MATLAB – CURS
Cuprins
1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Aplicatia MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Comenzile help si doc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Variabile si comenzi MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Functii matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1 Utilizarea semnului : în manipularea matricelor . . . . . . . 302.2 Operarea element cu element . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Analiza datelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Fisiere de tip script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.1 Fisiere de tip function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Functii anonymous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3 Functii inline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Programare în MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.1 Operatori relationali si operatori logici . . . . . . . . . . . . . 655.2 Structuri if-elseif-else-end . . . . . . . . . . . . . . . 735.3 Structuri ciclice de tip for-end . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.4 Structuri ciclice de tip while-end . . . . . . . . . . . . . . . 805.5 Structuri switch-case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6 Polinoame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7 Rezolvarea numerica a unor probleme . . . . . . . . . . . . . . . 897.1 Rezolvarea ecuatiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.2 Determinarea minimului si maximului . . . . . . . . . . . . . 927.3 Integrarea numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.4 Algebra liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.5 Ecuatii diferentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8 Reprezentari grafice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.1 Grafica 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.2 Grafica 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9 Calcul simbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.1 Obiectele simbolice si expresiile simbolice . . . . . . . . . . . 1249.2 Schimbarea formei unei expresii simbolice . . . . . . . . . . . 1279.3 Calculul numeric al unei expresii simbolice . . . . . . . . . . 1289.4 Sume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.5 Rezolvarea ecuatiilor algebrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.6 Limite de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.7 Derivarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.8 Integrarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.9 Rezolvarea ecuatiilor diferentiale ordinare . . . . . . . . . . . 138
Bibliografie selectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Capitolul 1
Introducere
1.1 Aplicatia MATLAB
Fereastra aplicat,iei MATLAB cont,ine o bara de titlu, o bara de meniuri,o bara de instrumente precum s, i urmatoarele ferestre:
Command Window, Current Folder, Workspace, Command History
Fereastra de comanda (Command Window) este cea mai importanta; aicisunt tastate comenzile dupa semnele>> care reprezinta prompterul1 MAT-LAB.
Dupa ce o comanda a fost introdusa2 s, i a fost apasata tasta Enter, MAT-LAB executa comanda s, i rezultatul apare imediat pe ecran.
De exemplu, prin tastarea comenzii>> version
se afis, eaza versiunea MATLAB folosita, iar comanda>> ver
indica, pe lânga versiunea curenta a MATLAB-ului instalat, s, i toolbox-urile instalate.
De exemplu, prin tastarea comenzii>> quit
se se închide programul MATLAB (acelas, i efect îl are s, i comanda exit).
1 În cazul în care programul face un calcul care dureaza prea mult s, i se dores, te intreru-perea procesului (sau pur s, i simplu se dores, te afis, area din nou a prompterului MATLAB),se tasteaza CTRL + C
2 Comenzile în MATLAB sunt case sensitive.
1
2 1. Introducere
Daca daca folosim comanda
clc
atunci s, tergem tot ce a fost scris în Command Window.
Ment,ionam, în plus, ca, daca în Command Window folosim tasta cu sim-bolul ↑ , atunci apare ultima comanda efectuata; daca tastam din nou sim-bolul ↑ apare penultima comanda efectuata s, .a.m.d.; apoi se poate folosi s, itasta ↓ pentru a reveni la comenzi mai noi. Saget,ile → s, i ← pot fi folositepentru a manevra cursorul în cadrul unei comenzi.
De asemenea, sunt utile tastele Delete, Backspace, Home, End careau rolul lor standard. Foarte des utilizata este tasta Escape care s, tergecomanda curenta, care tocmai este scrisa.
Fereastra care indica directorul în care se „lucreaza” este Current Folder(numit eventual Current Directory).
În fereastra Workspace sunt afis, ate toate variabilele definite de noi (pre-cum s, i valorile lor). Ment,ionam ca daca folosim comanda
clear
s, tergem toate variabilele definite pâna atunci (dispar s, i din fereastra Work-space).
În fereastra Command History sunt afis, ate toate comenzile efectuate denoi în Command Window. Printr-un dublu click pe o comanda aceasta aparedin nou în Command Window s, i se executa.
1.2 Comenzile help s, i doc
Pentru a utiliza sistemul de help al MATLAB scriem, în Command Win-dow, comanda
>> help nume_comandas, i vom obt,ine câteva informat,ii ale comenzii data de nume_comanda (o
scurta descriere, sintaxa s, i o lista de subiecte înrudite).De exemplu, comanda>> help expafis, eaza informat,ii despre funct,ia exponent,iala.Daca scriem doar>> help
1.3. Variabile si comenzi MATLAB 3
atunci se deschide o lista de categorii3, care la rândul lor (se pot deschi-de) cont,in liste de comenzi.
Daca scriem comanda>> doc nume_comandavom obt,ine, într-o fereastra separata, informat,ii mai detaliate s, i exem-
ple diverse de utilizare a comenzii data de nume_comandaDe exemplu, comanda>> doc expafis, eaza informat,ii mai detaliate s, i exemple de utilizare a funct,iei expo-
nent,iale.
De asemenea, pentru a utiliza sistemul de help al MATLAB se poatedeschide meniul Help al MATLAB (sau se tasteaza F1).
1.3 Variabile si comenzi MATLAB
Numele unei variabile trebuie sa înceapa cu o litera. Aceasta poate fiurmata apoi de orice litera, cifra sau de simboluri underscore (dar maxim 63de caractere).
De asemenea, ment,ionam ca numele variabilelor în MATLAB sunt casesensitive.
În general, definirea s, i numirea unor variabile se poate face în trei mo-duri: ori direct în Command Window, într-un fis, ier de tip script ori utilizândcomanda input (pentru detalii concrete vezi pagina 47).
MATLAB foloses, te variabile speciale (care au nume rezervate ce nu potfi folosite pentru a desemna alte variabile) precum:
Variabila speciala Semnificat,ia
ansnumele dat implicit unui rezultat obt,inut anterior,rezultat ce nu a fost atribuit, în prealabil,unei variabile (answer)
pi numarul π
epscel mai mic numar care adunat la 1 creaza un numardiferit de 1; este precizia de calcul a MATLAB(epsilon; are valoarea 2.220446049250313e-16)
3 Pentru a afis, a s, i continuarea listei de categorii se tasteaza Enter sau Spacebar.
4 1. Introducere
eps(n) cel mai mic numar care adunat la ncreaza un numar diferit de n
Inf sau inf desemneaza∞(de exemplu, rezultatul pentru 1/0 )
Nan sau nan Not a number; reprezinta o expresie nedefinita(de exemplu, rezultatul pentru 0/0 )
i sau j numarul4complex√−1
intmin cel mai mic întreg (negativ) ce poate fi reprezentat
intmax cel mai mare întreg ce poate fi reprezentat
realmin cel mai mic numar real ce poate fi reprezentat
realmax cel mai mare numar real ce poate fi reprezentat
nargin numarul de argumente de intrare
nargout numarul de argumente de ies, ire
Precizam ca atunci când MATLAB calculeaza o expresie (folosind even-tual alte variabile) va face aceasta folosind toate valorile variabilelor caresunt deja definite s, i obt,inute, pâna la momentul când se efectueaza co-manda.
În cazul în care anumite variabile au fost redefinite, prin comanda clearse revine la valorile implicite.
În MATLAB variabilele sunt definite prin atribuirea unei valori (carepoate fi numar, matrice etc.). Variabila astfel definita poate fi utilizata ulte-rior în definirea altor variabile s, .a.m.d.
Unei variabile deja definite i se poate ulterior atribui alta valoare.
Exemplul 1.1 Comanda
>> 1+2+3
afis, eaza
ans =6
Astfel s-a definit implicit noua variabila ans s, i i s-a atribuit valoarea 6.Aceasta variabila poate fi folosita în calcule viitoare. �
4 Este recomandat sa scriem întotdeauna 1i sau 1j în loc de i sau respectiv j
1.3. Variabile si comenzi MATLAB 5
Exemplul 1.2 Comanda
>> a = 1+2+3
afis, eaza
a =6
Astfel s-a definit noua variabila a s, i i s-a atribuit valoarea 6. Aceastavariabila poate fi folosita în calcule viitoare. �
Exemplul 1.3 Comanda
>> total = a*2 + ans
afis, eaza
total =18
Astfel s-a definit noua variabila total s, i i s-a atribuit valoarea 18. �
Exemplul 1.4 Comanda
>> a*2 + ans
afis, eaza
ans =18
Astfel s-a definit noua variabila ans s, i i s-a atribuit valoarea 18. �
Pentru a afis, a valoarea atribuita unei variabile se scrie numele variabileis, i astfel se va afis, a valoarea ei. De asemenea, precizam ca toate variabileles, i valorile lor sunt afis, ate s, i în fereastra Workspace. Comanda clear s, tergetoate variabilele definite pâna atunci (dispar s, i din fereastra Workspace).Daca se scrie doar clear x atunci dispare doar variabila x
Lista tuturor variabilelor se poate vedea s, i daca se scrie comanda whoDaca se scrie comanda whos apare lista cu toate variabilele dar însot,ita
de informat,ii suplimentare. Daca se scrie comanda whos nume varia-bila apare variabila numita dar însot,ita de informat,ii suplimentare.
Daca o comanda este prea lunga sau se dores, te scrierea ei pe doua linii,atunci se scrie ... acolo unde se dores, te sa se rupa comanda, apoi setasteaza Enter, apoi se continua scrierea comenzii.
6 1. Introducere
Exemplul 1.5 Comanda
>> suma = 1 + 2 + 3 + ...
5 +6 + 7 + 8 + 9 + 10
afis, eaza
suma =
55 �
În anumite situat,ii nu se dores, te afis, area rezultatului. În aceste situat,iise scrie semnul
;
la finalizarea comenzii.Pe o linie de comanda se pot scrie mai multe expresii, dar se vor separa
folosind semnul ,Comenzile cu , la sfârs, it se vor efectua s, i se vor afis, a valorile obt,inute.
Celor cu ; la sfârs, it nu li se vor afis, a valorile obt,inute.
Exemplul 1.6 Comenzile
>> a = 5, b=2*a, c = a + b; d = a + b + c
afis, eaza
a =
5
b =
10
d =
30 �
Prin adaugarea semnului
%
în fat,a unui text acesta va deveni comentariu s, i nu va fi procesat de MAT-LAB.
Formatul implicit de afis, are a valorilor numerice este de 4 zecimale.Mai exista s, i alte formate posibile printre care amintim:
1.4. Functii matematice 7
ComandaMATLAB
pi Comentarii
format short 3.1416
4 zecimale(modul implicit)(pentru numereîntre 0.001 s, i 1000,în rest e short e)
format long 3.141592653589793
15 zecimale(pentru numereîntre 0.001 s, i 100,în rest e long e)
format short esauformat shorte
3.1416e+00 4 zecimale s, i douacifre exponent5
format long esauformat longe
3.141592653589793e+00 15 zecimale s, i douacifre exponent
format bank 3.14 2 zecimale
format rat 355/113 aproximat deo fract,ie
Ment,ionam ca modalitatea de afis, are a valorilor nu influent,eaza valoa-rea lor; doar modalitatea de afis, are este schimbata.
1.4 Functii matematice
Operat,iile aritmetice elementare sunt
Operat,ia Simbolul Exemplu
Adunarea + 3.1 + 15
Scaderea − 3.1 - 15
Înmult,irea ∗ 3.1 ∗ 15
5 Scrierea 3.1416e+00 înseamna 3.1416*1000.
8 1. Introducere
Împart,irea(la dreapta)
/ 3.1/15 care este, prin definit,ie, 3.1*15−1
Împart,irea(la stânga)
\ 3.1\15 care este, prin definit,ie, 3.1−1*15
Puterea ^ 3.1 ^15
Expresiile sunt operate de la stânga la dreapta. Ordinea în care se e-fectueaza operat,iile este cea cunoscuta deja: ridicarea la putere (are cel maimare nivel de precedent,a), apoi înmult,irea s, i împart,irea (au acelas, i nivel deprecedent,a) s, i apoi adunarea s, i scaderea (au acelas, i nivel de precedent,a).
Evident, folosirea parantezelor schimba orice ordine implicita (aceastafunct,ioneaza în cadrul unui set de paranteze).
Funct,iile matematice elementare sunt date s, i explicate în Imaginile 1.1– 1.7 de la sfârs, itul acestei sect,iuni.
Exemplul 1.7 Comenzile
>> c_1 = 1-5i, c_2 = 1-5j, c_3 = complex(1,-5)
afis, eaza acelas, i lucru
c_1 =1-5i
c_2 =1-5i
c_3 =1-5i �
Exemplul 1.8 Comanda
>> c_4 = 2*(3-4*sqrt(-1))
afis, eaza
c_4 =6-8i
iar% trebuie sin(.5)*i sau sin(.5)*1i% comanda sin(.5)i nu are nici o semnificatie>> c_5 = 2-sin(.5)*1i
afis, eaza
1.4. Functii matematice 9
c_5 =2.0000 - 0.4794i �
Exemplul 1.9 Comenzile
>> c_5r = real(c_5), c_5i = imag(c_5)
afis, eaza
c_5r =2.0000
c_5i =0.4794
iar>> c_5a = abs(c_5)
afis, eaza
c_5a =2.0567
iar>> c_5unghi_r = angle(c_5) % unghiul in radiani
afis, eaza
c_5unghi_r =0.2353
iar% unghiul in grade>> c_5unghi_g = c_5unghi_r * 180/pi
afis, eaza
c_5unghi_g =13.4802 �
Exemplul 1.10 Comenzile
% valoarea lui y se va obtine in radiani>> x = sqrt(2)/2 ; y = asin(x)
afis, eaza
y =0.7854
iar>> y_g = y * 180/pi % valoarea lui y in grade
10 1. Introducere
afis, eaza
y_g =45 �
Exemplul 1.11 Avem urmatoarele comenzi de rotunjire a unui numar real:Comanda fix(x) reprezinta cel mai apropiat întreg de x înspre 0
Comanda floor(x) reprezinta cel mai apropiat întreg de x înspre−∞(cel mai mare întreg din stânga lui x, adica partea întreaga a lui x)Comanda ceil(x) reprezinta cel mai apropiat întreg de x înspre +∞(cel mai mic întreg din dreapta lui x)Comanda round(x) reprezinta cel mai apropiat întreg de x
Astfel
>> x = 2.2; y = 2.6; z = -2.2; w = -2.6;>> x_1=fix(x), x_2=floor(x), x_3=ceil(x),>> x_4=round(x)
afis, eaza
x_1 = 2 x_2 = 2 x_3 = 3 x_4 = 2
iar
>> y_1=fix(y), y_2=floor(y), y_3=ceil(y),>> y_4=round(y)
afis, eaza
y_1 = 2 y_2 = 2 y_3 = 3 y_4 = 3
iar
>> z_1=fix(z), z_2=floor(z), z_3=ceil(z),>> z_4=round(z)
afis, eaza
z_1 = -2 z_2 = -3 z_3 = -2 z_4 = -2
iar
>> w_1=fix(w), w_2=floor(w), w_3=ceil(w),>> w_4=round(w)
afis, eaza
w_1 = -2 w_2 = -3 w_3 = -2 w_4 = -3 �
1.4. Functii matematice 11
Exemplul 1.12 Comanda
% r = mod(a,b) reprezinta restul% impartirii lui a la b% (numita si impartirea a modulo b)% cu valoarea data de r = a - b.*floor(a./b)>> a = mod(5,-3), b = mod(-5,3)
afis, eaza
a =-1
b =1
deoarece floor(-5/3)=-2iar a = 5− (−3) · (−2) = −1 iar b = (−5)− 3 (−2) = 1. �
Exemplul 1.13 Comanda
% r = rem(a,b) reprezinta restul% impartirii lui a la b% cu valoarea data de r = a - b.*fix(a./b)>> a = rem(5,-3), b = rem(-5,3)
afis, eaza
a =2
b =-1
deoarece fix(-5/3)=-2iar a = 5− (−3) · (−1) = 2 iar b = (−5)− 3 (−1) = −2. �
Exemplul 1.14 Comanda mod poate fi utilizata pentru a verifica daca unnumar este par sau nu (paritate înseamna mod(a,2)==0 ).
>> a = 7; rest1 = mod(a,2), rest2 = mod(-a,2)
afis, eaza
rest1 =1
rest2 =1
deoarece floor(7/2)=3 s, i floor(-7/2)=-4deci 7− 2 · 3 = 1 iar −7− 2 · (−4) = 1. �
12 1. Introducere
Imaginea 1.1: Functii trigonometrice
Section 2.7 Mathematical Functions 33
These commands find the angle where the sine function has a value of 13/3. Note, again, that MATLAB uses radians, not degrees, in trigonometric functions. Other examples include the following:
>> y = sqrt(3^2 + 4^2) % show 3-4-5 right triangle relationship
y =
5
>> y = rem(23,4) % remainder function, 23/4 has a remainder of 3
y =
3
>> x = 2.6, y1 = fix(x), y2 = floor(x), y3 = ceil(x), y4 = round(x)
x =
2.6000
y1 =
2
y2 =
2
y3 =
3
y4 =
3
Trigonometric Function Description
acos Inverse cosine returning radians
acosd Inverse cosine returning degrees
acosh Inverse hyperbolic cosine returning radians
acot Inverse cotangent returning radians
acotd Inverse cotangent returning degrees
acoth Inverse hyperbolic cotangent returning radians
acsc Inverse cosecant returning radians
acscd Inverse cosecant returning degrees
acsch Inverse hyperbolic cosecant returning radians
asec Inverse secant returning radians
asecd Inverse secant returning degrees
1.4. Functii matematice 13
Imaginea 1.2: Functii trigonometrice (continuare)34 Chapter 2 Basic Features
Trigonometric Function Description
asech Inverse hyperbolic secant returning radians
asin Inverse sine returning radians
asind Inverse sine returning degrees
asinh Inverse hyperbolic sine returning radians
atan Inverse tangent returning radians
atand Inverse tangent returning degrees
atanh Inverse hyperbolic tangent returning radians
atan2 Four-quadrant inverse tangent returning radians
cos Cosine returning radians
cosd Cosine of argument in degrees
cosh Hyperbolic cosine returning radians
cot Cotangent returning radians
cotd Cotangent of argument in degrees
coth Hyperbolic cotangent returning radians
csc Cosecant returning radians
cscd Cosecant of argument in degrees
csch Hyperbolic cosecant returning radians
hypot Square root of sum of squares
sec Secant returning radians
secd Secant of argument in degrees
sech Hyperbolic secant returning radians
sin Sine returning radians
sind Sine returning degrees
sinh Hyperbolic sine returning radians
tan Tangent returning radians
tand Tangent returning degrees
tanh Hyperbolic tangent returning radians
14 1. Introducere
Imaginea 1.3: Functii exponentiale si putereSection 2.7 Mathematical Functions 35
Exponential Function Description
^ Power
exp Exponential
expm1 Exponential minus 1 [i.e., exp(x) � 1]
log Natural logarithm
log10 Base 10 logarithm
log1p Natural logarithm of x � 1 [i.e., log(x � 1)]
log2 Base 2 logarithm and floating-point number dissection
nthroot nth real root of real numbers
pow2 Base 2 power and floating-point number scaling
reallog Natural logarithm limited to real nonnegative values
realpow Power limited to real-valued arguments
realsqrt Square root limited to real-valued values
sqrt Square root
nextpow2 Next higher power of 2
Complex Function Description
abs Absolute value or magnitude
angle Phase angle in radians
conj Complex conjugate
imag Imaginary part
real Real part
unwrap Unwraps phase angle
isreal True for real values
cplxpair Sorts vector into complex conjugate pairs
complex Forms complex number from real and imaginary parts
sign Signum function
Imaginea 1.4: Functii complexe
Section 2.7 Mathematical Functions 35
Exponential Function Description
^ Power
exp Exponential
expm1 Exponential minus 1 [i.e., exp(x) � 1]
log Natural logarithm
log10 Base 10 logarithm
log1p Natural logarithm of x � 1 [i.e., log(x � 1)]
log2 Base 2 logarithm and floating-point number dissection
nthroot nth real root of real numbers
pow2 Base 2 power and floating-point number scaling
reallog Natural logarithm limited to real nonnegative values
realpow Power limited to real-valued arguments
realsqrt Square root limited to real-valued values
sqrt Square root
nextpow2 Next higher power of 2
Complex Function Description
abs Absolute value or magnitude
angle Phase angle in radians
conj Complex conjugate
imag Imaginary part
real Real part
unwrap Unwraps phase angle
isreal True for real values
cplxpair Sorts vector into complex conjugate pairs
complex Forms complex number from real and imaginary parts
sign Signum function
1.4. Functii matematice 15
Imaginea 1.5: Functii de rotunjire36 Chapter 2 Basic Features
Rounding and Remainder Function
Description
fix Rounds toward zero
floor Rounds toward negative infinity
ceil Rounds toward positive infinity
round Rounds toward nearest integer
mod Modulus or signed remainder
rem Remainder after division
idivide Integer division with rounding option
sign Signum function
Coordinate Transformation Function
Description
cart2sph Cartesian to spherical
cart2pol Cartesian to cylindrical or polar
pol2cart Cylindrical or polar to Cartesian
sph2cart Spherical to Cartesian
Number Theoretic Function Description
factor Prime factors
isprime True for prime numbers
primes Generates list of prime numbers
gcd Greatest common divisor
lcm Least common multiple
rat Rational approximation
rats Rational output
perms All possible combinations
nchoosek All combinations of N elements taken K at a time
factorial Factorial function
Imaginea 1.6: Functii de transformari de coordonate
36 Chapter 2 Basic Features
Rounding and Remainder Function
Description
fix Rounds toward zero
floor Rounds toward negative infinity
ceil Rounds toward positive infinity
round Rounds toward nearest integer
mod Modulus or signed remainder
rem Remainder after division
idivide Integer division with rounding option
sign Signum function
Coordinate Transformation Function
Description
cart2sph Cartesian to spherical
cart2pol Cartesian to cylindrical or polar
pol2cart Cylindrical or polar to Cartesian
sph2cart Spherical to Cartesian
Number Theoretic Function Description
factor Prime factors
isprime True for prime numbers
primes Generates list of prime numbers
gcd Greatest common divisor
lcm Least common multiple
rat Rational approximation
rats Rational output
perms All possible combinations
nchoosek All combinations of N elements taken K at a time
factorial Factorial function
Imaginea 1.7: Functii din teoria numerelor
36 Chapter 2 Basic Features
Rounding and Remainder Function
Description
fix Rounds toward zero
floor Rounds toward negative infinity
ceil Rounds toward positive infinity
round Rounds toward nearest integer
mod Modulus or signed remainder
rem Remainder after division
idivide Integer division with rounding option
sign Signum function
Coordinate Transformation Function
Description
cart2sph Cartesian to spherical
cart2pol Cartesian to cylindrical or polar
pol2cart Cylindrical or polar to Cartesian
sph2cart Spherical to Cartesian
Number Theoretic Function Description
factor Prime factors
isprime True for prime numbers
primes Generates list of prime numbers
gcd Greatest common divisor
lcm Least common multiple
rat Rational approximation
rats Rational output
perms All possible combinations
nchoosek All combinations of N elements taken K at a time
factorial Factorial function
Capitolul 2
Matrice
Elementul de baza al MATLAB este tabloul (array). Chiar s, i o variabilascalara este vazut tot ca o un tablou de tip 1× 1. Cel mai des utilizate sunttablourile bidimensionale, numite matrice, care au elementele aranjate înmlinii s, i n coloane. Vectorii de tip linie (i.e. m = 1) s, i vectorii de tip coloana(i.e. n = 1) sunt cazuri particulare de matrice bidimensionale. Tablourile s, idimensiunile lor nu sunt declarate în mod explicit.
În MATLAB exista mai multe modalitat,i prin care se poate genera o ma-trice. Modalitatea explicita înseamna utilizarea parantezelor patrate întrecare se precizeaza fiecare element al matricei; trecerea de la o coloana la altase face adaugând semnul , sau un spat,iu gol iar trecerea de la o linie la altase face adaugând semnul ; sau tastând Enter.
Elementele unei matrice pot fi numere reale sau numere complexe sauorice alte expresii matematice.
Exemplul 2.1 Comanda>> a = [1 ; 2 ; 3 ; 4]
afis, eaza vectorul:a =
1
2
3
4�
Exemplul 2.2 Comanda
17
18 2. Matrice
>> A = [1 2 ; 3 4]
sau>> A = [1 2
3 4]
sau>> A = [1, 2 ; 3, 4]
afis, eaza acelas, i lucru:A =
1 2
3 4�
Exemplul 2.3 Comenzile>> a = [1 2 3 4];
>> size(a)
nu afis, eaza vectorul a, dar afis, eaza marimea lui, adica afis, eaza un vectorcu doua elemente: numarul de linii s, i numarul de coloane al vectorului a
ans =
1 4
iar comanda>> length(a)
afis, eaza marimea vectorului aans =
4 �
Exemplul 2.4 Comenzile>> A = [1 2 ; 3 4];
>> size(A)
nu afis, eaza matricea A, dar afis, eaza marimea matricei A, adica afis, eazaun vector cu doua elemente: numarul de linii s, i numarul de coloane
ans =
2 2 �
19
Pentru a produce transpusa, rangul, determinantul s, i inversa avem ladispozit,ie comenzile:
ComandaMATLAB
Semnificat,ia
A.’ transpusa matricei A
A’ transpusa conjugata a matricei A(fiecare element al transpusei lui A este s, i conjugat)
rank(A) rangul matricei A
det(A) determinantul matricei A
inv(A) inversa matricei A
A^p este Ap, daca p∈ N∗
A^p este [inv(A)]-p, daca (-p)∈ N∗
A^p este determinata folosind valorile proprii, daca p /∈ Z∗
Exemplul 2.5 Comenzile>> A = [1 2 ; 3 4]; A.’
afis, eaza transpusa matricei Aans =
1 3
2 4
iar>> A’afis, eaza acelas, i lucru. �
Exemplul 2.6 Comenzile>> A = [1-i 2+i ; 3-2i 4-3i]; A.’
afis, eaza transpusa matricei Aans =
1-i 3-2i
2+i 4-3i
iar>> A’
afis, eaza transpusa conjugata a matricei A
20 2. Matrice
ans =
1+i 3+2i
2-i 4+3i�
MATLAB are un set comenzi care produc matrice cu valori speciale,utile în general sau utile în anumite discipline. Printre acestea amintim:
Comanda MATLAB Semnificat,ia
[ ] o matrice fara cont,inut
zeros(l,c) o matrice cu l linii s, i c coloane6s, icu toate elementele 0
ones(l,c) o matrice cu l linii s, i c coloane s, icu toate elementele 1
eye(l,c) o matrice cu l linii s, i c coloane s, icu 1 pe diagonala s, i 0 în rest
blkdiag(A1,A2,...)o matrice diagonala cu matriceleA1, A2, . . . pe diagonala(s, i în rest doar 0)
repmat(A,l,c) o matrice bloc obt,inuta prin replicareamatricei A pe l linii s, i c coloane
Matricele pot fi construite s, i cu ajutorul altor matrice, adica sub forma deblocuri de alte matrice.
Exemplul 2.7 Comenzile
>> A = [1 2 ; 3 4];
>> B = [A zeros(2,4) ; eye(4,2) ones(4) ; 10:-2:-1]
nu afis, eaza matricea A, dar afis, eaza matricea B. Aceasta este scrisa peblocuri (a fost creata cu ajutorul altor matrice).
B =
6 Daca se doreste o matrice patratica (la toate comenzile din acest tabel), atunci se poaterenunta la scrierea ambelor variabile. De exemplu, daca se scrie zeros(3) se obtine omatrice patratica de dimensiune 3 cu toate elementele 0
21
1 2 0 0 0 0
3 4 0 0 0 0
1 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
10 8 6 4 2 0�
Exemplul 2.8 Comenzile>> A = [1 2 3 ; 4 5 6]; B = [A; -1 -2 -3]
adauga la matricea A linia a 3-a suplimentara:B =
1 2 3
4 5 6
-1 -2 -3�
Exemplul 2.9 Comenzile>> A = [1 2 3 ; 4 5 6]; B = [-1 -2 -3 ; A]
adauga la matricea A o prima linie suplimentara:B =
-1 -2 -3
1 2 3
4 5 6�
Exemplul 2.10 Comenzile>> A = [1 2 3 ; 4 5 6] ; x = [-1 -2]’ ; B = [A , x]
adauga la matricea A coloana a 4-a suplimentara:B =
1 2 3 -1
4 5 6 -2�
22 2. Matrice
Exemplul 2.11 Comenzile>> A = [1 2 3 ; 4 5 6] ; x = [-1 -2]’ ; B = [x , A]
adauga la matricea A o prima coloana suplimentara:A =
-1 1 2 3
-2 4 5 6�
Exemplul 2.12 Comenzile
>> A = [1 2 ; 3 4]; C = blkdiag(A,ones(2))
afis, eaza matricea C:
C =
1 2 0 0
3 4 0 0
0 0 1 1
0 0 1 1�
Exemplul 2.13 Comenzile
>> A = [1 2 ; 3 4]; D = repmat(A,2,3)
afis, eaza matricea D:
D =1 2 1 2 1 2
3 4 3 4 3 4
1 2 1 2 1 2
3 4 3 4 3 4�
Exemplul 2.14 Daca vrem ca cream o matrice cu acelas, i element peste tot,avem la dispozit,ie mai multe variante. Astfel urmatoarele comenzi (lescriem în ordine: de la cea mai lenta la cea mai rapida):
>> A = pi*ones(2,3), B = pi+zeros(2,3),>> x = pi, C = x(ones(2,3)), D = repmat(pi,2,3)
afis, eaza aceeas, i matrice:
23
3.1416 3.1416 3.1416
3.1416 3.1416 3.1416�
Simularile din cadrul aplicat,iilor (din matematica, fizica etc.) cer de-seori crearea s, i utilizarea de numere aleatoare. MATLAB are trei comenzi(rand, randn s, i randi) care pot fi folosite pentru obt,inerea de numereaaleatoare:
Comanda MATLAB Semnificat,ia
rand un numar uniform distribuit intre 0 si 1
rand(l,c)o matrice cu l linii s, i c coloane s, icu toate elementele distribuiteuniform între 0 s, i 1
randperm(n)un vector linie cu n elemente care suntpermutari aleatoare ale numerelorde la 1 la n
randn(l,c)
o matrice cu l linii s, i c coloane s, icu toate elementele distribuite normal standard(adica distribut,ia normalade medie 0 s, i dispersie 1)
randi(n) un numar întreg uniform distribuit intre 1 si n
randi(n,l,c)o matrice cu l linii s, i c coloane s, icu toate elementele întregi s, idistribuite uniform între 1 s, i n
Este cunoscut, din cadrul Teoriei Probabilitat,ilor, ca daca se dores, te genera-rea unor elemente distribuite uniform între doua numere reale a s, i b, atuncifolosim relat,ia de legatura: variabila aleatoare X este distribuita uniformîntre 0 s, i 1 daca s, i numai daca (b− a)X + a este distribuita uniform între as, i b.
De asemenea, variabila aleatoare X este distribuita normal standard,adica de medie 0 s, i dispersie (variant,a) 1, daca s, i numai daca
√σ2X +m
este distribuita normal de medie m s, i dispersie (variant,a) σ2.
Exemplul 2.15 Comenzile>> A = rand(2,3) , B = 9*rand(2,3)+1
24 2. Matrice
genereaza o matrice A de tip 2 × 3 cu elementele fiind numere realedistribuite uniform între 0 s, i 1 s, i o matrice B de tip 2 × 3 cu elementelefiind numere reale distribuite uniform între 1 s, i 10
A =0.96 0.80 0.42
0.49 0.14 0.91B =
7.35 3.49 1.87
1.29 1.42 8.41�
Exemplul 2.16 Comenzile>> A = randn(2,3) , B = 0.2*randn(2,3)+10
genereaza o matrice A de tip 2 × 3 cu elementele fiind numere realedistribuite normal standard (distribuite normal, cu media 0 s, i dispersia1 ) s, i o matrice B de tip 2 × 3 cu elementele fiind numere reale distribuitenormal cu media 10 s, i dispersia 0.22. �
Exemplul 2.17 Comenzile>> A = randi(10,2,3)
genereaza o matrice A de tip 2 × 3 cu elementele fiind numere întregidistribuite uniform între 1 s, i 10. �
Pentru a construi tablouri sunt utile s, i comenzile:
ComandaMATLAB
Semnificat,ia
x = a:b se genereaza un vector linie cu numerede la a la b (numere reale) s, i cu pasul 1
x = a:h:b se genereaza un vector linie cu numerede la a la b (numere reale) s, i cu pasul h
x = linspace(a,b,n) se genereaza un vector liniecu n numere echidistante de la a la b
x = logspace(a,b,n) se genereaza un vector linie cu n numerede la 10a la 10b s, i spat,iate logaritmic7
7 De fapt, se genereaza n numere echidistante de la a la b: a1=a,a2,...,an−1,an=bs, i apoi se scrie vectorul linie 10a1 ,10a2 ,10a3 ,. . . ,10an .
25
Exemplul 2.18 Comanda>> x = 0:3:10
afis, eaza un vector linie, cu elemente echidistante de la 0 la 10, cu pasul3:
x =
0 3 6 9
Comanda>> x = (0:0.1:1)*pi
afis, eaza un vector linie cu 11 coloane, cu elemente echidistante de la 0la 1, cu pasul 0.1 s, i apoi fiecare element al vectorului înmult,it cu π. �
MATLAB are un set comenzi prin care se pot manipula matricele. Printreacestea amintim:
Comanda MATLAB Semnificat,ia
flipud(A)rotirea matricei A în jurulaxei orizontale de simetrie(flip up-down)
fliplr(A)rotirea matricei A în jurulaxei verticale de simetrie(flip left-right)
rot90(A) rotirea matricei A cu 90 de gradeîn sens direct trigonometric
rot90(A,2) rotirea matricei A cu 2*90 de gradeîn sens direct trigonometric
reshape(A,m,n)
doar o matrice A care are m×n elementepoate fi rearanjata în m linii s, i n coloane(se scriu toate coloanele lui A, începând cu prima,una sub alta s, i apoi se rearanjeaza elementele)
diag(A)rezultatul este un vector coloanacu diagonala matricei A(A nu e neaparat patratica)
diag(a)rezultatul este o matrice diagonalacu vectorul a pus pe diagonala(restul elementelor sunt 0)
26 2. Matrice
triu(A)
extrage partea triunghiular superioaradin matricea A (nu neaparat patratica)(restul elementelor sunt 0)(upper triangular)
tril(A)
extrage partea triunghiular inferioaradin matricea A (nu neaparat patratica)(restul elementelor sunt 0)(lower triangular)
Exemplul 2.19 Comenzile
>> A = [1 2 3 ; 4 5 6], B = reshape(A,3,2)
afis, eaza
A =
1 2 3
4 5 6
apoi produce matricea coloana cu toate coloanele lui A puse una subalta apoi le reordoneaza:
B =
1 5
4 3
2 6�
Exemplul 2.20 Comenzile
>> A = 1:12 ;>> B = A’ ; C = reshape(B,3,4)
afis, eaza
C =
1 4 7 10
2 5 8 11
3 6 9 12
Comanda D = reshape(A,3,4) va afis, a aceeas, i matrice C.Iar comanda
27
>> E = C’
afis, eaza
E =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12�
Exemplul 2.21 Comenzile
>> A = 1:12 ;>> B = A’ ; C = reshape(B,4,3)
afis, eaza
C =
1 5 9
2 6 10
3 7 11
4 8 12
Comanda D = reshape(A,4,3) va afis, a aceeas, i matrice C.Iar comanda
>> E = C’
afis, eaza
E =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12�
Exemplul 2.22 Comenzile>> A = reshape(1:12,4,3), B = A’afis, eaza
A =
28 2. Matrice
1 5 9
2 6 10
3 7 11
4 8 12
B =1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12�
Exemplul 2.23 Comenzile
>> A = [1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9];>> b = diag(A)>> C = diag(diag(A))>> D = A-diag(diag(A))>> E = triu(A)-diag(diag(A))
afis, eaza vectorul b dat de diagonala lui A:b =
1
5
9
s, i matricea C (matricea A din care am pastrat doar diagonala ei):C =
1 0 0
0 5 0
0 0 9
s, i matricea D (matricea A fara diagonala ei):D =
0 2 3
4 0 6
7 8 0
precum s, i partea triunghiular superioara a matricei A dar fara diago-nala principala:
29
E =
0 2 3
0 0 6
0 0 0�
Avem urmatoarele generalizari în ceea ce proves, te diag s, i triu s, itril
ComandaMATLAB
Semnificat,ia
diag(a,k)
rezultatul este o matrice diagonalacu vectorul a pus pe diagonala principala translata cuk unitat,i deasupra (pentru k>0)sau cu k unitat,i dedesubt (pentru k<0)(restul elementelor sunt 0)
diag(A,k)rezultatul este un vector coloanacu diagonala k a matricei A(A nu e neaparat patratica)
triu(A,k)extrage partea triunghiular superioaradiagonalei k a matricei A (nu neaparat patratica)(restul elementelor sunt 0)
tril(A,k)extrage partea triunghiular inferioaradiagonalei k a matricei A (nu neaparat patratica)(restul elementelor sunt 0)
Exemplul 2.24 Comenzile>> a = [1 2 3];
>> A_1 = diag(a), A_2 = diag(a,1), A_3 = diag(a,-2)
afis, eaza matricele:A_1 =
1 0 0
0 2 0
0 0 3
A_2 =
30 2. Matrice
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 3
0 0 0 0
A_3 =
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 3 0 0�
2.1 Utilizarea semnului : în manipularea matricelor
Elementele unui vector a pot fi apelate scriind a(i) iar elementele uneimatrice A pot fi apelate scriind A(i,j)
Mai exista s, i varianta de apelare A(n), unde n este indexul elementuluimatricei A. Indexarea se face astfel: se scriu toate coloanele lui A, începândcu prima, una sub alta s, i apoi se numeroteaza elementele; adica elementelematricei coloana A(:).
Exemplul 2.25 Comenzile
>> A = 1:12 ; B = A’ ; C = reshape(B,3,4);>> elem1 = C(1,3) , elem2 = C(7)
afis, eaza aceeas, i valoare:
elem1 = 7 s, i elem2 = 7 �
Daca se dores, te o întreaga submatrice a matricei A, atunci se scrie
A(i:j,k:l)
s, i se obt,ine submatricea cu elementele de la linia i pâna j s, i de la coloanak pâna l
Daca se dores, te coloana c a lui A, atunci se scrie
A(:,c)
2.1. Utilizarea semnului : în manipularea matricelor 31
iar daca se dores, te linia l a lui A, atunci se scrie
A(l,:)
iar daca se scrieA(:)
se obt,in un vector coloana cu toate elementele matricei A (este exact coloanape care comanda reshape(A,m,n) o rearanjeaza apoi pe m linii s, i n coloa-ne).
Daca se scrieA(:,k:l)
se obt,ine partea matricei A de la coloana k pâna la coloana l iar daca sescrie
A(i:j,:)
se obt,ine partea matricei A de la linia i pâna la linia j.Similar, daca se scrie
a(k:l)
se obt,ine partea vectorului a de la elementul k pâna la elementul l.
Exemplul 2.26 Comanda>> x = (0:0.1:1)*pi , x_2 = x(2)afis, eaza al 2-lea element al vectorului x:x_2 =
3.142Comanda>> x_1_3 = x(1:3)
afis, eaza elementele vectorului x de la primul pâna la al 3-lea:x_1_3 =
0 0.3142 0.6283
Comanda>> x_6_end = x(6:end)
afis, eaza elementele vectorului x de la al 6-lea pâna la ultimul.iar comanda>> x_6_11 = x(6:11)
afis, eaza acelas, i lucru (vectorul are 11 elemente). �
32 2. Matrice
Exemplul 2.27 Comenzile (vezi Exemplele 2.20–2.22)>> A = (reshape(1:12,4,3))’ ; B = A(:,2:3)
afis, eaza o parte a matricei A, cea de la linia 1 pâna la linia 3 s, i de lacoloana a 2-a pâna la coloana a 3-a:
B =
2 3
6 7
10 11
(comanda B = A(1:3,2:3) are acelas, i efect). �
Exemplul 2.28 Comenzile>> A = (reshape(1:12,4,3))’ ; x = [0 0 0]’;>> B = [ A(:,1:2) , x , A(:,3:4) ]
insereaza coloana x între coloanele 2 s, i 3 ale matricei A (am compuso noua matrice din coloanele 1-2 din A, apoi am adaugat coloana x, apoicoloanele 3-4):
B =
1 2 0 3 4
5 6 0 7 8
9 10 0 11 12
(comanda B=[A(1:3,1:2),x,A(1:3,3:4)] are acelas, i efect). �
Exemplul 2.29 Comenzile>> A = (reshape(1:12,4,3))’ ; x = [0 0 0 0];>> B = [ A(1:2,:) ; x ; A(3,:)]
insereaza linia x între liniile 2 s, i 3 ale matricei A (am compus o nouamatrice din liniile 1-2 din A, apoi am adaugat linia x, apoi linia 3):
B =
1 2 3 4
5 6 7 8
0 0 0 0
9 10 11 12
(comanda B=[A(1:2,1:4);x;A(3,1:4)] are acelas, i efect). �
2.1. Utilizarea semnului : în manipularea matricelor 33
Alte modalitat,i prin care MATLAB poate crea s, i manipula matrice suntdate de urmatoarele exemple concrete, dar importante.
Exemplul 2.30 Comenzile>> a = 7 ; a(ones(3,4))
afis, eaza o matrice de tip 3× 4 cu valoarea a pe orice pozit,ieans =
7 7 7 7
7 7 7 7
7 7 7 7�
Exemplul 2.31 Comenzile>> a = 12:-1:5 ; a(3) = 99
afis, eaza vectorul a cu elementul de pe pozit,ia 3 înlocuit cu 99:a =
12 11 99 9 8 7 6 5�
Exemplul 2.32 Comenzile>> a = 1:4 ; a(8) = 99
afis, eaza vectorul a cu elementul de pe pozit,ia 8 înlocuit cu 99; dacaaceste pozit,ii nu exista în vectorul a, atunci se extinde vectorul punând 0 :
a =
1 2 3 4 0 0 0 99
Similar, comanda>> b(8) = 99
afis, eaza vectorul b (care nu a fost definit în prealabil) cu elementul depe pozit,ia 8 înlocuit cu 99; daca aceste pozit,ii nu exista în vectorul b,atunci se extinde vectorul punând 0 :
b =
0 0 0 0 0 0 0 99�
Exemplul 2.33 Comenzile>> A = (reshape(1:12,4,3))’ ; A(2,3) = 99
afis, eaza matricea A cu elementul de pe pozit,ia (2, 3) înlocuit cu 99:
34 2. Matrice
A =
1 2 3 4
5 6 99 8
9 10 11 12�
Exemplul 2.34 Comenzile>> A = (reshape(1:12,4,3))’ ; A(2,7) = 99
afis, eaza matricea A cu elementul de pe pozit,ia (2, 7) înlocuit cu 99;daca aceasta pozit,ie nu exista în matricea A, atunci se extinde matricea Apunând 0 în rest:
B =
1 2 3 4 0 0 0
5 6 7 8 0 0 99
9 10 11 12 0 0 0�
Exemplul 2.35 Comenzile>> A = (reshape(1:12,4,3))’ ; A(:) = 99
afis, eaza matricea A cu toate elementele înlocuite cu 99:A =
99 99 99 99
99 99 99 99
99 99 99 99�
Exemplul 2.36 Comenzile>> A = (reshape(1:12,4,3))’ ; A(:,3) = 99
afis, eaza matricea A cu coloana a 3-a înlocuita cu 99:A =
1 2 99 4
5 6 99 8
9 10 99 12
(funct,ioneaza s, i varianta de înlocuire a unei linii). �
2.1. Utilizarea semnului : în manipularea matricelor 35
Exemplul 2.37 Comenzile>> A = (reshape(1:12,4,3))’ ; A(:,3)=[99 100 101]
afis, eaza matricea A cu coloana a 3-a înlocuita cu coloana [99 100101]’:
A =
1 2 99 4
5 6 100 8
9 10 101 12
(funct,ioneaza s, i varianta de înlocuire a unei linii).Acelas, i efect îl are s, i comanda A(:,3)=[99 100 101]’ �
Exemplul 2.38 Comenzile>> A = (reshape(1:12,4,3))’ ;>> A(:,3:4)=[99 100 101; 0 0 0]’
afis, eaza matricea A cu coloanele de la a 3-a pâna la a 4-a înlocuite cumatricea [99 100 101; 0 0 0]’:
A =
1 2 99 0
5 6 100 0
9 10 101 0
(funct,ioneaza s, i varianta de înlocuire a unor linii). �
Exemplul 2.39 Comenzile>> a = 1:4 ; a(5:7) = 10:3:18
afis, eaza vectorul a cu elementele de la al 5-lea pâna la al 7-lea suntînlocuite cu [10 13 16]; daca aceste pozit,ii nu exista în vectorul a, a-tunci se extinde vectorul (eventual se adauga s, i 0 acolo unde nu este pre-cizata nici o valoare):
a =
1 2 3 4 10 13 16�
Exemplul 2.40 Comenzile>> A = (reshape(1:12,4,3))’ ; A(:,6) = [99 100 101]
36 2. Matrice
afis, eaza matricea A cu coloana a 6-a înlocuita cu coloana [99 100101]’; daca aceasta pozit,ie nu exista în matricea A, atunci se extinde ma-tricea A punând 0 în rest:
A =
1 2 3 4 0 99
5 6 7 8 0 100
9 10 11 12 0 101
(funct,ioneaza s, i varianta de adaugare a unei linii noi). �
Exemplul 2.41 Comenzile>> a = 1:12 ; a(2:4) = [ ]
afis, eaza vectorul a cu elementele de la 2 pâna la 4 eliminate:a =
1 5 6 7 8 9 10 11 12�
Exemplul 2.42 Comenzile>> A = (reshape(1:12,4,3))’ ; A(:,3) = [ ]
afis, eaza matricea A cu coloana a 3-a eliminata:A =
1 2 4
5 6 8
9 10 12�
Exemplul 2.43 Comenzile>> A = (reshape(1:12,4,3))’ ; A(:,1:2) = [ ]
afis, eaza matricea A cu coloanele de la 1 pâna la 2 eliminate:A =
3 4
7 8
11 12�
Exemplul 2.44 Comenzile>> A = (reshape(1:12,4,3))’ ; A(:,[1 3]) = [ ]
2.1. Utilizarea semnului : în manipularea matricelor 37
afis, eaza matricea A cu coloanele 1 s, i 3 eliminate:A =
2 4
6 8
10 12�
Exemplul 2.45 Comenzile>> A = (reshape(1:12,4,3))’ ; A(2,:) = [ ]
afis, eaza matricea A cu linia a 2-a eliminata:A =
1 2 3 4
9 10 11 12�
Exemplul 2.46 Comenzile>> A = (reshape(1:12,4,3))’ ; A(2:3,:) = [ ]
afis, eaza matricea A cu liniile de la 2 pâna la 3 eliminate:A =
1 2 3 4�
Exemplul 2.47 Comenzile>> A = (reshape(1:12,4,3))’ ; A([1 3],:) = [ ]
afis, eaza matricea A cu liniile 1 s, i 3 eliminate:A =
5 6 7 8�
Exemplul 2.48 Comenzile>> A = (reshape(1:12,4,3))’ ; A(:,[2,4])=A(:,[4,2])
afis, eaza matricea A cu coloanele 2 s, i 4 schimbate între ele:A =
1 4 3 2
5 8 7 6
9 12 11 10
(funct,ioneaza s, i varianta de schimbare între ele a doua linii). �
38 2. Matrice
2.2 Operarea element cu element
Operat,iile cu matrice sunt aceleas, i cu cele date de tabelul de la pagina7, din cazul numerelor. Ment,ionam ca operat,iile pot fi efectuate atât în sensmatriceal cât s, i element cu element (în ambele cazuri dimensiunile trebuiesa fie astfel încât operat,iile sa poata fi facute).
Precizam doar ca, în cazul împart,irii,
ComandaMATLAB
Semnificat,ia
A/B este8solut,ia X a sistemului X*B = A
A\B este9solut,ia X a sistemului A*X = B
În cazul operat,iilor element cu element, fie doua matrice A = (ai,j) s, iB = (bi,j) . Atunci
ComandaMATLAB10 Semnificat,ia
A.*Brezultatul este o matrice cu elementele ai,j · bi,j(se poate ca B sa fie s, i scalar)
A.^B rezultatul este o matrice cu elementele (ai,j)bi,j
(se poate ca B sa fie s, i scalar)
A./B rezultatul este o matrice cu elementele ai,j/bi,j := ai,j · b−1i,j(se poate ca B sa fie s, i scalar)
A.\B rezultatul este o matrice cu elementele ai,j\bi,j := a−1i,j · bi,j(se poate ca B sa fie s, i scalar)
Pentru a obt,ine produsul scalar sau cel vectorial dintre doi vectori x s, i yavem la dispozit,ie comenzile:
8 Înmult,ind cu B^(-1) în partea dreapta obt,inem ca rezultatul X este matriceaA*B^(-1).
9 Înmult,ind cu A^(-1) în partea stânga obt,inem ca rezultatul X este matricea A^(-1)*B.Cu toate acestea, pentru a determina vectorul X, MATLAB nu calculeaza inversa A^(-1)(care foloses, te o metoda mai put,in precisa) ci aplica o metoda numerica care rezolva efectivsistemul A*X = B, mai precis metoda de eliminare a lui Gauss (diferent,ele de precizie sevad daca matricele sunt de dimensiuni mari).
10 Nu trebuie lasat un spat,iu liber înainte de operator. Astfel, comanda A. *B va pro-duce o eroare.
2.2. Operarea element cu element 39
ComandaMATLAB
Semnificat,ia
x*y’rezultatul este înmult,irea liniei x cu coloana y’(adica produsul scalar dintre vectorii linie x s, i y )
dot(x,y) rezultatul este produsul scalar dintre vectorii x s, i y
cross(x,y) rezultatul este produsul vectorial dintre vectorii x s, i y
Exemplul 2.49 Comenzile
>> A = [1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9]; dif = A - 5*A
afis, eaza diferent,a matricelor A cu 5*A.
Comanda
>> a = 1./A
afis, eaza matricea cu elementele 1/ai,j = (ai,j)−1 :
a =
1.0000 0.5000 0.3333
0.2500 0.2000 0.1667
0.1429 0.1250 0.1111
Comenzile
>> B = ones(3); b = B./A
afis, eaza matricea cu elementele bij/ai,j = bij (ai,j)−1 :
b =
1.0000 0.5000 0.3333
0.2500 0.2000 0.1667
0.1429 0.1250 0.1111
Comanda
>> c = A^2
afis, eaza patratul matricei matricei A; trebuie ca dimensiunile sa fie astfelîncât sa se poate efectua înmult,irea matricelor A cu A.
Comanda
40 2. Matrice
>> d = A.^2
afis, eaza matricea A cu fiecare element ridicat la patrat:d =
1 4 9
16 25 36
49 64 81
Comanda
>> e = A.^(-1)
afis, eaza matricea cu elementele (ai,j)−1 .
Comanda
>> f = 2.^A
afis, eaza matricea cu elementele 2ai,j .
Comanda
>> g = A.^B
afis, eaza matricea cu elementele (ai,j)bi,j . �
2.3 Analiza datelor
MATLAB poate realiza o analiza statistica a seturilor de date. Acestedate sunt, mai întâi, organizate s, i reprezentate în tablouri.
Ca o convent,ie, fiecare coloana a tabloului reprezinta rezultatele ma-surarii aceleas, i variabile pentru fiecare element al es, antionului (al select,ieistatistice) considerat (de exemplu, punctajele obt,inute la disciplina D1 decatre fiecare elev în parte din es, antionul considerat) iar fiecare linie reprez-inta un set observat,ii citite pentru un element al es, antionului (de exem-plu, punctajele obt,inute la disciplinele D1, D2, D3,. . . de catre un elev dines, antionul considerat).
Printre comenzile legate de analiza datelor amintim pe urmatoarele.Acestea se pot aplica atât unei matrice A, cât s, i unui vector a (linie saucoloana). În caz ca se aplica unei matrice, aceste comenzi act,ioneaza asuprafiecarei coloane în parte; astfel rezultatul va fi un vector linie (cu un numarde coloane egal cu coloanele matricei A).
2.3. Analiza datelor 41
Comanda MATLAB Semnificat,ia
max(A) maximul elementelor fiecarei coloane a matricei A
min(A) minimul elementelor fiecarei coloane a matricei A
mean(A) media aritmetica a elementelor fiecareicoloane a matricei A
median(A) mediana elementelor fiecarei coloane a matricei A
var(A) dispersia (sau variant,a) elementelor fiecareicoloane a matricei A
std(A) deviat,ia standard elementelor fiecareicoloane a matricei A
cov(A) matricea cu coeficient,ii de covariant,aasociat,i coloanelor matricei A
corrcoef(A) matricea cu coeficient,ii de corelat,ieasociat,i coloanelor matricei A
sort(A) aranjarea în ordine crescatoare a elementelorfiecarei coloane a matricei A
sum(A) suma elementelor fiecarei coloane a matricei A
cumsum(A) suma cumulata a elementelor fiecarei coloanea matricei A (i.e.
∑ij=1 xj )
prod(A) produsul elementelor fiecarei coloane a matricei A
cumprod(A) produsul cumulat al elementelor fiecarei coloanea matricei A (i.e.
∏ij=1 xj )
diff(A) diferent,a elementelor fiecarei coloane a matricei A(i.e. x2 − x1, x3 − x2, . . . , xn − xn−1)
Exemplul 2.50 Comenzile
>> a = rand(1,5);>> min = min(a) , max = max(a) , media = mean(a)>> cresc = sort(a) , descr = -sort(-a)>> suma = sum(a) , sumacumul = cumsum(a)
afis, eaza
42 2. Matrice
a =
0.44 0.38 0.77 0.80 0.19min =
0.19max =
0.80media =
0.51cresc =
0.19 0.38 0.44 0.77 0.80descr =
0.80 0.77 0.44 0.38 0.19suma =
2.57sumacumul =
0.19 0.57 1.01 1.78 2.57�
Exemplul 2.51 În ceea ce prives, te comanda sort, pentru a obt,ine aran-jarea în ordine descrescatoare, am folosit comanda -sort(-a)
Dar comanda sort permitea indicarea modului cum sa faca aranjarea.Astfel, comanda
>> cresc2 = sort(a,’ascend’)are acelas, i efect cu comanda cresc = sort(a), adicacresc2 =
0.19 0.38 0.44 0.77 0.80
iar comanda>> descr2 = sort(a,’descend’)are acelas, i efect cu comanda descr = -sort(-a), adicadescr2 =
0.80 0.77 0.44 0.38 0.19�
Exemplul 2.52 Comenzile
>> A = rand(5,2);>> min = min(A) , max = max(A) , media = mean(A)>> suma = sum(A) , sumacumul = cumsum(A)
afis, eaza
2.3. Analiza datelor 43
A =
0.17 0.91
0.36 0.09
0.88 0.18
0.74 0.95
0.42 0.10min =
0.17 0.09max =
0.88 0.95media =
0.51 0.45
iar comanda
>> minabs = min(min(A)) , maxabs = max(max(A))
afis, eaza minumul s, i apoi maximul tuturor elementelor lui Aminabs =
0.09maxabs =
0.95
Acelas, i rezultat se poate obt,ine daca se folosesc comenzile
>> minabs2 = min(A(:)) , maxabs2 = max(A(:))
(deoarece A(:) afis, eaza o coloana cu toate coloanele lui A puse una subalta). �
Exemplul 2.53 Exista s, i posibilitatea afis, arii indicelui elementului minimsau maxim. Astfel daca se scrie
>> [minim,i] = min(A)
se obt,in valorile minime (vector notat de noi cu minim) ale fiecareicoloane a lui A, precum s, i indicii (vector notat de noi cu i), în cadrul acelorcoloane, a respectivelor valori minime:
minim =
0.17 0.09i =
1 0.09
44 2. Matrice
iar
>> [maxim,j] = max(A)
se obt,in valorile maxime (vector notat de noi cu maxim) ale fiecareicoloane a lui A, precum s, i indicii (vector notat de noi cu j), în cadrul acelorcoloane, a respectivelor valori maxime:
maxim =
0.88 0.95j =
3 4 �
Funct,ia max(A,a) returneaza maximul dintre elementele matricei A s, iscalarul a.
Funct,ia max(A,B) returneaza maximul dintre elementele matricei A s, iale matricei B (trebuie sa aiba aceas, i dimensiune cu A).
Capitolul 3
Fisiere de tip script
Pentru probleme simple utilizarea ferestrei Command Window este sufi-cienta (este rapida s, i eficienta). Dar daca numarul comenzilor cres, te s, i/sause dores, te schimbarea unora dintre comenzi s, i/sau se dores, te schimbareavalorilor unor variabile, este mult mai dificil de gestionat schimbarile în ca-drul Command Window. În acest sens, MATLAB permite crearea unor fis, iereseparate, doar cu o succesiune de comenzi. Acestea pot fi executate ca s, icum ar fi fost scrise direct în Command Window iar rezultatele vor apareefectiv în Command Window.
Asemenea fis, iere sunt numite fisiere de tip script (de la termenul scriptcare înseamna faptul ca MATLAB cites, te efectiv caracterele din acel fis, ier)sau fis, iere de tip M (deoarece fis, ierele script au extensia .m).
Sa ment,ionam ca fis, ierele de tip M pot fi utilizate s, i pentru a definifunct,ii. Prima linie a acestui tip de fis, iere începe obligatoriu cu cuvântulfunction
Pentru a crea un fis, ier de tip M se alege, din bara de instrumente (tool-bar), New Script sau New s, i apoi se alege Script (sau Function, dacase dores, te un fis, ier M pentru a defini o funct,ie).
Daca în Command Window se scrie>> edit
se deschide fereastra cu editorul MATLAB-ului.
Apoi aceste fis, iere trebuie salvate. Numele trebuie sa înceapa cu o literacare poate fi urmata apoi de orice litera, cifra sau de simboluri underscore.
Pentru a deschide un fis, ier de tip M deja existent se alege, din bara deinstrumente, Open.
45
46 3. Fisiere de tip script
Daca în Command Window scriem (în dreptul prompterului) numele e-xact (fara extensie) al acelui fis, ier, MATLAB va executa comenzile scrise înfis, ier, ca s, i cum ar fi fost scrise direct în Command Window. Rezultatele vorapare în Command Window.
De asemenea, fis, ierul se va executa s, i daca utilizam Run din bara deinstrumente sau tastam F5
Ment,ionam ca pentru a executa fis, ierul script folderul ce apare în fe-reastra Current Folder trebuie sa coincida cu cel în care este salvat acel fis, ierscript.
În general, este util sa adaugam s, i o scurta descriere a comenzilor ceapar în acel script. Acestea se pot scrie daca inseram comentarii prin folo-sirea semnului % (liniile care încep cu % nu se vor executa)
Daca dorim sa scriem mai multe linii cu comentarii, putem folosi de-limitatorii %{ %} s, i sa scriem în interiorul lor, pe diferite linii (dar nu îndreptul semnelor %{ s, i %} ).
Exemplul 3.1 Prezentam cont,inutul unui fis, ier de tip script (sau de tip M):
% acesta este primul fisier de tip script% deci este un fisier cu extensia .m
%{vom scrie produsul scalar si norma vectorilormai intai generam doi vectori de dimensiune (4n+1)%}
n = 10 ; x = -n:.5:n ; y = 0:.5:2*n ;
ps1 = x*y’ , ps2 = dot(x,y) , ps3 = sum(x.*y)
norma1 = sqrt(sum(x.^2)) , norma2 = norm(x)
Salvam aces fis, ier cu numele ProdScal_Norma s, i cu extensia .mDaca scriem apoi în Command Window
>> ProdScal_Norma
se va executa acest fis, ier s, i se va afis, a
ps1 = 1435 ps2 = 1435 ps3 = 1435norma1 = 37.8814 , norma2 = 37.8814 �
De asemenea, ment,ionam ca atunci când se executa un fis, ier de tip scriptvariabilele ce sunt utilizate în acel fis, ier trebuie sa fie deja definite s, i cunume atribuit.
47
În general, definirea s, i numirea unor variabile se poate face în trei mo-duri:
• ori declaram s, i numim variabilele într-un fis, ier de tip script (dupaprima executare a acestuia, toate variabilele declarate în el vor apares, i ele în Workspace);
• ori în Command Window (s, i ele vor apare automat în Workspace);
• sau utilizând comanda input care are structura:
nume_var = input(’text_afisat’)
unde: nume_var este numele dat de noi variabilei iar text_afisateste s, irul de caractere (textul) ce se dores, te sa apara în Command Win-dow.
Când comanda de mai sus este executata, textul va fi afis, at în Co-mmand Window s, i va cere utilizatorului sa introduca o valoare ce va finumita nume_var. Utilizatorul introduce valoarea s, i tasteaza Enter.Daca se adauga semnul ; dupa comanda, atunci valoarea introdusade noi a variabilei nu se va mai afis, a.
Comanda input are s, i posibilitatea de a cere (s, i atribui un nume)unui s, ir de caractere (string):
nume_var = input(’text_afisat’,’s’)
Exemplul 3.2 Daca scriem
>> R = input(’Introduceti raza cercului = ’)
se va afis, a
Introduceti raza cercului =
Apoi utilizatorul trebuie sa introduca o valoare (de exemplu, 5) iar,dupa ce se tasteaza Enter, va apare
R =5 �
As, a cum am vazut deja, MATLAB genereaza automat un display, cândanumite comenzi sunt executate; de exemplu, când o valoare este atribuitaunei variabile s, i se tasteaza Enter s, i apare în display variabila s, i valoareaei.
48 3. Fisiere de tip script
În afara acestei afis, ari automate MATLAB pune la dispozit,ie alte douacomenzi: comanda disp prin care se poate afis, a un text s, i/sau date nu-merice s, i comanda fprintf prin care se poate afis, a un text s, i/sau datenumerice preferate de noi s, i se pot, eventual, salva într-un fis, ier.
Comanda disp are structura:
disp(’nume_var’)
saudisp(’text_afisat_doar_caractere’)
Comanda disp poate afis, a s, i variabile daca le convertim în caractere. A-ceasta poate fi facuta folosind comanda num2str care are structura:
num2str(nume_var,6)
saunum2str(nume_var,’%-5.2f’)
unde:
• nume_var este variabila a carei valoare se dores, te a fi transformataîn caractere (trebuie sa fie definita în prealabil);
• 6 indica numarul total de cifre (ale variabilei nume_var) ce dorim safie afis, ate;
• % indica începerea operatorului de formatare;
• - indica alinierea la stânga a numarului afis, at (exista s, i varianta +care, daca e utilizata, va afis, a semnul numarului);
• 5 indica lat,imea câmpului;
• 2 indica numarul de zecimale (ale valorii variabilei) ce se dores, te a fiafis, ate;
• f indica formatul de afis, are al numarului (exista s, i variantele: e, g,i).
Pentru a folosi efectiv comanda num2str în cadrul comenzii disp veziurmatorul exemplu.
49
Exemplul 3.3 Sa introducem trei note (cream vectorul nota s, i introducemcomponentele lui) s, i sa le calculam media:
>> nota(1) = 7; nota(2) = 9; nota(3) = 10;>> media = mean(nota)
Varianta mai simpla de afis, are este (pentru aceasta, mai întâi, cream unvector cu textul de afis, at):
>> a = [’Media notelor introduse este ’ ,num2str(media)];
>> disp(a)
Alta varianta de afis, are este (dorim sa afis, am valoarea în formatul demaxim 4 cifre):
>> b = [’Media notelor introduse este ’ ,num2str(media,4)];
>> disp(b)
Alta varianta de afis, are este (dorim sa afis, am valoarea în formatul denumar cu doua zecimale):
>> c = [’Media notelor introduse este ’ ,num2str(media,’%.2f’)];
>> disp(c)
Sa afis, am notele introduse s, i media lor:
>> d=[’Am introdus notele ’ , num2str(nota(1),’%.2f’),’, ’ , num2str(nota(2),’%.2f’), ’ si’, num2str(nota(3),’%.2f’), ’si am obtinutmedia ’, num2str(media,’%.2f’)];
>> disp(d) �
Comanda fprintf (în varianta mai simpla, de afis, are a unui text) arestructura:
fprintf(’text_afisat_doar_caractere’)
Aceasta comanda poate fi folosita în Command Window, într-un fis, ier de tipscript sau într-un fis, ier de tip function.
Daca se dores, te trecerea pe o linie noua, în cadrul s, irului de caractereafis, ate (de exemplu, daca fraza afis, ata e prea lunga), atunci se insereaza
\n
50 3. Fisiere de tip script
înaintea caracterului care se dores, te sa apara pe o noua linie.Ment,ionam s, i faptul ca este util sa adaugam \n s, i la sfârs, itul textului de
afis, at; doar as, a prompterul MATLAB va apare pe o linie noua (altfel el vaaparea în continuarea textului afis, at).
Astfel, daca exista mai multe comenzi de tip fprintf (s, i fara semnul; la sfârs, it), atunci ele vor afixa textele lor în continuu, unul dupa altul. Deaceea este util utilizarea comenzii \n pentru a se trece la o alta linie.
De asemenea, daca se dores, te, este util sa adaugam comanda
fprintf(’\n’)
dupa o alta comanda de tip fprintf pentru a insera o linie noua (faracont,inut), adica un spat,iu vertical dupa textul precedent.
Daca se dores, te inserarea unui spat,iu TAB în cadrul s, irului de caractereafis, ate, atunci se insereaza
\t
acolo unde se dores, te inserarea spat,iului.
Exemplul 3.4 Daca scriem
>> fprintf(’Problema nu are solutie. \nVerificatidatele de intrare ! \n’)
se va afis, a
Problema nu are solutie.Verificati datele de intrare !>> �
Daca exista mai multe comenzi de tip fprintf (s, i fara semnul ; lasfârs, it), atunci ele vor afixa textele lor în continuu, unul dupa altul. Deaceea este util utilizarea comenzii \n pentru a se trece la o alta linie.
Comanda fprintf (în varianta de afis, are a unui text dar s, i a datelornumerice) are structura:
fprintf(’text %-5.2f alt text’, nume_var)
unde:
• % indica începerea operatorului de formatare (deci faptul ca inseramvaloarea unei variabile); pot fi scrise mai multe semne % (deci vomapela corespunzator mai multe variabile);
51
• nume_var este variabila ce se dores, te a fi afis, ata (trebuie sa fie definitaîn prealabil); pot fi enumerate mai multe variabile (deci în text vorapare corespunzator mai multe semne % );
• - indica alinierea la stânga a numarului afis, at (exista s, i varianta +care, daca e utilizata, va afis, a semnul numarului);
• 5 indica lat,imea câmpului;
• 2 indica numarul de zecimale (ale valorii variabilei) ce se doreste a fiafis, ate;
• f indica formatul de afis, are al numarului (exista s, i variantele: e, g,i).
Exemplul 3.5 Daca scriem
>> nota(1) = input(’Introduceti prima nota = ’);>> nota(2) = input(’Introduceti a doua nota = ’);>> nota(3) = input(’Introduceti a treia nota = ’);>> media = mean(nota);>> fprintf(’Am introdus notele %-.2f, %-.2f si
%-.2f \n’,nota(1),nota(2),nota(3))>> fprintf(’\n’)>> fprintf(’Nota %-.4f reprezinta media
notelor \n’, media)se va cere introducerea celor trei note s, i apoi se va afis, a textul s, i vari-
abilele din cadrul comenzilor fprintf �
Capitolul 4
Functii
MATLAB furnizeaza câteva structuri care permit sa ne cream propriilefunct,ii. Aceste structuri sunt funct,ii definite de fis, iere separate de tip M(fisiere de tip function), funct,ii de tip anonymous s, i funct,ii de tip inline.
4.1 Fisiere de tip function
Daca dorim sa definim o funct,ie într-un fis, ier separat, de tip M, atuncistructura este, în linii mari, urmatoarea:
function[arg_iesire] = nume_fct(arg_intrare)
%{
· · ·
· · ·
· · ·
comentariu în care explicam definit,ia funct,iei
%}
· · ·
· · ·
· · ·
definirea efectiva a funct,iei nume_fct
end
unde:
• function este cuvântul obligatoriu cu care trebuie sa înceapa primalinie;
53
54 4. Functii
• nume_fct este numele dat funct,iei s, i trebuie sa fie identic cu numelefis, ierului de tip M care cont,ine acea funct,ie (deci fis, ierul se va numinume_fct.m);
• arg_iesire sunt argumente de ies, ire; daca o funct,ie nu are argu-mente de ies, ire, atunci [arg_iesire] = poate lipsi; daca o funct,ieare doar un argument de ies, ire, atunci parantezele patrate [ ] potlipsi; daca o funct,ie are mai multe argumente de ies, ire, atunci ele sescriu separate printr-un spat,iu sau printr-o virgula;
• arg_intrare sunt argumente de intrare; daca o funct,ie nu are ar-gumente de intrare, atunci parantezele rotunde ( ) pot lipsi; daca ofunct,ie are mai multe argumente de intrare, atunci ele se scriu sepa-rate printr-o virgula;
• end poate lipsi.
Ment,ionam ca un fis, ier de tip M care defines, te o funct,ie nu se poateexecuta (doar fis, ierele de tip script se pot executa).
Exemplul 4.1 Sa definim o funct,ie scalara de argument vectorial. Astfel,cream un fis, ier de tip M cu numele sumapatrate.m
function z = sumapatrate( x,y )% functia da suma patratelor a doua numere% se poate aplica si vectorilorz = x.^2 + y.^2-25;
Apoi, daca în Command Window scriem
>> help sumapatrate
se vor afis, a toate comentariile scrise de noi în fis, ierul M.Daca în Command Window scriem
>> sumapatrate(3,4)
se va afis, a
ans =0
Daca în Command Window scriem
>> rez = sumapatrate(3,4)
se va afis, a
4.1. Fisiere de tip function 55
rez =0
Daca în Command Window scriem
>> sumapatrate([1 2;3 4],[1 2;3 4])
se va afis, a
ans =
-23 -17
-7 7�
Exemplul 4.2 Sa definim o funct,ie vectoriala de argument scalar. Astfel,cream un fis, ier de tip M cu numele fct_cerc.m care defineste o funct,ie:
function z = fct_cerc(theta)% functia va returna coordonatele (x,y)% ale unui pct de pe cercul x^2+y^2=5^2z = [ 5.*cos(theta) , 5.*sin(theta) ];% din definitia de mai sus se vede ca z este vector
Apoi, daca în Command Window scriem
>> help fct_cerc
se vor afis, a toate comentariile scrise de noi în fis, ierul M.Daca în Command Window scriem
>> fct_cerc(0)
se va afis, a o pereche de coordonate
ans =
5 0
Daca în Command Window scriem
>> fct_cerc([ 0 , pi/6 , pi/3 , pi/2 ])
se vor afis, a patru perechi de coordonate (mai întâi sunt afis, ate toate celepatru valori corespunzatoare lui 5.*cos(theta), apoi cele corespunza-toare lui 5.*sin(theta) )
ans =
5 4.33 2.50 0 0 2.50 4.33 5
Daca în Command Window scriem
56 4. Functii
>> fct_cerc([ 0 , pi/6 , pi/3 , pi/2 ]’)
se vor afis, a patru perechi de coordonate (dar fiecare pereche (pe linie)reprezinta exact coordonatele unui punct de pe cercul x2 + y2 = 5, cores-punzator fiecarui theta=[ 0 , pi/6 , pi/3 , pi/2 ] )
ans =
5 0
4.33 2.50
2.50 4.33
0 5
Daca în Command Window scriem
>> theta = linspace(1,pi/2,100)>> fct_cerc(theta’)
se vor afis, a o suta de perechi de coordonate (fiecare pereche (pe linie)reprezinta exact coordonatele unui punct de pe cercul x2 + y2 = 5, cores-punzator fiecarui theta=linspace(1,pi/2,100) )
ans =
5 0
4.33 2.50...
......
...
2.50 4.33
0 5�
Exemplul 4.3 Aceleas, i efecte se obt,in daca folosim transpunerea în cadruldefinit,iei funct,iei (s, i nu atunci când apelam funct,ia):
function z = fct_cerc(theta)z = [ (5.*cos(theta))’ , (5.*sin(theta))’ ];
Daca în Command Window scriem
>> fct_cerc([ 0 , pi/6 , pi/3 , pi/2 ])
se vor afis, a patru perechi de coordonate (fiecare pereche (pe linie) re-prezinta exact coordonatele unui punct de pe cercul x2 + y2 = 5, cores-punzator fiecarui theta=[ 0 , pi/6 , pi/3 , pi/2 ] )
4.2. Functii anonymous 57
ans =
5 0
4.33 2.50
2.50 4.33
0 5�
Exemplul 4.4 Pentru o funct,ie vectoriala de argument scalar exista s, i vari-anta de a scrie:
function [z,w] = fct_cerc(theta)z = (5.*cos(theta)) ;w = (5.*sin(theta)) ;% din notattie se vede ca rezultatul este vector
Daca în Command Window scriem
>> theta = linspace(1,pi/2,100)>> [comp1,comp2] = fct_cerc(theta)
se vor afis, a o suta de perechi de coordonate.
Daca scriem
>> A = [comp1’,comp2’]
se vor afis, a o suta de perechi de coordonate (dar fiecare pereche (pelinie) reprezinta exact coordonatele unui punct de pe cercul x2 + y2 = 5 )
Daca, de exemplu, scriem comanda>> plot(comp1,comp2)vom obt,ine graficul cu toate punctele obt,inute mai sus. �
4.2 Functii anonymous
Exista numeroase situat,ii în care o funct,ie MATLAB sau una definita denoi trebuie utilizata, ca argument, de catre o alta funct,ie, pentru evaluare.Acest lucru poate fi facut daca utilizam funct,iile definite în fis, iere de tip Msau funct,ii de tip anonymous, dar exista s, i o a treia metoda: funct,ii definiteinline (vezi sect,iunea urmatoarea).
Pentru a defini o funct,ie de tip anonymous trebuie sa utilizam un func-tion handle (aceasta se realizeaza scriind caracterul @ în fat,a funct,iei care eargument).
58 4. Functii
Mai precis, definirea unei functii de tip anonymous este data de comanda
nume_fct = @(arg_iesire) functia_efectiva
Vom folosi, pentru exemplificare, funct,ia ezplot11 care reprezinta, îndoua dimensiuni (2D), graficul unei funct,ii data explicit (i.e. y = f (x) ),implicit (i.e. F (x, y) = 0 ) sau parametric (i.e. x = f (t) , y = g (t) ). Deci ar-gumentul funct,iei ezplot este o alta funct,ie. Domeniul implicit consideratde funct,ia ezplot pentru variabila funct,iei argument este [−2π, 2π] (dar else poate s, i schimba).
Exemplul 4.5 Comanda
>> sq = @(x) x.^2
defines, te funt,ia noua sq (x) = x2; este o funct,ie de tip anonymous (s, i serealizeaza utilizând function handle).
Scriind apoi
>> sq(.7)
obt,inem valoarea funct,iei sq în punctul .7
Comanda
>> ezplot(sq , [-3 3])
va afis, a graficul funct,iei sq (x) = x2 cu x din intervalul [−3, 3] . �
Exemplul 4.6 Comanda
>> functia3 = @(t) t.*sin(t)
defines, te funt,ia noua functia3 (t) = t sin t ; este o funct,ie de tip anony-mous (s, i se realizeaza utilizând function handle).
Scriind apoi
>> functia3(1)
obt,inem valoarea funct,iei functia3 în punctul 1.
Comanda
>> ezplot(functia3)
va afis, a graficul funct,iei f (t) = t sin t cu t din intervalul [0, 2π] . �11 Easy-to-use function plotter
4.2. Functii anonymous 59
Exemplul 4.7 Comanda
>> functia4 = @(x,y) x.^4+y.^4-1
defines, te funt,ia noua f (x, y) = x4 + y4 − 1 ; este o funct,ie de tip anony-mous.
Scriind apoi
>> functia4(1,3)
va afis, a
ans =9 �
Exemplul 4.8 Comanda
>> ezplot(@(t) t.*sin(t))
va afis, a graficul funct,iei f (t) = t sin t (funct,ie de tip anonymous) cu tdin intervalul [0, 2π] .
Comanda
>> ezplot(@(x,y) x.^4+y.^4-1, [-2 2])
va afis, a graficul funct,iei x4 + y4 − 1 (funct,ie de tip anonymous) cu x dinintervalul [−2, 2] . �
Exemplul 4.9 Comanda
>> functia5 = @(t) exp(-t).*cos(8*t);>> functia6 = @(t) exp(-t).*sin(8*t);
defines, te doua funct,ii noi x (t) , y (t) (funct,ii de tip anonymous) (sau ofunct,ie scalara data parametric: x = x (t) s, i y = y (t) )
Comanda
>> ezplot(functia5,functia6, [0 3])
va afis, a graficul funct,iei data parametric(e−t cos (8t) , e−t sin (8t)
)cu t
din intervalul [0, 3] . �
Exemplul 4.10 Sa cream un fis, ier de tip M cu numele deriv_aprox.m pentrua defini funct,ia numita deriv_aprox care va da valoarea aproximativa aderivatei unei funct,ii, într-un punct (vezi Exemplul 4.19)
function y = deriv_aprox(f,x)
60 4. Functii
y = (f(x+sqrt(eps))-f(x))/sqrt(eps);
Acum, în Command Window, scriem:
>> deriv_aprox(@exp,1)
s, i obt,inem o aproximare a valorii derivatei funct,iei ex în punctul x = 1,adica
(ex)′∣∣∣x=1≈ ex+h − ex
h, unde h := sqrt(eps)
deci o valoare aproximativa a lui e1 :
ans =2.7183 �
În final, ment,ionam alte câteva cazuri în care un function handle esteutilizat pentru a utiliza o funct,ie (deja definita) drept argument.
Un exemplu util este comanda arrayfun care aplica o funct,ie (dejadefinita de noi sau de MATLAB) tuturor elementelor unei matrice con-form structurii:
B = arrayfun(@(x) functie(x),A)
unde:
• functie este funct,ia pe care vrem sa o aplicam tuturor elementelorlui A ; aceasta funct,ie trebuie sa fie de o variabila reala cu valoriscalare;
• B este matricea cu rezultate, deci B(i,j) = functie(A(i,j)),pentru fiecare i,j;
• A este matricea cu valori asupra careia aplic funct,ia functie
În cazul în care funct,ia functie este definita într-un fis, ier de tip M,putem scrie sub forma:
B = arrayfun(@functie,A)
Exemplul 4.11 Folosim aproximarea ln (x+ 1) '∑n
k=1 (−1)k+1 xk
k , pen-tru orice x ∈ (−1, 1], pentru n suficient de mare.
Sa definim acum un fis, ier de tip function cu numele dezv_ln.m:
function y = dezv_ln(x)
4.2. Functii anonymous 61
k = 1:100;y = sum((-1).^(k+1).*x.^k./k);
Apoi definim a:
>> a = [-0.5 0 0.5]
Acum putem aplica funt,ia fiecarui element al matricei a:
>> b = arrayfun(@(x) dezv_ln(x),a)
Acelas, i efect se obt,ine daca scriem direct:
>> b = arrayfun(@dezv_ln,a)
(am apelat funct,ia fct_fzero folosind un function handle). �
Exemplul 4.12 În caz ca o funct,ie are mai multe argumente, putem procedaastfel.
Sa luam funct,ia de mai sus depinzând s, i de n (cream un fis, ier de tipfunction cu numele dezv2_ln.m):
function y = dezv2_ln(x,n)k = 1:n;y = sum((-1).^(k+1).*x.^k./k);Apoi definim a:
>> a = [-0.5 0 0.5]
Acum putem aplica funt,ia fiecarui element al matricei a:
>> b = arrayfun(@(x) dezv2_ln(x,100),a) �
Un alt exemplu util este comanda fzero cu ajutorul careia determinamzero-urile unei funct,ii (vezi pagina 89):
Exemplul 4.13 Fie
f (x) = x3 − x2 − 3 arctg (x) + 1 .
Sa definim, mai întâi, un fis, ier de tip function cu numele fct_fzero.m:
function y = fct_fzero(x)y = x.^3-x.^2-3.*atan(x)+1;
Apoi determinam nis, te valori particulare în care funct,ia îs, i schimbasemnul; gasim f (−2) < 0, f (−1) > 0. Zero-urile se pot determina scriind:
>> sol = fzero(@fct_fzero,[-2 -1])
(am apelat funct,ia fct_fzero folosind un function handle). �
62 4. Functii
Exemplul 4.14 Comanda
>> ezplot(@sin)
va afis, a graficul funct,iei y = sin (x) cu x din intervalul [0, 2π] (am uti-lizat function handle pentru a utiliza funct,ia sin (predefinita în cadrul MAT-LAB) drept argument) �
4.3 Functii inline
O alta modalitate de a avea o funct,ie drept argument este de a utilizao funct,ie definita inline, adica definita în lina de comanda; în acest sensscriem:
nume_fct = inline(’expresie_fct’)
Exemplul 4.15 Comanda
>> functia1 = inline(’x.^4+y.^4-1’)>> ezplot(functia1, [-2 2])
va afis, a graficul funct,iei x4 + y4 − 1 cu x din intervalul [−2, 2] . �
Exemplul 4.16 Evident, comanda
>> ezplot(’x.^4+y.^4-1’, [-2 2])
va afis, a acelas, i grafic ca mai sus. �
Exemplul 4.17 Sa cream, în Command Window, o funct,ie de tip inline (funct,iada suma patratelor a doua numere s, i se poate aplica s, i vectorilor):
>> sumapatrate = inline( ’ x.^2+y.^2 ’ )
Astfel se va afis, a
sumapatrate =Inline function:sumapatrate = x.^2+y.^2
Daca în Command Window scriem
>> sumapatrate(3,4)
se va afis, a
ans =25 �
4.3. Functii inline 63
Exemplul 4.18 Daca se defines, te inline o funct,ie, atunci ordinea implicita aargumentelor este cea alfabetica:
>> sumapatrate = inline( ’ a*x.^2+b*y.^2 ’ )
s, i se va afis, a
sumapatrate =Inline function:sumapatrate(a,b,x,y) = a*x.^2+b*y.^2
Dar daca se dores, te o anumita ordonare a argumentelor scriem astfel:
>> sumapatrate = inline( ’ a*x.^2+b*y.^2 ’ ,
’x’,’y’,’a’,’b’)
s, i se va afis, a
sumapatrate =Inline function:sumapatrate(x,y,a,b) = a*x.^2+b*y.^2 �
Exemplul 4.19 Sa cream un fis, ier de tip M cu numele deriv_aprox.m pentrua defini funct,ia numita deriv_aprox care va da valoarea aproximativa aderivatei unei funct,ii, într-un punct, folosind faptul ca
f ′ (x) ≈ f (x+ h)− f (x)h
, daca h > 0 este suficient de mic.
function y = deriv_aprox(f,x)%{functia da o aproximare a derivateiunei functii f intr-un punct xvaloarea f’(x) este aproximata de (f(x+h)-f(x))/hiar pe h il vom lua foarte mic, de exempluh = sqrt(eps)%}y = (f(x+sqrt(eps))-f(x))/sqrt(eps);
Acum, în Command Window, definim o funct,ie inline>> functia2 = inline( ’ sqrt(x)./(1+x.^2) ’ )
Daca scriem s, i>> deriv_aprox(functia2,.5)
64 4. Functii
obt,inem o aproximare a valorii derivatei funct,iei√x
1 + x2în punctul x =
0.5 :ans =
0.1131 �
ç
Capitolul 5
Programare în MATLAB
Un program este o succesiune de comenzi. Acestea se executa ori unadupa alta (în ordinea în care au fost scrise), ori unele dintre ele se executa înalta ordine în funct,ie de variabilele introduse, ori unele dintre ele se executarepetitiv pâna când apare o valoare data. Schimbarea modului de act,ionarea comenzilor necesita luarea anumitor decizii: când executa urmatoareacomanda, când evita executarea urmatoarei comenzi sau când repeta o a-numita comanda etc. Aceste decizii sunt luate prin compararea valorilorvariabilelor. Iar acest aspect este realizat utilizând operatorii relationali sipe cei logici.
5.1 Operatori relationali si operatori logici
În plus fat,a de operat,iile matematice obis, nuite, MATLAB suporta s, ioperat,ii relat,ionale s, i logice. Scopul acestor operat,ii este de a raspundela întrebari cu doua variante de raspuns: True (1) s, i False (0). Operatorii re-lationali în MATLAB se refera la comparat,iile obis, nuite, as, a cum se poatevedea în urmatorul tabel:
Operator relat,ional Semnificat,ia
< mai mic decât
<= mai mic sau egal decât
> mai mare decât
>= mai mare sau egal decât
65
66 5. Programare în MATLAB
== egal12cu
∼= diferit de
Daca se compara doua matrice, atunci cele doua matrice trebuie sa aibaaceleas, i dimensiuni s, i se compara element cu element. Rezultatul este omatrice (cu aceleas, i dimensiuni cu matricele comparate) de 0 s, i 1.
Se poate compara s, i un scalar cu o matrice atunci se compara scalarulcu fiecare element al matricei. Rezultatul este o matrice de 0 s, i 1.
Exemplul 5.1 Comenzile>> A = 8:-1:0; B = 9-A; Q1 = A>4
afis, eazaQ1 =
1 1 1 1 0 0 0 0 0iar>> Q2 = (A == B-1)
afis, eazaQ2 =
0 0 0 0 1 0 0 0 0 �
Exemplul 5.2 Comenzile>> A = [1 2 ; 3 4]; B = eye(2); A == B
afis, eazaans =
1 0
0 0iar>> A <= B
afis, eazaans =
1 1
1 0�
12 A nu se confunda operatorul relational == (care compara doua variabile s, i afis, eaza1 (True) daca sunt egale s, i 0 (False) daca sunt diferite) cu = care înseamna atribuirea uneivalori (rezultatul unei operat,ii) unei variabile.
5.1. Operatori relationali si operatori logici 67
Exemplul 5.3 Comenzile
>> x = (-3 : 3)/3; y = sin(x)./x
afis, eaza
y =
0.8415 0.9276 0.9816 NaN 0.9816
0.9276 0.8415 �
Exemplul 5.4 Daca se dores, te ocolirea problemeisin 0
0, atunci redefinim
pe x scriind
>> x = x + eps * (x==0); y = sin(x)./x
s, i astfel se afis, eaza
y =
0.8415 0.9276 0.9816 1.0000 0.9816
0.9276 0.8415 �
Operatorii logici furnizeaza o modalitate de a combina sau nega expre-siile relat,ionale. MATLAB ofera urmatorii operatori logici:
Operator logic Semnificat,ia
& S, I (element cu element, pentru tablouri)
| SAU (element cu element, pentru tablouri)
∼ NEGAT, IA
&& S, I (pentru scalari)
|| SAU (pentru scalari)
În plus fat,a de operatorii logici s, i cei relat,ionali ment,ionat,i mai sus MAT-
68 5. Programare în MATLAB
LAB furnizeaza urmatoarele funct,ii:
Funct,ia Semnificat,ia
and(x,y) echivalenta funct,ional cu x&y
or(x,y) echivalenta funct,ional cu x|y
not(x) echivalenta funct,ional cu ∼x
xor(x,y)SAU exclusiv;1 daca x este nenul sau daca y este nenuls, i 0 daca ambii sunt nuli sau ambii sunt nenuli
any(x)1 daca exista o componenta nenula a vectorului x;1 pentru fiecare coloana a matricei xpentru care exista o componenta nenula
all(x)1 daca toate componentele vectorului x sunt nenule;1 pentru fiecare coloana a matricei xcare are toate elementele nenule
Exemplul 5.5 Comenzile>> A = 8:-1:0 ; B = 9-A ; Q1 = (A>2) & (A<6)
afis, eaza 1 daca A este mai mare ca 4 s, i mai mic ca 6:Q1 =
0 0 0 1 1 1 0 0 0
iar>> Q2 = and(A>4,A<6)
afis, eaza acelas, i lucru. �
Exemplul 5.6 Comenzile>> A = 8:-1:0 ; B = 9-A ; Q3 = (A<2) | (A>6)
afis, eaza 1 daca A este mai mare ca 4 sau mai mic ca 6:Q3 =
1 1 0 0 0 0 0 1 1
iar>> Q4 = or(A<2,A>6)
afis, eaza acelas, i lucru. �
Exemplul 5.7 Comenzile
5.1. Operatori relationali si operatori logici 69
>> A = 8:-1:0 ; B = 9-A ; Q5 = ∼ (A>4)
afis, eaza
Q5 =
0 0 0 0 1 1 1 1 1
iar
>> Q6 = not(A>4)
afis, eaza acelas, i lucru. �
Exemplul 5.8 Comenzile
>> a = 0 ; b = pi ; Q1 = a == 0 || b ∼= 1
afis, eaza
Q1 =
1
iar
>> Q2 = b == 1 && a == 0
afis, eaza
Q2 =
0
iar
>> Q3 = (1/a) < 0 || a == 0
afis, eaza, des, i 1/a = Inf,
Q3 =
1
( a == 0 este True ceea ce este suficent pentru a obt,ine rezultatul finalTrue; deci nu se mai calculeaza 1/a , adica a doua expresie nu mai esteevaluata) �
Când MATLAB evalueaza o expresie conteaza s, i ordinea operat,iilor (iar
70 5. Programare în MATLAB
în acest sens conteaza nivelul de precedent,a):
OperatorulOrdinea descrescatoare
a nivelului deprecedent,a
parantezele 1
transpusa .’ transpusa conjugata ’puterea .^ puterea ^
2
plusul unar + minusul unar - negat,ia ∼ 3
înmult,irea .∗ înmult,irea ∗împart,irea ./ împart,irea /împart,irea .\ împart,irea \
4
adunarea + scaderea - negat,ia logica ∼ 5
generarea unui vector linie :(notat,ia „pentru” coloana)
6
< <= > >= == ∼= 7
& 8
| 9
&& 10
|| 11
Exemplul 5.9 Comenzile>> 1 | 0 & 0
afis, eazaans =
1iar>> 1 | (0 & 0)
afis, eazaans =
1iar>> (1 | 0) & 0
5.1. Operatori relationali si operatori logici 71
afis, eazaans =
0 �
Exemplul 5.10 Comenzile
>> x = [0 1 2] ; y = [-1,0,1]; x<=0 & y+1>=0
afis, eazaans =
1 0 0
iar>> xor(x,y)
afis, eazaans =
1 1 0
iar>> all(y)
afis, eazaans =
0iar>> any(y)
afis, eazaans =
1 �
Exemplul 5.11 Comenzile
>> A = [1 0 3 ; 4 5 6] ; all(A)
afis, eazaans =
1 0 1
iar>> any(A)
afis, eazaans =
1 1 1 �
72 5. Programare în MATLAB
De asemenea, MATLAB furnizeaza numeroase funct,ii care testeaza e-xistent,a unor valori sau condit,ii anume:
Funct,ie Semnificat,ia
ischar testeaza daca argumentul este s, ir de caractere
isempty testeaza daca argumentul este vid
isequal testeaza daca tablourile sunt identice
isfinite testeaza daca elementele unui tablou sunt finite
isinf testeaza daca elementele unui tablou sunt infinite
islogical testeaza daca argumentul este un tablou logic
isprime testeaza daca argumentul este numar prim
isnumeric testeaza daca argumentul este s, ir de caractere
isreal testeaza daca argumentul este un tablou real
Funct,ia find aplicata unui vector spune ce indici corespund componen-telor nenule ale acelui vector. În cazul unei matrice funct,ia find spunece indici corespund elementelor nenule ale acelei matrice (indexarea ele-mentelor matricei se face astfel: se scriu toate coloanele una sub alta s, i senumeroteaza fiecare element în ordine crescatoare).
Exemplul 5.12 Comenzile
>> x = [-1 0 7] ; find(x)
afis, eazaans =
1 3
iar>> y = 1 : 100 ; isprime(y)
afis, eaza un vector linie cu 100 de coloane cu 1 (daca elementul cores-punzator este prim) s, i 0 (daca elementul corespunzator nu este prim).
iar>> find(isprime(y))
afis, eaza indicii (din cei 100) corespunzatori lui 1 (adica numerelor primede la 1 la 100). �
5.2. Structuri if-elseif-else-end 73
Exemplul 5.13 Comenzile
>> A = [-1 0 7 ; 3 0 -2] ; find(A)
afis, eazaans =
1
2
5
6
iar>> find(A<0)
afis, eazaans =
1
6�
5.2 Structuri if-elseif-else-end(si variantele if-end, if-else-end)
Structura comenzii if-elseif-else-end este, în linii mari, urma-toarea:
· · ·
· · ·
· · ·
Program MATLAB
if expresie condit,ionata
· · ·
· · ·
· · ·
grup 1 de comenzi MATLAB
elseif expresie condit,ionata
74 5. Programare în MATLAB
· · ·
· · ·
· · ·
grup 2 de comenzi MATLAB
else
· · ·
· · ·
· · ·
grup 3 de comenzi MATLAB
end
· · ·
· · ·
· · ·
Program MATLAB
Ment,ionam ca elseif s, i grupul 2 de comenzi poate lipsi; astfel constructiase reduce la una de tip if-else-end.
De asemenea, elseif, else s, i grupurile 2 s, i 3 de comenzi pot lipsi;astfel constructia se reduce la cea mai simpla forma a ei: o construct,ie detip if-end.
Pe de alta parte, poate apare în plus un alt elseif însot,it de un alt grupde comenzi.
Daca prima expresia condit,ionata este adevarata (are valoarea 1), atunciprogramul continua sa execute toate comenzile care urmeaza dupa if,adica grupul 1 de comenzi, pâna la elseif.
Daca prima expresie condit,ionata este falsa (are valoarea 0), atunci pro-gramul omite sa execute grupul 1 de comenzi s, i trece direct la elseif.Daca expresia condit,ionata asociata ei este adevarata (are valoarea 1), atunciprogramul continua sa execute toate comenzile care urmeaza dupa elseif,adica grupul 2 de comenzi, pâna la else.
Daca a doua expresie condit,ionata este falsa (are valoarea 0), atunci pro-gramul omite sa execute s, i grupul 2 de comenzi s, i trece direct la else s, i laexecutarea grupului de 3 comenzi, pâna la end.
Exemplul 5.14 Definim:
>> mere = 15 ; cost = mere * 1.5;
Acum calculam noul cost al merelor s, tiind ca daca vom cumpara maimult de 10 mere, atunci se da un discount de 20%:
5.2. Structuri if-elseif-else-end 75
>> if mere > 10cost = 0.8 * cost;
end
Acum, daca se scrie
>> cost
va apare
cost =18 �
Exemplul 5.15 Se defines, te, mai întâi, un numar folosind comanda input
>> numar = input(’Introduceti numarul = ’)
se va afis, a
Introduceti numarul =
Apoi utilizatorul trebuie sa introduca o valoare (de exemplu, −5) iar,dupa ce se tasteaza Enter, va apare
numar =-5
Apoi se testeaza: daca variabila noastra are valoarea pozitiva, se pas-treaza, iar daca e negativ, atunci se înlocuies, te valoarea lui cu 0 :
>> if numar < 0numar = 0
end
Acum, daca se tasteaza Enter, va apare
numar =0
(daca numarul introdus ar fi fost pozitiv, atunci nu s-ar fi afis, at nimic).
Acum daca se scrie:
>> fprintf(’Radicalul numarului %.4f este %.4f \n’,numar, sqrt(numar))
se va afis, a
Radicalul numarului 0.0000 este 0.0000 �
76 5. Programare în MATLAB
Exemplul 5.16 O varianta este urmatoarea:
>> numar = input(’Introduceti numarul = ’)
Apoi utilizatorul trebuie sa introduca o valoare, de exemplu, −5.Apoi se scrie:
>> if numar < 0disp(’In acest caz vom folosi valoarea
absoluta.’)numar = abs(numar)
end>> fprintf(’Radicalul numarului %.4f este %.4f \n’,
numar, sqrt(numar))
s, i se va afis, a
In acest caz vom folosi valoarea absoluta.Radicalul numarului -5.0000 este 2.2361 �
Exemplul 5.17 Putem scrie un program de verificare daca un numar ge-nerat aleator este sau nu mai mic decât 0.5 :
>> x = rand;>> if x < 0.5
disp(x)disp(’Numarul aleator, uniform din (0,1),
generat de MATLAB este mai mic ca 0.5’)else
disp(x)disp(’Numarul aleator, uniform din (0,1),
generat de MATLAB este mai mare ca 0.5’)end �
Exemplul 5.18 Sa cream un fis, ier de tip M cu numele fct_ramuri.m care de-fineste o funct,ie cu ramuri:
function y = fct_ramuri(x)%{definim o functie cu ramuriintr-un fisier de tip M%}if x < -1
y = 1;
5.3. Structuri ciclice de tip for-end 77
elseif x == -1
y = 7else
if x <= 2y = x^2
elsey=4
endend
end
Apoi, daca în Command Window scriem
>> fct_ramuri(-5)
se va afis, a
ans =1 �
Exemplul 5.19 Aceeas, i funct,ie cu ramuri se obt,ine daca scriem scriem fi-s, ierul fct_ramuri2.m, folosind elseif
function y = fct_ramuri2(x)if x < -1
y = 1;elseif x == -1
y = 7elseif x <= 2
y = x^2else
y=4end �
5.3 Structuri ciclice de tip for-end
Un ciclu este o alta metoda de a controla desfas, urarea unui program.Fiecare ciclu de executare este numit pas. În fiecare pas cel put,in unei vari-abile îi este atribuita alta valoare. Într-un ciclu executarea unei comenzi saua unui grup de comenzi este repetata de câteva ori: ori este precizat de la
78 5. Programare în MATLAB
început numarul de pas, i (instruct,iuni de tip for-end) ori se repeta pânacând o anumita condit,ie e satisfacuta (instruct,iuni de tip while-end).
Structura comenzii for-end este, în linii mari, urmatoarea:
· · ·
· · ·
· · ·
Program MATLAB
for k = a:h:b
· · ·
· · ·
· · ·
grup de comenzi MATLAB
end
· · ·
· · ·
· · ·
Program MATLAB
În primul pas avem k=a iar grupul de comenzi este executat cu aceastavaloare a lui k. Apoi noua valoare a lui k este a+h iar grupul de comenzieste executat din nou cu noua valoare a lui k. S, .a.m.d. pâna se ajungeca valoarea k=b când se executa pentru ultima data grupul de comenzifolosind valoarea k=b. Apoi se executa comenzile de dupa comanda end
Evident, pasul h poate fi negativ sau pozitiv. Daca a<b iar h<0 saua>b iar h>0, atunci pasul nu se executa.
Este posibil ca ultimul pas sa nu fie pentru k=b daca b nu poate fi scrissub forma a+n*h, cu n ∈ N. Astfel, ultimul k pentru care se executa pasuleste cel mai mare numar de tipul a+n*h, cu n ∈ N, din stânga lui b.
În loc de vectorul a:h:b se poate scrie orice alta matrice linie se dores, te.
Exemplul 5.20 Vom genera o matrice folosind instruct,iunea for-endMa precis, vom scrie o matrice de ordin n× n cu 2 pe diagonala princi-
pala, −1 deasupra s, i dedesubtul diagonalei principale s, i 0 în rest:
function A = matrice_sistem(n);for k = 1:n
for l = 1:n
5.3. Structuri ciclice de tip for-end 79
if k == lA(k,l)=2;
elseif abs(k-l) == 1A(k,l) = -1;
elseA(k,l) = 0;
endend
end �
Exemplul 5.21 Vom calcula suma primilor n termeni ai seriei∞∑k=1
(−1)k k2k
.
Este convenabil sa scriem instruct,iunile într-un fis, ier de tip script s, i apoi saîl executam:
n = input(’Introduceti numarul de termeni = ’)S = 0;for k = 1:n
S = S+(-1)^k*k/2^k;endfprintf(’Suma primilor %-.0f termeni ai seriei
este %-.6f \n’,n,S) �
Exemplul 5.22 S, tim dezvoltarea în serie Taylor a funct,iei sin :
sin (x) =∑∞
k=0
(−1)k x2k+1
(2k + 1)!.
Sa calculam valoarea sin (x) folosind aproximarea data de suma primilorn termeni ai seriei precedente. Este convenabil sa definim un fis, ier de tipfunction cu numele taylor_sin.m:
function y = taylor_sin(x,n)xr = x*pi/180;y=0for k = 0:n-1
y = y+(-1)^k*xr^(2*k+1)/factorial(2*k+1);endfprintf(’Valoarea lui sin in %-.2f radiani este
aproximativ %-.6f (am folosit primii %-.0ftermeni ai dezvoltarii Taylor) \n’,xr,y,n) �
80 5. Programare în MATLAB
5.4 Structuri ciclice de tip while-end
Ciclul while-end este utilizat în situat,iile când sunt necesari pas, ii repet-itivi dar nu se s, tie dinainte numarul pas, ilor (acesta nu este specificat cândprogramul începe). Pas, ii se repeta pâna când o anumita condit,ie este satis-facuta.
Structura comenzii while-end este, în linii mari, urmatoarea:
· · ·
· · ·
· · ·
Program MATLAB
while expresie condit,ionata
· · ·
· · ·
· · ·
grup de comenzi MATLAB
end
· · ·
· · ·
· · ·
Program MATLAB
În primul pas avem o expresie condit,ionata ce trebuie verificata. Dacavaloarea ei este falsa (are valoarea 0), atunci programul omite sa executegrupul de comenzi s, i trece direct la comenzile de dupa end. Daca expresiacondit,ionata este adevarata (are valoarea 1), atunci programul continua saexecute toate comenzile dintre while s, i end. Apoi programul se întoarcela comanda while s, i verifica din nou expresia condit,ionata s, i se reia pro-cedeul de mai sus.
Expresia condit,ionata trebuie sa cont,ina cel put,in o variabila. În primulpas grupul de comenzi este executat pentru prima data iar valoarea acelei(acelor) variabile este schimbata. Cu aceasta noua valoare este verificatadin nou expresia condit,ionata. Daca e adevarata, atunci se executa dinnou grupul de comenzi iar valoarea acelei (acelor) variabile este din nouschimbata. Grupul de comenzi este executat atâta timp cât valoarea acelei(acelor) variabile verifica expresia condit,ionata.
5.4. Structuri ciclice de tip while-end 81
Exemplul 5.23 În acest program o variabila x ia valoarea 1 iar apoi valoa-rea ei este dublata atâta vreme cât valoarea ei este mai mica sau egala cu15 :
>> x=1;>> while x <= 15
x = 2*xend �
Exemplul 5.24 Sa definim o funct,ie care verifica ce factorial este mai micdecât un numar introdus de noi. Cream un fis, ier de tip function cu numelefactorial_max.m:
function y = factorial_max(x)i = 0; fact = 1;while fact <= x
i = i+1;fact = fact*i;
endy = fact/ifprintf(’(am obtinut ca %-.0f ! e mai mic decat
numarul %-.0f introdus de noi)’,i-1,x) �
Exemplul 5.25 S, tim dezvoltarea în serie Taylor a funct,iei exp :
exp (x) =∑∞
k=0
xk
k!.
Sa calculam valoarea exp (x) folosind aproximarea data de suma primilorn termeni ai seriei precedente. Dar sa facem verificarea: daca noul termenadunat la suma este mai mic decât 0.0001 sau daca numarul de termeni de-pas, es, te 40, atunci nu mai adagam nici un termen nou la suma termenilor.Este convenabil sa scriem instruct,iunile într-un fis, ier de tip script s, i apoi saîl executam:
x = input(’Introduceti valoarea = ’)k =1; xk = 1 ; S = xk;while abs(xk) >= 0.0001 & k <= 40
xk = x^k/factorial(k);S = S + xk;k = k+1;
endif k >= 40
82 5. Programare în MATLAB
disp(’S-au adaugat mai mult de 40 de termeni’)
else
fprintf(’exp(%-.2f) = %-.6f \n(s-au adaugat
%-.0f termeni)\n’, x,S,k)
end �
5.5 Structuri switch-case
Structura comenzii switch-case este, în linii mari, urmatoarea:
· · ·
· · ·
· · ·
Program MATLAB
switch expresie de tip switchcase expresie în cazul 1
· · ·
· · ·
· · ·
grup 1 de comenzi MATLAB
case expresie în cazul 2
· · ·
· · ·
· · ·
grup 2 de comenzi MATLAB
otherwise
· · ·
· · ·
· · ·
grup 3 de comenzi MATLAB
end
· · ·
· · ·
· · ·
Program MATLAB
5.5. Structuri switch-case 83
O structura de tip switch-case este o alta metoda de a controla des-fas, urarea unui program. Aceasta structura furnizeaza mai multe variantede grupe de comenzi pe care programul sa le execute în funct,ie de expresiade tip switch introdusa de noi. Expresia de tip switch poate fi un scalar sauun s, ir de caractere (de obicei este o variabila care este asociata unui scalarsau unor caractere).
Apoi se verifica daca valoarea variabilei din expresia de tip switch esteîntr-unul dintre cazurile enumerate în program: daca se potrives, te cu va-loarea din cazul 1, se executa grupul 1 de comenzi s, i programul se termina;daca nu este în cazul 1, se studiaza daca se potrives, te cu valoarea din cazul2; s, .a.m.d. pâna se ajunge, eventual, la otherwise
Sa precizam ca expresia dintr-un caz poate cont,ine mai multe variante.Grupul din cazul respectiv este executat daca cel put,in una dintre valori sepotrives, te cu expresia de tip switch.
Exemplul 5.26 Vom scrie un program care sa converteasca centimetrii in-trodus, i de noi într-o alta unitate de masura indicata de noi. Ment,ionam caunitatea de masura trebuie introdusa de noi (fiind un s, ir de caractere) întredoua semne ’
Este convenabil sa scriem instruct,iunile într-un fis, ier de tip script numit,de exemplu, switch_ex1.m s, i apoi sa îl executam:
x = input(’Introduceti valoarea, in centimetri,pe care doriti sa o transformati = ’);
unit = input(’Introduceti unitatea de masurain care doriti sa transformamvaloarea introdusa;\nvariantele sunt:inch (in), feet (ft), metri (m),milimetri (mm), centimetri (cm) = ’);
switch unitcase{’inch’,’in’}y = x / 2.54
case{’feet’,’ft’}y = x / 2.54 / 12
case{’metri’,’m’}y = x / 100
case{’milimetri’,’mm’}y = x * 10
case{’centimetri’,’cm’}y = x
84 5. Programare în MATLAB
otherwisedisp([’Unitate de masura necunoscuta: ’ unit])y = nan
end �
Exemplul 5.27 Vom scrie un program care sa calculeze norma13, introdusade noi, a unui vector introdus de noi. Este convenabil sa scriem instruct,iu-nile într-un fis, ier de tip script numit, de exemplu, switch_ex2.m s, i apoi sa îlexecutam:
v = input(’Vectorul v = ’);p = input(’Scrieti indicele p al normei pe care
doriti sa o calculam (p = 1,2,inf,-inf)= ’);switch p
case 1disp(’Norma 1 este = ’)y = norm(v,1)
case 2disp(’Norma 2 este = ’)y = norm(v,2)
case infdisp(’Norma Inf este = ’)y = norm(v,inf)
case -infdisp(’Norma -Inf este = ’)y = norm(v,-inf)
otherwisedisp(’Norma nu poate fi calculata in raport
cu p-ul introdus ’)y = nan
end �
13 Comanda norm(A,p) calculeaza norma matricei sau vectorului A în raport cu indicelenormei p care poate fi 1, 2,∞ sau −∞, i.e. norm(A,p)=sum(abs(A)^p)^(1/p). Pen-tru detalii (definit,ii, sintaxa, exemple etc.) utilizeaza comanda doc norm în CommandWindow.
Capitolul 6
Polinoame
MATLAB furnizeaza o serie de funct,ii ce opereaza asupra polinoamelor(determinarea derivatelor, a integralelor sau gasirea radacinilor).
Valoarea unui polinom într-un punct este data de
polyval(p,x)
unde p este vectorul (linie) cu tot,i coeficient,ii polinomului avut în vedere(coeficient,ii nuli trebuie, de asemenea, trecut,i în p ) iar x este valoarea încare se dores, te calculul polinomului.
Exemplul 6.1 Sa reprezentam grafic funct,ia polinomiala
P (x) = x5 − 12.1x4 + 40.59x3 − 17x2 − 71.95x+ 35.88
pentru −1.5 ≤ x ≤ 6.7.Scriem
>> p1 = [1 -12.1 40.59 -17 -71.95 35.88]>> val = polyval(p1,9)
s, i obt,inem
val =7.2623e+03
iar daca dorim graficul scriem:
>> x = -1.5:0.1:6.7;>> y = polyval(p1,x);>> plot(x,y) �
85
86 6. Polinoame
Daca dorim sa determinam radacinile unui polinom folosim comanda
roots(p)
unde p este vectorul cu coeficient,ii polinomului avut în vedere.Ment,ionam ca polinomul trebuie introdus ca un vector linie iar radaci-
nile sunt afis, ate ca un vector coloana.
Exemplul 6.2 Sa determinam radacinile polinomului
P (x) = 2x4 − 6x3 + 2x2 + 86.
Scriem
>> p2 = [2 -6 2 0 86]>> r2 = roots(p2)
s, i obt,inem
r2 =2.7147 + 1.5601i
2.7147 - 1.5601i
-1.2147 + 1.7062i
-1.2147 - 1.7062i�
Daca dorim sa determinam polinomul care are nis, te radacini date fo-losim comanda
poly(r2)
unde r2 este vectorul (coloana) al radacinilor.
Exemplul 6.3 Sa determinam polinomul care are radacinile date de vec-torul r2 din exemplul precedent:
>> pol2 = poly(r2)
va afis, a
pol2 =
1.00 -3.00 1.00 0.00 43.00 �
Daca dorim sa determinam produsul a doua polinoame folosim co-manda
conv(p,q)
unde p,q sunt vectorii cu coeficient,ii celor doua polinoame.
87
Exemplul 6.4 Sa determinam produsul a doua polinoame:
>> p3 = [2 1 -3 1]; p4 = [1 -4 3 23];>> u = conv(p3,p4)
Obt,inem
u =
1 -7 -1 62 10 -66 23 �
Daca dorim sa determinam câtul s, i restul împart,irii a doua polinoamefolosim comanda
deconv(p,q)
unde p,q sunt vectorii cu coeficient,ii celor doua polinoame.
Exemplul 6.5 Sa determinam câtul s, i restul împart,irii a doua polinoame(folosim polinoamele precedente):
>> [cat,rest] = deconv(u,p4)
Obt,inem, evident,
cat =
2 1 -3 1rest =
0 0 0 0 0 0 0 �
Evident, suma s, i diferent,a a doua polinoame se face utilizând sumas, i respectiv scaderea a doi celor doi vectori linie dat,i de coeficient,i. Dacagradele polinoamelor sunt diferite, atunci trebuie adaugat 0 corespunzatorla coeficient,ii polinomului cu gradul mai mic.
Daca dorim sa determinam derivata s, i primitiva unui polinom folosimcomanda
polyder(p)
s, i respectivpolyint(p,C)
unde p este vectorul cu coeficient,ii polinomului iar C este constanta care vaapare ca termen liber al primitivei; daca se scrie doar polyint(p), atuncise considera ca C este luat 0.
Exemplul 6.6 >> v = polyder(p3)>> w = polyint(v,1)
88 6. Polinoame
Obt,inem
v =
6 2 -3w =
2 1 -3 1 �
Capitolul 7
Rezolvarea numerica a unorprobleme
Metodele numerice sunt des utilizate în rezolvarea unor probleme ma-tematice atunci când este dificil (sau imposibil) de determinat solut,ia ex-acta. În aceasta sect,iune vom prezenta câteva dintre funct,iile des utilizateîn rezolvarea urmatoarelor probleme: rezolvarea ecuat,iilor cu o necunos-cuta, determinarea minimului s, i maximului unei funct,ii, integrarea numer-ica s, i rezolvarea unor ecuat,ii diferent,iale.
7.1 Rezolvarea ecuatiilor
Ne intereseaza determinarea punctelor în care o funct,ie scalara de ovariabila reala ia o valoare anume. De exemplu, daca dorim sa aflam x ast-fel încât f (x) = y, atunci, în caz ca exista inversa, valoarea x este data dex := f−1 (y) . Dar daca inversa nu exista, atunci, MATLAB trebuie sa es-timeze, printr-o procedura iterativa, valoarea x pentru care g (x) := f (x)−y = 0 (de aceea procedura iterativa se numes, te zero finding).
În MATLAB zero-urile reale ale unei funct,ii pot fi determinate cu aju-torul comenzii
x = fzero(functie,x0)
unde:
• x este un scalar care va fi solut,ia problemei;
• functie este funct,ia la care ne referim; aceasta poate fi introdusa înmai multe moduri (as, a cum este descris în Capitolul 4): utilizând un
89
90 7. Rezolvarea numerica a unor probleme
fis, ier de tip M, o funct,ie de tip inline, o funct,ie de tip anonymous, unfunction handle sau combinat,ii de acestea;
• x0 poate fi scalar sau un vector cu doua elemente; daca e scalar, atuncix0 este valoarea în jurul careia MATLAB cauta un zero al funct,ieidate; daca e un vector cu doua elemente, atunci x0 reprezinta capeteleunui interval în care funct,ia data trebuie sa îs, i schimbe semnul.
Exemplul 7.1 Sa determinam zero-urile funct,iei:
f (x) = x3 − x2 − 3arctg (x) + 1 .
Sa definim un fis, ier de tip function cu numele fct_fzero.m:
function y = fct_fzero(x)y = x.^3-x.^2-3.*atan(x)+1;
Sa studiem în ce valori f îs, i schimba semnul. Pentru aceasta, mai întâi,sa schit,am graficul lui f :
>> x = -7:0.1:7;>> y = x.^3-x.^2-3.*atan(x)+1;>> plot(x,y)
Apoi determinam nis, te valori particulare în care funct,ia îs, i schimbasemnul; gasim f (−2) < 0, f (−1) > 0 apoi f (0) > 0, f (1) < 0 apoif (1) < 0, f (2) > 0, adica sunt trei zero-uri în intervalele [−2,−1] , [0, 1]s, i respectiv [1, 2] . Zero-urile se pot determina scriind:
>> zero1 = fzero(’fct_fzero’,[-2 -1])>> zero2 = fzero(’fct_fzero’,[0 1])>> zero3 = fzero(’fct_fzero’,[1 2])
s, i se va afis, a
zero1 =1.2780
zero2 =0.3204
zero3 =1.7205
(se poate face s, i proba calculând funct,ia în fiece zero gasit). �
7.1. Rezolvarea ecuatiilor 91
Exemplul 7.2 Acelas, i rezultat se obt,ine daca apelam astfel funct,ia f :
>> zero1 = fzero(’x.^3-x.^2-3.*atan(x)+1’,[-2 -1])
>> zero2 = fzero(’x.^3-x.^2-3.*atan(x)+1’,[0 1])
>> zero3 = fzero(’x.^3-x.^2-3.*atan(x)+1’,[1 2]) �
Exemplul 7.3 Acelas, i rezultat se obt,ine daca apelam astfel funct,ia f (folo-sim un function handle):
>> zero1 = fzero(@fct_fzero,[-2 -1])
>> zero2 = fzero(@fct_fzero,[0 1])
>> zero3 = fzero(@fct_fzero,[1 2]) �
Exemplul 7.4 Acelas, i rezultat se obt,ine daca definim funct,ia f ca fiind detip inline:
>> fct_fzero = inline(’y = x.^3-x.^2-3.*atan(x)+1’)
s, i apoi o apelam
>> zero1 = fzero(fct_fzero,[-2 -1])
>> zero2 = fzero(fct_fzero,[0 1])
>> zero3 = fzero(fct_fzero,[1 2]) �
Exemplul 7.5 Acelas, i rezultat se obt,ine daca definim funct,ia f ca fiind detip anonymous (folosim un function handle):
>> fct_fzero = @(x) x.^3-x.^2-3.*atan(x)+1
s, i apoi o apelam
>> zero1 = fzero(fct_fzero,[-2 -1])
>> zero2 = fzero(fct_fzero,[0 1])
>> zero3 = fzero(fct_fzero,[1 2]) �
Exemplul 7.6 Acelas, i rezultat se obt,ine daca definim funct,ia f ca fiind detip anonymous (folosim un function handle):
>> zero1 = fzero(@(x) x.^3-x.^2-3.*atan(x)+1,[-2 -1])
>> zero2 = fzero(@(x) x.^3-x.^2-3.*atan(x)+1,[0 1])
>> zero3 = fzero(@(x) x.^3-x.^2-3.*atan(x)+1,[1 2]) �
92 7. Rezolvarea numerica a unor probleme
7.2 Determinarea minimului si maximului
Ne intereseaza determinarea valorilor extreme ale unei funct,ii adica apunctelor de minim s, i maxim ale unei funct,ii scalare de o variabila reala.
Aceste valori extreme (în care funct,ia îs, i atinge minimul sau maximul)sunt s, i ele estimate prin proceduri iterative. Având în vedera ca maximulfunct,iei este minimul funct,iei opuse (i.e. punctul de maxim local x0 estedat de −f (x0) = min {−f (x)} iar valoarea maxima este data de f (x0) ),este suficient sa ne referim la procedurile de minimizare.
În MATLAB punctele de minim local ale unei funct,ii pot fi determinatecu ajutorul comenzii
x = fminbnd(functie,x1,x2)
unde:
• x este un scalar care va fi solut,ia problemei; exista s, i varianta de co-manda:
[x,fval] = fminbnd(functie,x1,x2)
unde fval este valoarea funct,iei în punctul x de minim local gasit;
• functie este funct,ia la care ne referim; aceasta poate fi introdusa înmai multe moduri (la fel ca în cazul comenzii fzero);
• x1,x2 sunt capetele intervalului unde se cauta minimul.
Evident, pentru gasirea punctelor de maxim local definim, mai întâi,funct,ia functie2 = opusul funct,iei date s, i apoi scriem
x = fminbnd(functie2,x1,x2)
Exemplul 7.7 Sa determinam punctele de minim s, i maxim local ale funct,i-ei:
f (x) = x3 − 12x2 + 40.25x− 36.5 .
Mai întâi sa schit,am graficul lui f :
>> x = -1:0.1:8;>> y = x.^3-12*x.^2+40.25*x-36.5;>> plot(x,y)
Acum avem o imagine asupra punctelor de extrem. Pentru a determinapunctele de minim local din intervalul [3, 8] scriem:
7.3. Integrarea numerica 93
>> [x_min,f_min]=fminbnd(’x^3-12*x^2+40.25*x-36.5’,3,8)
s, i se va afis, a
x_min =5.6073
f_min =-11.8043
Pentru a determina punctele de maxim local din intervalul [0, 4] scriem:
>> x_max=fminbnd(’-x^3+12*x^2-40.25*x+36.5’,0,4)
s, i se va afis, a
x_max =2.3927
Pentru a determina punctele de minim local din intervalul [−1, 3] scriem:
>> [x_min2,f_min2]=fminbnd(’x^3-12*x^2+40.25*x-36.5’,-1,3)
s, i se va afis, a
x_min2 =-1.000
f_min2 =-89.7458 �
7.3 Integrarea numerica
Ne intereseaza calculul integralelor definite din funct,ii scalare de o vari-abila reala. Aceste integrale pot fi determinate analitic, dar, având în vedereca foarte multe funct,ii (mai ales cele din exemplele reale) nu pot fi (sau estedificil) integrate analitic (de exemplu, funct,iile sunt date doar ca o mult,imede date/puncte), este util sa avem metode numerice de calcul a integralelor.
În MATLAB integrala definita poate fi calculata cu ajutorul comenzilor:quad14 (care utilizeaza metoda Simpson de integrare numerica), quadl15
(care utilizeaza metoda Lobatto de integrare numerica) s, i trapz (care uti-lizeaza metoda trapezelor de integrare numerica; este utilizata, mai ales,
14 De la cuvântul din limba engleza quadrature.15 Ultima litera este L de la Lobatto.
94 7. Rezolvarea numerica a unor probleme
pentru funct,ii care nu sunt date explicit ci doar prin puncte de tipul (x, y) )cu structurile
quad(functie,a,b,tol)
quadl(functie,a,b)
trapz(x,y)
unde:
• functie este funct,ia pe care o integram; aceasta poate fi introdusaîn mai multe moduri (la fel ca în cazul comenzii fzero);
• a,b sunt limitele de integrare; funct,ia f nu trebuie sa aiba punctesingulare în intervalul [a, b] , adica sa nu aiba asimptote verticale înpuncte din [a, b] ;
• tol este un argument opt,ional care indica eroarea cu care se dores, tesa se obt,ina rezultatul (valoarea implicita este 1.0e-6, adica 10−6 );
• x,y sunt vectori de aceeas, i dimensiune reprezentând coordonateleunor puncte (sunt punctele (x, y) cu y = f (x) , unde f este funct,ia deintegrat).
Integrala dubla se calculeaza utilizând comanda dblquad
dblquad(functie,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)
unde:
• functie este funct,ia f (x, y) pe care o integram;
• xmin,xmax sunt limitele de integrare pentru variabila x;
• ymin,ymax sunt limitele de integrare pentru variabila y;
• tol este un argument opt,ional care indica eroarea cu care se dores, tesa se obt,ina rezultatul (valoarea implicita este 1.0e-6, adica 10−6 );
• method este metoda de calcul (variantele sunt quad (metoda impli-cita), quadl).
Integrala tripla se calculeaza utilizând comanda triplequad
7.3. Integrarea numerica 95
Exemplul 7.8 Sa calculam integrala∫ 8
0
(x e−x
0.8+ 0.2
)dx.
Mai întâi sa schit,am graficul lui f pentru a avea o imagine asupra func-t,iei (funct,ia f nu trebuie sa aiba asimptote verticale în intervalul [a, b] ):
>> x = 0:0.1:8;>> y = x.*exp(-x.^0.8)+0.2;>> plot(x,y)
Pentru a calula integrala putem defini funct,ia de integrat în mai multefeluri. De exemplu:
>> int1 = quad(’x.*exp(-x.^0.8)+0.2’,0,8)
sau (daca definim funct,ia de tip anonymous)
>> fct_int1 = @(x) x.*exp(-x.^0.8)+0.2;>> int2 = quad(@fct_int,0,8)sau (daca funct,ia este deja definita într-un fis, ier separat fct_int2.m)
>> int3 = quad(@fct_int2,0,8) �
Exemplul 7.9 Sa calculam, prin metoda trapezelor, integrala∫ π
0sin (x) dx.
>> x = linspace(0,pi,100);>> y = sin(x);>> int4 = trapz(x,y) �
Exemplul 7.10 Sa calculam integrala dubla∫∫
D
(1−6x2y
)dxdy, undeD =
[−1, 1]× [0, 2] :
>> int5 = dblquad(’1-6*x.^2*y’,-1,1,0,2) �
Exemplul 7.11 Sa calculam integrala dubla∫∫
D
(1−6x2y
)dxdy, undeD =
{(x, y) : x ∈ [0, 1] , y ∈ [x, 1]} .Observam ca limitele de integrare nu mai sunt constante. Pentru a
putea folosi comanda dblquad observam ca putem scrie∫∫[0,1]×[x,1]
f (x, y) dxdy =
∫∫[0,1]×[0,1]
f (x, y) 1{y≥x} dxdy.
Notat,ia 1{y≥x} reprezinta funct,ia indicatoare a mult,imii {y ≥ x} , adica
1{y≥x} =
1, daca y ≥ x
0, în rest.
96 7. Rezolvarea numerica a unor probleme
Deci
>> int6 = dblquad(’(1-6*x.^2*y).*(y-x >= 0)’,0,1,0,1)�
7.4 Algebra liniara
As, a cum am vazut deja (vezi pagina 38 si nota de subsol 9), sistemelede ecuat,ii liniare se rezolva scriind sistemul sub forma matriceala
AX = b,
unde A este matricea sistemului, X este matricea coloana a necunoscuteloriar b este matricea coloana a termenilor liberi.
Solut,ia va fi obt,inuta scriind
X = A\b
O alta metoda de rezolvare este folosind comanda
rref
aplicata matricei extinse asociate unui sistem liniar. Aceasta metoda constaîn rezolvarea sistemului folosind metoda de eliminare a lui Gauss prin carematricea este redusa la forma triunghiulara.Mai întâi scriem matrice extinsa obt,inuta prin concatenarea celor doua ma-trice:
>> Aext = [A b];
Scriem comanda
>> sol = rref(Aext)
Rezultatul sol este o matrice de forma
sol = [C d]
unde C este o matrice superior triunghiulara obt,inuta prin metoda lui Ga-uss iar C s, i d sunt astfel încât vectorul solut,ie X verifica
C*X = d
De aici se pot obt,ine us, or necunoscutele componente ale vectorului X.Evident, din forma matricei triunghiulare C s, i a matricei S deducem s, i
natura sistemului:
7.4. Algebra liniara 97
• daca matricea triunghiulara C este chiar matricea unitate (s, i este ma-trice patratica), atunci sistemul este compatibil determinat iar solut,iasistemului este data chiar de coloana d
• daca matricea triunghiulara C are ultima linie formata doar din zero-uri iar matricea sol are s, i ea ultima linie formata din zero-uri16, atuncisistemul este compatibil nedeterminat iar solut,ia sistemului este datade rezolvarea sistemului C*X = d
• daca matricea triunghiulara C are ultima linie formata din zero-uridar matricea sol nu are ultima linie formata din zero-uri17, atuncisistemul este incompatibil.
Exemplul 7.12 Sa rezolvam sistemul cu matricele A =
5 −3 2
−3 8 4
2 4 −9
s, i b =
[10 20 9
]t:
Metoda 1:
>> A = [5 -3 2 ; -3 8 4 ; 2 4 -9]; b = [10 ; 20 ; 9];>> X1 = A\b>> proba1 = A*X1
s, i obt,inem X1 =
3.4441
3.1981
1.1867
.Metoda 2:scriem matrice extinsa obt,inuta prin concatenarea celor doua matrice:
>> Aext = [A b];
16 De exemplu, C =
1 0 −3
0 1 −2
0 0 0
s, i sol =
1 0 −3 3.4
0 1 −2 3.1
0 0 0 0
.
17 De exemplu, C =
1 0 −3
0 1 −2
0 0 0
s, i sol =
1 0 −3 3.4
0 1 −2 3.1
0 0 0 1.1
.
98 7. Rezolvarea numerica a unor probleme
Solut,ia este data de
>> sol = rref(Aext)
Rezultatul sol este o matrice cu trei linii s, i patru coloane, adica deforma
sol = [C d]
În cazul nostru, obt,inem sol =
1 0 0 3.4441
0 1 0 3.1981
0 0 1 1.1867
�
Valorile s, i vectorii proprii asociat,i unei matrice sunt dat,i de comandaeig care, aplicata unei matrice, va returna matricea cu vectorii proprii,scris, i pe coloana, s, i o matrice diagonala cu valorile proprii pe diagonala.Mai precis, scriem
[Vect , Val] = eig(A)
unde:
• Vect este numele dat de noi matricei cu vectorii proprii, scris, i pecoloana, returnata de eig
• Val este numele dat de noi matricei diagonala cu valorile proprii pediagonala, returnata de eig
• A este matricea introdusa de noi.
MATLAB furnizeaza s, i funct,ii pentru descompunerea s, i factorizarea
7.4. Algebra liniara 99
matricelor:
ComandaMATLAB
Semnificat,ia
[L,U] = lu(A)
factorizarea LU (lower-upper)
MATLAB returneazamatricea inferior triunghiulara Lmatricea superior triunghiulara Uastfel încât L*U = A
[Q,R] = qr(A)
factorizarea QR (ortogonal-triunghiulara)
MATLAB returneazamatricea ortogonala18Qmatricea superior triunghiulara Rastfel încât Q*R = A
R = chol(A)
factorizarea Cholesky
MATLAB returneazamatricea superior triunghiulara Rastfel încât R’*R = A
[U,D,V] = svd(A)
factorizarea SVD (singular value decomposition)
MATLAB returneazamatricea ortogonala U (de tip m×m)matricea ortogonala V (de tip n× n)matricea diagonala D (de tip m× n)astfel încât U*D*V’ = A (de tip m× n)
18 Spunem ca matricea Q este ortogonala daca este matrice patratica s, i are liniile (s, irespectiv coloanele) vectori unitate s, i ortogonali între ei, adica
Qt Q = QQt = I
sau, echivalent, inversa matricei Q coincide cu transpusa Qt, i.e. Q−1 = Qt.
7.5 Ecuatii diferentiale
Doar un numar limitat de ecuat,ii diferent,iale pot fi rezolvate analitic.În schimb exista diverse metode numerice care pot rezolva multe tipuri deecuat,ii diferent,iale.
În cadrul acestei sect,iuni vom prezenta comenzile de rezolvare a urma-toarei ecuat,ii diferent,iale de ordinul 1 x′ (t) = f (t, x) , t ∈ [t0, T ]
x (t0) = x0 .
O solut,ie înseamna o funct,ie x = x (t) astfel încât x′ (t) = f (t, x (t)) ,pentru orice t ∈ [t0, T ] . În general sunt mai multe funct,ii care satisfacaceasta ecuat,ie. Pentru determinarea unei singure funct,ii trebuie sa folosims, i condit,ia init,iala x (t0) = x0 .
Ment,ionam ca funct,ia f poate fi vectoriala (deci avem un sistem deecuat,ii diferent,iale de ordinul întâi).
MATLAB furnizeaza urmatoarele comenzi de rezolvarea a ecuat,ii dife-rent,iale de ordinul 1:
ComandaMATLAB
Semnificat,ia
ode45
pentru probleme nonstiffrezolvare într-un singur passe foloses, te ca prima încercareeste bazata pe metoda explicita Runge-Kutta
ode23
pentru probleme nonstiffrezolvare într-un singur paseste bazata pe metoda explicita Runge-Kuttamai rapida dar mai put,in precisa ca ode45
ode113 pentru probleme nonstiffrezolvare în mai mult,i pas, i
ode15spentru probleme stiffrezolvare în mai mult,i pas, ise foloses, te daca ode45 es, ueaza
ode23spentru probleme stiffrezolvare într-un singur paspoate rezolva probleme pe care ode15s nu poate
7.5. Ecuatii diferentiale 101
Structura comenzii ode45 este urmatoarea:
[t , y] = ode45(functie,interval,y0)
unde:
• functie este funct,ia care apare în ecuat,ia diferent,iala; aceasta poatefi introdusa în mai multe moduri (la fel ca în cazul comenzii fzero);
• interval este intervalul pe care vom obt,ine solut,ia; acesta cont,inecel put,in doua puncte: daca are doua elemente, este de tipul [t0,T]unde t0 este punctul init,ial s, i T este punctul final al domeniuluisolut,iei s, i se vor afis, a valorile solut,iei x (t) în valori din intervalul[t0,T] considerate de MATLAB; daca are mai multe elemente (pu-tem lua, de exemplu, interval=[t0:h:T] ), atunci se vor afis, a va-lorile funct,iei în valorile indicate de noi;
• y0 este valoarea indicata a funct,iei date în punctul init,ial indicat t0;
• t este vectorul coloana cu toate punctele în care s-a aproximat solut,iade catre MATLAB (primul s, i ultimul sunt respectiv t0 s, i T);
• y este vectorul coloana cu toate valoarea solut,iei x (t) în punctele vec-torului t în care s-a aproximat solut,ia de catre MATLAB (primul s, iultimul sunt respectiv t0 s, i T);
Exemplul 7.13 Sa se rezolve ecuat,ia diferent,iala de ordinul întâi: x′ (t) =t3 − 2x
t, t ∈ [1, 3]
x (1) = 4.2 .
Mai întâi, definim într-un fis, ier fct1_ODE.m funct,ia f (t, x) :
function z = fct1_ODE(t,x)z = (t.^3-2*x)./t
Apoi scriem:
>> [t , y] = ode45(@fct1_ODE,[1,3],4.2)
Daca dorim valoarea solut,iei în câteva valori, indicate de noi, atunciscriem
>> [t , y] = ode45(@fct1_ODE,[1:0.5:3],4.2)
102 7. Rezolvarea numerica a unor probleme
Daca dorim graficul solut,iei x (t) , atunci luam mai multe valori în in-tervalul [1, 3] :
>> [t , y] = ode45(@fct1_ODE,[1:0.01:3],4.2);>> plot(t,y)
Daca dorim sa comparam cu rezultatele comenzii ode23 scriem
>> [t , y] = ode45(@fct1_ODE,[1,3],4.2)>> plot(t,y,’r’)>> hold on>> [u , z] = ode23(@fct1_ODE,[1,3],4.2)>> plot(u,z,’b’)>> hold off �
În cazul în care dorim sa rezolvam un sistem de ecuat,ii diferent,iale deordinul 1 introducem funct,ia vectoriala f.
În cazul în care dorim sa rezolvam o ecuat,ie diferent,iala de ordin su-perior, o putem reduce la un sistem de ecuat,ii diferent,iale de ordinul 1 s, ireducem problema la cazul de mai sus. Tehnica este prezentata în urma-torul exemplu concret.
Exemplul 7.14 Sa se rezolve ecuat,ia diferent,iala de ordinul al doilea (ecu-at,ia care descrie mis, carea pendulului neliniar): θ + ω2 sin (θ) = 0 , t ≥ 0
θ (0) = 1, θ (0) = 0 .
Mai întâi, transformam ecuat,ia de ordin superior într-un sistem de ecuat,iide ordinul întâi.
Tehnica este standard: Sa notam x1not== θ s, i x2
not== θ s, i obt,inem sistemul
de doua ecuat,ii de ordinul 1:x′1 (t) = x2 (t) ,
x′2 (t) = −ω2 sin (x1 (t)) , t ≥ 0,
x1 (0) = 1, x2 (0) = 0 ,
adica ecuat,ia de ordinul 1:
x′ (t) = f (t,x) ,
7.5. Ecuatii diferentiale 103
unde
x = [x1, x2]t
f (t,x) = f (t, x1, x2)def==(x2 (t) ,−ω2 sin (x1)
)x (t0 = 0) = x0
def== [1, 0]t .
Definim într-un fis, ier fct2_ODE.m funct,ia vectoriala f (t,x) (luam ω = 2 ):
function z = fct2_ODE(t,x)z = [ x(2) ; -4*sin(x(1))];
Apoi scriem:
>> x0 = [1 ; 0];>> T = input(’Introduceti capatul intervalui T = ’);>> [t , y] = ode45(@fct2_ODE,[0,T],x0)
Solut,ia problemei date este matricea y cu doua coloane s, i mai multelinii (date de dimensiunea vectorului t) iar solut,ia x1 a problemei init,ialeeste prima coloana y(:,1)
Afis, am solut,ia
>> x1 = y(:,1) �
Capitolul 8
Reprezentari grafice
Reprezentarile grafice (în diversele ei forme) sunt nis, te instrumente utileîn prezentarea informat,iilor. Acestea se pot seta din punctul de vedere altipului de linie folosit, al grosimii liniei, al culorii etc. Se poate adauga untitlu, comentarii, o legenda. De asemenea, mai multe grafice pot fi facute înacelas, i reper.
8.1 Grafica 2D
În MATLAB reprezentarea grafica în doua dimensiuni poate fi realizatacu comanda plot care are structura
plot(x,y,’setare_linie’,’nume_setare’,valoare_setare)
unde:
• x,y sunt doi vectori de aceeas, i dimensiune; comanda plot va creao imagine cu punctele, din plan, de tipul (xi, yi) unite printr-o liniepoligonala (aceasta figura se va deschide într-o fereastra suplimen-tara) (deci x reprezinta vectorul cu toate abscisele punctelor reprezen-tate iar y reprezinta vectorul cu toate ordonatele punctelor reprezen-tate);
• setare_linie este un argument opt,ional dat de un s, ir de carac-tere (scris între doua apostrofuri) care poate fi utilizat pentru a speci-fica anumite setari pentru tipul liniei, culoarea liniei s, i respectiv tipulde marcaj al punctelor conform tabelelor urmatoare. Ordinea în caresunt scrise comenzile legate de setari nu este importanta.
105
106 8. Reprezentari grafice
Stilul liniei:
Comanda MATLAB Semnificat,ia
- linie obis, nuita (stilul implicit)
-- linie întrerupta
: linie punctata
-. linie de tip linie-punct
Culoarea liniei:
ComandaMATLAB
Semnificat,iaComandaMATLAB
Semnificat,ia
r ros, ie (red) m purpuriu (magenta)
g verde (green) y galben (yellow)
b albastru (blue) k negru (black)
c turcoaz (cyan) w alb (white)
Tipul de marcaj al punctelor:
ComandaMATLAB
Semnificat,iaComandaMATLAB
Semnificat,ia
+ marcaj cu + s marcaj cu �(square)
o marcaj cu ◦ d marcaj cu 3
(diamond)
* marcaj cu ∗ pmarcaj cu stea cu
cinci colt,uri(pentagram)
x marcaj cu × hmarcaj cu stea cu
s, ase colt,uri(hexagram)
^ marcaj cu4 < marcaj cu C
v marcaj cu5 > marcaj cu B
8.1. Grafica 2D 107
Sa ment,ionam ca daca se specifica tipul de marcare al punctelor darnu se specifica tipul liniei, atunci comanda plot va desena doar punc-tele indicate (s, i fara linia poligonala care le unes, te);
• nume_setare este un argument opt,ional dat de un s, ir de caractere(scris între doua apostrofuri) care poate fi utilizat pentru a specificaanumite setari pentru grosimea liniei, marimea marcajului, culoareamarginii marcajului s, i culoarea cu care se umple marcajul;
• valoare_setare este valoarea posibila a setarii indicate de argu-mentul nume_setare conform tabelului urmator:
ComandaMATLAB
(nume_setare)Semnificat,ia
ComandaMATLAB
(valoare_setare)
LineWidth(sau linewidth)
grosimea liniei numar de puncte(implicit este 0.5)
MarkerSize(sau markersize)
marimeamarcajului
numar de puncte
MarkerEdgeColor(sau
markeredgecolor)
culoareamarginii
marcajului
culoarea conformtabelului precedent
MarkerFaceColor(sau
markerfacecolor)
culoareacu care se
umple marcajul
culoarea conformtabelului precedent
Exemplul 8.1 Comanda
>> plot(x,y,’r--s’,’linewidth’,2,’markersize’,12,’markeredgecolor’,’g’,’markerfacecolor’,’k’)
va crea o linie poligonala intrerupta (--), de culoare ros, ie (r), cu grosimeade 2, care unes, te punctele cu abscisele date de vectorul x iar ordonateledate de vectorul y; punctele sunt marcate cu patrate (s), de marime 12, cumarginea de culoare verde (g), cu interiorul de culoare neagra (k). �
Exemplul 8.2 Evident, pentru a crea graficul unei funct,ii y = f (x) putemutiliza comanda plot
Astfel, comenzile:
>> x = -2:.01:4;
108 8. Reprezentari grafice
>> y = 3.5.^(-0.5*x).*cos(6*x);>> plot(x,y,’g’)
vor crea graficul funct,iei f (x) = 3.5−0.5x cos (6x) în culoarea verde (g). �
Exemplul 8.3 Dorim sa reprezentam doar punctele indicate (fara linia po-ligonala care le unes, te); vom specifica tipul de marcare al punctelor s, i nuvom preciza nimic despre tipul liniei.
Astfel, comenzile:
>> x = -2:.1:4;>> y = 3.5.^(-0.5*x).*cos(4*x);>> plot(x,y,’g*’)
vor crea graficul tuturor punctelor/perechilor (x, y) date de comenzile demai sus, în culoarea verde (g) s, i indicate prin semnul *. �
Pentru reprezentarea grafica a unei funct,ii scalare avem la dispozit,ie s, icomanda fplot care are structura
fplot(’functia’,limite,’setare_linie’)
unde:
• functia este funct,ia al carei grafic se dores, te a fi reprezentat (obt,i-nem o curba plana); aceasta poate fi introdusa ca un s, ir de caractere(scrise între doua apostrofuri) dar s, i prin celelalte metode cunoscute(de exemplu, utilizând un function handle);
• limite este un argument care specifica domeniul pentru x (dacascriem [xmin,xmax] ) sau domeniul pentru x s, i pentru y (daca scri-em sub forma [xmin,xmax,ymin,ymax] );
• setare_linie este un argument opt,ional s, i este acelas, i ca în cazulcomenzii plot
Exemplul 8.4 Comanda
>> fplot(’x^2+4*sin(2*x)-1’,[-3,3])
va crea graficul funct,iei f (x) = x2 + 4 sin (2x)− 1, cu x ∈ [−3, 3] . �
Exemplul 8.5 Comanda
>> fplot(’sin(x)’,[-5,5])
8.1. Grafica 2D 109
va crea graficul funct,iei f (x) = sin (x) , cu x ∈ [−5, 5]iar comanda
>> fplot(@(x) sin(x),[-5,5])
va crea aceeas, i imagine. �
Daca dorim reprezentarea mai multor grafice în cadrul aceluias, i reper,atunci avem doua posibilitat,i.
O varianta ar fi sa scriem în cadrul unei singure comenzi plot toategraficele dorite. Astfel comanda
plot(x,y,t,u,v,w)
va reprezenta trei grafice (unul dat de vectorii x,y , altul dat de vectoriit,u iar al treilea dat de vectorii v,w) în acelas, i reper.
Evident, dupa fiecare pereche reprezentata se pot adauga s, i setari legatede tipul liniei s, i tipul marcajului.
Exemplul 8.6 Comenzile
>> x = -6:.01:6;>> plot(x,sin(x),’r--’,x,cos(x),’b:’)
vor crea, în acelas, i reper, graficele funct,iilor sin (cu o linie întrerupta, deculoare ros, ie) s, i cos (cu o linie punctata, de culoare albastra). �
Exemplul 8.7 Comenzile
>> x = -4:.01:4; y = 3*x.^3-26*x+10;>> yder = 9*x.^2-26; ydder = 18*x;>> plot(x,y,’b’,x,yder,’r--’,x,ydder,’g:’)
vor crea, în acelas, i reper, graficul funct,iei f (x) = 3x3 − 26x+ 10 împreunacu graficul derivatelor f ′ s, i f ′′. �
Alta varianta ar fi sa scriem comenzile hold on s, i hold off. Astfel,scriem o prima comanda plot s, i un prim grafic este generat; apoi scriemhold on s, i prima figura este pastrata deschisa s, i orice comanda plot ulte-rioara adauga noile grafice celui deschis de primul plot. Comanda holdoff opres, te acest proces.
Exemplul 8.8 Comenzile
>> x = -4:.01:4; y = 3*x.^3-26*x+10;
110 8. Reprezentari grafice
>> yder = 9*x.^2-26; ydder = 18*x;>> plot(x,y,’b’)>> hold on>> plot(x,yder,’r--’)>> plot(x,ydder,’g:’)>> hold off
vor crea trei grafice în acelas, i reper (vezi s, i Exemplul 8.7). �
Daca dorim reprezentarea mai multor grafice în cadrul aceleas, i figuridar separat (fiecare grafic cu reperul lui), atunci avem la dispozit,ie co-manda
subplot(m,n,p)
unde m,n reprezinta împart,irea ferestrei (cu figura obt,inuta de noi) înm×nsubfiguri iar p reprezinta pozit,ia în care dorim sa amplasam graficul nostru(numerotarea se face pe linie). De exemplu, subplot(3,2,4) va împart,ifigura în 3× 2 = 6 zone s, i va afis, a graficul în a 4-a pozit,ie, adica elementulde pe linia 2 s, i coloana 2.
Exemplul 8.9 Comenzile
>> subplot(3,2,1);>> fplot(@(x) sin(x),[-pi,2*pi])>> subplot(3,2,2);>> fplot(’cos(x)’,[-pi,2*pi])>> subplot(3,2,3);>> fimplicit(@(x,y) x^2+y^2-2,[-2,2])>> subplot(3,2,5:6);>> fplot(@(x) [tan(x),sin(x),cos(x)],[-2*pi,2*pi,-4,4])
vor deschide o fereastra cu 3 × 2 = 6 regiuni în care se vor amplasa patrurepere (ultimul reper ocupa doua locuri: pozit,iile 5 s, i 6). �
Daca avem mai multe comenzi plot, atunci, în urma primei aparit,ieia comenzii plot, se deschide o fereastra cu imaginea comandata; apoi ur-matoarea comanda plot va înlocui graficul existent, în aceeas, i fereastra,cu noul grafic, s, .a.m.d.
Pentru a avea câte o fereastra pentru fiecare imagine obt,inuta este utilsa folosim, înainte de fiecare grafic obt,inut, comanda
figure
8.1. Grafica 2D 111
(numerotarea va fi automata).Daca dorim atribuirea unui anume numar pentru o imagine obt,inuta
putem sa folosim comanda
figure(n)
unde n este numarul dat de noi figurii respective.Daca dorim un nume personalizat al figurii (pe lânga numarul care
apare automat) putem scrie
figure(’Name’,’nume_figura’)
unde nume_figura este numele care va apare în dreptul numarului figuriigenerate de noi.
Pentru a vizualiza o fereastra anume scriem în Command Window co-manda
figure(n)
unde n este numarul figurii pe care dorim sa o vedem.
Pentru a închide o fereastra cu o imagine scriem în Command Windowcomanda
close
care închide fereastra curenta cu imaginea generata de noi sau comanda
close(n)
care închide fereastra numarul n sau comanda
close all
care închide toate ferestrele cu imagini.
Dupa ce scriem comenzile plot s, i fplot sunt permise s, i anumite ele-mente de personalizare a figurilor obt,inute.
Comandaaxis([xmin,xmax,ymin,ymax])
va seta limitele de afis, are ale reperului.Comanda
axis equal
112 8. Reprezentari grafice
seteaza faptul ca ambele axe vor avea aceas, i scala, iar comanda
axis square
seteaza faptul ca regiunea va fi patrata.
Comandaxlabel(’text_abscisa’)
va afis, a textul text_abscisa în dreptul axei Ox iar comanda
ylabel(’text_ordonata’)
va afis, a textul text_ordonata în dreptul axei Oy.
Comandatitle(’text_titlu’)
va afis, a un titlu al graficului cu textul text_titlu.
Comandatext(x,y,’text_comentariu’)
va afis, a textul text_comentariu cu primul caracter plasat în punctul decoordonate (x, y).
Comanda
legend(’text_1’,’text_2’,pos)
va afis, a o casut,a cu o explicat,ie de tip „legenda”, în pozit,ia data de opt,iuneapos (variantele sunt19 -1,0,1,2,3,4) cu textul text_i corespunzator fi-ecarui grafic în parte.
Comandagrid
va afis, a s, i o grila de linii orizontale s, i verticale desenate în cadrul reperului.
Ment,ionam ca textele din comenzile precedente pot fi s, i ele formatate.
Exemplul 8.10 Comenzile
>> figure(’Name’,’Graficul a doua functii’)>> t = linspace(0,4*pi,200);
19 Varianta 1 este cea implicita s, i înseamna ca legenda va fi pozit,ionata în coltul dindreapta sus
8.1. Grafica 2D 113
>> x = sin(t); y = cos(t);>> plot(t,x,’r--’)>> hold on>> plot(t,y,’b:’)>> grid>> axis([-pi 6*pi -2 2])>> title(’Evolutia in timp’)>> xlabel(’Axa Ot (axa timpului)’)>> ylabel(’Axa Ox (axa valorilor)’)>> legend(’x = sin(t)’,’x = cos(t)’)>> hold off
vor crea, în aceas, i fereastra deschisa s, i în acelas, i reper, graficul a douafunct,ii: sin (linie întrerupta, colorata în ros, u) s, i cos (linie punctata, colorataîn albastru). Fereastra deschisa cu graficul nostru are numele „Figure1: Graficul a doua functii”s, i titlul „Evolutia in timp”; axaOx este de la −π la 6π s, i are numele „Axa Ot (axa timpului)” iar axaOy este de la −2 la 2 s, i are numele „Axa Ox (axa valorilor)”; deasemenea, apare s, i grila de linii orizontale s, i verticale precum s, i un text tip„legenda” în colt,ul din dreapta sus (modul implicit) în care am explicat ceînseamna fiecare curba. �
Pentru reprezentarea grafica a unei curbe date implicit avem la dispo-zit,ie comanda ezplot (vezi pagina 58) precum s, i comanda20 fimplicitcare are structura
fimplicit(’functia’,limite,’setare_linie’)
unde:
• functia este funct,ia implicita (data de ecuat,ia F (x, y) = 0) al careigrafic se dores, te a fi reprezentat; aceasta poate fi introdusa ca un s, irde caractere (scrise între doua apostrofuri) dar s, i prin celelalte metodecunoscute (de exemplu, utilizând un function handle);
• limite este un argument care specifica domeniul pentru x (dacascriem [xmin,xmax] ) sau domeniul pentru x s, i pentru y (daca scri-em sub forma [xmin,xmax,ymin,ymax] );
• setare_linie este un argument opt,ional s, i este acelas, i ca în cazulcomenzii plot
20 Aceasta comanda a fost introdusa începând cu versiunea R2016b a MATLAB-ului.
114 8. Reprezentari grafice
Exemplul 8.11 Comenzile
>> f1 = @(x,y) x.^2 + y.^2 - 1;>> fimplicit(f1,’g:’)>> hold on>> fimplicit(@(x,y) x.^2 - y.^2 - 2)>> hold off
vor crea graficul a doua elipse date sub forma implicita. �
Pentru reprezentarea grafica a unei curbe date în coordonate polareavem la dispozit,ie comanda polar care are structura
polar(theta,rho,’setare_linie’)
unde:
• theta s, i rho sunt vectorii care definesc curba în coordonate polaredata de ρ = f (θ) , unde θ ∈ [a, b] ;
• setare_linie este un argument opt,ional s, i este acelas, i ca în cazulcomenzii plot
Exemplul 8.12 Comenzile
>> theta = 0:.01:6*pi;>> a = input(’Introduceti coeficientul a =’)>> b = input(’Introduceti coeficientul b =’)>> rho = a+b*theta;>> figure(’Name’,’O curba in coordonate polare’)>> polar(theta,rho)>> title(’Spirala lui Arhimede’)
vor crea graficul spiralei lui Arhimede, data de ecuat,ia (scrisa în coordo-nate polare) ρ = a+ bθ, cu θ ∈ [0, 6π] . Fereastra deschisa cu graficul nostruva avea numele „Figure 1: O curba in coordonate polare” s, iva avea titlul „Spirala lui Arhimede”. �
Mai exista s, i alte comenzi care produc grafice (vectorii x,y sunt deaceeas, i dimensiune s, i sunt reprezentat,i grafic):
• semilogy(x,y) axa Oy este scalata logaritmic (în baza 10) iar axaOx este liniara;
8.2. Grafica 3D 115
• semilogx(x,y) axa Ox este scalata logaritmic (în baza 10) iar axaOy este liniara;
• loglog(x,y) ambele axe sunt scalate logaritmic (în baza 10);
• errorbar(x,y,e) afis, eaza s, i bare cu erorile, date de vectorul e,în fiecare punct;
• bar(x,y) graficul este sub forma de bare verticale;
• barh(x,y) graficul este sub forma de bare orizontale;
• stairs(x,y) graficul este sub forma de trepte;
• stem(x,y) graficul este sub forma de linii verticale;
• pie(x,y) graficul este sub forma de disc;
• hist(y) graficul este sub forma de histograma.
8.2 Grafica 3D
În MATLAB reprezentarea grafica a unei curbe în spat,iu poate fi real-izata cu comanda plot3 care are structura
plot3(x,y,z,’setare_linie’,’nume_setare’,valoare_setare)
unde:
• x,y,z sunt trei vectori de aceeas, i dimensiune; comanda plot3 vacrea o imagine cu punctele, din spat,iu, de tipul (xi, yi, zi) unite prin-tr-o linie poligonala (aceasta figura se va deschide într-o fereastra su-plimentara);
• setare_linie este un argument opt,ional cu aceas, i semnificat,ie caîn cazul comenzii plot
• nume_setare este un argument opt,ional cu aceas, i semnificat,ie ca încazul comenzii plot
• valoare_setare este valoarea posibila a setarii indicate de argu-mentul nume_setare (cu aceas, i semnificat,ie ca în cazul comenziiplot).
116 8. Reprezentari grafice
Funct,ioneaza s, i celelalte setari s, i opt,iuni din cazul 2D: de exemplu,comenzile figure, hold on, subplot, axis, xlabel, grid, close
Exemplul 8.13 Evident, daca o curba este data de ecuat,iile parametricex = x (t) ,
y = y (t) ,
z = z (t) , t ∈ [a, b] ,
atunci graficul ei se poate realiza cu comanda plot3Astfel, comenzile:
>> t = 0:.01:6*pi;>> x = sqrt(t).*sin(2*t);>> y = sqrt(t).*cos(2*t);>> z = 0.5*t;>> figure(’Name’,’Graficul unei spirale in spatiu’)>> plot3(x,y,z,’m’,’linewidth’,1)>> grid>> xlabel(’Axa Ox’); ylabel(’Axa Oy’); zlabel(’Axa Oz’)
vor crea graficul curbei
x (t) =
√t sin (2t) ,
y (t) =√t cos (2t) ,
z (t) = 0.5 t, t ∈ [0, 6π] ,
în culoarea pur-
puriu (m), cu o linie de grosime 1, cu o grila de linii s, i cu axele marcate cunis, te texte. �
Exemplul 8.14 Comenzile:
>> t = -6*pi:.001:6*pi;>> x = (1+t.^2).*sin(15*t);>> y = (1+t.^2).*cos(15*t);>> z = t;>> figure(’Name’,’Graficul altei spirale in spatiu’)>> plot3(x,y,z,’b’)>> grid>> xlabel(’Axa Ox’); ylabel(’Axa Oy’);
zlabel(’Axa Oz’)
8.2. Grafica 3D 117
vor crea graficul curbei
x (t) =
(1 + t2
)sin (20t) ,
y (t) =(1 + t2
)cos (20t) ,
z (t) = t, t ∈ [−6π, 6π] .�
Pentru reprezentarea grafica a unei curbe data parametric avem la dis-pozit,ie s, i comanda ezplot321 care are structura
ezplot3(functiax,functiay,functiaz,[tmin,tmax])
unde:
• functiax, functiay , functiaz sunt ecuat,iile parametrice ale cur-bei în spat,iu; aceasta poate fi introdusa ca un s, ir de caractere (scriseîntre doua apostrofuri) dar s, i prin celelalte metode cunoscute (de e-xemplu, utilizând un function handle);
• [tmin,tmax] este un argument opt,ional ce indica intervalul de va-riat,ie pentru parametrul curbei; domeniul implicit este [0, 2π] .
Exemplul 8.15 Comenzile:
>> figure(’Name’,’Graficul elicei’)>> ezplot3(’cos(t)’,’sin(t)’,’t’,[0,8*pi])>> grid>> xlabel(’Axa Ox’); ylabel(’Axa Oy’); zlabel(’Axa Oz’)
vor crea graficul curbei
x (t) = cos (t) ,
y (t) = sin (t) ,
z (t) = t, t ∈ [0, 8π] .�
Pentru reprezentarea grafica a unei suprafet,e data de ecuat,ia explicitaz = f (x, y) , unde (x, y) ∈ [a, b] × [c, d] (evident, este inclus s, i cazul uneisuprafet,e data de ecuat,iile parametrice x = x (t) , y = y (t) , z = z (t) undet ∈ [t0 , T ] ) avem la dispozit,ie comenzile mesh s, i surf
Primul pas consta în crearea unei ret,ele de puncte. În acest sens cream,mai întâi, vectorii
x = a:h1:b; y = c:h2:d;
21 Easy-to-use 3-D parametric curve plotter.
118 8. Reprezentari grafice
apoi, folosind vectorii de mai sus, se creaza o ret,ea de puncte în plan X,Ydata de comanda
[X,Y] = meshgrid(x,y)
Astfel vom obt,ine doua matrice cont,inând coordonatele, abscisele s, i res-pectiv ordonatele, unor puncte din plan care realizeaza o divizare a drep-tunghiului [a, b]× [c, d] .
Apoi definim variabila Z conform funct,iei care da suprafat,a prin
Z = f(X,Y);
(matricea Z are elementul Z(i,j) dat de valoarea funct,iei f în punctulX(i,j) s, i Y(i,j) ).
În final reprezentarea grafica a suprafet,ei se va obt,ine scriind una dintrecomenzile:
mesh(X,Y,Z) sau surf(X,Y,Z)
Exemplul 8.16 Daca lucram cu (x, y) ∈ [−1, 3] × [1, 3] , atunci sa luam, deexemplu, divizarea cu pasul 1
>> x = -1:3; y = 1:3;
s, i apoi sa scriem
>> [X,Y] = meshgrid(x,y)
Vom obt,ine
X =
-1 0 1 2 3
-1 0 1 2 3
-1 0 1 2 3
s, iY =
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
Aceste matrice reprezinta exact abscisele s, i respectiv ordonatele unorpuncte din plan care realizeaza o divizare a dreptunghiului [−1, 3]× [1, 3] ,adica punctele (as, a cum arata ele în plan):
8.2. Grafica 3D 119
(−1, 3) (0, 3) (1, 3) (2, 3) (3, 3)
(−1, 2) (0, 2) (1, 2) (2, 2) (3, 2)
(−1, 1) (0, 1) (1, 1) (2, 1) (3, 1)
�
Exemplul 8.17 Comenzile:
>> figure(’Name’,’Graficul unei suprafete’)>> x = -1:.01:3; y = 1:.01:4;>> [X,Y] = meshgrid(x,y);>> Z = X.*Y.^2./(X.^2+Y.^2);>> mesh(X,Y,Z)>> grid>> xlabel(’Axa Ox’); ylabel(’Axa Oy’); zlabel(’Axa Oz’)
vor crea graficul suprafet,ei z =xy2
x2 + y2, cu (x, y) ∈ [−1, 3]× [1, 4] .
�
Mai exista s, i alte comenzi care produc grafice de suprafet,e (matriceleX,Y,Z au aceas, i semnificat,ie ca în comanda mesh):
• ezmesh(functia) Easy-to-Use mesh;
• meshz(X,Y,Z) Mesh Curtain Plot;
• meshc(X,Y,Z) Mesh and Countour Plot;
• ezsurf(X,Y,Z) Easy-to-Use surf;
• surfc(X,Y,Z) Surface and Countour Plot;
• surfl(X,Y,Z) Surface Plot with Lighting;
• bar3(Y) 3D Bar Plot; graficul este sub forma de bare verticale; fie-care element din Y reprezinta înalt,imea unei bare;
• pie3(X,explode) graficul este sub forma de disc în spat,iu.
120 8. Reprezentari grafice
Exemplul 8.18 Comenzile
>> x = -3:0.1:3; y =x;>> [X,Y] = meshgrid(x,y);>> Z = 1.8.^(-1.5*sqrt(X.^2+Y.^2)).*sin(X)
.*cos(0.5*Y);
>> figure(’Name’,’Graficul facut cu diverse comenzi’)>> grid
>> subplot(2,4,1)>> mesh(X,Y,Z)>> xlabel(’Axa Ox’); ylabel(’Axa Oy’);
zlabel(’Axa Oz’)>> legend(’mesh’)
>> subplot(2,4,2)>> ezmesh(’1.8^(-1.5*sqrt(x^2+y^2))*sin(x)
*cos(0.5*y)’,[-3,3])>> xlabel(’Axa Ox’); ylabel(’Axa Oy’);
zlabel(’Axa Oz’)>> legend(’ezmesh’)
>> subplot(2,4,3)>> meshz(X,Y,Z)>> xlabel(’Axa Ox’); ylabel(’Axa Oy’);
zlabel(’Axa Oz’)>> legend(’meshz’)
>> subplot(2,4,4)>> meshc(X,Y,Z)>> xlabel(’Axa Ox’); ylabel(’Axa Oy’);
zlabel(’Axa Oz’)>> legend(’meshc’)
>> subplot(2,4,5)>> surf(X,Y,Z)>> xlabel(’Axa Ox’); ylabel(’Axa Oy’);
zlabel(’Axa Oz’)>> legend(’surf’)
>> subplot(2,4,6)
8.2. Grafica 3D 121
>> ezsurf(’1.8^(-1.5*sqrt(x^2+y^2))*sin(x)
*cos(0.5*y)’,[-3,3])>> xlabel(’Axa Ox’); ylabel(’Axa Oy’);
zlabel(’Axa Oz’)>> legend(’ezsurf’)
>> subplot(2,4,7)>> surfc(X,Y,Z)>> xlabel(’Axa Ox’); ylabel(’Axa Oy’);
zlabel(’Axa Oz’)>> legend(’surfc’)
>> subplot(2,4,8)>> surfl(X,Y,Z)>> xlabel(’Axa Ox’); ylabel(’Axa Oy’);
zlabel(’Axa Oz’)>> legend(’surfl’)
vor deschide o fereastra (figure) cu un nume dat de noi, cu 2×4 = 8 regiuniîn care se vor amplasa opt repere cu graficul (facut cu diverse comenzi)suprafet,ei data de
z = 1.8−1.5√x2+y2 sin(x) cos(0.5 y), cu (x, y) ∈ [−3, 3]× [−3, 3] .
Am adaugat s, i o legenda în care precizam cu ce comanda este facut graficuls, i am etichetat s, i axele. �
Capitolul 9
Calcul simbolic22
Toate operat,iile facute de MATLAB în capitolele precedente sunt nu-merice. Dar multe aplicat,ii necesita operat,ii simbolice (sau calcul simbolic)care sunt operat,ii matematice cu variabile simbolice (variabile carora nu leeste specificata o valoare numerica anume, atunci când este efectuat calcu-lul).
Rezultatul unei asemenea operat,ii este o expresie matematica în aceleas, ivariabile simbolice.
Calculul simbolic poate fi folosit doar daca este instalat toolbox-ul Sym-bolic Math. Operat,iile elementare s, i funct,iile pentru efectuarea operat,iilorsimbolice au aceeas, i sintaxa ca în cazul operat,iilor numerice.
MATLAB se poate ocupa de multe tipuri de operat,ii simbolice:
• simplificarea expresiilor matematice s, i substituirea unei variabile sim-bolice cu o valoare data;
• rezolvarea unui sistem de ecuat,ii (nu neaparat liniare);
• limite de funct,ii;
• derivarea;
• integrarea;
• rezolvarea ecuat,iilor diferent,iale ordinare.
Punctul de plecare pentru operat,iile simbolice consta în definirea, înprealabil, a obiectelor (sau variabilelor) simbolice. Acestea pot fi variabile
22 Acest capitol nu este pentru Examen !
123
124 9. Calcul simbolic
sau numere. Apoi variabilele simbolice declarate sunt utilizate pentru acrea expresii simbolice ce vor fi, eventual, utilizate în operat,ii matematicesimbolice.
9.1 Obiectele simbolice si expresiile simbolice
Un obiect simbolic poate fi o variabila careia nu i-am atribuit nici o val-oare numerica sau un numar sau o expresie simbolica formata din alte vari-abile simbolice sau numere.
Obiectele simbolice pot fi create utilizând comenzile sym s, i/sau symsAstfel, comanda
nume_obiect = sym(’x’)
va crea o variabila simbolica x cu numele nume_obiect (x este un s, ir decaractere ce poate fi format exclusiv din una sau mai multe litere s, i/sauuna sau mai multe cifre, s, i fara spat,ii sau alte semne între ele).
Comandasyms x y z
va crea trei variabile simbolice x,y s, i respectiv z
Exemplul 9.1 Comanda:
>> g = sym(’gamma’)
va crea obiectul simbolic gamma cu numele g
iar comanda
>> a = sym(’a’)
va crea obiectul simbolic a cu numele a
iar comanda
>> syms a b c
va crea trei obiecte simbolice: a,b s, i c �
O expresie simbolica este o expresie matematica formata din una saumai multe obiecte simbolice (create în prealabil). În acest sens se pot apelaoperat,iile s, i funct,iile utilizate în cazul operat,iilor numerice.
9.1. Obiectele simbolice si expresiile simbolice 125
Exemplul 9.2 Comenzile:
>> syms a b c x>> f = a*x^2 + b*x + c
vor crea expresia simbolica f s, i va afis, a23
f =a*x^2 + b*x + c
iar comanda:
>> f = sym(’a*x^2 + b*x + c’)
va crea expresia simbolica f s, i va afis, a acelas, i lucru:
f =a*x^2 + b*x + c �
Exemplul 9.3 Comenzile:
>> syms a b c x>> g = 2*a/3 + 4*a/5 - 6*x + x/3 + 2*5/3 -2.2
vor crea expresia simbolica g data de2a
3+
4a
5− 6x +
x
3+
2 · 53− 2.2 s, i va
afis, a s, i varianta cu calculul elementar efectuat:
g =(22*a)/15 - (17*x)/3 + 17/15 �
Diferent,a dintre calculul numeric s, i cel simbolic este ilustrat de urma-torul exemplu:
Exemplul 9.4 Comenzile:
>> a = sym(3); b = sym(5);>> e = b/a + sqrt(2)
vor afis, a (constantele 3 s, i 5 au fost asftel transformate în variabile simbolice)
e =2^(1/2) + 5/3
iar comenzile
>> c = 3; d = 5;>> f = d/c + sqrt(2)
23 Afisarea unei expresii simbolice va fi facuta întotdeauna fara indent.
126 9. Calcul simbolic
vor afis, a
f =3.0808 �
Putem crea s, i matrice simbolice s, i putem opera cu ele:
Exemplul 9.5 Comenzile:
>> syms a b c d>> A = [a b ; c d]
vor afis, a
A =[a , b][c , d]
iar comenzile
>> B = det(A), C = inv(A), D = A*C
vor afis, a determinantul, inversa matricei A s, i respectiv produsul matricelorA cu C �
Pentru a gasi ce variabile simbolice cont,ine o anumita expresie simboli-ca avem la dispozit,ie comanda findsym care are structura:
findsym(S) sau findsym(S,n)
unde S este expresia simbolica iar n este numarul de variabile simbolice cese dores, te a fi afis, ate.
Exemplul 9.6 Comenzile:
>> syms x a b c;>> f = a*x^2 + b*x + c;>> findsym(f)
vor afis, a
ans =a,b,c,x
iar comanda
>> findsym(f,1)
9.2. Schimbarea formei unei expresii simbolice 127
va afis, a
ans =x �
9.2 Schimbarea formei unei expresii simbolice
Comanda collect este utilizata pentru a grupa variabilele cu aceas, iputere (s, i a le scrie în ordinea descrescatoare a puterilor), s, i are structura:
collect(S) sau collect(S,nume_var)
unde S este expresia simbolica iar nume_var este variabila avuta în vedere(în caz ca S cont,ine mai multe variabile s, i se prefera gruparea dupa oanume variabila).
Exemplul 9.7 Comenzile:
>> syms x y;>> S = (x-5+y)*(x-y^2-exp(x));>> T = collect(S)>> U = collect(S,y)
vor afis, a
T =x^2+(-y^2+y-exp(x)-5)*x-(y^2+exp(x))*(y-5)U =-y^3+(5-x)*y^2+(x-exp(x))*y+(x-exp(x))*(x-5) �
Comanda expand este utilizata pentru a dezvolta o expresie care cont,ineproduse de paranteze de termeni s, i/sau funct,ii trigonometrice, exponent,ialesau logaritmice (utilizând formule algebrice), s, i are structura:
expand(S)
unde S este expresia simbolica.
Exemplul 9.8 Comenzile:
>> syms a x y;>> S = (x-a)*(y+a)*sin(x-y);>> T = expand(S)
vor afis, a valoarea lui T cu calculele efectuate s, i dezvoltând sin(x-y) �
128 9. Calcul simbolic
Comanda factor este utilizata pentru a scrie un polinom ca un produsde polinoame de grad mai mic, s, i are structura:
factor(S)
unde S este expresia simbolica.
Exemplul 9.9 Comenzile:
>> syms x;>> S = x^3 + 3*x^2 - x - 3;>> T = factor(S)
vor afis, aT =[x + 3, x - 1, x + 1] �
Comanda simplify este utilizata pentru a simplifica forma unei ex-presii simbolice (conform operat,iilor matematice ce apar în expresie), s, i arestructura:
simplify(S)
unde S este expresia simbolica.
Exemplul 9.10 Comenzile:
>> syms x y;>> S = (x+y)/(1/x+1/y);>> T = simplify(S)
vor afis, a
T =x*y �
9.3 Calculul numeric al unei expresii simbolice
Comanda subs este utilizata pentru a substitui o valoare numerica încadrul unei expresii simbolice, s, i are structura:
subs(S,{var1,var2},{val1,val2})
9.3. Calculul numeric al unei expresii simbolice 129
unde S este expresia simbolica, var1 s, i var2 sunt variabilele pe care vremsa le substituim cu valorile date de valorile numerice val1 s, i respectivval2 (val1 s, i/sau val2 pot fi scalari dar s, i vectori sau matrice de valori).
Daca dorim înlocuirea unei singure variabile, atunci pot lipsi acoladeledin structura comenzii.
Daca expresia S cont,ine o singura variabila simbolica, atunci acea vari-abila poate sa nu mai fie ment,ionata în structura comenzii, ci doar valoareacu care se dores, te a fi înlocuita.
Exemplul 9.11 Comenzile:
>> syms x;>> S = 3*x^2 - 5*x + 1;>> subs(S,x,1)
vor afis, a
ans =-1
iar comanda
>> subs(S,1)
va afis, a acelas, i lucru:
ans =-1
iar comanda
>> subs(S,x,[0,1])
va afis, a
ans =[1,-1] �
Exemplul 9.12 Comenzile:
>> syms a x;>> S = a*x^2 - 5*x + 1;>> subs(S,x,1)
vor afis, a
ans =a-4
130 9. Calcul simbolic
iar comanda
>> subs(S,a,1)
va afis, a
ans =
x^2 - 5*x + 1
iar comanda
>> subs(S,{a,x},{3,1})
va afis, a
ans =
-1 �
9.4 Sume
Comanda symsum este utilizata pentru a calcula sume de tipulk=j∑k=i
xk ,
s, i are structura:
symsum(xk,k,i,j)
unde xk este termenul general, k este variabila în raport cu care se cal-culeaza suma (daca xk cont,ine o singura variabila simbolica, atunci acestargument poate lipsi), i,j sunt capetele sumei.
Exemplul 9.13 Comenzile:
>> syms k n;
>> xk1 = k; xk2 = k^2; xk3 = k^3;
>> sum1 = symsum(xk1,1,n)
>> sum2 = symsum(xk1,k,1,n)
>> sum3 = symsum(xk2,1,n)
>> sum4 = symsum(xk3,1,n)
>> sum5 = symsum(1/k^2,1,inf)
9.5. Rezolvarea ecuatiilor algebrice 131
vor afis, a diverse sume de termeni. Vom obt,ine, bineînt,eles,∑k=n
k=1k =
n (n+ 1)
2
∑k=n
k=1k2 =
n (n+ 1) (2n+ 1)
6∑k=n
k=1k3 =
n2 (n+ 1)2
4∑k=∞
k=1
1
k2=π2
6
�
9.5 Rezolvarea ecuatiilor algebrice
Comanda solve este utilizata pentru a rezolva un sistem de ecuat,ii, s, iare structura:
[sol1 sol2] = solve(eq1,eq2,var1,var2)
unde:
• eq1 = 0, eq2 = 0 reprezinta sistemul de ecuat,ii avut în vedere;eq1 (sau eq2) poate fi numele unei expresii simbolice definite an-terior sau o expresie ce este scrisa direct în comanda, sub forma de s, irde caractere;
• o ecuat,ie de tipul f (x) = g (x) poate s, i ea fi rezolvata scriind argu-mentul ’f(x) = g(x)’, i.e. ca un s, ir de caractere (între doua apos-trofuri);
• var1 s, i var2 sunt variabilele în raport cu care se dores, te rezolvareaecuat,iilor (trebuie scrise în caz ca sunt mai multe variabile simbolice);
• sol1 este solut,ia pentru var1 iar sol2 este solut,ia pentru var2 ;daca nu avem un sistem de ecuat,ii, atunci pot lipsi parantezele pa-trate din structura comenzii.
• daca ecuat,ia admite mai mult de o solut,ie, atunci solut,ia este o coloa-na cu solut,iile simbolice.
Exemplul 9.14 Comenzile:
>> syms x;
132 9. Calcul simbolic
>> f = 3*exp(x) - 5;
>> sol = solve(f)
vor afis, a
sol =
log(5/3)
iar comanda
>> sol2 = solve(3*exp(x) - 5)
va afis, a acelas, i lucru:
sol2 =
log(5/3)
iar comanda
>> sol3 = solve(3*exp(x) - 5,x)
va afis, a acelas, i lucru:
sol3 =
log(5/3)
iar comanda
>> sol4 = solve(’3*exp(x) - 5’,x)
va afis, a acelas, i lucru:
sol4 =
log(5/3) �
Exemplul 9.15 Comenzile:
>> syms x;
>> sol = solve(’cos(2*x)+3*sin(x)=2’)
vor afis, a
sol =
pi/2
pi/6
(5*pi)/6 �
9.5. Rezolvarea ecuatiilor algebrice 133
Exemplul 9.16 Comenzile:
>> syms a b x;>> g = x^2 + (b-2*a)*x - 2*a*b;>> sol = solve(g,x)
vor afis, a
sol =2*a-b �
Exemplul 9.17 Comenzile:
>> syms x y;>> [solx soly] = solve(5*x-y-2,2*x+2*y-8)
vor afis, a
solx =1soly =3 �
Exemplul 9.18 Comenzile:
>> syms x y;>> [solx soly] = solve(’5*x-y-2’,’2*x+2*y-8’)
vor afis, a acelas, i lucru ca în exemplul precedent. �
Exemplul 9.19 Comenzile:
>> syms x y;>> [solx soly] = solve(’5*x-y-2’,’2*x+2*y-8’,x,y)
vor afis, a acelas, i lucru ca în exemplul precedent. �
Exemplul 9.20 Comenzile:
>> syms x y t;>> S = 10*x+12*y+16*t;>> [solx soly] = solve(S,’5*x-y=13*t’)
vor afis, asolx =2*tsoly =-3*t �
134 9. Calcul simbolic
Exemplul 9.21 Comenzile:
>> syms a b c x;>> f = a*x^2 + b*x + c;>> solve(f)
vor afis, a solut,iile ecuat,iei f = 0 în raport cu variabila x
Comanda
>> solve(f,x)
va afis, a acelas, i lucru. �
Comanda solve este utila, de exemplu, s, i în determinarea punctelorde intersect,i dintre doua curbe date:
Exemplul 9.22 Comenzile:
>> syms x y R;>> [solx soly] = solve(’(x-2)^2+(y-4)^2=R^2’,’2*y-x=1’)
vor afis, a punctele de intersect,ie ale cercului (x− 2)2 + (y − 4)2 = R2 cudreapta 2y − x = 1. �
9.6 Limite de functii
Comanda limit este utilizata pentru a calcula limite de funct,ii, s, i arestructura:
limit(S,var,a,’d’)
unde:
• S este expresia simbolica (definita anterior sau scrisa direct în co-manda, sub forma de s, ir de caractere);
• var este variabila în raport cu care se calculeaza limita (daca S cont,i-ne o singura variabila simbolica, atunci acest argument poate lipsi);
• a este punctul limita; acesta poate fi numar sau variabila simbolica;
• d este un argument opt,ional s, i indica direct,ia limitei, în cazul în carese dores, te calculul unor limite laterale; variantele sunt right s, i left
9.7. Derivarea 135
Exemplul 9.23 Comenzile:
>> syms n x;>> S1 = (1+1/n)^n; S2 = sin(x)/x; S3 = abs(x)/x;>> lim1 = limit(S1,inf)>> lim2 = limit(S1,n,inf)>> lim3 = limit(S2,0)>> lim4 = limit(S2,x,0)>> lim5 = limit(S3,x,0,’right’)>> lim6 = limit(S3,x,0,’left’)
vor afis, a diverse limite. �
9.7 Derivarea
Comanda diff este utilizata pentru a deriva o expresie simbolica, s, iare structura:
diff(S,var,n)
unde S este expresia simbolica (definita anterior sau scrisa direct în co-manda, sub forma de s, ir de caractere), var este variabila în raport cu carese calculeaza derivata (daca S cont,ine o singura variabila simbolica, atunciacest argument poate lipsi) iar n este ordinul de derivare (daca ordinuldorit este 1, atunci acest argument poate lipsi).
Exemplul 9.24 Comenzile:
>> syms a b x y;>> S = a*exp(4*x)+b*cos(x*y);>> der1 = diff(S)% derivarea se face in raport cu variabila implicita>> der2 = diff(S,x)>> der3 = diff(S,y)>> der4 = diff(a*exp(4*x)+b*cos(x*y),x)>> der5 = diff(’a*exp(4*x)+b*cos(x*y)’,x)>> der6 = diff(S,x,2)>> der7 = diff(a*exp(4*x)+b*cos(x*y),x,2)>> der8 = diff(’a*exp(4*x)+b*cos(x*y)’,x,2)
vor afis, a diverse tipuri de derivate: în raport cu x s, i în raport cu y, cu Sdefinita în prealabil sau introdusa direct în comanda ca s, ir de caractere, deordinul 1 sau de ordinul al 2-lea. �
136 9. Calcul simbolic
Matricea jacobiana
D (f, g)
D (x, y):=
∂f
∂x
∂f
∂y
∂g
∂x
∂g
∂y
se calculeaza folosind comanda
jacobian([f;g],[x,y])
Exemplul 9.25 Consideram coordonatele polare s, i ecuat,iile de legatura cucoordonatele carteziene.
Comenzile:
>> syms rho theta x y;>> x = rho*cos(theta); y = rho*sin(theta);>> J1 = jacobian([x,y],[rho,theta])>> det1 = det(J1)>> det2 = simplify(det(J1))
vor afis, a matricea jacobiana precum s, i determinantul ei (s, i apoi într-o formasimplificata, adica valoarea ρ). �
Exemplul 9.26 Consideram coordonatele sferice s, i ecuat,iile de legatura cucoordonatele carteziene.
Comenzile:
>> syms rho phi theta x y z;>> x = rho*cos(theta)*sin(phi);>> y = rho*sin(theta)*sin(phi);>> z = rho*cos(phi);>> J2 = jacobian([x,y,z],[rho,theta,phi])>> det3 = det(J2)>> det4 = simplify(det(J2))
vor afis, a matricea jacobiana precum s, i determinantul ei (s, i apoi într-o formasimplificata, adica valoarea −ρ2 sin (ϕ) ). �
9.8 Integrarea
Comanda int este utilizata pentru a integra o expresie simbolica, s, i arestructura:
int(S,var,a,b)
9.8. Integrarea 137
unde:
• S este expresia simbolica (definita anterior sau scrisa direct în co-manda, sub forma de s, ir de caractere);
• var este variabila în raport cu care se calculeaza integrala (daca Scont,ine o singura variabila simbolica, atunci acest argument poatelipsi);
• a,b sunt limitele de integrare; acestea pot fi numere sau variabile sim-bolice (daca nu se dores, te determinarea unei integrale definite ci aunei primitive, atunci aceste argumente lipsesc).
Exemplul 9.27 Comenzile:
>> syms x y;
>> S = 2*exp(4*x)-3*x*y;
>> int1 = int(S)
% integrarea se face in raport cu variabila implicita
>> int2 = int(S,x)
>> int3 = int(S,y)
>> int4 = int(2*exp(4*x)-3*x*y,x)
>> int5 = int(’2*exp(4*x)-3*x*y’,x)
>> int6 = int(S,x,0,1)
>> int7 = int(2*exp(4*x)-3*x*y,x,0,1)
>> int8 = int(’2*exp(4*x)-3*x*y’,x,0,1)
vor afis, a diverse tipuri de integrale: în raport cu x s, i în raport cu y, cu Sdefinita în prealabil sau introdusa direct în comanda ca s, ir de caractere, culimite de integrare sau fara limite de integrare. �
Exemplul 9.28 Putem calcula s, i integrale improprii, de exemplu integrala
lui Gauss,∫ +∞
−∞e−x
2dx :
>> syms x;
>> f = exp(-x^2);
>> intGauss = int(f,-inf,inf)
Valoarea afis, ata va fi, bineînt,eles,√π. �
138 9. Calcul simbolic
9.9 Rezolvarea ecuatiilor diferentiale ordinare
Comanda dsolve este utilizata pentru a determina solut,ia unei ecuat,iidiferent,iale ordinare, s, i are structura:
dsolve(’eq1’,’eq2’,’cond1’,’cond2’,’var’)
unde:
• eq1 este ecuat,ia diferent,iala ce trebuie scrisa direct în comanda, sub
forma de s, ir de caractere: derivata y′ saudy
dttrebuie scrisa sub forma
Dy; de exemplu, ecuat,ia diferent,iala y′ (t) + 3y (t) = 5 va fi scrisa subforma ’Dy+3y=5’; daca este un sistem de ecuat,ii apare s, i eq2;
• cond1,cond2 etc. sunt condit,iile int,iale ce trebuie satisfacute desolut,ia ecuat,ii diferent,iale;
• var este variabila în raport cu care se calculeaza solut,ia ecuat,iei; dacaeq cont,ine o singura variabila simbolica, atunci acest argument poatelipsi; daca eq cont,ine mai multe variabile simbolice s, i nu indicamvariabila în raport cu care sa rezolvam ecuat,ia, atunci se lucreaza cuvariabila implicita (luata t).
Exemplul 9.29 Solut,ia ecuat,iei diferent,iale de ordinul întâi
y′ = 2y + 4t (saudy
dt= 2y + 4t )
se va gasi scriind
>> dsolve(’Dy=2*y+4*t’)% nu este necesar sa definim, in prealabil,% variabile simbolice
s, i vom obt,ineans =C1*exp(2*t) - 2*t - 1 �
Exemplul 9.30 Solut,ia ecuat,iei diferent,iale de ordinul al doilea
d2x
dt2+ 2
dx
dt+ x = 0 (sau x′′ + 2x′ + x = 0 )
se va gasi scriind
9.9. Rezolvarea ecuatiilor diferentiale ordinare 139
>> dsolve(’D2x+2*Dx+x=0’)% nu este necesar sa definim, in prealabil,% variabile simbolice
s, i vom obt,ineans =C1*exp(-t) + C2*t*exp(-t) �
Exemplul 9.31 Solut,ia ecuat,iei diferent,iale
ds
dt= ax2 (sau s′ (t) = ax2, cu x independent de t )
se va gasi scriind
>> dsolve(’Ds=a*x^2’)% nu este necesar sa definim, in prealabil,% variabile simbolice
% nu am precizat variabila,% deci se va considera t drept variabila implicita
s, i vom obt,ineans =a*t*x^2 + C1 �
Exemplul 9.32 Solut,ia ecuat,iei diferent,iale
ds
dx= ax2 (sau s′ (x) = ax2 )
se va gasi scriind
>> dsolve(’Ds=a*x^2’,’x’)
s, i vom obt,ineans =(a*x^3)/3 + C1 �
Exemplul 9.33 Solut,ia ecuat,iei diferent,iale
ds
da= ax2 (sau s′ (a) = ax2 )
se va gasi scriind
>> dsolve(’Ds=a*x^2’,’a’)
140 9. Calcul simbolic
s, i vom obt,ineans =(a^2*x^2)/2 + C1 �
Exemplul 9.34 Solut,ia ecuat,iei diferent,iale cu condit,ii init,iale y′ + 3y = 5
y (0) = 1
se va gasi scriind
>> dsolve(’Dy+3*y=5’,’y(0)=1’)
s, i vom obt,ineans =5/3 - (2*exp(-3*t))/3 �
Exemplul 9.35 Solut,ia ecuat,iei diferent,iale cu condit,ii init,iale y′′ − 2y′ + 2y = 0
y (0) = 1, y′ (0) = 0
se va gasi scriind
>> dsolve(’D2y-2*Dy+2*y’,’y(0)=1’,’Dy(0)=0’)
s, i vom obt,ineans =exp(t)*cos(t) - exp(t)*sin(t) �
Exemplul 9.36 Solut,ia sistemului de ecuat,ii diferent,iale cu condit,ii init,ialex′ = x+ y
y′ = t− x
x (0) = 1, y (0) = 2
se va gasi scriind
>> [solx soly] = dsolve(’Dx=x+y’,’Dy=t-x’,’x(0)=1’,’y(0)=2’)
Astfel se va afis, a solut,ia solx s, i solut,ia soly �
Bibliografie selectiva
[1] Stormy Attaway, MATLAB R©. A practical Introduction to Programmingand Problem Solving (Fourth Edition), Elsevier, Amsterdam, 2017.
[2] Tobin A. Driscoll, Learning MATLAB, Society for Industrial and AppliedMathematics (SIAM), 2009.
[3] Amos Gilat, MATLAB R©. An Introduction with Applications (Fifth Edition),Wiley, 2015.
[4] Duane Hanselman, Bruce Littlefield, Mastering MATLAB R©, Pearson,2012.
[5] Brian R. Hunt, Ronald L. Lipsman, Jonathan M. Rosenberg, A Guide toMATLAB R© for Beginners and Experienced Users (Second Edition), Cam-bridge University Press, 2006.
[6] William J. Palm III, A Concise Introduction to MATLAB, McGraw-Hill,New York, 2008.
[7] Rudra Patrap, Getting Started with MATLAB. A Quick Introduction forScientists and Engineers, Oxford University Press, 2010.
141
MATLAB – LABORATOARE
Soft Matematic (MATLAB)
Laboratorul 11∗
1. Sa se evalueze urmatoarele expresii s, i sa se afis, eze rezultatul evaluarii:
(a) x =3 + 22
53 + 1+ 4
23−1 · 8; (b) y = 7x− 5;
(c) sinπ
4+ cos2
2π
3; (d) ey − ln (e) .
2. Sa se atribuie variabilei x valoarea 3. Apoi sa se foloseasca pentru a evalua expresiile:
(a)x3
6; (b) ex
2−1 ; (c)x− 1√x2 + 1
;
(d) x3 sin (x− 2x) ; (e) 213x ; (f)
arctg (x)
1 + x2.
3. Sa se genereze s, i sa se afis, eze:
(a) Un vector cu elemente de la − 1 la 1, cu pasul 1 s, i apoi cu pasul 0.01.
Sa se determine s, i sa se afis, eze dimensiunea vectorului ın ambele cazuri;
(b) O matrice A de tip 2× 3 cu toate elementele 1;
(c) O matrice B prin adaugarea liniei [2 3 4] la matricea A de la (b) ;
(d) O matrice C prin replicarea matricei B ın 3× 2 blocuri.
Sa se determine s, i sa se afis, eze dimensiunea lui C.
Sa se afis, eze linia a 5-a s, i coloana a 2-a a lui C.
Sa se s, tearga ultimele doua linii s, i doua coloane ale lui C.
4. Sa se genereze s, i sa se afis, eze vectorul x = (xn)n=1,100 , unde
(a) xn = n (n+ 1) ; (b) xn = n√n+ 1.
5. Sa se genereze s, i sa se afis, eze urmatoarele matrice:
(a) de tip (2n+ 1)× (2n+ 1) , cu n ≥ 20, n ∈ N, de forma
−n 1 0 0 · · · 0 0
1 −n+ 1 1 0 · · · 0 0
0 1 −n+ 2 1 · · · 0 0
......
.... . .
......
...
0 0 0 1 n− 2 1 0
0 0 0 0 1 n− 1 1
0 0 0 0 0 1 n
;
∗ Pentru examen trebuie avute ın vedere si toate exemplele din Cursul disponibil pe pagina personala:https://www.math.uaic.ro/∼maticiuc/didactic/MATLAB Curs.pdf
1
Soft Matematic – Laboratorul 11 (MATLAB)
(b) de tip n× n, cu n ≥ 20, n ∈ N, de forma
2 −1 0 0 · · · 0 0
−1 2 −1 0 · · · 0 0
0 −1 2 −1 · · · 0 0
......
.... . .
......
...
0 0 0 −1 2 −1 0
0 0 0 0 −1 2 −1
0 0 0 0 0 −1 2
;
(c) de tip n× n, cu n ≥ 20, n ∈ N, de forma
1 n 0 0 · · · 0 0
−2 2 n− 1 0 · · · 0 0
0 −3 3 n− 2 · · · 0 0
......
.... . .
......
...
0 0 0 −n+ 2 n− 2 3 0
0 0 0 0 −n+ 1 n− 1 2
0 0 0 0 0 −n n
.
2
16/12/19 22:31 D:\Lab11_MATLAB_script.m 1 of 3
% problema 1.ax1 = (3+2^2)/(5^3+1)+4^(2/3-1)*8 % problema 1.by1 = 7*x1-5 % problema 1.cz1 = sin(pi/4)+(cos(2*pi/3))^2 % problema 1.dw1 = exp(y1)-log(exp(1)) % problema 2.ax = 3 ; x2a = x^3/6 % problema 2.bx = 3 ; x2b = exp(x^2-1) % problema 2.cx = 3 ; x2c = (x-1)/sqrt(1+x^2) % problema 2.dx = 3 ; x2d = (x^3)*sin(x-2^x) % problema 2.ex = 3 ; x2e = 2^(1/(3*x)) % problema 2.fx = 3 ; x2f = atan(x)/(1+x^2) % problema 3.ax3b = -1:1dimx = length(x3b)y3b = -1:0.01:1;dimy = length(y3b) % problema 3.bA = ones(2,3)
16/12/19 22:31 D:\Lab11_MATLAB_script.m 2 of 3
% problema 3.c;% varianta: linia noua este prima linie a matricei AA = ones(2,3) ; B1 = [ [2 3 4] ; A] % problema 3.c;% varianta: linia noua este ultima linie a matricei AA = ones(2,3) ; B2 = [A ; [2 3 4]] % problema 3.c;% varianta: linia noua este intre prima si a doua linie a matricei AA = ones(2,3); B3 = [A(1,:) ; [2 3 4] ; A(2,:)] % problema 3.c;% varianta: adaug o coloana noua intre coloana a 2-a si a 3-a a matricei AA = ones(2,3); B3 = [A(:,1:2) , [2 3]' , A(:,3)] % problema 3.dA = ones(2,3); B = [A ; [2 3 4]];C = repmat(B,3,2)dimC = size(C)l5C = C(5,:)c2C = C(:,2)partC = C(1:7,1:4) % problema 4.a% vom lua cazul n=1:10% (trebuie scris si in cazul n=1:100, dar fara a afisa rezultatul)m = 1:10 , x_m = m.*(m+1)% introducerea de spatii intre . si operator va conduce la erori % apoi scriem cazul:n = 1:100 ; x_n = n.*(n+1);% introducerea de spatii intre . si operator va conduce la erori % problema 4.bn = 1:100 ; y_n = n.*sqrt(n)+1;% introducerea de spatii intre . si operator va conduce la erori % problema 5.a; vom lua cazul n=7% (trebuie scris si in cazul n=50, dar fara a afisa rezultatul)A1=diag(-7:7)
16/12/19 22:31 D:\Lab11_MATLAB_script.m 3 of 3
B1=diag(diag(eye(14)),1) % ce face comanda "diag(diag(matrice))"?C1=diag(diag(eye(14)),-1)D1=A1+B1+C1 % problema 5.b; vom lua cazul n=7% (trebuie scris si in cazul n=50, dar fara a afisa rezultatul)A2=2*eye(7)B2=diag(diag(eye(6)),1)C2=diag(diag(eye(6)),-1)D2=A2-B2-C2 % problema 5.c; vom lua cazul n=7% (trebuie scris si in cazul n=50, dar fara a afisa rezultatul)A3=diag(1:7)B3=diag(7:-1:2,1)C3=diag(-2:-1:-7,-1)D3=A3+B3+C3
Soft Matematic (MATLAB)
Laboratorul 12∗
1. Sa se genereze s, i sa se afis, eze matricea
A =
1 2 −1 37 6 0 13 −2 −1 −10 1 −4 5
.
(a) Sa se scrie transpusa matricei A;
(b) Sa se calculeze At A s, i AAt;
(c) Sa se determine rangul, determinantul s, i inversa matricei A;
(d) Fie B = At. Sa se calculeze 3A− 5B3.
2. Sa se rezolve urmatoarele sisteme de ecuat,ii liniare:
(a)
5x1 + 2x2 + x3 = 12
5x1 − 6x2 + 2x3 = −1
−4x1 + 2x2 + x3 = 3
(b)
2x1 − x2 = 1
−x1 + 2x2 − x3 = 1
−x2 + 2x3 − x4 = 1
...
−xn−2 + 2xn−1 − xn = 1
−xn−1 + 2xn = 1
pentru n ≥ 2, n ∈ N.
3. Fie tablourile:
(a) x = [1 2 3 ; 0 − 2 5 ; 6 3 9] ; (b) x = −10 : .1 : 10; (c) z = 5 ∗ randn(5).
Sa se scrie o comanda care sa determine numarul de elemente mai mari ca 1 ale acestor tablouri.
4. Sa se construiasca o matrice de tip 25 × 25 care sa cont,ina toate numerele naturale de la 1 la 625as, ezate ın ordine crescatoare, linie dupa linie.
Sa se ınlocuiasca cu 0 numerele care nu sunt prime.
Sa se scrie comenzile corespunzatoare ıntr-un fis, ier script.
5. Sa se construiasca o matrice de tip 5 × 5 de numere aleatoare, uniform distribuite ın intervalul[0, 1]. Sa se calculeze media aritmetica a elementelor mai mari decat 0.5. Sa se scrie comenzilecorespunzatoare ıntr-un fis, ier script.
∗ Pentru examen trebuie avute ın vedere si toate exemplele din Cursul disponibil pe pagina personala:https://www.math.uaic.ro/∼maticiuc/didactic/MATLAB Curs.pdf
1
Soft Matematic – Laboratorul 12 (MATLAB)
6. Sa se construiasca un vector cu elementele xn =(−1)n+1
2n− 1, unde n ia valoari de la 1 la 100. Sa se
calculeze suma elementelor acestui vector.
7. Sa se calculeze produsul 1 · 2 · 3 · . . . · 24 · 25.
8. Sa se calculeze suma 1 + 22 + 32 + . . .+ 1992 + 2002.
9. Sa se aproximeze numeric suma seriei∑∞
n=1
1
n (n+ 1).
10. Sa se creeze, ıntr-un fis, ier de tip M, funct,ia f, unde:
(a) f (x) =x3
1 + x2; (b) f (x) =
2x
2 + 5x; (c) f (x) =
x
1 +√x.
Sa se apeleze funct,ia f cu argumentele x = 2.3 s, i respectiv x = [0 0.2 . . . 1.8 2] .
2
16/12/19 22:31 D:\Lab12_MATLAB_script.m 1 of 4
% problema 1.aA = [1 2 -1 3 ; 7 6 0 1 ; 3 -2 -1 -1 ; 0 1 -4 5]trans1_A = A.'% sau varianta care transpune si face si conjugatele elementelor% care este identica in cazul nostru cu A'trans2_A = A' % problema 1.bA = [1 2 -1 3 ; 7 6 0 1 ; 3 -2 -1 -1 ; 0 1 -4 5];prod1 = A*A'prod2 = A'*A % problema 1.cA = [1 2 -1 3 ; 7 6 0 1 ; 3 -2 -1 -1 ; 0 1 -4 5];rang_A = rank(A)det_A = det(A)inv_A = inv(A) % problema 1.dA = [1 2 -1 3 ; 7 6 0 1 ; 3 -2 -1 -1 ; 0 1 -4 5];B = A'C = 3*A-5*B^3 % problema 2.a% avem un sistem liniar de tipul AX=b% solutia este data de X = A\b% solutia este data si de X = A^(-1)*b% dar precizia ei nu este la fel de mare in comparatie cu A\B% (diferentele se vad cand dimensiunea sistemului este mai mare% si cand matricea A are forma mai putin regulata)A = [5 2 1 ; 5 -6 2 ; -4 2 1 ]; b = [12 ; -1 ; 3]met1a_X = A\bmet2a_X = A^(-1)*b % matricea sistemului este cea generata la Lab 11, Problema 5.b% vom lua cazul n=7% (trebuie scris si in orice alt caz, dar fara a afisa rezultatul)A = 2*eye(7)-diag(diag(eye(6)),1)-diag(diag(eye(6)),-1)b = ones(7,1)met1a_X = A\bmet2a_X = A^(-1)*b
16/12/19 22:31 D:\Lab12_MATLAB_script.m 2 of 4
% problema 3x = [1 2 3 ; 0 -2 5 ; 6 3 9]y = -10:.1:10;z = 5*rand(5) % am generat numere aleatoare distribuite uniform in intervalul (0,5)w = 5*randn(5)% am generat numere aleatoare distribuite normal standard (medie 0 si dispersie 1)% si apoi le-am inmutit cu 5% am obtinut numere aleatoare distribuite normal de medie 0 si dispersie 5^2)a1 = x>1b1 = sum(x>1)suma_x = sum(sum(x>1)) a2 = y>1b2 = sum(y>1)suma_y = sum(sum(y>1)) a3 = z>1b3 = sum(z>1)suma_z = sum(sum(z>1)) a4 = w>1b4 = sum(w>1)suma_w = sum(sum(w>1)) % problema 4A = 1:49;B = reshape(A,7,7)C = B'D = isprime(C)E = D.*C % sau varianta (dar e mai greu de vizualizat)A = 1:625;B = reshape(A,25,25)C = B'D = isprime(C)E = D.*C % problema 5A = rand(5);B = A>0.5;C = A.*B;sum(sum(C))/sum(sum(B))
16/12/19 22:31 D:\Lab12_MATLAB_script.m 3 of 4
% problema 6% vom lua cazul n=1:10% (trebuie scris si in cazul n=1:100, dar fara a afisa rezultatul)m = 1:10,x_m = ((-1).^(m+1))./(2*m-1)% introducerea de spatii intre . si operator va conduce la erori SumaElem1 = sum(x_m) % apoi scriem cazul:n = 1:100;x_n = ((-1).^(n+1))./(2*n-1);% introducerea de spatii intre . si operator va conduce la erori SumaElem2 = sum(x_n) % problema 7x = 1:25 ; Prod = prod(x) % problema 8n = 1:200 ; y_n = n.^2;% introducerea de spatii intre . si operator va conduce la erori SumaElem3 = sum(y_n) % problema 9n = 1:300 ; z_n = (n.*(n+1)).^(-1);% introducerea de spatii intre . si operator va conduce la erori SumaElem4 = sum(z_n) % problema 10val1_f1 = functia1(1)x = 2.3val2_f1 = functia1(x)y = 0:.2:2;val3_f1 = functia1(y) val1_f2 = functia2(1)x = 2.3
16/12/19 22:31 D:\Lab12_MATLAB_script.m 4 of 4
val2_f2 = functia2(x)y = 0:.2:2;val3_f2 = functia2(y) val1_f3 = functia3(1)x = 2.3val2_f3 = functia3(x)y = 0:.2:2;val3_f3 = functia3(y)
28/09/19 14:41 D:\functia1.m 1 of 1
function y = functia1(x) % definim, cu un fisier de tip M, o functie in cadrul Laboratorului 12,% Problema 10(a) y = (x.^3)./(1+x.^2);
28/09/19 14:42 D:\functia2.m 1 of 1
function y = functia2(x) %{definim, cu un fisier de tip M, o functie in cadrulLaboratorului 12, Problema 10(b)%} y = (2.^x)./(2+5.^x);
28/09/19 14:42 D:\functia3.m 1 of 1
function y = functia3(x) %{definim, cu un fisier de tip M, o functie in cadrulLaboratorului 12, Problema 10(c)%} y = x./(1+sqrt(x));
Soft Matematic (MATLAB)
Laboratorul 13 & 14∗
1. Sa se defineasca funct,ia f : R → R, f (x) = x2 + ex ın cele trei moduri: utilizand un fis, ier de tip M,funct,ie de tip inline, funct,ie de tip anonymous (cu un function handle).
Apoi sa se calculeze valorile funct,iei ın argumentele:
(a) x1 = 1 ; (b) x2 = −2 ; (c) x3 =[2 3
]. (d) x4 =
[1 23 4
].
2. Sa se scrie o funct,ie care genereaza, pentru o valoare n ∈ N ceruta de program, o matricea A de tipn× n cu elementele
ai,j =1
i+ j − 1, i, j = 1, n .
3. Sa se scrie o funct,ie care genereaza, pentru o valoare n ∈ N ceruta de program, matricea de tip(2n)× (2n) :
1 1 0 0 0 · · · · · · · · · 0 0 0
1 2 2 0 0 · · · · · · · · · 0 0 0
0 0 3 1 0 · · · · · · · · · 0 0 0
0 0 1 4 2 · · · · · · · · · 0 0 0...
......
.... . .
......
......
......
......
......
... n...
......
......
......
......
...... n
......
......
......
......
......
.... . .
......
...0 0 0 0 0 · · · · · · 1 3 2 0
0 0 0 0 0 · · · · · · · · · 0 2 1
0 0 0 0 0 · · · · · · · · · 0 1 1
.
4. Sa se calculeze eficient sumaSn =
∑n
k=1
1
k2.
Cat de bine aproximeaza Sn suma seriei∑∞
k=1
1
k2=π2
6?
Sa se afis, eze texte cu explicat,ii s, i cu rezultatele obt,inute (conform variabilei n introdusa de noi)folosind comanda disp s, i apoi folosind comanda fprintf (textul trebuie sa cont,ina s, i caractere s, ivariabilele definite ın cadrul problemei).
5. Sa se creeze, ıntr-un fis, ier de tip M, funct,ia f care evalueaza dezvoltarea Mac-Laurin a funct,ieiln (x+ 1) :
ln (x+ 1) =∑∞
n=1(−1)n+1 xn
n, pentru orice x ∈ (−1, 1].
Sa se apeleze funct,ia f cu argumentele x din intervalul [−0.5, 0.5] . Sa se verifice ce se ıntampla candx se apropie de −1 sau de 1.
∗ Pentru examen trebuie avute ın vedere si toate exemplele din Cursul disponibil pe pagina personala:https://www.math.uaic.ro/∼maticiuc/didactic/MATLAB Curs.pdf
1
Soft Matematic – Laboratorul 13 & 14 (MATLAB)
Sa se afis, eze texte cu explicat,ii s, i cu rezultatele obt,inute (conform variabilei x introdusa de noi)folosind comanda disp s, i apoi folosind comanda fprintf (textul trebuie sa cont,ina s, i caractere s, ivariabilele definite ın cadrul problemei).
6. Sa se creeze, ıntr-un fis, ier de tip M, funct,ia f aproximeaza, prin metoda trapezelor, integrala uneifunct,ii pe intervalul [a, b] . Algoritmul este urmatorul:
(a) se defines, te integrandul f s, i se indica limitele de integrare a, b;
(b) intervalul [a, b] se ımparte ın n subintervale, se calculeaza lungimea h := (b− a) /n a subinter-valului s, i se obt,in nodurile echidistante x1, . . . , xn ;
(c) se aproximeaza integrala prin termenul I =h
2
∑n
k=1(f (xk) + f (xk+1)) ;
(d) se afis, eaza valoarea aproximativa a integralei∫ b
a
f (x) dx.
Sa se afis, eze texte cu explicat,ii s, i cu rezultatele obt,inute (conform variabilelor a, b, n, f introdusede noi) folosind comanda disp s, i apoi folosind comanda fprintf (textul trebuie sa cont,ina s, icaractere s, i variabilele definite ın cadrul problemei).
7. Sa se determine care e cea mai mare valoare a lui n astfel ıncat
Sn =∑n
k=1k2 < L ,
unde L este dat.
Sa se afis, eze texte cu explicat,ii s, i cu rezultatele obt,inute (conform variabilei L introdusa de noi)folosind comanda disp s, i apoi folosind comanda fprintf (textul trebuie sa cont,ina s, i caractere s, ivariabilele definite ın cadrul problemei).
2
02/12/19 17:59 D:\Lab13_Lab14_MATLAB_script.m 1 of 4
%{problema 1_modalitatea 1:cream separat o functie de tip M cu numele functia4.mo apelam scriind:%}y1 = functia4(1)y2 = functia4(-2)y3 = functia4([2 3])y4 = functia4([1 2 ; 3 4]) % problema 1_modalitatea 2: cream o functie de tip inlinefunctia4b = inline('x.^2+exp(x)')z1 = functia4b(1)z2 = functia4b(-2)z3 = functia4b([2 3])z4 = functia4b([1 2 ; 3 4]) % problema 1_modalitatea 3: cream o functie de tip anonymous (folosim un function handle)functia4c = @(x) x.^2+exp(x)w1 = functia4c(1)w2 = functia4c(-2)w3 = functia4c([2 3])w4 = functia4c([1 2 ; 3 4]) %{problema 2: cream separat o functie de tip M cu numele functia5.mo apelam scriind, de exemplu:%}H5 = functia5(5)H7 = functia5(7) %{problema 3: cream separat o functie de tip M cu numele functia6.mo apelam scriind, de exemplu:%}M5 = functia6(5)M7 = functia6(7)
02/12/19 17:59 D:\Lab13_Lab14_MATLAB_script.m 2 of 4
%{problema 4: trebuie scrisa pentru n=10, n=50, n=100 etc.pentru a vedea cum arata eroarea%}k = 1:10; S_n = sum(1./k.^2)suma = pi^2/6eroarea = abs(S_n - suma) %{problema 5: trebuie scrisa pentru n=4, n=10, n=100, n=1000 etc.pentru a vedea cum arata eroarea%}x1 = -.5; val1 = functia7(x1,4)suma1 = log(x1+1)eroarea1 = abs(val1 - suma1) x2 = .5; val2 = functia7(x2,4)suma2 = log(x2+1)eroarea2 = abs(val2 - suma2) x3 = 1; val3 = functia7(x3,4)suma3 = log(x3+1)eroarea3 = abs(val3 - suma3) x4 = -1; val4 = functia7(x4,1000)suma4 = log(x4+1)eroarea4 = abs(val4 - suma4) % problema 6_modalitatea 1:%{definim, mai intai, functia8, intr-un fisier de tip M, care defineste algoritmul de calcul(metoda de aproximare a integralei (alta decat cea folosita de MATLAB))careia vrem sa ii aproximam integrala%} % apoi introducem efectiv functia pe care vrem sa o integram;% alegem functia exp(-x^2/2)
02/12/19 17:59 D:\Lab13_Lab14_MATLAB_script.m 3 of 4
fct_test = inline('exp(-x.^2/2)')a = input('Introduceti limita a de la integrala definita = ')b = input('Introduceti limita b de la integrala definita = ')n = input('Introduceti numarul de pasi in aproximarea cu metoda trapezelor = ')I_aprox = functia8(a,b,n,fct_test)I = quad('exp(-x.^2/2)',a,b)%{calculez si integrala cu metoda MATLAB, adica, de exemplu, folosind comanda quad(vine de la quadrature: adica metoda de a determina o aproximare numerica aintegralei definite prin metoda cuadraturilor (i.e. calcul de arii cunoscute))%}fprintf('Am aproximat integrala definita, dintr-o functie data,\nde la a = %.2f la b = %.2f cu un numar de n = %.0f de pasi\n',a,b,n)fprintf('\n')fprintf('Integrala calculata de noi prin metoda trapezelor are valoarea %.8f \niar valoarea ei calculata de MATLAB prin comanda quad este %.8f\n',I_aprox,I)fprintf('\n')fprintf('Diferenta dintre cele doua valori/metode de calcul este de %.12f\n',abs(I-I_aprox))fprintf('\n') % problema 6_modalitatea 2:%{definim, mai intai, functia9, intr-un fisier de tip M, care defineste algoritmul de calcul(metoda de aproximare a integralei (alta decat cea folosita de MATLAB))careia vrem sa ii aproximam integrala(functia9 este functia8 scrisa in alta modalitate)%} % apoi introducem efectiv functia pe care vrem sa o integram;% alegem functia exp(-x^2/2) fct_test2 = inline('exp(-x.^2/2)')a = input('Introduceti limita a de la integrala definita = ')b = input('Introduceti limita b de la integrala definita = ')n = input('Introduceti numarul de pasi in aproximarea cu metoda trapezelor = ')I_aprox2 = functia9(a,b,n,fct_test2)I = quad('exp(-x.^2/2)',a,b)%{calculez si integrala cu metoda MATLAB, adica, de exemplu, folosind comanda quad%}fprintf('Am aproximat integrala definita, dintr-o functie data,\nde la a = %.2f la b = %.2f cu un numar de n = %.0f de pasi\n',a,b,n)fprintf('\n')fprintf('Integrala calculata de noi prin metoda trapezelor are valoarea %.8f \niar valoarea ei calculata de MATLAB prin comanda quad este %.8f\n',I_aprox2,I)fprintf('\n')
02/12/19 17:59 D:\Lab13_Lab14_MATLAB_script.m 4 of 4
fprintf('Diferenta dintre cele doua valori/metode de calcul este de %.12f\n',abs(I-I_aprox2))fprintf('\n') % problema 7_modalitatea 1:L = input('Introduceti pragul L = ')s = 0; k = 0;while s < L - (k+1)^2 k = k+1; s = s + k^2;endfprintf('Suma de patrate de valoare maxima care este mai mica decat L=%.2f este %.2f\n',L,s)fprintf('\n')fprintf('Ea este obtinuta pentru adunarea primilor %.0f termeni\n',k)fprintf('\n') % problema 7_modalitatea 2:L = input('Introduceti pragul L = ');n = input('Introduceti numarul de termeni n = ');k = 1:n;s2 = cumsum(k.^2)% gasim termenii care verifica: suma patratelor este < L dat de noi% si luam maximul acestorarang_max = max(find(s2<L))fprintf('Suma de patrate de valoare maxima \ncare este mai mica decat L = %.2f\neste obtinuta pentru rangul %.0f\n',L,rang_max)
28/09/19 14:43 D:\functia4.m 1 of 1
function y = functia4(x) %{definim, cu un fisier de tip M, o functie in cadrulLaboratorului 13 & 14, Problema 1%} y = x.^2+exp(x); end
28/09/19 14:43 D:\functia5.m 1 of 1
function y = functia5(n) %{definim, cu un fisier de tip M, o functie in cadrulLaboratorului 13 & 14, Problema 2%} for i = 1:n for j = 1:n y(i,j)=1./(i+j-1); endend end
28/09/19 14:44 D:\functia6.m 1 of 1
function y = functia6(n) %{definim, cu un fisier de tip M, o functie in cadrulLaboratorului 13 & 14, Problema 3%} x = 1:n; y = n:-1:1; z = [x , y]; A = diag(z);a = repmat([1 2],1,n-1); b = [a , 1]; B = diag(b,1);c = repmat([1 0],1,n-1); d = [c , 1]; C = diag(d,-1);y = A + B + C; end
28/09/19 14:44 D:\functia7.m 1 of 1
function y = functia7(x,n) %{definim, cu un fisier de tip M, o functie in cadrulLaboratorului 13 & 14, Problema 5%} k = 1:n;y = sum((-1).^(k+1).*x.^k./k); end
28/09/19 14:45 D:\functia8.m 1 of 1
function y = functia8(a,b,n,f) %{definim, cu un fisier de tip M, o functie in cadrulLaboratorului 13 & 14, Problema 6%} h = (b-a)/n;x = a:h:b;suma = 0;for k = 1:n suma = suma + f(x(k)) + f(x(k+1));endy = (h/2)*suma; end
28/09/19 14:45 D:\functia9.m 1 of 1
function y = functia9(a,b,n,f) %{definim, cu un fisier de tip M, o functie in cadrulLaboratorului 13 & 14, Problema 6 (a 2-a modalitate (o alta varianta la functia8))%} h = (b-a)/n;x = a:h:b;sir1 = f(x(1:n));sir2 = f(x(2:(n+1))); y = (h/2)*sum(sir1+sir2); end
Soft Matematic (MATLAB)
Laboratorul 15 & 16∗
1. Sa se reprezinte grafic funct,ia f : [0, 2π]→ R data de
f (x) = ex sin (x) .
2. Sa se reprezinte grafic funct,ia y = f (x) data de ecuat,iile parametrice{x (t) = 1 + |t| ,
y (t) =∣∣1− t2∣∣ , t ∈ [−2, 2] .
Sa se foloseasca s, i comanda subplot pentru a desena graficele funct,iilor x (t) , y (t) s, i y (x) .
3. Sa se reprezinte grafic funct,ia y = f (x) data ın coordonate polare de
r = 2 sin (2θ) , θ ∈ [0, 2π] .
4. Sa se reprezinte grafic funct,ia y = f (x) data ın coordonate polare de
r2 = 2 cos (2θ) , θ ∈ [0, 2π]
(graficul obt,inut se numes, te Lemniscata lui Bernoulli (data ın coordonate polare)).
5. Sa se reprezinte grafic funct,ia y = f (x) data ın coordonate polare de
r = sin (2θ) cos (2θ) , θ ∈ [0, 2π] .
6. Sa se reprezinte grafic funct,ia y = f (x) data implicit de(x2 + y2 − 1
)3+ 27x2y2 = 0, (x, y) ∈ [−1, 1]× [−1, 1]
(graficul obt,inut se numes, te Astroida (data ın coordonate carteziene, sub forma implicita)).
7. Sa se reprezinte grafic funct,ia y = f (x) data implicit de(x2 + y2
)2= x2 − y2, (x, y) ∈ [−1, 1]× [−1, 1]
(graficul obt,inut se numes, te Lemniscata lui Bernoulli (data ın coordonate carteziene, sub formaimplicita)).
8. Sa se reprezinte grafic funct,ia y = f (x) data implicit de
x3 + y3 − 3xy = 0, x ∈ [−a, a] ,
unde a este o valoare introdusa de noi.
(graficul obt,inut se numes, te Foliul lui Descartes1 (dat ın coordonate carteziene, sub forma im-plicita)).
∗ Pentru examen trebuie avute ın vedere si toate exemplele din Cursul disponibil pe pagina personala:https://www.math.uaic.ro/∼maticiuc/didactic/MATLAB Curs.pdf
1 Pentru alte exemple de curbe interesante vezi [1], ıncepand cu pagina 152 (sunt prezentate ecuat,ii s, i coduri MATLAB pen-tru curbele: Loxodroma, Cicloida, Epicicloida (incluzand Cardioida), Hipocicloida (incluzand Astroida), Spirala lui Arhimede,Lemniscata lui Bernoulli, Curbe Lissajous)
1
Soft Matematic – Laboratorul 15 & 16 (MATLAB) Bibliografie
9. Sa se reprezinte grafic cercul de centru (2, 3) s, i de raza R = 4 (folosind ecuat,ia implicita a cercului).
10. Sa se reprezinte grafic cercul de centru (x0, y0) s, i de raza R (folosind ecuat,ia implicita a cercului).
11. Sa se scrie un program care calculeaza radacinile reale ale ecuat,iei de gradul al doilea
ax2 + bx+ c = 0, a, b, c ∈ R, a 6= 0,
punand ın evident, a pe acelas, i grafic radacinile gasite (daca este cazul), maximul sau minimulfunct,iei.
12. Sa se defineasca urmatoarea funct,ie cu ramuri s, i apoi sa se reprezinte grafic: f : [−1, 1]→ R data de
f (x) =
{−x, x ∈ [−1, 0),
x2, x ∈ [0, 1] .
Bibliografie
[1] Nicoleta Breaz, Marian Craciun, Pastorel Gas, par, Maria Miroiu, Iuliana Paraschiv-Munteanu, Mode-larea matematica prin MATLAB, Editura StudIS, Ias, i, 2006.
2
28/09/19 14:13 D:\Lab15_Lab16_MATLAB_script.m 1 of 5
% problema 1, modalitatea 1figure(1)x = 0:0.01:2*pi;y = exp(x).*sin(x);plot(x,y) % problema 1, modalitatea 2functia_ex1_lab11 = inline('exp(x).*sin(x)')figure(2)ezplot(functia_ex1_lab11, [0 , 2*pi]) % problema 2t = -2:0.01:2;x = 1+abs(t); y = abs(1-t.^2);figure('Name','O functie data parametric')% folosim si comanda "subplot" pentru a desena 3 grafice diferite in cadrul% aceleasi figuri numita "Figure 3: O functie data parametric"subplot(1,3,1); plot(t,x)title('Graficul functiei x(t)'); gridsubplot(1,3,2); plot(t,y)title('Graficul functiei y(t)'); gridsubplot(1,3,3); plot(x,y)title('Graficul functiei y(x)'); gridaxis([0 4 -1 5])% fiecare grafic va avea titlul ei% cel de-al treilea grafic are axa Ox de la 0 la 4 si Oy de la -1 la 5% la fiecare grafic apare si grila de linii orizontale si verticale. %{% Avem si varianta mai simpla:figure(3)t = -1:0.01:1;x = 1+abs(t);y = abs(1-t.^2);plot(x,y)%} % problema 3figure(4)
28/09/19 14:13 D:\Lab15_Lab16_MATLAB_script.m 2 of 5
% folosim si comanda "subplot" pentru a desena 2 grafice diferite in cadrul% aceleasi figuri numita "Figure 4"theta1 = 0:0.01:pi; r1 = 2*sin(2*theta1);theta2 = 0:0.01:2*pi; r2 = 2*sin(2*theta2);subplot(1,2,1)polar(theta1,r1)subplot(1,2,2)polar(theta2,r2) % problema 5figure(5)theta = 0:0.01:2*pi;r = sin(2*theta).*cos(2*theta);polar(theta,r) % problema 6figure(6)ezplot('(x.^2+y.^2-1).^3+27*x.^2*y.^2', [-1 1 -1 1]) % problema 7figure(7)ezplot('(x.^2+y.^2).^2 = x.^2-y.^2', [-1 1 -1 1]) % problema 9x0 = 2; y0 = 3; R = 4figure(8)ezplot(@(x,y) (x-x0).^2+(y-y0).^2 - R.^2) % problema 10x0 = input('Introduceti abscisa centrului, x_0 = ');y0 = input('Introduceti ordonata centrului, y_0 = ');R = input('Introduceti raza cercului R = ');figure(9)ezplot(@(x,y) (x-x0).^2+(y-y0).^2 - R.^2)
28/09/19 14:13 D:\Lab15_Lab16_MATLAB_script.m 3 of 5
% problema 11a = input('Introduceti coeficientul nenul a = ');b = input('Introduceti coeficientul b = ');c = input('Introduceti coeficientul c = ');figure(10)coef = [a b c];rad = roots(coef) % am determinat zero-urile cu ajutorul comenzii roots aplicata pentru polinoamefct_pol = @(x) a*x.^2+b.*x+cval0 = input('Introduceti valoarea in jurul careia sa cautam solutia = ');rad_val0 = fzero(fct_pol,val0)ezplot(fct_pol) rad_sort = sort(rad)%{am scris radacinile in ordine crescatoarea astfel incat sa la pot folosiin determinarea minimului/maximului; le vom folosi scriind rad_sort(1) si rad_sort(2)%}if a<0 val_min = nan fprintf('Deoarece %.2f este <0, functia nu admite puncte de minim (local)\n',a)else val_min = fminbnd(fct_pol,rad_sort(1),rad_sort(2))end fct_pol2 = @(x) -a*x.^2-b.*x-c %{am definit o noua functie = opusul primeiaacum o pot folosi in determinarea maximuluix_maxim(f) = x_minim(-f)%}if a<0 val_max = fminbnd(fct_pol2,rad_sort(1),rad_sort(2))else val_max = nan fprintf('Deoarece %.2f este >0, functia nu admite puncte de maxim (local)\n',a)end % desenam acum un grafic in care sa apara si graficul functiei si anumite puncte particularea1 = input('Introduceti acum intervalul pentru doriti sa desenam graficul functiei. Primul punct = ' );b1 = input('Introduceti acum intervalul pentru doriti sa desenam graficul functiei. Al doilea punct = ' );x = a1:0.01:b1;y = fct_pol(x); figure(11)
28/09/19 14:13 D:\Lab15_Lab16_MATLAB_script.m 4 of 5
plot(x,y)% !! mai multe grafice in acelasi reper% folosim comanda: hold on - hold offhold onplot(rad_sort,fct_pol(rad_sort),'r*') plot(val_min,fct_pol(val_min),'gx') plot(val_max,fct_pol(val_max),'bx')hold off%{ r = red (culoarea liniei (punctelor) desenate cu plot) g = green (culoarea liniei (punctelor) desenate cu plot) b = blue (culoarea liniei (punctelor) desenate cu plot) * = marcarea cu * a liniei (punctelor) desenate cu plot (se foloseste, de exemplu, daca desenam doar cateva puncte, pentru a le scoate in evidenta) x = marcarea cu x a liniei (punctelor) desenate cu plot (se foloseste, de exemplu, daca desenam doar cateva puncte, pentru a le scoate in evidenta)%} % !! mai multe grafice in acelasi reper% folosim un singur plot:figure(12)plot(x,y,rad_sort,fct_pol(rad_sort),'r*',val_min,fct_pol(val_min),'gx',val_max,fct_pol(val_max),'bx') % problema 12% daca vrem doar valori ale functiei definim functia10.m si o apelamx10 = input('Introduceti valoarea in care vreti sa calculati functia = ');val_x10 = functia10(x10) % daca vrem doar valori ale functiei definim, intr-un mod similar, functia11.m% si o apelamx10_var2 = input('Introduceti valoarea in care vreti sa calculati functia = ');val_x10_var2 = functia11(x10_var2) % daca vrem sa reprezentam grafic functia din enuntfigure(13)x = -1:0.01:1;y = (-x).*(x<0) + (x.^2).*(x>=0);plot(x,y,'r:')% : = marcarea cu o linie punctata a liniei (punctelor) desenate cu plot
28/09/19 14:13 D:\Lab15_Lab16_MATLAB_script.m 5 of 5
% daca vrem sa reprezentam grafic functia din enunt (modalitatea 2)figure(14)x = -1:0.01:1; n = length(x); for i = 1:n if x(i)<0 y(i) = -x(i); else y(i) = x(i)^2; endend plot(x,y,'b--')% -- = marcarea cu o linie intrerupta a liniei (punctelor) desenate cu plot
28/09/19 14:46 D:\functia10.m 1 of 1
function y = functia10(x) %{definim, cu un fisier de tip M, o functie in cadrulLaboratorului 15 & 16, Problema 12%}if x < -1 y = nan; fprintf('Valoarea %.2f introdusa nu este din domeniul functiei f\n',x)elseif x <= 0 y = -x;elseif x <= 1 y = x.^2;else y = nan; fprintf('Valoarea %.2f introdusa nu este din domeniul functiei f\n',x)end end
28/09/19 14:46 D:\functia11.m 1 of 1
function y = functia11(x) %{definim, cu un fisier de tip M, o functie in cadrulLaboratorului 15 & 16, Problema 12 (varianta in care domeniul este [-1,1] )%} if x >= -1 if x <=0 y = -x; elseif x<=1 y = x.^2; endend end
Soft Matematic (MATLAB)
Laboratorul 17 & 18∗
1. Sa se reprezinte grafic funct,ia f data de ecuat,iile parametrice
x (t) = sin t,
y (t) = cos t,
z (t) = t, t ∈ [−5π, 5π] .
2. Sa se reprezinte grafic funct,ia f : [2, 5]× [1, 3]→ R data de f (x, y) = x+ 2y − 4.
3. Sa se reprezinte grafic suprafat,a data de z = 1− x2 − y2, cu x, y ∈ [−3, 3] .
4. Sa se reprezinte grafic suprafat,a data de ecuat,iile parametrice
x = ρ cos θ,
y = ρ sin θ,
z = ρ, ρ ∈ [0, 1] , θ ∈ [0, 2π] .
5. Sa se reprezinte grafic sfera de centru (x0, y0, z0) s, i de raza R data de ecuat,iile parametricex = x0 +R cos θ sinϕ,
y = x0 +R sin θ sinϕ,
z = z0 +R cosϕ, θ ∈ [0, 2π] , ϕ ∈ [0, π] .
6. Determinat,i valoarea urmatoarelor integrale:
(a)
∫ 2
1
(5√x+
1
x3
)dx ; (b)
∫ 1
0
x3 (m− x) dx (pentru diverse valori ale lui m)
7. Determinat,i solut,iile ecuat,iei f (x) = 0 ın intervalele specificate, unde:
(a) f (x) = 2− x2, ın [1, 2] ; (b) f (x) = x3 − 2x2 + 3x− 1, ın [0, 1] ;
(c) f (x) = 4.5 cos2(x3
)− x
4, ın [2, 4] ; (d) f (x) = ex − 1, ın [−1, 1] .
8. Sa se reprezinte grafic, ın aceeas, i figura, funct,iile date de (a) s, i (d) de la Problema 7, precedenta.Determinat,i s, i punctele de extrem local ale acestor doua funct,ii.
9. Sa se determine radacinile ecuat,iilor:
(a) x2 − 2 = 0; (b) x3 − 2x2 + 3x− 1 = 0; (c) x4 − 3x2 + 2 = 0.
∗ Pentru examen trebuie avute ın vedere si toate exemplele din Cursul disponibil pe pagina personala:https://www.math.uaic.ro/∼maticiuc/didactic/MATLAB Curs.pdf
1
16/12/19 22:36 D:\Lab17_Lab18_MATLAB_script.m 1 of 4
% problema 1figure(1)t = -5*pi:0.01:5*pi;x = sin(t); y = cos(t); z = t;plot3(x,y,z) % problema 2figure(2)[x,y] = meshgrid(2:5,1:3);z = x+2*y-4;mesh(x,y,z) % problema 3figure(3)[x,y] = meshgrid(-3:0.01:3);z = 1-x.^2-y.^2;mesh(x,y,z) % problema 3, modalitatea a 2-afigure(4)[x,y] = meshgrid(-3:0.01:3);z = 1-x.^2-y.^2;surf(x,y,z) % problema 4figure(5)rho = linspace(0,1,100); theta = linspace(0,2*pi,100);[r,t] = meshgrid(rho,theta);x = r.*cos(t); y = r.*sin(t); z = r;mesh(x,y,z) % problema 5figure(6)x0 = input('Introduceti centrul sferei: valoarea x_0 = ');y0 = input('Introduceti centrul sferei: valoarea y_0 = ');z0 = input('Introduceti centrul sferei: valoarea z_0 = ');
16/12/19 22:36 D:\Lab17_Lab18_MATLAB_script.m 2 of 4
R = input('Introduceti raza sferei R = ');theta = linspace(0,2*pi,100); phi = linspace(0,pi,100);[t,fi] = meshgrid(theta,phi);x = x0 + R*cos(t).*sin(fi); y = y0 + R*sin(t).*sin(fi); z = z0 + R*cos(fi);surf(x,y,z) % problema 6(a)a1 = input('Introduceti domeniul de integrare: capatul a1 = ');b1 = input('Introduceti domeniul de integrare: capatul b1 = ');functia1_lab12 = inline('5*sqrt(x)+1./x.^3');int1 = quad(functia1_lab12,a1,b1) % problema 6(a), modalitatea 2a2 = input('Introduceti domeniul de integrare: capatul a2 = ');b2 = input('Introduceti domeniul de integrare: capatul b2 = ');functia2_lab12 = @(x) 5*sqrt(x)+1./x.^3;int2 = quad(functia2_lab12,a2,b2) % problema 6(b)a3 = input('Introduceti domeniul de integrare: capatul a3 = ');b3 = input('Introduceti domeniul de integrare: capatul b3 = ');m = input('Introduceti parametrul m = ');functia3_lab12 = @(x) (x.^3).*(m-x);% daca functia '(x.^3).*(m-x)' ar fi introdusa se tip inline, atunci aparitia parametrului m va conduce la erori int3 = quad(functia3_lab12,a3,b3) % problema 7(a)a4 = input('Introduceti domeniul in care sa cautam solutia: a4 = ');b4 = input('Introduceti domeniul in care sa cautam solutia: b4 = ');% trebuie ca functia in cele doua puncte sa ia semne contrare% (doar astfel exista o solutie (un zero) in intervalul specificat)
16/12/19 22:36 D:\Lab17_Lab18_MATLAB_script.m 3 of 4
functia4_lab12 = inline('2-x.^2');if functia4_lab12(a4)*functia4_lab12(b4) >0 fprintf('\n') fprintf('Functia data nu isi schimba semnul intre cele doua valori introduse\n') fprintf('\n') fprintf('deci nu exista nici un zero al ei in intervalul [%.2f,%.2f]\n',a4,b4)else sol1 = fzero(functia4_lab12,[a4,b4]); fprintf('\n') fprintf('Solutia ecuatiei f(x)=0 este %.4f \n',sol1)end% se deseneaza usor si graficul; vom lua, de exemplu, x din [-7,7]figure(7)x = -7:0.01:7; y = functia4_lab12(x);plot(x,y) % problema 8functia5_lab12 = @(x) 2-x.^2functia6_lab12 = @(x) exp(x)-1% pentru grafice vom lua, de exemplu, x din [-7,7]figure(9)x = -2:0.01:2;y1 = functia5_lab12(x); y2 = functia6_lab12(x);plot(x,y1);hold on;plot(x,y2);hold offa5 = input('Introduceti domeniul in care sa cautam pct. de extrem local a5 = ');b5 = input('Introduceti domeniul in care sa cautam pct. de extrem local b5 = ');val_min1 = fminbnd(functia5_lab12,a5,b5)val_min2 = fminbnd(functia6_lab12,a5,b5) functia5b_lab12 = @(x) -2+x.^2;functia6b_lab12 = @(x) -exp(x)+1;val_max1 = fminbnd(functia5b_lab12,a5,b5)val_max2 = fminbnd(functia6b_lab12,a5,b5) figure(10)x = -3:0.01:3;y1 = functia5_lab12(x); y2 = functia6_lab12(x);plot(x,y1);hold on;plot(x,y2);plot(val_min1,functia5_lab12(val_min1),'r*')
16/12/19 22:36 D:\Lab17_Lab18_MATLAB_script.m 4 of 4
plot(val_min2,functia6_lab12(val_min2),'r*') plot(val_max1,functia5_lab12(val_max1),'bx') plot(val_max2,functia6_lab12(val_max2),'bx') hold off % problema 9(a)figure(11)coef = [1 0 -2];rad = roots(coef) % am determinat zero-urile cu ajutorul comenzii roots aplicata pentru polinoamex = -7:0.01:7; y = x.^2-2;plot(x,y) % problema 9(b)figure(12)coef = [1 -2 3 -1];rad = roots(coef) % am determinat zero-urile cu ajutorul comenzii roots aplicata pentru polinoamex = -7:0.01:7; y = x.^3-2*x.^2+3*x-1;plot(x,y) % problema 9(c)figure(13)coef = [1 0 -3 0 2];rad = roots(coef) % am determinat zero-urile cu ajutorul comenzii roots aplicata pentru polinoamex = -7:0.01:7; y = x.^4-3*x.^2+2;plot(x,y)
Soft Matematic (MATLAB)
Laboratorul 19∗
Sa se determine solut,ia urmatoarelor ecuat,ii diferent,iale cu valori init,iale.
Sa se compare grafic solut,iile obt,inute prin diverse metode de calcul (ode45, ode23).
Sa se determine solut,ia folosind s, i calculul simbolic.
Sa se compare grafic solut,iile obt,inute prin aproximare numerica s, i prin calcul simbolic.
Sa se determine numeric s, i simbolic solut,ia obt,inuta ın diverse puncte.
1.
x′ (t) = x (t)− 2t
x (t), t > 0,
x (0) = 1.
2.
2x (t) x′ (t) =et
et + 1, t > 0,
x (0) = 1.
3.
x′1 (t) = x1 (t) + x2 (t) ,
x′2 (t) = t− x1 (t) , t > 0,
x1 (0) = 0.1, x2 (0) = 0.2.
4.
x′1 (t) = x1 (t) + x2 (t)− 3x3 (t) ,
x′2 (t) = 4x1 (t) + x2 (t)− 2x3 (t) ,
x′3 (t) = 2x1 (t) + x2 (t)− 6x3 (t) , t > 0,
x1 (0) = 2, x2 (0) = 1, x3 (0) = −1.
5.
{x′′ (t) = −1.2x′ (t)− x (t) + 10 , t > 0,
x (0) = 2, x′ (0) = 0.
6.
{x(4) (t) + 5x(2) (t) + 4x (t) = 0 , t > 0,
x (0) = x′ (0) = x′′ (0) = x′′′ (0) = 1.
∗ Pentru examen trebuie avute ın vedere si toate exemplele din Cursul disponibil pe pagina personala:https://www.math.uaic.ro/∼maticiuc/didactic/MATLAB Curs.pdf
1
28/09/19 14:13 D:\Lab19_MATLAB_script.m 1 of 4
% problema 1, modalitatea 1 (las MATLAB sa discretizeze el intervalul [0,T])% functia e introdusa in fisierul functia12.m T = input('Introduceti capatul intervalui T = ');[t1 , y1] = ode45(@functia12,[0,T],1) % afisez si graficul, adica punctele plane M(t,y)figure(1)plot(t1,y1) % problema 1, modalitatea 2 (indic eu pasul de discretizare al intervalului [0,T])% functia e introdusa in fisierul functia12.mT = input('Introduceti capatul intervalui T = ');[t2 , y2] = ode45(@functia12,[0:0.1:T],1) % valoarea intr-un punct este data de:t2_0 = find(t2==0.2) % returneaza indicele unde se afla valoarea 0.2val1 = y2(t2_0) % problema 1, modalitatea 3 (indic eu pasul de discretizare al intervalului [0,T])% functia este definita inlinefct1_ODE = inline('x - 2*t./x');T = input('Introduceti capatul intervalui T = ');[t3 , y3] = ode45(fct1_ODE,[0:0.1:T],1)% s-ar putea ca metoda numerica "ode45" sa nu functioneze pentru aceasta functie;% incearca si "ode23" % valoarea intr-un punct este data de:t3_0 = find(t3==0.9) % returneaza indicele unde se afla valoarea 0.9val2 = y3(t3_0) % problema 1, modalitatea 4 (indic eu pasul de discretizare al intervalului [0,T])% functia este definita inline dar schimb si metoda; folosesc ode23fct1_ODE = inline('x - 2*t./x');T = input('Introduceti capatul intervalui T = ');[t4 , y4] = ode23(fct1_ODE,[0:0.1:T],1) figure(2)plot(t4,y4)% valoarea intr-un punct este data de:t4_0 = find(t4==0.5) % returneaza indicele unde se afla valoarea 0.5
28/09/19 14:13 D:\Lab19_MATLAB_script.m 2 of 4
val3 = y4(t4_0) % !! problema 1, modalitatea 5: CALCUL SIMBOLICsyms t x; % nu se foloseste virgula "," (adica nu se scrie "syms t,x")% rezolvam simbolic ecuatia diferentialax = dsolve('Dx = x-2*t/x','x(0)=1') % determinam valoarea solutiei intr-un punct; nu mai trebuie comanda syms t xt1 = 0.1; val1 = subs(x,t1) t2 = 0.5; val2 = subs(x,t2) % determinam valoarea solutiei intr-un punct;% trebuie comanda syms t x (calculam variabila x in variabila t pentru valoarea 0.5)val3 = subs(x,t,0.5) % problema 2: indicam doar functiafct2_ODE = inline('exp(t)./(1+exp(t))*1./(2*x)'); % problema 3x0 = [0.1 ; 0.2];T = input('Introduceti capatul intervalui T = ');[t5 , y5] = ode45(@functia13,[0,T],x0) % Solutia este matricea y cu doua coloane% necunoscuta x_1 este prima coloana y5(:,1) iar necunoscuta x_2 este coloana a doua y5(:,2)% afisez solutia problemei din enunt (x1,x2):x1 = y5(:,1)x2 = y5(:,2) % problema 4x0 = [ 2 ; 1 ; -1 ];T = input('Introduceti capatul intervalui T = ');[t6 , y6] = ode45(@functia14,[0,T],x0) % Solutia este matricea y cu trei coloane% necunoscuta x_1 este prima coloana y6(:,1)% necunoscuta x_2 este coloana a doua y6(:,2)
28/09/19 14:13 D:\Lab19_MATLAB_script.m 3 of 4
% iar necunoscuta x_3 este coloana a treia y6(:,3)% afisez solutia problemei din enunt (x1,x2,x3):x1 = y6(:,1)x2 = y6(:,2)x3 = y6(:,3) % afisez si graficul cu toate cele 3 curbe% nu folosesc hold onfigure(3)plot(t6,y6(:,1),'r',t6,y6(:,2),'b',t6,y6(:,3),'g') % !! problema 4, modalitatea 2: CALCUL SIMBOLICsyms t x1 x2 x3 % nu se foloseste virgula ","% rezolvam simbolic ecuatia diferentiala[x1 , x2 , x3] = dsolve('Dx1 = x1+x2-3*x3','Dx2 = 4*x1+x2-2*x3','Dx3 = 2*x1+x2-6*x3','x1(0)=2','x2(0)=1','x3(0)=-1') solutia_comp1 = x1solutia_comp2 = x2solutia_comp3 = x3 % determinam valoarea solutiei intr-un punct;% nu mai trebuie comanda syms t x1 x2 x3t1 = 0.1;val1 = subs(x1,t1) val2 = subs(x2,t1)val3 = subs(x3,t1) % determinam valoarea solutiei intr-un punct;% trebuie comanda syms (calculam variabila x1 in variabila t pentru valoarea 0.1 etc.)val4 = subs(x1,t,0.1)val5 = subs(x2,t,0.1)val6 = subs(x3,t,0.1) % problema 5x0 = [2 ; 0];T = input('Introduceti capatul intervalui T = ');[t7 , y7] = ode45(@functia15,[0:0.1:T],x0)
28/09/19 14:13 D:\Lab19_MATLAB_script.m 4 of 4
% Solutia este matricea y cu doua coloane% necunoscuta x_1 este prima coloana y7(:,1) iar necunoscuta x_2 este coloana a doua y7(:,2)% necunoscuta problemei date in enunt este doar prima coloana y7(:,1)% afisez solutia problemei din enunt x :sol_probl5 = y7(:,1)% afisez si graficul, adica punctele plane M(t7,sol_probl5)figure(4)plot(t7,sol_probl5) % problema 6x0 = [1 ; 1 ; 1 ; 1];T = input('Introduceti capatul intervalui T = ');[t8 , y8] = ode45(@functia16,[0:0.1:T],x0) % Solutia este matricea y cu patru coloane% necunoscuta x_1 este prima coloana y8(:,1)% iar necunoscuta x_2 este coloana a doua y8(:,2) etc.% necunoscuta problemei date in enunt este doar prima coloana y8(:,1)% afisez solutia problemei din enunt x :sol_probl6 = y8(:,1)% afisez si graficul, adica punctele plane M(t8,sol_probl6)figure(5)plot(t8,sol_probl6) % !! problema 6, modalitatea 2: CALCUL SIMBOLICsyms t x1 x2 x3 x4% rezolvam simbolic ecuatia diferentiala[x1 , x2 , x3 , x4] = dsolve('Dx1 = x2','Dx2 = x3','Dx3 = x4','Dx4 = -4*x1-5*x3','x1(0)=1','x2(0)=1','x3(0)=1','x4(0)=1')
28/09/19 14:46 D:\functia12.m 1 of 1
function y = functia12(t,x) %{definim, cu un fisier de tip M, o functie in cadrulLaboratorului 19, Problema 1%} y = x - 2*t./x;end
16/12/19 22:23 D:\functia13.m 1 of 1
function z = functia13(t,x) %{definim, cu un fisier de tip M, o functie in cadrulLaboratorului 13, Problema 3%} z = [ x(1)+x(2) ; t-x(1)]; % introducerea de spatii in expresia matricei z (mai precis spatiile din cadrul expresiilor matematice) va conduce la erori end
16/12/19 22:23 D:\functia14.m 1 of 1
function z = functia14(t,x) %{definim, cu un fisier de tip M, o functie in cadrulLaboratorului 13, Problema 4%} z = [ x(1)+x(2)-3*x(3) ; 4*x(1)+x(2)-2*x(3) ; 2*x(1)+x(2)-6*x(3) ]; % introducerea de spatii in expresia matricei z (mai precis spatiile din cadrul expresiilor matematice) va conduce la erori end
16/12/19 22:24 D:\functia15.m 1 of 1
function z = functia15(t,x) %{definim, cu un fisier de tip M, o functie in cadrulLaboratorului 13, Problema 5%} z = [ x(2) ; -1.2*x(2)-x(1)+10]; % introducerea de spatii in expresia matricei z (mai precis spatiile din cadrul expresiilor matematice) va conduce la erori end
16/12/19 22:24 D:\functia16.m 1 of 1
function z = functia16(t,x) %{definim, cu un fisier de tip M, o functie in cadrulLaboratorului 13, Problema 6%} z = [ x(2) ; x(3) ; x(4) ; -5*x(3)-4*x(1) ]; % introducerea de spatii in expresia matricei z (mai precis spatiile din cadrul expresiilor matematice) va conduce la erori end
Soft Matematic (MATLAB)
Laboratorul 20∗
Sa se rezolve urmatoarele probleme folosind calculul simbolic.
1. Sa se determine solut,ia ecuat,iilor diferent,iale cu valori init,iale din cadrul Laboratorului 19. Sa secompare grafic solut,iile obt,inute prin aproximare numerica s, i prin calcul simbolic. Sa se determinenumeric s, i simbolic solut,ia obt,inuta ın diverse puncte.
2. Sa se dezvolte determinantul urmator punandu-l sub forma de produs∣∣∣∣∣∣∣∣a+ b −a+ b− c b+ c
a− b− c a+ b a+ c
a+ c b+ c −a− b+ c
∣∣∣∣∣∣∣∣3. Sa se transforme fract,ia
P (x)
Q (x)ıntr-o fract,ie ireductibila, unde
P (x) = x6 − x5 − 3x4 + x3 − 4x− 3,
Q (x) = 2x4 − 6x2 − 8x− 6.
4. Sa se calculeze 2a2 + 8b3a− 3 (b− a) pentru b = 4.
5. Sa se rezolve urmatoarea ecuat,ie ın raport cu variabila x :
x2 − 2 (m+ 2)x+m2 − 1 = 0, m ∈ R.
6. Sa se rezolve urmatoarea ecuat,ie ın raport cu variabila x :
2x + a3x
2x − a3x= 2 , a ∈ R.
7. Sa se rezolve urmatorul sistem de ecuat,ii liniare:3x+ 4y +mz = 0,
4x+my + 3z = 6,
mx+ 3y + 4z = 3 +m, m ∈ R.
8. Sa se determine matricea A astfel ıncat:
(2A− 3 (1, 2, 0))t= 3At + (2, 1,−1)t .
9. Sa se calculeze lungimea arcului de curba (γ) dat de f (x) = ln (sinx) , x ∈ [π/3, π/2] folosind
formula L (γ) =∫ b
a
√1 + (f ′ (x))
2dx.
10. Sa se calculeze suma
Sn = 13 + 43 + 73 + . . .+ (3n− 5)3+ (3n− 2)
3, n ∈ N.
11. Sa se calculeze:
(a) limx→0x>0
e1x ; (b) limx→0
x<0e
1x ; (c)
∫3√1 + 4√x√
x.
∗ Pentru examen trebuie avute ın vedere si toate exemplele din Cursul disponibil pe pagina personala:https://www.math.uaic.ro/∼maticiuc/didactic/MATLAB Curs.pdf
1
28/09/19 15:02 D:\Lab20_MATLAB_script.m 1 of 3
% problema 1% vezi Laboratorul 19 % problema 2, modalitatea 1syms a b c; % nu se foloseste virgula "," (adica nu se scrie "syms a,b,c")A1 = [ a+b , -a+b-c , b+c ; a-b-c , a+b , a+c ; a+c , b+c , -a-b-c];detA1 = simplify(det(A1))pretty(det(A1)) % in caz ca se doreste, comanda "pretty" afiseaza o forma apropiata de scrierea matematica % problema 2, modalitatea 2syms a b c; % nu se foloseste virgula "," (adica nu se scrie "syms a,b,c")A2 = [ a+b , -a+b-c , b+c ; a-b-c , a+b , a+c ; a+c , b+c , -a-b-c];detA2 = factor(det(A2)) %{problema 2, modalitatea 2(exemplu simplu pentru vizualizarea rezultatului comenzilor "simplify" si "factor")%}syms a b; % nu se foloseste virgula "," (adica nu se scrie "syms a,b")A3 = [ a+b , a-b ; a-b , a+b];detA3 = simplify(det(A3))detA3 = factor(det(A3))pretty(det(A3)) % in caz ca se doreste, comanda "pretty" afiseaza o forma apropiata de scrierea matematica % problema 3syms x;Px = x^6-x^5-3*x^4+x^3-4*x-3;Qx = 2*x^4-6*x^2-8*x-6;simplify(Px/Qx)pretty(simplify(Px/Qx)) % problema 4syms a b;S4 = 2*a^2+8*b^3*a-3*(b-a)subs(S4,b,4) % problema 5syms x m; % nu se scrie "syms x,m"
28/09/19 15:02 D:\Lab20_MATLAB_script.m 2 of 3
sol1 = solve('x^2 - 2*(m+2)*x+m^2-1',x)sol2 = solve(x^2 - 2*(m+2)*x+m^2-1,x)sol3 = solve(x^2 - 2*(m+2)*x+m^2-1) % rezolvarea se face in raport cu variabila implicita (considerata "x" in acest caz) % problema 6syms a x;S6 = (2.^x+a*3.^x)/(2.^x-a*3.^x)-2;sol1 = solve(S6) % rezolvarea se face in raport cu variabila implicita (considerata "x" in acest caz)sol2 = solve(S6,x) % problema 7syms x y z m;[x y z] = solve('3*x+4*y+m*z=0','4*x+m*y+3*z=6', 'm*x+3*y+4*z=3+m',x,y,z);sol_x = simplify(x)sol_y = simplify(y)sol_z = simplify(z)pretty(x) % in caz ca se doreste, comanda "pretty" afiseaza o forma apropiata de scrierea matematica % problema 8A8 = [a,b,c];S8 = transpose(2*A8-3*[1 2 0]-3*A8-[2,1,-1]);S8[sola solb solc] = solve(S8(1),S8(2),S8(3)) % problema 9syms x;f9 = log(sin(x));der_f9 = diff(f9)g9 = sqrt(1+der_f9^2);lungime = int(g9,x,pi/3,pi/2) % problema 10syms k n;Sn = symsum((3*k-2)^3,1,n) % daca este o singura variabila simbolica in x_n, atunci aceasta poate sa nu fie precizata
28/09/19 15:02 D:\Lab20_MATLAB_script.m 3 of 3
% daca sunt mai multe variabile simbolice in x_n, atunci, daca nu se% precizeaza variabila, atunci se sumeaza dupa variabila implicitaSn_var = symsum((3*k-2)^3,k,1,n) % problema 11, pct. (a)syms x;f11 = exp(1/x);lim_1 = limit(f11, x, 0, 'right') % problema 11, pct. (b)syms x;g11 = exp(1/x);lim_2 = limit(g11, x, 0, 'left') % problema 11, pct. (c)syms x;h11 = (1+x^(1/4))^(1/3)/sqrt(x);h11int = int(h11,x)
Examen MATLAB– Checklist –
1. Crearea s, i lucrul cu fis, iere de tip script ; executarea lor (trei metode) . . . . . . . . . . . . . . . pct.
2. Inserarea de comentarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
3. Stabilirea Current Folder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
4. Utilizarea sistemului de Help al MATLAB: help, doc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
5. Variabile predefinite: ans, pi, eps, inf, nan etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
6. Operat,ii elementare (inclusiv împărt,irea la stânga \) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
7. Funct,ii elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
8. Definirea de variabile; atribuirea de valori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
9. Definirea de variabile de intrare folosind input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
10. Afis,area de texte s, i/sau date numerice rezultate folosind disp
comanda num2str
setări de afis,are ale valorilor numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
11. Afis,area de texte s, i/sau date numerice rezultate folosind fprintf
scrierea pe mai multe linii: comanda \nsetări de afis,are ale valorilor numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
12. Evaluare de expresii matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
13. Utilizarea: clear clc ; ↑ ↓ CTRL+C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
14. Stabilirea formatului de afis,are: format long, format short etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
15. Operarea cu tablouri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
16. Operarea element cu element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
17. Generare de vectori (a:h:b s, i linspace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
18. Comenzi pentru determinarea dimensiunii unui vector s, i a unei matrice . . . . . . . . . . . . pct.
19. Generare de matrice: zeros, ones, eye, repmat, reshape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
20. Generare de matrice: rand, randn, randperm, randi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
21. Matrice făcute din alte matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
22. Afis,area la o matrice: a unui element, a unei linii, a unei coloane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
23. Adăugarea unei linii (nu neapărat prima sau ultima) între
alte două linii ale unei matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
Checklist
24. Adăugarea unei coloane (nu neapărat prima sau ultima) între
alte două coloane ale unei matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
25. Înlocuirea unei linii (nu neapărat prima sau ultima) a unei matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
26. Înlocuirea unei coloane (nu neapărat prima sau ultima) a unei matrice . . . . . . . . . . . . . pct.
27. Eliminarea unei linii (nu neapărat prima sau ultima) a unei matrice . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
28. Eliminarea unei coloane (nu neapărat prima sau ultima) a unei matrice . . . . . . . . . . . . pct.
29. Scrierea elementelor unui s, ir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
30. Produsul scalar s, i produsul vectorial a doi vectori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
31. Generare de matrice de tip bandă folosind diag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
32. Transpusa, rangul, determinantul unei matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
33. Crearea de funct,ii folosind fis, iere de tip M; apelare unei asemenea funct,ii
(funct,ii scalare sau vectoriale, de argument scalar sau vector) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
34. Crearea de funct,ii folosind comanda inline; apelarea unei asemenea funct,ii . . . . . . . . pct.
35. Crearea de funct,ii folosind un function handle; apelarea unei asemenea funct,ii . . . . . . pct.
36. Aplicarea unei funct,ii unei matrice: comanda arrayfun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
37. Folosirea operatorilor relat,ionali s, i a operatorilor logici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
38. Determinarea elementelor unei matrice care satisfac anumite condit,ii
(s, i determinarea numărului lor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
39. Comenzile max, min, sort, sum, cumsum, prod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
40. Variantele max(max), min(min), sum(sum), diag(diag) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
41. Comenzile mod, isprime, find . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
42. Utilizarea structurii if-elseif-else-end . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
43. Utilizarea structurii for-end . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
44. Utilizarea structurii while-end . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
45. Definirea unei funct,ii cu ramuri (folosind if-elseif-else-end);
apelarea acestei funct,ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
46. Definirea unei funct,ii care generează o matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
47. Suma primilor n termeni ai unei serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
48. Comanda abs (pentru a determina “eroarea”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
49. Polinoame: polyval, roots, poly, conv, deconv, polyder, polyint . . . . . . . . . . . . . . . pct.
50. Solut,iile unei ecuat,ii: fzero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
51. Minime s, i maxime de funct,ii scalare: fminbnd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
52. Integrarea numerică: quad, quadl, trapz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
53. Integrarea numerică: dblquad, triplequad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
54. Sisteme de ecuat,ii liniare: A\b s, i rref . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
55. Valori s, i vectori proprii: comanda eig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
Checklist
56. Factorizarea LU: comanda lu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
57. Factorizarea QR: comanda qr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
58. Factorizarea Cholesky: comanda chol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
59. Factorizarea SVD: comanda svd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
60. Ecuat,ii diferent,iale de ordinul 1: ode45, ode23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
61. Sisteme de ecuat,ii diferent,iale de ordinul 1: ode45, ode23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
62. Ecuat,ii diferent,iale de ordin superior (reducerea la un sistem deecuat,ii diferent,iale de ordinul 1): ode45, ode23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
63. Grafica 2D: comenzile plot, fplot, fimplicit, ezplot, polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
64. Grafica 2D pentru funct,ii date explicit, implicit sau parametric(s, i definite într-unul dintre cele trei moduri posibile) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
65. Setări ale modului de afis,are:forma, culoarea s, i grosimea curbei; forma, culoarea s, i mărimea marcajelor . . . . . . . . . . pct.
66. Comanda plot: afis,area doar a punctelor (fără linia poligonală care le unes,te) . . . . . pct.
67. Număr sau nume dat unei figuri: comanda figure(n), figure(’Name’) . . . . . . . . . . . pct.
68. Vizualizarea unei anume figuri: comanda figure(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
69. Închiderea figurilor: comanda close . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
70. Grafice în aceeas, i figură s, i/sau reper:o singură comandă plot sau hold on - hold off sau subplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
71. Alte setări ale modului de afis,are:mărimea s, i etichetarea axelor, titlul s, i legenda figurii, grila de linii . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
72. Grafica 3D, curbe în spat,iu: comenzile plot3, ezplot3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
73. Grafica 3D, suprafet,e: comenzile meshgrid, mesh, ezmesh, surf, ezsurf . . . . . . . . . . . pct.
74. Număr sau nume dat unei figuri: comanda figure(n), figure(’Name’) . . . . . . . . . . . pct.
75. Vizualizarea unei anume figuri: comanda figure(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
76. Închiderea figurilor: comanda close . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
77. Grafice în aceeas, i figură s, i/sau reper: hold on - hold off sau subplot . . . . . . . . . . . pct.
78. Alte setări ale modului de afis,are:mărimea s, i etichetarea axelor, titlul s, i legenda figurii, grila de linii . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
79. Calcul simbolic: crearea de variabile (syms) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
80. Calcul simbolic: schimbarea formei (collect, expand, factor, simplify, subs) . . . . pct.
81. Calcul simbolic pentru: calculul de sume (symsum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
82. rezolvarea unui sistem de ecuat,ii (solve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
83. calculul de limite de funct,ii (limit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
84. calculul de derivate (diff) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
85. calculul de primitive s, i integrale definite (int) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
86. rezolvarea ecuat,iilor diferent,iale (dsolve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pct.
