UNIVERSITATEA DIN PITEŞTI

FACULTATEA DE ŞTIINŢE

DDEPARTAMENTUL DE IINGINERIA MMEDIULUI şi ŞŞTIINŢE IINGINEREŞTI AAPLICATE

ESEU ŞTIINŢIFICcu titlul:

Vibraţiile reţelei cristaline. Fononi

elaborat de către: Anghel Andreea-Iuliana, Dogaru Ştefan

în vederea evaluării activităţilor de documentare desfăşurate în cadrul disciplinei

FIZICA CORPULUI SOLID

Coordonator: Conf. Univ. Dr. Dumitru CHIRLEŞAN

Data susţinerii publice:

21.01.2014, orele 15.00-18.00

Pag. 1 din 11

Vibraţiile reţelei cristaline. Fononi

Lattice Vibrations. PhononsAutori / Authors: Anghel Andreea-Iuliana, Dogaru Ştefan

Afiliere / Affiliation:

Universitatea din Piteşti, Facultatea de Ştiinţe, DIMSIA, Inginerie Fizică, an 3

Rezumat:

În proiectarea multor dispozitive electronice este important să poată fi controlat modul de disipare a căldurii generată în materialele cristaline iar pentru aceasta se va considera că atomii din reţeaua cristalină execută mici oscilaţii în jurul poziţiei de echilibru, sistemul de particule din solid fiind considerat un ansamblu de oscilatori armonici. Tratarea corectă a problemei se face cu mecanica cuantică, iar importanţa cuantificării vibraţiilor se va vedea din studiul căldurii specifice a solidului. Vom considera vibraţiile reţelei ca fiind unde elastice, energia undelor elastice fiind cuantificată în fononi (prin analogie cu fotonii undelor electromagnetie). Periodicitatea reţelei cristaline are proprietăţi importante pentru undele elastice. Prin analogie cu optica, unde radiaţia electoomagnetică poate fi descrisă prin numărul de fotoni, adică prin numărul de

cuante de energie, vibraţiile reţelei pot fi descrise prin intermediul cuantelor de energie ,

cărora le asociem o particulă fictivă, numita fonon.Fononii sunt particule “indiscernabile”, fiind asociate reţelei in totalitatea sa, motiv

pentru care se supun statisticii Bose-Einstein, având spin nul.În cele ce urmează, vom face doar o analiză generală, calitativă, fară a intra în

amănunte de calcul. Principal, aceasta se face la fel, doar că, fiecare dimensiune introducând o nouă componentă a vectorului deplasare.

Abstract:

In the projection of many electronic devices it is important that it is controlled the way in which can be dissipated the heat generated in crystal clear materials, and for this we will consider that the atoms from crystal clear network perform feeble oscillations all around the position of equilibrium, the system of particles from solid being considered an ensemble of harmonious oscillators. The correct treatment of the problem is made with the quantum mechanics, and the importance of the vibrations quantification will be seen in the study of the specific heat of the solid.

We will consider network vibrations as being elastic waves, the elastic waves energy being quantified in phonons (by analogy with the phonons of electromagnetic waves). The periodicity of crystal clear network has important features for elastic waves. By analogy with optics, where the electromagnetic radiation can be described through the number of phonons, that is through the number of energy quantum, the network vibrations can be described through the energy quantum to whom we associate a fictitious particle, called phonon.

Pag. 2 din 11

The phonons are “indiscernable “ particles, being associated to the network in its ensemble, and for that reason they are subjected to the ‘’bose-einstein’’ statistics, having null spins.

In the following we will make only a general, qualitative analysis, without enter in gravel details. Principally, it is made in the same way, only that, every size introduces a new component part of the change of place vector.

Cuvinte cheie:

Vibraţie, reţea, fonon, cristalin, material, solid, atom;

Key words:

Vibration, network, phonon, crystal lear, material, solid, atom;

1. Fundamentare teoretică

În proiectarea multor dispozitive electronice (telefoane mobile, panouri solare, chip-uri folosite în computere) este foarte important să poată fi controlat modul de disipare a căldurii generată în materialele cristaline (materiale folosite în construirea dispozitivelor electronice), încălzirea materialului fiind una din cauzele limitării vitezei acestora. Pentru a întelege cum se distribuie căldura într-un material, se va considera că atomii din reţeaua cristalină execută mici oscilaţii în jurul poziţiei de echilibru, amplitudinea acestora fiind cu atât mai mare cu cât temperatura este mai ridicată. Sistemul de particule din solid poate fi considerat ca un ansamblu de oscilatori armonici. Tratarea corectă a problemei se face cu mecanica cuantică, la fiecare frecvenţă energia vibraţiilor reţelei fiind cuantificată, adică un multiplu al unei cuante de energie numit fonon. Importanţa cuantificării vibraţiilor se va vedea din studiul căldurii specifice a solidului. Agitația termică a solidelor cristaline constă în mici oscilații ale particulelor constituente în jurul pozițiilor de echilibru care sunt nodurile rețelei cristaline.

Vibraţiile reţelei monoatomice

Deplasările atomilor față de poziția lor de echilibru sunt mult mai mici față de distanța dintre ei, la aceste deplasări opunându-se forțe electrostatice apărute ca urmare a deformării învelișurilor electronice ale atomilor, datorită tocmai acestor deplasări. Într-o primă aproximație, aceste forțe de revenire pot fi considerate proporționale cu deplasarea (elastice).

Vom considera vibraţiile reţelei ca fiind unde elastice, energia undelor elastice fiind cuantificată în fononi (prin analogie cu fotonii undelor electromagnetie). Periodicitatea reţelei cristaline are proprietăţi importante pentru undele elastice. Vom considera undele elastice propagându-se după direcţia (Ox), polarizarea acestora (sau, direcţia de vibraţie) fiind pur transversală sau pur longitudinală, la propagarea unei astfel de unde plane întregi de atomii din cristal mişcându-se în fază. Dacă mişcarea atomilor este paralelă cu direcţia de propagare, unda este longitudinală (sau, are polarizare longitudinală). Dacă deplasarea atomilor este perpendiculară pe direcţia de propagare, unda este transversală (sau, are polarizare transversală).

Pag. 3 din 11

Prin analogie cu optica, unde radiaţia electromagnetică poate fi descrisă prin numărul de fotoni, adică prin numărul de cuante de energie, vibraţiile reţelei pot fi descrise prin intermediul cuantelor de energie , cărora le asociem o particulă fictivă, numita fonon.

Să considerăm o rețea unidimensională cu un atom de masă M pe celulă, fiecare atom interacționând numai cu vecinii săi cei mai apropiați.

Constanta rețelei este a, constanta elastică α, iar deplasările atomilor față de poziția de echilibru sunt un.

Ecuația de mișcare a atomului cu numărul de ordine n este:

Fononii sunt particule “indiscernabile”, fiind asociate reţelei în totalitatea sa, motiv pentru care se supun statisticii Bose-Einstein, având spin nul.

Evident fiecărui mod de vibraţie îi corespunde un fonon, astfel încât, conform terminologiei deja adoptate, există fononi acustici și fononi optici.

Caracterizarea completă a fononului implică şi precizarea impulsului său, care este hg=(h/2π)g, cum g este un vector în reţeaua reciprocă, hg nu este, propiu-zis, un impuls, în sensul obișnuit, motiv pentru care îl numim cuasiimpuls.

Vibraţiile reţelei unidimensionale biatomice

Să considerăm acum un lanţ liniar cu atomi echidistanţi dar de două specii, dispuşi în mod alternativ, între care se exercită forţe elastice cu aceeaşi constantă, α, ca şi în cazul precedent.

Pag. 4 din 11

Ecuaţia de mișcare are, în acest caz, analogul:=- 2α +2α cos(ga)·

= 2α +2 cos(ga)·căreia, pentru rezolvare, îi asociem ecuaţia determinantului:

= 0

Pulsaţia rezultă din rezolvarea acestei ecuaţii şi are expresia:

=α

Reprezentate grafic în funcţie de g, cele două soluţii arată ca în figura urmatoare:

Ca şi în cazul lanţului monoatomic, soluţia tinde spre proporţionalitae cu g atunci când ga

1. Acest mod de vibraţiie este numit mod acustic, fiind analog cu o undă de lungime de undă mare, reţeaua comportându-se ca un mediu elastic continuu (distanţa interatomică este mult mai mică decât lungimea de undă), viteza de propagare a undei fiind egală cu viteza sunetului.

Cea de-a doua ramură, , are o valoare constantă, independentă de g, în apropierea valorii g=0.

Această ramură, numită mod optic, este separată net de modul acustic dar, când g α/2a, ea tinde să se apropie de ramura corespunzătoare modului acustic.

Se poate arăta că, la g=0, cele două subreţele cu atomi uşori, respectiv grei, se mişcă fiecare în opoziţie de fază, astfel spus, molecula biatomică a fiecărei celule vibrează independent de vecinii săi. Dacă, aşa cum este cazul cristalelor ionice, cei doi atomi ai celulei au sarcini electrice opuse, rezultă o oscilaţie a momentului electric dipolar, acest fiind, deci, optic activ.

Vibraţiile reţelei tridimensionale

Pag. 5 din 11

În cele ce urmează, vom face doar o analiză generală, calitativă, fară a intra în amănunte de calcul. Principal, aceasta se face la fel, doar că, fiecare dimensiune introducând o nouă componentă a vectorului deplasare, vom avea de rezolvat o ecuaţie de gradul III în ω2. Un atom plasat în nodul de poziţie în reţea va oscila conform ecuaţiei:

u( ) ~ Vecinul său va oscila conform ecuaţiei:u( ) exp{i[ ( + ) – t]} = exp(i ) u( )

Pentru lungimi de undă mai mari, deci mic, practic toţi atomii oscilează în fază, solidul comportându-se ca un mediu elastic continuu (domeniul acustic), structura sa fiind prea fină pentru a fi semnificativă în dinamica undelor lungi. Este cunoscut că, într-un astfel de mediu, se pot propaga trei tipuri diferite de unde acustice, cu viteze diferite, diferenţa esenţială dintre aceste trei tipuri constând în natura polarizării lor. Dacă mediul este izotrop, un mod este polarizat longitudinal (oscilaţiile au loc pe direcţia de propagare a undei) şi celelalte două sunt polarizate transversal (oscilaţiile au loc perpendicular pe direcţia de propagare). Viteza de propagare a modului longitudinal este mai mare decât a modurilor transversale, care sunt egale. În cazul cristalului anizotrop, lucrurile se complică: clasificarea formală în moduri longitudinale şi transversale este oarecum înşelătoare, vectorul de polarizare netrebuind să fie strict paralel sau perpendicular pe direcţia de propagare a undei. Dacă lungimea de undă este de ordinul constantei reţelei, atomii vecini oscilează în opoziţie de fază, frecvenţa atinge valoarea sa maximă şi unda devine o undă staţionară. Numărul modurilor de vibraţie trebuie să fie întotdeauna egal cu numărul gradelor de libertate, pentru o reţea tridimensională cu N atomi existând 3N moduri cu vectori de undă în poliedrul zonei Brillouin. Aşa cum am mai arătat, în cristalele ionice, modurile de vibraţie de frecvenţă înaltă sunt asociate cu momente electrice dipolare de vibraţie, ioni pozitivi şi negativi mişcându-se în opoziţie de fază. Ca urmare a interacţiunii puternice dintre aceşti dipoli cu radiaţia luminoasă, aceste moduri au căpătat denumirea de moduri optice, denumire păstrată chiar şi în cazul cristalelor neionice.

Fononi

Prin analogie cu optica unde radiația electromagnetică poate fi descrisă prin numărul de fotoni, adică prin numărul de cuante de energie, vibrațiile rețelei pot fi descrise prin intermediul cuantelor de energie , cărora le asociem o particulă fictivă, numită fonon. Pentru a înțelege mai bine acest concept, să privim într-un mod puțin diferit analiza pe care am făcut-o asupra vibrațiilor rețelei cristaline. Am considerat că aceste vibrații sunt efectuate de oscilatori individuali dar, desigur, sistemul în ansamblul său este cel care oscilează și generează aceste unde în rețea, motiv pentru care putem considera rețeaua cristalină drept un sistem capabil să oscileze la diferite frecvențe. Acest sistem se supune legilor teoriei cuantice, iar variația ei nu se poate face decât cu modificări discrete, multipli întregi ai cuantei , cărora le asociem (pentru comoditate) o particulă fictivă, după cum am precizat mai sus, fonon. Dacă temperatura crește, crește și energia de vibrație a rețelei, ceea ce în termeni cuantici se traduce în creșterea numărului de fononi în sistem.

Fononii sunt particule “indiscernabile”, fiind asociate rețelei în totalitatea sa, motiv pentru care se supun statisticii Bose-Einstein, având spin nul.

Pag. 6 din 11

Evident, fiecărui mod de vibrație îi corespunde un fonon, astfel încât, conform terminologiei deja adoptate există fononi acustici și fononi optici.

Legea de conservare a impulsului în procesul interacței incidente (foton, electron, neutron) cu fononul care este absorbit, sau în cazul în care este creat.

Procesele care respecta relația de mai sus se numesc procese normale sau procese N

oricare altele numindu-se procese Umklapp sau procese U.

2. Experimente, montaje experimentale, dispozitive şi tehnici de lucru

Determinrea experimentală a spectrului fononilor

În general spectrul fononic al unui solid se determină fie prin interacţia radiaţiei electromagnetice fie prin interacţia neutronilor cu solidul dat. Dacă un fascicul de fotoni pătrunde într-un cristal, fiecare foton poate crea sau absorbi un fonon, suferind în cursul acestui proces o împrăştiere neelastică. Atunci când am studiat împraştierea elastica a fotonilor de raze X de către o reţea cristalină (împrăştierea Bragg) am

stabilit o regulă de selecţie pentru vectorii de unda ai fotonilor: - = 2π , în care este un vector al reţelei reciproce. În cazul unei împrţştieri a fotonului la care ar lua parte si un fonon, regula de selecţie pentru vectorii de undă ar fi:

’ - = 2π + (1)Dacă, în continuare, vom neglija împraştierea Bragg, regula de selecţie devine :

’ - = (2)şi de asemenea, conservarea energiei ne va da :

= ω’ + (3)

în care reprezintă frecvenţa unghiulară a fononului participant. Legătura între viteza undei

sonore ( considerată constantă ) şi frecvenţa unghiulară este data de relatia

binecunoscuta : = ·q. Deoarece ω rezultă ca fononul va prelua numai o foarte

mică parte din energia fotonului si de asemenea vom avea si k’ .

Cu ajutorul relației (2) şi ţinând seama de faptul ca avem k’ , putem stabili o relaţie între unghiul de împraştiere α şi vectorul de undă al fononului participant, figura urmatoare:

q (4)

Pag. 7 din 11

Deoarece :

k= = (5)

în care n este indicele de refracţie al cristalului şi c viteza luminii în vid, va rezulta:

q 2 (6)

şi :

sin (7)

Aceasta este relaţia care ne dă frecvenţa fononului care apare (respectiv dispare ), atunci când un foton de energie este împrăştiat sub un unghi α, energia sa fiind acum ω’. Rezultă că, determinând unghiurile de împrăştiere neelastică al fotonilor de raze X vom putea determina frecvenţele fononilor participanţi. Aceasta metodă de determinare experimentală a spectrului fononic al unui cristal aste însă afectată de erori destul de mari, deoarece este dificil de măsurat cu suficientă acurateţe variaţiile de frecvenţă ale fotonului, care sunt foarte mici. Din acest motiv, pentru determinarea spectrului fononic al unui cristal este astăzi cu precădere utilizată metoda împrăştierii neelastice a neutronilor de catre reţeaua cristalină. Această metodă nu este însă evient aplicabilă atunci când nucleele atomilor care alcătuiesc reţeaua cristalului absorb puternic neutronii.

3. Date experimentale, rezultate practice

Aplicaţii:

1). Pulsația vibrțiilor ω pentru un lanț de atomi identici depinde de numărul de undă, k, după

relația ω= , unde este pulsația maximă vibrațiilor, k=2π/λ, numărul de

undă corespunzător pulsației ω, a distanței dintre doi atomi vecini. Utilizând aceată relație de

dispersie, să se determine în funcție de ω, numărul vibrațiilor longitudinale pe intervalul uitar

de pulsații, dn/dω, dacă lungimea lanțului este l. Cunoscând această valoare, să se determine

numărul total de vibrații longitudinale.

Rezolvare:Utilizând condiția de ciclicitate Born-von Karmann cu privire la soluția ecuațiilor ce

descriu vibrațiile rețelei unidimensionale monoatomice ( = ) și cunoscând și forma

acestei soluții, rezultă: ceea ce implică:

k= ·l,

unde N=l/a este numărul de atomi din rețea.

Ținând cont și de valorile lui k ce dau soluții distincte(- ), rezultă:

Pag. 8 din 11

Numărul valorilor premise ale lui k în primă zonă Brillouin, adică numărul modurior de vibrație este egal deci cu numărul atomilor din rețea, N, egal, în acest caz, cu numărul celulelor.

Diferențiind relația care îl exprimă pe k, obținem: dk= ·dl. Se înlocuiște această

relație în relația de dispersie, care devine dω= · ·dl.

Densitatea de moduri de vibrații (numărul vibrațiilor pe intervalul unitar de pulsații) va fi atunci:

=2 = · = ·

2.) Pulsaţia vibraţiilor pentru un lanţ de atomi identici depinde de numărul de undă, k,

după relaţia , unde este pulsaţia maximă vibraţiilor, k = 2 λ,

numărul de undă corespunzător pulsaţiei , a- distanţa dintre doi atomi vecini. Utilizând

această relaţie de dispersie, să se determine în funcţie de , numărul vibraţiilor longitudinale

pe intervalul unitar de pulsaţii, dn/d , dacă lungimea lanţului etse l. Cunoscând această valoare, să se determine numărul total de vibraţii longitudinale. Rezolvare: Utilizând condiţia de ciclicitate Born – von Karmann cu privire la soluţia ecuaţiilor ce descriu vibraţiile reţelei unidimensionale monoatomice ( şi

cunoscând şi forma acestei soluţii, rezultă : exp( ikaN) = 1, ceea ce implică: k = . l, unde

N = l/a este numărul total de atomi din reţea. Ţinând cont şi de valorile lui k ce dau soluţii

distincte ( , rezultă: . Numărul valorilor permise ale lui k în prima

zonă Brillouin, adică numărul modurilor de vibraţie este egal deci cu numărul atomilor din reţea, N, egal în acest caz, cu numărul celulelor. Diferenţiind relaţia care îl exprimă pe k,

obţinem: dk = . Se înlocuieşte această relaţie în relaţia de dispersie, care devine d

. dl. Densitatea de moduri de vibraţie ( numărul vibraţiilor pe intervalul

unitar de pulsaţii) va fi atunci: = = · factorul 2 apare datorită

simetriei (k) ceea ce face ca o valoare oarecare a modului din expresia lui d să corespundă

la două valori ale lui 3). Considerăm un kilomol de cristal alcătuit din atomi identici, dispuşi într-o reţea cubică simplă. Fiecare atom poate oscila armonic, având 3 grade de libertate, independent de ceilalţi atomi. Conform modelului lui Einstein, energia unui oscilator din acest ansamblu este i ,

Pag. 9 din 11

unde i poate lua valorile 0, 1, 2, ..., până la infinit. Să se calculeze căldura specifică kilomolară a cristalului. Rezolvare:

Probabilitatea ca un oscilator să se găsească în starea energetică

Este evident că condiţia de normare este respectată.Considerând sistemul de oscilatori la temperatură constantă, îi putem aplica distribuţia canonică ; energia medie a unui

oscillator este , unde = iar Z este funcţia de partiţie a sistemului:

Z= . Calculând energia medie a unui oscilator, obţinem:

Energia internă a unui kilomol din cristal este:

U = 3 ( este numărul lui Avogadro iar factorul 3 apare datorită celor

3 grade de libertate ale fiecărui oscilator). Căldura specifică molară este:

C = =

4. Concluzii, interpretări

Distribuirea căldurii într-un material se face cu ajutorul unor atomi din reţeaua cristalină care execută mici oscilaţii în jurul poziţiei de echilibru,iar amplitudinea acestora fiind cu atât mai mare cu cât temperatura este mai ridicată;

Fononul reprezintă frecvenţa energiei vibraţiilor reţelei care sunt cuantificate, adică un multiplu al unei cuante de energie;

Fononii sunt particule “indiscernabile”, care sunt asociate reţelei în totalitatea sa; Vibraţiile reţelei monoatomice reprezintă energia undelor elastice care se cuantifică în

fononi; Periodicitatea reţelei cristaline are proprietăţi importante pentru undele elastice; Vibraţiile reţelei unidimensionale biatomice reperzinta un lanţ liniar cu atomi

echidistanţi dar de două specii, dispuşi în mod alternativ, între care se exercită forţe elastice;

Molecula biatomică a fiecărei celule vibrează independent de vecinii săi, aşa cum este cazul cristalelor ionice, cei doi atomi ai celulei au sarcini electrice opuse de unde rezultă o oscilţie a momentului electric dipolar, acest fiind optic activ;

Vibraţiile reţelei tridimensionale reprezintă lungimile de undă în care toţi atomii oscilează în fază, solidul comportându-se ca un mediu elastic continuu, structura sa fiind prea fină pentru a fi semnificativă în dinamica undelor lungi;

În cristalele ionice, modurile de vibraţie de frecvenţă înaltă sunt asociate cu momente electrice dipolare de vibraţie, ioni pozitivi şi negativi mişcându-se în opoziţie de fază,

Pag. 10 din 11

ca urmare a interacţiunii puternice dintre aceşti dipoli cu radiaţia luminoasă, aceste moduri au căpătat denumirea de moduri optice, denumire păstrată chiar şi în cazul cristalelor neionice;

5. Referinţe bibliografice, resurse

1. Stănescu C., Chirleşan G., Chirleşan D., Aplicaţii in fizica corpului solid, Piteşti, Editura

Universitşţii din Piteşti, 2005, pag. 51-61;

2. Stănescu C., Probleme de fizica corpului solid, Piteşti, Editura Universitatea din Piteşti,

Facultatea de Ştiinţe, Catedra de chimie si fizică, 1996, pag 19-20

3. M ller E., Dănciulescu C., Fizica corpului solid, Bucureşti, Editura Universităţii din

Bucureşti, 1996, pag 7-9;49-54.

4. http://www.physics.pub.ro/Cursuri/Alexandrina_Nenciu_-_Fizica_starii_solide/C04_12-

13.pdf

5. http://physics.unl.edu/tsymbal/teaching/SSP-927/Section%2005_Lattice_Vibrations.pdf

6.http://www.ece.rochester.edu/courses/ECE423/ECE223_423_MSC426%20Workshop06/

term%20papers%2006/Mathew_06.pdf

7. http://www.uni-tuebingen.de/meso/ssscript/phononen.pdf

8. http://www.cambridge.org/resources/052182379X/2064_ch06.pdf

9. http://www.phys.huji.ac.il/Phys_Hug/Lectures/77602/PHONONS_1_elasticity.pdf

10. http://www-sp.phy.cam.ac.uk/~wa14/camonly/statistical/Lecture12.pdf

Pag. 11 din 11