+ All Categories
Transcript
Page 1: Cap1 Introducere RM1

Capitolul 1NOŢIUNI INTRODUCTIVE

1.1. Obiectul şi problemele cursului de Rezistenţa materialelor

1.1.1 Structuri mecanice Sub denumirea generală de structuri de rezistenţă sunt grupate toate componentele de

maşini, utilaje, instalaţii, construcţii, care trebuie să fie concepute astfel încât să-şi păstreze integritatea şi parametrii funcţionali pe toată durata de exploatare.

Structurile suportă acţiunea unor forţe exterioare, numite sarcini, al căror efect este apariţia unor forţe interioare, ce determină solicitările materialului.

Obiectivul disciplinelor incluse în Mecanica solidului deformabil (printre care se numără Rezistenţa materialelor, Teoria elasticităţii şi plasticităţii, Teoria plăcilor plane şi curbe, Teoria stabilităţii structurilor, Mecanica materialelor compozite şi altele) este de a stabili relaţii între sarcinile aplicate diferitelor tipuri de structură şi diferite mărimi ce caracterizează solicitarea acestora, la nivel global şi local (punctual): tensiuni, deformaţii, deplasări, energii potenţiale de deformaţie etc.

Controlul asupra bunei comportări în exploatare a unei structuri se realizează prin impunerea unor domenii sau valori admisibile pentru aceste mărimi.

Proiectarea unei structuri presupune alegerea materialului şi stabilirea formei şi dimensiunilor pieselor componente astfel încât să nu apară deteriorări sau disfuncţionalităţi pe durata exploatării. Având în vedere cerinţele impuse pentru o bună funcţionare, pot fi considerate deteriorări evenimente ca fisurarea sau apariţia unor modificări de formă şi dimensiuni, cauzate de deformări elastice sau plastice (curgeri ale materialului).

Condiţiile de solicitare care conduc la deteriorarea (cedarea) unei structuri definesc o stare limită a acesteia. Raportând valoarea unei mărimi P în starea limită (Plim) la valoarea corespunzătoare de exploatare (Pexpl) se obţin coeficienţii de siguranţă:

lexp

lims P

Pc = . (1.1)

Este evident faptul că valorile coeficienţilor de siguranţă trebuie sǎ fie supraunitare.

1.1.2 Cerinţele proiectării raţionale a structurilor mecaniceÎn procesul de proiectare a unei structuri o etapă decisivă este cea de dimensionare,

bazatǎ pe analiza comportamentului acesteia sub sarcini.

Fazele principale ale acestei etape sunt:

a) Stabilirea modelului de calcul şi a modurilor posibile de cedare la suprasarcină;

b) Analiza solicitărilor şi a deformaţiilor structurii;

c) Verificarea îndeplinirii condiţiilor impuse pentru o bună funcţionare;

d) Modificări de geometrie şi dimensionale ale structurii, efectuate cu scopul de a-i îmbunătăţi performanţele;

e) Reluarea procesului până la găsirea soluţiei constructive optime.

Modificările de geometrie şi configuraţie au drept scop optimizarea structurii prin minimizarea unor funcţii obiectiv (volumul structurii, deplasarea maximă), sau maximizarea altora (coeficientul de siguranţă, sarcina etc.). O nouă variantă a unui produs constituie, de regulă, o îmbunătăţire a celei precedente.

Page 2: Cap1 Introducere RM1

În figura 1.1. se prezintă varianta iniţială şi cea optimizată a unei structuri de tip grindă cu zăbrele. Optimizarea s-a făcut prin alegerea convenabilă a geometriei barelor şi prin modificarea formei structurii, păstrându-se însă poziţiilor punctelor de rezemare şi încărcare.

ab

Fig. 1.1. Grindă cu zăbrele: a) varianta iniţială, b) varianta optimizată

Obţinerea unui optim optimorum pentru o structură este rareori posibilă, deoarece există multe restricţii de proiectare şi, de obicei, se caută îndeplinirea celor mai importante dintre acestea. Uneori poate fi decisiv factorul economic sau cel tehnologic. Astfel, piaţa poate să impună un preţ maximal, a cărui depăşire ar face produsul nerentabil sau se poate solicita utilizarea unor anumite materiale şi tehnologii, aplicabile pe o dotare existentă la firma producătoare. Ca exemplu, este prezentată caroseria unui nou model al unui automobil (fig. 1.2), în care sunt marcate cu linie îngroşată elementele de rigidizare suplimentare, adăugate la varianta anterioară, realizate dintr-un oţel special aliat cu fosfor, siliciu, mangan şi crom, care are o bună deformabilitate plastică la rece. Tabla expusă coroziunii este acoperită cu zinc.

Fig. 1.2. Optimizarea unei caroserii de autoturism

O categorie specială este cea a structurilor din materiale compozite, adică neomogene, care conţin, de regulă, componente de înaltă rezistenţă (fibre de sticlă, fibre de carbon etc.) înglobate într-o masă care le solidarizează (de exemplu, răşină epoxidică). Structurile din beton armat se pot considera materiale compozite.

1.2. Modelul de calcul al structurilorStructura reală este înlocuită cu un model de calcul. În acest scop se adoptă o serie

de ipoteze simplificatoare privind:

• Forma şi dimensiunile elementelor componente;

• Valorile şi distribuţia sarcinilor aplicate;

• Proprietăţile materialului (parametrii elastici şi de rezistenţă ai materialului);

În procesul de modelare este necesar să se stabilească valorile admisibile ale mărimilor care caracterizează comportarea structurii (valori maxime ale tensiunilor, valori minime ale coeficienţilor de siguranţă, gabarit etc.) şi să se aleagă cea mai convenabilă metodă de calcul, din punct de vedere al efortului necesar şi al preciziei rezultatelor.

2

Page 3: Cap1 Introducere RM1

1.2.1. Modelarea corpurilor în Rezistenţa materialelorUn prim criteriu de clasificare a elementelor din componenţa structurilor de rezistenţă

este cel geometric. Orice corp solid se poate înscrie într-un paralelipiped cu lungimea l, lăţimea b şi înălţimea h (fig. 1.3,a). În coordonate curbilinii, gabaritul este precizat prin lungimile sl , sb , sh ale unor arce (fig. 1.3,b).

a bFig. 1.3. Cotele de gabarit ale unui corp în coordonate; a)carteziene; b) curbilinii

Un element de structură poate fi încadrat într-una dintre următoarele categorii:

Bară (dreaptă sau curbă )

În acest caz bl > > , hl > > , hb ≅ , sau bl ss > > , hl ss > > , hb ss ≅ .

O bară se poate caracteriza prin geometria axei longitudinale şi prin forma şi dimensiunile secţiunii (Fig.1.4,a).

După forma axei, barele pot fi drepte, cotite sau curbe, de secţiune constantă sau variabilă. Barele cu secţiune variabilă de-a lungul axei se utilizează rar în comparaţie cu cele cu secţiune constantă.

Construcţiile metalice se realizează, de regulă, din semifabricate laminate şi trase (fig. 1.4,b) sau din profile de tablǎ îndoitǎ (fig. 1.4,c), cu diferite geometrii ale secţiunii.

Existǎ o mare varietate de tipodimensini pentru semifabricatele de tip barǎ:

•Bare cu secţiune plină (circulară, patrată, dreptunghiulară, hexagonală);

•Profile de uz general (ţeavă rotundă, patrată, dreptunghiulară, profile cu secţiuni în formă de I, T, U, L, H etc);

•Profile laminate speciale (şine de cale ferată sau pentru tramvaie, semifabricate pentru arcuri în foi, elemente curbe cu secţiune în V pentru susţinerea galeriilor minere şi altele).

În funcţie de solicitarea dominantă barele au şi denumiri specifice. Astfel, barele solicitate la întindere se mai numesc şi tiranţi; barele verticale, solicitate la compresiune, poartă numele de coloane sau stâlpi; barele solicitate la încovoiere sunt cunoscute şi sub denumirea de grinzi iar barele solicitate la torsiune şi la încovoiere sunt numite arbori. Firele sunt bare care pot fi solicitate numai la întindere, având rigiditatea la încovoiere neglijabilă.

3

Page 4: Cap1 Introducere RM1

a b cFig.1.4. a) Elementele caracteristice ale unei bare; b),c)Secţiuni transversale uzuale:

Placă plană sau curbă

În acest caz lh < < , bh < < , bl ≅ , sau lh ss < < , bh ss < < , bl ss ≅ .

Elementele geometrice caracteristice ale plăcilor sunt suprafaţa mediană (plană sau curbă) şi grosimea, măsurată pe o normală la suprafaţa mediană. Dacă grosimea este foarte mică şi nu pot fi preluate sarcini de compresiune sau transversale, atunci corpurile se numesc membrane.

Prin deformarea plastică la rece a unor table plane subţiri se obţin plăci ondulate sau gofrate, cu diferite profile (fig. 1.5).

Fig.1.5. Plăci subţiri ondulate sau gofrate

Corp masiv

Sunt corpuri care au cele trei dimensiuni de acelaşi ordin de mărime ( hbl ≅≅ sau hbl sss ≅≅ ). Din această categorie fac parte blocurile de fundaţie, bilele şi rolele de

rulmenţi, etc.

În componenţa unei structuri se pot identifica elemente de tipuri diferite (bară, placă, corp masiv), după cum se exemplifică în figura 1.6.

Fig. 1.6. Identificarea elementelor din componenţa unei structuri: 1 – corp masiv,

2 – bare drepte, 3 – bară curbă circulară, 4 – placă plană circulară

4

Page 5: Cap1 Introducere RM1

Piesele care suportă sarcini mari sunt fabricate din oţel, aliaje de aluminiu, fontă, alamă, bronz, ceramică, materiale sinterizate. Componentele mai puţin solicitate ale structurilor moderne se realizează din materiale nemetalice: mase plastice, lemn, spume rigide etc.

1.2.2 Modelarea sarcinilorÎn principiu, un corp poate fi studiat separat, izolându-l din ansamblul din care face

parte, cu condiţia să poată fi cunoscute sau determinate interacţiunile acestuia cu exteriorul sau cu restul de componente ale ansamblului.

Sarcinile (forţele exterioare) sunt rezultatul interacţiunii mecanice sau al acţiunii unor câmpuri (gravitaţional, centrifugal, termic etc.).

Sarcinile se pot clasifica în:

Sarcini volumice, acţionând în tot volumul corpului, măsurate în N/m3 . Aceste sarcini (de exemplu, forţele de inerţie) provin din acţiunea câmpurilor exterioare (gravitaţional, magnetic, etc);

Sarcini superficiale (de suprafaţă), care provin din contactul direct cu alte corpuri (Fig.1.7). La rândul lor sarcinile de suprafaţă se pot clasifica în:

• sarcini concentrate (forţe -F, măsurate în N; momente - M, măsurate în Nm);

• sarcini distribuite:- pe un element liniar – p, care se măsoară în N/m;- sarcini distribuite pe o suprafaţă - q, care se măsoară în N/m2.

Sarcinile pot fi uniform distribuite (greutatea proprie a unei bare), distribuite liniar (în cazul presiunii hidrostatice pe un perete vertical) sau sarcini distribuite conform unei legi date (presiunea vântului pe o structură) etc.

Fig. 1.7. Modelarea sarcinilor

După modul de acţiune în timp, sarcinile se pot clasifica în:

sarcini statice, aplicate lent şi progresiv;

sarcini dinamice, aplicate brusc (prin şoc) sau variabile în timp (periodic sau aleatoriu).

1.2.3 Modelarea legăturilor (reazemelor)La structuri plane, capetele barelor pot fi rezemate ca în figura 1.8, unde sunt

reprezentate schematizat legăturile rigide, cunoscute din Mecanică. Interacţiunile care apar în legături au caracter distribuit, deoarece apar pe suprafaţa exterioară a corpului. Uzual aceste forţe de legătură distribuite sunt înlocuite cu torsorul acestora faţă de un punct convenabil ales. Elementele acestui torsor (forţe şi momente) se numesc reacţiuni.

5

Page 6: Cap1 Introducere RM1

a)

b)

c)

d)

Fig. 1.8. Modelarea reazemelor

Reazemul simplu rigid (Fig. 1.8, a) permite deplasarea paralelă cu linia de suport şi rotirea, dar blochează deplasarea pe direcţia perpendiculară pe linia de suport. Reacţiunea va fi deci perpendiculară pe linia de suport.

Articulaţia rigidă (Fig. 1.8, b) permite numai rotirea capătului barei, deci acţionează cu o reacţiune de mărime şi direcţie necunoscute, care se descompune în două componente perpendiculare între ele.

Încastrarea rigidă fixă (Fig. 1.8, c) blochează toate cele trei grade de libertate ale capătului barei şi produce ca reacţiuni un moment şi o forţă reprezentată prin cele două componente.

Încastrarea rigidă mobilă (Fig. 1.8, d) permite deplasarea pe o direcţie, deci produce ca reacţiuni un moment şi o forţă perpendiculară pe direcţia de mişcare.

În cazul structurilor reale există situaţii când nu se poate neglija deformabilitatea reazemelor şi acestea se modelează prin reazeme elastice, la care forţele sunt proporţionale cu deplasările, sau încastrări elastice, la care momentul este proporţional cu rotirea.

1.2.4 Ipotezele Rezistenţei materialelorDe regulă, relaţiilor de calcul stabilite în Rezistenţa materialelor nu li se cere o

precizie deosebită, deoarece rezultatele obţinute se compară cu valori admisibile care pot fi mai mari sau mai mici, în funcţie de coeficienţii de siguranţă luaţi în considerare. De aceea, sunt acceptate ipoteze simplificatoare privind comportarea materialului, nivelul deformaţiilor şi deplasărilor maxime, efectele sarcinilor la distanţe mari de locul unde acţionează.

În continuare se face o prezentare a ipotezelor de calcul pe baza cărora, în capitolele următoare vor fi stabilite relaţii simple, care asigurǎ o precizie acceptabilă calculelor ce trebuie efectuate la proiectarea structurilor mecanice.

a) Ipoteza mediului continuu şi omogenMaterialele din care se realizează piesele de maşini şi instalaţii, sunt concepute ca

medii continue (tot volumul corpului este ocupat de substanţă) şi omogene (proprietăţile fizice -de exemplu densitatea de masă- se consideră constante în orice punct al unui corp), fără defecte structurale.

6

Page 7: Cap1 Introducere RM1

b) Ipoteza izotropieiProprietăţile elastice şi caracteristicile mecanice ale materialelor sunt aceleaşi pe

orice direcţie. Aliajele feroase şi neferoase elaborate şi tratate corect pot fi considerate izotrope.

Materialele care nu au această proprietate se numesc anizotrope. Un caz particular de material care nu se încadrează în categoria materialelor izotrope este lemnul, care are două direcţii pe care proprietăţile sunt total diferite, de-a lungul fibrelor şi perpendicular pe ele. Astfel de materiale se numesc ortotrope.

c) Ipoteza elasticităţii perfecteSub acţiunea solicitării exterioare un corp elastic se deformează instantaneu, iar la

îndepărtarea sarcinii revine instantaneu la forma şi dimensiunile iniţiale. De asemenea, acţiunea unei forţe într-un punct oarecare se transmite instantaneu în tot corpul.

Ultimele două ipoteze sunt reconsiderate în capitole speciale despre materiale compozite, bare cu secţiuni eterogene sau solicitări în domeniul elasto-plastic.

d) Ipoteza proporţionalităţii între cauză şi efectÎn particular se admit relaţii liniare între forţe şi deformaţii, precum şi între eforturi şi

tensiuni. La sisteme liniare se poate aplica principiul suprapunerii efectelor. Ca urmare, ordinea aplicării sarcinilor exterioare nu influenţează starea finală de tensiuni şi deformaţii a corpurilor.

În figura 1.9 este prezentat un exemplu simplu, care poate fi studiat experimental.

Fig. 1.9. Suprapunerea efectelor în calculul liniar elastic

Forţa F1 , aplicată în secţiunea 1 a unei bare, produce o săgeată de încovoiere w1

într-o altă secţiune a. Dacă forţa F1 este mărită de k ori, deformaţiile rămânând elastice, atunci şi săgeata în secţiunea a creşte de k ori. Forţa F2 , acţionând singură în secţiunea 2, produce în secţiunea a o săgeată w2 . Cele două forţe F1 şi F2 , aplicate în secţiunile 1 şi 2, acţionând simultan, produc în a săgeata 21 wwwa += .

Generalizând, se poate enunţa principiul suprapunerii efectelor conform căruia este indiferentă ordinea în care se aplică sarcinile F1 , F2 , . . . , Fn dacă în final deformaţiile structurii rămân elastice, iar prin însumarea algebrică a contribuţiilor separate ale forţelor (în acelaşi punct), se obţine efectul cumulat.

7

Page 8: Cap1 Introducere RM1

e) Ipoteza deplasărilor şi deformaţiilor miciÎn cazul solicitărilor elastice, deformaţiile corpurilor elastice sunt mici în comparaţie cu

dimensiunile acestora. De exemplu, săgeţile υ şi w, care apar la încovoierea unei bare sunt mult mai mici decât dimensiunile dreptunghiului în care este înscrisă secţiunea iar deplasările normale pe suprafaţa unei plăci sunt foarte mici în comparaţie cu grosimea acesteia. Prin această ipoteză se exclud neliniarităţile geometrice, adică cele determinate de forma corpurilor, precum şi neliniarităţile fizice.

Deoarece deformaţiile mici ale corpurilor nu afectează acţiunea forţelor (de exemplu, direcţia acestora) şi sunt neglijabile în calculul solicitărilor, la scrierea ecuaţiilor de echilibru static pentru determinarea reacţiunilor în reazeme, structura se poate considera nedeformată (calcul de ordinul I).

În teoria neliniară a elasticităţii, ecuaţiile de echilibru se scriu pentru starea deformată a corpului, fie că deplasările sunt mici (calcul de ordinul II) sau mari (calcul de ordinul III).

f) Ipoteza secţiunii plane (Bernoulli)O secţiune plană şi perpendiculară pe axa unei bare nesolicitate, rămâne plană şi

perpendiculară pe axa barei şi după aplicarea sarcinilor exterioare.

De exemplu, secţiunea B-B, normală la axa nedeformată a barei din figura 1.10,a, rămâne plană şi perpendiculară pe axa deformată a barei (fig.1.10,b) şi după aplicarea forţei F.

Această ipoteză este valabilă în câteva cazuri particulare: a) întinderea barelor cu secţiune constantă; b) răsucirea barelor cu secţiune circulară sau inelară; c) încovoierea pură (cu moment constant şi forţă tăietoare nulă) a barelor drepte sau curbe.

În aceste cazuri se constată că punctele dintr-un plan normal pe axa barei nesolicitate se regăsesc, după încărcare, într-un plan normal pe axa barei deformate.

g) Principiul lui Saint-VénantÎncărcările aplicate pe o mică parte a suprafeţei unui corp au, pe lângă efectul local,

un efect global, care se manifestă în zone depărtate de cea direct încărcată. Conform ipotezei lui Saint-Vénant, un sistem static echivalent unei sarcini locale are acelaşi efect ca şi aceasta la distanţă mare de zona încărcată. Principiul lui Saint-Vénant se enunţă astfel:

Dacă asupra unui corp elastic acţionează două sisteme de sarcini exterioare, echivalente din punct de vedere static, atunci, la o distanţă suficient de mare de zona de aplicare a acestora, efectul lor este acelaşi.

Ca exemplu, în figura 1.11,a s-a considerat o bară încastrată la un capăt, încărcată la cealaltă extremitate cu o sarcină p distribuită pe lungimea l .

Fig.1.10 Ipoteza lui Bernoulli Fig. 1.11. Exemplu de aplicare a ipotezei Saint-Vénant

8

Page 9: Cap1 Introducere RM1

Înlocuind această sarcină cu forţa concentrată echivalentă lp aplicată la mijlocul distanţei 2-3 (Fig. 1.11,b) se obţine o schemă de calcul mai simplă. Pe baza acesteia se pot studia solicitările la extremitatea 1 (încastrarea), pornind de la reacţiunile lpV =1 şi

( )l,LplM ⋅+= 501 , deduse din condiţii de echilibru. Ulterior, studiul solicitărilor din zona 2-3 se face ţinând seamă de încărcarea iniţială.

1.3. Noţiuni generale din Rezistenţa materialelor şi Teoria elasticităţii1.3.1. Forţe interioareMecanica teoretică studiază interacţiunea şi deplasările relative între corpuri ideale,

considerate perfect rigide.

Atunci când sunt supuse unor acţiuni mecanice, corpurile solide reale (piese de maşini, elemente de construcţii) se deformează în timpul funcţionării sau folosirii lor. În majoritatea cazurilor acestea îşi modifică forma şi dimensiunile (Fig. 1.12,a). Există şi situaţii când se produc deformaţii ale elementelor de volum componente, fără modificarea formei şi dimensiunilor globale ale corpurilor (Fig. 1.12,b). Diversitatea deformaţiilor corpurilor este rezultatul unor factori cum ar fi: forma, dimensiunile şi materialul corpului; locul şi modul de aplicare a forţelor exterioare; direcţiile, sensurile şi intensităţile sarcinilor etc. Chiar şi solicitările de mică intensitate pot provoca deplasări semnificative ale punctelor unei structuri elastice (de exemplu, între capetele unui arc elicoidal).

a. b.

Fig.1.12 Exemple de deformare a corpurilor reale

Proprietatea materialelor de a se opune deformării şi de a suporta solicitări fără a se rupe se numeşte rezistenţă. Pentru acelaşi tip de solicitare, diferite materiale se rup la diferite niveluri ale acesteia iar deformaţiile lor, la acelaşi nivel de solicitare, sunt diferite. Aceasta înseamnă că rezistenţele materialelor sunt diferite.

Proprietatea de rezistenţă mecanică a materialelor corpurilor solide rezultă din modul specific al manifestării forţelor de coeziune interatomică: spre deosebire de lichide sau gaze, se modifică doar distanţele dintre atomi, fără schimbarea ordinii aşezării acestora. Unor mici modificări ale distanţelor dintre atomi le corespund modificări importante ale forţelor de interacţiune. La scară macroscopică, forţele de interacţiune dintre diferite părţi ale aceluiaşi corp sunt mult mai complexe în comparaţie cu forţele de presiune care se exercită în fluide. Aşa cum s-a arătat în §1.2.4, în Rezistenţa materialelor şi Teoria elasticităţii comportarea corpurilor solide este schematizată pe baza conceptului de mediu continuu, astfel încât

9

Page 10: Cap1 Introducere RM1

efectele structurale reale ale comportării particulelor (atomi, molecule) sunt mediate în mod natural şi evaluate pe domenii continue (volume, suprafeţe, linii). Astfel este posibil să se opereze cu efecte globale, măsurabile, şi să se obţină reprezentări ale fenomenelor prin funcţii care fac posibilă observarea, înţelegerea, evaluarea şi interpretarea lor.

Forţele interioare sunt în realitate cele de interacţiune atomică, care, pe baza conceptului de mediu continuu, sunt reprezentate prin forţe distribuite pe diferite suprafeţe, asemănător presiunilor din fluide, dar deosebindu-se de acestea prin faptul că pot avea diferite direcţii şi sensuri în raport cu suprafeţele respective. Ele sunt evidenţiate prin secţionarea fictivă a corpului.

Metoda secţionării are la bază următorul principiu: Dacă un corp este în echilibru, orice parte izolată din el prin secţionare va fi în echilibru.

Se consideră corpul din figura 1.13,a în echilibru sub acţiunea forţelor aplicate (exterioare şi reacţiuni în reazeme). Pentru a caracteriza solicitarea din interiorul corpului, determinată de aplicarea sarcinilor, se secţionează corpul (Fig.1.13,b) şi, prin separarea celor două părţi, se pun în evidenţă forţele interioare. Acestea exprimă legătura între particulele din interiorul corpului, situate de o parte şi de cealaltă a planului de secţionare.

a. b.Fig.1.13 Metoda secţionării corpurilor pentru evidenţierea forţelor interioare

Separarea părţilor ca în figura 1.13,b este fictivă. De fapt, punctele C şi C1 coincid şi trebuie să fie respectate condiţiile de echilibru

01 =+ RR , 01 =+ MM . (1.2)

Conform principiului echilibrului părţilor, ( MR , ) reprezintă torsorul de reducere în C a forţelor aplicate pe partea II, iar ( 11 , MR ) este torsorul de reducere în C1 a forţelor aplicate pe partea I a corpului studiat.

1.3.2. TensiuniPrin componentele torsorului de reducere într-un punct al secţiunii (uzual centrul de

greutate) este posibilă o evaluare globală a forţelor interioare, distribuite pe faţa planului de secţiune.

Prin solicitare se înţelege starea în care se află materialele corpurilor solide în prezenţa unor forţe interioare. În general, solicitările corpurilor sunt neomogene. Înseamnă că solicitarea trebuie astfel definită încât să permită evaluarea stării materialului în imediata vecinătate a unui punct. Ca urmare, acţiunile forţelor interioare trebuie reprezentate prin

10

Page 11: Cap1 Introducere RM1

mărimi care se referă la efectele lor într-un punct al suprafeţei pe care se exercită. Se ajunge astfel la noţiunea de tensiune definită ca intensitate a acţiunii forţelor interioare într-o zonă finită a secţiunii.

Fie un element de suprafaţă A∆ din planul secţiunii (Fig.1.14), în al cărui centru de greutate P se aplică forţa F∆ , rezultanta forţelor interioare ce acţionează pe acest element. În general, rezultanta F∆ este oblică faţă de elementul de suprafaţă A∆ .

Fig.1.14 Tensiuni într-un punct al unui corp

Prin definiţie, tensiunea în punctul P pe suprafaţa de normală n este:

dAdF

AFlimp

A=

∆∆=

→∆ 0. (1.3)

Tensiunea p va avea aceeaşi direcţie şi sens cu forţa rezultantă F∆ , adică, în cazul general, va fi înclinată faţă de normala n la suprafaţa considerată.

Este util să se descompună tensiunea p în două componente:

o componentă σ, pe direcţia normalei la plan în punctul respectiv, numită tensiune normală;

o componentă conţinută în planul secţiunii, notată cu τ, numită tensiune tangenţială.

Dacă aria este raportată la un sistem de axe xyz, cu axa x normală la plan, atunci tensiunea normală se notează xσ iar tensiunea tangenţială se descompune, la rândul său,

în componentele xyτ şi xzτ , unde

22xzxy τ+τ=τ . (1.4)

În notaţia tensiunii normale, indicele arată axa cu care aceasta este paralelă. În cazul unei tensiuni tangenţiale, primul indice corespunde normalei la planul (secţiunea) în care acţionează, iar al doilea, direcţiei acesteia.

11

Page 12: Cap1 Introducere RM1

Este evident că 22222xzxyxp τ+τ+σ=τ+σ= . (1.5)

Ca semnificaţie fizică, tensiunea este de natura unei presiuni şi, dacă forţele se măsoară în N iar suprafaţa în mm2 , se va măsura în N/mm2 (1 N/mm2 =1MPa).

Tensiunile sunt mărimi fundamentale ale Rezistenţei materialelor şi Teoriei elasticităţii, cu ajutorul cărora se evaluează tipul şi nivelul de solicitare ale materialelor.

1.3.3 Eforturi în cazul barelor

Proiecţiile componentelor R şi M ale torsorului de reducere în C pe axele unui sistem de referinţă local se numesc eforturi.

Se va utiliza un sistem de axe drept. Pentru o bară orizontală, axa x coincide cu axa barei şi este orientată de la stânga la dreapta, axa z este dirijată în jos, iar axa y este orizontală, dirijată spre observator (Fig.1.15).

Proiecţiile rezultantei R şi ale momentului rezultant M pe direcţiile axelor sistemului

Cxyz (cu versorii kji ,, ) se notează cu Fx , Fy , Fz , respectiv Mx , My , Mz şi sunt numite eforturi. Ca urmare, reprezentarea vectorilor R şi M este:

kFjFiFR zyx ++= , kMjMiMM zyx ++= . (1.6)

Fig.1.15 Eforturi în secţiunea unei bare

Fiecare efort are o denumire consacrată şi este asociat unei solicitări simple a barelor:

Fx ( uzual notată N)– forţă axială- produce solicitarea de întindere sau compresiune;

Fy , Fz (Ty , Tz) – forţe tăietoare - produc solicitarea de forfecare;

Mx (Mt) – moment de torsiune (moment de răsucire) - solicită bara la torsiune (răsucire);

My , Mz – momente încovoietoare - produc solicitarea la încovoiere faţă de axa y sau faţă de axa z.

În concordanţă cu regula burghiului drept se introduce următoarea convenţie de semne pentru eforturile din bare (Fig. 1.15):

12

Page 13: Cap1 Introducere RM1

• pe faţa pozitivă a secţiunii (a cărei normală are sensul axei Ox), eforturile care acţionează în sensurile pozitive ale axelor de referinţă, sunt considerate pozitive;

• pe faţa negativă a secţiunii (a cărei normală are sens contrar axei Ox), eforturile orientate în sensurile negative ale axelor de referinţă, sunt considerate pozitive.

1.3.4 Ecuaţii de echivalenţăÎn concordanţă cu cele arătate în paragrafele precedente se pot formula următoarele

concluzii:

Secţionând o bară, efectul sarcinilor îndepărtate se reduce la un torsor care poate avea şase componente, numite eforturi;

Efectul solicitării asupra secţiunii constă în apariţia în fiecare punct al secţiunii a unor tensiuni p, care se pot descompune în trei componente xσ , xyτ şi xzτ (Fig. 1.16).

Proiecţiile rezultantei dF a forţelor interioare care acţionează pe suprafaţa elementară dA sunt:

dAdF xx ⋅σ= , dAdF xyy ⋅τ= , dAdF xzz ⋅τ= . (1.7)

Fig.1.16 Eforturi şi tensiuni. Ecuaţii de echivalenţă

Componentele torsorului de reducere ( MR , ) pot fi exprimate ca funcţii de tensiuni cu ajutorul unor relaţii de echivalenţă statică:

∫∫ σ===A

xA

xx dAdFFN , (1.8)

∫∫ τ===A

xyA

yyy dAdFFT , (1.9)

∫∫ τ===A

xzA

zzz dAdFFT , (1.10)

( ) ∫∫ τ−τ=⋅−⋅=A

xyxzA

yzx dA)zy(zdFydFM , (1.11)

∫∫ σ=⋅=A

xA

xy dAzzdFM , (1.12)

13

Page 14: Cap1 Introducere RM1

∫∫ σ−=⋅−=A

xA

xz dAyydFM , (1.13)

unde:

A - aria secţiunii barei;

y şi z - coordonatele centrului de greutate al suprafeţei elementaredzdydA = ;

În studiul solicitărilor simple ale barelor vor fi aplicate aceste formule, după stabilirea legilor de variaţie a tensiunilor pe suprafaţa A a secţiunii.

1.3.5 Deplasări şi deformaţii. Rezistenţa materialelor, ca ramură a mecanicii solidului deformabil, are ca obiectiv

descrierea modului în care se schimbă forma şi dimensiunile corpurilor sub acţiunea sarcinilor aplicate asupra acestora. Această descriere se poate face în două moduri:

a) prin determinarea deplasărilor unor puncte sau drepte;

b) prin studiului modului cum se deformează elementele de volum ale corpului.

a) Deplasări

Ca urmare a deformării, punctele unui corp se deplasează relativ. Astfel, un punct oarecare P dintr-un corp ajunge în P’ (Fig.1.17).

Drumul parcurs de punct în timpul solicitării 'PP=δ se numeşte deplasare. Această deplasare se poate descompune în trei componente u, υ, w, în raport cu axele x, y şi z ale unui sistem de referinţă arbitrar.

Fig.1.17 Deplasări

Este evident faptul că

222 wvu ++=δ (1.14)

De fapt, analiza deplasărilor punctelor (dreptelor sau planelor) unui corp reprezintă studiul unor modificări absolute de poziţie în raport cu un sistem de axe global la care se raportează corpul.

b) Deformaţii specifice

Un alt mod de abordare a problemei deformării unui corp este analiza deformaţiilor relative (specifice) ale unor elemente de volum în care acesta se descompune.

14

Page 15: Cap1 Introducere RM1

Analiza se face ţinând seamă de forma şi dimensiunile iniţiale ale elementului de volum. Modificările globale se pot obţine prin însumarea deformaţiilor tuturor elementelor în care a fost descompus corpul.

Se va izola dintr-un corp în echilibru sub acţiunea forţelor aplicate şi a reacţiunilor din legături un element de volum paralelipipedic, cu lungimea dx şi secţiunea transversală de arie dzdydA ⋅= .

Se presupune că acest element de volum este încastrat la capătul din stânga şi solicitat pe aria dA de o tensiune p. Pentru a facilita înţelegerea se va considera cazul mai simplu, când deformarea are loc într-un singur plan, planul xOz (Fig.1.18).

Fig.1.18 Deformaţii specifice

Descompunând tensiunea p în componentele σ şi τ , starea finală, deformată, a acestuia se poate obţine însumând efectele produse de fiecare componentă:

• tensiunea normală xσ=σ modifică lungimile elementului, dar nu şi unghiurile drepte;

• tensiunea tangenţială xzτ=τ modifică unghiurile dar nu şi lungimile.

În concluzie, deformaţiile specifice ale elementelor sunt de două feluri: deformaţii specifice liniare şi deformaţii specifice unghiulare.

Deformaţia specifică liniară

Lungimea dx (pe direcţia de solicitare) creşte cu dx∆ iar celelalte două laturi dy şi dz (pe direcţii transversale faţă de cea de solicitare), scad cu dy∆ , respectiv dz∆ .

Se definesc deformaţiile specifice longitudinale şi transversale prin relaţiile:

dxdx

x∆=ε ;

dydy

y∆−=ε ;

dzdz

z∆−=ε (1.15)

Raportul dintre deformaţiile specifice longitudinale şi cele transversale depinde numai de material şi se numeşte coeficient de contracţie transversalǎ (coeficientul lui Poisson):

x

z

x

y

εε−=

εε

−=ν . (1.16)

Dacă deformaţiile sunt liniar-elastice, tensiunile xσ sunt proporţionale cu deformaţiile specifice longitudinale (alungirile) xε , conform legii lui Hooke

15

Page 16: Cap1 Introducere RM1

xx E ε=σ . (1.17)

E se numeşte modul de elasticitate longitudinal şi este, aşa cum se va vedea mai departe, alături de coeficientul lui Poisson, un parametru care caracterizează comportarea materialelor ideal elastice (considerate continue, omogene, perfect elastice şi izotrope).

Deformaţia specifică unghiularăEste cunoscută mai ales sub denumirea de lunecare specifică şi este, prin definiţie,

modificarea unghiului de 900 dintre laturile ba şi ac (Fig.1.18). Se măsoară în radiani şi se consideră pozitivă dacă unghiul de 900 scade. Trebuie precizat faptul că tensiunile tangenţiale din planul xOz produc lunecări specifice numai în acest plan, γxz.

Observaţii

Între tensiuni şi deformaţii specifice există deci relaţiile γ↔τε↔σ ; . Interpretarea acestor relaţii este următoarea:

Dacă se pot evidenţia variaţii ale lungimilor iar unghiurile nu se modifică atunci tensiunile care se produc sunt tensiuni normale σ şi numai σ ;

Dacă se pot evidenţia variaţii ale unghiurilor iar lungimile nu se modifică atunci tensiunile care se produc sunt tensiuni tangenţiale τ şi numai τ .

Din motive de echilibru al elementului de volum din figura 1.18, se poate constata că, dacă pe suprafaţa cu aria dy⋅dz există tensiuni tangenţiale xzτ atunci pe feţele cu ariile dx⋅dz trebuie, de asemenea, să existe tensiuni tangenţiale zxτ şi

xzzx τ=τ . (1.18)

Această relaţie exprimă legea dualităţii (parităţii) tensiunilor tangenţiale:

Dacă pe un plan din interiorul unei structuri există tensiuni tangenţiale, atunci pe un plan perpendicular pe acesta există de asemenea tensiuni tangenţiale, cu acelaşi modul şi orientate simetric faţă de dreapta de intersecţie a celor două plane.

1.4. Caracterizarea mecanică a materialelor inginereşti

1.4.1. Încercarea la tracţiune Cel mai important dintre testele mecanice este încercarea la tracţiune, care

furnizează perechi de valori (Fi , ∆li ), în care ∆li este deplasarea relativă între două secţiuni aflate iniţial la distanţa lo (fig.1.19), produsă de forţa Fi (i=1,2, . . . , n).

Forţele Fi se citesc pe cadranul dinamometrului maşinii de încercat iar lungirile ∆li , cu ajutorul unui aparat numit extensometru, fixat pe epruvetă. Standardele de încercări precizează limitele pentru viteza de creştere a forţei pentru ca solicitarea să se poată considera cvasistatică.

Prin raportarea forţei Fi la aria iniţială Ao a secţiunii epruvetei şi a lungirii ∆li la lungimea iniţială lo se calculează tensiunile σi şi deformaţiile specifice εi :

0A

Fii =σ ;

0lli

i∆=ε , (1.19)

care nu depind de forma secţiunii şi dimensiunile epruvetei, astfel încât acestea se pot alege convenabil, în funcţie de semifabricatele disponibile.

16

Page 17: Cap1 Introducere RM1

Sunt preferate epruvetele rotunde (Fig. 1.19,b) cu secţiune circulară de diametru calibrat 0d în zona centrală, prelucrată prin strunjire fină sau rectificare. Conform SR EN 10002-1, raportul n=l0 / d0 are valoarea 5 la epruvete normale şi 10 la epruvete lungi. Se recomandă d0 = 20 mm. De asemenea, se utilizează epruvete plate (Fig. 1.19,c) obţinute din semifabricate în formă de placă, fâşie, folie etc. Capetele epruvetelor au secţiune mai mare decât partea calibrată centrală şi servesc la prinderea acestora în bacurile maşinii de încercat, care, de regulă, este acţionată hidraulic.

După calculul tensiunilor şi deformaţiilor specifice cu relaţiile (1.19) se trasează graficul ce arată dependenţa dintre σi şi εi , care se numeşte curbă caracteristică convenţională a materialului (cu linie continuă în fig. 1.20,a).

Curba caracteristică reală (trasată cu linie întreruptă) este mult mai greu de obţinut, deoarece, la forţa Fi trebuie evaluată aria instantanee a secţiunii Ai , redusă datorită contracţiei transversale (la început) şi curgerii materialului (înainte de rupere).

În continuare se fac referiri la curbe caracteristice convenţionale.

a b c

Fig. 1.19. a) Deformarea unei epruvete prin întindere, b) Epruvete rotunde, c) Epruvetă plată

Deformaţiile epruvetei pot fi elastice (dispar după descărcare), sau plastice (nu dispar după descărcare şi pot modifica structura materialului, forma şi dimensiunile corpului studiat).

Curba caracteristică din figura 1.20,a are mai multe zone: OA – zonă liniară, în care apar deformaţii elastice, AB – zonă de deformaţii elasto-plastice, BC – palier de curgere, CD – zonă de întărire.

Experimentele au arătat că la descărcare este parcurs un segment paralel cu OA (fig. 1.20,b). Ca urmare, deformaţia specifică corespunzătoare unui punct M din zona neliniară a curbei caracteristice are o componentă elastică εe şi una plastică εp ( peM ε+ε=ε ).

17

Page 18: Cap1 Introducere RM1

a b

Fig. 1.20. Curba caracteristică pentru: a) oţeluri carbon, b) oţeluri aliate

Pe curba caracteristică a unui oţel carbon (fig. 1.20,a) pot fi identificate câteva mărimi numite caracteristici mecanice ale materialului , deosebit de importante în calculele de rezistenţă a structurilor:

Limita de proporţionalitate Rp (σp) - tensiunea până la care relaţia dintre tensiuni şi deformaţii specifice este liniară.

Ecuaţia dreptei OA, pe care este valabilă legea lui Hooke (relaţia1.17) este deci:

ε=σ E . (1.20)

Rezultă că modulul de elasticitate longitudinal (modulul lui Young) E reprezintă panta porţiunii liniare a curbei caracteristice ( 0α= tanE ).

Limita de elasticitate σe – tensiunea până la care materialul are comportament elastic şi epruveta revine la dimensiunile iniţiale după descărcare. La unele materiale se defineşte o limită de elasticitate convenţională σ0. 01. Aceasta reprezintă valoarea tensiunii la care apar local primele deformaţii plastice (valoarea tensiunii căreia îi corespunde, după descărcarea epruvetei, o alungire specifică remanentă de 0,01 % ). Pentru majoritatea materialelor utilizate în construcţia de maşini, limita de elasticitate este foarte apropiată de limita de proporţionalitate, deşi cele două mărimi sunt definite diferit. De asemenea, unele materiale pot avea o comportare elastică (revin după descărcare la dimensiunile iniţiale), însă neliniară.

Limita de curgere aparentă Re (σc) – tensiunea care se menţine aproape constantă pe durata deformării plastice vizibile a epruvetei, până la formarea unei gâtuiri (o reducere vizibilă a unei secţiuni). Există materiale care nu au palier de curgere (Fig.1.20,b), pentru care se defineşte o limita de curgere tehnică Rp0,2 – valoare a tensiunii de încărcare, căreia îi corespunde, după descărcare, o deformaţie specifică permanentă (remanentă) de 0,2% .

Rezistenţa la rupere a materialului Rm (σr) – tensiunea maximă identificată pe curba caracteristică convenţională a materialului, determinată cu relaţia

0AFR max

rm =σ= . (1.21)

18

Page 19: Cap1 Introducere RM1

După rupere se pun cap la cap cele două părţi ale epruvetei şi se măsoară diametrul minim du (din secţiunea de rupere) şi distanţa lu dintre urmele lăsate de piesele de prindere ale extensometrului.

Având în vedere şi aria secţiunii de rupere 4/2uu dA π= , se calculează alungirea la

rupere An şi gâtuirea la rupere Z :

1000

0 ⋅−=l

llA un [%] ; 100

0

0 ⋅−=A

AAZ u [%]. ( 00 d/ln = ) (1.22)

Valorile An şi Z caracterizează deformabilitatea plastică la rece şi au valori cuprinse între 20% şi 60% la materiale ductile (Fig.1.21, a,c,d,e) şi sunt apropiate de zero la materiale fragile (Fig.1.21,b).

Valorile parametrilor elastici şi de rezistenţă ai materialelor sunt influenţaţi sensibil de factori ca:

• temperatura;• tehnologia de fabricaţie;• micile abateri de compoziţie ale aliajelor;• tratamentele termice şi mecanice aplicate etc.

De regulă, încercările se fac la 20 oC, dar uneori sunt necesare caracteristicile mecanice la temperaturi scăzute sau ridicate. Este foarte important un studiu al influenţei temperaturii asupra caracteristicilor mecanice ale materialelor pieselor care funcţionează la temperaturi scăzute sau ridicate, dar care se prelucrează şi se montează în condiţii normale. Este cazul componentelor motoarelor cu ardere internă, cazanelor şi turbinelor cu abur, echipamentelor de proces din industria chimică, petrochimică, alimentară, instalaţiilor frigorifice etc.

Temperatura de încercare modifică foarte mult caracteristicile mecanice şi alura curbei caracteristice. Ca exemplu, în figura 1.22 sunt prezentate curbe caracteristice (zonele de solicitare elastică şi elasto-plastică) ale oţelului OLC 10 laminat la cald, la diferite temperaturi cuprinse între 20 oC şi 700 oC.

În tabelul 1.1. sunt date caracteristicile fizico-mecanice ale unor materiale mai des utilizate în aplicaţiile inginereşti.

Curbele caracteristice ale materialelor au diferite forme:

1. cu zonă liniară şi palier de curgere (fig. 1.23, a), 2. cu zonă liniară dar fără palier de curgere (fig. 1.23, b), 3. curbă neliniară cu pantă descrescătoare (fig. 1.23, a), 4. curbă neliniară cu pantă crescătoare (fig. 1.23, b), 5. curbă neliniară cu punct de inflexiune (fig. 1.23, c).

19

Page 20: Cap1 Introducere RM1

Fig. 1.21. Moduri de rupere la epruvete din materiale diferite

a), c) , d)-oţel moale (rupere con- cupă); b) oţel aliat (rupere fragilă); e) aliaj de aluminiu (rupere con-con)

Fig. 1.22. Curbe caracteristice ale oţelului

OLC 10, la diferite temperaturi

a b c

Fig. 1.23. Curbe caracteristice neliniare

Curba caracteristică a oţelului moale este de tipul 1, iar la oţel aliat, fontă, alamă, cupru, beton, de tipul 2. Curbă caracteristică de tipul 3 au oţelurile la temperaturi ridicate, tipul 4 se întâlneşte la fibre textile, corzi, cabluri, iar curbele cu punct de inflexiune de tipul 5 sunt specifice cauciucului, elastomerilor, materialelor plastice.

În cazul curbelor caracteristice complet neliniare se pot defini două valori ale modului de elasticitate în fiecare punct M (fig. 1.23,a):

modulul tangent Et

M

tt ddtanE

εσ=α= , (1.23)

modulul secant Es

M

Mss tanE

εσ=α= , (1.24)

Modulul de elasticitate în origine este modulul tangent 00 α= tanE .

20

Page 21: Cap1 Introducere RM1

Tabelul 1.2: Caracteristici fizico-mecanice ale unor materiale uzuale

Materialul ρkg/m3

EN/mm2

ν αK-1

Rp 0,2

N/mm2

Rm

N/mm2

A5

%Aluminiu 2700 0,69⋅105 0,3 23,8⋅10-6 50÷80 80÷110 32÷40

Duraluminiu 2800 (0,7÷0,74)⋅105 0,33 23,5⋅10-6 300÷350 500÷550 13÷20

Cupru laminat 8900 (1,1÷1,3)⋅105 0,31÷0,34 17⋅10-6 150÷250 200÷320 15÷30

Bronz laminat 8800 1,15⋅105 0,32÷0,35 18⋅10-6 450÷520 480÷560 10

Alamă laminată 8470 105 0,32÷0,42 19⋅10-6 160÷330 300÷460 17

Fontă cenuşie 300 – 400 7250÷7600 (1,15÷1,6)⋅105 0,23÷0,27 10,4⋅10-6 - 260÷400 -

Fontă cu grafit nodular 500-7 7250÷7600 (1,15÷1,6)⋅105 0,23÷0,27 10,4⋅10-6 320 500 7

Fontă maleabilă perlitică P 70-02 7250÷7600 (1,15÷1,6)⋅105 0,23÷0,27 10,4⋅10-6 530 700 2

Oţel carbon OL 37 7850 (2÷2,1)⋅105 0,24÷0,3 12⋅10-6 210÷240 370÷450 25

Oţel carbon OL 52 7850 (2÷2,1)⋅105 0,24÷0,3 12⋅10-6 330÷350 510÷630 21

Oţel carbon de calitate OLC 45X 7850 (2÷2,1)⋅105 0,24÷0,3 12⋅10-6 500 700÷850 14

Oţel de arc OLC 85A 7850 (2÷2,1)⋅105 0,24÷0,3 12⋅10-6 980 1130 8

Oţel aliat 34MoCrNi 16 7850 (2÷2,1)⋅105 0,24÷0,3 12⋅10-6 800÷1000 1000÷1400 9÷11

Oţel aliat 17MoCrNi14 7850 (2÷2,1)⋅105 0,24÷0,3 12⋅10-6 750÷850 1000÷1500 8÷10

Oţel aliat 38MoCrAl 0,9 7850 (2÷2,1)⋅105 0,24÷0,3 12⋅10-6 950 1100 15

Beton B100-B300 2200 (0,2÷0,33)⋅105 0,16÷0,2 13⋅10-6 - 0,8÷1,3 -

Cauciuc dur 1400÷2100 25 0,49 85⋅10-6 13 60 -

Araldit D 1200 2500÷4200 0,36 90⋅10-6 30÷40 55÷80 -

Plexiglas 1200 2800÷3200 0,34÷0,37 80⋅10-6 15÷20 70÷80 -

Lemn de molid (paralel cu fibrele) 400÷500 0,11⋅105 0,21 3,5⋅10-6 9 60÷120 -

Lemn de molid (normal pe fibre) 400÷500 103 - 3,5⋅10-6 - 3 -

21

Page 22: Cap1 Introducere RM1

1.4.2 Încercarea la compresiunePentru determinarea caracteristicilor mecanice de compresiune ale materialelor

metalice sunt încercate epruvete cilindrice cu diametrul d0 egal cu înălţimea l0 (STAS 1552-78) recomandă d0 = l0 = 20 mm). Pentru probele de beton, rocă, lemn, se recomandă şi forma de cub.

În timpul încercării se măsoară scurtările il∆− produse de forţele de compresiune

iF∆− şi se calculează tensiunile şi scurtările specifice corespunzătoare cu relaţiile (1.19).

Epruveta din material ductil (fig. 1.24, a) ia formă de butoiaş când apar deformaţii plastice, iar în final devine rondelă, nefiind posibil să se ajungă la rupere.

În figura 1.24,b se prezintă modurile de fisurare în cazul epruvetei de fontă. Se constată că fisurile apar în plane rotite cu 45o faţă de direcţia de solicitare. La materiale fragile, forţa Fr la care apare prima fisură vizibilă este considerată forţă de rupere şi se raportează la aria 4/2

00 dA π= pentru determinarea rezistenţei la rupere prin compresiune

Rmc a materialului

0A

FR rmc = . (1.25)

Fig. 1.24. Moduri în care materialele cedează la compresiune

În cazul oţelurilor se poate considera curba caracteristică la compresiune drept simetrica celei de tracţiune faţă de originea axelor (Fig. 1.25,a).

Materialele fragile rezistă mai bine la compresiune decât la tracţiune (Fig.1.25,b). De exemplu, raportul rezistenţelor la rupere prin compresiune şi prin tracţiune Rmc/Rmt este ≈2,5 pentru fonte cenuşii şi ≈12 pentru beton.

a b

Fig. 1.25. Curbe caracteristice de compresiune şi tracţiune

Page 23: Cap1 Introducere RM1

Ecruisarea (alungirea grăunţilor cristalini) prin întinderea în stadiul plastic a materialelor ductile poate să conducă la îmbunătăţirea caracteristicilor mecanice ale semifabricatelor. Procedeul este utilizat la fabricarea ţevilor, profilelor şi sârmelor trase la rece.

Conform figurii 1.26, ecruisarea constă într-o încărcare în domeniul deformaţiilor elasto-plastice (pe traseul O-A-B) şi o descărcare (pe linia B-O’). După acest tratament mecanic materialul are o nouă curbă caracteristică, reprezentată în sistemul de axe εO’σ’ de segmentul de dreaptă O’B şi de arcul de curbă BU. Este uşor de remarcat creşterea semnificativă a limitei de proporţionalitate a materialului de la σp la pσ ′ .

Pentru un oţel moale (cu limită de curgere aparentă), se prezintă grafic în figura 1.27 modul cum se schimbă curba caracteristică după o serie de întinderi şi comprimări elasto-plastice. Segmentul OF reprezintă o deformaţie remanentă de compresiune indusă după patru etape de solicitare: 1) întindere (O-A-B), 2) descărcare (B-C), 3) compresiune (C-D-E), 4) descărcare (E-F). Dacă durata de curgere la întindere ar fi mai mare decât la compresiune, adică AB>DE, atunci punctul F ar ajunge la dreapta lui O şi segmentul OF ar reprezenta o deformaţie permanentă de întindere. Dacă AB=DE, atunci F coincide cu O şi astfel este descrisă o buclă de histerezis fără să mai fie înregistrată deformarea remanentă a epruvetei. Totuşi, repetarea unor asemenea cicluri de solicitare elasto-plastică provoacă microfisuri intercristaline în material şi poate produce fenomenul de rupere la oboseală. Cu cât aria închisă de bucla de histerezis este mai mare, cu atât este mai mic numărul de cicluri de solicitare până la ruperea epruvetei.

Dacă la încărcare apar numai deformaţii elastice, parcurgându-se porţiunea liniară OP a curbei caracteristice, atunci descărcarea are loc prin deplasare în sens contrar, pe porţiunea PO, fără să se inducă deformaţii remanente în material. De remarcat faptul că dacă ecruisarea materialului se face prin întindere elasto-plastică pe traseul O-A-B-G, descărcarea având loc pe segmentul GO’, noua curbă caracteristică de compresiune-întindere a materialului este H-O’-G-U (în sistemul εO’σ’). Deoarece între nivelele de solicitare la curgere la tracţiune şi la compresiune, tensiunea variază cu 2σc , rezultă că după ecruisare creşte limita de curgere la tracţiune dar scade limita de curgere la compresiune (

cc σ<σ ′ ). Acest fenomen este cunoscut sub numele de efect Bauschinger. Ca urmare, este convenabil ca semifabricatele ecruisate prin întindere plastică să fie solicitate în exploatare tot la tracţiune.

În numeroase situaţii, tensiunile şi deformaţiile remanente induse de tehnologiile de fabricaţie (roluire, îndoire, ambutisare, sudare, turnare) sunt eliminate prin tratament termic de recoacere.

Fig. 1.26. Ecruisarea unui material ductil Fig. 1.27. Efectul Bauschinger

23

Page 24: Cap1 Introducere RM1

1.4.3 Încercarea la torsiuneSe încearcă epruvete cilindrice pline sau tubulare (Fig. 1.28, a) în care, prin

torsionare, se creează stări de forfecare pură (Fig. 1.28, c).

Se măsoară unghiurile ϕi de rotire relativă ale capetelor epruvetelor, produse de cupluri cunoscute Mi (fig. 1.28, a) şi se calculează, cu relaţii care vor fi deduse în Capitolul 3- Răsucirea barelor drepte cu secţiune circulară, tensiunile τi şi lunecările γi, pe baza cărora se trasează curbele caracteristice la răsucire ale materialelor (Fig. 1.29).

Curbele caracteristice la răsucire au aceeaşi alură ca şi cele de întindere şi pe ele se identifică parametri cu semnificaţii şi notaţii similare: τp - limita de proporţionalitate la răsucire; τc – limita de curgere la răsucire; τr - rezistenţa la rupere la răsucire.

Fig. 1.28. Deformarea prin răsucire a unei epruvete tubulare

Fig. 1.29. Curba caracteristică la rǎsucire a unui oţel carbon

Legea lui Hooke γ=τ G este valabilă pe segmentul de dreaptă OA al curbei caracteristice (fig. 1.29), având panta egală cu modulul de elasticitate transversal al materialului G = tan β .

Între constantele elastice ale materialelor izotrope E (modulul de elasticitate longitudinal), G (modulul de elasticitate transversal) şi ν (coeficientul de contracţie transversală) există relaţia:

( )ν+=

12EG . (1.26)

Cu ajutorul relaţiei (1.26) se poate calcula, de exemplu G, pe baza valorilor măsurate ale modulului de elasticitate longitudinal E şi ale coeficientului lui Poisson ν.

24

Page 25: Cap1 Introducere RM1

1.5. Condiţii de rezistenţă, rigiditate, stabilitate şi durabilitate impuse la proiectarea structurilor

1.5.1. Condiţii de rezistenţăPe baza modelului de corp definit în paragrafele precedente se poate determina

tensiunea maximă- valoarea tensiunii ( tmax,σ , cmax,σ , maxτ ) în cele mai solicitate puncte ale structurii. Întrebarea la care trebuie să răspundă inginerul este cât de mare poate fi această tensiune pentru un corp dintr-un material cu o curbă caracteristică cunoscută. Răspunsul se poate formula pe baza parametrilor furnizaţi de curbele caracteristice. Pentru a nu se produce ruperea trebuie ca rmax σ<σ iar pentru a nu se produce deformaţii permanente, este necesar ca cmax σ<σ . Totuşi, scrierea condiţiilor de rezistenţă sub această formă nu este satisfăcătoare din următoarele motive:

• incertitudinile privind:

- dimensiunile pieselor (abateri de la cotele prescrise);

- valorile sarcinilor (sunt posibile suprasarcini accidentale);

- proprietăţile materialului (dispersia statistică a rezultatelor încercărilor de laborator);

• posibilitatea diminuării rezistenţei materialului, după execuţia piesei, ca urmare a uzurii, coroziunii, modificărilor chimice structurale;

• ipotezele simplificatoare care stau la baza relaţiilor de calcul al tensiunilor.

Înseamnă că tensiunile limită trebuie să fie mai mici decât rezistenţa la rupere – la materialele fragile- sau decât limita de curgere, în cazul materialelor tenace. Se ajunge astfel la o valoarea a tensiunii, numită tensiune admisibilă, care este tensiunea maximă pe care o poate suporta un material aflat într-o anumită stare de solicitare, astfel încât piesele confecţionate din acest material să-şi îndeplinească rolul în condiţii de siguranţă.

În cazul materialelor fragile tensiunile admisibile σta şi σca sunt stabilite faţă de rezistenţele la rupere la tracţiune şi la compresiune

r

mtta c

R=σ , r

mcca c

R=σ . (1.27)

Pentru materiale tenace se stabileşte tensiunea admisibilă la tracţiune se stabileşte în raport cu limita de curgere la tracţiune

c

pta c

R 2,0=σ ′ . (1.28)

În relaţiile (1.28) şi (1.29), cr şi cc sunt coeficienţii de siguranţă faţă de rezistenţa la rupere respectiv, faţă de limita de curgere şi au valori recomandate (Tabelul 1.3).

La oţeluri se consideră o singură tensiune admisibilă acata σ=σ=σ , pentru că s-a admis că acestea au aproape aceeaşi rezistenţǎ la tracţiune şi la compresiune.

Valorile tensiunilor admisibile în material, la tracţiune, compresiune şi torsiune (σta , σca , τa) sunt utilizate pentru impunerea unor condiţii de rezistenţă la solicitări simple similare ale structurii analizate

tatmax, σ≤σ , cacmax, σ≤σ , amax τ≤τ . (1.29)

25

Page 26: Cap1 Introducere RM1

O solicitare compusă (caracterizată atât de tensiuni normale cât şi tangenţiale) se echivalează cu o stare de întindere la fel de periculoasă, definită printr-o tensiune echivalentă care trebuie să respecte condiţia

taech σ≤σ . (1.30)

Tabelul 1.3. Coeficienţi de siguranţă recomandaţi la solicitări statice

Grupa de piese

Coeficienţi de siguranţă faţă deLimita de curgere Rezistenţa la rupere

Construcţii de maşini (în general) 1,3÷2 2÷4

Construcţii metalice 1,5÷1,7 2,2÷2,6

Cazane, rezervoare, conducte din tablă de oţel

1,4÷1,8 2÷3

Cazane, rezervoare, conducte din oţel turnat 1,8÷2,3 2,5÷4

Tije de piston pentru cilindri hidraulici 2÷3 -

Cabluri pentru maşini de ridicat - 8÷20

1.5.2. Condiţii de rigiditateCondiţiile de rigiditate se scriu sub forma generală

ai δ=δ max, , (i= 1, 2, . . . , n) (1.31)

şi arată că deplasările maxime ale punctelor 1, 2, . . . , n aparţinând structurii analizate nu trebuie să depăşească o valoare admisă aδ .

Prin impunerea unor condiţii în deplasǎri, de tipul (1.31), pot fi controlate amplitudinile şi frecvenţele vibraţiilor structurilor flexibile.

1.5.3. Condiţii de stabilitate

Verificarea la stabilitate constă în determinarea unui coeficient de siguranţă efectiv cf care trebuie să fie cel puţin egal cu o valoare impusă de normele de proiectare pentru diferite categorii de structuri, cfa

faf cc ≥ . (1.32)

1.5.4. Condiţii de durabilitateCondiţia de durabilitate se scrie sub forma

gc NN ≥ , (1.33)

în care Nc este durabilitatea (număr de cicluri de solicitare până la rupere) estimată prin calcul, iar Ng este durabilitatea garantată a produsului care se proiectează.

Prin calculul de rezistenţă al unei structuri se asigură verificarea îndeplinirii condiţiilor de bună funcţionare. De asemenea, pornind de la condiţiile ce trebuie îndeplinite se poate face dimensionarea (stabilirea dimensiunilor structurii la un consum minim de material) sau se determină sarcina admisă.

26


Top Related