOLICITĂRI PLĂCI

c) Încovoierea pură după două direcții normale

La încovoierea cilindrică, momentul încovoietor era uniform distribuit înlungul axei 𝑶𝒚. Când cu sunt întrunite condițiile încovoierii cilindrice,există momente încovoietoare 𝑴𝒙 și 𝑴𝒚, distribuite pe ambele axe.

Dintr-o astfel de placă se detașează un element infinitezimal, dedimensiuni 𝒅𝒙, 𝒅𝒚, 𝒉. Se ia ca plan neutru, planul 𝑵𝑵𝑵𝑵, coincizând cu𝒙𝑶𝒚. Pe fețele acestui element acționează tensiunile unitare 𝝈𝒙 și 𝝈𝒚.

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 11

SOLICITĂRI PLĂCI

Sub efectul momentelor 𝑴𝒙 și 𝑴𝒚, elementul

de volum se deformează ca în figura alăturată,liniile 𝑨𝑩 și 𝑪𝑫 fiind în planul median.

Dacă 𝜺𝒙 și 𝜺𝒚 sunt lungirile specifice pe direcțiile

axelor 𝑥 și 𝑦, iar dacă la încovoierea cilindrică s-a stabilit că

𝜀𝑥 =𝑧

𝜌

atunci, cele două lungiri specifice se pot scrie:

𝜀𝑥 =𝑧

𝜌𝑥; 𝜀𝑦 =

𝑧

𝜌𝑦

Odată cu introducerea acestor expresii în relațiile deformării totale dupălegea lui Hooke generalizată, rezultă:

𝜎𝑥 =𝑧𝐸

1 − 𝜈21

𝜌𝑥+ 𝜈

1

𝜌𝑦; 𝜎𝑦 =

𝑧𝐸

1 − 𝜈21

𝜌𝑦+ 𝜈

1

𝜌𝑥

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 12

SOLICITĂRI PLĂCI

De asemenea, se simplifică cu 𝑑𝑥, respectiv 𝑑𝑦, după care se integreazăecuațiile de echivalență în secțiuni și se obține:

𝑀𝑥 = 𝐷1

𝜌𝑦+ 𝜈

1

𝜌𝑥; 𝑀𝑦 = 𝐷

1

𝜌𝑥+ 𝜈

1

𝜌𝑦

Din ecuațiile deformării totale după legea lui Hooke generalizate, precumși din rezultatele integrării ecuațiilor de echivalență, rezultă că tensiunileunitare sunt:

𝝈𝒙 =𝟏𝟐𝒛𝑴𝒚

𝒉𝟑; 𝝈𝒚 =

𝟏𝟐𝒛𝑴𝒙𝒉𝟑

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 13

SOLICITĂRI PLĂCI

2. Flambajul plăcilor dreptunghiulare

Adesea, plăcile pot fi solicitate și prin forțe situate în planul lor median.Creșterea acestor forțe peste anumite limite poate produce flambajul sauvoalarea plăcilor.

În acest caz, se va stabili expresiasarcinii critice de flambaj a plăciisimplu rezemată pe contur,solicitată printr-o sarcină distribuită𝑵𝒙.

Astfel, se detașează un element deplacă, de lungime 𝒅𝒙 și lățime egalăcu unitatea (pe direcția 𝑂𝑦), dupăce a flambat.

Asupra elementului acționează,paralel cu axa 𝑧, sarcina 𝒒.

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 14

SOLICITĂRI PLĂCI

Ecuațiile de echilibru pe orizontală pentru elementul de placă sunt:

𝜕𝑁𝑥𝜕𝑥

= 0; 𝑞 = 𝑁𝑥𝜕𝜑

𝜕𝑥

Pe de altă parte se poate scrie că

𝜑 = −𝜕𝑤

𝜕𝑥;

𝜕𝜑

𝜕𝑥= −

𝜕2𝑤

𝜕𝑥2

Așadar,

𝒒 = −𝑵𝒙𝝏𝟐𝒘

𝝏𝒙𝟐

Prin urmare, sarcina 𝒒 are valoareade mai sus și aceasta este produsăde faptul că după flambaj sarcinile𝑵𝒙 au înclinații diferite.

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 15

SOLICITĂRI PLĂCI

Se înlocuiește 𝒑 din ecuația generală a plăcilor plane prin 𝒒 și rezultăecuația deformației plăcii după flambaj:

𝜕4𝑤

𝜕𝑥4+ 2

𝜕4𝑤

𝜕𝑥2𝜕𝑦2+𝜕4𝑤

𝜕𝑦4= −

𝑁𝑥𝜕2𝑤

𝐷𝜕𝑥2

Dacă se ia funcția 𝒘 ca o serie dublăFourier care satisface condițiile lalimită ale plăcii simplu rezemate,cea mai mică valoare a sarciniicritice este dată de relația:

𝑵𝟏𝒙𝒄𝒓 = 𝑫𝝅𝟐𝒂𝟐

𝟏

𝒂𝟐+

𝟏

𝒃𝟐

𝟐

sau

𝑵𝟏𝒙𝒄𝒓 =𝑫𝝅𝟐𝒂𝟐

𝒂𝟐𝒃𝟐∙𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

𝟐

𝝅𝟐𝒂𝟐

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 16

SOLICITĂRI PLĂCI

În relația sarcinii critice la flambaj, al doilea raport este un număradimensional ce se poate nota cu 𝒌, deci

𝑁1𝑥𝑐𝑟 = 𝑘𝜋2𝐷

𝑏2

Împărțind prin grosimea 𝒉 a plăcii, se află tensiunea unitară critică deflambaj

𝝈𝟏𝒙𝒄𝒓 = 𝒌𝝅𝟐𝑫

𝒃𝟐𝒉= 𝒌

𝝅𝟐𝑬𝒉𝟐

𝟏𝟐 𝟏 − 𝝂𝟐 𝒃𝟐

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 17

SOLICITĂRI VASE

a) Ecuația vaselor cu pereți subțiri

3. Solicitarea vaselor de revoluție cu pereți subțiri

Vasele de revoluție – recipientele axial-simetrice – cu pereți subțiri,solicitate de presiuni interioare, fac parte din categoria plăcilor curbe cugrosime foarte mică.

Dacă se consideră că peretele vasului suportă numai solicitări de întinderi,acestea se comportă ca o membrană. În această ipoteză, se spune căvasele se studiază în teoria fărămomente.

Condiția ca un astfel de vas să ia formă de revoluție este ca presiunea dininteriorul acestuia, într-un plan normal pe axă, să fie constantă. Pentru arealiza această condiție, vasul umplut cu gaz poate sta în orice poziție, pecând cel umplut cu un lichid trebuie să stea cu axa în poziție verticală.

De exemplu, un tub cilindric, umplut cu apă, are formă cilindrică dacă stăcu axa verticală, dar se ovalizează dacă stă cu axa pe orizontală.

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 18

SOLICITĂRI VASE

Se consideră un vas axial-simetric, din peretele căruia se separă unelement infinitezimal 𝑨𝑩𝑪𝑫, aflat între două cercuri paralele și douăcurbe meridiane.

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 19

SOLICITĂRI VASE

Dacă se notează cu:‒ 𝒉, grosimea peretelui vasului;‒ 𝝆𝟏, raza de curbură a suprafeței mediane a elementului, măsurată în

planul determinat de meridiane și axa de rotație;‒ 𝝆𝟐, raza de curbură a suprafeței mediane a elementului, măsurată în

planul determinat de două normale la cercul paralel;‒ 𝝈𝟏, tensiunea pe direcția meridianei;‒ 𝝈𝟐, tensiunea circumferențiară, pe direcția tangentei la cercul paralel,

atunci, ecuația de echilibru – suma forțelor pe direcția normalei dincentrul suprafeței mediane a elementului – este:

2𝜎1ℎ𝜌2𝑑𝜑2 sin𝑑𝜑12

+2𝜎2ℎ𝜌1𝑑𝜑1 sin𝑑𝜑22

= 𝑝𝜌1𝜌2𝑑𝜑1𝑑𝜑2

în care se consideră că:

sin𝑑𝜑12

≅𝑑𝜑12

; sin𝑑𝜑22

≅𝑑𝜑22

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 20

SOLICITĂRI VASE

Împărțind ecuația de echilibru cu 𝜌1𝜌2𝑑𝜑1𝑑𝜑2ℎ, rezultă ecuația luiLaplace:

𝝈𝟏𝝆𝟏

+𝝈𝟐𝝆𝟐

=𝒑

𝒉

Din ecuația de echilibru – sumaproiecțiilor forțelor pe axa vasului –și considerând presiunea constantăîn tot vasul, rezultă:

2𝜋𝑟ℎ ∙ 𝜎1 sin𝜑1 = 𝜋𝑟2𝑝,

de unde se deduce că:

𝝈𝟏 =𝑝𝑟

2ℎ sin𝜑1=𝒑𝝆𝟐𝟐𝒉

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 21

SOLICITĂRI VASE

Membrana se află în stare plană de tensiune. Tensiunile principale sunt𝝈𝟏 și 𝝈𝟐, tensiunea pe direcția grosimii vasului 𝝈𝟑 = −𝒑, la suprafațainterioară și 𝝈𝟑 = 𝟎, la suprafața exterioară. Vasele cu pereți subțiri preiaupresiuni relativ mici, motiv pentru care tensiunea 𝝈𝟑 se neglijează.

b) Vase cilindrice

Categoria vaselor cilindrice cuprinde rezervoare pentru gaze,schimbătoare de căldură, cazane cu abur, cisterne, etc. Aceste vase augeneratoarea rectilinie, raza de curbură a meridianei 𝜌1 = ∞, iar raza

cercului paralel este constantă, 𝜌2 =𝑑

2.

Introducând valorile razelor de curbură în ecuația lui Laplace și a tensiuniirezultante, se deducă că:

𝝈𝟏 =𝒑𝒅

𝟒𝒉; 𝝈𝟐 =

𝒑𝒅

𝟐𝒉din care se obține 𝒉 =

𝒑𝒅

𝟐𝝈𝒂

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 22

SOLICITĂRI VASE

c) Vase sferice

Razele de curbură ale meridianelor și cercurilor paralele sunt egale 𝝆𝟏 =𝝆𝟐 = 𝑹, tensiunile sunt egale între ele 𝝈𝟏 = 𝝈𝟐 = 𝝈, iar ecuația luiLaplace devine:

𝟐𝝈

𝑹=𝒑

𝒉,

respectiv:

𝝈 =𝒑𝑹

𝟐𝒉=𝒑𝒅

𝟒𝒉

Se observă că pentru aceleași valori 𝑝, 𝑑, ℎ, efortul unitar maxim înrecipientul sferic este jumătate din cel al recipientului cilindric.

Din acest punct de vedere, recipientul sferic este mai economic decât celcilindric. Acesta prezintă însă dezavantaje în ceea ce privește modul derezemare.

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 23

SOLICITĂRI VASE

d) Vase conice

Un recipient conic deschis, cu axa verticală este umplut cu un lichid cu

greutatea specifică 𝜸. Curbura meridianelor este𝟏

𝝆𝟏= 𝟎, generatoarea

conului fiind rectilinie. Din ecuația lui Laplace se poate calcula tensiuneacircumferențiară 𝜎2.

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 24

SOLICITĂRI VASE

Presiunea interioară, la distanța 𝑯− 𝒚 de la suprafața lichidului:

𝑝 = 𝛾 𝐻 − 𝑦 ,

iar raza de curbură 𝝆𝟐 corespunzătoare razei 𝑨𝑩, este:

𝜌2 = 𝐴𝐵 =𝐴𝐶

cos 𝛼= 𝑦

tan𝛼

cos 𝛼

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 25

SOLICITĂRI VASE

Aplicând ecuația lui Laplace, se obține:

𝜎2 =𝑝𝜌2ℎ

=𝛾 𝐻 − 𝑦 𝑦 tan𝛼

ℎ cos 𝛼= 𝑦

tan𝛼

ℎ cos 𝛼𝛾 𝐻 − 𝑦

Valoarea maximă a tensiunii 𝝈𝟐 se produce în secțiunea corespunzătoare

produsului 𝒚 𝑯 − 𝒚 maxim, adică la 𝒚 =𝑯

𝟐,

𝝈𝟐𝒎𝒂𝒙 =𝜸𝑯𝑹

𝟒𝒉𝐜𝐨𝐬𝜶

Tensiunile 𝝈𝟏, respectiv 𝝈𝟏𝒎𝒂𝒙 se pot calcula din ecuația de echilibru – sumaproiecțiilor forțelor pe direcția axei vasului – rezultând:

𝜎1 =𝑦 tan𝛼 𝐻 −

23𝑦 𝛾

2ℎ cos 𝛼, iar când 𝑦 =

3𝐻

4atunci 𝝈𝟏𝒎𝒂𝒙 =

𝟑

𝟏𝟔

𝑯𝟐𝜸 𝐭𝐚𝐧𝜶

𝒉 𝐜𝐨𝐬𝜶

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 26

SOLICITĂRI VASE

d) Flambajul prin compresiunea tuburilor cilindrice lungi

Dacă un tub de lungime mare, este comprimataxial cu p presiune 𝑝 uniform distribuită pe cerculde rază 𝑅, se poate aplica formula lui Euler

𝑷𝒄𝒓 = 2𝜋𝑅𝑝𝑐𝑟 =𝝅𝟑𝑹𝟑𝒉𝑬

𝒍𝒇𝟐

Dacă 𝑅 este raza medie a cilindrului, iar ℎ grosimeasa, valoarea critică a presiunii este:

𝒑𝒄𝒓 =𝑬𝝅𝟐𝑹𝟐𝒉

𝟐𝒍𝒇𝟐

În cazul de față, presiunea 𝒑𝒄𝒓 se măsoară în𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2.