Construcii cu rigla i compasul n gimnaziu
Prof. Mariana Radu coala Generala GHIMBAV-BRASOV
Motto: V plictisii n timpul orelor de geometrie sau nu nelegei nimic?Eu v asigur totui c geometria este pasionant i c geometria este o manifestare inteligibilE.FOURREY
Cele cinci construcii fundamentale
1.Prin dou puncte distincte se poate duce cu ajutorul unei rigle o singur dreapt. (Postulatul lui Euclid ). 2. Cu centrul ntr-un punct oarecare i cu o raz dat se poate construi un singur cerc. 3. Intersecia a dou drepte. 4. Intersecia unui cerc cu o dreapt. 5. Intersecia a dou cercuri.
Cele cinci construcii fundamentale
b O R A
A
B
a
d A B
A
B
Construcia mediatoarei unui segment se deseneaz un segment AB trasm un cerc sau un arc de cerc de raz mai mare dect jumtatea lungimii segmentului dat cu centru n punctul A. cu aceeai deschiztur trasm un cerc sau un arc de cerc de raz cu centru n punctul B. aceste arce de cerc se intersecteaz n punctele C i D. trasm dreapta CD.Aceast dreapt este mediatoarea segmentului AB. punctul P , n care mediatoarea astfel construit taie segmentul AB, este mijlocul lui.
Construcia mediatoarei unui segmentd
C
P A D B
Construcia bisectoarei unui unghi: se deseneaz un unghi xOy , de o msur oarecare. trasm un cerc sau un arc de cerc cu centrul O, n vrful unghiului dat. cercul taie laturile unghiului n punctele A i B. cu aceeai deschidere a compasului trasm arce de cerc cu centru n punctele A i B, care se vor intersecta a doua oar n punctul P. semidreapta OP reprezint bisectoarea unghiului xOy.
Construcia bisectoarei unui unghi
x A O B y P
Construcia unui unghi congruent cu un unghi dat: desenam unghiul ABC. construim un unghi cu vrful n punctul M i cu o latur MX, astfel s fie congruent cu unghiul ABC. trasm dou cercuri de raze egale cu centrele n punctele B i M. unghiul ABC determin pe cerc arcul PN. al doilea cerc taie MX n punctul D. din punctul D desenm arcul DE congruent cu arcul PN trasm semidreapta ME . unghiul ABC este congruent cu unghiul DME.
Construcia unui unghi congruent cu un unghi datA
XP B N C M D E
Construcia unei perpendiculare dintr-un punct exterior pe o dreapt: avem o dreapt d i un punct P exterior ei. desenm un arc de cerc cu centrul n punctul P. arcul de cerc taie dreapta n punctele M i N. cu centrele punctele M i N se deseneaz arce de cerc de raze egale. aceste arce de cerc se intersecteaz n punctul Q. dreapta PQ este perpendicular pe dreapta d= MN.
Construcia unei perpendiculare dintr-un punct exterior pe o dreapt
P
d
M
N
Q
Construcia unei perpendiculare pe o dreapt ntr-un punct al ei: se deseneaz o dreapt d i un punct M situat pe ea. se construiete un cerc de centru M, care intersecteaz dreapta d n punctele A i B. n punctele A i B se deseneaz cu aceeai raz dou arce de cerc de o parte a dreptei d i care se intersecteaz n punctul N. dreapta MN este perpendicular pe dreapta d n punctul M.
Construcia unei perpendiculare pe o dreapt ntr-un punct al eiN
d
A
M
B
Construcia tangentelor dintr-un punct exterior dat la un cerc dat: fie cercul C ( O , R) i punctul A exterior lui. desenm segmentul OA . desenm M mijlocul segmentului OA. construim cercul cu centrul n punctul M i diametru OA. acest cerc taie cercul C ( O , R) n punctele T1 i T2. semidreptele AT1 i AT2 sunt tangentele din punctul A la cercul C ( O , R).
Construcia tangentelor dintr-un punct exterior dat la un cerc datT2 O T1 M A
Construcia cercului circumscris unui triunghi dat: construim mediatoarea laturii AC i mediatoarea laturii BC. la intersecia celor dou mediatoare se gsete centrul O al cercului circumscris ABC.
Construcia cercului circumscris unui triunghi dat
A O C
B
Construcia unui hexagon regulat nscris n cerc: se construiete un cerc de raz egal cu latura hexagonului regulat. se mparte cercul n 6 pri congruente.
Construcia unui hexagon regulatA
B
F
O
C
E
D
Construcia unui triunghi echilateral nscris n cerc: se construiete un cerc de raz egal cu latura hexagonului regulat. se mparte cercul n 6 pri congruente. se unesc din 2 n 2 punctele de diviziune.
Construcia unui triunghi echilateralA
B
F
O
C
E
D
Construcia unui ptrat nscris n cerc: se deseneaz un cerc de o anumit raz. se mparte cercul n 4 pri congruente prin construirea a dou diametre perpendiculare.
Construcia unui ptrat
A
OB D
C
Construcia unui octogon regulat nscris n cerc: se deseneaz un cerc de o anumit raz. se mparte cercul n 4 pri congruente prin construirea a dou diametre perpendiculare. se deseneaz mediatoarea unei laturi a ptratului nscris n cerc. se deseneaz 8 prti egale.
Construcia unui octogon regulat
A M Q
O B D
N
P C
Construcia expresiei a + b: fie a i b dou numere reale pozitive, a > b. se deseneaz dou segmente de lungimi egale cu a i b. se deseneaz o dreapta d i se alege punctul O n care se deseneaz un cerc de raz egal cu a, care va intersecta a doua oar dreapta d n punctul A. n punctul A se deseneaz un cerc de raz egal cu b, care va intersecta dreapta d n punctele B1 i B2. segmentul OB2 reprezint expresia a + b.
Calculul sumei a+b
a b
O B1 a
A b
B2
d
a+b
Construcia mediei aritmetice: -fie a i b dou numere reale pozitive, a > b. -se deseneaz dou segmente de lungimi egale cu a i b. -construim segmentul AB care are lungimea egal cu a + b. -se deseneaz mediatoarea segmentului AB, care va mpri segmentul n dou segmente congruente care ab reprezint numrul 2 ( care reprezint media aritmetic a numerelor a i b).
Calculul mediei aritmetice a dou numere a i b
a b d
(a+b)/2A a P b B
Construcia mediei geometrice a numerelor a i b: -fie a i b dou numere reale pozitive, a > b. -se deseneaz dou segmente de lungimi egale cu a i b. -construim segmentul AB care are lungimea egal cu a + b. -se construiete semicercul de diametru AB. -n punctul C, AC = a, se duce o perpendiculara care intersecteaz semicercul n punctul D. -conform teoremei nlimii n triunghiul a b dreptunghic DAB, DC2 = AC CB.Deci
reprezint media geometric a numerelor a i b.
a b
Calculul mediei geometrice a dou numere a i bd D
a bC B A a b