Geodezie matematică I
Suprafaţa terestră, geoidul, elipsoidul
Geodezie matematică I
+10 km
-11 km
21 km Nivelul mării
Groapa Marianelor
Vârful Everest
Suprafaţa terestră
Geodezie matematică I
Geoid
Geodezie matematică I
Elipsoid
Geodezie matematică I
b. Sferoid alungit la poli
a. Sferoid turtit la poli
Geodezie matematică I
a
b
Elipsoid de rotaţie
Geodezie matematică I
Elipsoidul. O aproximare a Pământului (geoidului)
Geodezie matematică I
Poziţia relativă a suprafeţei terestre, geoidului şi elipsoidului
Elipsoid Geoid Suprafaţa topografică
Geodezie matematică I
Sistem cartezian de coordonate în spaţiul cu două dimensiuni
Y
X
O
1m
1m
Pq
q
( )
1.4. Sisteme de coordonate utilizate frecvent în geodezia elipsoidală1.4.a. Sistemul cartezian de coordonate – spațiul 2D
Geodezie matematică I
Sistem cartezian de coordonate în spaţiul cu trei dimensiuni
1.4. Sisteme de coordonate utilizate frecvent în geodezia elipsoidală1.4.a. Sistemul cartezian de coordonate – spațiul 3D
Z
YO
X
Z
XO
1m
1m
Y
1m
Geodezie matematică I
1.4. Sisteme de coordonate utilizate frecvent în geodezia elipsoidală1.4.b. Sistemul sferic
r
Θ
l
Geodezie matematică I
1.4. Sisteme de coordonate utilizate frecvent în geodezia elipsoidală1.4.c. Sistemul de coordonate geodezice
P’(B,L)
B
L
P(B,L,H)
P’0
O
Geodezie matematică I
Normala la elipsoid
1.4. Sisteme de coordonate utilizate frecvent în geodezia elipsoidală1.4.c. Sistemul de coordonate geodezice
P
O
Normala
Geodezie matematică I
1.4. Sisteme de coordonate utilizate frecvent în geodezia elipsoidală1.4.e. Legătura dintre sistemele de coordonate
a
b M
N
B
B
L
Z Z
X
Y
Y
rPrP HE
r0
rO
P(B,L,HE,x,y,z) P
P0(B,L,X,Y,Z)
n
Elipsameridiană
Sistemele de coordonate geodezice şi carteziene
2
cos cos
cos sin
1 sin
E
i i i ii
E
i i i i i i
Eii i i
N H B Lx
y N H B L
zN e H B
r
2
1 1
2
1
0
tan
tan (1 )
sin >
cos X >
tan ( )
sin
45cos
P P P
iter P
P P P P
P P P P
iter iter
iter P iter
P P
Pe
P
L Y X
B e Z d
d Y L pentru Y X
d X L pentru Y
B Z d
N e B
dN B
BH
d
cu
şi
unde
pentru
2 0(1 ) 45cos
P P
P
N e BB
pentru
Geodezie matematică I
1.5. Elipsoidul de rotație1.5.a. Parametri elipsoidului de rotație
Nr. crt. Parametru Denumire parametru Relaţii de calcul
1. a Semiaxa mare sau raza ecuatorială -
2. f Turtirea geometrică
3. b Semiaxa mică
4. e Prima excentricitate numerică
5. e’ A doua excentricitate numerică
6. E Excentricitatea liniară
7. c Raza de curbură polară
f a b a
b a 1 f
2 2 2e a b a
2 2 2e a b b
2 2E a b
2c a b
Denumire elipsoid Semiaxa mare [m] Turtirea geometrică
Bessel 6377379.155 1:299.1285Clarke 6378243.000 1:293.465Hayford 6378388.000 1:297.0Krasovski 6378245.000 1:298.3WGS 84 6378137.000 1:298.25722357
Geodezie matematică I
1.5. Elipsoidul de rotație1.5.b. Ecuațiile parametrice ale elipsoidului de rotație
B
B
L
Z=z Z=z
X
Y
x
r=xx=r HE
O
P(B,L,HE;X’,Y’,Z’)
P’(B;x,z)
P’(B,L;X,Y,Z)
Elipsa meridiană
x
z 900+BO
Geodezie matematică I
1.6. Raze de curbură1.6.a. Razele principale de curbură – secțiuni normale
Secţiuni normale
I
O
Normala
Geodezie matematică I
1.6. Raze de curbură1.6.a. Razele principale de curbură – secțiuni normale
Secţiunea elipsei
meridiane
O
Normala
Secţiunea primului vertical
Cercul de paralel P
I
P’
Geodezie matematică I
1.6. Raze de curbură1.6.a. Razele principale de curbură – Raza de curbură a elipsei meridiane
O
I(B)
I’
J’
J(B+DB)
BB+ DB
z
xDa
Ds
Geodezie matematică I
1.6. Raze de curbură1.6.a. Razele principale de curbură – Raza de curbură a primului vertical
O
Normala
Secţiunea primului vertical
Cercul de paralel P
I
P’
r
T
Geodezie matematică I
1.6. Raze de curbură1.6.b. Determinarea param.elipsoidului de rotație din măsurători de arce de meridian și paralel – Lungimea arcului de meridian
O
I(Bi)
I’
J’
J(Bj)
Bi
Bj
z
x
dB
dsm
Geodezie matematică I
1.6. Raze de curbură1.6.b. Determinarea param.elipsoidului de rotație din măsurători de arce de meridian și paralel – Lungimea arcului de paralel
O
Cercul de paralel dsp
I(Bi,Li) Li
r
J(Bi,Lj)
Geodezie matematică I
1.7. Curbe pe suprafața elipsoidului de rotație1.7.a. Elementul liniar al unei curbe
dsdsm
dsp
L=ct
B=ctI(X,Y,Z;B,L)
J(X+dx,Y+dy,Z+dz;
B+dB,L+dL)
Elementul de arc
Geodezie matematică I
1.7. Curbe pe suprafața elipsoidului de rotație1.7.b. Unghiul format de liniile de coordonate
ds
tL(aL,βL,γL)
A
L=ct
B=ctI(X,Y,Z;B,L)
J(X+dx,Y+dy,Z+dz;
B+dB,L+dL)
tB(aB,βB,γB)
t(a,β,γ)
ω
Unghiul dintre liniile de coordonate
Geodezie matematică I
1.7. Curbe pe suprafața elipsoidului de rotație1.7.c. Elementul de arie
dsm
dsp
L=ct
B=ctI(X,Y,Z;B,L)
J(X+dx,Y+dy,Z+dz;
B+dB,L+dL)
dS
ω
Elementul de arie
Geodezie matematică I
1.8. Curbura și raza de curbură1.8.a. Curbura curbelor. Teorema Meusnier
ds
n(x,h,z)
N(X’Y’,Z’)
Ψ
I(X,Y,Z)
J(X+dx,Y+dy,Z+dz)
b(l,m,n)
t(a,β,γ)
Curbura curbelor
Geodezie matematică I
1.8. Curbura și raza de curbură1.8.b. Raza de curbură a unei secțiuni normale
Normala Cercul de paralel P
P’
Secţiunea primului vertical
Secţiunea elipsei
meridiane
O N
M I
Rn
Secţiune oarecare
Secţiuni normale şi raze de curbură pe elipsoidul de rotaţie
Geodezie matematică I
1.9. Secțiuni normale reciproce
I
J
BI
a
Secţiunea normală directă (a)
I
J
BJ
b
Secţiunea normală inversă (b)
I
J
BI
BJ
a
b
Linia geodezică
Geodezie matematică I
P
P’
ds
S0
O
V Z
Y
X
X
Y O’
r S”
S1
S’
S
B
B B
dA
dL
S” S
S’
S1
dA
ds
X
Y
S(X,Y)
S1(X+dx,Y+dy)
O’
dx
dy
Ecuaţiile Clairaut ale liniei geodezice
1.10. Linia geodezică1.10.c. Ecuațiile Clairaut ale liniei geodezice
Geodezie matematică I
1.10. Linia geodezică1.10.d. Ecuațiile parametrice ale liniei geodezice
s
n(x,h,z)
N(X’Y’,Z’)≡Z
I(0,0,0) b(l,m,n)
t0(a0,β0,γ0)
tL(≡X)
B=const
L=const
tB(≡Y)
Ecuaţiile parametrice ale liniei geodezice
Geodezie matematică I
2. Măsurători unghiulare și reducerea acestora2.1. Efectuarea măsurătorilor unghiulare orizontale
2.1.a. Introducere
Axa verticală
Obiectiv
Axa de observare Ocular
R
O
V
0.0000 gon
Cerc orizontal
Unghi orizontal
Planul de vizare
Unghi orizontal (direcţie măsurată)
Vertex
Raza Unghi
Vertex şi centrul
cercului
r
Arcul subîntins
Măsura unui unghi
Geodezie matematică I
2. Măsurători unghiulare și reducerea acestora2.1. Efectuarea măsurătorilor unghiulare orizontale
2.1.b. Metoda seriilor complete
Oi
1
2
j
n
S x1
xj-1
xn-1
li(1)
li(2)
li(j)
li(n)
Observaţii azimutale efectuate prin metoda seriilor
Geodezie matematică I
2. Măsurători unghiulare și reducerea acestora2.1. Efectuarea măsurătorilor unghiulare orizontale
2.1.b. Metoda Schreiber
1
2
3
n
S
x1
x2
xn-1
Metoda Screiber de măsurare a unghiurilor
Geodezie matematică I
2. Măsurători unghiulare și reducerea acestora2.2. Reducerea direcțiilor unghiulare orizontale
2.2.a. Corecția de linie geodezică
Anij
X
Aij
L=ct
B=ctI
J
Y
Linia geodezică
c1
Secţiunea normală directă
Corecţia de linie geodezică
Geodezie matematică I
2. Măsurători unghiulare și reducerea acestora2.2. Reducerea direcțiilor unghiulare orizontale
2.2.b. Corecția datorată altitudinii punctului vizat
c2 HjE
J
I
BiBi
J”
J”’ I”
O
I’
J’
z
x
P
Corecţia datorată altitudinii punctului vizat
J
I
Suprafaţa elipsoidului
Norm
ala
în I
Nord
Secţiunea normală adevărată de la I la J
Norm
ala
în
J
aIJ”
aIJ’
J’ J”
i”
Secţiunea normală observată de la I la J
Proiecţia pe elipsoid a punctului vizat
Geodezie matematică I
2. Măsurători unghiulare și reducerea acestora2.2. Reducerea direcțiilor unghiulare orizontale
2.2.c. Corecția datorată deviației verticalei
Elipsoid de rotaţie
Sfera unitate
P
Verticala locului
Normala
I
J
Zg
Za
Aij aij
ξi
hi
900-Φi
Z’ Li-Li900-Bi
Componentele deviaţiei verticalei
do
dî
dh
i’ i”
i t’ t”
j’ j”
J
I
c
Suprafaţa elipsoidului
Normala Verticala
Nord
ϑ
Orizontul punctului I
ϑ
Deviaţia verticalei
Geodezie matematică I
2. Măsurători unghiulare și reducerea acestora2.2. Reducerea direcțiilor unghiulare orizontale
2.2.d. Corecțiile de centrare și reducere-întocmirea foii de centrare
Realizarea foii de centrare
Geodezie matematică I
2. Măsurători unghiulare și reducerea acestora2.2. Reducerea direcțiilor unghiulare orizontale
2.2.d. Corecțiile de centrare și reducere
I
C
S
a
c
c
r
l
l1
Θ
Θ1
M
M1=M
P1
D
β0
β
Corecţiile de centrare şi reducere