VIBRA|IILE LINIARE ALE SISTEMELOR

CU UN SINGUR GRAD DE LIBERTATE

Stabilirea MM al vibra\iilor liniare ale sistemelor 1GL

Un sistem mecanic vibrant are un singur grad de libertate – 1GL dac[ mi]carea sa se poate studia cu o singur[ func\ie de timp, numit[ coordonata (parametrul) vibra\iei. Aceast[ coordonat[ poate fi lungime, unghi etc. Un exemplu @l constituie mi]carea unui piston @ntr-un cilindru. Pozi\ia pistonului este determinat[ @n fiecare moment prin distan\a lui fa\[ de fundul cilindrului.

Masa m, suspendat[ printr-un arc, este ghidat[ pentru a se putea deplasa numai pe vertical[.

Masa va efectua vibra\ii de transla\ie (longitudinale) ce se pot studia cu coordonata y.

c k

m

F(t)

y

Masa m este a]ezat[ pe o bar[ orizontal[ AB de mas[ neglijabil[, rezemat[ @n capetele A ]i B. Presupun`nd c[ bara AB se poate deforma (@ncovoia) @ntr-un plan vertical, masa m poate efectua vibra\ii mici pe care le putem considera perpendiculare pe bare, numite vibra\ii de @ncovoiere. Acestea se vor studia cu coordonata x.

A Bm

x

#n orice moment t al vibra\iei, asupra unui sistem vibrant ac\ioneaz[ totdeauna for\e elastice care tind s[ aduc[ sistemul @n starea de referin\[ (de echilibru static sau de mi]care permanent[). Dac[ sistemul este scos din pozi\ia de echilibru static printr-un ]oc, prin aplicarea brusc[ sau prin suprimarea unei for\e, vor ap[rea vibra\ii.

yst k

m

O

O1

yO

y

#n orice moment arcul exercit[ asupra masei m o for\[ elastic[ , care tinde s-o aduc[ @n pozi\ia de echilibru static. Vibra\iile efectuate numai sub ac\iunea for\elor elastice se numesc vibra\ii libere f[r[ amortizare.

Dac[ se alege ca origine a coordonatei y a masei m pozi\ia ei c`nd arcul e nedeformat. La un moment t, deforma\ia arcului este chiar coordonata y. Presupun`nd c[ deforma\ia arcului se face dup[ legea lui Hooke, ceea ce este valabil @n limite foarte largi, for\a elastic[, de sens contrar cu deforma\ia y, va fi:

(1)kyFel

Coeficientul de propor\ionalitate k se nume]te constanta elastic[. Pentru a o defini, vom presupune arcul @n pozi\ia de echilibru sub ac\iunea unei for\e oarecare F. Vom nota cu fst deforma\ia arcului @n acest caz, numit[ s[geat[ static[.

Valoarea for\ei elastice fiind kfst, vom avea ecua\ia:

De aici se define]te constanta k ca fiind egal[ cu valoarea for\ei necesare pentru a produce o s[geat[ static[ a arcului egal[ cu unitatea de lungime.

stkfF

For\ele elastice sunt conservative. Ele deriv[ din poten\ialul:

(2)

Asupra sistemelor materiale ce vibreaz[ ac\ioneaz[ @ntotdeuna ]i for\e care se opun vibra\iei, numite for\e de rezisten\[ sau de amortizare. C`nd aceste for\e nu se pot neglija, vibra\iile se numesc amortizate. Cauzele lor pot fi diferitele frec[ri cu particulele aerului sau ale lichidelor, frec[rile solidelor @ntre ele etc. Frecare interioar[ a particulelor p[r\ilor elastice ale sistemului vibrant contribuie @ntotdeuna la producerea amortiz[rii.

CkyEp 2

2

1

For\ele de amortizare sunt opuse deplas[rilor, deci sunt de semn contrar cu vitezele punctelor sistemelor vibrante. #n cele mai multe cazuri practice, for\ele de amortizare se pot lua fie cu valori constante (frecare uscat[), fie propor\ionale cu vitezele, c`nd se numesc for\e de amortizare v`scoas[. Astfel, @n cazul for\ei de amortizare constante (frecare uscat[), for\a Fa se scrie astfel:

(3)RysignFa

R este valoarea constant[ a for\ei, iar (semnul vitezei) este func\ia discontinu[:

(4)

#n cazul for\ei de amortizare v`scoase, for\a este propor\ional[ cu viteza:

(5)

ysign

01

01

ypentru

ypentruysign

ycFa

Factorul de propor\ionalitate c se nume]te coeficient de amortizare, fiind egal cu valoarea for\ei de amortizare c`nd masa m are o vitez[ egal[ cu unitatea. Un piston ce se mi]c[ @ntr-un cilindru @n care se afl[ un lichid, @nt`mpin[, @n anumite condi\ii, o rezisten\[ de natur[ v`scoas[, de aceea schematic amortizarea v`scoas[ se reprezint[ ca @n figurile precedente, fiind caracterizat[ prin coeficientul c.Asupra sistemelor vibrante mai pot s[ ac\ioneze ]i for\e exterioare ce depind de timp, @n general periodice, numite for\e perturbatoare. C`nd acestea ac\ioneaz[, vibra\iile se numesc for\ate. Vom nota cu F(t) for\a perturbatoare periodic[ ce ac\ioneaz[ asupra masei m. Aceast[ for\[ se va scrie, @n general, cu ajutorul componentelor armonice de forma:

ob\inute prin dezvoltarea for\ei @n serie Fourier.

tsinF0

Masa m se deplaseaz[ pe vertical[, direc\ie dup[ care ac\ioneaz[ ]i greutatea mg. Admi\`nd c[ asupra masei m ac\ioneaz[ toate forele ar[tate mai sus ]i aplic`nd legea lui Newton, ecua\ia diferen\ial[ a vibra\iilor masei m este:

(6)sau:

(7)

)t(FmgFFym ael

)t(FmgRysignkyycym

Ecua\ia diferen\ial[ (7) este liniar[ dac[ for\a de amortizare uscat[ nu exist[, iar c`nd aceast[ for\[ exist[ ecua\ia este liniar[ @ntr-un interval de timp @n care viteza nu-]i schimb[ sensul. De aceea, vibra\iile masei m se vor numi liniare. Legea acestor vibra\ii se va ob\ine prin integrarea ecua\iei (7).

Fie O pozi\ia de echilibru static a masei m sub ac\iunea greut[\ii mg (fig. 2.2). O1O este s[geata static[ yst a arcului,

corespunz[toare greut[\ii, a c[rei valoare este:

(8)kmg

yst

Dac[ pozi\ia masei m este determinat[ de variabila x, av`nd originea O, vom avea:

(9)

Ecua\ia diferen\ial[ (2.7) a vibra\iei masei m, @n noua coordonat[ x, devine:

(10)

#n multe probleme, frecarea uscat[ este neglijabil[, astfel c[ ecua\ia de mai sus se prezint[ sub forma:

(11)

xkmg

xyy st

)t(FRxsignkxxcxm

)t(Fkxxcxm

Metodele folosite mai sus de scriere a ecua\iilor diferen\iale nu sunt cele mai generale. Pentru un sistem vibrant oarecare, cu unul sau mai multe grade de libertate, o metod[ general[ de scriere a ecua\iilor diferen\iale ale vibra\iilor este metoda ecua\iilor Lagrange. #n cazul unui sistem cu un singur grad de libertate, ale c[rui vibra\ii se studiaz[ cu coordonata q, ecua\ia lui Lagrange este:

(12)

Unde Ec este energia cinetic[ a sistemului, iar Q este for\a generalizat[.

Qq

E

q

E

dtd cc

#n expresia lui Q, termenii corespunz[tori for\elor conservative, cum sunt

for\ele elastice, au suma egal[ cu , unde Ep este energia poten\ial[,

care se consider[, @n general, nul[ @n pozi\ia de echilibru static sau @n mi]carea de regim a sistemului. Introduc`nd func\ia lui Lagrange L=Ec-Ep , ecua\ia lui Lagrange (12) se scrie astfel:

(13)

@n care for\ele generalizate Q’ nu con\in termeni corespunz[tori for\elor conservative. Dac[ asupra sistemului ac\ioneaz[ numai for\e conservative, avem Q’ = 0 .

q

Ep

'Qq

L

q

L

dtd

Vibra\ii libere neamortizate Dac[ asupra sistemului vibrant nu ac\ioneaz[ for\e perturbatoare, F(t)=0, iar for\ele de amortizare sunt neglijabile, vibra\iile sistemului sunt libere, neamortizate. Ele se mai numesc vibra\ii naturale sau proprii. Un model mecanic al sistemelor ce execut[ astfel de vibra\ii este ar[tat @n figura al[turat[.

k

m

Ecua\ia diferen\ial[ a acestor vibra\ii este:

(14)

Pentru a integra ecua\ia, form[m ecua\ia caracteristic[:

(15)

Ea are r[d[cinile pur imaginare. Cu nota\ia:

(16)

aceste r[d[cini se scriu astfel:

0kxxm

02 km

m

kn

n, imk

i 21

Rezult[:

(17)

@n care C1 ]i C2 sau A0 ]i sunt constante de

integrare ce se determin[ din condi\iile ini\iale.

tsinAtcosCtsinCx nnn 021

1

2

C

Ctg 2

2210 CCA

Vibra\ia se efectueaz[ @n jurul pozi\iei de echilibru static (x=0) cu o amplitudine A0 ce depinde de condi\iile

ini\iale. Dac[ pentru t=0 avem ]i , legea mi]c[rii

devine:

(18)

iar valoarea amplitudinii este:

(19)

0xx 0vx

tcosxtsinv

x nnn

0

0

202

20

0 xv

An

Constantele elastice ale c`torva sisteme

Constanta k a unui sistem elastic se calculeaz[ pe baza formulelor de determinare a deforma\iilor din Rezisten\a materialelor. Astfel, pentru un arc elicoidal construit dintr-o bar[ metalic[ cu sec\iunea circular[, s[geata static[ sub ac\iunea unei for\e P este:

(20)

@n care: D = diametru cilindrului de @nf[\urare a arcului;

d = diametrul firului;

n = num[rul de spire;

G = modulul elastic transversal.

4

38

dG

PDnfst

Dup[ cum ]tim, constanta k este egal[ cu valoarea for\ei ce produce o s[geat[ static[ egal[ cu unitatea. F[c`nd deci fst=1, din formula (20) se calculeaz[ constanta k=P. Rezult[:

(21) 3

4

8 Dn

dGk

Ca element elastic s[ consider[m, @n locul arcului, o bar[ omogen[ de lungime l ]i cu sec\iunea S, construit[ dintr-un material cu modulul elastic longitudinal E. S[geata static[ sub ac\iunea unei for\a axiale P este:

(22)

Proced`nd ca @n cazul arcului elicoidal, se ob\ine:

(23)

SElP

fst

l

SEk

k = 22

)(3

ba

baEI

k = 33

3)(

ba

baEI

k = 3

3

aEI

k = )43(

)(1222

3

baba

baEI

k = )43(

122 bab

EI

k = 2)(

3

bbaEI

Dac[ se consider[ o bar[ omogen[ de lungime l, dintr-un material cu modulul de elasticitate transversal G, deforma\ia de torsiune static[, sub ac\iunea unui cuplu de moment M este:

(24, 25)

@n care Ip este momentul de iner\ie polar al sec\iunii barei.

pIGlM

l

IGk p

n

iikk

1

n

i ikk 1

11