1/25
Proiect beton precomprimat Numerotarea tabelelor şi formulelor din prezentul model este conformă cu cea din EN
1992-1-1:2004 (EC2).
1. Date iniţiale
- tip element
- lungime element
- lăţime reazem
- lungime pistă de precomprimare
- număr toroane
- tip toroane
- rest permanentă
- încărcare utilă
- umiditate
- clasa de expunere
- durata de viaţă
- tip grafic tehnologie
- clasă beton
- tip ciment
- rezistenţă oţel
- modul elasticitate toroane
- clasă oţel
- relaxare
- lunecare în ancoraj
2/25
Caracteristici secţionale
Pentru elementul dat prin tema de proiect se vor calcula următoarele caracteristici
secţionale:
Ac – aria secţiunii de beton
Ap – aria armăturii precomprimate
Ic – momentul de inerţie pentru secţiunea de beton
Wi – modulul de rezistenţă inferior; i
ci x
IW =
Ws – modulul de rezistenţă superior; s
cs x
IW =
2. Regimul tratamentului termic
Tratamentul termic se aplică în conformitate cu graficul de mai jos:
3...4 h
Pre
tens
iona
re
Turn
are
Tran
sfer
Transfer la 16...22 h
10
20
30
40
50
60
70
˜4 h ˜7 h ˜5 h3...4 h
Ora 10 14 17 21 04 08 09
Regim tratament termic
timp de relaxare (t )
Ore
°C
relaxare
xX
si
3/25
3. Caracteristicile betonului
3.1. fck - rezistenţa caracteristică la compresiune a betonului obţinută pe cuburi
Din denumirea clasei de beton primită prin tema de proiect se obţine rezistenţa
caracteristică la compresiune a betonului obţinută pe cuburi în MPa.
C x / y => fck=x MPa (N/mm2)
3.2. fcm - rezistenţa medie la compresiune a betonului obţinută pe cilindri (se obţine din
tabelul 3.1 în funcţie de clasa betonului)
3.3. fctm - rezistenţa medie la întindere axială a betonului (se obţine din tabelul 3.1 în
funcţie de clasa betonului)
3.4. fctm(t) - rezistenţa medie la întindere axială a betonului la vârsta de “t” zile.
ctmccctm fttf ⋅= )()( β
3.5. fcm(t) - rezistenţa medie la compresiune a betonului la vârsta de “t” zile.
În formulele 3.1 şi 3.2 se înlocuieşte t cu tT, calculat pe baza graficului tehnologic cu
formula B.10
4/25
3.6. Ecm(t) - modulul de elasticitate secant al betonului la vârsta t
În formula 3.5 se înlocuieşte t cu tT, calculat pe baza graficului tehnologic cu formula
B.10.
3.7. Calculul contracţiei finale
0,, cdhcd k εε ⋅=∞
5/25
0,cdε - contracţia de uscare neîmpiedicată se poate determina din tabelul 3.2 sau pe baza
ecuaţiilor de mai jos (B.11 şi B.12)
)(∞caε - se datorează unui fenomen de migrare a apei în masa betonului; se determină
conform formulei 3.12
6/25
3.8. Calculul curgerii lente
),( 0t∞ϕ - valoarea finală a coeficientului de curgere lentă (fluaj) se determină utilizând
graficele din figura 3.1
7/25
8/25
Tabel 3.1
9/25
4. Caracteristicile armăturii pretensionate
fpk=Rpk - rezistenţa caracteristică a oţelului dată prin tema de proiectare
25.1pk
s
pkpd
fff ==
γ
Se mai poate lucra cu mărimea fp0.1k, în acest caz valoarea de calcul a rezistenţei
oţelului calculându-se astfel:
15.11.01.0 kp
s
kppd
fff ==
γ
fp0.1k - reprezintă rezistenţa convenţională a oţelului corespunzătoare unei deformaţii
specifice de 0.1%. Această valoare este dată de producător.
În cadrul prezentului proiect se va lucra cu rezistenţa fpk şi implicit cu prima formulă
pentru determinarea fpd.
Relaxarea oţelului este dată prin tema de proiectare, oţelul putându-se
încadra în două clase
CLASA 1 - ρ1000=7%
CLASA 2 - ρ1000=2.5%
Ep - modulul de elasticitate al armăturii precomprimate dat prin tema de proiectare
Echivalenţă notaţii armături
0,6” <=> TBP15=7Φ5 => Ap=137 mm2
1/2” <=> TBP12=7Φ4 => Ap=88 mm2
3/8” <=> TBP9=7Φ3 => Ap=49 mm2
10/25
5. Calculul forţei de pretensionare
fp0.1k - reprezintă rezistenţa convenţională a oţelului corespunzătoare unei deformaţii
specifice de 0.1%. Această valoare este dată de producător.
În cazul prezentului proiect se va lucra cu formula:
pkpkp ffk ⋅≤⋅≤ 8.01maxσ
11/25
6. Pierderi de precomprimare instantanee 6.1. Lunecarea în ancoraj
λ - mărimea lunecării în ancoraj depinde de tipul de ancoraj şi de mărimea eforturilor din
toroane. O valoare medie se poate considera de 4...6 mm. Prin tema de proiectare pentru
mărimea lunecării s-au considerat trei valori diferite de 4, 5 respectiv 6 mm.
Pierderea de efort unitar de precomprimare, respectiv pierderea de forţă de
precomprimare cauzate de lunecare din ancoraj se evaluează conform formulelor de mai
jos:
pp
sl EL
⋅+
=Δ 21 λλσ
unde:
slσΔ - reprezintă pierderea de efort unitar de precomprimare cauzată de lunecare
din ancoraj
21;λλ - reprezintă lunecarea din ancorajele de la cele două capete. Dacă
pretensionarea se face la un singur capăt, λ2=0. În cazul prezentului proiect se consideră
că pretensionarea se face la un singur capăt.
pL - reprezintă lungimea pistei de precomprimare
pE - reprezintă modulul de elasticitate al oţelului din care este confecţionată
armătura pretensionată
slpsl AP σΔ⋅=Δ
unde:
slPΔ - reprezintă pierderea de forţă de precomprimare cauzată de lunecare din
ancoraj
pA - reprezintă aria de armătură pretensionată
12/25
6.2. Relaxarea oţelului
Fenomenul de relaxare al oţelului are loc între momentul de întindere al armăturii
pretensionate şi până în momentul transferului.
Pierderea de efort unitar de precomprimare cauzată de relaxarea oţelului se
evaluează conform formulelor de mai jos:
- pt oţeluri de Clasa 1 conform formulei 3.28
5)1(75,0
7,61000 10
100039,5 −
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅⋅=Δ
μμρσσ tepipr
- pt oţeluri de Clasa 2 conform formulei 3.29
5)1(75,0
1,91000 10
100066,0 −
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅⋅=Δ
μμρσσ tepipr
- pt oţeluri de Clasa 3 conform formulei 3.30
5)1(75,0
81000 10
100098,1 −
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅⋅=Δ
μμρσσ tepipr
unde:
slppi σσσ Δ−= max
În formulele 3.28, 3.29 şi 3.30, timpul t reprezintă timpul de relaxare al armăturii, din
momentul pretensionării şi până în momentul transferului, lucrându-se cu o valoare
corectată cu mărimea teq (t=trelaxare+teq), reprezentând un timp echivalent ce ţine seama de
13/25
efectul tratamentului termic asupra relaxării armăturii pretensionate. Acest timp teq se poate
estima utilizând formula 10.2, ţinând seama de graficul tehnologic de aplicare a
tratamentului termic.
Pierderea de forţă de precomprimare cauzată de relaxarea oţelului se evaluează
conform formulei de mai jos:
prpr AP σΔ⋅=Δ
unde:
rPΔ - reprezintă pierderea de forţă de precomprimare cauzată de relaxarea oţelului
pA - reprezintă aria de armătură pretensionată
6.3. Tratamentul termic
Pentru a se ajunge într-un timp mai scurt la rezistenţa iniţială necesară a betonului,
acesta este supus unui tratament termic, de regulă utilizând abur sau apă caldă.
Pierderea de efort unitar de precomprimare cauzată de aplicarea tratamentului
termic se evaluează conform formulei de mai jos:
)(5,0 0max TTE cp −⋅⋅⋅=Δ ασθ
14/25
Pierderea de forţă de precomprimare cauzată de aplicarea tratamentului termic se
evaluează conform formulei de mai jos:
θθ σΔ⋅=Δ pAP
unde:
θPΔ - reprezintă pierderea de forţă de precomprimare cauzată de aplicarea
tratamentului termic
pA - reprezintă aria de armătură pretensionată
15/25
7. Scurtarea elastică a betonului la transfer În momentul realizării transferului, valoarea forţei de pretensionare se poate calcula
astfel:
θPPPPP rslerm Δ−Δ−Δ−= maxint
unde:
maxP - reprezintă forţa aplicată armăturii pretensionate
slPΔ - reprezintă pierderea de forţă de precomprimare cauzată de lunecare din
ancoraj
rPΔ - reprezintă pierderea de forţă de precomprimare cauzată de relaxarea oţelului
θPΔ - reprezintă pierderea de forţă de precomprimare cauzată de aplicarea
tratamentului termic
xX
si
Ap
e
σcpPinterm
Pentru calculul efortului unitar din beton în secţiunea de la nivelul armăturii
pretensionate (σcp) se poate adopta procedeul de calcul simplificat sau procedeul exact.
Calcul simplificat
eI
ePA
P
c
erm
c
ermcp ⋅
⋅+= intintσ
unde:
Ac - aria secţiunii de beton
e - distanţa de la centrul de greutate al armăturii precomprimate la centrul de
greutate al secţiunii de beton
Ic - momentul de inerţie pentru secţiunea de beton
16/25
Calcul exact
)1( 2
2
int
reA
A
p
ce
ermpcp
++
=α
σσ
unde:
p
ermermp A
Pintint =σ
)( 0tEE
cm
pe =α
Ep - modulul de elasticitate al oţelului din care este confecţionată armătura
pretensionată
Ecm(t0) - modulul de elasticitate secant al betonului la vârsta t0. În cazul prezentului
proiect, t0 se înlocuieşte cu tT calculat anterior.
Ac - aria secţiunii de beton
Ap - reprezintă aria de armătură pretensionată
e - distanţa de la centrul de greutate al armăturii precomprimate la centrul de
greutate al secţiunii de beton
r - reprezintă raza de giraţie a secţiunii de beton şi se calculează cu: cA
Icr =
17/25
Pierderea de efort unitar de precomprimare, respectiv pierderea de forţă de
precomprimare cauzate de scurtarea elastică a betonului la transfer se evaluează conform
formulelor de mai jos:
cpeel σασ ⋅=Δ
unde:
elσΔ - reprezintă pierderea de efort unitar de precomprimare cauzată de scurtarea
elastică a betonului la transfer
elpel AP σΔ⋅=Δ
unde:
lPθΔ - reprezintă pierderea de forţă de precomprimare cauzată de scurtarea elastică
a betonului la transfer
pA - reprezintă aria de armătură pretensionată
În momentul încheierii transferului, efortul unitar şi forţa din armătura pretensionată
se pot evalua utilizând formulele de mai jos:
elp
ermpm A
Pσσ Δ−= int
0
00 pmpm AP σ⋅=
În acest stadiu, efortul unitar din armătura pretensionată trebuie să satisfacă
următoarele condiţii:
⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅
⋅≤
kp
pkpm f
f
,1.00 85,0
75,0minσ - dacă nu verifică se micşorează maxpσ
În cadrul prezentului proiect se va verifica doar prima inegalitate: pkpm f⋅≤ 75,00σ .
18/25
20 L=Ltransfer 20Lcalc
Lcalc
ldisp 2
2
1
1
8. Calculul static Combinaţii
S.L.S.
- caracteristică ΣGk+Qk
- frecventă ΣGk+Ψ1Qk
- cvasipermanentă ΣGk+Ψ2Qk
S.L.U.
- fundamentală; calcul 1,35*ΣGk+1,5Qk
Încărcare Valori caracteristice Momentul încovoietor 1-1
Greutate proprie gself,k
8
2,
,
lgM kself
kself
⋅=
Rest permanentă grest,k
8
2,
,
lgM krest
krest
⋅=
Utilă qk
Combinaţie Mod de combinare Momentul încovoietor 1-1
caracteristică ΣGk+Qk
8)( 2
,, lqggM kkrestkself
Ek
⋅++=
frecventă ΣGk+Ψ1Qk
8)( 2
1,, lqggM kkrestkself
Ef
⋅⋅Ψ++=
cvasipermanentă ΣGk+Ψ2Qk
8)( 2
2,, lqggM kkrestkself
Eqp
⋅⋅Ψ++=
fundamentală 1,35*ΣGk+1,5Qk
8)5,135,135,1( 2
,, lqggM kkrestkself
Ed
⋅⋅+⋅+⋅=
Ψ1 Ψ2
acoperiş 0,5 0,4
planşeu intermediar 0,7 0,4
19/25
xX
si
Ap
e
σcpPm0
σct
σcb
Mself,k
10. Verificări ale eforturilor unitare la transfer
10.1. Calculul eforturilor unitare normale în secţiunea 1-1
i
kselfm
c
mcb W
MePAP ,00 −⋅
+=σ
s
kselfm
c
mct W
MePAP ,00 −⋅
−=σ
eI
MePAP
c
kselfm
c
mcp ⋅
−⋅+= ,00σ
10.2. Calculul eforturilor unitare normale în secţiunea 2-2
10.2.1. Determinare poziţiei secţiunii 2-2 în lungul axei elementului
Se poate admite că eforturile unitare în beton sunt repartizate liniar în afara zonei
delimitată de lungimea de dispersie (difuzie) stabilită conform formulei (8.19)
22 dll ptdisp += (8.19)
unde:
ptl - reprezintă valoarea de referinţă a lungimii de transmitere
20/25
Ca valoare de calcul a lungimii de transmitere se utilizează valoarea cea mai
defavorabilă dintre cele două determinate conform formulelor de mai jos:
ptpt ll ⋅= 8,01
ptpt ll ⋅= 2,12
De regulă, este utilizată valoarea cea mai mică pentru verificarea eforturilor unitare
locale la transfer şi valoarea cea mai mare pentru SLU.
Astfel, relaţia 8.19 devine în acest caz:
221 dll ptdisp +=
La eliberarea armăturii, se poate admite că precomprimarea este transmisă
betonului printr-un efort unitar de aderenţă constant notat cu fbpt a cărui valoare se
calculează cu formula (8.15):
21/25
xX
si
Ap
e
σcpPm0
σct<fctm(tT)
σcb<fck(tT)
Mself,k
c
ctmctctd
tftf
γα
)(7,0)( ⋅⋅= (8.15)
unde:
ctα - coeficient a cărui valoare e recomandată de EN 1992-1-1 a se lua egală cu 1
dacă nu e stipulat altfel în anexa naţională corespunzătoare.
)(tf ctm - rezistenţa medie la întindere axială a betonului la vârsta de “t” zile.
În formula de mai sus se înlocuieşte t cu tT, calculat pe baza graficului tehnologic cu
formula B.10.
10.2.2. Calculul momentului încovoietor dat de greutate proprie în secţiunea 2-2 ( 22,
−kselfM )
dispcalckself
kself lLg
M ⋅⋅
=−
2,22
,
10.2.3. Calculul eforturilor unitare în secţiunea 2-2
s
kselfm
c
mct W
MePAP 22
,00−−⋅
−=σ
i
kselfm
c
mcb W
MePAP 22
,00−−⋅
+=σ
În acest stadiu se verifică satisfacerea următoarelor relaţii:
)(6,0 0tf ckcb ⋅≤σ - condiţie pentru evitarea fisurării longitudinale
)( 0tf ctmct ≤σ - condiţie pentru ca secţiunea să rămână în întregime nefisurată
În cazul în care în secţiunea 2-2 relaţia )(6,0 0tf ckcb ⋅≤σ nu este adevărată, soluţia
pentru scăderea efortului unitar din fibra extremă inferioară constă în dispunerea uneia sau
mai multor teci pe unul respectiv mai multe toroane. Astfel, modul de lucru presupune
22/25
considerarea unuia dintre toroane ca fiind învelit în teacă şi reverificarea eforturilor unitare
din secţiune, considerând că toronul învelit nu conlucrează cu secţiunea de beton. Dacă
relaţia nu este adevărată în continuare, se consideră încă un toron ca fiind învelit în teacă
şi apoi se reverifică secţiunea. Procedeul se continuă până când relaţia )(6,0 0tf ckcb ⋅≤σ
devine adevărată.
În formulele de mai sus se înlocuieşte t0 cu tT, calculat pe baza graficului tehnologic
cu formula B.10.
ldisp 2
2
2'
2'ldisp
lteaca ldisp
teaca
teaca123
În cazul în care dispunerea tecilor este necesară, se va verifica încă o secţiune
situată la ldisp de punctul în care se întrerupe teaca (2’-2’).
23/25
11. Pierderi de precomprimare finale
În cazul prezentului proiect ezcp = .
eI
MM
c
EqprestcpQPc ⋅
+−=σσ ,
eI
MePAP
c
kselfm
c
mcp ⋅
−⋅+= ,00σ
prσΔ - se evaluează pe baza formulelor 3.28, 3.29 sau 3.30 considerând “t” ca fiind
durata de viaţă a elementului şi QPcepmpi ,0 σασσ ⋅+= .
24/25
)( 0tEE
cm
pe =α
unde t0 este 28 zile şi Ecm(t0) devine Ecm.
Forţa finală de precomprimare, considerând efectul pierderilor reologice de tensiune se
evaluează cu formula:
rscmm PPP ++∞ Δ−= 0
12. Verificări ale eforturilor unitare în stadiul de serviciu în secţiunea 1-1
e
σct
σcb
Pk=nPm8
M
n=1
12.1. Verificări pentru ctσ
- pentru clasele de expunere XD, XF, XS
ctσ se calculează considerând M=MEk şi se verifică relaţia
ckct f⋅≤ 6,0σ
- pentru restul claselor de expunere
ctσ se calculează considerând M=MEQP şi se verifică relaţia
ckct f⋅≤ 45,0σ
25/25
12.2. Verificări pentru cbσ
- pentru clasele de expunere X0, XC1, XS
cbσ se calculează considerând M=MEf şi se verifică relaţia
ctmcb f≤σ
- pentru clasele de expunere XD1, XD2, XD3, XS2, XS3
cbσ se calculează considerând M=MEf şi se verifică relaţia
0≥cbσ
- pentru clasele de expunere XC2, XC3, XC4
cbσ se calculează considerând M=MEQP şi se verifică relaţia
0≥cbσ