Lucrare scrisă semestrială

semestrul I, clasa a XI-a

MATEMATICĂ

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Timpul de lucru efectiv este de 2 ore.

La toate subiectele se cer rezolvări complete.

1p. 1. Dacă 𝜎, 𝜃 ∈ 𝑆5, 𝜎 = (1 2 3 4 5

3 1 4 5 2), 𝜃 = (

1 2 3 4 5

2 5 4 3 1). Să se rezolve

ecuația 𝜎2014 ∙ 𝑥 = 𝜃−1.

2p.

2. a) Să se rezolve ecuația: |

1 0 0 1

0 20 2

𝑥 0 𝑥 𝑥

1 40 5

| + |𝑥 11 𝑥

|=0.

1p.

b) Să se calculeze limitele următoarelor șiruri:

b1) 𝑥𝑛 =1

1∙4+

1

2∙5+ ⋯ +

1

𝑛∙(𝑛+3), 𝑛 ≥ 1.

1p. b2) 𝑥 =1

√𝑛2+1+

1

√𝑛2+2+ ⋯ +

1

√𝑛2+𝑛.

1p. b3) 𝑥𝑛 = (𝑛2+2𝑛

𝑛2+𝑛+1)

𝑛2

𝑛+1

1p.

3. Fie matricea 𝐴 = (1 0 ln 𝑎0 𝑎 00 0 1

) , 𝑎 ∈ (0, ∞).

a) Să se calculeze 𝐴2, 𝐴3, 𝐴𝑛, 𝑛 ∈ ℕ.

1p. b) Să se calculeze 𝐴 + 𝐴2 + 𝐴3 + ⋯ + 𝐴2014.

1p. c) Dacă notăm cu 𝑥𝑛 = det(𝐴) + det(𝐴2) + ⋯ + det(𝐴𝑛), să se studieze monotonia,

mărginirea și limita șirului 𝑥𝑛.