Clasa a X-a Algebra - 1
Cap. III : PROGRESII
Progresii
Definitia ssiirruulluuii :
- Se numeste sir de numere reale o aplicatie :
R N : f , anf n , N n
- sirul f se scrie : an n 0 sau an Nn
care are termenii :
an n 0 : aaaaaa nnn , , , ........ , , , 12210
unde : an = termenul general al sirului .
Definirea uunnuuii ssiirr :
Exista mai multe posibilitati de a descrie un sir :
1). Printr-o regula de calcul : in acest caz este necesara o exprimare analitica pentru termenul
de rang n , an , care sa permita calcularea oricarui termen al sirului .
Exemplu :
12
n
nan , n 0 sau nnan
23 , n 0 , etc.
2). Prin mai multe reguli de calcul : ca de exemplu
impar daca ,
par daca , 1
2n
nn
nxn n 0
3). Printr-o relatie de recurenta : un termen al sirului se exprima in functie de unul sau mai
multi termeni precedenti .
Pentru a determina bine elementele sirului trebuie dati unul sau mai multi termeni.
Exemplu :
1 , 1 , 100 aaaa nnn n
, n 0 ;
xxxx nnn n 3 , 2 , 100
, n 0 .
Clasa a X-a Algebra - 2
Cap. III : PROGRESII
Progresii
Definitia pprrooggrreessiieeii AArriittmmeettiiccee :
- Fie sirul an n 1 cu termenii sai : a1 , a2 , a3 , … , an ;
- Un sir de numere in care fiecare termen , incepand cu al doilea , se obtine din cel precedent
prin adaugarea aceluias numar r , sa numeste progresie aritmetica .
- Avem relatia :
raa nn 1
unde : r = este un numar constant pentru sirul dat ;
r = ratia progresiei aritmetice .
- Asadar pentru a proba ca sirul an n 1 este progresie aritmetica trebuie aratat ca diferenta a
doi termeni consecutivi an 1 , an este constanta :
constant1 aa nn , 2 n
Observatii :
1). - Sa observam ca daca se cunosc primul termen a1 si ratia r pentru progresia
aritmetica , atunci aceasta este bine determinate , in sensul ca se pot determina toti termenii acesteia :
raa 12
raraa 2123 e.t.c. .
2). - Ca si concluzie :
orice problema cu progresie aritmetica poate fi reformulate cu ajutorul lui a1 si r .
3). - Faptul ca sirul an este o progresie aritmetica se marcheaza prin :
a1 , a2 , a3 , … , an …
4). - Se spune ca numerele a1 , a2 , a3 , … , an sunt in progresie aritmetica daca sunt
termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice .
Clasa a X-a Algebra - 3
Cap. III : PROGRESII
Progresii
Proprietatea 1 : MMoonnoottoonniiaa :
-- Progresia aritmetica an n 1 este un sir :
- strict crescator , daca ratia 0r ;
- strict descrescator , daca 0r .
Proprietatea 2 : FFoorrmmuullaa tteerrmmeennuulluuii ggeenneerraall :
-- Daca sirul an este o progresie aritmetica avand primul termen a1 si ratia r , atunci
termenul general an are forma :
rnaan 11 , 1 n .
Proprietatea 3 :
-- Sirul an n 1 este o progresie aritmetica daca si numai daca orice termen al sau ,
incepand cu al doilea , este media aritmetica a termenilor vecini lui , adica daca :
2
11 aaa
nn
n
, 2 n .
Proprietatea 4 :
-- Daca numerele a1 , a2 , a3 , … , an 1 , an sunt in progresie aritmetica , atunci :
aaaaaa knknn 1121 ..... , nk ,1 .
- Suma oricaror doua numere egal departate de numerele extreme aa knk 1 este egala
cu suma numerelor extreme aa n1 .
Proprietatea 5 : SSuummaa pprriimmiilloorr nn tteerrmmeennii :
-- Daca sirul an este o progresie aritmetica atunci :
naa
aaaSn
nn
2
.....1
21 , 1 n .
Clasa a X-a Algebra - 4
Cap. III : PROGRESII
Progresii
- Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice este egala cu produsul dintre
semisuma termenilor extremi si numarul termenilor sumei .
Observatii :
1). Suma S n se poate exprima in functie de primul termen a1 si ratia r astfel :
2
12 1 nrnaS n
.
2). Sa observam ca termenul general an se poate exprima cu ajutorul sumelor S n , mai
précis :
SSa nnn 1 , 2 n .
Clasa a X-a Algebra - 5
Cap. III : PROGRESII
Progresii
Exercitiul nr. 1 :
Sa se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice (an) , daca :
a). 2 , 71 ra ; b). 5 , 31 ra ; c). 3,0 , 3,1 21 aa ; d). 5
1 ,
7
221 aa .
Exercitiul nr. 2 :
Sa se gaseasca primii doi termeni ai progresiei aritmetice (bn) data astfel :
a). ; ... , 27 , 21 , 15 , , 21 bb b). ; ... , 5 , 2- , 9- , , 21 bb .
Exercitiul nr. 3 :
Daca se cunosc doi termeni ai unei progresii aritmetice (cn) :
a). ; , , gaseasca se sa , 13 si 7 152952 ccccc
b). ; , , gaseasca se sa , 20 si 40 19716208 ccccc .
Exercitiul nr. 4 :
Intr-o progresie aritmetica (an) se cunoaste a1 si r . Sa se gaseasca an daca :
a). ; 12 , 5,0 , 21 nra b). ; 19 , 5,1 , 31 nra
c). ; 50 , 2 , 5,21 nra d). . 25 , 3
1 ,
7
31 nra
Exercitiul nr. 5 :
Sa se gaseasca primul termen a1 al unei progresii aritmetice , daca :
a). ; 12 , 13110 ra b). ; 5 , 12552 ra
c). ; 3 , 0200 ra d). ; 5,0 , 5,1344 ra .
Exercitiul nr. 6 :
Sa se gaseasca primul termen si ratia unei progresii aritmetice , daca :
a). ; 60 , 27 275 cc b). ; 47 , 74 7447 cc
c). ; 92 , 0 6620 cc d). ; 21 , 42 31071 aaaa
Clasa a X-a Algebra - 6
Cap. III : PROGRESII
Progresii
e). ; 28 , 16 5142 aaaa f). ; 3 , 8 3510 SSS .
Exercitiul nr. 7 :
Sirul (yn) este dat prin formula termenului al n-lea :
a). ; 52 nyn
b). ; 710 nyn
Sa se demonstreze ca sirul (yn) este o progresie aritmetica . Sa sa gaseasca primul termen al sau si ratia
Exercitiul nr. 8 :
Sa se gaseasca suma primilor 100 de termeni ai unei progresii aritmetice (an) , daca :
a). ; 150 , 10 1001 aa b). ; 5,7 , 5,5 1001 aa
c). ; 5 , 21 ra d). ; 1 , 11 ra .
Exercitiul nr. 9 :
Cunoscand suma Sn a primilor n termeni ai unei progresii aritmetice (an) , sa se gaseasca
a). primii cinci termini ai progresiei , daca : nn
S n 4
2
;
b). primul termen si ratia progresiei , daca : nnS n 322 .
Exercitiul nr. 10 :
Sa se resolve ecuatiile :
a). 280.....1371 x ; b). 15528.....741 xxxx .
Exercitiul nr. 11 :
Sa se gaseasca suma primilor douazeci de termeni ai unei progresii aritmetice , daca :
20151296 aaaa
Exercitiul nr. 12 :
Este progresie aritmetica un sir , pentru care suma primilor n termeni ai sai este data de
formula :
a). nnS n 22 ; b). 114
2 nS n ;
c). 17 nS n ; d). 32 nnS n .
Clasa a X-a Algebra - 7
Cap. III : PROGRESII
Progresii
Exercitiul nr. 13 :
Intr-o progresie aritmetica avem S10 = 100 , S30 = 900. Sa se gaseasca S50 .
Exercitiul nr. 14 :
Suma primilor n termeni ai unui sir oarecare (bn) este data de formula Sn = n2 – 2n + 5
Sa se gaseasca primii patru termeni ai acestui sir .Este acest sir o progresie aritmetica ?
Exercitiul nr. 15 :
Sa se demonstreze ca numerele urmatoare sunt in progresie aritmetica :
a).
0,1 , 1
1 ,
2
1 ,
1
2
xx
xx
ax
x
ax
x
a ;
b). bababababa222222
2 , , 2222
.
Exercitiul nr. 16 :
Sa se demonstreze ca daca numerele a , b , c sunt in progresie aritmetica , atunci si
numerele urmatoare sunt in progresie aritmetica :
a). abccabbca 222 , , ; b). babaacaccbcb222222 , , .
Exercitiul nr. 17 :
Sa se demonstreze ca daca numerele a2 , b2 , c2 sunt in progresie aritmetica , atunci si
numerele urmatoare sunt in progresie aritmetica :
a). baaccb
1 ,
1 ,
1 ; b).
ba
c
ac
b
cb
a
, , .
Clasa a X-a Algebra - 8
Cap. III : PROGRESII
Progresii
Definitia pprrooggrreessiieeii GGeeoommeettrriiccee :
- Fie sirul bn n 1 cu termenii sai : b1 , b2 , b3 , … , bn , cu conditia 01b ;
- Un sir de numere in care fiecare termen , incepand cu al doilea , se obtine din cel precedent
prin inmultirea cu acelasi numar 0q , sa numeste progresie geometrica .
- Avem relatia :
qbb nn 1 , 2n
unde : 0q = este un numar constant pentru sirul dat ;
q = ratia progresiei geometricee .
- Asadar pentru a proba ca sirul bn n 1 este progresie geometrica trebuie aratat ca raportul a
doi termeni consecutivi bn 1 , bn este constant :
b
b
n
n
1
constant , 2n
Observatii :
1). - Sa observam ca daca se cunosc primul termen b1 si ratia q pentru progresia
geometrica , atunci aceasta este bine determinata , in sensul ca se pot determina toti termenii acesteia :
qbb 12
qbqbb2
123 e.t.c. .
2). - Ca si concluzie :
orice problema cu progresie geometrica poate fi reformulata cu ajutorul lui b1 si q .
3). - Faptul ca sirul bn n 1 este o progresie geometrica se marcheaza prin :
. .
. . b1 , b2 , b3 , … , bn …
Clasa a X-a Algebra - 9
Cap. III : PROGRESII
Progresii
Proprietatea 1 : MMoonnoottoonniiaa :
-- Fie bn n 1 o progresie geometrica de ratie 0q . Daca :
- strict crescator , daca 01b si 1q : .......... 121 bbbb nn ;
- strict descrescator , daca 01b si 1,0q : .......... 121 bbbb nn .
- strict descrescator , daca 01b si 1q ;
- strict crescator , daca 01b si 1,0q .
Proprietatea 2 : FFoorrmmuullaa tteerrmmeennuulluuii ggeenneerraall :
-- Daca sirul bn n 1 este o progresie geometrica de ratie 0q , atunci termenul general
bn are forma :
qbbn
n
1
1
, 1 n .
Proprietatea 3 :
-- Sirul bn n 1 cu termeni nenuli este o progresie geometrica daca si numai daca orice
termen al sau , incepand cu al doilea avem :
bbb nnn 11
2
, 2 n .
Proprietatea 4 :
-- Daca numerele b1 , b2 , b3 , … , bn sunt in progresie geometrica , atunci :
bbbbbb knknn 1121 ..... , nk ,1 .
- Produsul oricaror doua numere egal departate de numerele extreme bb knk 1 este egala cu
suma numerelor extreme bb n1 .
Clasa a X-a Algebra - 10
Cap. III : PROGRESII
Progresii
Proprietatea 5 : SSuummaa pprriimmiilloorr nn tteerrmmeennii :
-- Daca sirul bn n 1 este o progresie geometrica de ratie 0q atunci :
1 daca ,
1 daca , 1
1
.....
1
1
21
qbn
qb
bbbS
n
nn .
Exercitiul nr. 1 :
Sa se scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (bn) daca :
a). 2 , 61 qb ; b). 2
1 , 101 qb ;
c). 5.0 , 241 qb ; d). 3 , 5,02 qb .
Exercitiul nr. 2 :
Sa se gaseasca primii doi termeni ai progresiei geometrice (yn) , data astfel :
a). ; ... , 54 , 36 , 24 , , 21
yy b). ; ... , 81 , 135- , 225 , , 21
yy
Exercitiul nr. 3 :
Daca se cunosc doi termeni ai unei progresii geomatrice (bn) :
a). ; , , gaseasca se sa , 24 , 6 109753 bbbbb
b). ; , , gaseasca se sa , 10 , 10 3126810 bbbbb
Exercitiul nr. 4 :
Este progresie aritmetica sau progresie geometrica sirul (an) , daca :
a). aaa nn 2 si 5 11 ; b). aaa nn 2 si 5 11 ;
c). aaa nn 3
1 si 8 11 ; d). aaa nn
3
1 si 8 11 .
Clasa a X-a Algebra - 11
Cap. III : PROGRESII
Progresii
Exercitiul nr. 5 :
Sa se scrie formula termenului al n-lea al progresiei geometrice date prin :
a). bb n3b , 2 1n1 ; b). bb n3b , 4 1n1 ;
c). bb n2b , 9 1n1 ; d). bb n5
1b , 10 1n1 .
Exercitiul nr. 6 :
Sa se gaseasca primul termen si ratia unei progresii geometrice , daca :
a).
8
4
13
12
aa
aa ; b).
8
7
16
7
123
14
aaa
aa
;
c). 9 , 25 86 aa ; d). 16
723 , 12 74 aa .
Exercitiul nr. 7 :
Sa se calculeze sumele :
a). ?2.....22211532 ; b). ?2.....2221
1232 ;
c). ?2
1.....
2
1
2
1
2
11632 ; d). ?
3
1.....
3
1
3
1
3
11232 ;
e). ?..... 10032 xxxxx ; f). ?..... 17753 xxxxx .
Exercitiul nr. 8 :
Sa se rezolve ecuatiile :
a). 0......19932 xxxx ; b). 0......1
10032 xxxx .
Exercitiul nr. 9 :
Fie (yn) o progresie geometrica , astfel incat suma primilor n termeni ai sai este :
152 nnS . Sa se determine S4 , y1 , y2 .
Exercitiul nr. 10 :
Este o progresie geometrica un sir , pentru care suma primilor n termeni ai sai este data
de formula :
a). 12 nS n ; b). 12 n
nS ; c). 13 nnS .
Clasa a X-a Algebra - 12
Cap. III : PROGRESII
Progresii
Exercitiul nr. 11 :
Intr-o progresie geometrica avem S3 = 40 , S5 = 60 . Sa se gaseasca S9 .
Exercitiul nr. 12 :
Sa se determine x astfel incat numerele a+x , b+x , c+x , sa fie in progresie geometrica .