Capitolul 1
Matrice. Determinant�i.
1.1 Structuri algebrice
1.1.1 Grupuri
De�nit�ia 1.1 Fie X o mult�ime nevid�a. O funct�ie f de�nit�a pe X� X �si cu valori �n X senume�ste lege de compozit�ie intern�a �n X.
Not�am, pentru 8(x; y) 2 X2, f(x; y) = x � y �si se cite�ste x compus cu y dup�a legea �:Legile de compozit�ie interne pot avea urm�atoarele propriet�at�i:
De�nit�ia 1.1 O lege de compozit�ie intern�a " � " �n X se nume�ste lege asociativ�a dac�a8(x; y; z) 2 X3 avem:
(x � y) � z = x � (y � z):
De�nit�ia 1.2 O lege de compozit�ie intern�a "�" �n X se nume�ste lege cu element neutrudac�a 9e 2 X astfel �ncat 8x 2 X avem: x � e = e � x = x: Elementul e se nume�ste elementneutru a legii "�":
Teorema 1.1 (de unicitate a elementului neutru) Fie X o mult�ime �si " � " o lege decompozit�ie intern�a �n X. Dac�a " � " admite un element neutru atunci acesta este unic.
De�nit�ia 1.3 Dac�a o lege de compozit�ie intern�a " � " �n X admite un element neutru eatunci spunem c�a unui element x 2 X �i corespunde un element numit element simetric�n raport cu legea " � " dac�a exist�a x 2 X astfel �ncat
x � x = x � x = e: (1.1)
Teorema 1.2 (de unicitate a elementului simetric) Fie X o mult�ime �si " � " o legede compozit�ie intern�a �n X asociativ�a cu elementul neutru e. Dac�a un element x 2 X areun element simetric �n raport cu legea " � ", atunci acest element simetric este unic.
1
2 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.
De�nit�ia 1.4 O lege de compozit�ie intern�a " � " �n X se nume�ste lege comutativ�a dac�a8(x; y) 2 X2 avem x � y = y � x:
De�nit�ia 1.5 Fie X o mult�ime �si "�" o lege de compozit�ie intern�a �n X. Perechea ordonat�a(X, �) se nume�ste semigrup dac�a legea " � " este asociativ�a.
De�nit�ia 1.6 Semigrupul (X, �) se nume�stemonoid dac�a legea "�" are �si element neutru.
De�nit�ia 1.7 Monoidul (X, �) se nume�ste grup dac�a legea "� " dac�a orice element din Xare simetric �n raport cu legea "�": Un grup (X, �) se nume�ste grup comutativ (abelian)dac�a legea " � " este comutativ�a.
Observat�ia 1.1 Dac�a (X, �) este un grup �si not�am legea " � " cu simbolul \ + "; atuncigrupul (X, +) se nume�ste grup aditiv, legea " + " se nume�ste adunarea elementelordin X, elementul s�au neutru se nume�ste zero �si se noteaz�a 0; iar simetricul unuielement x 2 X, se nume�ste opusul elementului x �n raport cu adunarea �n X, si senoteaz�a (�x): �n grupul aditiv (X, +) not�am x� y �n loc de x+ (�y):
Observat�ia 1.2 Dac�a (X, �) este un grup �si not�am legea "�" cu simbolul "�"; atunci grupul(X, �) se nume�ste grup multiplicativ, legea " � " se nume�ste �nmult�ire a elementelor dinX, elementul s�au neutru se nume�ste unitate �si se noteaz�a 1; iar simetricul unuielement x 2 X, se nume�ste inversul elementului x �n raport cu �nmult�irea �n X, si senoteaz�a x�1:
1.1.2 Inele �si corpuri
De�nit�ia 1.8 Dac�a " � " �si " � " sunt dou�a legi de compozit�ie interne �n X, spunem c�alegea "�" este distributiv�a la stanga (respectiv la dreapta) �n raport cu lugea "�" dac�a8(x; y; z) 2 X3 avem x � (y � z) = (x � y) � (x � z) (respectiv (x � y) � z = (x � z) � (y � z)):In cazul �n care legea " � " este distributiv�a la stanga �si la dreapta �n raport cu legea " � "spunem c�a legea " � " este dublu distributiv�a �n raport cu legea " � ":
De�nit�ia 1.9 Fie (X,+; �) o tern�a ordonat�a unde X este o mult�ime, "+ " este operat�ia deadunare �n X, iar " � " este operat�ia de �nmult�ire �n X. Terna ordonat�a (X,+; �) se nume�steinel dac�a (X,+) este grup comutativ aditiv, iar �nmult�irea este asociativ�a ((X,�)este semigrup) �si dublu distributiv�a �n raport cu adunarea.
De�nit�ia 1.10 Un inel (X,+; �) se nume�ste inel cu unitate dac�a �nmult�irea are unitate.Un inel (X,+; �) se nume�ste inel cu comutativ dac�a �nmult�irea este comutativ�a.
Exemplul 1.1 Mult�imea Z a numerelor �ntregi �nzestrat�a cu operat�iile de adunare �si�nmult�ire este un inel comutativ cu element unitate.
1.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 3
Intr-un inel (X,+; �) elementul neutru fat��a de legea + se noteaz�a cu 0X sau, cand nu suntposibile confuzii, se noteaz�a cu 0: De asemenea elementul neutru fat��a de legea multiplicativ�ase noteaz�a cu 1X sau, cand nu sunt posibile confuzii, se noteaz�a cu 1:Este u�sor de demonstrat c�a �n orice inel (X,+; �);a = 0) a � b = 0;8b 2 Xb = 0) a � b = 0;8a 2 X;
dar nu �ntotdeauna a � b = 0) a = 0 sau b = 0. De exemplu �n inelul (M2(Z);+; �) avem:�1 00 0
��0 01 2
�=
�0 00 0
�:
De�nit�ia 1.11 Dac�a �ntr-un inel exist�a a 6= 0; b 6= 0; astfel �ncat a � b = 0 se spune c�a a�si b sunt divizori ai lui zero �si c�a inelul admite divizori ai lui zero. Orice inel care nuadmite divizori ai lui zero se nume�ste inel integru. Dac�a un inel integru este comutativ�si cu element unitate, el se nume�ste domeniu de integritate.
De�nit�ia 1.12 Un inel (X,+; �) se nume�ste corp dac�a (X,+; �) este inel cu unitate �si oriceelement din X, diferit de zeroul adun�arii, are invers �n aport cu legea �.
De�nit�ia 1.13 Un corp (X,+; �) se nume�ste corp comutativ sau camp dac�a �nmult�ireaeste comutativ�a.
Observat�ia 1.3 Dac�a (X,+; �) este un corp, not�am xy�1 =x
y; x 2 X, y 2 X, y 6= 0:
Teorema 1.3 Corpurile nu au divizori ai lui zero. Orice corp comutativ este un domeniude integritate.
1.2 Matrice �si determinant�i
1.2.1 De�nit�ii �si notat�ii
De�nit�ia 1.14 Se nume�ste matrice cu m linii �si n coloane �si cu elemente din R, corpcomutativ (R sau C) funct�iaf : f1; 2; : : : ;mg � f1; 2; : : : ; ng ! R; f(i; j) = aij:Not�am matricea cu elementele (aij)i=1;m;j=1;n cu A = (aij)i=1;m;j=1;n �si cu Mm�n(R)
mult�imea acestor matrice.
Dac�a A 2Mm�n(R), vom nota matricea A sub forma
A =
0BBB@a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n...
......
...am1 am2 : : : amn
1CCCA ;
4 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.
adic�a printr-un tablou cu m linii �si n coloane care cont�ine valorile funct�iei f:In cazul m = n, se obt�ine mult�imea matricelor p�atratice de ordinul n, notat�aMn(R).Dac�a m = 1 Atunci A se nume�ste matrice (vector) linie �si se noteaz�a A = (a1; :::; an):
Dac�a n = 1 Atunci A se nume�ste matrice (vector) coloan�a �si se noteaz�a A =
0B@ a1...an
1CA :De�nit�ia 1.15 Dou�a matrice A = (aij)i=1;m;j=1;n; B = (bij)i=1;m;j=1;n 2Mm�n(R) (matricede acela�si tip); sunt egale dac�a aij = bij, pentru tot�i i = 1;m, j = 1; n.
1.2.2 Operat�ii cu matrice
Adunarea matricelor
De�nit�ia 1.16 Pentru oriceA = (aij)i=1;m;j=1;n; B = (bij)i=1;m;j=1;n (matrice de acela�si tip)de�nim suma matricei A cu matricea B astfel:
A+B = (aij + bij)i=1;m;j=1;n: (1.2)
Adunarea matricelor are propriet�at�ile:- asociativ�a, adic�a oricare ar � matricele A;B;C 2Mm�n(R) : (A+B)+C = A+(B+C);- admite element neutru care este matricea ale c�arei elemente sunt toate egale cu 0,
notat�a 0Mm�n(R) �si se nume�ste matricea nul�a. Pentru orice A 2 Mm�n(R) avem A +0Mm�n(R) = 0Mm�n(R) + A = A- orice element din Mm�n(R) are un simetric, adic�a oricare ar � A 2 Mm�n(R),A =
(aij)i=1;m;j=1;n exist�a o matrice notat�a �A = (�aij)i=1;m;j=1;n, numit�a opusa matricei A,A+ (�A) = (�A) + A = 0Mm�n(R):- comutativ�a, adic�a oricare ar � matricele A;B 2Mm�n(R) avem A+B = B + A:�
Teorema 1.4 Mult�imea (Mm�n(R);+) formeaz�a �n raport cu operat�ia de adunare un grupaditiv abelian.
Inmult�irea cu un num�ar a unei matriceFie A = (aij)i=1;m;j=1;n 2Mm�n(R) �si � 2 R.
De�nit�ia 1.17 Numim produs al matricei A cu num�arul real � matricea
�A = (�aij)i=1;m;j=1;n 2Mm�n(R):
Inmult�irea cu numere reale a unor matrice are urm�atoarele propriet�at�i:
1. (��)A = �(�A), 8�; � 2 R, 8A 2Mm�n(R); 8A;B 2Mm�n(R);
2. (�+ �)A = �A+ �A, 8�; � 2 R, 8A 2Mm�n(R);
1.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 5
3. �(A+B) = �A+ �B, 8� 2 R;
4. 1A = A, 8A 2Mm�n(R).
Inmult�irea a dou�a matriceFie A 2Mm�n(R) �si B 2Mn�p(R).
De�nit�ia 1.18 Numim produs al matricei A cu matricea B matricea
A �B =
nXj=1
aijbjk
!i=1;m;k=1;p
2Mm�p(R): (1.3)
Observat�ia 1.4 A � B = ABm� n n� p m� p:
Observ�am c�a putem �nmult�i dou�a matrice dac�a num�arul coloanelor primei matrice,este egal cu num�arul liniilor celei de a doua matrice.
Cosider�am mult�imea matricelor p�atratice (Mn(R); �) �si analiz�am propriet�at�ile �nmult�iriimatricelor p�atratice.-�nmult�irea este asociativ�a:8A;B,C 2Mn(R) ) (A �B) � C = A � (B � C):-�nmult�irea admite element neutru �si anume matricea
In =
0BB@1 0 : : : 00 1 : : : 0: : : : : : : : : : : :0 0 : : : 1
1CCA ;sau In = (�ij)i=1;n;j=1;n, unde
�ij =
�1; dac�a i = j;0; dac�a i 6= j;
sunt simbolurile lui Kronecker. Matricea In are proprietatea c�a oricare ar � A 2 Mn(R),A � In = In � A = A: In se nume�ste matricea unitate de ordinul n.S�a mai observ�am c�a dac�a A 2 Mn(R) �si B 2 Mn(R), de�si au sens produsele A � B �si
B � A, �n general, A �B 6= B � A, adic�a �nmult�irea matricelor nu este comutativ�a.Inmult�irea matricelor este distributiv�a �n raport cu adunarea lor, adic�a
8A;B;C 2 Mn(R) : A � (B + C) = A �B + A � C;8A;B;C 2 Mn(R) : (B + C) � A = B � A+ C � A:
6 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.
Exemplul 1.2 Exemplu de �nmult�ire a dou�a matrice
A =
�1 0 �22 3 �1
�; B =
0@ 1 12 00 �1
1A ;AB =
�1 0 �22 3 �1
�0@ 1 12 00 �1
1A =
�1 38 3
�;
Exemplu de �nmult�ire a unei matrice cu un vector coloan�a
C =
0@ 123
1A ; AC = � 1 0 �22 3 �1
�0@ 123
1A =
��55
�;
Exemplu de �nmult�ire a unui vector linie cu un vector coloan�a
D =�1 �3 4
�; DC =
�1 �3 4
�0@ 123
1A = 7:
Observat�ia 1.5 Este posibil s�a �nmult�im dou�a matrice nenule iar rezultatul s�a �e matriceanul�a:
A =
�0 10 2
�; B =
�3 70 0
�;
AB =
�0 10 2
��3 70 0
�=
�0 00 0
�:
Observat�ia 1.6 Fie matricele A =
�0 10 2
�;
B =
�1 13 4
�; C =
�2 53 4
�:
AB =
�0 10 2
��1 13 4
�=
�3 46 8
�;
AC =
�0 10 2
��2 53 4
�=
�3 46 8
�;
AB = AC =
�3 46 8
�:
De�si A 6= 02 obsev�am c�a nu avem o regul�a similar�a simpli�c�arii numerelor reale.
1.2.3 Tipuri speciale de matrice
De�nit�ia 1.19 Numim transpus�a a matricei A 2Mm�n(R) matricea notat�aAT = (aji)j=1;n;i=1;m 2Mn�m(R), care are drept linii, respectiv coloane, coloanele, respectivliniile matricei A.
Exemplul 1.3 A =
�1 0 �22 3 �1
�, AT =
0@ 1 20 3�2 �1
1A :
1.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 7
Operat�ia de transpunere a unei matrice are urm�atoarele propriet�at�i:
1. (A+B)T = AT +BT ; 8A;B 2Mm�n(R);
2. (AB)T = BTAT ; 8A 2Mm�n(R);8B 2Mn�p(R);
3. (�A)T = �AT ; 8� 2 R; 8A 2Mm�n(R).
Fie A = (aij)i=1;n;j=1;n 2Mn(R).
De�nit�ia 1.20 Spunem c�a matricea p�atratic�a A este simetric�a dac�a AT = A �si antisi-
metric�a dac�a AT = �A.
Not�am cuMsn(R) mult�imea matricelor p�atratice simetrice �si cuMa
n(R) mult�imea ma-tricelor p�atratice antisimetrice.
De�nit�ia 1.21 Orice matrice p�atratic�a de tipul0BBB@�1 0 : : : 00 �2 : : : 0...
... : : :...
0 0 : : : �n
1CCCAse nume�ste matrice diagonal�a.
De�nit�ia 1.22 Spunem c�a matricea p�atratic�a L este inferior triunghiular�a dac�a estede forma
L =
0BBBB@l11 0 0 � � � 0l21 l22 0 � � � 0l31 l32 l33 � � � 0� � � � � � � � � � � � � � �ln1 ln2 ln3 � � � lnn
1CCCCA :
De�nit�ia 1.23 Spunem c�a matricea p�atratic�a U este superior triunghiular�a dac�a estede forma
U =
0BBBB@u11 u12 u13 � � � u1n0 u22 u23 � � � u2n0 0 u33 � � � u3n� � � � � � � � � � � � � � �0 0 0 � � � unn
1CCCCA :
8 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.
1.2.4 Transform�ari elementare
Orice matrice A 2Mm�n(R) se poate scrie �n una din formele:
A =
0B@ L1...Lm
1CA ; cu ajutorul liniilor Li = � ai1 : : : ain�; i = 1;m sau
A =�C1 : : : Cn
�; cu ajutorul coloanelor, unde Cj =
0B@ a1j...amj
1CA ; j = 1; n:De�nit�ia 1.24 Numim transform�ari elementare asupra liniilor matricei A:
(1) T1 transformarea prin care se �nmult�e�ste o linie cu un scalar nenul;
A =
1CCCCCA T1�!
0BBBBB@L1...�Li...Lm
1CCCCCA ; � 6= 0:
(2) T2 transformarea prin care se schimb�a dou�a linii �ntre ele;
A =
0BBBBBBBBBB@
L1...Li...Lj...Lm
1CCCCCCCCCCAT2�!
0BBBBBBBBBB@
L1...Lj...Li...Lm
1CCCCCCCCCCA:
(3) T3 transformarea prin care se adun�a la elementele unei linii elementele corespunz�atoarealtei linii �nmult�ite cu un scalar.
A =
0BBBBBBBBBB@
L1...Li...Lj...Lm
1CCCCCCCCCCAT3�!
0BBBBBBBBBB@
L1...Li + �Lj...Lj...Lm
1CCCCCCCCCCA:
1.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 9
De�nit�ia 1.25 Dou�a matrice de acela�si tip se numesc echivalente pe linii dac�a una seobt�ine din cealalt�a printr-un num�ar �nit de transform�ari elementare ale liniilor.
Observat�ia 1.7 Transform�arile elementare asupra liniilor se realizeaz�a �nmult�ind la stangamatricea A cu una din matricele:
T1. Transformarea prin care se �nmult�e�ste o linie a unei matrice cu un scalar � diferitde zero se realizeaz�a �nmult�ind la stanga matricea A cu matricea
Mi(�) =
2666641 0 : : 0 : 0: : : : : : :0 0 : : � : 0: : : : : : :0 0 : : 0 : 1
377775$ i
"i
T2. Transformarea prin care se schimb�a �ntre ele dou�a linii se realizeaz�a �nmult�ind lastanga matricea A cu matricea
Mij =
2666666664
1 : 0 : 0 : 0: : : : : : :0 : 0 : 1 : 0: : : : : : :0 : 1 : 0 : 0: : : : : : :0 : 0 : 0 : 1
3777777775 i
j
" "i j
T3. Transformarea prin care se adun�a la o linie o alt�a linie (coloan�a) �nmult�it�a cu unscalar � 6= 0 se realizeaz�a �nmult�ind la stanga matricea A cu matricea
Mij(�) =
2666666664
1 : 0 : 0 : 0: : : : : : :0 : 1 : � : 0: : : : : : :0 : 0 : 1 : 0: : : : : : :0 : 0 : 0 : 1
3777777775 i
j
" "i j
Observat�ia 1.8 Matricele introduse mai sus Mi(�);Mij;Mij(�) poart�a denumirea de ma-trice elementare. Aplicand transform�arile elementare se obt�in sisteme echivalente (sis-teme care au acelea�si solut�ii).
Exemplul 1.4 Relu�am sistemul �si �l rezolv�am aplicand transform�arile elementare.
10 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.8<:2x+ y + z = 54x� 6y = �2
�2x+ 7y + 2z = 9:
Matricea
A =
0@ 2 1 14 �6 0�2 7 2
1Ase nume�ste matricea coe�cient�ilor sistemului. Matricea b =
0@ 5�29
1A este vectorul coloan�a
al termenilor liberi.
Matricea (A j b) =
0@ 2 1 14 �6 0�2 7 2
������5�29
1A este matricea extins�a a sistemului.
Asupra acestei matrice vom aplica transform�arile elementare care ne vor conduce laforma sistemului obt�inut�a prin eliminarea lui Gauss.etapa I1. �nmult�im cu -2 linia �ntai �si o adun�am la linia a doua0@ 2 1 1
4 �6 0�2 7 2
������5�29
1A �0@ 2 1 1
0 �8 �2�2 7 2
������5�129
1AAcest lucru se realizeaz�a �nmult�ind la st�nga matricea extins�a cu matricea
M21 (�2) (A j b) =
0@ 1 0 0�2 1 00 0 1
1A0@ 2 1 14 �6 0�2 7 2
������5�29
1A =
0@ 2 1 10 �8 �2�2 7 2
������5�129
1A2. adun�am linia �ntai la linia a treia0@ 2 1 1
0 �8 �2�2 7 2
������5�129
1A �0@ 2 1 10 �8 �20 8 3
������5�1215
1AAcest lucru se realizeaz�a �nmult�ind la st�nga matricea extins�a cu matricea
M31 (1)M21 (�2) (A j b) =
0@ 1 0 00 1 01 0 1
1A0@ 2 1 10 �8 �2�2 7 2
������5�129
1A =
0@ 2 1 10 �8 �20 8 3
������5�1215
1A3. Adun�am linia a doua la linia a treia
M32 (1)M31 (1)M12 (�2) (A j b) =
0@ 1 0 00 1 00 1 1
1A0@ 2 1 10 �8 �20 8 3
������5�1215
1A =
1.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 110@ 2 1 10 �8 �20 0 1
������5�122
1A :S-a obt�inut un sistem echivalent de forma8<:
2x+ y + z = 5�8y � 2z = �12
z = 2:
Obt�inem solut�ia ca �n exemplul init�ial prin substitut�ie invers�a.
Matricea noului sistem este U =
0@ 2 1 10 �8 �20 0 1
1A care este o matrice triunghiular�a
superior, U = L1A:
Produsul L1 =M32 (1)M31 (1)M12 (�2) =0@ 1 0 00 1 00 1 1
1A0@ 1 0 00 1 01 0 1
1A0@ 1 0 0�2 1 00 0 1
1A =
0@ 1 0 0�2 1 0�1 1 1
1A este o matrice triunghiu-
lar�a inferior cu 1 pe diagonala principal�a.
L1A =
0@ 1 0 0�2 1 0�1 1 1
1A0@ 2 1 14 �6 0�2 7 2
1A =
0@ 2 1 10 �8 �20 0 1
1A = U;
L1b =
0@ 1 0 0�2 1 0�1 1 1
1A0@ 5�29
1A =
0@ 5�122
1ASistemul liniar se reduce la rezolvarea sistemelor triunghiulare: L1Ax = L1b; Ux = L1b:
1.2.5 Determinantul unei matrice
Fie A = (aij)i=1;n;j=1;n 2Mn(R) o matrice p�atratic�a.
De�nit�ia 1.26 1. Fie M = f1; 2; :::; ng : Orice biject�ie � : M ! M se nume�ste per-mutare. Mult�imea tuturor permut�arilor lui M formeaz�a un grup notat prin Sn:
2. Spunem c�a permutarea � are o inversiune dac�a exist�a i < j pentru care avem�(i) > �(j):
3. O permutare se nume�ste par�a (respectiv impar�a) dac�a are un num�ar par (respectivimpar) de inversiuni.
4. Aplicat�ia " : Sn ! f�1; 1g ; "(�) =�1 dac�a � este par�a,�1 dac�a � este impar�a
se nume�ste sig-
natur�a, iar "(�) este signatura permut�arii �.
12 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.
Exemplul 1.5 Dac�a M = f1; 2; 3; 4; 5g atunci � :�1 2 3 4 5 62 3 1 6 5 4
�este o permutare
din S5:Un exemplu de inversiune este � (2) = 3 > � (3) = 1:Inversiunile sunt: � (1) = 2 > � (3) = 1; � (2) = 3 > � (3) = 1; � (4) = 6 > � (5) = 5;
� (4) = 6 > � (6) = 4; � (5) = 5 > � (6) = 4: Num�arul de inversiuni este 5. Permutareaeste impar�a, deci "(�) = �1:
De�nit�ia 1.27 Numim determinant al matricei A 2 Mn(R) elementul det(A) 2 R datde
det(A) =X�2Sn
"(�)a1�(1)a2�(2) : : : an�(n);
unde Sn este mult�imea permut�arilor mult�imii f1; 2; : : : ; ng; iar "(�) este signatura per-mut�arii �.
Determinantul matricei A se noteaz�a
detA =
���������a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n...
......
...an1 an2 : : : ann
��������� :Propriet�at�ile determinant�ilor
1. Determinantul transpusei unei matrice este egal cu determinantul acelei matrice:det(AT ) = det(A).
Rezult�a c�a orice proprietate referitoare la liniile unui determinant este adev�arat�a �sipentru coloane.
2. Dac�a elementele unei linii se �nmult�esc cu un scalar �, atunci determinantul se �nmul-t�e�ste cu �.
3. Dac�a �ntr-un determinant se schimb�a �ntre ele dou�a linii, atunci se schimb�a semnuldeterminantului.
Consecint�e:
(i) Un determinant este nul dac�a:
- toate elementele unei linii sunt nule, sau
- are dou�a linii proport�ionale (deci �si dac�a are dou�a linii egale), sau
- una dintre linii este o combinat�ie liniar�a de dou�a linii.
(ii) Valoarea unui determinant nu se schimb�a dac�a la elementele unei linii ad�aug�amcombinat�ii liniare formate cu elementele altor dou�a sau mai multe linii.
1.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 13
Calculul determinant�ilor
In cazul determinant�ilor de ordin doi calculul se face conform relat�iei:���� a11 a12a21 a22
���� = a11a22 � a12a21:In cazul determinant�ilor de ordin trei calculul se face conform relat�iei:������a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
������ = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 � a13a22a31 � a12a21a33 � a11a32a23:Exercit�iul 1.1 Folosind de�nitia s�a se calculeze determinantul������
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
������ :In acest caz sunt 3! permut�ari ale multimii (1; 2; 3) ; �
�i "(�i) a1�i(1)a2�i(2)a3�i(3)
�1 =
�1 2 31 2 3
�1 a11a22a33
�2 =
�1 2 32 3 1
�1 a12a23a31
�3 =
�1 2 33 1 2
�1 a13a21a32
�4 =
�1 2 33 2 1
��1 a13a22a31
�5 =
�1 2 32 1 3
��1 a12a21a33
�6 =
�1 2 31 3 2
��1 a11a23a32
Se reg�aseste formula de calcul������a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
������ = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 � a13a22a31 � a12a21a33 � a11a32a23:Pentru determinant�i de ordin mai mare sau egal cu patru aceste reguli nu sunt valabile
�si se aplic�a pentru calculul lor regula lui Laplace.
Fie A = (aij)i=1;n;j=1;n 2Mn(R) o matrice p�atratic�a �si p � n, un num�ar natural.
De�nit�ia 1.28 Numim minor de ordinul p al matricei A determinantul matricei deordinul p format cu elementele situate la intersect�ia a p linii �si p coloane ale matricei A.
Dac�a i1 < i2 < : : : < ip �si j1 < j2 < : : : < jp sunt p linii �si respectiv p coloane ale
14 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.
matricei A, atunci minorul corespunz�ator este
M =
��������ai1j1 ai1j2 : : : ai1jpai2j1 ai2j2 : : : ai2jp: : : : : : : : : : : :aipj1 aipj2 : : : aipjp
�������� :De�nit�ia 1.29 Numim minor complementar al minorului M de ordin p al matricei Adeterminantul Mc de ordinul n � p al matricei extrase din A prin prin suprimarea celor plinii �si p coloane corespunz�atoare lui M:
Minorii de ordinul 1 ai matricii A sunt elementele sale, aij. Minorii complementari aiacestora sunt determinant�i de ordinul n� 1.
De�nit�ia 1.30 Numim complement algebric al minorului M al matricei A elementuldin R de�nit de C = (�1)sMc; unde s = (i1 + i2 + : : : + ip) + ( j1 + j2 + : : : + jp), adic�asuma indicilor liniilor �si coloanelor matricei A utilizate �n M .
Determinantul matricei p�atratice de ordinul n� 1 care se obt�ine din A prin suprimarealiniei i �si coloanei j se nume�ste minorul complementar al elementului aij �si se noteaz�acu Mij. Num�arul Cij = (�1)i+jMij se nume�ste complementul algebric al elementuluiaij.
Teorema 1.5 (Teorema lui Laplace) Determinantul matricei A este egal cu suma pro-duselor minorilor de ordinul p ce se pot construi cu elementele a p linii (coloane) �xate alematricei A �si complement�ii lor algebrici.
In particular, pentru p = 1, rezult�a c�a oricare ar � i 2 f1; 2; : : : ; ng �xat, are locegalitatea
det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + � � �+ ainCin; (1.4)
numit�a regula de dezvoltare a determinantului matricei A dup�a linia i. In modasem�an�ator, pentru orice j 2 f1; 2; : : : ; ng �xat, are loc egalitatea
det(A) = a1jC1j + a2jC2j + � � �+ anjCnj; (1.5)
numit�a regula de dezvoltare a determinantului matricei A dup�a coloana j.
Exemplul 1.6 S�a se calculeze valoarea determinantului
D=
��������1 1 2 31 1 3 42 5 1 �1�1 �2 2 4
�������� :folosind regula lui Laplace si dezvoltandu-l dup�a primele dou�a linii.
1.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 15
D =
���� 1 11 1
���� � (�1)1+2+1+2 ���� 1 �12 4
����+ ���� 1 21 3
���� � (�1)1+3+1+2 ���� 5 �1�2 4
����+
���� 1 31 4
���� � (�1)1+1+2+4 ���� 5 1�2 2
����+ ���� 1 21 3
���� � (�1)1+2+2+3 ���� 2 �1�1 4
����+
���� 1 31 4
���� � (�1)2+1+2+4 ���� 2 1�1 2
����+ ���� 2 33 4
���� � (�1)1+2+3+4 ���� 2 5�1 �2
���� = �5Determinantul produsului a dou�a matrice
Teorema 1.6 Determinantul produsului a dou�a matrice A �si B p�atratice de acelasi ordineste egal cu produsul determinant�ilor celor dou�a matrice, adic�a det(AB) = det(A) det(B).
Observat�ia 1.9 Determinantul unei matrice triunghiulare inferior respectiv superior esteegal cu produsul elementelor de pe diagonala principal�a.
De�nit�ia 1.31 Spunem c�a matricea p�atratic�a A este ortogonal�a dac�a AT �A = A �AT =In:
Observat�ia 1.10 det�AT � A
�= det(A) det(AT ) = (det(A))2 = 1) det(A) = �1: Recip-
roca nu este adev�arat�a. De exemplu
det
0@ 1 1 10 1 10 0 1
1A = 1 dar0@ 1 1 10 1 10 0 1
1A0@ 1 0 01 1 01 1 1
1A =
0@ 3 2 12 2 11 1 1
1A :Determinantul matricelor transform�arilor elementare �si efectul lor asupra val-orii determinantului matricei A
Fie B matricea obt�inut�a din matricea A 2Mn(R) asupra c�areia s-a aplicat o transformareelementar�a.1. T1 transformarea prin care se �nmult�e�ste o linie cu un scalar nenul �si se obt�ine
�nmult�ind la stanga matricea A cu Mi(�):B =Mi(�)A;Observ�am c�a det (Mi(�)) = �; det(B) = � det(A):2. T2 transformarea prin care se schimb�a dou�a linii �ntre ele i �si j �si se obt�ine �nmult�ind
la stanga matricea A cu Mij:B =MijA;Observ�am c�a det (Mij) = �1; det(B) = � det(A):3. T3 transformarea prin care se adun�a la elementele unei linii i elementele core-
spunz�atoare altei linii j �nmult�ite cu un scalar � �si se obt�ine �nmult�ind la stanga matriceaA cu Mij (�) :B =Mij (�)A;Observ�am c�a det (Mij(�)) = 1; det(B) = det(A):
16 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.
Matrice inversabil�a
De�nit�ia 1.32 O matrice p�atratic�a A al c�arei determinant este diferit de zero se nume�stenesingular�a, iar dac�a det(A) = 0 matricea se nume�ste singular�a.
De�nit�ia 1.33 Spunem c�a matricea A 2 Mn(R) este inversabil�a dac�a exist�a o matricenotat�a A�1 2Mn(R) astfel �ncat
A � A�1 = A�1 � A = In: (1.6)
Observat�ia 1.11 Matricea A 2 Mn(R) este inversabil�a dac�a �si numai dac�a este nesin-gular�a, adic�a det(A) 6= 0.
De�nit�ia 1.34 Matricea A�1 se nume�ste inversa matricei A.
Pentru calculul inversei matricei A se obt�ine mai �ntai matricea A� numit�a adjunctasau reciproca matricei A, �nlocuind �ecare element al matricei AT prin complementul s�aualgebric. Adic�a, A� =
�a�ij�i=1;n;j=1;n
, cu a�ij = Cji. Atunci
A�1 =1
det(A)A�:
Operat�ia de inversare a matricelor are urm�atoarele propriet�at�i
(AT )�1 = (A�1)T ; (A�1)�1 = A;
(�A)�1 =1
�A�1; � 6= 0; (AB)�1 = B�1A�1:
Rangul unei matrice
De�nit�ia 1.35 Matricea A 2 Mm�n(R) are rangul r � min fm;ng dac�a exist�a �n A celput�in un minor de ordinul r diferit de zero �si tot�i minorii de ordin mai mare decat r, dac�aexist�a, sunt egali cu zero. Not�am rangul matricei A cu rang(A):
rang(0n) = 0;rang(In) = n:De�nit�ie echivalent�a: rang(A) = num�arul coloanelor distincte ale matricei unitate de
ordin m care au putut � formate aplicand transform�ari elementare asupra liniilor.
Teorema 1.7 Inegalitatea lui Sylvester. Dac�a A;B 2Mn(R) atuncirang(AB) � rang(A) + rang(B)� n:
Propozit�ia 1.1 Fie A 2Mm�n(R) si B 2Mn�p(R) atunci
rang(AB) � min frang(A); rang(B)g :
Consecint�a 1.1 Fie A 2 Mm�n(R) si B 2 Mn(R); rang(B) = n: Atunci rang(AB) =rang(A); adic�a prin �nmultirea unei matrice cu o matrice nesingular�a rangul matricei produseste acela�si cu al matricei init�iale.
1.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 17
1.2.6 Calculul rangului unei matrice
Rangul unei matrice se poate determina aplicand transform�ari elementare. Prin trans-form�ari elementare reducem matricea A la o matrice e�salon care are urm�atoarele pro-priet�at�i:1. pivot�ii sunt primele elemente diferite de zero de pe �ecare linie,2. sub �ecare pivot este o coloan�a de zerouri obt�inut�a prin eliminare,3. �ecare pivot se g�ase�ste la dreapta pivotului situat pe o linie mai sus.
ex:
0@ 1 3 3 20 0 3 10 0 0 0
1A numerele 1 �si 3 sunt pivot�i.
In general se obt�ine o matrice de forma0BBBB@� � � � � � � �0 � � � � � � �0 0 0 � � � � �0 0 0 0 0 0 0 �0 0 0 0 0 0 0 0
1CCCCA :Elementele notate � sunt pivot�i, elemente diferite de zero, iar elementele notate � sunt, �n
general, elemente diferite de zero. Putem continua �si aduce matricea la o form�a simpli�cat�a,�mp�art�ind �ecare linie prin pivotul ei a�sa �ncat s�a avem pe pozit�ia pivotului 1.0BBBB@
1 � � � � � � �0 1 � � � � � �0 0 0 1 � � � �0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0
1CCCCAPutem folosi pivot�ii ca s�a obt�inem zero �si deasupra lor, adic�a s�a obt�inem coloane ale
matricei unitate de ordin mai mic sau egal cu num�arul liniilor matricei,0BBBB@1 0 � 0 � � � 00 1 � 0 � � � 00 0 0 1 � � � 00 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0
1CCCCA :Am obt�inut patru coloane ale matricei unitate. Num�arul de coloane distincte ale matri-
cei unitate (care coincide cu num�arul pivot�ilor, care coincide �si cu num�arul liniilor nenuledin matricea e�salon) reprezint�a rangul matricei.
Exercit�iul 1.2 S�a se determine matricea e�salon �si rangul matricei
A =
0@ 1 2 0 10 1 1 01 2 0 1
1A :
Matricea e�salon:
0@ 1 2 0 10 1 1 01 2 0 1
1A L3�L1!L3�
0@ 1 2 0 10 1 1 00 0 0 0
1A :
18 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.
Rangul:
0@ 1 2 0 10 1 1 00 0 0 0
1A L1�2L2!L1�
0@ 1 0 �2 10 1 1 00 0 0 0
1A ; rang(A) = 2:Exercit�iul 1.3 S�a se determine matricea e�salon �si rangul matricei
A =
0@ 1 3 3 22 6 9 7�1 �3 3 4
1A :Matricea e�salon:0@ 1 3 3 2
2 6 9 7�1 �3 3 4
1A L2 � 2L1 ! L2L3 + L1 ! L3�
0@ 1 3 3 20 0 3 30 0 0 2
1A :Rangul:0@ 1 3 3 20 0 3 30 0 0 2
1A13L2 ! L212L3 ! L3�
0@ 1 3 3 20 0 1 10 0 0 1
1A L1 � 3L2 ! L1�
0@ 1 3 0 �10 0 1 10 0 0 1
1A L1 + L3 ! L1L2 � L3 ! L2�
0@ 1 3 0 00 0 1 00 0 0 1
1A ; rang(A) = 3:Aplicarea transform�arilor elementare pentru calculul inversei unei matrice
Teorema 1.8 Dac�a matricea B se obt�ine prin aplicarea a k transform�ari elementare lini-ilor lui A; atunci exist�a k matrici elementare E1; E2; :::; Ek astfel �ncat s�a avem
B = E1E2:::EkA: (1.7)
Observat�ia 1.12 Dac�a matricea A este inversabil�a �si consider�am �n (1.7) B = In atunciA�1 = E1E2:::Ek:
Ca o aplicat�ie a acestei observat�ii prezent�am de a calcula inversa unei matrice.
Exemplul 1.7 S�a se calculeze inversa matricei A =
0@ 1 1 11 2 21 2 3
1A :Deoarece det(A) = 1; matricea este inversabil�a.Scriem matricea A �si al�aturi matricea unitate �si aplic�am transform�arile elementare pan�a
ce obt�inem �n locul matricei A matricea unitate iar �n locul matricei unitate vom obt�ineinversa matricei A:
1.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 190@ 1 1 11 2 21 2 3
������1 0 00 1 00 0 1
1A L2 � L1 ! L2L3 � L1 ! L3�����������!
0@ 1 1 10 1 10 1 2
������1 0 0�1 1 0�1 0 1
1A L1 � L2 ! L1L3 � L2 ! L3�����������!0@ 1 0 0
0 1 10 0 1
������2 �1 0�1 1 00 �1 1
1AL2 � L3 ! L2���������!
0@ 1 0 00 1 00 0 1
������2 �1 0�1 2 �10 �1 1
1A :Rezult�a c�a A�1 =
0@ 2 �1 0�1 2 �10 �1 1
1A :Veri�care:0@ 2 �1 0�1 2 �10 �1 1
1A0@ 1 1 11 2 21 2 3
1A =
0@ 1 0 00 1 00 0 1
1A,0@ 1 1 11 2 21 2 3
1A0@ 2 �1 0�1 2 �10 �1 1
1A =
0@ 1 0 00 1 00 0 1
1A :
Exercit�iul 1.4 S�a se calculeze inversa matricei A =
0@ 2 1 3�2 3 45 1 1
1A :Deoarece det(A) = �31; matricea este inversabil�a.Scriem matricea A �si al�aturi matricea unitate �si aplic�am transform�arile elementare pan�a
ce obt�inem �n locul matricei A matricea unitate iar �n locul matricei unitate vom obt�ineinversa matricei A:0@ 2 1 3
�2 3 45 1 1
������1 0 00 1 00 0 1
1A 12L1 ! L1������!
0@ 1 12
32
�2 3 45 1 1
������120 0
0 1 00 0 1
1A 2L1 + L2 ! L2�5L1 + L3 ! L3�������������!0@ 1 1
232
0 4 70 �3
2�13
2
������12
0 01 1 0�520 1
1A 14L2 ! L2������!
0@ 1 12
32
0 1 74
0 �32�13
2
������12
0 014
140
�520 1
1A�12L2 + L1 ! L1
32L2 + L3 ! L3�������������!
0@ 1 0 58
0 1 74
0 0 �318
������38
�180
14
14
0�17
838
1
1A�318L3 ! L3��������!0@ 1 0 5
8
0 1 74
0 0 1
������38�18
014
14
01731� 331� 831
1A �58L3 + L1 ! L1
�74L3 + L2 ! L2�������������!
0@ 1 0 00 1 00 0 1
������131
� 231
58
�2231
1331
1431
1731
� 331� 831
1A :Rezult�a c�a
A�1 =
0@ 131
� 231
531
�2231
1331
1431
1731
� 331� 831
1A :Veri�care:
20 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.0@ 131
� 231
531
�2231
1331
1431
1731
� 331� 831
1A0@ 2 1 3�2 3 45 1 1
1A =
0@ 1 0 00 1 00 0 1
1A ;0@ 2 1 3�2 3 45 1 1
1A0@ 131
� 231
531
�2231
1331
1431
1731
� 331� 831
1A =
0@ 1 0 00 1 00 0 1
1A.Factorizarea LU
Factorizarea LU a unei matrice const�a �n aducerea matricei A 2 Mn(R) nesingular�a laformaA = LU;
L matrice triunghiular�a inferior cu 1 pe diagonala principal�a, iar U matrice triunghiular�asuperior,
A =
0BBB@a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n...
......
...an1 an2 : : : ann
1CCCA =
0BBB@1 0 : : : 0l21 1 : : : 0...
......
...ln1 ln2 : : : 1
1CCCA0BBB@u11 u12 : : : u1n0 u22 : : : u2n...
......
...0 0 : : : umn
1CCCA :A =
�2 38 5
�=
�1 04 1
��2 30 �7
�= LU:
Transform�arile elementare pot � folosite �si pentru a realiza factorizarea LU iar algoritmulse nume�ste eliminarea lui Gauss. El const�a �n a transforma matricea A �ntr-o matricetriunghiular�a superior. Elementele de pe digonala principal�a nu vor mai � f�acute egale cu1.
Exemplul 1.8 S�a se transforme matricea A �ntr-o matrice triunghiular�a superior folosindtransform�arile elementare. S�a se obt�in�a factorizarea LU.
A =
0@ 2 1 3�2 3 45 1 1
1A :Adun�am linia �ntaia la linia a doua0@ 1 0 01 1 00 0 1
1A0@ 2 1 3�2 3 45 1 1
1A =
0@ 2 1 30 4 75 1 1
1AAdun�am linia �ntaia �nmult�it�a cu �5
2la linia a treia0@ 1 0 0
0 1 0�520 1
1A0@ 2 1 30 4 75 1 1
1A =
0@ 2 1 30 4 70 �3
2�13
2
1AAdun�am linia a doua �nmult�it�a cu 3
8la linia a treia0@ 1 0 0
0 1 00 3
81
1A0@ 2 1 30 4 70 �3
2�13
2
1A =
0@ 2 1 30 4 70 0 �31
8
1A :
1.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 21
T� inand seama de relat�iile de mai sus avem0@ 1 0 00 1 00 3
81
1A0@ 1 0 00 1 0�520 1
1A0@ 1 0 01 1 00 0 1
1A0@ 2 1 3�2 3 45 1 1
1A =
0@ 2 1 30 4 70 0 �31
8
1A :Not�am C1 =
0@ 1 0 00 1 00 3
81
1A ; C2 =0@ 1 0 0
0 1 0�520 1
1A ; C3 =0@ 1 0 01 1 00 0 1
1A : Obt�inem:C1 (C2 (C3A)) = B , (C1C2C3)A = B:Observ�am c�a trecerea de la matricea A la B se face cu ajutorul produsului
C1C2C3 =
0@ 1 0 00 1 00 3
81
1A0@ 1 0 00 1 0�520 1
1A0@ 1 0 01 1 00 0 1
1A =
0@ 1 0 01 1 0�17
8381
1Acare este o matrice triunghiular�a inferior cu determinantul egal cu 1, L1 = C1C2C3:Obt�inemL1A = U ) A = L�11 U:Inversa unei matrice triungiulare inferior este o matrice triunghiular�a inferior,
L�11 =
0@ 1 0 01 1 0�17
8381
1A�1
=
0@ 1 0 0�1 1 052�381
1A = L:
Astfel A = LU este produsul dintre o matrice triughiular�a inferior �si o matrice tri-unghiular�a superior. In mod natural aceast�a descompunere se nume�ste factorizare LU(lower-upper). Aceast�a descompunere este unic�a.
Exercit�iul 1.5 S�a se realizeze factorizarea LU a matricei
A =
0@ 3 5 20 8 26 2 8
1A :Exercit�iul 1.6 S�a se factorizeze LU matricea sistemului urm�ator �si s�a se rezolve sistemultransformandu-l �n dou�a sisteme triunghiulare:8<:
2x+ y + 2z = 0�2x+ y + z = 6x+ 2y � 2z = 36
.
Adun�am linia �ntaia la linia a doua0@ 1 0 01 1 00 0 1
1A0@ 2 1 2�2 1 11 2 �2
1A =
0@ 2 1 20 2 31 2 �2
1AAdun�am linia �ntaia �nmult�it�a cu �1
2la linia a treia0@ 1 0 0
0 1 0�120 1
1A0@ 2 1 20 2 31 2 �2
1A =
0@ 2 1 20 2 30 3
2�3
1AAdun�am linia a doua �nmult�it�a cu �3
4la linia a treia
22 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.0@ 1 0 00 1 00 �3
41
1A0@ 2 1 20 2 30 3
2�3
1A =
0@ 2 1 20 2 30 0 �21
4
1A = U;
L1 =
0@ 1 0 00 1 00 �3
41
1A0@ 1 0 00 1 0�120 1
1A0@ 1 0 01 1 00 0 1
1A =
0@ 1 0 01 1 0�54�341
1AL = L�11 =
0@ 1 0 0�1 1 012
341
1A ;0@ 1 0 0�1 1 012
341
1A0@ 2 1 20 2 30 0 �21
4
1A =
0@ 2 1 2�2 1 11 2 �2
1A :Rezolvarea sistemului:0@ 2 1 2�2 1 11 2 �2
1A0@ xyz
1A =
0@ 0636
1A,0@ 1 0 0�1 1 012
341
1A0@ 2 1 20 2 30 0 �21
4
1A0@ xyz
1A =
0@ 0636
1A :Rezolv�am dou�a sisteme triunghiulare:0@ 1 0 0�1 1 012
341
1A0@ uvw
1A =
0@ 0636
1A ;0@ 2 1 20 2 30 0 �21
4
1A0@ xyz
1A =
0@ uvw
1A :0@ 1 0 0�1 1 012
341
1A0@ uvw
1A =
0@ 0636
1A)0@ u
v � u12u+ 3
4v + w
1A =
0@ 0636
1A)u = 0; v = 6; w = 63
2;0@ 2 1 2
0 2 30 0 �21
4
1A0@ xyz
1A =
0@ 06632
1A)0@ 2x+ y + 2z
2y + 3z�21
4z
1A =
0@ 06632
1A)z = �6; y = 12; x = 0:
1.3 Sisteme de ecuat�ii algebrice liniare
1.3.1 Sisteme de m ecuat�ii cu n necunoscute
De�nit�ia 1.36 Prin sistem algebric liniar de m ecuat�ii cu n necunoscute �nt�elegem unansamblu de m relat�ii de forma8>><>>:
a11x1 + a12x2 + � � �+ a1nxn = b1;a21x1 + a22x2 + � � �+ a2nxn = b2;� � � � � � � � �am1x1 + am2x2 + � � �+ amnxn = bm;
(1.8)
1.3. SISTEME DE ECUAT�II ALGEBRICE LINIARE 23
saunXj=1
aijxj = bi; i = 1;m
�n care aij, bi 2 R, i = 1;m, j = 1; n, sunt date, iar xj, i = 1; n sunt necunoscutelesistemului.
De�nit�ia 1.37 Matricea A = (aij)i=1;m;j=1;n 2 Mm�n(R) se nume�ste matricea coe�ci-ent�ilor, iar
B =
0BB@b1b2: : :bm
1CCA 2 Rmmatricea coloan�a a termenilor liberi.
Fie X = (x1; x2; : : : ; xn)T 2 Rn matricea coloan�a a necunoscutelor, atunci sistemul se
scrie sub forma matriceal�a
AX = B: (1.9)
Matricea (A;B) se nume�ste matricea extins�a a sistemului.
De�nit�ia 1.38 Prin solut�ie a sistemului (1.8) �nt�elegem orice n-uplu (�1; �2; : : : ; �n)T 2
Rn care veri�c�a toate cele m ecuat�ii ale sistemului, deci pentru care avem
nXj=1
aij�j = bi; i = 1;m:
De�nit�ia 1.39 Sistemul (1.8) se nume�ste compatibil dac�a are cel put�in o solut�ie �si in-compatibil �n caz contrar. Dac�a sistemul, compatibil �ind, are o singur�a solut�ie se nume�stecompatibil determinat, iar dac�a are o in�nitate de solut�ii se nume�ste compatibil nede-terminat.
De�nit�ia 1.40 Dou�a sisteme care au acelea�si solut�ii se numesc echivalente.
Reamintim teoremele:
Teorema 1.9 (Teorema lui Kronecker-Capelli) Sistemul (1.8) este compatibil dac�a �sinumai dac�a rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse, adic�a
rangA = rang (A;B) :
24 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.
Un minor nenul de ordinul r = rang(A) al matricei A se nume�ste minor principal.Ecuat�iile �si necunoscutele ale c�aror coe�cient�i intr�a �n formarea acestui minor se numescprincipale. Minorii de ordinul r + 1 obt�inut�i prin bordarea minorului principal cu ele-mentele corespunz�atoare ale coloanei termenilor liberi, precum �si cu cele ale uneia dintreliniile corespunz�atoare unei ecuat�ii secundare se numesc minori caracteristici. Pentruun sistem de m ecuat�ii, cu rangul matricei sistemului egal cu r, exist�a minori caracteristicinumai dac�a m > r, iar num�arul lor este m� r. Putem atunci formula teorema precedent�a�si astfel:
Teorema 1.10 (Teorema lui Rouch�e-Frobenius) Sistemul (1.8), cu r < m, este com-patibil dac�a �si numai dac�a tot�i minorii caracteristici sunt egali cu zero.
Teorema 1.11 Dac�a aplic�am transform�ari elementare liniilor matricei extinse a sistemului(1.8), se obt�in matrice extinse ale unor sisteme echivalente cu sistemul (1.8).
Demonstrat�ie.
Ar�at�am c�a dac�a se aplic�a pe rand o transformare elementar�a Ti; i = 1; 2; 3 liniilor lui(A;B) ; orice solut�ie a lui (1.8) este �si solut�ie a sistemului transformat.
Prin transformarea T1 se �nmult�e�ste o linie a matricei (A;B) cu � 2 K;� 6= 0: Deci noulsistem este de forma8>>>><>>>>:
a11x1 + a12x2 + � � �+ a1nxn = b1� � ��ai1x1 + �ai2x2 + � � �+ �ainxn = �bi� � �am1x1 + am2x2 + � � �+ amnxn = bm
care este evident veri�cat de o solut�ie (�1; �2; : : : ; �n) a sistemului (1.8).
Prin transformarea T2 nu se face altceva decat se schimb�a dou�a ecuat�ii �ntre ele, decisolut�iile celor dou�a sisteme coincid.
Dac�a aplic�am transformarea T3 matricei (A;B) ; obt�inem sistemul
8>>>><>>>>:a11x1 + a12x2 + � � �+ a1nxn = b1� � �(ai1 + �aj1)x1 + (ai2 + �aj2)x2 + � � �+ (ain + �ajm)xn = bi + �bj� � �am1x1 + am2x2 + � � �+ amnxn = bm
:(1.10)
Este u�sor de v�azut c�a orice solut�ie a lui (1.8) este �si solut�ie a sistemului (1.10).�Fie r = rang(A). Presupunem c�a det (aij)i;j=1;r 6= 0. Prin transform�ari elementare
1.3. SISTEME DE ECUAT�II ALGEBRICE LINIARE 25
asupra liniilor, matricea (A;B) poate � adus�a la forma
(P;Q) =
0BBBBBBBB@
1 0 : : : 0 p1;r+1 : : : p1;n j q10 1 : : : 0 p2;r+1 : : : p2;n j q2: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : j : : :0 0 : : : 1 pr;r+1 : : : pr;n j qr0 0 : : : 0 0 : : : 0 j qr+1: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : j : : :0 0 : : : 0 0 : : : 0 j qm
1CCCCCCCCA; (1.11)
Sistemul care are drept matrice extins�a matricea (P;Q) este echivalent cu sistemul (1.8).I. Dac�a r = m sistemul este compatibil. Este compatibil determinat dac�a r = n �si
compatibil nedeterminat dac�a r < n:II. Pentru r < m din (1.11) deducem urm�atoarea teorem�a de compatibilitate.
Teorema 1.12 Sistemul (1.8) este compatibil dac�a �si numai dac�a tot�i
qr+1 = qr+2 = : : : = qm = 0:
Dac�a sistemul este compatibil �si r = n el are o singur�a solut�ie, adic�a este compatibildeterminat, iar dac�a r < n el admite1n�r solut�ii, adic�a este compatibil nedeterminat.In caz de compatibilitate, rezolvarea sistemului se face plecand de la matricea extins�a
sub forma (1.11). Metoda aceasta se nume�ste metoda elimin�arii (Gauss-Jordan).
1.3.2 Sisteme Cramer
De�nit�ia 1.41 Un sistem liniar �n care r = m = n se nume�ste sistem Cramer. Unastfel de sistem se scrie:
nXj=1
aijxj = bi; i = 1; n;
cu det(A) 6= 0.
Un sistem Cramer este totdeauna compatibil determinat. Solut�ia sa se poate obt�ine cuformulele lui Cramer:
xj =det(Aj)
det(A); j = 1; n;
�n care matricea Aj se obt�ine din matricea A prin �nlocuirea coloanei j cu coloana termenilorliberi.Intr-adev�ar, deoarece detA 6= 0, matricea A este inversabil�a. Din (1.9), �nmult�ind la
stanga cu A�1, g�asim
X = A�1B =1
det(A)A�B:
26 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.
Exercit�iul 1.7 S�a se rezolve sistemul8>><>>:x1 + x2 + x3 + x4 = 12x2 + 2x3 + x4 = 2�2x1 + 2x2 � x4 = 33x1 + x2 � x3 = 4
:
Matricea sistemului este: A =
0BB@1 1 1 10 2 2 1�2 2 0 �13 1 �1 0
1CCA, det(A) = 4; deci este sistem
Cramer.
A1 =
0BB@1 1 1 12 2 2 13 2 0 �14 1 �1 0
1CCA, det(A1) = 4) x1 =det(A1)
det(A)= 1;
A3 =
0BB@1 1 1 10 2 2 1�2 2 3 �13 1 4 0
1CCA, determinant: 2, det(A3) = 2) x3 =det(A3)
det(A)=1
2;
A4 =
0BB@1 1 1 10 2 2 2�2 2 0 33 1 �1 4
1CCA, det(A4) = �8) x4 =det(A4)
det(A)= �2:
Sisteme omogene
De�nit�ia 1.42 Un sistem liniar cu tot�i bi = 0, i = 1;m, se nume�ste omogen. El are deciforma
nXj=1
aijxj = 0; i = 1;m;
AX = 0m�1; A 2Mm�n(R); X 2Mn�1(R)
Un sistem omogen este totdeauna compatibil. El admite cel put�in solut�ia banal�a:x1 = x2 = : : : = xn = 0:Dac�a m = n; num�arul ecuat�iilor coincide cu num�arul necunoscutelor, atunci1. dac�a rang(A) = n sau det(A) 6= 0; sistemul admite numai solut�ia banal�a,2. dac�a rang(A) < n sau det(A) = 0; sistemul admite �si alte solut�ii �n afar�a de solut�ia
banal�a.Dac�a m < n; adic�a num�arul ecuat�iilor este mai mic decat num�arul necunoscutelor,
sistemul admite �si alte solut�ii �n afar�a de solut�ia banal�a.Dac�a m > n; adic�a num�arul ecuat�iilor este mai mare decat num�arul necunoscutelor pot
� dou�a situat�ii:
1.3. SISTEME DE ECUAT�II ALGEBRICE LINIARE 27
1. dac�a rang(A) = n, sistemul admite numai solut�ia banal�a (nu sunt necunoscutesecundare),2. dac�a rang(A) < n, sistemul admite �si alte solut�ii �n afar�a de solut�ia banal�a.
1.3.3 Rezolvarea sistemelor liniare folosind transform�arile ele-
mentare
Cazul matricei p�atratice nesingulare aplicand transform�arile elementare se obt�ine o matricetriunghiular�a superior. Pe diagonal�a vor � pivot�ii care sunt diferit�i de zero. Scopul principal�n acest caz este s�a aducem matricea la o matrice unitate �si pe coloana termenilor liberi s�aobt�inem solut�ia sistemului.
Exercit�iul 1.8 S�a se rezolve sistemul:8<:x+ y + z = 6x+ 2y + 2z = 112x+ 3y � 4z = 3
.
Scriem matricea extins�a a sistemului �si aplic�am transform�arile elementare0@ 1 1 1 j 61 2 2 j 112 3 �4 j 3
1A L2 � L1 ! L2L3 � 2L1 ! L3�
0@ 1 1 1 j 60 1 1 j 50 1 �6 j �9
1A L1 � L2 ! L1L3 � L2 ! L3�0@ 1 0 0 j 1
0 1 1 j 50 0 �7 j �14
1A � 17L3!L3�
0@ 1 0 0 j 10 1 1 j 50 0 1 j 2
1A L2�L3!L2�
0@ 1 0 0 j 10 1 0 j 30 0 1 j 2
1ARezult�a x = 1; y = 3; z = 2:Cazul �n care matricea sistemului este dreptunghiular�a.Aplicand transform�arile elementare putem ajunge, de exemplu, la o matrice extins�a de
forma0BBBB@1 0 � 0 � � � 0 b010 1 � 0 � � � 0 b020 0 0 1 � � � 0 b030 0 0 0 0 0 0 1 b040 0 0 0 0 0 0 0 b05
1CCCCA :Dac�a b05 = 0 atunci sistemul este compatibil nedeterminat, necunoscutele principale sunt
cele care corespund coloanelor matricei unitate (coloanelor cu pivot), variabile secundaresunt cele care corespund coloanelor f�ar�a pivot.Dac�a b05 6= 0 atunci sistemul este incompatibil.
Exercit�iul 1.9 S�a se studieze solut�iile sistemului:8>><>>:x1 + 2x2 + x3 + 3x4 + 3x5 = 52x1 + 4x2 + 4x4 + 4x5 = 6
x1 + 2x2 + 3x3 + 5x4 + 5x5 = 92x1 + 4x2 + 4x4 + 7x5 = 9
28 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.
0BB@1 2 1 3 3 j 52 4 0 4 4 j 61 2 3 5 5 j 92 4 0 4 7 j 9
1CCAL2 � 2L1 ! L2L3 � L1 ! L3L4 � 2L1 ! L4�
0BB@1 2 1 3 3 j 50 0 �2 �2 �2 j �40 0 2 2 2 j 40 0 �2 �2 1 j �1
1CCA�L2 ! L2L3 + L2 ! L3L4 � L2 ! L4�
0BB@1 2 1 3 3 j 50 0 2 2 2 j 40 0 0 0 0 j 00 0 0 0 3 j 3
1CCA L3 $ L4�
0BB@1 2 1 3 3 j 50 0 2 2 2 j 40 0 0 0 3 j 30 0 0 0 0 j 0
1CCA :Sistemul este compatibil nedeterminat. Form�am coloane ale matricei unitate pe coloanele
care cont�in pivot.0BB@1 2 1 3 3 j 50 0 2 2 2 j 40 0 0 0 3 j 30 0 0 0 0 j 0
1CCA12L2 ! L213L3 ! L3�
0BB@1 2 1 3 3 j 50 0 1 1 1 j 20 0 0 0 1 j 10 0 0 0 0 j 0
1CCA L1 � L2 ! L1�
0BB@1 2 0 2 2 j 30 0 1 1 1 j 20 0 0 0 1 j 10 0 0 0 0 j 0
1CCAL1 � 2L3 ! L1L2 � L3 ! L2�
0BB@1 2 0 0 0 j �10 0 1 1 0 j 10 0 0 0 1 j 10 0 0 0 0 j 0
1CCANecunoscute principale: x1; x3; x5; necunoscute secundare x2; x4: Sistemul echivalent
obt�inut este:8<:x1 + 2x2 = �1x3 + x4 = 1x5 = 1
;
8>>>><>>>>:x2 = �x4 = �
x1 = �2�� 1x3 = 1� �x5 = 1
; �; � 2 R:
Exercit�iul 1.10 S�a se discute �si, �n caz de compatibilitate, s�a se rezolve sistemul:8<:mx+ y + z = 1x+my + z = mx+ y +mz = m2
; unde m 2 R:
Folosind transform�ari elementare, matricea extins�a a sistemului se transform�a astfel:
(A j B) =
0@ m 1 11 m 11 1 m
1mm2
1AL1 $ L2�����!
0@ 1 m 1m 1 11 1 m
m1m2
1AL2 ! L2 �mL1L3 ! L3 � L1������������!
0@ 1 m 10 1�m2 1�m0 1�m m� 1
m1�m2
m2 �m
1A :Consider�am dou�a cazuri:1. m = 1 �n acest caz obt�inem:
1.3. SISTEME DE ECUAT�II ALGEBRICE LINIARE 290@ 1 1 10 0 00 0 0
100
1A ;adic�a sistemul este compatibil nedeterminat. Solut�iile sistemului sunt:
8<:x = 1� �� �y = �z = �
; �; � 2 R: (1.12)
2. m 6= 1 �n acest caz avem:0@ 1 m 10 1�m2 1�m0 1�m m� 1
m1�m2
m2 �m
1A L2 ! 11�mL2
L3 ! 11�mL3����������!
0@ 1 m 10 1 +m 10 1 �1
m1 +m�m
1AL2 $ L3�����!
0@ 1 m 10 1 �10 1 +m 1
m�m1 +m
1A L1 �mL2 ! L1L3 � (1 +m)L2 ! L3�����������������!0@ 1 0 1 +m
0 1 �10 0 2 +m
m+m2
�m(m+ 1)2
1AAvem dou�a posibilit�at�i:2a) m = �2; deci0@ 1 0 1 +m0 1 �10 0 2 +m
m+m2
�m(m+ 1)2
1A!0@ 1 0 �10 1 �10 0 0
2�21
1A�n acest caz sistemul este incompatibil.2b) m 6= �2 �n acest caz continu�am aplicarea transform�arilor elementare �si obt�inem:0@ 1 0 1 +m0 1 �10 0 2 +m
m+m2
�m(m+ 1)2
1AL3 ! 12+m
L3��������!
0@ 1 0 1 +m0 1 �10 0 1
m+m2
�m(m+1)2
m+2
1AL1 ! L1 � (m+ 1)L3
L2 ! L2 + L3�����������������!
0@ 1 0 00 1 �10 0 1
�m+1m+21
m+2(m+1)2
m+2
1Aadic�a sisteml este compatibil determinat a c�arui solut�ie este:
8<:x = �m+1
m+2
y = 1m+2
z = (m+1)2
m+2
: (1.13)
�n concluzie pentru sistemul dat avem urm�atoarea discut�ie:a) dac�a m 2 R n f�2; 1g sistemul are solut�ie unic�a dat�a de (1.13),b) dac�a m = �2 sistemul este incompatibil,c) dac�a m = 1 sistemul este compatibil nedeterminat cu solut�iile date de (1.12).
30 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.
Exercit�iul 1.11 S�a se stabileasc�a dac�a sistemul de ecuat�ii de mai jos admite solut�ii diferitede solut�ia banal�a �si �n caz a�rmativ s�a se a e aceste solut�ii:8<:
x+ y � 2z = 02x� y � z � 3u = 0x+ 2y � 3z + u = 0
:
Calcul�am matricea e�salon a matricei sistemului. Obt�inem:0@ 1 1 �2 02 �1 �1 �31 2 �3 1
1A L2 � 2L1 ! L2L3 � L1 ! L3������������!
0@ 1 1 �2 00 �3 3 �30 1 �1 1
1A�13L2 ! L2��������!0@ 1 1 �2 0
0 1 �1 10 1 �1 1
1A L1 � L2 ! L1L3 � L2 ! L3�����������!
0@ 1 0 �1 �10 1 �1 10 0 0 0
1ASistemul admite solut�ii diferite de solut�ia banal�a �si anume�x = z + uy = z � u :