Copyright Paul GASNER 1
7. Dispozitive cu fascicul de electroni
Copyright Paul GASNER 2
Cuprins
Clistronul de tranzit Clistronul reflex Magnetronul cu cavităţi multiple
Copyright Paul GASNER 3
7.1 Clistronul de tranzit utilizat la amplificarea semnalelor poate avea două sau mai multe cavităţi rezonante
Copyright Paul GASNER 4
7.1 Clistronul de tranzit
tunul de electroni:– filamentul f– catodul K– anodul de accelerare A
cavităţi rezonante CR1 şi CR2 cu diafragmele de înălţime d1 şi d2 şi buclele de cuplaj b1 şi b2
colectorul de electroni C spaţiul dintre cele două diafragme se numeşte spaţiu de grupare (drift) U0 – tensiunea de accelerare
UC – tensiunea de colector
incintă vidată la aproximativ 10-7 torr
Copyright Paul GASNER 5
7.1.1 Clistronul de tranzit. Funcţionare
tunul de electroni generează un fascicul focalizat de electroni, care străbate tubul vidat până la colectorul de electroni traversând diafragmele cavităţilor rezonante
semnalul de intrare este aplicat pe CR1 prin bucla de cuplaj b1
în interiorul diafragmei d1 se produce modulaţia de viteză a electronilor
în spaţiul de grupare are loc gruparea electronilor sau modulaţia de densitate a fasciculului electronic; gruparea este cu atât mai puternică cu cât timpul de tranzit este mai mare
fasciculul modulat induce (electrostatic) în a doua cavitate rezonantă un câmp de rf de intensitate mai mare decât în cavitatea de intrare
semnalul amplificat este extras din CR2 prin intermediul buclei b2
Copyright Paul GASNER 6
7.1.1 Clistronul de tranzit. Funcţionare
particularităţi ale clistronului faţă de alte tuburi electronice– comandă dinamică a fasciculului de electroni prin modulaţia în viteză şi
modulaţie de densitate (timpul de tranzit are efect benefic)– semnalul de ieşire este cules independent de colectorul de electroni
(zgomotul de alice este mult diminuat)– în cavitatea de ieşire semnalul este indus electrostatic de către
fasciculul de electroni– semnalul de intrare şi cel de ieşire sunt culese de pe cavităţi rezonante
complet separate între ele– în spaţiul de interacţiune fascicul - cavităţi rezonante câmpul
electrostatic este nul
Copyright Paul GASNER 7
7.1.2 Modulaţia de viteză şi gruparea electronilor
se utilizează aproximaţia liniară (de semnal mic)
panta dreptelor este proporţională cu viteza electronilor în spaţiul de grupare
electronii se grupează în jurul celor care trec prin diafragma primei cavităţi în momentul în care tensiunea u1 este nulă şi crescătoare
funcţionarea optimă se obţine atunci când poziţia diafragmei d2 coincide cu coordonata pentru care gruparea este maximă
Copyright Paul GASNER 8
7.1.2 Modulaţia de viteză şi gruparea electronilor CR1 şi CR2 au aceeaşi frecvenţă
de rezonanţă tensiunea u2 trebuie să fie
maximă şi frânantă pentru electronii grupaţi astfel încât aceştia să cedeze energie cavităţii
porţiunile de joasă densitate ale fasciculului sunt accelerate în CR2
se realizează un transfer de energie pozitiv per perioadă de la fasciculul de electroni la cavitate
Copyright Paul GASNER 9
7.1.3 Clistronul de tranzit cu cavităţi multiple 1 – 4 cavităţi rezonante intermediare
Copyright Paul GASNER 10
7.1.3 Clistronul de tranzit cu cavităţi multiple
Copyright Paul GASNER 11
7.1.4 Clistronul de tranzit multiplicator de frecvenţă
Copyright Paul GASNER 12
7.1.5 Aplicaţii
sunt dispozitive cu puteri vehiculate foarte mari (până la 100MW în regim de impuls)
amplificatori de puteri medii şi mari (inclusiv regim de impuls)– etaje de amplificare pentru emiţătoare radio, radar etc.– acceleratoare de particule
Copyright Paul GASNER 13
7.2 Clistronul reflex
clistron cu o singură cavitate
colectorul de electroni este înlocuit cu reflectorul R
Copyright Paul GASNER 14
7.2.1 Clistronul reflex. Funcţionare
Copyright Paul GASNER 15
7.2.1 Clistronul reflex. Funcţionare în spaţiul (spaţiul de grupare) dintre cavitate şi reflector câmpul
electrostatic este frânant pentru electroni, aceştia reîntorcându-se spre diafragma cavităţii
se presupune că în cavitate este stabilit regimul permanent de autooscilaţie fasciculul electronic provenind de la tunul de electroni este modulat în
viteză în diafragma cavităţii modulaţia în viteză se transformă în modulaţie de densitate în spaţiul de
grupare: electronii acceleraţi în cavitate (tip 2) revin în diafragmă într-un interval mai mare decât electronii cu viteză neschimbată (tip 1), iar cei frânaţi (tip 3) într-un interval de timp mai mare, toţi trei ajungând simultan pe diafragmă
pentru ca electronii grupaţi să cedeze în mod optim energie cavităţii, câmpul electric din diafragmă trebuie sa fie maxim şi frânant pentru ei, adică pe semialternanţa pozitivă a tensiunii u
Copyright Paul GASNER 16
7.2.1 Clistronul reflex. Funcţionare timpul optim de tranzit al electronilor în spaţiu de grupare este
unde T este perioada oscilaţiilor unghiul de tranzit va fi
n marchează zonele de oscilaţie, impus de tensiunile U0 şi UR
n=3/4nT , n∈ℕ(7.2.1)
n=23/4n , n∈ℕ(7.2.2)
Copyright Paul GASNER 17
7.2.2 Gruparea fasciculului electronic ipoteze de lucru:
– nu există efecte de sarcină spaţială– electronii se deplasează axial– câmpul rf dintre diafragme este uniform– diafragmele sunt total transparente pentru electroni– amplitudinea semnalului rf este mică în raport cu tensiunea de
accelerare (aproximaţia de semnal mic)– câmpul electrostatic din spaţiul de grupare este constant– după revenirea electronilor din spaţiul de grupare, aceştia nu mai
participă la alte procese la intrarea în cavitate, electronii au viteza
v0=2 qU 0 /m(7.2.3)
Copyright Paul GASNER 18
7.2.2 Gruparea fasciculului electronic timpul de tranzit al electronului cu viteză nemodificată începe din
momentul trecerii prin mijlocul distanţei dintre diafragme (spaţiul de interacţiune) şi până la intoarcerea în acelaşi punct
timpul necesar parcurgerii a jumătăţii distanţei dintre diafragme dus-întors este
ecuaţia de mişcare în spaţiul de grupare este
unde câmpul electrostatic este dat de:
soluţia ecuaţiei de mişcare este
c0=2 d /2v0= d
v0(7.2.4)
m d 2 zdz2 =−q E(7.2.5)
E=U 0−U R
l(7.2.6)
z=v t−t0 −qEm
t−t0 2
2(7.2.7)
Copyright Paul GASNER 19
7.2.2 Timpul de tranzit t0 este momentul în care electronul atinge mijlocul spaţiului de interacţiune
z=0 cu viteza v ≈ v0
durata mişcării în spaţiul de grupare se obţine impunând z=0:
timpul total de tranzit pentru electronii cu viteză neschimbată va fi atunci
iar unghiul de tranzit
relaţii care trebuie să se supună condiţiilor de optim (7.2.1) şi (7.2.2)
l0=2 m v0
qE(7.2.8)
n0=1
2 q U 0 /m d4 lU 0
U 0−U R (7.2.9)
n0=
2 q U 0 /m d4 lU 0
U 0−U R (7.2.10)
Copyright Paul GASNER 20
7.2.2 Expresia curentului electronic unghiul de tranzit al electronilor între diafragme este
tensiunea medie între diafragme pe durata interacţiunii este
unde
este coeficientul de interacţiune (cuplaj) al fasciculului de electroni cu câmpul din cavitate
viteza electronilor la părăsirea spaţiului de interacţiune la momentul t1 va fi
1=1=d /v0(7.2.11)
u t ∣med=11∫
t0−/2
t0/2
U 1 sin t dt=1U 1 sin t0(7.2.12)
1=sin1/21/2
(7.2.13)
v1=2 qm [U 0u t ∣med ]=v0 11 U 1
2U 0sin t1(7.2.14)
Copyright Paul GASNER 21
7.2.2 Expresia curentului electronic în două secţiuni ale fluxului electronic sarcina se conservă:
în centrul spaţiului de interacţiune se consideră i1=I0, unde I0 este curentul fluxului negrupat; a doua secţiune este arbitrară (deocamdată) şi atunci:
timpul şi unghiul de tranzit în cavitate pentru electroni devine
(7.2.15) dq1=dq2 ; i1 z1, t1dt1=i2 z2, t2dt2
(7.2.16)
c=d
v0 11 U 1
2U 0sin t1
≃c0 1−1U 1
2U 0sin t1(7.2.17)
i2 z , t2=I 0
∣dt2 /dt1∣
(7.2.18) c=c≃c0 1−1 U 1
2U 0sin t1
Copyright Paul GASNER 22
7.2.2 Expresia curentului electronic timpul şi unghiul de tranzit în spaţiul de grupare este
dacă t2 corespunde momentului în care electronii trec printre diafragme la întoarcere, atunci unghiul de tranzit al electronilor ce traversează centrul spaţiului de interacţiune este
unde
reprezintă parametrul de grupare
(7.2.19)
(7.2.20)
l=2 mqE
v0 11U 1
2U 0sin t1=l0 11 U 1
2U 0sin t1
(7.2.21)
(7.2.22)
l=l=l0 11 U 1
2U 0sin t1
t 2= t lcl= t1c0l0Xsin t1
X=lU 1
2U 0l0−c0
Copyright Paul GASNER 23
7.2.2 Expresia curentului electronic curentul grupat are din (7.2.16) expresia
curentul este puternic nesinusoidal şi descompus în serii Fourier are expresia
unde
sunt funcţii Bessel de speţa I, de ordin n şi de argument nX şi θ0= θc0+ θl0
prima armonică are expresia
(7.2.23) i2t =I 0
∣1X cos t1∣
i2t = I 0∑n=1
∞
2 I 0 J nnX cos n t 2−0(7.2.24)
J nnX = 1∫0
cos n t 2−X sin t1d t1(7.2.25)
i2,1t =−2 I 0 J 1X cos t2−0(7.2.26)
Copyright Paul GASNER 24
7.2.2 Curentul indus curentul indus (electrostatic) în cavitate este
care induce între diafragmele cavităţii tensiunea
pentru calcularea puterii transmise în cavitate este preferabilă reprezentarea fazorială
fiind dată de
şi se obţine
(7.2.27)
u1t =−U 1 sin t(7.2.28)
ii1t = I i1 e j t=−I i1 e− j0e j t , ui t =U 1 e j t=U 1 e j/2e j t(7.2.29)
ii1t =−21 I 0 J 1X cos t 2−0= I i1 cos t2−0
(7.2.30) Pe=12ℜ [ I i1 U 1
* ]
Pe=−I 0 U 02 X J 1X l0−c0
sin0(7.2.31)
Copyright Paul GASNER 25
7.2.2 Puterea, randamentul puterea transmisă cavităţii este pozitivă şi maximă dacă sin θ0= -1, adică
chiar pentru unghiurile de tranzit optime
se obţine
randamentul electronic maxim este
puterea şi randamentul scad pe măsură ce n creşte (zone superioare de oscilaţie), puterea de ieşire (pe sarcină) având variaţii ca în figură
(7.2.32)
(7.2.33)
Pe max= I 0 U 0
2 X J 1X l0−c0
= I 0 U 0
X J 1X 3/4n−c0
0=n=23/4n , n∈ℕ
e max=Pe max
P0=
X J 1X 3/4n−c0
Copyright Paul GASNER 26
7.2.3 Frecvenţa oscilaţiilor frecvenţa de oscilaţie are expresia
generală
frecvenţa de oscilaţie poate fi ajustată mecanic sau electronic
(7.2.34) f = f 0 [1 12Q
AU 0, I 0,0, U 1, U R]
Copyright Paul GASNER 27
7.2.4 Consideraţii constructive utilizat ca oscilator de foarte înaltă puritate puteri mici (maximum sute de mW) aspecte constructive legate de:
– frecvenţa de oscilaţie şi stabilitatea acesteia– banda de acord– metode de acord – sistem de cuplaj cu sarcina
cavitatea rezonantă poate fi
– internă la frecvenţe mari (λ<5cm)– externă la frecvenţe mici (λ>5cm)
tipuri de acord mecanic:
– inductiv– capacitiv– cavitate adiţională
Copyright Paul GASNER 28
7.2.4 Acord mecanic
Copyright Paul GASNER 29
7.2.4 Cuplaj
Copyright Paul GASNER 30
7.3 Magnetronul cu cavităţi multiple7.3.1 Magnetronul plan într-o regiune în care există câmp electric şi magnetic statice ortogonale,
forţa care actioneaza asupra unui electron de masă m şi sarcină q este
(7.3.1) F=m d vdt=−q Ev×B
Copyright Paul GASNER 31
7.3.1 Magnetronul plan pentru
cu soluţii de forma (trohoidă)
(7.3.2)
d 2 xdt2 =
qm
B0dydt
d 2 ydt2 =
qm
E0−qm
B0dxdt
d 2 zdt2 =0
E x=E z=0, E y=−E0=U A/d B x=B y=0, B z=−B0
v0 y=v0 z=0
x=vc t−vc−v0 x
csinc t
y=vc−v0 x
c1−cosc t
(7.3.3)
Copyright Paul GASNER 32
7.3.1 Magnetronul plan
dacă v0x=0, trohoida devine cicloidă, unde raza cercului care se „rostogoleşte” este
(7.3.4) c=q B0
m
vc=E0 /B0(7.3.5)
unde
este frecvenţa unghiulară ciclotronică şi
Rc=vc
c=
m E0
q B02
(7.3.6)
Copyright Paul GASNER 33
pentru simplitate se consideră viteze iniţiale nule pentru electroni şi traiectoriile sunt tip cicloidă
pentru UA fixat, se modifică B0:
– la inducţii mici toţi electronii emişi de catod ajung pe anod (B0→0 implică Rc→∞) şi curentul este maxim IA
7.3.1 Magnetronul plan
– dacă inducţia creşte, raza cercului scade, dar electronii ajung totuşi pe anod, curentul rămâmând constant până la regimul critic
– la inducţia critică Bcr, 2Rc=d şi anodul este atins doar de vârful cicloidei
– dacă B0>Bcr atunci Rc<d/2 şi curentul scade rapid
Copyright Paul GASNER 34
7.3.1 Magnetronul plan la regim critic, B0=Bcr, Rc=d/2, E0=UA/d şi din (7.3.6) se obţine
dacă se fixează inducţia magnetică B0, valori mici ale tensiunii anodice conduc la Rc mici (electronii „recad” pe catod)
la regim critic
Bcr=1d 2 mU A
q(7.3.7)
U Acr=q d 2
2 mB0
2(7.3.8)
numită parabola Hull (parabola de regim critic)
se urmăreşte ca electronii să „rămână” cat mai mult timp în câmpul electromagnetic
Copyright Paul GASNER 35
7.3.2 Magnetronul cilindric B0=-Bz, E0=-dUA/dr şi ecuaţia de mişcare este (componenta radială şi
tangenţială)
ultima relaţie se poate scrie
care, prin integrare între rc şi ra
m [ d 2 rdt2 −r ddt
2 ]=−q B0 rddtq
d U A
dr
m [r d 2dt2 2 dr
dtddt ]=q B0
drdt
(7.3.9)
ddt r2 d
dt = q B0
2 mddtr2
(7.3.10)
(7.3.11)
Copyright Paul GASNER 36
7.3.2 Magnetronul cilindric
viteza tangenţială a electronului este
şi din relaţiile se obţine inducţia magnetică critică
pentru B0≤Bcr toţi electronii sunt captaţi de anod
pentru B0>Bcr electronii se mişcă între catod şi anod pe traiectorii cardoide
(7.3.12) r2 ddt r=ra
−r2 ddt r=rc
=q B0
2 m ra2−r c
2
(7.3.13)
(7.3.14)
v=rddt
, v∣r=rc=0, v∣r=ra
= 2 q U A
m
Bcr=1
ra 1−r c2 /ra
2 8 mU A
q
Copyright Paul GASNER 37
7.3.2 Magnetronul cilindric considerând fixată inducţia magnetică, se obţine parabola regimului critic
(Hull) pentru tensiunile anodice critice
(7.3.15) U Acr=q ra
2 1−r c2/ra
2 28 m
B02
în regim normal, se urmăreşte ca electronul să se afle cât mai mult în spaţiul de interacţiune şi atunci UA<UAcr
pentru UA>UAcr curentul anodic respectă legea 3/2 (Langmuir)
Copyright Paul GASNER 38
7.3.3 Magnetronul cu cavităţi multiple. Construcţie
Copyright Paul GASNER 39
7.3.3 Magnetronul cu cavităţi multiple. Construcţie în anod sunt practicate un număr par de cavităţi rezonante (8 – 250) spaţiul dintre anod şi catod se numeşte spaţiu de interacţiune spaţiul de interacţiune comunică cu cavităţile rezonante prin fante
dreptunghiulare extragerea puterii se realizează prin cuplarea la o singură cavitate din
blocul anodic regimul de funcţionare cel mai răspândit este regimul cu undă progresivă,
unde blocul anodic joacă rolul de structură de întârziere în buclă închisă modul de oscilaţie cu undă progresivă cu randamentul cel mai ridicat este
modul de oscilaţie tip π – Posthumous 1935 (defazajul dintre două cavităţi vecine este de π)
pentru explicarea fenomenelor de interacţiune se „desfăşoară” magnetronul în spaţiul de interacţiune au loc procesele de sortare şi grupare a
electronilor, precum şi cele de cedare de energie în câmp de rf
Copyright Paul GASNER 40
7.3.3 Distribuţia câmpului electric la oscilaţii π
Copyright Paul GASNER 41
7.3.3 Funcţionare
se neglijează interacţiunea electronilor cu câmpul magnetic de rf oscilaţiile de tip π sunt undă staţionară cu perioada de oscilaţie T egală cu
cea a câmpului de rf componentele câmpului electric au roluri diferite
– Et – sortarea electronilor şi schimbul de energie cu câmpul
– Er – optimizarea transferului energetic (focalizare de fază) se presupun epicicloidale traiectoriile electronilor se presupune că electronii se deplasează cu viteza medie (tangenţială) vc
în spaţiul de interacţiune, norul electronic prezintă rarefieri şi grupări grupările de electroni se numesc spiţe (N/2) şi se rotesc în jurul catodului
Copyright Paul GASNER 42
7.3.3 Condiţia de sincronism transferul maxim de energie de la
electroni la câmp se obţine când la trecerea spiţelor prin dreptul fantelor Et e maxim şi frânant: condiţia de sincronism este ∆t=(1/2+p)T
magnetronul intră în regim normal de oscilaţie când este satisfăcută condiţia de sincronism
Copyright Paul GASNER 43
7.3.3 Formarea spiţelor electronice. Et
câmpul static E0 nu este reprezentat
electronii emişi în regiunea a cedează energie câmpului, îşi reduc viteza şi nu mai ajung înapoi pe catod continuând o altă traiectorie epicicloidă
în momentul în care ajung în regiunea b, câmpul electric şi-a schimbat polaritatea şi se repetă cedarea de energie ş.a.m.d.
Copyright Paul GASNER 44
7.3.3 Gruparea electronilor
electronii emişi în regiunea a au o traiectorie ce se apropie încet de anod şi după un număr mare de interacţiuni vor cădea pe acesta
are loc un transfer net de energie de la câmpul electromagnetic static la câmpul electromagnetic de rf
electronii emişi în regiunea b absorb energie de la câmpul electric, sunt acceleraţi, viteza lor creşte şi curbura traiectoriei creşte; electronii „cad” imediat pe catod
electronii emişi în regiunile a sunt electroni „utili” (cu fază favorabilă) şi rămân timp îndelungat în spaţiul de interacţiune, iar electronii cu fază nefavorabilă (din regiunile b) sunt scoşi rapid din spaţiul de interacţiune
norul electronic prezintă concentrări de electroni corespunzătoare regiunilor a şi rarefieri corespunzătoare regiunilor b
Copyright Paul GASNER 45
7.3.3 Formarea spiţelor electronice. Er
figura reprezintă câmpul la momentul de maxim
electronul 2 ajunge în dreptul fantei când câmpul electric este maxim
electronul 1 este accelerat şi 3 este frânat, iar dacă structura de câmp ar fi statică distanţele dintre electroni se păstrează
electronul 3 a fost accelerat la un câmp mai slab decât cel frânant şi deci efectul total este de frânare
Copyright Paul GASNER 46
7.3.3 Formarea spiţelor electronice. Er electronul 1 este
accelerat când câmpul este puternic, urmând să fie frânat (după trecerea de mijlocul fantei) în câmp mai slab, iar efectul total va fi de accelerare
electronii se grupează în jurul electronilor de tip 2 (focalizare de fază deoarece electronii îşi modifică viteza în raport cu viteza de fază a undei progresive) formându-se spiţe
Copyright Paul GASNER 47
7.3.4 Moduri de oscilaţie în magnetron blocul anodic cu cele N cavităţi rezonante constituie o structură de
întârziere în buclă închisă condiţia de buclă închisă implică existenţa unui număr întreg de lungimi de
undă în lungul buclei:
defazajul dintre două cavităţi adiacente este atunci
din cele N moduri posibile de oscilaţie numai N/2+1 sunt nedegenerate
undă staţionară: ϕN/2=π
unde progresive:
– ϕN/2>0 în sensul acelor de ceasornic
– ϕN/2<0 în sens trigonometric
(7.3.15) 2 ra=ns , n∈ℕ
(7.3.16) n=2n /N , n∈ℕ
Copyright Paul GASNER 48
7.3.4 Moduri de oscilaţie în magnetron dacă l0=2πra/N este distanţa dintre două cavităţi, viteza de fază a undei este
vph,n=l0/∆t, unde ∆t=ϕn/ωn şi atunci
în cazul armonicilor spaţiale, unda va întâlni aceeaşi fază a câmpului în două cavităţi vecine dacă străbate spaţiul respectiv în timpul
unde p este numărul armonicii spaţiale, iar viteza de fază corespunzătoare
pentru p=0 se obţine unda fundamentală de mai sus pentru n=N/2 se obţine valoare maximă
(7.3.17) v ph , n=n ra /n
(7.3.18) t p= t pT=2nn N
pT , p∈ℤ
v ph , np=l0
t p=n ra
n p N(7.3.19)
Copyright Paul GASNER 49
7.3.5 Condiţii de autooscilaţie reacţie pozitivă – fluxul electronic plus sistemul oscilant închis transferul maxim de energie se obţine când viteza medie de rotaţie a
spiţelor este egală cu viteza de fază medie a undei electromagnetice la jumătatea distanţei din spaţiul de interacţiune
în (7.3.19) ra devine (ra+rc)/2 şi atunci din relaţia de mai sus se obţine
dacă se aproximează câmpul electric static prin E0=UA/(ra-rc), tensiunea minimă pentru care electronii ajung pe anod datorită cedării de energie câmpului de rf şi deci magnetronul autooscilează este
(7.3.20) vc=v ph , np∣med
E0
B0=n rar c 2 n p N
(7.3.21)
U Apr=n ra
2−r c2
2 n p N B0(7.3.22)
Copyright Paul GASNER 50
7.3.5 Condiţii de autooscilaţie pe de altă parte, parabola Hull dă valorile tensiunii anodice pentru care
electronii rămân în spaţiul de interacţiune (7.3.8) şi atunci
interpretarea corectă e dată de Hartree: ecuaţia de mişcare a electronului este determinată de trei forţe, electrică, magnetică şi centrifugă:
integrala din stânga reprezintă energia cinetică radial a electronului la suprafaţa anodului (pe catod viteza radială iniţială este nulă) Wra≥0
primul termen din dreapta egalităţii este lucrul mecanic efectuat de câmpul static pentru a deplasa electronul de la catod la anod WA=qUA
al doilea termen este lucrul mecanic efectuat de câmpul magnetic static WB0 unde intervine frecvenţa unghiulară medie de rotaţie a undelor electromagnetice în magnetron Ωnp=dθ/dt, legată de viteza de fază prin:
(7.3.23) U Apr≤U A≤U Acr
∫r c
ra
m d 2 rdt 2 dr=∫
r c
ra
q E0 dr−∫r c
ra
qB0d dt
r dr∫r c
ra
m d dt 2
r dr(7.3.24)
Copyright Paul GASNER 51
7.3.5 Condiţii de autooscilaţie. Ecuaţia Hartree
şi se obţine
al treilea membru este lucrul mecanic efectuat de forţa centrifugă:
având în vedere cele de mai sus şi faptul că Wra≥0 se obţine imediat
şi, prin înlocuire, se găseşte valoarea de prag de la care magnetronul autooscilează (ecuaţia Hartree)
(7.3.25) np=v ph , np
ra=
n
n pN
W B0=qB0d dt ∫r c
ra
r dr=qB0d dt
ra2−r c
2
2=qB0
n
n pNra
2−rc2
2(7.3.26)
W cf=mnp∫r c
ra
r dr=m ra
2
2 n
n p N 2
(7.3.27)
W A−W B0W cf≥0(7.3.28)
Copyright Paul GASNER 52
7.3.5 Condiţii de autooscilaţie. Ecuaţia Hartree
pentru unda fundamentală π (p=0, n=N/2), dreapta Hartree este tangentă la parabola Hull în punctul de coordonate:
(7.3.29) U Apr=n
n pNra
2−r c2
2B0−
m ra2
2 q n
n p N 2
Copyright Paul GASNER 53
7.3.5 Zone de oscilaţie
UAS se numeşte tensiune de sincronizare, la care toţi electronii din vecinătatea anodului sunt sincroni cu unda progresivă corespunzătoare modului de oscilaţie
cu cât B0 este mai mare decât B0S, cu atât condiţiile impuse tensiunii anodice sunt mai lejere
VA nu poate lua orice valori pentru un B0 fixat deoarece magnetronul poate trece incontrolabil de la un mod de oscilaţie la altul
(7.3.30) U AS=m ra
2
2 q n
n p N 2
; B0 S=2 m
q 1−r c2/ra
2 n
n pN