1

STATISTICĂ

SUPORT DE CURS

LECTOR UNIV. DR. DEAC DAN

2

CUPRINS

Modulul 1……………………………………………………………………………..5

Capitolul 1 Noțiuni introductive....................................................................7

Capitolul 2 Colectarea datelor.........................................................................10

2.1 Tipuri de date și scale de măsurare ......................................10

2.2 Surse de date statistice...............................................................11

2.3 Planul observării statistice.......................................................12

2.4 Recensământul statistic.............................................................12

2.5 Sondajul statistic...........................................................................12

Capitolul 3 Sistematizarea si prezentarea datelor...............................15

3.1 Sistematizarea datelor...............................................................15

3.2 Prezentarea datelor statistice.................................................17

3.3 Distribuții statistice unidimensionale ...............................20

3.4 Histograma..................................................................................23

3.5 Diagrame de structură............................................................25

3.6 Reprezentări grafice specifice seriilor de timp.............. 26

3.7 Cartograme și cartodiagrame...............................................29

3.8 Distribuții statistice bidimensionale .................................30

Teste…………………………………………………………………………………………..34

Bibliografie………………………………………………………………………………….34

Modulul 2……………………………………………………………………………..35

3

Capitolul 4 Indicatori statististici în mărimi absolute

şi relative.....................................................................................38

4.1 Indicatori în mărimi absolute ..............................................38

4.2 Indicatori în mărimi relative ...............................................38

Capitolul 5 Indicatori ai tendinței centrale. ( Mărimi medii)..........40

5.1 Probleme generale ale mărimilor medii...........................40

5.2 Media aritmetică........................................................................42

5.3 Media unei caracteristici alternative..................................44

5.4 Medii cu aplicație specială.......................................................44

5.5 Modul (Dominanta)..................................................................46

5.6 Mediana..........................................................................................47

5.7 Quantilele .......................................................................................50

5.8 Mediala...............................................................................................53

5.9 Relații între valorile tendinței centrale ...............................55

Teste…………………………………………………………………………………………….56

Bibliografie…………………………………………………………………………………..57

Modulul 3………………………………………………………………………………58

Capitolul 6 Indicatori ai dispersiei, asimetriei și boltirii.....................60

6.1 Indicatori simpli si sintetici ai dispersiei.............................60

6.2 Indicatori ai dispersiei unei variabile alternative............64

6.3 Măsurarea dispersiei în sistemul medianei........................65

6.4 Dispersia unei variabile nominale (atributive).................67

4

6.5 Indicatori ai formei........................................................................68

Capitolul 7 Indicatori ai seriilor cronologice..............................................72

7.1 Indicatori pentru caracterizarea nivelului şi

variației în timp...............................................................................72

7.1.1 Indicatori absoluți………………………………………………………72

7.1.2 Indicatori relativi………………………………………………………..72

7.1.3 Indicatori medii…………………………………………………………..74

Test..………………………………………………………………………………………………78

Bibliografie……………………………………………………………………………………..78

5

MODULUL 1

Noţiuni introductive

Colectarea datelor

Sistematizarea şi prezentarea

datelor

6

OBIECTIVE

- cunoaşterea noţiunilor de bază din statistică

- însuşirea metodelor de prezentare şi sistematizare a unui set de date

CUVINTE CHEIE

- caracteristică statistică, date statistice, distribuţii statistice

CUPRINS MODUL 1

Capitolul 1 Noțiuni introductive....................................................................7

Capitolul 2 Colectarea datelor.........................................................................10

2.1 Tipuri de date și scale de măsurare ......................................10

2.2 Surse de date statistice...............................................................11

2.3 Planul observării statistice.......................................................12

2.4 Recensământul statistic.............................................................12

2.5 Sondajul statistic...........................................................................12

Capitolul 3 Sistematizarea si prezentarea datelor...............................15

3.1 Sistematizarea datelor...............................................................15

3.2 Prezentarea datelor statistice.................................................17

3.3 Distribuții statistice unidimensionale ...............................20

3.4 Histograma..................................................................................23

3.5 Diagrame de structură............................................................25

3.6 Reprezentări grafice specifice seriilor de timp.............. 26

3.7 Cartograme și cartodiagrame...............................................29

3.8 Distribuții statistice bidimensionale .................................30

Teste…………………………………………………………………………………………..34

Bibliografie………………………………………………………………………………….34

7

CAP.1 Noțiuni introductive.

Statistica:

- știința colectării și înțelegerii datelor ce caracterizează fenomenele de masă .

- instrument de cunoaştere a particularităților de volum, structură și dinamică a

fenomenelor și proceselor economico-sociale.

Fenomene care au condus la apariţia si dezvoltarea statisticii.

- Nevoile guvernelor de a calcula date privind cetățenii și activitățile țărilor pe care

le conduc.

- Dezvoltarea teoriei probabilităților.

- Apariția și extinderea utilizării calculatoarelor.

Datele au fost permanent colectate de-a lungul istoriei. (civilizațiile egiptene,

romane, grecești : pentru taxe și înrolare; din evul mediu:nașterile, decesele,

căsătoriile )

Ȋn zilele noastre, progresele calculatoarelor au determinat schimbări profunde în

statistică. Există soft-uri statistice specializate cu care se poat face analize foarte

compexe.

Obiectul de studiu:

Fenomenele și procesele ce prezintă următoarele particularități:

- Se produc în număr mare de cazuri (fenomene de masă)

- Variază de la un element la altul.

- Sunt forme individuale de manifestare.

Fenomenele de masă se supun acțiunii legilor statistice. Pentru a evidenţia o

lege statistică este necesar studiul unui număr mare de cazuri individuale.

8

Un principiu fundamental al statisticii este Legea numerelor mari, dată de

Bernoulli (,, frecvența apariției unui eveniment converge în probabilitate la

probabilitatea producerii acelui eveniment’’)

Metode speciale de cercetare:

- Observarea de masă.

- Centralizarea și gruparea.

- Procedee și metode de analiză și interpretare statistică.

Etapele cercetării statistice:

- Observarea statistică: se culeg datele

- Prelucrarea statistică: se sistematizează datele, se calculează indicatorii

primari, derivați, absoluți și sintetici.

- Analiza și interpretarea rezultatelor: se verifică ipotezele, se formulează

concluziile, se elaborează deciziile. Pasul dificil este transpunerea problemei în

termeni statistici.

Statistica descriptivă: Totalitatea metodelor de culegere, prezentare și

caracterizare a unui set de date.

Statistica inferențială: Totalitatea metodelor de estimare a caracteristicilor unei

populații pe baza rezultatelor obținute pe un eșantion.

Utilizează metode de sistematizare, rezumare și prezentare a datelor.

De exemplu:- Metoda grafică

Statistica inferențială este formată dintr-un grup de metode ce pot da

concluzii ample caracteristicilor unei populații pe baza datelor din eșantioane. Dar

acestea nu se pot afla cu o probabilitate de 100%.Probabilitatea de estimare corectă

este de obicei 90%, 95% sau 99%.

Elemente de bază ale statisticii.

1. Populaţia (colectivitatea) statistică.

Totalitatea elementelor de aceeași natură ce au trăsături comune. Dacă

colectivitatea e numeroasă, cercetarea este foarte grea.

9

2. Eșantion: submulţime de elemente selectate dintr-o colectivitate (populație)

statistică:

Colectivități statistice: - statice(stare la un moment dat)

-dinamice (proces, devenire în timp)

3. Unitatea statistică ( individ ): - simplă

-complexă (ex. familia)

4. Caracteristica statistică: trăsătura comună tuturor unităților. E numită și

variabilă statistică.

5. Datele statistice: Caracteristica numerică obținută de statistică privind

colectivitatea studiată. Mesajul lor este informația statistică.

6. Indicatorul statistic: Expresia numerică a unor fenomene.

7. Parametrul statistic: Indicator statistic descriptiv calculat pentru o

colectivitate totală.

Exemplu:

- Populația statistică: cetățenii dintr-o localitate.

- Eșantionul: persoanele selectate pentru anchetă.

- Scopul anchetei: descrierea diverselor caracteristici ale colectivității.

- Parametru: venit mediu.

10

CAP. 2 Colectarea datelor.

2.1 Tipuri de date și scale de măsurare:

Clasificarea datelor:

- Date univariate: (o singură variabilă statistică)

- Date bivariate: (două variabile statistice)

- Date multivariate( mai mult de două variabile statistice)

Caracteristicele statistice se pot clasifica după mai multe criterii:

a) După modul de exprimare:

- Calitative ( nu se exprimă numeric: profesie, locul de domiciliu)

- Cantitative (se exprimă numeric: salariu, greutate, înălțime)

b) În funcție de variantele de răspuns:

- Alternative (binare) cu doua variante de răspuns.

- Nealternative , cu mai multe răspunsuri (se pot transforma în

alternative.

c) În funcție de natura caracteristicilor.

- Caracteristici continue : greutate, înălțime.

- Caracteristici discrete: număr de orașe, număr de copii.

d) În funcție de conținutul caracteristicii:

- Caracteristici de timp.

- Caracteristici de spațiu.

- Caracteristici atributive (altul decât spațiul și timpul)

e) În funcție de modul de obținere și caracterizare a fenomenelor.

- Caracteristici primare.

- Caracteristici derivate.

11

Scale de măsurare:

Sunt patru scale principale de măsurare:

- Scala nominală :(scala denumirilor) se atribuie nume pentru

variabile. Se face o diferențiere de specie dar nu și de grad.

Exemplu: ocupația, sexul, profesia.

- Scala ordinală: sunt măsurate variabile de timp nenumeric dar care

pot fi ordonate. Diferenţiere de specie şi de grad.

Exemplu: nivelul de studii, categorii de hoteluri, ratinguri, etc.

- Scala de intervale (cardinală). Diferenţiere de specie şi de grad, în

plus folosește unități de măsură egale. Absența unui punct zero

absolut pentru scală.

Exemplu: temperatura.

- Scala proporțională ( de raport)

Are toate calitățile celor anterioare iar în plus are un punct fix zero

absolut.

Pentru compararea şi măsurarea opiniilor, a comportamentelor, s-au elaborat scale

specifice de intensitate.

Ȋn cercetările de marketing se foloseşte scala de opinie sau de rating.Se fixează 4

până la 10 gradaţii pentru gradarea răspunsurilor.

2.2 Surse de date statistice

Sursele de date pot fi:

- Primare ( date obținute direct prin organizarea de observări

statistice, ex: recensământul statistic)

- Secundare ( datele sunt prelucrate în tabele și grafice) ex: buletinul

statistic pe anul…… în care găsim de exemplu: mișcarea populației

12

în oraș, veniturile salariale, numărul de șomeri, nivelul producției la

unele bunuri, etc.

2.3 Planul observării statistice:

- Observarea statistică: Acțiunea de culegere a datelor de la unitățile

statistice.

Condițiile ce trebuie îndeplinite de observare:

- Condiția de cantitate (obținerea în timpul stabilit a tuturor datelor)

- Condiția de calitate (asigurarea veridicității conținutului datelor)

Observarea se face după un plan riguros ce trebuie să conțină:

- Scopul observării.

- Delimitarea colectivității și unității de observare.

- Stabilirea caracteristicilor de observare.

- Alegerea formularelor de observare.

- Delimitarea timpului și locului observării.

- Stabilirea măsurilor organizatorice.

2.4 Recensământul statistic.

Este o metodă de observare totală cu caracter periodic ce surprinde un fenomen în

mod static.

Exemplu: recensământul populației, a locuințelor,a animalelor.

2.5 Sondajul statistic.

Este o metodă parțială de observare statistică; avantajul unei economii de timp și

bani.

13

Exemple: CTC. ,pentru a estima rezervele de zăcăminte, în analiza

macroeconomică, demografie, agricultură, comerț, anchete sociale, etc.

A. Sondajul aleator simplu:

Condiții:

- Fiecare unitate statistică are probabilitatea egală de a fi aleasă.

- Unitățile sunt alese independent, fără legătură una cu alta.

Sondajele pot fi repetate( cu revenire în populaţie pentru populaţii infinite)sau

nerepetate (fară revenire în populaţie pentru populaţii finite)

Procedee de selecție aleatoare.

1) Procedeul urnei cu bile: fiecare unitate se numerotează de la 1 la N. Se

foloseşte o urnă cu N bile numerotate de la 1 la N din care se fac n extrageri

fără revenire.

2) Procedeul tabelului cu numere întâmplătoare: numărul de ordine al unității

este ales din tabelul cu numere aleatoare.

3) Procedeul mecanic de selecție: se stabileşte pasul de numărare k. De

exemplu dacă volumul populaţiei este N=1000, iar volumul eşantionului

este n=50, atunci k=𝑁

𝑛=20;se va selecta tot a 20-a unitate.

B) Sondajul stratificat.

Se divizează colectivitatea generală în ,, straturi’’ cât mai omogene

C) Sondajul în cuiburi.

Cuib sau Cluster : grupare de unități statistice concentrate și strict delimitate.

Exemplu: familia.

Avem trei niveluri de cercetare:

14

- Unități statistice

- Cuiburile (grupurile)

- Populația în ansamblu

Etape:

- Stabilirea cuiburilor

- Extragerea unui eșantion din cuiburile stabilite

- Examinarea fiecărei unități statistice din cele ce compun cuibul.

Alte tipuri de sondaj:

- Eşantionarea concentrată – selectarea în eșantion a acelei părți ce

prezintă majoritatea cazurilor individuale.

- Selecţie dirijată – se iau elementele (unitățile) reprezentative

apropiate de media ce trebuie estimată. Rezultatele nu sunt obiective.

- Eșantionarea multifazică: - se ia un eșantion, de la unele elemente se

iau anumite caracteristici iar de la altele se studiaza alte

caracteristici.

- Eșantionarea pe cote: - alegerea unităților statistice este lăsată pe

seama operatorilor.

15

Cap.3 Sistematizarea si prezentarea datelor

Prelucrare statistică – fenomen complex prin care datele înregistrate sunt

sistematizate şi tratate statistic.

Sistematizarea datelor – ordonarea acestora în funcție de omogenitatea lor.

3.1. Sistematizarea datelor

- se realizează prin centralizare si grupare

3.1.1. Procedee de sistematizare

-Centralizarea – (totalizarea unităților statistice sau a valorilor unei

caracteristici la nivelul grupelor tipice sau al colectivitații).

-Se face prin sumare directa.Rezultă astfel indicatori statistici de nivel.

Exemplu: numărul populației unei localitați la un moment dat, valoarea

producției unei firme pe o perioada dată.

-Gruparea - (centralizare pe grupe a unitaților statistice).

Rezultă șiruri de date ordonate crescător sau descrescător.

3.1.2. Tipuri de grupări statistice :

a) După numărul caracteristicilor de grupare :

-grupare simplă – după o singură caracteristică.

- exemplu – gruparea intreprinderilor industriale după numărul muncitorilor.

- gruparea combinată – separarea unei colectivități în grupe omogene după variația

simultană a două sau mai multe caracteristici;

Se face o grupare după o caracteristică principală, apoi, fiecare grupă se divizează

în subgrupe după variația unei alte caracteristici (secundare)

b) Dupa natura caracteristicii:

16

- grupări după variabila “timp” şi după variabila “spaţiu” ;

- grupare după o variabilă calitativă:

- grupare după o variabilă nominală (clasificare)

- Exemplu: gruparea populației pe ocupații, rezultatele acestei grupări fiind cuprinse

în nomenclatoare.

- după o variabilă exprimată numeric. Se poate face pe variante (număr redus de

variante;

exemplu:gruparea familiilor din cartier dupa numărul de copii);

sau pe intervale de variație (număr mare de variante);

exemplu: gruparea populației din localitate după vârstă)

3.1.3. Probleme ale grupării statistice

1. Scopul grupării statistice :

- pentru sistematizarea materialului în vederea prelucrării (grupe egale ca mărime);

- pentru analiza directă in cazul grupelor bine determinate.

2. Alegerea variabilei de grupare (variabilă după care se face separarea unităților in

grupe omogene). Funcție de scopul grupării se va decide gradul de esențializare a

caracteristicilor.

3. Stabilirea numărului de grupe.( Funcţie de scop).

- exemplu: gruparea statistică a unei populații după vârstă : se folosesc în general

intervale cincinale, adică intervale tipice egale: 0-4; 5-9; 10-14; 95-99 ; 100 și peste.

Se folosesc pentru unele cercetări intervale tipice neegale:0-19 (populație tânără);20-

59 (populație adultă);60 și peste (populație vârstnică).

Numărul k al grupelor folosite în practică , dacă volumul eșantionului este n, se

poate face după formula Sturges: 𝑘 = 1 + 3,322 𝑙𝑔𝑛

4. Determinarea mărimii intervalului de grupare (ℓ)

17

Fie X caracteristica de grupare cu valorile xi, i=1,𝑚

Numărul: A = xmax – xmin se numește amplitudinea de varianţie a lui X

Atunci = 𝐴

𝑘 sau =

𝐴

1+3,322𝑙𝑔𝑛

( numărul obținut se rotunjeşte în plus)

5. Delimitarea grupelor de variație și separarea unităților colectivității pe

intervale de variație

- dacă variabila este continuă atunci limita superioară a unui interval va fi limita

inferioară a intervalului următor.Se face o notă explicativă (care limită e inclusă în

interval)

- dacă variabila e discretă atunci limita inferioară a intervalului următor este

deplasată cu o unitate față de limita superioară a intervalului precedent.

- intervalele pot fi închise sau deschise

3.2. Prezentarea datelor statistice

Distribuție statistică – rezultatele sistematizate prin grupare.

3.2.1. Tabele statistice

Elementele unui tabel:

- titlul general si titlurile interioare;

- unitatea de măsură generală;

- notele explicative;

- sursa datelor;

- rubricile tabelului.

Tipuri de tabele :

- simplu (distribuție univariată)

18

- cu dublă intrare (tabel de corelație) ( distribuție bivariată)

3.2.2. Repezentări grafice

Metodă de prezentare sub forma unei imagini a datelor unei distribuții într-un

sistem de coordonate dat. Principiul de bază : proporționalitatea

Elementele reprezentării

a. Axele de coordonate

b. Scara

c. Rețeaua graficului

d. Legenda

a. Axele de coordonate

Axe rectangulare:

Ȋn plan:

y

yi Ai(xi,ni)

ni

0 xi X

Ȋn spaţiu:

Z nij este frecvenţa absolută a perechii (xi,yj)

Ai(xi,yj,nij)

nij 0 xi

yi x

Y

19

Coordonate polare

𝜌𝑖 Ai

𝜃𝑖

0 x

Ai ( 𝜚i , 𝜃j) 𝒼 = 1,𝓅

↑ ↑ 𝒽 = 1,𝒻

𝜃𝒽 grade sau radiani

𝜚𝒼- proporțional cu 𝓍𝒼

𝜃𝒽 -proporțional cu intervalul de timp ce separă două valori succesive.

De exemplu: 2𝜋 = anul

atunci 𝜋

6 = luna

𝜋

2 = trimestrul

b) Scara :

- uniformă (aritmetică, cu diviziuni echidistante);

- neuniformă (logaritmică) – punem în corespondență biunivocă numărul cu

logaritmul său zecimal.

0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

⬇ ⬇ ⬇ ⬇ ⬇ ⬇ ⬇

-3 -2 -1 0 1 2 3

c)Reţeaua graficului –se construiesc paralele la axe prin punctele 𝓍𝒼respectiv

yj . Este utilă pentru distribuţii bidimensionale.

20

d)Legenda – alături de figură; se reprezintă la scară redusă elemente de

construcție cu explicații.

3.3. Distribuții statistice unidimensionale

3.3.1. Definitie notații.

Definiție : Se numește distribuție statistică unidimensională, corespondența dintre

șirul valorilor unei caracteristici și cel de al doilea: șirul frecvențelor absolute.

Acestea se prezintă sub forma unui tabel.

X:( x1,x2,…,xm )unde x1<x2<…<xm

Dacă: n1=n2=…=nm

respectiv: X 𝓍1,𝓍2,……𝓍𝒿𝓀1 ,𝓀2,… . .𝓀𝒿

⟺ 𝑋 𝓍𝒼𝓀𝒼 𝒼 = 1,𝒿 , dacă n1≠n2≠∙∙∙ ≠ nm.

Dacă avem distribuții de interval notăm:

X: (𝒥𝒼,𝔫𝔦) 𝔦 = 1,𝒾 , 𝒥𝒼 = 𝓍𝒼−1 − 𝓍𝒼

3.3.2. Frecvențe relative si frecvențe cumulate

Definiția 1. Se numește frecvență relativă a valorii xi numărul 𝔣𝔦 =𝓀𝒼

𝓀𝒼 unde :

𝓀𝒼 = n - volumul colectivității

Evident 𝔣𝒼 = 1

Definiția 2. Se numește frecvență absolută cumulat crescătoare a valorii xi,

Numărul 𝑁𝒼(↑) = 𝓀𝒾𝒼𝒾=1 , (∀)𝒼 = 1,𝒿 .

Se numește frecvență relativă cumulat crescătoare a valorii xi, numărul

21

𝐹𝒼(↑) = 𝑓𝑘𝑖𝑘=1 𝒼 = 1,𝒿 ; evident 𝐹𝒿 = 1

Se pot calcula şi valorile 𝑁𝒼(↓) 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣 𝐹𝒼(↓) frecvența absolută cumulat

descrescătoare, respectiv frecvenţa relativă cumulat descrescătoare a valorii xi

𝑁1(↓) = 𝔫

𝑁2(↓) = 𝔫 − 𝔫1

𝑁3(↓) = 𝔫 − 𝔫1 − 𝔫2

𝑁𝔪(↓) = 𝔫 − 𝓀𝒾𝔪−1𝒾=1

𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑢𝑙 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑣𝑒𝑛ţ𝑒𝑙𝑜𝑟

Intervalul 𝓀𝒼 𝒺𝒼 𝑁𝒼 𝐹𝒼 1 2 3 4 5

𝓍0 − 𝓍1

𝓍𝒼−1 − 𝓍𝒼

𝓍𝒻−1 − 𝓍𝒻

𝓀1

𝓀𝒼

𝓀𝒻

𝑓1

𝑓𝒼

𝑓𝒻

𝑁1

𝑁𝒼

𝑁𝒻

𝐹1

𝐹𝒼

𝐹𝒻

3. 3.3 Prezentarea în tabel a unei distribuții unidimensionale

Modelul unui tabel simplu:

Interval de

grupare

Frecvența

absolută

Frecvența

relativă

Frecvența

absolută

cumulată

Frecvența

relativă

cumulată

x0-x1

|

|

xi-1-xi

|

n1

|

|

ni

|

f1

|

|

fi

|

N1

|

|

Ni

|

F1

|

|

Fi

|

22

|

xk-1-xk

|

nk

|

fk

|

Nk

|

Fk

Total N 1 - -

Exemplu: Inregistrarea unui eșantion de 100 persoane dupa caracteristica “vârstă”

Grupa de

vârstă

Efectivul

(ni)

Frecvenţa

absolută

fi

frecvenţa

relativă

Frecvenţa

absolută

cumulată

Frecvența

cumulată

relativă

Ni ( ⬆) Ni (⬇ ) Fi (⬆ ) Fi (⬇ )

0 – 14

15 – 59

60 si

peste

(din care

65 de ani

şi peste)

17

61

22

(10)

0,17

0,61

0,22

(0,1)

17

78

100

-

100

83

22

-

0,17

O,78

1

-

1

0,83

0,22

-

Total 100 1

Poligonul și curba frecvențelor

Poligonul frecvențelor – specific v. a. discrete

Se unesc prin segmente punctele Ai (xi,ni)i=1,𝑚 , unde X: (xi, ni) 𝑖 = 1,𝑚

Curba frecvențelor: punctele Ai( xi,ni) se unesc prin arce de curbă; Este

aproximată mai bine forma distribuţiei colectivității după caracteristica cercetatată.

Curba frecvențelor cumulate : se unesc punctele Ai(xi,Ni) prin arce de curbă.

Poligonul frecvenţelor cumulate : este reprezentarea grafică a funcției

empirice de repartiţie: Fn(x)= 𝑛𝑖𝑥𝑖<𝑥

23

Exemplul : distribuția familiilor dintr-un bloc după numărul de copii.

3.4. Histograma:

Folosită pentru serii cu distribuție continuă X: (𝒥𝒼,𝓀𝒼) unde 𝒥𝒼=(xi-1,𝑛𝒼)

𝒼 = 1,𝒾

Dacă intervalele sunt inegale se folosesc frecvențele reduse 𝒻𝒼 ≝𝑛𝒼

𝒾𝒼,

𝒾𝒼 =ℓ𝒼

𝑙𝑚𝑖𝑛

24

Construcția histogramei

Se construiesc dreptunghiuri cu baza aşezată pe abscisă, lungimea acesteia

fiind proporțională cu lungimea ℓ𝒼 a intervalului𝒥𝒼 .

Înălțimea dreptunghiurilor va fi proporțională cu 𝓀𝒼 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣 𝒻𝒼. Se poate obține poligonul frecvențelor dacă se unesc prin segmente mijloacele

intervalelor 𝒥𝒼 duse prin ordonatele 𝑛𝒼 𝑠𝑎𝑢 𝒻𝒼 .

Exemplul1: Ȋn tabelul de mai jos avem distribuţia unui eşantion de 200

persoane după timpul de deplasare zilnică ( în minute).

25

Exemplul 2: Ȋn tabelul de mai jos avem distribuţia unui eşantion de 100

persoane după vârstă

3.5. Diagrame de structură.

Proporționalitate între volumul colectivităţii( 100% )și suprafața din figură.

-dreptunghiul de structură ;

26

- pătratul de structură;

- cercul de structură.

Exemple:

3.6 Reprezentări grafice specifice seriilor de timp

Diagrama polară :pentru fenomene cu evoluţie ciclică( serii cronologice)

- Prin segmente de dreaptă,

- Prin sectoare de cerc;

Exemplu:

27

Construcție:

- Se construiește un cerc cu raza proporțională cu nivelul maxim al

fenomenului;

- Se împarte cercul într-un număr de sectoare egale cu numărul perioadelor de

variație;

- Se trasează sectoare de cerc cu raza proporțională cu nivelul atins de fenomen

în perioadele considerate.

Cronograma reprezentare grafică specifică seriilor de timp. Poate fi liniară

sau prin benzi sau coloane.

Exemple:

28

29

3.7 Cartograme și cartodiagrame

Reprezentări grafice specifice seriilor teritoriale

Cartograma: intensitatea de manifestare a unui fenomen

Cartodiagrama: structura unui fenomen.

Exemple:

30

3.8 Distribuții statistice bidimensionale

Definiție : Fie C o colectivitate de volum n

X – variabila cu valorile xi , 𝑖 = 1,𝑚

Y – variabila cu valorile 𝓎𝒽 ,𝒽 = 1,𝓅

Fie 𝑛𝒼𝒽 numărul elementelor din colectivitate corespunzătoare perechii

𝓍𝒼,𝑦𝑗 (frecvența absolută a perechii)

Se numește distribuție bidimensională (bivariată) șirul de triplete

(𝓍𝒼,𝓎𝒽,𝑛𝒼𝒽) 𝒼 = 1,𝑚 , 𝒽 = 1,𝓅

Această distribuție se prezintă într-un tabel cu dublă intrare (tabel de

corelație).

31

𝓎𝒽

𝓍𝒼

𝓎1−−−−𝓎𝒽−−−−−−𝓎𝓅

𝑥1

|

|

|

𝑥𝒼

|

|

|

𝑥𝒿

𝓀11−−−−𝓀1𝒽−−−−−𝓀1𝓅

|

|

𝓀𝒼1−−−−𝓀𝒼𝒽−−−−−𝓀𝒼𝓅

I

I

I

𝓀𝒿1−−−−𝓀𝒿𝒽−−−−−𝓀𝒿𝓅

𝓀1∙

𝓀𝒼∙

𝓀𝒿∙

𝓀∙1−−−−𝓀∙𝒽−−−−−𝓀∙𝓅 𝓀..

𝓀𝒼∙ = 𝑛𝒼𝒽𝓅𝒽=1 (𝓍𝒼,𝑛𝒼. )𝒼 = 1,𝒿 și

𝓀∙𝒽 = 𝓀𝒼𝒽𝒿𝒼=1 (𝓎𝒽, 𝓀,𝒽) 𝒽 = 1,𝓅

𝓀∙∙= 𝓀𝒼𝒽 𝓅𝒽=1

𝒿𝒼=1 distribuții marginale

Frecvențele relative marginale : 𝒺𝒼∙ =𝓀𝒼∙

𝓀∙∙

𝒺∙𝒽 =𝓀∙𝑗

𝓀∙∙

Frecvențele relative parțiale : 𝒺𝒼𝒽 =𝓀𝒼𝒽

𝓀∙∙

Frecvențele relative condiționate: 𝒺𝒼/𝒽 =𝓀𝒼𝒽

𝓀∙𝒽 , 𝒽 − 𝑓𝑖𝑥; 𝒼 = 1,𝒿

𝒺𝒽/𝒼 =𝓀𝒼𝒽

𝓀𝒼∙ , 𝒼 − 𝑓𝑖𝑥 ; 𝒽 = 1,𝓅

32

a) Distribuții bidimensionale cu ambele variabile cantitative.

Exemplu: Prezentarea unui eșantion de 50 de persoane dintr-o întreprindere după

producția individuală (bucăți) și salariul lunar ( lei / lună)

𝓎𝒽−1,𝓎𝒽

(𝓍𝒼−1;𝓍𝒼)

200-400 400-600 600-800 800-1000 1000-

1200 𝓀𝒼∙

20-30 2 - - - - 2

30-40 1 1 5 - - 7

40-50 - 5 7 10 - 22

50-60 - 1 2 4 5 12

60-70 - 1 1 3 2 7

𝓀∙𝒽 3 8 15 17 7 50

Reprezentări grafice – norul de puncte – într-un sistem de axe se trasează

rețeaua corespunzătoare valorilor 𝓍𝒼 , 𝓎𝒽. Se construiesc apoi punctele (𝓍𝒼,𝓎𝑗 ) în

celulele reţelei.

Diagrama paralelipipedelor – în sistem de 3 axe . Se construiesc

paralelipipede cu baza în planul ( X0Y), iar înălțimea proporţională cu 𝓀𝒼𝒽 .

b)Distribuţie bidimensională, cu o variabilă cantitativă și una atributivă.

33

Reprezentarea grafică : piramida vârstelor.

c)Distribuţie bidimensională cu ambele variabile atributive.

34

Teste

Distribuţia unui eşantion de 150 de persoane după caracteristica „timpul de

deplasare zilnică”, este:

Timpul de

deplasare(minute)

Ji=xi-1 - xi

0-30

30-60

60-90

90-120

120-180

Număr persoane

ni

15

40

50

35

10

a) să se reprezinte grafic histograma, poligonul şi curba frecvenţelor.

b) să se reprezinte grafic structura pe intervalele 0-60, 60-120, 120-180, folosind

cerc, respectiv dreptunghi de structură.

Bibliografie

1)Jaba Elisabeta – Statistică economică, ediţia a treia, Ed. Economică, Bucureşti

2002

2)Ţiţan Emilia – Statistică.Teorie şi aplicaţii în sectorul terţiar.Ed. Meteor

Press Bucureşti 2002

3)Otinan Păun Ioan, Creţ Florian – Elemente de matematici aplicate în

economia agroalimentară, Ed. Agroprint, Timişoara 2002

4)PetriSor Emilia – Probabilităţi şi statistică .Aplicaţii în economie şi inginerie,

Ed. Politehnica, Timişoara 2003

5)Florea I., ş.a.- Statistică descriptivă.Teorie şi aplicaţii, Ed. Aisteda Alba-Iulia

1998

35

MODULUL 2

Indicatori statistici în mărimi

absolute şi relative

Indicatori ai tendinţei centrale

36

OBIECTIVE

- cunoaşterea semnificaţiei şi a relaţiilor matematice de definire a indicatorilor în

mărimi absolute şi relative

- cunoaşterea semnificaţiei şi a relaţiilor matematice de definire a indicatorilor

tendinţei centrale

- înţelegerea rolului şi importanţei acestor indicatori în caracterizarea unui set de

date

- însuşirea modului de calcul a acestor indicatori în diverse situaţii practice

CUVINTE CHEIE

- indicator statistic, mărimi absolute, mărimi relative, medie, modul, mediană,

medială, quantile

37

CUPRINS MODUL 2

Capitolul 4 Indicatori statististici în mărimi absolute

şi relative.....................................................................................38

4.1 Indicatori în mărimi absolute ..............................................38

4.2 Indicatori în mărimi relative ...............................................38

Capitolul 5 Indicatori ai tendinței centrale. ( Mărimi medii)..........40

5.1 Probleme generale ale mărimilor medii...........................40

5.2 Media aritmetică........................................................................42

5.3 Media unei caracteristici alternative..................................44

5.4 Medii cu aplicație specială.......................................................44

5.5 Modul (Dominanta)..................................................................46

5.6 Mediana..........................................................................................47

5.7 Quantilele .......................................................................................50

5.8 Mediala...............................................................................................53

5.9 Relații între valorile tendinței centrale ...............................55

Teste…………………………………………………………………………………………….56

Bibliografie…………………………………………………………………………………..57

38

Cap.4. Indicatori statististici în mărimi absolute şi relative.

4.1 Indicatori în mărimi absolute

Indicatorii de nivel – sunt indicatori individuali, rezultat al centralizării pe

grupe. Se obțin prin sumare directă în cadrul unei grupe: 𝓍𝒼 , 𝑦𝒼 , 𝑧𝒼

Indicatori ai variației absolute :

Fie 𝑋: (𝓍𝒼,𝓀𝒼)𝒼 = 1,𝒿 , 𝓍𝒼0 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖𝑙𝑒 î𝑛 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑢𝑙 𝒯0

𝓍𝒼1 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖𝑙𝑒 î𝑛 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑢𝑙 𝒯1

Numărul Δ1/0𝓍 ≝ 𝓍𝒼1 − 𝓍𝒼0 se numește spor.

Sau Δ1/0𝓍 = 𝓍𝒼1𝒼 − 𝓍𝒼0𝒼 , 𝒼 = 1,𝒿

4.2 Indicatori în mărimi relative:

Exprimă rezultatul comparării a doi indicatori statistici sub formă de raport.

Arată câte unități din indicatorul de la numărător revin la o unitate a indicatorului

considerat ca bază de raportare.

Probleme ale folosirii mărimilor relative.

- alegerea bazei de comparare: funcție de gradul de independență dintre

caracteristici sau funcție de scopul cercetării;

- asigurarea comparabilității datelor ce formează raportul;

- alegerea formei de exprimare a mărimilor relative (procente, promili,

prodecimili etc.) arată de câte ori se cuprinde indicatorul de raportat în baza de

raportare.

Tipuri de mărimi relative:

Mărimile de structură : (ponderi sau greutăți specifice ).

39

Exprimă raportul dintre parte și întreg.

Notaţii : 𝒺𝒼, ℊ𝒼, 𝓅𝒼, 𝒼 = 1,𝓀

Exemplu : 𝒺𝒼 =𝓀𝒼

𝓀𝒼 ; 𝒺𝒼 = 1 𝑠𝑎𝑢 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝒺𝑖% =

𝓀𝒼

𝓀𝒼. 100, 𝒺𝑖% =

100%

Mărimi relative de corespondență (mărimi relative de coordonare)

𝐾𝐴/𝐵 =𝑋𝐴𝑋𝐵

. 100

𝐾𝐵/𝐴 =𝑋𝐵𝑋𝐴

. 1000

𝑋𝐴 ,𝑋𝐵 − nivelul grupei A respectiv B.

Arată câte unități dintr-o grupă revin la 100 sau 1000 unități din cealaltă grupă a

colectivității.

Mărimi relative de intensitate :

K = 𝑋

𝑌

K = marimea relativă de intensitate.

X = variabila (fenomenul) de raportat.

Y = variabila (fenomenul) ales ca bază de raportare.

Arată gradul, intensitatea de răspândire a unui fenomen în raport cu variabila la

care se raportează.

Se utilizează în demografie (caracterizează mișcările populației), economie.

40

Cap.5 Indicatori ai tendinței centrale. ( Mărimi medii).

5.1 Probleme generale ale mărimilor medii.

Mediile, sunt mărimi statistice care exprimă în mod sintetic si generalizant,

ceea ce este esențial pentru unitățile unei colectivități distribuite dupa o anumită

caracteristică.

Trăsături caracteristice :

- media exprimă în mod sintetic valorile unei serii statistice şi are un caracter

abstract;

41

- este o mărime generalizantă (înlocuind fiecare termen al seriei cu nivelul

mediu, suma termenilor va fi aceeași);

- media sintetizează normalul, adică exprimă nivelul purtat de majoritatea

unităților colectivității. Se mai numește și speranța matematică (poziția centrală

spre care tind unitățile unei colectivități);

- este rezultatul acțiunii factorilor esențiali, exprimă legicul. Abaterile de la

nivelul mediu se datorează factorilor aleatori.

Condiții de calitate ale unei mărimi medii(Principiul lui Yule)

1.Media trebuie definită obiectiv printr-o definiție sau formulă;

2.Media trebuie să fie reprezentativă pentru toți termenii seriei;

3.Media trebuie să aibe o semnificație concretă ușor de observat;

4.Media trebuie să fie simplu de calculat;

5.Media trebuie să se preteze la calcule algebrice ulterioare;

6.Media trebuie să fie puțin sensibilă la fluctuațiile de eșantionare.

Clasificarea mărimilor medii

a)După rolul lor în analiza statistică :

- mărimi medii fundamentale : - media aritmetică;

- modul;

- mediana;

- mărimi medii cu aplicații speciale:

- media geometrică;

- media armonică;

- media pătratică;

42

- media progresivă;

- media cronologică;etc

b)După modul de obținere:

- medii de poziție: modul, mediana, mediala;

- medii de calcul

– medii simple pentru distribuții de tipul:

X: (𝓍𝒼,𝓀𝒼)𝒼 = 1,𝒿, 𝓀1 = 𝓀2 = ⋯ = 𝓀𝒿

- medii ponderate pentru distribuții de tipul

X: (𝓍𝒼,𝓀𝒼)𝒼 = 1,𝒿 , 𝓀1 ≠ 𝓀2 ≠ ⋯ ≠ 𝓀𝒿

5.2 Media aritmetică (𝔁 )

Definiție -mod de calcul.

Media simplă:

Dacă : X: (𝓍𝒼,𝓀𝒼)𝒼 = 1,𝒿 , 𝓀1 = 𝓀2 = ⋯ = 𝓀𝒿

atunci: 𝓍 =1

𝒿. 𝓍𝒼

𝒿𝒼=1 ; 𝒿 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑢𝑙 𝑐𝑜𝑙𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡ăț𝑖𝑖.

Observăm că: 𝓍𝒼𝒿𝒼=1 = 𝒿.𝓍

Media ponderată :

Dacă: X: (𝓍𝒼,𝓀𝒼)𝒼 = 1,𝒿 , 𝑛1 ≠ 𝑛2 ≠ ⋯ ≠ 𝑛𝑚

atunci: 𝓍 = 𝓍𝒼.𝑛𝒼𝒿𝒼=1

𝓀𝒼𝒿𝒼=1

= 𝓍𝒼𝑓𝒼𝒿𝒼=1

unde 𝑓𝑖 =𝓀𝒼

𝓀𝒼𝒿𝒼=1

ș𝑖 𝑓𝒼𝒿𝒼=1 = 1

Dacă seria este prezentată pe intervale de variație:

X: (ℐ𝒼,𝑛𝒼)𝑐𝑢 𝒥𝒼 = (𝓍𝒼−1,𝓍𝒼), 𝒼 = 1,𝑚

43

atunci: 𝓍 = 𝓍 ́𝒼,𝑛𝒼𝑚𝒼=1

𝑛𝒼𝑚𝒼=1

= �́�𝒼 ,𝑓𝒼𝑚𝒼=1

unde: x́i= 𝓍𝑖−1+𝓍𝒼

2 (𝑚𝑖𝑗𝑙𝑜𝑐𝑢𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑢𝑙𝑢𝑖)

Proprietăți ale mediei aritmetice:

1. Dacă: 𝓍1 = 𝓍2 = ⋯ = 𝓍𝒿 = 𝓍0 𝑎𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖 𝓍 = 𝓍0

2. 𝓍𝑚𝑖𝑛 < 𝓍 < 𝓍𝑚𝑎𝑥 (𝑚ă𝑟𝑖𝑚𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛ă)

3. (𝓍𝒼 − 𝓍 )𝒿𝒼=1 = 0 (𝑚ă𝑟𝑖𝑚𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙ă)

4. (𝓍𝒼 − 𝒶)2𝒿𝒼=1 = 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚ă ⟺ 𝒶 = 𝓍

5. a) 𝓍′ = (𝓍𝒼±𝒶)𝒿𝒼=1

𝒿= 𝓍 ± 𝒶 (𝑚ă𝑟𝑖𝑚𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣ă)

b) 𝓍′′ =

𝓍𝒼𝒾

𝒿𝒼=1

𝒿=

𝓍

𝑘

c) 𝓍′′′ = 𝓍𝒼𝒿𝒼=1

𝓀𝒼𝒸

𝓀𝒼𝒸

𝒿𝒼=1

= 𝓍 (𝑚𝑖𝑐ș𝑜𝑟ă𝑚 𝓀𝒼 𝑑𝑒 𝒸 𝑜𝑟𝑖)

6. dacă: Z = X+Y , X,Y variabile aleatoare independente, atunci: 𝑋 + 𝑌 = 𝑋 +

𝑌

Calculul simplificat al mediei.

Din propietățile 5) punctul a) și b), c

𝓍 =

𝓍𝒼 − 𝑎𝑘

𝒿𝒼=1

𝒿∙ 𝑘 + 𝒶 𝑑𝑎𝑐ă 𝓀1 = 𝓀2 = ⋯ = 𝓀𝒿

Respectiv:

𝓍 =

𝓍𝒼 − 𝑎𝑘

∙𝓀𝒼

𝒸𝒿𝒼=1

𝓀𝒼

𝒸𝒿𝒼=1

∙ 𝑘 + 𝒶,𝑑𝑎𝑐ă 𝓀1 ≠ 𝓀2 ≠ ⋯ ≠ 𝓀𝒿

44

5.3 Media unei caracteristici alternative:

Distribuția de frecvență pentru o caracteristică alternativă.

Valori ale caracteristicii

(𝓍𝒼)

Frecvența de apariție

Efectiv (𝓀𝒼) Pondere (𝒺𝒼)

Da (1)

Nu (0)

Unitați ce posedă

caracteristica 𝓀1

Unități ce nu posedă

caracteristica 𝓀 −𝓀1

p=𝓀1

𝓀

𝑞=𝓀−𝓀1

𝓀

Total n 𝑝 + 𝑞=1

𝓍 = 𝓍𝒼 ∙ 𝓀𝒼

𝑛𝒼=

1 ∙ 𝓀1 + 0 ∙ (𝑛 − 𝓀1)

𝓀=𝓀1

𝓀= 𝑝

Media unei caracteristicii alternative = ponderea unităților ce posedă caracteristica.

5.4 Medii cu aplicație specială

Media geometrică.

– Se aplică doar pentru numere pozitive.

Media geometrică simplă:

𝓍ℊ = 𝓍1 ∙ 𝓍2 … . .𝓍𝒿𝒿 , 𝑑𝑎𝑐ă 𝑛𝒼 𝑠𝑢𝑛𝑡 𝑒𝑔𝑎𝑙𝑒.

Media geometrică ponderată :

𝓍ℊ = 𝓍1𝓀1 ∙ 𝓍2

𝓀2 ⋅ … .∙ 𝓍𝒿𝓀𝒿

𝓀𝒼𝒿𝒼=1

= 𝓍1𝒺1 ∙ 𝓍2

𝒺2 ∙ … .𝓍𝒿𝒺𝒿

45

Observații : logaritmând relațiile celor două medii obținem:

1) ℓℊ𝓍ℊ =ℓℊ𝓍1+ℓℊ𝓍2+⋯+ℓℊ𝓍𝒿

𝒿

2) ℓℊ𝓍ℊ =𝑛1ℓℊ𝓍1+𝑛2ℓℊ𝓍2+⋯+𝑛𝒿ℓℊ𝓍𝒿

𝓀𝒼𝒿𝒼=1

= 𝒺1ℓℊ𝓍1 + 𝒺2ℓℊ𝓍2 + ⋯+ 𝒺𝒿ℓℊ𝓍𝒿

Proprietăți:

1) 𝑥ℊ este mărime internă, normală și translativă.

2) 𝑧ℊ =𝑥ℊ ∙ 𝑦ℊ unde 𝑍 = 𝑋 ∙ 𝑌, 𝑋,𝑌 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒.

3) 𝑧ℊ =𝑥ℊ

𝑦ℊ unde 𝑍 =

𝑋

𝑌, 𝑋,𝑌 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒.

Exemplu: Cifra de afaceri a unei firme crește cu 10% în primul an; cu 15% în

următorii doi ani și cu 18% în ultimul an pe o perioada de observare de patru ani.

Să se calculeze creșterea medie anuală.

𝓍ℊ = 𝜋𝓍𝒼𝓀𝒼

𝓀𝒼= 1,10 ∙ 1,152 ⋅ 1,18

4= 1,716605

4= 1,144635 = 1,145

⟹ 𝑐𝑟𝑒ș𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙ă 𝑑𝑒 14,5%

Media de ordin r :

𝓍𝓇 =1

𝓀∙ 𝓍𝒼

𝓇

𝒿

𝒼=1

∙ 𝓀𝒼

Media aritmetică de ordin r:

𝓍𝓇 = 𝓍𝓇𝓇

Observație:

Dacă: 𝓇 = 1, 𝓍1 = 𝓍

𝓇 = 2, 𝓍2 =𝓍𝓅

46

𝓇 = −1,𝓍−1 = 𝓍𝒻

Inegalitatea mediilor:

𝓍𝒻 < 𝓍ℊ < 𝓍 < 𝓍𝓅

5.5 Modul (Dominanta)

Notat Mo sau Do. Este o mărime fundamentală de pozitie.

Modul este valoarea caracteristicii 𝓍𝑘 cu frecvența absolută 𝓀𝑘 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚ă.

Determinarea modului:

𝑎) 𝑋: (𝓍𝒼,𝑛𝑖) 𝒼 = 1,𝒿 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙ă 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡ă.

-se determină 𝑛𝑘 = 𝑛𝑚𝑎𝑥 .

-se citește valoarea corespunzătoare 𝓍𝑘=𝑀0

b)dacă X: (𝒥𝒼,𝓀𝒼)𝒼 = 1,𝒿 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙ă 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢ă (𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑒)

-se determină 𝓀𝒼 = 𝓀𝑚𝑎𝑥

- Se citește intervalul modal 𝐽𝑖 = (𝓍𝒼−1,𝓍𝒼) 𝑐𝑜𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑛𝑧ă𝑡𝑜𝑟.

- 𝑀0 = 𝓍𝒼−1 + 𝒹Δ1

Δ1+Δ2

𝒹 = 𝓍𝒼 − 𝓍𝒼−1

Δ1 = 𝓀𝒼 −𝓀𝒼−1

Δ2 = 𝓀𝒼 −𝓀𝒼+1

Dacă intervalele sunt inegale se folosesc în loc de 𝓀𝒼 frecvențele reduse:

𝒻𝒼 =𝓀𝒼

𝑘𝒼, 𝑘𝒼 =

ℓ𝒼

ℓ𝑚𝑖𝑛

Determinarea grafică : cu histograma.

47

Propietățile modulului.

1. 𝓍𝑚𝑖𝑛 < 𝑀0 < 𝓍𝑚𝑎𝑥 − 𝑚ă𝑟𝑖𝑚𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛ă.

2. 𝑀0 − 𝑛𝑢 𝑠𝑒 𝑠𝑐𝑕𝑖𝑚𝑏ă 𝓀𝒼 𝑠𝑎𝑢 𝒺𝒼 , 𝑠𝑒 î𝑚𝑝𝑎𝑟𝑡 𝑙𝑎 𝒿 ≠ 0

3. Dacă 𝓍 ′𝒼 = 𝓍𝒼 ± 𝑎 𝑎𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖:

𝑀′0 = 𝑀0 ± 𝑎

4. Dacă: 𝓍′𝒼 =𝓍𝒼

𝒾 𝑎𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑀′0 =

𝑀0

𝒻 𝑑𝑒𝑐𝑖 𝓍′𝒼 = 𝒾 ∙ 𝓍𝒼, 𝑎𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖

𝑀′0 = 𝑀0 ∙ 𝒾

Media armonică:

𝓍𝒻 =𝒿

1𝓍𝒼

𝒿𝒼=1

𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙ă

𝓍𝒻 = 𝓀𝒼𝒿𝒼=1

𝓀𝒼𝓍𝒼

𝒿𝒼=1

ponderată.

Media pătratică:

a)Simplă:

𝓍𝓅 = 𝓀𝒼

2𝒿𝒼=1

𝓀 𝑠𝑎𝑢 𝓍𝓅

2 = 𝓍𝒼

2𝒿𝒼=1

𝓀

b)Ponderată:

𝓍𝓅 = 𝓍𝒼

2 ⋅ 𝓀𝒼𝒿𝒼=1

𝓀𝒼𝒿𝒼=1

𝑠𝑎𝑢 𝓍𝓅2 =

𝓍𝒼2 ∙ 𝓀𝒼

𝒿𝒼=1

𝓀𝒼𝒿𝒼=1

5.6 Mediana(𝑴𝒆)

Definiție : Se numește mediană acea valoare a caracteristicii unei serii

ordonate, până la care și peste care sunt distribuite în număr egal unitățile

colectivității.

48

Dacă volumul colectivității este m, atunci locul medianei corespunde valorii

𝑈𝑀𝑒 =𝑚+1

2 - unitatea mediană

a) X= (𝓍𝒼)𝒼 = 1,𝒿

i) dacă m=2p+1 atunci ∪𝑀ℯ=𝒿+1

2=

2𝑝+2

2= 𝑝 + 1

Deci : 𝑀ℯ = 𝓍𝑝+1

Exemplu: 𝑋: 𝓍1 = 5; 𝓍2 = 10; 𝓍3 = 15; 𝓍4 = 25; 𝓍5 = 35

𝒿 = 5 = 2 ∙ 2 + 1; 𝑝 = 2;

∪𝑀ℯ=𝒿+1

2=

5+1

2= 3 ⟹ 𝑀ℯ = 𝓍3=15

𝒼𝒼) 𝒿 = 2𝓅 𝑎𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖 ∪𝑀ℯ=𝒿

2=

2𝓅

2= 𝑝

Avem doi termeni centrali ai seriei 𝓍𝓅 și 𝓍𝓅+1

𝑀ℯ =𝓍𝓅 + 𝓍𝓅+1

2

Exemplu: 𝑋: 𝓍1 = 4; 𝓍2 = 6; 𝓍3 = 9; 𝓍4 = 10; 𝒿 = 4 = 2 ∙ 2; 𝑝 = 2

𝑀ℯ =𝓍2+𝓍3

2=

9+6

2=

15

2= 7.5

b) 𝑋: (𝓍𝒼; 𝓀𝒼)𝒼 = 1,𝒿

1) Se calculează 𝑁𝒼(↑) = 𝓀𝒼𝒼𝒾=1

2) Se determină ∪𝑀ℯ=𝑚

2 𝑑𝑎𝑐ă 𝑚 = 2𝑝 𝑠𝑎𝑢

∪𝑀ℯ=𝑚+1

2 𝑑𝑎𝑐ă 𝑚 = 2𝑝 + 1

Se determină 𝑐𝑒𝑎 𝑚𝑎𝑖 𝑚𝑖𝑐ă 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑎𝑟𝑒 𝑁𝒼(↑) 𝑎𝑠𝑡𝑓𝑒𝑙 î𝑛𝑐â𝑡 𝑁𝒼(↑) ≥ ∪𝑀ℯ

3) Se determină 𝑀ℯ = 𝓍𝒼

Exemplu:

49

𝓍𝒼 𝓀𝒼 𝒩𝒼(↑)

0

1

2

3

4

5

6

7

6

18

23

20

14

6

2

1

6

24

47

67

81

87

89

90

m=90=2p

∪𝑀ℯ=𝒿

2=

90

2= 45

Observăm că:

𝑁3(↑) = 47 > 45 =∪𝑀ℯ

⟹ 𝑥3 = 2 = 𝑀𝑒

total 90 -

c) 𝑋: (𝒥𝒼; 𝓀𝒼)𝒼 = 1,𝒿

𝒥𝒼 = (𝓍𝒼−1; 𝓍𝒼)

1) Se calculează∶ 𝑁𝑖(↑)

2) Se determină ∪𝑀ℯ ș𝑖 𝑙𝑜𝑐𝑢𝑙 𝑒𝑖 𝑎𝑠𝑡𝑓𝑒𝑙 î𝑛𝑐â𝑡 𝑁𝑖(↑) ≥ ∪𝑀ℯ

3) Se determină intervalul median 𝒥𝒼 , î𝑛 𝑑𝑟𝑒𝑝𝑡𝑢𝑙 𝑙𝑢𝑖 𝑁𝑖(↑) ≥ ∪𝑀ℯ

4) 𝑀𝑒 = 𝓍𝑖 + 𝒹𝑈𝑀𝑒−𝑁𝒼−1(↑)

𝑛𝒼

𝒹 − 𝑙𝑢𝑛𝑔𝑖𝑚𝑒𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑢𝑙𝑢𝑖 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛

𝑁𝑖−1(↑) 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑣𝑒𝑛ț𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑎𝑟ă 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑢𝑙𝑢𝑖 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛

𝓀𝑖 − 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑣𝑒𝑛ț𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡ă 𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑢𝑙𝑢𝑖 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛

Exemplu:

Să se determine mediana pentru seria de intervale următoare

(𝓍𝑖−1;𝓍𝒼] 𝓀𝒼 𝑁𝒼 ( ↑ ) 𝑁𝒼 ( )

(0;30]

(30;60]

(60;90]

(90;120]

(120;150]

(150;180]

25

50

60

45

15

5

25

75

135

180

195

200

200

175

125

65

20

5

Total 200 - -

50

𝑈𝑀𝑒 =200

2= 100; 𝑁3(↑) = 135 > 100 = 𝑈𝑀𝑒 → (60; 90) 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑢𝑙 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛.

𝑀𝑒 = 𝓍𝒼−1 + 𝒹𝑈𝑀𝑒 −𝑁𝒼−1( ↑)

𝓀𝒼= 60 + 30

100 − 75

60= 60 + 12.5 = 72.5

5.7 Quantilele(generalizări ale medianei)

Sunt valori ale caracteristicii ce împart seria în r grupe ale căror efective

sunt egale. Numărul r se numește ordinul quantilelor.

Quantile uzuale:

r=2 - quantila este mediana

r=4 – quartilele

r=10 – decilele

r=100 – centilele

Quantilele: Q1 Q2 Q3

𝓀𝑖

0 Q1 Q2 Q3 𝓍𝒼

Q1=𝓍𝒼 + 𝒹𝑈𝑄1−𝒩𝒼−1

𝓀𝑄1

𝒩𝒼 = 𝒩𝒼(↑)

51

Q2=ℳ𝑒 = 𝓍𝒼 + 𝒹𝑈ℳℯ−𝒩𝒼−1

𝓀𝑄2

𝒩𝒼 ≥ ⋃𝑄𝓇 , 𝓇 ∊ {1,2,3}Q3=𝓍𝒼 + 𝒹𝑈𝑄3−𝒩𝒼−1

𝓀𝑄3

Unde ⋃𝑄1 = 𝓀𝒼

4, ⋃𝑄2 = ⋃ℳℯ =

𝓀𝒼

2 ; ⋃𝑄3 =

3 𝓀𝒼

4

𝒹 − 𝑙𝑢𝑛𝑔𝑖𝑚𝑒𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑢𝑙𝑢𝑖 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙𝑖𝑐.

Decilele: D1 , D2 , ……….., D9

D1 = 𝓍𝒼−1 + 𝒹𝑈𝐷1−𝒩𝒼−1

𝓀𝐷1

D5= ℳℯ = 𝑄2

D9= 𝓍𝒼−1 + 𝒹𝑈𝐷9−𝒩𝒼−1

𝓀𝐷9

⋃𝐷1 = 𝓀𝒼

10 , ……….,⋃𝐷9 =

9 𝓀𝒼

10 (𝑢𝑛𝑖𝑡ăț𝑖 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑙𝑖𝑐𝑒)

𝒩𝒼 = 𝒩𝒼(↑) 𝒩𝒼 ≥ ⋃𝐷𝓇 , 𝓇 ∊ 1,9

𝑛𝐷𝓇 − 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑣𝑒𝑛ț𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑢𝑙𝑢𝑖 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑙𝑖𝑐 , 𝓇 ∊ 1,9

Centilele: C1 , C2 , … ,C99

C1 = 𝓍𝒼−1 + 𝒹𝑈𝐶1−𝒩𝒼−1

𝓀𝐶1

C50= 𝐷5 = 𝑄2=ℳℯ

C99= 𝓍𝒼−1 + 𝒹𝑈𝐶99−𝒩𝒼−1

𝓀𝐶99

unde: ⋃𝐶1 = 𝓀𝒼

100 , ………,⋃𝐶99 =

99

100 𝓀𝒼 (𝑢𝑛𝑖𝑡ăț𝑖 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙𝑖𝑐𝑒)

Exemplu: Să se calculeze quartilele,decilele şi centilele extreme pentru seria de

intervale prezentată în tabelul următor:

52

(𝓍𝒼−1;𝓀𝒼] 𝓀𝒼 𝒩𝒼 ( ) 𝒩𝒼 ( )

(0,30]

(30 ; 60]

(60 ; 90]

(90 ; 120]

(120 ; 150]

(150 ; 180]

25

50

60

45

15

5

25

75

135

180

195

200

200

175

125

65

20

5

Total 200 - -

Quartilele:

⋃𝑄1 = 𝓀𝒼

4=

200

4= 50

Observăm că: 𝒩2(↑) = 75 > 50 = ⋃𝑄1 ⟹ (30; 60 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙𝑖𝑐 1

Q1=𝓍𝒼−1 + 𝒹𝑈𝑄1−𝒩𝒼−1(↑)

𝓀𝑄1

= 30 + 3050−25

50= 30 + 15 = 45

⋃𝑄2 = 𝓀𝒼

2=

200

2= 100

𝒩3(↑) = 135 > 100 = ⋃𝑄2 ⟹ (60; 90 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙𝑖𝑐 2

Q2=ℳ𝑒 = 𝓍𝒼−1 + 𝒹𝑈𝑄2−𝒩𝒼−1 (↑)

𝓀𝑄2

= 60 + 30100−75

60= 60 + 30

25

60= 60 +

75

6=

= 60 +25

2= 60 + 12.5 = 72.5

⋃𝑄3 =3

4 𝓀𝒼 =

3

4∙ 200 = 150

Observăm că: 𝒩4(↑) = 180 > 150 = ⋃𝑄3 ⟹ (90; 120 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙𝑖𝑐 3

Q3=𝓍𝒼−1 + 𝒹𝑈𝑄3−𝒩𝒼−1 (↑)

𝓀𝑄3

= 90 + 30150−135

45= 90 + 30 ∙

15

45= 90 + 10 = 100

Decilele:

𝑈𝐷1= 𝓀𝒼

10=

200

10= 20

53

Observăm că: 𝒩1(↑) = 𝓀1 = 25 > 20 = 𝑈𝐷1⟹ (0; 30 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑙𝑖𝑐 1 ⟹

D1=𝓍𝒼−1 + 𝒹𝑈𝐷1−𝒩𝒼−1 (↑)

𝓀𝐷1

= 0 + 30 ∙20−0

25= 30 ∙

4

5= 24

𝑈𝐷9=

9

10∙ 𝓀𝒼 =

9

10∙ 200 = 180

Observăm că: 𝒩4(↑) = 180 = 𝑈𝐷9⟹ (90; 120 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑙𝑖𝑐 9

D9=𝓍𝒼−1 + 𝒹𝑈𝐷9−𝒩𝒼−1 (↑)

𝓀𝐷9

= 90 + 30180−135

45= 90 +

90

3= 120

Diagrama ‘’box-plot’’ (Tukey 1972)

∗ ∣ ∣ ∗

D1 Q1 Me Q3 D9

∗ - valorile minime și maxime ale distribuției.

D1 , D9 - decilele extreme.

5.8 Mediala (𝑴𝒍)

Indicator de poziție egal cu acel nivel al caracteristicii 𝓍𝒼 ce împarte suma

𝓍𝒼𝓀𝒼 în două părți egale.

Notaţie: 𝑀ℓ .

Avem că: 𝑀ℓ≥𝑀ℯ

Determinarea medialei pentru serii simple : 𝑋: (𝓍𝒼)𝒼 = 1,𝒿

1.Se ordonează crescător termenii 𝑥𝒼

2.Se determină șirul 𝐿𝒻 = 𝓍𝒼𝒻𝒼=1 , 𝒻 = 1,𝒿

54

3.𝑈𝑀ℓ = 𝓍𝒼𝒿𝒼=1

2 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑡𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑙ă

4. 𝑀ℓ =𝓍𝒻 𝑢𝑛𝑑𝑒 𝐿𝒻 , 𝑐𝑒𝑎 𝑚𝑎𝑖 𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑎𝑟𝑒 𝑝𝑡. 𝑐𝑎𝑟𝑒 , 𝐿𝒻≥𝑈𝑀ℓ

Exemplu: Să se determine mediala pentru seria cu valorile :2, 4, -3, 5, 8, 6, 1, 9

𝒿=8

𝓍1 =-3; 𝓍2=1; 𝓍3=2; 𝓍4=4; 𝓍5=5; 𝓍6=6; 𝓍7=8; 𝓍8 = 9

𝐿1=𝓍1 =-3

𝐿2=𝓍1 +𝓍2 =-2

𝐿3 = 𝓍1 + 𝓍2 + 𝓍3 = 𝐿2 + 𝓍3 = −2 + 2 = 0

𝐿4 = 4

𝐿5 = 9

𝐿6 = 15 𝑈𝑀ℓ =32

2= 16

𝐿7 = 23

𝐿7 = 23 >16= 𝑈𝑀𝑙 , deci 𝑀ℓ = 𝓍7=8

𝐿8 = 32= 𝓍𝒼8𝒼=1

a)Determinarea 𝑀ℓ pentru serii cu frecvență: 𝑋: (𝓍𝒼,𝓀𝒼)𝒼 = 1,𝒿

1. Se determină 𝐿𝒻 = 𝓍𝒼𝓀𝒼𝒻𝒼=1 , 𝒻 = 1,𝒿

2. 𝑈𝑀ℓ = 𝓍𝒼𝓀𝒼𝒿𝒼=1

2

3. 𝑀ℓ=𝓍𝒾 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑐𝑎𝑟𝑒 𝐿𝒾 ≥ 𝑈𝑀ℓ , (𝐿𝒾 𝑐𝑒𝑎 𝑚𝑎𝑖 𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑎𝑟𝑒 )

b)Determinarea 𝑀ℓ pentru serii de intervale: 𝑋: (𝒥𝒼,𝓀𝒼)𝒼 = 1,𝓀

1. Se determină: 𝐿𝒾 = 𝓍′𝒼 ∙ 𝓀𝒼𝒻𝒼=1 𝓍′𝒼 –𝑚𝑖𝑗𝑙𝑜𝑐𝑢𝑙 𝑙𝑢𝑖 𝒥𝒼, 𝒾 = 1,𝓀

55

2. 𝑈𝑀ℓ = 𝓍 ′

𝒼𝓀𝒼𝒿𝒼=1

2 − 𝑠𝑒 𝑐𝑖𝑡𝑒ş𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑢𝑙 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑙 î𝑛 𝑑𝑟𝑒𝑝𝑡𝑢𝑙 𝑙𝑢𝑖

𝐿𝒾 ≥ 𝑈𝑀ℓ

3. 𝑀ℓ = 𝓍𝒼−1 + 𝒹𝑈𝑀ℓ−𝐿𝑕−1

𝓍′𝑕 ,𝓀𝑕

5.9 Relații între valorile tendinței centrale

1) Dacă distribuția este unimodală simetrică atunci: 𝓍 = 𝑀𝑒 = 𝑀0

𝓀𝒼

𝓍 = 𝑀𝑒 = 𝑀0 𝓍𝒼

2) Dacă distribuția este unimodală asimetrică atunci are loc relația

𝓍 − 𝑀0 = 3(𝑀𝑒 −𝑀0)

Ex: Pt distribuţia după timpul de deplasare în minute a eşantionului de 200

persoane, avem: 𝓍 =73,5; 𝑀0=72; 𝑀𝑒=72,5

73,5-72=3(72,5-72), adevărat.

56

TESTE

1) Populaţia ocupată (mii persoane) pe sectoare de activitate în România, în anii

1993 şi 2001 este dată în tabelul de mai jos:

Sectorul de activitate 1993 2001

Industrie 3030 2017

Construcţii 574 340

Agricultură şi silvicultură 3614 3498

Alte ramuri 2844 2708

Total 10062 8563

Sursa: Anuarul Statistic al României, 1994, C.N.S. , p.158, 2002, p.94

a) Să se întocmească un tabel cu ponderea populaţiei ocupate pe sectoare de

activitate, în anul 1993 comparativ cu anul 2001.

b) Să se întocmească un tabel cu modificările de structură în 2001 faţă de 1993 pe

sectoare de activitate, în mărime absolută.

2) Numărul de salariaţi pe sexe la nivelul economiei naţionale a Romăniei, la

31.12.1999, este dat în tabelul următor:

Total personal muncitor 2.976.000

Bărbaţi 1.781.000

Femei 1.195.000

Sursa: Anuarul Statistic al României, I.N.S., 2000, p.110

Se cere să se calculeze mărimile relative de corespondenţă( coordonare).

3) Distribuţia muncitorilor unei firme după caracteristica „timpul necesar realizării

unui produs”, este dată în tabelul următor:

57

Timpul

(min)

Ji= xi-1-xi

0-30 30-60 60-90 90-120 120-150 150-180

Număr

muncitori

ni

25 50 60 45 15 5

Să se calculeze:

a) Media aritmetică

b) Modul

c) Mediana

d) Diagrama Box-Plot

e) Mediala

Bibliografie

1)Jaba Elisabeta – Statistică economică, ediţia a treia, Ed. Economică, Bucureşti

2002

2)Ţiţan Emilia – Statistică.Teorie şi aplicaţii în sectorul terţiar.Ed. Meteor

Press Bucureşti 2002

3)Otinan Păun Ioan, Creţ Florian – Elemente de matematici aplicate în

economia agroalimentară, Ed. Agroprint, Timişoara 2002

4)PetriSor Emilia – Probabilităţi şi statistică .Aplicaţii în economie şi inginerie,

Ed. Politehnica, Timişoara 2003

5)Florea I., ş.a.- Statistică descriptivă.Teorie şi aplicaţii, Ed. Aisteda Alba-Iulia

1998

58

MODULUL 3

Indicatori ai dispersiei şi ai

formei

Indicatori ai seriilor

cronologice

59

OBIECTIVE

- cunoaşterea semnificaţiei şi a relaţiilor matematice de definire a indicatorilor

simpli şi sintetici ai dispersiei

- cunoaşterea semnificaţiei şi a relaţiilor matematice de definire a indicatorilor de

asimetrie

- cunoaşterea semnificaţiei şi a relaţiilor matematice de definire a indicatorilor

specifici seriilor cronologice

- înţelegerea rolului şi importanţei acestor indicatori în caracterizarea unui set de

date

- însuşirea modului de calcul a acestor indicatori în diverse situaţii practice

CUVINTE CHEIE

- dispersie, asimetrie, serie cronologică

CUPRINS MODUL 3

Capitolul 6 Indicatori ai dispersiei, asimetriei și boltirii.....................60

6.1 Indicatori simpli si sintetici ai dispersiei.............................60

6.2 Indicatori ai dispersiei unei variabile alternative............64

6.3 Măsurarea dispersiei în sistemul medianei........................65

6.4 Dispersia unei variabile nominale (atributive).................67

6.5 Indicatori ai formei........................................................................68

Capitolul 7 Indicatori ai seriilor cronologice..............................................72

7.1 Indicatori pentru caracterizarea nivelului şi

variației în timp...............................................................................72

7.1.1 Indicatori absoluți………………………………………………………72

7.1.2 Indicatori relativi………………………………………………………..72

7.1.3 Indicatori medii…………………………………………………………..74

Test..………………………………………………………………………………………………78

Bibliografie……………………………………………………………………………………..78

60

Cap.6 Indicatori ai dispersiei şi asimetriei

6.1 Indicatori simpli şi sintetici ai dispersiei

Dispersia – exprimă gradul de împrăștiere a valorilor individuale ale unei distribuții

în jurul valorii centrale

6.1.1 Indicatorii simpli ai dispersiei

Măsoară câmpul de împrăștiere al caracteristicii și împrăștierea fiecărui nivel

individual al caracteristicii față de nivelul mediu.

a) Amplitudinea variației

Daca X variabila asociată caracteristicii unei populații :

X: (𝓍𝒼,𝓀𝒼)𝒼 = 1,𝒿 𝑎𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑛𝑢𝑚ă𝑟𝑢𝑙 ∶ 𝐴𝓍 = 𝓍𝑚𝑎𝑥 − 𝓍𝑚𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣

𝐴𝑥%=𝓍𝑚𝑎𝑥 − 𝓍𝑚𝑖𝑛

𝓍 100, se numește amplitudinea variației absolută respectiv

amplitudinea variației relativă.

b)Abaterea individuală

Numărul: 𝒹𝒼=𝓍𝒼 − 𝓍 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣 𝒹𝒼% =𝓍𝒼−𝓍

𝓍 ∙ 100, se numește abaterea

individuală absolută respectiv abaterea individuală relativă.

6.1.2 Indicatori sintetici ai dispersiei

Exprimă în mod sintetic, împrăștierea tuturor nivelurilor individuale ale

caracteristicii față de nivelul mediu.

a) 𝐴𝑏𝑎𝑡𝑒𝑟𝑒𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑖𝑎𝑟ă (𝒹 ) : X=(𝓍𝒼,𝓀𝒼)𝒼 = 1,𝒿

𝒹 = 𝒹𝒼 𝒿𝒼=1

𝒿=

∣𝓍𝒼−𝓍 ∣

𝒿, dacă 𝓀1 = 𝓀2 = ⋯ = 𝓀𝒿 = 𝒾

𝒹 = 𝒹𝒼 ∙𝓀𝒼𝒿𝒼=1

𝓀𝒼𝒿𝒼=1

= ∣𝓍𝒼−𝓍 ∣∙𝓀𝒼𝒿𝒼=1

𝓀𝒼𝒿𝒼=1

,𝑑𝑎𝑐ă 𝓀1 ≠ 𝓀2 ≠ ⋯… .≠ 𝓀𝒿

Observație: Dacă nu se pune modul, atunci (𝓍𝒼 − 𝓍 ) = 0

61

b) Dispersia.∶ Numărul: σ2 ≝

𝒹𝒼2𝒿

𝒼=1

𝒿=

(𝓍𝒼−𝓍 𝒿𝒼=1 )2

𝒿 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣,

σ2

𝒹𝒼2⋅𝑛𝒼

𝒿𝒼=1

𝑛𝒼𝒿𝒼𝓀

.

Numărul: 𝓈2 ≝ 1

𝒿−1⋅ 𝒹𝒼

2𝒿𝒼≥ se numește 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑒𝑟𝑠𝑖𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑖𝑟𝑖𝑐ă 𝑐𝑜𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑡ă.

c)Abaterea medie pătratică (derivația standard).

Este 𝑛𝑢𝑚ă𝑟𝑢𝑙 𝜍 = 𝜍2

d)Intervalul mediu de variație .

Acesta este:

I. (𝓍 − 𝜍 ; 𝓍 + 𝜍) = 68.27% 𝑠𝑎𝑢 (𝓍 − 𝒹 ; 𝓍 + 𝒹 )

II. (𝓍 − 2𝜍; 𝓍 + 2𝜍) = 95.65%

III. (𝓍 − 3𝜍; 𝓍 + 3𝜍) = 99.97% − 𝑐𝑜𝑛ț𝑖𝑛𝑒 𝑚𝑎𝑗𝑜𝑟𝑖𝑡𝑎𝑡𝑒𝑎 𝑐𝑎𝑧𝑢𝑟𝑖𝑙𝑜𝑟.

e) Coeficientul de variație (𝓋)

𝓋 ≝ 𝒹

𝓍 ∙ 100 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣 𝓋 =

𝜍

𝓍 ∙ 100

𝓋 ∊ (0; 100%)

𝓋 este folosit ca test de reprezentativitate a mediei.

0< 𝓋 <17% , media strict reprezentativă.

𝓋 ∊ (17%; 35%) ; media moderat reprezentativă.

𝓋 ∊ (35%; 50%); media reprezentativă în sens larg.

𝓋>50% - media nu este reprezentativă.

Exemplu : Un produs se vinde în 5 magazine cu prețuri diferite : 10; 11; 12;

13; 14(lei).

Să se calculeze prețul mediu şi gradul de dispersie cu ajutorul indicatorilor simpli

si sintetici:

62

𝓍 =1

5∙ 𝓍𝒼

5

𝒼=1

=10 + 11 + 12 + 13 + 14

5=

60

5= 12

Prețul mediu este 12 lei

𝓍𝑚𝑎𝑥 = 14; 𝓍𝑚𝑖𝑛 = 10

Amplitudinea variației:

𝐴𝓍 = 𝓍𝑚𝑎𝑥 − 𝓍𝑚𝑖𝑛 = 14 − 10 = 4 𝑙𝑒𝑖, 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣,

𝐴𝓍 =𝓍𝑚𝑎𝑥 −𝓍𝑚𝑖𝑛

𝓍 ∙100=

4

12∙ 100 = 33,3%

Abaterea individuală: 𝒹𝒼, 𝒼 = 1,5

𝒹𝒼 = 𝓍𝒼 − 𝓍 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣 𝒹𝒼% =𝓍𝒼 − 𝓍

𝓍∙ 100

𝒹1 = 𝓍1 − 𝓍 = 10 − 12 = −2

𝒹2 = 𝓍2 − 𝓍 = 11 − 12 = −1

𝒹3 = 𝓍3 − 𝓍 = 12 − 12 = 0

𝒹4 = 𝓍4 − 𝓍 = 13 − 12 = 1

𝒹5 = 𝓍5 − 𝓍 = 14 − 12 = 2

𝒹1% =𝓍1−𝓍

𝓍 ∙100=

𝒹1

𝓍∙100=

−2

12∙ 100 = −16.67%

𝒹2% =𝓍2−𝓍

𝓍 ∙100=

𝒹2

𝓍∙100=

−1

12∙ 100 = −8.33%

𝒹3% =𝓍3−𝓍

𝓍 ∙100=

𝒹3

𝓍∙100=

0

12∙ 100 = 0%

𝒹4% =𝓍4−𝓍

𝓍 ∙100=

𝒹4

𝓍∙100=

1

12∙ 100 = 8.33%

𝒹5% = 16.67%

63

Indicatori sintetici ai dispersiei.

Abaterea medie liniară (𝒹)

𝒹 = 𝓍𝒼−𝓍

5𝒼=1

5=

𝒹𝒼 5𝒼=1

5=

2+1+0+1+2

5=

6

5= 1,2

Deci: 𝒹 = 1,2 lei

𝓍 + 𝒹 = 12 + 1,2 = 13,2

𝓍 + 𝒹 = 12 − 1,2 = 10,8 ⇒ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑢𝑙 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑢 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎ț𝑖𝑒

(10,8; 13,2)

Dispersia (σ2)

𝜍2 = (𝓍𝒼 − 𝓍 )25𝒼=1

5= 𝒹𝒼

25𝒼=1

5=

2 ∙ 4 + 2 ∙ 1

5=

10

5= 2

Abaterea medie patratică. σ

𝜍 = 𝜍2 = 2 = 1,4142 ; 𝜍 = 1,4142 𝑙𝑒𝑖

Observăm că: 𝜍 > 𝒹

Intervalul mediu de variație.

𝓍 − 𝜍=12-1,4142=10,5858

𝓍 + 𝜍=12+1,4142=13,4142

deci 63% din unităţile colectivităţii (magazine) practică un preț cuprins între

10,5858 lei și 12,4142 lei

Coeficientul de variatie (𝓋)

𝓋 =𝜍

𝓍 ∙ 100 =

1,4142

12∙ 100 = 11,78% < 17%

=>media este semnificativă pentru distribuție.

64

6.2 Indicatori ai dispersiei unei variabile alternative

O caracteristică alternativă are doar două variante. Variantele se exprimă prin

cuvinte, pot fi cuantificate cu ,,0’’ si ,,1”

Dispersia unei caracteristici alternative.

𝜍𝓅2 =

(1 −𝓅)2 ∙ 𝓅 + (0 −𝓅)2 ∙ 𝓆

𝓅 + 𝓆= 𝓅 ∙ 𝓆 = 𝓅(1 −𝓅)

𝓅 =𝓀1

𝓀 − 𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑒𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡ăţ𝑖𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑑ă 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎

𝓆 = 1 − 𝓅

Abaterea mediei patratică.

𝜍𝓅 = 𝜍𝓅2 = 𝓅 ∙ 𝑞

Coeficientul de variație (𝓋𝓅)

𝓋𝓅 =𝜍𝓅

𝓍 ∙ 100 =

𝓅∙𝑞

𝓅∙ 100 =

𝑞

𝑝∙100

Exemplu :

Din 300 piese examinate, 270 sunt bune.

Să se determine :

i) procentul mediu de piese bune.

ii) procentul mediu de piese rebut.

iii) dispersia.

iv) coeficientul de variaţie.

i) 𝓅 =𝓀1

𝓀∙ 100 =

270

300∙ 100 = 90% (𝑠𝑎𝑢 0,9)

ii) 𝓆 = 1 −𝓅 = 10% (0,1)

iii) 𝜍𝓅2 = 𝓅 ∙ 𝑞 = 900. 𝓋𝓅 =

10

90∙ 100 = 33,33%.

65

6.3 Măsurarea dispersiei în sistemul medianei

Indicatori ai dispersiei în sistemul medianei.

1) Intervalul interquartilic. (𝒬1; 𝒬3)

2) ℐ𝒬 − 𝑎𝑏𝑎𝑡𝑒𝑟𝑒𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙𝑖𝑐ă

ℐ𝒬 = 𝒬3 − 𝒬1

3) Semiinterquartila. (𝐴𝑄) − 𝑎𝑏𝑎𝑡𝑒𝑟𝑒𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙𝑖𝑐ă.

𝛢𝒬 =𝒬3 − 𝒬1

2

Observație :

𝒥𝒬 𝑎𝑏𝑎𝑛𝑑𝑜𝑛𝑒𝑎𝑧ă 25% 𝑑𝑖𝑛 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎ț𝑖𝑒 𝑐𝑒 𝑖𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖 < 𝒬1 ș𝑖 25% 𝑐𝑢 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖 > 𝒬3

4) Intervalul interdecilic. (𝒟1 ; 𝒟9)

5) Abaterea interdecilică ℐ𝒟

ℐ𝒟 = 𝒟9 −𝒟1 î𝑛𝑐𝑎𝑑𝑟𝑒𝑎𝑧ă 80% 𝑑𝑖𝑛 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎ț𝑖𝑒

6) Semiinterdecila 𝐴𝐷=𝒟9−𝒟1

2

Frecvență

cumulată

IQ

ID

D1 Q1 Me Q3 D9 xi

* *

66

Coeficientul de variație interquartilic: (∨𝑄)

∨𝑄=𝐴𝑄𝑀ℯ

∙ 100 =𝑄3 − 𝑄1

2𝑀ℯ∙ 100

𝑀ℯ −𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎; 𝑀ℯ = 𝓍𝒼 + 𝒹∪𝑀ℯ−𝑁𝒼−1

𝓀𝑀ℯ

; ∪𝑀ℯ= 𝓀𝒼

2

Q1 - 𝓆𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙𝑎 1 Q1= 𝓍𝒼−1 + 𝒹∪𝑄1−𝑁𝒼−1

𝓀𝑄1

; ∪𝑄1= 𝓀𝒼

4

Q3 - 𝓆𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙𝑎 3 Q3= 𝓍𝒼−1 + 𝒹∪𝑄3−𝑁𝒼−1

𝓀𝑄3

; ∪𝑄3 =3 𝓀𝒼

4

Coeficientul de variație interdecilic (∨𝐷)

∨𝐷=

𝒟9 −𝒟1

2𝑀𝑒

∙ 100

Aplicație: Considerând datele din tabelul următor:

Timpul consumat

pentru realizarea unei

piese (𝓍𝒼−1;𝓍𝒼]

Număr muncitori

(𝓀𝒼)

𝒩𝒼 ( ↑ )

(0 ; 120]

(120 ; 130]

(130 ; 140]

(140 – 150]

(150 – 160]

12

16

28

24

20

12

28

56

80

100

Total 100

𝑁𝒼 ≥ ∪𝑀ℯ

67

Să se determine gradul de variație cu ajutorul indicatorilor de variație în

sistemul medianei.

∨𝑄=𝑄

𝑀ℯ∙ 100 =

𝑄3 − 𝑄1

2𝑀ℯ

∙ 100

∨𝐷=𝐴𝐷𝑀ℯ

∙ 100 =

𝐷9 − 𝐷1

2𝑀ℯ

∙ 100

Se calculează : 𝑄1,𝑄2,𝑄3,𝐷1 ș𝑖 𝐷9

6.4 Dispersia unei variabile nominale (atributive)

Măsurarea dispersiei se bazează pe deficiențele calitative dintre unitățile

studiate.

Definiție: Se numește indice de variaţie calitativ.

Numărul:

𝒼𝓋 ≝ 𝑁0

𝑁𝑚𝑎𝑥 𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑁0 − 𝑛𝑢𝑚ă𝑟𝑢𝑙 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ț𝑒𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑙𝑖𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑒.

𝑁0 = 𝓀𝒼𝓀𝒽

𝑗>𝑖

𝒾

𝒼=1

𝑛 = 𝓀𝒼

𝒾

𝒼=1

𝒾 = 𝑛𝑢𝑚ă𝑟𝑢𝑙 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑔𝑜𝑟𝑖𝑖𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑖𝑡𝑎𝑡𝑒.

𝓀𝒼 = 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑣𝑒𝑛ț𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑔𝑜𝑟𝑖𝑒𝑖 𝒼.

68

𝑁𝑚𝑎𝑥 = 𝒾(𝒾 − 1)

2 .

𝓀

𝒾 ²

⇒

Exemplu: Avem un grup de 𝓀=60 studenți.

𝓀1=40 copii de muncitori.

𝓀2=10 copii de intelectuali.

𝓀3=10 copii de țărani.

Să se studieze gradul de omogenitate al grupului după originea socială a părintilor.

𝒾=3

𝑁𝑜 = 𝓀𝒼𝓀𝒽

𝒽>𝑖

3

𝒼=1

= 𝓀1𝓀2 + 𝓀1𝓀3 + 𝓀2𝓀3 =

=40∙10+40∙10+10∙10=900

𝑁𝑚𝑎𝑥 =3(3 − 1)

2

60

3 ² = 1200

𝒼𝓋 =900

1200= 0,75 ⇒ 𝒼𝓋 = 75%

> 50% − 𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑖𝑡𝑎𝑡𝑒 𝑓𝑜𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑠ă 𝑎 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑢𝑙𝑢𝑖

𝑑𝑒 𝑠𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛ț𝑖 𝑑𝑢𝑝ă 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑙ă 𝑎 𝑝ă𝑟𝑖𝑛ț𝑖𝑙𝑜𝑟.

6.5 Indicatori ai formei

Forma unei distribuții statistice se poate aprecia cu ajutorul indicatorilor de

asimetrie şi a indicatorilor de boltire.

𝒼𝑉 = 𝓀𝒼𝓀𝒽𝒼>𝑖𝒾𝒼=1

𝒾(𝒾 − 1)2 . (

𝓀𝒾

)2

69

Indicatori de asimetrie: dau informaţii asupra modului de repartizare a

frecvențelor de o parte și de alta a valorii centrale.

Indicatori de boltire: măsoară aglomerarea frecvenţelor în zona centrală.

6.5.1 Asimetria

Definiție: Se numește asimetrie, deviația de la forma simetrică a distribuției.

Valorile centrale folosite pentru aprecierea asimetriei :

𝓍 ,𝑀0, 𝑀ℯ.

- Grafic, asimetria se poate aprecia cu ajutorul curbei frecvențelor și a

diagramei box – plot.

- Se compară curba frecvențelor cu modelul teoretic al distribuției normale

(clopotul Gauss

𝓀𝒼

𝓍 = 𝑀0 = 𝑀ℯ

𝓍𝒼 (𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢ț𝑖𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐ă)

𝐷1 𝑄1 𝓍 𝑄2 𝐷9

𝓀𝒼

𝓍 < 𝑀ℯ < 𝑀0

Asimetrie la stânga

𝓍 𝑀ℯ 𝑀0 𝓍𝒼

70

𝓀𝒼

𝑀0 < 𝑀ℯ < 𝓍

Asimetrie la dreapta

ℳ0 ℳℯ 𝓍 𝓍𝒼

Indicatori ai asimetriei

a) Asimetria în mărime absolută (𝐴𝓈)

sau

dacă: 𝐴𝓈 < 0 − 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑡â𝑛𝑔𝑎

dacă: 𝐴𝓈 > 0 − 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑟𝑒𝑎𝑝𝑡𝑎

b) Coeficientul de asimetrie Yule (𝐶𝒶𝓎)

𝐶𝒶𝓎𝜖[−1; 1 ]

dacă 𝐶𝒶𝓎 = 0 𝑎𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢ț𝑖𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐ă.

dacă 𝐶𝒶𝓎 > 0 𝑎𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢ț𝑖𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐ă 𝑙𝑎 𝑑𝑟𝑒𝑎𝑝𝑡𝑎.

dacă 𝐶𝒶𝓎 < 0 𝑎𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢ț𝑖𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐ă 𝑙𝑎 𝑠𝑡â𝑛𝑔𝑎.

dacă 𝐶𝒶𝓎𝑎𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎𝑡 𝑑𝑒 ± 0,1 –𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢ț𝑖𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑟𝑎𝑡 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐ă.

dacă 𝐶𝒶𝓎𝑎𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎𝑡 𝑑𝑒 ± 0,3 –𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢ț𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑛𝑢𝑛ț𝑎𝑡 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐ă.

𝐴𝓈 ≝ 𝓍 − 𝑀0 𝐴𝓈 = 3(𝑀ℯ −𝑀0)

𝐶𝒶𝓎 =𝑄1 + 𝑄3 − 2𝑀ℯ

𝑄3 − 𝑄1

71

E xemplu:

𝑄1 = 128,13

𝑄2 = 𝑀ℯ = 137,86

𝑄3 = 147,92

𝐶𝒶𝓎 =128,13 + 147,92 − 2 ∙ 137,86

147,92 − 128,13= 0,0141 ⇒

⇒ 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢ț𝑖𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑟𝑎𝑡 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐ă, 𝑙𝑎 𝑑𝑟𝑒𝑎𝑝𝑡𝑎.

c) Coeficientul de asimetrie Pearson (𝐶𝒶𝑠)

𝐶𝒶𝑠 =𝓍 − 𝑀0

𝜍

Dacă: 𝐶𝒶𝑠 = 0 𝑎𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢ț𝑖𝑎 𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐ă.

dacă 𝐶𝒶𝑠 > 0 𝑎𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢ț𝑖𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐ă 𝑙𝑎 𝑑𝑟𝑒𝑎𝑝𝑡𝑎.

dacă 𝐶𝒶𝑠 < 0 𝑎𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢ț𝑖𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐ă 𝑙𝑎 𝑠𝑡â𝑛𝑔𝑎.

dacă 𝐶𝒶𝑠𝑎𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎𝑡 𝑑𝑒 ± 0,1 –𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢ț𝑖𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑟𝑎𝑡 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐ă.

dacă 𝐶𝒶𝑠𝑎𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎𝑡 𝑑𝑒 ± 0,3 –𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢ț𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑛𝑢𝑛ț𝑎𝑡 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐ă.

Exemplu:

Pentru distribuția de la exercițiul anterior sa se afle 𝐶𝒶𝑠

𝑀0 = 137,5𝓍 = 137,4

⇒ 𝐶𝒶𝓈 = −0,0078

72

Cap. 7 Indicatori ai seriilor cronologice

7.1 Indicatori pentru caracterizarea nivelului şi variației în timp

Serie cronologică – serie de timp ce prezintă un șir de observații la diferite

momente sau intervale de timp.

Avem : serie de timp de momente : (𝑇𝒼,𝓎𝒼)𝒼 = 0,𝒿

serie de timp de intervale : (𝓉𝒼,𝓎𝒼)𝒼 = 1,𝒿

unde:

𝓉𝒼 = 𝑇𝒼 − 𝑇𝒼−1 − 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ț𝑎 𝑎 𝑑𝑜𝑢ă 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑝(𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑝)

7.1.1 Indicatori absoluți

Nivelul absolut – valoarea 𝓎𝒼 a fiecărui termen al seriei cronologice

Volumul absolut – valoarea 𝓎 = 𝓎𝒼𝒿𝒼=0 - valoarea nivelurilor absolute.

Sporul absolut – creșterea sau descreșterea unui fenomen într-o perioadă

(moment) față de o altă perioadă (moment)

- sporul cu bază fixă : ∆𝑖 0 𝑦

= 𝓎𝒼 −𝓎0; 𝓎0 – 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑛𝑢𝑙 𝑖𝑛𝑖ț𝑖𝑎𝑙. 𝒼 = 0,𝒿

- sporul cu bază mobilă: ∆𝑖 𝑖−1 𝑦

= 𝓎𝒼 −𝓎𝒼−1; 𝒼 = 1,𝒿

Observația 1:

1) ∆𝑖 𝑖−1 𝑦𝑚

𝑖=1 =∆𝑚 0 𝑦

2) ∆𝑖 0 𝑦

− ∆𝑖−1 0 𝑦

= ∆𝑖 𝑖−1 𝑦

7.1.2 Indicatori relativi :

a) Ritmul sau indicele de variație – arată de câte ori a crescut (scăzut) nivelul

unui fenomen într-o perioadă (moment) față de nivelul aceluiași fenomen într-o altă

perioadă (moment)

73

- ritmul variației cu baza fixă:

𝑅𝑖 0 𝓎

=𝓎𝒼

𝓎0 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣 𝑅𝑖 0% =

𝓎𝒼

𝓎0 ∙ 100, 𝒼 = 0,𝒿

- ritmul variației cu baza mobilă:

𝑅𝑖 𝑖−1 𝓎

=𝓎𝒼

𝓎𝒼−1 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣 𝑅𝑖 𝑖−1%

𝑦=

𝓎𝒼

𝓎𝒼−1 ∙ 100, 𝒼 = 1,𝒿

Observaţia 2:

1. 𝜋𝒼=1𝒿 𝑅𝑖 𝑖−1

𝑦= 𝑅𝑚 0

𝓎

2. 𝑅𝑖 0 𝓎

𝑅𝑖−1 0 𝓎 = 𝑅𝑖 𝑖−1

𝓎 , (∀)𝒼 = 1,𝒿

b) Ritmul sporului – arată cu cât s-a modificat în mărime relativă nivelul

fenomenului în perioada raportată față de nivelul fenomenului în perioada de

raportare.

Ritmul sporului cu bază fixă:

𝓇𝒼/0𝓎

=∆𝒼/0𝓎

𝓎0=𝓎𝒼 −𝓎0

𝓎0= 𝑅𝑖 0

𝓎− 1, 𝒼 = 0,𝒿 𝑠𝑎𝑢

𝓇𝒼/0%𝓎

= 𝑅𝒼/0%𝓎

− 100

Ritmul sporului cu bază mobilă:

𝓇𝑖 𝑖−1 𝓎

=∆𝑖 𝑖−1 𝑦

𝓎𝒼−1=𝓎𝒼 −𝓎𝒼−1

𝓎𝒼−1= 𝑅𝑖 𝑖−1

𝓎− 1 𝑠𝑎𝑢

𝓇𝑖 𝑖−1% 𝓎

=∆𝑖 𝑖−1 𝑦

𝓎𝒼−1∙ 100 = 𝑅𝑖 𝑖−1 %

𝓎− 100 , 𝒼 = 1,𝒿

d) Valoarea absolută a unui procent de creștere

- Cu bază fixă:

74

% 𝒴𝑖 0 =∆𝑖 0 𝑦

𝓇𝒼/0%𝓎 =

𝓎𝒼−𝓎0𝓎𝒼−𝓎0𝓎0

∙100=

𝓎0

100

- Cu bază mobilă:

% 𝒴𝑖 𝑖−1 =∆𝑖 𝑖−1 𝑦

𝓇𝑖 𝑖−1% 𝓎 =

𝓎𝒼−𝓎𝒼−1𝓎𝒼−𝓎𝒼−1𝓎𝒼−1

∙100=

𝓎𝒼−1

100

7.1.3 Indicatori medii

Nivelul mediu –

Dacă seria este de intervale , atunci nivelul mediu se află calculând o

medie aritmetică a termenilor seriei.

Dacă seria este de timp atunci nivelul mediu se află calculând o medie

cronologică.

Media cronologică simplă (pentru serie cronologică cu momente egal distanțate):

(𝑇𝒼,𝓎𝒼)𝒼 = 0,𝒿

𝓎 cr=

𝑦02

+𝑦1+ +𝑦𝑚−1+𝑦𝑚

2

𝒿

𝓎 = 𝑦0 + 𝑦1 + ⋯+ 𝑦𝒿

𝒿 + 1

Media cronologică ponderată (pentru seria cronologică cu momente inegal

distanțate)

𝓎 cr=

𝑦0+𝑦12

∙𝑡1+𝑦1+𝑦2

2∙𝑡2+⋯+

𝑦𝑚−1+𝑦𝑚2

∙𝑡𝒿

𝑡1+𝑡2+⋯+𝑡𝒿 , 𝑢𝑛𝑑𝑒 𝓉𝒼 = 𝑇𝒼 − 𝑇𝒼−1

𝓎 cr =

𝑡12∙𝑦0+

𝑡1+𝑡22

∙𝑦1+⋯+𝑡𝑚

2∙𝑦𝑚 ∙

𝑡1+𝑡2+⋯+𝑡𝒿

Sporul mediu: (∆ ) ∆ ≝ ∆𝑖 𝑖−1

𝑦𝒿𝒼=0

𝒿

75

∆ =∆𝑚 0 𝑦

𝒿=𝓎𝒿 −𝓎0

𝒿

Ritmul mediu al variației ( 𝑅 ) : arată de câte ori s-a modificat în medie pe

an nivelul unui fenomen, într-o perioadă în care fenomenul evoluează după o

progresie geometrică.

a)Metoda mediei geometrice.

= 𝓎𝒿

𝓎0

𝒿 ⇒ ℓ𝓀𝑅 =

1

𝓀∙ ℓ𝓀 𝑅𝓀/0 ⇒ 𝑅 % = 𝑅 ∙ 100

- dezavantaj: se ignoră termenii seriei, folosindu-se primul si ultimul.

b) Metoda mediei parabolice:

Fie seria: 𝓎0,𝓎1, … 𝓎𝓀

𝒴𝒾 = 𝒴0 ∙ 𝑅 , 𝒾 = 1,𝓀 ⇒ 𝓎𝒾

𝓀

𝒾=0

= 𝓎0 + 𝓎0 ∙ 𝑅 1 + 𝓎0 ∙ 𝑅

2 + ⋯+ 𝑏0 ∙ 𝑅 𝓀 =

=𝑏0(1 + 𝑅 + 𝑅 2 + … + 𝑅 𝓀) =

= 𝓎0 𝑅 𝓀+1 − 1

𝑅 − 1 ⇒

𝑅 𝓀+1 − 1

𝑅 − 1= 𝒷𝒼𝓀𝒼=0

𝓎0

𝑅 𝑠𝑒 𝑣𝑎 𝑔ă𝑠𝑖 𝑝𝑟𝑖𝑛 î𝑛𝑐𝑒𝑟𝑐ă𝑟𝑖 𝑠𝑢𝑐𝑐𝑒𝑠𝑖𝑣𝑒.

Dezavantaj: se exagerează importanța primului termen.

Ritmul mediu al sporului ( 𝓇 )

𝓇 = 𝑅 − 1

𝓇 % = 𝑅 % − 100

𝑅 = 𝐼𝐼 𝒼=1𝒿𝒿

𝑅𝑖 𝑖−1 𝓎

= 𝑅𝒿/0𝒿

76

Apl

Se dă seria cronologică ce reprezintă volumul comerțului exterior al României in

perioada 1994 – 1999.

Anii ( 𝑇𝒼) Exportul (în mil. $)

T0 = 1994

T1 = 1995

T2 = 1996

T3 = 1997

T4 = 1998

T5 = 1999

𝓎0 = 6151

𝓎1 = 7910

𝓎2 = 8084

𝓎3 = 8431

𝓎4 = 8302

𝓎5 = 8487

47365

a)Să se calculeze indicatorii absoluți și relativi ai variației în timp (și valoarea

absoltă a unui procent de creștere cu bază fixă și cu bază mobilă)

b)Să se calculeze indicatorii medii pentru aceste serii.

Indicatorii absoluți

Anii

Ti Exportul (𝓎𝒼) Sporul absolut

cu bază fixă

∆𝒼/0𝓎

= 𝓎𝒼 −𝓎0

(mil. $ )

Cu bază mobilă

∆𝑖 𝑖−1 𝑦

= 𝓎𝒼 −𝓎𝒼−1

1994

1995

1996

1997

1998

1999

𝓎0=6151

𝓎1=7910

𝓎2=8084

𝓎3=8431

𝓎4=8302

𝓎5=8487

∆0/0𝓎

= 0

∆1/0𝓎

= 1759

∆2/0𝓎

= 1993

∆3/0𝓎

= 2280

∆4/0𝓎

=2151

∆5/0𝓎

=2336

-

∆1/0𝓎

=1759

∆2/1𝓎

=174

∆3/2𝓎

=347

∆4/3𝓎

=-129

∆5/4𝓎

=185

Aplicație

1 :

77

Indicatorii relativi

Ritmul variației și al sporului.

Anul 𝓎𝒼 Ritmul

𝑅𝑖 0% =

𝓎𝒼/𝓎0 ∙100

variației(%)

𝑅𝑖 𝑖−1% = 𝓎𝒼

𝓎𝒼−1 ∙ 100

ritmul

𝓇𝑖 0% 𝓎

=

sporului (%)

𝓇𝑖 𝑖−1% 𝓎

1994

1995

1996

1997

1998

1999

6151

7910

8084

8431

8302

8437

100

128,6

131,43

137,07

134,97

137,98

-

128,6

102,2

104,29

98,47

102,23

O

28,6

31,43

37,07

34,97

37,98

-

28,6

2,2

4,29

-1,53

2,23

Valoarea absolută a unui procent de creștere:

Cu baza fixă %(𝓎𝒼/0) =∆𝒼/0

𝓇𝑖 0% 𝓎 =

∆𝒼/0∆𝒼/0

𝓎0∙100

=𝑦0

100=

6151

100= 61,51 𝑚𝑖𝑙. $

Cu bază mobilă: % 𝓎𝒼/(𝒼−1) =∆𝒼/𝑖−1

∆𝒼/𝑖−1

𝓎𝑖−1∙100

=𝓎𝒼−1

100

Indicatorii medii

𝓎 𝑐𝓇 =

𝓎0

2+ 𝓎1 + 𝓎2 + 𝓎3 + 𝓎4 +

𝓎5

25

=40021

5= 8004,2 𝑚𝑖𝑙. $

Nivelul mediu 𝓎 = 𝓎𝒼

𝑚=

47365

6= 7894,16 mil. $

Sporul mediu ∆ =𝓎𝒿−𝓎0

𝒿=

8487−6151

5= 467,2 mil. $

Ritmul mediu al variației 𝑅 = 𝓎𝑚

𝓎0

𝑚= 1,37975 = 1,066 𝑠𝑎𝑢 𝑅 % = 106,6%

𝓇 % = 𝑅 % − 100 = 6,66%

78

TEST

1)

Se cunosc datele privind producția de grâu a unei ferme vegetale

Anul Producția (𝓉/𝒻𝑎) ℊ𝒼 1995 1,8

1996 2

1997 2,1

1998 2

1999 2,3

2000 2,3

Sa se calculeze indicatorii absoluți și relativi ai variației în timp, valoarea absolută

a unui procent de creștere cu bază fixă și cu baza mobilă şi indicatorii medii.

Bibliografie

1)Jaba Elisabeta – Statistică economică, ediţia a treia, Ed. Economică, Bucureşti

2002

2)Ţiţan Emilia – Statistică.Teorie şi aplicaţii în sectorul terţiar.Ed. Meteor

Press Bucureşti 2002

3)Otinan Păun Ioan, Creţ Florian – Elemente de matematici aplicate în

economia agroalimentară, Ed. Agroprint, Timişoara 2002

4)PetriSor Emilia – Probabilităţi şi statistică .Aplicaţii în economie şi inginerie,

Ed. Politehnica, Timişoara 2003

5)Florea I., ş.a.- Statistică descriptivă.Teorie şi aplicaţii, Ed. Aisteda Alba-Iulia

1998

79