7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
1/46
3.
MODELAREA SISTEMELOR FIZICE
3.1.Introducere
Observarea i msurarea au constituit principalele mijloace prin care s-audesfurat activiti de cunoatere.
Prin apariia teoriei sistemelor s-au deschis cile apariiei i dezvoltriimodelrii.
n etapa de analiz a sistemului, construcia modelului se ncadreaz ntr-osuccesiune de etape rezultnd n final modelul matematic asociat sistemului fizic.
Definirea granielor sistemului. Toate sistemele fizice lucreaz ninteraciune cu alte sisteme. Din acest motiv este necesar s se defineascaceste granie.
Definirea ipotezelor simplificatoare / a aproximaiilor admise. Modelul trebuie
s includ ce este esenial din sistemul fizic. Dac sistemul este prea complicatutilitatea sa devine discutabil.
Stabilirea ecuaiilor de echilibru / bilan pentru sistemul fizic (sau pentrusubsistemele componente) i definirea condiiilor suplimentare.
Modul de abordare trebuie s aib n vedere ns i specificul fiecrui tip desistem n parte. De exemplu, echilibrul energetic energy balance poate avea ointerpretare fizic i una filozofic. Interpretarea fizic a echilibrului are semnificaiispecifice domeniului de aplicaie:fizic, biologie, inginerie, economie,etc.
3.2.
Legi, modele i teorii fizice
Caracteristica fundamental a sistemelor fizice o reprezint materialitatea lor.Aceasta implic micarea i existena obiectiv n spaiu i timp a sistemelor fizice.Studiul sistemelor i a proceselor fizice are la baz principiul cauzalitii: fiecare staredin lumea obiectiv este efectul unor cauze care determin univoc starea respectiv.
Sistemele fizice prezint proprieti mecanice, termice, electrice, magnetice, etc.,care pot fi analizate prin etape succesive: observaie i msurare.
Concluziile obinute n cadrul experimentelor permit generalizri referitoare lalegturile obiective ntre fenomenele fizice i a relaiilor existente ntre mrimile fizice.Aceste legturi i relaii se exprim prin propoziii, textual. Unele dintre acestea au un
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
2/46
3.2- Legi, modele i teorii fizice58
caracter fundamental i constituie enunuri axiomatice: legi, principii, postulate. Alteenunuri au un caracter derivat din primele i constituie teoreme.
Pornind de la cele precizate, legile fizicii (n sens larg, mecanic, electric, termic,etc.) se pot clasifica n:
Legi de stare care exprim relaiile dintre mrimile de stare i conexiuni dintreevenimente de stare simultane. Acestea se exprim prin ecuaii de stare: legea luiOhm, ecuaia de stare a gazelor, etc.
Legi de evoluie care exprim legturi ntre evenimente care nu sunt simultane.Ele se exprim prin ecuaii de evoluie sub forma unor ecuaii cu derivate nraport cu timpul: legea a II-a a lui Newton, etc.
Legi de conservare care exprim conservarea unor mrimi fizice pe parcursulunor transformri i n anumite condiii: legea conservrii sarcinii electrice,legea conservrii energiei, etc.n expresiile matematice ale legilor i teoremelor intervin i constante fizice de
proporionalitate:
Constante de material depind de natura fizic a sistemului iar legile care leconin se numesc legi de material;
Constante universale nu depind de natura fizic a sistemului iar legile care le
conin se numesc legi fizice generale.Strile i fenomenele fizice se caracterizeaz cantitativ cu ajutorul mrimilor
fizice. Din punctul de vedere al felului cum se introduc n fizic, mrimile fizice sempart n:
mrimi primitive, care se introduc direct pe cale experimental: lungimea,tempreatura, masa, etc.;
mrimi derivative, care se pot defini cu ajutorul altora presupuse cunoscute:viteza, acceleraia etc.Experimental se constat c ntre mrimile primitive ale unui domeniu de
cercetare exist relaii care exprim raporturile obiective existente ntre fenomenelecorespunztoare acelui domeniu.Fiecare domeniu mecanic, electric, termic, etc. este caracterizat de un anumit
numr de legi, teoreme etc.Mecanica clasic se bazeaz pe un numr de legi (postulate, principii
fundamentale) denumite i axiomele Mecanicii clasice: principiul ineriei - enunat de Galilei i reformulat de Newton care l i
denumeteLegea I;
principiul independenei aciunii forelor - indicat de Galilei este formulat deNewton care l denumeteLegea II;
principiul aciunii i reaciunii este formulat de Newton care l denumeteLegea III;Un numr de enunuri sunt recunoscute n literatur sub denumirea de teoreme:
teorema ariilor, teorema celor trei centre instananee de rotaie, teorema conservriienergiei, teorema impulsului, teorema micrii centrului de greutate, teorema variaieienergiei cinetice, etc.
Teoria macroscopic a fenomenelor electrice i magnetice are 12 legi
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
3/46
MODELAREA SISTEMELOR FIZICE - 3 59
importante: 9 sunt legi generale i 3 sunt legi de material (fig.3.1).
LEGI Legile teorieimacroscopice afenomenelor fizice
Legi generale Legi de material
- legea induciei electromagnetice- legea circuitului magnetic- legea fluxului electric- legea fluxului magnetic- legea legturii dintre inducie, intensitatei polarizaie (n cmpul electric)
- legea legturii dintre inducie, intensitatei magnetizaie (n cmpul magnetic)- legea conservrii sarcinii electrice- legea transformrii de energie ncorpurile parcurse de curent electric(Joule-Lentz)- legea electrolizei
- legea polarizaiei electricetemporare- legea magnetizaiei temporare- legea conduciei electrice (Ohm)
Fig. 3.1 Legi i teoria macrocopic a fenomenelor electrice i magnetice
3.3.Modelarea sistemelor
3.3.1.Introducere n modelare
O noiune important, similar cu cea de sistem, o reprezint noiunea de model.Formularea unei teorii se poate echivala cu construirea modelului iar teoria ar puteadefini modelul realitii analizate. Modelul va reprezenta sub o form utilizabil,aspectele eseniale ale sistemului existent. n domeniul tehnic modelul este ntlnit iutilizat printre altele i n scopul proiectrii.
Semnificaia noiunii de simulare este corelat cu cea de model / modelare idifer n funcie de contextul domeniului n care se utilizeaz. Din multitudinea dedefiniii, am ales dou care le considerm c exprim cel mai bine coninutulconceptului:
Un proces de imitare a unui fenomen real pe baza unui set de formule
matematice [3.18], [3.26]. Funcionarea / operarea unui model n aceeai manier ca un sistem dat cnd
acesta este caracterizat de un set de intrri [3.27].Experimentatorul, n multe cazuri, a dobndit apriori unele cunotine printr-o
nelegere fizic a procesului ce se examineaz. Acestea pot da informaii asuprastructurii unui model conceptual pentru acel proces i probabil chiar o cunoatereaproximativ a parametrilor acestui model.
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
4/46
3.3- Modelarea sistemelor60
Avem nevoie de un model pentru comportare static sau comportare dinamic, aunui model complet neliniar sau liniarizat ? Rspunsul la ntrebare poate s implice
criterii privind precizia dorit, abordarea dinamic sau static etc. Modelul trebuierealizat separat de proces cu hrtia i creionul plecnd de la legi fundamentale iexperimente izolate, sau se poate lucra n cadrul procesului cnd ni se permite sefectum experiene cu procesul existent ? Ce consideraii economico-financiaretrebuie avute n vedere ?
Din acest moment numrul de ntrebri crete exponenial i problema secomplic. Iat cteva dintre alte ntrebri posibile:
Cum se va aprecia calitatea modelului ?
Cum se vor folosi n model toate cunotinele pertinente ? Care este strategia optim pentru a obine cunotinele care lipsesc ? Cum se vor trata neliniaritile ? Cum se poate exprima un sistem complex printr-unul simplu ?
3.3.2.
Categorii de modele matematice
Clasificarea modelelor poate fi abordat pe baza mai multor criterii repartizate ndou categorii, funcie de ponderea reprezentat:ponderea de model sau cea de sistem[3.18]. n prima categorie se pot include aspectul de esen (configuraie geometricsau comportament), materialitatea (abstract, ideal sau material, fizic), natura(conceptual, informaional, similar, analog) i structura (sintetic, structurat). Din a douacategorie se pot meniona: variaia n timp ca semnal (continuu, discret, discontinuu),mod de descriere (orientat pe ecuaii, orientat pe blocuri), predictibilitate (stohastic,determinist), variaia n timp a parametrilor (static, dinamic), liniaritatea operatorilor(linear, neliniar).
Analizm n continuare cteva categorii de modele:Modele liniare i neliniare. Distincia dintre cele dou categorii este dat de
principiul suprapunerii efectelor. Acesta este valabil numai n primul caz i serefer la relaia dintre variabilele dependente de timp.
Modele parametrice i neparametrice.Prima variant are n vedere o presupusdescriere matematic a dinamicii procesului n spaiul parametrilor.Coordonatele acestui spaiu sunt valorile numerice ale parametrilor modelului,considerai ca ieiri ale acetuia. A doua varianta are n vedere modul dedefinire a sistemului astfel c problema modelrii const n a gsitransformarea de la spaiul funciilor de intrare la spaiul funciilor de ieire icare caracterizeaz sistemul. n acest caz nu se folosete nici o informaiedespre natura fizic a sistemului iar modelul se numete model neparametric.
Modele intrare ieire i modele de stare. Reprezentarea funcionalitii unuisistem se poate realiza pe baza conceptului mrimii de intrare )(tu , a mrimii
de ieire )(ty i a mrimii de stare )(tx . Reprezentarea intrare - ieire esteavantajoas n cazul sistemelor dinamice liniare pentru care se pot aplicatransformrile Laplace i Fourier. Reprezentarea pe baz de starea sistemuluiprezint faciliti n analiza i sinteza sistemelor automate n domeniultimpului.
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
5/46
MODELAREA SISTEMELOR FIZICE - 3 61
Modele invariante i variante n timp. Modelele invariante sunt cele construitepe baza unor parametri constani.
Modele continue i modele discrete n timp
Modele n domeniul timp i n domeniul frecvenelor
Modele deterministe i modele stohastice. Posibilitatea determinrii cuexactitate a mrimii de ieire pe baza unei mrimi de intrare cunoscute sau unmodel care nu conine elemente aleatoare i care determin n mod cert stareasau evoluia fenomenului studiat n functie de variabilele luate in consideraredefinesc un model determinist. Modelul n care intervin, pe lng variabilelemsurabile sau observabile, una sau mai multe variabile aleatoare,corespunztor efectului posibil al factorilor necontrolai prin variabilelespecificate n model definete un model stohastic.
Modele cu parametri concentrai i modele cu parametri distribuii. Denumireade parametri distribuii este opus celei de parametrii concentrai i are n
vedere modul n care structura sistemului este luat n considerare. Mecanicateoretic admite studiul unui corp ca fiind redus la examinarea micrii unuipunct material atunci cnd nu ne intereseaz forma corpului i dimensiunileacestuia. Masa corpului se consider concentrat n punctul material. Unexemplu edificator este prezentat n figura 3.2 n care masa autoturismului seconsider concentrat n centrul de mas.
Fig. 3.2 Exemplificarea parametrului concentrat
Adeseori ns, n calculul de mecanicmasa unui corp nu se poate considera cafiind concentrat fiind necesar admiterea unei distribuiia acesteia pe o suprafa saupe o lungime. Exemple similare se pot da i pentru sistemele hidraulice, termice etc.
Domeniului electric i sunt specifice circuite formate din diverse componente:rezistoare, bobine, condensatoare, diode, tranzistoare, amplificatoare operaionale,baterii, motoare s.a.m.d. Unui circuit fizic format din astfel de componente i seasociaz circuitul electric alctuit din modele idealizate denumite elemente de circuitpentru care se consider un parametru concentrat fiecrei componente n parte. n altecazuri este necesar o abordare spaial a modului de reprezentare a parametrilor unorcomponente i n acest caz avem un model cu parametrii distribuii.
Modele cu o singur intrare, o singur ieire i modele multivariabile. Funciede sistemul analizat se pot realiza modele o intrare o singur ieire (SISO),modele cu mai multe intrri o singur ieire (MISO) sau mai multe intrri
mai multe ieiri (MIMO).Un model matematic se poate ncadra n mai multe astfel de categorii. Urmeaz
ca utilizatorul / proiectantul s decid asupra acelui model care s permit atingereascopului urmrit.
Mg
=
Mg
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
6/46
3.3- Modelarea sistemelor62
3.3.3.
Elementele modelului matematic
Sistemele fizice pot fi analizate n baza unui concept comun legat de energiatransferat ntre intrarea i ieirea sistemului. n acest concept energia este introdus nsistem prin intermediul unei borne / poart (port) energetice. O born asemntoare sepoate considera i pentru evaluarea rspunsului sistemului (fig.3.3)[3.24]. Estenecesar n acest concept i precizarea variabilelor de sistem care s defineasc ct,cum i n ce sens are loc transferul energetic.
Surs VizualizareSISTEM
Port energetic Port energetic
Fig. 3.3 Introducerea energiei n sistem i portul energetic
Un exemplu simplu de transfer energetic ntre o surs de energie (de ex. obaterie electric, o surs de putere din laborator, etc.) i o simpl rezisten electriceste prezentat n figura 3.4. n contextul celor specificate anterior i a figurii 3.3semnificaiile elementelor componente din figura 3.4 este urmtoarea: sursa de putereeste echivalent sursei, rezistorul este sistemul iar poarta energetic coincide cuperechea de fire conductoare. Puterea debitat pe rezistor este :
UIP= ( 3.1)iar energia livrat ntre momentele de timp 0=t i 1tt= va fi:
=1
0
t
UIdtW ( 3.2)
SURS DEENERGIE
ELECTRICU
I
R
Fig. 3.4 Transmisia de energie ntr-un circuit electric simplu
Exemple asemntoare se pot considera i pentru sisteme de alt natur fizic.Lund n considerare aceste considerri se poate concluziona c este necesarprezentarea unei analogii ntre diversele sisteme fizice.
Pentru a extinde conceptul de transfer energetic este necesar s fie examinate icomponentele n baza crora se realizeaz construcia sistemului fizic.
Studiile, referitoare la abordarea concentrat a parametrilor unor sisteme, conducla urmtoarea clasificare a elementelor de manipulare a energiei [3.24]: surse de energie; elemente pentru stocare de energie; elemente disipatoare de energie.
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
7/46
MODELAREA SISTEMELOR FIZICE - 3 63
3.3.4.
Dezvoltarea modelului dinamic
Echilibrul energetic energy balance poate avea semnificaii specificedomeniului de aplicaie:fizic, biologie, inginerie, economie,etc.Energia unui sistem fizic este o mrime fizic de stare, caracteriznd sistemul
ntr-o stare staionar. Din energia total a unui sistem se pot separa anumite forme deenergie, care depind de o anumit clas de mrimi de stare mrimi mecanice,electrice, magnetice etc. Modificarea strii unui sistem fizic este denumittransformare. Fiecare transformare conduce la modificarea valorii diferitelor forme deenergie care caracterizeaz sistemul fizic. n conformitate cu cele specificate nfizic,bilanul energetic este o prezentare sistemic a fluxului energetic i a transformrilordin sistem. Baza teoretic este prima lege a termodinamicii: Variaia energiei interneWia unui sistem fizic, la trecerea dintr-o stare n alta 12 WW este egal cu sumadintre variaia lucrului mecanic L i variaia cantitii de cldur Q schimbat desistem cu exteriorul.
ntr-o form generalizat, bilanul material se poate exprima prin: rata deschimb a materiei n sistem este egal cu fluxul net a materialului (fig.3.5). Termenulde materie are o semnificaie generalizat definind energie, mas, impuls.
Fluxul net este suma algebric ntre fluxul de intrare i cel de ieire la care seadaug materia generat n sistem (de ex.: generare de energie prin reacii chimice).
( )( ) ( ) ( )genies
dt
materiald+= int
"" ( 3.3)
n domeniul mecanic, multe probleme de analiz se rezolv folosind teoremelebilanului / echilibrului energetic / cldur, echilibrului de mas, echilibruluiimpulsului, echilibrului entropiei.
MATERIEACUMULAT
DEBIT DE
INTRARE int DEBIT DE
IEIRE ies
MATERIE GENERAT
( )gen
Fig. 3.5 Bilanul material
Ecuaia fundamental a dinamicii unui rigid, sub aciunea unor solicitri reale exterioare active, exterioare pasive i interioare - are o form recunoscut:
intdFdFdFadm pa ++= ( 3.4)
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
8/46
3.3- Modelarea sistemelor64
Aceast ecuaie conduce, prin unele transformri la o serie de teoremefundamentale ale dinamicii rigidului:
Teorema energiei sub forma general:
pa PPdt
dE+= ( 3.5)
cu urmtoarea formulare: derivata n raport cu timpul a energiei cinetice a unui rigid nmicare este egal cu suma puterilor mecanice ale tuturor solicitrilor exterioare, activei pasive, la care este supus rigidul.
Notnd cuEcenergia cinetica sistemului la un moment dat t,teorema energieicineticesub form diferenial se scrie sub forma:
dLdEc= ( 3.6)
ceea ce nseamn c variaia elementar a energiei cinetice a sistemului are loc prin
intermediul lucrului mecanic elementar al tuturor forelor ce acioneaz asuprasistemului la momentul t: fore elastice, fore de amortizare, fore perturbatoare.
Teorema energiei se poate formula n mod matematic sub forma:
'dLdEEEd mpc ==+ ( 3.7)
unde pcm EEE += este energia mecanic a sistemului. Variaia elementar a energieimecanice are loc prin intermediul lucrului mecanic elementar al forelor de amortizarei perturbare ce acioneaz asupra sistemului [3.23].
Teorema conservrii energiei mecanicese poate scrie sub forma:
.00 constEEEEE pcpcm =+=+= ( 3.8)
Teorema impulsurilor sub forma general:
pa FFdt
pd+= ( 3.9)
cu formularea: derivata, n raport cu timpul a impulsului unui rigid n micare, esteegal cu rezultanta tuturor forelor exterioare, active i pasive, care acioneaz asuprarigidului respectiv. Relaia anterioar, dup transformri, permite enunarea legii deconservare a impulsului:
0pvMp G== ( 3.10)
unde p0 este impulsul iniial al rigidului, M este masa rigidului iar vG este vitezacentrului de mas.
Energia electromagnetic este forma de energie care depinde de mrimile destare ale cmpului electromagnetic. Ea se poate descompune n energie electric, caredepinde numai de mrimile electrice ale cmpului i energia magnetic care depinde demrimile magnetice ale cmpului. Concepia despre cmpul electromagnetic consideratca sistem fizic capabil s schimbe, s acumuleze i s transmit energie, permite s se
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
9/46
MODELAREA SISTEMELOR FIZICE - 3 65
interpreteze energetic o consecin a ecuaiilor lui Maxwell, numit teorema energieielectromagnetice.
Legea de conservare a sarcinii electrice adevrate. Intensitatea instantanee acurentului electric de conducie i, care iese din orice suprafa nchis , este egalcu viteza instantanee de scdere n timp a sarcinii electrice adevrate qdin interiorulsuprafeei presupuse antrenat de corpuri n micarea lor:
dt
dqi = ( 3.11)
Legea de conservare a sarcinii electrice (raportat la o suprafa nchis) are oform de exprimare asemntoare cu rel. (3.9).
Din relaia (3.11) pentru regim staionar rezult prima teorem a lui Kirchhoffpentru un nod de reea:
=
K K
I 0 ( 3.12)
A doua relaie cu utilitate extins, pentru regim staionar, este a doua teorem alui Kirchhoff :
=k
kk
k
ek IRU ( 3.13)
n interiorul unei suprafee nchise delimitat dintr-un cmp magnetic, n care segsesc corpuri imobile (v = 0), cu proprieti de material liniare este localizat oenergie electromagnetic We-m:
dVWV
me
+= 2
BHED ( 3.14)
Din principiul de conservare al energiei rezult c orice variaie n timp a striisistemului fizic, pe care l constituie cmpul electromagnetic din interiorul suprafeeiadmise, trebuie s fie egal cu puterea cedat de acest sistem altor sisteme fizice:
+= PPdt
dWI ( 3.15)
undePIeste puterea transmis de cmp corpurilor n procesul de conducie iar Pesteputerea transmis n cmp prin suprafaa nchis.
ntr-o transformare de energie electric n energie mecanic apare i o conversiede energie electric n energie termic prin efect Joule. Acest efect are un caracterireversibil. n bilanul energetic intervin astfel forme de energie electric,electrostatic, magnetic, mecanic i termic :
magestmecel dWdWdWdWdW +++= ( 3.16)
unde termenii reprezint: variaia energiei electrice :
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
10/46
3.3- Modelarea sistemelor66
dtiudW jj
jel = ( 3.17)
variaia energiei mecanice :
k
k
kmec dxFdW = ( 3.18) variaia energiei termice :
dtiRdWj
jjt = 2 ( 3.19) variaia energiei magnetice dWmag. variaia energiei electrostatice (este localizat n cmpul electric din spaiul
dintre plcile unui condensator):
m
m
mi
i
ies dxFQudW =
( 3.20)
unde Qiare semnificaia sarcinii electrice.Teorema forelor generate n cmpul electromagnetic sunt o expresie a extensiei
legilor de bilan energetic n aciunea de modelare matematic a unui sistemelectromecanic. Fora generalizatXk, ce se exercit n cmpul electrostatic produs deun sistem de h conductoare, ncrcate cu sarcini adevrate i situate ntr-un mediudielectric liniar, asupra unuia dintre aceste conductoare i care acioneaz n sensulcreterii uneia dintre coordonatele sale generalizatexkeste:
ctVkctqk
kx
W
x
WX
==
=
= ( 3.21)
unde energia electric a sistemului este exprimat n primul caz n funcie decoordonatele generalizate xk i de sarcinile qk , iar n al doilea caz n funcie decoordonatele generalizate i potenialele Vk.
3.3.5.Echilibrul masei de material
n multe procese industriale este important modelul echilibrului masei dematerial. Ecuaia echilibrului masei de material are forma structural:
iesiredemasaintraredemasaacumulatamasa = ( 3.22)
Echilibrul masei se poate aborda ca un echilibru a masei totale, un echilibru amasei elementelor componente, etc.
3.3.5.1.
Exemplul de calculSe consider un rezervor cu lichid prezentat n figura 3.6. Se cere s sedetermine variante de model matematic a sistemului imaginat.
Reprezentarea fizic a sistemului, cu precizarea parametrilor, este dat n figura3.7. Delimitarea sistemului este sugerat prin schema bloc din figura 3.7 unde debitul
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
11/46
MODELAREA SISTEMELOR FIZICE - 3 67
de intrare Q1i debitul de ieire Q2sunt variabilele de intrare n sistem iar nlimea h alichidului este variabila de ieire.
Q2
Q1
h
Fig. 3.6 Delimitarea sistemului
REZERVOR -LICHID
Q1
Q2 h
Fig. 3.7 Reprezentarea sistemic a rezervorului de lichid
Construcia modelelor matematice are n vedere: Ipoteze simplificatoare:
Densitatea a fluidului este constant; Lichidul este incompresibil; Rezervorul este poziionat vertical; Seciunea transversal a rezervorului este circular, constant;
Parametrii din sistem: Debitul volumic de intrare Q1[m
3/s] i a celui de ieire Q2 [m3/s] ;
h [m] nivelul lichidului n rezervor; m [kg] masa de lichid ; A [m2] aria transversal ; V [m3] volumul de lichid.
Ecuaia de bilan (3.3) aplicat pentru masa unui sistempoart de numirea deechilibrul masic i are forma :
( )=
i
miQdt
tdm ( 3.23)
unde m[kg] este masa, Qmi [kg/s] este debitul masic iar t[s] este parametrul timp.Particularizat pentru cazul echilibrul masic de lichid din rezervor, ecuaia anterioarare forma :
( ) ( ) ( )tQtQdttdm 21 = ( 3.24)
Ecuaia diferenial (3.24) (n m) este modelul matematic al sistemului iar esteparametrul modelului. Exist o condiie suplimentar pentru ecuaia anterioar, 0m .Prin rezolvarea analitic sau numeric a ecuaiei (3.24) se obine modul de variaie a
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
12/46
3.3- Modelarea sistemelor68
masei de lichid n timp.ntre parametrii geometrici ai rezervorului i masa de lichid din rezervor exist
relaia simpl:
( ) ( ) ( )tAhtVtm == ( 3.25)
Ecuaia diferenial (3.24) se poate transforma, pe baza relaiei (3.25):
( )( ) ( )[ ]tQtQ
Adt
tdh21
1= ( 3.26)
cu condiia suplimentar 0h . Ecuaia diferenial (3.26) este o alt form deexprimare a modelului matematic pentru sistemul analizat.
Admind c variabila Q2 depinde de nivelul lichidului din rezervor nu maieste o variabil independent, se poate scrie:
( ) ( )tghKtQ =2 ( 3.27)astfel c bilanul masic poate fi exprimat prin ecuaia diferenial:
( )( ) ( )tghKtQ
dt
tdm = 1 ( 3.28)
Ecuaia diferenial (3.28) se constituie ntr-un nou model matematic alrezervorului de lichid.
Observaie. Modelul construit poate prezenta i alte dezvoltri dac se ia nconsiderare i influena rezistenei de curgere a lichidului asupra debitului realizat.
3.3.5.2.
Exemplul de calculSe consider un rezervor aflat ntr-un proces dinamic de alimentare cu lichid
(fig.3.8). Debitul masic de intrare i respectiv ieire sunt qin[1skg ] i qe[ 1skg ].
Se cere s se scrie ecuaia de echilibru care caracterizeaz sistemul.Ecuaia care descrie echilibrul din sistem este:
ein qqdt
dM=
( 3.29)
unde m[kg] este masa total din rezervor.qin
qe
Fig. 3.8 Rezervor cu o singur component
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
13/46
MODELAREA SISTEMELOR FIZICE - 3 69
3.3.5.3.
Exemplul de calcul
Se consider sistemul din figura 3.9 prevzut cu o supap de alimentare V, dourezervoare i dou puncte de msurareR1iR2. Semnificaiile notaiilor sunt identicecu cele prezentate anterior.
Se cere determinarea modelului matematic al acestui sistem.
q1
q2
q3
L1
L2
1
2
R1
R2
V
Fig. 3.9 Sistem cu dou rezervoare
Sistemul include o singur mas (lichid) de transferat. Pe durata de timp dt,echilibrul masei de lichid are la baz urmtoarele ecuaii:
rezervorprimulacumularetqtq = dd 21 ( 3.30)
doirezervorulacumularetqtq = dd 32 ( 3.31)
Acumularea corespunde variaiei volumului de lichid din fiecare rezervor:primul rezervor: 11dLA
al doilea rezervor: 22dLA undeA1i A2reprezint ariile transversale ale celor dou rezervoare.
Din ecuaiile anterioare se pot scrie relaiile:
dt
dLAqq 1121 =
( 3.32)
dt
dLAqq 2232 =
( 3.33)
n acord cu legea lui Bernoulli, referitor la debitul de ieire a unui lichid dinrezervor, se pot scrie relaiile:
112 Lkq = ( 3.34)
223 Lkq = ( 3.35)
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
14/46
3.3- Modelarea sistemelor70
n final se obin relaiile:
dtdLALkq 11111 =
( 3.36)
dt
dLALkLk 222211 =
( 3.37)
Model matematic este neliniar i impune liniarizarea.
3.3.5.4.
Exemplul de calcul
Se consider un rezervor cu lichid n amestec cu o concentraie ][ 3kgmC transferat. Se cere exprimarea matematic a echilibrului masic a componentei(fig.3.10).
Considernd volumul de lichid V, se poate exprima masa total a componentei
din rezervor:( )
qCqCdt
VCd= 1
( 3.38)
Dac volumul este constant, relaia anterioar se poate scrie sub forma:
1CCdt
dC
q
V+=
( 3.39)
q
q
V
C1
CFig. 3.10 Dinamica concentraiei de lichid ntr-un rezervor
Notnd, ntr-o analogie cu un circuit electric R-L, constanta de timp cu qV=se poate scrie soluia ecuaiei difereniale (3.38):
( )
=
teCtC 11
( 3.40)
3.3.5.5.
Exemplul de calculSe consider sistemul din figura 3.14. Acesta este compus din dou rezervoare carecomunic ntre ele. Fiecare rezervor are posibilitatea controlului debitelor de intrare q1
i q2 ale fluidului. Seciunea transversal a celor dou rezervoare se consider constanti egal cu A[m2]. Se admite c debitul de ieire q3 este un factor perturbator careacioneaz asupra sistemului. Schema bloc a sistemului este prezentat n figura 3.11.Acest sistem este caracterizat prin dou variabile de intrare, dou variabile de ieire imrimea perturbatoare q3.(fig.3.12).
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
15/46
MODELAREA SISTEMELOR FIZICE - 3 71
L1L2
1 q32 R
q1
V
q2
V
L3
Fig. 3.11 Dou rezervoare comunicante
SISTEM DIN DOUREZERVOARE
q1
q2
L1
L2
q3
Fig. 3.12 Schema bloc a sistemului
Pentru stabilirea modelului este necesar analiza echilibrului masei acumulate nfiecare rezervor n intervalul de timp dt:
Variaia volumului de lichid coninut n primul rezervor este egal cu diferenadintre volumul de lichid coninut asociat cu debitul de alimentare a acestuia q1i volumul de lichid schimbat cu cel de-al doilea rezervor (debit q):
( ) rezervorprimuldinlichiddevolumuluivariatiadtqq =1 ( 3.41)
Variaia volumului de lichid coninut n al doilea rezervor este egal cu diferenadintre volumul de lichid coninut asociat cu debitul de alimentare a acestuia q2plus volumul schimbat cu primul rezervor i volumul de lichid eliminat q3
( ) rezervordoileaaldinlichiddevolumuluivariatiadtqqq = 21 ( 3.42)Avnd n vedere cele precizate anterior, relaia lui Bernoulli (pentru dependena
debitului de fluid care se scurge dintr-un rezervor i nlimea fluidului n rezervor) istabilind sensul de schimb al fluidului dintre rezervorul 1 i 2 prin semnul diferenei
)]()([ 21 tLtL se stabilete sistemul de ecuaii care descrie dinamica sistemuluianalizat:
[ ] [ ])()()()(sgn)(
2112111 tLtLktLtLqdt
tdLA = ( 3.43)
[ ] )()()()()()(sgn)(
3222112122 tLtLktLtLktLtLqdt
tdLA +=
3.3.6.
Bilanul energetic ntr-un sistem termic
3.3.6.1.
Introducere
Legea bilanului (3.3) aplicabil sistemelor termice devine ecuaia bilanului
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
16/46
3.3- Modelarea sistemelor72
energetic:
( )( )tQdt
tdE
ii= ( 3.44)
unde E[J] este energia termic, Qi[J/s] este fluxul energetic iar t[s] este timpul.Energia termic se definete printr-o relaie de forma:
CTVTccmTE === ( 3.45)
unde T [K] este temperatura, c [J/(kgK)] este cldura specific, m[kg] este masa, V[m3]este volumul, [kg/m3] este densitatea iar C [J/K] este capacitatea caloric. Ecuaiabilanului energetic se poate astfel scrie:
)(tQdt
dTC
ii= ( 3.46)
3.3.6.2.
Exemplu de calculSe consider sistemul termic prezentat n figura 3.13 n care lichidul este adus la
temperatura T2.
T1, c, q T2, q
P[J/s]
U[(J/s)/K]
T0
V,T2
Fig. 3.13 Sistemul termic
Analiza sistemului are loc admind urmtoarele ipoteze: lichidul din rezervor este omogen (sistemul de omogenizare nu este reprezentat); debitul la intrare i ieire sunt egale, rezervorul fiind plin cu lichid;n mod ideal, elementul de nclzire nu stocheaz energie ci o transfer integral
lichidului. n cazuri reale trebuie luat n considerare eficiena acestui transfer.Semnificaia notaiilor este urmtoarea: P [J/s] este puterea preluat de lichid de
la elementul de nclzire; T0este temperatura mediului ambiant.Echilibrul energetic se bazeaz pe schimbul urmtoarelor fluxuri energetice:
energia preluat de lichid de la elementul de nclzire :
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
17/46
MODELAREA SISTEMELOR FIZICE - 3 73
)(1 tPQ = ( 3.47)
energia nmagazinat n lichidul de intrare:( ) ( )tTtcqQ 12 = ( 3.48) energia nmagazinat n lichidul de ieire:
( ) ( )tTtcqQ 23 = ( 3.49) energia schimat de sistemul termic cu mediul exterior (nspre sau de la mediul
exterior):[ ])()( 204 tTtTUQ = ( 3.50)
Ecuaia (3.44) pentru bilanul energetic se particularizeaz sub forma:
4321
)(QQQQ
dt
tdE++= ( 3.51)
i innd cont de (3.44) (3.50) devine :
( )20212 TTUcqTcqTP
dt
dTVc ++= ( 3.52)
sau
( )[ ]20212 1 TTUcqTcqTP
Vcdt
dT++=
( 3.53)
Ecuaia bilanului energetic (3.53) se poate particulariza dac: sistemul termic este izolat fa de mediu, astfel c 04 =Q ; dac se consider randamentul elementului de nclzire, puterea transferat va
fi :
( )tPtP c=)( ( 3.54)
3.3.7.Bilanul energetic ntr-un circuit electromagnetic
Considerm circuitul magnetic liniar din figura 3.14 compus din cadrul magnetic1 i nfurarea 2 avnd N spire i rezistena electric R . nfurarea estealimentat la tensiunea )(tu i este parcurs de curentul ).(ti
u
i
R
12
,B
Fig. 3.14 Circuit magnetic liniarEcuaiile circuitului magnetic liniar:
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
18/46
3.4- Modele n aplicaiile mecatronice74
dt
dNRiu
+= ( 3.55)
LiN = ( 3.56)
dt
diLRiu += ( 3.57)
permit dup nlocuiri, nmulire cu idti integrare s se obin:
+= niddtRiuidt 2 ( 3.58)
+=ttt
niddRiuid00
2
0
( 3.59)
Aceast relaie scoate n eviden bilanul energetic din circuitul analizat: primul
termen reprezint energia furnizat de surs, al doilea termen cuantific energiadisipat sub form termic iar al treilea termen este echivalent energiei magneticestocate n circuitul magnetic.
3.4.
Modele n aplicaiile mecatronice
3.4.1.
Introducere
Conceptul de mecatronic i implicit de sistem mecatronic a generatcontroverse, discuii, analize i diverse abordri. Rspunsurile la modul de definire amecatronicii au aprut n timp prin diverse definiii abordate la nivelul colectivelor decercetare i proiectare i care au fost prezentate n capitolul 2.
Modul de reprezentare i identificare a elementelor componente este extrem de
divers. O variant de reprezentare pentru un sistem mecatronic este ilustrat n figura3.15 [3.5]. Se evideniaz prezena a patru subsisteme componente: subsistemulmecanic, subsistemul informaional, subsistemul electric i subsistemul de calcul.
Simulare imodelare
Control
Optimizare
Subsistemulinformaional
+Subsistemmecanic
Actuatoare
Senzori
Subsistemelectric
Subsistem de calcul
D / A A / D
Fig. 3.15 Sistemul mecatronic
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
19/46
MODELAREA SISTEMELOR FIZICE - 3 75
Indiferent de abordrile mai mult sau mai puin complexe avute n vedere, se potpreciza detaliile generale pentru sistemul mecanic i cel electric din componena
hipersistemului mecatronic.
3.4.2.
Modelul sistemului mecanic
3.4.2.1.
Generaliti privind sistemul mecanicLumea fizic este alctuit din materie n permanent micare i transformare n
spaiu i timp. Cea mai simpl form de micare a materiei o constituie deplasareareciproc a corpurilor materiale de dimensiuni uzuale. Sistemul mecanic este implicatn transmiterea micrii cu anumii parametri. Aceste sisteme se clasific n sistemerigide, deformabile i fluidice.
Sistemele de corpuri rigide se refer la corpuri i legturi perfect rigidecaracterizate prin aceea c distanele relative dintre elementele care le altuiesc nu semodific n procesul micrii mecanice. ntr-o serie din sistemele actuale aceastcategorie este mai puin posibil de utilizat.
Sistemele deformabile iau n considerare deformaiile din sistem pe parcursuldesfurrii procesului. Analiza materialelor recomandate pentru aceste sisteme i ainfluenelor deformaiilor din sistem asupra micrii sunt domenii de interes.
Sistemele fluidiceopereaz cu fluid de lucru n micare sub presiune. Acest fluidpoate s fie lichid sau gaz
n cadrul procesului mecanic, care este parte component a sistemuluimecatronic, exist diverse variante de fluxuri materiale, energie sau informaional(fig.3.16).
PROCESMECANIC
ENERGIE
MATERIE
INFORMATIE
ENERGIE
MATERIE
INFORMATIE
Fig. 3.16 Forme de fluxuri n procesul mecanic
Sistemul mecanic particip n mod direct la procesul mecanic regsindu-se subuna din formele de prezentare a tiinei mainilor (fig.3.17).
TIINAMAINILOR
CONSTRUCIADE MAINI
CONSTRUCIADE APARATE
MECANICFIN
Elemente constructive(rulmeni, transmisii, etc)
Maini de for Maini de lucru Autovehicule
Actuator Senzor
Echipamenteelectronice
Etc.
Aparate termice Aparate chimice
Aparate mecnice
Fig. 3.17 Sistemul mecanic i tiina mainilor
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
20/46
3.4- Modele n aplicaiile mecatronice76
Desfurarea procesului mecanic are loc pe baz de aport de energie. Energiaunui sistem fizic este o mrime de stare caracteriznd sistemul ntr-o stare staionar.
Starea unui sistem (este i cazul sistemului mecanic) este definit de totalitateaproprietilor acestuia la un moment dat. Adeseori n analiza sistemelor mecanice sefac unele ipoteze simplificatoare: absena frecrilor, absena vscozitii pentru fluide,etc. n toate aceste cazuri micarea apare ca fenomen pur mecanic. Caracteristic pentruastfel de fenomene este faptul c pe tot cursul lor, energia se conserv.
Un corp al crui dimensiuni sunt neglijabile fa de distanele la corpurilenconjurtoare se definete ca i punct material. Acesta este caracterizat numai prinmasa sa. Punctul material nu este un obiect fizic real; el este un model folosit n studiulanumitor fenomene. Punctul material nu efectueaz micri de rotaie n jurul vreuneiaxe. Un sistem de puncte materiale supuse la legturi reciproce fore de interaciune astfel nct s formeze un ntreg, mai mult sau mai puin stabil, mai mult sau maipuin deformabil se numete sistem mecanic.
Sistemul mecanic se poate structura n urmtoarele componente: element masic(punct material, corp rigid); elemente de mbinare(bare, arcuri, curele, amortizoare);elemente constructive(lagr de alunecare, rulmeni, transmisii, cilindru cu piston, etc..)
Folosind reprezentarea sistemic, se poate preciza c un sistem mecanic mobileste compus din trei componente: elementul motor (surs de energie), transmisiamecanic i elementul condus (consumator) (figura 3.18) [3.7].
Elementmotor
Transmisiemecanic
Elementcondus
Fig. 3.18 Sistem mecanic mobil
Interaciunea dintre corpuri implic ideea de evoluie i de conexiune spaial itemporal i se manifest ca fenomene guvernate de legi fizice. Mrimea fizic care
exprim n mod cantitativ interaciunea mecanic a corpurilor este fora. Fora n sensgeneralizat caracterizeaz mrimea, direcia i sensul unei interaciuni.Micarea unui sistem de puncte se raporteaz n general la un reper, care este
presupus, n mod convenional,fix. Orice reper care nu este solidar cu reperul fix esteconsiderat mobil.Micarea sistemului de puncte n raport cu un reper fix se numetemicare absolut, iar micarea aceluiai sistem fa de un reper mobil se numetemicare relativ.
Un rigid are o micare plandac un plan al su este obligat s rmn paraleltot timpul cu un plan fix din spaiu. Sistemul mecanic mobil din figura 3.19 estecompus din elementele 1, 2, 3, 4care se mic ntr-un plan orizontal
Fig. 3.19 Sistem mecanic mobil plan
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
21/46
MODELAREA SISTEMELOR FIZICE - 3 77
Reperul fix fa de care se analizeaz micarea este ataat elemntului 0[3.6].Dac puncte ale rigidului descriu traiecorii n diferite plane, micarea este
spaial. Punctul caracteristicPpoate descrie o micare spaial n raport cu reperul fixOxyz (fig.3.20)
O
x
y
z
Fig. 3.20 Sistem mecanic mobil (robot industrial) cu micare spaial a punctului caracteristic P
3.4.2.2.
Modelarea sistemului mecanic aflat n micare plan
3.4.2.2.1. Modelarea micrii de translaie
Micarea plan a rigidului, considerat ca elemnt component a sistemuluimecanic, prezint cteva micri particulare: micarea de translaie, micarea derotaie, micarea elicoidal, micarea plan - paralel [3.23].
Un solid rigid are o micare de translaie dac o dreapt oarecare a rigiduluirmne n tot timpul micrii paralel cu ea nsi. n figura 3.21 se prezint translaiarectilinie a unui rigid (micarea caroseriei unui automobil care parcurge un drumrectiliniu, micarea unui piston n interiorul unui cilindrul, micarea de avans a uneiscule n procesul de strunjire, etc.). Dou automobile conectate elastic n punctele A iB au o micare rectilinie pe un drum drept i orizontal (fig.3.22).
A
B
A1
B1
Fig. 3.21 Micarea de translaie rectilinie
Dac fiecare automobil este considerat un rigid reprezentat prin punct material (A i B)micarea ansamblului de automobile se poate considera o translaie rectilinie.
Dac traiectoria descris de punctele materiale curb plan se vorbete despre otranslaie circular (traiectoria punctului este un cerc) sau o traiectorie curbilinie.
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
22/46
3.4- Modele n aplicaiile mecatronice78
Fig. 3.22 Micarea rectilinie a dou automobile remorcate
n figura 3.23 se prezint configuraia geoemtric a translaiei rectilinii pentrupunctele A i B.
A
B
Ax
Ax
Bx
BAx
Bx x O
A
B
Ax
Bv
BAv
Bx x O
Av
a)
b)
Fig. 3.23 Poziiile i vitezele punctelor A i B n micarea de translaie rectilinie
Considernd reperul de referin fix cu originea n punctul O, Ax reprezint
distana de la punctul A la originea O. n cazul reprezentat, coordonata )(txA pe axa
Oxeste negativ n timp ce coordonata )(txB este pozitiv.Viteza absolut i acceleraia absolut a punctului A sunt:
2
2
dt
xd
dt
dva
dt
dxv
AAA
AA
==
=
( 3.60)
Poziia relativ a punctului B n raport cu punctul A, viteza relativ i respectivacceleraia relativ sunt:
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
23/46
MODELAREA SISTEMELOR FIZICE - 3 79
ABBA
ABBA
ABBA
aaavvv
xxx
= =
=
( 3.61)
3.4.2.2.2. Modelarea micrii de rotaie
Un solid rigid are o micare de rotaie dac n tot timpul micrii dou puncte,aparinnd rigidului, rmn fixe n spaiu. Dreapta care unete cele dou puncte esteaxa de rotaie.
De ex., piesa de prelucrat se rotete cu viteza de rotaie iar scula de prelucrat sedeplaseaz axial (micare de translaie) cu viteza aV (fig.3.24).
n
tF aV
Fig. 3.24 Micarea de rotaie a piesei n procesul de achiere
Rotorul unui motor electric execut, mpreun cu arborele pe care este montat, omicare de rotaie n jurul unei axe (fig.3.25a). n procesul de modelare rotorul se poateconsidera un cilindru care execut micarea de rotaie n jurul axei () (fg.3.25b).
rotor
a) b)
,
O
x
y
z
Fig. 3.25 Rotor n micare de rotaie (a) i modelul echivalent (b)
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
24/46
3.4- Modele n aplicaiile mecatronice80
Micarea de rotaie de unghi conduce la o vitez unghiular absolut (n raportcu sistemul de referin Oxyz considerat fix):
dt
d= ( 3.62)
i respectiv acceleraie absolut:
2
2
dt
d
dt
d =
= ( 3.63)
Dac elementul de legtur a rotorului (cu restul sistemului) este deformabil,cele dou capete ale elementului de sprijin se pot roti cu unghiuri diferite (fig.3.26).Arborele elastic (deformabil la torsiune) va permite, sub aciunea momentelor detorsiune exterioare, deformaiile 1 i 2 .
x
y
z
1 2
rotor
arbore elastic
Fig. 3.26 Rotor cu un arbore elastic n micarea de rotaie
3.4.2.2.3. Elementele de baz ale sistemuluimecanic
Micarea este impus n sistemele mecanice mobile de energia introdus nsistem. n acest fel se poate atinge efectul pentru care a fost proiectat sistemul.Utiliznd reprezentarea sistemic, mrimea de intrare care s caracterizeze fluxulenergetic poate fi o for (n sens generalizat for sau moment) sau o vitez(fig.3.27).
SISTEMF(t) SISTEMv(t)
a) b)
(efect) (efect)
Fig. 3.27 Variante de introducere a energiei n sistem
Pe lng sursele de energie sistemul mecanic poate dispune de urmtoareleelemente: elemente pentru stocarea temporar a energiei;
elemente disipatoare de energie.O clasificare a forelor ntr-un sistem poate n general nominalizafore active i
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
25/46
MODELAREA SISTEMELOR FIZICE - 3 81
fore reactive.Ca i exemple de fore active se pot aminti: fora gravitaional, fora elastic,
forele electromagnetice etc. Aceste fore i pstreaz sensul indiferent de sensul demicare.
Efectul elastic acumulare de energie potenial - al elementelor componentedintr-un sistem poate aparine:
unor elemente reale: arcuri, bare, plci, fluide (pneumatice, hidraulice); unor fenomene specifice din natur: efect elastic aerodinamic, efect elastic
gravitaional, efect elastic magnetic, efect elastic electrostatic, efect elasticcentrifugal.
ntre tensiunea normal , deformaia relativ i modulul de elasticitatelongitudinal E (modulul lui Young) se stabilete o relaie liniar, independent detimp energia disipat fiind egal cu zero (fig.3.28):
=E ( 3.64)
arctgE
F
t0 t
0t ta) b) c)
Fig. 3.28 Modelul corpului elastic (a dependena ; b - mod de reprezentare;c - variaia n timp a tensiunii normale i deformaiei relative
Parametrii de baz ai elementelor elastice din categoria arcurilor sunt: ncrcarea
arcului: for, moment sau presiune; sgeata - deformaia arcului ( liniar f - sauunghiular - ) pe direcia ncrcrii; caracteristica arcului; rigiditatea; constantaarcului; lucrul mecanic acumulat; erorile de caracteristic.
Caracteristica arcului se exprim printr-una din ecuaiile (fig. 3.29) (1 neliniar- moale; 2liniar; 3 neliniar dur).:
( )fPP= ( 3.65)
( )MM= ( 3.66)
Raportul c (sau c ) definit prin relaia:
]/[ mNf
PK
= ( 3.67)
]/[ radNmM
K
= ( 3.68)
se numete rigiditatea arcului. Dac K (sau K) are valoare constant se vorbetedespre constanta arcului. Inversa rigiditii definete compliana elementului elastic.
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
26/46
3.4- Modele n aplicaiile mecatronice82
b)
P
a)
P
P
1
3
f
L= P df
2
Fig. 3.29 Caracteristicile elementelor eleastice
Posibilitile energetice ale arcurilor sunt puse n eviden de lucrul mecanicacumulat (fig.3.29). Considernd o caracteristic liniar i utiliznd relaiile dedefiniie, se obin relaiile pentru lucrul mecanic:
222
22 fF
K
FfKL
=
=
= ( 3.69)
222
22
=
=
=M
K
MKL ( 3.70)
Calculul deformaiilor i a strilor de solicitare din elementele elastice serealizeaz n conformitate cu teoriile din rezistena materialelor.
Arcul pneumaticeste o variant simpl pentru susinerea elastic a unor sarcini
de valori ridicate care acioneaz asupra unui sistem. Capacitatea ridicat de amortizarel recomand pentru sisteme izolatoare ale vibraiilor.
n baza celor prezentate anterior n figura 3.30 se prezint schema dereprezentare a unui element elastic cu rigiditatea K i fora corespunztoare pentrudeplasrile liniare x1, x2ale punctelor A i B.
K2x1
A B
Fig. 3.30 Element elastic cu rigiditatea K
( )21
xxKF = ( 3.71)
n mod similar pentru micarea de rotaie, se reprezint n figura 3.31 elementulelastic de torsiune. Relaia de calcul este similar celei anterioare:
( )21 =KMt ( 3.72)
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
27/46
MODELAREA SISTEMELOR FIZICE - 3 83
K
1 2 tM
tM
Fig. 3.31 Element elastic de rotaie cu rigiditatea K
ntr-o serie de aplicaii este avantajos de a nlocui un sistem elastic cu rigiditileproprii printr-un singur element elastic care ncorporeaz caracteristicile sistemuluiiniial. Se prezint n continuare cteva din echivalrile curente:
Echivalarea a dou elemente elastice n paralel cu un singur element (fig.3.32).
1K 2x 1x
2K
Fig. 3.32 Dou elemente elastice n paralel
21 KKKe += ( 3.73)
Echivalarea a dou elemente elastice n serie cu singur element (fig.3. 33).
1K 2x 1
2K 3x
Fig. 3.33 Dou elemente elastice n serie
21
111
KKKe+= ( 3.74)
Doi arbori dintr-o transmisie cu roi dinate (fig.3.34). Cei doi arbori aurigiditile K1 i K2 i sunt conectai printr-o transmisie cu roi dinate curaportul de transmiterei. Considernd transmisia perfect rigid, se poate puneproblema determinrii rigiditii echivalente a sistemului.
Se poate demonstra c rigiditatea echivalent este:
2
2
1
11
K
i
KKe+= ( 3.75)
Dou elemente elastice conectate printr-un balansier (fig.3.35).
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
28/46
3.4- Modele n aplicaiile mecatronice84
M1
1
M2
2
K1
K2
1
2
2
1
M
Mi ==
Fig. 3.34 Arbori n serie dintr-o transmisie cu roi dinate
1K
2K 1L
2L 1x
2x
A
B
Fig. 3.35 Dou elemente elastice conectate printr-un balansier
Considernd A punctul de echivalare a sistemului elastic din figura 3.35 cu unsingur element elastic, se poate obine rigiditatea echivalent:
2
1
221
+=
L
LKKKe ( 3.76)
Disiparea de energie n sistemele mecanice mobile are loc datorit forelor defrecare dintre elemente n contact, efectelor de amortizare (activ sau pasiv).
Frecareaca i fenomen, parametrii care o determin sau care o influeneaz imodele ale frecrii au fost abordate i analizate pe scar larg. Se consider la oraactual c se poate vorbi despre un model clasic al frecrii (modelul static, dinamic saucel vscos) (fig. 3.36) i modelul modern al frecrii. Zona A definete zona dediscontinuitate a modelului pentru viteza relativ zero.
v
f
S+d+
S_
Frecare cinematic
Frecare vscoas
d_
A
Fig. 3.36 Modelul clasic al frecrii
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
29/46
MODELAREA SISTEMELOR FIZICE - 3 85
Modelul de baz Colulomb al frecrii pornete de la proporionalitatea forei defrecare cu fora normal la suprafaa de contact i de sens opus micrii (Leonardo da
Vinci). Armstrong Helouvry, Da Vinci, Amonton (1699) folosesc acelai modeldezvoltat de Coulomb n 1785. Frecarea este luat n considerare ca o for constantopus micrii pentru orice vitez diferit de zero.
Modelul Coulomb a fost dezvoltat n timp rmnnd ca o referin de baz iprimind denumirea de modelul clasic. Unul din modelele dezvoltate, modelul clasicstick-slip, este prezentat n figura 3.37.
Ff
v
Fs
1v 2v
Fd
Fig. 3.37 Modelul clasical frecrii stick-slip
Modelul modern al frecrii - modelul rolling, modelul Stribeck, modelul Stick-slip, modelul fluidic- este caracterizat de zonele {1, 2, 3}. Acesta indic prezenalubrificrii limit, a lubrificrii parial fluidice i respectiv a lubrificrii total fluidice(fig.3.38).
v
f
S+d+
S_
d_
1 2 3
A
Fig. 3.38 Modelul modern al frecrii
Modelul Dahl, modelul Karnopp, modelul LuGree (Lund Grenoble) sunt altemodele ale fenomenului de frecare.
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
30/46
3.4- Modele n aplicaiile mecatronice86
Modelul matematic al forei de frecare dintre dou corpuri aflate n contact(reaciunea dintre ele este N ) este descris de sistemul de ecuaii ( coeficientul de
frecare pentru perechea de materiale aflate n contact):
=
=+
=
NF
FFsidt
dxlaF
FFsidt
dxlaF
dt
dxla
dt
dxsignF
Ff
0
00
00
0
0
0
0
( 3.77)
Valori ale coeficientului de frecare pentru diverse perechi de materiale suntprezentate n tabelul 3.1 [3.11].
Tabelul 3.1
Suprefeele n contactCoeficientul defrecare static
Coeficientul defrecare cinematic
Oel pe oel (uscat) 0.6 0.4Oel pe oel (uns) 0.1 0.05Teflon pe oel 0.04 0.04Teflon pe teflon 0.04 -Alam pe oel (uscat) 0.5 0.4Plac de frn pe font 0.4 0.3Cauciuc pe asfalt - 0.5Cauciuc pe beton - 0.6Anvelop de cauciuc pe asfalt neted (uscat) 0.9 0.8Cablu din oel peste scripete din fier 0.2 0.15Frnghie din cnep pe metal 0.3 0.2Metal pe ghea - 0.02
Modelul matematic LuGree are forma:
vdt
dzzFf 210 ++= ( 3.78)
= zv
vgv
dt
dz)sgn(
)(1 0 ( 3.79)
unde: F- fora de frecare; z nlimea medie a neregularitilor suprafeelor n contact;v viteza relativ a celor dou suprafee; )(vg - curba Stribeck pentru viteze la starea
de echilibru; 0 - rigiditatea neregularitilor suprafeelor n contact; 1 - amortizareaproeminenelor n contact; 2 - coeficientul vsco-dinamic. n scop informativ seprezint valorile specificate anterior i utilizate ntr-un model simulat:
NFNF SC 5.1;1 == ; mN/105
0= ; ;/3141 mNs= mNs /4.02= [3.11].
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
31/46
MODELAREA SISTEMELOR FIZICE - 3 87
Efectul de amortizarese identific cu orice efect din natur care tinde s reducamplitudinea oscilaiilor dintr-un sistem. n sistemele tehnice acest efect poate fi
utilizat cu un scop util, cel precizat anterior, dar poate s se manifeste i cu efectperturbator: efecte de frnare n sistemele mecanice mobile, efect de histerez asociatcu solicitare ciclic n materiale etc. O clasificare a amortizoarelor din lumea real esteprezentat n figura 3.39.
Amortizoare
Amortizareavibraiilor libere
Amortizareavibraiilor forate
cu lichid cu aer
cu frecare uscat magnetoinductive cu mas inerial electronice
Cu cauciuc
Fig. 3.39 Clasificarea amortizoarelor
n cadrul sistemelor tehnice efectul de amortizare se poate modela matematicprintr-o for sincron cu viteza, de aceeai direcie i sens contrar:
vCFa = ( 3.80)
Din punct de vedere practic este avantajoas utilizarea unor suprafee cilindricepentru modelarea amortizorului (fig.3.40). Coeficientul de amortizare este:
][2 3
rad
Nms
h
lRc
=
( 3.81)
Fig. 3.40 Amortizor cilindric
Modul de reprezentare schematic a modelului vscos este ilustrat n figura3.41a,b iar caracteristica unui amortizor ideal n figura 3.41c.
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
32/46
3.4- Modele n aplicaiile mecatronice88
C
1 2 aM
v
aF 1 2
a)
C
b)
aF aM
12v
12 c)
1
2
Fig. 3.41 Simbolizarea amortizoului linear (a), de rotaie (b) i caracteristica (c)
Conectarea n paralel a dou sau mai multe elemente amortizoare permite
determinarea unui element echivalent care va avea coeficientul de amortizareechivalent (fig.3.42):
21 CCCe += ( 3.82)
Ecuaia noului element amortizor pentru cazul unei micri de translaie va fi:( )12 vvCF ep = ( 3.83)
i respectiv pentru cazul micrii de rotaie:
( )12 = ep CM ( 3.84)
1B
1x
Fp
2x2B
pF
1C
2C
Fig. 3.42 Echivalarea a dou elemente vscoase
Legarea n serie a dou amortizoare (fig.3.43) permite definirea unui elementechivalent avnd constanta de amortizare:
21
21
CC
CCCe +
= ( 3.85)
Ecuaia noului element amortizor va fi pentru cazul micrii de translaie:( )13 vvCF eS = ( 3.86)
i respectiv pentru cazul micrii de rotaie:
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
33/46
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
34/46
3.4- Modele n aplicaiile mecatronice90
=
+=n
i
iiii
A
r JvmI
1
222
)(1
( 3.90)
unde notaiile au semnificaia: A reprezint viteza unghiular a elementului dereducere; miiJireprezint masa i respectiv momentul de inerie mecanic n raport cuo ax ce trece prin centrul de greutate al unui element i; vi i i reprezint vitezacentrului de greutate respectiv viteza unghiular a elementului i; n reprezintnumrul de elemente mobile ale mecanismului.
n scopul simplificrii analizei fluxului de putere din sistemele mecanice mobilese utilizeaz noiunile defor redus i moment redus.
n concordan cu cele prezentate, un sistem mecanic mobil se poate nlocui cuelement de reducere n vederea studiului dinamic.
Aplicabile studiului dinamic pentru sistemul mecanic mobil sunt toate metodelemecanicii teoretice. n tabelul 3.2 se prezint modaliti de calcul a momentelor deinerie pentru cteva corpuri geometrice. n tabelul 3.3 se prezint relaii de calcul
pentru momentul de inerie redus la arborele motorului.Tabelul 3.2
m MPPF
2
2
+
+=
pm
JJ sred
D
mF0
2
4
D
mJJ rred +=
FF0m
R
2R
mJJ pred +=
mFF0
D
2
4
2 D
m
JJ rred +=
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
35/46
MODELAREA SISTEMELOR FIZICE - 3 91
Tabelul 3.3
D
Ly
x
42
x LD328
mDJ
==
+=
3
L
4
Dm
4
1Jy
22
L
D
y
x
d
( )
( )44
22
32
8
1
dDL
dDmJx
=
==
+
=
3
L
4
dDm
4
1Jy
222
L
l
B
H
x0x
( ) 222
2
12
0
mlBLm
mlJJ xx
++=
=+=
L
H
Bx
y
( )
( )22
22
12
112
BLLBH
BLm
Jx
+=
=+=
( )
( )22
22
12
112
BHLBH
BHm
Jy
+=
=+=
3.4.3.
Modelul sistemului electric
Sub-sistemul electricare la baz trei parametri fundamentali: sarcin, curent itensiune. Acesta este parte integrant a sistemelor mecatronice bazndu-se pe o largofert de componente: motoare i generatoare, senzori, circuite, relee, sigurane,
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
36/46
3.4- Modele n aplicaiile mecatronice92
contactoare, circuite integrate etc.Primul pas n analiza unor circuite este obinerea modelului matematic pentru
acestea. Modelul matematic poate consta din ecuaii algebrice, ecuaii difereniale,ecuaii integro-difereniale, etc.
Legile teoriei macroscopice a fenomenelor electromagnetice, legea inducieielectromagnetice, legile cmpului magnetic - sunt elemente de baz n analizasistemelor electromagnetice. Noiunile de electrocinetic - prima teorem a luiKirchhoff (pentru un nod de reea electric), a doua teorem a lui Kirchhoff (pentru unochi de reea electric), teorema lui Helmholtz-Thevenin, teorema lui Norton etc. permit analiza circuitelor electrice din hipersistemul mecatronic.
n regim nestaionar, problemele de electrodinamic, se rezolv apelnd la legileteoriei macroscopice ale fenomenelor electrice i magnetice, n cea mai general forma lor [3.22].
n figura 3.44 se prezint elementele pasive rezistor, inductivitate, capacitate-care intr n componena sistemelor electrice.
V1
V2
R
iV1
V2
C
iV1
V2
L
i
a) b) c)
Fig. 3.44 Elementele pasive ale circuitelor electrice
Elementul rezistiv este pur disipativ, elemental capacitiv este un element deacumulare iar elemental inductiv este de tip inerial.
Pentru componenta disipativ elemental resistor, diferena de potenial este:iRVVVR == 21 ( 3.91)
Acest element este analog cu elementul amortizor din sistemele mecanice.Inductorul este componenta ineriala circuitelor electrice pentru care se poate
scrie:
dt
diLVVVL == 21 ( 3.92)
Acest element cu proprieti ineriale este analog cu o component masic dincadrul sistemelor mecanice.
n circuitele electrice, capacitatea electric este un element acumulativ:
+==t
CC VidtC
VVV
0
21 )0(1 ( 3.93)
Acest element este analog cu un element elastic (arc) din sistemul mecanic.
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
37/46
MODELAREA SISTEMELOR FIZICE - 3 93
Efectul elastic electromagnetic i efectul de amortizare sunt prezente, semanifest i trebuie luate n considerare n analiza sistemelor mecatronice [3.6].
n tabelul 3.4 sunt date principalele mrimi derivate care intervin n studiulsistemelor electrice i unitile de msur corespunztoare.
Tabelul 3.4Nr.crt.
Mrimea fizic Unitatea de msurDenumirea Simbol Denumirea Simbol
1 Tensiunea electric U volt V2 Rezisten electric R ohm 3 Reactana X ohm 4 Impedana Z ohm 5 Capacitate electric C farad F6 Inductana L henry H
7 Putere activ P watt W8 Putere reactiv Q var VAR9 Putere aparent S voltamper VA10 Energie activ Wa wattor Wh11 Energie reactiv W varor VARh12 Densitatea curentului electric J amper pe metru ptrat A/m2
13 Sarcina electric Q, q coulomb C14 Intensitatea cmpului electric E volt pe metru V/m15 Potenial electric scalar V volt V16 Inducie electric D coulomb / metru ptrat C/m2
17 Flux electric coulomb C18 Rezistivitate ohm-metru m19 Conductivitate electric - 1/(m)
20 Inducia magnetic B tesla T
n cadrul aplicaiilor practice se utilizeaz adeseori multiplii sau submultipliiunitilor fundamentale sau derivate (uniti tolerate). n tabelul 3.5 se prezintsemnificaia notaiilor care definesc multiplii sau submultiplii unei uniti.
Tabelul 3.5
Simbol Denumire Valoare Simbol Denumire ValoareG giga 10 d deci 10-1M mega 106 c centi 10-2k kilo 103 m mili 10-3da deca 10 micro 10-
n nano 10-9
p pico 10-12
Formule i relaii de calcul pentru circuitele electrice fundamentale suntprezentate n tabelul 3.6.
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
38/46
3.4- Modele n aplicaiile mecatronice94
Tabelul 3.6Nr.crt. Mrimea U.M. Notaie / Valori / Formule
1 Sarcina electricsA sau C
(Coulomb)
Q
= dtiQ tIQ =
2Sarcina
electronului sA 19106.1 =e As
3Concentraia
electronilor nmetale
cm-3 2310=n cm-3
4Intensitatea
curentului electricA (Ampere)
Ii,
dt
dQi= ;
t
QI=
5Densitatea
curentului electric2/ mmA
dAdiJ=
A
IJ=
6Intensitatea
cmpului electricmV/
Q
FE= sau n cmp omogen
l
UE=
7 Tensiunea electric V (Volt) =B
A
AB dU sE
8Rezistivitatea
electric m
mm2
sau m
9Rezistena unui
conductor (Ohm) Sl
R =
10
Rezistena unuiconductor
dependent detemperatur
(Ohm)
( )+= 2020)( 1 RR
12 = 20 coeficientul de temperatur
la 20 0C
11
Rezistena electric
a unei poriuni decircuit (Ohm) I
U
R
AB
=
12Rezistena electricechivalent pentruo conexiune serie
(Ohm) =i
iRR
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
39/46
MODELAREA SISTEMELOR FIZICE - 3 95
(continuare tabelul 3.6)
13
Rezistena electric
echivalent pentruo conexiune
paralel
(Ohm) =j jRR
11
14 Energia electricWs
(Watt.secunda) =2
1
t
t
dtiuW
tIUW =
15 Puterea electric W (Watt)R
URIIU
t
WP
22 ====
16Capacitatea unui
condensator plan
FV
sA=
(Farad)
d
AC r = 0
120 1086.8 =
mVsA
17
Capacitateaelectric
echivalent pentruo conexiune serie
F =j jCC
11
18
Capacitate electricechivalent pentru
o conexiuneparalel
F =j
jCC
19Inductivitatea unei
bobine
H (Henry)
HA
sV
=
l
SNL r
=
2
0
Am
Vs70 104
=
20Energia electricacumulat ntr-un
condensatorWs
C
QUQUCWC
=
==222
1 22
21Energia electricacumulat ntr-o
bobinWs
2
2
1ILWL =
22Tensiunea electric
la bornele uneibobine dt
diLtuL =)(
23
Curentul electric
printr-o bobin = dttuLti )(1
)(
24Tensiunea electric
la bornele uneicapaciti electrice
= dttiCtuC )(1
)(
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
40/46
3.5- Analogia sistemelor96
(continuare tabelul 3.6)
25 Curentul electric
printr-o capacitate dt
dU
Cti =)( 26 Reactan inductiv (Ohm)
2)(
j
L eLLjX == 27 Reactan
capacitiv (Ohm)
211
)(
j
C eCCj
X
=
=
28 Impedana (Ohm) == jj eI
UeZZ )(
( )22)( CL XXRZ +=
R
XXtg CL
=
3.5.
Analogia sistemelor
3.5.1.
Metoda bond-graph
O metod unitar de analiz i modelare dinamic sistemelor fizice are la bazutilizarea bond-grafurilor. Dinamica sistemului deriv din aplicarea conservriienergiei n fiecare moment. Sistemele sunt conectate n locuri prin care puterea curgentre acestea. Acest loc este denumit port iar subsistemele cu unul sau mai multeporturi se numesc multiport[3.6]
Conceptul deport de puterea fost introdus de Harold A. Wheeler n 1949 pentrucircuitele electrice i extins mai trziu pentru alte domenii fizice (hidraulic, mecanic
etc.). Acest lucru presupune (conceptual) o interaciune ntre pri ale sistemului. Prindefiniie portul reprezint un punct de interaciune al sistemului, subsistemului sauelementului cu mediul, un alt subsistem sau element. Portul de putere presupune ointeraciune cu un schimb de energie.
Fiecare port a unui sistem are patru variabile: for (diferen de potenial) -
)(te ; flux (debit, curent) )(tf ; efort integral - = dttep )( ; flux integral -
= dttfq )( Puterea pe un port este definit ca fiind:
)()()( tftetP = ( 3.94)unde e(t)if(t)sunt variabilele puterii.
Energia vehiculat printr-un port este:
)()()()()()( tdtftdtedttftew === ( 3.95)iar )(t i )(t se numesc variabilele energiei.
Variabilele energiei i ale puterii pentru domeniile mecanic micare de
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
41/46
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
42/46
3.5- Analogia sistemelor98
fluxului netf. Acest rezultat se exprim prin ecuaia de bilan:
fdt
dq
= ( 3.98)
C
e
fC: C
C
1
q
e
f
Fig. 3.46 Elementul de tip capacitiv
Variabila efort, e, este exprimabil printr-o ecuaie constitutiv funcie devariabila de stare q:
)(qee= ( 3.99)
qC
e = 1 ( 3.100)
( ) += 0qfdtq ( 3.101)Pentru elementele I, cantitatea conservat p este stocat prin acumularea
efortului e . Inductivitatea electric L, masa M, volantul sunt elemente constructivecare aparin acestei categorii (fig.3.47)
Ecuaia de bilan are forma:
fdt
dp= ( 3.102)
existnd i o ecuaie constitutiv de forma:)(pff= ( 3.103)
L
M
e
fI: I
e
f
I
1
Fig. 3.47 Elementul de tip inductiv
Ecuaiile specifice ale elementului sunt:
pI
f = 1 ( 3.104)
+= )0(pedtp ( 3.105)
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
43/46
MODELAREA SISTEMELOR FIZICE - 3 99
Surs. Se includ n aceast categorie dou cazuri : o surs de efort Sei o sursde flux Sf . De ex: n domeniul electric o surs de tensiune sau o surs decurent intr n aceast categorie; n domeniul hidraulic o pomp asigurpresiunea necesar n circuitul hidraulic.
Proces de conversie. Un transformator generalizat (TR) simbolizeaz acestproces. Efortul e1i respectiv fluxul f1 se vor transforma n e2i respectiv f2respectdu-se relaiile
21ene = i
21ffn = . Un exemplu tipic pentru acest
caz este transmisia prin roi dinate. n cazul unei conversii calitativesimbolizarea corespunde termenului (GY) (gyrator) caz n care se respectrelaiile 21 fre = , 12 fre = . De ex.: o pomp cu roi dinate acionat electricrealizeaz conversia energie electric energie hidraulic; motorul electricrealizeaz conversia energie electric energie mecanic.
Proces de distribuie. Asemntor circuitelor electrice fluxul energetic n cazulteoriei bondgraf este reprezentat n mod paralel sau serial. Jonciunea din acest
caz este echivalent nodului din circuitele electrice ( Kirchhoff I). Existdou tipuri de jonciuni: jonciune 0 echivalent conexiunilor n paralel dinelectrotehnic ijonciune 1echivalent conexiunilor seriale. Pentru jonciunea
0 este valabil relaia 0= if . ntr-o jonciune 1 suma variabilelor efort laacelai flux este 0= ie
3.5.2.
Metoda impedanei generalizate
n teoria sistemelor una din metodele de baz n modelare i analiz este cea afunciei de transfer. Din pcate modul de abordare prin intermediul funciei de transfer o mrime de intrare i una de ieire face abstracie de considerente energeticespecifice sistemelor fizice. Teoria sistemelor fizice are la baz noiunea de energie ()
definit ca puterea acumulat n timp. Pornind de la acest aspect se introduce noiuneade putere generalizat ca produsul a dou mrimi cantitative fizice, observabile icomplementare:
= (3.106)
== dtdtE (3.107)
n mod generic cele dou mrimi se refer la cantiti dintre dou puncte( ) (across) i respectiv dintr-un punct () (through) (asemntor ca la pct.3.6.1).Exemple de o astfel de ncadrare a unor mrimi fizicesunt prezentate n tabelul 3.8
Tabelul 3.8DOMENIUL MRIMEA MRIMEA
Translaie mecanic Viteza [m/s] Fora [N]Rotaie mecanic Viteza unghiular [rad/s] Cuplul [Nm]Electric Tensiunea [V] Curentul [A]
Hidraulic Presiunea [N/m ] Debitul volumic [m /s]
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
44/46
3.5- Analogia sistemelor100
Un dipol liniar pasiv (fig.3.48) se echivaleaz n domeniul electric cu o mrimepozitiv care depinde de frecvena de lucru i parametrii circuitului, denumit
impedana circuitului (tabelul 3.9).
Z
1
1'
I
Upasivliniardipol
U
I
1'
1
Fig. 3.48 Dipol i impedan
Tabelul 3.9)(sZ
R sL sC
1
Noiunea de impedan se poate generaliza i pentru alte domenii diferite de celelectric. n domeniul mecanic sisteme mecanice de translaie - impedanelecorespunztoare, pentru analogia deplasare X sarcina electric, sunt prezentate nfigura 3.49.
1x
MF
F F
x1 2x
C
K
x21x
FF
=
arcK
amortizorsC
masaMs
sZ
,
,
,
)(
2
Fig. 3.49 Impedana mecanic
Pentru analogia vitez Icurentuluiaintesitatedt
dx , se obine o alt
variant a impedanei mecanice. Alegerea unei variante sau a alteia ine doar decomoditatea de lucru. Pentru sistemele mecanice de rotaie se pot defini n modasemntor relaii pentru impedanele echivalente.
Avantajele echivalenelor i generarea impedanei generalizate n modul deconstrucie a modelelor pentru sistemele fizice este un lucru cert.
O reprezentare mai complex a unui sistem are la baz utilizarea noiunii decuadripol (fig.3.50).
liniardipol 2
2'
I2U2
2II1
1U1I
1'
1
Fig. 3.50 Cuadripol
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
45/46
MODELAREA SISTEMELOR FIZICE - 3 101
Sistemul este reprezentat prin dou mrimi de intrare i dou de ieire. Exist iposibilitatea de reprezentare printr-un dipol pentru sistemele fizice mecanice i
avantajele sunt deosebite, n special cnd nu se neglijeaz deformaiile torsionale dinsistem n cazul sistemelor rapide, la utilizarea unor cuplaje comandate n lanulcinematic sau la utilizarea transmisiilor mecanice n lanul cinematic [3.6].
Impedana pentru diverse elemente este prezentat n tabelul 3.10 [3.5].
Tabelul 3.10Element electricefort = tensiuneflux= curent
Capacitate
+=t
uidtC
u0
0
1
( )( ) sCsI
sUZC
1=
=
Inductivitate
dt
diLu=
sLsI
sUZL == )(
)(
ResistorRiu=
( )( )
RsI
sUZR ==
Element mecanic(analogie for curent)efort = vitezflux=for
Mas
+=t
vFdtM
v0
0
1
( )( ) sMsFsv
Zm1
=
=
Element elastic (arc)
dt
dF
kv
1=
k
s
sF
svZe == )(
)(
Amortizor
Fc
v1
=
csF
svZa
1
)(
)(==
Element mecanic(analogie for tensiune)efort =forflux= vitez
Arc
+=t
FvdtkF0
0
s
k
sv
sFZe == )(
)(
Mas
dt
dvMF=
sMsv
sFZm == )(
)(
AmortizorvcF =
csv
sFZa == )(
)(
Element fluidicefort =presiuneflux= debit
Capacitate
+=t
pqdtC
p0
0
1
( )( ) sCsqsp
Zc1
=
=
Uzual ignorat efectul de ciocan
RezistenRqp=
( )( )
Rsq
spZr =
=
Element termicefort =temperaturflux= debit
Capacitate
+=t
qdtC 0
0
1
( )( ) sCsqs
Zc1
=
=
- RezistenRq=
( )( )
Rsq
sZr =
=
3.6.
Bibliografia capitolului 3
[3.1]Auslander, D.M., Mechatronics: A Design and Implementation Methodology for
7/26/2019 Modelarea Sist Fizice
46/46
3.6- Bibliografia capitolului 3102
Real Time Control Software, Berkely University, 1997[3.2]Bishop, H. Robert, The Mechatronics Handbook, CRC Press, London-New York-
Washington, 2002[3.3]Blanchard, B.S., Fabrycky, W.J., Systems Engineering and Analysis, PrenticeHall, 2006[3.4]Coelingh, H.J., DeVries, T.J., VanAmerongen, J., Design Support for MotionControl Systems, http://www.rt.el.utwente.nl/mechatronics[3.5]Devdas, S., Kolk A.R., Mechatronics System Design, PWS Publis. Comp.,Boston, 1997[3.6] Dolga, V., Proiectarea sistemelor mecatronice, Editura Politehnica, Timioara,2007[3.7]Dolga, V., Elemente de inginerie mecanic n construcia echipamentelorelectronice, Vol.1, Editura Politehnica, 2003[3.8]Enikov, E.T., Control systems design , www.ame.arizona.edu/ame455[3.9] Flores, K.M, Introduction to Mechanical Behavior of Materials, Handout # 8:Anelasticity[3.10]Harris, C.M., Crede, Ch.E., Socuri i vibraii, vol.II, Editura tehnic, Bucureti,1968[3.11] Hensen, R.H., Molengraft, J.G., Steinbuch, M., Frequency domain identificationof dynamic friction model parameters, IEEE on Contr. Syst. Tech., v.10, no.2, 2002[3.12]Isermann, R., Mechatronische Systeme, Springer-Verlag , Berlin,1999[3.13] Longoria, R.G., Modeling of mechanical systems for mechatronics applications,n The mechatronics handbook, editor R.H. Bishop, CRC Press, 2002[3.14]Mtie, V., Mecatronic, Editura Dacaia Cluj-Napoca, 1998[3.15]Miu, K.D., Mechatronics. Electromechanics and Contromechanics, Springer-Verlag, New York 1992[3.16]Najim, K., Control of Continuos Linear Systems, ISTE Ltd, ISBN-13: 978-1-905209-12-5, 2006[3.17]Polsson, K., Chronology of Personal Computers, http://www.islandnet.com/~kpolsson/comphist[3.18]Savii, G.G., Luchin, M., Modelare i simulare, Ed. Eurostampa, Timioara,2000[3.19]Sermesant, M., Modle elctromcanique du cur pour lanalyse dimage et lasimulation, These, Universite de Nice Sophia-Antipolis, 2003[3.20]Sila, Gh., Mecanic. Vibraii mecanice, Ed. didactic i pedagogic, 1967,Bucureti[3.21]Teodorescu, P.P., Ille, V., Teoria elasticitii i introducere n mecanica solidelordeformabile, Editura Dacia, Cluj Napoca, 1976[3.22]Timotin, A., s.a., Lecii de bazele electrotehnicii, EDP, Bucureti, 1970[3.23]Vlcovici, V., Blan, t., Voinea, R., Mecanic teoretic, Editura Tehnic,[3.24]Wellstead, P.E., Introduction to Physical System Modelling, electronically
published by: www.control-systems-principles.co.uk[3.25]***, Damping, http://en.wikipedia.org/wiki/Damping#Definition[3.26]***,ISP Glosaary, http://isp.webopedia.com/TERM/s/simulation.html[3.27]***,EuroSim Mk3.2., http://www.eurosim.nl/support/manual/html/SUM/B.html
