VIBRAII : Cursul 1

Anul IV, Ingineria mediului,Facultatea de Hidrotehnica

Andrei Vasilescu, UTCB

1. Generaliti

Care sunt domeniile unde avem vibraii?Toate ramurile fizicii, n general din ramurile:

mecanic electricitate optic acustic ...

n domeniul liniar, toate ramurile se ocup de aceleai ecuaii de propagare a undelor, prin urmare, de vibraii.

Acest lucru ne permite s facem analogii ntre ele.

Ce este o und?Unda este o perturbare sau o variaie care transfer energia n

mod progresiv de la un punct la altul ntr-un mediu i care poate lua forma unei deformri elastice sau a unei variaii de presiune, de intensitate electric sau magnetic, de potenial electric, sau de temperatur.

Exemplu: propagarea unui impuls n lungul unei coarde :

1. Generaliti

1. Generaliti

Ce este un sistem vibrant?Un sistem vibrant este constituit din structura propriu-zis a

unei construcii la care se ataeaz mase distribuite (dup o anumit lege) i/sau mase concentrate.

Orice structur este capabil, sub aciunea unor cauze cu caracter dinamic (variabile n timp), s efectueze micri relative n jurul unei poziii de echilibru. Acest fenomen se datoreaz faptului c structura posed proprieti ineriale (mase concentrate i distribuite) i elastice (definite prin flexibilitate sau rigiditate).

Ce este micarea vibratorie ?Micarea care se repet, n timp, dup o anumit lege se numete vibraie sau

micare vibratorie.RSPUNS DINAMIC Rspunsul dinamic liber caracterizeaz micarea unui sistem vibrant n

anumite condiii iniiale (deplasare sau vitez), dup ce a ncetat cauza care a produs micarea.

Rspunsul dinamic forat caracterizeaz micarea unui sistem dinamic pe timpul istoric al aplicrii aciunii dinamice.

Rspunsul dinamic se exprim n mrimi cinematice fundamentale: deplasri, viteze i acceleraii sau derivate: energii, fore generalizate, eforturi, tensiuni i deformaii.

1. Generaliti

1. Generaliti

Care sunt modelele utilizate ?

modelul fizic (real); modelul mecanic (simplificarea/schematizarea celui fizic); modelul matematic : (ecuaie difereniala).

cu soluia

2. Model mecanic

Rspunsul dinamic liber al oscilatoruluicu un grad de libertate

Viaductul Millau, 2004 Purj Dubai (proiect) 2008

2. Model mecanic

Aciunea vntului asupra construciilor svelte.

2. Model mecanic

Pasarela Collegebrug, Courtrait, Belgia

Rspuns dinamic, sub aciunea unui pieton(calcul neliniar, cu amortizare).

2. Model mecanic

Interaciunea fluid-structura

Vibroacustica:

3. Model matematic

Parametrii semnalului sinuisoidal: x(t)=A sin( t- )

x(t) elongatie / t-timp; T- perioada; -frecventa; A amplitudine; - defazaj; pulsatie;

a) Dup numrul gradelor de libertate: Nr. finit (1,2,n) Nr. infinit (medii continue (fire, plci, membrane)

b) Dup forele care intervin: vibraii libere produse de un oc (dac cauza dispare i sistemul vibreaz

liber) vibraii forate (ntreinute)

c) Dup prezena timpului: autonome (timpul nu apare explicit) neuatonome (timpul apare explicit)

d) Dup fora de rezisten: vibraii neamortizate forele de frecare sunt mici i se neglijeaz; vibraii amortizate forele interioare nu se pot neglija i n interiorul

sistemului se produc disipri importante de energie

4. Clasificarea vibraiilor

e) Dup ecuaiile difereniale utilizate: vibraii liniare (ecuaii difereniale cu necunoscute la puterea 1) vibraii neliniare (ecuaii difereniale cu necunoscute la puteri mai mari

dect 1, de exemplu)f) Dup modul de exprimare a excitaiei sau a rspunsului:

vibraii deterministe orice mrime ce caracterizeaz vibraia poate fi determinat, la un moment dat, cunoscnd funcia prin care este reprezentat vibraia;

vibraii aleatoare (nedeterministe) mrimile caracteristice ale vibraiei sunt determinate pe baze probabilistice.

g) Dup caracterul periodic al micrii: armonice (se exprim prin sin sau cos); nearmonice:

modulate n amplitudine x = f(t) sin( t+ ) modulate n frecven x = a sin [((t)t+ )] Oarecare.

4. Clasificarea vibraiilor

C2. CINEMATICA VIBRAIILOR Inginerul proiectant este pus de multe ori n faa analizei

comportrii unor elemente structurale atunci cnd apar mai multe surse perturbatoare care provoac vibraii. Evident c intereseaz de vibraia rezultant. Dac studiem numai micrile periodice, fr s inem seama de aciunile exterioare (fore, momente) i de masele punctelor sau sistemelor elastice care vibreaz, atunci ne gsim n cadrul capitilului de cinematic a vibraiilor. Studiul cinematic face pasul nainte pentru nelegerea fenomenelor care se vor studia n capitolul de dinamic, atunci cnd vom lua n considerare att aciunile exterioare, ct i masele care vibreaz.

1. Compunerea vibraiilor paralele de aceiai pulsaie

Se consider un punct care are un grad de libertate, efectund o micare armonic pe o dreapt. Dac la rndul ei, dreapta suport are o alt micare vibratorie pe direcia ei cu aceiai pulsaie, atunci legile de micare sunt:

(2.1) Scriind expresia dezvoltat ale funciilor (2.1), se obine:

Micarea rezultant este obinut ca o sum a celor dou micri: (2.2)

unde cele dou constante au expresiile:

1 1 1

2 2 2

sin( )sin( )

x a t

x a t

= +

= +

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

sin( ) sin cos cos sinsin( ) sin cos cos sin

x a t a t a t

x a t a t a t

= + = +

= + = +

1 2 1 2sin cosx x C t C t + = +

1 1 1 2 2cos cosC a a = + 2 1 1 2 2sin sinC a a = +

1. Compunerea vibraiilor paralele de aceiai pulsaie

Relaia (2.2) se poate scrie i sub forma: (2.3)

Dup dezvoltarea relaiei anterioare i identificarea termenilor, se obine: (2.4)

Concluzia practic obinut este clar, i anume aceea c micarea rezultant esteo vibraie armonic de aceiai pulsaie ca i micrile care o compun.

Aceast micare rezultant are o amplitudine A i un defazaj (2.5)

(2.6)

1 2 sin( )x x A t + = +

1 cosC A = 2 sinC A =

2 2 2 21 2 1 2 1 2 2 12 cos( )A C C a a a a = + = + +

2 1 1 2 2

1 1 1 2 2

sin sintg

cos cos

C a aC a a

+= =

+

1. Compunerea vibraiilor paralele de aceiai pulsaie

Generalizare

Dac se consider n micri armonice paralele care au aceiai pulsaie (2.7)

se obine o micare rezultant caracterizat printr-o amplitudine i un defazaj:

(2.8)

(2.9)

sin( ) =1,2, ..., i i ix a t i n = +

2 2 cos( )i i j j iA a a a = +

2

1

sintg

cos

i i

i i

aCC a

= =