5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 1/25
Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului siSportului
Liceul Sf. Maria
Examen de atestare profesională
pentru absolvenţii claselor de
matematică informatică
Profesor indrumator: Elev:
Prof. Fanase Alin Marin Florin
An şcolar
2011-2012
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 2/25
CUPRINS
I.FUNDAMENTARE TEORETICA
II.MULTIMI EGALE
III.RELATIA DE INCLUZIUNE
IV.OPERATII CU MULTIMI
1.REUNIUNEA MULTIMILOR
2.INTERSECTIA MULTIMILOR
3.COMPLEMENTARA UNEI SUBMULTIMI
4.DIFERENTA A DOUA MULTIMI
5.PRODUS CARTEZIAN
6.PROPRIETATI ALE OPERATIILOC CU
MULTIMI
V.PROGRAMUL SURSĂ C++
VI.BIBLIOGRAFIE
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 3/25
I.FUNDAMENTARE TEORETICĂ
Notiunile de multime si de element al unei multimifac parte din categoria acelor notiuni matematicecare nu pot fi definite,dar sunt impuse de numeroaseexemple:
1)multimea cuvintelor din limba româna;
2)multimea elevilor dintr-o clasa;3)multimea numerelor naturale:0,1,2,3,.,etc.
Elementele unei multimi sunt distincte,adica unacelasi element nu se poate repeta de mai multe ori.
De asemenea,elementele unei multimi trebuie sa fie
bine determinate.
Moduri de determinare a unei multimi:
a)Numind individual elementele sale.În acest cazmultimea se specifica scriind între acolade
elementele sale:.De exemplu:A=,adica multimeaformata din primele sase numere naturale;B=,adicamultimea formata din literele mici ale alfabetuluigrec.
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 4/25
b)Specificând o proprietate pe care o au elementelesale si nu le au alte elemente.
Mai precis,data o proprietate ,se poate vorbi demultimea acelor obiecte pentru care proprietatearespectiva are loc.
Multimile definite în acest mod se vor nota prin:
A=,adica multimea acelor obiecte x,pentrucare are loc P(x).
Moduri de definire a unei multimi:
-o multime definita dupa primul mod (a) se zice caeste data sintetic;
-o multime definita în al doilea mod (b) se ziceca este data analitic;
-o multime care are un numar finit de elemente sezice finita;
-o multime care are un numar infinit de elemente sezice infinita.
Exemple:Multimea elevilor dintr-o clasa,multimea oamenilorde pe glob,sunt multimi finite.
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 5/25
Multimea numerelor naturale,multimea numerelornaturale pare,sunt multimi infinite.
În teoria multimilor se admite existenta unei multimicare nu are nici un element,ea numindu-se multimevida,si se noteaza cu simbolul .
II.Multimi egale
Se spune ca multimea A este egala cuo multime B daca orice element al lui A apartine luiB si reciproc.Notam faptul ca multimile A si B suntegale astfel:A=B.
Exemple:
1)=.
2)Multimea este egala cu multimeanumerelor naturale pare care sunt prime.
3)Multimile si nu sunt egale.
Propietatile relatiei de egalitate între multimi:
-este reflexiva adica A=A;
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 6/25
-este simetrica:daca A=B,atunci B=A;
-este tranzitiva:daca A=B si B=C,atunci A=C.
II.Relatia de incluziune
Se spune ca o multime A este inclusa în multimea Bdaca orice element al multimi A este si element al
multimii B.
Se noteaza A B sau B A.
Daca A nu este inclusa în B se scrie A B .
Altfel spus,A B înseamna ca exista x A astfel încât x B.
Când A este inclusa în B se mai spune ca Bcontine pe A sau ca A este o submultime (sau parte)a lui B.
Exemple:
1) este inclusa în ,adica .2)Multimea numerelor naturale pare este inclusa
în multimea numerelor naturale.
3)N Z Q R.
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 7/25
4)Se face conventia ca pentru orice multime A,multimea vida este inclusa în A , adica A.
5)Multimea nu este inclusa înmultimea deoarece 1 .
Fie A o multime si o proprietate P(x) ; multimeaelementelor din A care au proprietatea P(x) senoteaza : B=.
Exemple:
1)Multimea numerelor naturale care se divid cu 5se noteaza A=.
2)Multimea numerelor întregi x cu propritetatea7x+8=-6 se scrie
A=.
Se vede ca A=.
Din definitia relatiei de incluziunerezulta proprietatile :
a)este reflexiva,adica A A :
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 8/25
b)este antisimetrica ,adica daca A B siB A,atunci A = B;
c)este tranzitiva,adica din A B si B Crezulta A C.
Proprietatea b) se utilizeaza în practica în sensul capentru a dovedi ca A=B se probeaza incluziunile AB si B A .
Daca A este o multime , atunci multimea care
are ca elemente toate submultimile lui A , senumeste multimea partilor lui A si se noteazacu P (A).
Asadar P (A)=.
Observam ca multimea vida si multimea totala A
sunt elemente ale lui P (A).Exemple:
Fie A=. Avem
P (A)=,,,,,,}.
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 9/25
III.Operatii cu multimi
1.Reuniunea multimilor
Definitie:
Se numeste reuniunea a doua multimi Asi B multimea tuturor elementelor care apartin celputin uneia din multimile A sau B .
Notam reuniunea multimilor A si B prin A B si citim
"A reunit cu B".
Deci A B = .
Exemple:
1) =.
2) =.
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 10/25
2.Intersectia multimilor
Definitie:
Se numeste intersectia a douamultimi A si B multimea elementelor care apartin luiA si lui B.
Intersectia multimilor A si B se noteaza A B si se
citeste "A intersectat cu B".Deci : A B = .
Multimile A si B se numesc disjuncte daca AB = ,adica daca nu au în comun nici un element .
Exemple:
1) = ;
2) =;
3) = .
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 11/25
3. Complementara unei submultimi
Definitie:
Fie E o multime si A o submultime a luiE.Submultimea lui E formata din acele elemente cenu apertin lui A se numeste complementara lui A înraport cu E.Aceasta multime se noteaza CEA (saumai simplu CA când nu exista nici un dubiu asupramultimii E).
Deci: CEA = .
Exemple:
1)Daca E = si A =,atunci CEA=.
2)Daca A este multimea numerelor naturalepare , atunci CNA este multimea numerelor naturale
impare.3)Daca E = si A= , atunci CEA=.
4)CEE= si CE =E.
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 12/25
4. Diferenta a doua multimi Definitie:
Fie A si B doua multimi .Multimea formatadin elementele lui A care nu sunt elemente ale lui Bse numeste diferenta dintre multimea A si multimeaB si se noteaza
A-B.
Deci : A-B = .
Exemple:
1) -=.
2) -=.
3) -=.
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 13/25
5.Produs cartezian
Definitie :Se numeste pereche ordonata (cuplu)
formata din elementele x si y o ordine întreelementele x si y în sensul ca x este primul element,iar y este al doilea element si se noteaza cu (x,y).
În perechea (x,y) , x se mai numeste primacomponenta , iar y a doua componenta .
Doua perechi (x,y) si (x' si y') sunt egale daca sinumai daca x=x' si y=y' .
Rezulta ca (x,y) (y,x) , egalitatea având loc numaipentru x=y .De aici rezulta ca notiunea de perecheordonata este diferita de cea de multime formata dindoua elemente .
Exemple :
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 14/25
1)Cu numerele 1 si 2 putem forma doua perechiordonate : (1,2) si (2,1) care sunt distincte .În plusperechile (1,2) si (2,1) sunt diferite de multimea ;
2)Cu numerele 1 si 1 putem forma cuplul (1,1).
Definitie:
Fie A si B doua multimi .Multimea ale careielemente sunt toate perechile ordonate (a,b) , încare a A si b B se numeste produsul cartezian al
multimilor A si B si se noteaza A x B .
Deci A x B = .
Când A = B , se noteaza A x A = A2 .
Exemplu :Fie A = si B =.
Atunci
A x B = si
B x A = .Se observa ca A x B B x A deoarece ,de exemplu,elementul (1,2) A x B si
(1,2) B x A .
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 15/25
6.Proprietati ale operatiilor cu multimi
1 . Daca A,B,C sunt trei multimi, atunci A (B
C) = (A B) C si A (B C) =(A B) C(asociativitatea reuniuni si a intersectiei ).
2 .Daca A si B sunt multimi , atunci A B = B Asi A B = B A (comutativitatea reuniunii siintersectiei ).
3 .Daca A este multime , atunci A A = A A =A ( idempotenta reuniunii si intersectiei ).
4 . Oricare ar fi multimea A , A = A si A= .
5 . Daca A,B,C sunt trei multimi , atunci A ( BC ) = (A B) (A C)( distributivitatea reuniunii
fata de intersectie) si A (B C ) = (A B)(A C) ( distributivitatea intersectiei fata dereuniune).
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 16/25
6 . Daca A,B,C sunt trei multimi , atunci :
A-(B C) = (A-B)-C;
A-(B C) = (A-B) (A-C);
(A B)-C = (A-C) (B-C);
(A B)-C =A (B-C)=(A-C) B.
V.PROGRAMUL SURSĂ C++
#include<iostream.h>#include<stdio.h>
#include<iomanip.h>
#include<conio.h>
#include<math.h>#include<string.h>
#define N 100
void activ_F_CIT()
void activ_F_DATE()void activ_F_REZ()
//definirea obiectului multime de numere intregi
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 17/25
typedef struct multime_Z
//FUNCTIE PT ORDONARE CRESC
void ordc();
//FUNCTIE MEMBRU PENTRU AFISAREA UNEIMULTIMI intr-o fereastra
void afisare_multime();
//FUNCTIE CARE STABILESTE APARTENENTALA O MULTIME
int apartine(long x);
//FUNCTIE CARE ADAUGA UN ELEMENT LA OMULTIME
//A Uvoid adaug(long x);
//FUNCTIE PENTRU INTERSECTIAA DOUA MULTIMI
void intersectie(multime_Z A,multime_Z B);
//FUNCTIE PENTRU REUNIUNEAA DOUA MULTIMI
void reuniune(multime_Z A,multime_Z B);
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 18/25
//FUNCTIE PENTRU DIFERENTAA DOUA MULTIMI
void diferenta(multime_Z A,multime_Z B); //FUNCTIE PENTRU INCLUZIUNE
int inclus(multime_Z B);
//FUNCTIE PENTRU CITIREA UNEI MULTIMI INFERASTRA
void cit_mul(char nume1[N]);
}multime_Z;//sf def obiect multime_Z
//FUNCTIE MEMBRU PENTRU AFISAREA UNEIMULTIMI intr-o fereastra
void multime_Z::afisare_multime()cprintf(" }");
}
//FUNCTIE CARE STABILESTE APARTENENTALA O MULTIME
//RETURNEAZA 1 PENTRU APARTENENTA SAU 0PENTRU CAZ CONTRAR
//Se aplica pentru obiectul curent A.apartine(long e)
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 19/25
int multime_Z::apartine(long x)
}
return 0;
}
//FUNCTIE CARE ADAUGA UN ELEMENT LA OMULTIME
//A U
//A nu se schimba daca x se afla inea A.adaug(long e)
void multime_Z::adaug(long x)
elemente[card++]=x;
}
// CARE ADAUGA UN ELEMENT LA O MULTIME
//FUNCTIE PENTRU INTERSECTIAA DOUA MULTIMI
//REZULTATUL ESTE PUS IN OBIECTUL CURENT
void multime_Z::intersectie(multime_Z A,multime_ZB)
}
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 20/25
ordc();
}
//FUNCTIE PENTRU REUNIUNEAA DOUA MULTIMI
//REZULTATUL ESTE PUS IN OBIECTUL CURENT
void multime_Z::reuniune(multime_Z A,multime_Z B)
for(i=0;i<B.card;i++)
ordc();
}
//FUNCTIE PENTRU DIFERENTA
A DOUA MULTIMI
//REZULTATUL ESTE PUS IN OBIECTUL CURENT
void multime_Z::diferenta(multime_Z A,multime_Z B)
}
ordc();}
//FUNCTIE PENTRU INCLUZIUNE
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 21/25
//RETURNEAZA 1 DACA A INCLUS IN B SAU 0 INCAZ CONTRAR
//Se apeleaza cu A.inclus(B)int multime_Z::inclus(multime_Z B)
}
return 1;
}
//FUNCTIE PENTRU CITIREA UNEI MULTIMI INFERASTRA
void multime_Z::cit_mul(char nume1[N])
gotoxy(2,3); cprintf("Dati un element = ");
for(;;)
}
ordc();
gotoxy(2,5);getch();
}
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 22/25
//FUNCTIE PENTRU ORDONARE CRESCATOARE
void multime_Z::ordc()
}
}
}
typedef struct prod_cartezian
//INCARCARE PRODUS CARTEZIANvoid prod_cart(multime_Z A,multime_Z B);
//AFISARE PRODUS CARTEZIAN IN FEREASTRA
void afis();
}prod_cartezian; //INCARCARE PRODUS CARTEZIAN
void prod_cartezian::prod_cart(multime_ZA,multime_Z B)
}
}
//AFISARE PRODUS CARTEZIAN IN FEREASTRA
void prod_cartezian::afis()
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 23/25
if(i%4==0&&i>0)
}
cprintf(" }");
}
//FUNCTIE PENTRU CITIREA UNEI MULTIMI INFERASTRA
void afis_inclus(multime_Z A,multime_Z B)
else
gotoxy(2,2);
if(B.inclus(A))
else
}
//FUNCTIE PENTRU PENTRU AFISARE
EGALITATEvoid egal(multime_Z A,multime_Z B)
else
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 24/25
}
//FUNCTIE PENTRU AFISAREA MENIULUI derezolvare
void meniu_op(char aleg)
}
}
void main(void)
//sf switch
if(alegere=='0')
} //sf for
getch();
}
5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 25/25
VI.BIBLIOGRAFIE
Livia Toca,Cristian Opincaru,AdrianSindile ,
MANUAL DE INFORMATICA PENTRU CLS.a-X a,
Editura Niculescu ;
Radu Visinescu,BAZELE PROGRAMARII ,
Editura Petrion ;
Cristian Udrea,TEORIE SI APLICATII, Editura
Arves ;