1
Prof. CORNELIA MESTECAN
Prof. RRODICA TRIŞCĂ
CLUJ-NAPOCA
2009
2
3
CUPRINS
1.
FIŞA NR. 1 – NUMERE REALE
Pag. 6
2.
FIŞA NR. 2 – ECUAŢII
Pag. 8
3.
FIŞA NR. 3 – FUNCŢII – TEORIE
Pag. 10
4.
FIŞA NR. 4 – FUNCŢII – EXERCIŢII
Pag. 13
5.
FIŞA NR. 5 – ECUAŢII IRAŢIONALE, ECUAŢII
EXPONENŢIALE
Pag. 16
6.
FIŞA NR. 6 – ECUAŢII LOGARITMICE
Pag. 19
7.
FIŞA NR. 7 – PROGRESII
Pag. 21
8.
FIŞA NR. 8 – ELEMENTE DE COMBINATORICĂ
Pag. 24
9.
FIŞA NR. 9 – ELEMENTE DE GEOMETRIE –
VECTORI
Pag. 29
10.
FIŞA NR. 10 – ELEMENTE DE GEOMETRIE
ANALITICĂ
Pag. 32
11.
FIŞA NR. 11 – ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE
Pag. 39
12.
BIBLIOGRAFIE
Pag. 45
4
5
ARGUMENT
Culegerea se adresează elevilor din clasele XI-XII liceu, ruta
directă, respectiv XII-XIII liceu, ruta progresivă şi constitue un sprijin
important în pregătirea de bază în domeniul matematicii, în
pregătirea pentru examenul de Bacalaureat.
Fişele conţin atât cunoştinţele teoretice necesare cât şi modele
de exerciţii rezolvate şi explicate. Temele propuse în fiecare fişă, sunt
concepute pentru fixarea cunoştinţelor dar şi pentru a uşura demersul
elevilor în pregătirea proprie pentru susţinerea examenului naţional.
Materialul poate fi utilizat atât la clasă cât şi în pregătirea
individuală a elevilor, acesta urmărind recuperarea cunoştinţelor
lacunare dar şi o pregătire temeinică, din timp, care să corespundă
cerinţelor programei de Bacalaureat.
Mult succes în pregătirea matematică,
Prof. Cornelia Mestecan
Prof. Rodica Trişcă
6
FIŞA NR. 1 -NUMERE REALE
propunător: prof. Cornelia Mestecan
BREVIAR TEORETIC
N = ,...,...,2,1,0 n ; Z = ,...,...2,1,0,1,2,...,..., nn ; Q =
1),(,,/ * baNbZab
a,
RQZN .
Puteri cu exponent raţional
;;
;11;1;;;:,,, 0*
p
pp
ppp
ppqqpqp
q
pqpqp
b
a
b
aaaab
aaaaa
aaaaQqpRba
.1
p
p
aa
Proprietăţile radicalilor
,,,, NknRba impare sau NknRba ,;, pare :
0;; bb
a
b
abaabaa
n
n
nnnnn n ; nkn knk kn aaaa ; .
Media aritmetică a numerelor reale naaa ,...,, 21 este n
aaam n
a
...21
Media armonică a numerelor reale pozitive nunule naaa ,...,, 21 este
n
arm
aaa
nm
1...
11
21
Media geometrică a numerelor reale pozitive naaa ,...,, 21 este nng aaam ...21
Modulul ( valoarea absolută ) a numărului real a, este
0,
0,
aa
aaa
Probleme rezolvate
1. Să se calculeze probabilitatea ca , alegând un număr din mulţimea
{ 3333333333 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 }, acesta să fie raţional.
Rezolvare: 28,11 33 , 1, 2Q, restul numerelor nu sunt raţionale
posibilecaznr
favorabilecaznrP
..
.. ,
numărul cazurilor posibile = nr. total de elemente din mulţime = 10,
numărul de cazuri favorabile = nr. raţionale = 2, deci 5
1
10
2P
2. Să se calculeze probabilitatea ca , alegând un număr din mulţimea
{ 3333333333 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 }, acesta să fie iraţional.
Rezolvare: 28,11 33 , 1, 2Q, restul numerelor nu sunt raţionale
7
posibilecaznr
favorabilecaznrP
..
.. ,
numărul cazurilor posibile = nr. total de elemente din mulţime = 10,
numărul de cazuri favorabile = nr. iraţionale = 8, deci 5
4
10
8P
3. Să se ordoneze crescător numerele :
2
4
1
, 64 , 3 8 .
Rezolvare:
2
4
1
=
2
4
1
1
=
16
1
1 = 16 = 42 ; 64 = 62 ; 3 8 = 2
2 < 42 < 62 3 8 <
2
4
1
< 64 .
4. Să se calculeze 3
339
3
3
9
1 .
Rezolvare: 3
3
3
3
3
1
9
1 3
3 3
3
3 23 -am amplificat fracţia cu 3 3 pentru a
raţionaliza numitorul,
33
3 3
3 2
39
3
93
3
33
3
3 3
339
3
3
9
1 =
3
399
3
3 333
3
Temă
1. Să se calculeze probabilitatea ca , alegând un număr din mulţimea
{ 33333333 12,11,10,9,8,7,6,5 }, acesta să fie raţional.
2. Să se calculeze probabilitatea ca , alegând un număr din mulţimea
{ 5,4,3,2,1 }, acesta să fie iraţional.
3. Să se calculeze: 2
322 .
4. Să se calculeze: 22
48
2
11
.
5. Găsiţi probleme asemănătoare sau care folosesc aceleaşi noţiuni în
variantele de bacalaureat şi rezolvaţi-le. Aţi întâmpinat greutăţi? Notaţi-le
şi discutaţi-le la ora de matematică!
8
FIŞA NR. 2 – ECUAŢII
propunător: prof. Cornelia Mestecan
BREVIAR TEORETIC
Ecuaţia de forma ax+b=0 cu Rba , , a≠0 are soluţia unică x=-a
b.
Ecuaţia Rcbacbxax ,,,02 şi a≠0, are :
-două soluţii reale a
bx
22,1
dacă 042 acb ;
-o soluţie reală a
bxx
221
dacă 042 acb ;
-nici o soluţie reală dacă 042 acb .
Descompunerea trinomului Rcbacbxax ,,,2 , a≠0 în produs:
))(( 21
2 xxxxacbxax , unde 21 , xx sunt soluţiile ecuaţiei .02 cbxax
Relaţiile lui Viète:
Fie 21 , xx sunt soluţiile ecuaţiei 02 cbxax ( a≠0, 0 ); notăm S= 21 xx , P= 21xx .
Atunci S= 21 xx =a
b şi P= 21xx =
a
c.
Formarea ecuaţiei 02 cbxax când se cunosc soluţiile sale:
Fie 21 , xx R , S= 21 xx , P= 21xx . Atunci 21 , xx sunt soluţiile ecuaţiei 02 PSxx .
Probleme rezolvate
1. Să se determine mulţimea valorilor lui x pentru care -2 < 3x – 4 < 3.
Rezolvare : -2 < 3x – 4 < 3 / + 4 -2 + 4 < 3x – 4 + 4 < 3 + 4 2 < 3x < 7 / :3
3
7
3
2 x
3
7;
3
2x
2. Să se determine mulţimea valorilor lui x pentru care -6 < -2x + 7 < 3.
Rezolvare : -6 < -2x + 7 < 3 / - 7 -6 - 7 < -2x + 7 - 7 < 3 - 7
-13 < -2x < - 4 / : (-2) 22
13 x
2
132 x
2
13;2x
3. Să se determine valorile reale ale lui x pentru care 102 xxx .
Rezolvare: 102 xxx 01030102 22 xxxxx
Ataşăm ecuaţia 01032 xx
a=1, b=3, c= -10 acb 42 , 101432 , 49 >0, deci soluţiile sunt reale
şi distincte
22
73
2111
xx
a
bx ; 5
2
73
2222
xx
a
bx
Tabelul de semn este:
x -∞ -5 2 +∞
1032 xx + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + +
Din tabel rezultă că 01032 xx pentru ;25; x
4. Să se determine numărul real m pentru care numărul x = -1 este soluţie a ecuaţiei
213 22 mmxx .
Rezolvare: x= - 1 soluţie, înseamnă că înlocuind pe x cu -1 în ecuaţie, obţinem o
identitate:
9
21131 22 mm 02131 2 mm
023132 mm 032 mm ; ecuaţia de gradul II are soluţiile reale
3;0 21 mm .
5. Să se determine valorile reale ale lui m pentru care soluţiile 1x şi 2x ale ecuaţiei
01 22 mxmx , verifică relaţia: 52 2121 xxxx
Rezolvare: 01 22 mxmx cu soluţiile 1x şi 2x
Scriem relaţiile lui Viète: 11
121
m
m
a
bxx ; 2
2
211
mm
a
cxx
Înlocuim în relaţia 52 2121 xxxx ecuaţia 0322 mm care are soluţiile
reale 11 m şi 32 m .
6. Ştiind că 1x şi 2x sunt soluţiile ecuaţiei 0542 xx , calculaţi 31
2
2
1 x
x
x
x.
Rezolvare: 1x şi 2x sunt soluţiile ecuaţiei 0542 xx
Scriem relaţiile lui Viète: 41
421
a
bxx ; 5
1
521
a
cxx
31
2
2
1 x
x
x
x= 3
21
2
2
2
1
xx
xx=
32
21
21
2
21
xx
xxxx= 3
5
1016
=
5
15
5
6 =
5
9
Am folosit relaţia 21
2
2
2
1
2
21 2 xxxxxx 21
2
21
2
2
2
1 2 xxxxxx
7. Să se arate că mulţimea { Rx / 02)1(2 22 mxmx } are două elemente,
oricare ar fi
;
2
3m .
Rezolvare: ecuaţia 02)1(2 22 mxmx are două soluţii reale dacă 0 ,
128844842412 2222 mmmmmm
0
;
2
30128 mm
Temă
1. Să se determine mulţimea valorilor lui x pentru care -5 < 2x +3 < 5.
2. Să se determine mulţimea valorilor lui x pentru care -2 < -2x - 9 < 1.
3. Să se determine valorile reale ale lui x pentru care 112 xxx .
4. Să se determine numărul real m pentru care numărul x = 3 este soluţie a ecuaţiei
21 22 mmxx .
5. Să se determine valorile reale ale lui m pentru care soluţiile 1x şi 2x ale ecuaţiei
01222 mxmmx , verifică relaţia: 12121 xxxx .
6. Ştiind că 1x şi 2x sunt soluţiile ecuaţiei 0372 xx , calculaţi 11
2
2
1 x
x
x
x;
333 2121 xxxx .
7. Să se arate că mulţimea { Rx / 01132 2 mxmmx } are două elemente,
oricare ar fi 1Rm .
8. Găsiţi probleme asemănătoare sau care folosesc aceleaşi noţiuni în variantele de
bacalaureat şi rezolvaţi-le. Aţi întâmpinat greutăţi? Notaţi-le şi discutaţi-le la ora de
matematică!
10
FIŞA NR. 3 – FUNCŢII - TEORIE
propunător: prof. Cornelia Mestecan
BREVIAR TEORETIC
Fie mulţimile RBA , şi o funcţie BAf : .
f se numeşte funcţie strict crescătoare dacă ,, 21 Axx din 21 xx rezultă
)()( 21 xfxf
f se numeşte funcţie crescătoare dacă ,, 21 Axx din 21 xx rezultă )()( 21 xfxf
f se numeşte funcţie strict descrescătoare dacă ,, 21 Axx din 21 xx rezultă
)()( 21 xfxf
f se numeşte funcţie descrescătoare dacă ,, 21 Axx din 21 xx rezultă
)()( 21 xfxf
f este crescătoare dacă şi numai dacă, ,, 21 Axx 21 xx , avem 0)()(
21
21
xx
xfxf
f este strict crescătoare dacă şi numai dacă, ,, 21 Axx 21 xx , avem
0)()(
21
21
xx
xfxf
f este descrescătoare dacă şi numai dacă, ,, 21 Axx 21 xx , avem
0)()(
21
21
xx
xfxf
f este strict descrescătoare dacă şi numai dacă, ,, 21 Axx 21 xx , avem
0)()(
21
21
xx
xfxf
f este injectivă dacă ,, 21 Axx 21 xx avem )()( 21 xfxf
f este injectivă dacă ,, 21 Axx cu 2121 )()( xxxfxf
f este surjectivă dacă AxBy , astfel încât y = f(x)
f este bijectivă dacă f este injectivă şi surjectivă
f este inversabilă dacă există funcţia ABg : cu Afg 1 şi Bgf 1 (vezi
definiţia compusei a două funcţii)
f este inversabilă dacă şi numai dacă f este bijectivă
Operaţii cu funcţii
Fie RDgf :, , RD
,: RDgf (f+g)(x) = f(x) + g(x) se numeşte funcţia sumă a lui f şi g
,: RDgf fg(x) = f(x)g(x) se numeşte funcţia produs a lui f şi g
,,0)(,: DxxgRDg
f
)(
)())((
xg
xfx
g
f se numeşte funcţie cât
Fie CBgBAf :,: . Funcţia CAfg : definită prin ))(())(( xfgxfg se
numeşte compusa lui g cu f. Fie funcţia BAf : , y = f(x). Funcţia ABg : cu
proprietatea Axxxfg ,))(( şi Byyygf ,))(( , se numeşte inversa funcţiei f şi
se notează cu 1f .
11
Funcţia afină
Funcţia RbabaxxfRRf ,,)(,: , se numeşte funcţie afină. Funcţia f este constantă
dacă 0a . Funcţia f este strict crescătoare dacă 0a şi strict descrescătoare dacă 0a .
Funcţia RbabaxxfRRf ,,)(,: , 0a , se numeşte funcţie de gradul întâi.
Funcţia RbabaxxfRRf ,,)(,: , 0a , este bijectivă deci inversabilă.
Semnul funcţiei de gradul întâi:
x
a
b
f(x) Semnul opus lui a 0 Semnul lui a
Funcţia de gradul II
Funcţia 0,,,,)(,: 2 aRcbacbxaxxfRRf se numeşte funcţie de gradul II.
)4
;2
(aa
bV
este vârful parabolei (= reprezentarea geometrică a graficului funcţiei de
gradul II) şi acesta reprezintă punct de maxim al funcţiei f dacă a<0 / punct de minim al
funcţiei f dacă a>0.
Valoarea aa
bf
4)
2(
este valoarea maximă a funcţiei dacă a<0 / valoarea minimă a
funcţiei dacă a>0. Forma canonică a funcţiei de gradul II este: aa
bxaxf
42)(
2
.
Monotonia funcţiei de gradul II
Cazul a>0
x
a
b
2
f(x) f strict descrescătoare
a4
f strict crescătoare
min
Cazul a<0
x
a
b
2
f(x) f strict crescătoare
a4
f strict descrescătoare
max
Semnul funcţiei de gradul II
Cazul 042 acb , 2121 ,, xxRxx ( 21 , xx sunt soluţiile ecuaţiei f(x)=0 )
presupunem 21 xx
x 1x 2x
f(x) semnul lui a 0 semnul opus lui a 0 semnul lui a
Cazul 042 acb , a
bxx
221
R , ( 21 , xx sunt soluţiile ecuaţiei f(x)=0 )
x 1x = 2x
f(x) semnul lui a 0 semnul lui a
12
Cazul 042 acb , Rxx 21, ( 21 , xx sunt soluţiile ecuaţiei f(x)=0 )
x f(x) semnul lui a
Funcţia exponenţială este f : ;0R , f (x) = ax , a >0 , a 1.
-Funcţia exponenţială este strict crescătoare pentru a>1 şi strict descrescătoare pentru
0<a<1
-Funcţia exponenţială este bijectivă şi inversa ei este funcţia logaritmică.
Funcţia logaritmică este f : (0; + ) R , f (x) = loga x , a >0 , a 1.
-Funcţia logaritmică este strict crescătoare pentru a>1 şi strict descrescătoare pentru
0<a<1
-Funcţia logaritmică este bijectivă şi inversa ei este funcţia exponenţială.
Logaritmi:
loga x = b x = ab , a >0 , a 1 , x ;0 , b R .
Dacă a,b(0; + ) – {1}, x, y, r R atunci : loga xy = loga x + loga y ;
loga y
x = loga x – loga y ; log a
n xn
1 log a x,
loga xr = r loga x ; loga a = 1 ; loga 1 = 0 ; loga x =
a
x
b
b
log
log
13
FIŞA NR. 4 – FUNCŢII - EXERCIŢII
propunător: prof. Cornelia Mestecan
Probleme rezolvate
1. Fie funcţiile 12)(,: xxfRRf şi 5)(,: xxgRRg . Determinaţi
soluţiile reale ale ecuaţiei .4)(3)(2 xgxf
Rezolvare: 4)(3)(2 xgxf
Înlocuim )(xf şi )(xg cu expresiile lor: 4)5(3)12(2 xx
415324 xx ; 15247 x ; 97 x / : 7 7
9 x R
2. Fie funcţiile 12)(,: xxfRRf şi 5)(,: xxgRRg . Determinaţi
))2(())0(( fggf .
Rezolvare: I. 5)0(,50)0( gg ; 152)5())0(( fgf ; 9))0(( gf
5)2(,1)2(2)2( ff ; ;55))2(( fg 10))2(( fg ;
1109))2(())0(( fggf
II. 921)5(21)(2))(())((,: xxxgxgfxgfRRgf
9902))0(( gf ;
625125)())(())((,: xxxfxfgxfgRRfg
106)2(2))2(( fg ; 1109))2(())0(( fggf .
3. Fie funcţia 12)(,2;1: xxfRf . Determinaţi mulţimea valorilor funcţiei f.
Rezolvare: Funcţia f este strict descrescătoare având a=-2 <0,
21 31)1(2)1( f > 3122)2( f , deci 3;3)( xf = Im f
4. Fie funcţia 20)(,: 2 xxxfRRf . Calculaţi distanţa dintre punctele de
intersecţie ale reprezentării grafice a funcţiei cu axa Ox.
Rezolvare: 0200)(: 2 xxxfOxG f ; acb 42 , 81)20(41
42
91
21
a
bx , 5
2
91
22
a
bx
)0;5();0;4( BAOxG f
9810)45()()();( 222 ABAB yyxxBAd .
5. Fie funcţia 3)1()(,: 2 xmmxxfRRf .Determinaţi valorile reale ale lui m
pentru care abscisa punctului de maxim al graficului este 2
3 .
Rezolvare: fG admite un punct de maxim dacă 0a , deci 0;0 mm
Punctul de maxim este
aa
bV
4;
2, abscisa este
m
m
m
m
a
bx
2
1
2
)1(
2
Din ipoteză 2
3x
2
3
2
1
m
m 0
4
1 m .
14
6. Fie funcţia 3)1()(,: 2 xmmxxfRRf .Determinaţi valorile reale ale lui m
pentru care valoarea maximă a funcţiei f este 8
25.
Rezolvare: fG admite un punct de maxim dacă 0a , deci 0;0 mm
Punctul de maxim este
aa
bV
4;
2iar valoarea maximă a funcţiei f este
a4
m
mm
m
mm
a 4
110
4
34))1((
4
22
. Din ipoteză
8
25
4
a deci
8
25
4
1102
m
mm 0252 2 mm care are soluţiile reale
2
11 m şi 22 m ,
ambele negative, deci soluţii ale problemei.
7. Fie funcţia 3)1()(,: 22 xmxmxfRRf .Să se arate că Rmf ,0)1( .
Rezolvare: I. 2)1( 2 mmf , dacă folosim forma canonică
Rmmf
,0
4
7
2
1)1(
2
;
II. putem folosi şi semnul funcţiei de gradul II:
022 mm , Rmm 21,07
m
2)1( 2 mmf + + + + + + + + + + + + + + + + +
( semnul lui a )
Din tabel observăm că Rmf ,0)1( .
8. Fie funcţia 20)(,: 2 xxxfRRf .
Calculaţi )5()4()3()2()1()0( ffffff
Rezolvare: )5)(4()( xxxf , 4 şi -5 sunt soluţiile ecuaţiei f(x)=0
0)4(f 0)5()4()3()2()1()0( ffffff
9. Să se determine punctele de intersecţie ale graficelor funcţiilor RRgf :, ,
43)( 2 xxxf , 1)( xxg .
Rezolvare: I. 143)()( 2 xxxxgxf 0342 xx
41216 , 12
241
x , 3
2
242
x
4)3(,2)1( gg , deci )4;3(),2;1( BAGG gf
II.
)(
)(
xgy
xfy
1
432
xy
xxy
431
1
2 xxx
xy
2
1
1
1
y
x şi
4
3
2
2
y
x deci )4;3(),2;1( BAGG gf .
10. Să se determine domeniul maxim de definiţie al funcţiei RDf : ,
)53(log)( 3 xxf .
15
Rezolvare: C:
;
3
5
3
553053 xxxx deci
;
3
5D
11. Fie funcţia Rf ;0: , xxf x
2log5)( . Să se calculeze )2()1(5 ff .
Rezolvare: 5051log5)1( 2 f , 241252log5)2( 2
2 f
12425)2()1(5 ff .
12. Calculaţi 15log5log3log 777 .
Rezolvare: folosim proprietăţile logaritmului yxxy aaa logloglog ,
yxy
xaaa logloglog , 01log a ; 01log
15
53log15log5log3log 77777
.
Temă
1.Fie funcţiile 23)(,: xxfRRf şi 32)(,: xxgRRg . Determinaţi
soluţiile reale ale ecuaţiei 2)(4)(3 xgxf .
2. Fie funcţiile 3)(,: xxfRRf şi 52)(,: xxgRRg . Determinaţi
))3(())1(( fggf .
3. Fie funcţia 3)(,1;2: xxfRf . Determinaţi mulţimea valorilor funcţiei f.
4. Fie funcţia 273)(,: 2 xxxfRRf . Calculaţi distanţa dintre punctele de
intersecţie ale reprezentării grafice a funcţiei cu axa Ox.
5. Fie funcţia 2)3()(,: 2 xmmxxfRRf .Determinaţi valorile reale ale lui m
pentru care abscisa punctului de maxim al graficului este (-2).
6. Fie funcţia 5)2()(,: 2 xmmxxfRRf .Determinaţi valorile reale ale lui m
pentru care valoarea maximă a funcţiei este 4
29.
7. Fie funcţia 5)3()(,: 22 xmxmxfRRf .Să se arate că Rmf ,0)1( .
8. Fie funcţia 295)(,: 2 xxxfRRf .
Calculaţi )2()1()0()1()2()3( ffffff .
9. Să se determine punctele de intersecţie ale graficelor funcţiilor RRgf :, ,
52)( 2 xxxf , 26)( xxg .
10. Să se determine domeniul maxim de definiţie al funcţiei RDf : ,
)3(log)(2
1 xxf .
11. Fie funcţia Rf ;0: , xxf x
4log3)( . Să se calculeze )4()1(7 ff .
12. Calculaţi 27log2log6log3
2
3
2
3
2 .
13. Găsiţi probleme asemănătoare sau care folosesc aceleaşi noţiuni în variantele de
bacalaureat şi rezolvaţi-le. Aţi întâmpinat greutăţi? Notaţi-le şi discutaţi-le la ora de
matematică!
16
FIŞA NR. 5 – ECUAŢII IRAŢIONALE; ECUAŢII EXPONENŢIALE
propunător: prof. Cornelia Mestecan
ÎNDRUMAR PENTRU REZOLVARE
ECUAŢII IRAŢIONALE
-Se numesc ecuaţii iraţionale, ecuaţiile care conţin necunoscuta sub semnul radical.
-Metoda obişnuită de rezolvare a ecuaţiilor iraţionale constă în eliminarea radicalilor
prin diferite transformări, reducându-le la ecuaţii raţionale echivalente; acest lucru se face
prin ridicări la putere asfel încât să dispară radicalii. Înainte de a trece la rezolvarea
efectivă a ecuaţiei, se pun condiţii de existenţă a radicalilor pentru a obţine D – mulţimea /
domeniul de existenţă a ecuaţiei, respectiv a soluţiilor; radicalii de ordin par au sens numai
pentru numere pozitive. Se izolează radicalii (dacă este posibil) pentru a se putea ridica la
putere şi a se obţine o ecuaţie mai simplă. Se ţine cont de faptul că cei doi membrii ai unei
ecuaţii trebuie să aibă acelaşi semn ( la ecuaţiile cu radicali de ordin par).
Se rezolvă ecuaţia obţunută, se verifică dacă numărul / numerele găsite aparţin domeniului
de existenţă a soluţiilor D, după care se scrie S- soluţia ecuaţiei.
ECUAŢII EXPONENŢIALE
-Se numesc ecuaţii exponenţiale, ecuaţiile care conţin necunoscuta la exponent.
-Metode de rezolvare: în rezolvarea ecuaţiilor exponenţiale se utilizează proprietatea
de injectivitate a funcţiei exponenţiale : , 1x ya a x y a
- ecuaţia de forma ( ) , 0, 1f xa b a a
-dacă 0b , ecuaţia nu are soluţii
-dacă ( )0, ( )r f x rb b a a a f x r S
-dacă ( )0, ( ) logr f x
ab b a a b f x b S
- ecuaţia de forma ( ) ( ) , 0, 1f x g xa a a a
- se utilizează proprietatea de injectivitate a funcţiei exponenţiale :
( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x S
- ecuaţia de forma 2 ( ) ( ) 0, 0, 1f x f xa a a a
-se notează ( )f xa t şi se ţine seama de faptul că t > 0.
Probleme rezolvate
1) Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 153 xx .
Rezolvare: Condiţii:
01
053
x
x
1
3
5
x
x
;1
;3
5
x
x Dx
;
3
5
153 xx / 2 2153 xx 0652 xx 3,2 21 xx
3;23;2 SD .
2) Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei xxx 3 3 52 .
Rezolvare: xxx 3 3 52 / 3 33 52 xxx 2
5052 xx
3) Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 2191 xx .
Rezolvare: Condiţii:
019
01
x
x
19
1
x
x
;19
1;
x
x Dx 1;19
2191 xx / 2 41919121 xxxx
2041912 xx
17
161912 xx /: 2
8191 xx / 2
64191 xx
06419182 xx 045182 xx
45,18,1 cba , 14418032442 acb
32
1218
2111
xx
a
bx ;
152
1218
2222
xx
a
bx
32221642193)3(1,3 FD nu este soluţie
1522241621915)15(1,15 AD este soluţie
Deci 15S .
4) Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei xx 162 3
Rezolvare: xxxx 4343 2222 13343 xxxx . Deci 1S
( am folosit pqqp aa şi proprietatea de injectivitate a funcţiei exponenţiale:
,, 21 Dxx cu 2121 xxaa
xx )
5) Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 22222 12 xxx
Rezolvare: 22222 12 xxx
2
2211
2
1
222
2
11:22222
2
114222
2
2222 22
x
xxxxx
xx
Deci 2S . Am folosit qpqp aaa şi q
pqp
a
aa şi proprietatea de injectivitate a
funcţiei exponenţiale.
6) Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 01234 1 xx
Rezolvare: 01234 1 xx
0123420123220123222212
xxxxxx
Notăm tx 2 0134 2 tt ; acbcba 4,1,3,4 2 25
18
5311
tt ,
4
1
8
5322
tt
022121 1
0
1 xt xx
4
12
4
12 xt această ecuaţie nu are soluţie pentru că 02 x iar 0
4
1
Deci 0S . Am folosit pqqp aa şi qpqp aaa şi proprietatea de injectivitate a
funcţiei exponenţiale.
7) Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei xxx 104252
Rezolvare: xxx 104252 052252 22 xxx
18
05225222
xxxx / : 22 x 012
5
2
52
2
xx
012
5
2
52
2
xx
, notăm t
x
2
5
012 2 tt ; 1,1,2 cba , 942 acb
14
3111
tt ,
2
1
4
3122
tt
02
5
2
51
2
51 1
0
1
xt
xx
2
1
2
5
2
12
x
t nu are soluţie
Deci 0S . Am folosit pqqp aa şi
p
p
p
b
a
b
a
şi proprietatea de injectivitate a
funcţiei exponenţiale.
Temă
1. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiilor xx 53 ; 342 xxx .
2. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiilor xxx 3 3 82 ; 113 x .
3. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiilor 031 xx ; 471 xx ;
1310 xx .
4. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiilor 93
1
x
; 19555 12 xxx ;
03343 122 xx ; xxx 673225 22 ; 0915345 12 xxx ;
403333 112 xxxx ; 23153 xx .
5. Găsiţi probleme asemănătoare sau care folosesc aceleaşi noţiuni în variantele de
bacalaureat şi rezolvaţi-le. Aţi întâmpinat greutăţi? Notaţi-le şi discutaţi-le la ora de
matematică!
19
FIŞA NR. 6 – ECUAŢII LOGARITMICE
propunător: prof. Cornelia Mestecan
ÎNDRUMAR PENTRU REZOLVARE
-Se numesc ecuaţii logaritmice, ecuaţiile care conţin necunoscuta la baza sau
argumentul unor logaritmi.
-Metode de rezolvare: se utilizează proprietatea de injectivitate a funcţiei logaritmice
log loga ax y x y
-ecuaţii de forma log ( ) , 0, 1a f x b a a
-se pune condiţia de existenţă a logaritmului ( ) 0f x , pe care o
rezolvăm şi obţinem D – domeniul în care ecuaţia poate avea soluţii
-se rezolvă ecuaţia : log ( ) ( ) b
a f x b f x a ( conform definiţiei
logaritmului )
-se verifică dacă numărul / numerele obţinute aparţin lui D, obţinându-
se astfel soluţia ecuaţiei S.
-ecuaţii de forma log ( ) log ( ), 0, 1a af x g x a a
-se pun condiţiile de existenţă a logaritmilor ( ) 0
( ) 0
f x
g x
, sistem pe care
îl rezolvăm şi obţinem D – domeniul în care ecuaţia poate avea soluţii
-se rezolvă ecuaţia : log ( ) log ( ) ( ) ( )a af x g x f x g x ( conform
proprietăţii de injectivitate a funcţiei logaritmice)
-se verifică dacă numărul / numerele obţinute aparţin lui D, obţinându-
se astfel soluţia ecuaţiei S.
-ecuaţii de forma 2log ( ) log ( ) 0, 0, 1a af x f x a a
-se pun condiţiile de existenţă a logaritmilor ( ) 0f x , pe care o
rezolvăm şi obţinem D – domeniul în care ecuaţia poate avea soluţii
-se rezolvă ecuaţia : 2log ( ) log ( ) 0a af x f x utilizând
substituţia log ( )a f x t ( se obţine o ecuaţie de gradul II, care va avea soluţiile 1 2,t t
dacă 0 şi nu va avea soluţii reale dacă 0 ; în cazul când există soluţiile 1 2,t t ,
mergem mai departe astfel: 1 2
1 2log ( ) ( ) ;log ( ) ( )t t
a af x t f x a x f x t f x a x
-se verifică dacă numărul / numerele obţinute aparţin lui D, obţinându-
se astfel soluţia ecuaţiei S.
-ecuaţii de forma ( )log ( ) , 0, 1g x f x b a a
-se pun condiţiile de existenţă a logaritmului
( ) 0
( ) 0
( ) 1
f x
g x
g x
, sistem pe care
îl rezolvăm şi obţinem D – domeniul în care ecuaţia poate avea soluţii
-se rezolvă ecuaţia : ( )log ( ) ( ) ( )b
g x f x b f x g x ( conform
definiţiei logaritmului )
-se verifică dacă numărul / numerele obţinute aparţin lui D, obţinându-
se astfel soluţia ecuaţiei S.
20
Probleme rezolvate
1. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 3log1log 22 x
Rezolvare : 3log1log 22 x
Condiţie : ;1101 xxx D
3log1log 22 x 431 xx 4 SD
Am aplicat proprietatea de injectivitate a funcţiei logaritmice
(funcţia logaritmică este injectivă deci ,, 21 Dxx cu 2121 )log()log( xxxx )
2. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 03log8log3 3
2
3 xx
Rezolvare : 03log8log3 3
2
3 xx
Condiţie : Dxx ;00
Notăm tx 3log 0383 2 tt ecuaţie de gradul II
,3,8,3 cba 100366442 acb
36
108
2111
tt
a
bt ;
3
1
6
108
2222
tt
a
bt
2733loglog3log3 1
3
1
3
3331 xxxxt
323
1
23
1
33323
133loglog
3
1log
3
1
xxxxt
27;3
127,
3
133
SD
3. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 11loglog 22 xx
Rezolvare : 11loglog 22 xx
Condiţii :
01
0
x
x
1
0
x
x
;1
;0
x
x Dx ;1
11loglog 22 xx 2)1(2log)1(log11log 222 xxxxxx
022 xx
acbcba 4,2,1,1 2 9
22
3111
xx ; 1
2
3122
xx
D2 deci este soluţie a ecuaţiei
D1 deci nu este soluţie a ecuaţiei 2 S .
Am folosit : xyyx aaa logloglog şi proprietatea de injectivitate a funcţiei
logaritmice.
4. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 12log 2 x
Rezolvare : 12log 2 x
Condiţie : Dxxx ;2202
12log 2 x 2
3
2
12222log2log 11
22 xxxx D
21
Deci
2
3S . Am folosit proprietatea de injectivitate a funcţiei logaritmice.
5. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 05lg6lg 2 xx
Rezolvare : 05lg6lg 2 xx
Condiţie : Dxx ;00
Notăm tx lg 0562 tt
16,5,6,1 cba 52
4611
tt , 1
2
4622
tt
Dxxxt 5
1
5
1 1010lglg5lg5
Dxxxt 1010lglg1lg1 22
Deci 510;10S
Am folosit proprietatea de injectivitate a funcţiei logaritmice.
Temă
1. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiilor 332log 2 x ; 21log 2
3 x .
2. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiilor xx 4log32log 55 ;
52log245log 5
2
5 xxx .
3. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiilor 01log21log 2
2
22
2 xx ;
173log2log 33 xx ; xxx 3lg2lg2lg .
4. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiilor 11log4 x ;
3log2log 2
3
2
3 xxx .
5. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiilor 02ln3ln2 xx ;
01lg5lg6 2 xx
6. Găsiţi probleme asemănătoare sau care folosesc aceleaşi noţiuni în variantele de
bacalaureat şi rezolvaţi-le. Aţi întâmpinat greutăţi? Notaţi-le şi discutaţi-le la ora de
matematică!
22
FIŞA NR. 7 - PROGRESII
propunător: prof. Cornelia Mestecan
BREVIAR TEORETIC
Progresii aritmetice Progresii geometrice
Şirul 1nna se numeşte progresie
aritmetică de raţie r, dacă
.1,1 nraa nn
Formula termenului general
1aan + (n-1)r, n 1 .
Suma primilor n termeni
2
... 121
naaaaaS n
nn
Proprietate
1nna progresie aritmetică
.2,2
11
naa
a nnn
Şirul 1nnb se numeşte progresie geometrică
de raţie q 0 , dacă .1,1 nqbb nn
Formula termenului general 1
1
n
n qbb , 1n .
Suma primilor n termeni
1,
1,1
1
...
1
1
21
qnb
qb
bbbS
n
nn
Proprietate
1nnb progresie geometrică
2,11 nbbb nnn
Probleme rezolvate
1) Să se determine al optulea termen al şirului 1, 5, 9, 13, ... .
Rezolvare : se observă că şirul este o progresie aritmetică pentru că
,1349,945,541 etc. Deci 11 a ( primul termen) şi raţia 4r . Ştim formula
termenului general : rnaan )1(1 4)18(18 a , 298 a .
2) Să se caluleze suma primilor 7 termeni ai progresiei aritmetice 1)( nna în care 31 a şi
2r .
Rezolvare: ştim că
2... 1
21
naaaaaS n
nn
şi rnaan )1(1
În cazul nostru 7n , 31 a şi 2r , înlocuim în formule şi obţinem:
)2(637 a 97 a , 7
(3 ( 9)) 7
2S
7 21S .
3) Să se demonstreze că pentru orice Rx , numerele 52 x , 12 x şi 523 x sunt
termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Rezolvare: ştim că 1nna progresie aritmetică 2,
2
11
naa
a nnn
Prin urmare, cele trei numere fiind în progresie aritmetică, se află în relaţia
xxx
xxx
x 22222
2422
2
523522 1
(A)
23
4) Să se determine al zecelea termen al unei progresii geometrice în care raţia este 5
1 şi
primul termen este 3125.
Rezolvare: într-o progresie geometrică 1
1
n
n qbb , 1n
Ştim că 31251 b şi raţia este 5
1q , prin urmare 9
110 qbb
9
105
13125
b ,
4109
5
105
1
5
15 bb , deci
625
110 b .
5) Să se calculeze suma : 44...852 .
Rezolvare: observăm că termenii sumei se află în progresie aritmetică în care 21 a şi raţia
3r . Pentru suma termenilor progresiei aritmetice ştim
2... 1
21
naaaaaS n
nn
iar
pentru termenul general rnaan )1(1
În exerciţiul nostru ştim că 44na , deci 31244 n 15 n , acum putem calcula
suma termenilor : 34515232
15)442(151515
SSS .
6) Să se calculeze suma 732 7
1...
7
1
7
1
7
11 .
Rezolvare: observăm că termenii sumei se află în progresie geometrică în care 11 b şi raţia
este 7
1; pentru suma termenilor progresiei geometrice ştim
1,
1,1
1
...
1
1
21
qnb
qb
bbbS
n
nn iar pentru termenul general 1
1
n
n qbb , 1n
În cazul nostru
1
7 7
11
7
1
n
17
7
1
7
1
n
deci 71n rezultă că 8n
atunci
17
1
17
1
1
8
8
S
8
87
11
6
7S .
7) În progresia aritmetică 1nna se cunosc: 206 a , 12026 a să se gasească 10a .
Rezolvare: ştim că 206 a , 12026 a , ceea ce se poate scrie şi
12025
205
120
20
1
1
26
6
ra
ra
a
a
10020
2051
r
ra am înmulţit prima ecuaţie cu (-1) şi am
adunat la a doua ecuaţie;
5
5
1a
r; 405959 1010110 aaraa .
Am folosit formula termenului general : rnaan )1(1
24
8)În progresia geometrică 1nnb cu termeni pozitivi, se cunosc 21 b şi 544 b . Să se
calculeze 6b .
Rezolvare: ştim că 1
1
n
n qbb , 1n ,
atunci 3
14 qbb 3254 q 3327 333 qqq
aplicând iar formula termenului general, avem 5
16 qbb , deci 48632 6
5
6 bb
Temă
1. Să se determine al nouălea termen al şirului -1, 5, 11, 17, ... .
2. Să se caluleze suma primilor 8 termeni ai progresiei aritmetice 1)( nna în care 21 a şi
5r .
3. Să se demonstreze că pentru orice Rx , numerele 15 x , 15 x şi 159 x sunt termenii
consecutivi ai unei progresii aritmetice.
4. Să se determine al optulea termen al unei progresii geometrice în care raţia este 7
1 şi
primul termen este 16807.
5. Să se calculeze suma : 41...951 .
6. Să se calculeze suma 832 5
1...
5
1
5
1
5
11
7. În progresia aritmetică 1nna se cunosc: 175 a , 9721 a să se gasească 15a .
8. În progresia geometrică 1nnb cu termeni pozitivi, se cunosc 31 b şi 123 b . Să se
calculeze 7b .
9. Găsiţi probleme asemănătoare sau care folosesc aceleaşi noţiuni în variantele de
bacalaureat şi rezolvaţi-le. Aţi întâmpinat greutăţi? Notaţi-le şi discutaţi-le la ora de
matematică!
25
FIŞA NR. 8 - ELEMENTE DE COMBINATORICĂ
propunător: prof. Cornelia Mestecan
BREVIAR TEORETIC
Fie E şi F două mulţimi nevide. Dacă card E = k şi card F = n, (card E = numărul de
elemente ale mulţimii E), atunci numărul de funcţii definite pe E cu valori în F este kn .
Fie E o mulţime nevidă cu n elemente.
Mulţimea finită E se numeşte mulţime ordonată , dacă elementele sale sunt aşezate
într-o ordine bine determinată.
Se numeşte permutare a mulţimii neordonate E, orice mulţime ordonată de n elemente
din E.
Numărul permutărilor de n elemente din E este P n = n!, unde n! = ...321 n, n 1,
0!=1 ( prin convenţie).
Se numesc aranjamente de n elemente luate câte k, 0<k<n, submulţimile ordonate ale lui E, având fiecare k elemente.
Numărul aranjamentelor de n elemente luate câte k, 0 k n, este A k
n , unde
)!(
!
kn
nAk
n
sau k
nA )1)...(2)(1( knnnn .
Se numesc combinări de n elemente luate câte k, 0<k<n, submulţimile neordonate lui
E, având fiecare k elemente.
Numărul combinărilor de n elemente luate câte k, 0 k n, este k
nC , unde
)!(!
!
knk
n
P
AC
k
k
nk
n
.
Formula combinărilor complementare: kn
n
k
n CC .
Formula de descompunere a combinărilor: 1
11
k
n
k
n
k
n CCC .
Binomul lui Newton: kknn
k
k
n
n baCba
0
)( ; termenul general ( de rang k) din
binomul lui Newton este kknk
nk baCT
1 , k {0,1,2,...,n}.
Numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente este: nn
n
k
nnnn CCCCC 2......210 . 12 2... n
n
o
n CC , 131 2... n
nn CC .
Probleme rezolvate
1. Să se calculeze 2
6
3
55 ACP .
Rezolvare : cunoştem formulele : P n = n!, unde n! = ...321 n, n 1, 0!=1
)!(
!
kn
nAk
n
şi )!(!
!
knk
n
P
AC
k
k
nk
n
, 0 k n
Prin urmare : 12054321!55 P ,
21
20
!2!3
54!3
!35!3
!5 3
5
3
5
3
5
CCC 103
5 C
30
!4
65!4
!4
!6
!26
!6 2
6
2
6
2
6
2
6
AAAA
26
Deci 2
6
3
55 ACP =120-10-30=80
Obs. Am folosit faptul că un factorial mai mare se poate exprima în funcţie de un factorial
mai mic
Exemplu: 65!4654321!6 sau 6!5!6 sau 654!3!6 etc.
2. Să se compare numerele 4
5
1
5 CCa şi 4
4
3
4
2
4
1
4
0
4 CCCCCb .
Rezolvare: Ştim formula de calcul pentru combinări: )!(!
!
knk
nC k
n
şi formula pentru
combinări complementare : kn
n
k
n CC
5!41
5!4
!4!1
!5 1
5
1
5
1
5
CCC , 54
5
1
5
4
5
45
5
4
5 CCCCC
Avem de calculat 4
5
1
5 CCa rezultă că 10a
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4 CCCCCb , ştim că nn
n
k
nnnn CCCCC 2......210
rezultă că 1624 bb ; comparând a cu b observăm că ba .
3. Să se rezolve ecuaţia: 202 nA .
Rezolvare: ştim formula de calcul pentru aranjamente: )!(
!
kn
nAk
n
, 0 k n, pe care o
aplicăm în cazul nostru
!2
1!2
!2
! 22
n
nnnA
n
nA nn după simplificare avem nnAn 12 ,
Nnn ,2
Ecuaţia noastră 202 nA devine: 020201 2 nnnn ecuaţie de gradul II
care are soluţiile 51 n şi 42 n ; cum Nnn ,2 , rezultă că soluţia ecuaţiei este
n=5.
4. Să se determine numărul tuturor submulţimilor de 3 elemente ce se pot forma cu
elemente din mulţimea {1,2,3,4,5,6,7}.
Rezolvare: Cunoaştem definiţia combinărilor: se numesc combinări de n elemente luate
câte k, 0<k<n, submulţimile neordonate lui E, având fiecare k elemente, unde E esteo
mulţime nevidă cu n elemente.
În cazul nostru este vorba de combinări de 7 elemente luate câte 3
Deci: )!(!
!
knk
nC k
n
, 0 k n, !4321
765!4
!37!3
!7 3
7
3
7
CC simplficăm cu 4!,
apoi cu 2 respectiv cu 3 , rezultă 353
7 C .
5. Să se calculeze numărul submulţimilor mulţimii {1,2,3,4,5,6}, care au un număr par
de elemente.
Rezolvare: numărul de submulţimi se află cu combinări, cele care au număr par de
elemente sunt 6
6
4
6
2
6 ,; CCC .
)!(!
!
knk
nC k
n
,0 k n, rezultă că : 15!421
65!4
!4!2
!6 2
6
2
6
2
6
CCC
Calculând cu aceeaşi formulă obţinem : 154
6 C şi 16
6 C
27
Cum avem de calculat numărul total de submulţimi având un număr par de elemente,
adunăm rezultatele obţinute: 15+15+1=31.
6. Se consideră 8 puncte, oricare 3 necoliniare. Câte drepte trec prin cel puţin 2 puncte
din cele 8 ?
Rezolvare : trebuie să aflăm câte submulţimi de câte 2 puncte se pot forma din cele 8
existente, deci utilizăm formula combinărilor )!(!
!
knk
nC k
n
, 0 k n, şi obţinem
282
8 C drepte.
7. Să se rezolve ecuaţia :
210!6
!4
n
n.
Rezolvare : condiţii : NnnNnn
Nnn
,6
,6
,4
Apoi folosim faptul că un factorial mai mare se poate exprima în funcţie de un factorial
mai mic
De exmplu
,1!2123!4123...321! nnnnnnnnnnnnn
etc. ; prin urmare 45!6!4 nnnn , înlocuind în ecuaţie obţinem :
210!6
!4
n
n
0190921045210!6
45!6 2
nnnn
n
nnn, ecuaţie de
gradul II, care are soluţiile 191 n şi 102 n , dar Nnn ,6 , deci soluţia ecuaţiei
este 191 n .
8. Să se determine câte numere de 3 cifre distincte se pot forma cu elementele mulţimii
{1,2,3,4,5}.
Rezolvare: în numere contează şi ordinea cifrelor, aste înseamnă că vom forma
submulţimi ordonate de câte 3 cifre, folosind elementele mulţimii {1,2,3,4,5}; ştim că : se
numesc aranjamente de n elemente luate câte k, 0<k<n, submulţimile ordonate ale lui
E, având fiecare k elemente, unde E este o mulţime nevidă cu n elemente. Prin urmare,
în problema noastră este vorba de aranjamente de 5 elemente luate câte 3. Cunoaştem
formula pentru aranjamente: )!(
!
kn
nAk
n
,0 k n, rezultă că se pot forma
60!2
543!2
!2
!5 3
5
3
5
AA numere.
9. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element n al mulţimii {1,2,3,4,5,6}, acesta
să verifice inegalitatea !22 nnn .
Rezolvare: trebuie să vadem care dintre elementele mulţimii {1,2,3,4,5,6} verifică
inegalitatea !22 nnn ;
!11212 (A); 28!22222 (A); 615!33232 (A);
2424432124!44242 (F); 12035!55252 (F);
72048!66262 (F).
28
posibilecaznr
favorabilecaznrP
..
.. , nr. cazuri posibile = 6, nr. cazuri favorabile = 3, rezultă că
2
1
6
3P .
10. Să se calculeze 2006
2009
3
2009 CC .
Rezolvare: cunoştem formula combinărilor complementare: kn
n
k
n CC şi observăm că
2006
2009
3
2009
32009
2009
3
2009 CCCC , prin urmare 2006
2009
3
2009 CC =0
11. Să se calculeze 4
1977
5
1977
5
1978 CCC .
Rezolvare: ştim formula de descompunere a combinărilor: 1
11
k
n
k
n
k
n CCC ,
aplicând-o în cazul nostru : 4
1977
5
1977
5
1978 CCC deci 4
1977
5
1977
5
1978 CCC =0
12. Să se rezolve inecuaţia 183 nAn , 3, nNn .
Rezolvare: ştim )!(
!
kn
nAk
n
,0 k n, aplicând în cazul nostru, avem
18!3
12!318
!3
!
n
n
nnnnn
n
n ; simplificăm cu !3n
respectiv cu 1n , putem face asta deoarece 3, nNn . Rezultă inecuaţia
08282 2 nnnn
Ataşăm ecuaţia de gradul II : 0822 nn care are soluţiile 41 n şi 22 n ; pentru a
afla soluţia inecuaţiei, realizăm tabelul de semn:
n -2 4
822 nn + + + + + + + 0 - - - - - - - - - 0 + + + + + + + +
+ +
Din tabel, rezultă că 0822 nn , 3, nNn , pentru 4;2;3 Nn
4;3 n .
13. Să se rezolve inecuaţia 2
1515
xx CC , 2, xNx .
Rezolvare: condiţii
Nxx
x
x
,2
152
15
Dx 15;...;4;3;2
2
1515
xx CC xxxxxxxx 1716!15!2!15!21
Simplificând, inecuaţia devine : xxxx 17161 22 33272 xxxx 27232 x
5,8 x ;5,8x , prin urmare soluţia problemei este
15;14;13;12;11;10;9;5,8 D .
29
Temă
1. Să se calculeze 3
5
5
74 ACP .
2. Să se compare numerele 4
6
2
6 CCa şi 5
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
5 CCCCCCb .
3. Să se rezolve ecuaţia: 22 nCn .
4. Să se determine numărul tuturor submulţimilor de 4 elemente ce se pot forma cu
elemente din mulţimea {1,2,3,4,5,6,7}.
5. Se consideră 11 puncte, oricare 3 necoliniare. Câte drepte trec prin cel puţin 2
puncte din cele 11 ?
6. Să se rezolve ecuaţia :
.6!2
!
n
n
7. Să se determine câte cuvinte din 4 litere distincte se pot forma cu un alfabet de 8
litere.
8. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element n al mulţimii {1,2,3,4,5},
acesta să verifice inegalitatea !32 nnn .
9. Să se calculeze 12001
2005
4
2005 CC .
10. Să se calculeze 5
1989
6
1989
6
1990 CCC .
11. Să se rezolve inecuaţia 23 nCn , 3, nNn .
12. Să se rezolve inecuaţia 2
1111
xx CC , 2, xNx .
13. Găsiţi probleme asemănătoare sau care folosesc aceleaşi noţiuni în variantele de
bacalaureat şi
rezolvaţi-le. Aţi întâmpinat greutăţi? Notaţi-le şi discutaţi-le la ora de matematică!
30
FIŞA NR. 9 – ELEMENTE DE GEOMETRIE- VECTORI
propunător prof. Rodica Trişcă
BREVIAR TEORETIC
Regula paralelogramului
Regula triunghiului
Vectori coliniari
Fie u un vector nenul şi v un vector oarecare.
1. Dacă u şi v sunt coliniari, atunci există un număr real , unic, astfel încât v = u .
2. Dacă există R astfel încât v = u , atunci u şi v sunt coliniari.
Probleme rezolvate
1. Se consideră triunghiul echilateral ABC, M este mijlocul laturii BC , O este centrul
triunghiului. Să se determine a real , astfel încât AOaAM .
2. Să se demonstreze că în hexagonul regulat ABCDEF, are loc relaţia ADAFAB2
1 .
ADACABvu
vACuAB
;
31
3. Se consideră patrulaterul ABCD în care BDADCD .Să se demonstreze că ABCD este
paralelogram.
4.Se consideră rombul ABCD. Să se calculeze ODOCOBOA .
5. În dreptunghiul ABCD să se calculeze CBAD .
ADAFAB
ADAFAB
DABAFAADAFAB
DACBEF
FADC
BADE
EFDEADAF
CBDCADAB
2
1
2
2
32
6. Să se demonstreze că în hexagonul regulat ABCDEF, COCDCB .
Rezolvare: O este intersecţia diagonalelor, respectiv centrul cercului circumscris hexagonului
regulat; BCDO este paralelogram pentru că toate cele patru laturi au lungimi egale ( latura
hexagonului este egală cu raza cercului circumscris); prin urmare, conform regulii
paralelogramului COCDCB .
7.Se consideră punctele A,B,C,D nu toate coliniare. Dacă 0CBAD , să se demonstreze că
patrulaterul ABCD este paralelogram.
Rezolvare: dacă A,B,C,D sunt puncte, nu toate coliniare, atunci din 0CBAD rezultă că
AD şi CB sunt vectori opuşi ( au aceeaşi direcţie- dreptele suport sunt paralele , au lungimi
egale şi sensuri opuse);
deci AD ║ BC şi AD=BC, adică ABCD este paralelogram.
8. Dacă 03 CBAB , să se calculeze raportul BC
AB.
Rezolvare: 03 CBAB adică CBAB 3 , dar CBBC deci BCAB 3
33
BC
BC
BC
AB
9. Fie triunghiul echilateral ABC înscris într-un cerc de centru O ; să se calculeze
BOBABC 3 .
Rezolvare:
Temă
1. Găsiţi probleme de acelaşi tip în variante, rezolvaţi-le şi discutaţi-le în clasă cu profesorul şi
colegii dvs.
33
FIŞA NR. 10 – ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ IX-X-XI
propunător prof. Rodica Trişcă
BREVIAR TEORETIC
1. Un reper cartezian XOY determină în plan o împărţire a planului în patru cadrane:
I = {M(x,y)/ x>0, y>0}, II = {M(x,y)/ x<0, y>0},
III = {M(x,y)/ x<0, y<0}, IV = {M(x,y)/ x>0, y<0}.
2. M1 11; yx , M2 22 ; yx în sistemul XOY , distanţa dintre cele două puncte este
212
2
1221 );( yyxxMMd
3. v ( x;y) v x i + y j , 22 yxv , x , y coordonatele vectorului v ;
4. ,;,; 222111 yxvyxv R , atunci ;;;; 212121111 yyxxvvyxv
1v coliniar cu Rav 2 a.î. 21 vav sau ay
y
x
x
2
1
2
1 ;
5. M1 11; yx , M2 22 ; yx în sistemul XOY , 121221 ; yyxxMM ,
2121
2
12
2
1221 ;; MMlMMdyyxxMM
6. MM yxM ; mijlocul segmentului AB ,
;2
,2
;,; BAM
BAMBBAA
yyy
xxxyxByxA
7. GG yxG ; centrul de greutate al triunghiului ABC ,
CCBBAA yxCyxByxA ;,;,; ;3
,3
CBAG
CBAG
yyyy
xxxx
8. Ecuaţiile dreptei în plan
-ecuaţia generală este d: ax + by + c = 0, a,b,cR, 0a sau 0b care poate fi scrisă şi
nmxyd : unde m este panta dreptei .
-ecuaţia dreptei de pantă m care trece prin punctul Mo(xo; yo) este d: y-yo = m(x-xo), mR
-ecuaţia dreptei care trece prin punctele M1(x1; y1) şi M2(x2; y2) este
M1M2 : 2121
12
1
12
1 ,, yyxxyy
yy
xx
xx
. Panta dreptei M1M2 este
12
12
21 xx
yym MM
-distanţa de la un punct Mo(xo; yo) la dreapta d: ax + by + c=0, este d(Mo; d) = 22
00
ba
cbyax
-coordonatele punctului de intersecţie al dreptelor 0: 1111 cybxad ;
0: 2222 cybxad se determină ca soluţie a sistemului
0
0
222
111
cybxa
cybxa.
-poziţiile relative ale dreptelor în plan
d1, d2 d1: a1x + b1y + c1 = 0;
d2 : a2x + b2y + c2 = 0
d1 : y = m1x + n1 ;
d2 : y = m2x + n2
Coincid
2
1
2
1
2
121
c
c
b
b
a
add 2121 mmdd şi 21 nn
Paralele
2
1
2
1
2
121
c
c
b
b
a
add 2121 mmdd şi 21 nn
Perpendiculare 0212121 bbaadd 12121 mmdd
34
-aria triunghiului ABC, unde CCBBAA yxCyxByxA ;,;,; , este = 2
1 unde
1
1
1
C
B
A
C
B
A
y
y
y
x
x
x
.
Probleme rezolvate
1. Fie punctele 2;3 A şi 3;5B . Să se determine numerele reale a şi b astfel încât
jbiaAB .
Rezolvare: ştim că dacă M1 11; yx , M2 22 ; yx sunt puncte în sistemul XOY atunci
121221 ; yyxxMM , deci 5;823;35 ABAB
Mai ştim că dacă yxv ; atunci jyixv , deci jiAB 58 , dar jbiaAB , rezultă
5,8 ba .
2. În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0;1A şi 4;5B . Să se determine
coordonatele vectorului ABOBOA .
Rezolvare: ştim că dacă M1 11; yx , M2 22 ; yx sunt puncte în sistemul XOY atunci
121221 ; yyxxMM , iar 0;0O ; prin urmare: 0;1OA , 4;5OB , 4;6AB
Mai ştim că dacă ,;,; 222111 yxvyxv atunci ;; 212121 yyxxvv deci
ABOBOA 440;651 , adică ABOBOA 0;2
3. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctele 3;4A şi 3;2 B .
Rezolvare: cunoaştem că ecuaţia dreptei care trece prin punctele M1(x1; y1) şi M2(x2; y2) este
M1M2 : 2121
12
1
12
1 ,, yyxxyy
yy
xx
xx
, deci
33
3
42
4:
yxAB
6
3
6
4:
yxAB
3646: yxAB , simplificăm ecuaţia cu 6 şi 34: yxAB ,
1: xyAB
sau 01: yxAB .
4. În reperul cartezian (O, i , j ) se consideră vectorii jiu 25 şi jiv 4 . Să se
determine coordonatele vectorului vu 26 .
Rezolvare: ştim că dacă ,;,; 222111 yxvyxv R , atunci
;;;; 212121111 yyxxvvyxv
şi dacă v ( x;y) v x i + y j ;
prin urmare vu 26 = (6 ji 25 ) + 2( ji 4 ) jijiji 1438281230 .
5. În reperul cartezian (O, i , j ) se consideră vectorii jiu 25 şi jiav 43 . Să se
determine numărul real a pentru care cei doi vectori sunt coliniari.
35
Rezolvare: ştim că 1v coliniar cu Rav 2 a.î. 21 vav sau ay
y
x
x
2
1
2
1 cu alte cuvinte
cei doi vectori sunt coliniari dacă coordonatele lor sunt proporţionale.
Deci u şi v sunt coliniari dacă 4
2
3
5
a a2620 ( am folosit : produsul
extremilor=produsul mezilor ); 13 a .
6. Să se determine numărul real a pentru care dreptele 063 yx şi 022 ayx sunt
paralele.
Rezolvare: cunoaştem că 2
1
2
1
2
121
c
c
b
b
a
add deci
a
1
2
3
ceea ce înseamnă că
3
223 aa .
7. Să se determine distanţa dintre punctele )5;4(A şi )1;2( B .
Rezolvare: cunoaştem că dacă M1 11; yx , M2 22 ; yx distanţa dintre cele două puncte este
212
2
1221 );( yyxxMMd , deci 22
5142);( BAd
26);(3636);( BAdBAd .
8. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin A(-5;4) şi este paralelă cu dreapta de ecuaţie
2x-3y+6=0.
Rezolvare: ştim că 2121 mmdd şi 21 nn unde 1m şi 2m sunt pantele celor două
drepte. Mai ştim că
ecuaţia dreptei de pantă m care trece prin punctul Mo(xo; yo) este d: y-yo = m(x-xo), mR;
ecuaţia dreptei cerute este AdA xxmyyd : adică 54: xmyd d . Dreapta d este
paralelă cu dreapta
0632: yxd 23
2:623: xydxyd
3
2 dm . Cum
dd mmdd
rezultă că 3
2dm , prin urmare ecuaţia dreptei d cerute este 5
3
24: xyd
3
22
3
2:4
3
10
3
2: xydxyd sau 02232: yxd .
9. Să se determine coordonatele punctului C simetricul punctului A(1;5) faţă de punctul B(-
3;0).
Rezolvare: punctul C este simetricul punctului A(1;5) faţă de punctul B(-3;0), ceea ce
înseamnă că AB=BC,
adică d(A;B)=d(B;C) şi A,B,C coliniare, deci B este mijlocul segmentului AC .Cunoaştem :
MM yxM ; mijlocul segmentului AB ,
;2
,2
;,; BAM
BAMBBAA
yyy
xxxyxByxA
36
în cazul nostru ),;( AA yxA );( CC yxC şi );( BB yxB mijloc, rezultă
2;
2
CAB
CAB
yyy
xxx
adică 5;72
50;
2
13
CC
CC yxyx
, deci )5;7( C .
10. În sistemul cartezian xOy se consideră punctele A(1;3), B(-6;-4), C(5;-2). Se cer:
a) ecuaţia medianei duse din B;
b) perimetrul triunghiului ABC.
Rezolvare: a) mediana în triunghi este dreapta care trece printr-un vârf al triunghiului şi prin
mijlocul laturii opuse; mediana dusă din B este dreapta BM, unde M este mijlocul laturii AC.
Coordonatele lui M sunt 2
,2
CAM
CAM
yyy
xxx
adică
2
1
2
23,3
2
51
MM yx
Ecuaţia dreptei BM este: BM
B
BM
B
yy
yy
xx
xx
, deci
42
1
4
63
6:
yxBM
2
9
4
9
6:
yxBM
826:7218549:36962
9
2
9: yxBMyxBMyxBM (am împărţit
ecuaţia cu 9)
022: yxBM .
b) perimetrul triunghiului = suma lungimilor laturilor = suma distanţelor dintre vârfurile
triunghiului
adică perimetrul = d(A;B) + d(B;C) + d(C;A)
perimetrul triunghiului =
222222
CACABCBCABAB yyxxyyxxyyxx
2222225421177 4155274112598 .
11. Să se determine punctul D astfel încât patrulaterul ABCD să fie paralelogram. Se cunosc
A(-2;-3), B(4;3) şi C(9;5).
Rezolvare: Fie O punctul de intersecţie al diagonalelor patrulaterului BDACO , dacă
patrulaterul este paralelogram atunci O este centru de simetrie, deci O este mijlocul
segmentelor AC respectiv BD.
O mijlocul segm. AC 2
;2
CAO
CAO
yyy
xxx
adică 1;
2
7 OO yx
O mijlocul segm. BD 2
;2
DBO
DBO
yyy
xxx
adică
2
31;
2
4
2
7 DD yx
1;3 DD yx )1;3( D
12. Să se calculeze distanţa de la O(0;0) la punctul de intersecţie al dreptelor 0543 yx
şi 032 yx .
37
Rezolvare: cunoaştem : coordonatele punctului de intersecţie al dreptelor
0: 1111 cybxad ; 0: 2222 cybxad se determină ca soluţie a sistemului
0
0
222
111
cybxa
cybxa.
Fie 0543:1 yxd şi 032:2 yxd
Add 21 , coordonatele lui A se află rezolvând sistemul
0
0
222
111
cybxa
cybxa adică
2 83 4 5 0 3 5
3 4 5 0 3 4 5 0 3 4 5 0 5 5
2 3 0 3 6 9 0 10 4 0 24 2
510 5
33
15
2
5
x xx y x y x y
x y x y yyy
x
y
deci
5
2;
15
33A . Distanţa de la O la A este
59
45
225
1125
25
4
225
1089
5
2
15
33);(
22
22
OAOA yyxxAOd
13. Să se determine numărul real m pentru care punctul )1;5( A se află pe dreapta
02 myx .
Rezolvare: un punct aparţine unei drepte dacă coordonatele sale verifică ecuaţia dreptei:
7070)1(25 mmm .
14. Să se determine numărul real m pentru care punctele )7;(),5;2(),2;1( mCBA sunt
coliniare.
Rezolvare: punctele A, B, C sunt coliniare dacă se află pe aceeaşi dreaptă, deci ABC
Folosind problema anterioară, rezultă : coordonatele lui C trebuie să verifice ecuaţia dreptei
AB
03:3
2
3
1:
25
2
12
1::
yxAB
yxAB
yxAB
yy
yy
xx
xxAB
AB
A
AB
A
ABC 4037 mm .
15. Să se determine ecuaţia dreptei ce trece prin punctul A(2;-3) şi are panta m=2.
Rezolvare: ecuaţia dreptei de pantă m care trece prin punctul Mo(xo; yo) este d: y-yo = m(x-
xo).
Deci AA xxmyyd : 223: xyd 0423: xyd
072: yxd
16. În reperul cartezian xOy se consideră punctele );5(),1;2(),4;3( mCBA . Să se determine
numărul real m pentru care triunghiul ABC este dreptunghic în A.
38
Rezolvare: conform teoremei lui Pitagora, dacă ABC este dreptunghic în A atunci 222 BCACAB
Adică 2
222
222
22 134835
mm
2219464925 mm ;
1051281216889 22 mmmmmm 3
52
6
1041046
mm
17. Să se determine numerele reale a, b pentru care punctele A(a;b) şi B(3;b-2) aparţin dreptei
0252 yx .
Rezolvare: un punct aparţine unei drepte dacă coordonatele sale verifică ecuaţia dreptei,
dA şi dB
5
18
8
5
18
162
5
18
5
18
025
1852
0185
0252
022532
0252
b
a
b
a
b
a
b
ba
b
ba
18. Să se calculeze aria triunghiului ABC unde )1;5(),4;0(),2;3( CBA .
Rezolvare:
aria triunghiului ABC, unde CCBBAA yxCyxByxA ;,;,; , este = 2
1 unde
1
1
1
C
B
A
C
B
A
y
y
y
x
x
x
în cazul nostru 45302010012
1
1
1
1
4
2
5
0
3
, aria = 2
1 =
2
45.
19. În reperul cartezian xOy se consideră punctul A(4;1) şi punctele B,C simetricele punctului
A faţă de axa Ox respectiv Oy. Să se calculeze distanţa dintre punctele B şi C.
Rezolvare: B simetricul lui A faţă de Ox, atunci B(4;-1); C este simetricul lui A faţă de Oy,
atunci C(-4;1)
172684641144);(2222
BCBC yyxxCBd .
Temă
1.Fie punctele 4;5A şi 3;2 B . Să se determine numerele reale a şi b astfel încât
jbiaAB .
2.În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1;2A şi 4;0 B . Să se determine
coordonatele vectorului ABOBOA 2 .
3. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctele 3;5 A şi 4;3B .
39
4. În reperul cartezian (O, i , j ) se consideră vectorii jiu 34 şi jiv 25 . Să se
determine coordonatele vectorului vu 43 .
5. În reperul cartezian (O, i , j ) se consideră vectorii jiu 35 şi jaiv )2(6 . Să se
determine numărul real a pentru care cei doi vectori sunt coliniari.
6. Să se determine numărul real a pentru care dreptele 0732 yx şi 0114 ayx
sunt paralele.
7. Să se determine distanţa dintre punctele )5;6( A şi )1;2( B .
8. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin A(-4;2) şi este paralelă cu dreapta de ecuaţie
-3x+2y+6=0.
9. Să se determine coordonatele punctului C simetricul punctului A(-2;4) faţă de punctul
B(2;3). 10. În sistemul cartezian xOy se consideră punctele A(-1;2), B(-5;-4), C(0;6). Se cer:
a) ecuaţia medianei duse din C;
b) perimetrul triunghiului ABC.
11. Să se determine punctul D astfel încât patrulaterul ABCD să fie paralelogram. Se cunosc
A(-2;0), B(4;3) şi C(6;1).
12. Să se calculeze distanţa de la B(2;0) la punctul de intersecţie al dreptelor 0352 yx
şi 034 yx .
13. Să se determine numărul real m pentru care punctul )2;4( A se află pe dreapta
023 myx .
14. Să se determine numărul real m pentru care punctele )4;3(),1;2(),2;( CBmA sunt
coliniare.
15. Să se determine ecuaţia dreptei ce trece prin punctul A(-4;1) şi are panta m=-3.
16. În reperul cartezian xOy se consideră punctele )0;5(),;3(),4;1( CmBA . Să se determine
numărul real m pentru care triunghiul ABC este dreptunghic în A.
17. Să se determine numerele reale a, b pentru care punctele A(a;b) şi B(a+1;-2) aparţin
dreptei 023 yx .
18. Să se calculeze aria triunghiului ABC unde )1;3(),4;5(),2;0( CBA .
19. În reperul cartezian xOy se consideră punctul A(-3;2) şi punctele B,C simetricele punctului
A faţă de axa Ox respectiv Oy. Să se calculeze distanţa dintre punctele B şi C.
20. Găsiţi probleme asemănătoare sau care folosesc aceleaşi noţiuni în variantele de
bacalaureat şi rezolvaţi-le. Aţi întâmpinat greutăţi? Notaţi-le şi discutaţi-le la ora de
matematică!
40
FIŞA NR. 11 – ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE
propunător prof. Rodica Trişcă
BREVIAR TEORETIC
-relaţia dintre măsura în radiani, t, şi măsura în grade a unghiurior, α, este
180
t.
-dacă α este măsura în grade a unui unghi atunci
2 2sin cos 1, R - identitatea fundamentală a trigonometriei
sin)180sin( , cos)180cos(
sin 90 cos ,cos 90 sin
cos
sintg ,
sin
cosctg
0°=0
rad 30°=
6
rad
45°=4
rad
60°=3
rad
90°=2
rad
180°=
rad
sin 0
2
1
2
2
2
3
1 0
cos 1
2
3
2
2
2
1
0 -1
tg 0
3
3
1 3 / 0
ctg / 3 1
3
3
0 /
Relaţii metrice în plan:
Fie ΔABC cu laturile BC=a, AC=b, AB=c şi înălţimea ah coborâtă din vârful A pe latura
a, A, B, C – măsurile unghiurilor triunghiului, R – raza cercului circumscris triunghiului, r
– raza cercului înscris triunghiului.
-teorema sinusurilor: RC
c
B
b
A
a2
sinsinsin
-teorema cosinusului: Abccba cos2222
-aria triunghiului:
))()(( cpbpappS unde 2
cbap
;
rpR
abcCabahS a
42
sin
2
-dacă ΔABC este dreptunghic cu A=90°, b,c - catete, a – ipotenuză
Ca
bB cossin , C
a
cB sincos , ctgC
c
btgB , tgC
b
cctgB
22
bcahS a ,
a
bcha , 222 acb (teorema lui Pitagora)
-dacă ΔABC este echilateral a=b=c, p=3a, 2
3aha ,
4
32aS
41
Exerciţii rezolvate
1. Se consideră triunghiul ABC cu 5, 2 2, 3AB AC BC . Să se calculeze cos B .
Rezolvare: folosim teorema cosinusului: Abccba cos2222 care mai poate fi scrisă şi 2 2 2 2 cosb a c ac B ; noi cunoaştem 5 , 2 2 , 3AB c AC b BC a
deci 2
2 2 26 132 2 3 5 2 3 5 cos 8 9 25 30cos cos cos
30 15B B B B
2. Să se calculeze aria triunghiului ABC ştiind că 3, 5, 30AB AC m A
Rezolvare: cunoaştem că aria triunghiului este rpR
abcCabahS a
42
sin
2, în problema
noastră alegem sin sin sin
2 2 2
ac B ab C bc AS . Ştim că
3 , 5 , 30AB c AC b m A
prin urmare
1153 5 sin 30 152
2 2 4S
.
3. Să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC , ştiind că
5, 60AC m B .
Rezolvare: cunoaştem teorema sinusurilor: RC
c
B
b
A
a2
sinsinsin , în problema noastră
putem folosi
5 5 5 5 5 32 2
sin sin 60 2 sin 60 33 32
2
bR R R R R R
B
.
4. Fie triunghiul dreptunghic ABC şi D mijlocul catetei AC. Să se calculeze lungimea
ipotenuzei BC, ştiind că 6, 5AD AB .
Rezolvare: cunoaştem 222 acb (teorema lui Pitagora), în problema noastră
2 2 6 12AC AD AC AC şi AB=5
5. Se consideră triunghiul ABC cu aria egală cu 7, cu 5AC şi 6BC . Să se
calculeze sinC .
Rezolvare: cunoaştem că aria triunghiului este sin sin sin
2 2 2
ac B ab C bc AS
În cazul nostru, ştim 5AC b şi 6BC a , deci sin
2
ab CS
5 6 sin 2 7 77 sin sin
2 5 6 15
CC C
6. Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC, ştiind că 4, 7, 60AB AC m A .
42
Rezolvare: folosim teorema cosinusului: Abccba cos2222
2 2 2
2 2 2
4, 7, 60 2 cos
116 49 56cos60 65 56 37 37
2
11 37ABC ABC
c AB b AC m A BC AB AC AB AC A
BC BC BC BC
Perimetrul AB AC BC Perimetrul
7. Să se calculeze lungimea înălţimii din A în triunghiului ABC, ştiind că
12, 5, 13AB AC BC .
Rezolvare: 2 2 2144, 25, 169AB AC BC . Observăm că 2 2 2BC AC AB , atunci
conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiului ABC este dreptunghic în A. Prin urmare
, cum a
bcha
5 12 60
13 13a a a
AC ABh h h
BC
8. Să se calculeze aria triunghiului ABC ştiind că 10, 13, 150AB BC m B .
Rezolvare: cunoaştem că aria triunghiului este sin
2
ac BS , 13, 10a BC c AB
1
sin sin150 sin 180 30 sin302
B , rezultă că
113 10
13 5 652
2 2 2S
.
9. Să se demonstreze că în orice triunghi dreptunghic ABC de arie S şi ipotenuză de
lungime a este adevărată identitatea 2 cos cos 2a B C S .
Rezolvare: -dacă ΔABC este dreptunghic cu A=90°, b,c - catete, a – ipotenuză
Ca
bB cossin , C
a
cB sincos şi
2
bcS . Înlocuim în identitate şi obţinem:
2 22
c b b ca cb bc A
a a
.
10. Să se calculeze sin 15 sin 14 ... sin 14 sin 15 .
Rezolvare: ştim că sin0 0 deci sin 15 sin 14 ... sin 14 sin 15 0
11. Să se calculeze cos70 cos110 .
Rezolvare: cos110 cos 180 70 cos70 , deci
cos70 cos110 cos70 cos70 0
12. Să se calculeze sin 45 cos60 sin30 .
Rezolvare: 2 1 1 2
sin 45 cos60 sin302 2 2 2
13. Să se calculeze 2 2sin 75 sin 15 .
Rezolvare: sin 90 cos , deci sin15 sin 90 75 cos75 ,
43
2 2 2 2sin 75 sin 15 sin 75 cos 75 1 ( conform identităţii fundamentale a
trigonometriei).
14. Să se calculeze cos1 cos11 ... cos169 cos179 .
Rezolvare: ştim că cos)180cos( , adică cos 180 cos 0
cos1 cos11 ... cos169 cos179 cos1 cos179 cos11 cos169 .... 0
15. Să se calculeze sin x , ştiind că 4
cos5
x şi 0 ;90x .
Rezolvare: ştim identităţii fundamentale a trigonometriei
2 2sin cos 1,x x x R , 2 216 16 9 3sin 1 sin 1 sin
25 25 25 5x x x
Cum 0 ;90x , rezultă că 3
sin5
x (pozitiv).
16. Să se calculeze aria triunghiului echilateral ABC ştiind că are lungimea înălţimii egală
cu 5 3 .
Rezolvare: ştim că 2
3aha şi
4
32aS , deci
35 3 10
2
aa şi
210 3 100 325 3
4 4S
17. Să se calculeze lungimea laturii AB a triunghiului ABC ştiind că
3, 45 , 60BC m BCA m BAC
Rezolvare: putem folosi teorema sinusurilor: sin sin
a c
A C
unde 3, 45 , 60a BC C m BCA A m BAC , deci
23
3 3 2 22 2sin 60 sin 45 23 3
2
cc
18. Triunghiul ABC este dreptunghic în B, iar raza cercului circumscris triunghiului este
R=5. Să se calculeze lungimea laturii AC.
Rezolvare: triunghiul ABC este dreptunghic în B deci AC este ipotenuza, raza cercului
circumscris este jumătate din ipotenuză, rezultă că 2 2 5 10AC R .
19. Să se determine sin BCD în hexagonul regulat ABCDEF.
Rezolvare: dacă O este centrul cercului circumscris hexagonului, respectiv punctul de
intersecţie al diagonalelor, atunci OBC este echilateral, 60m OCB , analog OCD -
44
echilateral şi 60m OCD rezultă că 120m BCD şi
3
sin sin120 sin 180 60 sin 602
BCD
20. Să se calculeze lg 44 lg 45 lg 46 lg 47 ...lg 54tg tg tg tg tg .
Rezolvare: 45 1 lg 45 lg1 0tg tg rezultă
lg 44 lg 45 lg 46 lg 47 ...lg 54 0tg tg tg tg tg
21. Să se calculeze cos10 cos20 cos11 cos19 ... cos20 cos10 .
Rezolvare: printre paranteze se află şi cos15 cos15 0 rezultă că
cos10 cos20 cos11 cos19 ... cos20 cos10 0
22. Ştiind că sin 40 cos40 a , să se calculeze sin140 sin140 a .
Rezolvare: sin140 sin 180 40 sin 40 ;cos140 cos 180 40 cos40
sin140 sin140 sin40 cos40 0a a a a
Temă
1. Se consideră triunghiul ABC cu 5, 5 2, 4AB AC BC . Să se calculeze
cosC .
2. Să se calculeze aria triunghiului ABC ştiind că 3, 5, 60BC AC m C .
3. Să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC , ştiind că
4, 45AB m C .
4. Fie triunghiul dreptunghic ABC şi D mijlocul catetei AB. Să se calculeze
lungimea ipotenuzei BC, ştiind că 3, 8AD AC .
5. Se consideră triunghiul ABC cu aria egală cu 9, cu 5AB şi 6BC . Să se
calculeze sin B .
6. Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC, ştiind că
5, 8, 60AB BC m B .
7. Să se calculeze lungimea înălţimii din A în triunghiului ABC, ştiind că
8, 6, 10AB AC BC .
8. Să se calculeze aria triunghiului ABC ştiind că 10 2, 12, 135AB BC m B .
9. Să se demonstreze că în orice triunghi dreptunghic ABC de arie S şi ipotenuză de
lungime a este
adevărată identitatea 2
a
Sh tgB tgC
a .
10. Să se calculeze sin 11 sin 10 ... sin 10 sin 11 .
11. Să se calculeze cos50 cos130 .
12. Să se calculeze cos45 sin60 30tg .
13. Să se calculeze 2 2sin 65 sin 25 .
45
14. Să se calculeze cos2 cos12 ... cos168 cos178 .
15. Să se calculeze cos x , ştiind că 4
sin5
x şi 90 ;180x .
16. Să se calculeze aria triunghiului echilateral ABC ştiind că are lungimea înălţimii
egală cu 7 3 .
17. Să se calculeze lungimea laturii AB a triunghiului ABC ştiind că
6, 60 , 45BC m BCA m BAC
18. Triunghiul ABC este dreptunghic în C, iar raza cercului circumscris triunghiului
este R=7. Să se calculeze lungimea laturii AB.
19. Să se determine sin CDE în hexagonul regulat ABCDEF.
20. Să se calculeze ln 40 ln 41 ln 42 ln 43 ...ln 60tg tg tg tg tg .
21. Să se calculeze cos5 cos15 cos6 cos14 ... cos15 cos5 .
22. Ştiind că sin60 cos60 a , să se calculeze sin120 sin120 a .
23. Găsiţi probleme asemănătoare sau care folosesc aceleaşi noţiuni în variantele de
bacalaureat şi rezolvaţi-le. Aţi întâmpinat greutăţi? Notaţi-le şi discutaţi-le la ora de
matematică!
46
BIBLIOGRAFIE
Alexandru Blaga, Gheorghe Miclăuş, Mircea Farcaş, Ovidiu T. Pop- Matematică-
clasa a X-a ( TC + CD) –Editura DACIA, 2005;
Marius Burtea, Georgeta Burtea – Matematică –manual clasa a IX-a (TC + CD) – Editura CARMINIS, 2004;
Mircea Ganga – Matematică – manual clasa a X-a ( algebră – M1) – Editura MATHPRESS, 2001
C. Năstăsescu, M. Brandiburu, C. Niţă, D. Joiţă – Exerciţii şi probleme de algebră- pentru clasele IX-XII – Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981
Variantele pentru examenul de Bacalaureat, propuse de SNEE, 2007, 2008
Grup de autori – Ghid de pregătire pentru examenul de bacalaureat la matematică 2007 – Editura SIGMA, 2006
47