+ All Categories
Transcript
Page 1: privind execut˘ia proiectului ^ n perioada ianuarie 2012 ...dbeltita/PCE2011-3-0131_RS_2012-2013.pdf · asociat lui g, a c arui operat˘ie de^ nmult˘ire este de nit a prin formula

Raport stiintific sintetic

privind executia proiectului ın perioada ianuarie 2012 – noiembrie 2013

Cuprins

1. Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Reprezentari de algebre Lie nilpotente infinit dimensionale . . . . . . . 13. Calcul Weyl-Pedersen pe orbite coadjuncte plate . . . . . . . . . . . . 24. Aplicatii la orbite coadjuncte de tip general . . . . . . . . . . . . . . . 45. Vectori diferentiabili pentru reprezentarile contragradiente . . . . . . . 66. Algebre de operatori integrali pe grupuri local compacte . . . . . . . . 97. Structura algebrelor Lie nilpotente de pas 3 . . . . . . . . . . . . . . . 108. Caracterizarea spatiilor Gelfand-Shilov-Roumieu . . . . . . . . . . . . 11Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1. Introducere

In cele ce urmeaza facem sinteza celor mai importante rezultate obtinute ıncadrul Etapelor I–II (1 ianuarie 2012 – 30 noiembrie 2013) ale proiectului cu codulPN-II-ID-PCE-2011-3-0131, avand titlul Operator Calculus for Lie Group Repre-sentations, with Applications to PDE and Quantum Physics.

Rezultatele prezentate mai jos sunt incluse ın 11 articole accesibile pe internet.Stadiul lor de publicare este urmatorul:

• Toate cele 3 lucrari [1], [2] si [3] realizate in Etapa I (2012) au fostdeja publicate sau acceptate spre publicare, doua ın reviste cotateISI iar unul ıntr-un volum aparut la Birkhauser (Springer).• Dintre cele 9 lucrari [4]–[12] realizate ın Etapa II (2013), arti-

colele [4], [5], si [6] a fost deja publicate sau acceptate spre publi-care ın reviste cotate ISI, iar alte 4 sunt ın prezent evaluate dereferenti de asemenea pentru publicatii cotate ISI.

Lista acestor articole cu referinte bibliografice complete poate fi gasita ın parteafinala a raportului de fata.

2. Reprezentari de algebre Lie nilpotente infinit dimensionale

In aceasta sectiune prezentam unele rezultate din articolul [1], acceptat sprepublicare ın revista Forum Mathematicum.

Vom lucra ın cadrul urmator:

• Daca nu se specifica altfel, g este o algebra Lie nilpotenta local convexaHausdorff peste K ∈ {R,C}, indexul ei de nilpotenta fiind notat N + 1,unde N ∈ N. Astfel, daca definim g(1) = g si apoi g(j) := [g, g(j−1)] pentruorice j ≥ 2, atunci g(N) 6= {0} = g(N+1).

• G = (g, ∗) este grupul Lie nilpotent local convex, conex si simplu conex,asociat lui g, a carui operatie de ınmultire este definita prin formula Baker-Campbell-Hausdorff pe g. Este de observat ca pentru acest grup Lie lo-cal convex (ın general infinit dimensional) exista o aplicatie exponentialaneteda, care este de fapt aplicatia identica. De aceea vom utiliza acelasi

1

Page 2: privind execut˘ia proiectului ^ n perioada ianuarie 2012 ...dbeltita/PCE2011-3-0131_RS_2012-2013.pdf · asociat lui g, a c arui operat˘ie de^ nmult˘ire este de nit a prin formula

2

tip de notatii pentru elementele din g si G, si vom utiliza notatia G doaratunci cand este util sa fie subliniata structura de grup.• Notam cu C(g,K) spatiul functiilor continue pe g cu valori ın K, ınzestrat

cu topologia convergentei uniforme pe multimile marginite, iar

λ : G→ End (C(g,K)), (λ(x)φ)(y) = φ((−x) ∗ y)

este reprezentarea regulata la stanga a lui G.Pentru φ ∈ C(g,K) si x, y ∈ g, definim

(2.1) (dλ(x)φ)(y) := limt→0

φ((−tx) ∗ y)− φ(y)

t

daca aceasta limita exista.• Pentru orice spatiu local convex Y peste C si orice numar ıntreg m ≥ 0

notam cu Pm(g,Y) spatiul vectorial al functiilor polinomiale continue degrad ≤ m pe g cu valori ın Y, iar cu Pm(g,Y) subspatiul format din functiilepolinomiale omogene de grad m. Spatiul Pm(g,Y) este ınzestrat cu topolo-gia convergentei uniforme pe multimile marginite. Avem descompunerea ınsuma directa topologica

(2.2) Pm(g,Y) = P0(g,Y)u P1(g,Y)u · · ·u Pm(g,Y),

si se poate demonstra ca Pm(g,Y) este un subspatiu ınchis al lui C(g,K).

Teorema 1 ([1]). Daca definim

FG = span (λ(G)g∗)

atunci au loc urmatoarele afirmatii:

(1) Spatiul de functii FG este un subapatiu liniar ınchis al lui PN (g,K) careeste invariant la reprezentarea regulata si contine functiile constante.

(2) Aplicatia λG : G → End (FG), x 7→ λ(x)|FG este o reprezentare neteda

fidela a grupului Lie G si pentru orice x ∈ G avem (λG(x)−1)2N−1N+1 = 0.(3) Aplicatia dλG : g→ End (FG), x 7→ dλ(x)|FG este o reprezentare fidela a

algebrei Lie g si pentru orice x ∈ g avem dλG(x)2N−1N+1 = 0.

In cazul particular al algebrelor Lie-Banach, teorema anterioara are urmatorulcorolar care da un raspuns afirmativ la o problema deschisa dintr-un articol deK.-H. Neeb (Towards a Lie theory of locally convex groups. Japanese J. Math. 1(2006), no. 2, 291–468). Dupa cum se poate vedea, este vorba de fapt despre ovarianta infinit dimensionala a teoremei lui Birkhoff de scufundare pentru algebreLie nilpotente.

Corolar 2 ([1]). Orice grup Lie-Banach nilpotent, conex si simplu conex, de indexde nilpotenta N + 1, are o reprezentare fidela unipotenta normic continua pe unspatiu Banach convenabil, cu indexul de unipotenta cel mult 2N−1N + 1. Oricealgebra Lie-Banach nilpotenta, de index de nilpotenta N + 1, are o reprezentarefidela marginita, prin operatori nilpotenti pe un spatiu Banach, fiecare dintre acestioperatori avand indexul de nilpotenta cel mult 2N−1N + 1.

3. Calcul Weyl-Pedersen pe orbite coadjuncte plate

In aceasta sectiune prezentam unele rezultate din articolul [2], acceptat sprepublicare ın revista International Mathematics Research Notices.

Page 3: privind execut˘ia proiectului ^ n perioada ianuarie 2012 ...dbeltita/PCE2011-3-0131_RS_2012-2013.pdf · asociat lui g, a c arui operat˘ie de^ nmult˘ire este de nit a prin formula

3

Sa consideram un grup Lie nilpotent, conex si simplu conex, notat cu G, cualgebra Lie g al carei centru este notat z. Fie π : G→ B(H) o reprezentare unitaraireductibila asociata cu orbita coadjuncta O ⊆ g∗. Definim Diff (O) ca fiind spatiultuturor operatorilor diferentiali liniari D pe O care sunt invarianti la actiuneacoadjuncta, ın sensul urmator:

(∀g ∈ G)(∀a ∈ C∞(O)) D(a ◦Ad∗G(g)|O) = (Da) ◦Ad∗G(g)|O.

Vom presupune ca O este o orbita coadjuncta plata generica. Acest lucru esteechivalent cu conditia dimO = dim g − dim z, ceea ce este echivalent cu faptulca reprezentarea π este de patrat integrabil modulo centru lui G. Calculul Weyl-Pedersen Op: S ′(O) → L(H∞,H−∞) este un izomorfism liniar topologic, unicdeterminat prin conditia ca pentru orice b ∈ S(g) avem

Op(b|O) =

∫g

π(expGX)b(X)dX,

unde b(ξ) =∫g

ei〈ξ,Y 〉b(Y )dY pentru orice ξ ∈ g∗ iar 〈·, ·〉 : g∗×g→ R este paranteza

de dualitate. Mai sus am utilizat de asemenea notatia H∞ pentru spatiul Frechetnuclear al vectorilor diferentiabili pentru π, H−∞ pentru spatiul functionalelor an-tiliniare continue pe el, iar L(H∞,H−∞) pentru spatiul operatorilor liniari continuiıntre spatiile de mai sus (acesti operatori sunt ganditi ca operatori liniari, posibilnemarginiti, ın H), iar S(•) si S ′(•) sunt spatiul Schwartz si respectiv spatiuldistributiilor temperate.

Teorema 3 ([2]). Fie G un grup Lie nilpotent, conex si simplu conex, ale caruiorbite coadjuncte generice sunt plate. Fie O o astfel de orbita si fie π : G→ B(H)

una dintre reprezentarile unitare ireductibile asociate cu ea. In plus sa alegemp ∈ {0} ∪ [1,∞] arbitrar. Atunci pentru orice a ∈ C∞(O) urmatoarele proprietatisunt echivalente:

(1) Pentru orice D ∈ Diff (O) avem Da ∈ Lp(O).(2) Pentru orice D ∈ Diff (O) avem Op(Da) ∈ Sp(H).

In plus, daca notam cu C∞,p(O) spatiul tuturor simbolurilor cu proprietatile de maisus, atunci calculul Weyl-Pedersen defineste o aplicatie liniara continua

Op: C∞,p(O)→ Sp(H)

atunci cand C∞,p(O) este ınzestrat cu topologia Frechet definita de familia deseminorme {a 7→ ‖Da‖L∞(O)}D∈Diff (O) sau, echivalent, de familia de seminorme{a 7→ ‖Op(Da)‖Sp(H)}D∈Diff (O).

In enuntul de mai sus se utilizeaza spatiile de functii

Lp(O) =

{a : O → C masurab. | ‖a‖∞ := esssup

O|a| <∞} daca p =∞

{a : O → C masurab. | ‖a‖p := (∫O|a|p <∞)1/p} daca p ∈ [1,∞),

{a ∈ L∞(O) | limξ→∞

a(ξ) = 0} daca p = 0,

Page 4: privind execut˘ia proiectului ^ n perioada ianuarie 2012 ...dbeltita/PCE2011-3-0131_RS_2012-2013.pdf · asociat lui g, a c arui operat˘ie de^ nmult˘ire este de nit a prin formula

4

definite ın raport cu masura Liouville determinata de structura simplectica a orbiteicoadjuncte O, precum si idealele de operatori

Sp(H) =

B(H) daca p =∞,{T ∈ B(H) | trace |T |p <∞} daca 1 ≤ p <∞,toti operatorii compacti pe H daca p = 0.

Exemplu 4. Daca π este reprezentarea Schrodinger a grupului Heisenberg dedimensiune (2n + 1), atunci teorema precedenta pentru p = ∞ furnizeaza carac-terizarea spatiului de simboluri de tip S0

0,0 pentru calculul pseudo-diferential Weyl

Op: S ′(R2n)→ L(S(Rn),S ′(Rn)).

Anume, pentru un simbol a ∈ C∞(R2n) avem

(∀α ∈ N2n) ∂αa ∈ L∞(R2n) ⇐⇒ (∀α ∈ N2n) Op(∂αa) ∈ B(L2(Rn)),

unde ∂α sunt derivatele partiale uzuale. Se obtin astfel simultan teorema Calderon-Vaillancourt de L2-marginire si criteriul Beals de caracterizare a operatorilor pseu-do-diferentiali.

4. Aplicatii la orbite coadjuncte de tip general

In aceasta sectiune prezentam unele rezultate din articolul [3], deja publicatıntr-un volum aparut la editura Springer.

Propozitie 5 ([3]). Fie G = (g, ·) un grup Lie nilpotent cu o reprezentare unitaraireductibila π : G → B(H) asociata cu orbita coadjuncta O ⊆ g∗. Daca h este unideal al lui g si H = (h, ·) este subgrupul normal corespunzator al lui G, atunciurmatoarele proprietati sunt echivalente:

(1) Reprezentarea restrictionata π|H : H → B(H) este ireductibila.(2) Aplicatia g∗ → h∗, ξ 7→ ξ|h determina un difeomorfism al lui O pe o orbita

coadjuncta a lui H, care va fi notata O|h.

Daca au loc aceste proprietati, atunci reprezentarea unitara ireductibila π|H ıi esteasociata orbitei coadjuncte O|h a lui H.

Observatie 6 ([3]). In cadrul Propozitiei 5, daca X1, . . . , Xm este o baza Jordan-Holder ın g astfel ıncat X1, . . . , Xk sa fie o baza Jordan-Holder ın h, unde k = dim h,atunci au loc urmatoarele afirmatii:

• Se obtine aceeasi multime de indici de salt e ⊆ {1, . . . , k} pentru G-orbita

coadjuncta O si H-orbita coadjuncta O|h. In particular ge = he ⊆ h siorbita O.• Difeomorfismul H-echivariant Θ: O → O|h, ξ 7→ ξ|h, interverteste trans-

formarile Fourier orbitale S ′(O) → S ′(ge) = S ′(he) si S ′(O|h) → S ′(he).De aceea, utilizand observatia precedenta,

(∀a ∈ S ′(O)) Opπ(a) = Opπ|H (a ◦Θ−1).

• Difeomorfismul H-echivariant Θ induce de asemenea un homomorfism in-jectiv unital de algebre asociative

Diff (O) ↪→ Diff (O|h), D 7→ Dh,

Page 5: privind execut˘ia proiectului ^ n perioada ianuarie 2012 ...dbeltita/PCE2011-3-0131_RS_2012-2013.pdf · asociat lui g, a c arui operat˘ie de^ nmult˘ire este de nit a prin formula

5

astfel ıncat D(a◦Θ) = (Dha)◦Θ pentru orice a ∈ C∞(O|h) si D ∈ Diff (O).

In particular, rezulta ca pentru p ∈ {0} ∪ [1,∞] obtinem o aplicatie liniarainjectiva

C∞,p(O) ↪→ C∞,p(O|h), a 7→ a ◦Θ−1.

Corolar 7 ([3]). Daca are loc una dintre afirmatiile echivalente ale Propozitiei 5 demai sus si daca H-orbita coadjuncta O|h este plata, atunci pentru orice a ∈ C∞b (O)avem Opπ(a) ∈ B(H), si ın plus calculul Weyl-Pedersen defineste o aplicatie liniaracontinua Opπ : C∞b (O)→ B(H).

Este de remarcat ca orbita coadjuncta a reprezentarii π din Corolarul 7 ar puteasa nu fie plata, si totusi am obtinut un rezultat de L2-marginire exact ca si cel dinTeorema 2. Dam acum un exemplu concret de grup Lie nilpotent de index 3 careilustreaza acest rezultat.Exemplu 8 ([3]). Reamintim algebra Heisenberg h2n+1 = R2n × R cu paran-teza Lie bracket [(x, t), (x′, t′)] = (0, ω(x, x′)) pentru x, x′ ∈ R2n si t, t′ ∈ R, undeω : R2n×R2n → R este forma simplectica data de ω((q, p), (q′, p′)) = (p | q′)−(p′ | q)pentru (q, p), (q′, p′) ∈ Rn × Rn = R2n. Rezulta usor ca daca se considera grupulsimplectic Sp(R2n, ω) = {T ∈ M2n(R) | (∀x, x′ ∈ R2n) ω(Tx, Tx′) = ω(x, x′)}atunci orice T ∈ Sp(R2n, ω) determina un automorfism αT ∈ Aut (h2n+1) prin for-

mula αT (x, t) = (Tx, t) pentru x ∈ R2n si t ∈ R. In plus, aplicatia α : Sp(R2n, ω)→Aut (h2n+1) ' Aut (H2n+1), T 7→ αT , este un homomorfism injectiv de grupuri. Pede alta parte, daca scriem elementele lui Sp(R2n, ω) ca matrici 2× 2 de blocuri ınraport cu descompunerea R2n = Rn ×Rn, atunci este bine cunoscut ca Sp(R2n, ω)este un grup Lie a carui algebra Lie este

sp(R2n, ω) ={(A B

C −A>)| A,B = B>, C = C> ∈Mn(R)

}unde B> este transpusa matricii B. In particular, sp(R2n, ω) are urmatoarea sub-algebra Lie abeliana

sn(R) ={(0 0

C 0

)| C = C> ∈Mn(R)

}iar ei ıi corespunde urmatorul subgrup Lie abelian al lui Sp(R2n, ω):

Sn(R) ={(

1 0C 1

)| C = C> ∈Mn(R)

}.

Este usor de vazut ca produsul semidirect product G = Sn(R) nα H2n+1 este ungrup Lie nilpotent, cu algebra Lie g = sn(R) n h2n+1. Daca notam cu symn(R)multimea tuturor matricilor simetrice din Mn(R), privita ca algebra Lie abeliana,atunci avem un izomorfism de algebre Lie g ' symn(R) n h2n+1 cu parantezaLie data de [(C, q, p, t), (C ′, q′, p′, t′)] = (0, 0, Cq′ − C ′q, (p | q′) − (p′ | q)) pentru

C,C ′ ∈ symn(R), q, q′, p, p′ ∈ Rn si t, t′ ∈ R. Rezulta usor ca [g, [g, [g, g]]] = {0}. Inplus, h2n+1 ' {0}×h2n+1 este un ideal al lui g, iar G. Ratcliff (1985) a demonstrat capentru orice G-orbita coadjuncta O ⊆ g∗ de dimensiune maxima avem dimO = n siın plus aplicatia ξ 7→ ξ|h2n+1

determina un difeomorfism al lui O pe o H2n+1-orbitacoadjuncta O|h2n+1

. Astfel, se pot aplica Propozitia 5, Observatia 6 si Corolarul 7pentru calculul Weyl-Pedersen al reprezentarii unitare ireductibile π : g → B(H)asociate cu orbita coadjuncta O.

Page 6: privind execut˘ia proiectului ^ n perioada ianuarie 2012 ...dbeltita/PCE2011-3-0131_RS_2012-2013.pdf · asociat lui g, a c arui operat˘ie de^ nmult˘ire este de nit a prin formula

6

5. Vectori diferentiabili pentru reprezentarile contragradiente

In aceasta sectiune prezentam unele rezultate din articolul [4], publicat ın revistaComptes Rendus de l’Academie de sciences de Paris - Mathematique.

Pentru un spatiu Banach complex arbitrar Y, fie Y∗ dualul sa topologic iarB(Y)× grupul elementelor inversabile din algebra Banach B(Y) a tuturor opera-torilor marginiti. Prin reprezentare a unui grup G vom ıntelege un morfism degrupuri π : G → B(Yπ)×, unde Yπ este un spatiu Banach complex. Reprezentareacontragradienta a lui π este π∗ : G → B(Y∗π)×, π∗(g) := π(g−1)∗, deci avemYπ∗ := Y∗π. Daca este ındeplinita conditia sup

g∈G‖π(g)‖ < ∞, atunci vom spune

ca π este reprezentare uniform marginita, iar ın acest caz si reprezentarea π∗ esteuniform marginita.

Sa presupunem acum ca G este un grup topologic si sa definim Yπ0 := {x ∈ Yπ |π(·)x ∈ C(G,Yπ)}, unde C este notatia pentru spatiul aplicatiilor continue. AtunciYπ0

este un subspatiu liniar ınchis al lui Y deoarece reprezentarea π este uniformmarginita, iar ın plus Yπ0

este invariant ın raport cu π. Rezulta ca π0 : G→ B(Yπ0),

π0(g) := π(g)|Yπ0 este o reprezentare tare continua. Putem defini ın mod similar

Yπ∗0 := {ξ ∈ Y∗π | π∗(·)ξ ∈ C(G,Y∗π)} = {ξ ∈ Y∗π | limg→1‖π∗(g)ξ − ξ‖ = 0} si

π∗0 : G → B(Yπ∗0 )×, π∗0(g) := π∗(g)|Yπ∗0 . Daca ın plus G este un grup Lie, atunci

putem defini de asemenea Ykπ := {y ∈ Y | π(·)y ∈ Ck(G,Y)} pentru orice numarıntreg k ≥ 0, deci Y0

π = Yπ0. Daca reprezentarea π este tare continua, adica

Y = Yπ0, atunci se stie ca pentru orice baza {X1, . . . , Xm} ın algebra Lie g a lui G

avem

(5.1) (∀k ≥ 1) Ykπ =⋂

1≤j1,...,jk≤m

D(dπ(Xj1) · · · dπ(Xjk)),

unde am folosit notatia D(T ) pentru domeniul oricarui operator nemarginit T .Urmatoarea teorema poate fi privita ca o versiune a lui (5.1) pentru unele

reprezentari discontinue de grupuri Lie, si anume pentru pentru contragradientaoricarei reprezentari tare continue uniform marginite.

Teorema 9 ([4]). Fie G un grup Lie cu o reprezentare tare continua π : G→ B(Y)care este presupusa a fi si uniform margnita. Daca {X1, . . . , Xm} este o baza ınalgebra Lie g a lui G, atunci pentru orice numar ıntreg k ≥ 1 avem

Ykπ∗ ⊆⋂

1≤j1,...,jk≤m

D(dπ(Xj1)∗ · · · dπ(Xjk)∗) ⊆ Yk−1π∗

iar aceste incluziuni pot fi stricte simultan.

Va fi convenabil sa folosim notatia

Ck(π∗) :=⋂

1≤j1,...,jk≤m

D(dπ(Xj1)∗ · · · dπ(Xjk)∗)

pentru k ≥ 1 arbitrar. Este clar ca avem C1(π∗) ⊇ C2(π∗) ⊇ · · · . Demonstratiateoremei de mai sus va fi bazata pe urmatorul rezultat auxiliar, care trebuie privitca o lema de scufundare pentru spatii Sobolev abstracte.

Lema 10 ([4]). Avem C1(π∗) ⊆ Yπ∗0 .

Page 7: privind execut˘ia proiectului ^ n perioada ianuarie 2012 ...dbeltita/PCE2011-3-0131_RS_2012-2013.pdf · asociat lui g, a c arui operat˘ie de^ nmult˘ire este de nit a prin formula

7

Demonstratie. Pentru orice X ∈ g definim γX : R → G, γX(t) := expG(tX). Pebaza unui rezultat cunoscut din teoria semigrupurilor de operatori obtinem

(5.2) D(dπ(X)∗) ⊆ Yπ∗◦γX = {ξ ∈ Y∗ | π∗(γX(·))ξ ∈ C(R,Y∗)}pentru orice X ∈ g. Pe de alta parte, incluziunea ⊆ din egalitatea urmatoare esteevidenta,

(5.3) Yπ∗ = Yπ∗◦γX1∩ · · · ∩ Yπ∗◦γXm

iar incluziunea ⊇ este adevarata din urmatorul motiv. Pentru orice t1, . . . , tm ∈ Rsi ξ ∈ Y∗ avem

‖π∗(γX1(t1) · · ·γXm(tm))ξ − ξ‖

≤m∑j=1

‖π∗(γX1(t1) · · · γXj−1(tj−1))(π∗(γXj (tj))ξ − ξ)‖

≤Mm∑j=1

‖π∗(γXj (tj))ξ − ξ‖

unde M := supg∈G‖π(g)‖. Deoarece {X1, . . . , Xm} este o baza ın g, aplicatia

(t1, . . . , tm) 7→ γX1(t1) · · · γXm(tm)

este un difeomorfism local ın punctul 0 ∈ Rm, si atunci estimarea de mai sus arata

ca pentru orice ξ ∈m⋂j=1

Yπ∗◦γXj avem limg→1‖π∗(g)ξ−ξ‖ = 0, hence ξ ∈ Yπ∗ . Aceasta

completeaza demonstratia egalitatii (5.3).Deoarece D(dπ(X1)∗)∩· · ·∩D(dπ(Xm)∗) = C1(π∗), concluzia lemei rezulta acum

din (5.2) si (5.3). �

Demonstratia teoremei 9. Pe baza lemei de mai sus si a unui rezultat cunoscutdespre vectori diferentiabili, obtinem

Ck(π∗) ⊆⋂

1≤j1,...,jk−1≤m

D(dπ∗0(Xj1) · · · dπ∗0(Xjk−1)) = Yk−1

π∗

unde ultima egalitate se obtine prin aplicarea egalitatii (5.1) pentru reprezentareatare continua π∗0 . Incluziunea Ykπ∗ ⊆ Ck(π∗) se demonstreaza usor tinand seama deegalitatea (5.1) si de faptul ca pentru orice X ∈ g avem D(dπ∗0(X)) ⊂ D(dπ(X)∗)and dπ(X)∗|D(dπ∗0 (X)) = dπ∗0(X).

Vom demonstra acu cu ajutorul unui exemplu ca incluziunile din enunt pot fistricte pentru k = 1. Fie G = R, Y spatiul operatorilor cu urma pe L2(R), iarρ : R → B(L2(R)), ρ(t)f = f(· + t). Definim atunci π : R → B(Y), π(t)A =ρ(t)Aρ(t)−1 si pentru fiecare φ ∈ L∞(R) fie φ(Q) operatorul de ınmultire cu φoperator pe L2(R), astfel ca φ(Q) ∈ B(L2(R)) ' Y∗. Se poate demonstra ca φ(Q) ∈Ykπ∗ daca si numai daca primele k derivate ale functiei φ exista, sunt marginite, iarın plus derivata de ordinul k este si nuiform continua pe R.

Pe de alta parte, daca notam cu P = −i ddt generatorul infnitezimal al lui ρ, atunci

este usor de verificat ca φ(Q) ∈ C1(π∗) atunci si numai atunci cand comutatorul[φ(Q), P ] apartine lui B(L2(R)). Aceasta conditie ın termeni de comutatori esteechivalenta cu faptul ca functia φ este marginita si ındeplineste conditia Lipschitzglobala pe R. Prin urmare exista φ, ψ ∈ L∞(R) astfel ıncat φ(Q) ∈ C1(π∗) \ Y1

π∗ siψ(Q) ∈ Y2

π∗ \ C1(π∗), ceea ce completeaza demonstratia. �

Page 8: privind execut˘ia proiectului ^ n perioada ianuarie 2012 ...dbeltita/PCE2011-3-0131_RS_2012-2013.pdf · asociat lui g, a c arui operat˘ie de^ nmult˘ire este de nit a prin formula

8

Corolar 11. In teorema de mai sus, subspatiul⋂k≥1

⋂1≤j1,...,jk≤m

D(dπ(Xj1)∗ · · · dπ(Xjk)∗)

este dens ın Yπ∗0 .

Demonstratie. Din teorema rezulta ca acest subspatiu liniar ese egal cu spatiulvectorilor netezi pentru reprezentarea tare continua π∗0 , deci este dens ın spatiul dereprezentare Yπ∗0 . �

Vom dezvolta acum o varianta mai generala a exemplului utilizat ın demonstratiateoremei de mai sus. Fie G un grup Lie group cu o reprezeentare unitara continuaρ : G → B(H). Pentru 1 ≤ p < ∞, fie Sp(H) idealul Schatten de ordin p, sifie S∞(H) := B(H) iar S0(H) idealul operatorilor compacti pe H. Se stie cadaca p, q ∈ {0} ∪ [1,∞] cu 1

p + 1q = 1 si p 6= ∞, atunci exista un izomorfism

liniar izometric Sp(H)∗ ' Sq(H) definit prin intermediul parantezei de dualitate

〈·, ·〉 : Sq(H) ×Sp(H) → C, 〈Y, V 〉 := Tr (Y V ). Astfel, reprezentarea ρ(q) poate fi

privita ca fiind contragradienta reprezentarii continue ρ(p), unde

(5.4) (∀r ∈ {0} ∪ [1,∞]) ρ(r) : G→ B(Sr(H)), ρ(r)(g)Y = ρ(g)Y ρ(g)−1.

In cazul particular al grupului Heisenberg, corolarul urmator stabileste o legaturadirecta ıntre caracterizarile clasice ale operatorilor pseudo-diferentiali obtinute deR. Beals si H.O. Cordes.

Corolar 12. In cadrul de mai sus, sa alegem o baza oarecare {X1, . . . , Xm} ınalgebra Lie g a lui G. Presupunem 1 ≤ q ≤ ∞ si notam

Ψq(ρ) := {Y ∈ Sp(H) | ρ(q)(·)Y ∈ C∞(G,Sp(H))}.Atunci avem:

(1) Subapatiul liniar Ψq(ρ) coincide cu multimea operatorilor Y ∈ Sq(H) careau proprietatea ca pentru orice k ≥ 1 si j1, . . . , jk ∈ {1, . . . ,m} avem

[dρ(Xj1), . . . , [dρ(Xjk), Y ] . . . ] ∈ Sq(H).

(2) Daca 1 ≤ q < ∞, atunci Ψq(ρ) este dens ın Sq(H). Daca avem q = ∞,atunci Ψ∞(ρ) ıl contine pe S0(H) si este dens ın subspatiul normic ınchis{Y ∈ B(H) | ρ(∞)(·)Y ∈ C(G,B(H))} al lui B(H).

Demonstratie. Observam mai ıntai ca

C1(ρ(q)) = {Y ∈ Sq(H) | [dρ(Xj), Y ] ∈ Sq(H) for j = 1, . . . ,m}.Apoi ambele afirmatii rezulta din teorema si din corolarul anterior. �

Corolar 13. Daca Y ∈ B(H), atunci aplicatia de mai sus ρ(∞)(·)Y : G → B(H)este de clasa C∞ ın raport cu topologia normei operatoriale pe B(H) daca si numaidaca ea este de clasa C∞ ın raport cu topologia operatoriala tare.

Demonstratie. Aplicatia ρ(∞)(·)Y : G→ B(H) este neteda ın raport cu orice topolo-gie pe B(H) daca su numai daca ea este neteda pe o vecinatate oarecare a lui 1 ∈ G.Pe de alta parte, se poate vedea destul de usor ca aceasta aplicatie este neteda ınraport cu topologia operatoriala tare pe B(H) daca si numai daca este ındeplinitaconditia de comutatori iterati din corolarul anterior. Astfel, concluzia rezulta dinacel corolar, unde conditia ca ρ(∞)(·)Y sa fie neteda este puss ın raport cu topologianormei operatoriale pe S∞(H) = B(H). �

Page 9: privind execut˘ia proiectului ^ n perioada ianuarie 2012 ...dbeltita/PCE2011-3-0131_RS_2012-2013.pdf · asociat lui g, a c arui operat˘ie de^ nmult˘ire este de nit a prin formula

9

Exemplu 14. Fie G = H2n+1 grupul Heisenberg (2n + 1)-dimensional, avand re-prezentarea Schrodinger ρ : G → B(H). Pentru 1 ≤ p ≤ ∞, multimea Ψp(ρ) dinCorolarul 2 este exact multimea operatorilor pseudo-diferentiali pe L2(Rn) carecorespund spatiului de simboluri {a ∈ C∞(R2n) | (∀α ∈ N2n) ∂αa ∈ Lp(R2n)}(a se vedea si lucrarea [2] pentru rezultate similare pe grupuri Lie nilpotente maigenerale). Astfel, un caz foarte particular al Corolarului 12 de mai sus permiteobtinerea principalelor rezultate din articolul lui J. Nourrigat, “Closure of the setof pseudodifferential operators”, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 350 (7–8) (2012),355–358.

6. Algebre de operatori integrali pe grupuri local compacte

In aceasta sectiune prezentam unele rezultate din articolul [8], trimis spre publi-care ıntr-o revista cotata ISI.

Fie G un grup local compact unimodular iar D0 of C∗-algebra de operatori peun spatiu Hilbert H0. Fixam deocamdata un subspatiu liniar arbitrar F ⊆ L1(G).Pentru orice functie Bochner masurabila K : G×G→ D0 definim ‖K‖KernF (G,D0) ca

fiind infimumul normelor ‖β‖L1(G) pentru β ∈ F astfel ıncat ‖K(x, y)‖ ≤ |β(xy−1)|a.p.t. x, y ∈ G. daca nu exista nicio functie β care sa ındeplineasca acesteconditii, atunci notam ‖K‖KernF (G,D0) =∞. Introducem spatiul de functii Bochnermasurabile

KernF (G,D0) := {K : G×G→ D0 | ‖K‖KernF (G,D0) <∞}.

Daca F = L1(G), atunci simbolul F va fi omis din diversele notatii.Introducem de asemenea aplicatia

Kern(G,D0)→ B(L2(G,H0)), K 7→ TK ,

unde TK este operatorul pe L2(G,H0) definit de nucleul integral K, adica

(TKf)(x) =

∫G

K(x, y)f(y)dy

pentru orice f ∈ L2(G,H0). Vom nota cu ? atat compunerea uzuala a nucleelorintegrale, adica

(K1 ? K2)(x, z) =

∫G

K1(x, y)K2(y, z)dy for x, z ∈ G,

cat si operatia de convolutie

(β1 ? β2)(x) =

∫G

β1(xy−1)β2(y)dy for x ∈ G

pentru β1, β2 ∈ L1(G). In plus, vom nota K∗(x, y) := K(y, x)∗ pentru orice nucleuintegral K : G×G→ D0. De asemenea definim

R : L1(RUCb(G,D0), G, α)→ Kern(G,D0), (Rf)(x, y) = f(xy−1, x).

Teorema 15 ([8]). Sa presupunem ca grupul G este unimodular, amenabil si rigidsimetric, si sa notam AG,D0

:= {TK | K ∈ RanR}. Atunci C1 + AG,D0este o

subalgebra ınchisa ın raport cu ınmultirea ın B(L2(G,H0)). Daca ın plus G esteun grup discret, atunci avem 1 ∈ AG,D0

= {TK | K ∈ Kern(G,D0)}.

Page 10: privind execut˘ia proiectului ^ n perioada ianuarie 2012 ...dbeltita/PCE2011-3-0131_RS_2012-2013.pdf · asociat lui g, a c arui operat˘ie de^ nmult˘ire este de nit a prin formula

10

Reamintim ca algebra eliptica pe G este C∗-algebra unitala E(G) ⊆ B(L2(G))generata de operatorii definiti de nuclee integraleK ∈ RUCb(G×G,C) ce ındeplinescurmatoarea conditie:

• Exista o multime compacta SK ⊆ G cu K(x, y) = 0 daca xy−1 6∈ K.

Vom avea nevoie de asemenea de reprezentarile unitare λ, ρ : G→ B(L2(G)) definiteprin

(λ(a)φ)(x) = φ(a−1x) si (ρ(a)φ)(x) = φ(xa)

pentru φ ∈ L2(G) si a, x ∈ G. Pentru orice operator unitar V : L2(G) → L2(G)definim

AdV : B(L2(G))→ B(L2(G)), (AdV )T = V TV −1

si utilizam notatia K(L2(G)) pentru C∗-algebra operatorilor compacti pe L2(G).

Teorema 16 ([8]). Daca G este un grup local compact care este unimodular,amenabil si simetric, atunci avem:

(1) Exista incluziunea continua AG,C ↪→ E(G).(2) K(L2(G)) ∩ AG,C este dens ın E(G) si ın K(L2(G)).(3) C1 + AG,C este o subalgebra densa si ınchisa ın raport cu inversarea ın

C∗-algebra E(G).(4) Grupul G actioneaza prin ∗-automorfisme izometrice pe C∗-algebra E(G)

atat prin Adλ(·) cat si prin Ad ρ(·). Algebra Banach AG,C este invariantaın raport cu aceste doua actiuni, care determina actiuni ale lui G whichgive rise to actions of G prin ∗-automorfisme izometrice ale algebrei AG,C,si ın plus aplicatia

G×AG,C → AG,C, (a, S) 7→ (Adλ(a))S

este continua.

7. Structura algebrelor Lie nilpotente de pas 3

In aceasta sectiune prezentam unele rezultate din articolul [7], trimis spre publi-care ıntr-o revista cotata ISI.

Teorema 17 ([7]). Fie g o algebra Lie cu dimZ(g) = 1. Fixam un vector nenularbitrar Z ∈ Z(g) si subspatiile liniare X si Y astfel ıncat

C2g = Z(g)uY si g = Xu C(C2g : g).

Atunci avem:

(1) Exista o paranteza de dualitate [·, ·] : X×Y→ Z(g) ' K definita de paran-

teza Lie. In plus dim(g/C(C2g : g)) = dim(C2g/Z(g)) si

dim C2g + dim C(C2g : g) = dim g + 1.

(2) Daca X1, . . . , Xm este o baza ın X, atunci exista o unica baza Y1, . . . , Ym ınY si o unica baza γ1, . . . , γm ın C(C2g : g)⊥ (⊆ g∗) astfel ıncat [Xj , Yk] =δjkZ si [X,Yk] = γk(X)Z pentru toti j, k ∈ {1, . . . ,m} si X ∈ g.

(3) Avem [g, g] ⊆ C(C2g : g) si C(C2g : g) este un ideal caracteristic al lui g.

Fie k o algebra Lie cu dimZ(k) = 1.

• Spunem ca algebra k este de tip (A) daca [C2k, C2k] = 0 sau C2k = k.• Spunem ca algebra k este de tip (A+) daca subalgebra C2k este abeliana

maximala ın k sau C2k = k.

Page 11: privind execut˘ia proiectului ^ n perioada ianuarie 2012 ...dbeltita/PCE2011-3-0131_RS_2012-2013.pdf · asociat lui g, a c arui operat˘ie de^ nmult˘ire este de nit a prin formula

11

• O graduare de tip (A+) a lui k este un triplet γ = (z, c,V) astfel ıncat saavem o descompunere ın suma directa k = zu cu V cu z = Z(k), [c, c] = 0,[V,V] ⊆ c, si ın plus paranteza Lie a lui k sa determine o paranteza dedualitate [·, ·] : c× V → Z(k) ' K.

Teorema 18 ([7]). Fie k o algebra Lie nilpotenta de pas 3 cu dimZ(k) = 1.Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(1) Algebra Lie k este de tip (A+).(2) Algebra Lie k este de tip (A) si admite o graduare de tip (A+).

Fie g o algebra Lie cu doua subalgebre k si a astfel ıncat [a, k] ⊆ k. Sa presupunemca algebra k are o graduare γ = (z, c,V) de tip (A+). Vom spune ca a este compatibilacu graduarea γ daca [a,V] ⊆ c si [a, z + c] = 0.

Fie acum g o algebra Lie cu dimZ(g) = 1 si cu doua subalgebre fixate g1 sig2. Spunem ca g este produsul semidirect redus al lui g1 si g2 daca sunt ındepliniteurmatoarele conditii:

• [g2, g1] ⊆ g1;• g = g1 + g2 si Z(g) = g1 ∩ g2.

Daca ın plus [g1, g2] ⊆ g2, atunci g este produsul direct redus al lui g1 si g2.

Teorema 19 ([7]).

(1) Orice algebra Lie nilpotenta cu centrul 1-dimensional este produsul directredus al unei algebre Heisenberg cu o algebra Lie de tip (A).

(2) Orice algebra Lie nilpotenta de pas 3 si de tip (A) este produsul semidirectredus al unei subalgebre de tip (A+) cu o subalgebra nilpotenta de pas 2 acarei algebra derivata este continuta ın centru si care este compatibila cu ograduare convenabila de tip (A+) a celeilalte subalgebre.

8. Caracterizarea spatiilor Gelfand-Shilov-Roumieu

In aceasta sectiune prezentam unele rezultate din articolul [6], trimis spre publi-care ıntr-o revista cotata ISI.

Pentru ınceput introducem cateva notatii. Pentru n ∈ N∗ fie M(n) multimea

multiindicilor⋃∞k=1 {1, ..., n}

k. Daca α ∈ M(n) si α = (i1, ..., ik) ∈ {1, ..., n}k,

atunci definim |α| = k (|α| este lungimea lui α) iar pentru orice j ∈ {1, ..., n},definim |α|j = card {l ∈ {1, ..., n} ; il = j}. Daca α = (i1, . . . , ik), β = (j1, . . . , jl) ∈M(n), atunci definim α ∨ β = (i1, . . . , ik, j1, . . . , jl) prin concatenare. Reversul lui

α = (i1, . . . , ik) este αr = (ik, . . . , i1). Daca m(j) = (m(j)p )p,∀j ∈ {1, . . . , n} sunt

siruri de numere reale pozitive si α ∈ M(n), atunci definim mα = m(1)|α|1 · · ·m

(n)|α|n ,

m′ = (m(1), . . . ,m(n−1)). De asemenea α′ ∈ M(n − 1) este multindicele care seobtine din α = (i1, . . . , ik) dupa eliminarea componentei il cu il = n si m′α′ =

m(1)|α|1 · · ·m

(n−1)|α|n−1

.

Pentru orice operator Y ın spatiul Hilbert H notam cu Dom(Y ) domeniul luide definitie, iar daca Y si Z sunt operatori ın H, atunci [Y,Z] este comutatorul lordefinit acolo unde are sens. Fie X1, . . . , Xn operatori ın H, iar X = (X1, . . . , Xn).Daca α = (i1, . . . , ik), atunci notam Xα = Xi1 · · ·Xik . Vom utiliza de asemeneanotatia X′ = (X1, . . . , Xn−1). Spatiul vectorilor X-netezi este

C∞(X) = {u ∈ H;u ∈ Dom(Xα),∀α ∈M(n)} .

Page 12: privind execut˘ia proiectului ^ n perioada ianuarie 2012 ...dbeltita/PCE2011-3-0131_RS_2012-2013.pdf · asociat lui g, a c arui operat˘ie de^ nmult˘ire este de nit a prin formula

12

Spatiul vectorilor m−Gelfand-Shilov-Roumieu (GSR) ın raport cu X este

Sm(X) ={u ∈ C∞(X); (∃A,C > 0) ‖Xαu‖ ≤ CA|α|mα,∀α ∈M(n)

}.

Vom face urmatoarele ipoteze asupra sirurilor m(j):

(A0) (∀j ∈ {1, . . . , n}) m(j)0 = m

(j)1 = 1;

(A1) (∀j ∈ {1, . . . , n} , p ∈ N∗) (m(j)p )2 ≤ m(j)

p−1m(j)p+1 (convexitate logaritmica);

(A2) (∃H > 0)(∀j ∈ {1, . . . , n} , p, q ∈ N) m(j)p+q ≤ Hp+qm

(j)p m

(j)q (conditia de

ultradiferentiabilitate a lui Komatsu);

(A3) (∃L ≥ 1)(∀p ≥ 1) pm(j)p−1m

(k)p−1 ≤ Lm

(j)p m

(k)p .

Teorema 20 ([6]). Fie X1, . . . , Xn operatori auto-adjuncti sau anti-adjuncti ınspatiul Hilbert H, definiti pe domeniul comun D, astfel ıncat [Xi, Xj ] = cijI pentru

anumite constante cij ∈ C, unde i, j ∈ {1, . . . , n}. Fie de asemenea m(1), . . . ,m(n)

siruri de numere pozitive pentru care sunt ındeplinite ipotezele (A0)-(A2) si deasemenea (A3) pentru toate perechile (i, j) cu cij 6= 0. Then u ∈ D apartine luiSm(X) daca si numai daca u ∈ Sm(1)(X1) ∩ · · · ∩ Sm(n)(Xn).

Corolar 21 ([6]). Fie X1, · · · , Xn operatori auto-adjuncti sau anti-adjuncti ınspatiul Hilbert H, definiti pe domeniul comun D. Presupunem ca

(∀i, j ∈ {1, . . . , n}) [Xi, Xj ] = [Yi, Yj ] = 0,

(∀i, j ∈ {1, . . . , n} , i 6= j) [Xi, Yj ] = 0,

(∀i ∈ {1, . . . , n})(∃ci ∈ C \ {0}) [Xi, Yi] = ciI.

Presupunem de asemenea ca m(1), . . . ,m(n), q(1), . . . , q(n) sunt siruri de numerepozitive care ındeplinesc conditiile (A0)–(A2), iar perechea (m(i), q(i)) ındeplinesteconditia (A3) pentru fiecare i ∈ {1, . . . , n}. Daca u ∈ D, atunci avem

u ∈ S(m(1),...,m(n),q(1),...,q(n))(X1, . . . , Xn, Y1, . . . , Yn)

daca si numai dacau ∈ Sm(X) ∩ Sq(Y)

iar aceasta are loc daca si numai daca

u ∈( n⋂i=1

Smi(Xi))⋂( n⋂

i=1

Sq(i)(Yi)).

Teorema 22 ([6]). Fie X1, . . . , Xn operatori auto-adjuncti sau anti-adjuncti ınspatiul Hilbert H, definiti pe domeniul comun D, m(1) = · · · = m(n) = m, unde meste un sir de numere pozitive pentru car sunt ındeplinite conditiile (A0)–(A2) side asemenea (A3’):

(∃L ≥ 1)(∀p ≥ 1) pmp−1 ≤ Lmp.

Daca [Xi, Xj ] ∈ span({X1, . . . , Xn}) pentu orice i, j ∈ {1, . . . , n− 1}, atunci vecto-

rul u ∈ D apartine lui Sm(X) daca si numai daca u ∈n⋂j=1

Sm(Xj).

Page 13: privind execut˘ia proiectului ^ n perioada ianuarie 2012 ...dbeltita/PCE2011-3-0131_RS_2012-2013.pdf · asociat lui g, a c arui operat˘ie de^ nmult˘ire este de nit a prin formula

13

Bibliografie

Articole publicate/acceptate spre publicare:

[1] I. Beltita, D. Beltita, Faithful representations of infinite-dimensional nilpotent Lie al-gebras. Forum Mathematicum, 13 pag. (va aparea; http://dx.doi.org/10.1515/forum-2012-

0085).[2] I. Beltita, D. Beltita, Boundedness for Weyl-Pedersen calculus on flat coadjoint

orbits. International Mathematics Research Notices, 30 pag. (va aparea; a se vedea

http://dx.doi.org/10.1093/imrn/rnt225).[3] I. Beltita, D. Beltita, M. Pascu, Boundedness for pseudo-differential calculus on nilpo-

tent Lie groups. In: P. Kielanowski, S. Twareque Ali, A. Odesski, A. Odzijewicz, M.Schlichenmaier, Th. Voronov (eds.), Geometric Methods in Physics. XXXI Workshop,

Bia lowieza, Poland, June 24-30, 2012. Birkhauser, Springer, Basel, 2013, pp. 87–97.

[4] I. Beltita, D. Beltita, On the differentiable vectors for contragredient representations.Comptes Rendus de l’Academie de sciences de Paris - Mathematique 351 (2013), no.

13–14, 513–516.

[5] D. Beltita, J.E. Gale, Linear connections for reproducing kernels on vec-tor bundles. Mathematische Zeitschrift, 34 pag. (va aparea; a se vedea

http://dx.doi.org/10.1007/s00209-013-1243-9).[6] M. Pascu, On the characterization of Gelfand-Shilov-Roumieu spaces. Journal of Operator

Theory, 8 pag. (va aparea; a se vedea preprint arXiv: 1306.0800 [math.FA]).

Preprinturi:[7] I. Beltita, D. Beltita, On Kirillov’s lemma for nilpotent Lie algebras. Preprint

arXiv:1308.3632 [math.RT], 14 pag. (trimis spre publicare).

[8] I. Beltita, D. Beltita, Inverse-closed algebras of integral operators on locally compactgroups. Preprint arXiv:1303.5346 [math.FA], 16 pag. (trimis spre publicare).

[9] I. Beltita, A. Melin, L1-estimates for the cubic term of the backscattering transform.

Institut Mittag-Leffler REPORT No. 20, 2012/2013, spring, 37 pag.(a se vedea https://www.mittag-leffler.se/preprints/list.php?program code=1213s)

[10] D. Beltita, S. Patnaik, G. Weiss, B(H)-Commutators: A Historical Survey II and recentadvances on commutators of compact operators. Preprint arXiv:1303.4844 [math.OA], 20

pag. (trimis spre publicare).

[11] D. Beltita, S. Patnaik, G. Weiss, Interplay between Algebraic Groups, Lie Algebras andOperator Ideals. Preprint arXiv:1303.4842 [math.OA], 21 pag. (trimis spre publicare).

[12] M. Pascu, Melin calculus on homogeneous Lie groups. IMAR preprint no. 2 (2013), 25 pag.

(a se vedea http://imar.ro/library.php).

Director proiect,

C.S. 1 Dr. Daniel Beltita

Institutul de matematica “Simion Stoilow” al Academiei Romane, RO-014700 Bucu-

resti, Romania. Email: [email protected]


Top Related