UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢIIBUCUREŞTI
Departamentul de Matematică şi Informatică
Nicolae Dăneţ
Dan Caragheorgheopol Daniel Tudor
UTILIZAREA CALCULATOARELORIntroducere în Mathcad
Bucureşti 2014
Prefaţă
De ce acest titlu?Titlul cărţii, Utilizarea calculatoarelor, preia denumirea cursului existent înplanul de învăţământ al anului întâi de la facultatea "Căi Ferate, Drumuri şi Poduri"din Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti. Cum un calculator se poatefolosi în foarte multe domenii de activitate, acest titlul general impune o precizare:cartea este o introducere în utilizarea programului Mathcad™ 1. Ea reflectăexperienţa dobândită de autori în iniţierea studenţilor din anul întâi în utilizareaacestui program.
Cui se adresează această carte?Cartea nu este o prezentare completă a tot ceea ce poate face programul Mathcad.Ea se adresează studenţilor din primul an de facultate din învăţământul superiortehnic, pe care îi iniţiază în folosirea programului Mathcad pentru efectuareacalculelor numerice sau simbolice şi rezolvarea problemelor matematice pe care leîntâlnesc la celelalte discipline de studiu.
Ce conţine cartea?După o scurtă prezentare a interfeţei Mathcad făcută în capitolul 1, cititorul esteiniţiat în capitolele 2 şi 3 asupra modului în care se poate folosi programulMathcad pentru rezolvare problemelor de "Algebră liniară" sau "Analizămatematică". Capitolul 4 este consacrat graficii în Mathcad. În capitolul 5 suntprezentate posibilităţile de calcul simbolic ale acestui program. Capitolele 6 şi 7sunt dedicate rezolvării numerice sau simbolice a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţiineliniare folosind Mathcad. O scurtă introducere în posibilităţile de programare înMathcad este făcută în capitolul 8. În final, în capitolele 9 şi 10, sunt propusesubiecte pentru aplicaţiile practice şi teste de verificare.
Ce versiune de Mathcad este recomandată?Toate programele Mathcad care au stat la baza scrierii acestei cărţii au fostrealizate în Mathcad, versiunea 14. Cu mici excepţii, ele pot funcţiona şi înMathcad 11, dacă sunt scrise în această versiune. De fapt, majoritatea programelor
1 Mathcad este marcă înregistrată a firmei PTC (Parametric Technology Corporation), 140 Kendrick Street,Needham, MA 02494 USA, http://www.ptc.com/product/mathcad/.
i
au fost scrise iniţial în Mathcad 11.2a, una dintre cele mai bune şi stabile versiunide Mathcad, şi apoi transformate în versiunea 14. Diferenţele între cele douăversiuni pot să apară la programele care folosesc calculul simbolic, deoareceMathcad până la versiunea 11 a folosit procesorul de calculul simbolic de laMaple™ iar începând cu versiunea 12 a trecut la MuPad™. Pentru scriereaprogramelor în Mathcad autorii recomandă versiunile 14, mai precis 14.03, sau 15.
Bucureşti, februarie 2014 Autorii
ii
CUPRINS
Capitolul 1. Mathcad – Ghid de utilizare …….……………………………………1
Capitolul 2. Algebră liniară cu Mathcad …….…………………………………...15
Capitolul 3. Analiză matematică cu Mathcad ……………………………………78
Capitolul 4. Grafică în Mathcad ………………………………………………...109
Capitolul 5. Calcul simbolic în Mathcad ………………………………………..135
Capitolul 6. Rezolvarea ecuatiilor și inecuațiilor în Mathcad …………………..162
Capitolul 7. Rezolvarea sistemelor de ecuatii neliniare în Mathcad ……………181
Capitolul 8. Programare în Mathcad ……………………………………………207
Capitolul 9. Probleme pentru seminar …………………………………………..220
Capitolul 10. Teste de verificare ………………………………………………..241
Bibliografie ……………………………………………………………………..248
iii
1. MATHCAD – Ghid de utilizare
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
MATHCAD Ghid de utilizare
Ecranul Mathcad
Pentru a lucra comod in Mathcad se recomanda ca barele Standard,Formatting, Math, Status si Ruler sa fie afisate. Pentru aparitia acestora sedeschide meniul View si se selecteaza afisarea acestora, asa cum se vede infigura de mai jos.
Afisarea barei Math in momentele redactarii unui document Mathcad esteobligatorie.
Cu ajutorul ei se introduc cu usurinta in document operatorii si simbolurileMathcad.
Apasarea butoanelor acestei bare duce la aparitia unor submeniuri (toolbars) carecontin operatori sau simboluri grupate pe domenii de utilizare.
In continuare vom prezenta, pe scurt, aceste submeniuri ale barei Math.
2
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Bara Calculator
Apasarea butonului duce la aparitia barei Calculator
Bara Graph
Apasarea butonului duce la aparitia barei
Butoanele care apar pe aceasta bara folosesc pentru crearea graficelor 2-D sau3-D in Mathcad.
3
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Bara Matrix
Apasarea butonului duce la aparitia barei
Cu ajutorul acestei bare se introduc intr-o foaie de calcul Mathcad: matrice,elemente de matice, indici de elemente etc.
Pictogramele barei se folosec pentru a calcula inversa si determinantul uneimatrice, podusul scalar si vectorial a doi vectori etc.
Bara Evaluation
Apasarea butonului duce la aparitia barei
Evaluate numerically = Comanda de evaluare numerica
0
1
xx
d 0.5
Evaluate Simbolically CTRL + . Comanda de evaluare simbolica
xx
dx
2
2
0
1
xx
d1
2
4
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Definition : Comanda folosita pentru definirea uneifunctii, atribuirea unei valori numerice unrivariabile etc
f x( ) x2
x 1 z 3
Global Definition ~ Definitie globala valabila in intregul fisier.
De exemplu ORIGIN 1
Bara Calculus
Apasarea butonului duce la aparitia barei:
Folosind butoanele acestei bare se introduc in documentele Mathcad operatoriipentru calculul derivatelor, integralelor, sumelor, produselor, limitelor sisimbolul plus infinit.
Bara Boolean
Apasarea butonului duce la aparitia barei
5
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Folosind butoanele acestei bare se introduc in documentele Mathcad operatoriilogici relationali.
Bara Programming
Apasarea butonului duce la aparitia barei
Butoanele acestei bare se folosesc pentru a introduce in documente cuvintelecheie ale limbajului de programare de care dispune Mathcad-ul.
Bara Greek
Apasarea butonului duce la aparitia barei
Cu ajutorul acestei bare se introduc in documentele Mathcad literelealfabetului grec.
Pentru a simplifica introducerea literelor grecesti Mathcad-ul dispune deurmatoarea facilitate: se scrie litera latina corespunzatoare si apoi se tasteazaCRTL + G.
6
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Bara Symbolic Keyword
Apasarea butonului duce la aparitia barei:
Folosind butoanele acestei bare se introduc in documentele Mathcad cuvintelecheie pentru calculul simbolic.
Structura unui document Mathcad
Un document Mathcad este o combinatie de regiuni de:1) text2) formule 3) calcule numerice4) calcule simbolice5) grafice.
Pentru ca regiunile sa fie vizibile se deschide meniul View si se selecteazaoptiunea Regions.
7
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Exemplul 1. Combinatii de diverse tipuri de regiuni intr-undocument Mathcad
Acest exemplu ne permite sa ilustram cum se pot combina diferitele tipuri deregiuni intr-un document Mathcad.
Regiune de text Se considera functia de gradul al doilea
Regiune de formule f x( ) x2
3 x 2
Regiune de text Se cere:a) Valorile functiei date in punctele x1 = -3.5 six2 = 4.123 b) Determinati solutiile ecuatiei atasate f(x) = 0.c) Reprezentati grafic pe intervalul [-0, 3] functiadata.
Regiune de calculenumerice
f 3.5( ) 24.75
x2 4.123 f x2( ) 6.63
Regiune de formule x2
3 x 2 0=
Regiuni de calculesimbolice
has solution(s)
1
2
8
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
0 1 2 3
1
1
2
f x( )
x
Regiune de reprezentare grafica
Lucrul cu regiuni de text
Regiunile de text sunt folosite pentru a introduce in documentele Mathcad texteexplicatie asupra calculelor si reprezentarilor grafice care se fac in documentulrespectiv.
Crearea unei regiuni de text
1) Se da clic intr-o zona libera a documentului in care se doreste aparitiazonei de text.2) Se deschide meniul Insert si se da comanda Text Region sau se tasteazaghilimele ("). Mathcad deschide o zona de text in care cursorul se transformain reper de inserare de culoare rosie.
3) Se scrie textul dorit. Mathcad marcheza zona de text inconjurand-o cu unchenar. Pe masura ce textul este scris, reperul de inserare se deplaseaza spredrepta si zona de text creste.
4) Pentru parasirea zonei de text se da clic in afara acesteia. Chenarul caremarca zona dispare.
Observatie. Parasirea zonei de text nu se poate face tastand Enter.Se poate parasi, totusi, o zona de text folosind tastatura in doua moduri:1) Tastand combinatia Ctrl + Shift + Enter.2) Apasand in mod repetat una dintre tastele sageti.
9
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
MATHCAD - Ghid de utilizare
Folosirea unitatilor de masura
Exemplul 1
Un paralelipiped dreptunghic are urmatoarele dimensiuni:
L 20m:= l 15m:= h 80cm:=
Perimbaza 2 L l+( ):= Perimbaza 70 m=
Ariabazei L l:= Ariabazei 300 m2=
Volumul L l h:= Volumul 2.4 105 L=
Ldiagpara L2 l2+ h2+:= Ldiagpara 25.013 m=
Ldiagbaza L2 l2+:= Ldiagbaza 25 m=
Exemplul 2
Un cerc are raza egala cu 50 cm. Determinati lungimea si aria cercului siexprimati rezultatul in metri, respectiv metri patrati.
R 50cm:=
L 2 π R:= L 3.142 m=
A π R2:= A 0.785 m2=
Programul face automat transformare in m, respectiv mp, deoarece estesetat sa folosesca Sistemul International de unitati de masura.
10
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Acesta setare se face in fereastra Worksheet Options, in tab-ulUnit System.
11
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD
Calcul matriceal
Trasformarea masurii unui unghi din radiani in grade sexazecimale
In Mathcad masura unui unghi se obtine in radiani. De multe ori avem nevoie de a exprima acesta masura in grade, minute si secunde sexazecimale. In continuarevom arata cum se poate face aceasta transformare si transformarea inversa.
Notatii folosite:mung - masura unghiului (cand unitatea de masura este specificata dupa masuraunghiului)mrad - masura unghiului in radianimdeg - numarul de grade din mausura unghiului in grade, minute si secundemmin - numarul de minute din masura unghiului in grade, minute si secundemsec - numarul secundelor din masura unghiului in grade, minute si secunde
Fie dat un unghi a carei masura este
mung 1rad
Transformarea in grade se poate face prin doua metode:a) folosind facilitatile pe care le ofera Mathcad pentru transformarea unitatilor demasura.b) direct, scriind formula de calcul pentru transformare.
a) Pentru a utiliza prima metoda se da click pe rezultatul obtinut si in loculmarcat care apare in partea dreapta a rezultatului se completeaza noua unitatede masura deg (degree = gradul sexazecimal).
mung 57.296 deg
b) Se scrie firmula de transformare din radiani in grade sexazecimale
mrad 1
mdeg mrad180
π
mdeg 57.296
Se trunchiaza numarul de grade la partea intreaga.
mdeg_int trunc mdeg( ) mdeg_int 57
In continuare partea fractionara a numarului de grade este transformata inminute.
12
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
mmin mdeg mdeg_int( ) 60 mmin 17.747
Se trunchiaza numarul de minute la partea intreaga.
mmin_int trunc mmin( ) mmin_int 17
In final, partea fractionara a numarului de minute este trasformata in secunde
msec mmin mmin_int( ) 60 msec 44.806
Se rotunjeste numarul de secunde la un numar intreg prin lipsa (daca parteafractionara este strict mai mica decat 0.5) sau prin adaos (daca partea fractionaraeste mai mare sau egala cu 0.5).
msec_int round msec( ) msec_int 45
In concluzie,unghi de
mrad 1 are
mdeg_int 57 grade
mmin_int 17 minute
msec_int 45 secunde
Transformarea masurii unui unghi din grade sexazecimale in radiani
Fie un unghi care are mdeg 57 grade
mmin 17 minute
msec 45 sec
Petru a transforma masura unghiului in radiani se transforma maiintai totul in grade
msecdegmsec
60 60 msecdeg 0.013
mmindegmmin
60 mmindeg 0.283
mdeg_total mdeg msecdeg mmindeg mdeg_total 57.296
13
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Se face apoi transformarea din grade in radiani.
mrad mdeg_totalπ
180 mrad 1.000000939340584
Observatie. Valoarea obtinuta nu este exact un radian deoarece in calculele demai sus numarul de secunde a fost aproximat prin adaos.
14
2. ALGEBRĂ LINIARĂ CU MATHCAD
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD
Calcul matriceal
Introducerea matricelor
Mathcad are predefinite functiile uzuale pentru calculul matriceal. Matricelecare au n linii si o singura coloana se numesc vectori.
Pentru introducerea unei matrice intr-un document Mathcad se parcurg etapele:
1. Se da clic cu mouse-ul sau, cu ajutorul tastelor sageti, se face deplasareacursorului in forma de cruce in locul din document in care se doreste sa fieintrodusa matricea.
2. Se tasteaza numele matricei urmat de operatorul de definire (atribuire).
A
3. Se deschide meniul Insert si se da comanda Matrix sau se apasa butonulcorespunzator de pe bara Matrix.
16
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Deoarece operatia de introducere a unei matrice se va face foarte frecvent, serecomanda retinerea comenzii de introducere a unei matrice folosind tastatura:Ctrl+M.
Ca urmare, pe ecran apare fereastra de dialog Insert Matrix in care secompleteaza campurile care solicita numarul de linii (Rows) si de coloane(Columns) ale matricei ce urmeaza a fi introdusa. Valorile implicite ale acestorasunt 3 si 3.
Dupa complerare se tasteaza Enter sau se da clic cu mouse-ul pe unul dintrebutoanele Insert sau OK ale ferestrei Insert Matrix. In document esteinserata macheta matricei.
A
4. Se completeaza pozitiile marcate cu valori numerice. Trecerea de la o pozitie laalta se face cu ajutorul tastei Tab sau folosind mouse-ul si dand clic pe fiecarepozitie.
A
3
5
10
6
7
12
8
2
9
17
Dan Caragheorghepol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD
Operatii cu matrice
Elementele unei matrice. Indici
Fie matricea
A
1
4
7
2
5
8
3
6
9
Elementele matricei sunt variabile indexate de forma Ai,j. Indicii se scriu desparti
de virgula si au valoarea initiala implicita zero.
Scrierea la nivel de indice se face tastand [ (paranteza dreapta deschisa)sau folosind butonul xn aflat pe bara Matrix. De exemplu, elementele
primei linii sunt
A0 0 1 A0 1 2 A0 2 3
iar elementele primei coloane au indicii
A0 0 1 A1 0 4 A2 0 7
Scrierea elementelor unei matrice cu litera mica corespunzatoarenumelui acesteia
Pentru ca elementele matricei A sa poata fi scrise cu litera mica a se defineste
a AAtunci avem
a0 0 1 a0 1 2 a0 2 3
Schimbarea originii indicilor
Schimbarea originii indicilor de la zero la unu se face in ferestra WorksheetOptions... Pentru aparitia acesteia se da comanda Worksheet Options din meniul Tools.
De regula, la aparitia acestei ferestre functia Built-In Variables este activa sirubrica Array Origin (ORIGIN) este vizibila. Aici se face schimbareainlocuind pe 0 cu 1.
18
Dan Caragheorghepol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Acest mod de schimbare a indicilor se face fara ca in pagina documentului saapara o mentiune expresa despre modificarea facuta. Uneori este preferabil caaceasta modificare sa fie vizibila in document. Pentru acesta se recomanda ca lainceputul documentului sa se faca schimbarea valorii parametrului ORIGIN de la 0la 1 scriind explicit instructiunea de atribuire a valorii 1.
ORIGIN 1
Pentru ca efectul acestei instructiuni sa se manifeste in intreg documentul eatrebuie plasata ca prima instructiune in document.
O alta posibilitate este folosirea instructiunii de definire globala, care poate fiamplasata oriunde in document.
ORIGIN 1
Observatie. Locul marcat (patratul negru) de langa numarul 1 arata ca in acestcaz instructiunea nu functioneaza fiind selectata optiunea "Disable Evaluation" .Pentru a schimba acesta optiune in "Enable Evaluation" se selecteaza regiunea sise da click cu butonul drept al mouse-ului pentru aparitia meniului contextualunde apare aceasta.
19
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD
Calcul matriceal
Operatii cu matrice
Mathcad permite efectuarea tuturor operatiilor posibile cu matrice.Pentru exemplificare consideram matricele A, B si C definite mai jos.
A
1
6
8
3
5
9
2
4
7
B
9
6
3
8
5
2
7
4
1
C
2
4
6
1
3
5
Adunarea, scaderea si inmultirea matricelor folosescoperatorii uzuali
A B
10
12
11
11
10
11
9
8
8
A B
8
0
5
5
0
7
5
0
6
A C
26
56
94
20
41
70
La inmultirea a doua matrice A(m,n) cu B(n,p) trebuie se tina seama canumarul de coloane din prima matrice sa fie egal cu numarul de linii dinmatricea a doua. Rezultatul, matricea C, este o matricea de tipul (m,p).Simbolic scriem A(m,n)*B(n,p) = C(m,p)
La ridicarea la puterea m (m numar intreg) a unei matrice patratice A se va tinesema de urmatoarele reguli:Daca m = 0, se obtine matrice unitate.Daca m = 1, se obtine matricea A.Daca m = -1, se obtine inversa matricei A.Daca m 2 , se obtine puterea m a matricei A. Daca m 2 , se obtine puterea |m| a inversei matricei A. Pentru obtinerea operatorului de ridicare la putere a unei matrice (la fel ca lanumere) se tasteaza Shift+6. Ca efect se obtine plasarea pozitiei marcate la nivel
de indice superior: A
A0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
A1
1
6
8
3
5
9
2
4
7
A1
0.333
3.333
4.667
1
3
5
0.667
2.667
4.333
20
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
A2
35
68
118
36
79
132
28
60
101
A2
6.556
23.556
38.444
6.667
25.667
41.333
5.778
21.778
35.222
Pentru calculul determinantului unei matrice patratice se apasa butonul |x| aflatpe bara Matrix (in cazul determinantului unei matrice se poate folosi si butonul|x| din meniul Calculator) sau se tasteaza Shift+\. Pe ecran apare simboluldeterminantului in Mathcad, care are in interior o pozitie marcata ce trebuiecompletata cu numele matricei.
A 3
Pentru determinarea transpusei unei matrice se scrie numele matricei si se
tasteaza Ctrl+1 sau se apasa butonul MT aflat pe bara Matrix.
C
2
4
6
1
3
5
CT 2
1
4
3
6
5
Daca elementele matricei date sunt numere compleze se poate determinamatricea conjugata, adica matricea care are toate elementele egale cuconjugatele numerelor complexe din matricea data. Matricea conjugata seobtine tastand dupa numele ei ". De exemplu, fie
D1 2 i
4
i
3 i
1 2 i
1
Atunci D 1 2i
4
i
3 i
1 2i
1
Inmultirea unei matrice cu un numar real r foloseste simbolul obisnuit deinmultire. De exemplu
3 A
3
18
24
9
15
27
6
12
21
Pentru a aduna un numar real r la toate elementele unei matrice se scrie A+ r si nu A +rU, unde U este matricea care are toate elementele egale cu 1.
21
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
De exemplu
A
1
6
8
3
5
9
2
4
7
A 2
3
8
10
5
7
11
4
6
9
in loc de
U
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A 2 U
3
8
10
5
7
11
4
6
9
22
Dan Caragheorghepol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD
Calcul matriceal
Operatii cu vectori
Vectorii n dimensionali sunt matrice cu n linii si o singura coloana. Prin urmare,toate operatiile prezentate pentru matrice se pot utiliza si pentru vectori.
In plus, pentru vectori se adauga unele operatii specifice acestora:produsul scalarcalculul normei euclidieneprodusul vectorial (numai pentru vectorii cu trei componente).
Fie x si y doi vectori din R4.
ORIGIN 1x
x1
x2
x3
x4
x
y
y1
y2
y3
y4
y
Produsul scalar al celor doi vectori este definit prin formula
x y x
Pentru a calcula produsul scalar al celor doi vectori in Mathcad se dacomanda obisnuita de inmultire de la tastatura: SHIFT + *.
Nu este neaparat nevoie sa se dea acesta comanda existenta pebara Matrix.
Norma euclidiana a vectorului x este egala cu radical din produsul scalar:
x x x=
Pentru un vector x, real sau complex, norma euclidiana este egala cu radical dinsuma patratelor modulelor componentelor vectorului x. Daca vectorul x este real,atunci nu mai este nevoie de a modul elementelor deoarece patratul unui numarreal este egal cu patratul modulului sau.
x x
23
Dan Caragheorghepol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Pentru calculul normei euclidiene Mathcad foloseste operatorul care are aceeasiforma grafica cu cel folosit pentru calculul valorii absolute a unui numar real saucomplex sau pentru calculul determinantului unei matrice patratice. Trebuieprecizat ca nu trebuie folosit operatorul din meniul Matrix (acesta fiind folositexclusiv de Mathcad pentru calculul determinantului unei matrice), ci doar celdin meniul Calculator. De la tastatura combinatia de taste SHIFT+\ estefunctionala atat pentru calculul normei euclidiene a unui vector, cat si pentrudeterminantul unei matrici.
Observatie.1. Daca pozitia marcata este completata cu o matrice patratica se calculeazadeterminantul acesteia. 2. Daca in pozitia marcata se scrie numele unui vector atunci se calculeaza normaeuclidiana a acestuia (cu conditia ca operatorul cu forma grafica anterioara sa fiedin meniul Calculator sau de la tastatura). 3. Daca pozitia marcata se completeaza cu un numar real sau complex atunci seva calcula modulul acelui numar(cu conditia ca operatorul cu forma graficaanterioara sa fie din meniul Calculator sau de la tastatura).
De exemplu
A
1
5
0
2
3
6
7
1
9
A 267 este valoarea determinantului matricei A
w
2
4
5
w 5 este valoarea normei euclidiane a vectorului x
Pentru numere reale sau complexe cu acelasi operator se calculeaza modulul,dupa cum se poate vedea mai jos:
a 21.345 a 21.345 z 4 3 i z 5
24
Dan Caragheorghepol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Produsul vectorial se poate calcula numai pentru vectorii din R3. Rezultatul
este tot un vector din R3. Dati vectorii din R3
x
x1
x2
x3
x
y
y1
y2
y3
y
produsul lor vectorial este un vector din R3, notat
x y
care are componentelex y x
Pentru calculul produsului vectorial Mathcad are un operatorspecific
al carui buton se afla pe bara Matrix.
Acest operator se poate introduce si de la tastatura tastand Ctrl+8.
Exemplul 1.
Se dau vectorii
a
1
2
3
b
4
5
6
c
1
2
5
Calculati:1) Produsul scalar si produsul vectorial dintre vectorii a si b.2) Masura unghiului dintre vectrorii a si b.3) Aria paralelogramului si aria triunghiului determinat de vectorii a si b.4) Volumul paralelipipedului determinat de vectorii a,b si c.
Solutie.
1) Produsul scalar a b 32
25
Dan Caragheorghepol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
2) Produsul vectorial a b
3
6
3
3) Cosinusul unghiului dintre vectorii a si b
cosaba b
a b cosab 0.975
Masura unghiului dintre vectorii a si b θ acos cosab( ) θ 0.226
Masura unghiului se determina implicit in radiani.
Pentru transformarea in grade sexazecimale se foloseste posibilitateaMathcad-ului de a face transformari de unitati de masura. In acest scop, seda click pe rezultatul obtinut si in locul marcat care apare in partea dreapta arezultatului se completeaza noua unitate de masura deg (degree = gradulhexazecimal).
θ 12.933 deg
3) Aria paralelogramului determinat de vectorii a si b este egala cu normaprodusului vectorial dintre cei doi vectori. Deci
APab a b APab 7.348
Aria triunghiului determinat de vectorii a si b este jumatate din ariaparalelogramului, deci
ATaba b
2 ATab 3.674
4) Volumul paralelipiledului determinat de vectorii a, b si c este egal cu valoareaabsoluta a produsului mixt dintre cei trei vectori.
Vabc a b c( ) Vabc 30
26
Dan Caragheorghepol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Cazul vectorilor cu componente complexe
Daca vectorii u si v au componente complexe
u
u1
u2
u3
= v
v1
v2
v3
=
atunci produsul scalar este definit prin formula
u v u1 v1 u2 v2
u3 v3
=
iar norma este data de relatia
u u u=
De exemplu, fie vectorii
u
1 2 i
3
2 i
v
i
2 3 i
1
Atunci produsul scalar este u v 2 11i
u1 v1 u2 v2
u3 v3
2 11i
Produsul scalar complex este anticomutativ. Aceasta inseamna ca daca inprodusul scalar se schimba ordinea factorilor atunci se obtine numarul complexconjugat.
v u 2 11i
v1 u1 v2 u2
v3 u3
2 11i
Norma vectorului u are valoarea
u 4.359
u1 u1 u2 u2
u3 u3
4.359
ORIGIN 1
27
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD
Calcul matriceal
Extragerea coloanelor, liniilor si a submatricelor dintr-o matrice
Pentru a extrage o coloana dintr-o matrice data se foloseste butonul
de pe bara Matrix.
Coloanele unei matrice sunt indexate cu indici superiori incadrati deparanteze unghiulare. Pentru a scrie un astfel de indice cu ajutorul tastaturii se tasteaza Ctrl+6. De exemplu, coloanele matricei
A
1
4
7
2
5
8
3
6
9
sunt
ORIGIN 1
A 1 1
4
7
A 2 2
5
8
A 3 3
6
9
Pentru extragerea liniilor se transpune matricea data, se extrag coloanele
matricei transpuse AT care se transpun din nou. Pentru transpunerea uneimatrice folosind tastatura se foloseste comanda CTRL+1.
AT 1 T
1 2 3( ) AT 2 T
4 5 6( ) AT 3 T
7 8 9( )
Reciproc, daca se dau mai multi vectori cu ajutorul lor se poate obtine omatrice, care are drept coloane vectorii dati. Pentru aceasta operatie se folosestefunctia din Mathcad numita augment.De exemplu, fie vectorii
a
1
2
3
b
4
5
6
c
7
8
9
d
10
11
12
28
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Cu acestia se poate forma matricea
M augment a b c d( )
M
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
M 1 1
2
3
M 2 4
5
6
M 3 7
8
9
M 4 10
11
12
O alta metoda de a obtine o matrice din mai multi vectori este aceea de a davectorilor acelasi nume si de a folosi indicii superiori.
z 1 1
2
3
z 2 4
5
6
z 3 7
8
9
z 4 10
11
12
Matricea obtinuta are numele z.
z
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Extragerea unei submatrice dintr-o matrice
Functia submatrix(M,ir,jr,ic,jc) extrage din matrice M o submatrice carecontine liniile de la ir la jr si coloanele de la ic la jc.
De exemplu, fie matricea
M
1
6
11
16
2
7
12
17
3
8
13
18
4
9
14
19
5
10
15
20
29
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Atunci
submatrix M 2 4 3 5( )
8
13
18
9
14
19
10
15
20
Daca se inverseaza indicii ir cu jr sau ic cu jr se schimba ordinea liniilor sau acoloanelor.
submatrix M 4 2 3 5( )
18
13
8
19
14
9
20
15
10
submatrix M 2 4 5 3( )
10
15
20
9
14
19
8
13
18
Exemplu
Fie matricea
ORIGIN 1 A
5
4
3
2
4
5
4
3
3
3
5
4
2
2
2
5
a A
Calculati valorile minorilor principali ai matricei A.
Δ1 a1 1Δ1 5
Δ2 submatrix A 1 2 1 2( ) Δ2 9
Δ3 submatrix A 1 3 1 3( ) Δ3 24
Δ4 A Δ4 84
30
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD
Calcul matriceal - Exercitii
Operatii cu matrice
1. Se dau matricele
A
1
3
6
2
4
9
5
7
8
B
2
3
4
7
2
6
5
1
9
C
8
3
1
2
5
4
D3 i
2
i
4 3 i
2 3 i
7
Determinati valorile expresiilor matriceale
3 A3 2 B
2 A B( ) C A1
B2 A C
CT
B D D T A 2 B 2
Solutie.
3 A3 2 B
2
996
1082
2369
359
409
2453
1566
1610
2335
A B( ) C
35
58
36
43
50
99
A1
B2
0.269
0.065
0.173
0.179
0.155
0.025
0.005
0.068
0.018
A C
7
29
13
32
42
25
CT
B29
5
56
20
46
51
D D T
24
5 27i
5 27i
78
A 2 B 2 202925
31
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
2. Se dau vectorii din R3
x
2
3
7
y
5
3
1
z
2
1
2
Calculati:a) Produsul scalar dintre vectorii x si y.b) Produsul vectorial al vectorilor y si z (in aceasta ordine)c) Norma euclidiana a vectorului x.
Solutie.
x y 8 y z
7
12
1
x 7.874
3. Se dau vectorii din C3
v
2 i
i
3 i
w
1 i
2
2 3 i
Calcalati produsul scalar dintre vectorii v si w si normeleacestor vectori.
Solutie. v w 12 8i v 4 w 4.359
32
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD
Rezolvarea sistemelor liniare
Forma matriceala a unui sistem liniar
Fie sistemul de n ecuatii liniare cu n necunoscute
a1 1 x1 a1 2 x2 .... a1 n xn b1=
a2 1 x1 a2 2 x2 .... a2 n xn b2=
...............................................
............an 1 x1 an 2 x2 .... an n xn bn=
Pentru rezolvarea sistemului in Mathcad acesta trebuie scris sub forma matriceala
a1 1
a2 1
....
an 1
a1 2
a2 2
....
an 2
....
....
....
....
a1 n
a2 n
....
an n
x1
x2
....
xn
b1
b2
....
bn
=
sauA x b=
undeA este matricea sistemului;x este vectorul necunoscutelor;b este vectorul termenilor liberi.
A
a1 1
a2 1
....
an 1
a1 2
a2 2
....
an 2
....
....
....
....
a1 n
a2 n
....
an n
1
x
x1
x2
....
xn
2
b
b1
b2
....
bn
2
Rezolvarea sistemelor liniare nesingulare
1. Utilizarea functiei lsolve
Determinarea solutiei unui sistem de n ecuatii liniare cu n necunoscute
Ax = b,
33
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
unde A este o matrice patratica nesingulara se poate face in Mathcad folosindfunctia lsolve(A,b)
Exemplul 1. Fie sistemul de ecuatiiliniare
5 x1 3 x2 6 x3 15=
2 x1 8 x2 7 x3 17=
4 x1 x2 9x3 19=
Pentru rezolarea sa scriem matricea sistemului A si vectorultermenilor liberi b.
A
5
2
4
3
8
1
6
7
9
b
15
17
19
Calculam determinantul matricei A pentru a vedea daca matriceaeste nesingulara.
A 713
Deoarece determinantul matricei A este nenul, sistemul are solutie unica.
Se defineste solutia: x lsolve A b( )
Se calculeaza solutia: x
3
2
1
Verificarea solutiei: A x b
0.000000000000000
0.000000000000000
0.000000000000000
2. Utilizarea matricei inverse. Calcul numeric
Daca matricea A este nesingulara, atunci exista matricea inversa A-1 si solutiasistemului este data de formula
x A1
b=
34
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Exemplul 2. Fie sistemul de ecuatii liniare
5 x1 3 x2 6 x3 15=
2 x1 8 x2 7 x3 17=
4 x1 x2 9x3 19=
Pentru rezolarea sa scriem matricea sistemului A si vectorul termenilor liberi b.
A
5
2
4
3
8
1
6
7
9
b
15
17
19
Calculam determinantul matricei A pentru a vedea daca matricea este inversabila.
A 713
Deoarece determinantul matricei A este nenul, matricea A este inversabila sisolutia sistemului este data de formula
x A1
bDeci
x
3
2
1
Verificare
A x b
0.000
0.000
0.000
Observatii.
10-15 inseamna "practic zero" sau "zero Mathcad". Deoarece in calculul matricei inverse se fac mai multe erorii de rotujire decatcele care se fac in metoda de rezolvare folosita de functia lsolve, se recomandaca sistemele liniare sa fie rezolvate cu lsolve si nu prin inversarea maticei.
35
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
3. Utilizarea matricei inverse. Calcul simbolic
Exemplul 3. Fie sistemul de ecuatii liniare in care termenii liberi sunt variabilereale si nu numere.
5 x1 3 x2 6 x3 α=
2 x1 8 x2 7 x3 β=
4 x1 x2 9x3 γ=
Pentru rezolvare se procedeaza ca mai sus, dar in locul comenzii de calculnumeric se da comanda de calcul simbolic.
A
5
2
4
3
8
1
6
7
9
b
α
β
γ
α
Calculam determinantul matricei A pentru a vedea daca matriceaeste inversabila.
A 713
Deoarece determinantul matricei A este nenul, matricea A este inversabila sisolutia sistemului este data de formula
s A1
b b
Pentru determinarea solutiei se da comanda de calcul simbolic (CRTL + . )
s
3 γ31
21 β713
79 α713
3 β31
γ
31
2 α31
2 γ31
17 β713
30 α713
Verificarea solutiei.
A s b
0
0
0
36
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Observatie. Deoarece procesorul numeric si cel simbolic al Mathcad-uluifolosesc methode diferite de calcul se recomanda ca in acelasi documentMathcad sa nu se amestece cele doua tipuri de calcul.
37
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD
Rezolvarea sistemelor liniare
Rezolvarea unui sistem patratic liniar si omogen
Orice sistem liniar si omogen de n ecuatii cu n necunoscute
a1 1 x1 a1 2 x2 .... a1 n xn 0=
a2 1 x1 a2 2 x2 .... a2 n xn 0=
...............................................
............an 1 x1 an 2 x2 .... an n xn 0=
sau, scris matriceal,
a1 1
a2 1
....
an 1
a1 2
a2 2
....
an 2
....
....
....
....
a1 n
a2 n
....
an n
x1
x2
....
xn
0
0
....
0
=
A x 0=
admite intotdeauna solutia nula x = 0.
Daca determinantul sistemului este nenul, sigura solutie a sistemului estesolutia nula.
Daca determinatul sistemului este nul, sistemul admite si solutii diferite desolutia nula. Solutia admisa va depinde de un numar de parametrii egal cu diferentadintre dimensiunea matricei sistemului si rangul ei.
Determinarea solutiilor diferite de solutia banala se poate face in Mathcadfolosind functia rref.
Exemplul 1
Fie sistemul liniar si omogen
x 2y 3z 0=2x 6y 11z 0=x 2y 7z 0=
38
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Matricea sistemului este A
1
2
1
2
6
2
3
11
7
Calculam determinntul ei A 0
Deoarece matricea este singulara (i.e., determinantul ei este egal cu zero)sistemul admite si solutii diferite de solutia nula: x = 0, y = 0, z = 0.
Pentru a vedea numarul de parametri de care depinde solutia se calculeazarangul matricei A
rank A( ) 2
si se scade din dimensiunea matricei
nr_par cols A( ) rank A( ) nr_par 1
In concluzie, solutia sistemului depinde de un parametru real. Notam cu Rforma redusa a matricei A obtinute cu ajutorul functiei rref din Mathcad.
R rref A( ) R
1
0
0
0
1
0
2
2.5
0
Forma matricei reduse arata ca primele doua coloane sunt liniar independeneteiar necunoscutele x si y sunt necunoscute principale. Notam necunoscutasecundara z cu si trecem termenii care o contin in membrul drept. Atuncisolutia sistemului este functie de parametrul si este data de formula
ORIGIN 1
S λ( ) λ R 3
0
0
λ
S λ( )
2 λ
5 λ2
λ
39
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Verificare A S λ( )
0
0
0
Exemplul 2
In acest exemplu dorim sa rezolvam sistemul liniar si omogen
x y z 0=
2 x 2 y 2 z 0=
3 x 3 y 3 z 0=
Matricea sistemului A
1
2
3
1
2
3
1
2
3
are determinantul nul A 0
Numarul de parametri de care va depinde solutia nenula a sistemului este
nr_par cols A( ) rank A( ) nr_par 2
Determinarea solutiei se face folosind rref. Forma redusa a matricei Adeterminata cu rref este:
R rref A( ) R
1
0
0
1
0
0
1
0
0
Forma matricii reduse R arata ca necunoscuta x este necunoscuta principala, iarnecunoscutele y si z sunt necunoscute secundare. Notand necunoscuta y cu λ sinecunoscuta z cu μ, se obtine solutia sistemului ca functie de λ si μ de formaurmatoare:
sol λ μ( ) λ R 2 μ R 3
0
λ
μ
40
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
sol λ μ( )
μ λ
λ
μ
Verificare A sol λ μ( )
0
0
0
41
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD
Rezolvarea sistemelor liniare
Rezolarea sistemelor dreptunghiulare de m ecuatii cu n necunoscute
Fie sistemul de m ecuatii liniare cu n necunoscute
a1 1 x1 a1 2 x2 .... a1 n xn b1=
a2 1 x1 a2 2 x2 .... a2 n xn b2=
...............................................
............am 1 x1 am 2 x2 .... am n xn bm=
scris sub forma matriceala
a1 1
a2 1
....
am 1
a1 2
a2 2
....
am 2
....
....
....
....
a1 n
a2 n
....
am n
x1
x2
....
xn
b1
b2
....
bm
=
sauA x b=
unde
A
a1 1
a2 1
....
am 1
a1 2
a2 2
....
am 2
....
....
....
....
a1 n
a2 n
....
am n
1
b
b1
b2
....
bm
2
x
x1
x2
....
xn
2
Daca matricea sistemului este dreptunghiulara, pentru a decide daca sistemuleste compatibil sau nu folosim urmatorul rezultat:
Teorema Kronecker-Capelli. Unsistem de m ecuatii liniare cu n necunoscuteeste compatibil daca si numai daca rangul matricei sistemului este egal cu rangulmatricei extinse.
Reamintim ca matricea extinsa se obtine adaugand la matricea sistemului inca ocoloana, a n+1-a, formata cu termenii liberi ai sistemului.
42
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
AE
a1 1
a2 1
....
am 1
a1 2
a2 2
....
am 2
....
....
....
....
a1 n
a2 n
....
am n
b1
b1
....
bm
1
Discutie asupra naturii unui sistem de m ecuatii liniare cu n necunoscute
Prezentam mai jos discutia asupra naturii unui sistem de m ecuatii liniare cu nnecunoscute in functie de rangul matricei sistemului si rangul matricei extinse.
1. Daca rank(A) < rank(AE), atunci sistemul nu are solutii, deci este unsistem incompatibil.
2. Daca rank(A) = rank(AE), atunci sistemul are solutii, deci este un sistemcompatibil.
Mai precis:
2.1. Daca rank(A) = cols(A), atunci sistemul are solutie unica, decieste un sistem compatibil determinat.
2.2. Daca rank(A) <cols(A), atunci sistemul are o infinitate de solutii,deci este un sistem compatibil nedeterminat.
1. Sistem compatibil determinat
Exemplul 1. Folosirea blocului Given cu Find simbolic
Fie sistemul de 4 ecuatii liniare cu 3 necunoscute
2 x 3 y 4 z 4=
3 x 5 y 6 z 13=
4 x y 3 z 13=
x 6 y 9 z 0=
Pentru a folosi notatii distincte la fiecare exemplu notam matricea sistemului cu A1si vectorul termenilor liberi cu b1.
43
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
A1
2
3
4
1
3
5
1
6
4
6
3
9
b1
4
13
13
0
Matricea extinsa a sistemului este A1E augment A1 b1( )
A1E
2
3
4
1
3
5
1
6
4
6
3
9
4
13
13
0
Calculam rank A1( ) 3 rank A1E( ) 3 cols A1( ) 3
Deoarece rank A1( ) rank A1E( )=
sistemul are solutie, iar egalitatea
rank A1( ) cols A1( )=
arata ca solutia este unica.
Pentru determinarea solutiei sistemului folosim blocul Given si functia Findin modul simbolic.
x 2 y 3 z 4
Given2 x 3 y 4 z 4=
3 x 5 y 6 z 13=
4 x y 3 z 13=
x 6 y 9 z 0=
s1 Find x y z( )
s1
3
2
1
44
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Verificare
A1 s1 b1
0
0
0
0
2. Sistem compatibil nedeterminat
Exemplul 2. Folosirea functiei rref
Fie sistemul de ecuatii liniare
x 2 y 4 z 0=
7 x 4 y 8=
3 x y 2 z 4=
Notam matricea sistemului cu A2 si vectorul termenilor liberi cu b2. Acestea sunt:
A2
1
7
3
2
4
1
4
0
2
b2
0
8
4
Matricea extinsa a acestui sistem este
A2E augment A2 b2( ) A2E
1
7
3
2
4
1
4
0
2
0
8
4
Calculam valorile necesare pentru a testa compatibilitatea sistemului.
rank A2( ) 2 rank A2E( ) 2 cols A2( ) 3
rank A2( ) rank A2E( )=
sistemul este compatibil, iar inegalitatea
rank A2( ) cols A2( )
45
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
arata ca sistemul este nedeterminat (solutia sa depinde de cols(A2) - rank(A2) =1 parametru).
Notam cu R forma redusa a matricei extinse obtinute cu ajutorul functieirref din Mathcad.
R rref A2E( ) R
1
0
0
0
1
0
8
5
14
5
0
8
5
4
5
0
Forma matricei reduse arata ca primele doua coloane sunt liniar independeneteiar necunoscutele x si y sunt necunoscute principale. Notam necunoscutasecundara z cu si trecem termenii care o contin in membrul drept. Atuncisolutia sistemului este functie de parametrul si este data de formula
ORIGIN 1
S2 λ( ) R 4 λ R 3
0
0
λ
S2 λ( )
8 λ5
8
5
14 λ5
4
5
λ
Verificare A2 S2 λ( ) b2
0
0
0
Pentru orice valoare reala data parametrului se obtine o solutie a sistemului. Deexemplu, pentru = 0.5 solutia sistemului este
S2 0.5( )
0.8
0.6
0.5
46
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
3. Sistem incompatibil.
Exemplul 3.
Fie sistemul de 5 ecuatii cu 3 necunoscute
x 2 y z 1=
3 x 7 y 4 z 1=
2 x 4 y 3 z 3=
4 x 11 y 9 z 9=
5 y 2 z 1=
Notam matricea sistemului cu A3 si vectorul termenilor liberi cu b3. Avem deci
A3
1
3
2
4
0
2
7
4
11
5
1
4
3
9
2
b3
1
1
3
9
1
Matricea extinsa a sistemului este:
A3E augment A3 b3( ) A3E
1
3
2
4
0
2
7
4
11
5
1
4
3
9
2
1
1
3
9
1
Calculam rank A3( ) 3 si rank A3E( ) 4
Deoarece rank A3( ) rank A3E( )
conform teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este incompatibil.
47
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD
Rezolvarea sistemelor liniare - Exercitii
Stabiliti natura sistemelor de mai jos si in caz de compatibilitate determinatisolutia lor:
1. 5 x 3 y 6 z 15= 2. x y 2 z 1=
2 x 8 y 7 z 17= 2 x y 4 z 4=
4 x y 9z 19= 4x y 4 z 2=
3. 2 x 3 y 10 z 5= 4. x 5 y 4 z 13 t 3=
x 7 y 14 z 1= 3 x y 2 z 5 t 2=
3 x 8 y 9 z 3= 2 x 2 y 3 z 4 t 1=
5. 2 x y z 1= 6. x 2 y z 1=
3 x 3 y z 2= 3 x 7 y 4 z 1=
2 x 4 y 3= 2 x 4 y 3 z 3=
4 x 11 y 9 z 9=
5 y 2 z 1=
7. 2 x y 3 z 4= 8. x 2 y 4 z 0=
3 x 4 y z 5= 7 x 4 y 8=
x 5 y 4 z 9= 3 x y 2 z 4=
48
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Solutie. ORIGIN 1
1. Fie sistemul
5 x 3 y 6 z 15=
2 x 8 y 7 z 17=
4 x y 9z 19=
Notam cu A1 matricea sistemului, cu b1 vectorul termenilor liberi si cu A1Ematricea extinsa.
A1
5
2
4
3
8
1
6
7
9
b1
15
17
19
A1E augment A1 b1( ) A1E
5
2
4
3
8
1
6
7
9
15
17
19
Calculam rangul matricei A1, rangul matricei extinse A1E si determinam numarulde coloane ale matricei A1.
rank A1( ) 3 rank A1E( ) 3 cols A1( ) 3
Deoarece cele doua matrice au acelasi rang, conform teoremeiKronecker-Capelli, sistemul este compatibil. Pentru ca rangul matricei A1 esteegal cu numarul de coloane ale acestei matrice sistemul este compatibildeterminat. Pentru calcularea solutiei folosim functia lsolve.
s1 lsolve A1 b1( ) s1
3
2
1
Verificare
A1 s1
15
17
19
b1
15
17
19
49
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
4. Fie sistemulx 5 y 4 z 13 t 3=
3 x y 2 z 5 t 2=
2 x 2 y 3 z 4 t 1=
Procedam ca mai sus notand folosind notatiile A4, b4, A4E.
A4
1
3
2
5
1
2
4
2
3
13
5
4
b4
3
2
1
A4E augment A4 b4( ) A4E
1
3
2
5
1
2
4
2
3
13
5
4
3
2
1
rank A4( ) 2 rank A4E( ) 3
Deoerece rangul matricei sistemului este strict mai mic decat rangul matriceiextinse sistemul este incompatibil.
7. Fie sistemul2 x y 3 z 4=
3 x 4 y z 5=
x 5 y 4 z 9=
Notam
A7
2
3
1
1
4
5
3
1
4
b7
4
5
9
50
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
A7E augment A7 b7( ) A7E
2
3
1
1
4
5
3
1
4
4
5
9
Calculam
rank A7( ) 2 rank A7E( ) 2 cols A7( ) 3
Deoerece rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse sistemuleste compatibil, dar nedeterminat pentru ca rangul matricei este strict mai micdecat numarul de coloane al matricei sistemului.
Numarul de parametrii de care depinde solutia sistemului este
cols A7( ) rank A7( ) 1
Determinam solutia sistemului folosind functia rref aplicata matricii extinse A7E.
R rref A7E( ) R
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
2
0
Solutia depinzand de parametrul λ este S7 λ( ) R 4 λ R 3
0
0
λ
S7 λ( )
1 λ
λ 2
λ
Verificarea solutiei A7 S7 λ( ) b7
0
0
0
51
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD
Baze in spatiul vectorial Rn
Scrierea unui vector intr-o baza
In spatiul vectorial R4 se considera vectorii
a 1
1
0
0
1
a 2
0
0
0
1
a 3
1
1
1
1
a 4
1
1
1
1
Demonstrati ca multimea B = [a<1>, a<2>, a<3>, a<4>] este o baza a spatiului
vectrial R4 si determinati scrierea vectorului
v
1
0
1
1
in aceasta baza,
Solutie.
Multimea B = [a<1>, a<2>, a<3>, a<4>] este o baza pentru R4 dacadeterminantul matricei formate cu componentele celor patru vectori estenenul. Daca notam matricea respectiva cu A, atunci
A augment a 1 a 2 a 3 a 4 A
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
are determinatul A 2
Vectorul se scrie in baza B = [a<1>, a<2>, a<3>, a<4>] sub forma
ORIGIN 1 v λ1
a 1 λ2
a 2 λ3
a 3 λ4
a 4 =
52
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Notam cu λ
λ1
λ2
λ3
λ4
=
vectorul componentelor lui v in baza B = [a<1>, a<2>, a<3>, a<4>]
Acest vector se determina rezolvand sistemul
A λ v=
Solutia acestuia este λ lsolve A v( ) λ
1
1
0.5
0.5
Prin urmare, vectorul v are in baza B = [a<1>, a<2>, a<3>, a<4>] scrierea
v a 1 a 2 1
2a 3
1
2a 4 =
53
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD
Baze in spatiul vectorial Rn
Matricea de trecere de la o baza la altaSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare a bazei
In spatiul vectorial R3 se considera vectoriiORIGIN 1
x 1 1
0
1
x 2 0
1
1
x 3 1
1
1
y 1 1
1
0
y 2 1
0
0
y 3 0
0
1
1) Demonstrati ca multimile B = [x<1>, x<2>, x<3>] si B' = [y<1>, y<2>, y<3>] sunt
baze pentru R3 si determinati matricea de trecere de la baza B la baza B'.
2) Daca vectorul v din R3 are in baza B scrierea v = 3x<1> - x<2> +2x<3>, careeste scrierea lui v in baza B'?
Solutie.
1) Multimea B = [x<1>, x<2>, x<3>] este o baza pentru R3 daca determinantulmatricei formate cu componentele celor trei vectori este nenul. Daca notammatricea respectiva cu B, atunci
B augment x 1 x 2 x 3 B
1
0
1
0
1
1
1
1
1
are determinatul B 1
Analog avem
B' augment y 1 y 2 y 3 B'
1
1
0
1
0
0
0
0
1
B' 1
54
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Pentru a determina matricea de trecere de la baza B la baza B' se scriu vectoriinoi baze in raport cu veche baza.
y 1 c1 1 x 1 c2 1 x 2 c3 1 x 3 =
Aceasta scriere este echivalenta cu forma matriceala
y 1 x 1 x 2 x 3 c1 1
c2 1
c3 1
=
Daca notam
c 1 c1 1
c2 1
c3 1
=
atunci forma matriceala de mai sus se poate scrie
y 1 B c 1 =
Rezolvam acest sistem sub forma matriceala
c 1 B1
y 1 c 1 1
1
2
Analog obtinem
c 2 B1
y 2 c 2 0
1
1
c 3 B1
y 3 c 3 1
1
1
55
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Matricea de trecere de la baza B la baza B' este
C c 1 c 2 c 3 =
Conform formulelor de mai sus obtinem pentru matricea de trecere forma
C B1
B'
Prin urmare
C
1
1
2
0
1
1
1
1
1
2) Daca vectorul v se scrie in baza B sub forma v = 3x<1> - x<2> +2x<3>, atunciscrierea matriceala a lui v in baza B este
v
3
1
2
Scrierea lui v in noua baza B' este
v' C1
v v'
1
4
4
Prin urmare, v se scrie in baza B' sub forma v = y<1> - 4y<2> + 4y<3>.
56
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD
Baze in spatiul vectorial Rn
Matricea de trecere de la o baza la altaSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare a bazei
In spatiul vectorial R4 se considera vectorii
a 1
1
1
1
1
a 2
1
2
1
1
a 3
1
1
2
1
a 4
1
3
2
3
b 1
1
0
3
3
b 2
2
3
5
4
b 3
2
2
5
4
b 4
2
3
4
4
1) Demonstrati ca multimile B1 = [a<1>, a<2>, a<3>, a<4> ] si
B2= [b<1>, b<2>, b<3>, b<4> ] sunt baze pentru R4 si determinati matricea de trecere de la baza B1 la baza B2.
2) Daca vectorul v din R4 are in baza B1 scrierea v = 4a<1> +3a<2> +2a<3>-6a<4>,care este scrierea lui v in baza B2?
Solutie.
1) Multimea B1 = [a<1>, a<2>, a<3>, a<4> ] este o baza pentru R4 dacadeterminantul matricei formate cu componentele celor patru vectori este nenul.Daca notam matricea respectiva cu A, atunci
A augment a 1 a 2 a 3 a 4 A
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
3
2
3
are determinantul A 2
57
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Analog avem
B augment b 1 b 2 b 3 b 4 B
1
0
3
3
2
3
5
4
2
2
5
4
2
3
4
4
B 2
Matricea de trecere de la baza B1 la baza B2 este
C A1
B C
2
3
1
1
0
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
2) Daca vectorul v se scrie in baza B1 sub forma v = 4a<1> +3a<2> +2a<3>-6a<4>,atunci scrierea matriceala a lui v in baza B1 este
λ
4
3
2
6
Scrierea lui v in baza B2 este data de formula
μ C1
λ μ
15
25
33
1
Prin urmare, vectorul v se scrie in baza B2 sub forma v = -15 b<1> + 25b<2> +
33b<3> - b<4>
58
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD
Valori si vectori proprii
DefinitiiFie A o matrice patratica cu n linii si n coloane cu elemente reale.
A
a1 1
a2 1
....
an 1
a1 2
a2 1
....
an 2
....
....
....
....
a1 n
a2 n
....
an n
=
Se numeste vector propriu al matricei A un vector nenul x din Rn
x
x1
x2
...
xn
=
pentru care exista un numar real astfel incat are loc egalitatea
A x λ x=
Numarul real pentru care are loc egalitatea de mai sus se numestevaloarea proprie corespunzatoare vectorului propriu x.
Determinarea valorilor proprii ale unei matrice. Functia eigenvals(A)
Se considera matricea
ORIGIN 1 A
3
4
4
1
1
8
0
0
2
Pentru determinarea valorilor proprii ale matricei patratice A se folosestefunctia Mathcad
eigenvals A( )
59
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Rezultatul executiei este un vector de acelasi ordin cu matricea A care are dreptcomponente valorile proprii ale matricei.
eigenvals A( )
2
1
1
Pentru a putea folosi in calculele ulterioare aceste valori proprii, notam cu vectorul care contine valorile proprii ale matricei A.
λ eigenvals A( ) λ
2
1
1
Valorile proprii sunt λ1 2 λ2 1 λ3 1
Determinarea vectorilor proprii corespunzatori. Functia eigenvec(A,z)
Functia Mathcadeigenvec A z( )
determina vectorul propriu normalizat al matricei patratice A care corespundevalorii proprii z. In cazul nostru obtinem
x1 eigenvec A λ1 x1
0
0
1
x2 eigenvec A λ2 x2
0.218
0.436
0.873
x3 eigenvec A λ3 x3
0.218
0.436
0.873
Verificarea rezultatelor se face aratand ca Ax = x, unde x este un vectorpropriu al matricei A, iar este valoarea proprie corespunzatoare.
60
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
A x1 λ1 x1
0
0
0
A x2 λ2 x2
3.057 1013
6.114 1013
1.223 1012
A x3 λ3 x3
7.423 1013
1.485 1012
2.969 1012
Determinarea vectorilor proprii ai unei matrice. Functia eigenvecs(A)
Vectorii proprii se determina cu functia Mathcad
eigenvecs A( )
Rezultatul este o matrice patrata de acelasi ordin cu matricea data ale careicoloane sunt vectorii proprii normalizati ai matricei A. Coloana n a matricei estevectorul propriu corespunzator valorii proprii n data de functia eigenvals.
eigenvecs A( )
0
0
1
0.218
0.436
0.873
0.218
0.436
0.873
Observatie.Functia eigenvals se poate folosi in calculul simbolic atat pentru matricereale cat si complexe.Functia eigenvals se poate folosi in evaluarea numerica numai pentrumatrice reale.
61
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD
Diagonalizarea matricelor
Definitie. O matricea patrata A se numeste diagonalizabila daca exista o alta
matrice de acelasi tip cu matricea A si nesingulara astfel incat produsul C-1AC esteo matrice de forma diagonala. Matricea C se numeste matrice diagonalizatoarepentru A.
Teorema. Matricea patratica reala (complexa) A este diagonalizabila daca si
numai daca exista o baza a spatiului Rn (Cn) formata din vectori proprii aimatricei A.
Exemplul 1. Sa se cerceteze daca matricea reala data mai jos este diagonalizabilasi in caz afirmativ sa se aduca la forma diagonala punandu-se in evidentamatricea diagonalizatoare.
A
1
3
3
3
5
3
1
1
1
Pentru a cereceta daca matricea A este diagonalizabila determinam vectoriiproprii ai maticei A si stabilim daca ei formeaza sau nu o baza a spatiului
vectorial Rn. Notam cu C matricea care are drept coloane vectorii proprii aimatricei A si calculam determinantul acesteia.
ORIGIN 1
C eigenvecs A( ) C
0.577
0.577
0.577
0.426
0.64
0.64
0.236
0.086
0.968
C 0.108
Deoarece determinatul matricei C este nenul coloanele acestei matrice, care sunt
vectorii proprii ai matricei A, formeaza o baza a spatiului vectorial Rn. Prinurmare matricea A este diagonalizabila.
Forma diagonala a matricei A este
C1
A C
1
1.554 1015
0
1.332 1015
2
0
0
0
2
62
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Se observa ca pe diagonala principala a matricei diagonale obtinute se aflavalorile proprii ale matricei A.
eigenvals A( )
1
2
2
Evident, matricea diagonalizatoare pentru matricea A este matricea C formata cuvectorii proprii ai matricei A.
Exemplul 2. Sa se cerceteze daca matricea reala data mai jos este diagonalizabilasi in caz afirmativ sa se aduca la forma diagonala punandu-se in evidentamatricea diagonalizatoare.
A
4
5
6
5
7
9
2
3
4
Procedam ca mai sus si determinam matricea vectorilor proprii ai matricei A.
C eigenvecs A( )
C
0.577
0.577
0.577
0.267 3.147i 108
0.535 3.147i 108
0.802
0.267 3.147i 108
0.535 3.147i 108
0.802
C 9.711i 109
Dupa cum se observa matricea C (in care elementele sunt afisate cu trei zecimale)
are doua coloane egale. Prin urmare, nu exista o baza a lui R3 formate cu vectoriproprii ai matricei A. Deci A nu este diagonalizabila.
63
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD
Valori si vectori proprii
Valori si vectori proprii - Exemplu
Fie matricea A
1
3
3
0
2
0
3
3
1
1) Determinati valorile si vectorii ai matricei A.2) Cercetati daca matricea A este diagonalizabila. In caz afirmativ aducetimatricea A la forma diagonala.
Solutie folosind calculul numeric.
1. Determinarea valorilor proprii
ORIGIN 1
Determinarea valorilor proprii ale unei matrice se face in Mathcad folosindfunctia eigenvals
λ eigenvals A( )λ
2
2
4
2. Determinarea vectorilor proprii
Pentru determinarea vectorilor proprii ai matricei A se foloseste functiaeigenvecs.
C eigenvecs A( ) C
0
1
0
0.5
0.707
0.5
0.577
0.577
0.577
In continuare determinam vectorii proprii care corespund fiecarei valori propriisi verificam acest lucru pornind de la definitie.
64
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
λ1 2 C 1 0
1
0
A C 1 λ1 C 1
0
0
0
λ2 2 C 2 0.5
0.707
0.5
A C 2 λ2 C 2
0
0
0
λ3 4 C 3 0.577
0.577
0.577
A C 3 λ3 C 3
0
0
0
Observatie O eventuala evaluare simbolica a verificarii faptului ca fiecaruivector propriu aflat ii corespunde valoarea proprie respectiva poate produce eroriin Mathcad 14. De exemplu in cazul nostru:
A C 1 λ1 C 1
6
6
6
Din aceasta cauza se recomanda doar folosirea calculului numeric pentruverificarea respectiva.
3. Diagonalizarea matricei A
Teorema. Matricea A este diagonalizabila daca si numai daca exista o baza a
spatiului R3 formata din vectori proprii ai lui A. Acesata afirmatie este echivalenta cu: A este diagonalizabila daca si numia dacamatricea C are determinantul nenul.
Se calculeaza determinantul matricei C.
C 0.577
Deoarece determinantul lui C este nenul, matricea A este diagonalizabila.
65
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Forma diagonala a matricei A este
C1
A C
2
0
0
0
2
0
0
0
4
66
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD
Baze ortonormate in spatiul euclidian Rn
Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt
In spatiul euclidian R3 se dau vectorii
x 1 1
0
1
x 2 2
1
0
x 3 1
3
1
1) Demonstrati ca multimea B = [x<1>, x<2>, x<3>] este o baza a spatiului R3.2) Construiti o baza ortonormata B' pornind de la baza B.3) Care este scrierea vectorului
v
2
1
3
in baza B'?
Solutie.
1) Multimea B = [x<1>, x<2>, x<3>] este o baza a spatiului R3 daca determinantulmatricei formate cu componentele celor trei vectori este nenul. Daca notammatricea respectiva cu B, avem
B augment x 1 x 2 x 3 B
1
0
1
2
1
0
1
3
1
ORIGIN 1
B are determinantul B 6
2) Construim mai intai o baza ortogonala [y<1>, y<2>, y<3>] folosind procedeulde ortogonalizare Gram-Schmidt.
y 1 x 1 y 1 1
0
1
67
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
y 2 x 2 x 2 y 1
y 1 y 1 y 1 y 2
1
1
1
y 3 x 3 x 3 y 1
y 1 y 1 y 1
x 3 y 2
y 2 y 2 y 2 y 3
1
2
1
Baza ortonormata B' = [z<1>, z<2>, z<3>] se obtine impartind fiecare vector y<1>,
y<2>, y<3> la norma sa.
z 1 y 1
y 1 z 1
0.707
0
0.707
z 2 y 2
y 2 z 2
0.577
0.577
0.577
z 3 y 3
y 3 z 3
0.408
0.816
0.408
3) Vectorul v are in baza B' scrierea v λ1 z 1 λ2 z 2 λ3 z 3 = unde
λ1 v z 1 λ1 3.536
λ2 v z 2 λ2 0
λ3 v z 3 λ3 1.225
68
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD
Forme patratice
Reducerea la expresia analitica canonica a unei forme patratice.Metoda lui Jacobi
In spatiul euclidian R3 notam
x
x1
x2
x3
=
si consideram forma patratica
Q x1 x2 x3 xT
A x=
unde A este matricea acestei forme in raport cu baza canonica a spatiului
A
5
2
2
2
6
0
2
0
4
Mai precis, forma patratica are expresia analitica generala
Q x1 x2 x3( )
x1
x2
x3
T
A
x1
x2
x3
Q x1 x2 x3( ) simplify 5 x12 4 x1 x2 4 x1 x3 6 x2
2 4 x32
Problema
1) Determinati expresia canonica a formei patratice Q folosind metoda luiJacobi.2) Precizati care este natura formei patratice: pozitiv definita, negativ definitasau nedefinita ca semn.
3) Determinati baza in raport cu care forma patratica Q are expresia analiticacanonica determinata la punctul 1).
69
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Solutie. Expresia analitica canonica
Notam a A
Minorii principali ai matricei A au valorile
Δ1 a1 1 Δ1 5
Δ2a1 1
a2 1
a1 2
a2 2
Δ2 26
Δ3 A Δ3 80
Deoarece toti minorii principali sunt nenuli, conform teoremei lui Jacobi, exista
o baza B' a spatiului R3 formata din vectorii
f1 f2 f3
astfel incat, daca vectorul x are in baza B' scrierea
x x'1 f1 x'2 f2 x'3 f3=
forma patratica Q are expresia analitica canonica data de formula
Q x'1 x'2 x'3( )1
Δ1x'1( )
2Δ1
Δ2x'2( )
2Δ2
Δ3x'3( )
2=
In noua baza B' matricea formei patratice Q este
B
1
Δ1
0
0
0
Δ1
Δ2
0
0
0
Δ2
Δ3
B
1
5
0
0
0
5
26
0
0
0
13
40
B
0.2
0
0
0
0.192
0
0
0
0.325
70
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Notam cu x'
x'1
x'2
x'3
=
scrierea unui vector oarecare in raport cu noua baza. Atunci forma patratica areexpresia analitica
Q x'1 x'2 x'3( )
x'1
x'2
x'3
T
B
x'1
x'2
x'3
Q x'1 x'2 x'3( ) simplifyx'1
2
5
5 x'22
26
13 x'32
40
Deoarece toti coeficientii expresiei analitice canonice sunt pozitivi, formapatratica Q este pozitiv definita.
2) Determinarea bazei B' in care Q are expresia analitica canonica.
Baza B' se cauta de forma
f1 c1 1 e1=
f1 c1 2 e1 c2 2 e2=
f3 c1 3 e1 c2 3 e2 c3 3 e3=
unde
e1
1
0
0
e2
0
1
0
e3
0
0
1
sunt vectorii bazei canonice a spatiului R3.
71
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Coeficientii ci,j se determina din relatiile de mai jos
c1 11
a1 1 c1 1
1
5 c1 1 0.2
c1 2
c2 2
a1 1
a2 1
a1 2
a2 2
10
1
c1 2
c2 2
1
13
5
26
c1 2
c2 2
0.077
0.192
c1 3
c2 3
c3 3
a1 1
a2 1
a3 1
a1 2
a2 2
a3 2
a1 3
a2 3
a3 3
10
0
1
c1 3
c2 3
c3 3
3
20
1
20
13
40
c1 3
c2 3
c3 3
0.15
0.05
0.325
Atunci vectorii noii baze sunt
f1 c1 1 e1
f2 c1 2 e1 c2 2 e2
f3 c1 3 e1 c2 3 e2 c3 3 e3
72
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
f1
1
5
0
0
0.2
0
0
f2
1
13
5
26
0
0.077
0.192
0
f3
3
20
1
20
13
40
0.15
0.05
0.325
Matricea de trecere de la baza canonica la baza B' este matricea formata cuvectorii determinati mai sus.
C augment f1 f2 f3 C
1
5
0
0
1
13
5
26
0
3
20
1
20
13
40
C
0.2
0
0
0.077
0.192
0
0.15
0.05
0.325
Verificarea calculelor
CT
A C
1
5
0
0
0
5
26
0
0
0
13
40
B
1
5
0
0
0
5
26
0
0
0
13
40
73
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD
Forme patratice
Reducerea la expresia analitica canonica a unei forme patratice.Metoda valorilor proprii
In spatiul euclidian R3 notam
x
x1
x2
x3
=
si consideram forma patratica
Q x1 x2 x3 xT
A x=
unde A este matricea acestei forme in raport cu baza canonica a spatiului
A
5
2
2
2
6
0
2
0
4
Mai precis, forma patratica are expresia analitica generala
Q x1 x2 x3( )
x1
x2
x3
T
A
x1
x2
x3
Q x1 x2 x3( ) simplify 5 x12 4 x1 x2 4 x1 x3 6 x2
2 4 x32
Problema1) Determinati expresia canonica a formei patratice Q folosind metoda valorilorproprii.2) Precizati care este natura formei patratice: pozitiv definita, negativ definitasau nedefinita ca semn.3) Determinati baza ortonormata in raport cu care forma patratica Q areexpresia analitica canonica determinata la punctul 1.
74
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Solutie. Expresia analitica canonica
Expresia analitica canonica a formei patratice Q este
Q x'1 x'2 x'3( ) λ1 x'1( )2 λ2 x'2( )
2 λ3 x'3( )2=
unde 1, 2, 3 sunt valorile proprii ale matricei A.
Valorile proprii ale matricei A sunt
λ eigenvals A( )λ
8
5
2
Vectorii proprii corespunzatori sunt coloanele matricei
C eigenvecs A( ) C
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
0.5
1
0.5
1
1
2
2
1
In continuare determinam vectorii proprii care corespund fiecarei valori proprii siverificam acest lucru pornind de la definitie.
λ1 8 C 1
1
1
2
1
1
0.5
1
A C 1 λ1 C 1
0
0
0
λ2 5 C 2
1
2
1
1
0.5
1
1
A C 2 λ2 C 2
0
0
0
75
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
λ3 2 C 3 2
2
1
2
2
1
A C 3 λ3 C 3
0
0
0
Matricea C este o matrice ortogonala, adica are proprietatile
C CT
1
0
0
0
1
0
0
0
1
CT
C
1
0
0
0
1
0
0
0
1
CT
C1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
In consecinta, acesti vectori proprii formeaza o baza ortonormata a spatiului
euclidian R3 in raport cu care forma patratica are matricea
diag λ( )
8
0
0
0
5
0
0
0
2
Notam cu
x'
x'1
x'2
x'3
=
scrierea unui vector oarecare in raport cu baza formata cu vectorii proprii.Atunci forma patratica are expresia analitica
Q x'1 x'2 x'3( )
x'1
x'2
x'3
T
diag λ( )
x'1
x'2
x'3
Q x'1 x'2 x'3( ) simplify 8 x'12 5 x'2
2 2 x'32
76
Dan Caragheorgheopol Nicolae DanetUTILIZAREA CALCULATOARELOR
Daniel Tudor
Deoarece matricea A are toate valorile proprii pozitive, forma patratica Q estepozitiv definita.
Verificarea calculelor.
CT
A C
2
0
0
0
8
0
0
0
5
77