8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
1/35
7) Daca A,Bsunt matrice
echivalente (A B) atunci:
a) A,Bsunt matrice patratice;
b)rang A = rang B;
c) daca determinantul lui A = 0
rezulta, si det B = 0;d) daca det A = 1 rezulta ca si det B
= 1.
8) Fie A Mn(R). Daca rang A= r,
atunci prin trans!"rmari elementare
se "#tine:
a) cel putin r c"l"ane ale matricei
unitate;
#) cel mult r c"l"ane ale matricei
unitate;c)e$act r c"l"ane ale matricei
unitate;
d) t"ate c"l"anele matricei unitate.
%) Fie A Mn(R) cu det A & 0.
'tunci:
a)rang A= n;
b)Aeste echivalenta cu matricea
unitate In (A - In);
c) prin trans!. elementare putemdetermina inversa A1.
d)!"rma aus*"rdan a matricei A
este In.10) +entru a a!la inversa unei
matrice A Mn(R) prin trans!"rmari
elementare, acestea se aplica:
a) numai liniil"r;#) numai c"l"anel"r;
c) atat liniil"r cat si c"l"anel"r;
d) intai liniil"r ap"i c"l"anel"r.
11) Daca A Mn(R) cu det A= 1
atunci !"rma auss*"rdan as"ciata
va avea:
a) " singura linie a matricei unitateIn;b) t"ate liniile si c"l"anele matricei
unitate In;c) " singura c"l"ana a matricei
unitate In;d) numai " linie si " c"l"ana a
maricei unitate In.
1) -et"da de a!lare a inversei unei
matrice Acu trans!"rmari
elementare se p"ate aplica:
a) "ricarei matrice AM
n(R) ;b)numai matricel"r patratice;
c) maricel"r patratice cu det A& 0;
d) tutur"r matricel"r cu rang A& 0.
1) +entru a!larea inversei uneimatrice A Mn(R) prin trans!"rmari
elementare, acestea se aplica:
a) direct asupra lui A;
#) asupra matricei transpuse A/;
c)matricei atasate ' 2 3n= M ;
d) matricei atasate
/ 2 ' 3n
= M.
14) Fie A Mn(R) si matriceaatasata acesteia in met"da a!larii
inversei lui Aprin trans!
elementare.'tunci:
a) Mn(R);
b) Mn,2n(R);
c) M2n,n(R);
d) M2n,2n(R);
15) Fie A Mn(R) si matriceaatasata lui Apentru determinarea lui
A1prin trans!"rmari elementare.
Daca
0 1
1 0 1 4
M atunci:
a)A1=
1 4
#) A1 =
1 4
c)A1
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
2/35
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
3/35
d)rang A= =9 & 0. d) se "#tin una din alta prin
trans!"rmari elementare.
5) Fie A M(R) cu det A= .
'tunci !"rma auss*"rdan a lui A:
a)are acelasi rang cu matricea A, () R;
#) are acelasi rang cu matricea A,numai pt = 0;
c) c"incide cu I =9 & 0;
d) are cel mult d"ua c"l"ane ale
matricei unitate I daca = 0
6) D"ua sisteme liniare de ecuatii
se numesc echivalente daca:
a) au acelasi numar de ecuatii;
#) au acelasi numar de necun"scute;
c) au aceleasi s"lutii;d)matricele l"r e$tinse sunt
echivalente.
7) -atricea unui sistem liniar
"arecare, in !"rma e$plicita are:
a)!"rma auss*"rdan;
b) c"l"anele varia#ilel"r principale,
c"l"anele matricei unitate;c) t"ate elementele de pe liniile
varia#ilel"r secundare nule
d) elementele c"respunzat"are de pe
c"l"anele varia#ilel"r secundare,
negative.
8) -et"da auss*"rdan de
rez"lvare a sistemel"r liniare printrans!"rmari elementare se aplica:
a) numai sistemel"r patratice;
b)"ricarui sistem liniar;
c) numai daca rangul matricei
sistemului este egal cu numarul de
ecuatii;
d) d"ar sistemele c"mpati#ile
nedeterminate.
%) Fie Asi ' matricea, respectiv
matricea largita a unui sistem liniar.'plicand met"da auss*"rdan de
rez"lvare, se aplica trans!"rmari
elementare asupra:
a) liniil"r lui Asi c"l"anel"r lui ' ;
#) liniil"r si c"l"anel"r lui ' ;
c)liniil"r lui ' ;
d) c"l"anei termenil"r li#eri din ' .
0) +entru a "#tine matricea unui
sistem liniar su# !"rma e$plicita, seaplica trans!"rmari elementare:
a) numai c"l"anel"r c"respunzat"are
varia#ilel"r secundare;
#) numai c"l"anei termenil"r li#eri;
c) tutur"r liniil"r si c"l"anel"r
matricei e$tinse;
d)pentru a !ace c"l"anele
varia#ilel"r principal alese, c"l"anelematricei unitate.
1) 'plicand met"da auss*"rdan
unui sistem liniar de ecuatii, matricea
e$tinsa ' este echivalenta cu matricea
' =, 1 1 0 .
. 0 , 1 1
M . 'tunci sistemul
liniar:
a)este inc"mpati#il;#) este c"mpati#il nedeterminat;
) -atricea e$tinsa
c"respunzat"are unui sistem liniar in
!"rma e$plicita este ' =1 0 1 4
0 1 1 1
0 0 0 0 1
M .
'tunci sistemul liniar:
a)este inc"mpati#il;#) este c"mpati#il determinat;
) -atricea e$tinsa c"respunzat"are
unui sistem liniar in !"rma e$plicita
este ' =1 0 1 0 1
0 1 1 0
0 0 1 .
M . 'tunci sistemul
liniar:
a) sistemul este c"mpati#ilnedeterminat;
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
4/35
c) are s"lutia de #aza: $1=4, $=,
$=1, $4=0;
d) are " in!initate de s"lutii.
c) are s"lutia de #aza $1=1, $=,
$=1, $4=0;
d) are " in!initate de s"lutii.
b)varia#ilele principale alese sunt
$1, $, $4;
c) sistemul este inc"mpati#il;
d)s"lutia de #aza c"res. este $1=1,
$=, $=0, $4=.
4)
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
5/35
a) 9 0 si ? 90;
b) 0 si ? 0;
c) 90 si ? 0;
d) 0 si ? 90.
necun"scute este degenerata daca:
a)=0, ? &0;
b)&0, ? =0;
c)=0, ? =0;
d) &0, ? &0.
sistem liniar c"mpati#il
nedeterminat. 'tunci:
a) nA n@ ;
#) n n@ ;
c)int"tdeauna n= n@ ;
d) "#ligat"riu n9 n@ .4) Fie s"lutia de #aza X=(1,, 0, ? )/
c"respunzat"are varia#ilel"r
principale $1 si $4. 'tunci $ este
admisi#ila degenerata daca:
a) 90, ? =0;
b)=0, ? =0;
c) =0, ? 90;
d) 90, ? 90.
44) F"rma e$plicita a unui sistem
liniar are matricea de !"rma ' =1 0 0 1
0 0 1 .
0 1 0 1 1
M . 'tunci s"lutia de #aza
c"respunzat"are Xeste:
a) X=(1 1 0)/ ;
b)X=(1 1 0)/
;c) X=(1 0 1)/ ;
d) X=(1 1 0)/
45) F"rma e$plicita a unui sistem
liniar are matricea de !"rma ' =, 0 1 1 1
1 1 1 0 0
M . 'tunci s"lutia de #aza
c"respunzat"are Xeste:
a) admisi#ila;
b)degenerata;
c)neadmisi#ila;d) nedegenerata.
46) Fie ' =1 0 0
0 1 0 1
0 0 0 0
M maricea
c"respunzat"are !"rmei e$plicite a
unui sistem liniar. 'tunci sistemul
este inc"mpati#il daca:
a) =0;
b)=1;
c)=1;
d)=.
47) Fie ' =1 0
0 1 1 1
0 0 0
M matricea
c"respunzat"are !"rmei e$plicite a
unui sistem liniar. 'tunci sistemul
este:
a)c"mpati#il nedeterminat, daca =
0;
b) c"mpati#il determinat, daca =1;
c) inc"mpati#il, daca & 0;
d) inc"mpati#il, daca = 0.
48) Fie ' =1 0
0 1 1 1
0 0
M matricea
c"respunzat"are !"rmei e$plicite a
unui sistem liniar. 'tunci sistemul
este c"mpati#il nedeterminat daca:a) = 0, ? &0;
#) & 0, ? =0;
c) =", ? =0;
d) &0, ? &0.
4%) Fie X=(1,1,0,0)/s"lutia de #aza
a unui sistem liniar de ecuatiic"respunzat"are varia#ilel"r
50)
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
6/35
principale $1, $, $. 'tunci:
a)Xeste admisi#ila, daca 90;
b)Xeste degenerata, daca =0;
c)Xeste neadmisi#ila, daca = 1;
d)Xeste nedegenerata, daca = 1.
de !"rma:
' = . 'tunci s"lutia de #aza
c"respunzat"are Xeste:
a)admisi#ila, daca =1, ? =0;
b)degenerata, daca 0, ? =0;
c) neadmisi#ila, daca 9 0 si ? 0;
d) nedegenerata, daca 0 si ? A0.
b)cel mult Bm
n !"rme e$plicite;
c) e$act Bm
n !"rme e$plicite;
d) m>n !"rme e$plicite.
5)
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
7/35
(m,n). 'tunci matricea Aadmite
inversa daca:
a) det A& 0;
b)m=n si det A&0;
c) det A=0 si m=n;
d)det A= 1 si m=n.
liniar de ecuatii in unul echivalent,
se !"l"sesc:
a)trans!. elem. aplicate liniil"r
matricei atasate sistemului;
#) trans elem aplicate liniil"r si
c"l"anel"r matr. atasate sist
c) "peratii de adunare a c"l"anel"rmatricei atasate sist;
d) t"ate "peratiile care se p"t e!ectua
asupra unei matrice.
liniar se "#tine:
a) dand varia#ilel"r principale
val"area 0;
b)dand varia#ilel"r secundare
val"area 0;
c) dand varia#ilel"r principale val"ri
nenule;d) dand varia#ilel"r secundare val"ri
strict p"zitive.
II.ELEMENTE DE ALGEBRA LINIARA
1) $>...>H$H =0n .'tunci
$1,$,...,$H sunt liniar independenti
numai daca:
a)()i= 0, i=1, k
;
#) ()i= 0;
6) Fie vect"rii $1, $, ... , $H Rn a.i.
1$1>$>...>H$H =0n .'tunci
$1,$,...,$H sunt liniar dependenti
daca:
a) i= 0, () i=1,k
;
b) () i&0;
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
8/35
nr. Iecun"scutel"r. c) i& 0, ()i=1, k;d) H9n.
c)H9n;
d) i&0, ()i=1, k.7) Fie Xun spatiu liniar si vect"rii
$1,$,$ Xa.i. $1>$>$=0$.
'tunci vect"rii sunt:
a)liniar dependenti, daca =0;
#) liniar independenti, daca &0;
c)liniar dependenti, daca &0;
d) liniar independenti, daca =0.
8) Ject"rii $1, $, ... , $H Rn sunt
liniar independenti. 'tunci:
a) $1,$,...,$H1 sunt liniar
independenti;
b)$i&0n, ()i=1, n ;c)H A n;
d) $1>$>...>$H=0n
%) Fie $1, $,$ R vect"ri "arecare
a.i. $=$1$. 'tunci:
a) c""rd"natele lui $ sunt 1 si ;
b) $1,$,$ nu !"rmeaza " #aza in R
c)$1,$,$ sunt liniar dependenti;
d) de"arece $1$$=0 =9
$1,$,$ sunt liniar indep.
10) Fie Bsi B`d"ua #aze din spatiul
liniar Rsi Smatricea schim#arii de
#aza. 'tunci Seste:
a)patratica;
b)inversa#ila;c) dreptunghiulara;
d)nesingulara (det S&0).
11) Fie vect"rii $1, $, ... , $H
Rn.'t. ei !"rm " #aza daca:
a) sunt liniar independenti si H&n;
#) $i&0n si H=n;
c) sunt liniar independenti si H=n;d) H=n si i&0, ()i=1, k
1) Fie B= K$1, $,...,$HL " #aza in
spatiul liniar X. 'tunci:
a)dim X= H;
#) dim X9 H;
c) dim X H;d)$i &0$, () i=1, k.
1) Fie Smatricea de trecere de la "
#aza Bla #aza B`si u respecti# u
c""rd"natele vect"rului u in cele
d"ua #aze. 'tunci au l"c relatiile:
a) u= Susi u=S1u
#) u= S/usi u=S
1uc) u= S
/usi u=(S/)1 u
d) u=S1usi u= S
/u
14) Fie B= K$1,$,...,$HL " #aza in
Rn.'tunci:
a)$1,$,...,$H sunt liniar
independenti;
#) Hn;
c)H = n;
d) H9n.
15) 2n spatiul liniar Rne$ista:
a) cel mult n #aze;
#) e$act n #aze;
c) " singura #aza;
d)" in!initate de #aze.
16) Fie "perat"rul liniar M: RRsi 0,0vect"rii nuli ai cel"r spatii.
'tunci:
a) M(0) = 0;
#) M(0) = 0;c)M(0) = 0;
17) Daca M: RmRneste un"perat"r liniar, atunci:
a) "#ligat"riu m9n;
#) "#ligat"riu mn;c)m si n unt numere naturale
18) Fie M: RmRn un "perat"rliniar si kerM nucleul sau. Daca
$1,$ Her M, atunci:
a)$1>$ Her M;
b)$1 Her M, () B;c)$1> ? $ Her M, () , ? R;
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
9/35
d) M(0) = 0. "arecare, nenule;
d) "#ligat"riu m=n.
d) M($1) = $.
1%) Fie M: RnRmun "perat"rliniar si Her M nucleul sau. Daca $
Her M, atunci:
a)M($) = 0m;
b)M($) = 0m, () B;c) M($) = 0m, d"ar pt = 0;
d) M($) = 0n.
0) Daca M: RmRneste un"perat"r liniar si Amatricea sa !ata
de " pereche de #aze B,B`atunci:
a)AMm,n(R);
#) AMn,m(R);c) B,B sunt #aze in Rm;
d)Beste #aza in Rmsi B`este #aza
in Rn
1) Fie M: RnRnun "perat"r liniarsi $ un vect"r pr"priu pt. M. 'tunci:
a)(N) Ra.i. M($)=$;#) M($)=$, () R;c)$ & 0 ;
d)M($) = $, () R.
) Fie M: RnRnun "perat"r liniarsi $ un vect"r pr"priu c"respunzat"r
val"rii pr"prii . 'tunci:
a)M($) = $;#) daca M($) = 0n, atunci $=0n;
c)M($)= $;d)daca M($) = 0n, atunci = 0.
) -atricea atasata unei !"rme
liniaref: RnReste " matrice:a) patratica:
#) c"l"ana;c)linie;
d) inversa#ila.
4) Dacaf : RnReste " !"rmaliniara, atunci:
a) !($1>$) = $1 > $; () $1,$
Rn
b)!($1>$) = !($1) > !($); $1,$
Rn;
c) !($) = $, () Rsi () $ Rn;d)!($) = !($), () Rsi () $ Rn.
5) Fie M: RnRmun "perat"r
liniar. 'tunci M devine !"rma liniaradaca:
a) n = 1;
b)m = 1;
c) n = 1 si m = 1;
d) n=m.
6) Fie O: RnR " !"rma patratice
si Amatricea as"ciata acesteia.'tunci:
a)A= A/
#) AMn,1(R);
c)AMn(R);
d) Aeste inversa#ila.
7) Fie !"rma patratica.
.
1 . 1
:
( )
Q R R
Q x x x x x x
= + + ()$=($1,$,$)/R.'tunci matricea as"ciata lui O
este:
c)A=1 1 0
1 0
0 0 1
8) F"rma patratica O: RRare
matricea as"ciata A=
, 1
1 1
. 'tunci Oare e$presia:
%) F"rma patratica O: RRare!"rma can"nica as"ciata O(P)=
, , .
1 , .,y y y+ + . 'tunci:
0) F"rma patratica O: RRare
matricea as"ciata A=
1 ,
, .
. 'tunci!"rma can"nica as"ciata este:
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
10/35
c)O($) = , ,1 , 1 ,, ,x x x x +a)O este p"zitiv de!inita daca 90;
c)O este semip"zitiv de!inita daca
= 0;
d)O nu pastreaza semn c"nstant
daca 0 .
Iici una: O(P)= , ,1 ,y y sau
1 y y +
sau
1 y y sau
1 7y y +
1) F"rma patratica O: RR are!"rma can"nica as"ciata O(P) =
1 ay by+ . 'tunci O este negativ
de!inita daca:
c)a0, #0
) Fie O(P)= , , ,1 ,
1 , .
1 , .
1y y y
+ +
!"rma
can"nica as"ciata !"rmei patratice O:
RR.'tunci:
a)daca 1 0, 0, 0 > > > , O este
p"zitiv de!inita;
d)daca 1 0, 0, 0 < > < , O este
negativ de!inita.
) Fie Amatricea as"ciata !"rmei
patratice O: RnRsi 1 , ,..., n min"rii principali ai lui A. +entru a
aplica met"da lui *ac"#i de aducere
la !"rma can"nica, tre#uie "#ligat"riu
ca:
Iici una.
4) F"rmei patratice "arecare O: Rn
Ri se p"ate as"cia:
b)msi multe !"rme can"nice, dar cu
acelasi nr de c"e!icienti p"zitivi,
repectiv negativi.c)" matrice patratica si simetrica.
5) F"rma patratica1 1
:
( )
n
n n
ij i j
i j
Q
Q x a x x= =
=
spunem ca este p"zitiv de!inita daca:
b)O($)90, () $ Rn
, x 0.
6) F"rma patratica1 1
:
( )
n
n n
ij i j
i j
Q
Q x a x x= =
=
spunem ca este seminegativ de!inita
daca:
b)O($)A0, () $ Rn
, x 0.
7) F"rma patratica O: RRare!"rma can"nica as"ciata: O(P)=
1 y y y + . 'tunci:
c)()$1,$ Ra.i.O($1)0 siO($)90
8) F"rma patratica1 1
:
( )
n
n n
ij i j
i j
Q
Q x a x x= =
=
are !"rma can"nica as"ciata O(P)=
1 1 ... n ny y y + + + . 'tunci O este
degenerata daca:
%) Fie O(P)=
1 1 y y y + + !"rma
can"nica as"ciata !"rmei patratice O:
RR.'tunci O nu pastreaza semnc"nstant daca:
a)190, 0, 90;
d)190, 0, R.
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
11/35
c)() 1=0, pentru i=1, n . 4) -atricea "perat"rului M: RR!ata de #aza can"nica din R are
e$presia A= 1 1
, 0
. 'tunci "perat"rul
M are e$presia:
b)M($)= ( )1 1 T
x x x+ .
40) -et"da lui *ac"#i de a "#tine
!"rma can"nica, se p"ate aplica in
cazul !"rmel"r patratica:
a)p"zitiv de!inite;
c)negativ de!inite.
41) Fie "perat"rul liniar
1 1
:
( ) ( , )TL
L x x x x x
= +
,
()$=($1,$,$)/ R.'tuncimatricea "perat"rului in #azele
can"nice ale cel"r d"ua spatii are
!"rma:
b)A=
1 ,
0 1
1 0
.
45) Fie "perat"rul liniar M: RR
cu matricea A= 1 0
1 1
'tunci ecuatia
caracteristica c"recpunzat"are:
c) 1 0 + =
4) +entru a se determina val"rile
pr"prii ale "perat"rului M: RnRncu matricea c"respunzat"are A, se
rez"lva ecuatia:
c)det ( )' 0T
n
I =
44) Cperat"rul liniar M: RRare
matricea A= 1 ,
. 1
'tunci ecuatia
caracteristica pt "#tinerea val"ril"r
pr"prii are !"rma:
c)1
0 1
=
46) Fie "perat"rul liniar M: RR.'tunci:
c)"perat"rului nu i se p"ate atasa
ecuatia caracteristica.
48) Fie A= 1 1
1 1
matricea atasata
"perat"rului M: RR'tunci:b)val"rile pr"prii ale lui M sunt
1 0, = = ;
d)sistemul caracteristic atasat este
1
1
(1 ) 0
(1 ) 0
x x
x x
+ =
+ =
4%)Cperat. M: RRare val"rilepr"prii 1 1, = = . 'tunci:
c)daca $1,$ sunt vect"ri pr"prii
pentru 1 , respectiv =9 $1,$ sunt
liniar independenti.
d)e$ista " #aza !ata de care matricea
"perat"ului are !"rma A=1 0
0
47) Cperat"rul liniar M: RRare
matricea A= 0
1
'tunci, val"rile
pr"prii ale lui M sunt:
c) 1 , = =
51) Bare din urmat"arele a!irmatii
sunt adevarateQ
a)"rice spatiu liniar este grup
a#elian;
#) "rice grup a#elian este spatiu
liniar;
c) e$ista spatii liniare care nu suntgrupuri a#eliene;
50) Fie "perat"rul
1 1
:
( ) ( , )TL
L x x x x
= +
.'tunci :a)HerM=K(0,0)/L
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
12/35
d)e$ista grupuri a#eliene care nu
sunt spatii liniare.
5) Fie vect"rii $1,$,...,$m Rmsi
Amatricea c"mp"nentel"r acest"ra.
'tunci:
a)vect"rii sunt liniar independenti
daca rang A= m;
b)vect"rii sunt liniar dependenti
daca rang A m.
5) 2n spatiul Rn" multime de
vect"ri liniar independentip"ate
avea:
a)cel mult n vect"ri;
c)e$act n vect"ri.
54) Fie vect"rii $1,$,...,$m Rmsi
Amatricea c"mp"nentel"r acest"ra.
'tunci sunt liniar dependenti daca:
c)rang A m;
d)det A=0.
55) Fie vect"rii $1,$,...,$m Rmsi
Amatricea c"mp"nentel"r acest"ra.
'tunci sunt liniar independenti daca:
a)rang A= m;
d)det A& 0.
56) Fie vect"rii $1,$,...,$m Rn
liniar independenti. 'tunci vect"rii :
c) !"rmeaza " #aza in Rn, numai
daca m=n;
d)nu c"ntin vect"r nul.
57) -ultimea $1,$,...,$m este
!"rmata din vect"ri liniar dependenti.
'tunci:
b)cel putin un vect"r se p"ate
e$prima ca " c"m#inatie liniara de
ceilalti;
d)p"ate c"ntine vect"r nul.
58) Fie vect"rii $1,$,...,$n Rn,
n9, liniar independenti. 'tunci:
a)vect"rii $1,$,...,$n !"rmeaza "
#aza in Rn;
b)vect"rii $1,$,...,$H sunt liniar
independenti, ()H=1, n .
5%) Bare din urmat"arele a!irmatii
sunt adevarate:a)"rice su#multime a unei multimi
de vect"ri liniar independenti este t"t
liniar independenta;
#) " su#multime a unei multimi de
vect"ri linair dependenti este t"t
liniar dependenta;
c)c""rd"natele unui vect"r in #aza
can"nica din Rnc"incid cuc"mp"nentele acestuia.
60) B""rd"natele unui vect"r din Rn:
a)sunt unice relativ la " #aza !i$ata;
b)se schim#a la schim#area #azei;
c) sunt aceleasi in "rice #aza.
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
13/35
d) daca " multime de vect"ri nu
c"ntine vect"rul nul, atunci este
liniar independenta.
61)
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
14/35
d)$1,$,...,$n sunt liniar
independenti.
7) Iucleul unui "perat"r liniar M:
RmRneste:a) un su#spatiu liniar;
b)" multime de vect"ri din Rm
74)
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
15/35
independenti.
88) Iucleul unui "perat"r liniar M: RmRn: b)c"ntine t"tdeauna vect"rul nul al spatiului Rm; c)estesu#spatiu liniar; d)nu c"ntine vect"rul nul al spatiului Rm.
III.ELEMENTE DE PROGRAMARE LINIARA
1) C pr"#lema de pr"gramare liniara
are int"tdeauna:
a)!unctia "#iectiv liniara;c)restrictiile liniare.
) 2n !"rma vect"riala, " pr"#lema
de pr"gramare liniara are vect"rii
+1,+,...+n de!initi de:b)c"l"anele matricei A
c"respunzat"are sistemului de
restrictii.
) 2n !"rma standard " pr"#lema de
prgramare liniara are int"tdeauna:
c)restrictiile de tip ecuatie.
4) 2ntr" pr"#lema de pr"gramare
liniara c"nditiile de negativitate cer
ca:
d)necun"scutele pr"#lemei sa !ienegative.
5) +t a aplica alg"ritmul imple$ de
rez"lvare a unei pr"#l. de
pr"gramare liniara, aceasta tre#uie sa
!ie in !"rma:c)standard.
6) +t a aduce " pr"#lema de
pr"gramare liniara de ma$im la una
de minim se !"l"seste realtia:
c)ma$(!) = min(!)
7) C multime - Rnse numestec"nve$a daca:
c) 1 ( ) ,x x M si ( ) 0,13 avem
1 (1 )x x M + .
8) B"m#inatia liniara 1 1 x x x + + G
este c"nve$a daca:
b) 0,13, ( ) 1,i i = si 1 1 + + =
%) Daca - Rneste " multimec"nve$a spunem ca $ - este var!
(punct e$trem) al multimii - daca:
Iici una.
10) Fie 'multimea s"lutiil"r
admisi#ile al unei pr"#leme de
pr"gramare liniara. 'tunci:a)
1 1 ( ) , (1 ) , ( ) 0,13A Ax x S x x S +
11) Fie 'si 'multimea s"lutiil"r
admisi#ile, respectiv multimea
s"lutiil"r admisi#ile de #aza a uneipr"#leme de pr"gramare liniara.
'tunci, daca $ 'rezulta ca:
b) 1 1 ( ) , ,Ax x S x x avem
1 1 (1 ) , ( ) 0,13x x + .
1) Fie ', ', Cmultimile
s"lutiil"r admisi#ile., de #aza
admisi#ile, respectiv "ptime pentru "pr"#lema de pr"gramare liniara.
'tunci:
d)', Csunt multimi c"nve$e.
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
16/35
1) 2n rez"lvarea unei pr"#leme de
pr"gramare liniara cu alg"ritmul
imple$ se aplica:
a)intai criteriul de intrare in #aza,
ap"i criteriul de iesire din #aza;
d)criteriul de "ptim la !iecare etapa
a alg"ritmului.
14) Daca $1 si $ sunt s"lutii
"ptime distincte ($1,$ C) ale unei
pr"#leme de pr"gramare liniata,
atunci:
a) 1 (1 ) , ( ) 0,13Ox x S + ;
b)Care " in!initate de elemente;
c)!($1)=!($), cu !($) !unctia"#iectiv.
15) C pr"#lema de pr"gramare liniara
cu cerinte de minim are urmat"rul
ta#el imple$:
B +0 1 0 0
+1 + + +4 +5+1
+
1
1
1
0
0
1
1
1
1zR
c
1 0 0 4 4 1
a)2ntra in #aza +;
c)iese din #aza +1.
16) Fie urmat"rul ta#el simple$ al
unei pr"#leme de pr"gramare liniara:
d)=8
17) C pr"#lema de pr"gramare
liniara are urmet"rul ta#el imple$:
c)!=8, =1
18) C pr"#l. De pr"gramare liniara cu
cerinte de minim are urm.ta#el
imple$:
'tunci s"lutia "ptima a pr"#lemei
este: c)$0=(0,1,,0)/
1%) C pr"#l. De pr"gramare liniaracu cerinte de minim are urm.ta#el 0) C pr"#l. De pr"gramare liniaracu cerinte de minim are urm.ta#el 1) Bare din elementele urm.ta#elimple$ nu sunt c"recteQ
B +0 1 0 0+1 + + +4 +5
++1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
zR
c1 0 0 0
B +0 1 0+1 + + +4
++1
1
0
1
1
1
1
0
1
zR
c! 0
B +0 0 1 0
+1 + + +4++
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
zR
c 1 0 0 1
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
17/35
imple$:
'tunci:c)!=6 si s"lutia "ptima este $0
=(1,,0,0)/;
d)pr"#lema admite s"lutie "ptima
unica.
imple$:
b)vect"rul +va iesi din #aza;
d)pr"#lema are " in!initate de s"lutii
"ptime.
b)di!erentele z1c1 si z5c5;
c) val"area !unctiei "#iectiv.
) 2n urm.ta#el imple$ pt "
pr"#lema de transp"rt cu cerinte de
minim:
b)intra in #aza +sau +5;
c)iese din #aza +4daca intra +5;
) 2n ta#.imple$ de mai "s, cu
cerinte de minim pentru !unctia
"#iectiv
4) 2n ta#elul simple$ de mai "s
c"nstantele !, , ? , S au urmat"arele
val"ri:
c)!=7, =1, ? =0, S =1
B +0 1 0
+1 + + +4++1
1
0
1
1
0
1
1
zR
c
! 0 0 1 6
B +0 1 1 0 0
+1 + + +4 +5++
1
1
1
4
1
0
0
1
1
1
1
zR
c
7 5 0 0 0
B +0 1 0 0
+1 + + +4 +5++
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
zR
c
0 0 4
B +0 1 0 0
+1 + + +4 +5+1+4
0
1
1
0
1
1
0
1
1
zR
c6 0 1 0
B +0 0
+1 + + +4++1
0
1
1
0
1
1
1
0
zR
c 6 0 0
B +0 1 1 0 0
+1 + + +4 +5 +6
++1
1
0
4
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0S
1
1
1
zR
c! 0 ? 1 0 1
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
18/35
c)=1 si pr"#lema admite "ptim
in!init.
5) 2n !aza 2 a met"dei cel"r !aze,
val"area "ptima a !unctiei arti!icialeg($ )=1a . 'tunci:
b)pr"#lema initiala nu are s"lutie.
6) Functia arti!iciala din met"da
cel"r d"ua !aze:
a)depinde d"ar de varia#ilele
arti!iciale intr"duse;
c)are c"e!icientii varia#ilel"r
arti!iciale egali cu 1.
7) +r"#l arti!iciala se ataseaza unei
pr"#l de pr"gramare:b)in !"rma standard;
d)pentru determinarea unei s"lutii de
#aza admisi#ile a pr"#lemei initiale.
8) Din ta#elul imple$ de mai "s pt
" pr"#lema de pr"gramare liniara cu
cerinte de minim:
d)$0=(0,4,6,0,0)/s"lutie "ptima, dar
nu este unica.
%) Din ta#elul imple$ de mai "s pt
" pr"#lema de pr"gramare liniara cu
cerinte de minim:
a)$0=(1,0,4,,0)/este s"lutie
"ptima.
c)pr"#lema are " in!initate de s"lutii
"ptime.
0) 2n ta#elul imple$ de mai "s pt "
pr"#lema de pr"gramare liniara cu
cerinte de minim:
a)p"ate intra in #aza +4sau +5;
b)va iesi din #aza numai +;
d)s"lutia de #aza admisi#ila gasita
este $0=(0,1,,0,0)/.
) 2n rez"lvarea unei pr"#leme de
transp"rt met"da c"stului minim se
aplica pt determinarea:
4) Bantitatile Tij din criteriul de
"ptim al pr"#lemel"r de transp"rt se
calculeaza pentru:
5) 2ntr" pr"#lema de transp"rt
ciclul celulei care intra in #aza este:
B +01 0 0
+1 + + +4 +5++1
6
4
4
0
1
1
0
1
1
4
zR
c6 0 0 0 5
B +0 1 0 0
+1 + + +4 +5
++1
0
4
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
zR
c 14 0 0 0 0 1
B +0 0 1 0 0
+1 + + +4 +5++1
1
0
1
0
1
1
0
1
zR
c 4 0 0
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
19/35
c)unei s"lutii de #aza admisi#ile
initiale.
c)celulele ne#azice.
a)$11.
6) "lutia unei pr"#leme de
transp"rt este "ptima daca:
c)()Tij A 0.
%) C s"lutie de #aza admisi#ila a
unei pr"#leme de transp"rt este
degenerata daca:
b)() $i= 0, cu (i,) celula #azica.
41) C s"lutie de #aza admisi#ila a
unei pr"#leme de transp"rt cu
dep"zite si 5 centre de des!acere este
degenerata daca are:b)7 c"mp"nente egale cu 0;
c)cel mult 5 c"mp"nente nenule.
1) +r"#lema de transp"rt de !"rma:
c)echili#rata, daca =5.
) "lutia de #aza admisi#ila a unei
pr"#leme de transp"rt este data de
ta#elul:
7) C s"lutie de #aza admisi#ila a
unei
pr"#leme
de
transp"rt
este data
de
ta#elul.
a)cantitatea t"tala de mar!a care
B1 B B
D11
0
D 4 1 0
D1
0 0 15
B1 B B B4
D1 1 015
D1 4 1
05 15 ?
D5 1
00
15 0 15 0
B1 B B
D1 1
10 10
D1 4
1
5 5
D 5
15
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
20/35
'tunci: c) = 15, ? = 0.
tre#uie transp este 65 u.m.
d) 1T =4.
8) Fie pr"#lema de transp"rt data de
urmat"rul ta#el:
'plicand met"da c"sPului minim se
determina mai intai val"area lui :
c) 1x .
40) Fie pr"#lema de transp"rt:
'tunci pr"#lema:
d)este neechili#rata.
4. "lutia "ptima a unei pr"#leme
de transp este unica daca cantitatileTij c"respunzat"are acesteia sunt t"ate:
b)strict negative.
4) "lutia unei pr"#leme de
transp"rt este "ptima daca:
c)()Tij A 0.45) 2ntr" pr"#lema de transp"rt va
intra in #aza varia#ila ijx
c"respunzat"are cantitatii Tij data de
relatia:b)T ma$K 0Lij kl = >
B1 B B
D1 0
D4
0
D1 5
0
15 5 0
B1 B
D1 1
0
D1
0
10 10
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
21/35
44) Fie s"lutia de #aza admisi#ila a
unei pr"#leme de transp"rt data de
ta#elul:
'tunci 1T se calculeaza dupa relatia:
c) 1T =1>=1>4
46) "lutia
de #aza
initiala a
unei
pr"#leme de
transp"rt
este data deta#elul:
'tunci val"area
!unctiei "#iectiv !,
c"respunzat"are
acestei s"lutii este:
b)!=65
48) 2ntr" pr"#lema de transp"rt
varia#ila 11$ intra in #aza si are
urmat"rul ciclu:
'tunci: c) 10=
d) 1$ iese din #aza.
47) 2ntr" pr"#lema de transp"rt cu
m dep"zite si m centre de des!acere,
varia#ilele ne#azice ale unei s"lutii
de #aza admisi#ile sunt:
b)t"ate egale cu 0;
d)in numar de 1m m + .
4%) 2ntr" pr"#lema de transp"rt,
n"tiunea de ciclu se ataseaza:
b)celulel"r ne#azice.
50) B"e!icientii !unctiei "#iectiv a
unei pr"#leme de transp"rt "arecare
sunt:
c)numere negative.
51) +t " pr"lema de pr"gramare liniara, care din
urmat"arele a!irmatii sunt adevarate:
a)" s"lutie de #aza admisi#ila este punct e$trem al
multimii s"lutiil"r admisi#ile;
b)un punct e$trem al multimii s"lutiil"r admisi#ile este
" s"lutie de #aza admisi#ila.
5) 2ntr" pr"#lema de pr"gramare liniara se !"l"sesc
varia#ilele de c"mpensare cand:
a)restrictiile sunt de !"rma GAG;
b)restrictiile sunt de !"rma G.
5) C s"lutie de #aza admisi#ila are
c"mp"nente:
54) C pr"#lema de pr"gramare
liniara cu cerinte de minim are mai
55) C pr"#lema de pr"gramare
liniara cu cerinta de minim pentru
B1 B B
D1 1
15 5
D 1 4 10 0
B1 B
D11
0
D1
10 5
D
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
22/35
a) negative. multe s"lutii "ptime daca:
a) 0j jz c si e$ista vect"ri jPcare
nu !ac parte din #aza cu 0j jz c =
,care au si c""rd"natele strict
p"zitive.
!unctia "#iectiv, admite "ptim in!init
daca:
a) e$ista vect"ri jPcu t"ate
c""rd"natele negative, care nu !ac
parte din #aza si pentru care 0j jz c > .
56)2n !"rma standard, " pr"#lema de
pr"gramare liniara are:a)numarul restrictiil"r cel mult egal
cu al necun"scutel"r
57) Daca matricea unei pr"#leme de
pr"gramare liniara in !"rma standardare rangul egal cu nr. restrictiil"r,
atunci:
b)restrictiile sunt independente.
58) +entru a aduce " pr"#lema de
pr"gramare liniara la !"rma standard,se !"l"sesc variaile:
b)de c"mpensare.
5%) "lutiile admisi#ile ale unei
pr"#leme de pr"gramare liniara
!"rmeaza t"tdeauna " multime.
c)c"nve$a.
60) "lutiile de #aza admisi#ila ale
unei pr"#leme de pr"gramare liniara
!"rmeaza " multime:
a)!inita.
61) C s"lutie de #aza admisi#ila are
numai c"mp"nente:
a)nenegative.
6) +entru aplicarea alg"ritmului
imple$, s"lutia de #aza initiala a
unei pr"#leme de pr"gramare liniara
tre#uie sa !ie:
a)admisi#ila.
6) C s"lutie de #aza admisi#ila a
unei pr"#leme de transp"rt cu m
dep"zite si n centre (mn) are:
a)cel mult m>n1 c"mp"nente
nenule.
64) +entru " pr"#lema de transp"rt
care din urmat"arele a!irmatii sunt
adevarateQ
a)admite t"tdeauna " s"lutie de #aza
admisi#ila;
c)are t"tdeauna "ptim !init.
65) 2ntr" pr"#lema de transp"rt
met"da pertur#arii se aplica atuncicand:
a)s"lutia initiala este degenerata;
b)pe parcursul rez"lvarii se "#tine "
s"lutie degenerata.
66) C pr"#lema de transp"rt pt care
e$ista 0ij = pt " varia#ila ne#azica as"lutiei "ptime are:
b)mai multe s"lutii "ptime.
67) -et"da gra!ica de rez"lvare a
pr"#lemel"r de pr"gramare liniara seaplica pt pr"#leme:
c)cu d"ua necun"scute.
68) +entru " pr"#lema de pr"gramare
liniara, multimea ' a s"lutiil"r
admisi#ile si multimea 'a
s"lutiil"r admisi#ile de #aza satis!ac
relatiile:
6%) C pr"#lema de pr"gramare
liniara p"ate avea:
a)"ptim (!init sau nu) sau nici "
s"lutie admisi#ila.
70) +entru a aplica alg"ritmul de
rez"lvare a unei pr"#leme de
transp"rt tre#uie ca:
b)pr"#lema sa !ie echili#rata si sa
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
23/35
c) A ABS S
d) A AB AS S S =avem " s"lutie de #aza initiala
nedegenerata.
71) +t a rez"lva " pr"#lema de
transp"rt neechili#rata:
a)se intr"duce un n"u dep"zit, daca
cererea este mai mare decat "!erta;
b)se intr"duce un n"u centru, dacacererea este mai mica decat "!erta.
7) +entru " pr"#lema de pr"gramare
liniara care din urmat"arele a!irmatii
sunt adevarate:
d)multimea s"lutiil"r admisi#ile este
c"nve$a.
7) 2ntr" pr"#lema de pr"gramare
liniara nu se !"l"sesc varia#ile de
c"mpensare cand:
c)restrictiile sunt de !"rma =G
d)sistemul initial de restrictii este in!"rma standard.
74) C pr"#lema de pr"gramare
liniara de minim are mai multe s"l.
"ptime daca avem satis!acut criteriul
de "ptim si:
b)e$ista vect"ri + care nu !ac parte
din #aza, cu 0j jz c = , care au
c""rd"nate p"zitive.
75) C pr"#lema de pr"gramare
liniara de minim admite "ptim in!init
daca:
a)criteriul de "ptim nu este satis!acut
si vect"rii din a!ara #azei au t"ate
c""rd"natele negative.
76) C pr"#lema de pr"gramare
liniara de minim admite s"lutie
"ptima unica daca:
a)criteriul de "ptim este satis!acut si
t"ti vect"rii din a!ara #azei au
di!erentele 0j jz c < ;
c)criteriul de "ptim este satis!acut si
vect"rii din a!ara #azei cu di!erentele0j jz c = au c""rd"natele negative.
77) 2n !"rma standard, " pr"#l. de
pr"gramare liniara are:
a)numarul restrictiil"r cel mult egal
cu al necun"scutel"r;
b)restrictiile de tip ecuatie.
78) Daca matricea unei pr"#lema de
pr"gramare liniara in !"rma standard
are rangul egal cu nr. restrictiil"r
atunci:
b)restrictiile sunt idependente.
7%) +entru a aduce " pr"#lema de
pr"gramare liniara la !"rma standard
se !"l"sesc:
b)varia#ile de c"mpensare.
80) "lutiile "ptime ale unei
pr"#leme de pr"gramare liniara
!"rmeaza t"tdeauna " multime:
c)c"nve$a.
81) C s"lutie de #aza admisi#ila
nedegenerata are int"tdeauna
c"mp"nentele principale:
b)stricti p"zitive.
8) C pr"#l. De transp"rt cu centre
si 4 dep"zite, are s"lutia de #aza
initiala nedegenerata, daca aceasta
are:
b)6 c"mp"nente p"zitive.
8) C pr"#lema de pr"gramare
liniara p"ate !i rez"lvata cu
alg"ritmul imple$ numai daca:
a)este in !"rma standard.
84) +entru a rez"lva " pr"#lema de
transp"rt tre#uie ca:
b)pr"#lema sa !ie echili#rata.
85) -et"da cel"r !aze se aplica:
b)+entru determinarea unei s"lutii de
#aza admisi#ile a pr"#lemei initiale;
d)cu " !unctie "#iectiv di!erita de
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
24/35
!unctia initiala.
86) C pr"#lema de transp"rt: a)are int"tdeauna s"lutie "ptima !inita; c)p"ate avea mai multe s"lutii "ptime.
87) +entru a determina s"lutia
initiala a unei pr"#leme de transp"rt:
a)se aplica met"da diag"nalei;
d)pr"#lema tre#uie sa !ie echili#rata.
88) +entru aplicarea alg"ritmului
imple$ este necesar ca:
b)sistemul in !"rma standard sa ai#a
cel putin " s"lutie de #aza admisi#ila.
8%) "lutia unei pr"#leme de
transp"rt este "ptima daca:
b)t"ate cantitatile 0ij
%0) Briteriul de "ptim al uneipr"#leme de pr"gramare de minim
este satis!acut daca:
a)t"ate di!erentele 0j jz c ;
d)t"ti vect"rii + din a!ara #azei au
di!erentele 0j jz c .
%1) C pr"#lema de transp"rt are"ptim in!init:
b)nici"data.
%) C pr"#lema de transp"rt areint"tdeauna:
a)"ptim !init;
b)cel putin " s"lutie de #aza
admisi#ila.
%) Functia "#iectiv a pr"#lemei
arti!iciale are:a)t"tdeuna "ptim !init;
d)c"e!icienti negativi.
%4) Daca !unctia arti!iciala are "ptim
strict p"zitiv, atunci;a)pr"#lema initiala nu are s"lutii;
b)in #aza au ramas varia#ilele
arti!iciale.
%5) 2ntr" pr"#lema de transp"rt
c"e!icientii !unctiei "#iectivreprezinta:
c)cheltuieli de transp"rt.
%6) 2ntr" pr"#lema de transp"rt v"m
avea c"sturi de transp"rt egale cu 0
daca:
b)pr"#lema initiala este
neechili#rata.
%7) 2ntr" pr"#lema de transp"rt va
intra in #aza varia#ila
c"respunzat"are lui:
a) 0ij > , ma$im.
%8) Biclul unei celule ne#azice este
!"rmat:
a)din cel putin 4 celule;
c)dintrun numar par de celule.
%%) +r"#lemele de transp"rt: a)sunt cazuri particulare de pr"#leme de pr"gramare liniara; c)au numai "ptim
!init.
100) 2ntr" pr"#lema de transp"rt criteriul de iesire se aplica: b)celulel"r cu numar par din ciclul celulei care intra
in #aza.
IV. SERII NMERI!E. SERII DE PITERI
1) Fie seria1
n
n
a
=
c"nvergenta. 'tunci,as"ciind termenii in grupe !inite:
) Bare din urmat"arele "peratii
p"ate m"di!ica natura unei seriidivergente:
) uma unei serii c"nvergente se
m"di!ica at. cand:
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
25/35
b)seria ramane c"nvergenta;
d)suma seriei nu se m"di!ica. a)as"cierea termenil"r seriei in
grupe !inite.
b)adaugam un nr.!init de termeni;
c)suprimam un nr. !init de termeni ai
seriei;
d)inmultim termenii seriei cu un
scalar ennul.
4) Fie seria numerica1
,n nn
a a
=
.Baredin a!irmatiile de mai "s sunt
adevarate:
a)daca1
n
n
a
= c"nverge, atunci lim 0nn a =
;
d)daca lim 0nn a , atunci seria1
n
n
a
=
diverge.
5) Fie ( )n nS sirul sumel"r partiale
atasat seriei1
n
n
a
= Dacalim nn
S = ,
atunci:
a)seria c"nverge;
d)seria are suma =
6) Fie ( )n nS sirul sumel"r pariale
atasat seriei1
n
n
a
= silim nn
S S = . 'tunci
seria:
a)c"nverge, daca S ;
d)c"nverge, daca =1.
7) Fie seria ge"metrica0
n
n
a
= cu a&0.
'tunci seria:
a)c"nverge, pentru U (1,1);
8) eria arm"nica generalizata1
1a
n n
=
este " serie:
b)divergenta, daca 0;
c)c"nvergenta, daca 91;
d)divergenta, daca =1.
%) Fie ( )n nS sirul sume"l"r partiale
atasat unei serii de termeni p"zitivi
1
n
n
a
= , ( 0na ). 'tunci sirul ( )n nS esteint"tdeauna:
b)m"n"t"n crescat"r.
10) Fie seriile cu termeni p"zitivi 1 nna
= si 1nn
b
= ast!el incatV, ( )n na b n .'tunci:a)
1
n
n
a
= c"nverge daca
1
n
n
b
= ; d)
1
n
n
b
= diverge daca
1
n
n
a
= diverge.
11) Fie seria cu termeni p"zitivi 1 nna
= ,0
n
a si seria
arm"nica1
1
n n
= . 'tunci:
b)1
n
n
a
= diverge daca 1na
n .
1) Fie seriile cu termeni p"zitivi
1n
n
a
= si 1n
n
b
= . Dacalim 1n
nn
a
b=
, atunci:
1) Briteriile de c"mparatie se aplica
seriil"r:
b)cu termeni p"zitivi.
15) Fie seria1
n
n
a
= , 0na . Daca
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
26/35
a)daca1 1
( ) ( )n nn n
a ! b !
= =
;
b)daca1 1
( ) ( )n nn n
b " a "
= =
.
1 1lim
n
nn
a
a
+
= , atunci:
a)1
lim
nn
na
=
b)1
n
n
a
= c"nverge.
14) Fie seriile de termeni p"zitivi
1
n
n
a
= si
1
n
n
b
= , care satis!ac relatia
lim nn
n
ak
b= .'tunci:
a)daca H (0,1) seriile au aceeasi
natura.b)H= si
1 1
( ) ( )n nn n
a ! b !
= =
.
c)H=1 si1 1
( ) ( )n nn n
b " a "
= =
.
17) +entru seria1
n
n
a
= , 0na avem
1lim nn
n
a
a+
= . 'tunci :
c)daca1
nn
a
=
, diverge.
d)daca1
10,
n
n
a
=
c"nverge.
16) Fie seria cu termeni p"zitivi1
n
n
a
=
, si n"tam cu1
1 lim n
nn
a
a +
= si limn n
na
= .
'tunci:
c) 1 = ; d)daca 1 = = .
18) +entru seria cu termeni p"zitivi
1
n
n
a
= avem lim n nn a = . 'tunci:
c)1
n
n
a
= diverge; d) 1lim nn
n
a
a
+
=
1%) Fie1
n
n
a
= , 0na ast!el incat
1
lim 1 nn
n
a
a +
=
. 'tunci :
a)1
n
n
a
= c"nverge.
0) Fie1
n
n
a
= , 0na ast!el incat
1
lim 1nn
n
a
a
+
=
. 'tunci:
d)daca1
(1, ) ( )nn
a !
=
1) eria cu termeni p"zitivi1
n
n
a
= are
sirul sumel"r partiale ( )n nS marginit.'tunci:
a)1
n
n
a
= c"nverge;
b)sirul ( )n nS c"nverge.
) 2n aplicarea criteriului lui Waa#e
Duhamel seriei 1 nn a
= 0na se cere
calculul limitei:
c)1
lim 1nn
n
a
a +
.
) Fie seria alternata1
( 1)n nn
a
=
cu0na . Briteriul lui Mei#niz a!irma ca
seria:
a)c"nverge, daca na 9 0 m"n"t"n
descrescat"r.
4) Fie seria1
1
( 1) ,n nn
a
+
=
0na ast!el
incat lim nn a =0. 'tunci seria c"nverge
daca:
5) eria1
n
n
u
= este " serie alternata
daca :
b) 1 0, ( )nu u n+ g ;
6) Fie seria de termeni "arecare
1
n
n
a
= , na . Bare din urmat"arelea!irmatii sunt adevarateQ
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
27/35
b) ( )n na este m"n"t"n descrescat"r. d)1( 1) , 0nn n nu a a
+= .b)daca
1 1
( ) ( )n nn n
a ! a !
= =
;
c)daca1 1
( ) ( )n nn n
a " a !
= =
.7) Fie seria
1
n
n
a
= , na ast!el incat 1
1lim
n
nn
a
a
+
= . 'tunci:
a)seria1
n
n
a
= c"nverge; b)seria
1
n
n
a
= c"nverge; c) 1lim
n
nn
a
=
8) C serie cu termeni "arecare1
n
n
a
=
,na se numeste semic"nvergenta
daca:
b)1
( )nn
a !
= si
1
( )nn
a "
=
%) Fie seria cu termeni p"zitivi1
n
n
a
=
, 0na . 'tunci:
a)daca1
( )nn
a !
= rezulta
1
( )nn
a !
= ;
b)daca1
( )nn
a "
= rezulta
1
( )nn
a "
= ;
c)1
n
n
a
= =
1
n
n
a
= .
0) eria cu termeni p"zitivi1
n
n
a
=
are
limita1
lim 1nn
n
an
a
+
=
. 'tunci daca:
c)=0 rezulta1
n
n
a
= diverge;
d)= rezulta1
n
n
a
= c"nverge.1) eria de puteri
1
n
n
n
a x
= , na are
1lim 1
n
nn
a
a
+
= . 'tunci:
b) lim 1n nn
a
= ; c)seria c"nverge
pentru $ (1,1)
) eria de puteri1
,nn nn
a x a
= are
limita lim 0n nn
a
= . 'tunci:
b)seria c"nverge, pentru ( )x ;
d)1
lim 0n
nn
a
a
+
= .
) eria de puteri 01
( )nnn
a x x
= cu
na are1
lim n
nn
a
a
+
= + . 'tunci seria:
c)are raza de c"nvergenta r=0;
d)c"nverge numai inXpentru $=$0.4) eria de puteri ( )
1
1 n
n
n
a x
=
+ are razade c"nvergenta r=1. 'tunci seria:
c)c"nverge, pentru $ (,0);
d)diverge, daca $(,)5) eria de puteri 0
1
( )nnn
a x x
=
arelim 0n nn
a
= 'tunci seria:
d)c"nverge, () $R.
6) eria de puteri 01
( )nnn
a x x
=
areraza de c"nvergenta r 90. 'tunci
te"rema lui '#el a!irma ca seria
c"nverge pe intervalul:
b)($0r,$0>r)
7) Fie seria de puteri1
n
n
n
a x
= cu
1 1lim
n
nn
a
a
+
= . 'tunci
b)raza de c"nvergenta este r=;
d)seria diverge ()$(,)(,>)
8) Fie seria de puteri ( )1
1n
n
n
x
n
=
. %) Fie r raza de c"nvergenta a seriei 40) eria de puteri ( )1
1n
n
n
x
n
=
are raza
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
28/35
'tunci c"e!icientii seriei sunt dati de
relatia:
c) ( )1
1 n
nan
=
de puteri1
n
n
n
a x
= . 'tunci seria:
a)c"nverge () $R, daca r = >;c)c"nverge int"tdeauna in $ = 0.
de c"nvergenta r=1. 'tunci d"meniul
ma$im de c"nvergenta a seriei este:
b)$ (1,13
41) Fie seria de puteri1
n
n
n
a x
= , a carei
raza de c"nvergenta este r 9 0 !inita.'tunci:
a)seria c"nverge, () $ (r,r)
c)1
limn nn
ar
= ;
d)1
lim n
nn
a
a
+
= limn n
na
.
4) eria /aPl"r atasata unei !unctii
!($) in punctul $0:
b)este " serie de puteri;d)are c"e!icientii de !"rma
( )
0( )
N
n
n
f xa
n= .
44) Fie :f I " !unctie
"arecare. Bare din c"nditiile de mai
"s sunt necesare pt ai atasa acesteia" serie /aPl"r in punctul $0:
a)"#ligat"riu $0 2;b)!($) admite derivate de "rice "rdin
in $0.
4) eria -acMaurin atasata unei
!unctii !($):
c)este " serie de puteri centrata in 0;
d)este un caz particular de serie
/aPl"r.
45) B"e!icientii numerici ai unei serii
-acMaurin atasate unei !unctii !($)
au !"rma:
b)( )
(0)
N
n
n
fa
n=
46) eria de puteri1
n
n
n
a x
= satis!ace pr"prietatea lim 1nn a = . 'tunci seria: c)c"nverge, () $ (1,1)
47) eria de puteri ( )1
1 n n
n
x
=
:
c)are raza de c"nvergenta r =1;d)c"nverge, () $(1,1)
48) +entru a studia c"nvergenta unei
serii alternate se aplica:
c)criteriul lui Mei#niz.
4%) eria de puteri1
n
n
n
a x
= este
c"nvergenta pe Rnumai daca:b)raza de c"nvergenta r = > ;c) limn n
na
= 0.
50) eria de puteri 01
( )n
n
n
a x x
=
c"nverge numai in $0, daca si numai
daca:
a)raza de c"nvergenta r=0;
c) lim n nn
a
= >.
51) Fie seria numerica1
n
n
a
= pentru
care lim nn a = 0. 'tunci seria:
d)nu se p"ate preciza natura seriei.
5)Daca pentru sirul numerel"r
partiale lim 1nn S = atunci seria1
n
n
a
= :
a)este c"nvergenta si are suma =1.
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
29/35
5) Daca pentru seria1
n
n
a
= , 0na sirul
sumel"r partiale este marginit, atunci
seria:
a)este c"nvergenta.
54) Fie seria1
n
n
a
= , 0na si 1lim n
nn
a
a+
= .
'tunci seria
b) c"nverge daca 1;
c)c"nverge, daca =0
55) Fie seria1
n
n
a
= , 0na si
1lim 1n
n
n
a
a
+ =
. 'tunci seria:
a)este divergenta, daca =0;
d)este c"nvergenta, daca = > .
56) Fie seria ( )1
1 n
n
na
= , 0na si lim nn a
=0. 'tunci seria:
c)este c"nvergenta, daca 1n na a +
pentru price n V .
57) Fie seria1
n
n
a
= , silim nn
a =1. 'tunci
seria:
d)nu se p"ate preciza natura seriei;
se aplica criteriul lui Waa#e
Duhamel.
58) eria1
n
n
a
= este divergenta daca:
b) lim nn a =1
c) lim nn a = > .
5%) Fie seria1
n
n
a
= , 0na si limn n
n
a
= .
'tunci seria:b)este divergenta, pentru 91.
c)este c"nvergenta, pentru1
= .
d)este divergenta, daca = > .
60) Fie seria1
n
n
a
= , cu
1
lim 1n
n
n
a
a +
=0.
'tunci seria:b)este divergenta, pentru 0na .
61) Fie seria1
n
n
n
a x
= si 1lim 0n
nn
a
a
+
= .
'tunci seria:
a)este c"nvergenta, () $R.
6) +entru seria1
n
n
n
a x
= avem limn n
n
a
=
=. 'tunci raza de c"nvergenta reste:
a)r=1
; c)r=0, daca = > ; d)
r=1, daca =1.
6) eria1
n
n
n
a x
= are raza de
c"nvergenta r=0. 'tunci seria:
a)este c"nvergenta, numai in $=0.
64) Daca seria 01
( )n
n
n
a x x
=
are raza de
c"nvergenta r=", atunci seria:
b)este divergenta, () $ RYK$0L;c)este c"nvergenta, numai in $=$0.
65) eria 01
( )n
n
n
a x x
=
are 1lim 0nn
n
a
a
+
= .
'tunci seria:
a)este c"nvergenta, () $R
66) Fie seria numerica1
n
n
a
= . 'tunci
seria:
c)diverge, dacalim
nn
a & 0.
67) C serie cu termeni p"zitivi:
b)este divergenta, daca termenul
general nu tinde la 0;c)are t"tdeauna sirul numerel"r
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
30/35
partiale crescat"r.
68)Fie seria1
n
n
a
= , 0na si 1lim nn
n
a
a+
= .
'tunci seria
a)diverge, daca > ;
b)c"nverge, daca 1< .
6%) Fie seria1
n
n
a
= , 0na si
1
lim 1n
n
n
a
a
+
=
. 'tunci seria este
divergenta, daca:b)
1
= ;
d)= .
70) C serie cu termeni p"zitivi1
n
n
a
= ,
0na :
a)c"nverge, daca1lim 0n
nn
a
a
+
= ;
b)diverge, daca lim nn a =1;
c)diverge, daca lim nn a = > .71) eria
1
n
n
a
= , 0na este:
a)c"nvergenta, daca lim 0n nn
a
= ;
b)divergenta, daca limn nn
a
= ;
c)c"nvergenta, daca limn nn
a
= 1.
7) Fie seria1
n
n
a
= cu
1
lim 1n
n
n
an
a +
=
0.
'tunci seria
b)este divergenta, daca 0na .
7) C serie de puteri1
n
n
n
a x
= are raza
de c"nvergenta r=. 'tunci seria:
a)c"nverge pt $ (,)
d)diverge, daca $ 9.
74) C serie de termeni p"zitivi1
n
n
a
= ,
0na :
b)diverge, daca1lim n
nn
a
a
+
= ;
d)diverge, daca limn nn
a
= .
75) eria de puteri1
n
n
n
a x
= are
limnn
na
= + . 'tunci seria:
b)c"nverge, numai pentru $=0;
d)diverge, pentru $ & 0.
76) Fie " seria "arecare cu termeni
p"zitivi1
n
n
a
= , 0na si 1lim nn
n
a
a
+
=1.
'tunci:
a) limn nn
a
= 1; c)Waa#eDuhamel pt a
det. natura seriei
77) eria arm"nica generalizata1
1
n n
= cu R:b)diverge, daca 1;
d)c"nverge, daca = .
78) Fie seria cu termeni alternanti
1
( 1)n
n
na
=
, 0na . Daca lim nn a =1, atunci:
b)seria diverge c"n!"rm criteriului
general de divergenta.
7%) eria de puteri1
( 1)n
n
na x
= + , areraza de c"nvergenta r=1. 'tunci
seria:
b)diverge, pentru ( , ) (0, )x + ;
d)c"nverge, pentru $ (,0).
80) eria de puteri1
( 1)n
n
na x
=
+ are raza
de c"nvergenta r=1. 'tunci seria:b)diverge, pentru ( ,0) (, )x + ;
81) eria de puteri1
( 1)n
n
na x
=
+ , are
raza de c"nvergenta r=. 'tunciseria:
8) eria de puteri1
n
n
n
a x
= are raza de
c"nvergenta r =0. 'tunci seria:b)c"nverge, numai pentru $=0;
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
31/35
c)c"nverge, pentru $ (0,). c)c"nverge, pentru $ R. d)diverge, () $ R.V. "N!TII REALE DE NVARIABILE
1) Fie punctele +1(1,1), +(,) R.'tunci distanta dintre ele este egala
cu:
c)d(+1,+) = .
) Fie punctele +1($1,$) si
+(P1,P) R.'tunci distantab)d(+1,+)= 1 1 ( ) ( )x x y y + .
) Fie +($1,$) R; 'tunci distantade la C(0,0) la + este:
b)d(C,+)= 1 x x+ .
4) Fie sirul ( )n nx cu termenul
general de !"rma1
,1
n
nx
n n
= + . 'tunci
b)limita sirului este $0=(0,1)
5) Fie sirul ( )n nx cu termenul
general( )1
,1
n
n
nx
n n
= +
.'t.: b)sirul
divergeXlimita $0=(0, )
6) Fie sirul de puncte ( ) nn nx .'tunci sirul:
b)c"nverge, daca t"ate sirurile
c""rd"natel"r c"nverg;
d)diverge, numai daca t"ate sirurile
de c""rd"nte diverg.
7) Fie !($,P) " !unctie de varia#ile si n"tam cu lg limita gl"#ala, respectiv l1,l limitele partiale ale acesteia intrun
puct ($0,P0). Bare din urmat"arele a!irmatii sunt adevarate:a)daca () lg atunci () l1,l si l1=l=lg; c)daca ()l1,l si l1&l atunci nu e$ista lg.8) Fie :f " si ($0,P0) D.'tunci derivata partiala a lui !($,P) in
rap"rt cu varia#ila $ in punctul
($0,P0) se calculeaza cu relatia:
b)0
0 0 00 0
0
( , ) ( , )( , ) lim
x x
f x y f x yfx y
x x x
=
.
%) Fie !unctia !($,P)=x
y. 'tunci:
a)f x
x y
=
; d)
f x
x y
=
.
10) Derivatele partiale ale !unctiei
!($,P)=ln($P) sunt:
b)1f
x x
=
;
d)1f
x y
=
.
11) Fie !unctia !($,P)=$P, care dinurmat"arele egalitati sunt c"recteQ
b)f y
x
=
; d)
0
f
x
=
.
1) Di!erentiala de "rdin 2 a !unctiei!($,P)=$P calculata in punctul
+0(1,) are e$presia:
c)d!(+0)=4d$>4dP
1) Di!erentiala de "rdin 2 a !unctiei!($,P)=$P>$P in punctul +0(1,1)
are e$presia:
b)d!(+0)= 7d$>4dP.
14)Di!erentiala de "rdin 2 a !unctiei
!($,P) = $ePare e$presia
c)d!($,P) = eP
d$ > $eP
dP;
15) Fie ($,P) "" !unctie care satis!ace
criteriul lui chZartz si care are,
,fxyx y = . 'tunci:
16) Fie [($,P)=6
6
x
y
hessiana
atasata !unctiei !($,P). Daca +1(,1)si +(,1) sunt puncte critice ale lui
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
32/35
b)
f xyy x
=
!,atunci
c)+1 nu este punct de e$trem, iar +
este punct de ma$im;
17) +unctele critice ale !unctiei !($,P)
B(R) se "#tin:
c)rez"lvand sistemul
0
0
f
x
f
y
= =
.
18) Functia !($,P) are derivatele
partiale "rdinul 2 de !"rma:
b) f f
x y y x
=
; d)[($,P)=
,
,
ln
xy y
y
x xy x
y y
+
+
c)
f xx
y y
=
1%) Functia:
( , ) 1
f
f x y xy
= +
are:
c)un singur punct critic;
d)hessiana de !"rma [($,P)= 0 11 0
.
0) Functia,:
( , ) 1
f
f x y x y
= + +
are:
b)nici un punct critic.
1) Fie [(+0)=
1
hessiana atasata
!unctiei !($,P) in punctul critic +0.
'tunci +0:a)este punct de minim l"cal, daca
==1;c)nu este punct de e$trem l"cal, daca
=1 si =.
) Fie +0 un punct critic al !unctiei
!($,P) si hessiana c"respunzat"are
acestuia de !"rma: [(+0)= .
1
.'tunci +0 va !i punct de minim pt
!unctia ! daca:
c)=
; d)=
1
.
) [essiana !unctiei !($,P) in
punctul critic +0, este de !"rma
[(+0)= 1
. 'tunci +0 este punct
de ma$im l"cal pentru ! daca:
Nici #$a
4) [essiana !unctiei !($,P) in
punctul critic +0 are !"rma:
[(+0)= ,
+
. +0 de minim l"cal
pt ! daca:
b)9 si 90;
5) Daca !unctia !($,P) are derivatele
partiale de "rdin 2 de !"rma
( 1)
( 1)
fx x yx
fy x y
y
= + = +
, atunci ! are:
d)patru puncte critice.
6) Fie [(+0)=
1
hessiana
!unctiei !($,P) in punctul critic +0.
'tunci pentru :
7) [essiana atasata !unctiei !($,P)
are !"rma [($,P)=.
6
6 6
y xy
xy x y
; 'tunci
di!erentiala de "rdin 22 a !untiei are
8) Di!erentiala de "rdin 2 a !unctiei
!($,P) are !"rma d!($,P)=($>P)d$>
($>)dP. 'tunci !unctia !($,P);
c)are punctul critic unic +(,)
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
33/35
b)=4nu se p"ate preciza naturalui +0;
c)=1
+0 nu este punct de e$trem
l"cal;
d)=+0 este puct de minim
l"cal.
!"rma:
c) ( , ) 1 6# f x y y #x xy #x#y x y #y= + +%) Fie [($,P)=
0
y x
x
hessiana
atasata !unctiei !($,P). 'tunci
di!erentiala de "rdin 22 a !unctiei ! are
!"rma:
d) ( , ) 4# f x y y#x x#x#y= +
0) Fie [($,P)=
0
y x
x
hessiana
atasata !unctiei !($,P). Daca +1(1,1),
+(1,1) sunt punctele critice ale lui
!, atunci
c)+1,+ nu sunt puncte de e$trem
l"cal.
1) Fie [(+0)=1 0 0
0 0
0 0 1
+
hessiana
c"respunzat"are !unctiei !($,P,z) in
punctul critic +0. 'tunci:
a)+0 este punct de minim l"cal, daca
91;
c)+0 nu este punct de e$trem l"cal,
daca =1
;
d)+0 este punct de minim l"cal, daca
=.
) Fie +0 punct critic al !unctiei
!($,P) si
0( ) # f P #x #y= + . 'tunci:
c)+0 nu este punct de e$trem l"cal.
4) ) Fie +0 un punct critic al !unctiei
!($,P,z) si
0( ) 4# f P #x #y # z = + + .
'tunci:
a)+0 este punct de minim l"cal.) Fie +0 un punct critic al !unctiei
!($,P) si
0( ) 4# f P #x #x#y #y= + .
'tunci:
a)+0 este punct de minim l"cal.
5) Functia !($,P) are derivatele
partiale de "rdin 2 de !"rma
. ,f
x xx
= + respectiv,
1f
yy
= . 'tuncinumarul punctel"r critice ale lui !
este: d)4.
6) Di!erentiala de "rdin 2 a !unctiei
!($,P,z)=$P>Pz are !"rma:
b)d!($,P,z)=Pd$>($>Pz)dP>P
z;
7) Di!erentiala de "rdin 2 a !unctiei
!($,P,z)=$Pz are !"rma:
c)d!($,P,z)=Pzd$>$zdP>$Pdz;
8) Functia "arecare !($,P,z) satis!ace
c"nditiile din criteriul lui chZarz.
'tunci au l"c egalitatile:
b) f f
x z z x
=
; d)
f f
y z z y
=
.
%) Fie !unctia !($,P)= x y x y
x y
+ + + si
( )10 0
lim lim ( , )x y
l f x y
= , ( )0 0
lim lim ( , )y x
l f x y
=
limitele iterate ale !unctiei in C(0,0).
'tunci:d)l1=1, l=1.
40) Fie !unctia !($,P)=e$P.'tunci:
c)xyf ye
x
=
.
4) Fie [(+0)= 0 1
0 1 1
1 1 1
hessiana
>
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
34/35
atasata !unctiei !($,P,z) in punctul
critic +0. 'tunci:
c)+0 nu este punct de e$trem l"cal.
41) Fie !unctia !($,P)= e$>P. 'tunci:
d)x yf e
x
+ = .
4) Fie !unctia !($,P,z)=$>P>z.
'tunci:
b)!unctia ! nu are puncte critice;
c)!unctia ! nu are puncte de e$trem
l"cal.
44) Daca +0($0,P0) este punct critic
pentru !unctia !($,P) atunci:b) 0( ) 0
fP
x
=
si 0( ) 0
fP
y
=
; c)d!(+0)=0
45) Fie [(+0)=0
hessiana
atasata !unctiei !($,P) in punctul critic
+0. 'tunci, daca: Nici #$a
48) -et"da multiplicaril"r lui
Magrange se !"l"seste la determinareapunctel"r de e$trem l"cal, in cazul
!unctiil"r:
d)ale car"r varia#ile sunt supuse la "
serie de legaturi.
46) Fie [($,P)=.
, 6
6
y xy
xy x y
matricea
hessiana atasata !unctiei !($,P).
'tunci , daca !unctia !($,P) satis!acecriteriul lui chZarz avem:
a) =, =6;
47) Fie [($,P,z)=
0 .
0 6
y x
x z
z yz
hessiana atasata !unctiei !($,P,z)= x y yz+ . De"arece ! satis!ace criteriul
lui chZarz avem: c)=0, =, =.
4%) Fie !unctia !($,P)=$>P cu
varia#ilele satis!acand legatura
$>P=1. 'tunci !unctia lui Magrange
atasata are e$presia:
c)M($,P)=$>P>($>P1)50) Briteriul lui chZarz a!irma ca
!unctia !($,P) are:
c) derivatelepartiale mi$te de "rdinul
egale.
51) Bare din urmat"arele a!irmatii
sunt adevarate:
b)"rice punct de e$trem l"cal este
punct critic;
c)in un punct critic derivatelepartiale de "rdinul 2 sunt nule
d)punctele de ectrem l"cal se gasesc
printre pct. critice.
5) C !unctie : nf are
int"tdeauna:
d)numarul punctel"r critice si de
e$trem nu depinde de n.
5) C !unctie : nf are
int"tdeauna:
a)n derivate partiale de "rdinul 2;
d)n derivate partiale de "rdinul 22.
54) [essiana atasata !unctiei "arecare: nf :
a)este " matrice patratica de "rdinul
n;
d)este !"rmata cu derivatele partiale
55) +unctul +0Rneste punct criticpentru !unctia : nf dacaderivatele partiale:
c)de "rdin 2 se anuleaza in +0.
d di 22 l ! i i
8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie
35/35
de "rdin 22 ale !unctiei
56) Fie :f . Briteriul lui
chZarz a!irma ca:
a) f f
x y y x
=
; d)deriv. part.de
"rdin 22 c"ntinue
57) Briteriul luii chZarz implica
!aptul ca !unctia : nf are:
a)matricea hessiana simetrica;
b)derivatele partiale de "rdinul 22
mi$te, egale.
58) C !unctie "arecare : nf are:
d)numarul punctel"r critice si de
e$trem nu depinde de n.
5%) Daca punctul +0 este punct dema$im pentru !unctia !, atunci:
b)d!(+0) este negativ de!inita
d)+0 este punct critic pentru !.
60) Daca punctul +0 este punct deminim pentru !unctia !, atunci:
a)d!(+0) este p"zitiv de!inita;
d)+0 este punct critic pentru !unctia
!.
61) Daca 1 , sunt min"rii diag"naliai hessienei [(+0), atunci punctul
critic +0($0,P0) este punct de minim
daca:
a) 1 0, 0 > > .
6) Daca 1 , sunt min"rii diag"nali
ai hessienei [(+0), atunci punctul
critic +0($0,P0) este punct de ma$im
daca:d) 1 0, 0 < > ;
6) Daca 1 , , sunt min"rii
diag"nali ai hessienei [(+0), atunci
punctul critic +0($0,P0,z0) este punct
de ma$im daca:b) 1 0, 0, 0 < > < .
64)Daca 1 , , sunt min"rii
diag"nali ai hessienei [(+0), atunci
punctul critic +0($0,P0,z0) este punct
de minim daca:a) 1 0, 0, 0 > > >
65) C !unctie "arecare !($,P) are:
b) derivate partiale de "rdinul 2 si 4
derivate partiale de "rdinul 22;
d) derivate partiale de "rdinul 22
mi$te (dreptunghiulare).
66) C !unctie "arecare !($,P,z) are:
c) derivate partiale de "rdinul 2 si %
derivate partiale de "rdinul 22;
d)6 derivate partiale de "rdinul
mi$te (dreptunghiulare).
67) +unctele critice ale !unctiei
!($,P);
b)sunt s"lutiile sistemului
0
0
f
y
f
y
= =