7/25/2019 matematica statistica

1/29

Exemplul 1 Considerm experiena de aruncare a unui zar. Evenimentele

elementare sunt egal posibile i avem 6 cazuri posibile. Notm cu A evenimentul

"apariia unei fee cu numr par de puncte 6" numrul cazurilor favorabile

evenimentului A este 3. Deci2

1

6

3)A(P .

Exemplul 1.1Dintr-o urn cu 15 bile numerotate de la 1 la 15 se extrage o billa ntmplare. Se consider evenimentele:

A = obinerea unui numr prim;B = obinerea unui numr par;C =obinerea unui numr divizibil prin 3.

S calculm probabilitile acestor evenimente.

Rezolvare

n aceast experien aleatoare numrul total al cazurilor posibile este15.

Pentru A numrul cazurilor favorabile este 6, adic {2, 3, 5, 7, 11, 13},

deci5

2

15

6)A(P .

Pentru B numrul cazurilor favorabile este 7, adic {2, 4, 6, 8, 10, 12,

14}, deci

15

7)B(P .

Pentru C, numrul cazurilor favorabile este 5, adic { 3, 6, 9, 12, 15},

deci3

1

15

5)C(P .

PROBABILITATI

Exemplul 1.2Cele 26 de litere ale alfabetului, scrise fiecare pe un cartona, suntintroduse ntr-o urn. Se cere probabilitatea ca extrgnd la ntmplare de 5 oricte un cartona i aezndu-le n ordinea extragerii s obinem cuvntul

LUCIA.

Rezolvare

Notm prin X evenimentul cutat, deci de a obine prin extragerisuccesive cuvntul LUCIA, de asemenea notm prin A1 = evenimentul ca la

prima extragere s obinem litera L; A2= evenimentul ca la a doua extrageresobinem litera U; A3= evenimentul ca la a treia extragere s obinem litera C; A4= evenimentul ca la a patra extragere s obinem litera I; A5 = evenimentul ca la acincea extragere s obinem litera A.

Atunci evenimentul X are loc dac avem

1 2 3 4 5X A A A A A .Rezult:

7/25/2019 matematica statistica

2/29

20

.22

1

23

1

24

1

25

1

26)

P() P(

45 1 32

3212 1 3 1 421

1

A A

) A )

P(A A A

P(X) P(A ) P(A A A A A A A A

Exemplul 1.3Dac probabilitatea ca un automobil s plece n curs ntr-odiminea friguroas este de 0,6 i dispunem de dou automobile de acest fel,

care este probabilitatea ca cel puin unul din automobile s plece n curs ntr-odiminea friguroas?

Rezolvare

Dac notm prin A1 i A2 evenimentele ca primul respectiv, al doileaautomobil s plece n curs i prin X evenimentul cutat, deci ca cel puin unuldintre automobile s plece n curs, avem: 21X A A , iar

P(X) P(A A )1 2 P(A ) P(A ) P(1 2 1 2A A ), deoarece evenimentele 1Ai 2A sunt compatibile (cele dou automobile pot s plece n curs deodat).

Cum P( 1A ) = P( 2A ) = 0,6, iar evenimentele 1A i 2A sunt independente ntreele (plecarea unui automobil nu depinde de plecarea sau neplecarea celuilalt),deci P( A A ) = P( A )P(A )1 2 1 2 = (0,6)

2 . Se obine c P(X) = 0,6 + 0,6 - (0,6)2

= 0,84.

Exemplul 1.4Trei secii ale unei ntreprinderi 321S ,S ,S depesc planul

zilnic de producie cu probabilitile de respectiv 0,7; 0,8 i 0,6. S se calculeze

probabilitile evenimentelor:A -cel puin o secie s depeasc planul de producie.B -toate seciile s depeasc planul de producie.

Rezolvar

Fe

ie iA evenimentul ca secia iS s depeasc planul de producie.

Avem: A = 1 32A A A , deci

P(A) = P (A A ) P(A A )1 3 1 322 A 1 A 1 2 3= 1 P(A ) P(A ) P(A ) =1- (1-0,7)(1-0,8)(1-0,6) = 1 0,3 0,2 0,4 0,976 .B = 321A A A i innd seama de independena evenimentelor, avem:

P(B) = P(A A ) P(A ) P(A ) P(A ) 0,7 0,8 0,6 0,3363 1 2 321 A .

7/25/2019 matematica statistica

3/29

probabilitatea ca s fie satisfcute toate trei caracteristicile se poate evalua cu

formula lui Boole. Astfel se poate scrie:

Exemplul 1.5O pres este considerat c satisface standardul de fabricaie dac

trei caracteristici sunt satisfcute. Dac aceste caracteristici A, B i C sunt

satisfcute cu probabilitile P(A) =10

9, P(B) =

7 i P(C) =

11 12

11, atunci

P( A B C) 1 P(A) P(B) P(C), adic

P(660

229

12

1

1110A B C) 1

1

4

.

Exemplul 1.6Un sortiment de marf dintr-o unitate comercial provine de la

trei fabrici diferite n proporii, respectiv1

de la prima fabric,3

1de la a doua

6fabric i restul de la fabrica a treia. Produsele de la cele trei fabrici satisfac

standardele de fabricaie n proporie de 90%, 95% i respectiv 92%. Un client

ia la ntmplare o bucat din sortimentul de marf respectiv.a) Care este probabilitatea ca produsul s satisfac standardele defabricaie?

b) Care este probabilitatea ca produsul s fie defect i s provin de laprima fabric?

Rezolvare

a) Notm cu 21A , A i 3A evenimentele ca produsul cumprat s fie de

la prima, a doua, respectiv a treia fabric. Aceste trei evenimente formeaz un

sistem complet de evenimente i au probabilitile P(6

, P(A )3

A )1

21 1

i

23P(A ) 1 . Dac A este evenimentul c produsul cumprat de client satisface

1standardele de fabricaie, atunci P(A A ) 0,90, 2P( A A ) 0,95 i

P( A A ) 0,923 . Folosind formula probabilitii totale se obine:

0,9186

5,510,92

2

10,95

6

10,90

9

1

1 3 3221

P(A) P(A ) P(A A ) P(A ) P(A A ) P(A ) P(A A )

b) Folosind formula lui Bayes, avem:

P( A A)A ) P(A )P(A A )P(A )P(A A ) P(A )P(A

P(A )P(A A )

2 3 31 1 2

111

=0,49

0,2

0,082

10,05

6

10,10

3

1

0,103

1

0,408.

7/25/2019 matematica statistica

4/29

22

Exemplul 1.7 Un student solicit o burs de studii la 3 universiti. Dup

trimiterea actelor necesare, acesta poate obine burs de la universitatea i (Ui)

sau nu (Ui ), 1 i 3 . Scriei evenimentele ce corespund urmtoarelor situaii :

a) primete o burs;

b) primete cel mult o burs;

c) primete cel puin o burs;

d) primete cel puin dou burse.

Rezolvarea) Bursa primit poate fi de la prima universitate, caz n care celelaltenu-i acord burs, sau de la a doua, caz n care prima i a treia nu-i acord burs,sau de la a treia, caz n care primele dou nu-i acord burs. Avem astfelevenimentul

1 2 3 1 3 1 2 32A (U U U ) (U U U ) (U U U ) .b) Avem dou variante : studentul nu primete nici o burs sau studentul

primete o burs. Obinem evenimentul

B (U U U ) A31 2 .c) Evenimentul poate fi scris ca reuniunea a trei evenimente : studentul

primete o burs, dou burse, trei burse. Astfel C A E F, unde) (1 2 3 1 2 3 1 2 3E (U U U U U U ) (U U U ) ,

iar 1 2 3F U U U .d) Avem D E F. Altfel, evenimentul D este contrar evenimentului

B, deci DB (U U U ) A1 2 3 .

Exemplul 1.8ntr-un grup de studeni aflai n excursie se gsesc 6 fete i 9biei. Se aleg la ntmplare doi studeni pentru a cerceta traseul. Care este

probabilitatea ca cei doi s fie :a) biei;

b) fete;c) un biat i o fat;

d) cel puin un biat;

e) primul biat i a doua fat;

f) de acelai sex.

Rezolvare

Notm cu A1i A2evenimentele alegerii unui biat la prima, respectiv adoua alegere. La primul punct avem de calculat probabilitatea 21P(A A ) .ntruct a doua alegere depinde de prima avem :

351214815) P(A )P(( 12121P AA A A ) 9 ,

deoarece alegnd un biat mai rmn n grup 14 studeni ntre care 8 biei.

Evenimentul de la punctul b) se scrie astfel : 1 2BA A . Deci

7

1

14

5

15) P(A )P((B) P( 1211 2P AA A A )

6 .

7/25/2019 matematica statistica

5/29

23

Evenimentul de la punctul c) este ( 1 2 2 1C AA ) (A A ) aadar

) P((C) P( 1 2 2 1P AA A A ) , 11 2 2(AA ,A A sunt incompatibile)

Dar14

6

15) P(A )P(( 1 2 2 11P A A A /A )

9 ,

iar14

9

15) P(A )P(( 1212 1P A A A /A )

6

de unde35

18

15 14P(C) 2

9

6 .

Am obinut i probabilitatea evenimentului de la punctul e) 21P(AA ) .Evenimentul de la punctul d) se exprim astfel : 21DA A .

El este contrar evenimentului : 1 2BA A , prin urmare

7

6

7P(D) 1 P(B) 1

1 . Evenimentul de la ultimul punct f) este

1 2 1 2 2 211 A AAAF (AA ) (AA ) . Cum ( ) ( ) cele douevenimente sunt incompatibile i deci

35

17

7

1

351 2 1 2P(F) P(A A ) P(A A )12

.

Exemplul 1.9La un examen de licen particip mai muli absolveni, ntre

care numai trei din strintate. Probabilitatea ca primul student s promoveze

este , probabilitatea ca al doilea s promoveze este 4/5, iar pentru al treilea

5/6. S se determine probabilitile ca :a) toi cei trei studeni s promoveze;

b) cel puin unul s promoveze examenul.

1 2 3

RezolvareFie Aievenimentul promovrii examenului de ctre studentul i, i=1,2,3.Evenimentul de la punctul a) este A A A A , iar de la punctul b) este

1 2 3BA A A . Evenimentele Ai sunt independente (rezultatele celor 3studeni nedepinznd unul de celelalte), deci

2

1

6

5

5

4

41P(A) P(A )P(A2 )P(A3)

3 .

2 1 1 323231

Folosind proprietile probabilitii avem :

P(B) P(A A A ) P(A A ) P(A ) P((A A ) A )

2 2 3 321311 A A P(A ) P(A ) P(AA ) P(A ) P((AA ) ( ))

A )

A ) A ) A )

)) P((A ) P())(((

P(P A [P(A AP(A )(A ) P(A ) P(

31 23231

32 2313211

P A AA AP A

()() 321323121 P A A A P A A P(AA ) P(A A ).

innd seama de independena evenimentelor Ai, i=1,2,3, avem:

.120

119

6

5

5

4

4

3

6

5

5

4

6

5

4

3

5

4

4

3

6

5

5

4

43)

))()(A ))

1 2

3 32121321

3

P(A )P(A )P(A

P(A )P(A ) P(A )P(AP A )P(AP(APP(B) P(A

7/25/2019 matematica statistica

6/29

24

Exemplul 2.0Din mai multe controale asupra activitilor a trei magazine se

apreciaz c n proporie de 90%, 80%, 70%, cele trei magazine au declaratmarfa vndut. La un nou control, comisia de control solicit 50 de documente

privind activitatea comercial: 20 de la primul magazin, 15 de la al doilea, 15

de la al treilea. Dintre acestea se alege unul la ntmplare pentru a fi verificat:a) Cu ce probabilitate documentul ales este corect (nregistrat)?b) Constatnd c este corect, cu ce probabilitate el aparine primului

magazin?

Rezolvare

a) Notm cu A1, A2, A3evenimentul ca documentul controlat s provinde la primul, al doilea i respectiv al treilea magazin. Avem astfel

50;

15

50;

15

50

20321 P(A )P(A )P(A ) .

Fie A evenimentul ca documentul controlat s fie corect. Atunci A /A1, A / A2, A / A3reprezint evenimentul ca documentul controlat s fie corecttiind c el provine de la primul, al doilea, al treilea magazin. Prin urmare :P(A/A1)=0,90; P(A/A2)=0,80; P(A/A3)=0,70 . Cum {A1, A2, A3} este un sistemcomplet de evenimente

A AA A A A A 33 1 1 3 2221A E,A

aplicnd formula probabilitii totale avem:

0,81.0,7050

150,80

50

150,90

50

20

(A) P(A )P(A /A ) P(A )P(A /A ) P(A )P(A /A )1 2 2 3 31

P

7/25/2019 matematica statistica

7/29

25

VARIABILE ALEATOARE

Exemplul 1Se consider vectorul aleator discret (X,Y) cu repartiia dat n

tabelul:

a) s se determine repartiia variabilelor X,Y, X+Y;

b) s se stabileasc dac X i Y sunt independente sau nu;

c) s se calculeze 2F7

,5

.

Rezolvare

a) Variabila X are repartiia:

YX

2 6

0,20 0,10

0,05 0,15

0,45 0,05

1

3

4

X:

2 p31

4

p

3

p

1, unde

0,500,050,45pp p

0,200,150,05pp p

0,300,100,20ppp

32313

22212

12111

, adic

X:

0,50

4

0,20

3

0,30

1.

Analog, variabila Y are repartiia Y:

21 q

6

q

2, unde

0,300,050,150,10q p

0,700,450,050,20pppq

322 2212

3121111

p p

, adic Y:

0,30

6

0,70

2.

Avem: X+Y:

0,05

10

0,150,10

87

0,450,05

64

0,20

3.

b) Pentru verificarea independenei variabilelor X,Y, efectum uncontrol, de exemplu:

P(X=1) P(Y=2) = 0,30 0,70 0,21, iar P[(X=1) (Y=2)] = p 0,2011 .Cum 0,21 0,20, deducem c X i Y sunt dependente.

c) F(2

,5) P(2

7X

7,Y 5) P[(X 1,Y 2) (X 3,Y 2)]

=P(X=1,Y=2) +P(X=3,Y=2) = 0,20+0,05 = 0,25.

DefiniieFie variabila aleatoare X avnd funcia de repartiie F, vomspune cX este variabil aleatoare de tip continuu dac funcia de repartiie se poatereprezenta sub forma:

F(x) = (t)dt, x Rx

.

Funcia :R Rse numete densitate de probabilitate a variabileialeatoare X.

Propoziie.Au loc afirmaiile:

7/25/2019 matematica statistica

8/29

33

1) xR, (x ) 0 .

2) F'(x) = (x) a.p.t. pe R.

3)b

P(aX

7/25/2019 matematica statistica

9/29

34

Rezolvare

Calculm repartiiile marginale:

166164166

210X : ;

168164164

211Y :

Avem:2

3;

4)

3;

4) 1; 2 )

7

XVar(XE(XE(X

210;

2) 3;

2) 1; E(Y

2 ) 5 YVar(YE(Y

163

164

166

162

161

42012X Y : , E(XY)=1

2

10

2

3

E(X Y) - E(X)E(Y) 1 1

r

YX

0

ExempluFie X o variabil aleatoare care are densitatea de

probabilitate definit prin:

(x)1/ 2, x (0,2)

0,x (0,2).

a) S se determine modulul i mediana

b) S se calculeze momentul de ordin k, m (x)k ..

Rezolvarea) Conform definiiei, M0 este valoarea pentru care (x) max.adic

M (0,2)0 adic existo infinitate de valori modale situate pe segmentul (0,2).

Mese determin din ecuaia 2) 1eF(M .

Cum 12

x)()(M ) P(0

ee

M

ee MdxM

XMFe

.

b)

1

2

2

1(X) E(Xk)

k

kx k dxmk .

7/25/2019 matematica statistica

10/29

REPARTITIE BINOMIALA BERNOULLI

Exemplul 1 Dacn

A ,A ,...,A21 sunt evenimente independente i

i P(A ) p, i 1,2,...,n , iar Xreprezint numrul evenimentelor care se

realizeaz n cadrul unei experiene , atunciXare repartiie binomial cuparametrii n i p (conform schemei lui Bernoulli).

DacA este un eveniment legat de o anumit experien i probabilitatea caA

s se produc cnd efectum o singur dat experiena este P(A) =p , atuncivariabila aleatoare care are ca valori numrul realizrilor lui

Acnd efectum de nori experiena are repartiie binomial cu parametrii n i

p.

Teorema Dac variabila aleatoareXare repartiie binomial cu parametrii n

i p, atunci valoarea medie i dispersia sa sunt

E(X) np, Var(X) npq.

DemonstraieValoare medie a variabilei aleatoare Xeste

) 00

022100

2 n 1 2 1n

k

k k nknn

n

n

n

n

n

n kC p qCnp

nqC p qC pqC p qE(X .

Pentru a calcula suma de mai sus vom considera polinomul

n

k

n

k

k k nk kn

k nk k nkn

n n

n

n

n

n

nn

C p q xC p q x

C

1

pq

n1

x C qP px q)n

C

0

p

n

x

n

C p

n1

qx

0 0

11

.(x) (

Derivnd polinomul de mai sus obinem

.

1))('(x)

0

1 n 1

2101

0

(n n

k

k k nk kn

n n

n

n

n

n

n

n n

n

n

kC p q xC qC 1pq

C1pn1qxnC p xP np px q

Lundx

=1n relaia , obinem

n

k

k k nkn np(p qkC p q

0

)n1, de unde

rezult c E(X) np.

7/25/2019 matematica statistica

11/29

Pentru a calcula dispersia lui Xvom folosi formula

Var(X)E(X2 ) [E(X)]2 .

Media variabilei X2 este E(X2 )0

n

k

k k nknk

2C p q .

nmulim relaia cuxi obinem

0

n

k k nk kn

n n

n

n

n

n

nn

n

kC p q xC q

C 1pq n

1xnC pnxn (n 1)C1p n1qxxP npx(px q 101

.

)'(x)

k0

Dac derivm relaia de mai sus deducem c

0

1

2 n

k

k k nk knP'(x) xP' '(x) np(px q)

n1 n(n 1)p 2x(px q)n k2C p q x .

Lund x 1 n relaia de mai sus deducem cE(X2 ) np n(n 1)p 2 .Obinemastfel dispersia luiX

Var(X) =np+n(n1)p 2 n2p 2 =npnp 2 =npq.q.e.d.

Propoziia Dac este modulul (valoarea cea mai probabil) a unei variabilealeatoare X cu repartiie binomialcu parametrii n ip, atunci

np q np p,

unde q 1p.

DemonstraieDaceste modulul variabilei Xatunci

P(X 1) P(X ), P(X 1) P(X ).

Inegalitile de mai sus ne conduc la sistemul

np

np

,

1

11

111

q

p

n

qp

p

n

q

Cp

qC

1p

1q

CpqC p q

n

n

n

n

n

n

n

n

de unde rezult concluzia propoziiei. q.e.d.

Propoziia Dac variabila aleatoareXare repartiie binomial cu parametrii n

i p, atunci funcia sa caracteristic este

(t) (peit q)n , tR.

7/25/2019 matematica statistica

12/29

50

DemonstraieConform formulei pentru funcia caracteristic avem

(t)(00

peit q)n , tRC (pe ) qC p q e

n

k

it k nkkn

n

k

k k nk itk n

.

q.e.d.

Teorema Dac variabilele independente X i Y au repartiii binomiale cuparametrii n

i p, respectiv m i p, atunci variabila X+Y are repartiie binomial cu parametriim+n i

p.

DemonstraieDeoareceX ia valorile0,1,,n, iarY ia valorile0,1,,m,rezult c variabila

X+Y va lua valorile 0,1,,n+m.Variabila X+Y are valoarea k

(k

{0,1,,n

+m} ) dac (X=0 i Y=k) sau (X=1i Y=k-1) sau ... sau (X=ki

Y=0). Atunci vom obine

.

)}{(

0

0 0

00

k mnkkmn

k

j

jk

mn

k mnk

k

j

k

j

j kj mkjm

j j njn

k

j

k

j

p qCCjCp q

C p q C k p qP(X j)P(Y

P(X j, Y k jX j, Y jP X Y k) P

k j)

k

Am folosit mai sus faptul c evenimentele X i Y sunt independente, i de

asemenea am utilizat formula ,0

k

mn

k

j

k

mnCCjC

j care poate fi dedus egalnd

coeficientul lui x k din dezvoltrile (1x)n (1x)m i (1x)nm .Deci am obinut

P(X Y k) Ck p kqmnk, k 0,1,,n m,mn

adic variabilaX+Yare o repartiie binomial cu parametrii m+nip.

Concluzia teoremei mai poate fi obinut folosind proprietatea de la funciicaracteristice care spune c funcia caracteristic a sumei a dou variabilealeatoare independente cu funciile caracteristice 1 (t) i (t), tR2 , are forma

(t) (t),21(t) =t R. Astfel folosind relaia deducemc funciacaracteristic a variabileiX+Yeste

peit q peit qm peit qmn , tR.(t) n

7/25/2019 matematica statistica

13/29

Din expresia de mai sus a funciei c tragem concluzia c variabila aleatoareX+Yare repartiie binomial cu parametrii m+nip. q.e.d.

Teorema (Bernoulli) Un eveniment are probabilitatea de realizare p

atunci cnd facem o singur dat experiena de care este legat. Dacn

este

numrul de realizri ale evenimentului cnd repetm experiena de n ori,atunci

0,lim

p

nP n

n

oricare ar fi 0.

DemonstraieVariabila aleatoare

n care are ca valori numrul de realizri ale evenimentului

din problem are repartiie binomial cu parametrii n i p. Conform Teoremei

navemE(=)npi Var(npq. n ) Variabila aleatoare

n

n va avea atunci

valoarea medie, dispersia i abaterea medie ptratic1

E( )n

np

nnn

nmE

p ,

,( )1

2n

pq

n

pqVar

nnVar Xn

n

.

n

n i a .Vom folosi acum Inegalitatea lui Cebev pentru variabila

Obinem

22

2

n

pqp

n P n

.

0,Deoarece lim2

n

pq

ndin inegalitatea de mai sus rezult inegalitatea

q.e.d.

ObservaieO mbuntire a inegalitii este dat de teorema lui Borel, carespune c n condiiile Teoremei are loc relaia

P

np

n 1.

Aplicaien cadrul unei experiene evenimentele independente

nA ,A ,A21 k kau probabilitile de realizare P(A ) p , k 1,2,,n. S se

calculeze valoarea medie i dispersia numrului de evenimente care serealizeaz atunci cnd experiena are loc.

Rezolvare

S notm cu X variabila aleatoare care are ca valori numrul de

evenimente care se realizeaz n cadrul experienei. Valorile variabilei X sunt0,1,2,,n. Probabilitatea ca X s ia valoarea k ( k 0,1,2,,n) este, conform

schemei lui Poisson (schema binomial generalizat) coeficientul lui x kdin

polinomul

7/25/2019 matematica statistica

14/29

72

),)((x) ( 1 n1 2 2 nQ p x q p x q )(p x q

unde q 1p , i 1,2,i i

,n. Dac scriem desfurat pe Q(x) sub forma

,(x) 0n

1 2 nQ a a x a x2 a x

atunci tabloul repartiiei variabileiX este

210:

210

naaa a

nX

.

Suma tuturor elementelor de pe linia a doua a tabloului de mai sus este 1. ntr-adevr

((1)n1 1 2 2 n0 1 n p q )(p q )(p qa a a Q ) 1.

Valoarea medie a variabileiXeste E(X)0

n

k

kka . Ideea de demonstraie a

teoremei este asemntoare cu cea a Teoremei Vom deriva polinomul Q, scrissub cele dou forme de mai sus . Derivnd relaia obinem

3 2321n a nQ'(x) 2a x a x na x

1,

de unde rezult

3'(1)1

321 ka Mnaaa 2aQn

k

kn (X).

Pe de alt parte parte, derivnd relaia obinem

()((2

2k1

1

) kn

kkn

k

kkkkp x qpqp xpp x qQ'(x) p ),

iar pentru x 1 deducem Q'(1) 1 2 n p p p . Rezult c

(X) 1n

k

kpE .

0

n

k

k

k2a . nmulimPentru a calcula dispersia, vom calcula mai nti E(X2 )

relaia (3.2.8) cuxi obinem

3'(x) 3321n

nxQ a x 2a x2 a x na x .

7/25/2019 matematica statistica

15/29

73

Derivnd egalitatea de mai sus rezult

322Q'(x) xQ' ' (x) a 22

1n a x2 n2a x3 na x

1.

Pentru x 1deducemdin relaia de mai sus Q'(1) Q''(1)1

n

k

kk2a . Deci

'(1) Q''(1)1

p QE(X2 ) Qn

k

k

''(1).

Derivm acum relaia pentru a determina Q' '(x); obinem

).(()(

)(((

1121

1,33

1,221

)

) q )

j1,njjn

j2,njj

j1,njjn

j1,njjn

j

jj

j

jj

p x

qpp x

qpp x qp p

p x qpp x qp x pQ' '(x) p p

Pentru x 1 obinem din relaia de mai sus

.(X)][

)) ()((](X)

](X)(X)''(1)

1

22

222121

221k 121

Q p p p p

p ]

n

k

k

nnnn

knn

k

1 k 2 kk

pE

pp2 ppppp [E p E X

p p p [E p [E p

Din relaia (3.2.11) i din relaia de mai sus deducem c

(X)]2 )1

22

1

n n

k

k

k

k pp [EE(X .

Folosind acum relaiile rezult c dispersia luiX este

.)(1

)])][)][(X) E(X2 )

1 11

2

1

2

1

22

1

2

p p

n

k

n

k

k kkk

n

k

k

n

k

k

n n

k

k

k

k

p qpp

p [E(XE(XpE(XVar

O alt metod mai simpl pentru calculul mediei i dispersiei variabileiXeste

kurmtoarea: s notm cu X variabila aleatoare care are ca valori pe 1dac

kA se

7/25/2019 matematica statistica

16/29

realizeaz, i pe 0 dack

A nu se realizeaz, pentru k 1,2,,n. Tablourile de

repartiiepentru variabilelekX sunt

,01

: kqp

Xkk

k

1,2,,n.

XX X , deci1 nAtunci numrul evenimentelor care se realizeaz este

media sa va fi

k))11

n

k

k

n

k

pE(XE(X .

Deoarece variabilele aleatoare Xk, k 1,2,,n sunt independente, atunci

dispersia varaibileiXva fi

n

n

k k

n

k

k k

n

k

kkkk p qppE(XE(XVar(XVar(X

1 1 11

)]2 2 )([2 )k)) .

q.e.d.

Pentru n 1, legea binomial este cunoscut i sub numele de legeaBernoulli cu parametrul p. Variabila aleatoare X care urmeaz legea Bernoullicu parametrul p admite doar dou valori posibile 0 i 1 cu probabilitile derealizare q=1-pip, avnd tabloul repartiiei

,10

: qq p

X 1

p.

Valoarea medie i dispersia variabileiX sunt E(X) =pi Var(X) =pq .O variabil aleatoare cu repartiie binomial cu parametrii n i pdat de

Definiia 3.2.1 este suma a n variabile aleatoare independente cu repartiiiBernoulli cu acelai parametrup.

7/25/2019 matematica statistica

17/29

7/25/2019 matematica statistica

18/29

76

DemonstraieValoarea medie a variabilei aleatoareXeste

11

11

0

apa b

anC

C

aC

1C

C

a

Ck

C C nabn

ab

n

k

nkb

k

an

ab

n

kn

ab

nkb

k

a E(X)

.

Pentru calculul dispersiei, vom calcula mai nti media variabileiX2 ; avem

.

1)(

1)(n 1))

1)1)

1)2 )

22

22

010

a b

an

a b)(a b

an(a

a b

anC

C

a(aE(XC 2C

C

a(a

Ck

C C

C

C Ck(k

Ck

2 C CE(X

n

abnab

n

k

nkb

k

an

ab

n n n

kn

ab

nkb

k

a

kn

ab

nkb

k

a

kn

ab

nkb

k

a

Deci dispersia luiXeste

.a b 11)(

)

)(1)(

1)(n 1))][

2

222

b

npq a n

a b)2 (a babn(a b n

a b

a n

a b

an

a b)(a b

an(aE(X2 )Var(X)E(X

Folosind modelul urnei dinvaloarea medie a variabilei Xdin problem se poate calcula i n felul urmtor. Considerm o urn cu a bilealbe i bbile negre din care se extrag una cte una nbile (fr ntoarcerea bilei nurn) i considerm variabilele aleatoare

kX , pentru k 1,2,,n , unde variabila

kX ( k 1,2,,n ) are ca valori numrul de bile albe obinute la extragerea k(1

dac obinem bil alb i 0dac obinem bil neagr). Pentru 1X ,avem

, P(X 0)11a b

b

a b

aP(X 1) .

7/25/2019 matematica statistica

19/29

77

Deci tabloul repartiiei variabilei 1X este01

:1

a b

b

a b

aX .Pentru variabila

2X obinem (n urn au rmas a+b-1bile)

.1)(

1)

1

1

1

0)0)0 /1)1)0 /0)

,)1)(

1)11

1

0)0)1/1)1/1)

1121122

1121122

a b

b

b)(a ba

b(a b

a b

b

a b

b

a b

a

a b

b

P(XXP(XP(XXP(XP(X

a ba

baa ba(a b

a bb

a ba

a ba

a

a

P(XXP(XP(XXP(XP(X

b

1)

Deci tabloul repartiiei variabilei 2X este .01

:2

a b

b

a b

aX Pentru variabila

3X avem (n urn au rmas a+b-2bile)

0)] 0)0)0) /1/((

(X 1)1)0) /1/0)] [0)

1) /1/(X 1) P((1)1) /1/[

0)0)1/1)1)1/(X 1)

21123

112321

1231123

2232233

1)

P(XP(XXXP X

PXXP((XP(XP(X

XXXPXXP((X

P(XXP(XP(XXP(XP

.)2)((

2))((

)2)((

2(a 1)(a 2)

2

2

1

2

1

2

2

2

2

22

a b

a

a ba b

a a b a

a ba b

ab aba

a b

b

a b

b

a b

a

a b

a

a b

a

a b

a

a b

b

a b

a

a b

a

a b

a

b

7/25/2019 matematica statistica

20/29

78

( 1 P( 33 0) Xa b

bAsemntor se arat c P(X 1)). Deci tabloul

repartiiei variabilei 3X este01

:3

a b

b

a b

aX .

Se arat n acelai mod c toate variabilele Xk

, k 1,2,,n au acelai tablou

de repartiie 1,2,,n ,,01

: k

a b

b

a b

aXk

(dei ele sunt variabile

dependente).

Cu ajutorul variabilelor X , k 1,2,k

,n , variabilaXse scrie ,1

n

k

kXX

deci media variabileiX este

)()11

npa b

na

a b

aE XE(X

n

k

n

k

k

.

Var(X) este egal cu n

Var(Xk1

k) ,Pentru dispersie nu mai putem scrie c

deoarece variabilele Xk

, k 1,2,,n nu sunt independente. q.e.d.

7/25/2019 matematica statistica

21/29

Legea Poisson (legea evenimentelor rare)

Definiie Variabila aleatoare X urmeaz legea Poisson (X are repartiiePoisson) cu parametrul >(0)dac poate lua orice valoare ntreagpozitiv

i

!k) e , kk

P(X k 0,1,2,

Tabloul repartiiei variabilei Xeste

!2!1!0!

210

: 210

e

ek

ee

k

X k .

Pentru a verifica c suma probabilitilor de pe linia a doua a tabloului de maisus este 1, vom folosi dezvoltarea n serie de puteri a funciei f(x) ex ,i anume

!2!1!

2

x Rk

x

xe

x kx 1 , .

Folosind relaia pentrux =, avem

!00 ee

kk) eP(X

k

k

k

1.

Teorema Dac variabila aleatoare X are repartiie Poisson cu parametrul ,atunci valoarea medie i dispersia sa sunt

E(X) , Var(X) .

DemonstraieValoarea medie a variabileiXeste

(k1)!!)

1

1

0

eeeek

kE(Xk

k

k

k .

Pentru dispersie, calculm mai nti media variabileiX2 . Obinem

.)(k 2)!

)

!1)

!!)(

!2 )

2

2

2

2

211

2

0

2

2

e

eE(XeE(X

ek

k(kek

kek

kkek

kE(X

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

Atunci dispersia luiXeste

Var(X) =E(X2)[E(X)]2 =2+2 =.q.e.d.

7/25/2019 matematica statistica

22/29

PropoziiaDac variabila aleatoareXare repartiie Poisson cu parametrul ,

atuncifuncia sa caracteristic este

e(eit

1) , tR.(t)

DemonstraieFolosind formula de calcul de la funcia caracteristic, avem

.!

(e ) k

!!

t)( (eit1)

000

Ree

ke

itk e

ke

e

itk e

k

ite

k

it k

kk

k

, t e

q.e.d.

Teorema Variabilele aleatoare independente 1X i 2X au repartiii

1 2Poisson cu parametrii i respectiv .Atunci variabila aleatoare 21X X

are repartiie Poisson cu parametrul .21

1 2X X are ca valori pe 0,1,2, Fie k 0 ntreg.

Demonstraie

Variabila aleatoare

Atunci avem

.!

)(

!)!! ((

),,((

)21

0 0

21

)

0

2121

0

1 20 2121

21

2121

(

(

k j)

k k j) X k)

ek

Ck

ee

k je

jP X j)P(X

P(X j X jX j XP X P

k

k

j

k

j

j jkjk

k

j

kjj

k

j

k

j

Deducem astfel c variabila aleatoare1 2

X X are repartiie Poisson cu

.2 Folosind funciile caracteristice ale variabilelor 21X , X ,parametrul 1exprimate cu ajutorul formulei , i anume

21 (t) e1 (e

it1) , (t) e

2 (eit

1) , tR , deducem c funcia caracteristic a

variabilei 21X X este

)(eit1) ,(t) (t)2121 Reet t( ) e

1(eit

1) 2 (e

it1)

( .

Din expresia de mai sus a funciei caracteristice rezult c variabila 21X X are

repartiie Poisson cu parametrul .21 q.e.d.

Legtura dintre repartiia binomial i repartiia Poisson este dat deurmtoarea teorem.

7/25/2019 matematica statistica

23/29

nX careTeorema Fie k

N

fixat, iar pentru n

>k

considerm variabilele au

repartiii binomiale cu parametrii n inp , astfel nct toate s aib aceeai

valoare medie . Atunci are loc relaia

!lim P(

k) e

kX

k

nn

.

RezolvareDeoarece variabilele X

n, n kau aceeai valoare medie , deducem

conform primei relaii din (3.5.3) c valoarea medie a acestor variabile este(X )

nE np . Deci p

n n/ n. Atunci obinem

,!

lim1) ( 1)

!limlim P(

lim1

1

k1) )

eknn

n kn(n

nnklim

1)(nn(nC p

kqX k

knk

nk

k

nkk

n

nknn

k

nn

nn

k!n

Observaia Relaia ne arat c dac n

q.e.d.

p este suficient de mic i nsuficient de mare, atunci putem aproxima repartiia binomial cu parametrii n i

np , prin repartiia Poisson de parametru np . Din acest motiv repartiianPoisson se mai numete legea evenimentelor rare. Dac n 30i np 5 atuncirepartiia Poisson cu parametrul np este o bun aproximare a repartiiei

binomiale cu parametrii n i p.

Aplicaia S se calculeze momentele iniiale 3m (X) i 4m (X), precum i

momentele centrate 3 (X) i 4 (X) pentru o variabil aleatoare X cu

repartiie Poisson cu parametrul .

Rezolvare

Din demonstraia teoremei tim c (X)E(X) 1m , iar

.(X)E(X2 )2m 2 Momentul iniial de ordinul al treilea al variabilei X

este!

(X)E(X3 )0

33

k

ke

kkm

.

Deoarece k3 k(k1)(k 2) 3k(k1) k, vom scrie pe 3m (X) astfel

7/25/2019 matematica statistica

24/29

.3

(k1)!( 2)!(k 3)!

k!!3 k(k1)

!1)(k 2)(X)

22

3

1

1

2

22

3

3

3

1123

3

3

3

e

ee

e

e eek

ee

ekek

ek

k(km

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

Apoi momentul centrat de ordinul al treilea este

.3

)3(33 )

3 ) 3 )3()(

33

2331

223

32

2322333

3

3

32

)

mmmE(X

E(XE(XXXE XX)E(X

Pentru momentul iniial de ordinul al patrulea avem

0

444 .

!(X)E(X4 )

k

ek

km Deoarece

k4 k(k1)(k 2)(k 3) 6k(k1)(k 2) 7k(k1) k, momentul 4m (X) se

scrie astfel

3

3

3

4

4

4

11

k234

(k 3)!6

( 4)!!!7 k(k1)

!6 1)(k 2)

!1)(k 2)(k 3))

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

ek

eek

kek

ek

k(kek

k(km (X

.76

6(k1)!( 2)!

234

234

1

1

2

22 7

7

ee

e

eeee ee

ke

k

k

k

k

Apoi momentul centrat de ordinul al patrulea este

.) 6 (34(7

64 ) 6 ) 4 )

) E(X )64()(X)E(

2442223234

41

32

234

43223

443223444

346

44

4

)

m

mmmE(XE(XE(X

XXXE XX

7/25/2019 matematica statistica

25/29

7/25/2019 matematica statistica

26/29

7/25/2019 matematica statistica

27/29

7/25/2019 matematica statistica

28/29

89

7/25/2019 matematica statistica

29/29