8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
1/162
Cezar Marcel DOCA
NCOVOIEREA BARELOR
ESEUFALSIFICABIL
EdituraUniversitiidinPiteti2007
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
2/162
ISBN: 978-973-690-683-1
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
3/162
CUVNT NAINTE
Principiul falsificaionismului discutat formal pentru prima dat de KarlPopper n 1919-1920, reformulat apoi tot de ctre el n 1960 i dezvoltatulterior de Imre Lakatos afirm c o lucrare, pentru a fi util sau chiar inumai tiinific, trebuie s fie falsificabil, adic s poat fi verificat iinfirmat. Nu confirmarea acesteia este important ci infirmarea ei, adic
falsificarea ipotezelor pe cale experimental sau prin observaii.
n spiritul raionalismului critic, ipotezele i teoriile sunt considerateadevrate doar pn la prima lor infirmare.
Aceast carte nu se substituie vreunui tratat, manual sau curs de
specialitate: nici de rezistena materialelor, nici de analiz matematic, nicide programare.
Prezenta lucrarea este cu deosebire o culegere de formule i algoritmi decalcul cu aplicabilitate imediat n studiul ncovoierilor statice i vibratoriiale barelor continue, omogene i drepte.
Toate informaiile cuprinse n eseul de fa sunt oferite cititorului sub GNUFree Documentation Licence.
AUTORULInstitutul de Cercetri Nucleare Piteti
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
4/162
CUPRINS
INTRODUCERE . . . . . . . 7
NCOVOIEREA STATIC . . . . . . 9
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII . . . .25
EVALURI NUMERICE . . . . . .51
VIBRAII DE NVOVOIERE . . . . .69
VIBRAII INDUSE DE CURGEREA PARALEL . . .85
CONCLUZII . . . . . . . .101BIBLIOGRAFIE . . . . . . .103
ANEXE . . . . . . . .105
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
5/162
INTRODUCERE
INTRODUCERE
Sub titlul de mai sus ar trebui s fie enumerate cel puin cteva idei iniialeprivind elaborarea, respectiv lecturarea celorlalte capitole.
Aadar:
dei nu este de specialitatea presupus, autorul s-a aflat de mai multeori n situaia de a rezolva probleme de ncovoiere static i n regimvibratoriu pentru diferite configuraii de bare (tuburi, grinzi etc.)montate n instalaii tehnologice;
paginile ce urmeaz reprezint, n ultim instan, un rezumat al
conspectului cuprinznd principalele ipoteze, ecuaii, soluii exacte,formule de evaluare i algoritmi de calcul, utilizate n studiileteoretice (i experimentale) n domeniu;
prin prezentul eseu se ofer cititorului avizat o relativ cuprinztoarecolecie de informaii, abordabil mcar i pentru faptul c toateacestea nu mai trebuie s fie redescoperite prin diferite lucrridispersate.
- 5 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
6/162
NCOVOIEREA STATIC
NCOVOIEREA STATIC
Literatura de specialitate dedicat Rezistenei materialelor este infinit mai bogat dect ar putea autorul s parcurg i s indice ca referinebibliografice.
Prezentul capitol cuprinde doar o sumar trecere n revist a principalelorrezultate teoretice privitoare la ncovoierea static a barelor continue,omogene i drepte, unele aspecte fiind reluate i n completrile din Anexelelucrrii.
Ipotezele mecanicii corpurilor deformabile
Studiul deformrii corpurilor solide este fundament pe urmtoarele ipotezede calcul:
Ipoteza corpurilor continue, omogene i izotrope modeleleteoretice se elaboreaz folosind: 1) funcii continue i 2) constantede material avnd aceleai valori n orice punct al corpului solid.
Ipotezaidentitiiproprietilormecanicealeelementuluiinfinitmic
cucelealecorpuluisolid ntreg n fapt, nu se iau n considerareforele intercristaline.
Ipoteza elasticitiiperfecte sub anumite valori ale eforturilorunitare, deformaiile se anuleaz odat cu dispariia sarcinilor carele-au generat.
- 6-
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
7/162
NCOVOIEREA STATIC
Ipoteza proporionalitii dintre eforturi i deformaii corpulelastic satisface legea lui Hooke, deformaiile supunndu-se
principiuluisuprapuneriiefectelor.
Ipoteza micilor deformaii, cunoscut i sub denumirea de ipotezameninerii dimensiunilor iniiale corpul sufer: 1) deformaiiabsolute foarte mici n raport cu dimensiunile sale geometrice,respectiv 2) deformaiispecifice neglijabile n raport cu unitatea.Funcie de complexitatea modelului teoretic, calculele se clasific n:deordinulIatunci cnd ecuaiile de echilibru se scriu pentru stareanedeformat, de ordinul II atunci cnd se utilizeaz o schem
deformat dar se accept c deformaiile sunt mici i deordinulIIIatunci cnd, renunndu-se la ipoteza micilor deformaii, se au nvedere deformaiile mari.
Principiul lui Saint-Vnant sisteme diferite de fore echivalentestatic produc efecte apreciabil diferite doar n punctele de aplicaie.
Ipoteza luiBernoulli: seciunile plane i normale pe axa unei barenainte de deformare rmn plane i normale pe aceasta ax i dupdeformare.
Ipotezastrii naturale a corpului sau ipoteza absenei tensiuniloriniiale.
Eforturi i solicitri
Corpul solid se poate deforma sub aciunea unei fore (totale) R sau / i aunui moment/ cuplul(total) M.
Mrimile R i M se numesc eforturi i pun n eviden aciunea reciprocdintre dou seciuni ale corpului solid.
Putnd avea direcii oarecare n spaiu, eforturile R i Mse descompun n:componente normale la planul seciunii i componenteconinute n planulacestei seciuni, cele dou tipuri de proiecii producnd, individual, solicitrisimple.
- 7-
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
8/162
NCOVOIEREA STATIC
n cazul concret al unei bare (continue, omogene i drepte) fora total Rare:
o component N, normal la planul seciunii, numit for axial(fiind aplicat pe axa barei) produce fie solicitarea de ntindere, fiesolicitarea de compresiune;
o component T, numit fortietoare, coninut n planul seciunii(perpendicular pe axa barei) produce solicitarea de tiere /
forfecare.
La rndul su, momentul / cuplul total Mse descompune n:
momentul de rsucire Mt, al crui vector este dirijat pe ax, deciperpendicular pe planul seciunii produce solicitarea de rsucire /torsiune;
momentul ncovoietorMi, cu vectorul coninut n planul seciunii produce solicitarea de ncovoiere.
Aciunea simultan a dou sau mai multe eforturi poate da natere uneisolicitricompuse.
Ecuaiile fibrei medii deformate pentru o bar supus la solicitareasimpl de ncovoiere
Sub aciunea (doar a) momentului ncovoietorM(x) (s-a renunat la indiceleinferiori), axa unei bare orizontale, paralel cu axa de coordonate x, devineo curb plan continu, denumitfibrmediedeformat.
Dac du, dv i dw reprezint deplasrile / deformrile pe cele trei axe
cartezienex,y iz, atunci, n planul (vertical)xOz, fibra deformat are razade curbur:
( )( )( )xEIxM
x=
1
unde prinEs-a indicat modulul de elasticitate al (materialului) barei, iarI(x)reprezint momentul ei de inerie. ProdusulEI(x) se numete rigiditate.
- 8 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
9/162
NCOVOIEREA STATIC
Convenindu-se c sensul pozitiv al rotirii d este cel orar (deci negativtrigonometric), atunci:
( )( )
( )( )xEIxM
xdx
xd=
=
1
Deformndu-se, bara sufer att deplasri n lungul su translaia u, cti perpendiculare pe ax sgeataw.
Neglijnd deplasarea u n raport cu sgeata w, tangenta unghiului se poatescrie:
( )( )
dx
xdwxtg =
n cazul micilor deformaii:
( ) ( ) ( )xxsinxtg
( )( )
dx
xdwx =
i:
( ) ( )2
2
dx
xwd
dx
xd=
rezultat care, introdus n (*) conduce la concluzia c fibrei medii deformate ise asociaz ecuaiadiferenialdeordinulII:
( ) ( )( )
02
2
=+xEI
xM
dx
xwd
Pentru barelestaticdeterminate, adic atunci cnd momentul M(x) poate fideterminat, n mod unic, direct din condiiile de echilibru, ecuaiadiferenial (1) se integreaz de dou ori i se obine funcia ce descriedeplasarea / sgeata perpendicular pe axa barei:
( )( )
( )
+=x
ddEI
MxCCxw
1
1
1
22
210
1
- 9 -
(*)
(1)
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
10/162
NCOVOIEREA STATIC
Constantele de integrare C0 i C1 se pot determina:
fie cunoscnd sgeata w(x) i rotirea (x) n acelai punctx =x* , saun dou puncte diferite ale barei:x =x1 ix =x2;
fie cunoscnd sgeile w(x1) w(x2) n dou puncte oarecare alebarei.
Formulele de calcul (ecuaiile) ce nglobeaz valorile w(x) i (x)corespunztoare capetelor barei, ale cror abscise se obinuiete a sedesemna prin:x = 0 ix =L, reprezint condiiilelalimit.
Egalitatea (1) mai este denumit i ecuaiadiferenialsimplificat. Ecuaiadiferenial exactare expresia:
( )
( )
( )( )
0
12
32
2
2
=+
+
xEI
xM
dx
xdw
dx
xwd
Totui, att timp ct, n orice punct al barei, ptratul tangentei unghiului derotire (x) are valori neglijabile n raport cu unitatea cerin specific, dealtfel, majoritii problemelor de rezisten din practica inginereasc nlocul ecuaiei exacte se poate folosi, cu rezultate de ncredere, direct ecuaiasimplificat.
Pe de alt parte, dac se ine cont i de efectele forei tietoare T(x) asupradeformrii fibrei medii, atunci ecuaia diferenial de ordinul II(simplificat) devine:
( ) ( )( )
( )( )x'GA
xT
xEI
xM
dx
xwd=
2
2
;( )+
=12
EG
unde G este modulul de forfecare, este coeficientul lui Poisson, iarA(x)este aria redus a seciunii transversale i se calculeaz cu formula:
( )( )
( )=
AdA
b
S
xIx'A
2
2
2
- 10 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
11/162
NCOVOIEREA STATIC
Mrimea S din ultima formul reprezint momentulstaticfa de axaneutr,corespunztorpriidinseciuneatransversalcaretindeslunece,iarb este o dimensiune geometric a seciunii.
De exemplu, n cazul unei seciunii dreptunghiulare de arie A, calculeleconduc la rezultatul A = 5A / 6, iar n cazul unei seciuni transversalecirculare de arieA se obineA= 9A / 10.
Pentru barelestatic nedeterminate momentul de ncovoiere M(x) nu maipoate fi exprimat din ecuaiile de echilibru, de aceast dat trebuind s fierezolvat ecuaiadiferenialdeordinulIVafibreimediideformate:
( )( )
( ) 02
2
2
2
=
xq
dx
xwdxEI
dx
d
unde q(x) estesarcinadistribuitpe lungimea barei.
Cunoscnd legile I(x) i q(x), ecuaia (2) se integreaz de patru ori i seobine funcia deplasrii / sgeii:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
+
+++=
x
o ddEI
dqdq
I
C
I
C
xCCxw1
1
1
2
2
1
333
1
332
2
23
2
2
1
1
22
Constantele de integrare C0, C1, C2 i C3 se determin i de aceast datimpunnd soluiei s respecte, de exemplu, condiiile de rezemare a barei,acestea din urm fiind exprimate prin ecuaii de caracterizare a deplasrilor(sgei i rotiri) i eforturilor (momente i fore tietoare).
Funcia ( )( )2
2
dx
xwdxEI are dimensiunea unui moment, iar funcia
( ) ( )3
3
dxxwdxEI are dimensiunea unei fore.
- 11 -
(2)
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
12/162
NCOVOIEREA STATIC
Rezemarea la capete
Generaliznd imaginea comun a unui corp solid sprijinindu-se (n cmpgravitaional) pe un al doilea, prin rezemare s-ar putea desemna starea deechilibru mecanic ntr-un anumit punct (reazem), caracterizat prin valoricunoscute pentru: sgei, unghiuri de rotaie, momente ncovoietoare saufore tietoare.
Astfel, captul liber al unei bare montat n consol este un reazemcaracterizat prin moment ncovoietor i for tietoare nule.
Renunnd la montajul n consol, captul nencastrat al barei din exemplulanterior s-ar putea rezema, eventual, pe o for extern, concentrat,acionnd de jos n sus.
Levitaia magnetic (la capetele unei bare) reprezint un caz de sprijinirefr contact mecanic; i exemplele ar putea continua.
Ecuaiile de caracterizare a reazemelor se numesc condiii omogene,
respectiv condiiineomogene, dup cum valorile indicate pentru: deplasare,rotire, moment ncovoietor, sau for de forfecare sunt nule, respectivdiferitedezero.
Condiiile ce se refer la modul de sprijinire n abscisele x* = 0, respectivx*= L caracterizeaz reazemele de capt. Reazemele ale cror abscisendeplinesc condiia 0
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
13/162
NCOVOIEREA STATIC
( )*
xx *dx
xdw ==
( ) ** wxw =
reprezint fie situaii crora trebuie s le fac fa bara studiat, fie restricii,eventual soluii prescrise / ateptate, n comportarea acesteia (pentru abscisa
x*).
Strilor de rezemareelastic le sunt caracteristice legi ce se stabilesc ntreeforturi i deplasri, anume:
for tietoare i sgeat: ( ) )x(kwdx
)x(wdxEI *
xx
*
*
==
3
3
i
moment ncovoietor i rotire: ( )**xxxx
*dx
)x(dwc
dx
)x(wdxEI
==
=2
2
mrimile ki c fiind constante (elastice) de material.
Valorile limit k= 0 i k , respectiv c = 0 i c , genereaz, ntr-ointerpretare intuitiv, condiiile omogene:
( ) 03
3
== *xx
* dx
)x(wdxEI i 0=)x(w *
respectiv:
( ) 02
2
== *xx
*
dx
)x(wdxEI i 0=
= *xxdx
)x(dw
ale cror combinaii intervin n definirea / caracterizarea urmtoarelorreazeme de capt:
- 13 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
14/162
NCOVOIEREA STATIC
captliber: moment i for nule
=
=
=
=
0
0
3
3
2
2
*
*
xx
xx
dx
)x(wd
dx)x(wd
reazemalunector: rotire i for nule
=
=
=
=
0
0
3
3
*
*
xx
xx
dx
)x(wd
dx
)x(dw
reazemsimplurigid: sgeat i moment nule
=
=
=
0
0
2
2
*xx
*
dx
)x(wd
)x(w
ncastrarerigid: sgeat i rotire nule
=
=
=
0
0
*xx
*
dx
)x(dw
)x(w
Valori finite nenule ale constantelor elastice ki c se ntlnesc n ecuaiile decaracterizare a reazemelor de capt:
reazemelastic:
( )
=
=
=
=
)x(kwdx
)x(wdxEI
dx
)x(wd
*
xx
*
xx
*
*
3
3
2
2
0
ncastrareaelastic: ( )
=
=
== ** xxxx*
*
dx
)x(dwc
dx
)x(wdxEI
)x(w
2
2
0
- 14-
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
15/162
NCOVOIEREA STATIC
rezemaregeneral:
( )
( )
=
=
=
==
)x(kwdx
)x(wdxEI
dx)x(dwc
dx)x(wdxEI
*
xx
*
xxxx
*
*
**
3
3
2
2
Revenind la condiiile (ecuaiile) neomogene, este evident faptul c ncaptul nencastrat al unei barei pot aciona oricnd, din exterior, un moment(ncovoietor) M* i / sau o for (tietoare) concentratF* .
Spre exemplificare, reazemul elastic (de capt) supus aciunii externeconcomitente a unui moment M* i a unei fore F* va fi caracterizat prinsistemul de ecuaii:
( )
( ) ( )
=
=
=
=
**
xx
*
*
xx
*
Fxkwdx
)x(wdxEI
Mdx
)x(wdxEI
*
*
3
3
2
2
Din (3) se pot particulariza cinci situaii caracterizate prin ecuaii (condiii)neomogene i anume cele n care am avea numai aciunea momentuluiexteriorM* (F* = 0), sau numai pe cea a forei concentrate F* (M* = 0),ambele fiind aplicate, eventual, direct n capt liber (k= 0).
Dei nu epuizeaz toate cazurile posibile, exemplele de mai sus permitdesprinderea urmtoarelor concluzii imediate:
un reazem de capt este caracterizat de (cel puin) dou ecuaiiomogene i / sau neomogene,
dar
nu orice combinaie de (cte dou) ecuaii omogene / neomogeneamintite mai sus definete un reazem fizic.
- 15 -
(3)
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
16/162
NCOVOIEREA STATIC
Reazeme intermediare ncovoierea barei cu mai multe deschideri
Prin deschidere se nelege segmentul de bar cuprins ntre dou reazemeconsecutive.
Din motive innd exclusiv de generalitatea algoritmului de calcul, vominclude aici i tipurile aparte de reazeme definite: n punctele de aciune aforelor concentrate i / sau a momentelor de ncovoiere externe, respectiv la
limita de variaie brusc a proprietilor elastice i / sau geometrice, sau avalorilor sarcinii distribuite.
Dou bare se pot sprijini reciproc i prin mijlocirea unei articulaiiintermediare (moment ncovoietor nul).
O bar cu NR reazeme (dou reazeme de capt i NR 2 reazemeintermediare) areNR1 deschideri.
Problema ncovoierii barei cu mai multe deschideri se poate rezolva, deexemplu, parcurgnd urmtorul algoritm:
Se identific cele NR reazeme dispuse pe lungimea barei, mpreuncu ecuaiile lor de caracterizare.
Se stabilesc funciile M(x), I(x), q(x) etc. specifice celorNR1deschideri.
Fiecrei deschideri i (i = 1 ...NR1), i se ataeaz ecuaia diferenialde ordinul IV a fibrei medii deformate, corespunztoare situaiei
prezente ntre reazemele adiacente.
Se integreaz ecuaiile pe fiecare deschidere n parte i se obine un
numr deN 1 soluii pentru deplasri / sgei, cuprinznd 4(NR1)constante de integrare necunoscute: Ci0, Ci1, Ci2 i Ci3.
Constantele de integrare Ci0, Ci1, Ci2 i Ci3 se obin ca soluii alesistemului (compatibil determinat) format din cele 4(NR1) ecuaii(liniare) de caracterizare a reazemelor.
- 16-
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
17/162
NCOVOIEREA STATIC
innd cont de soluiile wi(x) i wi+1(x) specifice celor dou deschideriadiacente, i i i + 1, pentru cazurile mai des ntlnite de reazem intermediar
poziionat n abscisaxi avem ecuaiile de caracterizare:
reazemsimplurigid:
=
=
==
=
+
=
=
+
=
+
ii
ii
xx
i
xx
i
xx
i
xx
i
ii
ii
dx
)x(wd
dx
)x(wd
dx
)x(dw
dx
)x(dw
)x(w
)x(w
2
1
2
2
2
1
10
0
reazemsimpluelastic:( )
( )
=
=
=
=
+
=
+
=
=
+
=
=
+
=
)x(kwdx
)x(wdxEI
)x(kwdx
)x(wdxEI
dx
)x(wd
dx
)x(wd
dx
)x(dw
dx
)x(dw
ii
xx
ii
ii
xx
ii
xx
i
xx
i
xx
i
xx
i
i
i
ii
ii
13
1
3
3
3
2
1
2
2
2
1
articulaieintermediar:
=
=
=
=
=
+
=
=
+
=
+
ii
i
i
xx
i
xx
i
xx
i
xx
i
iiii
dx
)x(wd
dx
)x(wd
dx
)x(wd
dx
)x(wd
)x(w)x(w
3
1
3
3
3
2
1
2
2
2
1
0
0
Lista reazemelor intermediare poate fi completat cu situaiile n careintervin, din exterior, momente i / sau fore concentrate, contribuia acestoreforturi la fenomenul ncovoierii fiind surprins att prin saltulfunciei
- 17-
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
18/162
NCOVOIEREA STATIC
corespunztoare (derivatele de ordinul doi i / sau trei), ct i prin ecuaiidecontinuitate.
Cele dou legiti amintite n rndurile de mai sus se aplic, evident, nabscisa respectivului reazem intermediar.
Un exemplu (edificator) pur teoretic ar fi cazul aciunilor concomitente alemomentului i forei exterioare ntr-un reazem (intermediar) elastic:
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
+=
=
=
=
+
=
+
=
=
+
=
=
+
=
+
iii
xx
ii
xx
ii
*
xx
ii
xx
ii
xx
i
xx
i
iiii
Fxkwdx
xwdxEI
dx
xwdxEI
Mdx
xwdxEI
dx
xwdxEI
dx
xdw
dx
xdw
xwxw
ii
ii
ii
13
1
3
3
3
2
1
2
2
2
1
1
Dintre diferitele cazuri particulare ce se pot deduce plecnd de la acest ultimsistem de ecuaii amintind condiia k = 0 caracteristic situaiei cnd
eforturile M* i F* acioneaz ntr-un punct (intermediar) liber; altfel spus,bara studiat nu prezint, n abscisaxi, alte restricii mecanice.
Evitnd complicarea expunerii prin descrieri intuitive, subliniem faptul cvariaiilor brute ale rigiditii i / sau ale sarcinii distribuite, n abscisaxi aunui punct liber (= fr alte restricii mecanice) de pe lungimea barei, li seasociaz condiiile de continuitate:
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
=
=
=
=
=
+++
=
=
+++
=
=
+
=
+
ii
ii
ii
xx
iiii
xx
iiii
xx
iiii
xx
iiii
xx
i
xx
i
iiii
dx
xwdxIE
dx
xwdxIE
dx
xwdxIE
dx
xwdxIE
dx
xdw
dx
xdw
xwxw
31
3
113
3
21
2
112
2
1
1
- 18 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
19/162
NCOVOIEREA STATIC
Dac n abscisaxi acioneaz i un reazem elastic, atunci vom avea sistemulde ecuaii:
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )
=
=
=
=
+
=
+++
=
=
+++
=
=
+
=
1131
3
11
13
3
21
2
112
2
1
xkwdx
xwdxIE
xkwdx
xwdxIE
dx
xwdxIE
dx
xwdxIE
dx
xdw
dx
xdw
i
xx
iiii
i
xx
iiii
xx
iiii
xx
iiii
xx
i
xx
i
i
i
ii
ii
ce poate fi completat (i complicat), n continuare, cu aportul unor eventualeeforturi externe M* i / sauF* concentrate nxi.
ncovoierea barei aflat pe pat elastic
Un caz aparte de rezemare a unei bare este aa-numitul pat elastic,caracterizat prin constanta elastic pe unitatea de lungime kp, situaiemodelat prin ecuaia diferenial de ordinul IV a fibrei medii deformate:
( )( )
( ) ( ) 02
2
2
2
=+
xqxwk
dx
xwdxEI
dx
dp
ncovoierea barei solicitat axial
Dac asupra unei bare solicitat la ncovoiere acioneaz, suplimentar, i ofor N axial, atunci ecuaia diferenial de ordinul IV a fibrei mediideformate devine:
- 19 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
20/162
NCOVOIEREA STATIC
( ) ( ) ( ) ( ) 02
2
2
2
2
2=
xq
dxxwdN
dxxwdxEI
dxd
unde N se nlocuiete cu +N n cazul comprimrii i cu N n cazulntinderii, valoareaNfiind considerat ntotdeauna pozitiv.
Trebuie reinut faptul c n cazul aciunii forelor axiale, condiiile de captreferitoare la fora tietoare capt forma:
( ) ( )( )*
xx
xT
dx
xdwN
dx
xwdEI
*
==
3
3
Fora de comprimare poate determina apariia strii de flambaj.
- 20 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
21/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
Combinnd situaiile prezentate n capitolul anterior se obine ecuaiadiferenial de ordinul IV a fibrei medii deformate pentru o bar care,sprijinindu-se pe pat elastic, este solicitat att la ncovoiere ct i axial:
( )( ) ( )
( ) ( ) 02
2
2
2
2
2
=+
xqxwk
dx
xwdN
dx
xwdxEI
dx
dp
Prezentnd un recunoscut nivel de generalitate, ecuaia (4) permiteindividualizarea unui numr relativ generos de exemple de ncovoiere a
barelor omogene i drepte, i anume:
cu sau fr pat elastic (2 tipuri),
cu sau fr for axial (3 tipuri),
cu moment de inerie constant sau variabil (2 tipuri),
cu sarcin distribuit constant sau variabil (3 tipuri dac secontorizeaz i cazul sarcinii distribuite nule).
Ar rezulta cel puin 2 3 2 3 = 36 de probleme (teoretice) de solicitarela ncovoiere, dup cum urmeaz:
- 21 -
(4)
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
22/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
Bar fr pat elastic, fr for axial, cu moment de inerie constant isarcin distribuit constant
Fiind date condiiile:
kp = 0 N= 0 I(x) =I0 q(x) = q0
ecuaia (4) devine:
( )
004
4
0 = qdx
xwd
EI
i are soluia:
( ) 4
0
03
3
2
210
24x
EI
qxCxCxCCxw ++++=
Dac q0 = 0, atunci:
( ) 332
210 xCxCxCCxw +++=
Bar fr pat elastic, fr for axial, cu moment de inerie constant isarcin distribuit variabil
Fiind date condiiile:
kp = 0 N= 0 I(x) =I0 q(x)
ecuaia (4) devine:
( )( ) 0
4
4
0 = xqdxxwd
EI
i are soluia asigurat de algoritmul:
- 22 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
23/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
( )( )
++++= x
ddddEI
qxCxCxCCxw
1
1
1
2
1
3
1
4
0
43
3
2
210
1 2 3
n cazul particular:
( ) xqqxq 10 +=
avem:
( ) 5
0
14
0
033
2210
12024
x
EI
qx
EI
qxCxCxCCxw +++++=
Dac q0 = 0, atunci:
( ) 5
0
13
3
2
210
120x
EI
qxCxCxCCxw ++++=
Bar fr pat elastic, fr for axial, cu moment de inerie variabil isarcin distribuit constant
Fiind date condiiile:
kp = 0 N= 0 I(x) q(x) = q0
ecuaia (4) devine:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
02 02
2
2
2
3
3
4
4
=++ qdx
xwd
dx
xIdE
dx
xwd
dx
xdIE
dx
xwdxEI
i are soluia asigurat de algoritmul:
( )( ) ( ) ( )
+
+
++=x
ddEI
q
I
C
I
CxCCxw
1
1
1
22
220
2
23
2
210
1
2
n cazul particular:
( ) xeIxI = 1- 23 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
24/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
avem:
( )( ) ( )[ ] xe
EI
EIxCCCqxxxCCxw
++++
++=1
413230
22
10 2
2246
Dac q0 = 0, atunci:
( )( ) xe
xCCCxCCxw
++
++=3
32310
2
Bar fr pat elastic, fr for axial, cu moment de inerie variabil isarcin distribuit variabil
Fiind date condiiile:
kp = 0 N= 0 I(x) q(x)
ecuaia (4) devine:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02 22
2
2
3
3
4
4
=++ xqdx xwddxxIdEdx xwddxxdIEdx xwdxEI
i are soluia asigurat de algoritmul:
( )( ) ( )
( ) ( )
( )
+
+
++=
x
ddEI
dqdq
I
C
I
CxCCxw
1
1
1
2
2
1
333
1
332
2
23
2
2
10
1
22
n cazul particular:( ) xeIxI = 1
avem:
- 24-
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
25/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
( ) [
( ) ( )12
1
3
1
33
2
1
3
1
33
1 1
23210
22
1
2
+
+
++++=
dddEI
pd
EI
p
CCexCCxwx
Particulariznd, n continuare, cu:
( ) xqqxq 10 +=
avem:( ) ( ){ ( )
( )[ ] }1
53
1323
12
0
231
21010110
663
2261824
EI
eEIxCCxqxq
CEIxqxqxqqqxCCxwx
++++
+++++++=
Dac q0 = 0, atunci:
( ) ( ){
( )[ ] }1
51
2
323
1
3322
10
626
61824
EI
eEIxCCC
qxxxxCCxw
x
+++
+++++=
Bar fr pat elastic, for axial de compresie, cu moment de inerieconstant i sarcin distribuit constant
Fiind date condiiile:
kp = 0 N> 0 I(x) =I0 q(x) = q0
ecuaia (4) devine:
( ) ( )002
2
4
4
0 =+ qdxxwd
Ndx
xwdEI
i are soluia general:
- 25 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
26/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
( ) ( ) ( )[ ]xsinCxcosCxNqxCCxw +
++= 322
2010
12
unde:
0EI
N=
Dac q0 = 0, atunci:
( ) ( ) ( )[ ]xsinCxcosCxCCxw ++= 322101
Bar fr pat elastic, for axial de compresie, cu moment de inerieconstant i sarcin distribuit variabil
Fiind date condiiile:
kp = 0 N> 0 I(x) =I0 q(x)
ecuaia (4) devine:
( ) ( )( ) 0
2
2
4
4
0 =+ xqdxxwd
Ndx
xwdEI
i are soluia asigurat de algoritmul:
( ) ( ) ( )[
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
12
1
333
2
1
333
2
1 1
232210
2
2
1
+
+
+++=
dddcosqN
sin
dsinqN
cos
sinCcosCxCCxw
x
unde:
- 26-
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
27/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
0EIN=
n cazul particular:
( ) xqqxq 10 +=
avem:
( ) ( ) ( )[ ]xsinCxcosCxN
qx
N
qxCCxw +
+++= 3223120
10
1
62
Dac q0 = 0, atunci:
( ) ( ) ( )[ ]xsinCxcosCxN
qxCCxw +
++= 322
3110
16
Bar fr pat elastic, for axial de compresie, cu moment de inerievariabil i sarcin distribuit constant
Fiind date condiiile:
kp = 0 N> 0 I(x) q(x) = q0
ecuaia (4) devine:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0202
2
2
2
2
2
3
3
4
4
=+++ qdx
xwdN
dx
xwd
dx
xdIE
dx
xwd
dx
xdIE
dx
xwdxEI
creia autorul nu a reuit s-i gseasc o soluie general sau un algoritm de
calcul asociat.Totui, n cazul particular:
( ) xeIxI = 1
avem soluia asigurat de algoritmul:
- 27-
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
28/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
( )
12
1
3
2
0
2
0
1
3
2
0
2
0
1
0
1 1
3
2
02
2
010
2 32
2 322
1 2
2
2
2
22
22
22
2
+
+
+
++=
dddeYeJ
deJeYEI
eq
CeYeCeJexCCxwx
unde:
1EI
N=
PrinJ0(z) i Y0(z) s-au desemnat funciile Bessel de primul i al doilea ordin.
Amintim faptul c funciile Bessel Jn(z) i Yn(z) sunt soluii ale ecuaieidifereniale:
( ) 0222 =++ ynz'zy''yz
Dac q0 = 0, atunci:
( )
+
++=
x
ddCeYeCeJexCCxw1
12
1
3
2
02
2
010
1 2
2
2
22
22
Bar fr pat elastic, for axial de compresie, cu moment de inerievariabil i sarcin distribuit variabil
Fiind date condiiile:
kp = 0 N> 0 I(x) q(x)
ecuaia (4) devine:
- 28 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
29/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 022
2
2
2
2
2
3
3
4
4
=+++ xqdx
xwdN
dx
xwd
dx
xdIE
dx
xwd
dx
xdIE
dx
xwdxEI
creia autorul nu a putut s-i gseasc o soluia general sau un algoritm decalcul asociat.
Totui, n cazul particular:
( ) xeIxI = 1
avem soluia asigurat de algoritmul:
( )
( )
( )12
1
3
2
03
2
0
1
3
2
03
2
0
1
1 1
3
2
02
2
010
2 32
2 322
1 2
2
2
2
22
22
22
2
+
+
+
++=
dddeYqeJ
deJqeYEI
e
CeYeCeJexCCxw
x
unde:
1EI
N=
Particulariznd, n continuare, cu:
( ) xqqxq 10 +=
avem:
- 29 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
30/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
( )
( )
( )12
1
3
2
0310
2
0
1
3
2
0310
2
0
1
1 1
3
2
02
2
010
2 32
2 322
1 2
2
2
2
22
22
22
2
+
+
+
+
+
++=
dddeYqqeJ
deJqqeYEI
e
CeYeCeJexCCxwx
Dac q0 = 0, atunci:
( )
12
1
3
2
03
2
0
1
3
2
03
2
0
1
1
1 1
3
2
02
2
010
2 32
2 322
1 2
2
2
2
22
22
22
2
+
+
+
++=
dddeYeJ
deJeYEI
eq
CeYeCeJexCCxw
x
Bar fr pat elastic, for axial de ntindere, cu moment de inerieconstant i sarcin distribuit constant
Fiind date condiiile:
kp = 0 N< 0 I(x) =I0 q(x) = q0
ecuaia (4) devine:( ) ( )
002
2
4
4
0 = qdxxwd
Ndx
xwdEI
i are soluia general:
- 30 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
31/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
( ) ( )xx eCeCxNqxCCxw +
++= 322
2010
12
unde:
0EI
N=
Dac q0 = 0, atunci:
( ) ( )xx
eCeCxCCxw
+++= 322101
Evident, soluiile anterioare pot fi rescrise nlocuind funciile exponenialeexp(x) i exp(-x) prin intermediul funciilor hiperbolice:sh(x) i ch(x)
Bar fr pat elastic, for axial de ntindere, cu moment de inerieconstant i sarcin distribuit variabil
Fiind date condiiile:
kp = 0 N< 0 I(x) =I0 q(x)
ecuaia (4) devine:
( ) ( )( ) 0
2
2
4
4
0 = xqdxxwd
Ndx
xwdEI
i are soluia asigurat de algoritmul:
( ) [
( ) ( )12
1
33
1
33
1 1
3210
2
32
2
32
1
22
2
+
++++=
dddeqedeqeN
eCeCxCCxw
x
unde:
- 31 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
32/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
0EIN=
n cazul particular:
( ) xqqxq 10 +=
avem:
( ) ( )xx eCeCxN
qx
N
qxCCxw +
++=322
3120
10
1
62
Daca q0 = 0, atunci:
( ) ( )xx eCeCxN
qxCCxw +
++= 322
3110
16
Evident, soluiile anterioare pot fi rescrise nlocuind funciile exponenialeexp(x) i exp(-x) prin intermediul funciilor hiperbolice:sh(x) i ch(x)
Bar fr pat elastic, for axial de ntindere, cu moment de inerievariabil i sarcin distribuit constant
Fiind date condiiile:
kp = 0 N< 0 I(x) q(x) = q0
ecuaia (4) devine:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0202
2
2
2
2
2
3
3
4
4
=++ qdx
xwdN
dx
xwd
dx
xdIE
dx
xwd
dx
xdIE
dx
xwdxEI
creia autorul nu a putut s-i gseasc o soluia general.
Totui, n cazul particular:
( ) xeIxI = 1
avem soluia asigurat de algoritmul:
- 32 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
33/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
( )
12
1
3
2
0
2
0
1
3
2
0
2
0
1
0
1 1
2
03
2
0210
2 32
2 322
1 2
2
2
2
22
222
22
2
+
++=
dddeKeI
deIeKEI
eq
eKeCeIeCxCCxwx
unde:
1EI
N=
PrinI0 iK0 s-au desemnat funciile Bessel de ordin nti.
Reamintim faptul c funciile Bessel In(z) i Kn(z) sunt soluii ale ecuaieidifereniale:
( 0222 =++ ynz'zy"yz
Dac q0 = 0, atunci:
( )
+
++=
x
ddeKeCeIeCxCCxw1
1
1
2
2
03
2
0210
1 2
2
2
22
22
Bar fr pat elastic, for axial de ntindere, cu moment de inerievariabil i sarcin distribuit variabil
Fiind date condiiile:
kp = 0 N< 0 I(x) q(x)
ecuaia (4) devine:
- 33 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
34/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 022
2
2
2
2
2
3
3
4
4
=++ xqdx
xwdN
dx
xwd
dx
xdIE
dx
xwd
dx
xdIE
dx
xwdxEI
creia autorul nu a putut s-i gseasc o soluia general sau un algoritm decalcul asociat.
Totui, n cazul particular:
( ) xeIxI = 1
avem soluia asigurat de algoritmul:
( )
( )
( )12
1
3030
1
3030
1
1 1
302010
2
32
2
32
2
1
2222
222
22
22
2
+
+
+
++=
dddeIqeK
deKqeIEI
e
CeKeCeIexCCxw
x
unde:
1EI
N=
Particulariznd, n continuare, cu:
( ) xqqxq 10 +=
avem:
- 34-
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
35/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
( )
( )
( )12
1
303100
1
303100
1
1 1
302010
2
32
2
32
2
1
2222
222
22
22
2
+
+
+
+
+
++=
dddeIqqeK
deKqqeIEI
e
CeKeCeIexCCxwx
Dac q0 = 0, atunci:
( )
12
1
3030
1
3030
1
1
1 1
302010
2
32
2
32
2
1
2222
222
22
22
2
+
+
+
++=
dddeIeK
deKeIEI
eq
CeKeCeIexCCxwx
Bar pe pat elastic, fr for axial, cu moment de inerie constant isarcin distribuit constant
Fiind date condiiile:
kp> 0 N= 0 I(x) =I0 q(x) = q0
ecuaia (4) devine:
( )( ) 004
4
0 = qxwkdxxwd
EI p
i are soluia general:
( ) ( ) ( )p
xx
k
qeCeCxcosCxsinCxw 0
3210+++=
- 35 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
36/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
unde:
4
0EI
kp=
Dac q0 = 0, atunci:
( ) ( ) ( ) xx eCeCxcosCxsinCxw +++=3210
Evident, soluiile anterioare pot fi rescrise nlocuind funciile exponenialeexp(x) i exp(-x) prin intermediul funciilor hiperbolice:sh(x) i ch(x)
Bar pe pat elastic, fr for axial, cu moment de inerie constant isarcin distribuit variabil
Fiind date condiiile:
kp> 0 N= 0 I(x) =I0 q(x)
ecuaia (4) devine:
( )( ) ( ) 0
2
2
0 = xqxwkdxxwd
EI p
i are soluia asigurat de algoritmul:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+
+
+
++++=
xx
xxxx
p
xx
dcosqxsindsinqxcos
dqee
dqee
k
eCeCxcosCxsinCxw
11
11
3210
222
unde:
- 36-
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
37/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
4
0EIkp=
n cazul particular:
( ) xqqxq 10 +=
avem:
( ) ( ) ( ) x
k
q
k
qeCeCxcosCxsinCxw
pp
xx 103210
+++=
Dac q0 = 0, atunci:
( ) ( ) ( ) xk
qeCeCxcosCxsinCxw
p
xx 13210
+++=
Evident, soluiile anterioare pot fi rescrise nlocuind funciile exponenialeexp(x) i exp(-x) prin intermediul funciilor hiperbolice:sh(x) i ch(x)
Bar pe pat elastic, fr for axial, cu moment de inerie variabil isarcin distribuit constant
Fiind date condiiile:
kp> 0 N= 0 I(x) q(x) = q0
ecuaia (4) devine:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 02 02
2
2
2
3
3
4
4
=++ qxwkdxxwd
dx
xdI
Edx
xwd
dx
xdI
Edx
xwd
xEI p
creia autorul nu a putut s-i gseasc o soluia general sau un algoritm decalcul asociat.
Totui, n cazul particular:
( ) xeIxI = 1 i 00 =q
- 37-
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
38/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
avem soluia asigurat de algoritmul:
( ) { } { } { } { }{ } { } { }{ }
{ } { }{ } { } { }{ } { } { }{ } { } { }{ }
+
+
=
1
43
1
42
1
41
1
40
011000110
0011221
EI
ke,,,,,,,GC
EI
ke,,,,,,GC
EI
ke,,,,,,GC
EI
ke,,,,pFqCkexw
p
x
p
x
p
x
p
x
p
x
undepFq este funcia hipergeometric generalizat:
{ } { }( )
( )
( ) ( )
= = 0 1
1
11
1
k kpk
kpk
pp b...b
a...a
!kz,b,...,b,a,...,apFq
iarG este funcia Meijer, definit, pentru un umr real oarecare, r:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ++ ++++
=
ds
zrsb...rsbrsa...rsa
rsb...rsbrsa...rsa
i
r
b,...,b
a,...,azG
s
qmpn
mn
q
pmn
pq11
11
211
11
1
1
Reamintim c funcia(z) este definit:
( )
=
0
1 dtetz tz
i, pentru valori n ntregi, poate fi privit ca o generalizare a funcieifactorial pentru argumentulz complex:
( ) ( ) ( )z!nn = 1
Bar pe pat elastic, fr for axial, cu moment de inerie variabil isarcin distribuit variabil
Fiind date condiiile:
kp> 0 N= 0 I(x) q(x)
ecuaia (4) devine:
- 38 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
39/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 022
2
2
2
3
3
4
4=++ xqxwk
dxxwd
dxxdIE
dxxwd
dxxdIE
dxxwdxEI p
creia autorul nu a reuit s-i gseasc o soluie general sau un algoritm decalcul asociat. A se vedea i cazul analizat anterior.
Bar pe pat elastic, for axial de compresie, cu moment de inerieconstant i sarcin distribuit constant
Fiind date condiiile:
kp> 0 N> 0 I(x) =I0 q(x) = q0
ecuaia (4) devine:
( ) ( )( ) 0
02
2
4
4
0=+ qxwk
dx
xwdN
dx
xwdEI p
i are soluia general:
( )
xkEINNEI
xkEINNEI
xkEINNEI
xkEINNEI
p
pp
pp
eCeC
eCeCk
qxw
++
++
+
+
++
+++=
02
00
2
0
02
00
2
0
42
1
3
42
1
2
42
1
1
42
1
00
Dac q0 = 0, atunci:
( )
xkEINNEI
xkEINNEI
xkEINNEI
xkEINNEI
pp
pp
eCeC
eCeCxw
++ ++
+
+
++
++=
02
002
0
02
00
2
0
42
1
3
42
1
2
42
1
1
42
1
0
- 39 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
40/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
Bar pe pat elastic, for axial de compresie, cu moment de inerieconstant i sarcin distribuit variabil
Fiind date condiiile:
kp> 0 N> 0 I(x) =I0 q(x)
ecuaia (4) devine:
( ) ( )
( ) ( ) 02
2
4
4
0 =+ xqxwkdx
xwd
Ndx
xwd
EI p
i are soluia asigurat de algoritmul:
( )
( ) ( )
( ) ( )
+
+
+
+
+
+
++++=
xx
xx
pp
xx
xx
pp
xxxx
dqeedqee
kEIN
N
k
dqeedqeekEIN
N
k
eCeCeCeCxw
1102
1102
3210
4
1
4
41
4
unde:
( )pkEINNEI
0
2
0
42
1++=
i
( )pkEINNEI
02
0
4
2
1+=
n cazul particular:
( ) xqqxq 10 +=
avem:
- 40 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
41/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
( )
xkEINNEI
xkEINNEI
xkEINNEI
xkEINNEI
pp
pp
pp
eCeC
eCeCxk
q
k
qxw
++
++
+
+
++
+++=
02
00
2
0
02
00
2
0
42
1
3
42
1
2
42
1
1
42
1
010
Dac q0 = 0, atunci:
( )
xkEINNEI
xkEINNEI
xkEINNEI
xkEINNEI
p
pp
pp
eCeC
eCeCxk
qxw
++
++
+
+
++
+++=
02
00
2
0
02
00
2
0
42
1
3
42
1
2
42
1
1
42
1
01
Bar pe pat elastic, for axial de compresie, cu moment de inerievariabil i sarcin distribuit constant
Fiind date condiiile:
kp> 0 N> 0 I(x) q(x) = q0
ecuaia (4) devine:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 0202
2
2
2
2
2
3
3
4
4
=+++ qxwkdx
xwdN
dx
xwd
dx
xdIE
dx
xwd
dx
xdIE
dx
xwdxEI p
creia autorul nu a reuit s-i gseasc o soluie general sau un algoritm decalcul asociat.
- 41 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
42/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
Bar pe pat elastic, for axial de compresie, cu moment de inerievariabil i sarcin distribuit variabil
Fiind date condiiile:
kp> 0 N> 0 I(x) q(x)
ecuaia (4) devine:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 022
2
2
2
2
2
3
3
4
4
=+++ xqxwkdx
xwdN
dx
xwd
dx
xdIE
dx
xwd
dx
xdIE
dx
xwdxEI p
creia autorul nu a reuit s-i gseasc o soluie general sau un algoritm decalcul asociat.
Bar pe pat elastic, for axial de ntindere, cu moment de inerieconstant i sarcin distribuit constant
Fiind date condiiile:kp> 0 N< 0 I(x) =I0 q(x) = q0
ecuaia (4) devine:
( ) ( )( ) 002
2
4
4
0 = qxwkdxxwd
Ndx
xwdEI p
i are soluia general:
( )
xkEINNEI
xkEINNEI
xkEINN
EI
xkEINN
EI
p
pp
pp
eCeC
eCeCk
qxw
++
++
+
+
++
+++=
02
00
2
0
02
0
02
0
42
1
3
42
1
2
4
2
1
1
4
2
1
00
Dac q0 = 0, atunci:
- 42 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
43/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
( )
xkEINNEI
xkEINNEI
xkEINNEI
xkEINNEI
pp
pp
eCeC
eCeCxw
++
++
+
+
++
++=
02
00
2
0
02
00
2
0
42
1
3
42
1
2
42
1
1
42
1
0
Bar pe pat elastic, for axial de ntindere, cu moment de inerieconstant i sarcin distribuit variabil
Fiind date condiiile:
kp> 0 N< 0 I(x) =I0 q(x)
ecuaia (4) devine:
( ) ( )( ) ( ) 0
2
2
4
4
0 = xqxwkdxxwd
Ndx
xwdEI p
i are soluia asigurat de algoritmul:
( )
( ) ( )
( ) ( )
+
+
+
+
+
++++=
xx
xx
pp
xx
xx
pp
xxxx
dqeedqeekEIN
N
k
dqeedqeekEIN
N
k
eCeCeCeCxw
1102
1102
3210
41
4
41
4
unde:
( )pkEINNEI
0
2
0
42
1+=
i
( )pkEINNEI 02
0
42
1++=
- 43 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
44/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
n cazul particular:
( ) xqqxq 10 +=
avem:
( )
xkEINNEIxkEINNEI
xkEINNEI
xkEINNEI
pp
pp
pp
eCeC
eCeCxk
q
k
qxw
++ ++
+
+
++
+++=
02
00
2
0
02
00
2
0
42
1
342
1
2
42
1
1
42
1
010
Dac q0 = 0, atunci:
( )
xkEINNEI
xkEINNEI
xkEINNEI
xkEINNEI
p
pp
pp
eCeC
eCeCxk
qxw
++
++
+
+
++
+++=
02
00
2
0
02
00
2
0
42
1
3
42
1
2
42
1
1
42
1
01
Bar pe pat elastic, for axial de ntindere, cu moment de inerievariabil i sarcin distribuit constant
Fiind date condiiile:
kp> 0 N< 0 I(x); q(x) = q0
ecuaia (4) devine:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0202
2
2
2
2
2
3
3
4
4
=++ qxwkdx
xwdN
dx
xwd
dx
xdIE
dx
xwd
dx
xdIE
dx
xwdxEI p
creia autorul nu a reuit s-i gseasc o soluie general sau un algoritm decalcul asociat.
- 44-
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
45/162
ECUAII, ALGORITMI I SOLUII
Bar pe pat elastic, for axial de ntindere, cu moment de inerievariabil i sarcin distribuit variabil
Fiind date condiiile:
kp> 0 N< 0 I(x) q(x)
ecuaia (4) devine:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 022
2
2
2
2
2
3
3
4
4
=++ xqxwkdx
xwdN
dx
xwd
dx
xdIE
dx
xwd
dx
xdIE
dx
xwdxEI p
creia autorul nu a reuit s-i gseasc o soluie general sau un algoritm decalcul asociat.
- 45 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
46/162
EVALURI NUMERICE
EVALURI NUMERICE
Aa cum s-a vzut n capitolul anterior, din cele 36 de situaii teoretice desolicitare a unei bare omogene i drepte, s-a reuit indicarea unei soluiigenerale, sau a uneia particulare, sau numai a unui algoritm de rezolvare
pentru 31 de ecuaii.
Pentru fiecare exemplu n parte, cele patru constante de integrare: C0, C1, C2i C3 urmeaz s fie determinate funcie condiiile de sprijinire la capetele
barei, i / sau n reazeme intermediare.
Rezult c obinerea, n final, a unor formule analitice complete rmnedezideratul oricrui cercettor n domeniu. Mcar i pentru frumuseea lor
intrinsec.General vorbind, n cazul ncovoierii unei bare cu N reazeme, evaluareacelor 4(N 1) constante de integrare: Ci0, Ci1, Ci2 i Ci3 (discutate i ncapitolul precedent) reclam, cu deosebire pentru valori mari ale lui N,folosirea tehnicii de calcul electronic i a unor produse software adecvate.
Mai mult, dac programele de calcul utilizate au fost gndite i dezvoltate srspund unor cerine aplicative imediate, rezultatele obinute vor fi, cusiguran, mai alessubformnumerici / saugrafic.
Metoda parametrilor n origine
Totui, atunci cnd bara studiat nu are reazeme intermediare consacrate(reazem simplu rigid, reazem simplu elastic, sau articulaie intermediar),dar este supus aciunii unor eforturi externe concentrate i / sau prezint
- 46-
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
47/162
EVALURI NUMERICE
variaii brute ale sarcinii distribuite, fibra deformat poate fi descris i cuajutorulformuleianalitice:
( )
+
+
+
+=
k
kkk
j
ij
i
ii
!
dx
!
cx
EI
q
!
bx
EI
F
!
ax
EI
M
!
x
EI
T
!
x
EI
Mxwxw
443
232
443
23
0
2
0
00
unde:
rigiditateaEIeste constant pe toat lungimea barei;
parametrii w0, 0, M0 i T0 reprezint valorilecunoscute ale sgeii,rotirii, momentului ncovoietor i forei de forfecare n captul(barei) de abscisx = 0;
prindefiniie, parantezele x sunt ntotdeauna nule dac x < ,ele evalundu-se cu formula de calcul:
2
+=
xxx
valorile ai i bj sunt abscisele punctelor de aplicaie ale eforturilorexterne Mi iFj, n timp ce dubletul de ordonate (ck, dk) desemneazsegmentul de bar pe care acioneaz sarcina distribuit qkconstant.
Evaluri numerice
n vederea evalurii numerice a constantelor de integrare C (necunoscute),se rezolv sistemul de ecuaii liniare:
{ } { }bCa =
matricea ||a|| i vectorul {b} construindu-se cu ajutorul parametrilorcunoscui: E = modul de elasticitate, I = moment de inerie, N = for axial,
- 47-
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
48/162
EVALURI NUMERICE
q = sarcin distribuit, Nr = numr reazeme, tr = tip reazem, ke =constant reazem elastic, ce = constant ncastrare elastic.
Un posibil algoritm ar fi cel implementat n corpul urmtoarei proceduri decalcul, scris n limbaj de programare Borland Pascal (Delphi):
procedure matrici;
var i,j,k:integer;
begin
kb:=sqrt(abs(N)/E/I);
for i:=1 to 4*(nr-1) do for j:=1 to 4*(nr-1) do a[i,j]:=0;
for i:=1 to 4*(nr-1) do b[i]:=0;
j:=0;k:=0;
if N1 then k:=1;
case tr[i] of
0:begin {capat liber}
a[j+2*k+1,j+1]:=power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+3]:=0;
a[j+2*k+1,j+4]:=0;
b[j+2*k+1]:=q/N;
a[j+2*k+2,j+1]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+3]:=0;
a[j+2*k+2,j+4]:=0;
b[j+2*k+2]:=0;
end;
1:begin {simplu rigid}
a[j+2*k+1,j+1]:=sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+2]:=cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
a[j+2*k+1,j+4]:=1;
b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/N;
a[j+2*k+2,j+1]:=power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);a[j+2*k+2,j+3]:=0;
a[j+2*k+2,j+4]:=0;
b[j+2*k+2]:=q/N;
end;
2:begin {simplu elastic}
a[j+2*k+1,j+1]:=power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+3]:=0;
- 48 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
49/162
EVALURI NUMERICE
a[j+2*k+1,j+4]:=0;b[j+2*k+1]:=q/N;
a[j+2*k+2,j+1]:=power(kb,3)*E*I*cosh(kb*x[i])
+ke[i]*sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*E*I*sinh(kb*x[i])
+ke[i]*cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i];
a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i];
b[j+2*k+2]:=-ke[i]*q*power(x[i],2)/2/N;
end;
3:begin {incastrare rigida}
a[j+2*k+1,j+1]:=sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+2]:=cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];a[j+2*k+1,j+4]:=1;
b[j+2*k+1]:=-q*x[i]*x[i]/2/N;
a[j+2*k+2,j+1]:=kb*cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+2]:=kb*sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+3]:=1;
a[j+2*k+2,j+4]:=0;
b[j+2*k+2]:=-q*x[i]/N;
end;
4:begin {incastrare elastica}
a[j+2*k+1,j+1]:=sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+2]:=cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
a[j+2*k+1,j+4]:=1;b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/N;
a[j+2*k+2,j+1]:=power(kb,3)*E*I*sinh(kb*x[i])
-ce[i]*kb*cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*E*I*cosh(kb*x[i])
-ce[i]*kb*sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+3]:=-ce[i];
a[j+2*k+2,j+4]:=0;
b[j+2*k+2]:=q*ce[i]*x[i]/N-E*I*q/N;
end;
5:begin {rezemare generala}
a[j+2*k+1,j+1]:=power(kb,3)*E*I*sinh(kb*x[i])
-ce[i]*kb*cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,3)*E*I*cosh(kb*x[i])-ce[i]*kb*sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+3]:=-ce[i];
a[j+2*k+1,j+4]:=0;
b[j+2*k+1]:=q*ce[i]*x[i]/N-E*I*q/N;
a[j+2*k+2,j+1]:=power(kb,3)*E*I*cosh(kb*x[i])
+ke[i]*sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*E*I*sinh(kb*x[i])
+ke[i]*cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i];
- 49 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
50/162
EVALURI NUMERICE
a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i];b[j+2*k+2]:=-ke[i]*q*power(x[i],2)/2/N;
end;
6:begin {forta in capat liber}
a[j+2*k+1,j+1]:=power(kb,2)*sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,2)*cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+3]:=0;
a[j+2*k+1,j+4]:=0;
b[j+2*k+1]:=-q/N;
a[j+2*k+2,j+1]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+3]:=0;
a[j+2*k+2,j+4]:=0;
b[j+2*k+2]:=-fc[i]/E/I;end;
7:begin {forta in resort elastic}
a[j+2*k+1,j+1]:=power(kb,2)*sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,2)*cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+3]:=0;
a[j+2*k+1,j+4]:=0;
b[j+2*k+1]:=-q/N;
a[j+2*k+2,j+1]:=ke[i]/E/I*sinh(kb*x[i])
+power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+2]:=ke[i]/E/I*cosh(kb*x[i])
+power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i]/E/I;
a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i]/E/I;b[j+2*k+2]:=fc[i]/E/I
-q*ke[i]*power(x[i],2)/2/E/I/N;
end;
8:begin {simplu rigid intermediar}
a[j+2*k+1,j+1]:=sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+2]:=cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
a[j+2*k+1,j+4]:=1;
b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/N;
a[j+2*k+2,j+5]:=sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+6]:=cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+7]:=x[i];
a[j+2*k+2,j+8]:=1;b[j+2*k+2]:=-q*power(x[i],2)/2/N;
a[j+2*k+3,j+1]:=kb*cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+3,j+2]:=kb*sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+3,j+3]:=1;
a[j+2*k+3,j+4]:=0;
a[j+2*k+3,j+5]:=-kb*cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+3,j+6]:=-kb*sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+3,j+7]:=-1;
a[j+2*k+3,j+8]:=0;
- 50 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
51/162
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
52/162
EVALURI NUMERICE
a[j+2*k+1,j+2]:=cosh(kb*x[i]);a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
a[j+2*k+1,j+4]:=1;
a[j+2*k+1,j+5]:=-sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+6]:=-cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+7]:=-x[i];
a[j+2*k+1,j+8]:=-1;
b[j+2*k+1]:=0;
a[j+2*k+2,j+1]:=kb*cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+2]:=kb*sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+3]:=1;
a[j+2*k+2,j+4]:=0;
a[j+2*k+2,j+5]:=-kb*cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+6]:=-kb*sinh(kb*x[i]);a[j+2*k+2,j+7]:=-1;
a[j+2*k+2,j+8]:=0;
b[j+2*k+2]:=0;
a[j+2*k+3,j+1]:=power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+3,j+2]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+3,j+3]:=0;
a[j+2*k+3,j+4]:=0;
a[j+2*k+3,j+5]:=-power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+3,j+6]:=-power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+3,j+7]:=-0;
a[j+2*k+3,j+8]:=0;
b[j+2*k+3]:=0;
a[j+2*k+4,j+1]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);a[j+2*k+4,j+2]:=power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+4,j+3]:=0;
a[j+2*k+4,j+4]:=0;
a[j+2*k+4,j+5]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);
a[j+2*k+4,j+6]:=power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
a[j+2*k+4,j+7]:=0;
a[j+2*k+4,j+8]:=0;
b[j+2*k+4]:=-fc[i]/E/I;
j:=4*(i-1);
end;
end;
end;
if N=0 thenfor i:=1 to Nr do
begin
if i>1 then k:=1;
case tr[i] of
0:begin {capat liber}
a[j+2*k+1,j+1]:=x[i];
a[j+2*k+1,j+2]:=1;
a[j+2*k+1,j+3]:=0;
a[j+2*k+1,j+4]:=0;
- 52 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
53/162
EVALURI NUMERICE
b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/E/I;a[j+2*k+2,j+1]:=1;
a[j+2*k+2,j+2]:=0;
a[j+2*k+2,j+3]:=0;
a[j+2*k+2,j+4]:=0;
b[j+2*k+2]:=-q*x[i]/E/I;
end;
1:begin {simplu rigid}
a[j+2*k+1,j+1]:=power(x[i],3)/6;
a[j+2*k+1,j+2]:=x[i]*x[i]/2;
a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
a[j+2*k+1,j+4]:=1;
b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],4)/24/E/I;
a[j+2*k+2,j+1]:=x[i];a[j+2*k+2,j+2]:=1;
a[j+2*k+2,j+3]:=0;
a[j+2*k+2,j+4]:=0;
b[j+2*k+2]:=-q*power(x[i],2)/2/E/I;
end;
2:begin {simplu elastic}
a[j+2*k+1,j+1]:=x[i];
a[j+2*k+1,j+2]:=1;
a[j+2*k+1,j+3]:=0;
a[j+2*k+1,j+4]:=0;
b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/E/I;
a[j+2*k+2,j+1]:=ke[i]*power(x[i],3)/6+E*I;
a[j+2*k+2,j+2]:=ke[i]*power(x[i],2)/2;a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i];
a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i];
b[j+2*k+2]:=-q*x[i]-ke[i]*q*power(x[i],4)/24/E/I;
end;
3:begin {incastrare rigida}
a[j+2*k+1,j+1]:=power(x[i],3)/6;
a[j+2*k+1,j+2]:=power(x[i],2)/2;
a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
a[j+2*k+1,j+4]:=1;
b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],4)/24/E/I;
a[j+2*k+2,j+1]:=power(x[i],2)/2;
a[j+2*k+2,j+2]:=x[i];
a[j+2*k+2,j+3]:=1;a[j+2*k+2,j+4]:=0;
b[j+2*k+2]:=-q*power(x[i],3)/6/E/I;
end;
4:begin {inacstrare elastica}
a[j+2*k+1,j+1]:=power(x[i],3)/6;
a[j+2*k+1,j+2]:=power(x[i],2)/2;
a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
a[j+2*k+1,j+4]:=1;
b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],4)/24/E/I;
- 53 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
54/162
EVALURI NUMERICE
a[j+2*k+2,j+1]:=E*I*x[i]-ce[i]*power(x[i],2)/2;a[j+2*k+2,j+2]:=E*I-ce[i]*x[i];
a[j+2*k+2,j+3]:=-ce[i];
a[j+2*k+2,j+4]:=0;
b[j+2*k+2]:=q*ce[i]*power(x[i],3)/6/E/I
-q*power(x[i],2)/2;
end;
5:begin {rezemare generala}
a[j+2*k+1,j+1]:=E*I*x[i]-ce[i]*power(x[i],2)/2;
a[j+2*k+1,j+2]:=E*I-ce[i]*x[i];
a[j+2*k+1,j+3]:=-ce[i];
a[j+2*k+1,j+4]:=0;
b[j+2*k+1]:=q*ce[i]*power(x[i],3)/6/E/I
-q*power(x[i],2)/2;a[j+2*k+2,j+1]:=ke[i]*power(x[i],3)/6+E*I;
a[j+2*k+2,j+2]:=ke[i]*power(x[i],2)/2;
a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i];
a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i];
b[j+2*k+2]:=q*x[i]-q*ke[i]*power(x[i],4)/24/E/I;
end;
6:begin {forta in capat liber}
a[j+2*k+1,j+1]:=1;
a[j+2*k+1,j+2]:=0;
a[j+2*k+1,j+3]:=0;
a[j+2*k+1,j+4]:=0;
b[j+2*k+1]:=-fc[i]/E/I-q*x[i]/E/I;
a[j+2*k+2,j+1]:=x[i];a[j+2*k+2,j+2]:=1;
a[j+2*k+2,j+3]:=0;
a[j+2*k+2,j+4]:=0;
b[j+2*k+2]:=-q*power(x[i],2)/2/E/I;
end;
7:begin {forta in resort elastic}
a[j+2*k+1,j+1]:=x[i];
a[j+2*k+1,j+2]:=1;
a[j+2*k+1,j+3]:=0;
a[j+2*k+1,j+4]:=0;
b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/E/I;
a[j+2*k+2,j+1]:=1+ke[i]*power(x[i],3)/6/E/I;
a[j+2*k+2,j+2]:=ke[i]*power(x[i],2)/2/E/I;a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i]/E/I;
a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i]/E/I;
b[j+2*k+2]:=fc[i]/E/I
-q*ke[i]*power(x[i],4)/24/E/E/I/I
-q*x[i]/E/I;
end;
8:begin {simplu rigid intermediar}
a[j+2*k+1,j+1]:=power(x[i],3)/6;
a[j+2*k+1,j+2]:=power(x[i],2)/2;
- 54-
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
55/162
EVALURI NUMERICE
a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];a[j+2*k+1,j+4]:=1;
b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],4)/24/E/I;
a[j+2*k+2,j+5]:=power(x[i],3)/6;
a[j+2*k+2,j+6]:=power(x[i],2)/2;
a[j+2*k+2,j+7]:=x[i];
a[j+2*k+2,j+8]:=1;
b[j+2*k+2]:=-q*power(x[i],4)/24/E/I;
a[j+2*k+3,j+1]:=power(x[i],2)/2;
a[j+2*k+3,j+2]:=x[i];
a[j+2*k+3,j+3]:=1;
a[j+2*k+3,j+4]:=0;
a[j+2*k+3,j+5]:=-power(x[i],2)/2;
a[j+2*k+3,j+6]:=-x[i];a[j+2*k+3,j+7]:=-1;
a[j+2*k+3,j+8]:=0;
b[j+2*k+3]:=0;
a[j+2*k+4,j+1]:=x[i];
a[j+2*k+4,j+2]:=1;
a[j+2*k+4,j+3]:=0;
a[j+2*k+4,j+4]:=0;
a[j+2*k+4,j+5]:=-x[i];
a[j+2*k+4,j+6]:=-1;
a[j+2*k+4,j+7]:=0;
a[j+2*k+4,j+8]:=0;
b[j+2*k+4]:=0;
j:=4*(i-1);end;
9:begin {simplu elastic intermediar}
a[j+2*k+1,j+1]:=E*I+ke[i]*power(x[i],3)/6;
a[j+2*k+1,j+2]:=ke[i]*power(x[i],2)/2;
a[j+2*k+1,j+3]:=ke[i]*x[i];
a[j+2*k+1,j+4]:=ke[i];
b[j+2*k+1]:=-ke[i]*q*power(x[i],4)/24/E/I-q*x[i];
a[j+2*k+2,j+5]:=E*I+ke[i]*power(x[i],3)/6;
a[j+2*k+2,j+6]:=ke[i]*power(x[i],2)/2;
a[j+2*k+2,j+7]:=ke[i]*x[i];
a[j+2*k+2,j+8]:=ke[i];
b[j+2*k+2]:=-ke[i]*q*power(x[i],4)/24/E/I-q*x[i];
a[j+2*k+3,j+1]:=power(x[i],2)/2;a[j+2*k+3,j+2]:=x[i];
a[j+2*k+3,j+3]:=1;
a[j+2*k+3,j+4]:=0;
a[j+2*k+3,j+5]:=-power(x[i],2)/2;
a[j+2*k+3,j+6]:=-x[i];
a[j+2*k+3,j+7]:=-1;
a[j+2*k+3,j+8]:=0;
b[j+2*k+3]:=0;
a[j+2*k+4,j+1]:=x[i];
- 55 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
56/162
EVALURI NUMERICE
a[j+2*k+4,j+2]:=1;a[j+2*k+4,j+3]:=0;
a[j+2*k+4,j+4]:=0;
a[j+2*k+4,j+5]:=-x[i];
a[j+2*k+4,j+6]:=-1;
a[j+2*k+4,j+7]:=0;
a[j+2*k+4,j+8]:=0;
b[j+2*k+4]:=0;
j:=4*(i-1);
end;
10:begin {forta concentrata intermediar}
a[j+2*k+1,j+1]:=power(x[i],3)/6;
a[j+2*k+1,j+2]:=power(x[i],2)/2;
a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];a[j+2*k+1,j+4]:=1;
a[j+2*k+1,j+5]:=-power(x[i],3)/6;
a[j+2*k+1,j+6]:=-power(x[i],2)/2;
a[j+2*k+1,j+7]:=-x[i];
a[j+2*k+1,j+8]:=-1;
b[j+2*k+1]:=0;
a[j+2*k+2,j+1]:=power(x[i],2)/2;
a[j+2*k+2,j+2]:=x[i];
a[j+2*k+2,j+3]:=1;
a[j+2*k+2,j+4]:=0;
a[j+2*k+2,j+5]:=-power(x[i],2)/2;
a[j+2*k+2,j+6]:=-x[i];
a[j+2*k+2,j+7]:=-1;a[j+2*k+2,j+8]:=0;
b[j+2*k+2]:=0;
a[j+2*k+3,j+1]:=x[i];
a[j+2*k+3,j+2]:=1;
a[j+2*k+3,j+3]:=0;
a[j+2*k+3,j+4]:=0;
a[j+2*k+3,j+5]:=-x[i];
a[j+2*k+3,j+6]:=-1;
a[j+2*k+3,j+7]:=0;
a[j+2*k+3,j+8]:=0;
b[j+2*k+3]:=0;
a[j+2*k+4,j+1]:=1;
a[j+2*k+4,j+2]:=0;a[j+2*k+4,j+3]:=0;
a[j+2*k+4,j+4]:=0;
a[j+2*k+4,j+5]:=-1;
a[j+2*k+4,j+6]:=0;
a[j+2*k+4,j+7]:=0;
a[j+2*k+4,j+8]:=0;
b[j+2*k+4]:=-fc[i]/E/I;
j:=4*(i-1);
end;
- 56-
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
57/162
EVALURI NUMERICE
end;end;
if N>0 then
for i:=1 to Nr do
begin
if i>1 then k:=1;
case t[i] of
0:begin {capat liber}
a[j+2*k+1,j+1]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+3]:=0;
a[j+2*k+1,j+4]:=0;
b[j+2*k+1]:=q/N;
a[j+2*k+2,j+1]:=-power(kb,3)*cos(kb*x[i]);a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+3]:=0;
a[j+2*k+2,j+4]:=0;
b[j+2*k+2]:=0;
end;
1:begin {simplu rigid}
a[j+2*k+1,j+1]:=sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+2]:=cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
a[j+2*k+1,j+4]:=1;
b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/N;
a[j+2*k+2,j+1]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*cos(kb*x[i]);a[j+2*k+2,j+3]:=0;
a[j+2*k+2,j+4]:=0;
b[j+2*k+2]:=q/N;
end;
2:begin {simplu elastic}
a[j+2*k+1,j+1]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+3]:=0;
a[j+2*k+1,j+4]:=0;
b[j+2*k+1]:=q/N;
a[j+2*k+2,j+1]:=-power(kb,3)*E*I*cos(kb*x[i])
+ke[i]*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*E*I*sin(kb*x[i])+ke[i]*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i];
a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i];
b[j+2*k+2]:=-ke[i]*q*power(x[i],2)/2/N;
end;
3:begin {incastrare rigida}
a[j+2*k+1,j+1]:=sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+2]:=cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
- 57-
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
58/162
EVALURI NUMERICE
a[j+2*k+1,j+4]:=1;b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/N;
a[j+2*k+2,j+1]:=kb*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+2]:=-kb*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+3]:=1;
a[j+2*k+2,j+4]:=0;
b[j+2*k+2]:=-q*x[i]/N;
end;
4:begin {inacstrare elastica}
a[j+2*k+1,j+1]:=sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+2]:=cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
a[j+2*k+1,j+4]:=1;
b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/N;a[j+2*k+2,j+1]:=-power(kb,3)*E*I*sin(kb*x[i])
-ce[i]*kb*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+2]:=-power(kb,3)*E*I*cos(kb*x[i])
+ce[i]*kb*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+3]:=-ce[i];
a[j+2*k+2,j+4]:=0;
b[j+2*k+2]:=q*ce[i]*x[i]/N-E*I*q/N;
end;
5:begin {rezemare generala}
a[j+2*k+1,j+1]:=-power(kb,3)*E*I*sin(kb*x[i])
-ce[i]*kb*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+2]:=-power(kb,3)*E*I*cos(kb*x[i])
+ce[i]*kb*sin(kb*x[i]);a[j+2*k+1,j+3]:=-ce[i];
a[j+2*k+1,j+4]:=0;
b[j+2*k+1]:=q*ce[i]*x[i]/N-E*I*q/N;
a[j+2*k+2,j+1]:=-power(kb,3)*E*I*cos(kb*x[i])
+ke[i]*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*E*I*sin(kb*x[i])
+ke[i]*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i];
a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i];
b[j+2*k+2]:=-ke[i]*q*x[i]*x[i]/2/N;
end;
6:begin {forta in capat liber}
a[j+2*k+1,j+1]:=power(kb,2)*sin(kb*x[i]);a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,2)*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+3]:=0;
a[j+2*k+1,j+4]:=0;
b[j+2*k+1]:=q/N;
a[j+2*k+2,j+1]:=-power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+3]:=0;
a[j+2*k+2,j+4]:=0;
b[j+2*k+2]:=-fc[i]/E/I;
- 58 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
59/162
EVALURI NUMERICE
end;7:begin {forta in resort elastic}
a[j+2*k+1,j+1]:=power(kb,2)*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,2)*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+3]:=0;
a[j+2*k+1,j+4]:=0;
b[j+2*k+1]:=q/N;
a[j+2*k+2,j+1]:=ke[i]/E/I*sin(kb*x[i])
-power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+2]:=ke[i]/E/I*cos(kb*x[i])
+power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i]/E/I;
a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i]/E/I;
b[j+2*k+2]:=fc[i]/E/I-q*ke[i]*power(x[i],2)/2/E/I/N;
end;
8:begin {simplu rigid intermediar}
a[j+2*k+1,j+1]:=sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+2]:=cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
a[j+2*k+1,j+4]:=1;
b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/N;
a[j+2*k+2,j+5]:=sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+6]:=cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+7]:=x[i];
a[j+2*k+2,j+8]:=1;
b[j+2*k+2]:=-q*power(x[i],2)/2/N;a[j+2*k+3,j+1]:=kb*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+3,j+2]:=-kb*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+3,j+3]:=1;
a[j+2*k+3,j+4]:=0;
a[j+2*k+3,j+5]:=-kb*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+3,j+6]:=kb*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+3,j+7]:=-1;
a[j+2*k+3,j+8]:=0;
b[j+2*k+3]:=0;
a[j+2*k+4,j+1]:=-power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+4,j+2]:=-power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+4,j+3]:=0;
a[j+2*k+4,j+4]:=0;a[j+2*k+4,j+5]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+4,j+6]:=power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+4,j+7]:=0;
a[j+2*k+4,j+8]:=0;
b[j+2*k+4]:=0;
j:=4*(i-1);
end;
9:begin {simplu elastic intermediar}
a[j+2*k+1,j+1]:=-E*I*power(kb,3)*cos(kb*x[i])
- 59 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
60/162
EVALURI NUMERICE
+ke[i]*sin(kb*x[i]);a[j+2*k+1,j+2]:=E*I*power(kb,3)*sin(kb*x[i])
+ke[i]*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+3]:=ke[i]*x[i];
a[j+2*k+1,j+4]:=ke[i];
b[j+2*k+1]:=-ke[i]*q*power(x[i],2)/2/N;
a[j+2*k+2,j+5]:=-E*I*power(kb,3)*cos(kb*x[i])
+ke[i]*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+6]:=E*I*power(kb,3)*sin(kb*x[i])
+ke[i]*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+7]:=ke[i]*x[i];
a[j+2*k+2,j+8]:=ke[i];
b[j+2*k+2]:=-ke[i]*q*power(x[i],2)/2/N;
a[j+2*k+3,j+1]:=kb*cos(kb*x[i]);a[j+2*k+3,j+2]:=-kb*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+3,j+3]:=1;
a[j+2*k+3,j+4]:=0;
a[j+2*k+3,j+5]:=-kb*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+3,j+6]:=kb*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+3,j+7]:=-1;
a[j+2*k+3,j+8]:=0;
b[j+2*k+3]:=0;
a[j+2*k+4,j+1]:=-power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+4,j+2]:=-power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+4,j+3]:=0;
a[j+2*k+4,j+4]:=0;
a[j+2*k+4,j+5]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);a[j+2*k+4,j+6]:=power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+4,j+7]:=0;
a[j+2*k+4,j+8]:=0;
b[j+2*k+4]:=0;
j:=4*(i-1);
end;
10:begin {forta concentrata intermediar}
a[j+2*k+1,j+1]:=sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+2]:=cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
a[j+2*k+1,j+4]:=1;
a[j+2*k+1,j+5]:=-sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+1,j+6]:=-cos(kb*x[i]);a[j+2*k+1,j+7]:=-x[i];
a[j+2*k+1,j+8]:=-1;
b[j+2*k+1]:=0;
a[j+2*k+2,j+1]:=kb*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+2]:=-kb*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+3]:=1;
a[j+2*k+2,j+4]:=0;
a[j+2*k+2,j+5]:=-kb*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+2,j+6]:=kb*sin(kb*x[i]);
- 60 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
61/162
EVALURI NUMERICE
a[j+2*k+2,j+7]:=-1;a[j+2*k+2,j+8]:=0;
b[j+2*k+2]:=0;
a[j+2*k+3,j+1]:=-power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+3,j+2]:=-power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+3,j+3]:=0;
a[j+2*k+3,j+4]:=0;
a[j+2*k+3,j+5]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+3,j+6]:=power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+3,j+7]:=0;
a[j+2*k+3,j+8]:=0;
b[j+2*k+3]:=0;
a[j+2*k+4,j+1]:=-power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+4,j+2]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);a[j+2*k+4,j+3]:=0;
a[j+2*k+4,j+4]:=0;
a[j+2*k+4,j+5]:=power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
a[j+2*k+4,j+6]:=-power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
a[j+2*k+4,j+7]:=0;
a[j+2*k+4,j+8]:=0;
b[j+2*k+4]:=-fc[i]/E/I;
j:=4*(i-1);
end;
end;
end;
end;
Evident, aceast procedur poate fi completat oricnd cu instruciuni deatribuire specifice i altor tipuri de rezeme discutate n capitolul precedent.
Valoarea determinantului asociat matricei ||a|| se poate calcula, de exemplu,folosind metoda lui Gauss, implementat n corpul funciei mai jos listate:
function gauss(n:integer):extended;
label 1,2;
var i,j,k:integer;
p,g:extended;
begin
p:=1;
for i:=1 to n-1 do
begin
if a[i,i]=0 then
begin
- 61 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
62/162
EVALURI NUMERICE
for j:=i+1 to n dobegin
if a[j,i]0 then
begin
for k:=1 to n do
begin
g:=a[i,k];
a[i,k]:=a[j,k];
a[j,k]:=g;
end;
p:=-p;
goto 1;
end;
end;g:=0;
goto 2;
end;
1:
for j:=i+1 to n do
begin
if a[j,i]0 then
for k:=1 to n do a[j,k]:=a[j,k]-a[j,i]*a[i,k]/a[i,i]
end;
end;
g:=1;
for i:=1 to n do g:=g*a[i,i];
g:=g*p;2:
gauss:=g;
end;
- 62 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
63/162
VIBRAII DE NCOVOIERE
VIBRAII DE NCOVOIERE
Dac eforturile externe ce acioneaz asupra unei bare se modific n timp,atunci i deformaiile suferite de aceasta vor depinde de o a doua variabilindependent, t, exprimnd faptul c deplasrile du, dv i dw nu rmnconstante.
n aceste condiii, pentru aceeai ipotez du = 0, ecuaia (4), de exemplu, seva rescrie sub forma ecuaieidemicare:
( )( )
( )( )
( ) ( ) 02
2
2
2
2
2
=+
t,xqt,xwkx
t,xwtN
x
t,xwxEI
x p
ce s-ar mai putea completa cu forele de frecare: extern, ( )t
t,xwcv i
intern, ( )( )
tx
t,xwxI
4
5
, ambele presupuse a fi de natur vscoas i
caracterizate prin coeficienii asociai cv, respectiv .
Sarcina distribuit q(x,t) va cuprinde, de aceast dat, att forele externe
excitatoarep(x,t) ct i fora de inerie( )
2
2
t
t,xwA
; prin s-a desemnat
densitatea barei iarA este aria seciunii sale transversale.
n cazul ideal al unei bare de rigiditate EI constant, fr frecri interne(adic = 0) i n lipsa unor fore de frecare externe (cv = 0, n vid), ecuaiade micare se simplific i devine:
( ) ( ) ( )
EI
t,xp
t
t,xw
EI
A
x
t,xw=
+
2
2
4
4
- 63 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
64/162
VIBRAII DE NCOVOIERE
iar funcia w(x,t) trebuie s satisfac, pe lng condiiile la limit cu care ne-am obinuit deja, i condiiileiniiale, precizate pentru t= 0:
( ) ( )( )
( )
=
=
=
xgt
t,xw
xf,xw
t 0
0
Moduri proprii de vibraii
Din motive ce in exclusiv de pstrarea formalismului consacrat al lucrrilorde specialitate, n cele ce urmeaz ne vom referi la deformri / deplasri /ncovoieri dv(x,t) ce au loc pe direciay.
Conform definiiilor, modurile proprii (sau naturale) de vibraii ale unei bareideale sunt caracterizate prin soluiile ecuaiei de micare n vid, obinute nlipsa forelor excitatoare, adic:
( ) ( )0
2
2
4
4
=
+
t
t,xv
EI
A
x
t,xv
Utiliznd metoda separrii variabilelor, pentru ecuaia (5) se caut o soluiede forma:
( ) ( ) ( )tTxYt,xv =
i avem:
( )( )
( )( ) 0
2
2
4
4
=
+ xYdt
t,xTd
EI
AtT
dx
t,xYd
rezultat ce presupune rezolvarea simultan a egalitilor independente:
( )( )
( )( ) 42
2
4
4 11=
=
dt
tTd
tTEI
A
dx
xYd
xY
Concret, plecnd de la ecuaia:
- 64-
(5)
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
65/162
VIBRAII DE NCOVOIERE
( )( ) 42
21 =dt
tTdtTEI
A
rescris:
( )( ) 04
2
2
=
+ xTA
EI
dt
tTd
se caut soluia general:
( ) tretT =
care conduce la:
042 =
+ treA
EIr
de unde rezult
042 =
+A
EIr
Cu ajutorul soluiilor imaginare:
A
EIir, = 221 ; 1=i
funcia T(t) devine:
( ) titi eTeTtT += 21
sau, exprimnd exponenialele exp(it) i exp(-it) prin intermediul
funciilor trigonometricesin
(t) i
cos(
t):
( ) ( )+= tsinTtT0
ceea ce nseamn c bara studiat execut oscilaii armonice cu pulsaiaproprie:
- 65 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
66/162
VIBRAII DE NCOVOIERE
AEI
= 20
n mod similar, plecnd de la ecuaia:
( )( ) 04
4
4
= xYdx
xYd
avem, consecutiv:
( ) xrexY =
( 044 = xrer
044 =r
=1r ; =2r ; = ir2 ; = ir2
astfel nctfuncia proprieY(x) capt forma:
( ) xixixx DeCeBeAexY +++=
Exprimnd, acum, exponenialele exp(it) i exp(-it) prin intermediulfunciilor trigonometricesin(t) i cos(t), respectiv exponenialele exp(t)i exp(-t) prin intermediul funciilor hiperbolice sh(t) i ch(t), seregsete expresia consacrat:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xchCxshCxcosCxsinCxY +++=4321
Funciaproprie mpreun cu pulsaiaproprie definesc ceea ce se numeteun modpropriu i fac obiectul studiilor de analizmodal.
Necunoscutele reprezentnd constantele de integrare C1, C2, C3 i C4,
respectiv parametrul modal se determin, i de aceast dat, din condiiilela limit, iarT0 i din condiiile iniiale.
De exemplu, dac bara de lungimeL este ncastrat rigid la ambele capete inu are alte reazeme intermediare, atunci din condiiile la limit se obinesistemul compatibil nedeterminat de patru ecuaii liniare:
- 66-
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
67/162
VIBRAII DE NCOVOIERE
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
=++=+++
=+=+
0
0
00
4321
4321
31
42
LshCLchCLsinCLcosC
LchCLshCLcosCLsinC
CCCC
ce va admite soluii nebanale dac i numai dac determinantul su seanuleaz, adic:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
00101
1010
=
LshLchLsinLcos
LchLshLcosLsin
Ultima egalitate reprezint ecuaiapulsaiilorproprii i, adus la formasimplificat:
( ) ( ) 1= LcosLch
are soluiile:
L,730041 = ; L,853272 = ; += Lnn2
12
(n > 2)
crora le corespundfrecveneleproprii:
A
EI
L
,,
=
2
10
73004
2
1;
A
EI
L
,,
=
2
20
85327
2
1
A
EI
L
nn,
+
=2
0 212
21
(n > 2)
Se observ c exist un numr infinit de moduri de vibraie, desemnate prinvalorile naturale ale indicelui n.
Alegnd acum valorile C1n drept variabile independente, atunci pentrucelelalte necunoscute C2n,C3n i C4n se obin soluiile:
- 67-
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
68/162
VIBRAII DE NCOVOIERE
( ) ( )( ) ( )LshLsin
LchLcosCCnn
nnnn +
= 12
nn CC 13 =
( ) ( )
( ) ( )LshLsin
LchLcosCC
nn
nnnn +
=
14
i forma fibrei deformate n modul n de vibraie va fi descris de funciaproprie:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
+
+
+=
xchLshLsin
LchLcosxsh
xcosLshLsin
LchLcosxsinCxY
n
nn
nnn
n
nn
nnnnn 1
Evident, pentru oscilaiile armonice vom avea:
( ) ( )nn,n tsinTtT += 00 ; n,n, 00 2=
i modul n de vibraie va fi caracterizat, n final, prin:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )nn,n
nn
nnn
n
nn
nnnnn
tsinxchLshLsin
LchLcosxsh
xcosLshLsin
LchLcosxsinAt,xv
+
+
+
+=
0
cu constanteleAn i n determinate din condiiile iniiale (t= 0).
n mod similar se poate demonstra c dac aceeai bar s-ar sprijini lacapete pe reazeme simplu rigide, atunci modurile sale proprii de vibraii ar ficaracterizate cu ajutorul relaiilor:
( ) ( )( )
( )( ) ( )nn,n
n
nnnn tsinxshLsh
LsinxsinAt,xv +
+= 0
- 68 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
69/162
VIBRAII DE NCOVOIERE
n,n, 00 2= ;A
EILn
n,
=
2
0 21
Comparnd cele dou exemple de ncovoiere la vibraii se poate remarcaexistena unei dependene directe, explicite, att a formei fibrei deformatect i a frecvenelor proprii de natura reazemelor (de capt).
Vibraiile unei bare reale n mediu fluid vscos
Aa cum am subliniat deja, modurile proprii caracterizeaz situaia ideal avibraiilor libere (fr for excitatoare) n vid, ale unei bare fr frecriinterne.
n vederea studierii vibraiilor libere ntr-un mediu fluid oarecare (vscos)va trebui s se in seama, pe lng fora de frecare extern, i de faptul c,oscilnd, bara va trebui s deplaseze (s disloce) o mas adiional de fluid,ma (pe unitatea de lungime).
Dac se iau n calcul i forele de frecare intern i extern amintite lanceputul acestui capitol, ecuaia de micare capt expresia:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )0
2
2
2
2
4
5
4
4
=
++
+
+
t
t,xvmA
t
t,xvc
x
t,xvN
tx
t,xvI
x
t,xvEI av
a crei rezolvare permite obinerea formulei de calcul pentru coeficientultotaldeamortizare,n:
( )a
v
mA
cIn
++
=2
4
respectiv obinerea formulei de calcul pentrupulsaiileliberenfluid:
+
=
+=
EI
N
mA
A
EI
N
mA
EI
aa202
2 11
Prezenei forelor de frecare determin executarea de ctre bara studiat aunei micri periodice amortizate, caracterizat prin raportuldeamortizare:
- 69 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
70/162
VIBRAII DE NCOVOIERE
( )
+
+=
=
EI
NmAEI
cIn
a
v
22
4
12
i, n cazul amortizrii subcritice (2 < 1), prinpseudopulsaia:
2221 1 == n ;
Cu ajutorul acestor mrimi, soluia ecuaiei de micare se va scrie:
( ) ( ) ( )+=
tsinTexYt,xvt
10
unde funcia fibrei deformate Y(x) se determin din condiiile de rezemare,iar constantele de integrare To i din condiiile iniiale (t= 0). Avem, prinurmare, o oscilaie liber amortizat.
Masa adiional
Prin mas adiional (sau mas hidrodinamic) se nelege, n general, masade fluid deplasatde bar atunci cnd aceasta din urm execut o micarevibratorie de ncovoiere.
Definiia de mai sus se poate folosi ca atare numai atunci cnd avem osingurbarimersat ntr-unvoluminfinitde fluid.
n cazul unui numr oarecare de bare (paralele) imersate ntr-un fluid (ap)cu volum limitat, masa adiional este afectat att de micarea celorlalte
bare precum i de poziia acestora fa de frontiera fluidului.
Determinri minuioase ale masei adiionale ma pentru o bar cilindric demas mc se pot face msurnd frecvenele de rezonan n aerfaer i n ap
fap, prin prelucrarea crora obine formula de calcul:
= 12
aap
aerca mm
- 70 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
71/162
VIBRAII DE NCOVOIERE
Plecnd de la aceste rezultate i innd cont de definiia dat anterior, sepoate considera c masa de fluid deplasat este proporional cu volumulcilindrului, adic :
4
2dcm fma =
unde f este densitatea fluidului, d diametrul cilindrului (barei) i cm unfactor, numit adesea i coeficientdemasadiional.
Coeficientul de mas adiional ine cont de condiiile de frontier. n cazul
unui singur cilindru de diametru d, aflat n interiorul unui tub de diametruD,n urma rezolvrii ecuaiilor Navier-Stokes pentru micareaunidimensional (cei doi cilindri se consider ca avnd lungimi infinite), seobine:
22
22
dD
dDcm
+=
Rezolvnd aceleai ecuaii de micare Navier-Stokes dar de data aceasta ncazul micrii bidimensionale a unui singur cilindru poziionat concentric ininteriorul unui tub ncrcat cu fluid, avem:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]aYaaYbJbbJaJaaJbYbbY
aJbYbbYaYbJbbJcm
10101010
110110
=
cu:
cd
a2
= ; cD
b2
=
unde Jm i Ym sunt funciile Bessel de ordinul I i II, = 2 pulsaia bareicilindrice iarc este viteza sunetului n fluidul respectiv.
Formula de calcul se complic semnificativ dac cei doi cilindrii suntexcentrici, i nc i mai mult dac se iau n considerare lungimilelorfinite.
- 71 -
8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor
72/162
VIBRAII DE NCOVOIE