Mlhaela Ungureanu
lVIATRIX====ROlVIBUCURE$TI
G. MihaelaUNGUREANU
PREL UCRAREA DIGIT ALAA
SEMNALELOR
MATRIX ROMBUCURESTI2008
Editura MATRIX ROM este acreditata de
CONSILIUL NATIONAL AL CERCETARII $TIINTIFICE DIN INVATAMANTUL SUPERIOR, "
Be/UPBBiblElectronica
III III """1"'111"111"1\"\1'1 'IIBUP09-2116
Referenti $tiintifici:
MATRIXROMC.P.16 -162
062510- BUCURE~TItel.021.4113617,fax021.4114280
e-mail:[email protected]
Prof. dr. ing. Rodica Strungaru - Universitatea"POLITEHNICA" Bucure~tiDepartamentulElectronica~iInformaticaMedicala
Prof. dr. ing. Radu Zaciu
pesteMihcPrellSign.MicrcurSt
prop:seCVt
disCI
mete
Descrierea CIP a Bibliotecii Nalionale a Romanie!UNGUREANU, MIHAELA GEORGETA
Prelucrarea digitala a semnalelor I G. Mihaela Ungureanu -Bucureti, Matrix Rom, 2008
Bibliogr.ISBN 978-973-755-409-3
004.383.3(075.8)
ISBN 978 - 973 - 755 - 409 - 3
disCI
desc:evidt
genefree,cony[mitt
mete
calcl
capi1zgor(tran
OR
,~tiala
Prefata,
Carteareprezintarezultatulexperienteididactice~ide cercetaredepestezeceani in domeniulprelucrariisemnalelora doamneiConf. Dr. G.MihaelaUngureanu.Activitateadidacticaa autoareia indus cursurilePrelucrareaNumericaa Semnalelor,anulIII, InginerieEconomica~iDigitalSignal Processing for Automotive,Masterat, specializareaAdvancedMicroelectronics~i se adreseazain primul studentilorce frecventeazacursuriledeprelucrarinumericedesemnale.
Carteaestestructuratain urmatoarelenouacapitole:
Semnale. Tipuri de semnale.- Prezinta tipurile de semnale,proprietati1esecventelor,exemplede secvente,operatiileeIementarecusecvente~ireprezentareagraficaaacestora.
TransformataFourier Discreta- Prezinta TransformataFourierdiscreta,proprietatile~iaplicabilitateaacesteia.
TransformataZ - PrezintatransformataZ, proprietatileacesteia~imetodelededeterminareatransformateiZ inverse
Sistemediscrete- Acest capitolprezintaproprietatilesistemelordiscrete~imodalitatiledereprezentareaacestora.
Filtre numerice- In acestcapitolsuntprezentatemodalitatilededescrierea filtreIornumerice~imetodeledeproiectarea filtrelorFIR ~iIIR,evidentiindproprietatilefiltrelorFIR cufazaliniara.
E~antionareasemnalelorcontinue- Capitolulpuncteazaproblemelegeneratede e~antionareasemnalelorcontinue,posibilitateade schimbareafrecventeide e~antionarein domeniuldiscret, problemegeneralealeconversieiAID ~imodalitatilededeterminarea zgomotuluidatoratlungimiifmiteacuvintelordecod.
Estimare~i analizaspectrala- In acestcapitol sunt prezentatemetodeleneparametrice~iparametricedeanalizaspectrala.
Algoritmi iterativi.Filtreadaptive- Capitolulprezintamodalitatidecalculonlinealparametrilorstatisticiai semnalelor~ifiltreleadaptive.
Metodemodemede preIucrarenumeridia semnalelor- In acestcapitolsunt prezentatediferite metodede extragerea semnalelordinzgomot,precum ~i metode modeme de prelucrare a semnalelor(transformatetimp-frecventa,peA, leA, anulatoruldezgomotsincron).
5
Lucrareaprezintaclar,explicit,problemealeprelucriiriinumericeasemnalelor,evidentiindin final aplicatiiconcreteale acestuidomeniu.Inacestsens,carteasedore~tea fi un instrumentin intelegereaproblematicii
. fundamentaledindomeniulprelucrariinumericeasemnalelor.Autoareamultume~tein primul randreferentilor~tiintificipentru
atentaparcurgerea lucriirii ~ipentrusugestiileutile exprimatede ace~tia:Prof.Dr. lug.RaduZaciu~iProf.Dr. lug.RodicaStrungaru.
Autoareamultume~tepe aceastacale domnuluiProf. Radu Zaciu Pref,pentru initiereain domeniulprelucriirii semnalelornumerice~i pentru CUpI
incredereaacordatiiautoareila debutulcariereiacesteia,prin acceptareain I 1.s~grupuldansului.De asemeneaautoareaesterecunoscatoareProf. Werner 1.Wolf, de la Universitatder Bundeswehr,Miinchen, Germania,pentrupermanentacontributiela dezvoltareacarierei autoarei,in 'domeniulprelucriiriinumericea sernnalelor~idoamneiProf.Dr.Ing.RodicaStrungarupentruajutorulcontinuuoferitde-alungulanilor. In final,darnuin ultimulrand,autoareamultume~te[amilieipentrusprijinulpermanentacordat.
Bucure~ti,20081.:
Autoarea
1.:
1.L
1.E
2. Tr.2.1dis2.~
6
aIn
~ll
ru
a:
1U
ru
In
er
ru
lilru
ul
f
Cuprins
Prefata 5Cuprins 71.Sernnale.Tipuri desernnale 11
1.1. Tipuri desemnale 111.1.1. SernnalulcontinuuIn timp~iIn amplitudine 111.1.2. Sernnalul continuu in amplitudine~i discret In timp
(secventa) 121.1.3. SemnalelediscreteIn amplitudine~iIn timp(digitale) 121.1.4. SernnalulcontinuuIn amplitudine~icontinuuIn timp,a
ciiruivariatieareloc lamomentediscretedetimp 131.1.5. Sernnalelecuvaloridiscretealeamplitudinii~icontinuitate
In timp 131.2. Proprietatialesecventelor 14
1.2.1. Secventeperiodice 141.2.2. Secventepare 141.2.3. Secventeimpare 141.2.4. Secventemarginite 151.2.5. Secventecauzale 15
1.3. Exempledesecvente : 151.3.1. Sernnalulimpulsdiscret.. 151'.3.2.Sernnalultreaptaunitara 161.3.3. Secventaconstanta 171.3.4. Secventa exponentiala ~i derivatele ei: secventa
cosinusoidalii~isecventasinusoidala 171.4. Operatiielementarecusecvente 18, '1.5. Reprezentareagraficaaoperatiilorelementare 19
2. TransformataFourierDiscreta.. 212.1. TransformataFourier.Serii Fourier.TransformataFourierIn timpdiscret.Transforll1ataFourierdiscreta.Definitii 212.2. ,ProprietatialeTFTD, TFD 25
2.2.1. Liniaritatea 25
2.2.2. Deplasareasecventeifrecventei 252.2.3. DualitateaTFD 262.2.4. TFD asecventeicomplexconjugate 26
7
2.2.5. Proprietatiledesimetrie 262.2.6. Deseompunereauneiseeventeeasumade0 seeventapara
~iunaimpara 272.2.7. TFD a seeventeiobtinuteprinconvolutiecirculara 27
2.3. AplieatiialeTFD: CalcululconvolutieiliniareutilizandTFD 283. TransformataZ 31
3.1. TransformataZ. Definitie 313.2. ProprietatiletransformateiZ 33
3.2.1. Liniaritatea 333.2.2. Translatiain domeniultimp 333.2.3. Convolutiain domeniultimp 333.2.4. Convolutiain domeniulfreeventa 343.2.5. Teoremalui Pareeval.. 34
3.2.6. Transformataz a secventeimultiplicateeuk 343.3. TransformataZ inversa 34
3.3.1. Deseompunereain fractiisimple 353.3.2. Folosireateoremeireziduurilor 37
3.3.3. Dezvoltareain seriedeputeriale lui X(z), eehivalentaeu
impartireapolinomialaB(z)j A(z) 394. Sistemediscrete 41
4.1. Defmitii:sistemestabile,cauzale,liniare,invariantein timp 414.2. Reprezentareasistemelordiscrete 44
4.2.1. Reprezentareasistemelorprin eeuatiicu diferentefinite(EDF) 44
4.2.2. Deseriereasistemelornumerieeprin grafuri primitivedesemnal. 49
4.2.3. Reprezentareasistemelordiscretecuvariabiledestare 535. Filtrenumerice 59
5.1. Generalitati. Filtre numerice recursive. Filtre numerieenereeursive 59
5.2. ReprezentareafiltrelornumericeLIT 605.2.1. Simboluriutilizatein reprezentareafiltrelornumerice 615.2.2. Structuripentrufiltrerecursive 615.2.3. Structuripentrufiltrelenereeursive 66
5.3. Proiectareafiltrelordigitale 685.3.1. FiltreFIR eufazaliniara 695.3.2. ProieetareafiltrelorFIR 755.3.3. ProieetareafiltrelorIIR , 93
6. E~an_tionareasemnalelorcontinue 1056.1. E~antionareaperiodica 105
8
6,
6.6.Cl
7.E7.
7.8.A
8.8.III8.ut
9.M9.in
96.1.1.Reprezentareasemnalelor e~antioanatein domeniulfrecventa 107
6.1.2.Reconstituirea semnalului de banda limitata dine~antioanelesale 111
6.1.3.Prelucrareain timpdiscreta semnalelorcontinuein timp.........................................................................................113
Modificareafrecventeidee~antionareprinprocesariin timpdiscret1176.2.1.6.2.2.6.2.3.
6.2.
Reducerearateidee~antionarecuunfactorintreg 117Cre~tereafrecventeidee~antionarecuunfactorintreg..121Schimbarearatei de e~antionarecu un factor neintregrationalprinprelucrarinumerice 124
6.3. ConversiaAJD 1256.4. Calculul zgomotului de rotunjire datorat lungimii finite acuvintelordecod 130
7.Estimare~ianalizaspectrala 1337.1. Metodeneparametrice 136
7.1.1. Metodaperiodogramei 1367.1.2. Metode de mediereale densitatiispectralede putere-
EstimatorulBartlett 138
7.1.3. Metode de mediereale densitatiispectralede putere-EstimatorulWelch 139
7.1.4. MetodaBlaclanan-Tukey 1407.2. Metodeparametrice 141
8.Algoritrniiterativi.Filtreadaptive..: 1478.1. Calcululiteratival funtieideautocorelatie 1478.2. Algoritm recursivpentrucalculul functiei de autocorelatie~iinterconilatie 1518.3. A1goritmulSchurRLS pentruextragereasemnaieiordin zgomotutilizfu1dfiltrareaadaptiva 152
9.Metodemodernedepre1ucrarenumericaasemnalelor 1559.1. Aplicatie:eliminareasemnaluluiECG dinaltesemnalefiziologiceinregistrateneinvaziv , 155
9.1.1. Analiza ComponentelorPrincipale(PrincipalComponentAnalysis- PCA) 155
(} -I ') A nnl;~n I'" "'"'" ""0"" "''"'t'''l''rTnrlnnrlnt flnrlp1"Ipndpnto. 1.'-. r"l. Q,11Lia VVJ.J.J.,p J..1'-'J.~\of V ~~J.U"'.P".J.""'''.I..U,,-, \ ......_y_.L.I. .......ComponentAnalysis- leA) 156
9.1.3. Proiectianeliniaraa spafiuluistadlor (Nonlinearstate-spaceprojections- NSSP) 158
Ice
59
606161
,66
,68
.69
.75
.93105
105
26
ITa
272728
31
31
33
33
33
33
34
34
34
34
35
37
cu
39
41
41
44
rite
44
de
49
53
59
9.1.4. Anulatorul de zgomot sincron (Event SynchronousInterferenceCanceller- ESe) 159
9.2. Transformatetimp-frecventa 1709.2.1. TransformataFourierpetermenscurt- TFTS (ShortTime
FourierTransform) 1709.2.2. TransformataWavelet.. 172
Bibliografie 179
10
bioI,acthDinsuneacthdin.pentsenu
sau~
timp(de(
de0semr
amplsuntReprl
11
1.1.1. Semnalulcontinuuin timp~iin amplitudine
1.1. Tipuri desemnale
Semnale.Tipuridesemnale
1. SEMNALE. TIPURI DE SEMNALE
Acest semnalare0 gamacontinuade valori atatill timpcat ~iinamplitudine.Acestesemnalesuntcelemairaspanditein situatii1epractice~isuntreprezentateprin functiiscalaresauvectoriale,de variabilacontinua.Reprezentareagraficaaacestuiaesteexemplificatain Fig. I.
s
9
Pe
:2I
19 Prin semnal se illtelege 0 manifestarea unui sistem (fizic,biologic,etc),care serve~teca mijloc de comunicare,ca manifestareaactivitatiiunui sistemsaugeneratpentrua testaproprietati1eunui sistem.Dinprimacategoriefacpartesemnaleleacustice(vorba,muzica,in generalsunete),semnalevizuale (imagini),din a doua, semnalelegeneratedeactivitateacardiaca(ECG), cerebrala(EEG), undeleseismice,iar exempledina treiacategoriesuntsemnaleleradar,semnaleleecografice,semnalelepentrumasurareaproprietatilorscoartei terestre.Indiferent de tipul,semnificatiasauutilitateasemnalelor,acesteapotfi reprezentatematematic.
Un semnalestedefinitmatematicprintr-ofunctieunidimensionalasauvectoriala,in functiedetipuldeinformatiece0reprezinta.
In general,semnaluleste0 functietemporala(depindenumaidetimp).ExistasemnalecarepeHingavariatiain timp,prezinta~iunaspatiala(deexemplu:semnalulimaginein televiziune,RMN in medicina).
Semnalelesenumescdeterministedacaevolutialor poatefi descrisade0 functiebineprecizatadetimp.Prin opozitie,un semnalaleatoresteunsemnala careievolutienupoatefi descrisade0 functietemporara.
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
x(t)
o t
Fig. 1.Semnalcontinuuintimp~iin amplitudine
1.1.2.Semnalulcontinuuin amplitudine~i discretin timp(secventa)
Acest tip de semnalestedefinitla momentediscretede timp iaramplitudineasa are valori continue~ise mai nume~te~isecventa.Senoteazacu X(tk), undek E I, {Xk} sau {X(tk)}. El seobtinede obiceiprine~antionareasemnaluluicontinuu.MultimeaI, estemultimeaordonatadeintregi.Un exempluesteprezentatin Fig.2.
X(tk)
car
sau
I
o
/- ........
t
Fig. 2.Semnalcontinuuin amplitudine~idiscretin timp
1.1.3.Semnalelediscretein amplitudine~iin timp(digitale)
Acesttip desemnaleseint:alne~tein sistemeledigitaledeprelucrarea semnalelorcepotfi reprezentatedeuncalculator,unprocesordigitaldesemnale,saudeun programdeprelucrarea semnalelor.Spredeosebiredesemnalulanterior,amplitudineaacestuitip de semnalare valori intr-omulpmefinitadevaloridiscrete(moduldeoblinereal acestorsemnaledinsemnalelerealecontinuein timp~iin amplitudineesteprezentatdetaliatincapitolulE$antionareasemnalelorcontinue).
12
con
anal
13
t
Semnale.Tipuridesemnale
Xd(tk)
I ....--:- .....'"I /4-/::+'0-1 t1 t2 t3 t4
Fig. 3.Semnaldiscretin amplitudine~iin timp
Fig.4. SemnalSIH
1.1.4.Semnalulcontinuuin amplitudine~icontinuuin timp,acaruivariatieareloclamomentediscretedetimp
Acesttip desemnalseobtinela ie~ireacircuitelorStH (samplelholdsaue~antionare~imemorare).
xem(t)
[e
n
1.1.5.Semnalelecu valori discrete ale amplitudinii ~i[e I continuitatein timpde
de I Acest tip de semnaleapare la ie~ireaconvertoarelordigitaleroo analogice(CDA).tin
in
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
I /- ............ "-
... , ....
O' t1 t2 t3 t4 t~ i6 17 t
Fig. 5.Semnaldela ie~ireaCDA
1.2. Proprietatialesecventelor
1.2.1.Secventeperiodice
o secventasenume~teperiodicadad ~inumai:
(1)
inter
undeNeste eelmaimicnumarnaturalpentrucarerelatia(1)estesatisfacuta~isenume~teperioadasecven!ei.
1.2.2.Secventepare
o secventasenume~teparadaca~inumaidaca:
eu fe~ar
{xCA
1.2.3.Secventeimpare
o secventasenume~teparadaca~inumaidaca:
x[k]==-x[-kl Vk
14
1-;
(2)
(3) fini1
15
Semnale.Tipuri desemnale
(4)
(5)
x[k]=={*0,k E I0,inrest
1.2.5.Secventecauzale,
1.3.1.Semnalulimpulsdiscret
1.3. Exempledesecvente
ill''"':f", ,'.,::~\%~~'.Observafie: In cazulsecventelorimparex(0)==0 .
1.2.4.Secventemarginite
o secventase nume~temarginitadaca~i numaidaca existauninterval1==[N1,N2], astfelincat:
o secventa se nume~tecauzala daca ~i numai dadi
x[k] ={*~,k ~ 0.0,In rest
Semnalelediscrete(secventele)seobtindeobiceiprine~antionareacupas constant(la intervaleconstantedetimp,T,cerepezintaperioadadee~antionare)a semnalelorcontinue.
Notatiileutilizatepentrusemnaluldiscretastfelobtinutsunt:{x(tk)}'
{x(k)},x(k), x(kT), x[k], undeTeste perioadadeeantionare:2)
1)
~------
Este echivalentuldiscretal semnaluluiDirac (semnalde energie3) I finita,decisemnalfizic realizabil).Estedefinitderelatia:
PRELUCRAREA DIGIT ALA A SEMNALELOR
{1,k =0o[k]= O,k;t 0(6)
L..
Acest tip de semnalsta la baza determinariifunctieipondereasistemului,a~acum semnalulDirac esteutilizatin determinareafunctieiponderea sistemelorcontinue.
cosi
1
lFig. 7.Impulsulunitar
1.3.2. Semnalultreaptaunitara
Este definit in mod analogsemnaluluitreaptaunitaracontinua, diSCIavandvalorinenulepentruvaloripozitivealetimpului,n.
{ l,k 2:0o-[k] = 0,in rest
rut -, --,--t- 'nu_I Io 1 2 3 k
Fig. 8.Functiatreaptaunitara
~--~4 r, r, r ,., Observatie:b'lkj=atkJ-atk-1J
16
(7)
unde
secv(smus
uncle
Semnale.Tipuri desemnale
1.3.3. Secventaconstanta,
(8)
(9)
secvcnta
Secventaexponentialadiscretareala
Seob!inedinsecven!aexponentialacontinua(x[k] =rk, k E Z):
1.3.4. Secventa exponentiala ~i derivatele ei:cosinusoidala~isecventasinusoidala
SecventaexponentialacomplexaEste utilizata In analiza raspunsuluiIn frecven!aal sistemelor
discreteliniarinvarianteIn timp.Estedefinitaderelatia:
(6)
erea~~iei
tinua,
(7) .2"kJ-"x[k]=e N (10)
uncleNesteunnumarIntreg.Secventaeste periodica,cu perioadaN. Parteareala a acestei
secventeestesecventacosinusoidalaiar parteaimaginaraestesecventasinusoidala.
Parteareala~iparteaimaginaraseobtincurelatiilelui Euler:
(11)
uncleejm =cose+j sine.
Secventasinusoidala:s[k] =sin21f kN
17
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
Secventacosinusoidahi:c[k] =cos2Jr kN
Observatii:,1)atatfuncliasincat~iceacassootperiodice,cuperioadaN;2) semnalulDirac poatefi folositpentrudescriereamatematicaa
oricareisecvenledigitale:
segn
asup
{lk=nx[k]=fx[n]a[k-n], 6[k-n]= O:inrest-00(12)
Aceasta relalie este utila in analizasistemelordiscreteliniareinvariabilein timp.
1.4. Operatiielementareell secvente
Oricetip de filtrunumericpoatefi caracterizat(bineprecizat)de0succesiooedeoperaliielementare:
1)adooareasecvenlelor
2)inmullireacuunscalar
3)inwziereasecventeicu0perioadaFie ~-1 operatorulinwzierii secvenleieu0 perioada.
4)depiasareaInaintecu0perioadaFie ~operatoruldeplasariisecvenleiin avanscu0perioada.
18
~aa
(12)
Hare
Semnale.Tipur;desemnale
5)lnmultireaSerealizeazaprinlnmultireae~antioanelorcorespunzatoareacelora~i
segmentedetimp.
6)operatorulneliniarrSe obtinesecventade ie~ireprin aplicareaoperatoruluineliniar
asuprafiecaruie~antionasuprasegmentuluideintrare:
7)convolutiasecventelorEstedefinitadeoperatorul*:
*,{Xl[kn,{X2[kn:=}{y[kn={Xl[kn* {X2[kn,
y[k]= i:Xl[nlx2[k-n]= i:Xl[k-nlx2[n]
de 0
n;::;-oo n=-oo
1.5. Reprezentareagraficaa operatiilorelementare
x[k] y[k] =ax[k]
19
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
x[k] ~ .y[k]=x[k-l]
x[k] ~ y[k]=x[k+l]
x[k] e----{!J----+ y[k] =r(x[kD
Fig. 9. Reprezentareagraficaa operapilorelementarecu secvente
20
Tran
conti
defir
tram
interrepet
num~
TransformataFourierDiscretd
2. TRANSFORMATA FOURIERDISCRETA
. I
21
(1)
(2)
(3)
Serii Fourier.discret.Transformata
00
F(Q) = fJ(t)e-iQt dt-00
1 00J(t) =- fF(Q)eJQt dQ21f
-00
.2.1. Transformata Fourier.TransformataFourierin timp..Fourierdiscreta.Definitii.,
Un sernnalcontinuuperiodicestedescrisprintr-oserieFourier:
TransformataFourierDiscreta(TFD sauDFT - DiscreteFourierTransform)este0 transformataFourierce permiteestimareafrecventelorcontinuteIntr-osecventadeduratafinita.
Pentrudefmireaacesteia,facemanalogiecu transformateleFourierdefinitepentrusernnalelecontinue.
Atunci candsemnalulcontinuunu esteperiodicel estedescrisdetransformataFourier, respectivdetransformataFourierinversa.
x(t) =x(t +nTo), "i/ t undeTo - perioadasistemului,~in esteunnumarIntreg.
Un sernnalcontinuuesteperiodicdacavaloarealui serepetala unintervalbinedeterminatdetimp.eel maimicnumarpentrucarevaloareaserepetasenume~teperioadasemnalului.
Matematic,periodicitateaseexprimaprinrela!ia::nte
PRELUCRAREA DIGITAL~ A SEMNALELOR
d n 21!. fi' .... F .un e Uo =- , taran suntcoetctenlnsenel ouner:To
(4) res]
In modanalogsedefine~teTransformataFourier In TimpDiscret(TFTD) ~i inversaei (TFTDI), pentrusecven1ede duratii injinitii. Fiesecvenlax[k]=f(kTo) ohlinutaprine~antionareasernnaluluicontinuu!(t)cuperioadaconstantaTo.TFTD estedeterminataprinrelatia:
frecvenladigitala, adimensionala,~ =~To
X(ei{i})=fx[k].e-ik{i},k=-oo
unde OJ =21!L reprezintaFs
reprezentandfrecventadee~antionare.
(5)res
Observatie:TFTD esteperiodicacuperioada27t.
un,
SecventaoriginalaestedeterminatadetransformataFourierin timpdiscretinversa(TFTDI):
(6)
cat
ex]tra
undeintegrala secalculeazapentru0 perioada,27t,deobiceiconsiderandu-sein formulaanterioaraintervalulI::;; [-1T,JZ-].
Atunci cand secven1adiscretii esteperiodicii cu perioadaN,
~ p 1 [' (0,k ~fo,N -11xlkj=xlk+nNJ>nEZ, sau de duratiifinitii, xkJ=~ - [ ~] seL:;c 0,k E 0,N -1defme~teTransformataFourierDiscretii(TFD sauDFT - DiscreteFourierTransform):
22
dis
Pri
un
[N-l ,2;r 1mX n]= IX[k].e -INk=O
TransformataFourier Discretii
(7)
(4) I respectivtransformataFourierdiscretAinversiiTFDI:
ere!
Fie
r(t)
[ 1 N-} l;r /enX k]=- IX[n]e NN n=O
Acesterelatiimaipotfi scrisesubforma:
(8)
(5)
N-}
X[n]= Ix[k].wNIm,k=O
respectiv:
(9)
1 N-}x[k]=- IX[nlw~,
N n=O(10)
,2;rJ-undewN =e N
(11)X=Wx
23
undevectoriisuntdefinitisubformauneicoloane:
Observatie1. TFD esteperiodicii, cu perioadaN, ~iesteprin urmarecomplet
caracterizatiiprinN valori.Importantaacesteiproprietiiticonstiiin faptulciiexistiiposibiiitateacaicuHiriiexactea transformateiFourierdiscrete~iatransformateiFourierdiscreteinverse.
2. CeleN valori ale lui x[k] ~irespectivale transformateiFourier
discrete,X[n], pot reprezentacomponenteleunui vectorx, respectivX.Prinurrnare,TFD poatefi scrisiisubformiimatricealiisubforma:
N,
(6)
] semer
Idu-
PRELUCRAREA DIGITAL4. A SEMNALELOR
[ X(O) 1 r X(O) 1x= X(~-l) ,x=,-X(~_l)j'(12)
W este 0 matriee eu dirnensiuneaN xN avand elernentele
W - w-kn unde0 s;,k,ns;,N-1n,k - N ,
Tabel1- FormulealetransforrnatelorintroduseTF
J(t)
energiejinitii
SF
J(t)
periodic
(To~:.JTFTD
x[k]=J(kTo)
'"
F(jOJ) = fJ(t)e-jtiJtdt (TF)
I1 To .
a(n) =- fJ(t)e-JnDo'dt (SF)To 1
To
OQ
J(t) = La(n)einDo' (SFI)n=-
X(eiOJ)= Ix[k].e-ikal (TFTD)k=-oo
e~an
X[k]=_1 fx{eial).eJkaJdaJ (TFTDI)27i-1l
N-I .21l1m-J- .X[n] =Lx[k].e N (TFD)
k=O
TFD
x[k]
periodiea sau deduratafinita
'1
1 N-I _ j""ll 1mx[k]=-. LX[nJ.e N (TFDI)
N hON-I
X[n] = LX[k].wNknk=O
. _ 1 N..=,l .x[kj=-- LX[nJ,wi:;
N k=O
24
I
I
!Jiloj
Dad
unde
pena
(12)
entele
il
J
TransformataFourier Discretii
2.2. Proprietafi aleTFTD, TFD
2.2.1. Liniaritatea
Wldelungirneaseeventeirezultante,N3, este deterrninatade relatiaN) =max(Nl,NJ, Nl ~iNz fiind lungirneaseeventeixl[k], respeetivxz[k].
Prinurmareputernserie:N3-l
X[[n]= I xl[k]'W~,O::s;n::S;N3-1k=O
N3-l
XJnJ= I xz[kJ.W~,O::s;n::S;N3-1k=O
Observatie: Se poate ealcula TFD ~i pentru rnai rnultee~antioanedaeaseeornpleteazaseeventeleeuvalorinule.
2.2.2. Deplasareasecventeifrecventei
La fel sepoatearataea:
.2,.
undeW:; =e-J/ikm ~i(O)N reprezintaoperatorulmoduloN.
Pentru a demonstrarelatia anterioaraconsideramsecventeleperiodice:
25
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
x[k]=x[((k))N]< TFD ) X[n]=X[n] ~i,27!
x1[k]= Xl [((k))N]=x[((k - m))N]< TFD ) X1[n] =X1[n]= e-J}jnm.X[n]
,27!
RezuWiprinurmarex[((k - m))N].< TFD ) e- J}jnm.X[n]
2.2.3. DualitateaTFD
Pentru demonstratie considedim secventele periodice
x[k] =x[((n)) N ] ~i ~iX[k] =X [((k))N ] astfelindit :i[k] < TFD ) X[n].Interschimbandvariabilelen ~ikin relatia(7)obtinem:
~[N-l ,27!knX k] =L:x[n ] .e-J}j .n=O
Comparandcurelatia(8)deducemX[k ]< TFD ) N .x[((-k))N]'
uneimc
2.2.4. TFD a secventeicomplexconjugate
Pebazarelatiei(8)sepoatearataea:
x*[k]< TFD )X*(((-n))N),O::;n::;N-l
x*[((-k))N]< TFD )x*[kl0::;n::;N-l
2.2.5. Proprietatiledesimetrie
(17)
(18)
Aceste proprietatisunt similarecelor ale transformateiFourierdefinitapentrusemnaieiecontinuereaie,~irespectivale TFTD definitapentrusecventediscretereale,~isunt:modululTFD este0 funetiepara,argumentulTFD este0 functieimpara,partearealaa TFD este0 functiepara,~irespeetivparteaimaginaraaTFD este0 functieimpara.
26
peri
repr
Trans/ormataFourierDiscretd
X[n] =X*[((- nN]
Re{X[nll= Re{x*[((-nN]}
Im{X[nn=-Im{X'[((- n))N]}
IIX[n ]11 =IIX [((- nN ]11
arg{X[nn=-arg{X'[((- n))N]}
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
16)
Ice
2.2.6. Deseompunereauneisecvenfeeasumade0seevenfapara~iunaimpara
Orice secvenlax[k] ( TFD ) X[n] se poatedescompuneca sumaauneisecvenlepare,avandTFD reala,~ia uneisecventeimpare,avandTFDimaginara:
2.2.7. TFD a seevenfeiobfinuteprin convolufieeireulara
Definitie Convolulia circulara a doua secvenle periodicexl[k]=xl[((kN] ~i x2[k]=x2[((kN] este reprezentatade secventa
periodica x3[k] definita prin relatiaN-l
x3[k]=2>1[((mN ].x2[((k -mN], 0$; k $;N -1 . Operatorulutilizat Inm=O
reprezentareaconvolulieicircularesenoteazacu.
17)
18)
nerIlita
ara,
clie
xl[k]< TFD >XI[n] , x2[k]< TFD >X2[n]N-I
x3[k]=Z>I[m]x2[((k-mN]' 0$;k $;N-1m=O
U
x3[k] < TFD > XI[n]. X2[n]
~l
(26)
II
III
27
PRELUCRAREA DIGITAL.\. A SEMNALELOR
Cu notatia anterioara,considerand0 perioada aX3 [k J ,relatia(26)sepoatescriesubforma:
undexj[k], x2[k] aulungimeaN.
secventei
(27)
Proprietatialeconvolutieicirculare:Convolutiacircularaestecomutativa.Pe bazadualitatiisepotdeducedeasemeneaurmatoarelerelatii:
2.3. Aplicatii ale TFD: Calculul convolutiei liniareutilizandTFD
DeoareceTFD se poateimplementarapid hard ~isoft, existandpentruaceastaalgoritmirapizi de ealeul (TFR - TransformataFourierRapida,sauFFT - FastFourierTransform),sepuneproblemautilizariiTFDin prelucrareasemnalelordigitalepentruaobtinediferitevalori.
a) Un exempluaplicatival TFD esteeaIcululconvolutieia douasecvente,in urmatoriipa~i:
1)CaIculamTFD in N punctepentruxj[k] ~ix2[k], XI[n] ~irespectivX2[n], cualgoritmiiFFT.
2) CalculamX3[nJ= Xj[nJ. X2[n10:::; n:::;N-l
3)Calculamx3[kJ =XI [kJX2[k] eafiindTFDI a luiX3[n].
Acest lucru este util pentru di de exemplu sistemeleLiniarInvariantein Timp (LIT) necesitaoperatiideconvolutieintresecventeledeintrare~ifunctiilepondere.
b) Un altexemplu11reprezintaeonvolutialiniaraa douasecventededuratafinita.
maxlIlungil
X(eia
TFD.
egaUiin Ndeternsaucb
convo
seeveI
secver
TransformataFourierDiscretii
utei I Fie xl[k] 0 secvenlade lungimeL (xl[kJ:;tO pentruk=O,L-l) ~ix2[k] 0 seevenlade lungimeP (x2 [kJ:;t 0 pentruk =0,P -1). Presupunem
cadorimsa eombinamaeesteseevenleprin eonvolutieliniara.Fie x[k]:27) I rezultatuleonvolulieiliniareaeelordouaseevenle:
00
x[k]= L>l[m]. x2[k - m], k E Zm=-oo
Deei x[k J =0 pentruk L +P - 2 . Lungimeamaximaa seevenleix[k] esteL +P - 1atuncieandseevenleledeintrareaulungimidiferite(L, respeetivP).
lre
md
'ler
FD
tiv
e)Convolutiaeireularaprivitaea0eonvolulieliniaraeualiereSepoatearataeadaeae~antionamTFTD a uneiseevenlefinitex[k],
X(eiaJ ), in N puneteeehidistante(j)n = ~ n se oblineseevenlaperiodiea
TFD aseeventeix[k] saux[k J =x[((k ))N ], k E Z :
x[kJ< TFTD )X(eJaJ)~x[kJ< TFD )X[nJ=x(eJaJL=27T,n,n=o,N-l(29)N
Pe bazarelaliei(29)rezultaeadaeax[k] arelungimemaimicasauegalaeuN, x[kJ poatefi determinatde.TFD ealculataeae~antionareaTFTD
inN punete.Daea insa x[k] are lungimeamai maredeetHN, seevenladeterminata,deTFDI poatefi diferitadex[k] pentruanumitevalorialelui nsauchiarpentrutoatevalorile;fenomennumitaliere.
In mod asemanator,fenomenulde alierepoateafeetarezultatul
convolulieieireulare.Fie X3 (eJaJ)=XI (eJ{)));r2(eJ{))) transformataFourierasecventeix3[k] oblinutaprineonvoluliaadouaseevenle,xl[k] ~ix2[k]:
00
xJk]= Lxl[mJ.x2[n-m]m=-oo
Jar
de I Fie'TFDa aeesteiseeventedeterminataprin e~antionareaTFTD asecventei:
de
29
PRELUCRAREA DIGIT ALA A SEMNALELOR
X3[n] =X3 (eiaJ L=27rn' 0:::;n:::; N -1N
Se observa ca re1alia anterioarase poate scrie sub forma
X3[n] =Xl (eiaJ L=27rn . X2 (eiaJ L=27rn' 0 S; n S; N-1.N N
Deci X3[n] =Xl [n]. X2[n] reprezintaTFD aconvolutieicirculare:
Daca N > max(L, P) atunciXI[n] ~iX2[n] reprezintaexactxl[k],respectivx2[k] pe cand x3[k] =x[n] doar dadi Neste mai mare decat
Iungimeasecventeix[k]. DarIungimeaacesteisecventeestemaximL +P -1. De aceea,convolujiacircularacorespunzatoareIui XI [n]. X 2 [n] este
identicacu convolutialiniara corespunzatoarelui XI (eiaJ ). X2 (eiaJ) daciiN"?L+P-l.
Daca presupunemca realizamconvolujiacirculara'in L puncte( L >P) se poatearataca ea coincidecu convolutiaIiniara in L - P +1puncte.
PrimeIe P-l punctesuntafectatede aliere~ide la L in sus deasemenea.Valorile neafectatede aliere sunt de la n =P -1 pana lan=L -1 (L - P +1puncte).
30
domtran~
ajutR. I Xl
TransformateiZ sepoatedescompunecu ajutorulpolinoamelordeordinulI:
undeZi senumesczerouriletransformateiZ iarPi suntpolii transformateiZ.
Imz{z}
Rez
..
R+
Fig. I. DomeniuldeconvergentapentrutransformataZ bilateraUi
Z (;tral
32
dede 3.2. ProprietatiletransformateiZ
TransformataZ
or de
11 delata Z I 3.2.1. Liniaritatea
este I Fiind date doua secvente Xl' X2 cu transformatele Z Xl' X 2
xl[k]~ Xl (z), X2[k]~ X2(z) rezulta:
a.xI[k]+b.x2[k]~a.XI(z)+b.X2(Z) (4)
3.2.2. Translatia in domeniultimp
lei Z.
a) Pentru transformataZ bilaterala:
b) Pentru transformataZ unilateraIa:bl) translatiainainte (avans):
(5)
b2) translatiainapoi (lntarziere):
(6)
3.2.3. Convolutiain domeniultimp
Fie secventelediscretexl[k] ~ Xl (z), X2[k] ~ X2 (z). Transformata
Z a secventeice rezulta din convolutia celor doua secventeeste produsultranformatelorZ a celor douasecvente:
33
(8)
PRELUCRAREA DIGITAL.\. A SEMNALELOR
3.2.4. Convolutiain domeniulfrecventa..
3.2.5. Teoremalui Parceval
3.2.6. Transformataz a secventeimultiplicatecuk
Z{k. x[kD= -z dX(z)dz
saupringeneralizare:
3.3. TransformataZ inversa
TransformataZ inversasedeterminaprinrelatia:
34
(10)
(11)
(12)
UJ
tr,
in
eu
Izi
eugradNj (z) R_, tabelulI indicasecventelecorespunzatoarefractiilorsimple:
(13)m-k Nj (z)
X(z)= LCkZk + D(z)k=O
3.3.1. Descompunereain fractii simple
SedescompunetransformataZ a secventeix[k], X(z), subforma:
TabelI
35
_z_~ pk .a[k]z-p
Trans/ormotaZ
undeC esteinc1usaIn domeniuldeeonvergenta.
TransformataZ inversasedeterminaprin :1) identifieareatransformatei,pe baza unor tabele eontinfu1d
transformateleZ alecelormaiimportantesecvente2)descompunereaIn fractiisimple3)folosireateoremeireziduurilor
4) dezvoltareain serie de puteri ale lui X(z) (echivalentaeuimpiirtireapolinomiaHiB(z)j A(z)
)
I)
~)
PRELUCRAREA DIGITAL.\. A SEMNALELOR
__z 1z-1 =l_z-1 ~O"[k]
z~ e-ak
-az-e
Z
(z-I)2 ~k
z(z+I)~k2(z -IY
zsma
z- -2:z.cosa+l ~sin(a.k)
z (z - cosa) ~ cos(a.k)z2 - 2 Z cosa +1
zsma
2 2 ~ -ak . ( )Z _ . z .e-a cosa +e-2a e .sm a .k
z .(z- e-a cosa)2 -d (
Z _ 2 .z .cosa +e-2a ~ e .cosa .k)
Exemvlu Fie X(z)~ I 4X' ,. Sa se detenninez - 0.5 z +0.5,secventadiscretacorespunzatoare,prindescompunereain fractiisimple.
Rezolvare:
X(z) 4z A B----------+-z - (z - O.sXz+0.5)- z - 0.5 z +0.5
36
tat
del
fOI
TransformataZ
Sedetermina:
A= 40.50.5+0.5=2 ~i
B= 4.(-0.5)=2.-0.5-0.5
. R ul ~ X() 2z 2z .. 'd 'fi . ulez tii z =--- +--- ~l pnn 1 entIlcare, cu aJutorz +0.5 z - D,S
tabeluluiI, rezulta:
3.3.2. Folosireateoremeireziduurilor
In functiede tipul polilor, simplii saumultiplii, yom aveapentrudeterminareareziduurilorformulele:
- Pi pol simplu
Rez(X(z)' zk-l, Pi)= lim(z - Pi)' X(z). zk-I (14)Z~Pi
- Pi pol deordinulr
In functie de domeniulde convergentaal transformateiZ, seile I determinasecventelecorespunzatoarereziduurilorcalculatecu ajutorul
formulelor(14)~i(15):
) {a-(k),pt.DC >R+X(z)~x[k]=IRez(X(z)'zk-I,Pi . o-(-k-I),pt.DC
PRELUCRAREA DIGITAL\ A SEMNALELORI"e:j : ',~ z3 +Z2 +Z +1, III' ExemoluFie X(z)= 3 2 . S~ se determine
z - O.Sz - 4z +2seeventaeauzaHieearetransformataZ reprezentataprin X(z).
Rezolvare: i 1m)DeseompunemnumitorultransformateiZ X(z), pentrua identifiea
polii.
. 3 23 2 -z +Sz-1
X(z)= z +z +z+1 =1+__ 2 ,
(Z-2XZ+2(Z-) (Z-2XZ+2(Z-)
Polii transformateiZ soot: PI =2,P2 =-2, P3 =1.,2
~Z2 +Sz-1
R (2) I' k-I 2 - 2k-1 IS - 2k-I S [k 1]
ez =z~z -(--{--1-)- '--3- '2'0'-z +2,\z- 2 423 2-z +5z-1
Rez(-2)= lirnzk-I 2 =(_2Y-l. -5 =
z+2 (Z-2{Z-~) (-4){_%)
=(-2ti{-}o-[k-l]
Rez(~)== lirnzk-l (%Z2 +X5Z -1) ==(~)k-l.. 1: =2 z-r!- Z - 2 z +2 22
( 11k-l ( 1\= "2) " -"2r o-[k -1]Rezultaurmatoareareprezentareanalitieaaseevenleix[k]:
38
rep
seede
TransformataZ
3.3.3.Dezvoltareain seriedeputerialelui X(z), echivalentacu
impartireapolinomiaHiB(z)j A(z)
Impartireapolinoamelorse face pas cu pas, coeficientiicatului
reprezeid e~antioanelesecventei._ Exemplu Fie X(z)= ( 4X2 ) . Sa se determinez-0.5 z+ 0.5
secventadiscretacorespunzatoare,prindezvoltareatransformateiZ in seriedeputeri.
Rezolvare:
4z2--.-4 1,2 +----z -0.25 z2-0.25-=4+z2 +0.25z-2 _
z2 - 0.25-
=4+z2 +0.2S.z-4 +0.252'Z-4 _z2 ...0.25 -
=:4+z2+0.25'Z-4+0.252 'Z-6 +0.253z-4Z2 -0.25
Prin identificaresedetermina:
{4 k=O
x[k]= 0:k=2. p+l
(0.25)p-l,k =2p
39
sus, In primul..Inverse, pnn
PRELUCRAREA DIGIT ALA A SEMNALELOR
Observatii:1) Formulaesteidenticacu formulaobtinutamai
exemplu, referitor la determinareatransformateiZdescompunereatransformateiZ In fractiisimple.
2) MetodadescompuneriitransformateiZ In seriedeputerinu oferadeobicei0 formulaanaliticaasecventei.
40
S(
Sl
Sl
n
p
a
e
S
1
pIm
Sistemediscrete
4. SISTEME DISCRETE
4.1. Definitii: sisteme stabile, cauzale, liniare,invariantein timp
Sistemediscrete
Un sistemestedefmit ca sistemdiscretdadi 0 parte sau toatesecventelecareaparsuntdiscretein timp.Din punctdevederematematicunsistemdiscretin timp e 0 transformareunicil (operator)careconverte~tesecventade intrareu[k], numita~iexcitatie,in secventade ie~ire,y[k],numitadispunsulsistemuluila secventadeintrareu[k].
(1)
In general,un sistemdiscretin timpdiferadeun sistemdigitaldinpunetdevedereal gameidevaloriaamplitudinilor(asevedeaeapitolul1).
Observatie: In continuareyom presupuneca pentru sistemeleanalizatenotiunilesunteehivalente,mentionandundeestecazul faptulcaestenecesara sefacediferentiereaintreceledouanotiuni.
SistemeliniareUn sistemesteliniar, daca~inumaidadiuneicombinatiiliniarede
secventeIi corespundela ie~ire0 combinatieliniara a raspunsurilorindividualealesistemuluilafiecareexcitatiein parte.
Sistemeinvariantein timpUn sistemesteinvariabil in timp, dacaraspunsulsistemuluila 0
secventadeintrarenudepindedemomentulaparitieiacesteiintrari.
(3)
41
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
Observatie:,1) Sistemeleliniare invariantein timp (LIT) sunt sistemele
fundamentalein domeniulprelucrariisemnaluluidatoritafaptului caraspunsulla orice secventade intrarepoate fi determinatpe bazaraspunsuluila 0 secventaparticulara,deobiceisecventapondere(raspunsulsistemuluila impulsulunitar),notatah[k].
so
-?>ITu[k]=g[k]
~
y[k] =r(g[kD= h[k]
Fig. 1.CaracterizareasistemelorLIT prinfunctiapondere,h[k]
Consideramcala intrareasistemuluiesteaplicatasecventadeintrare
u[k]:fun
ct:)
u[k]= Lu[mlg[k-m]m=-ct:)
RaspunsulunuisistemLIT, y[k]vafi, tinandcontdeecuatia(4):
ct:) 00
y[k]= Lu[m].h[k-m]= Lu[k-m].h[m]
(4)
(5)
expexpmOl
m=-oo m=-oo
Prin urmare,in cazulsistemelorLIT (SLIT), raspunsulsistemelorlao secventade intrareoarecare,u[k], estedatde convolutiasecventeide
intrare,u[k], cufunctiapondereasistemului,h[k].
sisti
amI
corr
2) SistemeleLIT secaracterizeazadeasemeneaprin riispunsulin
frecvenlii,notatcu H(ejOJ), acestareprezentandtransformataFourierintimpdiscretafunctieipondere,h[k]. Raspunsulsistemuluiin frecventasedeterminade asemenea~ica raportuldintreraspunsulsistemuluila 0
secventadeintrareexponentiala, u[k] =ejkOJ , ~isecventadeintrareaplicata. I tran
42
Sistemediscrete
~leca
za
:ul
re
---..)~u[k] =eikw y[k] =eikw .H(eiw )
Fig.2.RaspunsulinfreevenlapentrusistemeleLIT
Y[kL[kl=eJk"= fh[mlu[k-m]= fh[mle;{k-m}& =m=-oo m=-oo
m=-r;t;;
RezuWi:
(6)
(7)
4)
De observatearaspunsulin freevenlaarevalorieomplexe,fiind 0funcliedeserisaatatdemodulcat~idefaza.
Prin urmare,atuneieandla intrareasemnaluluiseapliea0 seeventaexponenlialaeu modulul 1, la ie~ireasistemuluise obtine0 seeventaexponenlialaeomplexaeu aeeea~ipulsalie, dar eu faza ~i modululmodificate:
5)(8)
la
ie
in
;e
o
Astfel, in urmaintroduceriiuneiseevenlesinusoidalela intrareainsistemuldiseretliniar invariantin timp,aeeastava fi regasiti:ila ie~ireeuamplitudinea~ifazamodifieate.
3) TransformataZ a functieiponderecaracterizeazade asemeneacompletsistemuldiser~t,numindu-sefunctiedetransfer.
H(z) =Z{h[k]}=~~z~ (9)U\Zj
Nota: Relatia(9) se oblineconsiderandeeuatia(6) ~iproprietatiletransformateiZ.
43
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
4) In continuarepresupunemca sistemelediscreteanalizatesuntLIT. Undeyomanalizasistemediscretece nu suntcaracterizatedeacesteproprietati,vafi specificatexplicitacestlueru.
Sistemeeauzale
Un sistemeste eauzal sau flZie realizabil, daca ~inumai dadiraspunsulsaula un anumitmomentdepindedoardevaloareasecventeideintrarelamomenteanterioaremomentuluicurent.
une
SlSi
see
(10)
SistemestabileUn sistemestestabil,dacaraspunsulla0 intraremarginitaestede
asemenea0 secventamarginita(BIBO - BoundedInput,BoundedOutput).
an
pafOl
(11)
De asemenea,daca se cunoscradacinileecuatlelcaracteristlceasistemului,ri, conditianecesara~isuficientacasistemulsafie stabilesteca pe
toate radacinile sa fie subunitare(a se vedea paragrafeleurmatoare, coreprezentareasistemelordiscrete prin ecuatia cu diferente finite ~irezolvareaecuatieieu diferentefinite, in vedereaobtinerii raspunsuluisistemuluila0 secventadeintrareoarecare):
(12)
4.2. Reprezentareasistemelordiscrete
4.2.1. Reprezentareasistemelorprin eeuapieu diferentefinite m~~ m
SistemelediscreteLIT potfi descrisesubformageneraladeecuatiaCll diferentefinite:
44
~suntceste
,...
N L
y[k] =Lai .y[k-i]+ Lbj .u[k- j]i=1 }=o
Sistemediscrete
(13)
daditeide
(10)
stede
put).
uncle u[k] reprezinta intrarea sistemului iar y[k] reprezinta le~lreasistemului.
Atuncicandsecunoa~teEDF a unuisistem,raspunsulacestuiala 0secventaoarecaredeintraresepoateaflain urmatoarelemoduri:
i) RezolvareaanaliticaaEDF
Raspunsulsistemului,y[k] esteformatdin doua componente,~i
anumesolutia omogena,sau de raspunspermanent,Yo [k], ~i solutia
particulara,caracteristicasecventeide intrare,numita~isolutiede regim
fortat,yAk]:
(11)(14)
Solutia omogenaestecombinatialiniaraa exponentialelorobtinutepe baza radacinilorecuatieicaracteristice,ce se obtinepe baza EDF,
considerandsecventeledeintrarenule~isemnaluldeie~iredeformaC rk :
,ticeaIsteca
~toare,ite ~imsului yo[k]=LCi .r/,i
i=I,N (15)
(12) Ecuapa caracteristicaestedefinitaderelatia:
N
1- Lair-i =0i=]
(16)
finiteSolutia particulara (saude regim fortat) depindede semnalulde
intrare,u[k]. In tabelulurmatorsuntindicatesolutii1eparticularepentrucelemaireprezentativesecventedeintrare.
ecuatia TabelIISecventau[k]CCk
45
Solutiaparticularayp [k]
C]Cj k+C2
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
Cak kC1aC .cos(kBo)
C1.cos(kBo+C2)
C,sin(kBo)
C1.sin(kBo+C2)
ii) UtilizareatransformateiZ pentrurezolvareaEDFAplicand transformataZ ecuatiei(5), tinandcont de conditiile
initialealesistemului,seobtineY(z), transformataZ a secventeideie~ire.Aplicand apoi transformataZ inversa,se obtine formula analiticaasecventeideie~irey[k].
iftExemPlu:Un sistemcauzalestecaracterizatdeecuatiacudiferentefinite:
y[k] =y[k -1]-0.5. y[k - 2]+0.5u[k]
a) Determinatiexpresiaanaliticaa raspunsuluila secventatreaptaunitate.Conditiileinitialesuntnule;b) DeterminatiraspunsulsistemuluilasecventatreaptaunitateutilizandtransformataZ, in conditiiinitialenule;c)Verificatisolutiagasitala punctula) ~ib) calculandvaloriley[01y[11y[2]pecaleiterativa,pebazaEDF.
Rezolvarea)Determinareasolutieiomogene:Ecuatiaomogena(EO)este:
y[k]- y[k-l]+0.5y[k-2]=0
Rezultaecuatiacaracteristica:
r2 -r +0.5=a
1+' 1 .f(wdw . '1 _1 1'4
cura aC1111e '1.2 =2=.fi eAtuncisolutiaecuatieiomogeneestedeforma:
46
simile
Din]
Sistemediscrete
Determinareasolutieiparticulare:Datoritaconsideratiilorteoreticece impun 0 solulie particulara
similarasecventeideintrare,sevaconsidera0solulieparticularadeforma:
AtunciYp [k] verificaecualia:
SolutiageneraHi:
Determinamconstanteledinsoluliepebazacondiliilorinilialenule.Din EDFrezulta:
y(o) =0.5;y(1}=0.5+0.5=1
Atunciconstanteleverificasistemulliniardeecuatii:
R7zultapentruformulaanaliticaaraspunsuluiexpresia:
47
PRELUCRAREA DIGIT AL6. A SEMNALELOR
b)AplieandtransformataZ eeuatieieudiferentefiniteseobtine:
P d A fi ... 1 Y(z) b'rm eseompuneream raetnSimpe a -- 0 tmem:z
Y(z) 0.5z2 1 -0.5(z-1)
-z-= (z-1).~2-z+0.5)= z':"'l +z2-z+0.5
Prin urmare:
Y(z)=_z-0.5' z(z-1)z-l z2-z+0.5
Prin identifieare,utilizandtabelelede inversarea transformateiZ,obtinem:
Nota: TransformataZ se poatede asemeneaobtineeu ajutorulealeululuireziduurilor,independentdetabeleledeinversareatransformateiZ. Se reeomandaaplieareaaeesteimetode,si verifiearearezultatelor,prineomparareaeurezultateleoferiteanterior.
e)y(O) =0.5(analitie)
y(l) =1(analitie)
y(2) =+~1~ ~ +1=~ =1.25(analitie)2"1/2"-12 4
y(2) =y(l) - 0.5y(O) +0.5=1- 0.25+0.5=1.25(iterativ)
Companlndrezu1tateleobtinutepe eale iterativa~iprin utilizareaformuleianalitieeseobservadieleeoineid.
48
sem
~1rc
din1
eu(
SUl
un
Sistemediscrete
4.2.2. Descriereasistemelornumericeprin grafuri primitive desemnal.
Un graf desemnaleste0reprezentaresimbolicaformatadinnoduri~iramuri.FiecaruinodIi estecaracteristica0anumitavariabilaVi' Legatura
dintredouanoduriV i ~iVk estecaracterizataprintr-oramuradirec!ionata,ell ca~tigulaik .
z,
Vi
)rullteimn
n
Vk ==Laik VI1=1I",k
Fig. 3.Reprezentareasistemelorpringrafuri
Ramurilepotfi multiplicatoaresauelementedeInty{==}B
A+Bu~y
49
Sistemediscrete
4.2.2. Descriereasistemelornumericeprin grafuri primitive desemnal.
Un graf desemnaleste0reprezentaresimbolicaformatadinnoduri~iramuri.Fiedirui nodIi estecaracteristica0 anumiUivariabilaVi' Legatura
dintredouanodurivi ~ivk estecaracterizataprintr-oramuradirectionata,euca~tigulaik
I Z,
Vi
)rulateimn
n
Vk =Ialk -VI1=1rk
Fig. 3.Reprezentareasistemelorpringrafuri
Ramurilepot fi multiplicatoaresauelementedeIntarziere.Nodurilesuntsumatoare.
Avantajul reprezentariiprin grafuri:grafurile pot fi reduseprinurmiltoarelemetode:
1.transformareaIn cascadaA B AB
u ~ y {=}.u o--+-----y-B
A+Bu .o--+-----
PRELUCRAREA DIGITAL A. A SEMNALELOR
b)
c)
dis
lntIn
Yl
A0BCU2_Ul .. U2
AD BDY2
B
D
CA
3.eliminareaunuinodYl
A
B
C
D
Y2
4.eliminareauneiramuriYl
5.eliminareauneibucleAB
A 13 1-13C
u~y __ u~YC
(
(
decelU a "/0ODin punctde vederefizic unitatilede Intarziererealizeazastocarea
informatiilor.
2) Se eticheteazatoatenoduriledeintrare~itoateie~irileramurilordeintarziere,z -1,cu indexulO. Aceste-nodurireprezintavariabileleinitiale,cesuntdisponibilela Inceputulproceduriide caleui. Se inerementeazaindexulk cu 1.
3) Seexamineazanodurileneetichetate.Se gasesctoatenodurilecepotfi calculatedinnodurileetichetatelapa~iianteriori~iseeticheteazacuk.
4) Daca mai existanodurineetichetateIn graf, se incrementeazaindexulk ~isereiapasul3.
Fie Sk multimeanodurilorcu indexulk.Noduriledin SI suntlegatedeceledin Soprintr-osinguralegaturaiar noduriledin Sk suntlegatedeintrariprin'celmultk ramuri. '\
Ceamai lungaparcurgerea grafului(caleaceamailungadin graf)determinacel mai maretimpde calculsautimpulde calculal sistemuluinumeric.EaestedatadeindiceleultimeimultimiSk.
51
PRELUCRAREA DIGITAL.\ A SEMNALELOR
Exemplu:
tr
Se consideragrafuldin figura.Sa se determinetimpulde ca1culalsistemuluidiscretcaracterizatdeacestgraf.
y
u
1
Yo
Uo Vg
~o
Z -1 Vg
VI ~l
-1Z Z -1
V4
d
aV
fl
~
I
11
V3
Pe bazareguliloranterioaresedetermina:
S[:y =uovo+YouVl= 'tOVg+~ou
S2: Vg = UlV7 +YlVlV2 = 'tlV? +~IVl
S3: V6 = U2VS+Y2V2V3 = 't2VS+~2V2
La terminareafiecaruiciclu de calculse reactualizeazavariabilele
initiale,dinclasaSo:
c
Vg . Vg
52
Sistemediscrete
Atunci cand sistemulliniar esteinvariantin timp, ecualiile(18)
(17)
(18)
(19)
x[k +1]=f(x[k1u[kD
y[k] =g(x[klu[kD
x[k +1]=A .x[k]+B u[k]
y[k] =C .x[k]+ D .u[k]
x[k +1]=A[k]. x[k]+ B[k). u[k]
y[k]= C[k]. x[k]+D[klu[k]In cazulsistemelorliniare,ecualia(17)areformaunuisistemliniar:
Pentru eeua!iile eorespunzatoarefiedirei clase se aplidi apoi
I11lI1sformalaZ pentrua determinaH(z) =~~~.
4.2.3. Reprezentareasistemelordiscretecuvariabiledestare
Starea unui sistem reprezinta informa!ia minima necesaradeterminariiie~irii sistemului,cunosdl.ndintrareaacestuia~i starea saanterioara.
Dadi x reprezintavectorulstarii sistemuluiiar u ~iy reprezinta
vectorulintrarii ~irespeetival ie~iriisistemului,se pot identificadouafunctiif ~ig eepermitdeterminareaevolulieistariisistemului,respectivaie~iriiacestuia,pebazaveetoruluiintrarii~ial starii:
devin:
Reprezentareaeu variabile de stare define~tevariabile pentrudescriereastarii sistemelor,variabileee suntutilizatepentrua determinastareaulterioara~iiesireasistemelorpecareIeearaeterizeaza.
Deseriereaeu variabilede stareeste unica pentrufiecare graf,reciproeanefiindadevaratii.
Proeedurade identifiearea eeualiiloreu variabilede starepe bazaunuiGPS esteurmatoarea:
4
Y3
1) Se inloeuie~tefieeareunitatede intarziereeu 3 ramuri,ca infigura:
53
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
o o 1-1
Z
Xi
1
2) SeeliminaunitateadeintarziereramanandX'i cauniHitideie~ire~iXi caunitiitideintrare.
(20)
3) Se reducegrafulastfelincatsaavemdoarlegaturidirecteintreintriiri,U, ~iie~iri,y'Sistemuldeecuatiiobtinuteste: I saun
X'=AX+BU
V=CX+DU (21)
Determinareafnnetieidetransferdinreprezentareaenvariabiledestare
SeeliminavariabileleintermediaredestareX ~iX':
X(z) =(zI-At1B. U(z)
V(z) =C(zI-At1B. U(z)+U(z)
Prinurmarefunctiadetransfereste:
H(z) =D +C(zI-At1B
Deseriereaenvariabiledestarein domeniultimp
RelatiadintrevariabileledrstareXi in domeniultimpeste:
Ecuatiadestarearatatraiectoriavariabilelordestare~ieste:
54
(22)
(23)
(24)
valo
ca fi
1x[k +1]=A .x[k ]+B ,u[k]
Sistemediscrete
(25)
~lre
Eeuatiadeie~iredeterminaraspunsulsistemului~ieste:
y[k] =C x[k] +Du[k]
Traiectoriavariabilelordestarepoatefi interpretataiterativ:
(26)
20)
ltre
H)
saumaigeneral:
k-ko
x[k] =Ak-ko x[ko]+ IAI-IB. u[k -11k> ko1=1
Daeapresupunemeaseeventadeintrareestenulaseobtineecuatia:
22)
Aceastaestesolutiauneiproblemedeforma:
x(ko) dat~i
x(k +1)=A .x(k),k 2 ko
(27)
Pentru k ~ 00~ Ak ~ 0 :>1Ak 1< 1,k =1,2,...,n , unde Ak suntI ,
23) I valorilepropriialematriceiA.Aceastaesteechivalentcu conditiadestabilitate.Dacapresupunem
cafiltrulestestabilrezultil:
24)
00
x[k] =IA1-1B u[k-I]1=1
Determinareafunctieipondere
(28)
00
y[k] =cx[k]+D .u[k]= LCA1-1B .u[k -1]+ D u[k] (29)1=1
55 .
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
Tinandcontdi:
00
y[k] =Lh~].u[k-l]/=-ro
rezuWi:
{O,k 0
Transformaridecoordonate
Fie T 0matricenesingularan x n ~iq[k] =T-1 x[k]. Rezulta:
(30)sa
b')fi
q[k +1]=T-1 .[A. x[k]+ B .u[kll=T-1AT q[k]+ T-1Bu[k] (31)y[k] =CT q[k] +Du[k]
Eeuatiilesuntidentiee,exeeptandparametrizarea:
y
(A, B,C, D) ~ (T-1AT, T-1B,CT, D)
Invariantafunctieidetransferlaparametrizare
(32)
u
H'(z) =D' +C(zI - A')B' =D +CT(zI - T-1ATtT-1B==D +CT(T-1(zI - A))r-IB = (33)
=D +CTT-1(zI - AtTT-1B =D +C(zI - AY1B =H(z)
Sa se demonstrezeinvarianta funetiei de transfer laparametrizareaeuvariabiledestare,in domeniultimp.
~ .....~~~'!i! .".
~~&IJqiwExemplu: Sedagrafuldinfigura:
56
11
g
yu
1
1
1 1
7/4
Sistemediscrete
:0)
Secere:a) Sasededucareprezentareavariabilelordestare(RVS) ~isasedetermineparametrizareavariabilelordestare(matriceleA, B, C, D);b) Sa sededucafunctiadetransferH(z);c) Sasededucaecuatiacudiferentefinitestandardcecaracterizeazasistemul,EDFS.
Rezolvare:
a) Conform algoritrnuluise Inlocuiescramurilecu elementedeintarziere~isenoteazaapoicu Xi ie~irileacestora~icu X; intrarilelor.
Grafulobtinuteste:
1)
B2)
u
y X2 X'2
3)
Redudindgrafulastfellncatsaobtinemdoarlegaturidirectedinspreintrari~ivariabileleXi catrevariabilelede ie~ire~ivariabilelex; , obtinem
graful:
1/6 1/2
la
u
57
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
Pebazaaeestuigraf,eeualiileeuvariabiledestareeedefinesegrafulsunt:
I 1 1 1Xl =- Xl +- Xz + .u2 3I 7 1 1
Xz =-x1+-xz +-u4 6 2y =0.Xl +1.Xz +1.u
Prin u..rmarernatrieeleeorespunzatoarepararnetrizariieuviabiledestaresunt:
po
ge
sa
b) DeterminareafunetieidetransferpebazarnatricelordinRVS se el.:realizeazaaplieandformula(20).Rezulta:
2 1z --z-2H(z) =__ 6
221z --z--3 2
e)Determinareaecuatieieudiferenlefinitestandard,EDFS
nCI
d
Prin urrnare,aplicandtransformataZ inversaoblinernurmatoareaEDFS:
c
y[k]-~' y[k-1]-!' y[k- 2]=u[k]-!' u[k-1]-2u[k- 2]3 2 6
S8
f
Flltre numerice
numericenerecursive.5.1. Generalitati. Filtre numerice recursive.Filtre,
(1)N M
y[k] =Iai .x[k-i]+ Ib}.y[n- j]i=O }=1
5.FILTRE NUMERICE
Sistemelenumerieeliniarinvariantein timp,numite~ifiItreliniare,potfi earaeterizateeu ajutoruleeuarieieu diferentefinite, sub formageneraHi:
saueuajutorulfunetieidetransfer,obtinuteaplieandtransformataZ eeuatiei~ I eudiferentefinite~itinandeontdeeonditiileinitiale:
(2)
Analizandeeuatiaeudiferentefinite,seobservaeafiltreleLIT potfireprezentategrafie eu ajutorul sumatoarelor,muItiplieatoareloreu 0constanta~ialregistrelordedeplasarepentruaearaeterizaIntarzierile.
Filtrelenereeursivesuntaeelefiltrepentrucaresecventade ie~iredepindedoardesecventadeintrare.
y[k] =f(...,x[k-11x[k1x[k+11..) (3)
a
11r.1iii!Il" Observatii
1)'AceastaimplicapentrufiltreleLIT faptuleain eeuatiile(1)~i(2)
eoeficientiib} suntnuli.Prinurmare,funetiadetransfer(2)arenumitorul1,
fiindreprezentataprintr-unpolinomin z-l.(~
59
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
2) PentrufiltreleLIT cauzalese poatescriedi sernnalulde ie~ireestereprezentatdesumaponderataae~antioanelordeintrare:
(4)1m]cO!
unde:i=-oo i=-oo
h[i] =constant= hi (5)
reprezintafunctiapondereafiltruluinerecursiv.3) Ecuatiacu diferentefinitea unui filtru nerecursivincludedrept
coeficientie~antioanelefunctieipondere(ecuatiile(4)~i(5)).4) Filtrele LIT nerecursivese numesc~ifiltre cu raspunsfinit la
impuls(EiniteImpulseResponse- FIR).
Filtrelerecursivesuntfiltre1ea carorsecventade ie~iredepindeatatde e~antioanelede intrarecat ~ide e~antioanelede ie~irela momenteleprecedente.SistemelerecursiveLIT slmtdescrisede ecuatiacu diferentefinite(1).
Observatie,FiltreleLIT recursivesenumesc~ifiltrecu raspunsinfinit la impuls
(InfiniteImpulseResponse- IIR). I eCl
5.2. Reprezentareafiltrelor numericeLIT
ObservatieAlegerea structurii corespunzatoarese face in functie de
constrangerileavute (stabilitate,efectul trunchierii)sau 'in functie deelementeleavutela dispozitie.
60
Filtre numerice
Ire I 5.2.1. Simboluri utilizatein reprezentareafiltrelor numericeImplementareafiltrelor numericeliniare depindede modul de
implementareal rela!iilor (1) sau (2). Elementelede baza utilizate In:4) I continuarepentrureprezentareagraficasunt:
~ x[k-Y
:5) I _elementuldeIntarziere(Z-I)~pt
la Xn
- sumatorul
tat:le
l!e- multiplicatorul
x[k] ay~]=a.x[k]
5.2.2. Structuri pentrufiltre recursive
a) FormadirectiiI!ls I Pentruaceastaformade reprezentarea filtrelor se porne~tede la
ecualiaeudiferentefinite(1),eonsiderandM =N:
Ie
le
N N
y[k]=La; .x[k-i]+ Lb}.y[n- j];=0 }=1
Pebazaei, reprezentareaIn formadireetaI este:
2J1jz-11:1z-rt", Z-1~~~Cfi-~
-bNI I z-,~ z-,~ z-' I~~
(6)
Fig. 1.FormadirectaIDezavantajulaeesteireprezentariesteutilizareaunuinumarmarede
elementedeIntarziere,separatpentrunumarator~irespeetivpentrunumitor(suntfolosite2N elementedeintarziere).'-
61
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
b) Forma directaIIAceastaformadereprezentarepome~tedelaexprlmareafunctieide
transfersubforma:
unde
Sistemulestede fapt0 structurain cascada(legarein serle)a 2sistemecufunctiadetransferHi' respectivH2
Ecuatii1ecu diferentefinitecorespunzatoareacestordouasistemesunt:
() W(z) () Y(z)Hi Z = X(z) H2 Z = W(z),
N
w[k]=x[k]- Lbj .w[n- j]j=1
N
y[k] =La; .w[n-i]i=O
62
(8)
(9)
(10)
Filtrenumerice
e I --2Ik]
7)
-bN
8)Fig.2.FormadireetaII
2
(9)
c) FormacanonicaDaeain formadireetaII seutilizeazaelementeledeinwziere amt
pentruprimajumatatea strueturii,eufunetiadetransferHi (z) cat~ipentruadouajumatatea strueturii,eufunctiadetransferH2 (z), seobtinestrueturaoptimizatadenumita"formaeanoniea"(Fig.3).
[0)
x[k]
Fig.3.Formaeanonica
63
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
Avantajulacesteischemeestedi utilizeazaun numarminim deelementedemtarziere.
d) Reprezentareain cascadiia filtrelor recursiveAceastaformade reprezentarese bazeazape scriereafunctieide
transfersubformaunuiprodusdefunctiidetransferelementaredeordinulI(numaratorul~inumitorulfunctieidetransfersuntpolinoamedegradulI Inz-l) saude ordinul2 (numaratorul~inumitorulfunctieide transfersunt
polinoamedegradulII In Z-I):
de
fo
Se descompunedeci functia de transferca produs de functiielementarecarepotfi deordin2 saupotfi filtreelementaredeordin1:
K
H{z)= ao .IT Hi{z)i=O
(11)
(12)
(13)
tn2:
ur
Reprezentareaeste0 cascadarea functii10rde transferelementare(Fig. 4):
x[k]
71HoJ )~ ...
Fig. 4.ReprezentareaIn caseada
Avantajeleaeesteiforme de reprezentarea filtrelor numencerecurSive:
1) eu ajutorul seetiunilorelementarede ordin 1 ~i 2 se potimplementaatatpoIi ~izerourisimpli,cat~icomplec~i,folosindpolinoamecueoeficientireali;
2) uneori se utilizeaza0 separarea sectiunilorce continpoli ~izerourireale(deordin 1),de sectiunilece continpoli ~izerouricomplexe(ordin2):
64
Filtre numerice
H(z)~ao[fiHJZ)][ fiH,,(Z)] (14)Primapartea functieide transfercontinepoli si zerourireali iar a
douapartecontinepoli ~izerouricompleqi.DezavantajestructuriiIn cascada:1) conteazamodulIn carese face grupareapolilor ~izerourilor,
formadereprezentarenefiindunica; .2) esteimportantaordineaIn caresefacelegareaIn cascada,atunci
dindsedore~teimplementareaunuifiltrustabil.
e) Structura paraleHiPentru implementareaacesteistructurise descompunefunctiade
transferIntr-osumadefunctiidetransferelementaredeordinul1,respectiv2:
uncle:
M
H(z)=C+ LHi(z),i=1
(15)
~
-IHi (z)= ail ~Ianz -2' pentrusectiunideordinul2
1+bilz +bnz
Hi(z) = ail -1'pentrusectiunideordinull1+bilz
c
x[k]
(16)
(17)
y[k]
Fig. 5.StructuraparaleHi
6S
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
5.2.3. Structuripentrufiltrelenerecursive.
a) Formatransversal!Pentrusistemelenerecursive,formadirectase determinape baza
relatiei:
pel
x[k]
N
y[k] =Ih; .x[k-i];=0
y[k]
(18)pel
Fig. 6.Formadirectapentrufiltrenerecursive(formatransversala)
Structuraseamanacu un registrude intarziereponderat~ise mainume~tesi reprezentareain formatransversala.
b) Reprezentareain cascadiDaca se descompunefunctiade transferin produsde functii de
..---_-"-- _1 ..~__ ...l~~-...l:nl T 1_~1:_~_ ...l",""-arl1 1~_~-l \ sa" rla ,,,rl;,,,"lU
Filtre numerice
pentru0secliuneelementaradeordinul2
(21)
8)pentru0secliuneelementaradeordinull.
c) Forma LagrangeAceastaformadereprezentareestetipicapentrufiltrelenerecursive
~iarela bazarelaliade aproximare(interpolare)a funelieide transfereuajutorulpolinoamelorLagrange.
al
deul
ga
-Il-z ZN_I
9)
W)
1-I
1-Z Z N-jFig.7.FormaLagrange
ObservatieDe~istructuraeorespundeunuifiltrunerecursiv,conlinand~ipoli,
poliidinstrueturaparalelasuntanulalidezerouriledinstrueturain easeadii.
67
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
5.3. Proiectareafiltrelor digitale
Filtre1eFIR posedacatevaavantajeinteresantedinpunctdevedrealproiectarii~icaracteristici10rsale:
- Nu punproblemedestabilitate(suntfiltretarareactiedinspreie~irecatreintrare)
- Prin introducereauneiIntarzieridevincauzabile,ceeaceInseamnacasuntintotdeaunarealizabile
- Pot fi realizatecu fazaabsolutliniara,avantajmajorin domeniileprelucrarii semnalelorunde distorsiunilede faza sunt inacceptabile(prelucrareasemnalu1uivocal,transmisiuneadedate,prelucrareasemnaluluivideosauradio,prelucrareasemnalelormedicale).
DezavantajefatadeIIR:- Pentruobtinereauneipantedecaderea caracteristiciidefrecven!a
catmaiabrupte,1ungimeafunctieiponderea FIR estemaimarecomparativcuceaafiltruluiIIR cuacelea~iperforman!e.
- Un numarmarede coeficientiimplicamulteoperatiiaritmetice,ceeaceinseamnauntimpdecalculridicat. ~
- Aceastaimplicascaderealimiteimaximeadomeniuluidefrecventaa semnalu1uiprelucrat,dadi prelucrarilese fac In timp real.Prin urmarefiltreleFIR auperforman!ebunela frecventejoase.
Etape aleproiectariifiltrelor digitale1.Aproximareacaracteristiciifiltruluicedorimsa-lproiectamSunt calculaticoeficientiifiltrului (e determinatafunctiapondere
h[k], -oo
al
lre
na
ile:Ie
U1
Filtre numerice
Se euantizeazasemnalelede intrare ~i ie~ire ~i semnaleleintermediare.Reprezentareaaeestorsemnaleseva realizaeunumarfinit debiti.
4.EtapedeverifieareprinsimularearezultatelorIn aeeastaetapase simuleazafiltrul. Daeaperformante1eobtinute
corespundspeeifieatiilorinitiale,proieetarease ineheie.In eazeontrar,sereiaupa~ii1-3.
5.3.1. Filtre FIR enfazaliniara
Fie un filtru FIR eu funetiapondereh[k], eu un numarfinit decoeficienti,N, eufunetiadetransfer:
In aeesteeonditii,timpulde fntarzieredegrupesteconstant,definitderelatia:
taIV
e,
'e
nnanv
11t
N-l
H(z)= 2)[klz-kk=O
~iraspunsulin freeventa:
( ) N-lH ela; =H(zt=ejaJ = Ih[k].e-ikmk=O
FiltreleFIR eufazaliniaraauraspunsulin frecventadeforma:
unde
{HI (OJ) E R (functiereala)
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
Prin urmare,a estenumiirulde perioadede e~antionarecu caresemnalulesteintarziatin filtrul respectiv.
Prin identificarein relatiile(24)~i(25)obtinem:
N-I
IH(ejm )1cos(am+fJ) =L h[k].cos(mk),V m (27)k=O
N-I
IH(ejm)1sin(am+fJ)= Lh[klsin(mk),Vm (28)k=O
N-I
Lh[k]. sin(mk)
tg(am+fJ) = ~~~ 'V m (29)L h[k].cos(mn)k=O
Ecuatia(29)poatefi scrisageneralsubforma:
sau:
N-I N-I
:Lh[klcos(mk).sin(am+fJ) =Lh[k lsin(mk).cos(am+fJ)k=O k=O
N-I
Lh[k lsin(m(a - k)+fJ) =0,V mk=O
(30)
(
Se poatedemonstraca dacaaceastaecuatieare0 solutienebanala,atuncieaesteunica.
In functiedetipulparitatiifunctieipondere~ideparitatealui N, caredetermina~itipul filtruluiFIR cu fazaliniara,solutiaecuatieiesteconformurmatoarelor:
Tipul I: }.! lmpar,(N =2M +1,h[k]=h[N-1- kD
/'
h[k] are simetrie n::tri"ir---
(33)
(32)
(31)
Filtre numerice
M
Hj (0)::::2.2)[M +klsinkOk=l
N-la=--EN2
~~fJ=OM
HI (0)=h[M] +2 Ih[M +k]eoskOk=l
Observatie
IntrueatHI (7r)=0 rezultaeaunfiltruFIR detipII nupoatefi FTS.
Tipul II: N par,h[k] aresimetriepara(N =2M, h[k]=h[N -1- kD
Observatie
DeoareeeHI (0)=HI (7r)::::0, rezultlleaaeesttip defiltrunupoatefi
utilizatpentruimplementareaunuiFTJ sauaunuiFTS.
Tipul III: N impar, h[k] are simetrie impara
(N ::::2M +1,h[k]::::-h[N -1- kD
71
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
Tipul IV: N par,(N =2M,h[k]=-h[N -l-kD
h[k] are simetrie impara
1 N-1a=M--=--~N
2 27r
~
Filtre numerice
Ira
I Tabeli. Relaii intrecoeficientiifiltreIor,in cazulfiltrelordetipI, IICoeficienti
Ti ul ITi ul II,h[O] g[O]g[O]
2h[l]Ig[l] Ig[O]+g[l]
II I I
2
4) h[k]g[k] g[k]+g[k-l]2h[N -2] I
g[N -2]Ig[N-2]+g[N-3]2h[N-ln
g[N -1],-
g[N -2]2
lte
~u
5)
I
Tabel2.Reiatiiintrecoeficientiifiltrelordetip III ~iIVCoeficienti Tipul III Tipul IV
h~] g~] g~]2 2
h[l] I g[l] g[l]-g[O]2 2
h[k] I g[k]-g[k-2] g[k]-g[k-I]2 2
h[N-2] I (_g[~-4]) g[N-2];g[N-3]
h[N-l] I g[N-3] _g[N-2]2 2
PozitiazerourilorfunctieidetransferpentrufiltreleFIR ell fazaliniara
Caracterulsimetric(sauantisimetric)al functieipondereh[k] facecazerouriIefunctieide transferH(z) saaibapozitii particuiarefatade cerculunitatein planulz.
Pentrua stabili pozitiazerourilorconsideramformula functieidetransfer:
r 73
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
N-l
H(z) =Lh[k].z-n =h[O]+h[l].z-1 +...h[I].z-(N-2)h[O].z-(N-l) (36)n=O
tinand cont de faptul ca functia pondereh[k] poate fi simetricasauantisimetrica.
Dacasubstituimz ~ Z-I , rezulta:
zel
(37) pal
Prin urmarezerourilefunclieidetransferH(z) ~ialefunctieiH(z -I)sootidentice.Pe bazaacesteiobservaliideducemcadacaZi =1jei~i esteun
zerocomplexal funclieidetransfer,atunci~iinversulacestuiaesteunzeroal funclieidetransfer.Tinandcontcafuncliadetransferesteunpolinomcucoeficienlireali,deducemIn pluscavalorilecomplexconjugatealeacestorasunt zerouri ale functiei de transfer.Prin urmare,In cazul zerourilor
complexe,Zi =ljeiB; , putemscrieca ~iurmatoarelenumerecomplexesunt
zerouri ale functiei de transfercorespunzatoareunui filtru FIR cu fazaliniara:
Zi =rei8,I
Inti
I 10Zi =-e1'rI
" -BZi =rie 1,
'" 1 'Zi =_'e-10,
ri
~'''''.',"'''''N~~-'-''~IJ" .='f'-_.....__._--.~.....
"p..t, '.!...........,.j"", ... :;r-
j: : : ://: :, .
~ I ~.~+ : :....~.. ~1
tIS 1 1'"
a j , 'Sl) !: . ;.,' : :~ Of' .. .. .. ;: .. '. ~.. , :..E I' ." 1'''.- , ....- .,: ~ : ''0': ; :
~ tl: : :~,: : JJ: I':::5 .,' ~.~" .. - ....... " ." ..... " ...... ~ .p.. ,,- ; : : : " ; :
~ ~.II' : : : : ",r i :
~ # , - ., - # '"
2 r"" ! , , ~..", ,.L-..l..-_._-.L-_._..l..- .,1 .2 -j () 1 2 (l
ParterealaFig. 8.ZerourilefiltruluiFIR cufazaliniara
74
(38)
regat
tim
porcarltreacan
pan
Filtre numerice
Prin urmare,0 celuHielementarade filtru FIR areeel putinpatruzerouricuunnatoareastructurapolinomialadegradul4 in Z -1:
H( jm) (1 -I ) (1 -I ') (1 -I ,,) (1 -I m)e = - Z . Zj' - Z Zj' - Z Z . - Z Z (39)
In functie de pozitia zeroului Zj distingemunnatoarelecazun
particulare:
r =11
In acestcaz 0 celulaelementaraaredoardouazerouridistincte~iavem:
(40)
1j =1 ~iOJ ={0,1Z"}In acestcaz0 celulaelementaraaredoarun zeroreal,introducand0
Intfuzieredejumatatedinperioadadee~antionare(a este~).
5.3.2. Proiectareafiltrelor FIR
PentruproiectareafiltrelorFIR sepotfolosiunnatoarelemetode:- MetodaseriilorFourier(metodaferestrelor)- Metodae~antionariiin frecventa- Me:todeoptimalePrimeledouametodesuntmetoderapide de sintezace nu due de
regulalavariantaceamaibuna,considerandobtinereaunorparametriifinaliai filtrului.Metodele optimalepermitoptimizareaunor parametrii,dartimpulde calcul e mai mare.In operatiilede sintezaa filtrelor FIR sepome~te,ca in cazul filtrelor in general,de la caracteristiciledorite,caracteristiciimpusein timp (formafunctieipondere,raspunsulla functiatreaptaunitate, etc.) sau in frecventa(caractetisticade amplitudine,caracteristicadefaza,etc).
Caracteristicaamplitudine- frecventaestedefinitaprinurmatoriiparametrii:
5p - ondulatiein bandadetrecere
75
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
5s - ondulatiein bandadeoprire
!i.OJ =OJ2 - OJ] - Hirgimeabenziidetranzitie
Rc =OJ2 - OJ] _ pantadecadereacaracteristicii2 !i.OJ
1+1,
1-0"
0,
-0,
~Ban da tranzitie~
Fig. 9.Caracteristicadefrecventaafiltruluitrecejos
Proiectareafiltrului numeric este echivalenHicu a determina
coeficientiih[k] caresaaproximezeparametriiimpu~i.
Observatie,Pentrua avea0 realizarepracticaeficienta(d.p.d.v.hardwareacesta
esteechivalentcu 0 structurasimplaafiltruluiiard.p.d.v.softwareeficientapresupuneun volumde ca1culeredus)trebuiedeterminatfiltrul ce areeelmaimicordinn pentrucaresuntsatisfacuteconditiileimpuseacestuia.
a) Metoda seriilor Fourier (metodaferestrelor)de proiectareafiltrelor FIR
Pomind de la caracteristicade frecventaimpusa,H(eJ{jJ) - functie
periodicacu perioada2rc - se poatedeterminafunctia pondereh[k],
reprezentandcoeficientii filtrului pe care dorim sa-l proiectam,avandcaracteristicadefrecventaH(eJ{jJ ):
co
H(eJOJ)= Ih[k].e-JOJk (41)k~-oo
76
Filtre numerice
Relatia (42) este inutilizabiHipentrusintezaFIR l'ntrucatfunetiapondereare lungimeainfinita, filtrul obtinutnesatisfaeandeonditiaderealizabilitatefizica.
o modalitatede a obtineun fiItru fizic realizabil 0 reprezinUitrunchiereaseriei Fourier infinite -(41), deci impunand conditia
h[kJ =0pentruIkl >(N-1)/2 ~ih[k J =h[k ]pentruIkl ~ (N-1)/2 .In acesteconditii,filtrul ce aproximeazaearacteristicade freeventa
impusaareraspunsull'nfreeventa:
(N-I)/2
fI(eJaJ)= Ih[k].e-JaJkk~-(N-I)/2
(43)
ma
Pentrua transformaaeestfiltru l'ntr-unfiltru eauzal,se deplaseazafunctiaponderela dreaptaeu (N-1)/2 pozitii, eehivalenteu l'nmultirealui
N-I
k(z) eu Z-2 .Prin urmarefunetiadetransfera filtrului cauzal,fizie realizabil,ee
aproximeazaearaeteristieadefreeventaimpusaeste:
Trunehiereaseriei Fourier infinite esteeehivalentaeu l'nmultireasenelFourier infmite eu 0 seeventatemporalade duratafinita, numitafereastra.La trunehiereasimpla,fereastrasenume~tedreptunghiulara~iareexpreSIa:
sta
ntaeel
e a
:tie
c],
lnd
N-I
ii(z) =Z--2 .fI(z)
wR[k] ={1,ptlk! ~ N 2-10,inrest
(44)
(45)
H)
q,2)
TransformataFourier in timp diseret a seeventei fereastrarectangularaeste:
77
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
trafiItinde
rec
372
2
val
lotree
())
0.8
0.6OA
II
0.2~
Fi/tre numerice
tranzitienu scadesub un anumitprag indiferentde valoareaordinuluifiltrului,N, darcrescandN cre~tesereducebandadetranzitie.Trebuieavutinvedereinsafaptulca0 cre~tereexagerataa lui N nu estebunadinpunctdevederehardwaresi software.
Analiza efectului trunchierii in cazul utilizarii ferestrei
rectangulareFactorul de ondulalieestedefinit ca raportulintre amplitudinea
lobuluiprincipal~iamplitudineaprimuluilob secundar~iin cazulferestreirectangulareareexpresia:
(46)
Amplitudinea primului lob secundar, la .frecventa digitala
3Jr = NB2 va fi:2 2
(47)
Tinand cont ca Ao =N , rezulta pentru factorul de ondulatievaloarea:
["~.1
La limitavaloareaacestuiaeste:
Rro = limNisin 31l'1=31l' =4.71N~ro 2N 2 .
(48)
(49)
SeobservacaoricMamcre~teordinulfiltruluiN atenuareanu scadesub0anumitavaloare,consecintafiindfaptu!cafrecventeledetreceredevinbenzidetrecere~ipepalieraparoscilatii,acesteefectefiind cunoscutesubnumeledeefectulGibbs.
79
PRELUCRAREA DIGIT ALA. A SEMNALELOR
Dadi analizamcantitativefectullimitariicoeficientilorfiltruluilaunnumarfinit, consideramfaptulca dinpunctdevederematematiclimitarea I (ftesteechivalentacumultiplicareafunc!ieiponderecusecven!afereastra:
(50)
In domeniul frecventamultiplicarease traduceprin convolutiafunctieide transfera filtrului ideal ~iraspunsulin freeven!aal ferestreirectangulare:
(51)
sau:
(52)
Ferestreidreptunghiulareii corespundeun raspunsin frecven!ala
carelatimealobuluiprincipaleste~ ~ifactorulde ondulatielimitatdevaloarea4.71.
o fereastraesteatractivadin punetdevedereal proieetariifiltrelorFIR prin metodaferestrelordadi largimealobului principalestemica ~iatenuarilelobilorsecundari,comparativcucelprincipal,suntmuItmaimari,ducandla un factor de ondulatieridicat.Largimealobului principalal
raspunsuluiin frecventaal functieifereastra,WR(ejilJ ) determinalargimeabenzii de tranzitie, iar amplitudinealobilor laterali determinaaparitiaoscila!iilorin benziledetrecere/oprire.
Observatie
1) Intrucatraslmnsulin frecventase obtineprin convolutie,el nuestein nici un sensoptimal,chiardad'iraspunsulfunctieifereastrasatisfaceuncriteriudeoptimalitate.
2) Pentru0 obtinecaracteristicimaibuneale ferestrei,s-aupropusferestreleBartlett,Hamming,Hanning,Blackman,Kaizer,etc.
80
Filtre numerice
Fereastra Hamming generalizata~i variante ale acesteia(fereastraHannsauHanning,fereastraHamming)
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
o:i
0.'
a)
I)., I,3f
II,
2r "0-4
b)
Fig.11.FereastraHamminggeneralizatii,avand11coeficien!i,a=0.5 ~if3 =0.3: a)caracteristicain timp~ib)in frecventa.eu liniepunctataeste
reprezentatiiTFTD pentrufereastrarectangularaavandacelea~icaracteristici.
Aceastafereastrase ob!ineprin adaugareauneiperioadea func!ieicospestevalorile unei ferestrerectangulare.Matematic,estedefinitadeformula:
_ rrY ...R (2nkIwH[kj= t~,r cosN)'pentru1kl~(N -1)/2. 0,in rest
Pentrua= fJ =0.5 seob!ineexpresiaferestreiHann:
81
(53)
PRELUCRAREA DIGITAL A A SEMNALELOR
[ ]_ {0.5+0.5.COS( 21rk)=cos2(TCk), pentruIkl :S;(N -1)/2
wHann k - N N (54)
0,in rest
iarpentrua =0.54seobtineformulaferestreiHamming:
[] {0.54+0.46cos(21rk),pentruIkl:s; (N -1)/2
wH k = N (55)
0,inrest
TransformataFourierin timpdiscretarein cazulferestreiHamminggeneralizateurmatoareaexpresie:
ObservatieLargimealobului principalestedublain cazul ferestreiHamming
generalizate,comparativcu fereastrarectangulara,dueandla 0 bandalarga I Fide tranzitie,insa amplitudinealobilor secundariestemult redusa,acestafiindunavantajmajor.
FereastraBartlettEstedescrisadeurmatoareaformula:
W [k] {l- Ikl I I N -1Bartlett = (N_1)/2,pentru k
5 -4 3 2 1
i4)
is)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
1
Filtre numerice
ng
i6)
a)
4.5.
/)I
I II
I3.5. II
2.51
I
2
1.510.50
43
ng I b)ga Fig.12.FereastraBartlettavand11coeficienti:a)caracteristicaintimp~ib),ta infrecventa.euliniepunctataestereprezentataTFTDpentrufereastrarectangularaavandacelea~icaracteristici.
FereastraBlackmanEstedescrisadeformula:
[k]={OA2+0.5cos(21lk) +0.08cos(21l.2k), pentruIkls(N -1)/2WBlackman N N
0,inrest .(58)
83
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
a
pl
0.2
0.1
~5
a)4.5
3.5
2.5
1.5
0.5
o-4
b)Fig. 13.FereastraBlackmannavand11coeficienti:a)caracteristicain timp~ib) in frecventiLeu liniepunctataestereprezentataTFTD pentrufereastra
rectangularaavandacelea~icaracteristici.
FereastraKaizerPermite0 mai bunaproiectarea ferestrei,datoriti'iparametruluide
controlp. Are expresia:
unde10(x) estefunctiaBesseldespetaintii ~iordinulzero,deparametrux;
fJ este un parametruindependentce controleazaamplitudinealobilor
84.
c,
al
n
d(
fifrh
Filtre numerice
(61)
(60)
ATT
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
h[k] =h[klw[k]; 4) Sedeterminafunctiaponderea filtru1uifizic realizabilce aproximeazacaracteristicade frecven!a impusa la pasul 1,
h[k] =h[ k - N2-1] , k =0,N -1, ca fiind secven!ah[k] determinatalapasu13, dep1asatala dreaptacu (N -1)/2 e~antioane;5) Sedetermina~ise
reprezintacaracteristicade frecven!aa filtru1uiceaproximeazafiltrul dorit,
h[k].
2) Aceastametodadeproiectareeste0 metodau~orimplementabi18o,carenu ofenl Insa optimizareaunorparametriice caracterizeaz80filtru1cedorims8o-1implement8om.
a)12
10
I0'-4
b)Fig. 14.FereastraKaiseravand11coeficien!i,pentrufJ E {2,4,6,8,1O}:a)
caracteristicain timp~ib)'infrecven!a.eu liniepunctataestereprezentataTFTD pentrufereastrarectangularaavandacelea~icaracteristici
(echivalentacufereastraKaiserpentrufJ =0).
86
Filtre numerice
Exemplificarela metodaferestrelor:proiectareaunui FTJISa se proieetezeprin metodaferestrelorun FTJI avandfrecventa
earaeteristieaOJ/, utilizandfereastrareetangularaeu N =11e~antioane.Pas1: CaraeteristieadefreeventapentruFTJI estedefinitaderelatia:
(63)
undeOJ/ estefreeventade taiere(saufreeventaearaeteristiea)a filtruluiFIJI.
Pas2: Sedeterminaeoefieientiifunctieipondereh[k] euTFDI:
h[k] =_1 [H(eirJJ). ejkOJ dOJ=_1 f'ejkOJ dOJ=27r :r 27r OJ,1 1 ( jkm - jkm) 1. k OJ/. k k Z=-- e '-e '=-smOJ =-sme OJ E
27r Jg 1ik t 7r / ,
(64)
2 2
a) .02 ~........:; ~-,,_ .. :;._---_.~ _.~-----_._; _ ..; .. 4 b)Fig.15.Filtrul treeejos ideal,FTJI - a),~iaproximarealui (earaeteristieade
freeventa),determinataprinmetodaferestrelor- b)
Pas3: Se trunehiazarezultatulpanala M,5in cazulconcretdeproieetareeonsiderat(sepastreazaN =2M +1 eoefieienti).
Pas4: Pentrua obtineunfiltrueauzalsedeplaseazah[k] la dreaptaellM =5 e~antioane:
h'[k]= (l )sin[(k-M)OJt]= (1 )sin[(k-5)OJJk=O,10 (65)7rk-M 7rk-5
87
PRELUCRAREA DIGIT ALA A SEMNALELOR
Pas 5: Secalculeazafunc!iaraspunsin frecven!apentrufiltrulavfu1d
coeficien!iih[k] ~isetrecela implementareafiltrului(Fig. 15. b).
~~
Ie
Ta)
II
III~--
IIIII
2o-2
IIII
I- -oj ~.
I
2
o
-12o
8[k] -
-2
2
IIII
O~-~----~---~--I I II II II I
-12
IIIII1- -I
o
IIIII
- -I--IIIII
-2
o
2
-1
Exemplificare la metoda ferestrelor: proiectareaoricaruifiltru ideal pe baza proiectariiunui FTJI cu metodaferestrelor.Cazuriparticulare:FTS, FTB, FOB.
hFTS,())/[k] =
2
o
IIIII
I W--:--
I II I I
~- : - ~I II I
II
I
2
o
IIII
I I I1----1----1I I II I II I II I I
2
o
II
-~-n-~--I II II II I--i--I
S
hFoBn n[k] =, l' 2 hFTBn Q [k] =, l' 2
-1
2
-2 o 2-1
2
-2 o
o[k] -
2-1
2
-2 o 2b)
f
a
c
2
II
-,
o
II
- - r- - -III
II
II
I-I -
-22o-2
I
: I :j'
: ---~---~-- l; . i I -1IJ2o
IIIII
- -1- -II
-2J
c)Fig. 16.Filtrul trecesusideal,FTSI- a),Filtrultrecebandaideal,FTBI - b),
~iFiltrul opre~tebandaideal,FOBI - c)
88
Fiitre numerice
Timlndcontdemoduldedeterminarea caracteristicilordefrecventapentruFTSI, FTBI, FOBI, reprezentatein Figura de mai sus, avemurmatoarelerelatii:
hFTS [k] =g[k]-~sinckOJ!,k E ZJr
hFTAk] = OJ! sinekW2 - OJ! sinekOJp k E Z (66)Jr Jr
hfTB [k] ~ J[k] - ( :: sinekaJ, - :: sinekaJ, ), kE Z
b) Metodae~antionariiin frecvenlaEste0 metodafoartesimpladeproiectarea filtrelorFIR. Ponindde
la earacteristicade frecventadorita,see~antioneazaaceasta,obtinandu-seTFDafiltruluidorit,dincareapoi,euTFDI sededuccoeficientiifiltrului:
Fie H(z) functiadetransferafiltruluipecaredorimsa11proiectam.SeconsideraN puncteechidistantepecerculunitar:
(67)
Atuncicoeficientiifiltruluiceaproximeazafiltruldoritsunt:
(68)
~',..-l
~ Observatie,Metodae~antionariiin frecventadeproiectarea filtrelorFIR esteun
caz particularal proiectariioptimale,caracteristicade frecventafiind
aproximataperfectla frecventeleOJn =~ n.
c) MetodedeproiectareoptimalaDefinindu-seeroareaponderatadeaproximarea caracteristiciiunui
filtrucadiferentaponderataintrecaracteristicadefrecventaa filtruluidorit,
89
PRELUCRAREA DIGITAL,'\. A SEMNALELOR
H(ej{JJ ), ~icaracteristicadefrecventaa filtruluiceaproximeazafiltruldorit,
ii(ej{JJ ), metodeledeproieetareoptimala I~ipropunsaminimizezeanumiteeroareamedie,definiteIn diferitenorme:
Minimizareaeroriipatraticemedii(normaL2) - minimizareaIn sensLMS
if
IE
(69)u
MinimizareaeroriimediiIn normaLp
(70) u
Minimizareamaximuluiamplitudiniierorii - minimizareIn sensCebI~ev(normaLex)
(71)
W(co),W >0 , reprezintafunctia de ponderarea erorii, iar B I Creprezintadomeniuldeinterespecaresefaceoptimizarea.
ProiectareaoptimaHiin sensLMS (normaL2)ConsidenlndeafiltrulFIR careaproximeazafiltrul doritesteunFIR
eufazaliniara,detip 1,deordinulN =2M +1, eroareamedieareexpresia: I c
E, =iW(m){t,d[k] cos(mk)-H(m))1'dO!undeeoeficientiifiltruluideaproximaresuntidentifieatiprin:
90
(73)
(74)
Fiitre numerice
00tIiiP'::"~t
.~ ObservatieS-a consideratca functiade transfereste0 functiereala.Se poate
includein (73) 0 functie de transfercomplexa,caz in care modululreprezintamodululunuinumarcomplex.
Minimizareaerorii patraticemedii esteechivalentacu rezolvareaurmatoareiproblemedeoptimizarepatratica:
uncle:
Q = rW2 (co).c(co).cT (co). dco,p =rW(co). H(ejaJ ). c(co).dco,J1 =rW2 (co).H2 (co).dco
(75)
eu:
cosMco] (76)
Solutia acesteiprobleme,cafe ne ofera coeficientii filtrului deaproximare,estedataderelatia:
~1I@t;I)"
.,~~)1iiJ;; Observatie
Problemadeproiectareoptimalapoatefi generalizata,in sensulcasepotimpuneconstnlngeriasuprariplului in benzilede trecere,respectivdeopnre:
(77)
(78)
91
IH(coP,i )-11
PRELUCRAREA DIGIT ALA A SEMNALELOR
In aeesteeonditiiproblemadeoptimizarepatratieava fi 0 problemademinimizarecuconstrangeri,descrisade:
min{dT Q .d - 2.dT P +Jl },eud
Hp d~bp si
Hsd:S;bs
(79)
Proiectareaoptimalain sensCebi~ev(normaLoo)ConsiderandcafiltrulFIR careaproximeazafiltrul doritesteunFIR
cu fazaliniara,detip 1,deordinulN =2M +I,eroareaceva fi minimizataareexpreSla:
(80)
undecoeficientiifiltruluideaproximaresuntidentificatiprinrelatia(74).
Teorema
Deoarecefiltrul deaproximarereprezintaunpolinomdegradulM incos{o,el va aveaeelmultM -1 punctedeextrem(maximesauminime,corespunzatoarepunctelordeextremaleriplului).Problemaaresolutiedaca~inumaidacaexistaeelputinM +2 puneteastfelincat:
unde
{Oo
Filtre numerice
2) Considerand relatiile (81) se determina coenficientii
d[klk =O,M rezolvandceleM +2 ecuatiideterminatede(81).
3) Se determinawi, i =0,M +1, punctelecare au cele mai marieron.
4) Serepetapa~ii2-4panacandIE(aJ~~=8=ct,i =O,M +1.~~
>Wf}
.; Observa!ieAlgoritmulare0 convergentarapida.
5.3.3. Proiectareafiltrelor IIR
PentruproiectareafiltrelorIIR sepot folosiurmatoarelemetodedetransformarea filtreloranalogice:
- Metodainvarianteiraspunsuluila impuls- Metodatransformariibiliniare
- Metodatransformateiadaptate- MetodatransformarilordefrecventapentruIIR- MetodadesintezadirectainplanulZ afiltrelorIIR
Observa!ieExceptandultima metoda,celelaltemetodereprezintametodede
transformarea filtrelor analogice,necesitand0 analizaa moduluiin carepolii, zerourile~i stabilitateafiltrului analogicsunt conservate.In plus,acestemetodenecesita~i0 analizaamoduluiin careaxafrecventelorrealeesteconservata.
o transformareidealaindepline~teproprietati:- Transformaun filtru analogicstabil~icauzalintr-unfiltru digital
stabil~icauzal.Prin urmare,semiplanulstangalplanuluis estetransformatininteriorulcerculuiunitatein planulz.
- Conservacaracteristicadeamplitudine~idefaza.Prin urmare,axaimaginaraaplanuluis estetransformatain conturulcerculuiunitarin planulz.
a) Metoda invarianteiraspunsuluila impulsSe bazeazape conservareafunctieiponderea sistemuluianalogic
utilizatin obtinereafiltruluinumericdorit.
93
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
Etape:1)Sedeterminafunctiapondereafiltruluianalogicha (t)
2) Se discretizeazaaceastafunctiepondere,prin e~antionarela
multipliiaiperioadeidee~antionare:h[k] =ha (tl=kTo
3) Se calculeazafunctia de transfera filtrului numericrezultatH(z) =Z{h[k]}.
4) Sedeterminapolii functieidetransfer~iseanalizeazastabilitateasistemului.
5) Pe bazafunctieidetransfersescrieecuatiacu diferentefinitecedescriecomportamentulfiltruluinumericproiectat(EDF).
Pentrua determinafunctiapondere,avanddatafunctiadetransferafiltruluianalogic,H(s), sedescompuneaceastaIn fractiisimple,avandpolirealisaupoli compleqi:
cc
ar
In
unde
C
__ I, pentrupoli realiS-Pi
di s+r
( sau 1 S +ri Y +di2 (s+r; Y +d/ 'pentrupollcomplecsi
(83)
(84)
In
l
Fiecare termendin dezvoltl'lreaIn fractii simple este discretizatrezultand:
c pJo [k1i .e .()" .p pentrupoli reali
z-Ie-r;To sin(diTo)
1-2e r,Toz 1cos(diTo)+z-2e-2r;To sau
1- z -1e-riTOcostdiTO)
1- 2e riTO'Z 1costdiTO) +z -2e-2r;70' pentrupolicomplesi
94
c
Filtre numerice
~.--.~...'..~ Observatii
1) Atunci ca.ndnu se specifidi perioadade e~antionare,ea esteconsiderata1.
2) Polii filtrului numericse determinape baza polilor filtruluianalogic.
3)Zerourilefiltruluianalogic~ialeceluinumericdiferaderegula.
Analiza in frecventaa metodeiinvarianteiraspunsuluila impuls~;f
~;, Observatii.1) Caracteristicilede frecventase conserva,segmenteale axel
imaginareaplanuluis fiindtransformatain cerculunitar.2) Semiplanulstandestetransformatin interiorulcerculuiunitar.
Maiprecis,benzialesemiplanuluistang,deIargime21r , sunttransformateTo
ininteriorulcercuIuiunitar.
I
(85
R R
---iilTom u m __ - m_
-31r/T., uuu_o u u
51r/T- - - - - - - - - -0 - - - - - - - - - - - - - - --
Fig.17.Invariantaraspunsuluila impuls- rela!iadintreplanuls ~ipla..flUlz
b) Metoda transformarii biliniareEste0 metodadeproiectarerapida,bazataca ~iprimametoda,pe
caracteristicade frecventaa filtrului analogic.Este 0 metodaeficienta
95
PRELUCRAREA DIGITALA.. A SEMNALELOR
datoritafaptuluiea se implementeazasimplu~iareperformantebuneindomeniulfrecventelorjoase.
Metodaarelabazatransformarea:cer
stal
saumaigeneral
unde:
l+sZ=--l-s
1+~z =---K.
1-~K
(86)
(87)
(88)
eer
COl
Analiza in frecventa a metodei invariantei transformarii, ,biliniare
Fie s =a +jn, z =p. ejOJ Rezulta:
~1
2
r,-+a+jD.z = 0
2
r,--a-D.o
(89)
Izi =p= (90)
Observatii,1)Relatiaarataeaaxaimaginara(a =0) setransformain planulz in
eonturuleereuluiunitar(p =1).
96
1
Filtre numerice
2) Semiplanulstangal planuluis (a 1).
Pentru a analiza conservareacaracteristicilorde frecventa,seconsiderarelatia:
s =~ z-1T . -1'z =ej(J}o z+
RezuIta:
(91)
2 1-e-j(J}s=----To l+e-j(J}
Prin urmare:
. 0)
2 sm-=_'J' 2 2 0)T --0) =- .j .tan- =j0.
o cos- To 22
(92)
2 0) 0) 0. To0.=-tg- sau- =arctg--
To 2'2 2
! j I 1
3~ : ~ : ~ _ I : :I I t r I I
21-- , '- ~ __ I 1.. 1 .!. , _1 I I t I I 11 I I I I
1l-- __ --' L I 1 .1 .1 1 _I I I I I II t I I I 1
3 or- - - -1- - -I- - - _1_ - - - - -1- - - + - - -1- --I I I I II I I I I 1
1f-- - - -, - - - r - - -,- - - - - -1- - - T - - -1- - -I I I I I I I
.2f-----:---~---:-- ~-- -,-+---:---I t 1 ~ I I I
.031-- __ 1 t .!. 1 ! 1 _I J I I 1 I II I t I If'
(93)
Fig.18.Metodatransformariibiliniare- relatiaintrefrecventaanalogica~ifrecventadigitala
97
PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR
Observatii1) La freeventejoaserelatiaintrefreeventaanalogidi~ifreeventa
digitalaesteliniara.2) La freeventeinalte, transformareabiliniara distorsioneaza
freeventele.3)Metodanuasigura0 conservareatimpuluideintarzieredegrup.
Etape:1) Se specifica frecventeleearacteristiceale filtrului digital ~i
caracteristieiledeamplitudinedorite.2) Pe bazarelatieidintrefrecventaanalogica~ifrecventadigitala,se
determinafrecventeleanalogicespecificefiltrului analogicprototip(serealizeaza0predistorsionareafrecventeloranalogiee).
3) Se proiecteazafiltrul analogieeu freeventeleearacteristicedeterminatelapasul2,obtinandfunctiadetransferHa (s).
4) Filtrului numericdeterminatla pasul3 i se aplicatransformareabiliniara:
(94)-1
2 1-zs=-"--:}
TO l+z
c) MetodatransformateiadaptateReprezinta0 generalizarea metodei invarianteiraspunsuluila
impuls, conservandnu doar polii, ci ~i zerourilefunctieide transferafiltruluianalogiefolositdreptprototip.
Aceastaconservareesterealizatadeurmatoarelesubstitutii:
S +Pk ~ 1-Z-l e-PkToS +Zk ~ 1-Z-l . e-zkTo
pentrupoli, respeetivzerourireale~i:
(95)
98
Filtre numerice
pentrupoli, respectivzerouricomplexe.
Observatii1) Estenecesara sedescompunenumaratorul~inumitorulfunctiei
de transferH a (s) ca produs de polinoamede ordinul 1 sau 2, daca
radacinilesuntcomplexe,pentruaidentificapolii ~irespeetivzerourile.2) Daeafiltreleprototipprezintanumaipoli, se introduezerouride
compensarela z =-1 .
Exemplu pentru proieetareaprin metodele invarianteiraspunsuluila impuls,transformariibiliniare~iatransformateiZ adaptate
Se eonsidera filtrul analogie eu funetia de