+ All Categories
Transcript

PARTEA r. ALGEBRX lrxtanX

Capitolul 1

Spatii vectoriale

1 Exemple de spatii vectoriale. Subspa{ii vectoriale

1. Se consirler5 V gi tr4l clou5, spatii vectoriale peste acelagi corp K. S5. se arate cE'.- x\Y: {(r, A)l* e V, g € I4l} este spaliu vectorial peste f,{ in raport cu operaliile:

(e,i, Er) * (rz, Uz) - {rt * n2,y1 * g2'1;

a(r,y) : (ar,*g), {,1,$2 e V, Ut,'1,/z e W, Ya e K.

Soluli,e. Fali de prima operatie ,*" , V x trV este grup abelian cu elementul neutru

,ri',0w), opusul lui (r,y) fiind (-r,-y).Axiomele amplific5rii cu scalari:

(a+ 0)@,u): a(r,y) + 0(.r,a);(o' 0)@,a) : al7@,v)i;L(",a) : (r,A);al(rt,yt) * (,r2,az)): a(rt,yt) I a(r2,y2),

.:zu1t5 din faptui cX lz qi W sunt spatii vectoriale peste acelagi corp.

2. Orice corp K este spatiu vectoriai peste el lnsugi in raport cu operatia de adunare

--:, -I( qi in care amplificarea cu scalari este inmullirea din K.

3. K" : K x K x...x K este spa{iu vectorial peste K (numit spaliu ar"itmet'icsau.neri,c) in raport cu operatiile:

(.rt,12,... ,xn) * ('at,yz,'..,?Jn): (r1 * 1)r,tz * tJ2,...,frn + y,);

a(r1.12,...,rn): (cirr ,aiu2,. "., orr).

-:olulie. Rezultadinexerciqiileprecedente. inparticulr,.,/-',.'.+.lti .-' -;.- ..'- - -/ a'

.- -ral. iar (C" - : ) este :pa(iul vcctoriai complex.

1

Partea I, Capitolul 1

- -a, fib (n*,ry) un spaliu vectorial real. S5 se arate dvc : .V x'V e,ste un spaliu

v<jctorial copplex (numit compleri,ficatul lui I| in raport cu opera!iile;1,-1, '' .'' ,- . -. ',.: -l ':._ :: .- '.. '.- 'l . ._

:'.,' (*r,ai -l (rz,Az) : (rr I sz,Ar * yz); . '(a + i0)@,01 : (ar - 0y,aa + gr), Va,ff eR" i2 = -1,

:Solu|ie,(7x7'*)esteungrupabelian.Fiez1=c*i$,z2_,a*;iF.A*i:m(r, + zz)(r,il : [(a + a) + i(g+ b)](2, y) : ((o * a)r - (fr + U'i'y,(a' +'a)y + $ + O1r1

: (ar - pil + (ar - by,ar * by) : zr(*,y) + z2(r,y).

Analog, putem ar5ta c5:

(21. z2)(r,y) : z1lz2(r,g));

ztl(q,yt) * (rz,a)): zt(ur,yr) * 4(22,y2);(1+ 0. i)(",y) : (r,y).

f. \4uitrimea M*xn(K), a matricelor de tipul rrlxn cu elernente din I{, este spa{iu

vectorial peste K in raport cu adunarea matricelor A: (a;i) qi B : (6;3),

A*B:(aq*hi),

qi cu ampliflcarea cu scalari din K,

on: (aa,ii).

6. Mullimea soluliilor unui sistem omogen, cu coeficienti dintr-un cotp K, formeazS

spadiu vectorial peste .K;

Solu{i,e. Se considerS, un sistem omogen .i-our*':0, i - 1,.. .,n'1,1 cudou[ soluliij:1

(*!.,*?,...,nT)qi,respectiv,(*L,*7,...,rT). Cum i*rfr:0 Qi ioni*tr:0,atuacij:l j:\fln

D "ui@', + ri1 : O Ci i aii@ri): 0, astfel ing6,f srrma a douE solulii gi amplificatul cu

j=t i:run scalar a unei solulii sunt soluliile probiemei. Celelalte axiome se verific5, imediar

7. S5 se arate c5, pe mullimea func{iilor reale g1o,a1 se poate defini o structuri &Sliuvectorial rea] in raport cu operatiile:

ff+s)@)-f(r)+s{");(o/)(") : af (r), va € R, r € la,bl.

8. Muilimea ?lK] a polinoamelor in nedete:ninata r qi ?a*lK. z

grad ( n formeazl. spalii vectoriale peste corpul coeficientilor polinoarn.- :

Spal'ii uectoriale

g. S5 se arate c5 c' devine spaliu vectorial complex fa!6 de operaliile:

(*r,rz,...,rn) * (At,Az,...,Un): (r1 * At,frz * a2' "''t'n + An)'

z(r1, i 2,. . ., frn) - (,2x1, 2rz,''', 7rn),

unde Z este conjugatul lui z'

/K\L0. fie (V.a.{) ,rn spa\iu "'ectoria}

qi ue € V un element fixat' us f

operaliile n O a : r'+ y -u0 qi o a r : clr'l f(a)ur S[ se deterrnine /zr\{v,+, 'i ) sh fie spaliu r-ectorial'\r

Soiu[ie. f (a) :1- a'uvuuyuv. J \s/

--1LareIesubmul!imidinspa!iularitmetictridimen-sionai R3 formeazS, subspa!ii vectoiiale:

a) Sr-{(rr, rz,rs)l ,s:0}, 'D) 52:{(ri1r2Jn3)lr1 +12-3r3:g}'c) 5r: {(rr..rz,r;jir; -2r2- }r : I : i Sr : 1(rt'n'z'rr)lr? + r?': t:tl'

-'e) .lr: {(r1..r1 13 I r ( 1' i:1'2,3}'

Soirlfge. Sr qi 5z sunt suilspalii lal S:'S= ;i i: :'-i:lr:li sibspatii'

l-2. S5 se arate cd it, i:rui5tnte' (J, n, -'t)' s:'ibilrl'Ii:liie sale' cie{inite prin:

r*: {f e 56'a1l/(-') : f @s} (funclii pare):

g- : {f e 514,01 | f ?"): -i (')i (fuirclii impare)'

sunt subspalii vectoriale qi 51o,41 : 9+ o 9-' .o ^mnrific;rrea c* scalari

Solu{ie. Suma a dou; funclii pare este o funclie par5.; analog, amplificarea cu scr

reali. Deci, 91 fbrmeaz[ subspaliu vectorial in g1o,a1' AsemXnitor qi pentru 5-' In plus'

dacH,/ €5p,a1, atunci:

gtr) :* if i*l + /(-r)l e 5+. h(r) : f,t.rA, - f l-r)) e r-2-

;\f:g*h'Sumay++g_ested.irect[d'eoar.ecesingurafuncliepar[giimparS,esteJ:i1.

13. s5 se arate c5 in spaliul matricelor (l,ran,1, f) s"brnullimiie, definite prin:

S : {A € Id*\K)lAt : A} (matrice siinetrice);

e : iA € I"1,^(K) l-dt : -A) (matrice arrtisimetrice)'

0. Definim

astfel incdt

formeazS, subspalii vectoriale $ M*: S O A'Solulie- Dac6, A,B € S, atuncl (A + B)t : At + Bt

(oA1' --oOt : ctA+ aA € S' Analog pentru A' DacS' A:A+B+A*BeSqie h[*(K), attmci matricele

*

Partea I, Capitolui I

IIB::(Jtl/)e S riC: -( i-l') t A veliiir:a -\- B -C' Lrp1u,r. S:rA:{0},astfel')

intat-.irl,:SOA.

14. Si se verificc cil muilinictL,9: {/ll(r) - /. iri. ., - , , ,=.i estr: su}rspa{iu inslrir lirrl f,111r';iil6r' rr':ilc.

SoLuiie. Fiincl rlalc funcl,iile j("1 : asin(r -,, :r -.:- ' -,-'. se obline

/(r:) -F g(:c) : (or.:os{.r +.rcosd) slnr - - --:- - --:- - , :..

Sisternul acosl-l+ccrosd: Acos"8 qi osinb-:-csirr,: : .:-:,r-- :-:: ':,.^-r:r, .o.l,t.c.rl € lR..

astfel incal f (:r') + g(r):,Asin(z; + A) e ^9 qi cr.[.:r : -i

15. Siseverificectac5IJ,(C) :{Ae -11.3 -:- =: '.- ..-..:.le,.ribspaliuvectoriai in IltIn(C), unde ,{ se obline prin inlocu;.; .-,.--=-- .-,: - - j. ,.,: i-,r-,jttq:tele lulcomplexe.

Soluii,e. H".(A) nu este subspaliu vecto:ial, -i,,:.:-.. :: - .'.-..::,:--i';eciorial numai dac5,

ne rcstrangern Ia /r-"(JR) c rXf*(C)

16. SA se determine toate subspa\iile iul ; Z - - "-

--- -= J- =.:e colpul claselor de

resturi mod 2.

Solulic. Fic vectorii:

uo : (0,0,0); t,r : t1.0. tl : . : i0.0, i);tn:(i.i.0); e5:(0.ii, ,:= - - :-:li.i.i).

Fiecare dintre acegti vectori folmeazi sllbspa;: ,-,-:. :,,>,:..r: sr-tni {u0,ua}, cu cAte doudelemente. Nu cxistd subspalii cu c6,le 3, 5, 5 ::1 -i '.:-:--- -':. pirtrr-i eiemente sunt doar 7subspatii.

17.Sdst'delerminesubspaqiileS,--C-:.-....-....].:..lr.ri.S;:{(l1.,L.2'l'qi 52 : {Q:1, 12) I rt : -xz).

SoL'u{ic. Se demonstreazl cX,9r t--l -qz - . j.:::-a ,lirectX este

sr e 5z : li:l;i:l f::.', -:. "

- ': i: -v-)tvr2'v2 e Ft

18. Aflalisr-rl-,spaliileSrnSz qiSl-.S,,-...:. -:.-.e 51 : {(er, rz,nz) ir,-.,',- -, :irisi S, : {(.r,. 1 ...r', .r', - 2.r:" : 0}.

SolLl'e Colt illam:

Sr-,9,:1..., ,.r:.r:)llr +r:-t : :.* -l.r,:6) :t(2o.-G.(, ,=r.

Spa{'ii, uectoriale

DacH not5m rz*!z: 0 qi rt*yt: 7, atunci -fi2* 4*2P - 21 - 0 *az- tr3 : a, unde

a,0,^l € R.. Oblinem cd. Sr * 52 : {(o,A,l)la,g,1 € R} : R3 (rXspunsul se poate obtine

ctirect folosind teorema privind dimensiunile subspatiilor)'

19. SX se determine suma directi Sr O,92 pentru 5t : {(er, rz,zt)l'r: *r: es} qi

52 : {(r1, xz,:rz) I rt : -*, - -*r}.Solu[ie. 51 n 52 : {(0,0.0)}. Rezulti

Sr O Sz : {(o, a. o) + (.3, - P,*0) I o, 3 e f'} : {(cr t,3., a - 3, a - E) I o,,3 e mi'

20. Fie f e tp,a1, f@)--,rri.r*n, n1.t..a i (iunc1ieafin5) . SS,searatecS:

a) A1,,a1: {/} C 51o,41 este un subspaliu vectorial;

-tl#i""" 65t"i - ;-qi-fi(r) : a--, mor-fril;fii"*"d" s"*"t*i; spa!iului

vectorial ,41.,01 .

sot;u{i,e. b) Fie f (*) : mx + n o funclie dat[. Atunci / se descompune astfel:

.f(*) : uf,(.r) * uf6(r),' :*:#,' : ry:tDeci, /o qi fb genereazE orice fr.rnclie ! e ApS,1.

31. ln spa{iul P<,(ff}, ai polinoamelor cie grad { ri., se cr:nsid"era subrnullimi}e:

a) 51 == {1,.r,.,r2""".,fi*} gi Sz : {1+a, x*{),.. ",nn +a}, tnoln',

b) 5i: {1 *a,r * a,...,n* *a} qi 52: {t'* *b,'**' * b, "' ,a"'+b}'

SX se determine subspaliile generate de 51 qi,S2: lS1l, lS2] qi [Sr]n [Sz], [Sr]+ lSz]'

S,.tiulie" a) Subspaliile generate de 51 gi ,92 sunt, respectiv:

lSrl : {o6 I afi * a2r2 -t "' l cl*'rn' } : }<-(K),

[S2] : {os(1 + a) + a1{r *o) + "' t an(r" +o)} : ?e(K)'

Din faptul cE. m 3 n, rezttlt| cd l5r] n iSr] : iS11 qi iSr] + [Sr] : [Sr]'Se procedeaz5in mod analog pentru b) qi rezuitd [S1]+ lSr] :?<-(K)'

2 BazX qi dimensiune

1. DacX vectorii r,,y, z e 1/ sunt liniar independenli, sX se studieze liniara independentX

a vectorilor a : n I y, b : U I z, c : z I r,Solu[ie. Fie cvlo +C'2b+03c:0 o combinalie liniar6avectorilor a, b gi c. Oblinen

(a1 +a3)r-.1- (o, + az)y* (o2 *a3)z:0. In baza liniarei independente a vectorll'.r, :t:- !. ..

["r+os:o ^ n,:rezultS' sistemul omogen { ", * a2:0 cu solulia unici crr : c.2: cx3 :0' Deci ''ei:orii

Iaz+03:u'i;, b gi c sunt liniar indePendenli'

6 Partea I, Capitolul 1

2. SE se studieze liniara independen![ a sistemelor d.e vectori din ]R.3:

a) u1 : (11 2,-4), u2: (0,1,1), o3 : (1,4,-Z);b) u1 : (1,0,0), r.r2 : (0, 1,0), ca : (0,0, 1), ua: (1,2,3);c) u1 : (7,2, -!), u2 : (3,2,L);d) ul : (1, 1,0), u2 : (1,0, 1), u3 : (0, 1, 1).

Care dintre aceste sisteme formeazd bazil in IR.3?

Solu[i,e. a) Consider5m combinalia liniari o4ut * azuz * e3lb :0. Obtinem sistemul

(ot+o3:o1'or*",z*4",z:o[ -ao, *o,z-2o,3-0.

Rangul matricei sistemului este 2, deci sistemul admite solulii diferite de solulia banald.

Vectorii sunt liniar dependenli.

b) tiniar dependenli; c) liniar independenli, dar nu formeaz5 bazi in IR3; d) liniarindependen{i, baz6" in IR3.

3. in spaliul 93*(K), al polinoamelor de grad ( n, se consider5, sistemul de vectori

,9: {1, l+r,l*r*12,...,1* r*--.***}, n'L<n.

SH, se arate c5, ,9 este liniar independent, dar nu formeaz5 baz5. in 93*(K). SX se completeze

,5 Ia o baz5. in 9<n.Soluli,e. Fie combinalia liniarH,

o0 + 01(1 * r) + a2(7 * r + ,2) + . .' + a*(1 + r *''' + r*) - o,

din care rezult5, Qm: otm-t: r " : o0 :0, deci vectorii sunt linia,r independenli. O bazS

in91.*(K) este 1, n,. .. ,rn (bazd" canonicS,), deci dim?<* : n+L- Completim,S cu vectorii

{r**' ,fr**2 , . . . , frn} gi se obline o baz6, in ?3*(K).

4. SX se determine dimensiunile subspaliilor generate de sistemele de vectori din spaliul

funcliilor 51",a1:

a) 51: {1, cos2n,cos2r}; b) 52: {eol*,eo'*,...,eo**}, aif ai;c) 53 : {eo* rfieo'r. . . rfineo*}, 7?, € N.

Solugi,e. a) [SrJ : {ao *arcos2r*o,zgosz*1a6,a1,42 € JR}. Cum 1qi coszr sunt

liniar independenli gi cos2z :2cos2 r -L,rezult5 dim[^91] :2.b), c) Vectorii sistemelor ,S2 qi ,5e sunt liniar independenli; [Sz] Ci [S3] contin toate

combinaliile liniare de vectorii lui'S2 gi, respectiv, S3rdim[,92] : rz, dim[,Ss] : rr,+ 1.

Spali'i uectoriale

5" Sd se determine clirnensiunile sumei gi intersecliei subspaliilor generate cle sistemelede vectori:

a)

b)

U: {ut: (2,3, *1), uz:(1.2,2),ll: {ut: (1.2. ll. ur- (1.f .-l).U : {ut- (1, 1,2,--1), u2 : (0. -1,1- : ii'i : Q.1.0 i). ,2: (-:.-1.

u3 : (1,1, -3)i,u3: (1,3.3)) in R3;

-1,2), u3 : (*1,2, 1, -3)),-1, -i), trl : (3,0,2,3)) in Ra

S5 se verifice teoreura lui Grassni:rnn prin aceste aplica{ii.Solu{ie. a) \'ectorii'LLtj'!1,i, 't.r3 sunt }iniar clependenli: o baz5 in it/] poate fi {u1,u2},

deci flrl - {atuila2u2la1,a2 € iRi, dimilll - 2. \ectcriitrl, u2, u3 suntliniardependenlilqi fy] : {7tut+ llzuzifu,0: e R.}. dimitri : 2.

Subspa{iul i[/l + [tz] este generat de reuniunea sistemelor U qi V. O baz5 in reunluneeste {u1, uz,ut}, deci dim(iUl+ ilr]) :3, adicb lU]+ [I/] : R3.

Subspaliul fU] n [y] conline vectorii pentru care cv1u1 I a2u2 - gtltt * gzuz, adicl

{'o' * az: 0r * {lzt ilol f 2a2:2JL * J:| -o' * 2n2 - J. - 13.,,

:in sistetn cu irel cc'"xa{lt rii necunoscute princlpale at, c 2, []1, iar 6z: ], necuncscut5 secun-dar6. Obtrneln 01 :.\, az ==,\,6r:21 Qi astfel vom avea lI/]n [y] : {(B^,Si,,\)iA e lR.},

iar dimilUl n iI,'l) : 1.

Astfei se veri-fi.c5 teorema lui Grassmanrr:

dimfu]+ dimfv] : dim([u]+ iyl) + dim([i/] n [y]).

b) Anaiog.

6. ln R.3, se consideri subspaliul vectorial lill. generat de el : (1, 1, 0) Qi e2 : (0, 1, 0).SX se determine toate subspaliile l4lz c R.3 astfel incAt R3: I4lr eWz.

SoLuli.e.Wt:{(r,r*y,0)lr,yeR.}. ConsideritmW2:{(a,b,c'1)a,b,ce JR.}gicumdimeffi :2, ti'ebuie sd avem dimmWz : f. in consecin{5, se completeazl Wl p6n5 ia o

^aDaza ln lK".

7. Fie V qiW douX K-spatii vectoriale, cu dim V :n qi dimW: m. SX se determiledim(V xW).

Soluli.e. Avem lz x W : {(*,y') lr e V,A € W} gi operaliile:

(tr, At) I (rr,Az) - (ut + r,2, lJt + A2);

a(r,A) : (ar,ay), x)1,!1 € V, ?!t,Az € W, Ya e I{.

Consider5rn 81 :B : {("r,0), (0, /i)}, z

dim(VxW):n*m.

{"0}o--r,...,- qi ,B2 : {ft}*t,...,* baze in V, respectiv W. Atunci: l,...,fr, i : 1,...,n'1, este o baz5 in V x W. RezuitX

Pailea I, Capitolul 1

8. S5, se determine dimensiunile subspaliilor S: {Alfr: A} +a: {AlAt: -A]-'ale spaliului matricelor M*{K)-

Solu$i,e. dimM-(K) : n2, obazd fiind B : {E;i} cu i : 1,"',2, i : 1,"',n' unde

.E;r' conline 1 la interseclia liniei 'i cu coloana j qi 0 in rest'

n

A:rf oo,or, :latt4t'i, *latiF,l *la;iEii: Ea;& +la4(Eti + fu;)'i,:1. j:L i:l i<j i.>j 1J

Sistermrl {E1i};:r, ,, i i5,-, + .[,,jir.; esre ]inial' i' -='-'---: - - --s:iluie un sistem rier,(n t- l)

Eer)erafori pentrtis. R*zult-i,i ilnS:n*(rr- J' - --l: ,Analog, sistemui {8,, - Elii;<--i este Lrn sisten-r cie -.:-.:: , . i ':--iI',1 A, deci dimeilsiunea

r.(n - 1)IrtiAeste(n-I)- ' +l: :

g. Fie,9 c V un subspa{iu vectnrial in !'si "'-:

.-..:.-, 1- DacX dimv :2 Ei

dim S : m I n, sX se arate cd ciim(V/S') - ,, - n^,

Solul'ie. VIS: {tlr:r*'5', Yr e V} cr-r -'-:--1---: '. - .: iTY qia'i:c11}'C1asa 0 : ^9, a,stfel cd dacX B : {er, "..,€m...'.-. .' ::,Jiezint6 o bazS' in l/ qi

B' : {et,e2,...,err} este baz5 in S. Ded'ucen: '''':-'' ' - - ' '- i-.i2, "',An} este baz6

in V I S. Rezultd cE dim((S) : ,, - rro.

l-0. Se considerS, CIl cornplexlficatul spai: r---, ":. -.-r- -.:i 1''. SX se arate ca oaci

B- {"r,€2,...,er} esteobaz5inV, atunci :E :'' =-'--il' ",("n,0)} estebazdinav.

Sotuli,e. Daci (c,0) e clz, atunci ri(r,0) : -- -: = ,' Fie combinalia linia:a

nn\

f{o* *iB1.)ft1,,0) :f(otet.J''' T ', f o*t*):l0 t'

,k:1 k:1 .-- '=i

/

Rezultfl ar": 0x:0, vk - 1,...,n, cleci yeci-:.- ' sunt liniar indepenie---- '-r:lce

/nn\nl-n(x,?)): (f r*.*.)--y.,.r) :)]I . = \-t rpviifte'\t -

--'"\A=r J=l / k=rj=. ':1j:l

astfel cX CV este generat de vectorii din : j '- - - -.--:. oim6(ay) : dinr:. l-

spa{iui vectcrial real in care amplificalea - '. : r.-a-. -. :=strAnge Ia scalarii'.'--' :- - I S-' se

arate cX dirn(RI,r) : 2r.Solu{i,e. Fie B : {.r,"r,...,er) 1 '- ';' -=::nlm fr: er' f:: ' - j-

= !rr'r :. r - ier. Sb aretanl , . 1-- = ,l:r) este bazd itr I

-.'

J"-1 : l(i.....J2t-(rn' JGolaL@lll "' u

fie f axlt:0ocombinalielir:--:' :;- - :=zult5ci !1oP- = '.eci,h:1 't:1

ot * io*+t-: 0, Vk : 1)...)n. O'c' -'=--'- -- = : c.2n: 0, dec: "-.' : ' -- --riar

independen(i.

Spalii uectoriale

DacE, r : f *r"* e V, fre ilk : o,k * zbr"' Atuncik:l

n.

, : f rkek :Iro.^ + f Lrici,- : I uol'* n IAtl;,j. 1/;:1 ,k==1

deci RI? genereazfl RV: rezultI cX dim(R7) : z2'

Schirnb5ri de baze

I -.r _ | !i .ti

- I I1tl-2rllsi:-r I | 10 1\

[,?:i, ]*t:{-i t ,iI \. 113/)

)dec ,':(-i ; i) (;):(;)

.\stfel cX, r -- Ae\ + Le', + 2e ',. in baza B' '

@ tU se determine expresia vectorului r : (1,2,3,' '', n') € IR' in baza

B' : {et: (1,0,0,.'.,0), e'r:(7,1,0,"' ,0), eL- (1,1, 1,0,"''0)'

e!* = (L,1, 1,..', 1)) din R.".

tr{'

B : {q - (1, 1, O), ez : (1,0,0), e3 : (1, 2,3)};

B' : {e\ - (1,3, 3), eL: (2,2,3), e's: (6,7' 9)}.

a) s5 se arate c5 B Ei B' sunt baze gi sH se g5seasc5, matricea de trecere de la B la B''

u) sa," g5seasc5 expresia vectorului r : 2et * 5e2 a 7es in baza B''

solu{i,e. a) vectorii din B (respectiv B') sunt liniar independenli qi fiind in numH'r de

trei formeazx baz5. Pentru a determina matricea schimb5rii de baza, descompunem e! dupS'

B:

($ t" spaliul iR.3, se considerS. urm5toarele sisteme de vectorl:

l'u; *si+"i:1, I a .t:'r: sj€l+s7e2*sie3sdu 1

si+isi:r +

tltr1 : 3

eL: slet* sle2* s|4 + s]:0, '3:1, sl :1', t 2 -3^ ...I-r -2-o "?-'re3: sier * siez +s5€3 + sa: r. 13 - L' Da - ')

b) DacS X - (2 5 7)'(matrice coloanE). atunci componentele X'ale lui r in baza

B' se oblin din ecualia matriceall X = 5-f ' Calcuiim

/-r -1 1

s-t: I -s -2 3

\ 2 t -1

Sotulie. Fie B: {"r: (1,0,0,...,0), ez: (0,1,0,...,0), ..., €n: (0,0,0,...,0,1)}baza canonicd din lR.'. Matricea.g, de trecere de la B la B', este

/ t 1 1 1\lo 11 il

,s:l o o 1 ... 11.1..,1\o oo- ,)

ConsiderS,m X : (1 2 3 n)t. Atunci X' : S-LX. Calcul5m matricea S-' gi

efectuS,m calculul X' : S-1 X, de unde oblinem X' : (-L - 1 -l n)t, astfel cir : -el - el2 - "' - e'--t * ne'..

@ i" JR.3, se considerX sistemele de vectori

Partea I, Capilolul 1

( el : (1, 2, 1) ( "i : (3, 1,4)

s' : I el : (2,3,3) $ E' : I dU : (5,2,L)

[ "i : (3,2, 1) [ 4 : (1,1, -6).

Aritali cH. B' qi B" sunt baze, g5sili matricele S'gi S" de trecere a" U b*" canonic5 B d.in

IR3 la bazele Bt qi Btt qi deduceli de aici Eatricea de trecere de La B' la 8".Solufii,e. Avem e/1 : et * 2ez * ez, eL : 2q * kz +3e3 qi e! : 3er * 7ez I ez, astfel cB

,': (i

u:{u,:(l 3), *:(l l), ",:( 3 ? )},u' :{rr:( I Z), rt:( ; Z), rt: ( I ? )}

,;=zii,:i *,: (i i ?)*,:' :;li i -i )

i I) si, aseminitor,*: (i i i )Tlecerea B,

(\' g !\ 8,, vafi dat5 de 8,, : (S/)-r . 5,, . B, . Deci, ,S : (S/)-r . gz.

A t" spa{iul ,S2, al matricelor simetrice rea}e de ordin doi, se considerd sistemele de\-/.

vectorr:

S5, se arate c5 B qi B/ sunt baze, sH, se g5seasc5 matricea ,9 de trecere de la B la B' qi

expresia lui r : Er -f 2Ez - .E3 in baza B' .

Solufii,e. B este baz5. Direct se verific5 faptul cH, Ej sunt liniar independenti qi orice

matrice A: ( i I ) € ^92

se descompune dup[ B'. Avem:\b 0/

10

11Spalri uectoriale

cleci X' :,S-1 . X -+ r : -E'1 + EL+ 85.

5. Aflali baza g' : {e'1,"'2,"'S} clin R3, in raport cu care vectorii u1 : (2,-1.-1),1,2 : (1,1,1), u3 - (2,1,-1) au, respectiv, componentele (1,1'0), (0,0, 1), (1' -1,0)'

Soluli,e. Avem e'1 * e', : (2, -1,'1, "L : (1,1,1) qi e/1 - e'z : (2,1, -1), din care

cieducem e\: (2,0, -1), e'r: (0' -\, -2) gi e', : (1, 1, 1)'

6. in spaliul de polinoame fa,(R), se considerS' bazele B : {1,r,fr2," ',r"} $i

B' : U,r - a,,(r - o)',..., (, - a)"). Sd se determine coordonatele in baza B' ale polino-

rrului P(r) : ao * a1t i "' * anrn.

solu[ze. E, este bazdin ?<^(?) . DezYoltim in serie Taylor p(r) in Io: a qi oblinem

p(r) : p(o) -'r::p'''' -'5{p"qa\ + " *'* ;in)"p'''(o)'

astfelc5, p(r) are "o*oo.,"rrr]

dupd (.2 - o)k pe l rt*lio;

fi i" bazaB - {es: l, 6i: -r-l-. e2: (r-l')', "z: (n-f)3} din?g:(R),.+ht'si6er6 p(r) cu componentele (1. -1, i.-1). Sd se determine componenteie lui p(r) in.,tza -8': {1 r * t.tr ).i12.'. r- i''.1

trwd,ic*$6e" Fiep(r) - or,-Foi/-.-- ct2:t:2+a3r3, Din e:teicitiui precederit, se oblinep(i) : i,p'(1): -L,p"{1):2! ri p"'(1):3!, din care rezultS o0, o1, a2, a3.componentele iuip(r)

1 ..;n B/ sunt frr'*'{-t).

g. in spaliui complex C2, se consideri n : (l+2i,3- ?). SA se determine componentele

Iui r din spaliul RC2 in raport cu baza B' : {"\: (1 + i,l - i), e;: (l - i',1+ i))'Solu{ie. Baza canonicS, din C2 peste C este e1 : (1,0), ez: (0.1). It{atricea de trecere

de la baza B \a B' se obline scriind

e'r:(L+i,1-i) :(1 'fi)et)-(L-i)e2 +,s: (t-ti ,-, \.e'r: ll- ?,1+ i) : (t - i)e1* (I+ ite2 \ 1-

' l+i )

FieX:( t+zz 3-i )'. Rezulthx':s-r,r: ( L+ Ll )"0""o'"\ 'l 4 )'

_ -+3i^,, 7-i -, _!-, _\., _,_3(., 1

.: -:.',

* n ,, - l, r , 1,2 , 4,, lll- 1k2i).

Deci, componenteie }ui r in baza B' diri RC2 sunt

9. Folosind lema substituliei, determinali componentele vectorului r : (5,4,0) € R3 in

baza Bt : {etr: (1, 1,0), e!2: (L,0,3), e! : (4,2,3)}' #

/7 t 3 1\[z'a' n'- n)'

Spal'ii, uectorzale

8. S5 se determine dimensiuniie surnei ;i intersecliei subspa{ii}or generate de sistemeie

c1e vecrori u: {(1, 2,-1),(3,4, -2), (2,2'-|)i;i I" : {(0,1,1), (1'2'0)}'

9. S5 se arate cX sistemul de funclii tl,,J,=i; i 9i(f-;i''t] )' l"(r) : cos?-Lrr este iiliar

rndependent. Ce concluzie rezult5 pentru <1rm. 5x(i-r, r])?

10. S[ se determine o, B e 1R. astfel incAt dimensiunea sr.rbspatiului generat de matriceie

Ar: A. rLr- At:

s5, fie minim5,.

@. Su se arate c5 muftimile de polinoame B' : {L,l * r,L + 12,L * 13} qi' respectiv'

8,, : {7 + n2,r * n2,2r2,r2 * z3} s*nt baze in ?3a(R). S5 se g5seasc5 expresiile 1ui

p(r) : i, - *, - r * \, in bazele B' qi B" . utiliz6,nd matricele de trecere de la baza canonic5

lu, u\l{) 101\u o tJ(ir:)/7 0 0\(r o.i

\10 t/

B la B' q\ 8".

6) Se se gHseasc6, matricea de trecere de la baza

u: {,,: (

ia baza

,, :[ rt: ( -\t \-r

i)"(l?:))/ o 0

(.-l B

0 10\-1 o olo o o)

''(-l?i))

, Ez:

din spaliul matricelor antisimetrice de ordin trei'

Determinali descompunerea matricei ^

: (

1 0\0 11,

-1 ol

01 2

-10-3-2 3 0

1 1\ / o

s sJ'*: (,-l

) o,ou bazaB'.

13. Ecua{ia unei ,,suprafele" ln raport cu o anumit5 baz5 {"',"',es'es} este de forma

fi+rl-r!*rzs : i.. Gxsill ecualia acestei suprafele in raport cu baza {"\,"'r'e|,"'+}, in care:

.; : (1,i, f , i;, et, : 11.1. -1. -1): ., : (1, -1,1, -1): eln: (!,-1,-1,1) (coorcl-':nateie

s,.rnt date in raport cu baza {"r,r.r,e13, e+}).

abc a-cb0

14. Fie V submul{imea matricelor din ,1''13(R) de forma I)cd, V este subspaliu vectorial a1 lui M3(R') gi sb se indice o baz5' a lui trr'

!:r .,a :L,ilte


Top Related