COLAPSUL STRUCTURILOR MECANICE - ISUPORT DE CURS
Universitatea Dunărea de Josrsquorsquo din GalaţiFacultatea de Inginerie
Departamentul de Inginerie Mecanică
Asdring Florin ONEA
GALAȚI 2017
CUPRINS1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
5 Bare cu variaţie de secţiune
6 Calculul barelor de lungimi mari
7 Flambajul barelor drepte
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
9 Metoda Euler
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şi forţă axială
13 Flambajul barelor comprimate excentric
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
5 Bare cu variaţie de secţiune
6 Calculul barelor de lungimi mari
7 Flambajul barelor drepte
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
9 Metoda Euler
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şi forţă axială
13 Flambajul barelor comprimate excentric
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
Teorii clasice de rezistenţă
I Teoria tensiunii normale maximeII Teoria deformaţiei specifice maximeIII Teoria tensiunii tangenţiale maximeIV Teoria energiei potenţiale de deformaţie totală maximăV Teoria energiei potenţiale de modificare a formei maximă
Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
CSM I - Suport de curs
I Teoria tensiunii normale maximeII Teoria deformaţiei specifice maximeIII Teoria tensiunii tangenţiale maximeIV Teoria energiei potenţiale de deformaţie totală maximăV Teoria energiei potenţiale de modificare a formei maximă
Icircn cazul particular al barelor apar numai
x
b) tensiuni tangenţiale 22xzxy
Tensiunile principale se pot obţine
2221 4
21
2
a) tensiuni normale
1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
Dacă se consideră coeficientul lui Poisson se obţin relaţiile30
Lech )4(50 221I
II Lech
2222
2 465035042
12
1
III Lech 223 4
IV Lech 22224 62)1(2
CSM I - Suport de curs
IV Lech 22224 62)1(2
V Lech 225 3
Forfecare pură
Teorie I Teorie II Teorie III Teorie IV Teorie V
Legea lui Hooke(extinsă pacircnă la limita
de curgere)
LL
cc
LL 760
cc 760
LL 50
cc 50
LL 620
cc 620
LL 570
cc 570
1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
Criterii de alegere a teoriilor de rezistenţă
Materiale tenace teorii de rupere prin lunecare (Teoria V sau III)
Materiale casante teorii de rupere prin smulgere (Teoria II sau I)
Alegerea teoriei de rezistenţă se realizează icircn funcţie de semnul tensiunii medii
3321
m
CSM I - Suport de curs
3321
m
a) Pentru se recomandă o teorie de rupere prin lunecare0m
b) Pentru se recomandă o teorie de rupere prin smulgere0m
Criteriul lui Davidenko - Fridmanndefinește starea mecanică de solicitareprin intermediul pantei unei drepte (m) )]([2)(
)(
321
31
II
IIIm
ech
ech
1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
Drepte de pantă m
dreapta 1 m=0 - icircntindere uniformă după trei axe0321
dreapta 2 0ltmlt05 - icircntindere uniformă după trei direcţii0321
dreapta 3 m=05 - solicitare de icircntindere simplă00 321
dreapta 4 m=07692 - solicitare de forfecare pură00 32
CSM I - Suport de curs
dreapta 5 m=167 - solicitare de compresiune simplă00 321
a) dacă dreapta intersectează verticala
- rupere prin smulgere L
b) dacă dreapta intersectează orizontala
- rupere prin lunecare L
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Tensiuni și deformaţii
O bară este solicitată axial dacă icircn secţiunile ei transversal se dezvoltă numaiforţe axiale N (constante sau variabile)
Forţe axiale pozitive solicitare de icircntindere a secţiunii transversale
Forţe axiale negative solicitare de compresiune a secţiunii transversale
CSM I - Suport de curs
Tensiunile sunt repartizateuniform pe suprafaţa secţiuniitransversale
AdAdANAA
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Tensiune normalăA
N
Deformaţie specificăAE
N
E
(materialul satisface legea lui Hooke)
Alungireascurtarea bareiAE
LNLL
CSM I - Suport de curs
Dacă N E și A sunt variabile (sau constante) pe secţiuni ale barei
Alungireascurtarea barei
L AE
NL sau
AE
LNL
La compresiune se calculează doar barele scurte min15 dL
pentru min15 dL - se realizează calculul la flambaj
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Calcule de rezistenţă
a) Verificare - determinarea tensiuniideformaţiei maxime și comparareavalorii obţinute cu cea admisibilă
- valoarea rezultată nu trebuie să depășească pe cea admisibilă
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
aef
ef A
N maxaAE
N
max sau aLAE
LNL
max
CSM I - Suport de curs
aef
ef A
N maxaAE
N
max aLAE
LNL
max
Dacă seicircndeplinesc simultan condiţiile
aa
aa
aa
LLL
051800518005180
max
max
max
BARA REZISTĂ
Dacă o singură mărime depășește cu 5valoarea admisă - BARA NU REZISTĂ
Dacă toate mărimile calculate suntinferioare valorii de 80 (valori admisibile) -bara este supradimensionată
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Calcule de rezistenţă
a) Capacitate de icircncărcare
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
aefcap AN aefcap AEN sauL
LAEN aef
cap
Se are icircn vedere condiţia minmin 05180 capcap PPP
CSM I - Suport de curs
Se are icircn vedere condiţia minmin 05180 capcap PPP
c) Dimensionare - determinarea dimensiunilor secţiunii transversale astfel icircncacirct bara să rezistela solicitări
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
anec
NA
max
anec E
NA
max sau
anec LE
NLA
max
Pe baza calculelor se alege o valoare standardizată
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
O bară este solicitată la icircncovoiere cacircnd torsorul eforturilor se reduce la vectorulmoment din planul secţiunii
După modul de icircncărcare al barelor
a) icircncovoiere pură dreaptă (pe o direcţie) - icircn secţiunea transversală există osingură componentă a momentului icircncovoietor Mz sau My
b) icircncovoiere oblică (pe două direcţii) - icircn secţiunea transversală apar ambelecomponente ale vectorului moment Mz şi My
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
CSM I - Suport de curs
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
Caz A Caz B Caz C
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Icircncovoiere pură - Formula lui Navier
Toate icircncărcările exterioare trebuie să fie aplicate icircntr-un singur plan desimetrie longitudinal numit planul forţelor
Intersecţia planului forţelor cu secţiunea transversală determină o dreaptănumită linia forţelor
CSM I - Suport de curs
Cazuri de icircncărcare pe o grindă dreaptă
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Se consideră bara cu secţiune prismaticăpe care se trasează un caroiaj de liniilongitudinale şi transversale
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
CSM I - Suport de curs
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
Trecerea de la lungire la scurtareeste un proces continuu
Liniile verticale rămacircndrepte şi perpendicularepe cele longitudinalecurbate deci se rotesc icircnjurul unui punct de pe ele
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Dacă se studiază un ochi al caroiajului se constată că după deformare unghiurilesale rămacircn drepte (ABCD) ceea ce icircnseamnă că lunecările specifice icircn planelelongitudinale sunt nule ( )0xy
Pentru studiul deformaţiilor liniare se izolează un element diferenţial de lungimedx Se notează cu ρ raza de curbură a fibrei longitudinale neutre şi cu y distanţade la aceasta la fibra curentă Fibra curentă se va lungi cu cantitatea Δdx Dinasemănarea triunghiului OAD şi CDN rezultă
y
dx
dxx
CSM I - Suport de curs
y
dx
dxx
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Lungirea specifică (εx)- variază liniar cu distanţa la axa neutră- este nulă icircn dreptul acesteia- are valori maxime la extremităţile secţiunii transversale- pe lăţimea secţiunii εx este constantă la orice nivel y (ipoteza secţiunilor plane)
Dacă se consideră un material cu comportare ideal liniar elastică legătura icircntretensiuni şi deformaţii specifice se exprimă prin legea lui Hooke
xx E xyxy G
CSM I - Suport de curs
xx E xyxy G
Relaţii care mai pot fi scrise sub forma
yE
x 0xy
Tensiunea normală variază liniar pe icircnălţimea secţiunii cu valori maxime laextremităţi şi zero icircn dreptul axei neutre iar pe lăţimea secţiunii este constantă laorice nivel y
Expresia tensiunii normale 0 A
ydAE
N
0E
x - lege de variaţie cunoscută
Momentul static faţă de axă este nul
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Momentul de inerţie centrifugal faţă de axa neutrǎ şi axa y este nul
Momentul icircncovoietor Mz
z
A A
xz IE
dAyE
ydAM
2
Curbura axei deformate a barei icircn funcţie de momentul icircncovoietor şi rigiditatea
la icircncovoiere (EIz) a barei este dată de relaţia
CSM I - Suport de curs
yEI
EM
z
zx sau y
I
M
z
zx Formula lui Navier
permite calculul tensiunilor normale icircn orice secţiune transversală a uneibare icircncovoiate dacă se cunoaşte solicitarea (Mz) şi geometria bare (Iz)
pentru bare cu secţiune constantă variaţia tensiunilor normale icircn lungulunei fibre longitudinale este dată de variaţia momentului icircncovoietor
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
O bară dreaptă este solicitată la răsucire (torsiune) dacă icircn secţiuneatransversală acţionează un moment al cărui vector este dirijat icircn lungul axeibarei
La bare curbe răsucirea este produsă de un moment dirijat icircn lungul tangentei laaxa barei
Piese solicitate la răsucirestructuri spaţiale cucapetele icircncastrate
CSM I - Suport de curs
arborii maşinilor bare de torsiune
structuri spaţiale cucapetele icircncastrate
Pentru bare cu secţiune axial-simetric - este valabilă ipoteza secţiunii plane
Pentru bare cu pereţi subţiri - tensiunile tangenţiale sunt constante pe grosimeaperetelui
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Atunci cacircnd asupra unei bare acţionează mai multe cupluri exterioare avacircndvectorul dirijat icircn lungul axei barei este necesară construcţia unei diagrame demomente de răsucireDacă un arbore transmite puterea P (kW) la turaţia n(rotmin) momentul de torsiune se poate calcula curelaţia
n
PM t 9550 [Nm]
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci n
NM t 7026 [Nm]
CSM I - Suport de curs
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci
Puterea = Cuplul times Viteza unghiulară
n
P
rotturatia
kWputerea
sradunghiularaviteza
WputereaM t
30000
min][30
][1000][
][
kWWs
mN
s
mkgfCP 736073681975751
][7360][ CPNkWP
n
N
n
N
n
CPN
n
WPNmM t 702697025][8197530][30][
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Tensiuni icircn bare cu secţiune axial-simetricăIpoteze - bara este dreaptă şi are secţiune constantă pe toată lungimea
- momentul de torsiune este constant pe toată lungimea barei- o secţiune transversală iniţial plană rămacircne plană şi după răsucire- secţiunile sunt indeformabile şi se rotesc ca un rigid icircn jurul axei barei
CSM I - Suport de curs
Deplasarea punctului B icircn Blsquo este dată de relaţia drdx Variaţia unghiului de 90o al generatoarei cu secţiunea din stacircnga duce la
rdx
dr
dx
d unde - unghi de lunecare specifică
- unghi de răsucire specifică
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Aplicacircnd legea lui Hooke pentru forfecare rezultă rGG Tensiunile tangenţiale - variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii
- sunt nule icircn centru- au valori maxime la marginea secţiunii
Tensiunea tangenţială maximăp
t
I
rM maxmax
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
CSM I - Suport de curs
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
p
t
W
Mmax
Dimensionare
a
tpnec
MW
Verificare
ap
tef W
M
Moment de răsucire capabil
aptcap WM
a - rezistenţa admisibilă la răsucire
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Caracteristicile geometrice Ip şi Wp
Secţiune circulară plină
2
0
43
322
D
p
DdrrI
162
323
4
max
DD
D
r
IW p
p
Secţiune inelară circulară
CSM I - Suport de curs
D = 2R este diametrul secţiunii
2
2
443
32)(2
D
d
p
dDdrrI
D
dDD
dD
r
IW p
p 16)(
2
32)(
44
44
max
Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine
hRI p 32
hRWp 22
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
CUPRINS1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
5 Bare cu variaţie de secţiune
6 Calculul barelor de lungimi mari
7 Flambajul barelor drepte
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
9 Metoda Euler
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şi forţă axială
13 Flambajul barelor comprimate excentric
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
5 Bare cu variaţie de secţiune
6 Calculul barelor de lungimi mari
7 Flambajul barelor drepte
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
9 Metoda Euler
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şi forţă axială
13 Flambajul barelor comprimate excentric
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
Teorii clasice de rezistenţă
I Teoria tensiunii normale maximeII Teoria deformaţiei specifice maximeIII Teoria tensiunii tangenţiale maximeIV Teoria energiei potenţiale de deformaţie totală maximăV Teoria energiei potenţiale de modificare a formei maximă
Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
CSM I - Suport de curs
I Teoria tensiunii normale maximeII Teoria deformaţiei specifice maximeIII Teoria tensiunii tangenţiale maximeIV Teoria energiei potenţiale de deformaţie totală maximăV Teoria energiei potenţiale de modificare a formei maximă
Icircn cazul particular al barelor apar numai
x
b) tensiuni tangenţiale 22xzxy
Tensiunile principale se pot obţine
2221 4
21
2
a) tensiuni normale
1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
Dacă se consideră coeficientul lui Poisson se obţin relaţiile30
Lech )4(50 221I
II Lech
2222
2 465035042
12
1
III Lech 223 4
IV Lech 22224 62)1(2
CSM I - Suport de curs
IV Lech 22224 62)1(2
V Lech 225 3
Forfecare pură
Teorie I Teorie II Teorie III Teorie IV Teorie V
Legea lui Hooke(extinsă pacircnă la limita
de curgere)
LL
cc
LL 760
cc 760
LL 50
cc 50
LL 620
cc 620
LL 570
cc 570
1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
Criterii de alegere a teoriilor de rezistenţă
Materiale tenace teorii de rupere prin lunecare (Teoria V sau III)
Materiale casante teorii de rupere prin smulgere (Teoria II sau I)
Alegerea teoriei de rezistenţă se realizează icircn funcţie de semnul tensiunii medii
3321
m
CSM I - Suport de curs
3321
m
a) Pentru se recomandă o teorie de rupere prin lunecare0m
b) Pentru se recomandă o teorie de rupere prin smulgere0m
Criteriul lui Davidenko - Fridmanndefinește starea mecanică de solicitareprin intermediul pantei unei drepte (m) )]([2)(
)(
321
31
II
IIIm
ech
ech
1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
Drepte de pantă m
dreapta 1 m=0 - icircntindere uniformă după trei axe0321
dreapta 2 0ltmlt05 - icircntindere uniformă după trei direcţii0321
dreapta 3 m=05 - solicitare de icircntindere simplă00 321
dreapta 4 m=07692 - solicitare de forfecare pură00 32
CSM I - Suport de curs
dreapta 5 m=167 - solicitare de compresiune simplă00 321
a) dacă dreapta intersectează verticala
- rupere prin smulgere L
b) dacă dreapta intersectează orizontala
- rupere prin lunecare L
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Tensiuni și deformaţii
O bară este solicitată axial dacă icircn secţiunile ei transversal se dezvoltă numaiforţe axiale N (constante sau variabile)
Forţe axiale pozitive solicitare de icircntindere a secţiunii transversale
Forţe axiale negative solicitare de compresiune a secţiunii transversale
CSM I - Suport de curs
Tensiunile sunt repartizateuniform pe suprafaţa secţiuniitransversale
AdAdANAA
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Tensiune normalăA
N
Deformaţie specificăAE
N
E
(materialul satisface legea lui Hooke)
Alungireascurtarea bareiAE
LNLL
CSM I - Suport de curs
Dacă N E și A sunt variabile (sau constante) pe secţiuni ale barei
Alungireascurtarea barei
L AE
NL sau
AE
LNL
La compresiune se calculează doar barele scurte min15 dL
pentru min15 dL - se realizează calculul la flambaj
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Calcule de rezistenţă
a) Verificare - determinarea tensiuniideformaţiei maxime și comparareavalorii obţinute cu cea admisibilă
- valoarea rezultată nu trebuie să depășească pe cea admisibilă
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
aef
ef A
N maxaAE
N
max sau aLAE
LNL
max
CSM I - Suport de curs
aef
ef A
N maxaAE
N
max aLAE
LNL
max
Dacă seicircndeplinesc simultan condiţiile
aa
aa
aa
LLL
051800518005180
max
max
max
BARA REZISTĂ
Dacă o singură mărime depășește cu 5valoarea admisă - BARA NU REZISTĂ
Dacă toate mărimile calculate suntinferioare valorii de 80 (valori admisibile) -bara este supradimensionată
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Calcule de rezistenţă
a) Capacitate de icircncărcare
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
aefcap AN aefcap AEN sauL
LAEN aef
cap
Se are icircn vedere condiţia minmin 05180 capcap PPP
CSM I - Suport de curs
Se are icircn vedere condiţia minmin 05180 capcap PPP
c) Dimensionare - determinarea dimensiunilor secţiunii transversale astfel icircncacirct bara să rezistela solicitări
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
anec
NA
max
anec E
NA
max sau
anec LE
NLA
max
Pe baza calculelor se alege o valoare standardizată
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
O bară este solicitată la icircncovoiere cacircnd torsorul eforturilor se reduce la vectorulmoment din planul secţiunii
După modul de icircncărcare al barelor
a) icircncovoiere pură dreaptă (pe o direcţie) - icircn secţiunea transversală există osingură componentă a momentului icircncovoietor Mz sau My
b) icircncovoiere oblică (pe două direcţii) - icircn secţiunea transversală apar ambelecomponente ale vectorului moment Mz şi My
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
CSM I - Suport de curs
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
Caz A Caz B Caz C
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Icircncovoiere pură - Formula lui Navier
Toate icircncărcările exterioare trebuie să fie aplicate icircntr-un singur plan desimetrie longitudinal numit planul forţelor
Intersecţia planului forţelor cu secţiunea transversală determină o dreaptănumită linia forţelor
CSM I - Suport de curs
Cazuri de icircncărcare pe o grindă dreaptă
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Se consideră bara cu secţiune prismaticăpe care se trasează un caroiaj de liniilongitudinale şi transversale
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
CSM I - Suport de curs
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
Trecerea de la lungire la scurtareeste un proces continuu
Liniile verticale rămacircndrepte şi perpendicularepe cele longitudinalecurbate deci se rotesc icircnjurul unui punct de pe ele
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Dacă se studiază un ochi al caroiajului se constată că după deformare unghiurilesale rămacircn drepte (ABCD) ceea ce icircnseamnă că lunecările specifice icircn planelelongitudinale sunt nule ( )0xy
Pentru studiul deformaţiilor liniare se izolează un element diferenţial de lungimedx Se notează cu ρ raza de curbură a fibrei longitudinale neutre şi cu y distanţade la aceasta la fibra curentă Fibra curentă se va lungi cu cantitatea Δdx Dinasemănarea triunghiului OAD şi CDN rezultă
y
dx
dxx
CSM I - Suport de curs
y
dx
dxx
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Lungirea specifică (εx)- variază liniar cu distanţa la axa neutră- este nulă icircn dreptul acesteia- are valori maxime la extremităţile secţiunii transversale- pe lăţimea secţiunii εx este constantă la orice nivel y (ipoteza secţiunilor plane)
Dacă se consideră un material cu comportare ideal liniar elastică legătura icircntretensiuni şi deformaţii specifice se exprimă prin legea lui Hooke
xx E xyxy G
CSM I - Suport de curs
xx E xyxy G
Relaţii care mai pot fi scrise sub forma
yE
x 0xy
Tensiunea normală variază liniar pe icircnălţimea secţiunii cu valori maxime laextremităţi şi zero icircn dreptul axei neutre iar pe lăţimea secţiunii este constantă laorice nivel y
Expresia tensiunii normale 0 A
ydAE
N
0E
x - lege de variaţie cunoscută
Momentul static faţă de axă este nul
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Momentul de inerţie centrifugal faţă de axa neutrǎ şi axa y este nul
Momentul icircncovoietor Mz
z
A A
xz IE
dAyE
ydAM
2
Curbura axei deformate a barei icircn funcţie de momentul icircncovoietor şi rigiditatea
la icircncovoiere (EIz) a barei este dată de relaţia
CSM I - Suport de curs
yEI
EM
z
zx sau y
I
M
z
zx Formula lui Navier
permite calculul tensiunilor normale icircn orice secţiune transversală a uneibare icircncovoiate dacă se cunoaşte solicitarea (Mz) şi geometria bare (Iz)
pentru bare cu secţiune constantă variaţia tensiunilor normale icircn lungulunei fibre longitudinale este dată de variaţia momentului icircncovoietor
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
O bară dreaptă este solicitată la răsucire (torsiune) dacă icircn secţiuneatransversală acţionează un moment al cărui vector este dirijat icircn lungul axeibarei
La bare curbe răsucirea este produsă de un moment dirijat icircn lungul tangentei laaxa barei
Piese solicitate la răsucirestructuri spaţiale cucapetele icircncastrate
CSM I - Suport de curs
arborii maşinilor bare de torsiune
structuri spaţiale cucapetele icircncastrate
Pentru bare cu secţiune axial-simetric - este valabilă ipoteza secţiunii plane
Pentru bare cu pereţi subţiri - tensiunile tangenţiale sunt constante pe grosimeaperetelui
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Atunci cacircnd asupra unei bare acţionează mai multe cupluri exterioare avacircndvectorul dirijat icircn lungul axei barei este necesară construcţia unei diagrame demomente de răsucireDacă un arbore transmite puterea P (kW) la turaţia n(rotmin) momentul de torsiune se poate calcula curelaţia
n
PM t 9550 [Nm]
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci n
NM t 7026 [Nm]
CSM I - Suport de curs
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci
Puterea = Cuplul times Viteza unghiulară
n
P
rotturatia
kWputerea
sradunghiularaviteza
WputereaM t
30000
min][30
][1000][
][
kWWs
mN
s
mkgfCP 736073681975751
][7360][ CPNkWP
n
N
n
N
n
CPN
n
WPNmM t 702697025][8197530][30][
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Tensiuni icircn bare cu secţiune axial-simetricăIpoteze - bara este dreaptă şi are secţiune constantă pe toată lungimea
- momentul de torsiune este constant pe toată lungimea barei- o secţiune transversală iniţial plană rămacircne plană şi după răsucire- secţiunile sunt indeformabile şi se rotesc ca un rigid icircn jurul axei barei
CSM I - Suport de curs
Deplasarea punctului B icircn Blsquo este dată de relaţia drdx Variaţia unghiului de 90o al generatoarei cu secţiunea din stacircnga duce la
rdx
dr
dx
d unde - unghi de lunecare specifică
- unghi de răsucire specifică
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Aplicacircnd legea lui Hooke pentru forfecare rezultă rGG Tensiunile tangenţiale - variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii
- sunt nule icircn centru- au valori maxime la marginea secţiunii
Tensiunea tangenţială maximăp
t
I
rM maxmax
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
CSM I - Suport de curs
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
p
t
W
Mmax
Dimensionare
a
tpnec
MW
Verificare
ap
tef W
M
Moment de răsucire capabil
aptcap WM
a - rezistenţa admisibilă la răsucire
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Caracteristicile geometrice Ip şi Wp
Secţiune circulară plină
2
0
43
322
D
p
DdrrI
162
323
4
max
DD
D
r
IW p
p
Secţiune inelară circulară
CSM I - Suport de curs
D = 2R este diametrul secţiunii
2
2
443
32)(2
D
d
p
dDdrrI
D
dDD
dD
r
IW p
p 16)(
2
32)(
44
44
max
Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine
hRI p 32
hRWp 22
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
Teorii clasice de rezistenţă
I Teoria tensiunii normale maximeII Teoria deformaţiei specifice maximeIII Teoria tensiunii tangenţiale maximeIV Teoria energiei potenţiale de deformaţie totală maximăV Teoria energiei potenţiale de modificare a formei maximă
Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
CSM I - Suport de curs
I Teoria tensiunii normale maximeII Teoria deformaţiei specifice maximeIII Teoria tensiunii tangenţiale maximeIV Teoria energiei potenţiale de deformaţie totală maximăV Teoria energiei potenţiale de modificare a formei maximă
Icircn cazul particular al barelor apar numai
x
b) tensiuni tangenţiale 22xzxy
Tensiunile principale se pot obţine
2221 4
21
2
a) tensiuni normale
1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
Dacă se consideră coeficientul lui Poisson se obţin relaţiile30
Lech )4(50 221I
II Lech
2222
2 465035042
12
1
III Lech 223 4
IV Lech 22224 62)1(2
CSM I - Suport de curs
IV Lech 22224 62)1(2
V Lech 225 3
Forfecare pură
Teorie I Teorie II Teorie III Teorie IV Teorie V
Legea lui Hooke(extinsă pacircnă la limita
de curgere)
LL
cc
LL 760
cc 760
LL 50
cc 50
LL 620
cc 620
LL 570
cc 570
1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
Criterii de alegere a teoriilor de rezistenţă
Materiale tenace teorii de rupere prin lunecare (Teoria V sau III)
Materiale casante teorii de rupere prin smulgere (Teoria II sau I)
Alegerea teoriei de rezistenţă se realizează icircn funcţie de semnul tensiunii medii
3321
m
CSM I - Suport de curs
3321
m
a) Pentru se recomandă o teorie de rupere prin lunecare0m
b) Pentru se recomandă o teorie de rupere prin smulgere0m
Criteriul lui Davidenko - Fridmanndefinește starea mecanică de solicitareprin intermediul pantei unei drepte (m) )]([2)(
)(
321
31
II
IIIm
ech
ech
1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
Drepte de pantă m
dreapta 1 m=0 - icircntindere uniformă după trei axe0321
dreapta 2 0ltmlt05 - icircntindere uniformă după trei direcţii0321
dreapta 3 m=05 - solicitare de icircntindere simplă00 321
dreapta 4 m=07692 - solicitare de forfecare pură00 32
CSM I - Suport de curs
dreapta 5 m=167 - solicitare de compresiune simplă00 321
a) dacă dreapta intersectează verticala
- rupere prin smulgere L
b) dacă dreapta intersectează orizontala
- rupere prin lunecare L
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Tensiuni și deformaţii
O bară este solicitată axial dacă icircn secţiunile ei transversal se dezvoltă numaiforţe axiale N (constante sau variabile)
Forţe axiale pozitive solicitare de icircntindere a secţiunii transversale
Forţe axiale negative solicitare de compresiune a secţiunii transversale
CSM I - Suport de curs
Tensiunile sunt repartizateuniform pe suprafaţa secţiuniitransversale
AdAdANAA
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Tensiune normalăA
N
Deformaţie specificăAE
N
E
(materialul satisface legea lui Hooke)
Alungireascurtarea bareiAE
LNLL
CSM I - Suport de curs
Dacă N E și A sunt variabile (sau constante) pe secţiuni ale barei
Alungireascurtarea barei
L AE
NL sau
AE
LNL
La compresiune se calculează doar barele scurte min15 dL
pentru min15 dL - se realizează calculul la flambaj
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Calcule de rezistenţă
a) Verificare - determinarea tensiuniideformaţiei maxime și comparareavalorii obţinute cu cea admisibilă
- valoarea rezultată nu trebuie să depășească pe cea admisibilă
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
aef
ef A
N maxaAE
N
max sau aLAE
LNL
max
CSM I - Suport de curs
aef
ef A
N maxaAE
N
max aLAE
LNL
max
Dacă seicircndeplinesc simultan condiţiile
aa
aa
aa
LLL
051800518005180
max
max
max
BARA REZISTĂ
Dacă o singură mărime depășește cu 5valoarea admisă - BARA NU REZISTĂ
Dacă toate mărimile calculate suntinferioare valorii de 80 (valori admisibile) -bara este supradimensionată
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Calcule de rezistenţă
a) Capacitate de icircncărcare
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
aefcap AN aefcap AEN sauL
LAEN aef
cap
Se are icircn vedere condiţia minmin 05180 capcap PPP
CSM I - Suport de curs
Se are icircn vedere condiţia minmin 05180 capcap PPP
c) Dimensionare - determinarea dimensiunilor secţiunii transversale astfel icircncacirct bara să rezistela solicitări
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
anec
NA
max
anec E
NA
max sau
anec LE
NLA
max
Pe baza calculelor se alege o valoare standardizată
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
O bară este solicitată la icircncovoiere cacircnd torsorul eforturilor se reduce la vectorulmoment din planul secţiunii
După modul de icircncărcare al barelor
a) icircncovoiere pură dreaptă (pe o direcţie) - icircn secţiunea transversală există osingură componentă a momentului icircncovoietor Mz sau My
b) icircncovoiere oblică (pe două direcţii) - icircn secţiunea transversală apar ambelecomponente ale vectorului moment Mz şi My
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
CSM I - Suport de curs
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
Caz A Caz B Caz C
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Icircncovoiere pură - Formula lui Navier
Toate icircncărcările exterioare trebuie să fie aplicate icircntr-un singur plan desimetrie longitudinal numit planul forţelor
Intersecţia planului forţelor cu secţiunea transversală determină o dreaptănumită linia forţelor
CSM I - Suport de curs
Cazuri de icircncărcare pe o grindă dreaptă
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Se consideră bara cu secţiune prismaticăpe care se trasează un caroiaj de liniilongitudinale şi transversale
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
CSM I - Suport de curs
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
Trecerea de la lungire la scurtareeste un proces continuu
Liniile verticale rămacircndrepte şi perpendicularepe cele longitudinalecurbate deci se rotesc icircnjurul unui punct de pe ele
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Dacă se studiază un ochi al caroiajului se constată că după deformare unghiurilesale rămacircn drepte (ABCD) ceea ce icircnseamnă că lunecările specifice icircn planelelongitudinale sunt nule ( )0xy
Pentru studiul deformaţiilor liniare se izolează un element diferenţial de lungimedx Se notează cu ρ raza de curbură a fibrei longitudinale neutre şi cu y distanţade la aceasta la fibra curentă Fibra curentă se va lungi cu cantitatea Δdx Dinasemănarea triunghiului OAD şi CDN rezultă
y
dx
dxx
CSM I - Suport de curs
y
dx
dxx
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Lungirea specifică (εx)- variază liniar cu distanţa la axa neutră- este nulă icircn dreptul acesteia- are valori maxime la extremităţile secţiunii transversale- pe lăţimea secţiunii εx este constantă la orice nivel y (ipoteza secţiunilor plane)
Dacă se consideră un material cu comportare ideal liniar elastică legătura icircntretensiuni şi deformaţii specifice se exprimă prin legea lui Hooke
xx E xyxy G
CSM I - Suport de curs
xx E xyxy G
Relaţii care mai pot fi scrise sub forma
yE
x 0xy
Tensiunea normală variază liniar pe icircnălţimea secţiunii cu valori maxime laextremităţi şi zero icircn dreptul axei neutre iar pe lăţimea secţiunii este constantă laorice nivel y
Expresia tensiunii normale 0 A
ydAE
N
0E
x - lege de variaţie cunoscută
Momentul static faţă de axă este nul
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Momentul de inerţie centrifugal faţă de axa neutrǎ şi axa y este nul
Momentul icircncovoietor Mz
z
A A
xz IE
dAyE
ydAM
2
Curbura axei deformate a barei icircn funcţie de momentul icircncovoietor şi rigiditatea
la icircncovoiere (EIz) a barei este dată de relaţia
CSM I - Suport de curs
yEI
EM
z
zx sau y
I
M
z
zx Formula lui Navier
permite calculul tensiunilor normale icircn orice secţiune transversală a uneibare icircncovoiate dacă se cunoaşte solicitarea (Mz) şi geometria bare (Iz)
pentru bare cu secţiune constantă variaţia tensiunilor normale icircn lungulunei fibre longitudinale este dată de variaţia momentului icircncovoietor
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
O bară dreaptă este solicitată la răsucire (torsiune) dacă icircn secţiuneatransversală acţionează un moment al cărui vector este dirijat icircn lungul axeibarei
La bare curbe răsucirea este produsă de un moment dirijat icircn lungul tangentei laaxa barei
Piese solicitate la răsucirestructuri spaţiale cucapetele icircncastrate
CSM I - Suport de curs
arborii maşinilor bare de torsiune
structuri spaţiale cucapetele icircncastrate
Pentru bare cu secţiune axial-simetric - este valabilă ipoteza secţiunii plane
Pentru bare cu pereţi subţiri - tensiunile tangenţiale sunt constante pe grosimeaperetelui
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Atunci cacircnd asupra unei bare acţionează mai multe cupluri exterioare avacircndvectorul dirijat icircn lungul axei barei este necesară construcţia unei diagrame demomente de răsucireDacă un arbore transmite puterea P (kW) la turaţia n(rotmin) momentul de torsiune se poate calcula curelaţia
n
PM t 9550 [Nm]
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci n
NM t 7026 [Nm]
CSM I - Suport de curs
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci
Puterea = Cuplul times Viteza unghiulară
n
P
rotturatia
kWputerea
sradunghiularaviteza
WputereaM t
30000
min][30
][1000][
][
kWWs
mN
s
mkgfCP 736073681975751
][7360][ CPNkWP
n
N
n
N
n
CPN
n
WPNmM t 702697025][8197530][30][
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Tensiuni icircn bare cu secţiune axial-simetricăIpoteze - bara este dreaptă şi are secţiune constantă pe toată lungimea
- momentul de torsiune este constant pe toată lungimea barei- o secţiune transversală iniţial plană rămacircne plană şi după răsucire- secţiunile sunt indeformabile şi se rotesc ca un rigid icircn jurul axei barei
CSM I - Suport de curs
Deplasarea punctului B icircn Blsquo este dată de relaţia drdx Variaţia unghiului de 90o al generatoarei cu secţiunea din stacircnga duce la
rdx
dr
dx
d unde - unghi de lunecare specifică
- unghi de răsucire specifică
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Aplicacircnd legea lui Hooke pentru forfecare rezultă rGG Tensiunile tangenţiale - variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii
- sunt nule icircn centru- au valori maxime la marginea secţiunii
Tensiunea tangenţială maximăp
t
I
rM maxmax
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
CSM I - Suport de curs
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
p
t
W
Mmax
Dimensionare
a
tpnec
MW
Verificare
ap
tef W
M
Moment de răsucire capabil
aptcap WM
a - rezistenţa admisibilă la răsucire
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Caracteristicile geometrice Ip şi Wp
Secţiune circulară plină
2
0
43
322
D
p
DdrrI
162
323
4
max
DD
D
r
IW p
p
Secţiune inelară circulară
CSM I - Suport de curs
D = 2R este diametrul secţiunii
2
2
443
32)(2
D
d
p
dDdrrI
D
dDD
dD
r
IW p
p 16)(
2
32)(
44
44
max
Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine
hRI p 32
hRWp 22
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
Dacă se consideră coeficientul lui Poisson se obţin relaţiile30
Lech )4(50 221I
II Lech
2222
2 465035042
12
1
III Lech 223 4
IV Lech 22224 62)1(2
CSM I - Suport de curs
IV Lech 22224 62)1(2
V Lech 225 3
Forfecare pură
Teorie I Teorie II Teorie III Teorie IV Teorie V
Legea lui Hooke(extinsă pacircnă la limita
de curgere)
LL
cc
LL 760
cc 760
LL 50
cc 50
LL 620
cc 620
LL 570
cc 570
1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
Criterii de alegere a teoriilor de rezistenţă
Materiale tenace teorii de rupere prin lunecare (Teoria V sau III)
Materiale casante teorii de rupere prin smulgere (Teoria II sau I)
Alegerea teoriei de rezistenţă se realizează icircn funcţie de semnul tensiunii medii
3321
m
CSM I - Suport de curs
3321
m
a) Pentru se recomandă o teorie de rupere prin lunecare0m
b) Pentru se recomandă o teorie de rupere prin smulgere0m
Criteriul lui Davidenko - Fridmanndefinește starea mecanică de solicitareprin intermediul pantei unei drepte (m) )]([2)(
)(
321
31
II
IIIm
ech
ech
1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
Drepte de pantă m
dreapta 1 m=0 - icircntindere uniformă după trei axe0321
dreapta 2 0ltmlt05 - icircntindere uniformă după trei direcţii0321
dreapta 3 m=05 - solicitare de icircntindere simplă00 321
dreapta 4 m=07692 - solicitare de forfecare pură00 32
CSM I - Suport de curs
dreapta 5 m=167 - solicitare de compresiune simplă00 321
a) dacă dreapta intersectează verticala
- rupere prin smulgere L
b) dacă dreapta intersectează orizontala
- rupere prin lunecare L
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Tensiuni și deformaţii
O bară este solicitată axial dacă icircn secţiunile ei transversal se dezvoltă numaiforţe axiale N (constante sau variabile)
Forţe axiale pozitive solicitare de icircntindere a secţiunii transversale
Forţe axiale negative solicitare de compresiune a secţiunii transversale
CSM I - Suport de curs
Tensiunile sunt repartizateuniform pe suprafaţa secţiuniitransversale
AdAdANAA
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Tensiune normalăA
N
Deformaţie specificăAE
N
E
(materialul satisface legea lui Hooke)
Alungireascurtarea bareiAE
LNLL
CSM I - Suport de curs
Dacă N E și A sunt variabile (sau constante) pe secţiuni ale barei
Alungireascurtarea barei
L AE
NL sau
AE
LNL
La compresiune se calculează doar barele scurte min15 dL
pentru min15 dL - se realizează calculul la flambaj
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Calcule de rezistenţă
a) Verificare - determinarea tensiuniideformaţiei maxime și comparareavalorii obţinute cu cea admisibilă
- valoarea rezultată nu trebuie să depășească pe cea admisibilă
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
aef
ef A
N maxaAE
N
max sau aLAE
LNL
max
CSM I - Suport de curs
aef
ef A
N maxaAE
N
max aLAE
LNL
max
Dacă seicircndeplinesc simultan condiţiile
aa
aa
aa
LLL
051800518005180
max
max
max
BARA REZISTĂ
Dacă o singură mărime depășește cu 5valoarea admisă - BARA NU REZISTĂ
Dacă toate mărimile calculate suntinferioare valorii de 80 (valori admisibile) -bara este supradimensionată
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Calcule de rezistenţă
a) Capacitate de icircncărcare
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
aefcap AN aefcap AEN sauL
LAEN aef
cap
Se are icircn vedere condiţia minmin 05180 capcap PPP
CSM I - Suport de curs
Se are icircn vedere condiţia minmin 05180 capcap PPP
c) Dimensionare - determinarea dimensiunilor secţiunii transversale astfel icircncacirct bara să rezistela solicitări
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
anec
NA
max
anec E
NA
max sau
anec LE
NLA
max
Pe baza calculelor se alege o valoare standardizată
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
O bară este solicitată la icircncovoiere cacircnd torsorul eforturilor se reduce la vectorulmoment din planul secţiunii
După modul de icircncărcare al barelor
a) icircncovoiere pură dreaptă (pe o direcţie) - icircn secţiunea transversală există osingură componentă a momentului icircncovoietor Mz sau My
b) icircncovoiere oblică (pe două direcţii) - icircn secţiunea transversală apar ambelecomponente ale vectorului moment Mz şi My
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
CSM I - Suport de curs
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
Caz A Caz B Caz C
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Icircncovoiere pură - Formula lui Navier
Toate icircncărcările exterioare trebuie să fie aplicate icircntr-un singur plan desimetrie longitudinal numit planul forţelor
Intersecţia planului forţelor cu secţiunea transversală determină o dreaptănumită linia forţelor
CSM I - Suport de curs
Cazuri de icircncărcare pe o grindă dreaptă
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Se consideră bara cu secţiune prismaticăpe care se trasează un caroiaj de liniilongitudinale şi transversale
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
CSM I - Suport de curs
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
Trecerea de la lungire la scurtareeste un proces continuu
Liniile verticale rămacircndrepte şi perpendicularepe cele longitudinalecurbate deci se rotesc icircnjurul unui punct de pe ele
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Dacă se studiază un ochi al caroiajului se constată că după deformare unghiurilesale rămacircn drepte (ABCD) ceea ce icircnseamnă că lunecările specifice icircn planelelongitudinale sunt nule ( )0xy
Pentru studiul deformaţiilor liniare se izolează un element diferenţial de lungimedx Se notează cu ρ raza de curbură a fibrei longitudinale neutre şi cu y distanţade la aceasta la fibra curentă Fibra curentă se va lungi cu cantitatea Δdx Dinasemănarea triunghiului OAD şi CDN rezultă
y
dx
dxx
CSM I - Suport de curs
y
dx
dxx
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Lungirea specifică (εx)- variază liniar cu distanţa la axa neutră- este nulă icircn dreptul acesteia- are valori maxime la extremităţile secţiunii transversale- pe lăţimea secţiunii εx este constantă la orice nivel y (ipoteza secţiunilor plane)
Dacă se consideră un material cu comportare ideal liniar elastică legătura icircntretensiuni şi deformaţii specifice se exprimă prin legea lui Hooke
xx E xyxy G
CSM I - Suport de curs
xx E xyxy G
Relaţii care mai pot fi scrise sub forma
yE
x 0xy
Tensiunea normală variază liniar pe icircnălţimea secţiunii cu valori maxime laextremităţi şi zero icircn dreptul axei neutre iar pe lăţimea secţiunii este constantă laorice nivel y
Expresia tensiunii normale 0 A
ydAE
N
0E
x - lege de variaţie cunoscută
Momentul static faţă de axă este nul
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Momentul de inerţie centrifugal faţă de axa neutrǎ şi axa y este nul
Momentul icircncovoietor Mz
z
A A
xz IE
dAyE
ydAM
2
Curbura axei deformate a barei icircn funcţie de momentul icircncovoietor şi rigiditatea
la icircncovoiere (EIz) a barei este dată de relaţia
CSM I - Suport de curs
yEI
EM
z
zx sau y
I
M
z
zx Formula lui Navier
permite calculul tensiunilor normale icircn orice secţiune transversală a uneibare icircncovoiate dacă se cunoaşte solicitarea (Mz) şi geometria bare (Iz)
pentru bare cu secţiune constantă variaţia tensiunilor normale icircn lungulunei fibre longitudinale este dată de variaţia momentului icircncovoietor
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
O bară dreaptă este solicitată la răsucire (torsiune) dacă icircn secţiuneatransversală acţionează un moment al cărui vector este dirijat icircn lungul axeibarei
La bare curbe răsucirea este produsă de un moment dirijat icircn lungul tangentei laaxa barei
Piese solicitate la răsucirestructuri spaţiale cucapetele icircncastrate
CSM I - Suport de curs
arborii maşinilor bare de torsiune
structuri spaţiale cucapetele icircncastrate
Pentru bare cu secţiune axial-simetric - este valabilă ipoteza secţiunii plane
Pentru bare cu pereţi subţiri - tensiunile tangenţiale sunt constante pe grosimeaperetelui
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Atunci cacircnd asupra unei bare acţionează mai multe cupluri exterioare avacircndvectorul dirijat icircn lungul axei barei este necesară construcţia unei diagrame demomente de răsucireDacă un arbore transmite puterea P (kW) la turaţia n(rotmin) momentul de torsiune se poate calcula curelaţia
n
PM t 9550 [Nm]
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci n
NM t 7026 [Nm]
CSM I - Suport de curs
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci
Puterea = Cuplul times Viteza unghiulară
n
P
rotturatia
kWputerea
sradunghiularaviteza
WputereaM t
30000
min][30
][1000][
][
kWWs
mN
s
mkgfCP 736073681975751
][7360][ CPNkWP
n
N
n
N
n
CPN
n
WPNmM t 702697025][8197530][30][
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Tensiuni icircn bare cu secţiune axial-simetricăIpoteze - bara este dreaptă şi are secţiune constantă pe toată lungimea
- momentul de torsiune este constant pe toată lungimea barei- o secţiune transversală iniţial plană rămacircne plană şi după răsucire- secţiunile sunt indeformabile şi se rotesc ca un rigid icircn jurul axei barei
CSM I - Suport de curs
Deplasarea punctului B icircn Blsquo este dată de relaţia drdx Variaţia unghiului de 90o al generatoarei cu secţiunea din stacircnga duce la
rdx
dr
dx
d unde - unghi de lunecare specifică
- unghi de răsucire specifică
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Aplicacircnd legea lui Hooke pentru forfecare rezultă rGG Tensiunile tangenţiale - variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii
- sunt nule icircn centru- au valori maxime la marginea secţiunii
Tensiunea tangenţială maximăp
t
I
rM maxmax
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
CSM I - Suport de curs
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
p
t
W
Mmax
Dimensionare
a
tpnec
MW
Verificare
ap
tef W
M
Moment de răsucire capabil
aptcap WM
a - rezistenţa admisibilă la răsucire
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Caracteristicile geometrice Ip şi Wp
Secţiune circulară plină
2
0
43
322
D
p
DdrrI
162
323
4
max
DD
D
r
IW p
p
Secţiune inelară circulară
CSM I - Suport de curs
D = 2R este diametrul secţiunii
2
2
443
32)(2
D
d
p
dDdrrI
D
dDD
dD
r
IW p
p 16)(
2
32)(
44
44
max
Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine
hRI p 32
hRWp 22
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
Criterii de alegere a teoriilor de rezistenţă
Materiale tenace teorii de rupere prin lunecare (Teoria V sau III)
Materiale casante teorii de rupere prin smulgere (Teoria II sau I)
Alegerea teoriei de rezistenţă se realizează icircn funcţie de semnul tensiunii medii
3321
m
CSM I - Suport de curs
3321
m
a) Pentru se recomandă o teorie de rupere prin lunecare0m
b) Pentru se recomandă o teorie de rupere prin smulgere0m
Criteriul lui Davidenko - Fridmanndefinește starea mecanică de solicitareprin intermediul pantei unei drepte (m) )]([2)(
)(
321
31
II
IIIm
ech
ech
1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
Drepte de pantă m
dreapta 1 m=0 - icircntindere uniformă după trei axe0321
dreapta 2 0ltmlt05 - icircntindere uniformă după trei direcţii0321
dreapta 3 m=05 - solicitare de icircntindere simplă00 321
dreapta 4 m=07692 - solicitare de forfecare pură00 32
CSM I - Suport de curs
dreapta 5 m=167 - solicitare de compresiune simplă00 321
a) dacă dreapta intersectează verticala
- rupere prin smulgere L
b) dacă dreapta intersectează orizontala
- rupere prin lunecare L
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Tensiuni și deformaţii
O bară este solicitată axial dacă icircn secţiunile ei transversal se dezvoltă numaiforţe axiale N (constante sau variabile)
Forţe axiale pozitive solicitare de icircntindere a secţiunii transversale
Forţe axiale negative solicitare de compresiune a secţiunii transversale
CSM I - Suport de curs
Tensiunile sunt repartizateuniform pe suprafaţa secţiuniitransversale
AdAdANAA
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Tensiune normalăA
N
Deformaţie specificăAE
N
E
(materialul satisface legea lui Hooke)
Alungireascurtarea bareiAE
LNLL
CSM I - Suport de curs
Dacă N E și A sunt variabile (sau constante) pe secţiuni ale barei
Alungireascurtarea barei
L AE
NL sau
AE
LNL
La compresiune se calculează doar barele scurte min15 dL
pentru min15 dL - se realizează calculul la flambaj
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Calcule de rezistenţă
a) Verificare - determinarea tensiuniideformaţiei maxime și comparareavalorii obţinute cu cea admisibilă
- valoarea rezultată nu trebuie să depășească pe cea admisibilă
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
aef
ef A
N maxaAE
N
max sau aLAE
LNL
max
CSM I - Suport de curs
aef
ef A
N maxaAE
N
max aLAE
LNL
max
Dacă seicircndeplinesc simultan condiţiile
aa
aa
aa
LLL
051800518005180
max
max
max
BARA REZISTĂ
Dacă o singură mărime depășește cu 5valoarea admisă - BARA NU REZISTĂ
Dacă toate mărimile calculate suntinferioare valorii de 80 (valori admisibile) -bara este supradimensionată
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Calcule de rezistenţă
a) Capacitate de icircncărcare
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
aefcap AN aefcap AEN sauL
LAEN aef
cap
Se are icircn vedere condiţia minmin 05180 capcap PPP
CSM I - Suport de curs
Se are icircn vedere condiţia minmin 05180 capcap PPP
c) Dimensionare - determinarea dimensiunilor secţiunii transversale astfel icircncacirct bara să rezistela solicitări
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
anec
NA
max
anec E
NA
max sau
anec LE
NLA
max
Pe baza calculelor se alege o valoare standardizată
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
O bară este solicitată la icircncovoiere cacircnd torsorul eforturilor se reduce la vectorulmoment din planul secţiunii
După modul de icircncărcare al barelor
a) icircncovoiere pură dreaptă (pe o direcţie) - icircn secţiunea transversală există osingură componentă a momentului icircncovoietor Mz sau My
b) icircncovoiere oblică (pe două direcţii) - icircn secţiunea transversală apar ambelecomponente ale vectorului moment Mz şi My
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
CSM I - Suport de curs
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
Caz A Caz B Caz C
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Icircncovoiere pură - Formula lui Navier
Toate icircncărcările exterioare trebuie să fie aplicate icircntr-un singur plan desimetrie longitudinal numit planul forţelor
Intersecţia planului forţelor cu secţiunea transversală determină o dreaptănumită linia forţelor
CSM I - Suport de curs
Cazuri de icircncărcare pe o grindă dreaptă
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Se consideră bara cu secţiune prismaticăpe care se trasează un caroiaj de liniilongitudinale şi transversale
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
CSM I - Suport de curs
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
Trecerea de la lungire la scurtareeste un proces continuu
Liniile verticale rămacircndrepte şi perpendicularepe cele longitudinalecurbate deci se rotesc icircnjurul unui punct de pe ele
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Dacă se studiază un ochi al caroiajului se constată că după deformare unghiurilesale rămacircn drepte (ABCD) ceea ce icircnseamnă că lunecările specifice icircn planelelongitudinale sunt nule ( )0xy
Pentru studiul deformaţiilor liniare se izolează un element diferenţial de lungimedx Se notează cu ρ raza de curbură a fibrei longitudinale neutre şi cu y distanţade la aceasta la fibra curentă Fibra curentă se va lungi cu cantitatea Δdx Dinasemănarea triunghiului OAD şi CDN rezultă
y
dx
dxx
CSM I - Suport de curs
y
dx
dxx
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Lungirea specifică (εx)- variază liniar cu distanţa la axa neutră- este nulă icircn dreptul acesteia- are valori maxime la extremităţile secţiunii transversale- pe lăţimea secţiunii εx este constantă la orice nivel y (ipoteza secţiunilor plane)
Dacă se consideră un material cu comportare ideal liniar elastică legătura icircntretensiuni şi deformaţii specifice se exprimă prin legea lui Hooke
xx E xyxy G
CSM I - Suport de curs
xx E xyxy G
Relaţii care mai pot fi scrise sub forma
yE
x 0xy
Tensiunea normală variază liniar pe icircnălţimea secţiunii cu valori maxime laextremităţi şi zero icircn dreptul axei neutre iar pe lăţimea secţiunii este constantă laorice nivel y
Expresia tensiunii normale 0 A
ydAE
N
0E
x - lege de variaţie cunoscută
Momentul static faţă de axă este nul
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Momentul de inerţie centrifugal faţă de axa neutrǎ şi axa y este nul
Momentul icircncovoietor Mz
z
A A
xz IE
dAyE
ydAM
2
Curbura axei deformate a barei icircn funcţie de momentul icircncovoietor şi rigiditatea
la icircncovoiere (EIz) a barei este dată de relaţia
CSM I - Suport de curs
yEI
EM
z
zx sau y
I
M
z
zx Formula lui Navier
permite calculul tensiunilor normale icircn orice secţiune transversală a uneibare icircncovoiate dacă se cunoaşte solicitarea (Mz) şi geometria bare (Iz)
pentru bare cu secţiune constantă variaţia tensiunilor normale icircn lungulunei fibre longitudinale este dată de variaţia momentului icircncovoietor
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
O bară dreaptă este solicitată la răsucire (torsiune) dacă icircn secţiuneatransversală acţionează un moment al cărui vector este dirijat icircn lungul axeibarei
La bare curbe răsucirea este produsă de un moment dirijat icircn lungul tangentei laaxa barei
Piese solicitate la răsucirestructuri spaţiale cucapetele icircncastrate
CSM I - Suport de curs
arborii maşinilor bare de torsiune
structuri spaţiale cucapetele icircncastrate
Pentru bare cu secţiune axial-simetric - este valabilă ipoteza secţiunii plane
Pentru bare cu pereţi subţiri - tensiunile tangenţiale sunt constante pe grosimeaperetelui
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Atunci cacircnd asupra unei bare acţionează mai multe cupluri exterioare avacircndvectorul dirijat icircn lungul axei barei este necesară construcţia unei diagrame demomente de răsucireDacă un arbore transmite puterea P (kW) la turaţia n(rotmin) momentul de torsiune se poate calcula curelaţia
n
PM t 9550 [Nm]
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci n
NM t 7026 [Nm]
CSM I - Suport de curs
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci
Puterea = Cuplul times Viteza unghiulară
n
P
rotturatia
kWputerea
sradunghiularaviteza
WputereaM t
30000
min][30
][1000][
][
kWWs
mN
s
mkgfCP 736073681975751
][7360][ CPNkWP
n
N
n
N
n
CPN
n
WPNmM t 702697025][8197530][30][
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Tensiuni icircn bare cu secţiune axial-simetricăIpoteze - bara este dreaptă şi are secţiune constantă pe toată lungimea
- momentul de torsiune este constant pe toată lungimea barei- o secţiune transversală iniţial plană rămacircne plană şi după răsucire- secţiunile sunt indeformabile şi se rotesc ca un rigid icircn jurul axei barei
CSM I - Suport de curs
Deplasarea punctului B icircn Blsquo este dată de relaţia drdx Variaţia unghiului de 90o al generatoarei cu secţiunea din stacircnga duce la
rdx
dr
dx
d unde - unghi de lunecare specifică
- unghi de răsucire specifică
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Aplicacircnd legea lui Hooke pentru forfecare rezultă rGG Tensiunile tangenţiale - variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii
- sunt nule icircn centru- au valori maxime la marginea secţiunii
Tensiunea tangenţială maximăp
t
I
rM maxmax
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
CSM I - Suport de curs
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
p
t
W
Mmax
Dimensionare
a
tpnec
MW
Verificare
ap
tef W
M
Moment de răsucire capabil
aptcap WM
a - rezistenţa admisibilă la răsucire
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Caracteristicile geometrice Ip şi Wp
Secţiune circulară plină
2
0
43
322
D
p
DdrrI
162
323
4
max
DD
D
r
IW p
p
Secţiune inelară circulară
CSM I - Suport de curs
D = 2R este diametrul secţiunii
2
2
443
32)(2
D
d
p
dDdrrI
D
dDD
dD
r
IW p
p 16)(
2
32)(
44
44
max
Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine
hRI p 32
hRWp 22
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare
Drepte de pantă m
dreapta 1 m=0 - icircntindere uniformă după trei axe0321
dreapta 2 0ltmlt05 - icircntindere uniformă după trei direcţii0321
dreapta 3 m=05 - solicitare de icircntindere simplă00 321
dreapta 4 m=07692 - solicitare de forfecare pură00 32
CSM I - Suport de curs
dreapta 5 m=167 - solicitare de compresiune simplă00 321
a) dacă dreapta intersectează verticala
- rupere prin smulgere L
b) dacă dreapta intersectează orizontala
- rupere prin lunecare L
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Tensiuni și deformaţii
O bară este solicitată axial dacă icircn secţiunile ei transversal se dezvoltă numaiforţe axiale N (constante sau variabile)
Forţe axiale pozitive solicitare de icircntindere a secţiunii transversale
Forţe axiale negative solicitare de compresiune a secţiunii transversale
CSM I - Suport de curs
Tensiunile sunt repartizateuniform pe suprafaţa secţiuniitransversale
AdAdANAA
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Tensiune normalăA
N
Deformaţie specificăAE
N
E
(materialul satisface legea lui Hooke)
Alungireascurtarea bareiAE
LNLL
CSM I - Suport de curs
Dacă N E și A sunt variabile (sau constante) pe secţiuni ale barei
Alungireascurtarea barei
L AE
NL sau
AE
LNL
La compresiune se calculează doar barele scurte min15 dL
pentru min15 dL - se realizează calculul la flambaj
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Calcule de rezistenţă
a) Verificare - determinarea tensiuniideformaţiei maxime și comparareavalorii obţinute cu cea admisibilă
- valoarea rezultată nu trebuie să depășească pe cea admisibilă
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
aef
ef A
N maxaAE
N
max sau aLAE
LNL
max
CSM I - Suport de curs
aef
ef A
N maxaAE
N
max aLAE
LNL
max
Dacă seicircndeplinesc simultan condiţiile
aa
aa
aa
LLL
051800518005180
max
max
max
BARA REZISTĂ
Dacă o singură mărime depășește cu 5valoarea admisă - BARA NU REZISTĂ
Dacă toate mărimile calculate suntinferioare valorii de 80 (valori admisibile) -bara este supradimensionată
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Calcule de rezistenţă
a) Capacitate de icircncărcare
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
aefcap AN aefcap AEN sauL
LAEN aef
cap
Se are icircn vedere condiţia minmin 05180 capcap PPP
CSM I - Suport de curs
Se are icircn vedere condiţia minmin 05180 capcap PPP
c) Dimensionare - determinarea dimensiunilor secţiunii transversale astfel icircncacirct bara să rezistela solicitări
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
anec
NA
max
anec E
NA
max sau
anec LE
NLA
max
Pe baza calculelor se alege o valoare standardizată
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
O bară este solicitată la icircncovoiere cacircnd torsorul eforturilor se reduce la vectorulmoment din planul secţiunii
După modul de icircncărcare al barelor
a) icircncovoiere pură dreaptă (pe o direcţie) - icircn secţiunea transversală există osingură componentă a momentului icircncovoietor Mz sau My
b) icircncovoiere oblică (pe două direcţii) - icircn secţiunea transversală apar ambelecomponente ale vectorului moment Mz şi My
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
CSM I - Suport de curs
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
Caz A Caz B Caz C
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Icircncovoiere pură - Formula lui Navier
Toate icircncărcările exterioare trebuie să fie aplicate icircntr-un singur plan desimetrie longitudinal numit planul forţelor
Intersecţia planului forţelor cu secţiunea transversală determină o dreaptănumită linia forţelor
CSM I - Suport de curs
Cazuri de icircncărcare pe o grindă dreaptă
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Se consideră bara cu secţiune prismaticăpe care se trasează un caroiaj de liniilongitudinale şi transversale
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
CSM I - Suport de curs
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
Trecerea de la lungire la scurtareeste un proces continuu
Liniile verticale rămacircndrepte şi perpendicularepe cele longitudinalecurbate deci se rotesc icircnjurul unui punct de pe ele
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Dacă se studiază un ochi al caroiajului se constată că după deformare unghiurilesale rămacircn drepte (ABCD) ceea ce icircnseamnă că lunecările specifice icircn planelelongitudinale sunt nule ( )0xy
Pentru studiul deformaţiilor liniare se izolează un element diferenţial de lungimedx Se notează cu ρ raza de curbură a fibrei longitudinale neutre şi cu y distanţade la aceasta la fibra curentă Fibra curentă se va lungi cu cantitatea Δdx Dinasemănarea triunghiului OAD şi CDN rezultă
y
dx
dxx
CSM I - Suport de curs
y
dx
dxx
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Lungirea specifică (εx)- variază liniar cu distanţa la axa neutră- este nulă icircn dreptul acesteia- are valori maxime la extremităţile secţiunii transversale- pe lăţimea secţiunii εx este constantă la orice nivel y (ipoteza secţiunilor plane)
Dacă se consideră un material cu comportare ideal liniar elastică legătura icircntretensiuni şi deformaţii specifice se exprimă prin legea lui Hooke
xx E xyxy G
CSM I - Suport de curs
xx E xyxy G
Relaţii care mai pot fi scrise sub forma
yE
x 0xy
Tensiunea normală variază liniar pe icircnălţimea secţiunii cu valori maxime laextremităţi şi zero icircn dreptul axei neutre iar pe lăţimea secţiunii este constantă laorice nivel y
Expresia tensiunii normale 0 A
ydAE
N
0E
x - lege de variaţie cunoscută
Momentul static faţă de axă este nul
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Momentul de inerţie centrifugal faţă de axa neutrǎ şi axa y este nul
Momentul icircncovoietor Mz
z
A A
xz IE
dAyE
ydAM
2
Curbura axei deformate a barei icircn funcţie de momentul icircncovoietor şi rigiditatea
la icircncovoiere (EIz) a barei este dată de relaţia
CSM I - Suport de curs
yEI
EM
z
zx sau y
I
M
z
zx Formula lui Navier
permite calculul tensiunilor normale icircn orice secţiune transversală a uneibare icircncovoiate dacă se cunoaşte solicitarea (Mz) şi geometria bare (Iz)
pentru bare cu secţiune constantă variaţia tensiunilor normale icircn lungulunei fibre longitudinale este dată de variaţia momentului icircncovoietor
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
O bară dreaptă este solicitată la răsucire (torsiune) dacă icircn secţiuneatransversală acţionează un moment al cărui vector este dirijat icircn lungul axeibarei
La bare curbe răsucirea este produsă de un moment dirijat icircn lungul tangentei laaxa barei
Piese solicitate la răsucirestructuri spaţiale cucapetele icircncastrate
CSM I - Suport de curs
arborii maşinilor bare de torsiune
structuri spaţiale cucapetele icircncastrate
Pentru bare cu secţiune axial-simetric - este valabilă ipoteza secţiunii plane
Pentru bare cu pereţi subţiri - tensiunile tangenţiale sunt constante pe grosimeaperetelui
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Atunci cacircnd asupra unei bare acţionează mai multe cupluri exterioare avacircndvectorul dirijat icircn lungul axei barei este necesară construcţia unei diagrame demomente de răsucireDacă un arbore transmite puterea P (kW) la turaţia n(rotmin) momentul de torsiune se poate calcula curelaţia
n
PM t 9550 [Nm]
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci n
NM t 7026 [Nm]
CSM I - Suport de curs
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci
Puterea = Cuplul times Viteza unghiulară
n
P
rotturatia
kWputerea
sradunghiularaviteza
WputereaM t
30000
min][30
][1000][
][
kWWs
mN
s
mkgfCP 736073681975751
][7360][ CPNkWP
n
N
n
N
n
CPN
n
WPNmM t 702697025][8197530][30][
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Tensiuni icircn bare cu secţiune axial-simetricăIpoteze - bara este dreaptă şi are secţiune constantă pe toată lungimea
- momentul de torsiune este constant pe toată lungimea barei- o secţiune transversală iniţial plană rămacircne plană şi după răsucire- secţiunile sunt indeformabile şi se rotesc ca un rigid icircn jurul axei barei
CSM I - Suport de curs
Deplasarea punctului B icircn Blsquo este dată de relaţia drdx Variaţia unghiului de 90o al generatoarei cu secţiunea din stacircnga duce la
rdx
dr
dx
d unde - unghi de lunecare specifică
- unghi de răsucire specifică
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Aplicacircnd legea lui Hooke pentru forfecare rezultă rGG Tensiunile tangenţiale - variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii
- sunt nule icircn centru- au valori maxime la marginea secţiunii
Tensiunea tangenţială maximăp
t
I
rM maxmax
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
CSM I - Suport de curs
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
p
t
W
Mmax
Dimensionare
a
tpnec
MW
Verificare
ap
tef W
M
Moment de răsucire capabil
aptcap WM
a - rezistenţa admisibilă la răsucire
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Caracteristicile geometrice Ip şi Wp
Secţiune circulară plină
2
0
43
322
D
p
DdrrI
162
323
4
max
DD
D
r
IW p
p
Secţiune inelară circulară
CSM I - Suport de curs
D = 2R este diametrul secţiunii
2
2
443
32)(2
D
d
p
dDdrrI
D
dDD
dD
r
IW p
p 16)(
2
32)(
44
44
max
Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine
hRI p 32
hRWp 22
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Tensiuni și deformaţii
O bară este solicitată axial dacă icircn secţiunile ei transversal se dezvoltă numaiforţe axiale N (constante sau variabile)
Forţe axiale pozitive solicitare de icircntindere a secţiunii transversale
Forţe axiale negative solicitare de compresiune a secţiunii transversale
CSM I - Suport de curs
Tensiunile sunt repartizateuniform pe suprafaţa secţiuniitransversale
AdAdANAA
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Tensiune normalăA
N
Deformaţie specificăAE
N
E
(materialul satisface legea lui Hooke)
Alungireascurtarea bareiAE
LNLL
CSM I - Suport de curs
Dacă N E și A sunt variabile (sau constante) pe secţiuni ale barei
Alungireascurtarea barei
L AE
NL sau
AE
LNL
La compresiune se calculează doar barele scurte min15 dL
pentru min15 dL - se realizează calculul la flambaj
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Calcule de rezistenţă
a) Verificare - determinarea tensiuniideformaţiei maxime și comparareavalorii obţinute cu cea admisibilă
- valoarea rezultată nu trebuie să depășească pe cea admisibilă
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
aef
ef A
N maxaAE
N
max sau aLAE
LNL
max
CSM I - Suport de curs
aef
ef A
N maxaAE
N
max aLAE
LNL
max
Dacă seicircndeplinesc simultan condiţiile
aa
aa
aa
LLL
051800518005180
max
max
max
BARA REZISTĂ
Dacă o singură mărime depășește cu 5valoarea admisă - BARA NU REZISTĂ
Dacă toate mărimile calculate suntinferioare valorii de 80 (valori admisibile) -bara este supradimensionată
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Calcule de rezistenţă
a) Capacitate de icircncărcare
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
aefcap AN aefcap AEN sauL
LAEN aef
cap
Se are icircn vedere condiţia minmin 05180 capcap PPP
CSM I - Suport de curs
Se are icircn vedere condiţia minmin 05180 capcap PPP
c) Dimensionare - determinarea dimensiunilor secţiunii transversale astfel icircncacirct bara să rezistela solicitări
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
anec
NA
max
anec E
NA
max sau
anec LE
NLA
max
Pe baza calculelor se alege o valoare standardizată
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
O bară este solicitată la icircncovoiere cacircnd torsorul eforturilor se reduce la vectorulmoment din planul secţiunii
După modul de icircncărcare al barelor
a) icircncovoiere pură dreaptă (pe o direcţie) - icircn secţiunea transversală există osingură componentă a momentului icircncovoietor Mz sau My
b) icircncovoiere oblică (pe două direcţii) - icircn secţiunea transversală apar ambelecomponente ale vectorului moment Mz şi My
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
CSM I - Suport de curs
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
Caz A Caz B Caz C
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Icircncovoiere pură - Formula lui Navier
Toate icircncărcările exterioare trebuie să fie aplicate icircntr-un singur plan desimetrie longitudinal numit planul forţelor
Intersecţia planului forţelor cu secţiunea transversală determină o dreaptănumită linia forţelor
CSM I - Suport de curs
Cazuri de icircncărcare pe o grindă dreaptă
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Se consideră bara cu secţiune prismaticăpe care se trasează un caroiaj de liniilongitudinale şi transversale
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
CSM I - Suport de curs
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
Trecerea de la lungire la scurtareeste un proces continuu
Liniile verticale rămacircndrepte şi perpendicularepe cele longitudinalecurbate deci se rotesc icircnjurul unui punct de pe ele
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Dacă se studiază un ochi al caroiajului se constată că după deformare unghiurilesale rămacircn drepte (ABCD) ceea ce icircnseamnă că lunecările specifice icircn planelelongitudinale sunt nule ( )0xy
Pentru studiul deformaţiilor liniare se izolează un element diferenţial de lungimedx Se notează cu ρ raza de curbură a fibrei longitudinale neutre şi cu y distanţade la aceasta la fibra curentă Fibra curentă se va lungi cu cantitatea Δdx Dinasemănarea triunghiului OAD şi CDN rezultă
y
dx
dxx
CSM I - Suport de curs
y
dx
dxx
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Lungirea specifică (εx)- variază liniar cu distanţa la axa neutră- este nulă icircn dreptul acesteia- are valori maxime la extremităţile secţiunii transversale- pe lăţimea secţiunii εx este constantă la orice nivel y (ipoteza secţiunilor plane)
Dacă se consideră un material cu comportare ideal liniar elastică legătura icircntretensiuni şi deformaţii specifice se exprimă prin legea lui Hooke
xx E xyxy G
CSM I - Suport de curs
xx E xyxy G
Relaţii care mai pot fi scrise sub forma
yE
x 0xy
Tensiunea normală variază liniar pe icircnălţimea secţiunii cu valori maxime laextremităţi şi zero icircn dreptul axei neutre iar pe lăţimea secţiunii este constantă laorice nivel y
Expresia tensiunii normale 0 A
ydAE
N
0E
x - lege de variaţie cunoscută
Momentul static faţă de axă este nul
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Momentul de inerţie centrifugal faţă de axa neutrǎ şi axa y este nul
Momentul icircncovoietor Mz
z
A A
xz IE
dAyE
ydAM
2
Curbura axei deformate a barei icircn funcţie de momentul icircncovoietor şi rigiditatea
la icircncovoiere (EIz) a barei este dată de relaţia
CSM I - Suport de curs
yEI
EM
z
zx sau y
I
M
z
zx Formula lui Navier
permite calculul tensiunilor normale icircn orice secţiune transversală a uneibare icircncovoiate dacă se cunoaşte solicitarea (Mz) şi geometria bare (Iz)
pentru bare cu secţiune constantă variaţia tensiunilor normale icircn lungulunei fibre longitudinale este dată de variaţia momentului icircncovoietor
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
O bară dreaptă este solicitată la răsucire (torsiune) dacă icircn secţiuneatransversală acţionează un moment al cărui vector este dirijat icircn lungul axeibarei
La bare curbe răsucirea este produsă de un moment dirijat icircn lungul tangentei laaxa barei
Piese solicitate la răsucirestructuri spaţiale cucapetele icircncastrate
CSM I - Suport de curs
arborii maşinilor bare de torsiune
structuri spaţiale cucapetele icircncastrate
Pentru bare cu secţiune axial-simetric - este valabilă ipoteza secţiunii plane
Pentru bare cu pereţi subţiri - tensiunile tangenţiale sunt constante pe grosimeaperetelui
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Atunci cacircnd asupra unei bare acţionează mai multe cupluri exterioare avacircndvectorul dirijat icircn lungul axei barei este necesară construcţia unei diagrame demomente de răsucireDacă un arbore transmite puterea P (kW) la turaţia n(rotmin) momentul de torsiune se poate calcula curelaţia
n
PM t 9550 [Nm]
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci n
NM t 7026 [Nm]
CSM I - Suport de curs
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci
Puterea = Cuplul times Viteza unghiulară
n
P
rotturatia
kWputerea
sradunghiularaviteza
WputereaM t
30000
min][30
][1000][
][
kWWs
mN
s
mkgfCP 736073681975751
][7360][ CPNkWP
n
N
n
N
n
CPN
n
WPNmM t 702697025][8197530][30][
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Tensiuni icircn bare cu secţiune axial-simetricăIpoteze - bara este dreaptă şi are secţiune constantă pe toată lungimea
- momentul de torsiune este constant pe toată lungimea barei- o secţiune transversală iniţial plană rămacircne plană şi după răsucire- secţiunile sunt indeformabile şi se rotesc ca un rigid icircn jurul axei barei
CSM I - Suport de curs
Deplasarea punctului B icircn Blsquo este dată de relaţia drdx Variaţia unghiului de 90o al generatoarei cu secţiunea din stacircnga duce la
rdx
dr
dx
d unde - unghi de lunecare specifică
- unghi de răsucire specifică
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Aplicacircnd legea lui Hooke pentru forfecare rezultă rGG Tensiunile tangenţiale - variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii
- sunt nule icircn centru- au valori maxime la marginea secţiunii
Tensiunea tangenţială maximăp
t
I
rM maxmax
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
CSM I - Suport de curs
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
p
t
W
Mmax
Dimensionare
a
tpnec
MW
Verificare
ap
tef W
M
Moment de răsucire capabil
aptcap WM
a - rezistenţa admisibilă la răsucire
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Caracteristicile geometrice Ip şi Wp
Secţiune circulară plină
2
0
43
322
D
p
DdrrI
162
323
4
max
DD
D
r
IW p
p
Secţiune inelară circulară
CSM I - Suport de curs
D = 2R este diametrul secţiunii
2
2
443
32)(2
D
d
p
dDdrrI
D
dDD
dD
r
IW p
p 16)(
2
32)(
44
44
max
Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine
hRI p 32
hRWp 22
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Tensiune normalăA
N
Deformaţie specificăAE
N
E
(materialul satisface legea lui Hooke)
Alungireascurtarea bareiAE
LNLL
CSM I - Suport de curs
Dacă N E și A sunt variabile (sau constante) pe secţiuni ale barei
Alungireascurtarea barei
L AE
NL sau
AE
LNL
La compresiune se calculează doar barele scurte min15 dL
pentru min15 dL - se realizează calculul la flambaj
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Calcule de rezistenţă
a) Verificare - determinarea tensiuniideformaţiei maxime și comparareavalorii obţinute cu cea admisibilă
- valoarea rezultată nu trebuie să depășească pe cea admisibilă
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
aef
ef A
N maxaAE
N
max sau aLAE
LNL
max
CSM I - Suport de curs
aef
ef A
N maxaAE
N
max aLAE
LNL
max
Dacă seicircndeplinesc simultan condiţiile
aa
aa
aa
LLL
051800518005180
max
max
max
BARA REZISTĂ
Dacă o singură mărime depășește cu 5valoarea admisă - BARA NU REZISTĂ
Dacă toate mărimile calculate suntinferioare valorii de 80 (valori admisibile) -bara este supradimensionată
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Calcule de rezistenţă
a) Capacitate de icircncărcare
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
aefcap AN aefcap AEN sauL
LAEN aef
cap
Se are icircn vedere condiţia minmin 05180 capcap PPP
CSM I - Suport de curs
Se are icircn vedere condiţia minmin 05180 capcap PPP
c) Dimensionare - determinarea dimensiunilor secţiunii transversale astfel icircncacirct bara să rezistela solicitări
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
anec
NA
max
anec E
NA
max sau
anec LE
NLA
max
Pe baza calculelor se alege o valoare standardizată
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
O bară este solicitată la icircncovoiere cacircnd torsorul eforturilor se reduce la vectorulmoment din planul secţiunii
După modul de icircncărcare al barelor
a) icircncovoiere pură dreaptă (pe o direcţie) - icircn secţiunea transversală există osingură componentă a momentului icircncovoietor Mz sau My
b) icircncovoiere oblică (pe două direcţii) - icircn secţiunea transversală apar ambelecomponente ale vectorului moment Mz şi My
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
CSM I - Suport de curs
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
Caz A Caz B Caz C
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Icircncovoiere pură - Formula lui Navier
Toate icircncărcările exterioare trebuie să fie aplicate icircntr-un singur plan desimetrie longitudinal numit planul forţelor
Intersecţia planului forţelor cu secţiunea transversală determină o dreaptănumită linia forţelor
CSM I - Suport de curs
Cazuri de icircncărcare pe o grindă dreaptă
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Se consideră bara cu secţiune prismaticăpe care se trasează un caroiaj de liniilongitudinale şi transversale
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
CSM I - Suport de curs
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
Trecerea de la lungire la scurtareeste un proces continuu
Liniile verticale rămacircndrepte şi perpendicularepe cele longitudinalecurbate deci se rotesc icircnjurul unui punct de pe ele
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Dacă se studiază un ochi al caroiajului se constată că după deformare unghiurilesale rămacircn drepte (ABCD) ceea ce icircnseamnă că lunecările specifice icircn planelelongitudinale sunt nule ( )0xy
Pentru studiul deformaţiilor liniare se izolează un element diferenţial de lungimedx Se notează cu ρ raza de curbură a fibrei longitudinale neutre şi cu y distanţade la aceasta la fibra curentă Fibra curentă se va lungi cu cantitatea Δdx Dinasemănarea triunghiului OAD şi CDN rezultă
y
dx
dxx
CSM I - Suport de curs
y
dx
dxx
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Lungirea specifică (εx)- variază liniar cu distanţa la axa neutră- este nulă icircn dreptul acesteia- are valori maxime la extremităţile secţiunii transversale- pe lăţimea secţiunii εx este constantă la orice nivel y (ipoteza secţiunilor plane)
Dacă se consideră un material cu comportare ideal liniar elastică legătura icircntretensiuni şi deformaţii specifice se exprimă prin legea lui Hooke
xx E xyxy G
CSM I - Suport de curs
xx E xyxy G
Relaţii care mai pot fi scrise sub forma
yE
x 0xy
Tensiunea normală variază liniar pe icircnălţimea secţiunii cu valori maxime laextremităţi şi zero icircn dreptul axei neutre iar pe lăţimea secţiunii este constantă laorice nivel y
Expresia tensiunii normale 0 A
ydAE
N
0E
x - lege de variaţie cunoscută
Momentul static faţă de axă este nul
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Momentul de inerţie centrifugal faţă de axa neutrǎ şi axa y este nul
Momentul icircncovoietor Mz
z
A A
xz IE
dAyE
ydAM
2
Curbura axei deformate a barei icircn funcţie de momentul icircncovoietor şi rigiditatea
la icircncovoiere (EIz) a barei este dată de relaţia
CSM I - Suport de curs
yEI
EM
z
zx sau y
I
M
z
zx Formula lui Navier
permite calculul tensiunilor normale icircn orice secţiune transversală a uneibare icircncovoiate dacă se cunoaşte solicitarea (Mz) şi geometria bare (Iz)
pentru bare cu secţiune constantă variaţia tensiunilor normale icircn lungulunei fibre longitudinale este dată de variaţia momentului icircncovoietor
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
O bară dreaptă este solicitată la răsucire (torsiune) dacă icircn secţiuneatransversală acţionează un moment al cărui vector este dirijat icircn lungul axeibarei
La bare curbe răsucirea este produsă de un moment dirijat icircn lungul tangentei laaxa barei
Piese solicitate la răsucirestructuri spaţiale cucapetele icircncastrate
CSM I - Suport de curs
arborii maşinilor bare de torsiune
structuri spaţiale cucapetele icircncastrate
Pentru bare cu secţiune axial-simetric - este valabilă ipoteza secţiunii plane
Pentru bare cu pereţi subţiri - tensiunile tangenţiale sunt constante pe grosimeaperetelui
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Atunci cacircnd asupra unei bare acţionează mai multe cupluri exterioare avacircndvectorul dirijat icircn lungul axei barei este necesară construcţia unei diagrame demomente de răsucireDacă un arbore transmite puterea P (kW) la turaţia n(rotmin) momentul de torsiune se poate calcula curelaţia
n
PM t 9550 [Nm]
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci n
NM t 7026 [Nm]
CSM I - Suport de curs
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci
Puterea = Cuplul times Viteza unghiulară
n
P
rotturatia
kWputerea
sradunghiularaviteza
WputereaM t
30000
min][30
][1000][
][
kWWs
mN
s
mkgfCP 736073681975751
][7360][ CPNkWP
n
N
n
N
n
CPN
n
WPNmM t 702697025][8197530][30][
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Tensiuni icircn bare cu secţiune axial-simetricăIpoteze - bara este dreaptă şi are secţiune constantă pe toată lungimea
- momentul de torsiune este constant pe toată lungimea barei- o secţiune transversală iniţial plană rămacircne plană şi după răsucire- secţiunile sunt indeformabile şi se rotesc ca un rigid icircn jurul axei barei
CSM I - Suport de curs
Deplasarea punctului B icircn Blsquo este dată de relaţia drdx Variaţia unghiului de 90o al generatoarei cu secţiunea din stacircnga duce la
rdx
dr
dx
d unde - unghi de lunecare specifică
- unghi de răsucire specifică
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Aplicacircnd legea lui Hooke pentru forfecare rezultă rGG Tensiunile tangenţiale - variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii
- sunt nule icircn centru- au valori maxime la marginea secţiunii
Tensiunea tangenţială maximăp
t
I
rM maxmax
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
CSM I - Suport de curs
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
p
t
W
Mmax
Dimensionare
a
tpnec
MW
Verificare
ap
tef W
M
Moment de răsucire capabil
aptcap WM
a - rezistenţa admisibilă la răsucire
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Caracteristicile geometrice Ip şi Wp
Secţiune circulară plină
2
0
43
322
D
p
DdrrI
162
323
4
max
DD
D
r
IW p
p
Secţiune inelară circulară
CSM I - Suport de curs
D = 2R este diametrul secţiunii
2
2
443
32)(2
D
d
p
dDdrrI
D
dDD
dD
r
IW p
p 16)(
2
32)(
44
44
max
Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine
hRI p 32
hRWp 22
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Calcule de rezistenţă
a) Verificare - determinarea tensiuniideformaţiei maxime și comparareavalorii obţinute cu cea admisibilă
- valoarea rezultată nu trebuie să depășească pe cea admisibilă
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
aef
ef A
N maxaAE
N
max sau aLAE
LNL
max
CSM I - Suport de curs
aef
ef A
N maxaAE
N
max aLAE
LNL
max
Dacă seicircndeplinesc simultan condiţiile
aa
aa
aa
LLL
051800518005180
max
max
max
BARA REZISTĂ
Dacă o singură mărime depășește cu 5valoarea admisă - BARA NU REZISTĂ
Dacă toate mărimile calculate suntinferioare valorii de 80 (valori admisibile) -bara este supradimensionată
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Calcule de rezistenţă
a) Capacitate de icircncărcare
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
aefcap AN aefcap AEN sauL
LAEN aef
cap
Se are icircn vedere condiţia minmin 05180 capcap PPP
CSM I - Suport de curs
Se are icircn vedere condiţia minmin 05180 capcap PPP
c) Dimensionare - determinarea dimensiunilor secţiunii transversale astfel icircncacirct bara să rezistela solicitări
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
anec
NA
max
anec E
NA
max sau
anec LE
NLA
max
Pe baza calculelor se alege o valoare standardizată
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
O bară este solicitată la icircncovoiere cacircnd torsorul eforturilor se reduce la vectorulmoment din planul secţiunii
După modul de icircncărcare al barelor
a) icircncovoiere pură dreaptă (pe o direcţie) - icircn secţiunea transversală există osingură componentă a momentului icircncovoietor Mz sau My
b) icircncovoiere oblică (pe două direcţii) - icircn secţiunea transversală apar ambelecomponente ale vectorului moment Mz şi My
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
CSM I - Suport de curs
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
Caz A Caz B Caz C
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Icircncovoiere pură - Formula lui Navier
Toate icircncărcările exterioare trebuie să fie aplicate icircntr-un singur plan desimetrie longitudinal numit planul forţelor
Intersecţia planului forţelor cu secţiunea transversală determină o dreaptănumită linia forţelor
CSM I - Suport de curs
Cazuri de icircncărcare pe o grindă dreaptă
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Se consideră bara cu secţiune prismaticăpe care se trasează un caroiaj de liniilongitudinale şi transversale
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
CSM I - Suport de curs
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
Trecerea de la lungire la scurtareeste un proces continuu
Liniile verticale rămacircndrepte şi perpendicularepe cele longitudinalecurbate deci se rotesc icircnjurul unui punct de pe ele
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Dacă se studiază un ochi al caroiajului se constată că după deformare unghiurilesale rămacircn drepte (ABCD) ceea ce icircnseamnă că lunecările specifice icircn planelelongitudinale sunt nule ( )0xy
Pentru studiul deformaţiilor liniare se izolează un element diferenţial de lungimedx Se notează cu ρ raza de curbură a fibrei longitudinale neutre şi cu y distanţade la aceasta la fibra curentă Fibra curentă se va lungi cu cantitatea Δdx Dinasemănarea triunghiului OAD şi CDN rezultă
y
dx
dxx
CSM I - Suport de curs
y
dx
dxx
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Lungirea specifică (εx)- variază liniar cu distanţa la axa neutră- este nulă icircn dreptul acesteia- are valori maxime la extremităţile secţiunii transversale- pe lăţimea secţiunii εx este constantă la orice nivel y (ipoteza secţiunilor plane)
Dacă se consideră un material cu comportare ideal liniar elastică legătura icircntretensiuni şi deformaţii specifice se exprimă prin legea lui Hooke
xx E xyxy G
CSM I - Suport de curs
xx E xyxy G
Relaţii care mai pot fi scrise sub forma
yE
x 0xy
Tensiunea normală variază liniar pe icircnălţimea secţiunii cu valori maxime laextremităţi şi zero icircn dreptul axei neutre iar pe lăţimea secţiunii este constantă laorice nivel y
Expresia tensiunii normale 0 A
ydAE
N
0E
x - lege de variaţie cunoscută
Momentul static faţă de axă este nul
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Momentul de inerţie centrifugal faţă de axa neutrǎ şi axa y este nul
Momentul icircncovoietor Mz
z
A A
xz IE
dAyE
ydAM
2
Curbura axei deformate a barei icircn funcţie de momentul icircncovoietor şi rigiditatea
la icircncovoiere (EIz) a barei este dată de relaţia
CSM I - Suport de curs
yEI
EM
z
zx sau y
I
M
z
zx Formula lui Navier
permite calculul tensiunilor normale icircn orice secţiune transversală a uneibare icircncovoiate dacă se cunoaşte solicitarea (Mz) şi geometria bare (Iz)
pentru bare cu secţiune constantă variaţia tensiunilor normale icircn lungulunei fibre longitudinale este dată de variaţia momentului icircncovoietor
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
O bară dreaptă este solicitată la răsucire (torsiune) dacă icircn secţiuneatransversală acţionează un moment al cărui vector este dirijat icircn lungul axeibarei
La bare curbe răsucirea este produsă de un moment dirijat icircn lungul tangentei laaxa barei
Piese solicitate la răsucirestructuri spaţiale cucapetele icircncastrate
CSM I - Suport de curs
arborii maşinilor bare de torsiune
structuri spaţiale cucapetele icircncastrate
Pentru bare cu secţiune axial-simetric - este valabilă ipoteza secţiunii plane
Pentru bare cu pereţi subţiri - tensiunile tangenţiale sunt constante pe grosimeaperetelui
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Atunci cacircnd asupra unei bare acţionează mai multe cupluri exterioare avacircndvectorul dirijat icircn lungul axei barei este necesară construcţia unei diagrame demomente de răsucireDacă un arbore transmite puterea P (kW) la turaţia n(rotmin) momentul de torsiune se poate calcula curelaţia
n
PM t 9550 [Nm]
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci n
NM t 7026 [Nm]
CSM I - Suport de curs
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci
Puterea = Cuplul times Viteza unghiulară
n
P
rotturatia
kWputerea
sradunghiularaviteza
WputereaM t
30000
min][30
][1000][
][
kWWs
mN
s
mkgfCP 736073681975751
][7360][ CPNkWP
n
N
n
N
n
CPN
n
WPNmM t 702697025][8197530][30][
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Tensiuni icircn bare cu secţiune axial-simetricăIpoteze - bara este dreaptă şi are secţiune constantă pe toată lungimea
- momentul de torsiune este constant pe toată lungimea barei- o secţiune transversală iniţial plană rămacircne plană şi după răsucire- secţiunile sunt indeformabile şi se rotesc ca un rigid icircn jurul axei barei
CSM I - Suport de curs
Deplasarea punctului B icircn Blsquo este dată de relaţia drdx Variaţia unghiului de 90o al generatoarei cu secţiunea din stacircnga duce la
rdx
dr
dx
d unde - unghi de lunecare specifică
- unghi de răsucire specifică
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Aplicacircnd legea lui Hooke pentru forfecare rezultă rGG Tensiunile tangenţiale - variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii
- sunt nule icircn centru- au valori maxime la marginea secţiunii
Tensiunea tangenţială maximăp
t
I
rM maxmax
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
CSM I - Suport de curs
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
p
t
W
Mmax
Dimensionare
a
tpnec
MW
Verificare
ap
tef W
M
Moment de răsucire capabil
aptcap WM
a - rezistenţa admisibilă la răsucire
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Caracteristicile geometrice Ip şi Wp
Secţiune circulară plină
2
0
43
322
D
p
DdrrI
162
323
4
max
DD
D
r
IW p
p
Secţiune inelară circulară
CSM I - Suport de curs
D = 2R este diametrul secţiunii
2
2
443
32)(2
D
d
p
dDdrrI
D
dDD
dD
r
IW p
p 16)(
2
32)(
44
44
max
Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine
hRI p 32
hRWp 22
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune
Calcule de rezistenţă
a) Capacitate de icircncărcare
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
aefcap AN aefcap AEN sauL
LAEN aef
cap
Se are icircn vedere condiţia minmin 05180 capcap PPP
CSM I - Suport de curs
Se are icircn vedere condiţia minmin 05180 capcap PPP
c) Dimensionare - determinarea dimensiunilor secţiunii transversale astfel icircncacirct bara să rezistela solicitări
Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate
anec
NA
max
anec E
NA
max sau
anec LE
NLA
max
Pe baza calculelor se alege o valoare standardizată
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
O bară este solicitată la icircncovoiere cacircnd torsorul eforturilor se reduce la vectorulmoment din planul secţiunii
După modul de icircncărcare al barelor
a) icircncovoiere pură dreaptă (pe o direcţie) - icircn secţiunea transversală există osingură componentă a momentului icircncovoietor Mz sau My
b) icircncovoiere oblică (pe două direcţii) - icircn secţiunea transversală apar ambelecomponente ale vectorului moment Mz şi My
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
CSM I - Suport de curs
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
Caz A Caz B Caz C
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Icircncovoiere pură - Formula lui Navier
Toate icircncărcările exterioare trebuie să fie aplicate icircntr-un singur plan desimetrie longitudinal numit planul forţelor
Intersecţia planului forţelor cu secţiunea transversală determină o dreaptănumită linia forţelor
CSM I - Suport de curs
Cazuri de icircncărcare pe o grindă dreaptă
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Se consideră bara cu secţiune prismaticăpe care se trasează un caroiaj de liniilongitudinale şi transversale
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
CSM I - Suport de curs
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
Trecerea de la lungire la scurtareeste un proces continuu
Liniile verticale rămacircndrepte şi perpendicularepe cele longitudinalecurbate deci se rotesc icircnjurul unui punct de pe ele
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Dacă se studiază un ochi al caroiajului se constată că după deformare unghiurilesale rămacircn drepte (ABCD) ceea ce icircnseamnă că lunecările specifice icircn planelelongitudinale sunt nule ( )0xy
Pentru studiul deformaţiilor liniare se izolează un element diferenţial de lungimedx Se notează cu ρ raza de curbură a fibrei longitudinale neutre şi cu y distanţade la aceasta la fibra curentă Fibra curentă se va lungi cu cantitatea Δdx Dinasemănarea triunghiului OAD şi CDN rezultă
y
dx
dxx
CSM I - Suport de curs
y
dx
dxx
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Lungirea specifică (εx)- variază liniar cu distanţa la axa neutră- este nulă icircn dreptul acesteia- are valori maxime la extremităţile secţiunii transversale- pe lăţimea secţiunii εx este constantă la orice nivel y (ipoteza secţiunilor plane)
Dacă se consideră un material cu comportare ideal liniar elastică legătura icircntretensiuni şi deformaţii specifice se exprimă prin legea lui Hooke
xx E xyxy G
CSM I - Suport de curs
xx E xyxy G
Relaţii care mai pot fi scrise sub forma
yE
x 0xy
Tensiunea normală variază liniar pe icircnălţimea secţiunii cu valori maxime laextremităţi şi zero icircn dreptul axei neutre iar pe lăţimea secţiunii este constantă laorice nivel y
Expresia tensiunii normale 0 A
ydAE
N
0E
x - lege de variaţie cunoscută
Momentul static faţă de axă este nul
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Momentul de inerţie centrifugal faţă de axa neutrǎ şi axa y este nul
Momentul icircncovoietor Mz
z
A A
xz IE
dAyE
ydAM
2
Curbura axei deformate a barei icircn funcţie de momentul icircncovoietor şi rigiditatea
la icircncovoiere (EIz) a barei este dată de relaţia
CSM I - Suport de curs
yEI
EM
z
zx sau y
I
M
z
zx Formula lui Navier
permite calculul tensiunilor normale icircn orice secţiune transversală a uneibare icircncovoiate dacă se cunoaşte solicitarea (Mz) şi geometria bare (Iz)
pentru bare cu secţiune constantă variaţia tensiunilor normale icircn lungulunei fibre longitudinale este dată de variaţia momentului icircncovoietor
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
O bară dreaptă este solicitată la răsucire (torsiune) dacă icircn secţiuneatransversală acţionează un moment al cărui vector este dirijat icircn lungul axeibarei
La bare curbe răsucirea este produsă de un moment dirijat icircn lungul tangentei laaxa barei
Piese solicitate la răsucirestructuri spaţiale cucapetele icircncastrate
CSM I - Suport de curs
arborii maşinilor bare de torsiune
structuri spaţiale cucapetele icircncastrate
Pentru bare cu secţiune axial-simetric - este valabilă ipoteza secţiunii plane
Pentru bare cu pereţi subţiri - tensiunile tangenţiale sunt constante pe grosimeaperetelui
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Atunci cacircnd asupra unei bare acţionează mai multe cupluri exterioare avacircndvectorul dirijat icircn lungul axei barei este necesară construcţia unei diagrame demomente de răsucireDacă un arbore transmite puterea P (kW) la turaţia n(rotmin) momentul de torsiune se poate calcula curelaţia
n
PM t 9550 [Nm]
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci n
NM t 7026 [Nm]
CSM I - Suport de curs
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci
Puterea = Cuplul times Viteza unghiulară
n
P
rotturatia
kWputerea
sradunghiularaviteza
WputereaM t
30000
min][30
][1000][
][
kWWs
mN
s
mkgfCP 736073681975751
][7360][ CPNkWP
n
N
n
N
n
CPN
n
WPNmM t 702697025][8197530][30][
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Tensiuni icircn bare cu secţiune axial-simetricăIpoteze - bara este dreaptă şi are secţiune constantă pe toată lungimea
- momentul de torsiune este constant pe toată lungimea barei- o secţiune transversală iniţial plană rămacircne plană şi după răsucire- secţiunile sunt indeformabile şi se rotesc ca un rigid icircn jurul axei barei
CSM I - Suport de curs
Deplasarea punctului B icircn Blsquo este dată de relaţia drdx Variaţia unghiului de 90o al generatoarei cu secţiunea din stacircnga duce la
rdx
dr
dx
d unde - unghi de lunecare specifică
- unghi de răsucire specifică
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Aplicacircnd legea lui Hooke pentru forfecare rezultă rGG Tensiunile tangenţiale - variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii
- sunt nule icircn centru- au valori maxime la marginea secţiunii
Tensiunea tangenţială maximăp
t
I
rM maxmax
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
CSM I - Suport de curs
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
p
t
W
Mmax
Dimensionare
a
tpnec
MW
Verificare
ap
tef W
M
Moment de răsucire capabil
aptcap WM
a - rezistenţa admisibilă la răsucire
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Caracteristicile geometrice Ip şi Wp
Secţiune circulară plină
2
0
43
322
D
p
DdrrI
162
323
4
max
DD
D
r
IW p
p
Secţiune inelară circulară
CSM I - Suport de curs
D = 2R este diametrul secţiunii
2
2
443
32)(2
D
d
p
dDdrrI
D
dDD
dD
r
IW p
p 16)(
2
32)(
44
44
max
Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine
hRI p 32
hRWp 22
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
O bară este solicitată la icircncovoiere cacircnd torsorul eforturilor se reduce la vectorulmoment din planul secţiunii
După modul de icircncărcare al barelor
a) icircncovoiere pură dreaptă (pe o direcţie) - icircn secţiunea transversală există osingură componentă a momentului icircncovoietor Mz sau My
b) icircncovoiere oblică (pe două direcţii) - icircn secţiunea transversală apar ambelecomponente ale vectorului moment Mz şi My
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
CSM I - Suport de curs
c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)
Caz A Caz B Caz C
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Icircncovoiere pură - Formula lui Navier
Toate icircncărcările exterioare trebuie să fie aplicate icircntr-un singur plan desimetrie longitudinal numit planul forţelor
Intersecţia planului forţelor cu secţiunea transversală determină o dreaptănumită linia forţelor
CSM I - Suport de curs
Cazuri de icircncărcare pe o grindă dreaptă
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Se consideră bara cu secţiune prismaticăpe care se trasează un caroiaj de liniilongitudinale şi transversale
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
CSM I - Suport de curs
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
Trecerea de la lungire la scurtareeste un proces continuu
Liniile verticale rămacircndrepte şi perpendicularepe cele longitudinalecurbate deci se rotesc icircnjurul unui punct de pe ele
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Dacă se studiază un ochi al caroiajului se constată că după deformare unghiurilesale rămacircn drepte (ABCD) ceea ce icircnseamnă că lunecările specifice icircn planelelongitudinale sunt nule ( )0xy
Pentru studiul deformaţiilor liniare se izolează un element diferenţial de lungimedx Se notează cu ρ raza de curbură a fibrei longitudinale neutre şi cu y distanţade la aceasta la fibra curentă Fibra curentă se va lungi cu cantitatea Δdx Dinasemănarea triunghiului OAD şi CDN rezultă
y
dx
dxx
CSM I - Suport de curs
y
dx
dxx
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Lungirea specifică (εx)- variază liniar cu distanţa la axa neutră- este nulă icircn dreptul acesteia- are valori maxime la extremităţile secţiunii transversale- pe lăţimea secţiunii εx este constantă la orice nivel y (ipoteza secţiunilor plane)
Dacă se consideră un material cu comportare ideal liniar elastică legătura icircntretensiuni şi deformaţii specifice se exprimă prin legea lui Hooke
xx E xyxy G
CSM I - Suport de curs
xx E xyxy G
Relaţii care mai pot fi scrise sub forma
yE
x 0xy
Tensiunea normală variază liniar pe icircnălţimea secţiunii cu valori maxime laextremităţi şi zero icircn dreptul axei neutre iar pe lăţimea secţiunii este constantă laorice nivel y
Expresia tensiunii normale 0 A
ydAE
N
0E
x - lege de variaţie cunoscută
Momentul static faţă de axă este nul
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Momentul de inerţie centrifugal faţă de axa neutrǎ şi axa y este nul
Momentul icircncovoietor Mz
z
A A
xz IE
dAyE
ydAM
2
Curbura axei deformate a barei icircn funcţie de momentul icircncovoietor şi rigiditatea
la icircncovoiere (EIz) a barei este dată de relaţia
CSM I - Suport de curs
yEI
EM
z
zx sau y
I
M
z
zx Formula lui Navier
permite calculul tensiunilor normale icircn orice secţiune transversală a uneibare icircncovoiate dacă se cunoaşte solicitarea (Mz) şi geometria bare (Iz)
pentru bare cu secţiune constantă variaţia tensiunilor normale icircn lungulunei fibre longitudinale este dată de variaţia momentului icircncovoietor
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
O bară dreaptă este solicitată la răsucire (torsiune) dacă icircn secţiuneatransversală acţionează un moment al cărui vector este dirijat icircn lungul axeibarei
La bare curbe răsucirea este produsă de un moment dirijat icircn lungul tangentei laaxa barei
Piese solicitate la răsucirestructuri spaţiale cucapetele icircncastrate
CSM I - Suport de curs
arborii maşinilor bare de torsiune
structuri spaţiale cucapetele icircncastrate
Pentru bare cu secţiune axial-simetric - este valabilă ipoteza secţiunii plane
Pentru bare cu pereţi subţiri - tensiunile tangenţiale sunt constante pe grosimeaperetelui
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Atunci cacircnd asupra unei bare acţionează mai multe cupluri exterioare avacircndvectorul dirijat icircn lungul axei barei este necesară construcţia unei diagrame demomente de răsucireDacă un arbore transmite puterea P (kW) la turaţia n(rotmin) momentul de torsiune se poate calcula curelaţia
n
PM t 9550 [Nm]
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci n
NM t 7026 [Nm]
CSM I - Suport de curs
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci
Puterea = Cuplul times Viteza unghiulară
n
P
rotturatia
kWputerea
sradunghiularaviteza
WputereaM t
30000
min][30
][1000][
][
kWWs
mN
s
mkgfCP 736073681975751
][7360][ CPNkWP
n
N
n
N
n
CPN
n
WPNmM t 702697025][8197530][30][
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Tensiuni icircn bare cu secţiune axial-simetricăIpoteze - bara este dreaptă şi are secţiune constantă pe toată lungimea
- momentul de torsiune este constant pe toată lungimea barei- o secţiune transversală iniţial plană rămacircne plană şi după răsucire- secţiunile sunt indeformabile şi se rotesc ca un rigid icircn jurul axei barei
CSM I - Suport de curs
Deplasarea punctului B icircn Blsquo este dată de relaţia drdx Variaţia unghiului de 90o al generatoarei cu secţiunea din stacircnga duce la
rdx
dr
dx
d unde - unghi de lunecare specifică
- unghi de răsucire specifică
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Aplicacircnd legea lui Hooke pentru forfecare rezultă rGG Tensiunile tangenţiale - variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii
- sunt nule icircn centru- au valori maxime la marginea secţiunii
Tensiunea tangenţială maximăp
t
I
rM maxmax
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
CSM I - Suport de curs
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
p
t
W
Mmax
Dimensionare
a
tpnec
MW
Verificare
ap
tef W
M
Moment de răsucire capabil
aptcap WM
a - rezistenţa admisibilă la răsucire
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Caracteristicile geometrice Ip şi Wp
Secţiune circulară plină
2
0
43
322
D
p
DdrrI
162
323
4
max
DD
D
r
IW p
p
Secţiune inelară circulară
CSM I - Suport de curs
D = 2R este diametrul secţiunii
2
2
443
32)(2
D
d
p
dDdrrI
D
dDD
dD
r
IW p
p 16)(
2
32)(
44
44
max
Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine
hRI p 32
hRWp 22
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Icircncovoiere pură - Formula lui Navier
Toate icircncărcările exterioare trebuie să fie aplicate icircntr-un singur plan desimetrie longitudinal numit planul forţelor
Intersecţia planului forţelor cu secţiunea transversală determină o dreaptănumită linia forţelor
CSM I - Suport de curs
Cazuri de icircncărcare pe o grindă dreaptă
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Se consideră bara cu secţiune prismaticăpe care se trasează un caroiaj de liniilongitudinale şi transversale
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
CSM I - Suport de curs
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
Trecerea de la lungire la scurtareeste un proces continuu
Liniile verticale rămacircndrepte şi perpendicularepe cele longitudinalecurbate deci se rotesc icircnjurul unui punct de pe ele
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Dacă se studiază un ochi al caroiajului se constată că după deformare unghiurilesale rămacircn drepte (ABCD) ceea ce icircnseamnă că lunecările specifice icircn planelelongitudinale sunt nule ( )0xy
Pentru studiul deformaţiilor liniare se izolează un element diferenţial de lungimedx Se notează cu ρ raza de curbură a fibrei longitudinale neutre şi cu y distanţade la aceasta la fibra curentă Fibra curentă se va lungi cu cantitatea Δdx Dinasemănarea triunghiului OAD şi CDN rezultă
y
dx
dxx
CSM I - Suport de curs
y
dx
dxx
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Lungirea specifică (εx)- variază liniar cu distanţa la axa neutră- este nulă icircn dreptul acesteia- are valori maxime la extremităţile secţiunii transversale- pe lăţimea secţiunii εx este constantă la orice nivel y (ipoteza secţiunilor plane)
Dacă se consideră un material cu comportare ideal liniar elastică legătura icircntretensiuni şi deformaţii specifice se exprimă prin legea lui Hooke
xx E xyxy G
CSM I - Suport de curs
xx E xyxy G
Relaţii care mai pot fi scrise sub forma
yE
x 0xy
Tensiunea normală variază liniar pe icircnălţimea secţiunii cu valori maxime laextremităţi şi zero icircn dreptul axei neutre iar pe lăţimea secţiunii este constantă laorice nivel y
Expresia tensiunii normale 0 A
ydAE
N
0E
x - lege de variaţie cunoscută
Momentul static faţă de axă este nul
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Momentul de inerţie centrifugal faţă de axa neutrǎ şi axa y este nul
Momentul icircncovoietor Mz
z
A A
xz IE
dAyE
ydAM
2
Curbura axei deformate a barei icircn funcţie de momentul icircncovoietor şi rigiditatea
la icircncovoiere (EIz) a barei este dată de relaţia
CSM I - Suport de curs
yEI
EM
z
zx sau y
I
M
z
zx Formula lui Navier
permite calculul tensiunilor normale icircn orice secţiune transversală a uneibare icircncovoiate dacă se cunoaşte solicitarea (Mz) şi geometria bare (Iz)
pentru bare cu secţiune constantă variaţia tensiunilor normale icircn lungulunei fibre longitudinale este dată de variaţia momentului icircncovoietor
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
O bară dreaptă este solicitată la răsucire (torsiune) dacă icircn secţiuneatransversală acţionează un moment al cărui vector este dirijat icircn lungul axeibarei
La bare curbe răsucirea este produsă de un moment dirijat icircn lungul tangentei laaxa barei
Piese solicitate la răsucirestructuri spaţiale cucapetele icircncastrate
CSM I - Suport de curs
arborii maşinilor bare de torsiune
structuri spaţiale cucapetele icircncastrate
Pentru bare cu secţiune axial-simetric - este valabilă ipoteza secţiunii plane
Pentru bare cu pereţi subţiri - tensiunile tangenţiale sunt constante pe grosimeaperetelui
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Atunci cacircnd asupra unei bare acţionează mai multe cupluri exterioare avacircndvectorul dirijat icircn lungul axei barei este necesară construcţia unei diagrame demomente de răsucireDacă un arbore transmite puterea P (kW) la turaţia n(rotmin) momentul de torsiune se poate calcula curelaţia
n
PM t 9550 [Nm]
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci n
NM t 7026 [Nm]
CSM I - Suport de curs
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci
Puterea = Cuplul times Viteza unghiulară
n
P
rotturatia
kWputerea
sradunghiularaviteza
WputereaM t
30000
min][30
][1000][
][
kWWs
mN
s
mkgfCP 736073681975751
][7360][ CPNkWP
n
N
n
N
n
CPN
n
WPNmM t 702697025][8197530][30][
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Tensiuni icircn bare cu secţiune axial-simetricăIpoteze - bara este dreaptă şi are secţiune constantă pe toată lungimea
- momentul de torsiune este constant pe toată lungimea barei- o secţiune transversală iniţial plană rămacircne plană şi după răsucire- secţiunile sunt indeformabile şi se rotesc ca un rigid icircn jurul axei barei
CSM I - Suport de curs
Deplasarea punctului B icircn Blsquo este dată de relaţia drdx Variaţia unghiului de 90o al generatoarei cu secţiunea din stacircnga duce la
rdx
dr
dx
d unde - unghi de lunecare specifică
- unghi de răsucire specifică
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Aplicacircnd legea lui Hooke pentru forfecare rezultă rGG Tensiunile tangenţiale - variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii
- sunt nule icircn centru- au valori maxime la marginea secţiunii
Tensiunea tangenţială maximăp
t
I
rM maxmax
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
CSM I - Suport de curs
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
p
t
W
Mmax
Dimensionare
a
tpnec
MW
Verificare
ap
tef W
M
Moment de răsucire capabil
aptcap WM
a - rezistenţa admisibilă la răsucire
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Caracteristicile geometrice Ip şi Wp
Secţiune circulară plină
2
0
43
322
D
p
DdrrI
162
323
4
max
DD
D
r
IW p
p
Secţiune inelară circulară
CSM I - Suport de curs
D = 2R este diametrul secţiunii
2
2
443
32)(2
D
d
p
dDdrrI
D
dDD
dD
r
IW p
p 16)(
2
32)(
44
44
max
Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine
hRI p 32
hRWp 22
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Se consideră bara cu secţiune prismaticăpe care se trasează un caroiaj de liniilongitudinale şi transversale
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
CSM I - Suport de curs
Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante
Trecerea de la lungire la scurtareeste un proces continuu
Liniile verticale rămacircndrepte şi perpendicularepe cele longitudinalecurbate deci se rotesc icircnjurul unui punct de pe ele
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Dacă se studiază un ochi al caroiajului se constată că după deformare unghiurilesale rămacircn drepte (ABCD) ceea ce icircnseamnă că lunecările specifice icircn planelelongitudinale sunt nule ( )0xy
Pentru studiul deformaţiilor liniare se izolează un element diferenţial de lungimedx Se notează cu ρ raza de curbură a fibrei longitudinale neutre şi cu y distanţade la aceasta la fibra curentă Fibra curentă se va lungi cu cantitatea Δdx Dinasemănarea triunghiului OAD şi CDN rezultă
y
dx
dxx
CSM I - Suport de curs
y
dx
dxx
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Lungirea specifică (εx)- variază liniar cu distanţa la axa neutră- este nulă icircn dreptul acesteia- are valori maxime la extremităţile secţiunii transversale- pe lăţimea secţiunii εx este constantă la orice nivel y (ipoteza secţiunilor plane)
Dacă se consideră un material cu comportare ideal liniar elastică legătura icircntretensiuni şi deformaţii specifice se exprimă prin legea lui Hooke
xx E xyxy G
CSM I - Suport de curs
xx E xyxy G
Relaţii care mai pot fi scrise sub forma
yE
x 0xy
Tensiunea normală variază liniar pe icircnălţimea secţiunii cu valori maxime laextremităţi şi zero icircn dreptul axei neutre iar pe lăţimea secţiunii este constantă laorice nivel y
Expresia tensiunii normale 0 A
ydAE
N
0E
x - lege de variaţie cunoscută
Momentul static faţă de axă este nul
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Momentul de inerţie centrifugal faţă de axa neutrǎ şi axa y este nul
Momentul icircncovoietor Mz
z
A A
xz IE
dAyE
ydAM
2
Curbura axei deformate a barei icircn funcţie de momentul icircncovoietor şi rigiditatea
la icircncovoiere (EIz) a barei este dată de relaţia
CSM I - Suport de curs
yEI
EM
z
zx sau y
I
M
z
zx Formula lui Navier
permite calculul tensiunilor normale icircn orice secţiune transversală a uneibare icircncovoiate dacă se cunoaşte solicitarea (Mz) şi geometria bare (Iz)
pentru bare cu secţiune constantă variaţia tensiunilor normale icircn lungulunei fibre longitudinale este dată de variaţia momentului icircncovoietor
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
O bară dreaptă este solicitată la răsucire (torsiune) dacă icircn secţiuneatransversală acţionează un moment al cărui vector este dirijat icircn lungul axeibarei
La bare curbe răsucirea este produsă de un moment dirijat icircn lungul tangentei laaxa barei
Piese solicitate la răsucirestructuri spaţiale cucapetele icircncastrate
CSM I - Suport de curs
arborii maşinilor bare de torsiune
structuri spaţiale cucapetele icircncastrate
Pentru bare cu secţiune axial-simetric - este valabilă ipoteza secţiunii plane
Pentru bare cu pereţi subţiri - tensiunile tangenţiale sunt constante pe grosimeaperetelui
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Atunci cacircnd asupra unei bare acţionează mai multe cupluri exterioare avacircndvectorul dirijat icircn lungul axei barei este necesară construcţia unei diagrame demomente de răsucireDacă un arbore transmite puterea P (kW) la turaţia n(rotmin) momentul de torsiune se poate calcula curelaţia
n
PM t 9550 [Nm]
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci n
NM t 7026 [Nm]
CSM I - Suport de curs
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci
Puterea = Cuplul times Viteza unghiulară
n
P
rotturatia
kWputerea
sradunghiularaviteza
WputereaM t
30000
min][30
][1000][
][
kWWs
mN
s
mkgfCP 736073681975751
][7360][ CPNkWP
n
N
n
N
n
CPN
n
WPNmM t 702697025][8197530][30][
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Tensiuni icircn bare cu secţiune axial-simetricăIpoteze - bara este dreaptă şi are secţiune constantă pe toată lungimea
- momentul de torsiune este constant pe toată lungimea barei- o secţiune transversală iniţial plană rămacircne plană şi după răsucire- secţiunile sunt indeformabile şi se rotesc ca un rigid icircn jurul axei barei
CSM I - Suport de curs
Deplasarea punctului B icircn Blsquo este dată de relaţia drdx Variaţia unghiului de 90o al generatoarei cu secţiunea din stacircnga duce la
rdx
dr
dx
d unde - unghi de lunecare specifică
- unghi de răsucire specifică
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Aplicacircnd legea lui Hooke pentru forfecare rezultă rGG Tensiunile tangenţiale - variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii
- sunt nule icircn centru- au valori maxime la marginea secţiunii
Tensiunea tangenţială maximăp
t
I
rM maxmax
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
CSM I - Suport de curs
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
p
t
W
Mmax
Dimensionare
a
tpnec
MW
Verificare
ap
tef W
M
Moment de răsucire capabil
aptcap WM
a - rezistenţa admisibilă la răsucire
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Caracteristicile geometrice Ip şi Wp
Secţiune circulară plină
2
0
43
322
D
p
DdrrI
162
323
4
max
DD
D
r
IW p
p
Secţiune inelară circulară
CSM I - Suport de curs
D = 2R este diametrul secţiunii
2
2
443
32)(2
D
d
p
dDdrrI
D
dDD
dD
r
IW p
p 16)(
2
32)(
44
44
max
Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine
hRI p 32
hRWp 22
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Dacă se studiază un ochi al caroiajului se constată că după deformare unghiurilesale rămacircn drepte (ABCD) ceea ce icircnseamnă că lunecările specifice icircn planelelongitudinale sunt nule ( )0xy
Pentru studiul deformaţiilor liniare se izolează un element diferenţial de lungimedx Se notează cu ρ raza de curbură a fibrei longitudinale neutre şi cu y distanţade la aceasta la fibra curentă Fibra curentă se va lungi cu cantitatea Δdx Dinasemănarea triunghiului OAD şi CDN rezultă
y
dx
dxx
CSM I - Suport de curs
y
dx
dxx
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Lungirea specifică (εx)- variază liniar cu distanţa la axa neutră- este nulă icircn dreptul acesteia- are valori maxime la extremităţile secţiunii transversale- pe lăţimea secţiunii εx este constantă la orice nivel y (ipoteza secţiunilor plane)
Dacă se consideră un material cu comportare ideal liniar elastică legătura icircntretensiuni şi deformaţii specifice se exprimă prin legea lui Hooke
xx E xyxy G
CSM I - Suport de curs
xx E xyxy G
Relaţii care mai pot fi scrise sub forma
yE
x 0xy
Tensiunea normală variază liniar pe icircnălţimea secţiunii cu valori maxime laextremităţi şi zero icircn dreptul axei neutre iar pe lăţimea secţiunii este constantă laorice nivel y
Expresia tensiunii normale 0 A
ydAE
N
0E
x - lege de variaţie cunoscută
Momentul static faţă de axă este nul
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Momentul de inerţie centrifugal faţă de axa neutrǎ şi axa y este nul
Momentul icircncovoietor Mz
z
A A
xz IE
dAyE
ydAM
2
Curbura axei deformate a barei icircn funcţie de momentul icircncovoietor şi rigiditatea
la icircncovoiere (EIz) a barei este dată de relaţia
CSM I - Suport de curs
yEI
EM
z
zx sau y
I
M
z
zx Formula lui Navier
permite calculul tensiunilor normale icircn orice secţiune transversală a uneibare icircncovoiate dacă se cunoaşte solicitarea (Mz) şi geometria bare (Iz)
pentru bare cu secţiune constantă variaţia tensiunilor normale icircn lungulunei fibre longitudinale este dată de variaţia momentului icircncovoietor
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
O bară dreaptă este solicitată la răsucire (torsiune) dacă icircn secţiuneatransversală acţionează un moment al cărui vector este dirijat icircn lungul axeibarei
La bare curbe răsucirea este produsă de un moment dirijat icircn lungul tangentei laaxa barei
Piese solicitate la răsucirestructuri spaţiale cucapetele icircncastrate
CSM I - Suport de curs
arborii maşinilor bare de torsiune
structuri spaţiale cucapetele icircncastrate
Pentru bare cu secţiune axial-simetric - este valabilă ipoteza secţiunii plane
Pentru bare cu pereţi subţiri - tensiunile tangenţiale sunt constante pe grosimeaperetelui
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Atunci cacircnd asupra unei bare acţionează mai multe cupluri exterioare avacircndvectorul dirijat icircn lungul axei barei este necesară construcţia unei diagrame demomente de răsucireDacă un arbore transmite puterea P (kW) la turaţia n(rotmin) momentul de torsiune se poate calcula curelaţia
n
PM t 9550 [Nm]
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci n
NM t 7026 [Nm]
CSM I - Suport de curs
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci
Puterea = Cuplul times Viteza unghiulară
n
P
rotturatia
kWputerea
sradunghiularaviteza
WputereaM t
30000
min][30
][1000][
][
kWWs
mN
s
mkgfCP 736073681975751
][7360][ CPNkWP
n
N
n
N
n
CPN
n
WPNmM t 702697025][8197530][30][
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Tensiuni icircn bare cu secţiune axial-simetricăIpoteze - bara este dreaptă şi are secţiune constantă pe toată lungimea
- momentul de torsiune este constant pe toată lungimea barei- o secţiune transversală iniţial plană rămacircne plană şi după răsucire- secţiunile sunt indeformabile şi se rotesc ca un rigid icircn jurul axei barei
CSM I - Suport de curs
Deplasarea punctului B icircn Blsquo este dată de relaţia drdx Variaţia unghiului de 90o al generatoarei cu secţiunea din stacircnga duce la
rdx
dr
dx
d unde - unghi de lunecare specifică
- unghi de răsucire specifică
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Aplicacircnd legea lui Hooke pentru forfecare rezultă rGG Tensiunile tangenţiale - variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii
- sunt nule icircn centru- au valori maxime la marginea secţiunii
Tensiunea tangenţială maximăp
t
I
rM maxmax
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
CSM I - Suport de curs
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
p
t
W
Mmax
Dimensionare
a
tpnec
MW
Verificare
ap
tef W
M
Moment de răsucire capabil
aptcap WM
a - rezistenţa admisibilă la răsucire
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Caracteristicile geometrice Ip şi Wp
Secţiune circulară plină
2
0
43
322
D
p
DdrrI
162
323
4
max
DD
D
r
IW p
p
Secţiune inelară circulară
CSM I - Suport de curs
D = 2R este diametrul secţiunii
2
2
443
32)(2
D
d
p
dDdrrI
D
dDD
dD
r
IW p
p 16)(
2
32)(
44
44
max
Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine
hRI p 32
hRWp 22
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Lungirea specifică (εx)- variază liniar cu distanţa la axa neutră- este nulă icircn dreptul acesteia- are valori maxime la extremităţile secţiunii transversale- pe lăţimea secţiunii εx este constantă la orice nivel y (ipoteza secţiunilor plane)
Dacă se consideră un material cu comportare ideal liniar elastică legătura icircntretensiuni şi deformaţii specifice se exprimă prin legea lui Hooke
xx E xyxy G
CSM I - Suport de curs
xx E xyxy G
Relaţii care mai pot fi scrise sub forma
yE
x 0xy
Tensiunea normală variază liniar pe icircnălţimea secţiunii cu valori maxime laextremităţi şi zero icircn dreptul axei neutre iar pe lăţimea secţiunii este constantă laorice nivel y
Expresia tensiunii normale 0 A
ydAE
N
0E
x - lege de variaţie cunoscută
Momentul static faţă de axă este nul
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Momentul de inerţie centrifugal faţă de axa neutrǎ şi axa y este nul
Momentul icircncovoietor Mz
z
A A
xz IE
dAyE
ydAM
2
Curbura axei deformate a barei icircn funcţie de momentul icircncovoietor şi rigiditatea
la icircncovoiere (EIz) a barei este dată de relaţia
CSM I - Suport de curs
yEI
EM
z
zx sau y
I
M
z
zx Formula lui Navier
permite calculul tensiunilor normale icircn orice secţiune transversală a uneibare icircncovoiate dacă se cunoaşte solicitarea (Mz) şi geometria bare (Iz)
pentru bare cu secţiune constantă variaţia tensiunilor normale icircn lungulunei fibre longitudinale este dată de variaţia momentului icircncovoietor
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
O bară dreaptă este solicitată la răsucire (torsiune) dacă icircn secţiuneatransversală acţionează un moment al cărui vector este dirijat icircn lungul axeibarei
La bare curbe răsucirea este produsă de un moment dirijat icircn lungul tangentei laaxa barei
Piese solicitate la răsucirestructuri spaţiale cucapetele icircncastrate
CSM I - Suport de curs
arborii maşinilor bare de torsiune
structuri spaţiale cucapetele icircncastrate
Pentru bare cu secţiune axial-simetric - este valabilă ipoteza secţiunii plane
Pentru bare cu pereţi subţiri - tensiunile tangenţiale sunt constante pe grosimeaperetelui
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Atunci cacircnd asupra unei bare acţionează mai multe cupluri exterioare avacircndvectorul dirijat icircn lungul axei barei este necesară construcţia unei diagrame demomente de răsucireDacă un arbore transmite puterea P (kW) la turaţia n(rotmin) momentul de torsiune se poate calcula curelaţia
n
PM t 9550 [Nm]
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci n
NM t 7026 [Nm]
CSM I - Suport de curs
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci
Puterea = Cuplul times Viteza unghiulară
n
P
rotturatia
kWputerea
sradunghiularaviteza
WputereaM t
30000
min][30
][1000][
][
kWWs
mN
s
mkgfCP 736073681975751
][7360][ CPNkWP
n
N
n
N
n
CPN
n
WPNmM t 702697025][8197530][30][
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Tensiuni icircn bare cu secţiune axial-simetricăIpoteze - bara este dreaptă şi are secţiune constantă pe toată lungimea
- momentul de torsiune este constant pe toată lungimea barei- o secţiune transversală iniţial plană rămacircne plană şi după răsucire- secţiunile sunt indeformabile şi se rotesc ca un rigid icircn jurul axei barei
CSM I - Suport de curs
Deplasarea punctului B icircn Blsquo este dată de relaţia drdx Variaţia unghiului de 90o al generatoarei cu secţiunea din stacircnga duce la
rdx
dr
dx
d unde - unghi de lunecare specifică
- unghi de răsucire specifică
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Aplicacircnd legea lui Hooke pentru forfecare rezultă rGG Tensiunile tangenţiale - variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii
- sunt nule icircn centru- au valori maxime la marginea secţiunii
Tensiunea tangenţială maximăp
t
I
rM maxmax
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
CSM I - Suport de curs
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
p
t
W
Mmax
Dimensionare
a
tpnec
MW
Verificare
ap
tef W
M
Moment de răsucire capabil
aptcap WM
a - rezistenţa admisibilă la răsucire
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Caracteristicile geometrice Ip şi Wp
Secţiune circulară plină
2
0
43
322
D
p
DdrrI
162
323
4
max
DD
D
r
IW p
p
Secţiune inelară circulară
CSM I - Suport de curs
D = 2R este diametrul secţiunii
2
2
443
32)(2
D
d
p
dDdrrI
D
dDD
dD
r
IW p
p 16)(
2
32)(
44
44
max
Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine
hRI p 32
hRWp 22
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă
Momentul de inerţie centrifugal faţă de axa neutrǎ şi axa y este nul
Momentul icircncovoietor Mz
z
A A
xz IE
dAyE
ydAM
2
Curbura axei deformate a barei icircn funcţie de momentul icircncovoietor şi rigiditatea
la icircncovoiere (EIz) a barei este dată de relaţia
CSM I - Suport de curs
yEI
EM
z
zx sau y
I
M
z
zx Formula lui Navier
permite calculul tensiunilor normale icircn orice secţiune transversală a uneibare icircncovoiate dacă se cunoaşte solicitarea (Mz) şi geometria bare (Iz)
pentru bare cu secţiune constantă variaţia tensiunilor normale icircn lungulunei fibre longitudinale este dată de variaţia momentului icircncovoietor
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
O bară dreaptă este solicitată la răsucire (torsiune) dacă icircn secţiuneatransversală acţionează un moment al cărui vector este dirijat icircn lungul axeibarei
La bare curbe răsucirea este produsă de un moment dirijat icircn lungul tangentei laaxa barei
Piese solicitate la răsucirestructuri spaţiale cucapetele icircncastrate
CSM I - Suport de curs
arborii maşinilor bare de torsiune
structuri spaţiale cucapetele icircncastrate
Pentru bare cu secţiune axial-simetric - este valabilă ipoteza secţiunii plane
Pentru bare cu pereţi subţiri - tensiunile tangenţiale sunt constante pe grosimeaperetelui
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Atunci cacircnd asupra unei bare acţionează mai multe cupluri exterioare avacircndvectorul dirijat icircn lungul axei barei este necesară construcţia unei diagrame demomente de răsucireDacă un arbore transmite puterea P (kW) la turaţia n(rotmin) momentul de torsiune se poate calcula curelaţia
n
PM t 9550 [Nm]
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci n
NM t 7026 [Nm]
CSM I - Suport de curs
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci
Puterea = Cuplul times Viteza unghiulară
n
P
rotturatia
kWputerea
sradunghiularaviteza
WputereaM t
30000
min][30
][1000][
][
kWWs
mN
s
mkgfCP 736073681975751
][7360][ CPNkWP
n
N
n
N
n
CPN
n
WPNmM t 702697025][8197530][30][
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Tensiuni icircn bare cu secţiune axial-simetricăIpoteze - bara este dreaptă şi are secţiune constantă pe toată lungimea
- momentul de torsiune este constant pe toată lungimea barei- o secţiune transversală iniţial plană rămacircne plană şi după răsucire- secţiunile sunt indeformabile şi se rotesc ca un rigid icircn jurul axei barei
CSM I - Suport de curs
Deplasarea punctului B icircn Blsquo este dată de relaţia drdx Variaţia unghiului de 90o al generatoarei cu secţiunea din stacircnga duce la
rdx
dr
dx
d unde - unghi de lunecare specifică
- unghi de răsucire specifică
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Aplicacircnd legea lui Hooke pentru forfecare rezultă rGG Tensiunile tangenţiale - variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii
- sunt nule icircn centru- au valori maxime la marginea secţiunii
Tensiunea tangenţială maximăp
t
I
rM maxmax
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
CSM I - Suport de curs
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
p
t
W
Mmax
Dimensionare
a
tpnec
MW
Verificare
ap
tef W
M
Moment de răsucire capabil
aptcap WM
a - rezistenţa admisibilă la răsucire
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Caracteristicile geometrice Ip şi Wp
Secţiune circulară plină
2
0
43
322
D
p
DdrrI
162
323
4
max
DD
D
r
IW p
p
Secţiune inelară circulară
CSM I - Suport de curs
D = 2R este diametrul secţiunii
2
2
443
32)(2
D
d
p
dDdrrI
D
dDD
dD
r
IW p
p 16)(
2
32)(
44
44
max
Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine
hRI p 32
hRWp 22
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
O bară dreaptă este solicitată la răsucire (torsiune) dacă icircn secţiuneatransversală acţionează un moment al cărui vector este dirijat icircn lungul axeibarei
La bare curbe răsucirea este produsă de un moment dirijat icircn lungul tangentei laaxa barei
Piese solicitate la răsucirestructuri spaţiale cucapetele icircncastrate
CSM I - Suport de curs
arborii maşinilor bare de torsiune
structuri spaţiale cucapetele icircncastrate
Pentru bare cu secţiune axial-simetric - este valabilă ipoteza secţiunii plane
Pentru bare cu pereţi subţiri - tensiunile tangenţiale sunt constante pe grosimeaperetelui
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Atunci cacircnd asupra unei bare acţionează mai multe cupluri exterioare avacircndvectorul dirijat icircn lungul axei barei este necesară construcţia unei diagrame demomente de răsucireDacă un arbore transmite puterea P (kW) la turaţia n(rotmin) momentul de torsiune se poate calcula curelaţia
n
PM t 9550 [Nm]
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci n
NM t 7026 [Nm]
CSM I - Suport de curs
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci
Puterea = Cuplul times Viteza unghiulară
n
P
rotturatia
kWputerea
sradunghiularaviteza
WputereaM t
30000
min][30
][1000][
][
kWWs
mN
s
mkgfCP 736073681975751
][7360][ CPNkWP
n
N
n
N
n
CPN
n
WPNmM t 702697025][8197530][30][
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Tensiuni icircn bare cu secţiune axial-simetricăIpoteze - bara este dreaptă şi are secţiune constantă pe toată lungimea
- momentul de torsiune este constant pe toată lungimea barei- o secţiune transversală iniţial plană rămacircne plană şi după răsucire- secţiunile sunt indeformabile şi se rotesc ca un rigid icircn jurul axei barei
CSM I - Suport de curs
Deplasarea punctului B icircn Blsquo este dată de relaţia drdx Variaţia unghiului de 90o al generatoarei cu secţiunea din stacircnga duce la
rdx
dr
dx
d unde - unghi de lunecare specifică
- unghi de răsucire specifică
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Aplicacircnd legea lui Hooke pentru forfecare rezultă rGG Tensiunile tangenţiale - variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii
- sunt nule icircn centru- au valori maxime la marginea secţiunii
Tensiunea tangenţială maximăp
t
I
rM maxmax
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
CSM I - Suport de curs
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
p
t
W
Mmax
Dimensionare
a
tpnec
MW
Verificare
ap
tef W
M
Moment de răsucire capabil
aptcap WM
a - rezistenţa admisibilă la răsucire
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Caracteristicile geometrice Ip şi Wp
Secţiune circulară plină
2
0
43
322
D
p
DdrrI
162
323
4
max
DD
D
r
IW p
p
Secţiune inelară circulară
CSM I - Suport de curs
D = 2R este diametrul secţiunii
2
2
443
32)(2
D
d
p
dDdrrI
D
dDD
dD
r
IW p
p 16)(
2
32)(
44
44
max
Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine
hRI p 32
hRWp 22
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Atunci cacircnd asupra unei bare acţionează mai multe cupluri exterioare avacircndvectorul dirijat icircn lungul axei barei este necesară construcţia unei diagrame demomente de răsucireDacă un arbore transmite puterea P (kW) la turaţia n(rotmin) momentul de torsiune se poate calcula curelaţia
n
PM t 9550 [Nm]
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci n
NM t 7026 [Nm]
CSM I - Suport de curs
Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci
Puterea = Cuplul times Viteza unghiulară
n
P
rotturatia
kWputerea
sradunghiularaviteza
WputereaM t
30000
min][30
][1000][
][
kWWs
mN
s
mkgfCP 736073681975751
][7360][ CPNkWP
n
N
n
N
n
CPN
n
WPNmM t 702697025][8197530][30][
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Tensiuni icircn bare cu secţiune axial-simetricăIpoteze - bara este dreaptă şi are secţiune constantă pe toată lungimea
- momentul de torsiune este constant pe toată lungimea barei- o secţiune transversală iniţial plană rămacircne plană şi după răsucire- secţiunile sunt indeformabile şi se rotesc ca un rigid icircn jurul axei barei
CSM I - Suport de curs
Deplasarea punctului B icircn Blsquo este dată de relaţia drdx Variaţia unghiului de 90o al generatoarei cu secţiunea din stacircnga duce la
rdx
dr
dx
d unde - unghi de lunecare specifică
- unghi de răsucire specifică
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Aplicacircnd legea lui Hooke pentru forfecare rezultă rGG Tensiunile tangenţiale - variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii
- sunt nule icircn centru- au valori maxime la marginea secţiunii
Tensiunea tangenţială maximăp
t
I
rM maxmax
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
CSM I - Suport de curs
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
p
t
W
Mmax
Dimensionare
a
tpnec
MW
Verificare
ap
tef W
M
Moment de răsucire capabil
aptcap WM
a - rezistenţa admisibilă la răsucire
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Caracteristicile geometrice Ip şi Wp
Secţiune circulară plină
2
0
43
322
D
p
DdrrI
162
323
4
max
DD
D
r
IW p
p
Secţiune inelară circulară
CSM I - Suport de curs
D = 2R este diametrul secţiunii
2
2
443
32)(2
D
d
p
dDdrrI
D
dDD
dD
r
IW p
p 16)(
2
32)(
44
44
max
Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine
hRI p 32
hRWp 22
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Tensiuni icircn bare cu secţiune axial-simetricăIpoteze - bara este dreaptă şi are secţiune constantă pe toată lungimea
- momentul de torsiune este constant pe toată lungimea barei- o secţiune transversală iniţial plană rămacircne plană şi după răsucire- secţiunile sunt indeformabile şi se rotesc ca un rigid icircn jurul axei barei
CSM I - Suport de curs
Deplasarea punctului B icircn Blsquo este dată de relaţia drdx Variaţia unghiului de 90o al generatoarei cu secţiunea din stacircnga duce la
rdx
dr
dx
d unde - unghi de lunecare specifică
- unghi de răsucire specifică
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Aplicacircnd legea lui Hooke pentru forfecare rezultă rGG Tensiunile tangenţiale - variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii
- sunt nule icircn centru- au valori maxime la marginea secţiunii
Tensiunea tangenţială maximăp
t
I
rM maxmax
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
CSM I - Suport de curs
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
p
t
W
Mmax
Dimensionare
a
tpnec
MW
Verificare
ap
tef W
M
Moment de răsucire capabil
aptcap WM
a - rezistenţa admisibilă la răsucire
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Caracteristicile geometrice Ip şi Wp
Secţiune circulară plină
2
0
43
322
D
p
DdrrI
162
323
4
max
DD
D
r
IW p
p
Secţiune inelară circulară
CSM I - Suport de curs
D = 2R este diametrul secţiunii
2
2
443
32)(2
D
d
p
dDdrrI
D
dDD
dD
r
IW p
p 16)(
2
32)(
44
44
max
Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine
hRI p 32
hRWp 22
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Aplicacircnd legea lui Hooke pentru forfecare rezultă rGG Tensiunile tangenţiale - variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii
- sunt nule icircn centru- au valori maxime la marginea secţiunii
Tensiunea tangenţială maximăp
t
I
rM maxmax
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
CSM I - Suport de curs
Modulul de rezistenţă polarmaxr
IW p
p
p
t
W
Mmax
Dimensionare
a
tpnec
MW
Verificare
ap
tef W
M
Moment de răsucire capabil
aptcap WM
a - rezistenţa admisibilă la răsucire
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Caracteristicile geometrice Ip şi Wp
Secţiune circulară plină
2
0
43
322
D
p
DdrrI
162
323
4
max
DD
D
r
IW p
p
Secţiune inelară circulară
CSM I - Suport de curs
D = 2R este diametrul secţiunii
2
2
443
32)(2
D
d
p
dDdrrI
D
dDD
dD
r
IW p
p 16)(
2
32)(
44
44
max
Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine
hRI p 32
hRWp 22
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară
Caracteristicile geometrice Ip şi Wp
Secţiune circulară plină
2
0
43
322
D
p
DdrrI
162
323
4
max
DD
D
r
IW p
p
Secţiune inelară circulară
CSM I - Suport de curs
D = 2R este diametrul secţiunii
2
2
443
32)(2
D
d
p
dDdrrI
D
dDD
dD
r
IW p
p 16)(
2
32)(
44
44
max
Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine
hRI p 32
hRWp 22
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
CSM I - Suport de curs
F - forţă axială aplicată
- greutatea specifică
A - aria secţiuni transversale
x - lungimea elementului
Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională
Diagrama este impusă
Se izolează un volumelementar
CSM I - Suport de curs
xaeAxA
0)(
Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială
Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV
l
0
)(
introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0
0 AAeAV AllA a
A - secţiunea maximă din icircncastrare
Greutatea barei va fi dată de relaţia VG
Deplasarea absolută a secţiunii xE
xldx
E
xx a
xl )()()(0
CSM I - Suport de curs
E
xldx
E
xx a
xl )()()(0
Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE
la max
Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie
Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă
Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
CSM I - Suport de curs
Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă
Din relaţia de dimensionare1
1 l
FA
a
Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă
Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă
Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson
aAlAFGF 1111
Dimensionarea tronsonului aldoilea
))(( 212
12 ll
F
l
AA
aa
a
a
a
CSM I - Suport de curs
Pentru tronsonul i
)())(( 21 iaaa
lia
i lKll
FA
ia
lia
i
n
lF
A)(
sauTronsoane delungimi egale
Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte
)2
( 121i
ii
ii
GGGGN
EA
l
Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
6 Calculul barelor de lungimi mari
Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate
Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
CSM I - Suport de curs
Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică
Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea
forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel
Gq
Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu
xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale
x - Lungimeaelementuluiconsiderat
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
6 Calculul barelor de lungimi mari
Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x
Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V
GFlAFlNN )(max
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
CSM I - Suport de curs
Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x
A
F
A
xAFxx
)(
Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l
lA
F max
Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă
Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă
alA
F l
FA
anec
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
6 Calculul barelor de lungimi mari
Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia
l
x
l
xdxx
Edx
AE
xNx )(1)()(
Icircnlocuind tensiunea normală rezultă
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei
)2
(maxlA
FAE
l
AE
lG
F
)2
(max
CSM I - Suport de curs
)](2
[)(
)](2
)([)(
)()(
22
xlA
FAE
xlx
xlA
xlFAE
lx
dxxdxA
F
E
lx
l
x
l
x
sauAE
lG
F
)2
(max
Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)
l max
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
6 Calculul barelor de lungimi mari
Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare
Din inegalitatea al lungimea maximă a barei
al
Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia
a
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
CSM I - Suport de curs
a
al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie
rrl
Icircn final se obţine alungirea totală a barei E
l
2
2
max
Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei
Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
7 Flambajul barelor drepte
Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit
Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile
Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
CSM I - Suport de curs
O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate
Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
7 Flambajul barelor drepte
Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite
Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă
CSM I - Suport de curs
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
7 Flambajul barelor drepte
Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil
Echilibru stabil instabil neutru
Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr
f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
CSM I - Suport de curs
f - tensiunea critică de flambaj
A - aria barei
Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia
c
PP cr c - coeficient de siguranţă
la flambaj
Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de
2
2
E
f
Cazul I 0
Cazul II 01 baf
Cazul III 0 cf
E - modulul de elasticitatelongitudinal
c - limita de curgere
ba 01 - constante de material
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale
CSM I - Suport de curs
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale
Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială
Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia
AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată
Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)
Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată
Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive
crPP
crPP
CSM I - Suport de curs
Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice
2
22
L
IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă
L
xnCkxCx
sinsin)( 11
Ecuaţia curbei deformate este de forma
unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt
n=1 n=3 n=5
CSM I - Suport de curs
Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM
- deplasare capăt liber al barei
Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE
I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy
Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk
Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)
kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L
Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj
0cos kL
2
n
Lk unde (n=1 3 5 )
Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22
22
4L
IEnPcr
CSM I - Suport de curs
2
22
4L
IEnPcr
Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin
L
xn
2cos1( 2
2
4L
IEPcr
Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice
De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică
este de 25x mai mare
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă
Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt
Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
CSM I - Suport de curs
Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate
Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate
Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2
2
e
crL
IEP
Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22
L
IEPcr
= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz C - Bară dublu icircncastrată
Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
CSM I - Suport de curs
Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete
Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete
Astfel 2L
Le 2
24L
IEPcr
Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple
Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt
Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0
CSM I - Suport de curs
LRM 0
Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază
)(0 xLRPxRPMM
Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice
2
2
204621920
L
IE
L
IEPcr
această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
9 Metoda Euler
LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)
Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)
Numărul lui Euler (e) asymp 271
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
CSM I - Suport de curs
FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială
Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice
Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea
Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
9 Metoda Euler
Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P
Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)
CSM I - Suport de curs
Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v
Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine
IE
M
dx
vd
2
2 + expresia momentului icircncovoietorIE
vP
dx
vd
2
2
ce are soluţia axCaxBv cossin
Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin
ecuaţia axei bareideformate
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
9 Metoda Euler
Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate
0sin2
axBIE
Pa
z
care este valabilă pentruzIE
Pa
2 sau
zIE
Pa
0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
CSM I - Suport de curs
Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru
sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt
nIE
PLLa
z
din care se obţin sarcinile critice de flambaj
2
2
1 L
IEP z
f
2
2
2
2
L
IEP z
f
2
2
n
L
IEP z
nf
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
9 Metoda Euler
Deformaţiile barei sunt de forma
sin2sinsin 2211
L
xnBv
L
xBv
L
xBv nn
Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a
deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj
(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2
2
nf
znf L
IEP
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
CSM I - Suport de curs
2
2
nf
znf L
IEP
nfnn L
xBv
sin
Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma
Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
9 Metoda Euler
Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă
Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim
2min
2
f
fL
IEP
Formula lui Euler
Moduri de rezemare
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
CSM I - Suport de curs
C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul elastic
La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE
Mi
1
Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)
Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2
CSM I - Suport de curs
pf
crcr Al
IE
A
F
2min
2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr
Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia
p
ffcr
E
i
l
E
Al
iAE
2
2
2
min
2
2
2min
2unde
mini
l f
coeficient de zvelteţe
sau
coeficient de subţirime al barei
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap
E
Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă
Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
CSM I - Suport de curs
Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii
domeniul flambajului elastic
0 pcr
domeniul flambajului plastic
0 pcr
Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic
Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler
Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
CSM I - Suport de curs
Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere
bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )
Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)
Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune
A
C
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material
CSM I - Suport de curs
Caracteristicăde flambaj
)( ff
a) AB elastic 2
2
E
f
b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă
Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase
Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj
Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
CSM I - Suport de curs
I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă
II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)
Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)
afcr
f cN
Fc
crF
N
afc
- forţa critică de flambaj
- efortul axial de compresiune efectiv
- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I) Metoda coeficientului de siguranţă
Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj
Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui
Domeniul de utilizare a barei comprimate caf
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28
CSM I - Suport de curs
Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)
Organe de mașini caf
Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri
4 ndash 8
Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-a) Calcul de verificare sau efort capabil
Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj
Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1
Apar două situaţii
CSM I - Suport de curs
2min
2
0f
cr l
IEF
AbaAF crcr )(01
Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
I-b) Calcul de dimensionare
Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj
Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
CSM I - Suport de curs
E
lcNI faf
nec
2
2
min dimensiunea secţiunii transversale a barei
După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj
- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ
Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj
A
F
cA
F
cr
af
cr
af
craf
undeaf
crr c
FF
Fr - forţa axială reală din bară
A ndash aria secţiunii transversalea barei
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
CSM I - Suport de curs
Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune
af
rnec
FA
Coeficient de flambaj 1a
af
Rezultă relaţia de dimensionare
a
rnec
FA
calculul de verificare
ar
ef A
F
Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
11 Calculul la flambaj al barelor comprimate
II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape
-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă
efaaf AF
CSM I - Suport de curs
efaaf AF Dacă
bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată
bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună
Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ
Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
CAZURI FUNDAMENTALE
Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului
- modul de aplicare a momentelor pe bară
- legăturile laterale (dacă există)
Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
CSM I - Suport de curs
Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y
Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z
Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale
Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale
Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea flambajdupă axa z-z
CSM I - Suport de curs
Cazul 4 Cazul 5
Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim
Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z
Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană
Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete
Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
CSM I - Suport de curs
Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma
12
secmax EyP
N
N
M
unde2
2
L
IEP y
Ey
- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa
maximă y-y
Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia
EyP
NMM
2secmax
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 1 și 2
Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii
1
yypl
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
unde
CSM I - Suport de curs
unde
y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere
1yy
Sdyy fA
Nk
51yk - factor de modificare
42
yel
yplMyyy W
W 90y
My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială
Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană
Secţiuni de clasă 3
1
yyel
Sdyy
yy
Sd
fW
Mk
Af
N
yy k - vezi Clasa 1 și 2
9042 yMyyy
Secţiuni de clasă 4
CSM I - Suport de curs
1
yyeff
zNSdSdyy
yeffy
Sd
fW
eNMk
fA
N
unde
yy k - vezi Clasa 1 și 2
y - vezi Clasa 3
effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură
yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură
zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e
Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia
)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
CSM I - Suport de curs
Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este
)(2
2
weFdx
wdIE
sau
)(222
2
ewdx
wd IE
F
2
Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0
și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC
Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw
Săgeata la capătul superior este
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
CSM I - Suport de curs
)cos1)(()( lelw
l
lexw
coscos1)(
Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei
x
xexw
coscos1)(
w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru
212
n
l
Valoare minimă se obţine pentru21 l
Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F
PentrucrF
F
IE
lFl
2
Rezultă
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
CSM I - Suport de curs
cr
cr
F
F
F
F
e
cos
cos1
se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F
Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă
Rezultă curbe cu alură hiperbolică
Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
13 Flambajul barelor comprimate excentric
Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE
M
w
w
2311
Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă
1
811122
crcr F
F
F
Fl
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
CSM I - Suport de curs
Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr
Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești
Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative
Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
Scurt istoric
Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)
Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare
Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit
Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente
Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări
Există două metode generale de abordare
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute
Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări
Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
Avantajele analizei cu element finit
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
CSM I - Suport de curs
1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate
2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări
3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -
elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual
4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră
5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante
6 Includ efecte dinamice
7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare
Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs
Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice
AVANTAJEPrograme de tip A
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
CSM I - Suport de curs
bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual
bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii
bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme
Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus
bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante
bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice
Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC
MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Start Definireaproblemei
Preprocesare Procesare Postprocesare
AnalizaDecizie Stop
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
CSM I - Suport de curs
PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului
bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice
bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei
bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite
bullDefinirea icircncărcărilor pe model
ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet
PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite
1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie
2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1
3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)
CSM I - Suport de curs
4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii
5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite
6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri
7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice
Discretizare și selectarea elementelor
a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie
b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale
CSM I - Suport de curs
b) Elemente 3D
Tetraedru Hexaedru regulat(cub)
Hexaedruneregulat
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
BIBLIOGRAFIE
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6
ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs
Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi
Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina
(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition
ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii
Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN
973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-
Napoca ISBN 973-656-376-6