A. Mărimi fiziceA.1. Mărimi fizice scalare A.2. Mărimi fizice vectorialeA.3. Adunarea (compunerea) vectorilorA.4. Scăderea vectorilorA.5. Inmulțirea unui vector cu un scalarA.6. Descompunerea vectorilor. Axe de coordonateA.7. Dependența funcțională a marimilor fizice scalareA.8. Funcția putere și radicalA.9. Funcții trigonometriceA.10. Derivata unei funcțiiA.11. Funcția exponentială și logaritmicăA.12. Numere complexeA.13. Formula lui EulerA.14. Derivarea funcțiilor compuseA.15. Funcții vectorialeA.16. Aplicații:
a. Compunerea vectorilor perpendicularib. Compunerea vectorilor în cazul general
Mărimile fizice
sunt de doua feluri:
1. Mărimi scalare
2. Mărimi vectoriale
A.1. Mărimi fizice scalare
sunt caracterizate de valoare (pozitivă sau negativă)
Exemple: timpul, masa, volumul, densitatea,
presiunea, energia, puterea
A.2. Mărimi fizice vectoriale
sunt caracterizate de: valoare, direcție, sens
Exemple: viteza, accelerația, forța
Vectorii se notează cu litere îngrosate: v sau cu litere obișnuite cu sageată desupra: v
Vectorul este reprezentat de o sageată
Sensul este spre dreapta sau stânga pe această direcție
Direcția sa este determinată de dreapta suport
A.3. Adunarea (compunerea) vectorilor
a + b = c
a
b
c
se face dupa regula paralelogramului:
suma a doi vectori este egală cu diagonala
paralelogramului având drept laturi cei doi vectori
Regula de adunare a triunghiuluiVectorii se pozitionează astfel încat originea celui
de-al doilea să coincidă cu capatul primului.Suma vectorilor este egală cu vectorul care unește
originea primului cu capatul celui de-al al doilea
a
b
c
A.4. Scăderea vectorilor
a + b = c → b = c - a
b
a
c
este operația inversă adunării și se face astfel încât
vectorul diferentă c să unească capetele celor doi,
cu sensul dinspre scăzător (a) spre descăzut (c)
A.5. Inmulțirea unui vectorcu un scalar
este operația de multiplicare a vectorului de λ ori
b = a λ
a b
Dacă λ˃0 vectorul rezultant are același sensDacă λ˂0 vectorul rezultant are sens opus
Vectorii se pot descompune în plan dupa doua componente.Un caz important este descompunereadupa direcțiile unui sistem de axede coordonate perpendiculare (X,Y),numit și sistem cartezien:
a=ax+ay
=axex+ayey
Aici am definit vectorii unitari:
ex ey
drept vectorii pe directiile X si Ycare au marimea 1
a
axex
ey
A.6. Descompunerea vectorilor
este operația inversa compunerii
X
Y
ay
Rezulta ca un vector în planeste echivalent cu a defini opereche de marimi scalare (a x,a y)numite componentele vectoruluidupa axele X si Y
A.7. Dependenta funcționalăa mărimilor fizice scalare
Doua mărimi fizice scalare pot depinde una de cealaltă,definind astfel o funcție de o variabilă.
Reprezentare grafică a funcției într-un sistem decoordonate perpendiculare este dată de mulțimea
punctelor reprezentate de curba: y=f(x)
Funcția inversă: x=f-1(y): este curba simetrica față de prima bisectoare: y=xdeoarece rolul celor doua axe se schimbă reciproc
y=x
A.8. Funcția putere și radical Funția putere: y(x)=xn, unde n este număr
natural datFuncția inversă radical: y-1(x)=x1/n
prima bisectoare
A.9. Funcții trigonometricedefinite în triunghiul dreptunghic
φ 90o
90o -φ
a (catetă)
b (catetă)
c (ipotenuza)
cos
sin)ctg(90
a
btg
)90sin(cos
)90cos(sin
o
o
o
c
ac
bcateta opusă / ipotenuză
cateta alturată / ipotenuză
cateta opusă/ catata alaturată
Suma unghiurilor înorice triunghi este 180o
Cercul trigonometriceste un cerc de raza 1 în care
unghiurile se masoară în sens orar invers
y
xO A
Funcțiile trigonometricesunt definite ca de obicei:sin φ = AP / OP = APcos φ = OA / OP = OA
Din teorema lui PitagoraAP2 + OA2 = OP2 = 1rezultă: sin2 φ + cos2 φ = 1
φ
sin φ
cos φ
Masurarea unghiurilor în radiani
R
R
Δl
Δl
raza
cercrcului.de.lungimea.aani)unghi(radi
Corespondenta cu gradele obișnuite se face astfel:
360o → 2πR/R=2π180o → π
90o → π/2Numărul irațional π≈3.141593 este egal
cu raportul dintre lungimea cercului și diametru
a. Caz particular: φ=45o
2
145cos45sin
c
aoo
2
1
4cos
4sin
sau înradiani:
45o
45o
a
a
Teorema luiPitagora:c2 =2a2
90o
c
b. Caz particular: φ=30o si 60o
2
3
230cos60sin
2
1
260cos30sin
00
00
b
a
b
b
2
3
6cos
3sin
2
1
3cos
6sin
sau înradiani:
60o
60o
60o 3
0o30o
60o
a
b
b
b
b
ba
bab
3
)2( 222
Folosind teorema luiPitagora în triunghiul
dreptunghic ABC exprimăm latura
a funcție de latura b
Ipotenuza ACeste diagonalăcare se imparte
în doua segmente
egale: c=2bA B
CD
Completăm triunghiul dreptunghic ABC cutriunghiul egal ACD formând dreptunghiul
ABCD
Ecuații trigonometrice simple
)12(1cos
21cos2
)12(2
0cos
22
1sin
22
1sin
0sin
n
n
nn
n
n
n
φcos φ
sin φ
π/2+2nπ
-π/2+2nπ
(2n+1)π
2nπA
B
C
D
A,C
D
B,D
A
C
B
tgαdx
dy
Δx
Δy
A.10. Derivata unei funcțiise definește ca limita raportului dintre
variația funcției și variația argumentului
Δx: este variația argumentuluiΔy: este variația funcției,dy: este variația pe dreaptătangenta in x.Observație: Δx=dx
Concluzie:derivata în punctul M(x,y)este tangenta trigonometrică a unghiului α dintre dreapta tangenta la curba în punctul M și axa Ox
dreapta secantă MM 1 la limitadevine dreapta tangentă la M
Exemplu de utilizare a derivațeiCalculul punctelor de extrem (maxime,
minime):
y=f(x)
x
0dx
df0
dx
df
unde derivata de ordinul doieste derivată derivatei:
dx
df
dx
d
dx
fd2
2
funcțiacrește
funcțiascade
derivata scade,deci derivatade ordinul doieste negativă:
0
1
dx
dC
nxdx
dx nn
Derivarea funcției putere
xdx
dx
xΔxxΔx
xΔx)(x
Δx
ΔyΔx
2
22
2
0
22
In cazul generalFuncția putere y(x)=xnse derivează dupa formula:
Caz particular: pentru n=0obținem o constanta y(x)=C
Caz particular:y(x)=x2
Observație: n poate fi oricenumăr real pozitiv sau negativ
Produsul dintre o constantăși o funcție se derivează astfel:
dx
dfC
dx
Cfd
)(
Derivata sumei de funcții este: dx
dg
dx
df
dx
gfd
)(
xx
edx
de
A.11. Funcția exponentialăsi logaritmică
Numarul irational e≈2.71828 se poate defini ca bazaa funcției exponentiale y(x)=ex, pentru care derivata coincide cu funcția:
sau cu alte cuvinte: rata de creștere a acestei mărimieste egală cu marimea însăși în fiecare punct x.
Funcția inversă funcției exponențiale în baza e notata: y(x)=ln x (evident echivalenta cu: x=ey )se mai numește logaritm natural .Derivata funcței inverse se calculează astfel:
xedyde
dydxdx
dy
dx
xdyy
1111ln
Funcția exponențială (albastru): f(x) = ex, e ≈ 2.71828
Funcția inversă logaritmică (roșu): f-1(x) = loge(x) =
ln(x)Argumentul funcțieilogaritmice trebuiesa fie pozitiv !
Valori particulare
0ln
01ln
0
10
e
e
Operații cu exponențiale si logaritmi
nxnx
yxyx
xx
e)(e
eee
eex
lnln
xnx
yx(xy)
eeeexy
n
yxyx(xy)
lnln
lnlnln
lnlnlnlnln
axxax e)(ea lnln exex ax
aa loglnloglog ln
Schimbarea bazei cu numarul real a>0
Observație: ultimele egalități sunt valabile chiar daca numarul n are valori reale
Toate relațiile de mai sus sunt valabile în orice bază
Logaritmul zecimal
n
...n
10lg
310lg
210lg
110lg
3
2
n
...
.
.
.
-n
10lg
310lg0010lg
210lg010lg
110lg10lg
3
2
1
4343.0lg
lglnlglglog ln10
e
exexx x
Logaritmul în baza a=10 se numește logaritm zecimal,
care se poate calcula folosind logaritmul natural:
Urmatoarele relații sunt utile:
Invers, logaritmul naturalse poate calcula folosind logaritmul
zecimal:
3026.210ln
10lnlg10lnln lg
xx x
A.12. Numere complexe
1
sincos
i
)ir(ibaz
sin
cos
22
rb
ra
bar
Un numar complex este definit asfel:
Numarul i se numește unitate imaginară.Numarul complex z poate fi reprezentat de un vector cu doua componente (a,b)având mărimea (denumită și modul) rși formând unghiul φ cu axa X
a
b
z
φ
r
a
btg
A.13. Formula lui EulerUn număr complex având modulul r=1
poate fi reprezentat de relația de mai jos,care poartă numele de formula lui Euler
iπeiπ)(-
e- iπ
ln1ln
1
Formula permite definirealogaritmului din numere
negative
Importante sunt urmatoarele
cazuri particulare:
1
2/
iπ
i
e
ie
sincos iei
Leonard Euler (1707-1783)Matematician de origine elvețiana
care a trăit în St. Petersburg (Rusia)
i
ei
)1ln(
1
Derivarea funcțiilor trigonometrice
poate fi facută folosind formula lui Euler
cossin)sin(cos
)()sin(cos
sincos
iii
ieid
dei
d
dei
d
d
d
di
d
d iii
Identificand partea reala și cea imaginarăobținem formulele de derivare ale funcțiilor sin și
cos
)2
cos(sincos
)2
sin(cossin
d
d
d
d
)2
sin()2
cos()
2(
2
ieeeiii
sau egalitatea echivalenta:
Concluzie:Prin derivare faza numarului complex zși a funcțiilor trigonometrice crește cu
π/2
iez )
2(
ie
d
dz
φ
φ+π/2
Relațiile trigonometricepot fi deduse în mod simplu
folosind formula lui Euler
)sincoscos(sinsinsincoscos
)sin)(cossin(cos)sin()cos(
)(
i
iii
eee iii
sincoscossin)sin(
sinsincoscos)cos(
Identificand parțile reale și maginare din egalitate obținem:
cossin22sin
1cos2sin21sincos2cos 2222
Cazul particular α=β conduce la relațiile (folosind sin2 α+cos2 α=1):
A.14. Derivarea funcțiilor compusef(x)=f(g(x))
se face înmulțind și împarțind cu dg:
dg
df
dx
dg
dx
xgdf
))((
Exemple
xxdx
dg
dg
dg
dx
xdxggf
xxdg
gd
dx
dg
dx
xdxggf
cossin2sin
sin;
cos2sinsin
;sin
222
22
2
A.15. Funcții vectoriale
a. Vectorul dependent de timppoate fi considerat ca o funcție vectorială
dependentă de un scalar (timpul)Exemplu: vectorul de poziție r(t)
este un vector cu originea fixă, al cărui capăt se mișcă pe o curbă numită traiectorie
r(t)
b. Funcția de două variabilepoate fi considerată o funcție scalară, care
depindede un vector bidimensional, definit
de cele doua coordonate (x,y)
Reprezentare grafică a funcției de 2 variableeste suprafața z=z(x,y)=f(x,y)
Curba de nivel: mulțimea punctelor (x,y) pentru care funcția are o valoare data
A.16. Aplicatii
a. Compunerea vectorilor perpendiculari
F 1
(cateta)
F 2
(cateta)Marimile celor doi vectori sunt respectiv: F 1=3 si F 2=4
Conform teoremei lui Pitagora:Patratul ipotenuzei este egal cu suma patratelor
catetelordeci marimea rezultantei este:
52516922
21 FFF
F (ipotenuza)
b. Compunerea vectorilor în cazul generalse face completand triunghiul de adunare a vectorilor OAB cu triunghiul
dreptunghic ABC, astfel încât să rezulte triunghiul dreptunghic OBC.Notăm cu φ unghiul între vectorii F1 si F2
F 1
F 2
F
OCA
B
φ φ
F 2cos φ
F 2sin φ
cos2
)sin(coscos2
sin)cos(
212
22
1
222221
21
222
221
2
FFFF
FFFF
FFFF
Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul OBC obținem:
