1
MATEMATICI SPECIALE Prof. univ. dr. Gheorghe BARBU
2
1. Obiectivul disciplinei
Prezentarea, cunoaterea i nsuirea elementelor de baz i a tehnicilor calcul privind funcii complexe, transformri integrale, funcii speciale, probabiliti i grafuri.
2. Desfurarea disciplinei Curs : 3 ore / sptmn. Seminar: / sptmn.
3. Programa analitic a cursului
I. Funcii complexe------------------------------------------------------------------15 ore 1. Numere complexe------------------------------------------------------3 ore
Corpul numerelor complexe Planul complex Proprietile algebrice ale numerelor complexe Completarea planului complex Structura metric i topologic a planului complex Funcii complexe de variabil real
2. Funcii complexe de variabil complex-------------------------9 ore
Limite Continuitate Derivabilitate----------------------------------------2 ore Funcii elementare----------------------------------1 or Integrarea funciilor complexe -------------------3 ore Serii de funcii complexe--------------------------3 ore
3. Teoria reziduurilor i aplicaii-------------------------------------3 ore
II. Transformri integrale---------------------------------------------------------------6 ore
Transformarea Fourier-------------------------------------- 2 ore Transformarea Laplace------------------------------------- 2 ore Aplicaii--------------------------------------------------------2 ore
III. Funcii speciale----------------------------------------------------------------------3 ore
Funciile lui Euler: Gama i Beta-------------------------------2 ore Funcii Bessel------------------------------------------------------1 or
3
IV. Elemente de teoria pobabilitilor------------------------------------------9 ore
Cmpuri de evenimente---------------------------------3 ore Variabile aleatoare. Caracteristici numerice----------3 ore Repartiii clasice de probabilitate----------------------3 ore
V. Elemente de teoria grafurilor---------------------------------------------------6 ore
Grafuri neorientate--------------------------------------1 or Grafuri orientate-----------------------------------------1 or Algoritmi pentru determinarea fluxurilor optime---2ore Drumul critic-------------------------------------------- 1 or Aplicaii---------------------------------------------------1 or
VI. Elemente de teoria ateptrii ---------------------------------------------------------------3 ore
Model general cu sosiri poissoniene i timp de servire exponenial--2 ore Tipuri de modele de ateptare-----------------------------------------------1 or
4. Bibliografie [1] Gheorghe Barbu, Matematici speciale. Note de curs., Tipografia Universitii din Piteti, 1992. [2] Gheorghe Barbu, Anca Barbu, Camelia Gheldiu, Probleme de matematici speciale, Tipografia Universitii din Piteti, 1993. [3] Gheorghe Barbu, Maria Jaic, Modele ale cercetrii operationale, Editura Universitii din Piteti, 1999. [4] Gheorghe Sabac, Matematici speciale, vol.I-II, Editura Didactic i Pedagogic, 1984 [5] Valter Rudner, Cornelia Nicolescu, Probleme de matematici speciale, Editura Didactic i Pedagogic, 1982. [6] Marin Nicolae Popescu, Matematici speciale, Editura Universitii din Piteti, 2002. [7] Gheorghe Mihoc, N. Micu, Teoria probabilitilor i statistic matematic, Editura Didactic if Pedagogic, Bucureti, 1980. 5. Evaluare Prezen la curs-----------------------------------------------------------------------------10 % Prezen activ la seminar-----------------------------------------------------------------10% Verificare periodic------------------------------------------------------------------------30% Tem de cas--------------------------------------------------------------------------------20% Examen final--------------------------------------------------------------------------------30%
4
Cursul nr. 1 Matematici speciale CAPITOLUL I FUNCII COMPLEXE 1. Numere complexe 1.1. Construcia numerelor complexe Mulimea numerelor complexe a aprut din necesitatea extinderii noiunii de numr, avnd ca punct de pornire mulimea numerelor reale, cu scopul ca orice ecuaie de gradul n s aib n soluii n noua mulime. Fie R corpul numerelor reale. Pe mulimea R2 = RR = {(x,y) / x, yR}, produsul cartezian al perechilor ordonate de numere reale, se definesc operaiile de adunare i nmulire astfel: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2) (x1, y1) (x2, y2) = (x1x2 y1y2, x1y2 + y1x2) Definiie. Mulimea R 2 nzestrat cu operaiile de adunare i nmulire definite mai sus formeaz corp, numit corpul numerelor complexe, ale crui elemente se numesc numere complexe: C = (R2, +, ) Observaie. (R2, +, ) este corp comutativ, axiomele verificdu-se imediat, innd cont de proprietile operaiilor de adunare i nmulire a numerelor reale. Adunarea are proprietile:
asociativitatea (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) , z1, z2, z3 C
exist elementul neutru fa de adunare, 0=(0,0) i avem:
z+0=0+z , z C
pentru orice z=(x,y) C exist opus lui
z not (x, y) C atfel ca z+(-z)=(-z)+z=0
comutativitatea z1+z2=z2+z1 , z1, z2 C
nmulirea are proprietile:
asociativitatea (z1.z2).z3=z1.(z2.z3) , z1, z2, z3 C
exist elementul neutru fa de nmulire, 1=(1,0) i avem:
z.1=1.z=0 , z C
5
pentru orice z=(x,y)C{(0,0)} exist inversul lui notatz1 sau z-1 astfel ca
z.z-1=z-1.z=1 care se mai poate scrie (x,y)(x,y) = (1,0) ceea ce ne conduce la sistemul:
0''1''
xyyxyyxx
cu soluia 22
'yx
xx
i
22'
yx
yy
pentru (x,y) (0,0);
comutativitatea z1.z2=z2.z1 , z1, z2 C
Demonstraiile : tem pentu seminar. Forma algebric a unui numr complex este z = x + i y, unde x este partea real i se noteaz x = Re z, y este partea imaginar i se noteaz y = Im z, iar i este unitatea imaginar, i 2 = - 1. Simbolul z identificnd orice numr complex se numete variabil complex. Mulimea numerelor complexe se mai poate scrie astfel:
C = { x + i y | x, y R, i2
= -1
Definiie. Dac z=x+iy este un numr complex, atunci:
conjugatul su, notat cu z se definete ca fiind iyxz ;
modulul su, notat cu |z| este numrul real nenegativ 22 yx .
Propoziie. Oricare ar fi z1, z2, z C sunt verificate urmtoarele proprieti:
1. 2121 zzzz , 2121 zzzz , zz
2. Re z = 2
zz , Im z = izz
2
3. 2zzz , 2
1
z
zz , z 0 , nn zz , nN
4. z = z z R
5. zz , zz , zz , R
6. 2121 zzzz , 2
1
2
1z
z
zz
, 2z 0 , 2121 zzzz
2121 zzzz , 2121 zzzz
7. zzz Re , zzz Im
zzzz ImReRe , zzzz ImReIm
6
Demonstraiile proprietilor algebrice 1 7: tem pentru seminar. 1.2. Planul complex Numerele reale se pot reprezenta prin punctele unei axe. Fie (d) o ax pe care am fixat o origine i o unitate de msur. Dac asociem fiecrei punct al dreptei (d) abscisa sa, se obine o funcie bijectiv de la punctele acestei drepte n mulimea numerelor reale. Un numr complex z = x + i y este determinat de dou numere reale x i y. Dac raportm mulimea punctelor dintr-un plan (P) la un sistem de axe de coordonate ortogonale xOy cu originea n O, aplicaia definit pe C cu valori n (P), care duce elementul arbitrar (x, y) C n punctul M(x, y) este o bijecie.
Punctul M se numete imaginea numrului complex z = (x, y) n planul (P), iar z se numete afixul lui M. Definiia. Planul ale crui puncte se identific cu numerele complexe prin funcia bijectiv definit mai sus se numete planul complex. 1.3. Reprezentarea trigonometric a numerelor complexe Fie z = x + i y un numr complex i M(x,y) imaginea sa geometric. Notm cu
zOMr , iar cu unghiul format de axa real pozitiv cu vectorul OM. Atunci
x
y
O
M(x,y)
( P )
7
Forma trigonometric a numrrului complex z se scrie astfel:
z = r(cos + i sin )
unde r = |z| = 22 yx este modulul numrului complex, iar este unghiul fcut de
direcia pozitiv a axei Ox cu vectorul OM , numit argumentul lui z. Ca argument al lui z poate fi considerat unghiul ' = + 2 sau " = - 2 precum i orice unghi de forma : + 2 k , cu kZ. De aici rezult c argumentul unui numr complex dat nu este unic, avnd o infinitate de valori ce difer ntre ele printr-un multiplu de 2 . Mulimea argumentelor lui z se noteaz cu Arg z i are forma: Arg z = { | = arg z +2k , kZ } Determinarea lui arg z se face innd seama de cadranul n care se afl numrul complex.
Exemple. Fie z1 = 1 + i , z2 = -1 + i , z3 = - 1- i , z4 = i2323 . S se determine r, arg
z, Arg z i s se scrie forma trigonometric pentru fiecare.
Definiie. Unghiul (0, 2 ) (sau ),( ), msurat ntre direcia pozitiv a axei Ox i
direcia vectorului OM , care se determin n mod unic ca soluie a sistemului format din
ecuaiile zx
cos i zy
sin (z 0), se numete argumentul principal al lui z i se
noteaz zarg .
Observaii: 1. arg((0,0)) este nedeteminat
2. toate unghiurile ce determin direcia vectorului OM se noteaz prin Arg z = arg
z+2k, kZ i se numete argumentul lui z. n baza celor prezentate anterior rezult forma trigonometric a unui numr complex zC{(0,0)}:
z = r (cos + i sin ), unde
Im z y M(x, y) |z| O x Re z
x=|z| cos y=|z| sin
8
22 yxzr
i
=
)'semiaxa(0si0,2/3
)semiaxa(0si0,2/
)semiaxa(0si0,0
)IVcadranul(0si0,arctg2
)'semiaxasauIIIsau IIcadranul(0,arctg
)Icadranul(0,,arctg
Oyyx
Oyyx
Oxyx
yxxy
Oxxxy
yxxy
Propoziie. Pentru orice numere complexe z1=r1(cos1 + isin1), z2=r2(cos2 + isin 2) i z = r(cos + isin ) au loc relaiile: 1. z1 z2 = r1r2[cos(1+2)+ isin(1+2)]
2. 2
1
2
1
rr
zz
[cos(12)+ isin(12)]
3. z n = r n (cos n + isin n) , Nn Pentru r = 1 se obine formula lui Moivre: (cos + isin )n = cos n + isin n
4. 1,0,2sin2cos
nkn
ki
nk
rz nn
Exemple. 1. S se calculeze (1 + i )100
2. S se gseasc valorile lui z pentru care z5 = - 32 i s se figureze n planul complex aceste valori.
3. Pentru orice n N* s se rezolve ecuaia 111
n
zz .
4. S se gseasc modulul, argumentul i s se scrie sub form trigonometric, numerele
ii
z
11
1 , 6
2 )31( iz .
5. S se transcrie n coordonate complex conjugate ),( zz exuaiile:
2 x + y = 5 , x2 + y2 = 10 1.4. Completarea planului complex cu punctul infinit n afar de reprezentarea numerelor complexe ca puncte ale planului complex, n multe situaii este util reprezentarea lor geometric, ca puncte ale unei sfere. Se consider n
O
y
y
x x I II
III IV
9
spaiul de coordonate (u, v, w), un plan de coordonate (x, y), unde u=x, v=y (planul complex). Se consider o sfer tangent la planul complex n punctul corespunztor numrului complex 0 (originea).
Fie N punctul de pe sfer diametral opus lui O(polul nord). Fie M 1 un punct de pe sfer
distinct de N. Vom asocia punctului M 1 punctul M din plan n care dreapta NM 1
intersecteaz planul. Reciproc, unui punct M din plan i vom asocia punctul M 1de pe sfer
n care dreapta MN intersecteaz sfera. Corespondena astfel realizat (ntre punctele
planului complex i punctele sferei) se numete proiecie stereografic. Cnd punctul M 1
se mic pe sfer i se apropie de N, punctul din planul complex se deprteaz, iar atunci
cnd M 1 coincide cu N, dreapta MN devine paralel cu planul complex, ceea ce nseamn
c punctul N nu are corespondent n planul complex. Dac punctului N i asociem punctul infinit i reciproc, atunci se realizeaz o bijecie ntre punctele de pe sfer i planul complex.
Notm }{ CC mulimea numerelor complexe astfel completat, obinnd planul
complex compactificat sau planul lui Gauss. Prin definiie, punctul de compactificare l vom numi punctul infinit al planului lui Gauss. Introducerea lui s-a fcut prin proiecie stereografic. Relaii algebrice ale numerelor complexe cu z+=+z= , z C z.= .z= , z C{0}
0z , z C ,
0z , z C{0}
10
1.5. Structura metric i topologic a planului complex Propoziie. Aplicaia d: CCR, definit prin
d(z1, z2) = |z1z2| , z1, z2 C este o metric (distan) pe C. Demonstraie: 1. d(z1, z2) = 0 |z1z2| = 0 z1 z2 = 0 z1 = z2 , z1, z2 C 2. d(z1, z2) = |z1 z2| = |z2 z1| = d(z2, z1) , z1, z2 C 3. d(z1, z3) = |z1 z3| = |(z1 z2) + (z2 z3)| |z1 z2| + |z2 z3| = d(z1, z2) + d(z2, z3) , z1,
z2 C Definiie. Mulimea C pe care s-a definit metrica d se numete spaiu metric, notat (C, d) Observaie. Distana d coincide cu distana euclidian pe R2. Fie z1=x1+iy1, z2=x2+iy2 , atunci
d(z1,z2)=|z1-z2|=|(x1+iy1)(x2+iy2)|=|(x1x2)+i(y1y2)| = 2212
21 )()( yyxx
care reprezint distana euclidian dintre dou puncte din plan, de coordonate (x1,y1) i (x2,y2).
Definiie. Fie z 0 C, z 0 . Mulimea (z0; r)={zC ; |zz0|0) sau vecintate deschis a lui z 0 .
w
N
M
M
v=y
u=x
11
Definiie. Mulimea (z 0 ,r)={ z |zC , |z-z 0 |=r } se numete frontiera discului (z0; r).
Adugnd discului frontiera sa se obine discul nchis. Definiie. Mulimea (z0; r) ={zC ; |zz0| r} se numete vecintate nchis a punctului z0 sau disc nchis.
Pe mulimea C, relativ la metrica d, se poate introduce o topologie d .
Pentru a da o topologie pe o mulime trebuie s vedem care este familia mulimilor deschise. Definiie. O clas de submulimi ale unei mulimi X se numete topologie pe X, dac verific urmtoarele trei axiome:
1) ,X
2) Dac D1 , D 2 atunci i D1 D2
3) Dac D i pentru orice i aparinnd unei mulimi arbitrare de indici I,
atunci Ii
Di
.
Definiie. Cuplul (X,) se numete spaiu topologic.
Definiie. O mulime V, VC se numete vecintate a unui punct z 0 C dac exist discul
(z 0 ,r), astfel nct (z 0 ,r)V.
Definiie. Mulimea (z0; r1, r2) = {zC; r1 < |z z0| < r2} se numete coroana circular centrat n z0 de raze r1 i r2, unde r1, r2 > 0. Definiie. Punctul z0C se numete punct interior mulimii EC, dac z0E i exist o
vecintate VE a lui z 0 coninut n ntregime n E.
Mulimea tuturor punctelor interioare lui E se noteaza cu E .
Definiie. Mulimea EC se numete mulime deschis dac orice punct al su este punct interior. Observaie. Orice reuniune finit de mulimi deschise i orice intersecie finit de mulimi deschise este o mulime deschis. Mulimea C este deschis. Definiie. Complementara mulimii E este mulimea C\E a tuturor punctelor care nu sunt n E. Se noteaz cu CE.
Observaie. Un punct z 0 este exterior mulimii E dac exist o vecintate a sa coninut n
ntregime n CE. Definiie. Mulimea E este nchis dac complementara sa este deschis. Definiie. Punctul z0C se numete punct aderent mulimii EC dac n orice vecinatate V a lui z0 exist cel puin un punct al mulimii E. Mulimea tuturor punctelor aderente multimii E se numete nchiderea lui E i se noteaz cu E . Definiie. Mulimea E se numete nchis dac E = E .
12
Obsrevaie. Mulimile C i sunt nchise i deschise. Definiie. Punctul z0C se numete punct de acumulare pentru mulimea EC dac n
orice vecintate V a lui z0 exist cel puin un punct din E diferit de z 0 , zE{z0} ((V
{z0})E ). Mulimea tuturor punctelor de acumulare ale lui E se numete derivata lui E i se noteaza cu E (evident 'EEE ) Definiie. Punctul z0C este punct frontier al mulimii EC dac n orice vecintate a lui z0 exist puncte z z0 ce aparin lui E i puncte z z0 ce nu aparin lui E. Mulimea tuturor punctelor frontier ale lui E se numete frontiera mulimii E i se
noteaz cu E (evident EEE C ).
Definiie. Punctul z 0 se numete punct izolat al mulimii E dac exist o vecintate a lui
z 0 astfel nct (z 0 ,r)\{z 0 }E=.
Definiie. Mulimea E, EC este marginit dac exist discul (0;r) astfel ncat E(0;r). Altfel se numete nemarginit. Definiie. O mulime nchis i mrginit se numete mulime compact.
Definiie. O mulime deschis EC se numete conex dac oricare ar fi z 1 ,z 2 E, ele pot
fi unite printr-o curb continu coninut n E. Definiie. O mulime deschis i conex se numete domeniu. Definiie. O mulime deschis i conex a crei frontier este format dintr-o singur curb, se numete domeniu simplu conex. Definiie. O mulime deschis i conex a crei frontier este format din dou sau mai multe curbe, se numete domeniu multiplu conex. Un domeniu multiplu conex se poate trensforma n domeniu simplu conex dac se efectueaz un anumit numr de tieturi. Definiie. Se numete tietur o operaie prin care se ndeprteaz din domeniul respectiv acele puncte situate pe o curb coninut n domeniu i care reunete dou puncte de pe frontiere diferite, una interioar i alta exterioar.
A B
z1 . . z2 C
D = A U B nu este conex C este conex
13
Exemple. Fie A= { z C | |z| < 1 } , B = { z C | | z | > 1 } 1. Care este frontiera lui A ? 2. Ce fel de mulimi sunt A i B ? 3. Dai exemplu de mulime nchis. 4. Care din mulimile de mai sus sunt conexe ? 5. Dai exemplu de mulime care nu este conex.
2. Funcii complexe de variabil real
Definiie.. Fie ER. Se numete funcie complex de variabil real, aplicaia mulimii E de numere reale n corpul C al numerelor complexe:
f : ER C Notnd cu t argumentul funciei, valoarea funciei n punctul t va fi un numr complex i se va scrie:
f(t)=z(t)=x(t)+i y(t), tE Deci o funcie complex de variabil real este determinat de o pereche ordonat
x=x(t), y=y(t), tE de funcii reale de variabil real.
Definiia. Spunem c numrul complex l este limita funciei f n punctul de acumulare t 0
al lui E, dac >0 ()>0, astfel nct pentru |t-t 0 |0, astfel nct pentru |t-t 0 |
14
Definiie. Difereniala funciei f n punctul t 0 E este numrul complex df(t 0 )= f (t 0 )dt
sau df(t)= x (t)dt+i 'y (t)dt.
Definiie. Fie f : [a,b]RC o funcie real de variabil complex, continu f(t)=x(t)+i y(t), t[a,b] 2.1. Integrala funciei complexe de variabil real se definete astfel:
b
a
b
a
b
a
dttyidttxdttf )()()(
Observaie. Multe dintre proprietile integralelor funciilor reale se pstreaz i n cazul integralelor funciilor complexe de variabil real, astfel:
1. Dac f,g:[a,b] C sunt integrabile pe [a,b], atunci i f+g este integrabil pe [a,b], oricare ar fi , C.
b
a
b
a
b
a
dttgdttfdttgtf )()()]()([
2. Dac f:[a,b] C este integrabil pe [a,b], atunci oricare ar fi c[a,b], f este
integrabil pe [a,c]i pe [c,b] :
b
a
c
a
b
c
dttfdttfdttf )()()(
3. Dac f:[a,b] C este integrabil pe [a,b], atunci
b
a
a
b
dttfdttf )()(
4. Dac f:[a,b] C este continu pe [a,b], atunci f i |f| sunt integrabile pe [a,b] i
avem:
b
a
b
a
dttfdttf |)(||)(|
5. Dac funcia F(t) este o primitiv a funciei f:[a,b] C,
15
CdttFdttf )()( atunci b
a
aFbFdttf )()()( , ceea ce nseamn ca se poate aplica
formula lui Newton-Leibniz.
Definiie. Fie x(t) i y(t) dou funcii definite pe [a,b] cu valori n R. Mulimea punctelor din planul complex definit astfel: ={z | z(t)=x(t)+i y(t), t[a,b] } luate n ordinea n care se obin cnd parametrul t parcurge intervalul [a,b] crescnd de la a la b, se numete curb continu, iar z(t)=x(t)+i y(t), t[a,b] reprezint ecuaia curbei. Definiie. O curb se numete curb neted dac admite o reprezentare de forma:
z(t)=x(t)+i y(t), t[a,b] unde x,y ],[1 baC
ceea ce nseamn c z(t) este continu i 0)(' tz .
Definiie. O curb se numete curb neted pe poriuni dac este format dintr-un numr finit de curbe netede. Definiie. O curb se numete curb nchis dac oricare ar fi o reprezentare a sa de forma: z(t)=x(t)+i y(t), t[a,b] x(a)=x(b), y(a)=y(b) Definiie. O curb se numete curb simpl, dac oricare ar fi o reprezentare a sa
z(t)=x(t)+iy(t), t[a,b] are propriettea )()(),()( 2121 tytytxtx dac 021 tt oricare ar fi
].,[, 21 batt
Tema de cas nr.1 1. Funcii i formule trigonometrice 2. Formule de derivare 3. Formule de integrare
16
Cursul nr. 2 Matematici speciale 3. Funcii complexe de variabil complex Fie D un domeniu simplu conex, DC. Definiie. Spunem c am definit o funcie complex de variabil complex pe D cu valori n C, f : DCC dac am dat o lege de coresponden care asociaz fiecrui element din D, unul sau mai multe elemente din C. Dac se noteaz cu z=x +iyD variabila funciei, atunci valoarea funciei n punctul z va fi numrul complex : w=f(z)=u(x,y) +iv(x,y), zDC unde funciile reale u(x,y)=Re f(z) , v(x,y)=Im f(z) reprezint partea real, respectiv imaginar a funciei complexe f.
Dac notm cu C z planul complex n care z=x+iy i cu C w planul complex n care
w=u+iv, funcia complex w=f(z) asociaz punctului M(z) din planul C z punctul N(w) din
planul C w .
Se poate spune c funcia complex definete o coresponden ntre planele C z i C w prin
transformarea punctual u(x,y)=Re z, v(x,y)=Im z.
Im w Im z
M(z)
N(w)
w=f(z)
Re z Re w
17
3.1. Limite i continuitate Topologia planului complex fiind de fapt topologia spaiului euclidian bidimensional R 2 , noiunile de limit i continuitate se extind cu uurin i n complex. Definiii. Fie z0 punct de acumulare al mulimii EC. Funcia f : EC are limita l n punctul z0 (se scrie lzf
zz
)(lim
0
) dac este ndeplinit una din urmtoarele afirmaii
echivalente:
1. pentru orice 0 exist ),( 0z astfel ncat Ez)( cu proprietatea 00 astfel nct pentru orice z E cu proprietatea c |z-z 0 |< () s avem
|f(z)-f(z0)|
18
3.2. Derivabilitate Definiie. Fie DC domeniu i z0D. Functia f : DC este derivabil (monogen) n z0
dac )()()(
lim)( 0not
0
0
0
zfzz
zfzf
zz
(sau )(
)()(lim)( 0
not00
0zf
h
zfhzf
h
) i este finit.
Observaie. h este un numr complex arbitrar, z 0 +hD, iar limita respectiv nu depinde
de modul n care h0. Definiia 47. O funcie f : DC derivabil n orice punct din D se numete olomorf (analitic) pe D. Observaie. O funcie derivabil ntr-un punct se numete monogen n acel punct. Observaie. O funcie este olomorf ntr-un punct dac exist o vecintate a punctului respectiv astfel nct funcia s fie monogen n fiecare punct din acea vecintate. Teorem. Fie f,g : DCC dou funcii complexe de variabil complex. Dac f i g
sunt monogene ntr-un punct z0D, atunci i funciile f, f g, fg, f/g (g(z 0 ) 0) sunt
monogene n acest punct i ntre derivatele lor exist relaiile :
1. ),(])([ 00 zfzf zz C
2. )()(])()([ 000 zgzfzgzf zz
3. )()()()(])()([ 00000 zgzfzgzfzgzf zz
4. 0)(,)]([
)()()()(]
)()(
[ 020
00000
zgzg
zgzfzgzf
zgzf
zz
Demonstraiile nu difer de cazul funciilor reale de variabil real.
Teorem. Fie D 1 , D 2 C dou domenii i f : D 1 D 2 , g :D 2 C. Dac f este monogen
ntr-un punct z 10 D i g este monogen n punctul 2000 ),( Dwzfw , atunci funcia
compus h=g0h este monogen n z 0 i avem :
)())(()()(])([ 00000 zfzfgzfwgzh zz
Demonstraiile : tem de seminar.
Teorema lui Cauchy-Riemann. Fie f : D C C, f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Daca f este
monogen n z0D, atunci exist xu ,
yu ,
xv ,
yv ntr-o vecinatate a punctului z0 = x0 + iy0
i satisfac condiiile:
19
),(),(
),(),(
0000
0000
yxxv
yxyu
yxyv
yxxu
(condiiile de monogenitate Cauchy-Riemann)
Reciproc, dac funciile u(x,y) i v(x,y) admit derivate partiale de ordinul I n raport cu x i y ntr-o vecintate a punctului z0, continue n z0 i satisfac condiiile Cauchy-Riemann, atunci f este monogen n z0 i avem:
),(),(),(),()( 000000000 yxyu
iyxyv
yxxv
iyxxu
zf
Demonstraie:
(necesitatea) Cum funcia f este monogena, atunci )()()(
lim)( 00
0
0
zfzz
zfzf
zz
.
)()(
),(),(),(),(lim
)()(lim)(
00
0000
0
00
00 yyixx
yxivyxuyxivyxu
zz
zfzfzf
zzzz
=
=)()(
),(),(lim
)()(
),(),(lim
00
00
00
00
00 yyixx
yxvyxvi
yyixx
yxuyxu
zzzz
Presupunnd c 0zz pe o paralel la axa real ( y = y0, 0xx ) rezult c
0
000
0
0000
),(),(lim
),(),(lim)(
00
00 xx
yxivyxvi
xx
yxuyxuzf
yyxx
yyxx
),(),()( 00000 yxxv
iyxxu
zf
(1.1)
Analog, presupunnd c 0zz pe o paralel la axa imaginar Oy ( x = x0, 0yy )
rezult c
)(
),(),(lim
)(
),(),(lim)(
0
000
0
0000
00
00 yyi
yxvyxvi
yyi
yxuyxuzf
xxyy
xxyy
),(),(),(),(1
)( 000000000 yxyv
yxyu
iyxyv
yxyu
izf
(1.2)
Din relaiile (1.1) i (1.2) rezult c
),(),(),(),()( 000000000 yxyu
iyxyv
yxxv
iyxxu
zf
de unde se obine
20
),(),(
),(),(
0000
0000
yxxv
yxyu
yxyv
yxxu
(suficiena) Cum u i v admit derivate partiale de ordinul I continue n (x0, y0), din formula creterilor finite rezult c
),()(),()(),(
)(),(
)(),(),(
),()(),()(),(
)(),(
)(),(),(
201000
000
000
201000
000
000
yxyyyxxxy
yxvyy
x
yxvxxyxvyxv
yxyyyxxxy
yxuyy
x
yxuxxyxuyxu
unde
funciile 2121 ,,, tind la zero cnd 0zz (adica 0xx i 0yy ).
)()(
)],(),([),(),()()(
00
0000
0
0
yyixx
yxvyxviyxuyxu
zz
zfzf
= )()(
),()(),()(),()(),()(
00
2010000000
yyixx
yxyyyxxxyxyu
yyyxxu
xx
+
+)()(
),()(),()(),()(),()(
00
2010000000
yyixx
yxyyiyxxxiyxyv
yyiyxxv
xxi
=
)()(
),()(),()(),()(),()(
00
000000000000..
yyixx
yxyu
yyiyxxv
xxiyxyv
yyiyxxu
xxRC
+
+ )()(
),(),()(),(),()(
00
220110
yyixx
yxiyxyyyxiyxxx
=
=)()(
),()(),()(),()(),()(
00
000000000000
yyixx
yxxv
yyiyxxv
xxiyxxu
yyiyxxu
xx
+
+ )()(
),(),()(),(),()(
00
220110
yyixx
yxiyxyyyxiyxxx
=
= ),( 00 yxxu + i ),( 00 yxx
v + ),(),( 11
0
0 yxiyxzz
xx
+ ),(),( 220
0 yxiyxzz
yy
.
21
Cum 000 )Re( zzzzxx , 000 )Im( zzzzyy i ),(lim 10
yxzz
=
= ),(lim 20
yxzz
= ),(lim 1
0
yxzz
= ),(lim 2
0
yxzz
= 0 rezult c
),(),()()(lim 00000
0
0
yxxv
iyxxu
zz
zfzf
zz
ceea ce demonstreaz c funcia f este monogen n punctul z0 i c
),(),(),(),()( 0000...
00000 yxyu
iyxyv
yxxv
iyxxu
zfRCcond
.
Propoziie. Orice funcie monogen ntr-un punct este continu n acel punct. Reciproca nu este adevrat.
Exemplu. Funcia f(z)= z este continu n orice punct z 0 dar nu este monogen.
Consecin. Dac o funcie olomorf ntr-un domeniu D are derivate nul, atunci ea este constant n domeniul D. Observaie. Ca o consecin a teoremei Cauchy-Riemann se poate determina o funcie olomorf pe un domeniu, cnd i se cunoate doar partea real sau doar partea imaginar. Observaie. Funciile monogene f(x,y) = u(x, y) + iv(x, y) pot fi scrise sub forma w = f(z) observnd c w = f(z) = u(z,0) + iv(z,0), adic n expresia funciei n parametri x i y lum y = 0 i nlocuim x cu z. Exemple. 1. S se determine constantele a, b, c, d astfel nct funcia
f(x,y) = x2 + axy + by2 + i(cx2 + dxy + y2) s fie olomorf pe C. Scriei expresia funciei folosind variabila z.
2. S se determine funcia olomorf (pe C) f = u + iv tiind c
u(x,y) = ye x cos i f(0) = 1.
3. S se determine funcia olomorf (pe C) f = u + iv tiind c
v(x,y) = 2 ye x sin i f(0) = 0.
3.3. Funcii complexe elementare
Funciile complexe elementare sunt extensii la mulimea C a funciilor definite pe R. Funcia putere: f: CC, f(z)= zn (nN) f(z) = zn = [r(cos+i sin )]n = r n (cos n + isin n) = rncos n + irnsin n Funcia polinomial: f: CC, f(z)= anz
n + an-1zn-1 + + a1z
1 + a0 (nN, a0, a1,, anC, an 0) este olomorf pe C, iar derivata sa are aceeai form ca n cazul funciilor reale.
22
Funcia raional: f:{zC / Q(z) 0}C, f(z)=)()(
zQzP este olomorf pe tot domeniul
{zC / Q(z) 0}, iar derivata sa are aceeai form ca n cazul funciilor reale.
Funcia radical de ordin n: f: CC, f(z) = n z (nN, n2)
f(z) = 1,0,2sin2cos)sin(cos
nk
nk
in
krirz nnn .
Funcia radical nu este olomorf pe tot planul C.
Funcia exponential: f: CC, f(z) = ze
f(z) = ze = iyxe = iyx ee = )sin(cos yiye x = yeiye xx sincos .
Funcia exponential este olomorf pe C, iar zz ee ; n plus, este periodic de perioada principal i2 , pentru c )2( izf = ize 2 = iz ee 2 = )2sin2(cos ie z = ze = f(z).
Funcia logaritmic: f: C{0}C, f(z) = ln z
f(z) = ln z = )ln( )2( kier = ln r + ln )2( kie = ln r + )2( ki , unde kZ.
Funcia putere generalizat: f: CC, f(z)= z (C)
f(z) = z0
z
ze ln = )2(ln kiere
bia )]2([ln)( kirbiae =
= )2(ln kbrae ]ln)2([ rbkaie =
= )2(ln kbrae rbkairbka ln)2(sinln)2(cos
Funcii circulare (sinus i cosinus):
2cos
2sin
iziz
iziz
eez
iee
z, C z)( (formulele lui Euler)
Funcii hiperbolice:
2
2zz
zz
eezch
eezsh
, C z)(
23
Proprieti: 1. cos iz = ch z
sin iz = i sh z ch iz = cos z sh iz = i sin z
2. Funciile circulare i hiperbolice sunt olomorfe pe C i au derivatele: (cos z) = sin z (sin z) = cos z (ch z) = sh z (sh z) = ch z
3. Funciile circulare au perioada principal 2 , iar cele hiperbolice i2 . 4. Pentru oricare ar fi z1, z2, zC se pot demonstra relaiile:
cos(z1 + z2) = cos z1cos z2 sin z1sin z2 sin(z1 + z2) = sin z1cos z2 + sin z2cos z1 sin2z + cos2z = 1 sin 2z = 2sinzcos z cos 2z = cos2z sin2z ch(z1 + z2) = ch z1ch z2 + sh z1sh z2 sh(z1 + z2) = sh z1ch z2 + sh z2ch z1 ch2 z sh2 z = 1 sh 2z = 2 sh z ch z ch 2z = ch2 z + sh2 z
Demonstraiile: tem pentru seminar. Exemple. S se aduc sub forma A+iB expresiile :
ei , sh 2i , ch (2+3i) , cos(1i) , ln(1+i) , ie
Tem de cas nr.2
1. S se determine constantele a i b astfel nct funcia f(x,y) = x2 + ay2 + i(bxy)
s fie olomorf pe C. 2. S se determine funcia olomorf (pe C) f = u + iv tiind c
u(x,y) = x3 3y2x 2y i f(0) = 0. 3. S se determine funcia olomorf (pe C) f = u + iv tiind c
v(x,y) = x2 y2 + xy i f(0) = 0. 4. Calculai
(1+i)25, 31 ie , ln(-2+2i), ln(4i-3), i
i
3
1ln , 2i , ii 1)31( , ii , sin(1+i),
tg(1-2i), ch(4i-3)
24
Cursul nr. 3 Matematici speciale 3.4 Integrarea funciilor complexe de variabil complex Fie f : DCC i o curb de lungime finit D, neted sau neted pe poriuni, iar f continu pe , ale crei ecuaii parametrice sunt date de x=x(t), y=y(t), t[a,b].
Lum pe o diviziune prin punctele .,.......,, 10 bzzza n
Pe fiecare arc ce unete z 1k cu z k (1kn) alegem un punct k .
Formm sumele :
S ))((),,( 11
kkn
kknn zzfdf
Notm :
max{|nd
|}1 kk zz
Dac
0
))((lim),,(lim 11
nd
k
n
kkknn zzfdfS
exist, indiferent de alegerea punctelor k pe arcele de curb ce unesc punctele kk zz ,1 ,
spunem c f esteintegrabil de-a lungul curbei ntre a i b i se noteaz limita cu
dzzf )(
sau b
a
dzzf .)(
Notm cu f(z)=u(x,y)+i v(x,y)
kkkkkkkkk
kkkkkkkk
iyxzyyixxzz
iyxyxivyxuf
),(
),,(),()(
111
0
))((lim),,(lim 11
nd
k
n
kkknn zzfdfS
=
))())(,(),(( 111
kkkkkkkn
kk yyixxyxivyxu =
25
dxyxvdyyxuidyyxvdxyxu
xxyxvyyyxuiyyyxvxxyxu kkkkkkkkkkkkkkkn
kk
),(),(),(),(
))])(,())(,(())(,())(,([ 11111
Exemplu. S se calculeze
dzz de la z=0 la z=4+2i de-a lungul curbei dat de z=t 2 +i t.
3.4.1. Proprieti ale integralei complexe
1. Dac f(z) i g(z) sunt integrabile pe , atunci
dzzgdzzfdzzgzf )()())()((
se numete liniaritatea integralei complexe n raport cu funcia, , C.
2.
dzzfdzzf )()(
schimbarea orientrii pe drumul de integrare sau pe curba de integrare conduce la schimbarea semnului valorii integralei. 3.
21 1 2
)()()( dzzfdzzfdzzf
aditivitatea integralei complexe la drum. 1 , 2 fiind dou arce succesive.
4. Fie z=g() continu de =u+i v. Presupunem c, curbei n planul z, i corespunde curba ' n planul i c derivata g ' () este continu pe ' . Atunci
dggfdzzf )())(()(
5. izz
dz2
0
rzz |:| 0
6. Lungimea drumului de integrare : z=z(t), t[a,b] este dat de formula :
b
a
dttzL |)(|)(
7. Fie DC i un arc de curb D , neted sau neted pe poriuni i f :DC continu pe . Fie L() lungimea arcului de curb i M=sup|f(z)|. n aceste condiii avem : z
26
)(|)(| MLdzzf
3.4.2. Teorema fundamental a lui Cauchy
Dac : a) D este un domeniu simplu conex, DC,
b) f :DC , f C ' (D)
atunci
,0)( dzzf oricare ar fi curba simpl, nchis, neted sau neted pe poriuni,
situat n ntregime n D. Demonstraie : Fie f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy
vdxudyivdyudxdzzf )(
Integralelor din membrul doi le aplicm formula lui Green-Riemann :
dxdyyP
xQ
QdyPdxD
)(
Unde este frontiera domeniului compact D ' , iar P,Q sunt continue, cu derivate
pariale xQ
yP
, continue pe D .
Aplicarea formulei lui Green-Riemann este posibil deoarece
yv
iyu
ixv
ixu
zf
(1
)( )
Deoarece f C ' (D) rezult c u,v C ' (D) if se obine:
dxdyyu
xv
vdyudxD
)(
, DDD
dxdyyv
xu
vdxudyD
)(
27
Aplicnd condiiile lui Cauchy-Riemann integralelor duble din membrul doi, ele vor fie egale cu zero i teorema este demonstrat. Definiie. O mulime deschis i conex a crei frontier este format din mai multe curbe se numete multiplu conex. Definiie. O mulime deschis i multiplu conex se numete domeniu multiplu conex. Observaie. n cazul n care domeniul este multiplu conex se utilizeaz generalizarea teoremei fundamentale a lui Cauchy.
3.4.3. Generalizarea teoremei fundamentale a lui Cauchy. Dac :
a) D este un domeniu multiplu conex delimitat de curba 0 n exterior i curbele
k (k=1,n) n interior, netede sau netede pe poriuni, care sunt frontiere ale
unor domenii mrginite D k D ;
b) f :DC , f este olomorf pe D, atunci:
0 1 2
)(......)()()(n
dzzfdzzfdzzfdzzf
Demonstraie : Fie nCCC .,,.........21, arce de curb ce realizeaz n tieturi n domeniul D,
unind respectiv un punct de pe n ..,,........., 21 cu un punct de pe 0 , astfel nct
oricare dou din arcele nCCC .,,.........21, nu se intersecteaz.
Dup efectuarea tieturilor cu ajutorul arcelor nCCC .,,.........21, , domeniul D se transform
ntr-un domeniu simplu conex, funcia f fiind olomorf pe D se poate aplica teorema lui Cauchy. Frontiera a domeniului D simplu conex este dat de :
0 1 1 1
)()(.....)()()(........)()()(
................ 1110
n n nC C C C
nnn
dzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzf
CCCC
innd seama c
k kC C
dzzfdzzf )()( iar
0)( dzzf
Se obine :
0 1
0)(.............)(n
dzzfdzzfdzzf
28
Rezult:
0 1
)(..................)()(n
dzzfdzzfdzzf
Observaie. Sensul pozitiv de parcurgere al unei curbe nchise este sensul n care deplasndu-ne de-a lungul curbei, domeniul delimitat de aceasta rmne n partea stng. Consecina teoremei lui Cauchy. Dac :
a) D este un domeniu simplu conex :
b) L1,L 2 D sunt dou arce de curb simple, netede sau netede pe poriuni
care au aceleai extremiti z 0 i z i sunt orientate de la z 0 la z ;
c) f :DC, f este olomorf pe D,
atunci
1 2
)()(L L
dzzfdzzf
3.4.4. Formula integral a lui Cauchy. Teorema. Dac:
a) D este un domeniu simplu conex; b) f : DCC, f olomorf pe D, atunci oricare ar fi curba situat n ntregime n
D, neted sau neted pe poriuni si oricare ar fi ,z fiind domeniul mrginit de
, are loc formula :
dtzt
tfi
zf
)(
21
)(
cunoscut sub numele de formula integral a lui Cauchy. Demonstraie : Domeniul fiind o mulime deschis, rezult c oricare ar fi z
exist un disc ),(1 rz cu centrul n z i raz r, suficient de mic astfel nct, mpreun
cu frontiera , s fie inclus n .
Fie ),(\ 1 rz . Frontiera i sunt orientate pozitiv, adic n sens trigonometric.
Considerm funcia :
:,)(
)( gzt
tftg C olomorf n (delimitat de i ) dublu
conex i conform teoremei generalizate a lui Cauchy avem :
29
0)()(
dzzgdzzg sau
dtzt
tfdt
zttf )()(
innd seama de continuitatea funciei f n punctul z, avem :
ztdt
zfdtzt
zftfdt
ztzfzftf
I )()()()()()(
Dar )(2)()(,2 zifzt
zftfIi
ztdt
Trebuie demonstrat c integrala I0 cnd r0.
Funcia f fiind continu n punctual z, rezult c dac oricare ar fi >0, exist un ()>0 astfel nct pentru orice Dt cu proprietatea c |t-z|< () s avem |f(t)-f(z)|
30
Unde este o curb simpl, nchis, neted sau neted pe poriuni care nu conine
punctele 21 , zz soluii ale ecuaiei az2 +bz+c=0.
Exemplu. S se calculeze integrala :
I= dzizz
z
iz 2|| )3(
cos
3.4.5. Integrala de tip Cauchy Definiie. Fie f : EC o funcie complex continu pe mulimea deschis EC i un arc de curb neted sau neted pe poriuni, E. Funcia :
F(z)= dtzt
tf
)( , z C
se numete integrala de tip Cauchy. Teorem. Funcia F(z) (integrala de tip Cauchy) este monogen n orice punct zC\, iar derivata sa se obine derivnd sub semnul de integrare n raport cu z:
)(zF dtzttf
2)()( , z C
Demonstraie : Fie D=C\ , Dz un punct arbitrar, ,(z ) un disc cu centrul n z i
raza suficient de mic astfel nct acest disc mpreun cu frontiera sa s fie inclus n D.
Fie z+h ).,( z Calculm diferena:
dtzthzt
tfhdttf
zthztdt
zttf
dthzt
tfzFhzF
))(()(
)()11
()()(
)()(
Folosim identitatea:
)()()(
1))((
122 ztzth
ztzthzt
dthztzt
tfhdt
zttf
hzFhzF
)()()(
)()()()(
22
31
Trebuie demonstrat c a doua integral din membrul doi tinde ctre zero cnd h tinde ctre zero. innd seama de faptul c f(t) este continu pe mulimea E, rezult f(t) continu pe arcul de curb coninut n E. Un arc de curb este format dintr+o mulime de puncte nchis. O funcie continu pe o mulime nchis este mrginit. Fie M=sup|f(t)| t
Deoarece t i ),,( hzhz avem || zt .
Dar |||||||| hhzthzt
)(|)|(
||
||)(
|)(||||
))(
)(||||
)()(
)(|
2
222
Lh
Mh
dthztzt
tfhdt
hztzttf
hdthztzt
tfh
0
)(
)()(
)()(lim0
)()(
)(lim
22
h
dtzt
tfzF
hzFhzF
dthztzt
tfh
Teorem. Dac :
a) D este un domeniu simplu conex : b) f : DCC este olomorf pe D; c) este o curb simpl nchis, neted sau neted pe poriuni, situat n ntregime n D, mpreun cu domeniul mrginit a crui frontier este; atunci (oricare ar fi curba ) funcia f este indefinite derivabil (admite derivate de orice ordin) pe D if avem:
zdt
zttf
in
zfn
n ,)()(
2!
)(1
)(
Demonstraie : Conform formulei integrale a lui Cauchy:
zdtzt
tfi
zf ,)(
)(21
)(
Aplicm teorema precedent funciei )(21
tfi
se obine :
32
zdtzttf
izf ,
)()(
21
)(2
Derivnd sub semnul integralei, avem :
zdtzttf
izf ,
)()(
2!2
)(3
Prin inducie, repetnd acest raionament, se obine:
zdt
zttf
in
zfn
n ,)()(
2!
)(1
)(
n fiind un numr natural, arbitrar, rezult c funcia f este indefinit derivabil. Exemplu. S se calculeze integrala:
I= dzzz
z
z 3|1|
3 )5()2(
Tem de cas nr. 3
1. S se calculeze 2|:|,)3( 2
zdzzz
2. S se calculeze integralele :
dzzz
z
zdz
dziz
e
zzz
z
1|1|
22||
23|| )3()1(
)4
sin(,
1,
2
, dzizz
z
iz 2 )3(
sin , dzz
z
z 1
2 9
33
Cursul nr. 4 Matematici speciale 3.5 Reprezentarea funciilor complexe prin serii
Definiie. Se numete serie de numere complexe suma
......211
n
nn zzzz ,
unde znC, n1.
Definiie. Se spune c o serie numeric este convergent i are suma S dac irul sumelor
pariale converge ctre S ( SSnn lim)( , unde Sn = z1 + z2 + + zn => Szn
n
1
convergent). Altfel se numete divergent. Observaie. Condiia necesar ca o serie s fie convergent este ca 0lim
n
nz
( 0lim nn
z => serie divergent)
Propoziie. Seria
1nnz , cu zn = xn + iyn este convergent i are suma S = X + iY dac i
numai dac seriile reale
1nnx i
1nny sunt convergente i au suma X, respectiv Y.
Definiia 53. Fie (fn)n1 un ir de funcii complexe, fn : DCC. Se numete serie de
funcii complexe suma
1nnf .
O clas important de serii de funcii o constituie seriile de puteri numite i serii ntregi. Definiie. Se numete serie de puteri o serie de forma
...)(...)()()( 00
2020100
nn
n
nn zzczzczzcczzc ,
unde z0, z, cnC pentru n0. 3.5.1 Seria Taylor Definie. Fie f :DCC o funcie olomorf pe D i z0D un punct arbitrar. Seria
34
...)(...)()()( 00
2020100
nn
n
nn zzczzczzcczzc
unde
!
)( 0)(
nzf
cn
n
se numete seria Taylor a funciei f n jurul lui z0. Pentru z0=0 seria se numete serie Mac-Laurin. Teorema. Fie f :DCC o funcie olomorf pe D i z0D.
Fie ),( 0 rz un disc deschis cu centrul n z0 raza r>0, a crui frontier o notm cu .
Dac discul D , , atunci seria Taylor a funciei f n jurul punctului z0 este
convergent pe i oricare ar fi z din interiorul acestui disc are loc egalitatea :
nn
k
nn
czzzfn
zzzf
zzzfzf )(........)(
!
)(......)(
!1)()(
000
)(00
00
unde
)(!
10
)( zfn
c nn , z
Demonstraie.
n mod firesc se pune ntrebarea dac seria
0
00
)()(
!
)(
n
nn
zzn
zf este convergent i spre
cine converge.
Teorema lui Abel. Pentru orice serie de puteri
00 )(
n
nn zzc , exist un numr real
],0[ R numit raz de convergen astfel nct seria converge n discul Rz i diverge
n exteriorul su.
n
nn
cR
lim
1 sau 1
lim
n
n
n c
cR .
Exemplu: S se determine raza de convergen ale seriei
0
3
)!3()!(
n
nzn
n
Definiie. Orice funcie olomorf pe C se numete funcie ntreag.
35
Observaii:
Funciile polinomiale, exponeniale, hiperbolice i circulare sunt ntregi.
Seria Taylor a unei funcii ntregi n jurul oricrui punct din D are raza de
convergen R = . Exemplu. Funcia f:CC, f(z) = ez este olomorf pe C i deci admite dezvoltare n serie
Taylor n jurul oricrui punct din C. Cum 0)(,)()( nezf zn rezult c
ze = 0ze + 0!1
0 zezz ++
0
!0 z
ne
n
zz +
Pentru z0=0 se obine
ze = 1 + !1z +
!2
2z ++!n
zn +, z)( C.
Observatie. Analog se obin dezvoltrile n serie Mac-Laurin a altor funcii ntregi
sin z = z !3
3z + !5
5z + + )!12(
)1(12
nz nn +, z)( C
cos z = 1 !2
2z + !4
4z + + )!2(
)1(2
nz nn +, z)( C
sh z = z + !3
3z + !5
5z + + )!12(
12
nz n +, z)( C
ch z = 1 + !2
2z + !4
4z + + )!2(
2
nz n +, z)( C
Exemplu. Fie f:CC, f(z) = z3 2z2 + 3z 1. S se dezvolte funcia f n serie Taylor n jurul lui z0 = 2. Seriile geometrice:
z1
1 = 1 + z + z2 + + zn + , pentru 1z
z1
1 = 1 z + z2 + (-1)nzn + , pentru 1z .
Exemplu. Dezvoltai funcia f:CC, f(z) = 221
1
z n serie Mac Laurin.
3.5.2 Serii Laurent
Fie f: }{ 0 RzzrzD C olomorf pe D si z0D.
Definiie. Se numete serie Laurent a funciei f centrat n z0 o serie de forma
36
n
nnn
nnn zzczzcczz
c
zz
czzc
taylorianapartea0010
principalapartea
0
1
00 ...)(...)()(
...)(
...)(
unde
dt
zz
tfi
cnn )(
)(21
0
.
Unei serii Laurent i se asociaz dou serii de funcii :
nn
nczz
1
0 )( care se numete partea principal
i
nn
nczz
0
0 )( care se numete partea taylorian.
Definiie. Seria Laurent este convergent ntr-un punct z0 din C dac partea principala i partea taylorian sunt convergente n punctul z0. Suma unei serii Laurent, convergent ntr-un punct z este egal cu suma prii principale, la care se adaug suma prii tayloriene.
Suma unei serii Laurent este convergent pe o coroan circular ),,( 210 rrz i suma sa este
olomorf pe aceast coroan circular. Teorem. Fie f :DCC o funcie olomorf pe D i z0D un punct arbitrar.
Fie (z0; r Fie }{),,( 201210 rzzrCzrrz o coroan circular cu centrul n i z0 raze
0, 21 rr ale crei frontiere le notm cu 21 , . Dac discul nchis 21 este inclus
n D, atunci funcia f admite o dezvoltare n serie Laurent, convergent pe acest coroan i oricare ar fi z n interiorul ei are loc egalitatea :
n
nn zzczf )()( 0 ,
unde
!
)( 0)(
n
zfc
n
n sau dtzttf
ic
nn
10 )()(
21
fiind un cerc cu centrul n z0 i de raz ].,[ 21 rrr
37
Exemplu. Dezvoltai funcia f(z) = 3)2( z
e z n serie Laurent n jurul lui z0 = 2.
Exemplu. S se dezvolte n serie de puteri ale lui z n jurul lui z0 = 0 funcia f:C{2, 3}C,
f(z) = )3)(2(
1 zz
.
n coroana circular 2< z
38
)(lim0
zf
xzz
=2/1
0lim xx
e
= ee 0/1 , iar )(lim0
zf
iyzz
=2)/(1
0lim iyy
e
= 00/1 ee
rezult c nu exist )(lim0
zfzz
.
3) Punctul singular izolat 0z C se numete pol de ordinul k al funciei f dac
)(lim0
zfzz
i },0{)()(lim 00
zfzz kzz
.
De exemplu, pentru funcia f(z)=)1(
1zz
punctele z=0 i z=1 sunt poli de ordinul I
(poli simpli) pentru c funcia nu este definit n aceste puncte, este olomorf pe C-
{0, 1} i 01
)(lim0
zfz
, 01
)(lim1
zfz
,
},0{11
1lim)()0(lim
0
1
0
zzfz
zz, iar },0{11lim)()1(lim
1
1
1
zzfz
zz.
Definiie. O funcie f se numete meromorf ntr-un domeniu, dac n acel domeniu nu are alte singulariti dect poli.
De exemplu, funcia f(z) =23
12 zz
este meromorf (z=1 i z=2 sunt poli simpli i nu are
alte singulariti).
Observaie. n cazul n care funcia complex este definit n planul complex Rz ,
punctul de la constituie un punct singular izolat al funciei date. n ceea ce privete natura punctului ca punct singular izolat pentru o funcie f, studiul su se reduce la
studiul punctului z=0 pentru funcia
z
f1 .
Exemplu: Fie funcia f(z) =134
72
5
zz
z . S se studieze natura punctului .
Tema de cas nr. 4
1. S se determine raza de convergen a seriilor 0n
nz , respectiv 0 !
1
n
nzn
.
2. S se dezvolte n serie Taylor n jurul originii (serie Mac-Laurin) f(z) = ln (1+z). 3. S se dezvolte n serie Laurent n jurul originii funciile
39
21
2
)(z
ezf
z ,
zz
zfcos1
)(2
, z
zzf
sh)(3 .
4.Dezvoltai n serie Laurent funcia f(z) =)2)(1(
1zz
pe domeniile a) 1
40
Cursul nr. 5 Matematici speciale 3.7. Teoria reziduurilor i aplicaii
3.7.1. Calculul reziduului umei funcii Fie f : DC, E o mulime deschis din C, DC. Dac z0 este un punct singular izolat al funciei f, atunci exist o coroan circular cu centrul n z0, 0
41
2) Calculai reziduurile funciei f(z) = )1)(1( 2 zz
z .
3) Calculai reziduurile funciei f(z) = 22
2
)1( z
z n punctele sale singulare.
n situaia punctului , f este olomorf pe exteriorul unui disc de raz orict de mare.
Notm cu R frontiera discului de raz R orict de mare, cu centrul n origine, (0,R).
Orientarea acestei frontiere se face de aa manier nct parcurgnd-o, exterioruldiscului rmne n stnga, adic invers dect orientarea normal, motiv pentru care se noteaz cu
R .
Definiie. Se numete reziduul funciei f n punctul i se noteaz cu rez (f, )
coeficientul lui 1z din dezvoltarea n serie Laurent a funciei f n vecintatea punctului
de la infinit, luat cu semn schimbat ( c1). O alt definiie :
rez(f,)= R
dzzfi
)(21
sau rez(f,)= - R
dzzfi
)(21
Transformarea z1
duce exteriorul discului de raz R n interiorul discului de raz R1 ,
ambele centrate n 0.
De asemenea, z1
duce punctul z=0 n punctul i punctul n z=0.
Calculul reziduului n punctul de la al lui f(z) se reduce la calculul reziduului n
punctul 0 al funciei ).1(1)(2
fg
Exemplu. Calculai Rez (f, ) pentru f (z) = zez
z 31
3
.
Teorema reziduurilor. Fie f : DC i o curb simpl nchis, neted sau neted pe poriuni, inclus n ntregime n D. Dac f este olomorf pe D, cu excepia unui numr finit de puncte singulare izolate a1, a2, , an situate n domeniul D , fiind delimitat de frontiera care nu trece prin nici-unul din aceste puncte, atunci
n
kkafzidzzf
1
),(Re2)(
42
Demonstraie: Punctele a1, a2, , an fiind singulare izolate din domeniul D , rezult
c putem construe cercurile k avnd centrele n a k if razele kr sufficient de mici astfel
nct ,jk i,j=1,2,,n ceea ce nseamn c nu au puncte commune.
Notm cu k discurile determinate de k . Funcia f este olomorf pe n
kk
1
\
i putem
aplica teorema lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe :
1 2
)(.......)()()( n
dzzfdzzfdzzfdzzf
Conform definiiei reziduului se obine :
),(2),(.......),(),([2)(1
21
n
kkn afreziafrezafrezafrezidzzf
Observaii. 1. Teorema reziduurilor poate fi considerat ca o consecin a teoremei lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe. 2. Teorema reziduurilor prezint mare importan deoarece reduce calculul unor integrale la calculul unor reziduuri, care de cele mai multe ori nu prezint dificulti. 3. n cazul cnd numrul punctelor singulare izolate ale funciei f este foarte mare, aplicarea teoremei reziduurilor poate conduce la calcule laborioase. n aceast situaie se poate calcula reziduul funciei f n punctul . Consecin. Dac f are n tot planul complex numai un numr finit de puncte singulare izolate, atunci suma tuturor reziduurilor acestei funcii este nul
0),(Re),(Re1
n
kkafzfz .
Demonstraie : Fie un disc cu centrul n origine i de raz suficient de mare astfel nct s conin toate punctele singulare izolate ale funciei f.
Considerm un cerc cu centrul n origine i cu raza R> R 0 . Conform teoremei
reziduurilor, avem :
),(2)(1
n
kkafrezidzzf
dar
0),(),(),()(21
1
n
kkafrezfrezfrezdzzfi
43
Exemplu. Calculai integrala: 31
22 )5)(1(z zzz
dz .
3.7.2. Aplicaii ale teoriei reziduurilor la calculul unor integrale
1) Calculul integralelor de forma :
2
0
)sin,(cos dRI , unde R este o funcir
raional, ),(),(
),(yxQyxP
yxR , P,Q fiind dou polinoame, iar Q(x,y) 0 pe
}1|),{( 22 yxyx , ceea ce nseamn c Q nu se anuleaz n nici-un punct de pe cercul
unitate. Reprezentarea cercului unitate este dat de :
sin
cos
y
x ]2,0[
ceea ce nseamn c ].2,0[,sincos ieiz
Cnd parcurge intervalul z],2,0[ descrie cercul cu centrul n origine i cu raza 1,
z=1, o singur dat n sens direct, ceea ce nseamn c vom calcula integrala pe, reprezentnd cercul unitate.
Se face schimbarea de variabil iez . Rezult c zi
ln1
=> dziz
d1
.
cos = 2
ii ee =z
zzz2
12
/1 2
sin = iee ii
2
=iz
zi
zz2
12
/1 2
.
Integrala devine:
I =
1
22 12
1,
21
z
dziziz
zz
zR
Aceast integral, n ipoteza c polii funciei f(z) nu sunt pe cercul z=1(ei se afl fie n discul unitate, fie n exteriorul su), conform teoremei reziduurilor, avem :
I= ||),,(21)(1
1k
kk
z
zzfrezii
dzzfi
44
Exemplu. Calculai integrala
d2
0cos2sin1
2)Calculul integralelor de forma: dxxQxP
)()( =
0Im
),(Re2kz
kzfzi
unde P(x) i Q(x) sunt dou polinoame care ndeplinesc condiiile: Q(x) 0, x R, P(x) i Q(x) sunt prime ntre ele, iar ntre gradele celor dou polinoame exist relaia grad P(x)+2grad Q(x).
Exemplu. Calculai integrala
32 )1(x
dx .
3) Calculul integralelor de forma: dxxfe xi
)( =
0Im
)),((Re2z
kxi zxfezi ,
innd seama de faptul c xixe xi sincos , avem:
dxxfxidxxfxdxxfe xi )(.sin)(.cos)(
unde
I1 =
dxxfedxxfx xi )(Re)(cos
i
I2 =
dxxfedxxfx xi )(Im)(sin .
Lema lui Jordan. Dac f este o funcie olomorf n C, cu excepia unui numr finit de puncte singulare izolate situate n semiplanul superior i sunt ndeplinite condiiile : |)(|sup
0Im,||
)( zfzrz
rM
0)(lim
rMr
atunci R , >0 , 0)(lim
dzezf zir
unde este un semicerc de raz r din semiplanul superior, centrat n origine.
45
Teorem. Dac f satisface condiiile lemei lui Jordan, atunci R , >0, exist
dxxfe xi )(
exist i avem :
]),([Re2)(1
k
n
k
zixi zzfezidxxfe
unde kz sunt puncte singulare izolate ale funciei f situate n semiplanul superior.
Demonstraie. Prin ipotez, f satisface condiiile lemei lui Jordan, ceea ce nseamn c exist R>0, suficient de mare astfel nct domeniul delimitat de conturul C conine toate punctele singulare izolate ale funciei f : C= [-R,R] n baza teoremei reziduurilor :
]),([Re2)(1
n
ik
zi
C
zi zzfezidzzfe
]),([Re2)()()(
1k
n
k
ziziR
R
xi
C
zi zzfezidzzfedxxfedzzfe
Conform lemei lui Jordan, avem : 0)(lim
dzzfe zir
)),((Re2)()(1
lim kn
k
zixiR
R
xi
r
zzfezidxxfedxxfe
Observaie. Cu ajutorul acestei teoreme se poate calcula integrala Laplace :
I = dxax
x
22
cos
Exemplu. Calculai integrala
dx
xx
x22 )1(
sin.
Teorema semireziduului. Dac f este o funcie olomorf n C, cu excepia unui numr finit de puncte singulare izolate a1, a2, , an situate n semiplanul superior i a unor poli simpli x1, x2, , xm de pe axa real, dac sunt ndeplinite condiiile lemei lui Jordan, atunci are loc formula:
46
m
kk
n
kk xfziafzidzzf
11
),(Re),(Re2)(
Demonstraie : Considerm un semicerc de raz R>0 situat n semiplanul superior, astfel nct toate punctele singulare ale funciei f, cu Im z>0 , s se afle n semicercul de raz R cu centrul n origine. Fie conturul acestui semicerc. Aplicnd teorema reziduurilor, avem :
),(Re2)(........)()(.......)()(0Im
|| 1
1
1
zRz
x
R
R
x
n
kk
m m
afzidzzfdzzfdxxfdxxfdzzf
unde m ,,.........21 , sunt semicercurile de raz (care nu se intersecteaz) cu centrele n
punctele x1, x2, , xm. Presupunnd c
0Im,||
0)(zRz
dzzf cnd R, obinem :
k
dzzfafzidxxfm
k
n
kk
)(),(Re2)(1 01lim
Notm cu r k =Rez(f,x k ), ceea ce nseamn c
)]()[(lim zfkr xzkxz
k
Pentru suficient de mic, avem :
|)()(| kk rzfxz dac 0Im,|| , zzxz kk
Vom arta c
0
0
)(limk
k xzdz
rdzzfk
Calculm diferena :
||],,0[,:
||
|)()(||
)()(||)(|
0
ki
kk
k
kk
k
kk
kk
xzexz
dzxz
rzfxzdz
xzrzfxz
xzdz
rdzzfkk k
Obinem : Exemplu. Cu ajutorul teoremei semireziduului se potate calcula integrala (improprie) Poisson :
I = dxx
x
0
sin
47
Tema de cas nr.5 1. Calculai reziduurile urmtoarelor funcii n punctele lor singulare:
a) f(z)=2
/1
)1( z
e z
b) f(z)= zez 11
3 2. Calculai urmtoarele integrale:
a) I= 2
2 )1)(1(zdz
zz
z , b) I=
2/12
sin1
z
dzz
z , c) I=
)4)(9( 22 xx
dx
d) I=
2
0cos35
d , e) I=
dx
xx
xx
102
sin2
f) I=
dx
xx
xx
204
2cos2
48
Cursul nr. 6 Matematici speciale
Transformarea Fourier
Serii Fourier
Definiie. O funcie f:RR se numete periodic dac *)( R T astfel nct
R x)( , ).()( xfTxf
Exemple. Funcia constant are ca perioad orice numr. Funciile sinx i cos x
au perioadele 2, 4, 6,
Observaie. Avnd n vedere c orice multiplu ntreg de T (kT, k Z ) este de
asemenea perioad pentru f, cea mai mic perioad pozitiv T>0 se numete
perioada principal a funciei f.
Propoziie. Dac )(xf este periodic de perioad T, atunci )( xf este periodic
de perioad T/.
Demonstraie.
)()()]([ xfTxfTxf
Exemplu. Funciile sin x i cos x sunt periodice, de perioad 2, funciile sin nx
i cos nx au perioada 2/n, iar perioada comun a funciilor {sin nx, cos
nx} Nn este 2/.
Propoziie. Fie f:RR periodic de perioad T, integrabil pe R, atunci
R)( avem:
TTdxxfdxxf
0)()(
Definiie. Se numete serie trigonometric, o serie de forma:
49
)sincos(2 1
0 kxbkxaa
kkk
unde kk baa ,,0 sunt numere reale.
Propoziie. Dac f:RR este o funcie integrabil pe R, periodic de perioad
2, care poate fi reprezentat printr-o serie trigonometric
)sincos(2
)(1
0 kxbkxaa
xfk
kk
atunci coeficienii kk baa ,,0 se calculeaz cu formulele :
2
0
0 ,)(1
dxxfa
2
0
,cos)(1
nxdxxfan
2
0
sin)(1
nxdxxfbn
Definiie. Seria trigonometric a funciei )(xf ai crei coeficieni se calculeaz
cu ajutorul formulelor de mai sus se numete serie Fourier.
Observaie. innd seama de faptul c integrala unei funcii periodice de
perioad 2 este aceeai pe orice interval de lungime 2, coeficienii kk baa ,,0
pot fi calculai i astfel :
,)(
10 dxxfa
,cos)(
1nxdxxfan
Integrala Fourier
Fie f : R R o funcie care nu este periodic. Funcia f nu poate fi
reprezentat printr-o serie Fourier pe axa real.
Teorem. Dac funcia f : R R ndeplinete urmtoarele condiii :
a) f ese monoton pe poiuni ;
b) f este mrginit ;
50
c) f este continu, avnd cel mult un numr finit de puncte de
discontinuitate de prima spe ;
d) n oricare punct de discontinuitate, valoarea funciei se calculeaz
astfel :
2
)0()0()(
fff
e) f este absolut integrabil pe R,
atunci funcia )(xf poate fi reprezentat astfel :
dtdetfxf xti )()(21
)(
care se numete foma complex a integralei Fourier a funciei )(xf .
Dac notm:
dtetfF ti
)(2
1)(
atunci
deFxf xi
)(2
1)(
Definiie. Funcia )(F se numete transformata Fourier (direct) a funciei
)(xf , iar )(xf se numete inversa transformatei Fourier.
Dac funcia )(xf este par, se obine :
0
cos)(2
)( tdttfFc
xdFxf c cos)(2
)(0
Definiie. Funcia )(cF se numete transformata Fourier prin cosinus a funciei
)(xf , iar )(xf este inversa transformatei Fourier prin cosinus.
51
Dac funcia )(xf este impar, se obine :
0
sin)(2
)( tdttfFs
xdFxf s sin)(2
)(0
Definiie. Funcia )(sF se numete transformata Fourier prin sinus a funciei
)(xf , iar )(xf este inversa transformatei Fourier prin sinus.
Exemple.
1. S se calculeze transformata Fourier a funciei
ax
axxf
,0
,1)(
Transformata Fourier a funciei )(xf este
adtedtetfF
a
a
titi sin2
2
1)(
2
1)(
, 0
2. S se calculeze transformata Fourier a funciei
xx
xf ,4
1)(
2R
Transformata Fourier a funciei )(xf este
222 22
)2,(Re22
1)(
eifzidtte
Fti
3. S se calculeze transformatele Fourier prin cosinus i sinus ale funciei
.,)( Rxexf x
00
cos2
cos)(2
)( tdtetdttfF xc
00
sin2
sin)(2
)( tdtetdttfF xs
52
200 1
122)sin(cos
2)()(
idteedttteiFF tittsc
21
12)(
cF , 21
2)(
sF
4. S se determine funcia )(F tiind c
0
sin)( xexdF , unde 0x
Ecuaia poate fi scris sub forma :
xexdxF
0
2sin)(
2
Aplicnd inversa transformatei Fourier prin sinus, se obine:
tdteF t
sin2
)(0
Proprieti ale transformatei Fourier Propoziia 1. Transformarea Fourier direct este liniar.
RccxfFcxfFcxfcxfcF 2122112211 ,)],([)]([)]()([
Demonstraie.
)]()([ 2211 xfcxfcF
dtetfc
dtetfc
dtetfctfc tititi
)(2
)(2
))()((2
12
21
12211
)]([)]([ 2211 xfFcxfFc
Propoziia 2. Transformarea Fourier direct are proprietatea de translaie.
)]([)]([ xfFehxfF hi h R
Demonstraie.
dtehtfhxfF ti
)(2
1)]([
Se face substituia htv i se obine :
53
)]([)(2
1)(
2
1)]([ )( xfFedvevfedvevfhxfF hivihihvi
Propoziia 3. Pentru orice Ra , are loc relaia :
)(||
1)]([
aF
aaxfF
Demonstraie.
Pentru a>0 facem substiuia atv i se obine:
)(1
)(2
1)(
2
1)(
2
1)]([
aF
advevf
aadv
evfdteatfaxfF avi
a
viti
Pentru a
54
Presupunem, prin inducie, c este adevrat pentru k-1
dtetftid
Fd tikk
k
k
)(
2
)( 11
1
1
i demonstrm pentru k
dtetftidtetftidd
d
Fddd
d
Fd tikk
tikk
k
k
k
k
)(
2))(
2()
)((
)( 11
1
1
Definiie. Se numete produs de convoluie al funciilor )(xf i )(xg , integrala :
dyygyxfxh )()()(
Propoziia 6. Tranfomarea Fourier a produsului de convouie a funciilor )(xf
i )(xg este dat de
)()(2])()([ GFdyygyxfF
unde )]([)( xfFF i )]([)( xgFG
Demonstraie.
)()(2)(2
1)()(
2
1(2
))()((2
1))()((
2
1)(
2
1)]([
)(
)(
FGdtevtfdvevg
dtdveevgvtfdtedvvgvtfdtethxhF
vtivi
vivtititi
55
Tema de cas nr. 6
1. S se calculeze transformatele Fourier ale funciilor :
Rxaexg xa ,0,)( ||
Raaax
xexh
a
,0,)(22
2. S se calculeze transformatele prin sinus i cosinus ale funciei
3. S se determine funcia )(tf din ecuaia :
0
)(cos)( tdttf
unde
1-x , 0
56
Cursul nr. 7 Matematici speciale
Transformata Laplace
n fizic i n diferite domenii tehnice se folosete adeseori o coresponden
ntre dou mulimi de funcii: o prim mulime numit clasa originalelor i o a
doua mulime format cu imaginile lor obinute printr-o anumit transformare.
Aceast coresponden prezint interes dac este biunivoc i dac unor
operaii din prima mulime le corespund n a doua mulime operaii mai simple.
Definiie. Fie f: RR/C. Dac are sens integrala improprie cu
parametrul p C, 0)Re( p
dtetfpF pt
0
)()(
atunci F se numete transformata Laplace a funciei f i se noteaz cu
)()]([ ptfL .
Exemplu. S se calculeze, folosind definiia, transformata Laplace a funciei
axf )( R/C.
0 0 0)]([
pa
pe
adteadteapaLpt
ptpt
Definiie. Funcia f : RC se numete funcie original dac satisface
condiiile:
a) f(t) = 0 pentru t
57
b) f(t) este continu pe poriuni (adic pentru t0 este continu cu excepia
unui mulimi cel mult numrabil de puncte n care are discontinuiti de
spea nti);
c) | f(t) ate | M , pentru M>0, t> 0t , unde a, M, 0t R (adic f are o cretere
exponenial, a numindu-se indicele de cretere al funciei original).
Observaie. Condiia de cretere exponenial ( ip ) se scrie sub forma :
a
MdteMdteeMdtetfdtetf tatatptpt
0
)(
000|||)(||)(|
ultima integral fiind convergent pentru ap )Re( .
n baza criteriului comparaiei pentru integrale improprii, va rezulta
convergena absolut i uniform a integralei care definete pe )()]([ ptfL .
Exemplu. Cea mai simpl funcie original este funcia unitate Heaviside
0,10,2/1
0,0)(
tt
ttf .
Alte exemple de funcii original: funcia constant, funcia putere, funcia
exponenial, funciile circulare i hiperbolice.
Exemplu. Funcia 2)( xexf nu are cretere exponential pentru c att ee 2 este
nemrginit pentru ,t a ; deci nu poate fi considerat funcie original.
Exemplu. Funcia btetf )( , cu bR/C are cretere exponenial, deoarece
se poate alege RtMeeetfRtMba attbat ,1|)(|,1),Re( )Re(0
bp
dtedteepeL tbpptbtbt
1)]([
0
)(
0
ceea ce nseamn c imaginea funciei bte este bp
1 .
Propoziie. Cu funciile original se pot face urmtoarele operaii:
58
suma a dou funcii original este tot o funcie original;
produsul dintre o funcie original i o constant complex este de
asemenea o funcie original;
produsul a dou funcii original este tot o funcie original.
Definiie.Transformata Laplace a unei funcii original (care exist) se numete
funcie imagine.
n acest mod s-a definit o coresponden ntre dou mulimi: una numit clasa
originalelor i o a doua format cu imaginile lor obinute printr-o anumit
transformare.
Teorem.Transformata Laplace a unei funcii original f exist i este o funcie
olomorf n semiplanul Re p > a, unde a este indicele de cretere al funciei
original f; derivata sa se obine din definiie derivnd sub semnul de integrare.
Proprietile transformatei Laplace
Propoziia 1 (liniaritatea). Dac f1 (t), f2 (t) , t R sunt dou funcii original,
atunci )( c1, c2 C are loc relaia :
))](([))](([))](()([ 22112211 ptfLcptfLcptfctfcL
Demonstraie. dttfctfceptfctfcL pt )]()([))](()([ 221102211
))](([))](([)()( 22110 220 11 ptfLcptfLcdttfecdttfecptpt
Propoziie 2 (teorema asemnrii). Dac f(t), t R este o funcie original,
atunci oricare ar fi aR , a>0 are loc relaia :
ap
tfLa
patfL )]([1
))]({[
59
Demonstraie:
duufeaa
duufedtatfepatfL
ua
p
a
uptau
pt )(1
)()())](([000 =
ap
tfLa
)]([1
Propoziia 3 (teorema ntrzierii). Dac f(t), t R este o funcie original,
atunci oricare ar fi aR , a>0 are loc relaia :
))](([))](([ ptfLepatfL pa
Demonstraie:
a
uufaupuatpt dueufdteatfpatfL0,0)()(
0)()())](([
= ))](([)()(00
ptfLedueufedueeuf papupapapu .
Propoziia 4 (teorema deplasrii) Dac f(t), t R este o funcie original, atunci
oricare aC ar fi are loc relaia :
))](([))](([ aptfLptfeL at
Demonstraie: ))](([)()())](([0
)(0
aptfLdttfedtetfeptfeL tapptatat
Propoziia 5 (teorema derivrii originalului) Dac f(t), t R este o funcie
original i f ' (t) exist i este funcie original, atunci are loc relaia :
)0()]([))](('[ ftfLpptfL
Demonstraie: 000
)()(|)()('))](('[ dttfeptfedttfeptfL ptptpt
= )0())](([)()0()(lim0
0
fptfLpdttfepfetfe ptpptt , deoarece:
taattptpt eMeeMetfetf )(|||)(||)(| ,
iar pentru > a se obine 0|)(|lim
ptetft
0)(lim
ptetft
n general, dac f (t) admite derivate de ordin n i toate sunt funcii
original, atunci:
)0(...)0(')0()]([))](([ )1(21)( nnnnn ffpfptfLpptfL
Demonstraia se face folosind metoda induciei.
60
Propoziia 6 (teorema derivrii imaginii). Dac f(t), t R este o funcie
original, atunci
')))](([())](([ ptfLptftL ,
n general,
)()))](([()1())](([ nnn ptfLptftL , pentru orice n1
Demonstratie: 0 0
'' )())(()))](([( dtetftdttfeptfL ptpt
= ))](([)(0
ptftLdtetft pt
0
220
2'' )1()()))](([( dtetdtetptfL ptpt
Pentru derivata de ordinul n se obine:
)()))](([( nptfL ))](([)1()()1(0
ptfLdtetft nnptnn
Propoziia 7 (teorema integrarii originalului) Dac f(t), t R este o funcie
original, atunci
))](([1)()(0
ptfLp
pduufLt
i
))](([1])(.......[ 10
1
0
2
0
1
0
23
ptfLp
duufdududuLn
uuu
n
t
n
n
Demonstratie: Notm t
duuftf0
1 )()( i se obsrev c 0)0(),()( 11 ftftf
Si aplicnd propoziia 5 se obine :
)0())](([))](([ 11 fptfLpptfL sau ))](([1)]([
)]([ 1 ptfLpptfL
tfL
Presupunnd proprietatea adevrat pentru n-1 i notnd
))](([)1( 22 ptftL
61
10
1
0
2
0
1 )(.........)(23
duufduduufuuu
nn
n
obinem:
)(1)())](([1
0
pFp
duufepufLnnn
pun
n
i
))](([1))](([
])([0
ptfLpp
pufLduufL
nn
n
t
n
Propoziia 8 (teorema integrrii imaginii). Dac f(t), t R este o funcie
original, atunci
p
dqqtfLpttf
L ))](([)()(
Demonstraie: Fie
)()()()()( limlim pzdqqFdqqFpGz
z
pp z
De aici rezult c )()( pFpG . Fie g(t) originalul funciei G(p). innd seama
c ))](([)( pttgLpG i ))](([)( ptfLpF , iar )()( pFpG avem )()( tfttg i deci
ttf
tg)(
)( , de unde rezult c )]()([)( pttf
LpG .
Definiie. Se numete produs de convoluie a dou funcii original f(t) i g(t),
t R , crora li se aplic transformarea Laplace, esxpresia :
t
duugutftgf0
)()())((
Observae. Produsul de convoluie este comutativ : ))(())(( tfgtgf .
Propoziia 9(teorema produsului de convoluie). Dac f(t) i g(t), t R sunt
dou funcii original, atunci ))](([))](([)]([ ptgLptfLtgfL
62
Demonstraie. Notm:
0
)()( dtetfpF pt i dtetgpG pt
0
)()(
dtpGetfpGpF pt
0
)()()()(
Conform propoziiei 3, avem:
detgptgLpGe ppt
0
)())](([)(
Prin nlocuire n relaia de mai sus, se obine:
detgdttfpGpF p
0 0
)()()()(
Se poate schimba ordinal de integrare i avem:
0 0
)()()()( dttgtfdepGpF p
g(t) fiind funcie original, avem 0)( tg pentru t i se obine:
))(()()()()(0 0
gfdttgtfdttgtf
ceea ce nseamn c
degfduugufdedttgtfdedttgtfde pppp
000 0 00 0
))(()()()()()()(
Deci
degfpGpF p
0
))(()()(
Rezumnd:
1) (liniaritate)
L[c1f1(t) + c2 f2(t)](p) = c1L[f1(t)](p) + c2 L[f2(t)](p)
63
2) (teorema asemnrii)
L[f(at)](p) =
ap
tfLa
)]([1
3) (teorema ntrzierii)
))](([))](([ ptfLepatfL pa
4) (teorema deplasrii)
))](([))](([ aptfLptfeL at
5) (teorema derivrii originalului)
)0()]([))](('[ ftfLpptfL
)0(...)0(')0()]([))](([ )1(21)( nnnnn ffpfptfLpptfL
6) (teorema derivrii imaginii)
')))](([())](([ ptfLptftL
)()))](([()1())](([ nnn ptfLptftL
7) (teorema integrarii originalului)
)]([1
)()(0
pfLp
pduufL
8) (teorema integrrii imaginii)
p
dqqtfLpttf
L ))](([)()(
9) (teorema produsului de convoluie) ))](([))](([)]([ ptgLptfLtgfL
Transformatele Laplace ale unor funcii elementare:
pa
paL )]([
64
1
!)]([
nn
p
nptL
appeL at
1)]([
22)]([sin
ap
aptaL
;
22)]([cos
ap
pptaL
22)](sh[
ap
apatL
;
22)](ch[
ap
pptaL
21
)]([ap
petL at
; 1
!)]([
natn
ap
npetL
222 )(
2]sin[
ap
aptatL
;
222
22
)()](cos[
ap
appattL
22)()](sin[
appteL at ;
22)()](cos[
ap
appteL at
Demonstraiile : tem pentru seminar.
Calculul inversei transformatei Laplace
n unele situaii este util determinarea din formula
dttfepF pt )()(0
a funciei f(t). Pentru aceasta vor fi prezentate trei metode.
1. Utilizarea proprietii de liniaritate
Fie
)()()( 211 pFcpFcpF
unde )(1 pF i )(2 pF sunt imaginile (transformatele) unor funcii )(1 tf respectiv
)(2 tf , cunoscute.
Funcia original f(t) se obine astfel:
65
)()()( 2211 tfctfctf
Deoarece
)()()()]([)]([)]()([)]([ 2211)(22)(11)(2211)( pFpFcpFctfLctfLctfctfcLtfL pppp
Observaie. Determinarea funciei original f (t) cnd se cunoate imaginea sa
F(p) se poate face prin dezvoltare expresiei funciei n fracii simple i
recunoaterea transformatelor uzuale.
Exemplu. Determinai funcia original a imaginii 4
)(2
p
ppF .
2. Formula lui Mellin-Fourier
n condiii destul de generale, relaia :
F(p)= dttfe pt )(0
ca ecuaie integral n funcia necunoscut f(t) admite o soluie unic.
Definiie. Se spune c funcia f(t) definit pe un interval [a,b] este derivabil pe
poriuni dac exist o diviziune
bttttta nii ........................ 110
astfel nct f(t) este derivabil n fiecare interval ),( 1 ii tt i exist limitele
laterale ).0(),0( ii tftf
Teorem. Dac funcia f: RC ndeplinete urmtorele condiii :
a) f(t)=0, t 0
b) f(t) este derivabil pe poriuni
c) exist s 0 real, 00 s astfel nct tsetf 0|)(| este mrginit pentru t0
66
atunci, n punctele n care f(t) este continu, valorile ei sunt date de formula
lui Mellin-Fourier :
f(t) = pepFi
ptia
iad)(
21
, pentru p = a + i i a >s0 (1)
unde F(p) este transformarea Laplace a funciei f(t).
Observaie. Integrala din formula (1) se poate calcula cu ajutorul reziduurilor :
f(t)= ]),([Re kk
pt ppFez
unde kp sunt singulariti ale lui F(p) din semiplanul Re p
67
Exemplu. Determinai funcia original a imaginii )1(
12)(
2
pp
ppF .
Teorem. Dac )()(
)(pQpP
pF este funcie raional, unde grad P grad Q2, iar
Q are rdcinile p1, p2, , pn, cu ordinele de multiplicitate k1, k2, , kn, atunci
originalul funciei F(p) se poate determina direct cu formula:
n
kk
pt pepFtf1
,)(zRe)( (3)
Exemplu. Determinai funcia original a imaginii 32 )2(
1)(
pppF .
Aplicaii ale transformrii Laplace
1. Rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuaii/sisteme de ecuaii difereniale
cu coeficieni constani
Fie ecuaia:
)(.......)1(1)( tfyayay nnn
cu condiiile iniiale:
1)1(1',0 )0(,,.........)0()0( nn yyyyyy
Se cere determinarea funciei necunoscute y=y(x), x>0, de clas C n [0,], care
s fie soluie a ecuaiei difereniale i s satisfac condiiile iniiale. Problema
astfel formulat reprezint o problem Cauchy pentru ecuaia diferenial de
mai sus.
n ipoteza c c f(t) este definit pe [0,] i are imagine, aplicnd
transformarea Laplace se obine :
))](([)](.......[ )1(1)( ptfLpyayayL nnn
68
sau
))](([)]([.......)]([)]([ )1(1)( ptfLpyLapyLapyL nnn
Aplicnd propoziia 5 se obine:
)0(.......)0()0()]([)]([ 121)( nnnnn yypyppyLppyL
..
)0(.........)0()0()]([][ )1(21)( kkkkk yypyppyLpyL
.. )0()]([][ ypypLyL
Notnd
ypyL )]([ i )()]([ pFtfL
se obine:
)()(......).........().......( 1121211011 pFyapyapapyapapy nnnnnnnn
Cu notaiile:
11
21
10
21
.........)........()(
..........)(
nnnn
nnn
yapapypQ
apappP
relaia de mai sus devine: )()()( pFpQpPy
de unde
)]()([)(
1pQpF
pPy
Soluia ecuaiei este
)]([)( 1 pyLty
Exemple. S se rezolve ecuaia :
teyy 34 cu condiiile iniiale 0)0(,0)0( yy
69
2. Rezolvarea ecuaiilor integrale de tip Voltera
Definiie. O ecuaie n necunoscuta y(t) de forma :
t
tfduuyutkty0
)()()()(
unde k(t-u) i f(t) sunt funcii date se numete ecuaie integral de tip Voltera.
Nornd :
L(y(t))=Y(p), L(k(t))=K(p), L(f(t))=F(p)
i aplicnd ecuaiei Propoziia 9, se obine : Y(p)+K(p)Y(p)=F(p)
de unde rezult c
)(1
)()(
pKpF
pY
, ceea ce nseamn c ))(()( 1 pYLty
Exemplu. S se rezolve ecuaia integral de tip Voltera :
t
ut tduuyety0
cos)()(
3. Studiul circuitului R.L.C.
Considerm un circuit electric care are legate n serie un rezistor ( avnd ca
parametru rezistena R), o bobin ( cu inductana L )
i un condensator ( cu capacitatea C).
70
Notm cu )(tq sarcina variabil pozitiv de pe placa condensatorului i cu )(tE
tensiunea cu care se alimenteaz circuitul. Datorit alimentrii n circuit apare
un curent de intensitate variabil )(ti i conform legilor lui Kirchoff, circuitului
R.L.C. i corespunde ecuaia:
Ctq
tRidt
tdiLtE
)()(
)()(
innd seama de faptul c dt
tdqti
)()( ecuaia de mai sus devine:
0,)(1
)()(
)( tdiC
tRidt
tdiLtE
care este o ecuaie integral n necunoscuta )(ti . Aceast ecuaie poate fi
transformat ntr-o ecuaie diferenial de ordinul doi n raport cu sarcina )(tq ,
astfel:
)()()()(2
2
tECtq
dttdq
Rdt
tqdL
cu condiiile iniiale: 000 )0(|,)0( iidtdq
qq t
Presupunnd c 2
2
,),(),(dt
qddtdq
tqtE sunt funcii original, ecuaia de mai sus se poate
rezolva aplicnd transformarea Laplace:
)()(22
)]([])()()(
[ pp tELCtq
dttdq
Rdt
tqdLL
L C )(tq )(tq )(ti
R
)(tE
71
Notm: qtqL p )()]([ , EtEL p )()]([ i se obine:
RqLipLqECRpLpq 0002 )/1(
sau
)/1
()(2
0001
CRpLp
RqLipLqELtq
Tema de cas nr. 7
1. Calculai urmtoarele transformate Laplace:
)](2[ pL , )]([ 3 ptL , )]([ 2 peL t , )](2[sin ptL , )](3[cos ptL
)](3sh[ ptL , )](2ch[ ptL , )]([ 3 petL t , )]([ 45 petL t
]3sin[ ttL ; )](2cos[ pttL , )](2sin[ 3 pteL t ; )](3cos[ 2 pteL t
4. Determinai funciile original ale urmtoarelor imagini:
)1)(1(
1)(,
)4)(1()(
2
2
2
ppp
pppF
pp
ppF
3. Rezolvai ecuaia diferenial x''(t) 5x'(t) + 6x(t) = te , cunoscnd
condiiile iniiale x(0) = 1, x'(0) = 1.
4. Rezolvai ecuaia diferenial x''(t) 4x'(t) + 4x(t) = sin t, cunoscnd
condiiile iniiale x(0) = 1, x'(0) = 2.
72
Cursul nr. 8 Matematici speciale
Funciile lui Euler
Funcia gamma
Definiie. Se numete funcie gamma sau funcia lui Euler de spea a doua,
integrala:
dtetz tz
0
1)( , iyxz , 0Re xz
Teorem. Funcia )(z este olomorf pe domeniul Re z > 0 i verific relaia
funcional:
)()1( zzz
Demonstraie. Se tie c
))lnsin()ln(cos(1lnln)1(1 tyityteet xtiytxz
unde
dttyetyxv
dttyetyxu
tx
tx
)lnsin(),(
)lncos(),(
0
1
0
1
Funciile u i v admit derivate pariale de ordinul nti pe domeniul Re z > 0 i
acestea se obin derivnd sub semnul de integrare:
dttytetyv
xu tx )lncos()ln(
0
1
dttytetyu
xv tx )lnsin()ln(
0
1
73
Condiiile lui Cauchy-Riemann fiind ndeplinite, rezult c funcia =u+iv este
olomorf pentru Re z > 0 .
Folosind metoda integrrii prin pri pentru expresia funciei (z+1) se obine:
)()1(0
10
0
zzdtetzetdtetz tztztz
Observaie. Relaia )()1( zzz descrie o proprietate fundamental a funciei
gamma, esenial pentru calculul valorilor acestei funcii.
1|)1(00
tt edte
!)!1.()()1(
....................................
!2!1.2)2(2)3(
!11.1)1(1)2(
nnnnnn
Pentru 21
z , efectund substituia 2t se obine integrala Poisson:
de
t
dte t
00
2
2)21
(
Notm
dxdyedyedxeI yxyx
0 0
)(
00
2 2222
Se trece la coordonate polare: sin,cos ryrx i se obine
)21
(24
|2
|00
2
00 0
2 222
2
dxee
rdrdeI xr
r
74
Pe baza acestui rezultat putem calcula alte valori ale funciei gamma:
nn
nnnnnn
22!)!2(
)21
(21
)......23
)(21
()21
()21
()21
(
Relaia )()1( zzz se poate scrie sub forma )1(1)( zz
z i se poate utiliza la
calculul valorilor funciei gamma pentru valori negative ale argumentului:
)
21
)....(23
)(21
(
)21
(....
)23
)(21
(
)25
(
21
)23
()
21
(
nnnn
n
n
nn
)!2(!2
)1()21
(2
nn
nn
n
O alt proprietate important este dat de
z
zz
sin)1()(
Care se numete formula complementelor.
Funcia beta
Definiie. Se numete funcie beta sau funcia lui Euler de prima spea,
integrala:
dtttqpB qp 11
0
1 )1(),( , Re p >