7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
1/44
Aplicaii
Aplicatii ale ecuatiei Bernoulli
Titlul aplicatieiIngineria proceselor in textile si pielarie I Nr.ore
28
Lucrri practice de laborator
L.1.Comportarea reologic a lichidelor. Modelul
Ostwaldde Waele
2
L.2.Rezistene hidrodinamice la curgerea fluidelor
prin conducte. Determinarea experimental acoeficientului de frecare i a coeficienilor de
rezisten local
2
L.3.Transfer de cldur global n regim staionar.
Determinarea experimental a coeficientului global
de transfer de cldur 2
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
2/44
Aplicaii numerice la curs
A.1.Notiuni introductive. Calcul tehnic, uniti de
msur i sisteme de uniti de msur, analizdimensional, bilanuri de materiale, bilanuri termice
2
A.2.Aplicaii ale ecuaiei fundamentale a hidrostaticii 2
A.3. Mrimi i relaii caracteristice n curgerea fluidelor 4
A.4.Aplicaii ale ecuaiei Bernoulli 4
A.5.Transfer de cldur prin conductivitate 2
A.6. Transfer global de cldur 4
A.7.Transfer de mas 4
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
3/44
Aplicatii din manalul:
Exerci t i i si prob leme de procese si aparate in tehno logia
chimicaautori K.F. Pavlov, P.G. Romankov si A.A. Noskov,Traducere din limba rusa dupa editia a 7-a prelucrata si
complectata, Editura TehnicaBucuresti.
Problemepag.86
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
4/44
Aplicaiiale ecuaieiBernoulli
II.2.4.3. Ecuatia de conservare a energiei pentru sis teme
macroscop ice (ecuat ia Bernoul l i)Curgerea unui fluid este cauzata de o forta care se
exercita asupra acestuia, ceea ce impl ica un consum de
energie.Acest consum de energie poate fi calculat dintr-un
bilant al energiilor care intervin la curgerea fluidului.
Bilantul energiilor pentru curgerea neizoterma aplicat
asupra unui volum de dimensiuni infinit mici conduce la o
ecuatie diferentiala foarte complicata denumita ecuatia
energiei.
Pentru cazul mai simplu al curgerii printr-un sistem
macroscopic ecuatia care exprima conservarea energiei este
mai simpla si se numeste Ecuatia Bernoul l i .
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
5/44
a) Pentru f lu ide necompresib i le in cu rgere izoterma,
=constant,si deci volumul specific: Vs=1/, este
independent de presiune. In acast caz:
In relatia de mai sus semificatia marimilor este urmatoarea :
- LM- lucrul mecanic consumat in sisem;
- g - este constanta acceleratiei gravitationale;
- H1si H2- inaltimile geomertice , in m;
- v1si v2 - vitezele medii in sectiunile de intrare si deiesire din sistem;
- P1si P2- presinile statice in sectiunile de intrare si de
iesire din sistem;
p12212212M EPPvv2
1HHgL
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
6/44
- - densitatea fluidului din sistem;
- Ep- energia perduta in sistem ca rezultat al fercarilor si a
rezistentelor locale.
In ecuatia de mai sus fiecare termen are
dimensiunea unei energii raportata la unitatea de masa:
Ecuatia lui Bernoulli in forma data de relatia
anterioara poate fi interpretata astfel: lucrul mecanic de
exterior este folosit pentru:
- cresterea energiei potentiale a fluidului,
exprimata prin termenul,
kgJ
kg
mN
kgs
mmkg
ms
m
gH 22SI
ML
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
7/44
)HH(g 12
- cresterea energiei cin et ice a fluidulu i,exprimata
prin termenul,
- inv ingerea eventualelor diferente de presiune
stat icain t re sect iuni le sis temului,
-acoperirea pierderi lor de energie determinate def recari si de inert ie,
2122 vv2
1
12 PP
pE
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
8/44
In calculele ingineresti ecuatia Bernoulli se utilizeaza si
in alte forme:
- ecuatia Bernou l l i in termeni de presiuni:
p12212212TM EPPvv2
1HHgPL
in care fiecare termen aredimensiuni le unei presiuni:Intr-o forma mai restransa:
32 m
J
m
N
psdgT PPPPP
-ecuatia lui Bernou l l i in termeni de inalt im i. Se obtine prin
impartirea ecuatiei exprimata in presiuni la g:
g
E
g
PPvv
g2
1HHH
L p1221
2
212MM
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
9/44
Raportul se numeste inal t imea manometr ica a
s is temulu i, si reprezinta ca semnificatie fizica, inaltimea unei
coloane de lichid a carei energie potentiala, gHM, este egalacu energia mecanica, LM, consumata pentru transportul in
sistemul dat a unitatii de masa de fluid. Semnificatia
marimilor este urmatoarea :
MM Hg
L
)inaltimedetermeniinenergiedepierderile(g
EH
)staticainaltimea(gPPH
)dinamicainaltimea(vvg2
1H
)geometricainaltimea(HHH
p
p
12s
2
1
2
2d
12g
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
10/44
b) Pentru f luide compresibi le (gaze) in curgere izoterma,
densitatea si deci volumul specific depind de presiune.
Dependenta de presiune a volumului specific se obtine
din ecuatia de stare a fluidului. Pentru gaze la presiunimoderate ecuatia de stare rezulta din legea gazelor perfecte
p122
1
2
212M
1
2
P
P
P
P
s
s
EP
P
lnM
RT
vv2
1
HHgL
P
Pln
M
RT
P
dP
M
RTdPV
MP
RTV
M
RTP
M
RT
V
mPnRTPV
2
1
2
1
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
11/44
II.2.4.3.1. Ap licati i ale ecuatiei Bernou ll i
Ecuatia Bernoulli are numeroase aplicatii ingineresti.Una dintre aplicatii consta in utilizarea valorii lucrului
mecanic, LM, necesar transportului unitatii de masa de fluid
intr-un sistem datdeterminat din ecuatia Bernoullipentru
calculul puterii necesare motoarelor ce actioneaza utilajele
de transport (pompe, ventilatoare, suflante etc.).Produsul dintre lucrul mecanic, LM, si debitul masic de
fluid, Mm, da tocmai puterea teoretica. Tinand cont de
randamentul global (to tal) al instalatiei de transpor t, t,
puterea necesara va fi data de relatia:
t
Tv
t
mv
t
mm
t
Mm
1000
PM
1000
gHM
1000
gHM
1000
LMP
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
12/44
II.2.5.3.1. Rezistente hidrodinamice la curgerea in
conducte
In functie de natura lor, rezistentele hidrodinamice se
clasifica in rezistente de frecare cauzate numai de
frecarile in portiunile drepte ale conductei si rezistente
locale cauzate de actiunea simultana a frecarilor si
inertiei in armaturi si in alte elemente ale conductei.
II.2.5.3.1.1. Rezistente determ inate de frecari
Rezistentele de frecare sunt calculate pentruportiunile drepte ale conductei fiind denumite rezistente
l iniare.Exprimarea cantitativa a acestor rezistente se face
de obicei prin caderea de presiune, P.
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
13/44
Caderea de presiune intr-o conducta determinata de
frecari se calculeaza cu relatia :
2
v
d
LP
2
f
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
14/44
in care :
-Pf- este caderea de presiune determinata de
frecari;
- - coeficientul de frecare in conducta;- L - lungimea conductei;
- d - diamedrul conductei;
- - densitaea fluidului;
- v - viteza medie a fluidului.
Factorul este adimensional si se numeste coefic ient
de rezisten ta determin at de frecari, fiind notat cu f
d
L
2
vP
2
ff
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
15/44
Coeficientul de frecare este o functie de intensitatea curgerii
caracterizata prin valoarea lui Reynolds cat si de
rug ozitatea relat iva a conduc tei, .
unde:
Rugozitatea relativa este data de raportul dintre rugozitateaabsoluta, e, si diametrul interior al conductei, d. Criteriul Re
indica inf luenta frecari lor interne iar rugozitatea relativa
indica inf luenta fercari lor cu pereteleconducte i.
d
e
Re,f
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
16/44
In regim laminar nu depinde de rugozitate ci numai de Re. In
regim puternic turbulent fortele vascoase sunt neglijabile si
depinde numai de rugozitatea relativa si nu depinde de Re
(regim sau domeniu de automodelare).Pentru regimul laminar expresia pentru coeficientul de
fracare se stabileste utilizand relatia Fanning-Darcy si relatia
care da viteza medie in curgerea laminara din care rezulta:
Pentru regimul intermediar si cel turbulent se folosec grafice
de forma celor prezentate in figura de mai jos:
Re64
vd64
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
17/44
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
18/44
II.2.5.3.1.2.Rezistente lo cale
Rezistentele localedetermina caderi de presiune prin
frecari si inertie si sunt date de:elementele de legatu ra intreport iuni le drepte ale conductei (cotur i , reducti i , teuri ,
ramificati i , etc), de elementele de reglare a curgeri i
(robinete, vane, etc), de elementele de masurare a
parametri lor flu idu lui (diafragme, ro tametre, etc) si de alte
elemente ce pot f i intalni te pe un tr aseu de curgere.
Caderea de presiune determinata de rezistentele locale
se pot calcula prin doua metode:
- metoda coefic ient i lor de rezistenta locala (metodamai exacta);
- metoda lungim i lor echivalente (mai putin exacta).
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
19/44
a) metoda coefic ient i lor de rezistenta locala
Daca pe un traseu de curgere sunt n rezistente locale:
2
vP
2
rl
2
vP
2n
1i
irl
Coeficientii de rezistenta locala se determina experimental si
sunt tabelati in literatura de specialitate.
b) metoda lungim i lor echivalente
Aceasta metoda foloseste relatia Fann ing -Darcyin
care lungimea conductei este inlocuita cu lungimea
echivalenta a rezistentei locale, Le.
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
20/44
2
v
d
LP
2
erl
dkL rle Lungimea echivalenta se exprima in functie de diametrul
conductei. Coeficientul krleste tabelat pentru diverse tipuri de
rezistenta locala.
Caderea totala de presiune Pp va fi egala cu suma
Pf+Prl.
2
v
d
LLP
2
v
d
LP
2
ep
2
ip
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
21/44
38. Un lichid cu densitatea relativa 0,9 intra prin curgere
libera dintr-un vas deschis, situat la inaltime, intr-o
coloana de rectificare (fig. 1-25). Presiunea din coloana de
rectificare, citita la un manometru (at), este 0,4 kgf/cm2. La
ce inaltime x trebuie sa fie nivelul lichidului in vasul de
alimentare fata de locul de intrare in coloana, pentru ca
vitetza lichidului din teava sa fie 2 m/s ? Pierderea de
presiune prin frecare si rezistente locale corespunde la2,5 m (se utilizeaza ecuatia Bernoulli).
sau:
p12212212M EPP
vv
2
1HHgL
p12
2
1
2
212
M Hg
PP
g2
vv)HH(
g
L
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
22/44
Prin conventie se considera ca fluidul curge intotdeauna
dinspre sectiunea S1spre sectiunea S2.
Daca lichidul curge liber LM= 0
V1 este viteza in sectiunea de sus care este mult mai mare
decat sectiunea S2, care este sectiunea la intrearea lichidului
in coloana. Deci v1
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
23/44
prin urmare:
m14,75,281,9900
1081,94,0
81,92
25,281,9900
1081,9)14,1(
g2
vx4242
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
24/44
39. O solutie de 86 % glicerina se scurge din rezervorul 1
in aparatul 2 prin teava cu diametrul 29 x 2 mm. Diferenta
de nivel intre aparate este 10 m , lungimea totala a
conductei 110 m. Sa se determine debitul solutiei, dacadensitatea relativa este 1,23 iar vascozitatea 97 cP.
Rezistentele locale se neglijeaza. Regimul de curgere se
considera laminar (cu verificare ulterioara). Nivelul solutiei
in rezervor se considera constant.
H=H1-H2=10 m
(S1)
(S2)
Se aplica ecuatia Bernoulli intre
sectiunile (S1) si (S2) in termeni
de inatimi;
p12
2
1
2
212
M Hg
PP
g2
vv)HH(
g
L
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
25/44
Deoarece lichidul curge liber intre cele doua sectiuni LM= 0.
Prin conventie lichidul curge dinspre (S1) spre (S2) si
ecuatia Bernoulli se scrie astfel :
p2
12 Hg2
vHH0
v1
=0 (viteza in sectiunea S1
care se poate neglija );
v2= v (viteza in sectiunea S2 care este tocmai sectiunea
conductei);
)1(Hg2
vH p
2
)2(4
dvSvMM
2
vm
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
26/44
Din relatia (1) se calculeaza viteza medie in conducta :
0Hgd
vL32
g2
v2
2
in care:
gdvL32
g2v
dL
dv64
g2v
dLH
2
22
p
010v275,45v05096,0 2
s/m22,005096,02
1005096,04)275,45(275,45v
2
2,1
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
27/44
Se verifica Re:
arminlaregimulverificase7,691097
22,010251230vd
Re 3
3
Iar din relatia (2) se calculeaza debitul masic de lichid:
min/l47,6Mv
601000100788,1s/m100788,11230
1327,0M
M
:respectiv
h/kg94,477s/kg1327,0M
4)1025(14,322,01230
4dvSvMM
434m
v
m
232
vm
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
28/44
40.20 t/h clorbenzen la 45 oC se pompeaza din rectorul (1)
in rezervorul deschis (2). In reactor, deasupra lichidului,
se mentine o depresiune de 200 mm Hg (fig. 1-27).
Conducta este din teava de otel cu coroziuneaneinsemnata, cu diametrul 76 x 4 mm, lungimea totala
fiind de 26,6 m. Pe conducta se gasesc doua ventile, o
diafragma (do=48 mm) si cinci coturi de 90o (Ro/d=3).
Clorbenzenul se transporta (se pompeaza) la inaltimeaH=15 m. Sa se gaseasca puterea necesara pompei ,
considerand randamentul total al instalatiei de pompare
egal cu 0,7.
t
tv
t
Mv
t
Mm
1000pM
1000HgM
1000HgMP
212g m/N1570091581,91067HHgp
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
29/44
unde:
V1= 0 ; iar v2= v (viteza din conducta) care se calculeaza din
ecuatia debitului masic:
35
m/kg1067)45101241(1130t)(1
4
dvM
2
m
din care:
s/m43,1)1068(14,310673600
10204
d
M4v
23
3
2
m
2
22
d m/N9,1090243,11067
2vp
2
12s m/N746483,133)200760(PPp
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
30/44
2
v
d
L
2
v
2
v
d
Lppp
2
i
2
i
2
rlfp
Se calculeaza =f(Re, ) unde :
172925106,0
106843,11067dvRe
3
3
Unde: (nomograma la pag.640)
Pentru conducta de otel la coroziune neinsemnata e = 0,2
mm (pag.604 tab.XI)
Din fig.de la pag. 41, pentru d/e=68/0,2 =340 si pentru Re =172925 rezulta = 0,026.
Lungimea totala a conductei este data fiind de 26,6 m.
23
45 m/sN106,0cP6,0
C0
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
31/44
Se scot din tabele coeficientii de rezistenta itinand cont de tipurile de rezistenta locala (pag. 605, Tab.XII).
Pe conducta se gasesc urmtoarele rezistente locale:
- doua ventile normale;- o diafragma cu do= 48 mm;
-5 coturi de 90 o, cu Ro/d =3
-- Pentru ventil normal vn se ia in functie de diametrul interior(pag. 607):
-pentru d=68 mm prin interpoare se obtine
-d=40 mm .....................68 mm..................................d=80 mm
-=4,9 ......................... x =4,27 ................................=4,0
-deci: vn= 4,27
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
32/44
- pentru diafragma se calculeaza parametrul
498,06848
Ddm
22
o
pentru: 5,0m
d= 4
pentru coturi de 90
o
pentru care Ro/d = 3 avem :
212,0122,009,0:deci
3d
R:unde
122,0360
90314,32026,0
d360
R2
d
L
:iar
09,009,01BA:unde
t
'
c
o
ocot
t
'
t
'
c
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
33/44
Si: 6,13212,05427,42512 cdvni
Deci :
2
3
d3
2
ip
m/N3,259319,10906,131068
6,26026,0
p6,131068
6,26026,0
2
v
d
Lp
Prin umare:
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
34/44
2
p12
2
12t
m/N2,2586793,25931746489,1090157009
pPP2
v)HH(gp
Kw92,17,0100010673600
2,2586791020
1000
pM
1000
HgM
1000
HgMP
3
t
tv
t
Mv
t
Mm
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
35/44
46. Sa se determine puterea necesara pentru a
transporta 6 m3/h solutie refrigrenta (solutie 25 % CaCl2)
din instalatia de racire in condensatorul asezatdeasupra coloanei de rectificare. Inaltimea de ridicare
este 16 m; vascozitatea solutiei este 9,5 cP, densitatea
1200 kg/m3; diametrul conductei de otel este 32 x 2,5
mm, iar lungimea totala 80 m. Conducta de otel are o
coroziune neinsemnata. Pe conducta sunt sase coturi
de 90 o (Ro/D=4) si patru ventile Randamentul total al
pompei electromotorului se considera 0,5.
unde: t
tv
1000
pM
P
p122
t pPP
2
vHgp
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
36/44
2
g m/N1883521681,91200Hgp
Pentru a calcula pdse determina viteza medie din ecuatiadebitului volumic:
s/m91,2
10273600
64
d
M4v:undede
4
dvSvM
232
v2
v
si deci :
222
d m/N8,50802
91,21200
2
vp
aatmosfericpresiuneaPP:deoarece0PPp 2112s
2
v
d
Lp
2
ip
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
37/44
se determina in functie de Re si de din graficul de la pag. 41.
e = 0,2 pentru coroziune neinsemnata si deci d/e=27/0,2=135
Se calculeaza Re:
6,9924105,9
102791,21200dvRe
3
3
Din graficul de la pag. 41 rezulta =0,038
Pentru rezustentele locale avem:
- sase coturi de 90 o (si Ro/D=4);
- patru ventile normale
Pentru coeficientii de rezistenta locala se folosesc tabelele de
la pag.605
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
38/44
pentru coturi:
839,0749,009,0
749,04
42038,0d
R2038,0
d
L
09,009,01BA':carein
c
oct
t
'
c
pentru ventile normale cu diametrul 27 mm:
- prin interpolare
d =20 mm.................d=27mm...................................d=40mm= 8 ........................x.=6,91...................................... =4,9
v=6,91
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
39/44
Deci:
2
p
3
2
ip
m/N5,738070p
8,508091,64839,061027
80038,0
2
v
d
Lp
Si deci :
2
t
p12
2
t
m/N3,931503p
5,7380708,5080188352pPP2
vHgp
Deci:
kw1,35,010003600
3,9315036
1000
pMP
t
tv
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
40/44
47.Printr-o conducta orizontala se pompeaza un lichid.
De cate ori se mareste consumul de energie necesar
transportului, daca prin aceeasi teava trece o cantitate
dubla de lichid ? Coeficientul de ferecare se consideraconstant, iar 0p st
2
v
d
L1p
2
vp
2
v
d
L1
2
v
d
L
2
vp
2
vp
2
2
1
2
2
22t
2
1
1
2
1
1
2
11
2
11t
2
1
2
212
1
2
1v
2v v4v:undedev2v:carezultaSv
Sv2
M
M
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
41/44
8
v
v42
v
v2
2v
dL1
2
v
d
L1
2
pM
pM
P
P2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
2
2
1
1t1v
2t2v
1
2
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
42/44
49. Dintr-un rau se pompeaza cu o pompa apa la 10 oC
intr-un rezervor deschis. Nivelul apei in rezervor este in
medie cu 50 m deasupra nivelului apei din rau. Conducta
are diametrul 80 mm, iar lungimea ei calculata (lungimeainitiala plus lungimea echivalenta pentru coturi, ventile
etc.) este 165 m. Pompa debiteaza 575 l/min. Care este
puterea consumata de pompa , daca radamentul
instalatiei de pompare este 0,55 ?
t
tv
1000
pMP
in care:
212t m/N4905005081,91000HHgp
4
d
vSvM:carein2
v
p
2
v
2
d
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
43/44
de unde:
s/m90,1)1080(14,360
105754
d
M4v
23
3
2
v
cu care se calculeaza pd:
222
d m/N18052
90,11000
2
v
p
0PPp 12s
5,116030
1031,1
10809,11000dvRe
pd
LL
2
v
d
LLp
3
3
d
e
2
e
p
7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)
44/44
4002,0
80
e
d
s-a considerat coroziunea conductei
neinsemnata (pag. 604)
din graficul de la pag. 41 gasim = 0,033
23d
ep m/N8,7384710851080165033,0p
d
LLp
deci:
2
t m/N8,5661528,738471805490500p
Kw86,955,0100060
8,56615210575
1000
pMP
3
t
tv