Download - Prelucrarea statistica

Transcript

UNIVERSITATEA “ AL. I. CUZA ”, IASI

FACULTATEA DE ECONOMIE SI ADMINISTRAREA AFACERILOR

Proiect Statistica

Student: Moise C. Simona

Numar matricol: 31040701sl061288

An: II

Grupa: 1124

Specializarea: Afaceri internationale

Etape ale demersului metodologic al statisticii

1. Punerea problemei presupune definirea problemei in termini precisi indicandu-se scopul si aria de investigatie.

Aici se efectueaza:- documentarea teoretica si faptica a fenomenului;- se emit ipoteze de lucru;- se aleg metode de investigare;- se elaboreaza planul de cercetare.

2. Observarea statistica in care se inregistreaza caracteristicile elementelor unei colectivitati, se obtine materialul faptic.

3. Prelucrarea statistica presupune un set de operatiuni efectuate prin procedee si tehnici de lucru specifice si anume:

a. Sistematizarea materialului obtinut in etapa observarii statistice;b. Prezentarea datelor statistice;c. Calcularea indicatorilor derivati, cum ar fi indicatorii ai valorii centrale, ai

dispersiei, ai formei de repartitie, folosind procedeul mediei, variatiei sau indicatori ai variatiei in timp si spatiu.

- modulul (dominanta)- mediana- mediala- indicatori ai dispersiei

4. Indicatori ai asimetriei5. Indicatori ai boltirii6. Indicatorii concentrarii

1. Punerea problemei

Alegem o serie de date realizate la o societate comerciala care are mai multe subunitati. In exemplul pe care urmez sa-l efectuez am luat in considerare o serie statistica prezentata sub forma unui tabel statistic simplu cu urmatoarele elemente principale:

- Titlul tabelului: Distributia numarului de subunitati dupa profitul obtinut in anul precedent;

- Titlurile interioare: Profit, Numarul subunitatilor, Numarul de personal;- Unitatea de masura: este precizata sub titlurile interioare;- Notele, generale sau particulare, ajuta la interpretarea datelor numerice;- Sursele datelor: - Rubricile tabelului sunt completate cu date aproximative.

Tabelul nr. 1 Distributia subunitatilor firmei ””, dupa profitul obtinut

Nr. Crt. Numarul firmelor

Cifra de afaceri(mii lei)

Total unitate(mii lei)

1 1 100 100

2 3 105 315

3 6 108 648

4 6 110 660

5 5 115 575 21

6 11 121 1331

7 9 125 1125

8 10 130 1300

9 9 135 1215 39

10 10 141 1410

11 12 148 1776

12 9 150 1350 31

13 10 162 1620

14 9 165 1485

15 9 170 1530 28

16 9 181 1629

17 11 185 2035

18 5 195 975 25

19 4 205 820

20 2 210 420 6

TOTAL 150 22319

Se va calcula frecventa relativa, efectivul cumulat si frecventa relativ cumulata a distributiei salariului de baza dupa caracteristica “numar de personal”.

Tabelul nr. 2 Distributia numarului de subunitati dupa profitul obtinut

Profit Numar de firme(Efectivul

)

Frecventa

relativa( )

Efective cumulate

Frecvente relative cumulate

Mii lei

100-120 21 0.14 21.00 150.00 0.14 0.98

120-140 39 0.26 60.00 129.00 0.40 0.84

140-160 31 0.21 91.00 90.00 0.61 0.58

160-180 28 0.19 119.00 59.00 0.79 0.39

180-200 25 0.17 144.00 31.00 0.96 0.21

200-220 6 0.04 150.00 6.00 1.00 0.04

TOTAL 150 1.00 - - - -

2. Observarea statistica

Reprezentarea grafica a seriei statistice de timp se poate realiza prin cronograma.Cronograma (historiograma) sub forma liniara cu scara aritmetica, evidentiaza linia de

evolutie a fenomenului si componentele seriei luate in calcul.

Profit Numar de firme(Efectivul

)

100-120 21

120-140 39

140-160 31

160-180 28

180-200 25

200-220 6

TOTAL 150

Cronograma prin benzi si prin coloane. Coloanele se construiesc cu bazele egale si echidistante.

Profit Numar de firme(Efectivul

)

Mii lei

100-120 21

120-140 39

140-160 31

160-180 28

180-200 25

200-220 6

TOTAL 150

Curba frecventelor se mai numeste curba de densitate atunci cand se refera la serii teoretice. Construirea curbei frecventelor se deosebeste de cea a poligonului frecventelor prin faptul ca punctele din plan nu se unesc prin segmente de dreapta, ci printr-o linie curba (obtinuta prin ajustarea

Profit Numar de firme(Efectivul

)

Mii lei

100-120 21

120-140 39

140-160 31

160-180 28

180-200 25

200-220 6

TOTAL 150

punctelor), graficul satisfacand cel mai bine conditiile de continuitate si de compensatie intre abaterile pozitive si abaterile negative.

Profit Frecventa

relativa( )

Mii lei

100-120 0.14

120-140 0.26

140-160 0.21

160-180 0.19

180-200 0.17

200-220 0.04

TOTAL 1.00

Construirea curbei frecventelor cumulate (Poligonul frecventelor cumulate)

Profit Frecvente relative cumulate

Mii lei

100-120 0.14

120-140 0.40

140-160 0.61

160-180 0.79

180-200 0.96

200-220 1.00

TOTAL -

Diagrame de structuraConstruirea diagramelor de structura

necesita gasirea relatiei de proportionalitate corespunzatoare intre volumul colectivitatii si suprafata figurii geometrice folosite. Numarul de subunitati, egal cu 100%, se considera direct proportional cu suprafata figurii geometrice folosita in reprezentare. Profitul se reprezinta in interiorul figurii prin portiuni de suprafete. Portiunile de suprafata se hasureaza sau se coloreaza diferit. Semnificatia hasurilor sau culorilor utilizate se prezinta in legenda graficului.

Profit Numar de firme(Efectivul

)

Mii lei

100-120 21

120-140 39

140-160 31

160-180 28

180-200 25

200-220 6

TOTAL 150

Diagrama de structura

Prelucrarea statistica 1. Sistematizarea materialului faptic brut s-a obtinut in etapa observarii statistice;2. Prezentarea datelor conform tabelelor 1 si 2;3. Calcularea indicatorilor derivati;

3.a. Indicatori ai tendintei centrale (marimi medii)

Tendinta centrala a unei variabile statistice este masurata prin indicatori calculate in marimi medii. In practica, cel mai cunoscut indicator al tendintei centrale este media aritmetica. Media aritmetica este cel mai utilizat indicator al tendintei centrale pentru a exprima sintetic un ansamblu de date. Toti indicatorii au character de medie, media reprezentand categoria metodologica fundamentala a statisticii.

Mediile sunt marimi statistice care exprima, in mod sintetic si generalizat, ceea ce este normal, esential, tipic pentru unitatile unei colectivitati distribuite dupa o anumita caracteristica.

Clasificarea marimii medii

Marimile medii se diferentiaza intre ele in functie de rolul pe care il au in analiza statistica si dupa modul de obtinere a lor.

a. dupa rolul lor in analiza statistica, marimile medii se clasifica in:- marimi medii fundamentale (media aritmetica, modul, mediana)- marimi medii cu aplicatii speciale (media geometrica, media armonica, media

progresiva, mediala, media cronologica, medii mobile, etc.)b. dupa modul de obtinere, marimile medii pot fi:

- marimi medii de calcul (media aritmetica, media geometrica, media armonica, etc.)

- medii de pozitie (modul, mediana, mediala)

Daca consideram seria din tabelul 1, vom calcula media aritmetica, media armonica, media geometrica, media patratica.

Tabelul nr.3 Elemente de calcul pentru indicatorii tendintei centrale

/ log log

100-120 21 110 2310 0.1909 2.04 42.87 12100 254100120-140 39 130 5070 0.3000 2.11 82.44 16900 659100140-160 31 150 4650 0.2067 2.18 67.46 22500 697500160-180 28 170 4760 0.1647 2.23 62.45 28900 809200180-200 25 190 4750 0.1316 2.28 56.97 36100 902500200-220 6 210 1260 0.0286 2.32 13.93 44100 264600TOTAL 150 - 22800 1.0224 - 326.13 - 3587000

Media aritmetica face parte din categoria mediilor fundamentale, a mediilor de calcul. Media aritmetica a unei distributii empirice reprezinta valoarea pe care ar purta-o fiecare

unitate statistica daca distributia ar fi omogena si se calculeaza ca suma a celor , i=1, n

valori individuale impartite la numarul de observari.

Media aritmetica: mii lei

Media armonica este o marime definita ca inverse a mediei aritmetice calculate din inversele valorilor caracteristice.

Media armonica: mii lei

Media geometrica, la fel ca si media aritmetica, ia in calcul fiecare valoare individuala a caracteristicii, dar se aplica numai pentru numere positive. Media geometrica a “n” date se defineste ca radacina de ordin n din produsul acestora.

Media geometrica: logaritmam expresia mediei geometrice si obtinem:

mii lei

Media patratica este definita prin patratul sau, si anume: media patratica ridicata la

patrat este media aritmetica a valorilor .

Modul (Dominanta) este valoarea caracteristicii cea mai frecvent observata intr-o distributie, adica valoarea ce corespunde frecventei dominante.

Aflarea modului in cazul unei variabile continue

In cazul datelor grupate pe intervale de variatie, determinarea modului presupune:

1. aflarea frecventei maxime ( );

2. citirea intervalului modal ( ) corespunzator frecventei maxime;

3. efectuarea interpolarii in intervalul modal dupa relatia:

in care:

: limita inferioara a intervalului modal [120];

: marimea intervalului modal ( )[20];

: diferenta dintre frecventa intervalului modal si frecventa intervalului anterior

celui modal ( )[39-21];

: diferenta dintre frecventa intervalului modal si frecventa intervalului urmator

celui modal ( )[39-31];

Profitul Efectivul

100-120 21

120-140 39

140-160 31

160-180 28

180-200 25

200-220 6

TOTAL 150

mii lei

Mediana(Me) se defineste ca acea valoare a caracteristicii unei serii ordonate, crescator sau descrescator, pana la care si peste care sunt distribuite in numar egal unitatile colectivitatii observate: jumatati din unitati au valori mai mari decat mediana si jumatate au valori mai mici.

Pentru aflarea Me se presupune efectuarea urmatoarelor operatii:

1. determinarea frecventelor cumulate: ;

2. calcularea unitatii mediane ( ) si gasirea locului ei in sirul frecventelor cumulate,

respectand conditia: ;

3. se afla nivelul caracteristicii egal cu Me, in dreptul frecventei cumulate egale sau mai

mare cu .

Tabelul nr.4 Elemente de calcul pentru calculul medianei

100-120 21 110 2310 21

120-140 39 130 5070 60

140-160 31 150 4650 91

160-180 28 170 4760 119

180-200 25 190 4750 144

200-220 6 210 1260 150

TOTAL 150 - 22800 -

In dreptul frecventei cumulate =91, ( ), citim intervalul median: (140-160).

Deci, mediana este: mii lei

Generalizarea medianei: quantilele

Quantilele sunt marimi de pozitie. Se definesc dupa aceeasi logica folosita la mediana: quantilele sunt valori ale caracteristicii care impart seria in r grupe ale caror efecte sunt egale. Numarul r defineste ordinul quantilelor.

Astfel, mediana este quantila de ordin 2, adica imparte efectivul in doua parti egale (50% si 50%). Quantilele folosite in mod obisnuit sunt quantile care impart colectivitatea in patru, zece, o suta de parti egale, numindu-se quartile, decile, centile.

Quantilele sunt folosite in calculul unor indicatori ai dispersiei.

Tabelul nr.5 Elemente pentru calculul quartile

100-120 21 21 150

120-140 39 60 129

140-160 31 91 90

160-180 28 119 59

180-200 25 144 31

200-220 6 150 6

TOTAL 150 - -

Quartilele sunt in numar de trei, notate: .Se definesc ca valori ale

caracteristicii care impart volumul colectivitatii in patru parti egale. Se determina dupa relatiile:

mii lei

firme

Mediala (Ml)

Mediana este un indicator de pozitie egal cu acel nivel al caracteristicii ( ) care

imparte suma termenilor seriei in parti egale.

Mediala nu se confunda cu mediana, care reprezinta acel nivel al caracteristicii care

imparte efectivul total ( ) al unei serii in doua parti egale.

Determinarea medialei presupune efectuarea urmatoarelor operatii:

1. se ordoneaza crescator termenii ( ) si seriei;

2. se determina sirul valorilor individuale cumulate ale caracteristicii: ;

3. se determina unitatea mediala dupa formula:

4. se afla mediala, adica se gaseste acel nivel al caracteristicii corespunzator primului

nivel cumulate ( ) egal sau mai mare decat ( ).

Tabelul nr.6 Elemente de calcul pentru calculul medianei

100-120 21 110 2310 2310 21

120-140 39 130 5070 7380 60

140-160 31 150 4650 12030 91

160-180 28 170 4760 16790 119

180-200 25 190 4750 21540 144

200-220 6 210 1260 22800 150

TOTAL 150 - 22800 -

Din tabelul nr.5 calculam:

Pentru [ ]=12030 citim intervalul medial: (140-160), in care se gaseste

valoarea mediala. Aflam valoarea medialei prin interpolare, dupa relatia:

mii lei

Indicatori ai dispersiei

Dispersia exprima gradul de imprastiere a valorilor individuale ale unei distributii in jurul valorii centrale si este datorata influentei factorilor aleatori.

Tabelul nr.7 Elemente de calcul necesare obtinerii indicatorilor dispersiei

- ( - ) ( - )

100 -120 21

110

2310

-42

882

1764

37044

120-140

39 130 5070 -22 22 858 484 18876

140-160 31

150

4650

-2

124

160-180 28

170

4760

504

324

9072

180-200 25

190

4750

950

1444

36100

200-220 6

210

1260

348

3364

20184

TOTAL 150

- 22800

- - 3604

- 121400

Indicatori simpli ai dispersiei

Amplitudinea varoatiei: mii lei

Rezultatele obtinute arata un camp de variatie a cifrei de afaceri egal cu 120 mii lei, valoare ce reprezinta 78.94% din nivelul mediu al intregii distributii.

Indicatori sintetici ai dispersiei

Indicatorii sintetici ai dispersiei exprima, in mod sintetic, imprastierea tuturor nivelurilor individuale ale unei caracteristici fata de nivelul lor mediu.

Ca indicatori sintetici ai dispersiei se calculeaza:

1. abaterea medie liniara;

2. varianta(dispersia);

3. abaterea medie patratica(deviatia standard);

4. coeficientul de variatie.

1. Abaterea medie liniara ( ) se calculeaza ca medie aritmetica a valorilor absolute

ale abaterilor individuale si arata variatia medie in plus sau in minus, de la valoarea medie a distributiei si este cu atat mai mica cu cat valorile sunt mai grupate in jurul mediei.

mii lei

Intervalul mediu de variatie stabilit cu ajutorul acestui indicator are urmatoarele limite:

mii lei

2. Varianta (dispersia) se calculeaza ca medie aritmetica a patratelor abaterilor fata de media lor, dupa relatia:

Se observa ca varianta, fiind o valoare la patrat, este o marime abstracta. Este un indicator folosit ca baza de calcul al abaterii mediei patratice, al indicatorilor de corelatie si al altor indicatori ai variatiei.

3. Abaterea mediei patratica (deviatia standard) – acest indicator sintetic al dispersiei se calculeaza ca medie patratica a abaterilor individuale.

mii lei

Intervalul mediu de variatie stabilit cu ajutorul are urmatoarele limite:

mii lei

Abaterea medie patratica, fiind calculata ca o medie patratica, reflecta intr-o masura mai mare influenta factorilor aleatori comparative cu abaterea medie liniara. Acest lucru se explica prin faptul ca abaterile externe prin ridicarea la patrat au o influenta mai mare decat abaterile intermediare, mai apropiate de medie.

4. Coeficientul de variatie se calculeaza ca raport procentual intre abaterea medie patratica si media aritmetica, dupa relatia:

Valoarea coeficientului de variatie este mai mare decat 17%, ceea ce inseamna ca este o medie moderat reprezentativa.

Asimetria

Asimetria reprezinta o deviatie de la forma simetrica de distributie. O distributie este considerate simetrica daca observatiile, exprimate prin frecventele lor, sunt distribuite identic de o parte si de alta a valorii centrale. Ca valori centrale, pentru aprecierea asimetriei, sunt folosite: media aritmetica, modul si mediana.

Avand in vedere ca , rezulta ca asimetria in

valoare absoluta se calculeaza dupa formula: si vom avea o extindere a frecventelor spre dreapta.

Asimetrie la dreapta

Coeficientul Yule ( ), masoara asimetria in functie de pozitia quartilelor ( ).

Se calculeaza dupa relatia:

Deci , rezultand ca distributia este asimetrica la dreapta.

Coeficientul de asimetrie Pearson ( ) se calculeaza ca raport intre marimea asimetriei

(As) si dispersia distributiei, exprimata prin abaterea patratica ( ), dupa relatia:

distributia este asimetrica la dreapta

Coeficientul de asimetrie Fisher ( )

Fisher propane un coefficient de asimetrie calculat ca radacina patrata din coeficientul Pearson:

Tabelul nr.8 Elemente de calcul pentru coeficientii de asimetrie Fisher

100-120 21 110 2310 -42 42 882 1764 37044 74088 1555848

120-140 39 130 5070 -22 22 858 484 18876 10648 415272

140-160 31 150 4650 -2 2 62 4 124 8 248

160-180 28 170 4760 18 18 504 324 9072 5832 163296

180-200 25 190 4750 38 38 950 1444 36100 54872 1371800

200-220 6 210 1260 58 58 348 3364 20184 195112 1170672

TOTAL 150 - 22800 - - 3604 - 121400 4677136

Valoarea coeficientului =1.35, releva o asimetrie pozitiva.

Boltirea se defineste prin raportarea unei distributii empirice la distributia normala sub

aspectul variatiei variabilei X si a frecventei relative ( ).

Boltirea respectiv aplatizarea apare cand distributia prezinta o variatie slaba a variabilei X insotita de o variatie puternica a frecventei relative (si invers) in comparatie cu o dostributie normala, de aceeasi medie si dispersie.

Indicatori ai boltirii

Boltirea se masoara cu ajutorul coeficientilor de boltire.

Coeficientul de boltire Pearson ( ) se calculeaza pe baza momentelor centrate, dupa

relatia:

Tabelul nr.9 Elemente de calcul pentru indicatorii boltirii

100-120 21 110 2310 -42 42 882 1764 37044 3111696 65345616

120-140 39 130 5070 -22 22 858 484 18876 234256 9135984

140-160 31 150 4650 -2 2 62 4 124 16 496

160-180 28 170 4760 18 18 504 324 9072 104976 2939328

180-200 25 190 4750 38 38 950 1444 36100 2085136 52128400

200-220 6 210 1260 58 58 348 3364 20184 11316496 67898976

TOTAL 150 - 22800 - - 3604 - 121400 197448800

Am calculat la coeficientul Fisher valoarea lui :

Deci

Coeficientul de boltire Pearson ( ) este mai mic decat 3, deci distributia este platicurtica.

Coeficientul de boltire Fisher ( ) masoara excesul fata de boltirea unei distributii

normale Gauss-Laplace.

Stiind ca pentru o distributie normala ( )=3, gradul de exces se calculeaza dupa relatia:

1. Daca ( )=3 , atunci distributia este mezocurtica;

2. Daca ( )>3 , atunci distributia este leptocurtica;

3. Daca ( )<3 , atunci distributia este platicurtica.

Curba platicurtica

In cazul nostru , deci suntem in cazul 3.

Indicatorii concentrarii

Prin concentrare se exprima aglomerarea unitatilor unei colectivitati sau a valorilor globale ale unei distributii in jurul unei valori.

Masurarea gradului de concentrare prin procedee numerice consta in calculul unor indicatori ai concentrarii cum ar fi:

a. Abaterea mediala-mediana

b. Coeficienti ai gradului de concentrare

Masurarea concentrarii pe cale grafica consta in construirea curbei de concentrare – curba Lorentz-Gini si, pe baza ei aflarea gradului de concentrare, prin determinarea unui coeficient – indicele Gini.

a. Abaterea mediala-mediana, simbolizata prin , se calculeaza dupa relatia:

- mediana s-a calculat si are o valoare de 150mii lei, iar mediala are o valoare de 157.29 mii lei, rezultand:

mii lei

b. coeficienti ai gradului de concentrare

Coeficientul de concentrare

Calculul coeficientului de concentrare consta in compararea sub forma de raport a

marimii abaterii mediala-mediana cu amplitudinea de variatie a caracteristicii de

grupare , dupa relatia:

Raportul poate lua valori in intervalul [0,100]. Cu cat valoarea raportului tinde spre zero cu atat concentrarea este mai slaba, adica nu exista mari disparitati si invers, daca valoarea raportului tinde spre 100, exista mari disparitati intre valorile globale pe clase de variatie.

Coeficientul de concentrare, comparative cu abaterea mediala-mediana, are avantajul expresiei relative, si anume, da posibilitatea compararii gradului de concentrare al diferitelor distributii statistice indifferent de unitatile de masura folosite pentru exprimarea variabilelor de grupare.

Coeficientul abaterii Gini se calculeaza ca raport intre diferenta medie si

dublul mediei aritmetice , dupa relatia:

- marimea claselor de variatie

Tabelul nr. 10 Elemente de calcul pentru coeficientul Gini

Efectivul

100-120 21 21 129 2709

120-140 39 60 90 5400

140-160 31 91 59 5369

160-180 28 119 31 3689

180-200 25 144 6 864

200-220 6 150 0 0

TOTAL 150 - - 18031

Calculul diferentei mediei Gini:

Valoarea obtinuta reflecta o concentrare slaba a masei cifrei de afaceri a unitatilor descentralizate de profit pe intreaga firma.

Indicele de concentrare se afla dupa relatia:

Tabelul nr. 11 Elemente de calcul al indicelui Gini, procedeul triunghiurilor

100-120 21 21 0,140 110 2310 2310 0.1013 0.0453 0.0405 0.0048

120-140 39 60 0,400 130 5070 7380 0.3237 0.2111 0.1964 0.0147

140-160 31 91 0,607 150 4650 12030 0.5276 0.4468 0.4186 0.0282

160-180 28 119 0,793 170 4760 16790 0.7364 0.7495 0.7069 0.0425

180-200 25 144 0,960 190 4750 21540 0.9447 0.9600 0.9447 0.0153

200-220 6 150 1.000 210 1260 22800 1.0000

TOTAL 150 - - 22800 - - - - 0.1054

Estimarea mediei prin interval de incredere

Daca parametrul cautat ar fi µ - media unei populatii, iar - media de selectie,

construirea I.C. pleaca de la o ipoteza asupra distributiei mediilor de selectie, deci si a abaterilor medii patratice ale acestora, fata de media populatiei, respectiv, fata de media lor.

Estimarea mediei prin I.C., in cazul in care se cunoaste legea populatiei si aceasta

este o lege normala N( ), pot aparea doua situatii:

1. cand se cunoaste varianta unei populatii, construirea I.C. se bazeaza pe variabila normala centrata redusa Z.

Intervalul de incredere construit pe baza datelor unui esantion este:

unde:

- este o valoare a variabilei normale centrate reduse Z;

- este un nivel al probabilitatii, cuprins intre zero si unu.

2. cand varianta este necunoscuta, construirea intervalului de incredere se bazeaza pe variabila t Student.

Intervalul de incredere construit pe baza datelor unui esantion este: