METODE NUMERICE Domeniulmetodelornumericeestedemarensemntateteoreticipractic,elfiind lainterseciamatematiciicutehnicadecalcul.Aparentundomeniucareineexclusivde matematic,metodelenumericeauodeosebitaplicabilitatendomeniulinformaticiiio legtur direct cu cel economic. Matematica aplicat, din care face parte i analiza numeric, s-a dezvoltat n ultimele deceniicaurmareautilizriipescarlargasistemelorelectronicedecalculnrezolvarea problemelorimpusedepractic.Cuajutorulalgoritmilornumericiialcalculatoruluisunt determinaterapidsoluiileunorproblemecarealtfel,arnecesitaunnumrmaredecalcule dac ar fi abordate cu metode clasice. Pentruobinereaunorrezultatedecalitatetrebuieacordatoateniedeosebit condiiilordeconvergenaalgoritmiloristudiuluierorilorcareaparncazulutilizrii metodelor aproximative de calcul. I.METODE ITERATIVEPENTRU REZOLVAREA NUMERICASISTEMELOR DE ECUAII LINIARE -Metoda eliminrii (Gauss) -Metoda eliminrii complete Gauss- Jordan II.METODE NUMERICE DE REZOLVARE A ECUAIILOR NELINIARE Metode elementare de rezolvare a ecuaiilor neliniare -Metoda biseciei-Metoda coardei i metoda secantei -Metoda tangentei (Newton-Raphson) Metode iterative pentru rezolvarea numeric a ecuaiilor neliniare -Teoria general a metodelor iterative -Metoda contraciei (aproximaiilor succesive) Ecuaii algebrice -Localizarea rdcinilor unei ecuaii algebrice -irul lui Rolle -irul lui Sturm III.METODE NUMERICE DE APROXIMARE A FUNCIILOR Aproximarea funciilor Aproximarea prin interpolare -Polinoame de interpolare. Metode de stabilire a acestora -Polinomul de interpolare Taylor -Calculul cu diferene finite -Polinomul de interpolare Newton -Polinomul de interpolare Lagrange Aproximareaprin ajustare cu metoda celor mai mici ptrate I.METODE ITERATIVEPENTRUREZOLVAREANUMERIC A SISTEMELOR DE ECUAII LINIARE Exist mai multe metode (reguli) pentru rezolvarea sistemelor de ecuaii liniare, unele dintreacestea(metodareducerii,metodasubstituiei,regulaluiCramer)fiindcunoscute. Aceste metode sunt dificil de aplicat n cazul sistemelor de dimensiuni mari. O metodmai eficient este cea a eliminrii complete sau Gauss-Jordan, prezentatn continuare. Metoda eliminrii complete (Gauss - Jordan) Fie sistemul de ecuaii liniare cu n necunoscute:

= + + += + + += + + +n n nn n n nn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a........... .......... .......... .......... ...................2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11(1.1) unde { } n j i R aij,......, 1 , , , n i R b R xi i, 1 , , Sistemul (1.1) se poate scrie i sub forma: ==nji j ijb x a1 , { } n i ,...., 1 (1.1) Se fac notaiile: n j iija A, 1 ,) (=

, , ) ....., (, 1Tnb b b =Tnx x X ) ......., (, 1= Atunci (1.1) se scrie sub form matriceal, astfel:

b AX = (1.2) Senumetesoluieasistemului(1.1)sau(1.2)oricevector nR x alecrui coordonate verific (1.1) sau (1.2). Presupunem c0 A . Atunci (1.1) este sistem compatibil cu soluie unic. FiecarecoloaniamatriceiAsepoateconsideracaunvector niR a unde Tni i i ia a a a ) ,....., , (2 1= . AtunciA se poate scrie ca o matrice cu o linie ale crei elemente sunt chiarna a a , ,......... ,2 1 adic:) ,...., (2 , 1 na a a A = . n acest fel sistemulb AX =devine :

bxxxa a ann=||||||

\|...) ,......... (212 , 1 sau b a x a x a xn n= + + + .......2 2 1 1(*) Deoarece 0 Avectorii na a a ,....., ,2 1 formeaz o baz a lui nR , iar relaia (*)are urmtoarea semnificaie: vectorul x are drept componente coordonatele lui b n baza format de vectorii na a a ,......., ,2 1. Metoda eliminrii complete const n determinarea soluiei unui sistem de forma (1.1), determinnd coordonatele lui b n baza{ }na a ,.....1 plecnd de la baza unitar din nR . Calculele se organizeaz astfel: Baza na a a ...2 1 b neee:21 nn n nnna a aa a aa a a.... ... ... .........2 12 22 211 12 11 )`nbbb:21 neea:21 * *2*2*221111112... 0: ... : :... 0... 1nn nnna aa aaaaa *111 21 2 11 *2111 *1:nbab a b ababb== -- - - - - - - - - -- - ----- - - - - - - - - - - - - - -naaa:21 1 ... 0 0: ... : :0 ... 1 00 ... 0 1 00201:nxxx II.METODE NUMERICE DE REZOLVARE A ECUAIILOR NELINIARE Metode elementare de rezolvare a ecuaiilor neliniare Se numete ecuaie algebric de grad n n raport cu funcia u(x), o ecuaie de forma: 0 ) ( ... ) ( ) ( ) (111 0= + + + + =n nn na x u a x u a x u a x f , 00 a (2.1) ntre ai i u(x) efectundu-se numai operaii algebrice: adunare, scdere, nmulire, ridicare la putere.Oriceecuaiecarenuestealgebricsenumetetranscendent(ecuaiile trigonometrice, exponeniale, logaritmice etc.). n acest capitol, ne ocupm de rezolvarea ecuaiilor neliniare de forma: 0 ) ( = x f , I f : R R (2.2) unde f este o funcie continu, algebric sau transcendent. Calcululexactaluneirdcininuestentotdeaunaposibil,nicichiarpentruecuaiile algebrice (de grad 5), iar n cazul ecuaiilor transcendente nu exist nici o astfel de metod. Pentrurezolvareaecuaieidemaisusestenecesarmaintisseparmrdcinile ecuaiei,adicsdeterminmintervalelencareseaflrdcinileecuaiei(lucrucomplicat dac rdcinile sunt apropiate). Aceastasepoateface(delacazlacaz),cuajutoruliruluiluiRolle,aschemeilui Horner, prin metoda grafic (reprezentnd grafic funcia)etc. Odatefectuatseparareardcinilor,spresupunemcecuaia(2.2)areordcin simplnintervalul[a,b],graficulfuncieifs-arputeaprezentadeexemplusubformadin Figura2.1: Figura 2.1 Dorim s obinem valoarea aproximativ a acestei rdcini, adic o valoare suficient de apropiat de valoarea exact, cu o eroare . Adic vom determinax~astfel nct: < |~| x ,>0Metodele de aproximare prezentate n acest capitol sunt metode iterative, adic conduc la obinerea rdcinilor printr-un ir de aproximaii succesive. Se obine un ir:,... ,..., ,1 , 0 nx x x, care, n ipoteza convergenei, tinde ctre soluia exact .Procedeul de calcul se oprete, dac < | |nx . Atunci nx se consider a fi valoarea aproximativ a rdcinii a ecuaiei: 0 ) ( = x f . n continuare vom prezenta n rezumat cteva metode clasice (simple) de obinere a rdcinilor aproximative. Metoda biseciei (a njumtirii sau a dihotomiei) Fieecuaia0 ) ( = x f , I f : RR,f-funciecontinui0 ) ( ) ( < b f a f .Aa cum arat i numele, aceast metod const n njumtirea succesiv a intervalului [a,b]. Dac0 )2( =+ b af , atunci =+2b a este chiar rdcina cutat.Dacnu,sealegeaceajumtateaintervaluluilacapetelecreiafunciafaresemne opuse,prinurmarerdcinacutatseaflnacelintervalpecarelnotm[ ]1 1, b a ,carese mparte din nou la doi, etc. Procesulcontinupncndseobineunintervaldelungimemaimicdectdat (Figura 2.2). Obinem deci irul de intervale:], , [ ] , [0 0b a b a = ] , [1 1b a ,] , [2 2b a ,,] , [n nb a ,cu proprietile: 0 ) ( ) ( < n nb f a f i... ] , [ ... ] , [ ] , [ ] , [2 2 1 1 0 0 n nb a b a b a b a . n plus: nn na ba b2= , *N n (2.3) Se obin dou iruri: {an}- cresctor (sau constant) i {bn}- descresctor (sau constant). Mai putem construi un al treilea ir:{ }nxdefinit astfel:

2n nnb ax+=,N n(2.4) Atunci avem: n n nb x a ,() N n (2.5)

Figura 2.2 Datorit relaiilor (2.3) i (2.5) cele trei iruri sunt convergente ctreaceeai limit i anume soluia a ecuaiei 0 ) ( = x fdin intervalul[ ] b a, :

= = = nnnnnnb x a lim lim lim Avem:12| |21| |+= nn n na ba b x , nN. Procedeul se oprete atunci cnd: < | |n na b | (dat)sau/i cnd < ) ( |nx f . Aceastmetodestefoartesimpl,darconvergenaeiestelent(estenevoiedeun numrmaredeiteraiipentruaaflasoluiacupreciziadorit)inplus,dacdourdcini sunt foarte apropiate, una poate fi srit prin acest procedeu. Deobiceinuseparcurgfoartemulteiteraiiivaloareaobinutsefolosetedrept aproximaieiniialpentrualtemetodemaiperformante,cumarfimetodaluiNewtonsau metoda contraciei (metoda biseciei avnd avantajul c este ntotdeauna convergent).

Metoda coardei i metoda secantei Metoda coardei este una din cele mai vechi metode numerice de rezolvare a ecuaiilor (nspecialalgebrice).Ideeametodei,aacumaratinumele,estenlocuireagraficului funciei f pe fiecare interval n discuie, cu coarda care unete punctele de capt ale graficului. Figura 2.3 Spresupunemcfunciafaregraficuldinfiguraalturat.PunctulCdeabscis reprezintvaloareaexactardciniiecuaiei 0 ) ( = x fpeintervalul] , [1 0x x (avem0 ) ( ) (1 0< x f x f ).Vomnlocuigraficulfuncieipeintervalul] , [1 0x xcucoardacareunetepunctele )) ( , (0 0x f x Ai)) ( , (1 1x f x B , iar abscisa punctului de intersecie al acestei coarde cu axa Ox o vom nota cu 2x. Atunci: ) () ( ) () (0 10 100 2x xx f x fx fx x =(2.6)

) ( ) () ( ) (0 10 1 1 92x f x fx f x x f xx=(2.6) Seobservc0 ) ( ) (2 0< x f x f ,prinurmareputemrepetaprocedeul,folosindacum n locul intervalului] , [1 0x x , intervalul] , [2 0x x , unde se afl rdcina .Coarda AD intersecteaz axa Ox ntr-un punct de abscis x3, unde:

) ( ) () ( ) (0 20 2 2 03x f x fx f x x f xx=Procedeul poate continua i se obine formula general: ) ( ) () ( ) (00 0x f x fx f x x f xxnn nn= ,*N n (2.6) Avem ntotdeauna: 0 ) ( ) (0< nx f x f,*N n . nfelulacestaseobineunir} {nx caretindectrerdcinaexact.Procedeulse poate opri, de exemplu, atunci cnd diferena (n modul) a doi termeni consecutivi devine mai mic ca un dat: < +| |1 n nx x . n acest caz: xn+1. S observm c punctul 0x se utilizeaz pe parcursul ntregului proces de calcul, prin urmare convergena metodei este legat de alegerea optim a acestui punct. O metod nrudit cu metoda coardei estemetoda secantei. Deosebirea esenial fa de metoda coardei const n aceea c, dup calculul lui 2x , punctele 0x i1x se nlocuiesc cu1xi2x, apoi procedeul se repet (Figura 2.4). Nu este necesar s fie satisfcut condiia:0 ) ( ) (1 0< x f x f. Formula de calcul se poate obine ca mai nainte i anume: ) () ( ) () (0 10 111 2x xx f x fx fx x = (formul similar cu (2.6), cci dac se fac calculele, se obine tot (2.6)).

Figura2.4 Mai departe, urmnd procedeul indicat, obinem: ) () ( ) () (1 21 222 3x xx f x fx fx x =i formula general: ) () ( ) () (111 + =n nn nnn nx xx f x fx fx x , *N n (2.7) sau ) ( ) () ( ) (11 11 +=n nn n n nnx f x fx f x x f xx , *N n (2.7) Principiulmetodeisecanteiesteacelaicualmetodeicoardeiianumenlocuirea graficului funciei f pe diferite intervale prin secante (segmente de dreapt).(figura 2.4) Sepoateartaciruliterativ{ }nx(2.7)sau(2.7),obinutmaisusesteconvergent ctresoluiaaecuaiei0 ) ( = x f ,] , [ b a x (dac] , [ ,1 0b a x x irul{ }nxdatde(2.7)sau (2.7) rmne n] , [ b a ). Observaie. nformula(2.7),raportul n n nn nm x f x fx x 1) ( ) (11= reprezintinversulpanteisecantei care trece prin punctele de coordonate)) ( , (1 1 n nx f xi)) ( , (n nx f x . Acest numr se modific la fiecare pas. Dac ns lumm mn = (constant), egal de exemplu cu panta secantei care trece prinprimeledoupuncte,atunciseobineunalgoritmmaisimpludenumitmetodasecantei (sau a coardei) simplificate (coardele sunt paralele) (Figura 2.5). Atunci: ) (11 n n nx fmx x =+,0 m Figura 2.5 Metoda tangentei (metoda Newton Raphson) AceastmetodestecunoscuticametodaNewton-Raphson.Aacumarati numele, metoda tangentei construiete un ir iterativ { }nx , obinut prin intersecia tangentelor duselagraficulcurbeifnpuncteledeabscis,... , ,2 1 0x x x (puncteleA0,A1,A2,.)cuaxa Ox(Figura 2.6). Presupunem: 0 ) ( ) ( < b f a f ,] , [1b a C f ,0 ) (' x f , ] , [ b a x .Ecuaia tangentei la curba) (x f y =n punctul)) ( , (0 0x f x este: ) )( ( ) (0 0'0x x x f x f y = Dac notm abscisa punctului de intersecie a tangentei cu axa Oxprin 1x , rezult: ) () (0'00 1x fx fx x =Repetnd procedeul obinem: ) () ('1nnn nx fx fx x =+, nN (2.8) irul iterativ de mai sus poart numele de irul lui Newton. Figura 2.6 Se observ c punctul 0x a fost ales astfel nct:0 ) ( ) (0' '0> x f x f . Trebuie atunci s presupunem c: ] , [2b a C f , 0 ) (' ' x f pe] , [ b a . Metode iterative pentru rezolvarea numeric a ecuaiilor neliniare Metoda contraciei (aproximaiilor succesive) n prima parte a acestui paragraf vom prezenta un rezultat mai general, care s poat fi folosit i n cazul sistemelor neliniare. Fie ecuaia vectorial: 0 ) ( = x f , unden nR R D f : (2.9 ) ) ,..., , (2 1 nf f f f =,nnR x x x x = ) ,..., , (2 1 Dac2 n ,aceastecuaievectorialreprezintunsistemdeecuaiineliniare;dac1 = nea reprezint o singur ecuaie. Ideea metodelor iterative este nlocuirea ecuaiei (2.9) prin forma echivalent: ) (x F x = , n nR R D F :(2.10) i apoi formarea irului iterativ:) (1 n nx F x =+,N n , plecnd de la o aproximaie iniial 0xa soluiei ecuaiei (2.9). ncazulncareirul{ }nxastfelformat,converge,limitaluivafichiarsoluiaa ecuaiei (2.9). Definiia 2.1. FieXunspaiumetrici X X d : RodistannX.OaplicaieX X F :pentrucare() ) 1 , 0 ( astfelnct) , ( )) ( ), ( ( y x d y F x F d ,X y x , ) (senumetecontracie. Teorema 2.1.(de punct fix pentru contracii) FieXunspaiumetriccompletifieX X F :ocontracie.Atunci,() X x 0, dac formm irul) (1 n nx F x =+,N n , acesta este convergent, limita lui fiind un punct fix pentru contracia F , adic = ) ( F . Acest punct fix este unic. Conformcelorspuseanterior,limitaefectivairuluiestengeneraldificildeaflat, aacvomaproximasoluiaexactaecuaieiprintermenul nx ,diniruliterativobinut anterior, cu condiia ca: < ) , (nx d ,0 > dat. (2.11) Valoarea) , ( nx dreprezint eroarea de metod (de trunchiere) a metodei contraciei (a aproximaiilor succesive). Observaie.Teoremadefaareiuncaracterconstructivntructnepermite,cu ajutorul unei contracii F, formarea unui ir iterativ, care ne conduce la soluie. Aceasta poart numeledemetodacontraciei,metodaaproximaiilorsuccesivesaumetodaiterativde punct fix. Corolar. n ipotezele teoremei precedente, avem urmtoarele relaii: ) , (1) , (1 n n nx x d x d(2.12) ) , (1) , (1 0x x d x dnn (2.13) Relaia(2.12)nefurnizeazcelmaiuzual criteriudeoprire(ctdemaretrebuies-l lum pe n) pentru metoda contraciei.Impunem condiia: dat. Lafiecarepas,seevalueaz) , (1 n nx x d iprocedeulseopreteatuncicndeste verificat inegalitatea precedent. Observaie. Dac notm:k =1,obinem : < ) , ( ) , (1 n n nx x d k x d . Metodaesteconvergentdac1 0 < < ,dareaesteeficient(areconvergen rapid), doar dac:1 < k , adic:11 x P x P . Teorema2.3.DacaplicaiaParederivatacontinupe] , [ b ai0 ) ( a P ,0 ) ( b P , atunci) (x PadmiteirulSturm mP P P ,..., ,2 1,iarnumrulrdcinilorrealealeecuaiei polinomiale0 ) ( = x Pnintervalul) , ( b aesteegalcudiferenadintrenumrulvariaiilorde semn,) (a N , n irul de valori numerice ) ( ),..., ( ), (1a P a P a Pm i numrul variaiilor de semn,) (b N , n irul de valori numerice ) ( ),..., ( ), (1b P b P b Pm. Notnd cu) , ( b a N - numrul rdcinilor reale din) , ( b ase obine ) ( ) ( ) , ( b N a N b a N = . Observaie.Dacsecunosc:limitainferioarardcinilorreale,r,ilimita superioar a rdcinilor reale, R, se va aplica teorema pe] , [ R r . Teorema 2.4.Fieiruldepolinoame) ( ) (0x P x P = ,) ( ) ('1x P x P = ,) ( ),..., (2x P x Pm ncare mPeste o constant diferit de zero, iar) (1x Pi+ este restul cu semn schimbat al mpririi lui) (1x Pi la ) (x Pi,m i ,..., 2 , 1 = .Atuncinumrulrdcinilorrealealeecuaiei0 ) ( = x P ,carenuarerdcinimultiple, este egal cu diferena dintre numrul variaiilor de semn n irurile de numere ) ( ),..., ( ), (1 0 mP P Pi) ( ),..., ( ), (1 0 mP P P III.METODE NUMERICE DE APROXIMARE A FUNCIILOR Aproximarea funciilor Numeroaseproblemepracticeconduclamsurtoriinregistrridedatenumerice discrete pntru variabile independente i dependente. Notndcun i xi, 0 , =valorilevariabileiindependentexicun i x f yi i, 0 ), ( = =valorile variabilei dependente) (x f y = , cele dou msurtori pot fi puse sub forma : |||

\|nny y y yx x x x......2 1 02 1 0 Unuldintreobiectivelecalcululuinumericconstngenerareauneifunciide aproximare) (x f pe baza valorilor. ,......,1 , 0 ny y yGenerareafunciei) (x f estecuattmaiuorderealizatcuctsecunoscmaimulte valori) (ix f .nunelecazuri,cumarfifunciiletrigonometrice,exponeniale,logaritmice, estecunoscutexpresiaanalitic,darpoatefievaluatfoartedificilnoricepunctdin domeniul de definiie. Maimult,valorile) ( , ),........ ( ), (1 0 nx f x f x f i nx x x ,....., ,1 0reprezintuneori aproximaii obinute prin msurare ale valorilor reale. nmajoritateacazurilornusecunoscdectpunctele (nodurile) ixivalorileaferente n i x fi, 0 ), ( =iseceredeterminareavaloriifuncieifntr-unpunctintermediarxpebaza valorilor cunoscute. Pentrufunciiledeaproximare) (x fsefolosesccelmaidescombinaiidefuncii simple) (x fide forma : ) ( ........ ) ( ) ( ) (1 1 0 0x f a x f a x f a x fn n+ + + = (3.1) Cele mai utilizate funcii de aproximare sunt cele polinomiale de gradul n :

nn nx a x a x a a x P x f + + + + = = ..... ) ( ) (22 1 0(3.2) Pot fi ntlnite i funcii de aproximare ale funciilor trigonometrice, de forma :

=+ + =nkk kkx b kx a a x f10) sin cos ( ) ((3.3) sau ale funciilor exponeniale, de forma :

==nkx bkke a x f0) ((3.4) Dintrefunciiledeaproximarecelemaintlnitesuntcelepolinomialefiinduorde evaluat, permit derivri i integrri relativ simple; dac) (x Pneste polinom de gradul n, atunci ) ( a x Pn+ este tot un polinom de gradul n, pentru o constantR a . nplus,existojustificareanaliticafaptuluicacesteaconduclaaproximaiibune ale unei funcii date) (x fi anume : Teorema de aproximare a lui Weierstrass Dac) (x festeofunciereal,continu,R b a f ] , [ :atuncipentruorice0 > existun polinom) (x Pn de grad) ( n n =astfel nct < ) ( ) ( x P x fn pentru orice] , [ b a x . Teoremaprezint,totui,omicutilitatepracticpentrucncelemaimultecazuri funcia) (x fnu este cunoscut ci doar un numr finit de valori ale acesteia. Aproximarea prin interpolare Polinoame de interpolare. Metode de stabilire a acestora Cunoscndmulimeadepuncten i x f xi i, 0 )), ( , ( coeficieniipolinomiali na a a ,......, ,1 0 ai polinomului (3.2) se determin din condiiile: ) ( ) (i i nx f x P = ,n i , 0 =(3.5) Polinomul obinut pe aceast cale este denumit polinom de interpolare. Evident, funcia) (x f are valori egale cu ale polinomului) (x Pn punctelen i xi, 0 , = . nintervaluldeschis1 , 0 ), , (1 =+n i x xi iexistdiferenentrepolinomul) (x Pni funcia) (x f : ) ( ) ( ) ( x r x P x fn n+ = (3.6) TeoremPolinomul de interpolare) (x Pnal funcieifpentru punctelen i xi, 0 , = existi este unic. Metoda lui Taylor Aceast metod are la baz determinarea polinomului de interpolare prin dezvoltarea n serie Taylorafunciei( ) x fpeintervalul[ ] x x ,0,ncareaceastaestepresupusden+1ori derivabil.Avem: ) (!) ( ... ) (! 2) () ( ) ( ) ( ) () () (0 0' '200'0 00x rnfx x x fx xx f x x x f x fnxn+ + + + + =(3.7) unde) (x reste restul, calculat cu relaia: )! 1 () () ( ) () 1 (10+ =++nfx x x rnn , ) , (0x x (3.8) Parametrul variaznfunciedex;termenul) (x rneputndfievaluatdectcupuine excepii (de exemplu, dac) () 1 (+ nf este o constant. Pentruunncunoscut,ceamaibunaproximarealui) (x fnintervalul[ ] b a,se obine pentru 20b ax+= . Metodaprezinttotuiinconvenientulcreatdedificultateadeacalculacelen+1 derivate i valorile lor n punctul specificat. Calculul cu diferene finite Asupramulimiidedaten i x f xi i, 0 )), ( , ( =seutilizeazcalcululcudiferenepentru determinarea polinoamelor de interpolare. Diferena de dreapta (nainte) se definete astfel: 1 , 0 ), ( ) ( ) (1 = = +n i x f x f x fi i i(3.9) sau 1 , 0 ,1 = = =+n i x x x hi i i i numitpas de discretizare. Pasul de discretizare poate fi inegal, i ih h +1, sau egal,h h hi i= =+1. Discretizarea cu pas egal conducelasimplificrisubstanialealecalculelor,valorile nx x x ,..., ,1 0 putndfiscrise nh x h x h x x + + +0 0 0 , 0,..., 2 , . Operatorul

are proprietile: -aditivitate: i i i i i i i iz z y y z y z y + = + = + + + 1 1) ( -omogenitate: i i iay ay ay = +1) ( Diferena la stnga (napoi) se definete astfel:

) ( ) ( ) (1 = i i ix f x f x f (3.10) i are proprietile de liniaritate (aditivitate i omogenitate) ale operatorului. Se poate aplica repetat un operator, de exemplu: ) ( )) ( (2i ix f x f = i) ( )) ( (2i ix f x f = ntr-adevr: ). ( ) ( ) ( 2 ) () ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( (21 21 1 2 1i i i ii i i i i i ix f x f x f x fx f x f x f x f x f x f x f = + =+ = = + ++ + + + Tabele cu diferene n interpolare sunt utilizate frecvent tabele cu diferene de diverse ordine. Vom folosi notaia) (x f y =i respectiv: )` = = = +++ikikiki i ii i iy y yy y yy y y111121. .......... .......... diferene la dreapta(3.11) )` = = = 11 1121.... .......... ..........ikikiki i ii i iy y yy y yy y y diferene la stnga (3.12) Tabelul diferenelor la dreapta pentru setul de valori: ix 0x1x2x3x4xiy 0y1y2y3y4y vafi urmtorul: i ixiyiy iy2iy3iy40x0 y0 y0=y1-y0 2y0=y1-y0 3y0=2y1-2y04y0=3y1-3y0 1x1y1y1=y2-y1 2y1=y2-y13y1=2y2-2y1 2x2 y2y2=y3-y22y2=y3-y2 3x3y3y3=y4-y3 4x4y4 Metoda de interpolare Newton Seconsideruntabelcun+1perechidedaten i y xi i, 0 ), , ( = ,cuvalorile ixechidistantedepashadic1 , 0 ,1 = =+n i x x hi i.Fiedeasemenea,xovariabil independentn i x xi, 0 , = . Valoarealui) (x y y =pecarenepropunemsocalculmprininterpolarese determin aplicnd operatorul translaie , la puterea , n punctul) (0 0x y y = :

) (0 0h x y y y + = = (3.13) Pentru un x dat este o constant real.Pentru operatorii i se poate verificarelaia: + =1 (3.14) Pentru ) 1 ( , + = N , care prin dezvoltare binomial conduce la: + + + + + = + =!1 )... 1 (...! 3) 2 )( 1 (! 2) 1 (1 ) 1 (3 2(3.15) nlocuind n (3.13)pe cu expresia sa obinut n (3.15) se obine: 03 2...!1 )... 1 (...! 3) 2 )( 1 (! 2) 1 (1 y y((

+ + + + ++ + = din care rezult polinomul de interpolare Newton de gradul n cu diferene la dreapta: 0 020 0!) 1 )...( 1 (...! 2) 1 () ( ynny y y x Pnn+ + + + + = (3.16) Pentru1 = nrelaia (3.16) devine:

0 0y y y + = (3.17) care este ecuaia unei drepte ce trece prin punctele) , (0 0y x i) , (1 1y x : ) (0 10 100y yx xx xy y + =(3.18) Pentru2 = n , relaia (3.16) conduce la: 020 0! 2) 1 (y y y y + + = (3.19) carereprezintecuaiaparaboleicetreceprinpunctele( )0 0, y x , ( )1 1, y x , ( )2 2, y xiserescrie sub forma : ) 2 ( 121) (0 1 20 00 100y y yhx xhx xy yhx xy y + ||

\| + + = etc. (3.20) nmodasemntorsestabileteipolinomuldeinterpolarecudiferenelastnga, rezultatul final fiind: nn nn n n nynny y y x P + + + + ++ =!) 1 )...( 1 () 1 ( ...! 2) 1 () (2 (3.21) Metoda Lagrange FieR b a f ] , [ :ofuncierealacreiexpresieanaliticnuestecunoscuti ] , [ ,..., ,1 0b a x x xn un ir de puncte (noduri), iarn i x f yi i, 0 ), ( = = valorile (msurate) ale lui fn aceste puncte. Se numete polinom Lagrange de interpolare funcia polinomial de grad n urmtoare: ) ( ... ) ( ... ) ( ) (1 1 0 0x b y x b y x b y x b y Ln n k k n+ + + + + =(3.22) unde) ( ),..., ( ), (1 0x b x b x bn sunt polinoame de gradul n i ==kkkx x dacax x dacab 01 adic: = = == = == = =1 ) ( ,..., 0 ) ( , 0 ) (. .......... .......... .......... ..........0 ) ( ,..., 1 ) ( , 0 ) (0 ) ( ,..., 0 ) ( , 1 ) (1 01 1 1 1 00 0 1 0 0n n n nnnx b x b x bx b x b x bx b x b x b Se determin nb b b ,..., ,1 0 din condiiile de interpolare: 0 0 0 1 1 0 0 0 0) ( ... ) ( ) ( ) ( y x b y x b y x b y x Ln n n= + + + =1 1 1 1 1 1 0 0 1) ( ... ) ( ) ( ) ( y x b y x b y x b y x Ln n n= + + + =....................................................................... n n n n n n n ny x b y x b y x b y x L = + + + = ) ( ... ) ( ) ( ) (1 1 0 0 Polinomul) (x bk arerdcinile,0x x = ,1x x =, ,1 =kx x ,1 +=kx x ...,,nx x =deci se poate scrie:

) )...( )( )...( )( ( ) (1 1 2 1 n k k k kx x x x x x x x x x c x b =+ (3.23) ns1 ) ( =k kx bi rezult: ) )...( )( )...( )( (11 1 1 0 n k k k k k k kx x x x x x x x x xc =+ (3.24) ) )...( )( )...( )( () )...( )( )...( )( (1 1 1 01 1 1 0n k k k k k k kn k kx x x x x x x x x xx x x x x x x x x xc =+ + (3.25) nlocuind) (x bk din (3.23) n expresia (3.22) rezult expresia :

= + + =nk n k k k k k k kn k kk nx x x x x x x x x xx x x x x x x x x xy x L0 1 1 1 01 1 1 0) )...( )( )...( )( () )...( )( )...( )( () ((3.26) Observaii -Nodurile ixpot fi neechidistante; -Dac,pentruaceleaiabscise ixseschimbdoarordonatele,polinoamele kbrmn neschimbate. Aproximareaprin ajustare cu metoda celor mai mici ptrate Dac perechile de valori msuraten i x f xi i, 0 )), ( , ( =sunt afectatede erori importante polinomul de interpolare nu poate s coincid cun i x fi, 0 ), ( = . nacestcaz,nloculcerinein i x f x Pi i m, 0 ), ( ) ( = =seimpunecondiiaca) (ix P s aproximezect mai bine toate valorilen i x f yi i, 0 ), ( = = . Bazatpeaceastcondiiemetodacelormaimiciptrateconstnminimizarea expresiei:

= =nii i mx f x P S02)] ( ) ( [ (3.27) Observaie Gradulmalpolinomului) (x Pmestecunoscutidinconsiderentepracticemaimic dect numrul de puncte n. nexpresia(3.27)necunoscutelesuntcoeficieniipolinomului) (x Pm,iarsoluiase determin din rezolvarea sistemului de ecuaii format din derivatele pariale ale expresiei lui S n raport cu fiecare dintre necunoscute,egalate cu 0. Sistemul obinut se numete sistemul de ecuaii normale ale lui Gauss. Considerm sistemul de valorin i x f y xi i i, 0 )), ( , ( = dat sub forma: ix0x1x2x...nx) (i ix f y =0y1y2y...ny Cum,npractic,celemaintlnitecazurideevoluieaunorfenomenesuntliniare, parabolice,exponeniale, sau logaritmice,vom explicita metoda celor mai mici ptrate pentru aproximarea prin ajustare dup un polinom de gradul doi, celelalte modele fiind uor de dedus apoi. Presupunem polinomul de aproximare: 22 1 0) ( x a x a a x P + + = . Polinomul este determinat dac se cunosc coeficienii 2 1 0, , a a a . Punnd condiia de interpolare can i y x Pi i, 0 , ) ( = =i nsumnd cele n+1 ecuaii obinem: = + += + += + +n n ny x a x a ay x a x a ay x a x a a22 1 01 1 2 1 1 0020 2 0 1 0..... .......... .......... = = == + + +nininii i iy x a x a a n0 0 022 1 0) 1 ( nmulind prima ecuaie cu,0x a doua cu,1x... ultima cu,nx i nsumnd din nou obinem: = + += + += + +n n n n nx y x a x a x ax y x a x a x ax y x a x a x a3221 01 131 221 1 1 00 030 220 1 0 0..... .......... .......... = = = == + +ninininii i i i iy x x a x a x a0 0 0 03221 0 Repetnd procedura cu al doilea sistem, rezult: = + += + += + +2 42312021 141 231 121 020 040 230 120 0..... .......... ..........n n n n nx y x a x a x ax y x a x a x ax y x a x a x a = = = == + +ninininii i i i iy x x a x a x a0 0 0 02 423120 Sistemul format din rezultatele nsumrilor este sistemul de ecuaii normale ale lui Gauss: = + += + += + + + = = = == = = == = =ninininii i i i ininininii i i i inininii i iy x x a x a x ay x x a x a x ay x a x a a n0 0 0 02 4231200 0 0 03221 00 0 022 1 0) 1 ((3.28)