APLICAȚII OFERITE DE
IMPLEMENTAREA GEOMETRIEI DESCRIPTIVE
ÎN PROIECTAREA DE ARHITECTURĂ
Conf. Dr. Ing. Berevoescu Ileana Carmen
Lector drd. Moldovanu Mihai
Universitatea Spiru Haret, Facultatea de Arhitectură
REZUMAT
Geometria descriptivă, ca disciplina teoretică, are o multitudine
de aplicatii în proiectarea de arhitectură. Din paleta largă de aplicații am
ales să prezint scara elicoidală și o structură reticulară de tipul
suprafețelor cilindrice cutate. Sunt prezentate noțiunile generale despre
scări și suprafețele elicoidale. Ca aplicație a elicoidului drept este
prezentată scara elicoidală. La începutul lucrării este prezentată o
clasificare a scărilor conform literaturii tehnice de specialitate, precum și
exigențele pe care trebuie să le respecte arhitecții în proiectarea de
arhitectură a scărilor. Deasemenea este amintită și formula pașilor sau
relația lui Rondelet. Este prezentat modul de generare al suprafetelor
elicoidale.
În figura 1 este arătat cilindrul de rotație și elicoidul drept, iar în
figura 2 este prezentat elicoidul drept sau elicea cilindrică.
Scara elicoidală este aplicație a elicoidului drept.
În figura 3 este prezentată scara elicoidală fără cilindru de
susținere sau fără sâmbure, iar figura 4 reprezintă scara elicoidală cu
cilindru de susținere interior față de scară.
Structura sau rețeaua reticulară reprezintă un ansamblu alcătuit
din puncte nodale numite noduri, legate între ele prin segmente de dreaptă
ce poartă numele de bare. Nodurile și barele formează rețele poligonale în
plan și poliedrale în spațiu.
Acoperirea planului cu poligoane regulate de același fel și de
aceeași latură se numește echipartiția planului. Aceasta poate fi regulată
sau omogenă sau echipartiție semiregulată.
Echipartiția regulată se realizează din poligoane regulate:
triunghi echilateral (notat cu cifra 3), pătrat (notat cu cifra 4) sau hexagon
regulat (notat cu cifra 6). Figura geometrică nedeformabilă este triunghiul
echilareral. De aici și rețeaua spațială triunghiulară este indeformabilă.
În fiura 5 este prezentat un cilindru cutat prin antiprisme.
În fiura 6 este arătată rețeaua cu ochiuri pătrate.
Figura 7 reprezintă o rețea triunghiulară.
CUVINTE CHEIE
Scară, rampă, treaptă, contratreaptă, podest, vang, balustradă,
suprafață elicoidală, elicoid drept, scară elicoidală, structură reticulară,
echipartiția planului, cilindru cutat prin antiprisme, rețea cu ochiuri
pătrate, rețea triunghiulară.
SCĂRI ÎN GENERAL ȘI ÎN PARTICULAR
Indiferent de tipul de circulație, principală sau secundară, scara ca
element de construcție este esențială în asigurarea circulației pe verticală
pentru orice tip de clădire. Din punct de vedere constructiv, scările sunt
alcătuite din plane de nivel sau plane orizontale numite trepte. Treptele
trebuie să fie echidistant așezate și denivelat unele față de celelalte. Planele
verticale se numesc contratrepte. O scară se dezvoltă într-un anumit spațiu
de circulație, care poartă numele de casa scării. Articulația creată de casa
scării trebuie să fie vizibilă încă de la intrarea în clădire. Pereții, planșeele și
ușile casei scării trebuie să respecte principiile siguranței structurale și să fie
executate conform normelor de proiectare antiseismică și de rezistență la
foc în vigoare.
În general, putem spune că scările se pot clasifica în funcție de [2]:
Destinația construcției
Amplasarea în interiorul sau exteriorul clădirii
Modul de comportare la foc
Înălțimea treptelor
Forma în plan a treptelor
Materialul din care este construită scara.
Forma în plan a unei scări este dictată de spațiul alocat circulației.
În timp putem spune că am asistat la o evoluție pozitivă a formei în
plan a unei scări, a materialelor utilizate la construcția acestora precum și a
tehnologiilor lor de execuție. Betonul armat și betonul de înaltă rezistență,
fac posibilă executarea de scări cu orice formă arhitecturală. Multitudinea
construcțiilor a impus o varietate de tipuri de scări cu diverse forme în plan,
diferite tipuri de structuri de rezistență și o gamă foarte largă a gradului de
finisaj.
După destinația clădirii deosebim următoarele tipuri de scări:
Scări monumentale (îndeplinesc un rol funcțional și un
rol arhitectural deosebit)
Scări principale (asigură atăt circulația uzuală cât și
evacuarea în caz de pericol)
Scări secundare
Scări de incendiu
Scări industriale
După poziția fată de clădire avem:
Scări exterioare
Scări interioare
După modul de comportare la foc scările pot fi:
Scări incombustibile (scări din beton, piatră și materiale
ceramice)
Scări greu combustibile (scări metalice)
Scări semicombustibile (scări din lemn ignifugat)
Scări combustibile (scări din lemn)
După înălțimea treptelor scările se împart în:
Scări cu trepte joase
Scări cu trepte mijlocii
Scări cu trepte înalte
Scări cu trepte abrupte
După forma în plan a treptelor avem:
Scări drepte
Scări curbe
Scări elicoidale
Scări balansate
După materialul de construcție utilizat deosebim:
Scari din lemn
Scări metalice
Scări din piatră naturală
Scări din materiale ceramice
Scări din beton armat
Scările sunt alcătuite din:
Rampe cu trepte și contratrepte
Podeste
Vanguri
Balustradă
Rampa reprezintă partea înclinată a unei scări. Lățimea rampei se
notează cu l. Ea este alcătuită din trepte și contratrepte. Lățimea rampei l
este egală cu lungimea treptelor.
Treapta este elementul orizontal al rampei. Lățimea treptei se
notează cu b, iar înălțimea cu h.
Planul vertical al treptei se numește contratreaptă.
Relația între lățimea b și înălțimea h este dată de formula pașilor
sau relația lui Rondelet [2]:
2h+b=62...64 cm
Podestele sunt plane orizontale intercalate între rampe. Ele
reprezintă locuri de odihnă, dar și posibilitatea schimbării direcției rampei.
Grinda amplasată pe linia de delimitare a rampelor de podeste, poartă
numele de grindă-podest.
Vangul este marginea liberă a unei rampe. Rampele pot avea două
vanguri sau un singur vang, atunci când rampele reazemă pe pereții casei
scării. Grinda care este așezată în lungul vangului se numește grindă-vang.
Linia pasului este considerată ca fiind proiecția pe planul orizontal
a liniei de utilizare normală a treptelor și este situată la o distanță de 50...60
cm de vang [2].
Balustrada este un element vertical, poziționat la partea liberă a
rampei sau a podestului. Ea este prevăzută la partea superioară cu un
element continuu numit mană curentă.
SUPRAFEȚE ELICOIDALE
Suprafețele elicoidale sunt suprafețe care se obțin prin rotația unei
drepte sau curbe în jurul unei axe, însoțită de translația sa pe direcția axei
simultan cu rotația. Elicoidul drept este suprafața generată prin rotația și
translația unei drepte perpendiculare pe ax.
Linia dreaptă sau curbă care se deplasează prin rotație și translație
se numește generatoare, iar dreapta sau curba pe care se sprijină poartă
numele de directoare.
Se consideră o suprafață cilindrică de rotație (figura 1).
Suprafața generată prin deplasarea unei drepte ce se sprijină pe axa
unui cilindru de rotație și pe elicea înfășurată pe suprafața sa rămânând
paralelă cu un plan perpendicular pe axă poartă numele de elicoid drept.
Elicea cilindrică este curba ce măsoară drumul cel mai scurt pe
suprafața unui cilindru între două puncte aflate pe aceeași generatoare.
Acest drum este o curbă care pe desfășurata suprafeței laterale cilindrice
trebuie să fie o linie dreaptă (figura 1).
Scara elicoidală este o aplicație a elicoidului drept.
Elicoidul drept sau elicea cilindrică poate fi definit ca fiind linia
cea mai scurtă dintre două puncte A și B ale unei generatoare a cilindrului,
parcungând suprafața laterală a cilindrului o singură dată.
Distanța dintre două puncte ale elicei situate pe aceeași generatoare
a cilindrului poartă denumirea de pasul elicei.
Elicoidul drept sau elicea cilindrică mai poate fi definit ca fiind
linia curbă de pe suprafața cilindrică care face același unghi cu toate
generatoarele lui.
În figura 2 este prezentat elicoidul drept sau elicea cilindrică. Se
consideră un cilindru circular drept, reprezentat în perspectivă paralelă, în
care OZ este axă de rotație, iar înălțimea este considerată ca fiind
generatoarea AB. Se construiește cercul inferior cu centrul în punctul O și
cercul superior cu centrul în punctul O1, apoi se împarte circumferința
cercurilor în 12 arce egale între ele. Se construiește elipsa inferioară,
respectiv superioară prin câte 12 puncte. Se împarte pasul elicei (axul
cilindrului) în 12 părți egale. Se notează punctele bazei inferioare cu
0,1,2,3,...,11,12. Pentru a determina punctele ce definesc elicea cilindrică se
duce prin fiecare punct 1,2,3,...,11,12 de pe axul cilindrului paralele la
razele bazei inferioare O-1,O-2, O-3,...,O-11,O-12 și rezultă punctele
I,II,III,...,XI,XII ale elicei cilindrice. Dreptele 1-I, 2-II,...,11-XI, 12-XII,
ce se sprijină pe axul cilindrului și sunt paralele cu razele O-1, O-2,...,O-
11,O-12, reprezintă pozițiile rotite și translatate ale razei OA, generând o
suprafață elicoidală.
Ca aplicație a elicoidului drept am ales scara elicoidală.
Elicoidul drept reprezintă suprafața geometrică a plăcilor curbe
subțiri din beton armat pe care sunt așezate treptele scărilor în spirală.
În figura 3 este prezentată scara elicoidală fără cilindru de susținere
sau fără sâmbure.
În figura 4 este prezentată scara elicoidală cu cilindru de susținere
interior față de scară.
Punctele muchiilor ieșinde, ale muchiilor intrânde, respectiv
generatoarele intradosului scării sunt situate fiecare în parte pe câte o elice
cilindrică translatată una față de cealaltă.
Atunci cănd spațiul nu ne permite să dezvoltăm în plan rampe
liniare, se recomandă a se proiecta o scară elicoidală.
o Dacă cilindrul de susținere nu este materializat spunem ca scara
elicoidală este cu rampă liberă.
o Dacă cilindrul de susținere este materializat spunem ca scara
elicoidală este cu rampă încastrată într-un cilindru central.
Alte tipuri de scări elicoidale sunt:
Scară elicoidală cu vang central și intradosul rampei cutat
după forma treptelor
Scară elicoidală cu vanguri laterale
Scară elicoidală cu cilindru sâmbure director
STRUCTURI RETICULARE CONSTRUCTIVE
Structura sau rețeaua reticulară [1,3,4] reprezintă un ansamblu
alcătuit din puncte nodale numite noduri, legate între ele prin segmente de
dreaptă ce poartă numele de bare. Nodurile și barele formează rețele
poligonale în plan și poliedrale în spațiu.
Structurile reticulare se pot clasifica în:
Rețele plane
Rețele bidimensionale în spațiu
Rețele spațiale
Structurile reticulare constructive sunt delimitate prin contururi
poligonale pentru cele plane, repectiv poliedrale pentru cele spațiale.
Nodurile și barele structurilor reticulare sunt dispuse după aceste contururi.
Structurile reticulare constructive pot fi:
Liniare, dacă sunt dezvoltate pe o singură direcție
Planare, dacă sunt dezvoltate pe două direcții
De boltire, dacă sunt dezvoltate după diverse suprafețe
Spațiale, dacă sunt dezvoltate după diverse volume
Structurile liniare din plan sunt limitate de: două drepte paralele,
sau benzi ornamentale, sau grinzi cu zăbrele plane.
Structurile planare sunt limitate în plan de o linie poligonală, așa
zisele rețele plane, iar în spațiu de două plane paralele, numite structuri
reticulare planare.
Structurile de boltire se pot dezvolta după suprafețe cilindrice,
sferice, elipsoidale, ș.a. Acestea sunt dezvoltate într-un strat (rețele
bidimensionale) sau în dublu sau triplu strat.
Dacă notăm cu b numărul barelor și cu n numărul nodurilor,
condiția fundamentală în alcătuirea structurilor reticulare este ca barele de
legătură dintre cele două rețele plane să fie luate astfel încât să rezulte un
număr minim de tipuri de bare și noduri, asigurându-se în același timp
indeformabilitatea geometrică proprie a structurilor spațiale, respectând
relația [1,3,4] :
b = 3 * n – 6
Rețelele plane ale structurilor reticulare trebuie să fie alcătuite din
poligoane regulate de același fel sau din poligoane regulate de feluri
diferite, dar cu laturile egale, ceea ce conduce la o echipartiție regulată și
semiregulată a spațiului.
REȚELE PLANE. ECHIPARTIȚIA PLANULUI
Acoperirea planului cu poligoane regulate de același fel și de
aceeași latură se numește echipartiția planului [1,3,4]. Aceasta poate fi
regulată adică omogenă sau o echipartiție semiregulată.
Echipartiția regulată se realizează din poligoane regulate: triunghi
echilateral (notat cu cifra 3), pătrat (notat cu cifra 4) sau hexagon regulat
(notat cu cifra 6). Figura geometrică nedeformabilă este triunghiul
echilareral. De aici și rețeaua spațială triunghiulară este indeformabilă.
Echipartițiile semiregulate sunt alcătuite din combinarea a cinci
poligoane regulate diferite (triunghi echilateral, pătrat, hexagon, octogon și
dodecagon), cu o infinitate de variante.
Dacă se consideră rețeaua ca fiind un ansamblu de noduri,
regiunile grupate în jurul unui nod formează un subansamblu. Dacă în
fiecare ochi sau regiune a unui subansamblu se trece cifra ce exprimă
numărul de laturi sau vârfuri ale poligonului ce determină ochiul respectiv,
ansamblul se poate nota prin codul la nod. Acest cod poartă denumirea de
„codul Schläfli" [1,3,4] și constă în enumerarea în sensul acelor de
ceasornic (sens antitrigonometric) a cifrelor regiunilor ansamblului pornind
de la cifra cea mai mică.
REȚELE BIDIMENSIONALE CILINDRICE
Prin modelarea unei rețele plane astfel încât nodurile acesteia să se
găsească pe o suprafață curbă se ajunge la o rețea sau structură
bidimensională spațială ce poartă denumirea suprafeței respective. Putem
spune că avem de aproximat o suprafață curbă cu o suprafață poliedrală. În
continuare sunt prezentate trei rețele bidimensionale cilindrice [1,3,4].
În figura 5 este arătată aproximarea suprafeței cilindrice cu
antiprisme. Se așează o rețea triunghiulară (333333) pe suprafața laterală a
unui cilindru de rotație circular drept. Anumite segmente apar de-a lungul
secțiunilor circulare. Distanța dintre secțiunile circulare se obține din
triunghiul GG1G2, în care ipotenuza GG2 trebuie să fie egală cu înălțimea
triunghiului echilateral de latură AB. Astfel, se formează antiprisme
cuprinse între două secțiuni drepte ale cilindrului.
Aproximarea suprafeței cilindrice cu prisme se poate realiza pe
orice cilindru, prin așternerea pe suprafața laterală a acestuia a unei cu
ochiuri pătrate (figura 6) sau a unei rețele triunghiulare cu ochiuri
triunghiuri echilaterale sau isoscele (figura 7) .
Indiferent de tipul rețelei utilizate, unele dintre segmentele rețelei
sunt așezate sau suprapuse peste generatoarele cilindrului.
În figura 6 este prezentată rețeaua cu ochiuri pătrate. Se împarte
semicercul, ce reprezintă baza dreaptă a cilindrului, într-un număr de părți
egale corespunzătoare fețelor prismei prin care se aproximează suprafața
semicilindrică. Se consideră segmentele rețelei de pe generatoarele
cilindrului ca fiind egale cu coarda B0C0 corespunzătoare unei diviziuni a
semicercului. Se respectă egalitatea:
B0 C0 = A A1 = A1 A2 = A2 A3 = B B1 = B1 B2 =.............
În figura 7 este prezentată rețeaua cu ochiuri triunghiulare. Pentru
ca triunghiurile să fie echilaterale, segmentele de pe generatoarele
cilindrului ce corespund laturilor triunghiurilor echilaterale trbuie să fie
egale cu latura D01D0
2 a triunghiului echilateral de înălțime E0D0, astfel:
D01D0
2 = A A1 = A1 A2 = 2 B B1 = B1 B2 = B2 B3 = C C1 = C1 C2 =........
Codul rețelei este (333333). Segmentele înclinate față de generatoarele
cilindrului sunt coarde egale ale unor elipse simetrice față de secțiunea
dreaptă în cilindru, ce taie generatoarele cilindrului sub un unghi de 600.
Referințe bibliografice
1. M. Enache, I. Ionescu, Geometrie Descriptivă și Perspectivă, Editura
Didactică, București,1983
2. D. Ghiocel și colectiv, Construcții Civile, Editura Didactică și Pedagogică,
București,1985
3. S. Teodorescu, Geometrie Descriptivă, UTCB, 1996
4. Ghe. G. Marinescu, Geometrie Descriptivă, Editura Didactică și
Pedagogică, R.A., București,1997
Figura 1. CILINDRUL DE ROTAȚIE ȘI ELICOIDUL DREPT [1,3,4]